089303 - Calculo 3 - Turma A

Sexta lista de exerccios

Profa. Vera Lucia Carbone 22 de marco de 2012

1. (a) Considere o campo vetorial ~f(x, y) = ~i + (x y)~j. Desenhe ~f(x, y) nos pontos das retas y = x, y = x 1, ey = x 2.

(b) Considere o campo vetorial ~g(x, y) =~i+ xy~j. Desenhe ~g(x, y) nos pontos da hiperbole xy = 1, com x > 0.

(c) Seja ~F = f , onde f(x, y) = x+ 2y. Desenhe ~F (x, y) com (x, y) na reta x+ 2y = 1.

(d) Seja ~F = , onde (x, y) = y x2. Desenhe ~F (x, y) com (x, y) na parabola y = x2.

(e) Seja V (x, y) = x2 + y2. Desenhe um campo ~F (x, y) para o qual se tenha V (x, y) ~F (x, y) 6 0.

(f) Sejam V e ~F como no item (f). Seja (t) = (x(t), y(t)), t I, uma curva tal que, para todo t no intervalo I,(t) = ~F ((t)). Prove que g(t) = V ((t)) e decrescente em I. Conclua que se (t0), t0 I, for um ponto dacircunferencia x2 + y2 = r2, entao, para todo t > t0, t I, (t) pertencera ao crculo x2 + y2 6 r2. Interpretegeometricamente.

2. Calcule

~F d, sendo dados

(a) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j + z ~k e (t) = (cos t, sen t, t), 0 6 t 6 2pi.

(b) ~F (x, y, z) = (x+ y + z)~k e (t) = (t, t, 1 t2), 0 6 t 6 1.

(c) ~F (x, y) = x2~j e (t) = (t2, 3), 1 6 t 6 1.

(d) ~F (x, y) = x2~i+ (x y)~j e (t) = (t, sen t), 0 6 t 6 pi.

(e) ~F (x, y, z) = x2~i+ y2~j + z2 ~k e (t) = (2 cos t, 3 sen t, t), 0 6 t 6 2pi.

3. Uma partcula desloca-se em um campo de forcas dado por ~F (x, y, z) = y~i+ x~j + z ~k. Calcule o trabalho realizadopor ~F no deslocamento da partcula de (a) ate (b), sendo dados

(a) (t) = (cos t, sen t, t), a = 0 e b = 2pi.

(b) (t) = (2t+ 1, t 1, t), a = 1 e b = 2.

(c) (t) = (cos t, 0, sen t), a = 0 e b = 2pi.

4. Calcule

(a)

x dx+ y dy, sendo dada por x = t2 e y = sen t, 0 6 t 6 pi2

.

(b)

x dx + y dy + z dz, onde e o segmento de extremidades (0, 0, 0) e (1, 2, 1), percorrido no sentido de (1, 2, 1)

para (0, 0, 0).

(c)

2 dx dy, onde tem por imagem x2 + y2 = 4, x > 0 e y > 0; o sentido do percurso e de (2, 0) para (0, 2).

1

5. Seja ~F : R2 R2 um campo vetorial contnuo tal que, para todo (x, y), ~F (x, y) e paralelo ao vetor x~i + y~j. Calcule

~F d~r, onde : [a, b] R2 e uma curva de classe C1, cuja imagem esta contida na circunferencia de centro na origeme raio r > 0. Interprete geometricamente.

6. Sejam ~F um campo vetorial contnuo no aberto Rn, 1 : [a, b] e 2 : [c, d] duas curvas de classe C1.Mostre que se 2 e obtida de 1 por uma mudanca de parametro que reverte a orientacao (isto e, se 2(u) = 1(g(u)),

com g de classe C1, Im g = [a, b] e g(u) < 0, para todo u (c, d)), entao1

~F d1 = 2

~F d2.

7. Seja ~F um campo vetorial contnuo em R2. Justifique as igualdades.

(a)

1

~F d1 =2

~F d2, onde 1(t) = (t, t2), 0 6 t 6 1, e 2(u) =(u

2,u2

4

), 0 6 u 6 2.

(b)

1

~F d1 =2

~F d2, onde 1(t) = (cos t, sen t), 0 6 t 6 2pi, e 2(u) = (cos 2u, sen 2u) , 0 6 u 6 pi.

(c)

1

~F d1 = 2

~F d2, onde 1(t) = (cos t, sen t), 0 6 t 6 2pi, e 2(u) = (cos(2pi u), sen (2pi u)) ,0 6 u 6 2pi.

(d)

1

~F d1 = 2

~F d2, onde 1(t) = (t, t3), 1 6 t 6 1, e 2(u) = (1 u, (1 u)3), 0 6 u 6 2.

8. Calcule rot ~F em cada um dos tens abaixo.

(a) ~F (x, y, z) = y~i+ x~j + z ~k.

(b) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j + xz ~k.

(c) ~F (x, y, z) = yz~i+ xz~j + xy~k.

(d) ~F (x, y, z) = (x2 + y2)~i.

(e) ~F (x, y, z) = xy~i x2~j.

9. Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado e conservativo, justificando sua resposta.

(a) ~F (x, y, z, w) = (x, y, z, w)

(b) ~F (x, y) = y~i+ x~j

(c) ~F (x, y, z) = (x y)~i+ (x+ y + z)~j + z2~k.

10. Em cada um dos tens abaixo, verifique se a forma diferencial dada e exata. Justifique.

(a) xdx+ ydy + zdz

(b) 2xydx+ x2dy

(c) yzdx+ xzdy + xydz

(d) (x+ y)dx+ (x y)dy

(e) (x+ y)dx+ (y x)dy

(f) e(x2+y2)xdx+ e(x

2+y2)ydy

2

(g) xydx+ y2dy + xyzdz.

11. Sejam P,Q,R funcoes de classe C1 em um aberto R3. Mostre que se a forma diferencial

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz

e exata, entaoP

y=Q

x,P

z=R

xeQ

z=R

yem .

12. Calcule

(a)

(x y) dx + ex+y dy, onde e a fronteira do triangulo de vertices (0, 0), (0, 1) e (1, 2), orientada no sentidoanti-horario.

(b)

dx+ dy, onde e a poligonal de vertices A0 = (0, 0), A1 = (1, 2), A2 = (1, 3), A3 = (2, 1) e A4 = (1,1),sendo orientada de A0 para A4.

(c)

y2 dx+x dy dz, onde e a poligonal de vertices A0 = (0, 0, 0), A1 = (1, 1, 1) e A2 = (1, 1, 0), orientada de A0para A2.

13. Calcule

(a)

ydx+ x2dy, onde e uma curva cuja imagem e o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 2), orientada de (1, 1)

para (2, 2).

(b)

(1,0)(1,0)

x

x2 + y2dx+

y

x2 + y2dy.

(c)

[ sen (xy) + xy cos(xy)]dx+ x2 cos(xy)dy, onde (t) = (t2 1, t2 + 1), 1 6 t 6 1.

14. Mostre que a integral

dx+ dy e nula, qualquer que seja a curva fechada de classe C1 por partes.

15. Mostre que

~Fd~r independe do caminho em cada um dos tens abaixo:

(a) ~F (x, y) = (3x2y + 2)~i+ (x3 + 4y3)~j

(b) ~F (x, y) = (2x sen y + 4ex)~i+ (x2 cos y + 2)~j.

16. Mostre que

~Fd~r independe do caminho de integracao se, e somente se,

~Fd~r = 0, para toda curva fechada de

classe C1 por partes em .

17. Calcule~Fd sendo dados:

(a) ~F (x, y, z) = (x+ y + z)~k, (t) = (t, t, 1 t2), 0 6 t 6 1 (R. 11/6)

(b) ~F (x, y) = x2~i+ (x y)~j, (t) = (t, sen (t)), 0 6 t 6 pi. (R.pi3/3 2)

(c) ~F (x, y, z) = x2~i+ y2~j + z2~k, (t) = (2 cos(t), 3 sen (t)), 0 6 t 6 2pi (R.8pi3/3)

18. Calcule

y4x2 + y2

dx+x

4x2 + y2dy

onde tem por imagem a elipse 4x2 + y2 = 9 e o sentido do percurso e anti-horario. (R.pi)

3

19. Calcule

xdx + ydy + zdz, onde e o segmento de extremidades (0, 0, 0) e (1, 2, 1) percorrido no sentido de (1, 2, 1)

para (0, 0, 0). (R. 3)

20. Calcule

2dx dy onde tem por imagem x2 + y2 = 4, x > 0 e y > 0; o sentido de percurso e de (2, 0) para (0, 2).(R. 6)

21. Calcule

(x y)dx + ex+ydy onde e a fronteira do triangulo de vertices (0, 0); (0, 1) e (1, 2) orientada no sentidoanti-horario (R.e

3

6 e2 + 56 ).

22. Uma partcula move-se no plano de modo que no instante t sua posicao e dada por (t) = (t, t2). Calcule o trabalho

relizado pelo campo de forcas ~F (x, y) = (x+ y)~i+ (x y)~j no deslocamento da partcula de (0) ate (1). (R.1)

23. Uma partcula desloca-se em um campo de forcas dado por ~F (x, y, z) = y~i + x~j + z~k. Calcule o trabalho realizadopor ~F no deslocamento da partcula de (a) ate (b) sendo dados:

(a) (t) = (cos(t), sen (t), t), a = 0 b = 2pi (R.2pi(1+ pi))

(b) (t) = (2t+ 1, t 1, t), a = 1, b = 2 (R.92 )

(c) (t) = (cos(t), 0, sen (t)), a = 0, b = 2pi (R.0)

24. Seja ~F um campo vetorial contnuo em R2. Justifique as igualdades

25.1~Fd1 =

2~Fd2 : 1(t) = (t, t

2), 0 6 t 6 1, 2(u) = (u2 ,u2

4 ), 0 6 u 6 2.

26.1~Fd1 =

2~Fd2 : 1(t) = (cos(t), sen (t)), 0 6 t 6 2pi, 2(u) = (cos(2pi u), sen (2pi u)), 0 6 u 6 2pi.

27. Calcule

3xdx+

1

1 + y2dy, e

~Fd onde ~F (x, y) = (x+ y2)~j e e considerada a curva que descreve o quadrado de

vertices: (1, 0), (0, 1), (1, 0), (0,1). (R.0); (R.4).

28. Calcule

y2dx+ xdy dz, onde e a poligonal de vertices A0 = (0, 0, 0), A1 = (1, 1, 1), A2 = (1, 1, 0) orientada de A0para A2. (R.

56 )

29. Calcule:

(a)(x2 + y2)ds, (t) = (t, t), 1 6 t 6 1 (R.42/3)

(b)xyzds, (t) = (cos(t), sen (t), t), 0 6 t 6 2pi (R. pi2/2).

30. Calcule a massa do fio (t) = (cos(t), sen (t), t), 0 6 t 6 pi com densidade linear (x, y, z) = x2+y2+z2. (R.pi2(1+ pi2/3))

31. Calcule o momento de inercia do fio (t) = (t, 2t, 3t), 0 6 t 6 1 com densidade linear (x, y, z) = x + y + z em torno

do eixo- OZ. (R.1514/2)

32. Verifique se o campo vetorial dado e conservativo ou nao.

(a) ~F (x, y, z) = (x y)~i+ (x+ y + z)~j + z2~k

(b) ~F (x, y, z) = x(x2+y2+z2)2~i+ y(x2+y2+z2)2

~j + z(x2+y2+z2)2~k

(c) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k

4

33. Verifique se a forma diferencial dada e exata. Justifique.

(a) ex2+y2(xdx+ ydy)

(b) xydx+ y2dy + xyzdz

(c) yx2+y2 dx+x

x2+y2 dy, y > 0.

(iii) (R.exata)

34. Calcule:

(a)

(2,2)(1,1)

ydx+ xdy, (R.0)

(b)

ydx + x2dy, onde e uma curva cuja imagem e o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 2) orientada de (1, 1)

para (2, 2) (R.23/6).

(c)

yx2 + y2

dx +x

x2 + y2dy, onde : [0, 1] R2 e uma curva C1 por partes, com imagem contida no semiplano

y > 0, tal que (0) = (1, 1) e (1) = (2, 3). (R.pi/4+ arctg (2/3))

(d)

(1,0)(1,0)

x

x2 + y2dx+

y

x2 + y2dy. (R.0)

(e)

( sen (xy) + xy cos(xy))dx+ (x2 cos(xy))dy, onde (t) = (t2 1, t2 + 1), 1 6 t 6 1. (R.0)

5