lista 3 math1
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PROFESSOR HELANDERSON SOUSA
LISTA 3
ASSUNTO: VARIADO
Problema 1
Resolva a equação exponencial abaixo
=
Problema 2
Ache todos os números reais x que satisfação a equação
Problema 3
Calcule a soma
+ + ... +
Problema 4
Calcule a soma
1.1! + 2.2! + ... + n.n!
Problema 5
Dada a função f(x) =
Calcule o valor de f( + f( + f( + ... + f(
Problema 6
Determine o valor da integral
I =
Problema 7
Calcule
)
Problema 8
Se f(y) = y + + + + ...
Calcule f( )
Problema 9
Determine o valor da soma
+ + ... +
Problema 10
Sendo a função geradora ordinária para a sequencia , encontre
Soluções
HELANDERSON SOUSA
1)
Chamemos a = e b =
Assim podemos escrever
= (a + b)( - ab + )
E = (a + b)ab
Assim
= = =
6 - 6 +6 = 7
= 6 - 13 + 6 = 0
Fatorando temos
(2a – 3b)(3a – 2b) = 0
Logo
= Ou =
Que só é válida pra x + 1 = 0 x = -1
Ou x – 1 = 0 x = 1.
1 e -1 satisfazem a equação
2)
Façamos a = e b =
Assim teremos
a + b - + ab - = 1 ou
1 + + – a – b – ab = 0
2 + 2 + 2 – 2a –2 b –2 ab = 2.0
1 + 1 + + + + – 2a –2 b –2 ab = 0
( – 2a + 1) + ( –2b + 1) + ( –2 ab + ) = 0
= 0
Portanto
1 = = o que implica x = 0 é a única solução
3)
Considere
= =
Logo a soma se torna
- + - + ... + - = - = -
4)
(k+1)! – k! = [(k+1)k! – k!] = k!k Assim temos que
1.1! = 2! – 1!
2.2! = 3! – 2!
3.3! = 4! – 3!
...................
n.n! = (n+1)! – n!
Somando membro a membro temos
1.1! + 2.2! + ... + n.n! = 2! – 1! + 3! – 2! + 4! – 3! + ... + (n+1)! – n!
= (n+1)! – 1
5)
Repare que f(1 – x) = e sendo assim
f(x) + f(1-x) = 1
assim podemos concluir que a soma de um parcela e a sua antecessora é sempre 1, como temos
2000 parcelas, podemos concluir que:
f( + f( + f( + ... + f( = 1000
6)
Façamos x =2 cost dx = -2sent dt
Assim teremos
=
= = 2cos
E a integral se transforma em
I = = -2 - ]dt
= cos( arcocos ) - cos( arcocos ) + k
7)
) =
= = dx = Ln(2)
8)
f(y) = y(1 + 1/6 +1/18 + 1/324 + ...)
S = (1 + 1/6 +1/18 + 1/324 + ...)
E f(y) = yS
= 1 + nx + + + ...
Comparando temos
nx = , =
então = n – 1 = 4x
assim teremos n = -
e x = -
portanto s = =
Assim
f(y) = y e f( ) = 1
9)
Portanto
= = 1 +
Assim + + ... + = )
= 2000 – 1/2000
10)
Basta tomarmos o coeficiente de na expansão de ;
= = 1 + x + + ...
Logo
= -
Dúvidas,
sugestões e
colaborações
