Anlise na reta

Vero 2015 - UFPE

1. Se existe a derivada f0(a) ento f contnua em a. Mostre com um

exemplo que a recproca no verdadeira

2. Sejam f : X ! Y e g : Y ! R, f (X) Y e a 2 X\X 0 , b = f (a) 2 Y \Y 0 .Se existem f

0(a) e g

0(b), ento g f : X ! R derivvel no ponto a

valendo(g f)0 (a) = g0 (f (a)) f 0 (a)

3. Seja a 2 X \X 0 . Se f : X ! R derivvel em a e possui um mximo oumnimo local nesse ponto ento f

0(a) = 0:

4. Seja n 2 N e f : R! R denida por f (x) := xn para x 0 e f (x) := 0para x < 0. Para quais valores de n f

0 contnua em 0? Para quais

valores de n f0 derivvel em 0?

5. Suponha que f : R! R derivvel em c e que f (c) = 0. Demonstre queg (x) := jf (x)j derivvel em c se, e somente se f 0 (c) = 0:

6. Determine o Df 0 para as seguintes funes denidas de R em R, e encontrea derivada

f (x) := jxj+ jx+ 1j f (x) := x jxj f (x) := x2 para x racional e f (x) := 0 para x irracional f (x) := jsinxj

7. Demonstre que se f : R! R uma funo par e tem derivada em todoponto, ento a derivada f

0 uma funo mpar. Asimismo, demonstre que

se g : R! R uma funo mpar derivvel, ento g0 uma funo par.8. Seja f : X ! Y R uma funo que possui inversa g := f1 : Y ! X.Se f derivvel no ponto a 2 X \X 0 e g contnua no ponto b = f (a)ento, g derivvel no ponto b se, e somente se f

0(a) 6= 0. Neste caso,

g0(b) = 1

f 0 (a).

9. Seja f : R! R denida por f (x) := x2 sin 1x + x se x 6= 0 e f (0) = 0.Demonstre que o conjunto dos pontos crticos de f no intervalo [0; 1] no fechado.

10. Seja f : I! R de classe C1, para cada intervalo compacto [a; b] I oconjunto dos pontos crticos de f pertencentes a [a; b] fechado.

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11. Um ponto crtico c chamado no-degenerado quando f00(c) existe e

diferente de zero. Se c um ponto crtico no-degenerado para f en-to existe > 0 tal que no h outros pontos crticos de f no intervalo(c ; c+ ). Ou seja, todo ponto crtico no-degenerado um pontocrtico isolado.

12. Seja f : I ! R derivvel num intervalo arbitrrio I. Se f 0 (x) = 0 paratodo x 2 I ento f constante.

13. Seja f : [a; b]! R contnua, derivvel em (a; b) : Suponha f (a) = f (b) =0. Ento, dado arbitrariamente k 2 R, existe c 2 (a; b) tal que f 0 (c) = k.[Sugesto: Tome p (x) := f (x) ekx e aplique o Teorema de Rolle]

14. Seja f : [a; b]! R contnua. Se f derivvel em (a; b), existe c 2 (a; b) talque f

0(c) = f(b)f(a)ba :

15. Se f ,g : [a; b] ! R so contnuas, derivveis em (a; b) e f 0 (x) = g0 (x)para todo x 2 (a; b), ento existe c 2 R tal que g (x) = f (x) + c, paratodo x 2 [a; b].

16. Se h (x) := 0 para x < 0 e h (x) := 1 para x 0, demonstre que noexiste uma funo f : R! R tal que f 0 (x) = h (x) para todo x 2 R.D exemplos de duas funes que no diferam por uma constante cujasderivadas so iguais a h (x) para todo x 6= 0.

17. Seja I um intervalo e seja f : I ! R derivvel em I. Demonstre que sef0 positiva em I, ento f estritamente crescente em I.

18. Seja I um intervalo e seja f : I ! R derivvel em I. Ento

f no-decrescente em I , f 0 (x) 0 para todo x 2 I f no-crescente em I , f 0 (x) 0 para todo x 2 I:

19. Seja f : I ! R derivvel com f 0 (x) 6= 0 para todo x 2 I. Se f 00 (a) existe,calcule

f1

00no ponto b = f (a).

20. A funo f (x) =x2n+1 de classe C2n na reta inteira mas no 2n+1-

vezes derivvel.

21. Seja f uma funo contnua no intervalo I := [a; b] e seja c 2 (a; b).Suponha que f derivvel em (a; c) e (c; b). Ento,

Se existe uma vizinhana V (c) I tal que f 0 (x) 0 para x 2(c ; c) e f 0 (x) 0 para x 2 (c; c+ ), ento f tem um mximolocal em c:

Se existe uma vizinhana V (c) I tal que f 0 (x) 0 para x 2(c ; c) e f 0 (x) 0 para x 2 (c; c+ ), ento f tem um mnimolocal em c:

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22. Explique em detalhe o Teorema de Taylor.

23. Seja f n-vezes derivvel num ponto a 2 IntDf . Suponha que f 0 (a) = = f (n1) (a) = 0 mas f (n) (a) 6= 0: Ento,

Se n for par, ento a ser um ponto de mximo local se f (n) (a) < 0ou um ponto de mnimo local se f

(n)

(a) > 0:

Se n for mpar, o ponto a no ser de mximo nem de mnimo.

24. Seja f contnua em [a; b] e suponha que existe a segunda derivada f00em

(a; b). Suponha tambm que a grca de f e o segmento de reta queune os pontos (a; f (a)) e (b; f (b)) se cortam no ponto (x0; f (x0)) comx0 2 (a; b). Demonstre que existe um ponto c 2 (a; b) tal que f 00 (c) = 0:

25. Seja f : [a; b] ! R de classe Cn1, n-vezes derivvel no intervalo aberto(a; b). Ento, existe c 2 (a; b) tal que

f (b) = f (a) + f0(a) (b a) + + f

(n1)

(n 1)! (b a)n1

+f (n) (c)

n!(b a)n

26. Seja f : I ! R duas vezes derivvel no intervalo aberto I. Para que f sejaconvexa necessario e suciente que f

00(x) 0, para todo x 2 I.

Se mudarmos f 00 (x) 0 por f 00 (x) > 0 qual implicao contnuavlida?

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