Limitador de Corrente com Supercondutor

Ricardo Jorge Simões Ribeiro

Dissertação para a obtenção do grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Gil Domingos Marques Orientador: Prof. Joaquim António Fraga Gonçalves Dente Co-Orientador: Profª. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro Vogais: Prof. Paulo José da Costa Branco

Julho de 2008

i

Agradecimentos

Agradeço ao meu orientador, Prof. Joaquim António Fraga Gonçalves Dente, a

disponibilidade, paciência e empenho demonstrados, ao Professor Paulo Branco e a minha co-

orientadora, Prof.ª Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro pelo apoio prestado na

realização deste trabalho.

Agradeço ainda à minha família e amigos pela compreensão e apoio manifestados no

decorrer desta longa etapa.

ii

Resumo

A descoberta do material supercondutor de altas temperatura, e o aumento da sua

produção proporcionou o desenvolvimento de uma tecnologia de limitação de correntes que

pode vir a ser bastante útil na protecção de equipamentos do sistema de energia eléctrica.

Neste trabalho será referida, numa primeira fase, uma breve descrição das propriedades

do material supercondutor, onde é de maior interesse para a aplicação do limitador de

correntes o comportamento resistivo que este apresenta quando atravessado por uma corrente

acima de um valor crítico. Procurar-se-á elaborar um modelo do comportamento resistivo do

material e assim, em conjunto com o modelo para a transferência de calor, validar o modelo do

sistema de limitação. Será ainda realizada uma experiência com o objectivo de registar a

evolução da temperatura à superfície do material para obter os parâmetros relativos aos

processos térmicos do sistema.

Na segunda fase será abordada a adaptação a um sistema trifásico. Neste contexto a

ideia seria repetir a montagem monofásica para cada uma das três fases, contudo o objectivo é

utilizar apenas uma montagem de supercondutor mediante a utilização de um dispositivo

conversor de potência, como o rectificador, permitindo assim reduzir a quantidade de material a

utilizar. Serão consideradas as vantagens e desvantagens da utilização deste sistema e

verificar-se-á os resultados na limitação da corrente decorrentes da sua implementação.

Palavras-chave

Material supercondutor (BSCCO-2223), Limitador de Corrente, Comportamento Resistivo,

Propriedades Térmicas, Sistema Trifásico, Rectificador.

iii

Abstract

The discovery of high temperature superconductors and the increase in its production as

lead to development of a fault current limitation technology that may prove to much useful in

electric network equipment.

In this work it will be mentioned, on a first phase, a brief description of superconducting

material properties, which is of more interest in applying the fault current limiter the resistive

behaviour showed when it is run by a current above a critical value. A resistive behaviour model

of the material will be established and together with the heat transferring model look for

validating the systems limitation model. An experiment will be performed with the objective of

registering the material surface temperature in order to obtain the necessary parameters related

to system thermal processes.

On a second phase the adaptation to a three phase system will be approached. In this

context the idea is to repeat the mono-phase assembly for each one of the three phases,

however the objective is to use only one assembly of superconductor using a power converter

device, such as a rectifier, allowing a reduction of the amount of superconducting material to

use. The advantages and disadvantages of using this system will be considered and the results

of current limiting, following its implementation, will be checked.

Key Words

Superconductor Material (BSCCO-2223), Current Limiter, Resistive Behaviour, Thermal

Proprieties, Three Phase System, Rectifier.

iv

ÍNDICE

Lista de Tabelas viii

1 – Introdução 1

1.1 – Perspectiva histórica 3

1.2 – Estrutura e objectivos 4

2 – Caracterização do material supercondutor 5

2.1 – Caracterização magnética 6

2.2 – Caracterização resistiva 7

3 – Modelação térmica do sistema de limitação 9

3.1 – Referência a trabalhos anteriores 9

3.2 – Transição de estado por variação de corrente 12

3.2.1 – Medição da temperatura 13

3.3 – Análise de resultados 15

3.2.1 – Método de análise 17

3.2.2 – Simulações 21

4 – Adaptação ao sistema trifásico 23

4. 1 – rectificador 24

4.1.1 – Tensão de condução 26

4.1.2 – Condução simultânea 32

4.2 – Regime desequilibrado – Defeitos assimétricos 35

4.2.1 – Rectificador 35

4.2.2 – Transformador 40

4.3 – Pequenos desequilíbrios 43

4.4 – Dimensionamento do sistema 45

4.5 – Resultados experimentais 51

5 – Conclusões 54

v

6 – Referências 55

7 – Anexos 56

vi

Lista de Figuras

Fig.1. 1 – Montagem indutiva do limitador de corrente 2

Fig.1. 2 – Supercondutor utilizado em laboratório 2

Fig.1. 3 – Protótipo de limitador em forma de matriz da DOE. 3

Fig.2. 1 – Zona de supercondução. 5

Fig.2. 2 – Característica do material do tipo I. 6

Fig.2. 3 – Característica do material do tipo II. 7

Fig.2. 4 – Característica do material do tipo II. 8

Fig.3. 1 – Transição estado supercondutor - estado resistivo. 9

Fig.3. 2 – Resistência do supercondutor. 11

Fig.3. 3 – Resistência do supercondutor. 13

Fig.3. 4 – Esquema do circuito de medição de temperatura 14

Fig.3. 5 – Curva de calibração do sensor de temperatura. 15

Fig.3. 6 – Resultado do registo das correntes com e sem material supercondutor. 16

Fig.3. 7 – Ensaio curto-circuito sem elementos supercondutores. 18

Fig.3. 8 – Ensaio curto-circuito com e sem elementos supercondutores. 19

Fig.3. 9 – Ensaio curto-circuito com e sem elementos supercondutores 19

Fig.3. 10 – Resistividade devido à variação de temperatura. 20

Fig.3. 11 – Resistividade devido à variação de temperatura para os 5 ensaios. 20

Fig.3. 12 –Simulação do ensaio experimental. 22

Fig.4. 1 – Esquema representativo da rede. 23

Fig.4. 2 – Esquema representativo do sistema de limitação. 23

Fig.4. 3 – Relação de impedâncias para Vd=0,2V e diferentes valores de corrente. 26

Fig.4. 4 – Relação de impedâncias para I=193A e diferentes tensões de condução. 26

Fig.4. 5 – Rectificador em ½ ponte. 28

Fig.4. 6 – Forma de onda das correntes no rectificador em meia-ponte. 29

Fig.4. 7 – Rectificador em ½ ponte com ½ ponte intermédia. 30

Fig.4. 8 – Resultado para relação entre impedâncias nos três tipos de rectificador. 31

Fig.4. 9 – Intervalos de condução dos díodos. 32

Fig.4. 10 – a) Esquema do curto-circuito fase-fase; b) Ângulo de recobrimento. 32

Fig.4. 11 – Relação Ri/R0 para diferentes indutâncias da fonte. 34

Fig.4. 12 – a) Correntes nas fases ; b) Corrente à saída do rectificador ( )0,5δ = . 36

Fig.4. 13 – a) Correntes nas fases ; b) Corrente à saída do rectificador ( )1δ = . 36

Fig.4. 14 – Amplitude das correntes em função de ϕ. 37

Fig.4. 15 – Esquema representativo da primeira situação. 37

Fig.4. 16 – Correntes nos díodos para o primeiro caso. 38

Fig.4. 17 – Esquema representativo da segunda situação. 38

vii

Fig.4. 18 – Correntes nos díodos para o segundo caso. 39

Fig.4. 19 – Relação Ri/R0 em regime desequilibrado. 39

Fig.4. 20 - a) Ligação estrela-estrela sem a ligação do neutro no secundário ; b) Esquema

homopolar equivalente. 41

Fig.4. 21 – a) Correntes na rede ; b) Corrente no rectificador. 43

Fig.4. 22 – Intervalos de condução dos díodos. 44

Fig.4. 23 – Relação Ri/R0. 44

Fig.4. 24 – Esquema do sistema ensaiado em laboratório. 45

Fig.4. 25 – a) Esquema unifilar com transformador ; b) Esquema unifilar com transformador e

díodos. 46

Fig.4. 26 – Esquema de um curto-circuito fase-terra. 47

Fig.4. 27 – Esquema de um curto-circuito fase-fase. 48

Fig.4. 28 – Esquema de um curto-circuito fase-fase-terra. 48

Fig.4. 29 – Resultados para defeito trifásico. 51

Fig.4. 30 – Resultados para defeito fase-terra. 51

Fig.4. 31 – Resultados para defeito fase-fase. 52

Fig.4. 32 – Resultados para defeito fase-fase-terra. 52

viii

Lista de Tabelas

Tabela 3. 1 –Valores de β para a referencia [1]. 12

Tabela 3. 2 – Resultados do erro de leitura. 14

Tabela 3. 3 – Resultados de limitação. 16

Tabela 3. 4 – Resistividade devido à variação de temperatura. 20

Tabela 3. 5 –Tempos de regime permanente. 21

Tabela 4. 1 – Tabela de correntes. 49

Tabela 4. 2 – Tabela de correntes após ajuste. 50

Tabela 4. 3 – Tabela de resultados da limitação. 52

Tabela 4. 4 – Tabela de resultados de impedâncias. 53

ix

Nomenclatura

A Área da secção transversal do supercondutor

BC Campo de indução magnético crítico do supercondutor

EC Campo eléctrico crítico do supercondutor

HC1 Campo magnético crítico inferior

HC2 Campo magnético crítico superior

JC Densidade de corrente crítica

TC Temperatura crítica do supercondutor

B Vector campo de indução magnética

H Vector campo magnético

M Vector magnetização

µ Permeabilidade magnética

ρ Resistividade

a Coeficiente relativo à transferência de calor

aCond Raio de um condutor

Pcond Potência de condução

Pconv Potência de convecção

PP Potência de perdas

Pa Potência térmica acumulada

τ Constante de tempo

∆T Variação de temperatura

β Relação resistência/temperatura do supercondutor

R0 Resistência inicial do supercondutor

UT Tensão no sensor

UR Tensão na resistência auxiliar

Rsensor Resistência do sensor

R Resistência auxiliar

ZF Impedância da fonte

ZTrans Impedância do transformador

ZC Impedância de carga

ZN Impedância de neutro

I Corrente

Imáx c-c Valor máximo que a corrente de curto-circuito atinge;

I normal Corrente em regime normal de funcionamento;

Icc 1º pico Valor máximo do curto-circuito com o material supercondutor;

Icc Regime Valor mínimo de corrente que atravessa o material em regime de curto-

circuito.

Vi, Ii, Ri Tensão, corrente e resistência por fase de um sistema trifásico

x

Ia, b, c Corrente nas fases de um sistema trifásico

Id,i,h Corrente em componentes simétricas

V0 av, I0 av Tensão e corrente em valor médio à saída do rectificador

V0 RMS, I0 RMS Tensão e corrente em valor eficaz à saída do rectificador

IAK av Corrente média no díodo

Vd Tensão de condução do díodo

Ls Indutância da fonte vista do rectificador

C Matriz de transformação em componentes simétricas

Zd, i, h Impedâncias simétricas

δ Relação de amplitudes entre componentes simétricas

ϕ Relação da desfasagem entre componentes simétricas

φ Relação entre correntes num defeito fase-fase

PTrans Potência à saída do transformador

PRect Potência no rectificador

Ppedas, díodos Potência de perdas dos díodos

Lpp Inductância do primário do transformador

Lss Inductância do secundário do transformador

Lps Inductância do primário vista do secundário

Mpp Inductância mútua do primário

Mss Inductância mútua do secundário

Mps Inductância mútua do primário vista do secundário

1

1 – Introdução

Na sociedade actual existe uma grande dependência energética, que aumenta de dia para

dia. A eficiência e continuidade do fornecimento de energia eléctrica é um tópico bastante

discutido em todo o mundo. A necessidade de instalação de novas centrais produtoras, bem

como a instalação de centrais com base em recursos renováveis, devido ao crescente

consumo de energia, provoca não só o crescimento da rede de produção de energia eléctrica

mas também da potência de curto-circuito associada. Os dispositivos actuais para a eliminação

de curto-circuitos requerem dimensionamentos rigorosos que se degeneram com o contínuo

crescimento da potência instalada. Neste enquadramento a solução mais favorável reside num

dispositivo que auxilie as actuais protecções, limitando as correntes de curto-circuito sem

interromper o circuito.

No panorama actual a solução mais utilizada são os fusíveis, que após actuarem têm de

ser substituídos, e a reactância série, que mesmo em regime permanente consome energia

activa e reactiva o que dificulta a regulação da rede e contribui para o aumento da tensão

transitória de restabelecimento.

Os avanços feitos na área dos supercondutores são bastante interessantes e permitiram

que a solução de limitadores de correntes de defeito baseados nesta tecnologia se possa vir a

tornar economicamente viável, nomeadamente devido à redução no preço de materiais que

permitem atingir as temperaturas às quais os supercondutores atingem o estado de super

condução. As vantagens deste sistema residem na resistividade nula do dispositivo quando em

estado supercondutor, e na transição quase instantânea supercondutor-condutor traduzida pelo

aumento progressivo da resistividade na presença de uma determinada corrente de defeito.

Como desvantagens podem ser apontadas: a fragilidade do material; a necessidade de

refrigeração constante para permanecer no estado supercondutor (77 K, -126º); e a falta de

uma caracterização permonorizada do comportamento do material em relação à temperatura e

corrente a que está sujeito.

Com base nas propriedades dos supercondutores várias montagens podem ser

conseguidas e foram já propostas por vários autores com vista a uma optimização do sistema.

Neste conjunto inserem-se as montagens resistiva, de núcleos saturados e indutiva. Contudo

neste trabalho analisa-se apenas a montagem indutiva ilustrada na figura 1.1, uma vez que foi

considerada em trabalhos anteriores como a mais eficaz na limitação da corrente de defeito,

porque em comparação com as outras usa menos material para a mesma capacidade de

limitação (ver referência 4 e 5).

2

Fig.1. 1 – Montagem indutiva do limitador de corrente

Os principais pontos de estudo incidiram, numa primeira fase, na caracterização do

comportamento resistivo do limitador e na validação do modelo considerado para o sistema de

limitação de correntes. Na segunda fase foram estudados vantagens e desvantagens da

utilização de um sistema de rectificação para adaptação do circuito de limitação a um sistema

trifásico, com o objectivo de manter apenas uma montagem de material supercondutor, ao

invés de utilizar uma para cada fase.

Com base nas montagens idealizadas foram realizadas experiências laboratoriais em que o

material supercondutor utilizado foi o BSCCO-2223, figura 1.2, refrigerado recorrendo a azoto

líquido.

Fig.1. 2 – Supercondutor utilizado em laboratório

3

1.1 – Perspectiva histórica

O primeiro contacto com as propriedades supercondutoras em certos materiais pertenceu a

Heike Kamerlingh Onnes e remonta a 1911, contudo foi com a descoberta de supercondutores

de alta temperatura, em 1986, que se observou o efeito da supercondutividade a temperaturas

superiores a 30K.

No início da década de 1990, inicia-se, também no Japão, um dos primeiros programas de

desenvolvimento de limitadores de corrente baseados em supercondutores de alta

temperatura. Este programa conta com a participação da Mitsubishi Electric Company. Foi

igualmente no Japão que, em 1995, Ichikawa e Okazaki desenvolveram um dos primeiros

limitadores de corrente utilizando o material supercondutor BSCCO-2212 ou BSCCO-2223.

Também nos Estados Unidos da América, já por esta altura, projectos semelhantes iam

sendo realizados. Um protótipo de limitador de corrente de 2,4 kV foi testado com sucesso em

Setembro de 1995 na subestação Southern California Edison, enquanto que em 1999 um outro

dispositivo semelhante de 15 kV era testado na mesma subestação e depois de vários testes e

melhorias foi então instalado com sucesso. Já no ano de 1995, na central hidroeléctrica suíça

de Löntsch, foi desenvolvido um limitador de corrente baseado em supercondutores que foi o

primeiro deste género a entrar em serviço numa central de energia eléctrica.

Mais recentemente em 2005 o DOE (Department of Energy) concebeu um modelo em

forma de matriz de supercondutores, figura 1.3, de 138KV. Este modelo permite a recuperação

sob corrente de carga sem a necessidade de o retirar de serviço ou qualquer dispositivo de

desvio de corrente para o isolar.

Fig.1. 3 – Protótipo de limitador em forma de matriz da DOE.

4

1.2 – Estrutura e objectivos

Este trabalho vem na sequência de dois anteriores, nos quais foram idealizados e

estudados modelos que se aproximem do comportamento térmico, eléctrico e magnético do

limitador. Neste trabalho pretende-se essencialmente conhecer o comportamento resisitivo do

material e nomeadamente a sua relação com os parâmetros temperatura e densidade de

corrente, para que haja um conhecimento exacto das reais capacidades de limitação do

dispositivo. Foca-se o estudo das propriedades térmicas do dispositivo com vista à validação

do modelo térmico proposto, já que os aspectos térmicos relativos à transferência de calor

apresentam-se como cruciais para o dimensionamento do limitador, nomeadamente a

dissipação de energia que é o fenómeno dominante para a limitação de corrente. Os processos

de circulação de calor considerados relevantes são os relativos às perdas por condução, à

capacidade térmica do supercondutor e à transferência de calor por convecção relativo à troca

de calor entre o supercondutor e o azoto líquido.

No entanto o objectivo principal é a adaptação ao sistema trifásico de tensões. As

vantagens e desvantagens da utilização do rectificador com o intuito de reduzir a quantidade de

material, e a verificação da limitação da corrente nestes moldes. A ordem de trabalhos será:

I. Caracterizar o material supercondutor:

II. Verificar experimentalmente o efeito de limitação de corrente;

III. Registar a evolução da temperatura;

IV. Verificar e validar o modelo do sistema;

V. Estudar a montagem com rectificador;

VI. Caracterizar dispositivos inseridos na montagem de adaptação trifásica;

VII. Verificar experimentalmente a integração no sistema trifásico;

VIII. Analisar aspectos positivos e negativos da montagem trifásica.

Apresentam-se os resultados mais relevantes na limitação de corrente e discutem-se as

vantagens e desvantagens de cada montagem.

5

2 – Caracterização do material supercondutor

Na maior parte dos materiais existe sempre alguma resistência à passagem dos electrões,

responsável pela geração de uma corrente eléctrica. É por isso necessário aplicar uma

diferença de potencial para que a corrente continue a fluir, substituindo a energia dissipada

pela resistência. Porém, vários metais, ligas e semicondutores quando abaixo de uma

determinada temperatura crítica, TC, passa do seu estado normal para um estado

supercondutor. Este estado é caracterizado pelo facto de o material não apresentar qualquer

resistência à passagem dos electrões. Assim, uma vez injectada uma corrente no

supercondutor, ela continuará a circular por tempo indefinido devido ao material possuir uma

condutividade, em teoria, infinita.

Ao investigar metais como mercúrio, chumbo e estanho, Heike Onnes observou que a

supercondutividade pode também ser destruída devido a um campo de indução magnético

superior a um valor crítico (BC ) ou a um valor de densidade de corrente superior ao valor crítico

do referido material (JC ). Deste modo, as grandezas temperatura crítica TC, campo de indução

magnético crítico BC

e densidade de corrente crítica JC relacionam-se entre si através de uma

superfície no espaço, como uma função ( , , )f B J T característica do material, Fig.2. 1. Dentro

do volume limitado pela função o material está no seu estado supercondutor, fora desse

volume passa ao estado normal (resistivo).

Fig.2. 1 – Zona de super condução.

Os primeiros materiais supercondutores a serem descobertos foram os de baixa

temperatura (LTS: low temperature superconductors) que entram em estado supercondutor a

cerca de 4K. Os de alta temperatura (HTS: high temperature superconductors) mudam para o

estado supercondutor a aproximadamente 77K, permitindo assim o uso de azoto líquido para a

refrigeração ao invés do hélio líquido que apresenta preços elevados e difícil manutenção.

6

2.1 – Caracterização magnética

De modo a compreender melhor as características do material supercondutor, procede-se

agora a um estudo mais aprofundado das principais propriedades magnéticas por ele

apresentadas.

Introduzindo a definição de campo de indução magnético como a soma de duas

componentes:

(2.1)

Aplicando a relação constitutiva do meio (permeabilidade magnética):

(2.2)

Obtém-se:

(2.3)

Uma vez definido o campo magnético, pode-se agora classificar os supercondutores em

dois tipos:

Os materiais de Tipo I são caracterizados por um diamagnetismo perfeito

( 0 ( ) 0B H Mµ= + = ), ou seja, todo o campo de indução magnética aplicado é expulso do

material e este apresenta condutividade infinita até se atingir o valor de campo crítico Hc, figura

2.2, a partir deste valor o material varia bruscamente a sua permeabilidade magnética

( 0 Materialµ µ= → ) passando ao estado de condução normal.

Fig.2. 2 – Característica do material do tipo I.

Os supercondutores de tipo II, apresentam dois valores de campo crítico, Hc1 e Hc2. O

material continua a apresentar diamagnestismo perfeito até Hc1, mas a transição entre estado

supercondutor para normal, provocada pela penetração das linhas do campo magnético, dá-se

de uma forma gradual até ser atingido Hc2.

0 MB B B= +

B Hµ=

( )B H M B H Mµ µ µ= + ⇒ = +

7

Fig.2. 3 – Característica do material do tipo II.

Do ponto de vista eléctrico interessa saber que num condutor de raio conda transportando

uma corrente I, é criado à superfície um campo:

(2.4)

A corrente I não pode exceder o valor que corresponda ao campo magnético crítico HC,

para que permaneça o estado supercondutor. Assim, considerando que a corrente tem uma

distribuição uniforme, tem-se:

(2.5)

(2.6)

Em que JC a densidade de corrente crítica.

Nestes supercondutores de Tipo I, a corrente crítica é apenas uma consequência do

campo magnético crítico Hc. Como neste tipo de supercondutores o valor de Hc é baixo, Jc irá

ser igualmente baixo. É por esta razão que os supercondutores do Tipo I não têm utilidade

prática.

2.2 – Caracterização resistiva

Retomando a análise eléctrica, à que caracterizar a transição estado supercondutor para

normal e os fenómenos inerentes para fazer o correcto dimensionamento do dispositivo. Na

referência [1] é feita uma caracterização do comportamento resistivo para o material BSCCO-

2212, sabendo que a resistividade é função da densidade de corrente e da temperatura na

forma:

(2.7)

2 cond

IH

aπ=

× ×

2c cond cI a Hπ= × × ×

2 c

c

cond

HJ

a

×=

( , )( , )

dE J TJ T

dJρ =

8

E que nos materiais supercondutores de alta temperatura se verifica a seguinte

propriedade:

(2.8)

em que Ec (campo eléctrico crítico) e Jc (densidade de corrente crítica) podem depender da

temperatura e o parâmetro n é função da temperatura variar entre 22n ≅ (estado

supercondutor) e 1n = (estado resistivo).

Na referência [1] é determinada uma relação para a resistividade do material BSCCO-2212,

obtida para temperaturas entre 77K e 90K com base em resultados experimentais da

característica E/J. A transição dá-se aos 77 K e as curvas estão representadas na figura 2.4.

Fig.2. 4 – Característica do material do tipo II.

A análise da figura pode ser feita de duas maneiras. A primeira análise é feita a

temperatura constante e é visível o aumento da resistividade com a densidade de corrente. Em

segunda análise mantendo a densidade de corrente J, constante é perceptível o aumento da

resistividade com a temperatura.

n

c c

E J

E J

=

9

3 – Modelação térmica do sistema de limitação

Após conhecidas as principais características dos materiais supercondutores, pretende-se

abordar o modelo térmico para o sistema onde se insere o supercondutor. O modelo térmico

permite obter informação sobre a elevação da temperatura quando o dispositivo é percorrido

por uma corrente. Este conhecimento é fundamental para a aplicação dos supercondutores

como limitadores de corrente visto que a temperatura, a par da corrente, é um dos factores que

faz com que ocorra uma transição entre estados e surja resistência no supercondutor.

3.1 – Referência a trabalhos anteriores

A análise ao limitador de corrente feita pelos meus colegas nos dois anos anteriores,

referência [4], incidiu sobre a caracterização dos efeitos da temperatura, nomeadamente na

transição de estados provocada pela sua variação, e desenvolvimento de um modelo térmico

que representa-se o comportamento térmico do material e a sua relação com a corrente.

Para tal foram realizadas duas experiências para se observar a transição de estado por

variação da temperatura. A de maior relevância para este estudo baseou-se em retirar o

material supercondutor do azoto líquido (passagem de estado supercondutor para resistivo),

quando atravessado por uma corrente contínua, em que se registou o andamento da tensão,

figura 3.1.

Fig.3. 1 – Transição estado supercondutor - estado resistivo.

O ensaio foi realizado para dois valores de corrente (7,3 e 1 A). O material entra no estado

resistivo, sendo que para um maior valor de corrente a transição demora mais tempo, porque

maior é a potência de Joule a dissipar. O material foi aquecendo até se atingir a temperatura

crítica, momento a partir do qual a tensão e consequentemente a resistência voltam a subir

para os valores que tinham em estado normal (antes de se colocar em azoto líquido). O ligeiro

aumento de tensão que se verifica até ser atingido o regime estacionário está relacionado com

o aquecimento do material devido ás perdas de Joule, que por sua vez aumentam a resistência

do mesmo.

10

Neste caso distinguem-se duas zonas: uma de transição rápida dos (70-80)s em que o

material sai do estado supercondutor por T>Tc e outra, mais lenta, dos (80-200)s que

corresponde ao aquecimento comparado ao de um condutor resistivo. O importante a retirar desta experiência é que aparentemente o processo de aquecimento

é relativamente lento, da ordem dos segundos, em comparação com o período do sistema

eléctrico (20ms), ou seja, ao aparecimento quase instantâneo de resistência aos terminais do

material, dá-se um aquecimento relativamente lento do mesmo.

Para se estudar a variação de estados por acção da corrente é absolutamente necessário

desenvolver um modelo que represente o comportamento térmico do supercondutor, para que

de acordo com o valor da constante de tempo térmica se verifique que estão garantidas as

condições de funcionalidade em termos de tempo máximo de operação em função da corrente

de defeito.

Foi considerado um modelo térmico simplificado em que se considera o supercondutor

como um corpo homogéneo em cujo interior se verifica o desenvolvimento de uma potência de

perdas R(T)i 2. Assumiu-se que o sistema troca com o meio exterior uma potência de

convecção Pconv, sendo o balanço de energia traduzido pela equação (3.1) onde PA representa

a potência térmica acumulada no seu interior, caracterizada pela capacidade térmica C,

grandeza física que determina a variação térmica de um corpo ao receber determinada

quantidade de calor.

(3.1)

(3.2)

Substituindo-se as expressões (3.2) para a transferência de calor por aumento de energia

interna e por convecção, o modelo fica expresso por (3.3):

(3.3)

Onde: − ττττ é a constante de tempo térmica do aquecimento do supercondutor;

− a é o parâmetro que representa o coeficiente relativo à transferência de calor;

− A é a secção transversal do condutor.

, a

conv

d TP C C a A

dt

P a A T

τ∆

= = × ×

= × × ∆

2( )d T R T iT

dt aAτ

∆ ×+ ∆ =

2( )a convP P R T i+ =

11

O parâmetro R(T) representa o comportamento resistivo do supercondutor, tendo por base

a referência [1], já mencionada no capitulo 2.2, define-se o comportamento resistivo como

função da densidade de corrente e da temperatura.

É então considerado que o comportamento resistivo do material usado será dado por (3.4).

Por simplificação admitiu-se que o aparecimento da resistência se dá de forma instantânea

quando críticoJ J> , momento a partir do qual tem uma evolução dependente da temperatura T,

na forma:

(3.4)

Fig.3. 2 – Resistência do supercondutor.

A variação da temperatura é afectada pelo parâmetro β, que representa a variação da

resistência do material com a temperatura. Aplicando 3.4 ao modelo térmico, obtém-se (3.5):

(3.5)

Analisando a equação verifica-se que se o termo 21i

a A

β× >

×, o sistema fica instável e a

temperatura aumenta exponencialmente. Voltando as curvas de resistividade da referência [1]

observa-se que um aumento de temperatura do material corresponde a um aumento da

resistividade, mesmo a corrente constante. Isto conduz a um aumento da energia dissipada

que por sua vez torna aumentar a resistividade devido à temperatura. Este facto é indicativo

que o parâmetro β é variável, e a partir de determinado valor pode causar a instabilidade do

sistema e assim justificar a destruição do supercondutor pelo atingir do limite térmico.

Aplicando a definição de β às curvas de resistividade da figura 2.4, obteve-se a tabela 3.1.

0

0 se

. se

Crítico

Crítico

J JR

R T J Jβ

<=

+ ∆ >

22 01

R id TT i

dt a A aA

βτ

×∆ + ∆ − × =

×

12

Tabela 3. 1 –Valores de ββββ para a referencia [1]. Temperatura

[K] Resistência [Ω] ββββ====∆∆∆∆R////∆∆∆∆ΤΤΤΤ

77 7.65E-05 80 0.00501 0.001644513 83 0.3794 0.124796667 87 108.6281 27.062175 90 2177.0742 689.4820333

Embora esta caracterização do comportamento resistivo em função da temperatura seja

para um material diferente do utilizado, é perfeitamente visível o efeito da temperatura sobre o

parâmetro β. A variação que este parâmetro tem com a temperatura pode levar a um

comportamento instável.

Logo para fazer um correcto dimensionamento de um limitador de corrente e poder validar

o modelo adoptado é necessário conhecer o parâmetro β. Para tal é necessário registar a

temperatura, que irá ser o primeiro objectivo deste trabalho.

3.2 – Transição de estado por variação de corrente

Para o material utilizado (BSCCO 2223), o fabricante específica um valor de corrente crítica

eficaz igual a 35A, valor a partir do qual o material passa a apresentar comportamento

resistivo. A solução com transformador (indutiva) é usada como adaptação entre o circuito a

proteger (ligado ao primário) e o material supercondutor (ligado no secundário). Esta adaptação

corresponde à relação de transformação, dada pela relação do número de espiras dos

enrolamentos do primário e do secundário, que pode ser expressa na forma:

Na realização dos ensaios experimentais para se conseguir obter correntes que superem

os 35A da corrente crítica do material, e assim observar a transição supercondutor para

condutor resistivo, optou-se por utilizar um transformador com uma relação de transformação

de 1:20, ou seja, n2 <n1. Assim para uma corrente eficaz de 2A obtém-se uma corrente de 40A

no secundário.

Com o objectivo de ilustrar o comportamento dinâmico de um sistema limitador de corrente

com recurso à utilização de materiais supercondutores realizou-se vários ensaios

experimentais, segundo o esquema com transformador representado na figura 3.3, em que se

registaram os andamentos da corrente e tensão do lado da rede.

1 2

2 1

i n

i n=

13

Fig.3. 3 – Resistência do supercondutor.

Outro aspecto importante reside na característica de saturação do transformador. O

objectivo é manter a relação entre as correntes do primário e secundário linear na zona de

correntes a analisar. A solução passou por dimensionar um TI de 150VA que permite-se atingir

valores de tensão e corrente necessários para a transição de estados sem que se verifiquem

fenómenos de saturação. Dos restantes elementos do esquema: R1 simula a resistência da

fonte; R2 representa a carga; e Sw1 o curto-circuito.

3.2.1 – Medição da temperatura

Procedeu-se então a realização de um ensaio, em que se procurou registar a temperatura

atingida pelo material quando é atravessado pela corrente de defeito, e assim relacionar a

temperatura com a resistividade. Para tal utilizou-se o seguinte material:

- Auto-transformador

- T.I. (2.5/5 – 50 A ; 150 VA)

- 3 Componentes de BSCCO-2223

(material super-condutor)

- Reóstato de 23 Ω a 4,8 A

- Reóstato de 66 Ω a 5 A

- Interruptor Sw1

- Sondas de corrente

- Recipiente de esferovite com azoto

líquido

- Sensor de temperatura TVO.

Para registar a temperatura do material aquando da transição supercondutor-condutor por

variação de J acima do valor crítico, considerou-se a utilização de um sensor de temperatura

anexado ao corpo do material supercondutor. O funcionamento do sensor de temperatura está

definido para uma corrente de 10µA, sendo para tal necessário uma fonte de corrente que

forneça tais valores de corrente. A solução passou por uma fonte de corrente controlada em

tensão já existente em laboratório capaz de atingir níveis de corrente da ordem dos microA,

porém não se consegui obter 10microA com precisão.

14

Optou-se por uma leitura indirecta do valor óhmico do sensor. Para tal foi utilizada uma

resistência auxiliar de precisão, além da já referida fonte de corrente controlada em tensão,

figura 3.4.

Fig.3. 4 – Esquema do circuito de medição de temperatura

Obtendo uma leitura das tensões na resistência auxiliar, cujo valor da resistência óhmica é

conhecido, e no sensor é então obtido o valor óhmico que sensor apresenta através da relação

3.6, estando estes valores tabelados e associados com valores de temperatura.

(3.6)

Numa primeira análise há que ter uma estimativa do possível erro de leitura da temperatura

a partir da tabela. Realizou-se então um ensaio para medir a temperatura do azoto líquido,

tendo-se obtido uma resistência de 1163,398Ω, que corresponde a uma temperatura de

82,032K. Logo utilizando uma resistência de precisão 0,25%, assumindo um erro de leitura de

1% para os valores de tensão, substitui-se em 3.7 e obtém-se a tabela 3.2.

(3.7)

Tabela 3. 2 – Resultados do erro de leitura.

Toma-se o valor de 10% para possíveis erros de temperatura. Este valor relativamente

elevado está relacionado com a curva de calibração fornecida pelo fabricante presente na

figura 3.5. Como se pode ver na zona dos 70 K a curva é menos acentuada, ou seja, nesta

Resistência [Ohm] Temperatura [K] Erro [%]

1163,3987 × 2,25% = 1189,5752 74,1894 9.56%

1163,3987× (1-2,25%) = 1137,22 90,9654 10,89%

t

Sensor

R

uR R

u= ×

( , , ) ( )t tt t T

R R

u uR u u R R R

u u

+ ∆∆ ∆ ∆ = × + ∆

+ ∆

15

zona a uma variação significativa da temperatura corresponde uma variação pequena na

resistência que o sensor apresenta. Logo a curva de calibração para este sensor não é a mais

adequada para leitura das temperatura em azoto líquido, visto que a curva deveria ser mais

definida em volta dos 70K.

Fig.3. 5 – Curva de calibração do sensor de temperatura.

Procurou-se então “colar” o sensor de temperatura ao material supercondutor. Durante esta

operação reparou-se que todos conjuntos de material adquirido apresentavam pequenas

manchas possivelmente resultantes de defeitos de fabrico. Tentou-se aplicar o sensor o mais

em contacto possível com esta mancha, visto que constitui um ponto de não homogeneidade

do material que pode levar à formação de “hot spots”, pontos de aquecimento intenso.

Porém ao inserir o sensor no circuito experimental com o material supercondutor, este não

forneceu qualquer informação sobre a variação da temperatura, mantendo-se nos 82,032K.

Outra razão pela qual não se obteve qualquer indicação pode estar relacionada com o

facto de a área da superfície do corpo do termómetro estar mais exposta ao azoto do que em

contacto com a superfície do material supercondutor.

3.3 – Análise de resultados

Procedeu-se então a realização de ensaios experimentais, onde se registou o regime

transitório, das tensões e correntes no primário e secundário do Transformador, provocado

pelo curto-circuito, com três elementos supercondutores ligados em série. Para cada um destes

ensaios com material supercondutor foi realizado outro ensaio sem os elementos e com o

circuito fechado, para verificar qual a redução no valor máximo de corrente atingido. Os

resultados para a corrente no primário de um dos ensaios estão na figura 3.6.

16

Fig.3. 6 – Resultado do registo das correntes com e sem material supercondutor.

Como se pode ver existe uma redução imediata do valor da corrente de curto-circuito

associada a variação da densidade de corrente acima do valor crítico, seguindo-se uma

evolução lenta relacionada com o aumento de temperatura à superfície do material.

Realizaram-se cinco ensaios onde se variou a tensão e a carga, a fim de se obter diferentes

valores de corrente de curto-circuito. Para verificar os níveis de redução da corrente relativos à

quebra da corrente crítica e ao aquecimento, elaborou-se a tabela 3.3.

Tabela 3. 3 – Resultados de limitação.

Ensaio Irede [A] Icc "Normal" [A]

Icc SC 1º pico [A]

Redução [%]

Icc SC regime [A]

1 2,4 16,38 12,4 24.298 5,6 2 2,3 11,56 9,1 21.280 7,7 3 2,3 9,43 7,5 20.466 6,5 4 1,76 9,1 7,2 20.879 6,64 5 1,6 8,75 7,12 18.629 6,56

Á primeira vista pode-se concluir que para valores mais elevados de corrente de curto-

circuito a redução do primeiro pico de corrente é maior. Em relação aos valores de corrente

decorrentes do primeiro pico, ao qual se referiu como corrente em regime, observa-se que se

obteve o valor mais baixo para o ensaio 1, onde se aplicou a maior corrente de curto-circuito,

ou seja, a elevação de temperatura devido à corrente de curto-circuito levou ao valor de

resistividade mais alto verificado para o supercondutor. De referir que no primeiro ensaio

ocorreu a destruição do material, em que se pressupõe que tenha sido devido à elevada

temperatura que se atingiu à sua superfície.

17

3.2.1 – Método de análise

O circuito mostrado na figura 3.3 será então expresso pela equação (3.8) como um sistema

de tensões e correntes alternadas, em que R representa a impedância vista aos terminais do

transformador com o material supercondutor inserido no secundário (3.4). Como foi visto no

capítulo 3.1, o comportamento resistivo do material depende da variação de temperatura, e

esta varia consoante a corrente que atravessa o material, logo o sistema de limitação será

composto pela equação 3.8 e pela equação 3.5.

(3.8)

(3.4)

(3.5)

Ao realizar o ensaio com os elementos supercondutores no secundário do transformador

foi visto que o nível máximo atingindo pela corrente de curto-circuito é menor quando em

comparação com o curto-circuito “normal”. Assume-se que no instante inicial o comportamento

resistivo do limitador se restringe a R0, sendo o parâmetro . Tβ ∆ desprezável. Uma vez

atingido o primeiro pico de corrente de curto-circuito considera-se a influência do termo . Tβ ∆ .

O comportamento do modelo deve conduzir a uma redução imediata do valor máximo de

corrente de curto-circuito e um amortecimento progressivo da amplitude da corrente resultante

do aumento da temperatura nas imediações do material .

Ao aplicar as simplificações referidas obtém-se uma equação para os instantes iniciais do

curto-circuito (3.11) e outra após o primeiro pico do curto-circuito (3.12):

(3.11)

(3.12)

Sabendo que o sistema não é linear, devido ao comportamento resistivo do material

supercondutor, os valores da resistência óhmica do material não podem ser analisados

utilizando o sistema em notação complexa. A aproximação a um sistema linear pode ser feita

tendo em conta que a constante de tempo térmica é bastante grande quando comparada com

a constante do sistema eléctrico, e assim o sistema de limitação mantém-se em regime

1 0 1

( )( ) ( ) ( )

di tu t R R i t L

dt= + × +

1 0 1

( )( ) ( ) ( )

di tu t R R T i t L

dtβ= + + × ∆ × +

( )1 1

( )( ) ( )

di tu t R R i t L

dt= + × +

0

0 se

. se

Crítico

Crítico

J JR

R T J Jβ

<=

+ ∆ >

22 01

R id TT i

dt a A aA

βτ

×∆ + ∆ − × =

×

18

resistivo mesmo quando a corrente alternada vem a zero, porque a temperatura mantém-se

acima do valor crítico. Por outro lado, uma vez que a potência dissipada é dada pelo valor

eficaz da tensão multiplicada pelo valor eficaz da corrente, a dissipação de energia que

caracteriza o fenómeno da limitação não é afectada pelas passagens por zero da corrente

alternada, uma vez que nestes instantes a potência é zero. Para o efeito da limitação

considera-se a dissipação de potência aos terminais do supercondutor.

Para poder então ter uma ideia da evolução da resistividade do material, descreve-se em

seguida o método de cálculo aplicado para definir os seus valores. Define-se as seguintes

grandezas:

Imáx c-c – Valor máximo que a corrente de curto-circuito atinge;

I normal – Corrente em regime normal de funcionamento;

Icc 1º pico – Valor máximo do curto-circuito com o material supercondutor;

Icc Regime – Valor mínimo de corrente que atravessa o material em regime de curto-circuito.

Para o cálculo de R1 uso os valores do ensaio do curto-circuito (Imáx c-c), sem os elementos

supercondutores, presentes na figura 3.7.

Fig.3. 7 – Ensaio curto-circuito sem elementos supercondutores.

Sendo assim obteve-se:

máx c-c

1 1

1

16,38 A;

=117 V;

2 117 16.38

2 11710,1

16,38

ef

i

u

u R i R

R

=

= × ⇔ × = ×

×⇔ = = Ω

19

Aplicando as simplificações referidas no inicio do capítulo aliadas aos valores obtidos

através do ensaio experimental com elementos super-condutores, figura 3.8, posso determinar

uma aproximação a 0R . O que corresponde a impedância adicional quando comparada com o

curto-circuito sem o material supercondutor.

Fig.3. 8 – Ensaio curto-circuito com e sem elementos supercondutores.

Têm-se então:

1º

1 0 0

12,4 ;

117 ;

( ) 3,34

cc pico

ef

i A

u V

u R R i R

=

=

= + × ⇔ = Ω

No que diz respeito ao factor TTR ∆×=∆ β)( , analisa-se a equação 3.12 e a figura 3.9,

relativas à evolução da corrente após os instante iniciais do curto-circuito. Desta equação retiro

os valores de . Tβ ∆ , presentes na Tabela 3, ao substituir os valores dos sucessivos picos de

corrente.

Fig.3. 9 – Ensaio curto-circuito com e sem elementos supercondutores

20

Ao conjunto de pontos retirados por este processo aplico uma regressão exponencial,

(3.16), com o objectivo de aproximar a evolução temporal do conjunto . Tβ ∆ .

(3.16)

Tabela 3. 4 – Resistividade devido à variação de temperatura.

Fig.3. 10 – Resistividade devido à variação

de temperatura.

Obteve-se a evolução do módulo da impedância do material para os cinco ensaios através

do método anteriormente descrito, tendo-se obtido o seguinte gráfico:

Fig.3. 11 – Resistividade devido à variação de temperatura para os 5 ensaios.

Corrente [A]

Tempo [s] . Tβ ∆

12.4 0.0304 0.00073 11.2 0.051 1.430717 10 0.0706 3.203831 9.2 0.0898 4.642837 8.6 0.11 5.89776 7.8 0.1298 7.871279 7.6 0.15 8.42957 7.4 0.1698 9.018037 7.2 0.19 9.639194 7 0.2102 10.29584

6.8 0.2298 10.99111 6.6 0.25 11.72852 6.4 0.27 12.51201 6.4 0.2902 12.51201 6.2 0.3112 13.34605 6.2 0.3314 13.34605 6 0.3512 14.23568 6 0.3718 14.23568 6 0.3902 14.23568

( ) 0 1 2

t tR T a a e a te

− −∆ = + +

21

Verificou-se também o tempo decorrido até se atingir o regime permanente de

funcionamento. Este regime é caracterizado pelo atingir do valor máximo de impedância do

material supercondutor, e logo o valor mínimo de corrente que o atravessa.

Tabela 3. 5 –Tempos de regime permanente.

Ensaio Tempo [s] 1 0.3866 2 0.295 3 0.1632 4 0.2162 5 0.2336

Nota-se que o tempo até se atingir o regime permanente tem também uma forte

dependência do grau do curto-circuito, ou seja, quanto maior a intensidade do curto-circuito

maior será o tempo decorrido até se atingir o regime permanente.

Elações acerca da sua dependência com a temperatura não podem ser feitas visto que não

existe um registo da mesma aquando da passagem a condutor resistivo, apenas se pode dizer

que a passagem da corrente no material eleva a temperatura acima do seu valor crítico

provocando a transição de estados pelas duas componentes: densidade de corrente J; e

temperatura T.

3.2.2 – Simulações

Em consequência dos aspectos apontados anteriormente, o comportamento do sistema e

em particular a evolução da corrente vão depender da “dinâmica do circuito eléctrico”, ou seja,

da tensão e da impedância do circuito em que o dispositivo está inserido, e também da

“dinâmica da parte térmica”.

O objectivo da simulação é mostrar que o modelo do sistema adoptado é uma boa solução

para representar a dinâmica do circuito. A verificação do modelo determina se este está

correcto e a validação demonstra se o modelo reflecte de uma forma correcta o sistema real.

Para validar o modelo há que validar as suposições assumidas para os processos de

transferência de energia (calor), que é a base estrutural do modo de funcionamento. Neste

caso foi considerado um modelo simples para os processos de convecção de troca de calor

entre o supercondutor e o azoto líquido, considerando o processo proporcional à variação da

temperatura (∆T).

No que diz respeito às suposições de dados, ou seja, os valores dos parâmetros para o

modelo resistivo não é possível apresentar nenhuma conclusão, uma vez que a experiência

relativa à medição da temperatura não produziu quaisquer resultados. Sendo assim o

parâmetro β, relativo à variação da temperatura com a resistência, para este material

permanece desconhecido.

22

Como se pode ver na figura 3.13, o resultado da simulação é uma boa aproximação ao

comportamento real do limitador de corrente.

Fig.3. 12 –Simulação do ensaio experimental.

O resultado produzido pela simulação do modelo é bastante próximo da saída do sistema

real, contudo estes resultados foram obtidos por método de teste e aproximação ao erro, uma

vez que se desconhece todos os parâmetros do modelo. Não foi possível validar o modelo do

sistema.

23

4 – Adaptação ao sistema trifásico

O sistema trifásico é constituído por três circuitos de tensões e correntes alternadas. Para

tentar implementar o limitador de corrente no sistema surge então como primeira ideia repetir a

montagem monofásica para os três circuitos, com três transformadores e três filamentos de

material supercondutor. Com vista a uma possível redução da quantidade de material

supercondutor sugere-se a utilização de um dispositivo conversor de potência designado por

rectificador, que converte um sistema trifásico num sistema monofásico de tensões ou

correntes contínuas, permitindo assim o uso de apenas uma montagem limitadora.

Esta sistema, representado pelas figura 4.1 e 4.2, será inicialmente constituído por uma

fonte de alimentação trifásica, uma resistência trifásica representativa da impedância da fonte,

uma resistência de carga e um sistema de limitação constituído por um transformador, um

rectificador e material supercondutor.

O secundário do transformador será representado pela figura 4.2., em que se considerou a

utilização de um rectificador em ponte.

Fig.4. 1 – Esquema representativo do sistema de limitação.

Fig.4. 2 – Esquema representativo da rede a ensaiar.

24

A representação da rede, considerando a ligação do neutro e desprezando as perdas de

Joule no transformador, será então dada então pela equação 4.1.

[ ]0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1

p

R

p

p a p pS

R f R C R Rp

p b p pT

S f S trans C S Ss

p c p pR

T f T C T Ts

S

s

T

I

IU Z I Z I I

IU Z I Z Z I Zn I

IU Z I Z I I

I

I

= + + +

(4.1)

4. 1 – rectificador

Considerando inicialmente o transformador como elemento de transferência de potência

ideal, analisa-se o comportamento do rectificador em ponte. Os rectificadores aplicam na carga

troços de duas alternâncias de cada uma das fases das tensões ou correntes sinusoidais,

resultando um sinal com uma frequência proporcional ao número de semicondutores utilizados.

A razão entre a frequência obtida e frequência da rede é denominada de índice de pulsação p.

Sendo assim o material supercondutor estará sujeito ao mesmo nível de tensões e correntes.

O valor médio da tensão de saída V0av (4.2), pode ser calculado em regime de condução

permanente sabendo que o período T0 num rectificador de onda completa com q fases vale

p

π2(dado que 6== qp ).

+−−+=== ∫ ∫

+

+−

)()(2

)cos(2

)(1

0

0

0

0

0 απ

απ

ππ

απ

απ p

senp

senp

VdwtwtVp

dttvT

V M

T p

p

Mav (4.2)

Usando a identidade )2

cos()2

(2)()(yxyx

senysenxsen+−

=− , obtém-se (4.3):

(4.3)

)cos()(0 απ

π psen

pVV

Mav=

25

Contudo, é o valor eficaz da tensão na carga V0rms que permite calcular a potência

dissipada pelos supercondutores. Obtém-se por aplicação da definição:

( ) )6

2(

4

6

2

1)2(

4

1

22

6)cos(

2

6 6

6

2/1

6

6

2

0

π

πππ

π

π

π

π senVwtsenwt

VdwtwtVV MMMRMS +=

+=

=

−−∫

(4.4)

Em que: faseM VV ××= 23 .

Esta equação mostra que a tensão média de saída é fracção 1 6 2

2 4 6sen

π

π

+

do valor

máximo da tensão de entrada. Visto que a carga é considerada puramente resistiva, a corrente

na carga é dada por (4.4):

(4.5)

Uma vez definida a corrente que irá atravessar o material, interessa a resistência “eficaz”

em cada uma das fases do secundário, para determinar a limitação em cada fase. Para

caracterizar a impedância equivalente para cada fase vista aos terminais do secundário do

transformador, considera-se todos os elementos ideais. Sendo assim pode-se estabelecer as

seguinte relações:

- V0, R0, I0 grandezas representativas da tensão, resistência e corrente em valor eficaz na

carga;

- Vi, Ri, I, grandezas representativas da tensão, resistência e corrente em valor eficaz no

secundário do transformador.

547,02

331)

6

2(

4

6

2

1233

)6

2(

4

6

2

12333

0

00

0

22

0

2

0

2

Re

=⇔

+×=⇔

+××=×⇔

⇔

+

××=×⇔=×⇔=

R

RRRsenRR

senR

V

R

V

R

V

R

VPP

i

ii

i

i

i

i

i

ctTransf

π

π

π

π

π

(4.6)

Este caso seria o ideal, contudo existem dois factores que condicionam o desempenho do

rectificador. São eles as perdas geradas pela tensão de condução e resistência interna dos

díodos, e o fenómeno de condução simultânea causado pela indutância da fonte.

00

RMSRMS

SC

VI

R=

26

4.1.1 – Tensão de condução

Para determinar a influência que os díodos poderão ter na impedância das fases do

secundário do transformador, procedeu-se a uma série de simulações em Matlab, figura 4.3,

onde se obteve a evolução da relação entre as impedâncias nas fases do secundário e a

impedância de carga do rectificador para dois valores de corrente. Como se pode observar

para valores de corrente mais baixos a impedância na fase do transformador apresenta valores

bastante acima do valor teórico, ao passo que para valores de corrente elevados a diferença é

menor.

Relação Zi/R0

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0 0.002 0.004 0.006 0.008

R0

Zi

Zi_76.5A

Zi_193A

Teórico

Fig.4. 3 – Relação de impedâncias para Vd=0,2V e diferentes valores de corrente.

Sendo assim realizou-se nova simulação mas agora mantendo a corrente num valor

relativamente alto e variando a tensão de condução dos díodos, obtendo-se a figura 4.4.

Relação Zi/R0

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

R0

Zi

Zi_0.2v

Zi_0V

teorico

Fig.4. 4 – Relação de impedâncias para I=193A e diferentes tensões de condução.

27

Como se pode ver e confirmar a tensão de condução dos díodos afecta a relação entre as

impedâncias. Este facto pode ser crucial no dimensionamento do sistema de limitação trifásico,

uma vez que em situação pré-defeito a resistência na carga do rectificador será nula mas se a

tensão de condução dos díodos for elevada, quando comparada com a tensão da fonte,as

perdas de energia na rede poderão ser significativas. Já em situação pós-defeito este facto até

é conveniente uma vez que inflaciona o poder de limitação do sistema.

Para tentar quantificar teoricamente a influência da tensão de condução dos díodos sobre a

impedância de fase vista no secundário não se pode desprezar o seu valor face à tensão de

alimentação, nem as perdas por condução. Para facilitar o cálculo e visto que é de maior

interesse verificar o efeito da tensão de condução dos díodos, pode-se assumir a resistência de

condução nula, ficando o sistema na forma:

(4.7)

Prosseguindo a análise sem considerar as perdas devidas à resistência interna de

condução dos díodos, e sabendo que 0 0

,

03 3

avg avg

AK avg

I VI

R= = , pode-se considerar o seguinte

balanço de potência:

2 2

0Re , ,

0

2 2

2

0 0

0

3 6

26

121 64

2 46

2 63 2

1

1,8270 1,5594

i RMS

Trans ct perdas díodos d AK avg

i

d MM d

M

i d

d

i

i

d

i

V VP P P V I

R R

senV V

V V

V senV V

VR R R

R

R V

V

π

π π π

π

= + ⇔ × = + × ×

× × × + − + ×

× × ⇔ × = + − ⇔

⇔ =

− ×

(4.8)

( )1/ 2

26

0

6

1/ 2

2 2 26

6

2 2

0

6cos( ) 2 ( )

2

6 cos( ) 4 cos( ) ( ) 4 ( )

2

26

121 64

2 4

RMS M d

M M d d

d M

RMS M d

V V wt V dwt

V wt V wt V V dwt

senV V

V V V

π

π

π

π

π

π

π

π π

−

−

= − ×

= − × × + ×

× × × = + − + ×

∫

∫

28

Constata-se que a tensão de condução do díodo afecta fortemente as perdas do sistema.

Logo o sistema em regime supercondutor pode apresentar perdas elevadas se a tensão de

condução dos díodos se aproximar da tensão da fonte. Para tentar minimizar as perdas pode-

se utilizar díodos de schottky, caracterizados por uma junção de metal-semicondutor

denominada barreira de schottky, que permite comutações bastante rápidas, baixas tensões de

condução e, devido à própria característica do díodo, altas densidades de corrente. As maiores

limitações na utilização deste sistema residem na baixa tensão de corte e alta corrente de

fugas, a situação de corte provoca o aquecimento do semicondutor e logo instabilidade térmica.

Existem alternativas ao sistema em ponte que podem atenuar este efeito, tais como:

1 – ½ ponte;

2 – ½ ponte com ½ ponte intermédia.

1 - Se fosse considerada a utilização de um sistema de rectificação em ½ ponte o efeito

causado pela tensão de condução é diferente. Neste caso utilizam-se três díodos e existe a

ligação do neutro, logo não é necessário ter pares de díodos à condução. Os rectificadores

com retorno pelo neutro aplicam na carga apenas uma parte do segmento positivo ou negativo

de uma sinusóide de cada uma das tensões de entrada. Como o retorno da corrente tem de ser

feito pelo neutro, o secundário só pode ser ligado em estrela ou em Zigue-Zague.

Fig.4. 5 – Rectificador em ½ ponte.

O rectificador em meia-ponte, figura 4.5, tem o inconveniente de introduzir uma

componente contínua na corrente do lado do secundário devido aos díodos, figura 4.7.

29

Fig.4. 6 – Forma de onda das correntes no rectificador em meia-ponte.

Esta situação não é a ideal visto que pode levar a saturação do transformador. Este

fenómeno é caracterizado pelo atingir do limite máximo de corrente ou tensão fornecida no

secundário do transformador, ou seja, a partir de um determinado valor de potência atingida a

relação entre corrente no primário e no secundário deixa de ser linear. Neste caso, para

eliminar as componentes contínuas, o secundário deveria ser ligado em zigue-zague.

Para caracterizar o efeito da tensão de condução, verifica-se que neste caso cada díodo

conduz durante um período de 2

3

π e logo a tensão eficaz de saída, desprezando a resistência

de condução, é dada por:

(4.9)

Relativamente às perdas, e continuando a desprezar a resistência de condução dos

díodos, visto que apenas se utilizam três díodos a equação fica na forma:

(4.10)

( )1/ 2

23

0

3

2 2

0

3cos( )

2

23

3 31 3

2 4

RMS M d

d M

RMS M d

V V wt V dwt

senV V

V V V

π

ππ

π

π π

−

= −

×

= + − +

∫

2 2

0Re , ,

0

0

3 3

1

1,4135 0.6747

i RMS

Trans ct perdas díodos d AK avg

i

i

d

i

V VP P P V I

R R

R

R V

V

= + ⇔ × = + × × ⇔

⇔ =

− ×

30

2 - O caso do rectificador em ½ ponte com ½ ponte intermédia necessita de

transformadores de três enrolamentos e seis semicondutores para a sua implementação, o que

leva a uma complexidade acrescida do sistema, bem como custos mais elevados. A utilização

deste tipo de rectificador implica que a ligação no transformador seja feita em Y/Y/Y, figura 4.8.

Fig.4. 7 – Rectificador em ½ ponte com ½ ponte intermédia.

Neste caso não existe componente contínua na corrente do secundário, visto que a

condução nas alternâncias positivas é garantida pela ½ ponte, e a condução nas alternâncias

negativas é assegurada pela ½ ponte intermédia. Esta solução não apresenta nenhum

inconveniente técnico, porém a necessidade de utilização de transformadores com terciário

pode ser um factor negativo à sua utilização.

O sistema de cálculo para a tensão eficaz é semelhante, mas agora cada díodo conduz

durante um período de 2

6

π.

(4.11)

O balanço de potência é igual ao caso da montagem em ponte, visto que também são

utilizados 6 díodos. 0 0

,

06 6

avg avg

AK avg

I VI

R= = :

( )1/ 2

26

0

6

2 2

0

6cos( )

2

26

61 6

2 4

RMS M d

d M

RMS M d

V V wt V dwt

senV V

V V V

π

ππ

π

π π

−

= −

×

= + − +

∫

31

(4.12)

Para comparar os três casos e determinar qual a melhor solução para o funcionamento em

regime normal, ou seja, qual das três soluções introduz menos perdas variou-se o termo Vd/Vi e

observou-se o resultado para a relação entre impedâncias, figura 4.8.

Fig.4. 8 – Resultado para relação entre impedâncias nos três tipos de rectificador.

À primeira vista a melhor solução passa pelo rectificador em meia ponte com ½ ponte

intermédia, uma vez que o efeito da tensão de condução sobre as perdas do sistema é menor

e não introduz qualquer componente contínua no transformador. Contudo esta solução é

complexa e dispendiosa, portanto mantém-se a hipótese inicial do rectificador trifásico em

ponte completa.

2 2

0Re , ,

0

0

3 6

1

1,8270 0.7797

i RMS

Trans ct perdas díodos d AK avg

i

i

d

i

V VP P P V I

R R

R

R V

V

= + ⇔ × = + × × ⇔

⇔ =

−

32

4.1.2 – Condução simultânea

Tem vindo a considerar-se que as 3 fontes alternadas de alimentação do rectificador

possuem impedância nula. Se assim fosse, a comutação da corrente entre díodos seria

instantânea quando Vi>Vi+1. Na prática o comportamento do rectificador, visto do lado dos

supercondutores, pode ser bastante afectado pelo valor dessa impedância devido ao fenómeno

da condução simultânea.

.

Fig.4. 9 – Intervalos de condução dos díodos.

Quando existe uma indutância Ls, de uma linha ou transformador, existe uma limitação da

taxa de crescimento da corrente. Enquanto a corrente ii diminui, a corrente ii+1 cresce e a

comutação só termina quando ii=0 e ii+1=I0av. A condução simultânea dos díodos provoca um

curto-circuito momentâneo nas fontes Vi e Vi+1 , e esse instante é representado pelo ângulo de

condução simultânea ou de recobrimento, u.

Fig.4. 10 – a) Esquema do curto-circuito fase-fase; b) Ângulo de recobrimento.

Para o cálculo de u, considere-se u suficientemente pequeno para que só exista condução

simultânea em duas fases. Esta situação é a mais comum na prática, mas pode facilmente não

se verificar em situações de sobrecarga do rectificador ou abaixamento das tensões de

alimentação. Suponha-se desprezável a componente resistiva da impedância da linha de

alimentação, bem como as quedas de tensão dos dispositivos em condução e considere-se a

33

corrente de saída igual ao valor médio. A tensão e a corrente aos terminais da indutância é

dada por 4.13.

(4.13)

(4.14)

Para se determinar o efeito da condução simultânea na tensão de saída, considera-se o

valor médio da tensão de saída igual ao valor eficaz ( 0 0avg RMSV V; ) para simplificação de

cálculos e aplica-se a definição de valor médio ao sinal tendo em conta a queda de tensão aos

terminais de Ls.

(4.15)

Substituindo o valor de cos(µ):

(4.16)

Tem-se assim uma boa aproximação considerando que a queda de tensão, devido à

existência de uma indutância, como sendo proporcional ao valor da corrente de saída, em que

a constante de proporcionalidade é dada por 3 s

i

wLr

π= .

Esta constante representa a diminuição da potência à saída do rectificador provocada pela

limitação na taxa de crescimento da corrente.

0 0

0

362

6

62

6 =

31

s

avg i avg

i

s

wLV V sen I

V sen

wL

R

π

π π

π

π

π

= −

+

6 6

0

6 6

62 cos cos 2 cos( )

2 6 6

6 1 cos( ) = 2

6 2 2

avg i i

i

V V wt dwt V wt dwt

V sen

π πµ

π πµ

π π

π

π µ

π

− +

− − +

= + +

+

∫ ∫

6

6

2 cos cos6 6

2 cos cos6 6

Ls i

i

Ls

v V wt

V wt

i dwtwLs

πµ

π

π π

π π− +

−

= +

+

= ∫

[ ]60

6

0

2 cos cos26 6

1 cos( )6

cos( ) 1

26

i

i

Ls avg

avg

i

V wtV

i dwt I senwLs wLs

wLs I

V sen

πµ

π

π π

πµ

µπ

− +

−

+

= = = − ⇔

×⇔ = −

∫

34

A par do resultado verificado para a tensão e resistência de condução dos díodos, como se

pode verificar pela figura 4.11, o valor da indutância também afecta a reflexão da impedância

de carga sobre as fases.

Relação Ri/R0

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

R0

Ri

wLs=0.0001wLs=0.007wLs=0.001Ri_Teórico

Fig.4. 11 – Relação Ri/R0 para diferentes indutâncias da fonte.

Torna-se relevante o dimensionamento de um transformador que apresente valores de

dispersão mínimos, visto que a indutância do primário e do secundário poderão introduzir

quedas de tensão indesejáveis.

35

4.2 – Regime desequilibrado – Defeitos assimétricos

O estudo até agora feito caracteriza a resposta do sistema de limitação a um defeito igual

para as três fases, equilibrado. Tem-se vindo a considerar a rede como ideal, em que as

tensões são geradas com a mesma amplitude e um desfasamento de 120º entre cada fase,

visto que a carga nunca é perfeitamente equilibrada a corrente em cada fase assume

diferentes amplitudes e desfasagens, o mesmo sucede nos casos de defeito assimétrico.

Para caracterizar as assimetrias nas correntes aplica-se uma transformação de variáveis

designada por transformação de componentes simétricas, que permite diagonalizar matrizes

com simetria cíclica, recorrendo a matriz C (4.17), também designada por matriz de Fortescue.

(4.17)

Garante-se assim o desacoplamento entre três conjuntos de equações representativas de

um sistema trifásico, obtendo-se três sistemas monofásicos designados por componentes

simétricas – directa, inversa e homopolar – que possuem propriedades de simetria.

A equação correspondente as componentes directa, inversa e homopolar pode escrever-se, em

notação matricial compacta, sob a forma:

(4.18)

4.2.1 – Rectificador

Utilizando uma montagem com rectificador em ponte, garante-se uma resposta ideal a um

sistema apenas com componente directa ou inversa, contudo o rectificador em ponte não

responde à componente homopolar. Se, a título de exemplo, for aplicado um sistema

homopolar, caracterizado por tensões com o mesma amplitude e desfasagens, as tensões de

entrada no rectificador serão nulas, uma vez que correspondem a subtracção entre as tensões

na linha.

Sendo assim vejamos o que acontece às correntes ao assumir-se uma componente

inversa como função da componente directa na forma: , jId Ii Id e

ϕδ= . Nas figuras 4.12 e 4.13

estão representados os desequilíbrios para 0,5δ = e 1δ = , respectivamente.

[ ] [ ][ ]ABC DIHI C I=

2

2 3

2

1 1 1

1/3 1

1

j

C a a a e

a a

π = =

36

Fig.4. 12 – a) Correntes nas fases ; b) Corrente à saída do rectificador ( )0,5δ = .

Fig.4. 13 – a) Correntes nas fases ; b) Corrente à saída do rectificador ( )1δ = .

Pode-se concluir que quando a componente inversa é igual à directa ( )1δ = o rectificador

comporta-se como um sistema monofásico, em que duas correntes se apresentam desfasadas

de 180º da terceira. Este resultado é demonstrado ao efectuar-se a transformação para I123,

equação 4.20, e realizando o produto externo entre qualquer par de correntes, presente no

anexo 1.

(4.20)

Para caracterizar a reflexão da impedância de carga e assim o fluxo de potência em cada

fase, verifica-se que mediante a desfasagem, ϕ, entre a componente directa e inversa se pode

obter duas situações (fig. 4.14):

− a primeira corresponde ao anulamento de uma corrente 5

; ;3 3

π πϕ π

=

;

[ ]4 2

2 3 3

2

2 4

3 3

(1 )j

D

A D Ij j

j

ABC DIH B D I D

C D I

j jj

D

I eI I I

I C I I a I aI I e e e

I aI a I

I e e e

ϕ

π πϕ

π πϕ

δ

δ

δ

+ + = × ⇔ = + = + +

+

37

− a segunda à situação em que a soma da amplitude das correntes em fase é igual é

igual à amplitude da corrente na fase desfasada de 180º das restantes.

Fig.4. 14 – Amplitude das correntes em função de ϕ.

Analisando a primeira situação:

Fig.4. 15 – Esquema representativo da primeira situação.

Considere-se R1 a resistência representativa da fase 1 e R2 da fase 2, o balanço de

potência entre a carga e as fases é dado por:

(4.21)

Por sua vez as correntes nos díodos são representada na figura 4.16 num período do

sistema eléctrico.

1

2

3

cos( );

cos( );

0;

d

d

I I wt

I I wt

I

π

=

= −

=

2 2 2

1 1 2 2 0 0in outP P R I R I R I= ⇔ + =

38

Fig.4. 16 – Correntes nos díodos para o primeiro caso.

Considera-se então que a reflexão da impedância de carga R0 sobre a fase 1 dura meio

período, e a reflexão sobre a fase 2 durante o restante meio período. Logo o valor médio da

resistência nas fases é dado por:

(4.22)

Analisando a segunda situação:

Fig.4. 17 – Esquema representativo da segunda situação.

Considere-se R1 a resistência representativa da fase 1, R2 da fase 2 e R3 da fase 3 , o

balanço de potência entre a carga e as fases é dado por:

(4.23)

( )

1

2

3

cos( );

cos( );

1 cos( );

d

d

d

I I wt

I I wt

I I wt

φ π

φ π

=

= −

= − −

[ ]

2 2

0 0 1 1

0

0

0 1 1

1

2

0;2

R I R I

RI I R

π

π

π

=

⇒ = ⇒ =

∫

[ ]

2

2 2

0 0 2 2

0

0 2 2

1

2

;22

R I R I

RI I R

π

ππ

π π

=

⇒ = ⇒ =

∫

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 0 0in outP P R I R I R I R I= ⇔ + + =

39

Em que se verifica 2 2 3 3R I R I= devido à condução simultânea dos díodos nas fases 2 e 3.

Logo as correntes nos díodos assumem a forma:

Fig.4. 18 – Correntes nos díodos para o segundo caso.

Considera-se então que a reflexão da impedância de carga R0 sobre a fase 1 dura meio

período, e a reflexão sobre as fases 2 e 3 durante o restante meio período. Logo o valor médio

da resistência nas fases 2 e 3 será dependente da distribuição de corrente pelas duas fases

sendo representado por:

[ ]

2

2 2 2

0 0 2 2 3 3

320 2 3

0 0

1

2

1 1;2

2 2(1 ) 2

R I R I R I

RRI I I

R R

π

ππ

απ π

φ φ

= +

⇒ = + ⇒ = ⇒ = +−

∫ (4.24)

Pode-se então representar a distribuição de carga do rectificador pelas duas fases que

conduzem simultaneamente com base na distribuição de corrente, figura 4.15.

Fig.4. 19 – Relação Ri/R0 em regime desequilibrado.

[ ]

2 2

0 0 1 1

0

0

0 1 1

1

2

0;2

R I R I

RI I R

π

π

π

=

⇒ = ⇒ =

∫

40

4.2.2 – Transformador

Considerando a utilização do transformador trifásico, representado de forma compacta na

equação 4.1, pretende-se caracterizar o seu comportamento em componentes simétricas.

(4.21)

Considera-se as relações de simetria para os coeficientes de dispersão na forma:

(4.22)

Para fazer então a representação do sistema em componentes simétricas e para englobar

o primário e o secundário numa mesma representação de transformação de variáveis introduz-

se uma matriz global de transformação de acordo com (4.23).

(4.23)

Procedendo à transformação de variáveis, obtém-se um sistema representativo da rede de

modo simplificado por 4.24.

[ ]1 1 1

1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

p

D

p

p a pI

D f D C Dp

p b pH

I f I G G C Is

p c pD

H f H C Hs

I

s

H

D

I

IU Z I Z I

IU C Z C I C jw L C C Z C I

IU Z I Z I

I

I

I

C Zn C

− − −

−

= + +

+

p

p

I

p

H

I

I

(4.24)

Onde se obtém a representação das impedâncias do circuito em componentes simétricas.

No que diz respeito ao transformador os valores das impedâncias representadas na equação

podem variar consoante o tipo de ligações a utilizar e em consequência, da solução construtiva

a adoptar.

0

0Global

CC

C

=

pp pp pp ps ps ps

pp pp pp ps ps ps

pp pp pp ps ps ps

ps ps ps ss ss ss

ps ps ps ss ss ss

ps ps ps ss ss ss

L M M L M M

M L M M L M

M M L M M LL

L M M L M M

M L M M L M

M M L M M L

=

dIU R I L

dt= × +

41

Partindo do principio que o objectivo é que o transformador tenha uma influência mínima no

circuito da rede, pretende-se que as impedâncias que este apresenta em funcionamento

supercondutor tenham valores o mais baixos possíveis, idealmente [ ]1 0G GC jw L C− = ,

minimizando assim as quedas de tensão pré-curto-circuito.

Consideremos em primeiro lugar a utilização de três transformadores monofásicos, banco

de transformadores, visto que já se possui um em laboratório. Neste tipo de solução construtiva

não existe ligação magnética entre circuitos de fases diferentes, ou seja,

0pp ps ssM M M= = = . A matriz L simplifica bastante ficando constituída por quatro conjuntos

de matrizes 3 3× diagonais, 4.25 a. A transformação em componentes simétricas produz 4.25

b.

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

pp pspp ps

d d

pp pspp ps

i i

pp pspp ps

h h

dih ps ssps ss

d d

ps ssps ss

i i

ps ssps ss

h h

Z ZL L

Z ZL L

Z ZL LL L

Z ZL L

Z ZL L

Z ZL L

= → =

(4.25; a: Coeficientes de indução para o caso banco ; b: Coeficientes de indução em componentes simétricas.)

Relativamente ao tipo de ligações, a única que pode ser prejudicial ao bloquear a

circulação da corrente homopolar do lado da rede será a ligação estrela-estrela sem a ligação

do neutro no secundário, figura 4.16, isto porque neste caso a corrente homopolar é forçada a

percorrer a bobina de magnetização que neste tipo de solução construtiva apresenta um valor

de impedância homopolar relativamente elevado em comparação com as impedâncias directa

e inversa, que são da ordem da impedância de curto-circuito. Logo pode-se considerar a

impedância infinita, ficando o esquema homopolar em aberto.

Fig.4. 20 - a) Ligação estrela-estrela sem a ligação do neutro no secundário ; b) Esquema homopolar equivalente.

42

De referir ainda que a ligação em Zigue-Zague, permite a circulação da componente

homopolar da corrente no primário e no secundário, contudo esta opção requer a utilização de

transformadores monofásicos com enrolamento terciário, o que aumenta os custos para este

tipo de solução.

Para a solução núcleo de quatro pernas, quando existe uma componente homopolar nas

correntes a perna adicional constitui um percurso de baixa relutância para o fluxo se fechar.

Neste caso a impedância de magnetização homopolar tem um valor significativo, comparável à

solução banco e este transformador apresenta fortes assimetrias nas tensões.

Já na solução construtiva de três pernas a componente homopolar do fluxo fecha-se pelo

ar, ou seja, por percursos de grande relutância, como consequência a impedância de

magnetização da componente homopolar tem um valor muito inferior à das impedâncias de

magnetização das componentes directa e inversa e o seu valor é da ordem de grandeza da

impedância de curto-circuito e portanto os desequilíbrios na tensão são pequenos. Outro factor

de interesse é a menor quantidade de material, nomeadamente chapa magnética constitutiva

do núcleo, que é necessária para a construção deste modelo de transformador.

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

pp pspp pp pp ps ps ps

d d

pp pspp pp pp ps ps ps

i i

pp pspp pp pp ps ps ps

h h

dih ps ssps ps ps ss ss ss

d d

ps ssps ps ps ss ss ss

i i

ps ps ps ss ss ss

h

Z ZL M M L M M

Z ZM L M M L M

Z ZM M L M M LL L

Z ZL M M L M M

Z ZM L M M L M

ZM M L M M L

= → = 0 0ps ss

hZ

(4.26; a: Coeficientes de indução para o caso três pernas ; b: Coeficientes de indução em componentes simétricas)

Considera-se então a solução banco de transformadores, uma vez que o rectificador em

ponte não permite a ligação do neutro adopta-se a ligação em triângulo. Para caracterizar este

tipo de ligação em caso de defeito aplica-se agora à componente homopolar uma percentagem

da directa e fixando o ângulo de desequilíbrio ϕ =π (Ih=-δId) vejamos o que acontece às

correntes:

(4.27)

4 1 2

5 2 3

6 3 1

4 5 6 0

I I I

I I I

I I I

I I I

= −

= −

= −

+ + =

1 4 2

2 5 3

3 6 1

I I I

I I I

I I I

= +

= +

= +

43

(4.28)

Ao introduzir o caso em que se considera Ii=-Id, e voltando a aplicar a relação Ih=-δId as

correntes ficam na forma:

(4.29)

A análise anterior para o rectificador é válida para este caso, ou seja, o sistema filtra a

homopolar e obtém-se um sistema em que duas correntes estão em fase e desfasadas 180º da

terceira, e a soma das suas amplitudes é igual a amplitude da terceira. O rectificador têm um

comportamento monofásico.

4.3 – Pequenos desequilíbrios

No que diz respeito a pequenos desequilíbrios tolerados pela rede, consideremos a título

de exemplo uma componente inversa igual a 15% da directa. Neste caso as correntes na rede

terão a forma da fig. 4.17 a), e a corrente a saída do rectificador a fig. 4.17 b).

Fig.4. 21 – a) Correntes na rede ; b) Corrente no rectificador.

( )

( )

1

2

2

2

3

d

d

d

I I

I I a a

I I a a

δ

δ

δ

= −

= − −

= − −

( )

( )

( )

2

4

2

5

2

6

2

d

d

d

I I a a

I I a a

I I a a

= −

= −

= −

( )

( )( )

1

2

2

3

1d

d

d

I I

I I a

I I a

δ

δ

δ

= −

= −

= −

( )

( )( )

2

4

2

5

6

1

1

d

d

d

I I a

I I a a

I I a

= −

= −

= −

44

Como se pode observar a corrente à saída do rectificador não têm a forma característica

dos 6 pulsos do regime equilibrado. Sendo assim a repartição da carga do rectificador pelas

fases não será igual.

Retirando os tempos de intersecção das sinusóides num período pode-se calcular o valor

médio da resistência sobre a fase em questão, e assim obter-se a evolução da impedância nas

fases consoante determinada percentagem de desequilíbrio, representada no gráfico 4.18.

Fig.4. 22 – Intervalos de condução dos díodos.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15

Ri/R

0 ZaZbZc

Fig.4. 23 – Relação Ri/R0.

O resultado mostra um aumento da reflexão da resistência sobre uma fase, correspondente

a uma maior dissipação de potência, e uma diminuição nas restantes. Para desequilíbrios na

ordem destes valores pode-se considerar que a fase mais afectada pelo desequilíbrio será

também a fase que se reflecte com maior período na forma de onda à saída do rectificador, e

daí o seu valor médio ser mais elevado.

45

4.4 – Dimensionamento do sistema

Para o sistema de limitação a implementar em laboratório considera-se utilização do

seguinte material:

- Auto-transformador;

- Transformador;

- 3 Reóstatos representativos da resistência da fonte;

- 3 Transformadores monofásicos;

- Ponte de rectificação a díodos;

- Carga trifásica;

- Supercondutores.

A figura 4.24 representa as ligações entre cada elemento.

Fig.4. 24 – Esquema do sistema ensaiado em laboratório.

Para tentar quantificar de maneira aproximada os valores característicos para as

impedâncias do sistema em laboratório, realizaram-se vários ensaios à corrente nominal para

verificar qual a impedância vista pelo primário dos transformadores em dois casos: o primeiro

utilizando apenas os transformadores em curto-circuito; e segundo inserindo a ponte de

rectificação.

No primeiro caso o esquema unifilar do lado da rede é expresso pela figura 4.25 a) em que

apenas se têm a representação das perdas do transformador. No segundo caso, em que se

reduz o transformador e ponte de rectificação ao primário, o esquema passa a ter representado

uma força electromotriz representativa da queda de tensão de condução dos díodos, bem

como um acréscimo na resistência de perdas devido às perdas por condução dos mesmos,

figura 4.24 b).

46

Fig.4. 25 – a) Esquema unifilar com transformador ; b) Esquema unifilar com transformador e díodos.

Observou-se os seguintes resultados:

125FonteV V= (valor registado aos terminais do transformador de três pernas);

1, 445nI A=

13,5FonteZ Ω; ; 2,12TransZ Ω; ; 26Trans díodosZ + Ω; ; arg 46C aZ = Ω

Verificou-se que em regime de curto-circuito a impedância equivalente representativa da

redução do transformador e ponte ao primário Trans díodosZ + , definida por

p

a

a

VI

, diminui

passando a ser: 15,6Trans díodos

Z + Ω; . Como hipótese, este facto é justificado pela importância

da queda de tensão de condução. Como foi visto no capítulo 4.1.1 a reflexão das perdas de

potência activa do rectificador em ponte sobre cada uma das fases ‘i’ é dada por:

(4.30)

quando em curto-circuito, Vi aumenta e a resistência equivalente para cada fase diminui.

Neste caso a tensão aos terminais do primário do transformador subiu 86,43%, o que deveria

originar uma queda de 1,068% na impedância equivalente vista do primário.

(4.31)

Contudo esta caiu 40%, o que indica que poderão estar em jogo outros factores, como a

saturação do transformador.

Contudo numa montagem a implementar numa rede trifásica de alta tensão, a relação de

transformação dos transformadores seria oposta à utilizada (n2>n1), no sentido de reduzir a

corrente que irá circular pelos supercondutores. Sendo assim as perdas adicionais geradas

pelas quedas de tensão e resistências de condução dos díodos serão desprezáveis uma vez

que a tensão no secundário será bastante superior à tensão de condução dos díodos.

0

1

1,8270 1,5594

i

d

i

R

R V

V

=

− ×

2 1 2 1

1 1

0,01236i i

i

R R V V

R V

− −= ×

47

Considera-se então o valor de impedância registado em curto-circuito e substituindo os

valores das impedâncias na equação que modela o sistema (4.1), pode-se estimar o valor da

corrente na rede quando se aplica um curto-circuito simétrico à carga. O que corresponde a

uma corrente eficaz de 4,296 A.

Para o cálculo das correntes de defeitos assimétricas considera-se inicialmente as

componentes simétricas iguais entre si, e logo:

Caso Fase-Terra

Para o curto-circuito fase-terra consideremos o circuito representado na figura 4.26, em que

Zdef é nula em caso de curto-circuito franco.

Fig.4. 26 – Esquema de um curto-circuito fase-terra.

Em anexo [2] está representado o esquema em componentes simétricas deste tipo de

defeito, deste esquema são retiradas as equações para a corrente de defeito em componentes

simétricas:

3( )

a

d i h def n

EId Ii Ih

Z Z Z Z Z= = =

+ + + +

Para um defeito franco (Zdef=0), situação habitualmente considerada, a corrente de curto-

cicuito fase-terra é igual à soma das três componentes simétricas:

1254, 296

3(13,5 15,6)0

33

acc

d i hn

EI A

Z Z ZZ

= = =+ + +

++

De referir que o termo 3

d i hZ Z Z+ +é inferior à impedância directa, pelo que, se o neutro

do gerador estiver directamente ligado à terra (Zn=0), a corrente de curto-circuito neste caso

seria superior à do caso trifásico.

48

Caso Fase-Fase

Considerando agora o caso do curto-circuito Fase-Fase, figura 4.27.

Fig.4. 27 – Esquema de um curto-circuito fase-fase.

Em anexo [3] está representado o esquema em componentes simétricas deste tipo de

defeito, deste esquema são retiradas as equações para a corrente de defeito em componentes

simétricas:

a

d i def

EId Ii

Z Z Z= − =

+ + ; 0

hI =

A corrente de curto-circuito é por consequente:

33,720a

cc

d i def

EI j j A

Z Z Z= − = −

+ +

Caso Fase-Fase-Terra

Para o curto-circuito Fase-Fase-Terra, figura 4.28.

Fig.4. 28 – Esquema de um curto-circuito fase-fase-terra.

49

Em anexo [4] está representado o esquema em componentes simétricas deste tipo de

defeito, deste esquema são retiradas as equações para a corrente de defeito em componentes

simétricas:

( )a i hd

d i d h i h

E Z ZI

Z Z Z Z Z Z

+=

+ +; h

i a

d i d h i h

ZI E

Z Z Z Z Z Z= −

+ +; i

h a

d i d h i h

ZI E

Z Z Z Z Z Z= −

+ +

A partir destas equações podem determinar-se as expressões analíticas das correntes nas

fases defeituosas e a corrente no neutro:

4 4 2

3 3 32,094( 1) ( )

4, 296

j j j

b j radi hcc a

d i d h i h

e Z e e ZI E e

Z Z Z Z Z Z

π π π

−− + −= = ×

+ +;

2 2 4

3 3 32,094( 1) ( )

4,296

j j j

c j radi hcc a

d i d h i h

e Z e e ZI E e

Z Z Z Z Z Z

π π π

− + −= = ×

+ +

3 4,296n icc a

d i d h i h

ZI E A

Z Z Z Z Z Z= − = −

+ +

Comparando estes valores com as correntes obtidas do ensaio experimental, tabela 4.1, é

possível ter uma ideia do erro ao se assumir as componentes simétricas iguais entre si.

Tabela 4. 1 – Tabela de correntes.

I teórico [A] I real [A] Variação [%]

Trifásico 4,296 4,30 -0,093 Fase-Terra 4,296 4,72 -9,041 Fase-Fase 3,720 3,48 6,897

Fase-Fase-Terra 4,296 4,61 -6,811

Relativamente ao sistema de limitação, sabe-se que a componente homopolar é menor que

a directa e a inversa, visto que o esquema homopolar não “vê” os díodos. Logo a impedância

homopolar será da ordem da impedância de curto-circuito do transformador. Sendo assim pode

ser feito um ajuste ao cálculo prévio das correntes de curto-circuito, tabela 4.2.

No que diz respeito ao desvio no caso Fase-Fase, o desvio é justificado pela corrente de

curto-circuito, que neste caso é menor em comparação com os outros três casos. Logo a

queda de tensão no primário do transformador é menor, e a importância relativa da queda de

tensão nos díodos é maior, o que se reflete no primário como um valor de impedância superior.

Este facto foi verificado também na diferença de impedâncias entre o caso de funcionamento

normal e caso curto-cirucito, visto anteriomente.

Estes dois factos podem ser confirmados retirando os valores V/I ao primário do

transformador, representados por Zcc na tabela 4.2.

50

Tabela 4. 2 – Tabela de correntes após ajuste.

Zcc [Ω] I teórico [A] I real [A] Variação [%]

Trifásico 15,6 4,296 4,30 -0,093 Fase-Terra 15,0 4,938 4,72 4,552 Fase-Fase 18,3 3,404 3,48 -0,022

Fase-Fase-Terra 15,4 4,763 4,61 3,319

Verifica-se uma maior aproximação ao valor real obtido para as correntes nos casos em

que intervém a homopolar, e para o caso fase-fase.

51

4.5 – Resultados experimentais

Tendo em conta o estudo até agora feito, um aspecto crucial para esta experiência é a

introdução do rectificador, mais concretamente dos díodos, que introduz perdas adicionais ao

sistema e filtra a componente homopolar. Outro aspecto é o tipo de ligações adoptadas para os

transformadores, que podem condicionar a circulação da componente homopolar na rede e

assim afectar os valores das correntes de defeito assimétricas.

Implementando o sistema em laboratório verificou-se de facto uma redução da corrente

defeituosa. Apresenta-se de seguida os resultados para os quatro tipos de defeito estudados,

mostrando a redução da corrente na rede mas também a redução da corrente contínua:

Caso Trifásico:

Fig.4. 29 – Resultados para defeito trifásico.

Caso Fase-Terra:

Fig.4. 30 – Resultados para defeito fase-terra.

52

Caso Fase-Fase:

Fig.4. 31 – Resultados para defeito fase-fase.

Caso Fase-Fase-Terra

Fig.4. 32 – Resultados para defeito fase-fase-terra.

Na tabela 4.3 encontra-se os valores relativos à corrente eficaz no rectificador (I0), ao valor

máximo da corrente de curto-circuito sem os supercondutores (Icc), e com os supercondutores

(Ilim), a redução do valor máximo da corrente para cada caso, o valor final da corrente após a

extinção do curto-circuito (Iregime), e finalmente a redução do valor final da corrente devido

apenas ao efeito térmico.

Tabela 4. 3 – Tabela de resultados da limitação.

I0 ef [A] I cc [A]

I limitada

[A]

Redução

[%]

I regime

[A]

Redução

[%]

Trifásico 159,60 6,08 4,65 -23,52 3,68 -20,86 Fase-Terra 116,62 6,68 5,92 -11,38 5,68 -4,05 Fase-Fase 133,40 4,92 3,88 -21,14 3,52 -9,28

Fase-Fase-Terra 147,01 6,52 5,30 -18,71 4,88 -7,92

53

Na tabela 4.4 encontra-se os valores relativos à impedância do sistema de limitação

trifásico em curto-circuito normal (Zcc), à impedância do sistema em limitação (Zlim), ambas

vistas do primário, e por fim à impedância real do material supercondutor (Zsc).

Tabela 4. 4 – Tabela de resultados de impedâncias.

Zcc [Ω] Zlim [Ω] Zsc [Ω]

Trifásico 15,6 22,9 0,0255 Fase-Terra 15,0 17,28 0,0132 Fase-Fase 18,3 28,74 0,0261

Fase-Fase-Terra 15,4 19,18 0,0162

Analisando os resultados observa-se que se obteve as maiores reduções para o caso

trifásico e para o Fase-Fase. Nestes dois casos não intervém a componente homopolar, e logo

toda a “informação” da corrente é passada ao supercondutor. Para estes dois casos o facto de

se ter utilizado o rectificador em ponte e o banco de transformadores com ligação estrela

triângulo não condicionou o desempenho do sistema. Para os casos Fase-Terra e Fase-Fase-

Terra verificou-se as menores reduções, isto porque nestes casos a informação da

componente homopolar foi filtrada pela ligação em triângulo no secundário do transformador e

assim o supercondutor não “sentiu” o seu efeito. Outro factor associado à menor redução nos

defeitos assimétricos é a reflexão da carga do rectificador sobre as fases afectadas. Como foi

visto no capítulo 4.2.1, a relação resistência de carga do rectificador, resistência equivalente

para cada fase é menor do que no caso trifásico, em que 0

0,547i

R R= × .

Em todo caso é de referir que a nível térmico verificou-se maior efeito na redução da

corrente nos casos trifásico e Fase-Fase, em que a impedância do material supercondutor

atingiu o maior valor.

54

5 – Conclusões

A tecnologia de limitação de correntes com base nos supercondutores comprava-se ser de

facto bastante promissora para implementação numa rede de energia. Embora não se tenha

definido concretamente o seu comportamento resistivo, nomeadamente os limites da sua

funcionalidade, é facto assente que a temperatura à sua superfície é um factor crucial no seu

dimensionamento. Obteve-se um valor máximo de redução da corrente em cerca de 25%,

porém ocorreu a destruição do material neste caso, pensa-se que devido à temperatura

atingida. Os factores temperatura, corrente e resistividade são inseparáveis.

No que diz respeito à utilização do rectificador em ponte para a adaptação ao sistema

trifásico, pode-se dizer que para o caso trifásico o sistema responde de maneira análoga ao

caso monofásico obtendo-se os mesmos valores de redução no primeiro pico de corrente sem

a utilização de maior quantidade de material. O mesmo se pode dizer do caso Fase-Fase em

que a redução da corrente também atingiu valores da mesma ordem do caso monofásico. A

excepção reside nos casos Fase-Terra e Fase-Fase-Terra, em que a não circulação da

componente homopolar pelo material supercondutor leva à perca de informação e consequente

menor limitação do sistema. O ponto fraco do sistema é de facto o caso Fase-Terra, que,

mediante as impedâncias simétricas, pode ser o mais prejudicial para a rede e é onde se

obteve menor limitação. Montagens alternativas podem ser usadas para permitir que esta

componente circule pelo supercondutor, contudo introduzem efeitos indesejáveis, no caso ½

ponte, ou requerem maiores custos, caso ½ ponte com ½ ponte intermédia.

55

6 – Referências

[1] Cha, Y.S., “An Empirical correlation of E(J,T) of a melt-Cast-Processed BSCCO-2212

Superconductor Under Self Field”, IEEE Transactions on Applied Superconductivity, Vol.

13, Nº 1, March 2006.

[2] Sutherland, P.E., “Analytical Model of Superconducting to Normal Transaction of Bulk High

TC Superconductor BSCCO-2212”, IEEE Transactions on Applied Superconductivity, Vol.

16, Nº 1, March 2006.

[4] J. R. Cave, “Testing and modelling of inductive superconducting fault current limiters”, IEEE

Transactions on Applied Superconductivity, Vol.7, Nº 2, June 1997.

[3] J. António F. Dente, “Transformadores”, IST, 2004/2005

[4] Sofia Cipriano, Manuel Almeida, “Limitador de Corrente com Supercondutor”, Trabalho final

de curso nº41, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 2006.

[5] Filipe Mendonça, Miguel Bengla, “Limitador de Corrente com Supercondutor”, Trabalho final

de curso nº19, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 2005.

[6] Zanji Wang, S.M., “The feasibility Study on the Combined Equipment Between Micro-SMES

and Inductive/Electronic Type Fault Current Limiter”, IEEE Transactions on Applied

Superconductivity, Vol. 13, Nº 2, June 2003.

[7] Fernando Silva, “Electrónica Industrial” , 1998, Editor: Fundação Calouste Gulbenkian.

[8] J. P. Sucena Paiva, “Redes de Energia Eléctrica – Uma análise sistémica”, IST Press, 2005

[9] F. Labrique, J. Santana, “Electrónica de Potência”, 1991, Edições da Fundação Calouste

Gulbenkian.

56

7 – Anexos

Anexo 1

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 22 2

2

sin

4 2 4 21 cos sin cos cos sin sin sin

3 3 3 3

sintan 0 0

22cos

2

sin

tan2

A B A B A B

A B

A B A B

B C B C B C

B C

I I I I n

n

I I

I I I I n

θ θ

π π π πϕ ϕ ϕ ϕ θ θ

ϕ ϕθ θ

ϕ

θ θ

ϕθ θ

× = −

= + + + + + + + −

− = − = ⇒ × =

× = −

− = −

r

r

r

( )

( )2

tan 0 02

sin

sintan 0 0

22cos

2

B C

C A C A C A

C A C A

I I

I I I I n

I I

ϕ

θ θ

ϕϕθ θ

ϕ

= ⇒ × =

× = −

− = − = ⇒ × =

r

Anexo 2

57

Anexo 3

Anexo 4