licenciatura em matematica - desenho geometrico -1

DesenhoGeomtrico

Alberto Luiz Fernandes QueirogaClaudio Barros Vitor

Manaus 2007

FICHA TCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice-GovernadorOmar Aziz

ReitorLoureno dos Santos Pereira Braga

Vice-ReitorCarlos Eduardo S. Gonalves

Pr-Reitor de Planejamento e Administrao Antnio Dias Couto

Pr-Reitor de Extenso e Assuntos ComunitriosAdemar R. M. Teixeira

Pr-Reitor de Ensino de GraduaoCarlos Eduardo S. Gonalves

Pr-Reitor de Ps-Graduao e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemtica (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedaggicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNcleo de Produo de Material

Coordenador GeralJoo Batista Gomes

Projeto GrficoMrio Lima

Editorao EletrnicaHelcio Ferreira Junior

Reviso Tcnico-gramaticalJoo Batista Gomes

Queiroga, Alberto Luiz Fernandes.

Q3d Desenho geomtrico. / Alberto Luiz Fernandes Queiroga,Cludio Barros Vitor. - Manaus/AM : UEA, 2007. - (Licenciatura emMatemtica. 2. Perodo)

113 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia e anexo.

1. Desenho geomtrico. I. Vitor, Cludio Barros. II. Srie. III.Ttulo.

CDU (1997): 514.11

CDD (19.ed.): 604.2

SUMRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I Introduo ao desenho geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 O material utilizado no desenho geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 Entes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 Operaes com segmentos e ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

UNIDADE II Construes de ngulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

TEMA 04 Uso do esquadro, compasso e rgua para construo de ngulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

UNIDADE III Diviso de segmentos e segmentos proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

TEMA 05 Diviso de segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 06 Diviso em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38TEMA 07 Mdia proporcional ou geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 08 Diviso harmnica e segmento ureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

UNIDADE IV Figuras da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

TEMA 09 Diviso de circunferncia em duas partes iguais (pelo ngulo central) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 10 Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 11 Quadrilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 12 Trapzio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 13 Lozangos e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

UNIDADE V Polgonos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

TEMA 14 Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 15 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Respostas de Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Alberto Luiz Fernandes QueirogaBacharel em Desenho Industrial UFPB

Especialista em Design, Propaganda e Marketing UFAM

Cludio Barros VitorLicenciado em Matemtica UFAM

Ps-graduado em Didtica e Metodologia do Ensino Superior - UNESC

PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR

A realidade amaznica, por si s, um desafio educao tradicional, aquela que teima em ficar arraigada

sala de aula, na dependncia nica dos mtodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do

Amazonas j nasceu consciente de que o ensino presencial mediado a nica estratgia capaz de respon-

der aos anseios de um pblico que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em

dinamismo tcnicocientfico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemtica, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-

cer aos discentes as habilidades necessrias para que eles venham a construir seus prprios objetivos exis-

tenciais, estimulandolhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando

lhes uma viso multifacetada das maneiras de educar.

Os livrostextos em que o curso se apia so produzidos com o rigor didtico de quem sabe que a histria

da educao, no nosso Estado, est sendo reescrita. Os agentes desse processo tm viso crtica e apos-

tam na formao de novos professores que sabero aliar inteligncia e memria, no permitindo que o ensi-

no em base tecnolgica ganhe a conotao de um distanciado do outro.

A autonomia de agir que cada um est aprendendo a conquistar vir, em breve, como resposta aos desafios

que se impem hoje.

Loureno dos Santos Pereira Braga

Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

UNIDADE IIntroduo ao desenho geomtrico

TEMA 01

MATERIAL UTILIZADO NO DESENHOGEOMTRICO

Um breve histrico

Como linguagem de comunicao e expres-so, a arte do desenho antecede em muito ada escrita. O que a escrita seno a combi-nao de pequenos smbolos desenhados?Por meio de gravuras traadas nas paredesdas cavernas, o homem pr-histrico registroufatos relacionados ao seu cotidiano, deixandoindicadores importantes para os pesquisado-res modernos estudarem os ancestrais de nos-sa espcie. Enfim, a arte do desenho algoinerente ao homem.

No se sabe quando, ou onde, algum formu-lou pela primeira vez, em forma de desenho,um problema que pretendia resolver talveztivesse sido um projeto de moradia ou tem-plo, ou algo semelhante. Mas esse passo re-presentou um avano fundamental na capaci-dade de raciocnio abstrato, pois esse desenhorepresentava algo que ainda no existia, queainda viria a se concretizar. Essa ferramenta,gradativamente aprimorada, foi muito impor-tante para o desenvolvimento de civilizaes,como a dos babilnios e a dos egpcios, asquais, como sabemos, realizaram verdadeirasfaanhas arquitetnicas.

Porm uma outra civilizao, que no hesitavaem absorver elementos de outras culturas,aprendeu depressa como passar frente deseus predecessores; em tudo que tocavam,davam mais vida. Eram os gregos. Em todasas reas do pensamento humano em que sepropuseram a trabalhar, realizaram feitos quemarcaram definitivamente a histria da huma-nidade.

Foram os gregos que deram um molde deduti-vo Matemtica. A obra Elementos, de Eucli-des (?300 a.C.), um marco de valor inesti-mvel, na qual a Geometria desenvolvida demodo bastante elaborado. na Geometria gre-ga que nasce o Desenho Geomtrico que aquivamos estudar.

Na realidade, no havia entre os gregos umadiferenciao entre Desenho Geomtrico eGeometria. O primeiro aparecia simplesmentena forma de problemas de construes geo-mtricas, aps a exposio de um item tericodos textos de Geometria. Essa conduta eucli-diana seguida at hoje em pases como aFrana, Sua, Espanha, etc., mas, infelizmen-te, os problemas de construo foram h muitobanidos dos nossos livros de Geometria.

Assim, pode-se dizer que o Desenho Geom-trico um captulo da Geometria que, com oauxlio de dois instrumentos, a rgua e o com-passo, se prope a resolver graficamente pro-blemas de natureza terica e prtica.

Material de desenho e seu uso

O lpis

Em desenho geomtrico, utilizaremos o lpiscom grafite HB para os traados de letras, con-tornos e esboos.

Para seu desenho ter as linhas bem definidas,mantenha a grafite sempre bem-apontada, emforma cnica, usando para isso um pedao delixa.

A lapiseira

Voc pode tambm utilizar as prticas lapisei-ras com grafites 0.5mm, pois elas tm grossuraideal para o desenho geomtrico.

A borracha

Use borracha macia para no deixar marcas nopapel.

11

Desenho Geomtrico Introduo ao desenho geomtrico

Para limp-la, esfregue-a em um papel qualquer.

A borracha no deve ser lavada.

A rgua

H rguas de vrios comprimentos. Use umade material acrlico transparente, graduada emcentmetros e milmetros, que tenha um cortetransversal chanfrado para facilitar a leitura.

Os esquadros

Esquadro de 450 e de 600

Devem ser de material acrlico e transparente.

So utilizados para traados de paralelas e deperpendiculares e para construo de ngulos.

O transferidor

De material acrlico transparente, em forma deum semicrculo, graduado de 00 a 1800, usa-do para medir e construir ngulos.

O compasso

o instrumento usado para traados de arcosde circunferncia, transporte de medidas econstrues de ngulos.

TEMA 02

ENTES FUNDAMENTAIS

Na construo de uma teoria geomtrica,tomam-se, inicialmente, certos conceitos aosquais se acrescentam postulados e definiesa fim de, ento, deduzir teoremas e proprieda-des.

Tais conceitos podem ser primitivos ou con-vencionados. Os conceitos primitivos consti-tuem-se num apelo nossa intuio.

Assim, so entes fundamentais da geometria:ponto, reta e plano.

O ponto

A idia de ponto primitiva. No se define. Oponto no tem dimenso e fica determinadopelo encontro de duas linhas retas ou curvas.Indicamos o ponto utilizando letras maisculasdo alfabeto latino.

A reta

Da mesma forma que o ponto, no tem defi-nio. A idia de linha reta a de um pontoque se move numa mesma direo. Indicamosa reta utilizando letras minsculas do alfabetolatino.

A semi-reta

Um ponto qualquer de uma reta divide-a emduas partes distintas chamadas semi-retas. Es-se ponto recebe o nome de origem.

O segmento de reta

Segmento de reta o conjunto formado pordois pontos tomados sobre uma reta e todosos pontos da reta compreendidos entre os dois.A reta qual pertence o segmento chama-sereta suporte do segmento.

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UEA Licenciatura em Matemtica

AB: o segmento de reta;

A e B: so os extremos;

r: a reta suporte do segmento AB.

Segmentos que pertencem mesma reta cha-mam-se colineares.

Segmentos que possuem uma extremidade emcomum chamam-se consecutivos.

O plano

A noo intuitiva de plano apia-se na idia desuperfcies como a de um quadro ou a de umaparede.

O plano uma figura ideal. A partir da idiaque dele fazemos, deve-se entend-lo comoformado por infinitos pontos. Ele aberto einfinito.

A identificao do plano dada por letrasminsculas do alfabeto grego: , , , , ,etc.

TEMA 03

OPERAES COM SEGMENTOS E NGULOS

Transporte de segmentos

O transporte grfico de segmento consiste emconstruir um segmento congruente ao segmen-to dado.

Assim, dado o segmento

AB, para transport-lo de modo a que tenha por extremidade M eesteja na reta r, faz-se ponta-seca do compas-so em M e abertura

AB, descrevendo-se umarco de circunferncia, obtendo-se N. Assim,obtm-se

MN AB.

MN

AB.

Adio de segmentos

A soma grfica de segmentos obtida pelotransporte sucessivo dos segmentos dados.

MN

AB e

NP

CD

MP o segmento-soma.

Subtrao de segmentos

Transportam-se os segmentos dados parauma reta suporte r, com centro em P.

PQ

AB e

PR

CD

QR o segmento-diferena.

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ngulos

Um breve histrico

O conceito de ngulo aparece primeiramenteem materiais gregos no estudo de relaes en-volvendo elementos de um crculo junto com oestudo de arcos e cordas. As propriedades dascordas, como medidas de ngulos centrais ouinscritas em crculos, eram conhecidas desdeo tempo de Hipcrates. Talvez Eudoxo tenhausado razes e medidas de ngulos na deter-minao das dimenses do planeta Terra e noclculo de distncias relativas entre o Sol e aTerra. Eratstenes de Cirene (276 a.C.194a.C.) j tratava de problemas relacionados commtodos sistemticos de uso de ngulos e cor-das.

Desde os tempos mais antigos, os povos vmolhando para o cu na tentativa de encontrarrespostas para a vida na Terra e entender oscorpos celestes que aparecem nossa vista.Assim, a Astronomia talvez tenha sido a pri-meira cincia a incorporar o estudo de nguloscomo uma aplicao da Matemtica.

Na determinao de um calendrio ou de umahora do dia, havia a necessidade de realizarcontagens e medidas de distncias.Freqentemente, o Sol servia como referncia,e a determinao da hora dependia da incli-nao do Sol e da relativa sombra projetadasobre um certo indicador (relgio de sol).

Para obter a distncia que a Lua estava acimado horizonte, dever-se-ia calcular uma distn-cia que nunca poderia ser medida por um serhumano comum. Para resolver esse problema,esticava-se o brao e calculavam-se quantosdedos comportava o espao entre a Lua e ohorizonte, ou ento, segurava-se um fio entreas mos afastadas do corpo e media-se a dis-tncia.

Os braos deveriam permanecer bem estica-dos para que a resposta fosse a mais fiel pos-svel. A medida era diferente de uma medidacomum, e esse modo foi o primeiro passo paramedir um ngulo, objeto este que se tornouimportantssimo no contexto cientfico.

Algumas definies histricas

Grcia antiga

Um ngulo uma deflexo ou quebra em umalinha reta.

Euclides

Um ngulo plano a inclinao recproca deduas retas que num plano tm um extremocomum e no esto em prolongamento.

H. Schotten

Em 1893, resumiu as definies de ngulo emtrs tipos:

1. A diferena de direo entre duas retas.

2. A medida de rotao necessria para trazerum lado de sua posio original para aposio do outro, permanecendo entre-mentes no outro lado do ngulo.

3. A poro do plano contida entre as duasretas que definem o ngulo.

P. Henrigone

Em 1634, definiu ngulo como um conjunto depontos, definio essa que tem sido usada commais freqncia. Neste trabalho, aparece pelaprimeira vez o smbolo

ngulos

Definio

ngulo a figura plana formada por duassemi-retas de mesma origem.

A origem comum chama-se vrtice, e as semi-retas chamam-se lados.

A medida usual ao ngulo o grau, e o instru-mento usado para medi-lo o transferidor.

ngulos de mesma medida dizem-se congru-entes.

Indica-se o ngulo ou utilizando-se letras do al-fabeto grego ^, ^, ^, ou por trs letras mins-culas do alfabeto, ou por trs letras maisculasdo alfabeto latino, indicando a letra do meio ovrtice do ngulo e as outras duas os lados.

ngulo ^ ou ngulo RO^Q.Para obter a medida aproximada de um ngu-lo traado em um papel, utilizamos um instru-mento denominado transferidor, que contmum segmento de reta em sua base e um semi-crculo na parte superior marcado com uni-dades de 0 a 180. Alguns transferidores pos-suem a escala de 0 a 180 marcada em ambosos sentidos do arco para a medida do ngulosem muito esforo.

Para medir um ngulo, coloque o centro dotransferidor (ponto 0) no vrtice do ngulo, ali-nhe o segmento de reta OA (ou OE) com umdos lados do ngulo, e o outro lado do ngulodeterminar a medida do ngulo, como mostraa figura.

O ngulo AC mede 70 graus. Na figura ante-rior, podemos ler diretamente as medidas dosseguintes ngulos:

Transporte grfico de ngulos

Passo a passo

1. Faz-se o transporte de um arco, de raio qual-

quer, com centro no vrtice do ngulo dado

para a origem de uma semi-reta.

2. Ponta-seca do compasso em R e abertura

do arco igual a

PQ, determinamos S e o

ngulo ^ ^.

Adio grfica de ngulos

Transportam-se os ngulos ^ e ^ de modo quefiquem adjacentes. Ou seja, adicionam-se os

arcos de mesmo raio, qualquer, de medidas ^

e ^.

Subtrao grfica de ngulos

Dados os ngulos ^ e ^, transportamos parauma semi-reta de origem P, determinando o

ngulo-diferena.

m(AB) = 27 m(AC)=70 m(AD)=120 m(AE)=180

m(EB)=153 m(EC)=110 m(ED)=60 m(EA)=180

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1. Dados os segmentos de medidas a, b e c, ob-tenha o segmento de medida 2a + b + c.

2. Obtenha, sobre uma reta r, o segmento cujamedida corresponde ao permetro das figurasdadas.

a)

b)

c)

3. Dados os segmentos de medidas a, b e c, obte-nha os segmentos de medidas (b a) + (c b).

4. Sabendo que AB = 55mm, CD = 37mm e EF = 40mm, desenhe o segmento de medida2AB 10(EF CD).

5. A partir de , dado graficamente abaixo,transporte AO^B e AO^C, em cada caso:

a)

b)

6. Tome um ngulo qualquer e transporte parauma outra semi-reta, usando o compasso, umngulo congruente ao ngulo determinado.

7. Verifique, por transporte de ngulos, as rela-es de ngulos congruentes na figura dada.

16


8. Mostre, por transporte de ngulos, que a somados ngulos internos de um tringulo umngulo raso.

9. Dado o tringulo ABC, verifique se o nguloexterno a soma dos ngulos internos no-adjacentes.

10. Dado e , encontre o que se pede:

a) +

b)

c) 3

17


UNIDADE IIConstruo de ngulos e retas

TEMA 04

USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RGUAPARA CONSTRUO DE NGULOS ERETAS.

Bissetriz de um ngulo

a semi-reta que, partindo do vrtice do ngu-lo, divide-o em dois ngulos congruentes.

Determinar a bissetriz do ngulo dado

Passo a passo

1. Ponta-seca em O e abertura qualquer, des-crevemos o arco AB.

2. Ponta-seca em A e depois em B e umaabertura maior do que a metade do arcoAB, determinamos o ponto C.

3. A semi-reta OC a bissetriz do ngulo AB.

Bissetriz de um ngulo inacessvel

Determinar a bissetriz do ngulo formado pelasretas r e s.

Passo a passo

1. Traamos um reta t qualquer determinandoos pontos A e B.

2. Determinamos as bissetrizes dos ngulosformados, encontrando os pontos C e D.

3. A reta que passa por A e B a bissetriz pro-curada.

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Desenho Geomtrico Construo de ngulos e retas

22


Construindo ngulos

ngulo de 600

Passo a passo

1. Determinamos uma semi-reta de origem O.

2. Ponta-seca em O e uma abertura qualquer,determinamos na semi-reta o ponto A.

3. Ponta-seca em A e raio

OA, encontramos B.

AB = 600

ngulo de 900

Passo a passo

1. Determinamos uma semi-reta de origem O.

2. Prolongamos a semi-reta e traamos umngulo raso AB.

3. Encontramos a bissetriz do ngulo AB.

AC = 900

ngulo de 1350

Passo a passo

1. Utilizando o processo anterior, determina-mos o ngulo reto AC.

2. Traamos a bissetriz de BC.

BD = 450, logo DA = 1350 (suplementares)

Esquadros e construo de retas

Os esquadros so usados para traar linhas pa-

ralelas e linhas perpendiculares. Para a determi-

nao desses traos, utilizamos os esquadros

em conjunto, ficando um sempre fixo, enquan-

to o outro se desloca, apoiado nele.

Retas paralelas

Passo a passo

1. Faa a borda maior do esquadro de 450

coincidir com a reta dada.

2. Encoste a borda maior do esquadro de 600

no esquadro de 450 .

3. Segure o esquadro de 600, movimente o de

450 e trace as linhas paralelas.

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Retas perpendiculares

Passo a passo

1. Faa a borda maior do esquadro de 450

coincidir com a reta dada.

2. Encoste a borda maior do esquadro de 600

no esquadro de 450.

3. Mude a posio do esquadro de 450, con-forme a figura.

4. Segure o esquadro 600, movimente o de 450

at o ponto P e trace a perpendicular.

Compasso e rgua

Perpendicular a uma reta

Dada a reta r e um ponto P, onde P r.

Passo a passo

1. Com a ponta-seca do compasso em P euma abertura maior que a distncia de P ar, traamos um arco de circunferncia queintercepta a reta r em A e B.

2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber-tura maior que a semi-distncia AB, traa-mos um arco e repetimos o processo, coma mesma abertura, em B, determinando oponto Q.

3. Traamos a reta s, passando por P e Q, que a reta perpendicular reta r.

Observao: a reta s a mediatriz do seg-mento AB.

Dada a reta r e um ponto P, onde P r.

Passo a passo

1. Com a ponta-seca do compasso em P euma abertura qualquer, traamos umasemicircunferncia que intercepta a reta rem A e B.

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2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber-tura maior que a semi-distncia AB, traa-mos um arco e repetimos o processo, coma mesma abertura, em B. Determina-se,assim, o ponto Q.

3. Traamos a reta s, passando por P e Q, que a reta perpendicular r procurada.

Dada a semi-reta , determinar a perpen-dicular passando por O.

Passo a passo

1. Ponta-seca do compasso em O e uma aber-tura qualquer, traamos uma semicircun-ferncia.

2. Com a ponta-seca em P e a mesma abertu-ra, determinamos sobre a semicircunfern-cia o ponto Q.

3. Repetimos o processo em Q, determinandoR, depois em R determinando S.

4. Temos .

Paralela a uma reta

Dada a reta r e um ponto P, onde P r, deter-mina a reta s // r onde P s.

Passo a passo

1. Ponta-seca do compasso em P e uma aber-tura maior do que a distncia a reta r, traa-mos um arco, determinando em r o ponto O.

2. Ponta-seca do compasso em O e a mesmaabertura, traamos um arco, passando porP, determinando em r o ponto Q.

3. Ponta-seca do compasso em O e aberturaigual a PQ , traamos um arco determinan-do ponto R.

O

25


4. A reta que passa por P e R a reta s para-lela a reta dada.

1. Dada a reta r e o ponto P, tal que P r, deter-mine as retas s (paralela) e t (perpendicular),passando por P. Utilize o jogo de esquadradospara traar as retas s e t.

2. Resolva o exerccio anterior utilizando o com-passo.

3. Trace m, pelo ponto A, tal que m r. Trace n,pelo ponto B, tal que n s. Chame {P} = m n.Pelo ponto P trace m // r e n // s.

4. Trace a reta t, tangente circunferncia dada,tal que t // r.

5. Trace a reta a perpendicular a r e a reta b per-pendicular a s, ambas passando por P.

6. Prolongando os lados do tringulo ABC, deter-mine a altura relativa a cada lado.

7. Faa o transporte do ngulo B^, do exerccio an-terior, para a semi-reta e encontre a reta s,passando por P, paralela a essa nova semi-reta.

8. Trace um ngulo de 300.



UNIDADE IIIDiviso de segmentos e segmentos proporcionais

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Desenho Geomtrico Diviso de segmentos e segmentos proporcionais

TEMA 05

DIVISO DE SEGMENTO

Por volta do ano 600 a.C., o sbio grego Talesde Mileto fez uma viagem ao Egito. O fara jconhecia sua fama de grande matemtico. Ou-vira dizer at que Tales era capaz de uma in-crvel faanha: podia calcular a altura de umaconstruo, por maior que fosse, sem precisarsubir nela.

Por ordem do monarca, alguns matemticosegpcios foram ao encontro do visitante e pedi-ram-lhe que calculasse a altura de uma daspirmides. Tales ouviu-os com ateno e dis-ps-se a atend-los imediatamente.

J no deserto, prximo pirmide, o sbio fin-cou no cho uma vara, na vertical. Observandoa posio da sombra, Tales deitou a vara nocho, a partir do ponto em que foi fincada,marcando na areia o tamanho do seu compri-mento. Depois, voltou a vara posio vertical.Vamos esperar alguns instantes, disse ele.Daqui a pouco, poderei dar a resposta.Ficaram todos ali, observando a sombra que avara projetava. Num determinado momento, asombra ficou exatamente do comprimento davara. Tales disse ento aos egpcios: Vo de-pressa at a pirmide, meam sua sombra eacrescentem ao resultado a medida da metadedo lado da base. Essa soma a altura exata dapirmide.

Razo entre dois segmentos

Consideremos os segmentos consecutivos dafigura seguinte:

Temos:

AB = 1mm,

AC = 2mm,

AD = 3mm,

AE = 4mm,etc.

A razo entre dois segmentos a razo entreas medidas desses segmentos em uma mes-ma unidade.

Temos, na figura acima, por exemplo:

1.

2. ou

3.

Segmentos proporcionais

Sabemos que proporo uma igualdade en-tre duas razes.

Exemplo:

Consideremos, agora, quatro segmentos, AB,CD, EF e GH, nessa ordem.

Dizemos, ento, que quatro segmentos, na or-dem, so proporcionais quando a razo de suasmedidas (mesma unidade) forma uma pro-poro.

30


Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas determina em duasretas transversais segmentos correspondentesproporcionais.

Na figura, temos:

e , logo,

PQ,

QR,

PS

e

ST, nessa ordem, so proporcionais.

Aplicando o Teorema de Tales

Dividir um segmento em n partes de medidas iguais

Dividir um segmento AB em trs partes demedidas iguais.

Passo a passo

1. Por uma das extremidades, traamos umasemi-reta qualquer.

2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traamos trs segmentos consecutivos econgruentes sobre a semi-reta.

3. Unimos o ponto 3 extremidade B, obten-do o segmento B3.

4. Traamos por 2 e 1 paralelas a B3, determi-

nando sobre

AB trs segmentos congruen-

tes.

Dividir um segmento AB em sete partes de

medidas iguais.

1. Por uma das extremidades, traamos uma

semi-reta qualquer.

2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,

traamos sete segmentos consecutivos e

congruentes sobre a semi-reta.

3) Unimos o ponto 7 extremidade B, obten-

do o segmento B7.

4. Traamos por 6, 5, 4, 3, 2 e 1 paralelas a B7,

determinando sobre

AB, sete segmentos con-

gruentes.

31


Dividir um segmento numa razo dada

Determinar M, sobre

AB tal que .

Passo a passo


2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traamos cinco (3 + 2 da razo dada) seg-mentos consecutivos e congruentes sobrea semi-reta.


4. Traamos em 3, para obtermos a razo ,

uma paralela a B5, determinando sobre

ABo ponto M.

Assim .

Determinar M sobre

AB tal que .

Passo a passo


2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traamos seis (1 + 5 da razo dada) seg-mentos consecutivos e congruentes sobrea semi-reta.


4. Traamos em 1, para obtermos a razo ,

uma paralela a B6 determinando sobre

ABo ponto M.

32


Assim .

1. Divida o segmento dado em oito partes de me-didas iguais.

2. Divida o segmento dado em treze partes de me-didas iguais.

3. Dados os segmentos

AB = 3cm,

CD = 5cm e

EF = 2cm, trace a circunferncia com centroem A e raio igual stima parte do segmento-soma

AB +

CD +

EF.

4. Divida o permetro do tringulo ABC, em seispartes iguais.

5. Determine o quadrado de lado igual a do

segmento AB.

6. Trace um segmento

PQ = 8,5 e determine o

ponto R que divide

PQ na razo de .

7. Encontre os pontos M e N que dividem o seg-

mento

AB nas razes e respectivamente.

8. Dado o segmento AB, determine dois segmen-

tos AX e XB, de modo que: .

9. Dado a, divida-o por 3 e, em seguida, destaque

o segmento de medida .

10. Dado o tringulo ABC com

AB j dividido em5 partes de medidas iguais, divida

BC e

ACtambm em 5 partes de medidas iguais.

33


TEMA 06

DIVISO EM PARTES PROPORCIONAIS

Dividir um segmento em partes proporcionais a 2, 4 e 3

Passo a passo


2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traamos nove (2 + 4 + 3) segmentos con-secutivos e congruentes sobre a semi-reta.


4. Traamos em 2 e depois em 5 uma paralelaa B9, determinando sobre

AB os ponto M eN, dividindo o segmento dado em partesproporcionais a 2, 3 e 4.

Assim , etc.

Dividir um segmento em partes proporcionais a 3, 5 e 7

Passo a passo


2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traamos quinze (3 + 5 +7) segmentos con-secutivos e congruentes sobre a semi-reta.


4. Traamos em 3 e depois em 8 uma paralelaa B15, determinando sobre

AB os ponto Me N, dividindo o segmento dado em partesproporcionais a 3, 5 e 7.

M N

34


Assim , etc.

Quarta proporcional

Dados trs segmentos de medidas a, b e c,denomina-se quarta proporcional desses seg-mentos um segmento de medida x, tal que:

Determinar a quarta proporcional aos segmen-tos AB = a, BC = b e AD = c, nessa ordem.

Passo a passo

1. Sobre uma reta r marcamos os segmentosAB e BC.

2. Traamos pela extremidade A uma semi-reta s e marcamos o segmento AD = c.

3. Traamos o segmento BD e por ele tra-amos uma paralela passando por C, deter-minando na semi-reta o ponto X. O seg-mento DX a quarta proporcional.

Terceira proporcionalDados dois segmentos de medidas a e b, de-nomina-se terceira proporcional desses seg-mentos um segmento de medida x, tal que:

Determinar a terceira proporcional aos segmen-tos AB = a e BC = b.

Passo a passo

1. Sobre uma reta r marcamos os segmentosAB e BC.

2. Por A, traamos uma semi-reta s qualquer,ponta-seca do compasso em A e abertura iguala

AB, determinamos em s o segmento

AD.

3. Unimos os pontos B e D, obtendo o seg-mento BD.

4. Traamos por C uma reta paralela a

BD,determinando em s o ponto E.

O segmento DE a terceira proporcionalprocurada.

TEMA 07

MDIA PROPORCIONAL OU GEOMTRICA

Dados dois segmentos de medidas a e b,denomina-se mdia geomtrica ou propor-cional desses segmentos um segmento demedida x, tal que:

Aplicao:

Determinar a mdia geomtrica dos segmen-tos AB e BC dados.

Passo a passo

1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos osdois segmentos.

2. Determinamos M, ponto mdio de

AC.

3. Ponta-seca em M e medida

AM, traamosuma semicircunferncia.

4. Por B traamos uma perpendicular reta r,determinando na semicircunferncia o pon-to D.

O segmento BD a mdia geomtrica dossegmentos dados.

Outra forma de encontrar a mdia geomtrica

1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos osegmento AB.

2. A partir do ponto A e para direita, marcamoso segmento AC.

3. Determinamos em r, o ponto M (ponto m-dio do segmento AB).

4. Ponta-seca em M e uma abertura

AM,traamos uma semicircunferncia.

5. Traamos por C uma perpendicular a r, deter-minando na semicircunferncia o ponto D.

D

O segmento AD a mdia geomtrica pro-curada.

35


1. Marque os pontos M e N, no segmento AB

dado, de modo que .

2. Construa um tringulo ABC cujo permetro sejaigual a 10,5cm, e os seus lados sejam propor-cionais aos segmentos que medem 2,5cm;3,5cm e 5,0cm.

3. Construa a quarta proporcional entre os seg-mentos m, n e p dados.

4. Dados trs segmentos de medidas a, b e c,obtenha, nessa ordem, um segmento x, de

modo que .

5. Dados dois segmentos de medidas a = 5,0cme b = 3,5cm, obtenha um terceiro segmento

de medida x, de modo que . (terceira

proporcional)

6. Construa a terceira proporcional entre os seg-mentos dados.

7. Construa a quarta proporcional entre os seg-mentos m, n e p:

8. Determine, graficamente, a mdia geomtricados segmentos que medem a = 4,0cm e b = 3,0cm.

9. Dados os segmentos de medidas a e b, deter-mine, graficamente, a mdia geomtrica entreeles.

10. Construa o quadrado de lado igual mdia geo-mtrica dos segmentos dados.

11. Construir o retngulo ABCD de lados de medi-das x e y, sabendo que x a quarta propor-cional de a, b e c e que y a mdia geomtri-ca de b e c.

12. Construa o tringulo ABC retngulo, sabendoque as projees dos catetos sobre a hipote-nusa medem 5,5cm e 3,5cm.

13. Construa o tringulo DEF retngulo, sabendoque a hipotenusa mede 8,0cm e a projeo deum dos catetos mede 2,5cm.

36


TEMA 08

DIVISO HARMNICA E SEGMENTOUREO

Em Alexandria, durante o reinado de Diocle-ciano (284 305), viveu um grande matemti-co, seguidor das idias de Eudoxo e Arqui-medes, Papus de Alexandria, como ficou con-hecido. Ele escreveu, por volta de 320, um livromuito importante com o ttulo de Coleo(Synagoge). Deve-se a sua importncia a v-rios fatores. Contm contedos inditos parapoca, uma rica fonte histrica da matemti-ca grega e apresenta provas novas e lemassuplementares para as obras de Euclides, Ar-quimedes, Apolnio e Ptolomeu. No livro III,seo 2 da Coleo, Papus teve como preocu-pao o problema de colocar num mesmosemi-crculo as trs mdias: aritmtica, geo-mtrica e harmnica, mas inicia a seo comas definies pitagricas dessas mdias.Assim, dados dois nmeros a e c (com c < a),seja b, com c < b < a, ento a razo (a-b):(b-c) deve ser proporcional a a:ac = c:c para amdia aritmtica, a a:b para a mdia geomtri-ca e a a:c para a harmnica. Assim:

Mdia aritmtica:

Mdia Geomtrica:

Mdia harmnica:

Razo de seo

Chama-se razo de seo de um ponto numsegmento a razo das distncias do ponto aosextremos do segmento. Quando o ponto

interior ao segmento, as duas partes por eledeterminadas chamam-se segmentos aditivos;quando o ponto exterior, as duas partes de-nominam-se segmentos subtrativos. Em am-bos os casos, o ponto estar esquerda doponto mdio do segmento se a razo de seofor prpria, isto , menor que a unidade; oponto estar direita do ponto mdio do seg-mento se a razo de seo for imprpria, isto, maior que a unidade.

Dado o segmento AB e seu ponto mdio.

Tomando os pontos M e N esquerda do pon-to mdio, como indicado na figura, determina-remos as seguintes razes.

(razes prprias)

Tomando os pontos M e N direita do pontomdio, como indicado na figura, determinare-mos as seguintes razes.

(razes imprprias)

Dado um segmento AB, dividi-lo harmonicamente numa razo dada

Na razo .

Passo a passo

1. Efetuamos a diviso do segmento na razodeterminada.

37


2. Por B traamos uma paralela semi-reta A5e com ponta-seca em B e raio

A1, determi-namos 6 e 7.

3. A interseo entre

AB e

37, o ponto Q, oconjugado harmnico de P.

Os pontos A, P, B e Q formam uma divisoharmnica.

Dados um segmento AB e o conjugado harmnico interno M obter o outro

Passo a passo


AM e ponta-secaem B e raio

BM, determinamos dois arcos.

2. Por A traamos uma semi-reta que intercep-ta um dos semi-arcos em 1.

3. Por B traamos uma semi-reta paralela

A1, encontrando 2.

4. A interseo entre

AB e

12 o conjugadoharmnico de M.

Dados um segmento AB e o conjugado harmnico externo M obter o outro

Passo a passo


AN e ponta-seca emB e raio

BN, determinamos dois arcos.

2. Por A traamos uma semi-reta que intercep-ta um dos semi-arcos em 1.

3. Por B traamos uma semi-reta paralela

A1, encontrando 2.

4. A interseo entre

AB e

12 o conjugadoharmnico de N.

38


DIVISO UREA

Euclides de Alexandria (365 a.C. 300 a.C.)

Tambm teve grande importncia para a his-tria da geometria. Ele elaborou a teoria daproporo urea, em que dois nmeros (X e Y,por exemplo) esto em proporo urea se arazo entre o menor deles sobre o maior forigual ao maior sobre a soma dos dois (ou seja,X/Y = Y/X+Y). Esta proporo estabelece umcoeficiente ureo, onde se pode analisar que,basicamente, tudo que se encontra na nature-za est inscrito nessa proporo, seja o corpohumano, uma colmeia de abelhas, uma estrelado mar, uma concha, etc.

Segmento ureo

Sejam

AB um segmento e P um ponto perten-cente a reta-suporte desse segmento.

P interior

P exterior

Diz-se que um segmento est dividido por umponto na razo urea quando uma das partespor ele determinada a mdia geomtricaentre o segmento e a outra parte.

AP2

=

AB .

PB

O segmento

AP o chamado ureo de

AB.

Determinao algbrica do segmentoureo.

1.o caso: P interior a

AB.

Por definio temos:

AP2

=

AB .

PB x2 = a .(a x)

x2 + ax a2 = 0, cujas razes so:

, descartamos a raiz

negativa.

2.o caso: P exterior a

AB.

Por definio temos:

AP2

=

AB .

PB x2 = a .(a + x)

x2 ax a2 = 0, cujas razes so:

, descartamos a raiz

negativa.

39


A razo entre cada segmento ureo e o seg-mento a que ele se refere um nmero de ouro.

e

Resoluo grfica

Dividir o segmento AB em mdia e extremarazo.

Passo a passo

1. Por B traamos uma perpendicular a

AB.

2. Ponta-seca em B e raio , encontramos

na perpendicular o ponto O.

3. Traamos a circunferncia de centro O eraio

OB, e os pontos C e D (interseo dasemi-reta AO com a circunferncia).


AC e depois

AD,determinamos sobre o segmento AB ospontos P e P.

AP = 0,618 .

AB e

AP = 1,618 .

AB

RETNGULO UREO

o retngulo que tem os seus lados a e b narazo urea a/b = f = 1,618034. Portanto o ladomenor (b) o segmento ureo do lado maior (a).

O retngulo ureo exerceu grande influnciana arquitetura grega. As propores do Par-tenon prestam testemunho dessa influncia.Construdo em Atenas, no sculo V a.C., oPartenon considerado uma das estruturasmais famosas do mundo. Quando seu frontotriangular ainda estava intacto, suas dimen-ses podiam ser encaixadas quase exata-mente em um retngulo ureo.

Construo do retngulo ureo

Dado o quadrado ABCD

40


Passo a passo

1. Determinamos o ponto mdio de

AB.

2. Ponta-seca em M e raio

MC, determinamosna semi-reta AB o ponto E.

3. Passando por E, traamos uma semi-retavertical a

AE, cuja interseo com

DC o

ponto F.

O retngulo AEFD um retngulo ureo.

Arco capaz

Dado um segmento AB e um ngulo k, pergun-ta-se: qual o lugar geomtrico de todos ospontos do plano que contm os vrtices dosngulos cujos lados passam pelos pontos A eB sendo todos os ngulos congruentes aongulo k? Este lugar geomtrico um arco decircunferncia denominado arco capaz.

Construo do arco capaz

1. Traar um segmento de reta AB.

2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando como segmento AB um ngulo congruente a k.

3. Traar uma reta p perpendicular reta t

passando pelo ponto A.

4. Determinar o ponto mdio M do segmento

AB e traar a reta mediatriz m ao segmento

AB.

O

5. Obter o ponto O que a interseo entre a

reta p e a mediatriz m. Ponta-seca no ponto

O e abertura OA, traar o arco de circunfe-

rncia localizado acima do segmento AB.

O arco que aparece acima no grfico o

arco capaz.

41


O

1. Divida, harmonicamente, o segmento AB nasrazes dadas.

a)

b)

c)

2. Dado o segmento, obtenha o conjugado har-mnico externo de P.

3. Dado o segmento, obtenha o conjugado har-mnico interno de Q.

4. Divida o segmento AB em mdia e extremarazo (seo urea).

5. Divida o segmento AB em mdia e extremarazo (seo urea).

6. Construa o arco capaz de um ngulo de 300,conhecendo o segmento GH.

7. O segmento RS mede 3,8cm e forma comele um ngulo de 600. Trace o arco capaz cor-respondente.

8. Determine os pontos da reta r que vem o seg-mento PQ sob um ngulo de 350.

9. So dados o segmento EF, a reta x e um ngu-lo de 400. Determine os pontos da reta x quevem o segmento EF sob o mesmo ngulo.

10. Construa o arco capaz a um segmento de5,0cm sob um ngulo de 450.

A lngua a expresso falada ou escrita dopensamento humano. A cada povo corres-ponde um idioma diferente variado, igual-mente, por meio da evoluo peculiar a cadaum, sua representao grfica. Essa repre-sentao, principalmente no mundo ociden-tal, feita por meio do alfabeto de origemfencia, que passou Grcia e Roma, e pelasua simplicidade constituiu-se no principalveculo de transmisso do conhecimento hu-mano. Anteriormente, essa comunicao erafeita por meio do desenho, s vezes bem rudi-mentar, do homem primitivo, por meio de hie-rglifos como no Egito ou no Mxico, grava-dos ou esculpidos nos monumentos, ou pormeio dos caracteres cuneiformes das civiliza-es da Mesopotmia, ou, ainda, por meiodos caracteres ideogrficos sino-japoneses.Algumas tribos primitivas serviam-se de paus,pedras, fios tecidos, colares, e com eles fazi-am palavras, compondo frases e expressan-do idias.

a escrita mnemnica. De origem americana,esta escrita transmite idias ou fatos semdesenh-los, isto , no tem forma grfica.

Os principais exemplos deste sistema so osquipos dos ndios do Peru e os wampusdos ndios irogueses.

Em sntese, a evoluo da escrita pode serresumida em:

42


Pictografia Desenhos de figuras rudimenta-res do latim pictus (pintado) e do gregografe (descrio). Escrita figurada usada pelohomem primitivo para fixar, nas paredes dascavernas, seus principais feitos, cenas decaadas, objetos de uso pessoal, etc. Res-tringia a linguagem grfica, limitando-a ao re-gistro de fatos e coisas materiais com o mxi-mo de realidade possvel. Se eles queriamexprimir a palavra biso, desenhavam um ouvrios bises, e para a palavra caa, desen-havam homens com lanas ou arcos e animais.

Disco de Faisto, sculo XIV a. C. Ele encerra uma espiral de hierglifos da antiga Creta, que at hoje

no foram decifrados.

Ideografia Fixao das idias por meio dossmbolos sinais que, muitas vezes, no signifi-cavam acontecimentos vistos e palpveis. Sosignos convencionais correspondentes a deter-minadas expresses por meio das quaissurgem idias. Cada desenho isolado tem umsignificado, por onde o abstrato pode ser repre-sentado. A lua e as estrelas simbolizavam oms; um olho, a vigilncia; o desenho do sol,por exemplo, j no designava somente oastro, e sim, o tempo de luz solar entre duasnoites, isto , o dia.

Fonetismo Nesse sistema, as figuras lidasevocavam seu primitivo sentido acrescido daexpresso sonora. Pssaro, ao invs de sim-bolizar apenas rapidez, adquiria o valor sono-ro de ave.Isto , equivaliam ao som, processo seme-lhante ao usado atualmente nas cartas enig-mticas, onde comum o smbolo do sol maiso do dado, representar a palavra soldado.

A linguagem grfica e o mundo das formas na nossa vida

Esses mosaicos matemticos nem sempre

43


so construdos pelo homem. O surpreen-dente que podemos observ-los tambmna natureza, vejamos:

Nos favos de mel das abelhas, encontramos ummosaico de hexgonos regulares.

(Hexgonos so polgonos de seis lados)

Um mosaico de hexgonos aparece tambm na casca do abacaxi.

44


UNIDADE IVFiguras da geometria plana

47

Desenho Geomtrico Figuras da geometria plana

TEMA 09

DIVISO DE CIRCUNFERNCIA EM DUASPARTES IGUAIS (PELO NGULO CENTRAL)

1 Diviso de circunferncia em duas partesiguais.3600 / 2 = 1800

2. Diviso de circunferncia em trs partes iguais.3600 / 3 = 1200

3. Diviso de circunferncia em quatro partesiguais.3600 / 4 = 900

4. Diviso de circunferncia em cinco partes iguais3600 / 5 = 720

5. Diviso de circunferncia em seis partes iguais 3600 / 6 = 600

6. Diviso de circunferncia em sete partes iguais

3600 / 7 = 510

7. Diviso de circunferncia em oito partes iguais

3600 / 8 = 450

8. Diviso de circunferncia em nove partes

iguais

3600 / 9 = 400

9. Diviso de circunferncia em dez partes iguais

3600 / 10 = 360

10. Diviso de circunferncia em doze partesiguais.3600 / 12 = 180

48


1. Dividir a pizza em seis partes iguais.

2. No aro da bicicleta de Paulo, faltam algunsraios para que possa pedalar entregandopes. Complete os raios faltantes.

3. No visor do relgio de parede caram os pon-tos indicadores das horas: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 e11 horas.

4. Para ver o sol nascer belo e vigoroso divida-oem vinte partes iguais, projetando seus raiosem forma de tringulos a partir da circunfern-cia para fora. Seu centro coincide com a quinado muro.

5. A aranha est encontrando dificuldades paraarmar sua teia, pois faltam fios importantes quesaem do centro e passam pelas bordas dospolgonos.

6. Complete o desenho da roda dentada de acor-do com a sua metade pronta.

7. As duas circunferncias foram divididas emoito partes cada, e seus pontos no so coli-neares. Verifique que figura surgir ao ligar ospontos das duas circunferncias em seqn-cia.

8. A partir dessa diviso de circunferncia, usan-do todos os pontos como centros, a ligaodos nmeros e a ligao das letras mostraroduas figuras em sobreposio, de forma que ocentro 1 ligar com um arco os pontos a e d, eassim por diante, pois o raio constante. Osnmeros daro origem figura formada pelasletras, e as letras daro origem figura forma-da pelos nmeros.

9. A hlice do ventilado quebrou num desses diasde calor intenso, e, para piorar, o condicio-nador de ar no funciona. Coloque, ento, umanova hlice sabendo que o ngulo entre elas de 600 (destacar as hlices).

10. Verifique se os ngulos da diviso da circun-ferncia tm ngulos medidos iguais.

11. Dada a circunferncia, divida-a em nove partesiguais e construa um polgono estrelado regu-lar inscrito (enegono estrelado) ligando osseus vrtices em intervalos de dois em dois.

12. Construa um polgono estrelado regular inscritode nove pontas (enegono estrelado), ligandoseus vrtices em intervalos de trs em trs.

13. Complete o pentgono estrelado regular ins-crito dada uma de suas pontas.

49


50


TEMA 10

TRINGULOS

BREVE HISTRICO

Os tringulos so formas geomtricas que apre-sentam rigidez e estabilidade pela agudez desuas quinas e orientam-se por uma base. Sofiguras de grande influencia nas culturas hu-manas, como egpcios, babilnios e Pitgoras,enfim, seja nas construes, seja nas artes, namatemtica, etc.

O tringulo o menor entre os polgonos.

Os polgonos regulares (expresso, harmoniae simetria) admitem uma circunferncia inscri-ta e circunscrita.

PROCESSOS DE CONSTRUO DETRINGULOS.

1. Construir um tringulo eqiltero de lado

AB = 3 cm, usando somente a rgua e o par deesquadros.

a) 1.o passo:

Traar o lado

AB = 3cm

b) 2.o passo:

Posicione os esquadros de forma a obter apartir de A e B ngulos de 600 cruzando-see obtendo-se o ponto C (vrtice oposto base

AB).

2. Construir um tringulo eqiltero de lado

AB = 3cm utilizando rgua e compasso.

a) 1.o passo:

Traar o lado

AB = 3cm

b) 2.o passo:

Abrir o compasso com a distncia

AB ecolocar sua ponta seca em A, traando umarco a partir de B. Com a ponta seca em Be a mesma abertura, traar um arco a partirde A, encontrando, assim, o ponto C, po-dendo, ento, ligar os pontos e definir o tri-ngulo desejado.

3. Construir um tringulo eqiltero inscrito sen-do dada a circunferncia de raio = 1,25cm.

a) 1.o passo:

Traar a circunferncia e o seu dimetro.

b) 2.o passo:

Com a ponta-seca do compasso em umadas extremidades do dimetro e aberturaigual ao raio, traar um arco cruzando acircunferncia duas vezes definindo,assim, os dois pontos (vrtices) que geramo tringulo.

A B

A B

51


c) 3.o passo:

Finalmente, ligam-se os pontos e define-seo tringulo.

4. Construir um tringulo issceles dado o ladomenor (base)

AB = 2cm e sua altura

MC = 3,2cm.

a) 1.o passo:

Traar o lado base

AB = 2cm.

b) 2.o passo:

Pelo ponto mdio de

AB, levantar uma per-pendicular e nela marcar a altura

MC.

c) 3.o passo:

Ligar os pontos ABC do tringulo issceles.

5. Construir um tringulo issceles dado o lado(base)

AB = 3cm e um ngulo = 700 adja-cente base.

a) 1.o passo:

Traar a base AB.

b) 2.o passo:

Traar o ngulo a partir de A, estendendoo traado.

c) 3.o passo:

Repetir a operao a partir de B obtendo-se oponto C pelo encontro dos ngulos le-vantados, ligando os trs pontos do tringulo.

6. Construir um tringulo retngulo issceles ins-crito circunferncia dada.

a) 1.o passo:

Traar a circunferncia.

b) 2.o passo:

Traar pelo centro da circunferncia o ladoAB igual a dimetro.

M C

A B

A B

52


c) 3.o passo:

Pelo centro da circunferncia, levantar umaperpendicular igual ao raio da circunferncia.

d) 4.o passo:

Finalmente, ligar os pontos A e B com o ponto C.

7. Construir um tringulo retngulo dados oslados

AB = 4,4cm e

AC = 1,8cm.

a) 1.o passo:

Traar o lado AB.

b) 2.o passo:Traar uma perpendicular extremidade A.

c) 3.o passo:

Ligar os pontos A, B e C, definindo o trin-gulo pedido.

8. Construir um tringulo escaleno dados oslados

AB = 5cm,

BC = 2,7cm e

AC = 2cm.

a) 1.o passo:

Traar o lado base

AB = 6cm.

b) 2.o passo:

Abrir o compasso com a distncia igual a ACe com a ponta seca em B traando um arco.

c) 3.o passo:

Abrir o compasso com a distncia BC, colo-cando a ponta seca em A e traando um arcoque cruze o arco BC definindo o ponto C.

d) 4.o passo:

Ligar os pontos dos vrtices A, B e C.

9. Construir um tringulo escaleno dado o ladobase

AB = 5cm e dois ngulos adjacentes a Ae B com ngulos = 450 e 600 respectivamente.

a) 1.o passo:

Traar o lado (base) AB.

b) 2.o passo:

A partir de

AB, levantar o ngulo de 450 pelaextremidade A.

c) 3.o passo:

Levantar o ngulo de 600 pela extremidade

A B

53


B, cruzando a reta do ngulo de 450 noponto C.

10. Construir um tringulo eqiltero de lado =3cm, circunscrev-lo e inscrev-lo.

a) 1.o passo:

Construir o tringulo por um dos processosj vistos.

b) 2.o passo:

Traar as trs alturas que tambm so asbissetrizes do tringulo. O cruzamento des-sas alturas determinar o centro inscritvel ecircunscritvel do tringulo.

c) 3.o passo:

Com a ponta-seca do compasso no pontoO (centro) e abertura a qualquer um dosvrtices, circunscrever o tringulo (por fora).

d) 4.o passo:

Ainda com a ponta-seca no centro, reduzir

a abertura do compasso

OM e inscrever otringulo.

Observe que, nesse caso, os lados do trin-gulo so tangentes circunferncia.

1. Dado o tringulo retngulo issceles circuns-crev-lo.

2. Desenhar um tringulo escaleno, dados oslados

AB = 4cm,

BC = 3cm e

CA = 2cm.

3. Desenhar um triangulo dada a base

AB = 4cm edois ngulos adjacentes base = 450 e = 600.

4. Desenhar um triangulo retngulo dado o ladomaior

AB = 4cm, a hipotenusa = 4,5cm.

5. Dada a circunferncia, circunscreva um trin-gulo retngulo sabendo que seu lado maiorcorresponde ao dimetro.

6. Desenhar um tringulo dada a base

AB =5,5cm e

AC = 3,5cm e um ngulo adja-cente base a partir de A igual = 600.

7. Dividir com um trao o tringulo retngulo iss-celes abaixo para obter outros dois tringulosretngulos issceles.

8. Complete o tringulo abaixo dado o seu ladobase

AB e a sua altura.

9. Classifique os tringulos existentes na figuraabaixo quanto forma e quanto ao ngulo.

10. Complete a placa de sinalizao SIGA EMFRENTE para que no haja transtornos notrnsito da rua.

11. O tringulo incompleto abaixo oculta um outrotringulo idntico. Defina este tringulo.

12. Quantos tringulos eqilteros h nesta figura?

13. Dado o mdulo triangular, crie um mdulo maiorrepetindo-se quatro vezes, orientadondo-se peloeixo perpendicular.

14. Dado o tringulo eqiltero, divida-o para obterquatro tringulos eqilteros (basta usar trstraos).

15. A marca da Mercedes Bens (automveis) mundialmente conhecida apresentando geome-tria muito simples. Reproduza a marca abaixocom preciso, citando o nome do tringulo baseda marca.

54


16. Dado o tringulo de base

AB, reproduza umoutro exatamente igual abaixo, usando amesma base.

17. Construir um tringulo eqiltero circunscritode lado

AB = 5cm.

18. Construir um tringulo retngulo issceles dadoo lado base

AB = 3cm e sua altura

MC = 5cm.

19. Construir um tringulo escaleno de lados

AB = 6cm,

AC = 4cm e

BC = 5cm.

20. Dado o tringulo retngulo issceles, circuns-creva-o.

TEMA 11

QUADRILTEROS

Quadrados e retngulos

BREVE HISTRICO

Tanto entre os Sumrios quanto entre os egp-cios, os campos primitivos tinham forma retan-gular. Tambm os edifcios possuam plantasregulares, o que obrigava os arquitetos a cons-truir muitos ngulos retos (de 90o). Embora debagagem intelectual reduzida, aqueles homensj resolviam o problema como um desenhistade hoje. Por meio de duas estacas cravadas naterra, assinalavam um segmento de reta. Emseguia, prendiam e esticavam cordas que fun-cionava maneira de compassos: dois arcosde circunferncia se cortam e determinam doispontos que, unidos, secionam perpendicular-mente a outra reta, formando os ngulos retos.

Definio

So polgonos que possuem quatro lados, comformas que apresentam aspecto de rigidez,conservadorismo e estabilidade no caso dosquadrados, retngulos e trapzios.

So figuras poligonais fechadas, que limitamuma rea do espao.

Podem ser cncavos ou convexos.

Tem ngulo Todos os ngulosinterno de 180 internos so

menores que 180

a) Quadrilteros paralelogrmicos

Quadrilteros que possuem lados opostosparalelos entre si. Pertencem a este grupo:o quadrado, o retngulo, o losango e oparalelogramo.

55


b) Trapzios

Quadrilteros que possuem dois lados para-lelos entre si chamados de bases (maior oumenor). Os lados no-paralelos so chama-dos de transversais. A distancia entre ladosparalelos chamado de altura (h).

Podem ser divididas em: retngulo, issce-les e escaleno.

c) Trapezides

Quadrilteros que no apresentam para-lelismo entre os lados.

CONSTRUO DE QUADRILTEROS

1. Construir um quadrado (regular) dado o ladoAB = 2,7cm.

a) 1.o passo:

Traar uma linha horizontal indefinida e nelamarcar a distncia AB.

b) 2.o passo:Pelos pontos A e B, levantam-se duas per-pendiculares.

c) 3.o passo:

Com centro em A e raio

AB, corta-se a per-pendicular que sobe de A no ponto D. Como mesmo raio e com centro em B, corta-sea perpendicular que sobe de B no ponto C,ligando-se os pontos C e D, obtendo-se,assim, o quadrado pedido.

2. Construir um quadrado (regular), dadas suasdiagonais.

a) 1.o passo:

Traar as duas diagonais prolongadas,cruzando-as no ponto O (centro).

b) 2.o passo:

Com a ponta-seca do compasso em O eabertura qualquer, traa-se uma circunfer-ncia, determinando quatro pontos.

c) 3.o passo:

Ligam-se os pontos na ordem A, B e C, queso os lados do quadrado.

56


3. Construir um retngulo dados os lados

AB = 4,8cm e AD = 2cm.

a) 1.o passo:

Traar uma linha suporte horizontal e, sobreela, traar o lado

AB = 4,8cm.

b) 2.o passo:

Pela extremidade A, levanta-se uma per-pendicular, marcando sobre esta o lado

AD = 2cm.

c) 3.o passo:

Traar uma paralela ao lado

AB partindopor D.

d) 4.o passo:

Levantar uma perpendicular a partir de B,obtendo o quarto vrtice C e o retngulopedido.

4. Construir um quadrado conhecendo-se a suadiagonal

AB = 3,3cm.

a) 1.o passo:

Traar uma linha suporte horizontal, mar-cando o segmento retilneo

AB.

b) 2.o passo:

Traar uma perpendicular cortando o seg-mento

AB ao meio (centro O).

c) 3.o passo:

Marcar, com a medida do raio

AO, as dis-tncias

OC para cima e

OD para baixo.Unindo-se os pontos A, B, C, e D, teremoso quadrado pedido.

5. Construir um retngulo dado o lado

AB = 6cme sua diagonal

AC = 6,5cm.

a) 1.o passo:

Traar uma linha suporte horizontal, mar-cando sobre ela a distncia AB.

b) 2.o passo:Levantar duas perpendiculares ao segmen-to

AB, pelas extremidades A e B.

c) 3.o passo:Com centro em qualquer de suas extremi-dades, no caso A, e com raio igual ao com-primento

AC da diagonal, descreve-se umarco de crculo que cortar a outra perpen-dicular no ponto C.

57


A D

A B

d) 4.o passo:

Traar uma paralela a AB passando pelo pontoC, determinado, assim, o quarto vrtice D doretngulo pedido, ligando agora os vrtices.

QUADRILTEROS

1. Construir um quadrado circunscrito, conhe-cendo-se suas diagonais e seu raio = 3cm.

2. Utilizando quatro tringulos retngulos issce-les, construir dois quadrados: um externo eoutro interno.

3. Dadas os pares de paralelas perpendicularesentre si, construa a cruz que simboliza a sadeno mundo inteiro.

4. Que objeto surgir a partir desta figura com-posta de retngulos? Escreva e/ou desenhe.

5. Construir um retngulo, dado o tringulo ABCabaixo, sabendo que o ponto C o cruzamen-to das diagonais do retngulo pedido.

6. A construtora JOO DE BARRO, possui umterreno em rea valorizada, mas totalmentefora de esquadro ou alinhamento, dificultandosua venda. Faa a diviso do terreno e vejaquantos lotes de 1cm x 2cm (no desenhoabaixo), podemos conseguir.

7. Dada o cubo abaixo, como o desenho deleaberto (planificado), usando medidas reais docubo: largura, altura e comprimento?

8. A partir do retngulo ABCD e uma diagonal,desenhe dois outros retngulos, sendo que oretngulo interno tem lado menor igual a 1cm,e o maior tem diagonal igual a 7cm.

9. A figura abaixo contm diversas formas: planase tridimensionais que se relacionam entre si. Citequais formas podemos encontrar nessa figura.

58


10. Construa dois quadrados sendo um interno eoutro externo, utilizando quatro trapziosissceles.

a) A figura abaixo um exemplo de iluso detica. Olhando para ela, temos a impressode ver pequenos quadrados ou manchascinza nos cruzamentos das faixas brancas.

Voc sabe por que isso ocorre?

R: Quando as faixas se cruzam, o contrasteentre o branco e o preto fica menor e,assim, podemos ver essas manchas cinzaclaras.

b) As diagonais AB e CD dos paralelogramosso iguais.

R: Sim. Confira.

c) A figura ABCD um quadrado?

R: Sim.

TEMA 12

TRAPZIOS

INTRODUO

Os trapzios so tringulos truncados com for-mas que transmitem estabilidade e ascenso,projeo.

Ao contrrio dos Egpcios, as civilizaes anti-gas da Amrica Central no construram seusmonumentos com base na forma triangular,mas na forma de trapzios.

CONSTRUO DE TRAPZIOS

1. Construir um trapzio issceles conhecendo-se o lado maior

AB = 4cm, a base menor

CD = 2cm e sua altura = 3,3cm.

a) 1.o passo:

Traar uma reta suporte e marcar a medida

AB, e em seguida marcar a metade de

AB(ponto mdio).

59


A B

b) 2.o passo:Levantar uma perpendicular a partir de M.

c) 3.o passo:

Marcar a altura do trapzio MM e traar umareta paralela a AB passando por M.

d) 4.o passo:

Marcar sobre esta reta paralela a AB a me-dida CD, sendo que a metade desta medidaMC est para a esquerda e MD para a dire-ita. Unindo-se os pontos A, B, C e D, obtm-se o trapzio pedido.

2. Construir um trapzio issceles conhecendo-sea base maior

AB = 4,8cm, sua altura = 2,8cme o ngulo adjacente base maior = 600.

a) 1.o passo:

Traar uma reta suporte e nela marcar amedida

AB. Em seguida, marque a altura,traando-se uma paralela a

AB.

b) 2.o passo:

Construir o ngulo com origem em A edepois com origem em B. Os ngulos le-vantados cortaro a altura em C e D,definindo, assim, o lado menor e o trapzio(de lados A, B, C e D) pedido.

4. Construir um trapzio retngulo conhecendo-sea base maior

AB = 4,8cm, o lado CD = 3,5cme sua altura = 2cm.a) 1.o passo:

Traar uma reta suporte e nela marcar amedida AB.

b) 2.o passo:Traar a altura a partir do ponto A da basemaior, marcando-se a medida dada, obten-do-se, assim, o ponto C.

c) 3.o passo:Traar uma reta paralela a

AB passandopelo ponto C.

d) 4.o passo:Medir, ento, sobre a paralela traada ocumprimento da base menor

CD. Unindo-se A, B, C e D respectivamente, teremos otrapzio pedido.

60


h

4. Construir um trapzio escaleno sendo a basemaior

AB = 4,8cm, a base menor

CD = 1,5cm,o lado

AC = 2,7cm e o ngulo adjacente base AB a partir de A, sendo = 70.

a) 1.o passo:

Traar uma reta suporte e nela marcar amedida

AB.

b) 2.o passo:

Medir e traar o ngulo sobre a base

ABcom origem em A.

c) 3.o passo:

Marcar e medir

AC sobre o ngulo levanta-do e, pelo ponto C, traar uma paralela a

AB.

d) 4.o passo:

Medir ento, sobre a paralela traada ocomprimento da base menor

CD. Unindo-se ento A, B, C e D respectivamente, tere-mos o trapzio pedido.

5. Construir um trapezide dada a base maior

AB = 4,85cm, sua base menor

CD = 2cm, olado

AC = 3cm, o lado

BD = 2,9cm e um ngu-lo = 70 adjacente a AB com origem em A.

a) 1.o passo:

Traar uma reta suporte e nela marcar a dis-tncia AB.

b) 2.o passo:

Medir e traar o ngulo sobre

AB com cen-tro em A.

c) 3.o passo:

Marcar a medida

AC sobre o lado do ngu-lo levantado.

d) 4.o passo:

Com centro em C e abertura

CD = 3cm (feitacom compasso) faz-se um arco aleatrio.

e) 4.o passo:Com centro em B e abertura do compassocom a medida

BD, faz-se outro arco cortan-do o arco anterior originando o ponto D.Une-se, ento, os pontos A, B, C e D paraobter o trapzio pedido.

61


TRAPZIOS

1. Construir um trapzio issceles, dada a suabase maior

AB = 5cm , sua altura h = 4cm eum ngulo de 80 adjacente base

AB.

2. Dado o tringulo eqiltero A B C, construir umtrapezide, sendo o lado

AD = 4cm e o lado

BE = 3cm.

3. Construir e identificar o trapzio conhecendo-seo lado

AD = 4,5cm, suas diagonais

AC = 6,8cme

BD = 7,7 cm, com altura h = 4,4cm.

4. Construir um trapzio retngulo conhecendo-se a base maior

AB = 6cm, a base menor

CD = 2cm e sua altura

AD = 3cm.

5. Construir um trapzio retngulo, dada a suabase maior

AB = 6cm e o ponto mdio dessabase (metade de

AB).

6. Descreva as caractersticas de um trapzioquanto:

Aos lados: ________________________________

Aos ngulos: _____________________________

7. Dada a circunferncia abaixo, construir umtrapzio issceles, sabendo-se que sua basemaior o dimetro da circunferncia e seusquatro pontos (A, B, C e D) tocam essa circun-ferncia.

8. Determine o permetro do trapzio dado sobrea linha abaixo.

9. Abaixo, temos um quadrado e uma de suasdiagonais. Com apenas um trao, divida oquadrado em dois trapzios retngulos.

10. Construir um trapzio issceles, dada a basemaior

AB = 6cm, base menor

CD = 4cm esua altura = 4cm.

11. Desenhar um trapzio issceles circunscrito,dada a base maior

AB = 6cm, um ngulo adja-cente base = 60, em que a base maior o dimetro da circunferncia.

12. Complete o desenho da barra de ouro unindoos vrtices das letras iguais.

13. Dado o trapzio, divida-o de forma a obter:

a) Um trapzio retngulo.

b) Um tringulo retngulo.

62


14. Construir um trapzio escaleno, dada a basemaior

AB =6cm, a base menor

CD = 2.5cm, olado

AC =3cm e dois ngulos adjacentes base maior, = 60 e = 45.

15. Complete, com um trapzio issceles, o dese-nho da casa.

16. Dado o quadrado, divida-o para obter quatrotrapzios issceles).

17. Dadas trs figuras, monte um trapzio.

18. Decomponha a figura dada em:

a) Dois trapzios retngulos.

b) Um tringulo equiltero.

c) Um trapzio issceles.

19. Vamos ligar os pontos na ordem alfabtica ever que figura vai surgir.

20. No futebol de rua, a garotada jogou a bola con-tra uma janela, estilhaando a vidraa. Des-taque as partes de vidro que formam trapzios.

63


TEMA 13

LOSANGOS E PARALELOGRAMOS

Diferenciam-se dos quadrilteros retangularespela sua inclinao ou angulao, proporcio-nada pelas suas diagonais de tamanho, trans-mitindo sensao de desequilbrio e, aomesmo tempo, dinamismo, parecendo estarem movimento ou deslocamento.

Sensao de movimento

O quadrado esttico.

O losango tem movimento diagonal.

Aplicaes

CONSTRUO DE PARALELOGRAMOS

1. Construir um losango dados um lado

AB = 2,7cme um ngulo = 60.

a) 1.o passo:

Traar uma reta suporte e, sobre esta, mar-car o segmento retilneo

AB, que o ladodado.

b) 2.o passo:

Marca-se o ngulo a partir do segmento

AB,tendo como origem a extremidade A, pro-longando-se o outro lado do ngulo.

c) 3.o passo:

Com centro em A e abertura igual a

AB, le-vanta-se um arco, cruzando o lado dongulo levantado.

d) 4.o passo:

Traar, a partir de B, um segmento paraleloa

AC (prolongado). Da mesma forma, traaruma reta paralela a

AB passando por C edefinindo o ltimo ponto que o D. Unindoos pontos A, B, C, D, e A teremos o losan-go desejado.

2. Construir um losango, dadas as duas diago-nais, sendo a diagonal maior

AB = 4cm e adiagonal menor

CD = 2,5cm.

a) 1.o passo:

Traar as duas diagonais perpendicularesentre si (prolongadas) que se cruzam emseus meios (origem).

64


b) 2.o passo:

Marcar, a partir do cruzamento das diago-nais (O), a metade da medida AB, sendo

AO = 2cm e

OB = 2cm (diagonal maior).

c) 3.o passo:

Desta vez, marcar a partir de O a metade damedida

CD, sendo

OC = 0,8cm e

OD = 0,8cma diagonal menor. Obtido os quatro pontos,liga-se e obtm-se o losango pedido.

3. Construir um losango sabendo-se o seu lado

AB = 2,7cm. (usar compasso e rgua).

a) 1.o passo:

Traar uma reta suporte e nela marcar osegmento

AB.

b) 2.o passo:

Com centro em A e abertura

AB, traa-seum arco acima de B.

c) 3.o passo:

Com centro em B e mesma abertura

BC,traa-se um arco que cruzar o arco anteri-or definindo o ponto C.

d) 4.o passo:

Com centro em C e abertura (mesma)

CB,traa-se um arco cruzando o arco

BA edefinindo o ponto D. Unindo-se os pontosA, B, D e C, temos o losango desejado.

4. Construir um paralelogramo dado o lado

AB = 4,8cm, o lado

AC = 2,2cm e o nguloadjacente a AB, = 45

a) 1.o passo:

Traa-se uma reta suporte e marca-se amedida AB.

b) 2.o passo:

Constri-se o ngulo sobre o segmento

AB com origem em A.

c) 3.o passo:

Traa-se sobre o lado do ngulo levanta-do a medida

AC.

65


O

O

d) 4.o passo:

Traa-se uma paralela ao lado

AB passan-do por C e outra ao lado

AC passando porB, definindo o ponto D. Unem-se os pontoscom trao forte e obtm-se o paralelogramopedido.

5. Construir um paralelogramo, dados os lados

AB = 4,8cm, um ngulo = 45 adjacente aolado

AB e sua altura = 1,4cm.

a) 1.o passo:

Traar uma reta suporte e marcar a medidaAB.

b) 2.o passo:

Constri-se o ngulo a partir do segmento

AB com centro em A, alongando-se o ladodo ngulo aberto.

c) 3.o passo:

Repete-se a mesma operao para a cons-truo do ngulo, tendo a extremidade Bcomo centro.

d) 4.o passo:

Traa-se a altura perpendicular ao segmen-to

AB. Em seguida constri-se uma paralelaa

AB cruzando os ngulos levantados nospontos C e D, onde A, B, C e D formam oparalelogramo.

1. Desenhar um losango, dado o lado

AB = 4cm.

2. Desenhar um losango, dadas as diagonais

AC = 5cm e

BD = 3cm.

3. Desenhar um paralelogramo, dado o ladomaior

AB = 5,5cm e o lado menor

AD = 2,5cme o ngulo adjacente

AB = 45.

4. Construir um paralelogramo, dado o ladomaior

AB = 5cm, um ngulo adjacente base = 60 e sua altura = 2cm.

5. Dada a circunferncia e a sua diviso, construatrs losangos para obter uma figura a saber.

6. Divida o hexgono regular com dois losangospara obter um cubo.

7. Complete o desenho da casa com um losango.

66


8. Dado o mdulo abaixo, repita-o para formarum painel (composio por repetio).

9. Dado o retngulo, divida-o para obter um para-lelogramo.

10. Complete o desenho da bandeira do Brasilsabendo que os lados do retngulo so

AB = 7cm e

BC = 4cm e o losango tem dia-gonais

AC = 6cm e

BD =3,5cm.

11. Dados os quadrados e uma linha poligonal,ligue as letras iguais para obter um objeto tridi-mensional com um furo.

12. O desenho tridimensional do parafuso estincompleto, restando duas faces em forma delosangos; finalize-o.

13. Observe a linha poligonal abaixo e reproduzaeste caminho, utilizando losangos.

14. Construa um tringulo eqiltero e divida-opara obter trs losangos que, ao serem escure-cidos, far surgir a marca MITSUBISHI.

15. Monte pelo menos cinco combinaes dife-rentes com os dois paralelogramos abaixo.

67


UNIDADE VPolgonos e Poliedros

71

Desenho Geomtrico Polgonos e Poliedros

TEMA 14

POLGONOS

Introduo

a regio do plano limitada por uma linha poli-gonal fechada.

Os polgonos esto presentes em quase todasas coisas que usamos ou vemos, enchendo omundo que nos cerca, com suas variadas for-mas e composies. Basta observar coisasque voc esta usando ou ao seu redor.

Ao longo do tempo, fomos aprendendo a ob-servar, associar e aplicar as formas geomtri-cas naturais ao nosso mundo prprio.

1. Classificando os polgonos (com mais decinco lados)

1. Polgonos regulares e irregulares

a. Polgonos regulares So formas inscritase circunscritas por circunferncia. Possuingulos externos tambm iguais, sendoque a soma dos ngulos internos igual a360.

b. Polgonos no-regulares Possuem ladoscom tamanhos diferentes e ngulos inter-nos e externos diferentes, sendo que asoma dos ngulos internos tambm de360.

2. Polgonos inscritos e circunscritos.

a. Polgonos inscritos Os vrtices do pol-gono esto sobre a circunferncia.

b. Polgonos circunscritos Os lados dopolgono so tangentes circunferncia.

3. Polgonos convexos e cncavos.a. Polgonos convexos So polgonos que

no possuem vrtices reentrantes, ou seja,todas as diagonais esto na regio interna.

72


b. Polgonos cncavos So polgonos quepossuem ngulos reentrantes, ou seja, vr-tices em direo ao interior do polgono.

Observao:

A tendncia de um polgono, medida queaumenta o seu nmero de lados, de se apro-ximar da forma de uma circunferncia.

Construo de Polgonos Regulares emfuno do lado

1. Construir um pentgono regular, conhecendo-se o seu lado

AB = 1,6cm.

1.o passo:

Traar o lado

AB e com centro em A e raio

AB,construir uma circunferncia.

2.o passo:

Com centro em B e mesmo raio, traa-se outra

circunferncia, cortando-se os pontos P e O,

pelos quais passam uma linha prolongada.

3.o passo:

Com centro em O e raio

AB, traa-se a ltima

circunferncia, que vai cortar o segmento

OP

no ponto G e as duas circunferncias j

traadas nos pontos 1 e 2.

4.o passo:

Une-se o ponto 1 ao ponto G e prolonga-se a

linha assim obtida at a circunferncia do cen-

tro A. Une-se depois o ponto 2 ao ponto G e

prolonga-se tambm esta reta at que ela corte

a circunferncia do centro B.

5.o passo:

As duas linhas traadas determinaro, no en-

contro com as duas circunferncias, os pontos

P

P

O

O

73


C e D que, unidos respectivamente a A e a B,

definindo mais dois lados sendo,

AC e

BD.

6.o passo:

Com centro em C e raio

AB, traa-se um arcoX e, em seguida, com o mesmo raio e centroem D, descreve-se o arco Y, cortando o arco Xno ponto E. Unindo-se o ponto E ao ponto C ea D, teremos os dois lados restantes,

EC e

EDdo pentgono pedido.

2. Construir um hexgono regular conhecendo-se o lado

AB = 1,6cm.

1.o passo:

Traa-se o lado

AB e com centro em A e raio

AB, descreve-se o arco 2. Com o centro em B emesmo raio, traa-se o arco 1 que cortar oprimeiro arco em O.

2.o passo:

Com centro em O e raio

AB, traa-se uma cir-cunferncia.

3.o passo:

Com a distncia

AB e centro em B, marca-sesobre a circunferncia o ponto C, utilizando-seo ponto seguinte como centro, at marcar osexto ponto do hexgono, no caso F.

4.o passo:

Finalmente, ligam-se os pontos A, B, C, D, E, F,A, nessa ordem, para obter o hexgono regu-lar pedido.

3. Construir um heptgono regular conhecendo-se o seu lado

AB = 2cm.

1.o passo:

Marca-se sobre uma linha suporte horizontal adistancia

AB igual ao lado conhecido, e emseguida a distncia

BC igual a

AB na mesmalinha.

2.o passo:

Admitindo-se o seguimento

AC como base deum tringulo eqiltero, constroe-se esta figurade vrtices A, C e D.

P

E P

74


3.o passo:Levanta-se uma perpendicular por B, que omeio da base

AC, e em seguida traa-se outraperpendicular, desta vez pelo meio do lado

CD,cortando a altura

BD em O.

4.o passo:Com centro em O e raio

OA, traa-se uma cir-cunferncia que circunscrever o tringulo.Aplique-se agora o lado

AB.

5.o passo:Com centro em A e distncia

AB, marca-sesobre a circunferncia no ponto 1, onde A1 oprimeiro lado da figura.

6.o passo:

Marca-se a distncia

AB sobre a circunfernciapara obter os lados pelos pontos 1, 2, 3, 4, 5,6, A, que unidos completaro o heptgonopedido.

4. Construir um octgono conhecendo-se o seulado AB = 1,5cm.

1.o passo:

Traa-se uma reta suporte e sobre esta marca-se a medida do lado, levantando-se em segui-da duas perpendiculares a este lado a partir deA e de B.

2.o passo:

Traam-se as duas bissetrizes destes doisngulos retos, uma com origem em A e outracom origem em B.

3.o passo:

Marca-se sobre a reta do ngulo de origem Amedida

AC, e sobre a reta do ngulo deorigem B a medida

BD.

75


4.o passo:

Levantam-se pelos pontos C e D duas perpen-diculares reta suporte de

AB, nas quais mar-cam-se as distncias

CE e

DF, respectivamenteiguais a

AB.

5.o passo:

Com centro em E e raio

AB, corta-se a perpen-dicular que passa por A no ponto G; com omesmo raio e centro em F, corta-se agora aperpendicular a

AB que parte de B no ponto H.Ligando-se agora os pontos A, B, D, F, H, G, E,C e A teremos o octgono pedido.

2. CONSTRUO DE POLGONOS INSCRITOSEM FUNO DA CIRCUNFERNCIA

1. Dividir a circunferncia em trs partes iguais econstruir um tringulo eqiltero circunscrito.

1.o passo:

Traa-se o dimetro horizontal

AB da circunfer-ncia e levanta-se uma perpendicular pelomeio(M) do raio

AO. Esta linha vai cortar a cir-cunferncia nos pontos C e D.

2.o passo:Os pontos B, C e D so os trs lados do trin-gulo inscrito.

2. Dividir a circunferncia de raio

OA = 1,7cm emquatro e oito partes iguais, ou ento construirum quadrado e um octgono inscritos.

1.o passo:Traam-se, inicialmente, os dimetros

AB e

CDperpendiculares, dividindo a circunferncia emquatro partes iguais.

2.o passo:Traa-se uma circunferncia com centro em Oe abertura

OA, que vai tocar os dimetros nospontos A, B, C, e D.

3.o passo:A ligao dos pontos

AD,

DB,

BC e

CA deter-mina o quadrado inscrito.

O

76


4.o passo:

Traa-se uma perpendicular pelo meio doslados

AC e

BD, cortando a circunferncia nospontos E e F, obtendo-se mais dois pontos dafigura.

5.o passo:

Desta vez, traa-se uma perpendicular pelomeio dos lados

AD e

BC, obtendo-se sobre acircunferncia os pontos G e H, que so os lti-mos pontos da figura circunscrita.

6.o passo:

Ligando-se, respectivamente, os pontos A, G, D,F, B, H, C, E, A, teremos um octgono inscrito.

3. Construir um pentgono circunscrito conhe-cendo-se a circunferncia.

1.o passo:

Traam-se, em primeiro lugar, os dois dime-tros perpendiculares da circunferncia, sendoestes

AB e

CD.

2.o passo:

Divide-se o raio

OD ao meio, determinando oponto X. Com raio

XA, descreve-se um arco quevai cortar o dimetro

AB (horizontal) no ponto P.

3.o passo:

Agora, com o centro em A e raio

AP, traa-seoutro arco, que vai determinar na circunfern-cia o ponto E, que unido com A dar o lado dopentgono circunscrito.

4.o passo:

Finalmente, com centro em E e medida con-stante

AE, marcam-se sobre a circunfernciaos pontos E, F, G, H, A restantes que ligadosdefiniro o pentgono regular inscrito.

E

E H

F G

77


4. Construir um hexgono regular conhecendo-se a circunferncia de dimetro

AB = 3,4cm.

1.o passo:

Traa-se uma reta suporte horizontal na qualmarca-se o dimetro

AB e seu meio O (centro).

2.o passo:

Traa-se a circunferncia, e com centro em A eraio

AO, descreve-se arco de crculo que cor-tar a circunferncia duas vezes, obtendo-seos pontos C e D, onde

AC ou

AD j o lado dopentgono circunscrito.

3.o passo:

Agora, com centro em B e raio

BO, descreve-seum outro arco de circulo que cortar a circun-ferncia nos pontos E e F. Unindo-se os pontosA, C, E, B, F e D, obtem-se o hexgono regularinscrito.

5. Construir um heptgono regular circunscrito,conhecendo-se o dimetro da circunfernciaAB = 3,4cm.

1.o passo:

Traar o dimetro AB horizontal e sua circun-ferncia pelo meio de AB.

2.o passo:

Com centro em A raio

AO, traa-se um arco docrculo que cortar a circunferncia nos pontos1 e 3.

3.o passo:

Unindo-se os pontos

13, teremos uma reta per-pendicular que cortar o dimetro

AB no ponto2. O segmento

12 o lado do heptgono.

4.o passo:

Com centro em 1 e medida

12, traa-se umarco que cortar a circunferncia no ponto A,repetindo-se, ento, ao longo da circunfernciaat o ponto 1. Unem-se os pontos 1, 4, 5, 6, 7,8 e 9 para obter o heptgono regular inscrito.

6. Construir um nonegono regular circunscritoconhecendo-se o dimetro

AB = 3,4cm da cir-cunferncia.

9

8

7

6

5

78


1.o passo:

Traa-se o dimetro

AB e pelo seu meio O(centro) constri-se a circunferncia de raioAO.

2.o passo:

Levanta-se uma perpendicular ao raio

OB peloponto C, cortando a circunferncia no ponto G.

3.o passo:

Com centro em C o raio

OB, descreve-se umarco que cortar a perpendicular traada noponto D.

4.o passo:

Com centro em D e mesmo raio

OB, corta-se oarco que parte de D no ponto E.

5.o passo:

Liga-se agora E a O. Essa linha corta a circun-ferncia no ponto F, que ligado a G determina osegmento retilneo que o lado do enegono.Com abertura

FG marcam-se sobre a circunfer-ncia os nove lados (F, G, H, I, A, J, L, M e N)doenegono pedido.

POLGONOS

1. Construir um pentgono regular de raio

OA = 3cm pela diviso da circunferncia.

2. Construir um hexgono regular circunscrito,dado o tringulo abaixo.

3. Construir um octgono regular inscrito, dadosa circunferncia e os dois dimetros abaixo.

J

L M

N

H

I

O

BA

A

C

E

G

79


4. Construir um heptgono regular circunscrito,sabendo-se que

AB o seu lado, e o ponto O o centro da figura pedida.

5. Construir um hexgono regular circunscrito,dada a figura abaixo.

6. Construir um decgono (10 lados) regular cir-cunscrito, dado o pentgono regular.

7. Construir um octgono regular circunscrito,dadas as retas paralelas abaixo.

8. Construa a estrutura da roda gigante, saben-do-se que ela possui lados iguais ao lado

AB.

9. Dado o enegono regular circunscrito, ligar comcordas de circunferncia os pontos de quatroem quatro para obter uma figura estrelada.

10. O proprietrio de um automvel esportivo pre-cisou trocar-lhe os pneus e aproveitou e trocouo jogo de aros dos pneus. Crie, ento, um no-vo modelo de aro tendo como base um hex-gono regular (h vrias solues).

11. Complete o desenho do parafuso cuja cabeatem forma de hexgono regular.

A

I

G

E

C

A B

80


12. Dado o pentgono regular circunscritvel deraio = 2,4cm, traar um semelhante de mesmaorigem e raio = 3cm.

13. Os lados do tringulo abaixo so lados de trspolgonos regulares inscritos sendo:

a) pentgono;

b) hexgono;

c) decgono.

Identifique o lado do tringulo com o lado-basedos polgonos citados.

14. Uma pedra preciosa foi encontrada em suaforma bruta (dodecgono irregular). Lapide-ana forma de um pentgono irregular.

15. A figura seguinte um polgono estrelado porqu?

16. O proprietrio da mesa abaixo, sem condiesde comprar uma nova, decidiu modific-la parauma forma de um octgono irregular inscritveleliminando as quinas da mesa. Auxilie com odesenho para evitar problemas no corte dasquinas da mesa.

81


TEMA 15

POLIEDROS

Histrico de poliedros

As primeiras construes geomtricas surgi-ram com problemas simples, como a medida ea diviso de terra, e a construo da roda. Nes-te estgio, a Geometria era um bando de recei-tas para clculos de permetros e reas. Cedoo homem aprendeu que solues retilneas erammais econmicas, aprendeu a trabalhar com fi-guras regulares e a fazer divises que so f-ceis de construir. As primeiras construes, asmais primitivas, j eram modelos de cones ecilindros, como, por exemplo, as cabanas dendios e os poos artesanais. Alguns slidosregulares, como pirmides e prismas, talvez porserem mais econmicos, foram sendo mais emais usados. J por volta de 1000 a.C., monu-mentos imensos, como pirmides, j tinham sidoerguidos. J se conhecia como construir ngu-los retos e como retificar a circunferncia. Odesejo de se sentir bem nos seus ambienteslevou o homem a desenvolver a esttica pormeio da Arquitetura e da Decorao. A Geo-metria encontra-se presente na ArquiteturaEgpcia, Assria-Babilnica, Grega e Romana,como tambm na decorao por meio do re-conhecimento e da repetio de mdulo e suassimetrias, muito usado nas culturas Egpcia,Grego-Romana e rabe.

Os poliedros regulares fascinaram os antigoscomo smbolo de perfeio da natureza. OsGregos, mais precisamente os Pitagricos, jsabiam da existncia de trs dos cinco po-liedros regulares: o cubo, o tetraedro e o dode-caedro. Cubos e tetraedros j eram conheci-dos de Egpcios e Babilnios. Os Etruscos, porvolta do ano 1000 a.C., construram um dadoem forma de um dodecaedro. Esses poliedrosforam muito estudados pela Escola de Plato,que construiu uma teoria filosfica baseadaneles, comparando-os com os cinco elemen-tos da natureza.

Introduo

Diz-se poliedro todo slido limitado por pol-

gonos planos. Os polgonos so colocadoslado a lado, no-coplanares, definindo um tre-cho fechado no espao.

A palavra edro vem da palavra hedra, que emgrego quer dizer face.

No espao, o pequeno no pouco, nem ogrande muito. a

licenciatura em matematica - desenho geometrico -1

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