1 ano desenho geometrico

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DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO - 2015 1 APOSTILA 2015 DESENHO GEOMÉTRICO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA

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  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 1

    APOSTILA 2015

    DESENHO GEOMTRICO

    PROFESSOR: DENYS YOSHIDA

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 2

    Sumrio

    1. Trigonometria no triangulo retngulo .....................................................................................3

    1.1 Tringulo retngulo .................................................................................................................4

    1.2 Teorema de Pitgoras.............................................................................,,,,,,,.........................4

    1.3 Outras relaes no tringulo retngulo ...................................................................................7

    1.4 Nomenclatura dos catetos....................................... ................................................................9

    1.5 Razes trigonomtricas no tringulo retngulo .......................................................................9

    2. Geometria Plana...................................................................................................................13

    2.1 Razes entre segmentos de retas ........................................................................................13

    2.2 Segmentos proporcionais ......................................................................................................13

    2.3 Teorema de Tales..................................................................................................................16

    2.4 Semelhana de tringulos......................................................................................................21

    2.5 Casos de semelhana............................................................................................................21

    3. Polgonos .............................................................................................................................25

    3.1 Definio e classificao.......................... .............................................................................25

    3.2 Polgonos convexos e no convexos.....................................................................................26

    3.3 ngulos de um polgono ........................................................................................................27

    3.4 Diagonais de um polgono .....................................................................................................27

    3.5 rea de polgonos .................................................................................................................28

    4. Circunferncia e crculo........................................................................................................34

    4.1 Definio........................... ....................................................................................................34

    4.2 Comprimento da circunferncia.............................................................................................34

    4.3 rea da circinferncia.............................................................................................................35

    5. Polgonos regulares..............................................................................................................37

    5.1 Definio................................................................................................................................37

    5.2 Polgonos inscritos e circunscritos na circunferncia.............................................................37

    5.3 Quadrado inscrito na circunferncia.......................................................................................38

    5.4 Tringulo equiltero inscrito na circunferncia.......................................................................38

    5.5 Hexgono inscrito na circunferncia......................................................................................38

    Referncias bibliogrficas...........................................................................................................42

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 3

    1. Trigonometria no tringulo retngulo

    A Trigonometria possui uma infinidade de aplicaes prticas. Como medir a altura de um

    arranha-cu de 100 andares sem escal-lo? Ou medir a largura de um rio sem atravess-lo de

    uma margem outra? A trigonometria (trigono=tringulo; metria=medida) o ramo da

    matemtica que trata das relaes entre os lados e ngulos de tringulos e serve para calcular

    distncias inacessveis, muito utilizadas na astronomia e geografia. A trigonometria uma

    ferramenta da Engenharia, Arquitetura, Fsica, Aeronutica, Navegao, Topografia e em toda

    atividade que envolve a localizao espacial de pontos e o clculo de distncias entre eles.

    Enfim, a trigonometria serve para uma infinidade de clculos, dentre eles, podemos citar:

    calcular a quantidade de degraus necessrios para por numa escada, determinar o tamanho e

    declividade de um terreno para evitar deslizamentos e assim salvar vidas, calcular o ngulo

    certo para lanamento de misses e foguetes, calcular o ngulo de declividade de rampas de

    acessos a prdios e etc.

    Determinao da altura de certo monumento:

    Os gregos determinaram a medida do raio da Terra, por um processo muito simples. Seria

    impossvel se medir a distncia da Terra Lua, porm com a Trigonometria isso se torna muito

    simples.

    Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele

    mais fcil quando ele usa alguns recursos trigonomtricos.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 4

    Um cartgrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento

    de um rio, etc. Sem a Trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto

    possvel calcular com o uso da Trigonometria no tringulo retngulo.

    1,1 Tringulo Retngulo

    um tringulo que possui um ngulo reto, isto , um de seus ngulos mede noventa graus, da

    o nome de tringulo retngulo. Como a soma das medidas dos ngulos internos de um

    tringulo igual a 180, ento os outros dois ngulos mediro 90.

    Observao: Se a soma de dois ngulos mede 90, estes ngulos so chamados

    complementares, portanto podemos dizer que o tringulo retngulo possui dois ngulos

    complementares.

    Lados de um Tringulo Retngulo

    Os lados de um tringulo retngulo recebem nomes especiais. Estes nomes so dados de

    acordo com a posio em relao ao ngulo reto. O lado oposto ao ngulo reto a hipotenusa.

    Os lados que formam o ngulo reto (adjacentes a ele) so os catetos.

    1.2 Teorema de Pitgoras

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 5

    O teorema de Pitgoras talvez seja o mais importante teorema de toda a matemtica. Com ele

    podemos descobrir a medida de um lado de um tringulo retngulo, a partir da medida de seus

    outros dois lados.

    Teorema de Pitgoras: a soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da

    hipotenusa.

    a + b = c

    Exemplo de aplicao

    Calcule o valor do segmento desconhecido no tringulo retngulo a seguir:

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 6

    15

    225

    225

    14481

    129

    2

    2

    222

    x

    x

    x

    x

    x

    Exerccios propostos

    1- Enuncie o Teorema de Pitgoras.

    2- Determine o valor do segmento desconhecido no tringulo abaixo:

    3- Os catetos de um tringulo retngulo so respectivamente 6 m e 8 m. Qual a medida da

    hipotenusa?

    4- Sabendo que os catetos de um tringulo retngulo medem 1 m e 3 m, calcule o valor da

    hipotenusa.

    5- A hipotenusa de um tringulo retngulo igual a 12 m e um cateto mede 8 m. Quanto

    mede o outro cateto?

    6- A hipotenusa de um tringulo retngulo mede 13 cm e um de seus catetos mede 5 cm.

    Calcule o valor de outro cateto?

    7- Determine o permetro de um tringulo retngulo cujos catetos medem 12 cm e 5 cm.

    8- A altura de uma rvore 7 m. Ser fixada uma escada a 1 m de sua base para que um

    homem possa podar seus galhos. Qual o menor comprimento que essa escada deve ter?

    9- Genoveva est participando de uma caa ao tesouro com um mapa de instrues e uma

    bssola. Ao chegar a ultima instruo, ela seguiu 120 passos para o oeste, mas deveria ter

    12 x

    16

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 7

    seguido 50 passos para o norte. Ao perceber o erro, resolveu voltar e recomear, mas

    pensou que poderia economizar alguns passos se soubesse a direo exata do tesouro a

    partir daquele ponto. Se pudesse ir direto ao tesouro, quantos passos a menos Genoveva

    daria?

    10- Qual o valor dos catetos de um tringulo retngulo issceles sabendo que a hipotenusa

    mede 10 cm?

    11- As razes da equao 048142 xx expressam em centmetros as medidas dos

    catetos de um tringulo retngulo. Determine a medida da hipotenusa e o permetro desse

    tringulo.

    12- Em um tringulo retngulo, um cateto mede o dobro do outro, e a hipotenusa mede 10 m.

    Calcule a medida, em metros, do cateto maior desse tringulo.

    13- Determine a medida da diagonal de um quadrado de 9 cm de lado.

    14- Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede cm28 .

    15- (PUC-SP) Um ciclista acrobtico vai atravessar de um prdio a outro com uma bicicleta

    especial, percorrendo a distncia sobre um cabo de ao, como demonstra o esquema a

    seguir:

    Qual a medida mnima aproximada do comprimento do cabo de ao?

    1.3 Outras relaes no tringulo retngulo

    Dado um tringulo retngulo ABC, reto em A, com hipotenusa igual a a e catetos iguais a b e c:

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 8

    Se nesse mesmo tringulo retngulo traarmos uma reta h que parte do vrtice A e que seja

    perpendicular ao lado a no ponto H, essa reta ser a altura do meu tringulo retngulo e ir

    dividir o lado a em dois lados m e n:

    Assim formamos mais dois tringulos retngulos: ABH e AHC.

    Nesses novos tringulos podemos observar as seguintes relaes:

    nmh .2

    amc .2

    anb .2

    hacb ..

    Exemplo

    Calcular os catetos de um tringulo retngulo, sabendo que as suas projees sobre a

    hipotenusa medem 2 cm e 3 cm.

    cmanma 532

    cmbbanb 1515. 22

    cmccamc 1010. 22

    Exerccios propostos

    16- Num tringulo retngulo, os catetos medem 6 cm e 8 cm. Determine a medida:

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 9

    a) Das projees ortogonais de cada cateto sobre a hipotenusa.

    b) Da altura relativa hipotenusa

    c) Da hipotenusa

    17- Num tringulo retngulo, a hipotenusa mede 10 e os catetos medem 52 e 54 . Calcule

    a altura correspondente hipotenusa.

    18- Determine, num tringulo retngulo de catetos com medidas iguais a 3 e 4, a medida da

    hipotenusa e a altura relativa hipotenusa.

    19- Em um tringulo retngulo ABC, a altura relativa hipotenusa BC divide-a em dois

    segmentos que medem 3 cm e 12 cm. Calcule a rea desse tringulo.

    20- Em um tringulo retngulo ABC, o cateto AB mede 5 cm e a altura relativa hipotenusa BC

    mede m52 . Calcule a medida do cateto AC.

    1.4 Nomenclatura dos catetos

    Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posio em relao ao ngulo sob

    anlise. Se estivermos operando com o ngulo C, ento o lado oposto, indicado por c, o

    cateto oposto ao ngulo C e o lado adjacente ao ngulo C, indicado por b, o cateto adjacente

    ao ngulo C.

    NGULO LADO OPOSTO LADO

    ADJACENTE

    C c cateto oposto b cateto adjacente

    B b cateto oposto c cateto adjacente

    1.5 Razes trigonomtricas no tringulo retngulo

    Num tringulo retngulo, podemos estabelecer razes entre as medidas dos seus lados:

    catetos (que formam o ngulo reto) e hipotenusa (que se ope ao ngulo reto). Dado o

    tringulo retngulo ABC abaixo:

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 10

    Podemos definir as seguintes razes trigonomtricas:

    Seno de um ngulo: a razo entre a medida do cateto oposto a esse ngulo e da

    hipotenusa.

    Cosseno de um ngulo: a razo entre a medida do cateto adjacente a esse ngulo e da

    hipotenusa.

    Tangente de um ngulo: a razo entre a medida do cateto oposto e do cateto adjacente a

    esse ngulo.

    Exemplo de aplicao:

    Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ngulos B e C no tringulo retngulo abaixo:

    4

    3

    12

    9

    5

    4

    15

    12cos

    5

    3

    15

    9

    Btg

    B

    Bsen

    3

    4

    9

    12

    5

    3

    15

    9cos

    5

    4

    15

    12

    Btg

    C

    Csen

    Valores importantes de seno, cosseno e tangente.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 11

    30 45 60

    Seno

    2

    1

    2

    2 2

    3

    Cosseno

    2

    3 2

    2 2

    1

    Tangente

    3

    3

    1 3

    Exerccios propostos

    21- Dado o tringulo retngulo abaixo:

    E sabendo que o lado AB mede 8 cm e o lado AC mede 6cm, calcule seno, cosseno e

    tangente dos ngulos B e C.

    22- Num tringulo retngulo, os catetos medem 2 m e 3 m. Sendo o menor ngulo desse

    tringulo, calcule o seno, o cosseno e a tangente de .

    23- Num tringulo retngulo, os catetos medem 9 cm e 12 cm. Sendo o menor ngulo

    desse tringulo, calcule o seno, o cosseno e a tangente de .

    24- Dado o tringulo abaixo, calcule o valor de seno, cosseno e tangente dos ngulos de 30 e

    60.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 12

    25- Calcular os catetos de um tringulo retngulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos

    ngulos mede 60.

    26- Calcule o permetro do tringulo retngulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC

    igual a 10m e 5

    3cos .

    27- Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa

    parede um ngulo de 60. Qual o comprimento da escada em metros?

    28- Uma escada de 10m apoiada em um muro, formando com o cho um ngulo de 20.

    Calcule a altura do muro, sabendo que 34,020 sen .

    29- Um navio avista a torre de um farol segundo um ngulo de 30. Sabendo que a altura do

    farol de 72 m, determine a distncia do navio ao farol. (Despreze a altura do navio).

    30- Num campeonato de asa-delta, um participante se encontra a uma altura de 160 m e v o

    ponto de chegada a um ngulo de 60. Determine a distncia aproximada em que ele est

    desse ponto de chegada.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 13

    2. Geometria Plana

    Os estudos iniciais sobre a Geometria Plana esto relacionados Grcia Antiga, ela tambm

    pode ser denominada Geometria Euclidiana, em homenagem a Euclides de Alexandria, grande

    matemtico educado na cidade de Atenas.

    Os princpios que levaram elaborao da Geometria Plana eram baseados nos estudos do

    ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que no tinha definio

    plausvel, a reta era definida como uma sequncia infinita de pontos e o plano definido

    atravs da disposio de retas.

    2.1 Razo entre segmentos de retas

    Segmento de reta o conjunto de todos os pontos de uma reta que esto limitados por dois

    pontos que so as extremidades dos segmentos, sendo um deles o ponto inicial e o outro o

    ponto final. Denotamos um segmento por duas letras quaisquer.

    A _____________ B

    Chamamos razo entre dois segmentos a razo ou quociente entre os nmeros que

    expressam as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade.

    Exemplo: Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:

    A________B m(AB)=2cm

    C ______________ D m(CD)=5 cm

    A razo entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por CD

    AB, definida como a razo entre

    as medidas desses segmentos, logo: 5

    2

    CD

    AB.

    2.2 Segmentos proporcionais

    Dizemos que quatro segmentos BA , DC , FE e HG , nessa ordem, so proporcionais,

    quando a razo entre os dois primeiros for igual razo entre os dois ltimos, ou seja:

    HG

    FE

    DC

    BA .

    Exemplo de aplicao

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 14

    Verifique se os seguintes segmentos cmAB 4 , cmCD 6 , cmEF 8 e cmGH 12

    formam, nessa ordem, uma proporo.

    6

    4

    12

    8

    6

    4

    GH

    EF

    CD

    AB

    Logo, podemos afirmar que os segmentos, nessa ordem, so proporcionais.

    Exerccios propostos

    31- Dados os seguintes segmentos:

    m( AB ) = 5 cm

    m( BC ) = 15 cm

    m( DE ) = 7 cm

    m( EF ) = 14 cm

    Determine:

    a) BC

    AB d)

    EF

    DE

    b) EF

    AB e)

    BC

    DE

    c) DE

    EF f)

    AB

    BC

    32- Observe a figura abaixo, onde mostra m( AB ) = m( BC ) = m (CD ) = m( DE )=1cm cada

    um dos segmentos, e determine:

    __________________________

    A B C D E

    a) BD

    AB d)

    AE

    AC

    b) CD

    BE e)

    AD

    BE

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 15

    c) DE

    AB f)

    CE

    DE

    33- Sabendo-se que AB , CD , EF e GH so proporcionais, nessa ordem, determine o valor

    de x nos seguintes casos:

    a) AB= 4 cm CD=X EF=12 cm GH= 9 cm

    b) AB= 2 m CD=X EF= X GH= 8 m

    c) AB= X CD=4 dm EF=16 dm GH= X

    d) AB=15 cm CD=3 cm EF=X 3 GH= 1 cm

    e) AB= 2X + 1 CD=9 cm EF=5 cm GH= 3 cm

    f) AB= 5 m CD= X EF=2X GH= 10 m

    34- Responda s questes:

    a) A razo entre certo nmero e 6 2. Qual esse nmero?

    b) A razo entre os segmentos AB e CD igual a 7

    3. Qual a medida de AB, em mm, se

    cmCD 35 ?

    35- Calcule as medidas segmentos AB e BC nos seguintes casos:

    a) BC

    AB=

    3

    2 e AC= 20 cm

    __________________________

    A B C

    b) BC

    AB =

    2

    5 e AC=21 cm

    __________________________

    A B C

    a b

    b a

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 16

    c) BC

    AB = 1 e AC=30 cm

    __________________________

    A B C

    2.3 Teorema de Tales

    Tales de Mileto foi um importante filsofo, astrnomo e matemtico grego que viveu antes de

    Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a

    altura de uma pirmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam

    Terra estavam na posio inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia

    uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos.

    Feixe de retas paralelas: o conjunto de trs ou mais retas paralelas num plano. A reta que

    intercepta as retas do feixe chamada de reta transversal.

    Teorema de Tales: um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer,

    segmentos proporcionais.

    a b

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 17

    Na figura acima temos: ''

    ''

    CB

    BA

    BC

    AB .

    Exemplo de aplicao

    Determine o valor de x no seguinte feixe de retas paralelas:

    5

    8

    85

    45

    2

    x

    x

    x

    Exerccios propostos

    36- Enuncie o Teorema de Tales.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 18

    37- Calcule o valor de x na figura abaixo:

    38- Aplicando o Teorema de Tales, calcule o valor de x:

    39- Determine o valor de x nos feixes de retas paralelas:

    40- (FMU-SP) Calcule x e y:

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 19

    41- (UNIBAN-SP) No feixe de paralelas a seguir, calcule as medidas de x e y:

    42- Aplicando a proporcionalidade do Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB

    e BC na figura abaixo:

    43- Determine o valor de x na figura abaixo:

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 20

    44- Dois lotes esto representados na figura abaixo. Calculas as medidas de frente para a rua

    R de cada um dos terrenos, respectivamente.

    45- Considerando a figura abaixo:

    a) Determine AD, sabendo que DB=5 cm, EC=10 cm e AE=8 cm.

    b) Determine AD e DB, sabendo que AB=26 cm, AE=8 cm e EC=5 cm.

    c) Determine AD e DB, sabendo que AB=27 cm, AE=10 cm e AC=18 cm.

    X

    X+11

    20 m 30 m

    P

    R

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 21

    2.4 Semelhana de tringulos

    As figuras geomtricas so semelhantes se possuem exatamente a mesma forma,

    independentemente do seu tamanho. Dois tringulos so semelhantes se tiverem os ngulos

    iguais e os lados correspondentes proporcionais.

    2.5 Casos de semelhana de tringulos

    Os critrios de semelhana servem para provar que dois tringulos so semelhantes.

    1 Caso (AA): Se dois tringulos possuem dois ngulos ordenadamente congruentes, eles so

    semelhantes.

    '''~'

    'CBAABC

    BB

    AA

    2 Caso (LAL): Se dois tringulos possuem dois lados correspondentes ordenados

    proporcionais e o ngulo compreendido entre esses lados congruentes, ento os tringulos

    so semelhantes.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 22

    '''~'

    ''''

    '

    CBAABC

    CA

    AC

    BA

    AB

    AA

    3 Caso (LLL): Se dois tringulos possuem os trs lados correspondentes ordenadamente

    proporcionais, ento eles so semelhantes.

    '''~'''''''

    CBAABCCA

    AC

    CB

    BC

    BA

    AB

    Exemplo de aplicao

    Determine o valor de y no seguinte par de tringulos semelhantes:

    cmy

    y

    y

    10

    202

    5

    4

    2

    Exerccios propostos

    2

    cm

    5cm

    A A

    B B

    C C

    4 cm Y

    x

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 23

    46- Defina figuras geomtricas semelhantes.

    47- Determine o valor de x e y nos seguintes pares de tringulos semelhantes:

    a)

    b)

    48- Sabendo que a razo de semelhana entre dois polgonos 3

    4 e que o menor deles

    apresenta o lado BC medindo 30 cm, determinar a medida do lado correspondente a BC no

    maior polgono.

    49- Dois tringulos issceles semelhantes tm permetros iguais a 48 cm e 600 mm. Se o lado

    desigual do tringulo maior mede 25 cm, quais so as medidas dos lados do tringulo

    menor e do tringulo maior?

    2

    cm

    5cm

    A A

    B B

    C C

    4 cm Y

    x

    3

    cm

    7cm

    A A

    B B

    C C

    9 cm Y

    x

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 24

    50- Reescreva as sentenas falsas corrigindo-as:

    a) Dois tringulos retngulos quaisquer so semelhantes.

    b) Dois tringulos equilteros quaisquer nem sempre so semelhantes.

    c) Dois tringulos so semelhantes se, e somente se, os ngulos correspondentes so

    congruentes e os lados correspondentes so proporcionais.

    51- Uma rgua de 1m de comprimento fincada no solo na posio vertical e projeta uma

    sombra de 0,4m. No mesmo instante, um poste projeta uma sombra de 2,4m. Calcule a

    altura do poste.

    52- Para medir a altura de um prdio, uma pessoa mediu a sombra desse prdio, obtendo 9m,

    e no mesmo instante, a sua prpria sombra, obtendo 0,6m. Se essa pessoa tem 1,80m de

    altura, determine a altura do prdio.

    53- Um edifcio iluminado pelos raios solares projeta uma sombra de comprimento igual a 72

    m. Simultaneamente, uma vara vertical de 2,5 m de altura, colocada ao lado do edifcio,

    projeta uma sombra de comprimento 3 m. Calcule a altura do edifcio.

    54- Um estudante curioso e perspicaz deseja saber a altura de um prdio. Num dia ensolarado

    e munido de uma trena ele mediu o comprimento da sombra do prdio e o comprimento da

    prpria sombra, obtendo os valores 20 m e 0,6 m, respectivamente. Sendo sua altura de

    1,80 m, qual a altura do prdio?

    55- (ENEM-1998) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo

    momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a

    sombra do poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:

    a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 25

    3. Polgonos

    3.1 Definio e classificao

    Polgonos so figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo caracterizados pelos

    seguintes elementos: ngulos, vrtices, diagonais e lados.

    Podemos classificar os polgonos quanto ao seu nmero de lados:

    3 lados tringulo

    4 lados quadriltero

    5 lados pentgono

    6 lados hexgono

    7 lados heptgono

    8 lados octgono

    9 lados enegono

    10 lados decgono

    11 lados undecgono

    12 lados dodecgono

    TRINGULO

    PARALELOGRAMO RETNGULO QUADRADO

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 26

    LOSANGO TRAPZIO

    PENTGONO HEXGONO HEPTGONO

    ENEGONO DECGONO

    3.2 Polgonos convexos e no convexos

    Se os ngulos do polgono forem menores que 180 ele ser convexo.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 27

    Caso o polgono tenha um ngulo com medida maior que 180 ele ser classificado como

    no convexo ou cncavo.

    3.3ngulos de um polgono

    A soma dos ngulos internos de qualquer polgono depende do nmero de lados (n),

    sendo usada a seguinte expresso para o clculo:

    180).2( nS , onde n o nmero de lados do polgono.

    3.4 Diagonais de um polgono

    Diagonal de um polgono o segmento de reta que liga um vrtice ao outro, passando

    pelo interior da figura. O nmero de diagonais de um polgono depende do nmero de

    lados (n) e pode ser calculado pela expresso:

    2

    )3.(

    nnd

    Exemplo de aplicao

    Determine o nmero de diagonais de um polgono com 8 lados

    20

    2

    40

    2

    5.8

    2

    )38.(8

    d

    d

    d

    d

    Exerccios propostos

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 28

    56- Determine o nmero de diagonais de um polgono com:

    a) 5 lados e) 6 lados

    b) 7 lados f) 9 lados

    c) 10 lados g) 12 lados

    d) 20 lados

    57- Qual o nome do polgono no qual a quantidade de diagonais igual ao triplo do nmero

    de lados?

    58- Determine a soma dos ngulos internos de um polgono com:

    a) 6 lados d) 7 lados

    b) 8 lados e) 10 lados

    c) 12 lados f) 20 lados

    59- (UNIBAN-SP) Em qual polgono o nmero de diagonais o dobro do nmero de lados?

    60- Quantos lados possui o polgono onde o nmero de lados corresponde a sexta parte dp

    nmero de diagonais?

    3.5 rea de polgonos

    O clculo da rea uma atividade cotidiana na vida de todos ns. Sempre nos vemos

    envolvidos em alguma situao que h a necessidade de se calcular a rea de um polgono.

    Seja na aquisio de um terreno, na reforma de um imvel ou na busca de reduzir custos de

    uma embalagem, o uso do conhecimento de clculo se faz presente.

    rea do retngulo

    Sendo b e h as dimenses do retngulo, a rea A dada por: hbA . .

    rea do quadrado

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 29

    Sendo b e h as dimenses do quadrado, a rea A dada por: hbA . .

    rea do tringulo

    Sendo b e h as dimenses do tringulo, a rea A dada por: 2

    .hbA .

    No caso do tringulo equiltero (3 lados iguais), a rea A dada por: 4

    32l.

    rea do paralelogramo

    Sendo b e h as dimenses do quadrado, a rea A dada por: hbA . .

    rea do losango

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 30

    Sendo b e h as dimenses do losango, e 1d e 2d as diagonais do losango, a rea A dada

    por: 2

    . 21 ddA .

    rea do trapzio

    Sendo B a base maior do trapzio, b a base menor e h a altura, a rea A dada por:

    2

    ).( hbBA

    .

    Exemplos de aplicao

    Calcule a rea de:

    a) Um retngulo de lados 5 cm e 8 cm

    240

    8.5

    cmA

    cmcmA

    b) Um trapzio de bases 7 cm e 4 cm e altura 2 cm.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 31

    211

    2

    22

    2

    2.11

    2

    2).47(

    cmA

    A

    A

    A

    VOC SABIA...

    Podemos encontrar polgonos na natureza e em objetos criados pelo ser humano.

    comum o uso de polgonos regulares no cotidiano. As abelhas utilizam-se do hexgono

    regular nas colmeias.

    Nas bolas de futebol tambm aparecem figuras baseadas em polgonos regulares

    (pentgonos e hexgonos regulares).

    Na engenharia, algumas formaes poligonais so utilizadas, pode-se ver a formao de

    tringulos e quadrilteros, formados pelas barras de ao que ligam as torres.

    Nas caladas de algumas cidades e pavimentao de ruas, so usadas as figuras geomtricas

    planas hexagonais.

    Ponte Herclio Luz (SC) nordeste da Irlanda

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 32

    Exerccios propostos

    61- Calcule a rea das seguintes figuras planas:

    a) Um quadrado de lado 6,2cm

    b) Um retngulo de base 9,5cm e altura 6,8cm

    c) Um paralelogramo de base 5,8cm e altura 6,1cm

    d) Um losango de diagonais 2,3cm e 5,1cm

    e) Um trapzio de altura 3 cm e bases 5,7cm e 7,2cm

    f) Um tringulo de base 8,1cm e altura 3,8cm

    g) Um tringulo equiltero de lado 5,4cm

    62- Um terreno tem a forma quadrada, de lado 30,2 m. Calcule a rea desse terreno.

    63- Qual a rea de um tringulo retngulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos

    mede 5 cm?

    64- Qual a rea de um quadrado que tem cm26 de diagonal?

    65- Calcule a rea de um retngulo, em que a base mede 34 cm e sua altura mede a metade

    da base.

    66- A regio de uma cartolina limitada por um paralelogramo que tem 15,4 cm de

    comprimento por 8,5 cm de largura. Qual a rea dessa regio?

    67- Quantos metros de tecido, no mnimo, so necessrios para fazer uma toalha para uma

    mesa que mede 300 cm de comprimento por 230 cm de largura?

    68- Um hexgono regular tem 12 cm de lado. Determine a rea desse hexgono. (Lembre-se:

    o hexgono regular formado por 6 tringulos equilteros de mesma rea).

    69- A rea de um trapzio 239m . A base maior mede 17 m e a altura mede 3 m. Qual a

    medida da base menor?

    70- Uma lajota retangular tem 30 cm por 20 cm. Qual a rea da lajota? Quantas lajotas so

    necessrias para cobrir o piso de uma garagem de 296m de rea?

    71- Determine a rea de um retngulo, sabendo que tem 46 cm de permetro e que o

    comprimento excede de 7 cm a largura.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 33

    72- Um terreno tem a forma de um trapzio de bases medindo 36m e 24m, com altura de 20m.

    Foi construdo no local um galpo retangular de lados medindo 10,6m e 5,5m. No restante

    do terreno plantou-se grama. Qual a rea do terreno que foi gramada?

    73- Em um paralelogramo ABCD, o lado AB mede 2 cm, a altura relativa ao lado BC mede

    1,7cm e o permetro 12cm. Determina a rea desse paralelogramo.

    74- Um retngulo tem rea igual a .40 2cm Sua base 3 cm maior que sua altura. Calcule a

    medida da altura desse retngulo.

    75- Determine o valor da altura de um trapzio de bases 6,3cm e 11,7cm, sabendo que sua

    rea vale 245cm .

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 34

    4. Circunferncia e crculo

    4.1 Definio

    Circunferncia o lugar geomtrico dos pontos de um plano, que distam (raio) de um ponto

    fixo (centro).

    Crculo o conjunto dos pontos internos de uma circunferncia.

    O raio de uma circunferncia ou crculo definido como a distncia do centro a um ponto

    qualquer da circunferncia. O dobro do raio chamado de dimetro.

    4.2 Comprimento da circunferncia

    O clculo do comprimento da circunferncia (permetro) foi obtido da seguinte forma: como

    todas as circunferncias so semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo

    centro foi concludo que a razo entre os comprimentos de qualquer circunferncia pelo

    seu respectivo dimetro ser sempre uma mesma constante.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 35

    E essa constante foi provada pelo matemtico grego Arquimedes de Siracura que seria

    aproximadamente 3,14, e como esse valor no era exato foi estipulado que poderia ser

    representado pela letra do alfabeto grego , facilitando os clculos.

    Sendo C o comprimento da circunferncia, temos: rC ..2 , onde r o raio da

    circunferncia.

    4.3 rea da circunferncia

    Para calcularmos a rea de uma circunferncia utilizamos a seguinte frmula:

    2.rA

    Exemplo de aplicao

    Calcule o comprimento e a rea de uma circunferncia de raio 5 cm. Dado 14,3 .

    cmC

    C

    rC

    4,31

    5.14,3.2

    ..2

    2

    2

    5,78

    25.14,3

    .

    cmA

    A

    rA

    Exerccios propostos

    76- Calcule o comprimento da circunferncia nos seguintes casos:

    a) Raio igual a 10 cm

    b) Raio igual a 7,5cm

    c) Raio igual 6,3cm

    d) Raio igual a 14,7cm

    e) Dimetro igual a 18 cm

    f) Dimetro igual a 11 cm

    g) Dimetro igual a 13 cm

    77- Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrer uma pessoa na roda gigante

    em 6 voltas?

    78- Com um fio de arame deseja-se construir uma circunferncia de dimetro 12 cm. Qual

    deve ser o comprimento do fio?

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 36

    79- Calcule a rea da circunferncia nos seguintes casos:

    a) Raio igual a 11 cm

    b) Raio igual a 8 cm

    c) Raio igual a 7,8 cm

    d) Raio igual a 13,6 cm

    e) Dimetro igual a 14 cm

    f) Dimetro igual a 17 cm

    g) Dimetro igual a 13 cm

    80- Resolva:

    a) O comprimento de uma circunferncia igual a 40,82cm. Calcule a medida aproximada do

    dimetro dessa circunferncia.

    b) Qual , aproximadamente, o comprimento de uma circunferncia que tem dimetro igual a

    4m?

    81- (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual famlia come mais pizza: aquela que pede uma

    grande de 43 cm de dimetro ou aquela que pede duas mdias de 30 cm de dimetro?

    82- Num campo de futebol, o grande crculo tem 10 m de raio. Qual a rea do grande

    crculo?

    83- Determine quantos metros quadrados de grama so necessrios para preencher uma

    praa circular com raio medindo 20 metros.

    84- Dadas as reas, encontre a medida do raio de cada circunferncia:

    a) 25,78 cm

    b) 272,150 cm

    85- Determine a rea da regio em destaque representada pela figura a seguir. Considerando

    que a regio maior possui raio medindo 10 metros, e a regio menor, raio medindo 3

    metros.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 37

    5. Polgonos regulares

    5.1 Definio

    Polgono regular todo polgono convexo que tem todos os lados congruentes e os ngulos

    internos tambm congruentes.

    Tringulo equiltero Quadrado Pentgono regular

    5.2. Polgonos inscritos e circunscritos na circunferncia

    Um polgono dito inscrito em uma circunferncia, se todos os seus vrtices esto na

    circunferncia.

    Os polgonos regulares podem sempre ser inscritos numa circunferncia, o mesmo no

    acontecendo com os polgonos no regulares. Os tringulos so uma exceo a este fato, pois

    qualquer tringulo pode ser inscrito numa circunferncia.

    Um polgono dito circunscrito a uma circunferncia, se os seus lados so tangentes

    circunferncia.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 38

    O aptema de figuras planas o segmento que vai do centro de um polgono regular at o

    ponto mdio de um dos lados desse polgono, ou seja, o aptema corresponde ao raio da

    circunferncia nele inscrita.

    5.3 Quadrado inscrito na circunferncia

    2rl (lado do quadrado)

    2

    2ra (aptema do quadrado)

    5.4 Tringulo equiltero inscrito na circunferncia

    3rl (lado do tringulo equiltero)

    2

    Ra (aptema do tringulo equiltero)

    5.5 Hexgono inscrito na circunferncia

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 39

    rl (lado do hexgono)

    2

    3ra (aptema do hexgono)

    2

    33 2lA (rea do hexgono)

    Exemplos de aplicao

    1- Um quadrado com 216cm de rea est inscrito numa circunferncia. Calcule a rea da

    circunferncia.

    cmlAq 416

    22

    2

    4

    24

    2

    r

    r

    r

    rl

    2

    2

    2

    8

    22.

    .

    cmA

    A

    rA

    c

    c

    c

    2- Um hexgono regular est inscrito numa circunferncia de raio 3 cm. Calcule:

    a) O lado do hexgono

    cml

    rl

    3

    b) A rea do hexgono

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 40

    2

    2

    2

    2

    327

    2

    3)3.(3

    2

    33

    cmA

    A

    lA

    Exerccios propostos

    86- Defina:

    a) Polgono regular

    b) Aptema

    87- Consideremos uma circunferncia de raio 20 cm. Nessas condies, calcule as medidas:

    a) do lado e do aptema do quadrado inscrito;

    b) do lado e do aptema do tringulo equiltero inscrito;

    c) do lado e do aptema do hexgono regular inscrito.

    88- Uma circunferncia tem 40 cm de raio. Nessas condies, determine a medida do lado e

    do aptema de cada um dos seguintes polgonos regulares inscritos nessa circunferncia:

    a) quadrado

    b) hexgono regular

    c) tringulo equiltero

    89- O lado de um hexgono regular inscrito em uma circunferncia mede 4 cm. Calcule:

    a) O raio da circunferncia

    b) O aptema do hexgono

    c) A rea do hexgono

    90- Calcule o lado de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia com 3 cm de raio.

    91- Uma circunferncia tem 12 cm de raio. Calcule a medida do lado do quadrado e do

    tringulo equiltero inscritos nessa circunferncia.

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 41

    92- O aptema de um hexgono regular igual altura de um tringulo equiltero, cujo lado

    mede 4 cm. Calcule a rea do hexgono.

    93- Um tringulo equiltero de lado 2 cm est inscrito numa circunferncia de raio r. Determine

    a medida do dimetro dessa circunferncia.

    94- (Mack-SP) O lado de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia mede cm62 .

    Determine a medida do raio da circunferncia.

    95- Um quadrado est inscrito numa circunferncia de raio 24 cm. Nessas condies,

    determine:

    a) A medida do lado do quadrado

    b) A medida do aptema do quadrado

    c) O permetro do quadrado

    d) A rea do quadrado

    96- (PUC-MG) Se o aptema de um hexgono regular mede cm26 , qual a medida do

    permetro desse hexgono?

    97- Um tringulo equiltero est escrito numa circunferncia de raio cm360 . Determine:

    a) a medida do lado do tringulo

    b) a medida do aptema do tringulo

    98- Um quadrado cujo lado mede 16 cm est inscrito numa circunferncia. Determine o raio

    dessa circunferncia.

    99- O comprimento de uma circunferncia cm30 . Qual a rea do quadrado inscrito nessa

    circunferncia?

    100- Sabendo que o aptema de um tringulo equiltero inscrito em uma circunferncia de

    raio r mede 15 cm, determine:

    a) O comprimento do raio

    b) A medida do lado do tringulo, fazendo 73,13 .

  • DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 42

    Referncias Bibliogrficas:

    ANDRINI, lvaro. VASCONCELOS, Maria Jos. Novo Praticando Matemtica. So Paulo: Editora do Brasil, 2002.

    DANTE,Luiz Roberto. Contexto & Aplicaes: ensino mdio: volume nico. So Paulo: Editora tica, 2001

    GIOVANNI, Jos Ruy. BONJORNO, Jos Roberto. GIOVANNI JR., Jos Ruy. Matemtica Fundamental : uma nova abordagem: ensino mdio: volume nico. So Paulo: FTD, 2002.