libro simulacion jcz corregido

7/28/2019 Libro Simulacion JCZ Corregido

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Anlisis y modelacin de sistemas discretos;un enfoque prctico

Simulacin


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Anlisis y modelacin de sistemas discretos; un enfoque

prctico

Simulacin

Jos Crdenas Zavala

Instituto Tecnolgico de Colima


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Contenido

Introduccin v

Captulo 1: Introduccin a la Simulacin de EventosDiscretos1.1 Introduccin a la simulacin de eventos discretos 31.2 Definiciones y conceptos 41.3 Ventajas y desventajas de la simulacin 101.4 Etapas de un proyecto de simulacin 111.4.1 Preparacin inicial del proyecto 121.4.2 Definicin del sistema 141.4.3 Desarrollo del modelo conceptual o esquemtico 161.4.4 Recoleccin y anlisis de datos 181.4.5 Desarrollo del modelo en un lenguaje especifico de

simulacin22

1.4.6 Conduccin de experimentos y evaluacin de alternativas 241.4.7 Anlisis de resultados 241.4.8 Recomendaciones finales 241.5 Algunos peligros en la simulacin 251.6 Modelos tpicos de lneas de espera 251.7 Ejemplos bsicos de simulacin 281.8 Problemas propuestos 38

Capitulo 2: Nmeros Pseudoaleatorios2.1 Nmeros pseudoaleatorios 452.2 Caractersticas de los nmeros pseudoaleatorios 452.3 Generacin de los nmeros pseudoaleatorios 472.3.1 Algoritmo de cuadrados medios 472.3.2 Algoritmo de productos medios 482.3.3 Algoritmo congruencial mixto 492.3.4 Algoritmo congruencial multiplicativo 502.4 Pruebas estadsticas de aleatoriedad 512.4.1 Prueba de los promedios 53

2.4.2 Prueba de las frecuencias 562.4.3 Prueba del pker 612.4.4 Prueba de Kolmogorov-Smirnov 642.5 Ejercicios propuestos 67


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Captulo 3: Variables Aleatorias3.1 Introduccin 713.2 Tipos de variables aleatorias 723.2.1 Variables aleatorias discretas 72

3.2.2 Variables aleatorias continuas 733.3 Identificacin del tipo de distribucin las variablesaleatorias

75

3.3.1 Ejemplos utilizando la prueba de chi-cuadrada yKolmogorov-Smirnov

76

3.3.2 Identificacin del tipo de distribucin de probabilidadutilizando un lenguaje especfico de simulacin

91

3.3.3 Ajuste de curvas a tendencia lineal para distribucionesempricas continuas

97

3.4 Generacin de variables aleatorias. 1013.4.1 Ejemplos de obtencin de generador de variables

aleatorias a travs de mtodos manuales 1033.5 Ejercicios propuestos 117

Captulo 4: Lenguajes de simulacin y simuladores deeventos discretos.

4.1 Lenguajes de simulacin y simuladores 1234.2 Introduccin al uso de ProModel 1234.3 Elementos bsicos 1244.4 Estructura de programacin en ProModel 1254.5 Construccin de modelos en ProModel 127

4.5.1 Construccin de un modelo paso a paso 1284.5.2 Refinamiento progresivo del modelo 1524.5.2.1 Uso de atributos, variables y comandos de decisin 1534.5.2.2 Uso del comando ROUTE 1694.5.3 Modelado de un proceso que incluye ms de un proceso 1744.5.3.1 Modelo con bandas de transporte y filas de espera 1744.5.3.2 Modelo con estatutos JOIN y LOAD/UNLOAD 1864.5.3.3 Modelo con recursos 1964.5.3.4 Modelo de manufactura con varios procesos e inspeccin 2104.6 Comentarios adicionales 218

4.7 Ejercicios propuestos 219

Unidad 5: Proyecto de Aplicacin5.1 Objetivo del captulo 2315.2 Contenido sugerido del proyecto a desarrollar. 2315.3 Ejemplo de desarrollo de un proyecto de aplicacin 233


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AnexosTablas de distribuciones de probabilidad 294Generadores para distribuciones de probabilidad en ProModel 298

Bibliografa 299


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ix

Largo es el camino de la enseanza por medio de teoras; breve y

eficaz por medio de ejemplos.

Sneca

Introduccin

Una de las caractersticas principales de los tiempos actuales, es laincertidumbre, generada mayormente por la globalizacin; las empresasbuscan constantemente posicionarse y generar utilidades. Sin embargolas polticas delcomercio nacional einternacional, lacreciente compe-tencia, la bsqueda para ganarnuevos espacios yotras variables, obli-gan a las organizaciones a dar una respuesta rpida a los retos quesurgen da a da para que estas progresen y sean exitosas financiera-mente. La bsqueda de alternativas y toma de decisiones es de sumaimportancia sobre todo en los niveles medio o altos de las empresasque es dnde los ingenieros industriales tienenprincipalmente su mbi-to de aplicacin.

Existen muchas tcnicas emanadas de la estadstica y las matem-ticas para la toma de decisiones tal como la programacin lineal, pro-

nsticos omodelos de inventarios; dichas tcnicas generalmente sontiles en un determinado punto del tiempo. Sin embargo, cuandose dese desea tomaruna decisin dinmica sin arriesgar la sanidad finan-ciera generada por la experimentacin a prueba y error o por actuarbasados en la intuicin sin considerar la solidez o solvencia esta-dstica, se pueden experimentar los diversos escenarios para tratarde tomar la mejor decisin utilizando la simulacin.

La simulacin es una tcnica de experimentacin en que se usan

modelos lgico-matemticos utilizando (principalmente) recursos infor-mticos como un software de propsito especfico diseado para tal fin,aunque si se tiene la habilidad para programar en software de uso ge-

neral tambin es viable hacerlo.


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Este texto acadmico sobre simulacin de sistemas discretos tieneun enfoque eminentemente prctico y est basado principalmente enel programa de la materia de Simulacin de la carrera de IngenieraIndustrial del Sistema Nacional de Institutos Tecnolgicos.

La obra est compuesta por cinco captulos ordenados en secuen-cia lgica para que se asimilen los conceptos y se finaliza con el de-sarrollo de un proyecto prctico donde se puede ver la utilidad de lasimulacin como una herramienta muy poderosa del ingeniero indus-trial para la toma de decisiones.

Jos Crdenas Zavala


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Simulacin, Anlisis y modelacin de sistemas discretos; un enfoque prctico

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Capitulo 1:

Introduccin a la simulacin

de eventos discretos


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Introduccin a la simulacin de eventos discretos

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1.1 Introduccin a la simulacin de eventos discretos

La simulacin es una herramienta de anlisis muy importante para los

ingenieros industriales ya que se puede aplicar a una gran cantidad de

procesos productivos de bienes y/o servicios, pero requiere de ciertos

conocimientos previos; esencialmente se apoya en la probabilidad y

estadstica lo que proporciona un sustento terico-prctico para la

creacin de los modelos de los sistemas que se desean simular, tambin

es necesario el manejo de un software especfico de simulacin como

ProModel o el ARENA, aunque si se posee la habilidad de programar en

un software de propsito general como el C++, Visual Basic, Delphi, etc.

tambin pueden ser una opcin para desarrollar los modelos.

El concepto de simulacin es muy amplio, se puede hablar desimuladores de vuelo, modelos de aviones o autos a escala para medir la

resistencia al aire, o puede considerarse la simulacin de reacciones de

ciertos metales a diferentes temperaturas, etc. pero como en este texto se

est considerando un enfoque a la simulacin de sistemas productivos de

bienes y/o servicios, entonces la orientacin ser a lo que se conoce como

simulacin de eventos discretos.Aunque en este captulo se abordaran temas, conceptos y definiciones

que son bsicos para el aprendizaje de lo que ser el sustento terico de la

simulacin, la intencin es que desde el principio quede claro cmo sepueden simular los sistemas bsicos de produccin y de qu manera

ayudan en la toma de decisiones.

Resumiendo las caractersticas o habilidades de la persona que realiza

los modelos podran considerarse las siguientes: primeramente desarrollar

una mente analtica, conocimientos estadsticos, comunicacin,

organizacin y habilidad de ingeniera. Dicha persona debe entender el

sistema ha modelar, conociendo la relacin causa-efecto que determina el

sistema que se pretende representar (observe la figura 1.1). Como se

podr inferir la simulacin de eventos discretos consiste en relacionar losdiferentes eventos que pueden cambiar el estado de un sistema bajo

estudio por medio de distribuciones de probabilidad y condiciones lgicas

del problema que se est analizando.


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Figura 1.1

1.2 Definiciones y conceptos

En lo referente a este punto es til iniciar por citar algunas de las

definiciones en orden cronolgico de diferentes autores sobre la

simulacin:

Shannon, Robert; Johannes, James D. (1976), precisan que simulacin

es el proceso de disear y desarrollar un modelo computarizado de un

sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el

propsito de entender el comportamiento del sistema o evaluar. Varias

estrategias con las cuales se puede operar el sistema.

De acuerdo a Schriber (1987), la simulacin es el modelaje de un

proceso o sistema de manera semejante que el modelo responda al

sistema real tomando su lugar a travs del tiempo. De acuerdo a Harrel (2003), Simulacin es la representacin de un

sistema dinmico usando un modelo computacional con la finalidad de

evaluar y mejorar el desempeo del sistema.


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De acuerdo a Garca Dunna; et al. (2006), Simulacin de eventos

discretos es el conjunto de relaciones lgicas, matemticas y

probabilsticas que integran el comportamiento de un sistema bajo

estudio cuando se presenta un evento determinado.

Como se puede observar existen elementos bsicos que no han

cambiado a lo largo del tiempo, y podran generarse diversas definiciones

de acuerdo a lo que se ha mencionado y a los elementos bsicos que

deben considerarse dentro del proceso de simulacin, se pueden

desarrollar de manera individual mas definiciones por ejemplo:

Simulacin es la representacin de un sistema de produccin atravs de un modelo, apoyados en algn lenguaje informtico queayude en la toma de decisiones para hacerlo ms eficiente y

productivo.Una pregunta que puede considerarse clave durante el estudio de la

simulacin es: Por qu simular?, algunas razones podrn ser las

siguientes:

Porque

La observacin detallada del sistema que se est simulando, conduce a

un mejor entendimiento del mismo y proporciona sugerencias para

mejorarlo. La simulacin proporciona una manera de validar si s est tomando o

no la decisin adecuada al problema que se ha presentado.

La simulacin evita el costo y tiempo que implica hacer decisiones

basadas en prueba y error, es decir, los costos de experimentacin del

sistema actual son mayores que los costos de simular el sistema (ver

figura 1.2).

Cuando las actividades o eventos son interdependientes y manifiestan

variabilidad.


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Figura 1. 2

Si se pretende clasificar de alguna manera los usos de la simulacin,

entonces se pueden considerar tres objetivos esenciales de lo que puede

obtenerse de un modelo que ha sido corrido y evaluado, dichos objetivos

serian:

Visualizacin: Observar qu est sucediendo en el sistema.

Clculo: Cuantificar qu est sucediendo en el sistema. Comunicacin: Mostrar qu est sucediendo en el sistema

Otra pregunta frecuente es: Cundo la simulacin es apropiada?,para

contestarla, es muy importante la habilidad y capacidad de anlisis de la

persona que est analizando el sistema y que es lo que se espera obtener

con el modelo que se pretende realizar, pueden considerarse algunas

razones como las siguientes:

Cuando se desea tomar alguna decisin en una operacin o servicio. Cuando el proceso est definido y es repetitivo.

Cuando las actividades o eventos son interdependientes y manifiestan

variabilidad.

Cuando es ms barato simular que experimentar con el sistema real.

La simulacin puede utilizarse en cualquier tipo de sistema productor de

bienes y/o servicios, pero especficamente en el rea de ingeniera

industrial pueden considerarse los siguientes usos:

Anlisis de cuellos de botella (para determinar la capacidad y el nmero

de maquinas).

Balanceo de lneas (equilibrar la produccin de cada lnea considerando

maquinaria y mano de obra).

Los intentos a prueba y error soncostosos, consumen tiempo y pueden serfallidos


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Lneas de espera (nmero de servidores en un proceso de atencin al

cliente).

Planeacin de la capacidad.

Programacin de la produccin.

Programacin de los recursos.

Programacin del mantenimiento, etc.

Para la realizacin de un modelo es necesario familiarizarse con los

trminos ms utilizados para construir los modelos:

Sistema: se entiende como el conjunto de elementos que seinterrelacionan para lograr un objetivo en comn. Para la simulacin, se

puede decir que un sistema contiene diversos elementos, los cuales

definen el qu, quin, dnde, cundo, por qu y cmo.

Entidades: Representacin de los flujos de entrada a un sistema(clientes, piezas, ventas por da, etc.).

Eventos (actividades): Cambio en el estado actual del sistema(entrada o salida de una entidad, finalizacin de un proceso en un

equipo, etc.).

Locaciones: Lugares en los que se realiza una actividad a una entidado puede esperar para que se le realice (mquinas, bandas

transportadoras, estaciones de inspeccin, etc.).

Recursos: Son aquellos dispositivos (diferentes a las locaciones)necesarios para llevar a cabo una operacin. Por ejemplo: montacargas,

personas, camiones, etc.

Atributos: Es una caracterstica de una entidad, es una manera declasificar las entidades. Por ejemplo si los clientes se clasifican en

hombres o mujeres, tipo de pieza, tipo de producto o servicio, si el

cliente acude directamente a la empresa o llama por telfono, etc.

Reloj de Simulacin: Es el contador de tiempo de la simulacin.Siempre hay un inicio y un fin cronolgico.


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Las variables que constituyen un sistema son condiciones cuyos

valores se crean y modifican por medio de ecuaciones matemticas y

relaciones lgicas. Estas pueden ser continuas como el tiempo de

operacin de una mquina o el tiempo entre llegadas de los clientes o

pedidos, tambin pueden ser discretas como el nmero de productos a

empacar en un lote, nmero de unidades producidas en un turno de

operacin, etc.

Para entender como los elementos del sistema se afectan unos a otros

e influyen en el desempeo de las metas globales es necesario definir tres

tipos de variables:

Variables de decisin (de entrada o independientes). Cuando seconduce un experimento las variables de decisin son referidas como

variables independientes en el experimento. Si se cambia un valor de

las variables independientes, se afecta a todo el ambiente del sistema,

y por lo tanto su desempeo, por ejemplo: tiempo entre llegadas, tiempo

de servicio de un servidor, tiempo de proceso de una mquina, etc.

Variables de respuesta. Las variables de respuesta son variables quemiden el desempeo del sistema en respuesta al establecimiento de

una variable de decisin particular. Una variable de respuesta puede ser

el nmero de piezas o entidades procesadas en un determinado tiempo,

o el porcentaje de utilizacin de un recurso, el tiempo de espera de un

cliente en la fila, etc. En un experimento la variable de respuesta es la

variable dependiente, la cual depende de un determinado valor de una

variable independiente.

Variables de estado (cuando se utiliza un software de usoespecfico). Las variables de estado son variables que indican elestado del sistema en cualquier punto del tiempo. Por ejemplo el

nmero actual de entidades que esperan ser procesadas o el estado

actual de un recurso (ocioso, ocupado, etc.)

Por su parte en lo referente a la definicin de los modelos, hay muchas

clasificaciones o formas de clasificarlos, por ejemplo si son fsicos,

continuos o discretos, dinmicos o estticos, determinsticos o

probabilsticos, etc. pero de manera prctica se puede decir que si el

modelo es meramente didctico, se pueden considerar modelos tabulares


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o matriciales que incluyen relaciones matemticas y probabilsticas (vertabla 1.3).

Ejemplo de modelo matricial o tabular:

Cliente

Aleatorio

tiempo

entre

llegadas

Tiempo

entre

llegadas

(min)

Tiempo

medido

de

llegadas

Aleatorio

tiempo de

servicio

Tiempo

de

servicio

(min)

Hora de

Inicio de

servicio

Hora de

fin de

servicio

1 0.2569 2 2 0.7892 4 2 62 0.5874 3 5 0.4565 7 6 133 0.9863 5 10 0.3214 8 13 214 0.0047 1 11 0.9874 1 21 22

5 0.4236 4 55 0.7543 4 22 26Tabla 1.3

Por su parte, si el modelo a realizar se hace utilizando un software

especfico como el ProModel, ARENA o cualquiera que exista en el

mercado, primeramente se desarrolla un modelo conceptual que incluya la

informacin lgica secuencial y las variables que influyen en el proceso,

posteriormente se realiza este utilizando generalmente una interfaz grfica

del simulador que lo hacen muy fcil de utilizar (ver figuras 1.4 y 1.5).

Figura 1.4

Recepcin de

materia prima

Torno

Mover con

operador

Fresadora

enviar a salida

en banda

transportadora

Salida y

embarque


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Ejemplo de un modelo grfico utilizando ProModel:

Figura 1.5

1.3VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACIN

Como se ha comentado, la simulacin es una herramienta muy valiosa

para tomar decisiones y mejorar procesos. Sin embargo, como todas las

dems herramientas de que dispone el ingeniero industrial, la simulacin

de eventos discretos presenta ciertas ventajas y desventajas que es

necesario considerar para ver si esta es apta para resolver un problema

especfico. Dentro de las ventajas ms comunes que ofrece la simulacin,

se pueden mencionar las siguientes:

Se pueden simular sistemas complejos.

Permite explorar muchas alternativas o presentar diversos escenarios.

Permite experimentar sin el riesgo consecuente de un fracaso del

sistema.

Permite control total sobre el tiempo de ejecucin.

Se puede observar como se comportar el sistema al momento de su

ejecucin.


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1.4.1 Preparacin inicial del proyecto

En lo concerniente a este punto, se recomienda seguir los puntos que a

continuacin se mencionan:

a) Identificar las restricciones del sistema. Es importante identificar lasrestricciones bajo las cuales el estudio debe ser conducido, por ejemplo:

Presupuesto para realizar el proyecto.

El tiempo con el que se dispone para realizarlo.

La accesibilidad de la informacin. Conocimiento y habilidad para realizar el estudio por parte del analista.

Limitaciones de hardware o software que pudieran presentarse.

Preparacin delproyecto

Desarrollo delmodelo conceptual o

esquemtico

Recoleccin yanlisis de datos

Desarrollo del modeloen lenguaje especfico

de simulacin

PROCEDIMIENTO GENERAL PARA DESARROLLAR UN ESTUDIO DE SIMULACIN

Experimentaciny evaluacin de

alternativas

Definicin delsistema

Figura 1.6

Anlisis deresultados

Recomendacionesfinales


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El hecho de que haya restricciones no quiere decir que no se pueda

realizar el proyecto, esto significa que debe considerarse la manera de

subsanar o compensar dicha restriccin.

b) Determinar el objetivo general y especfico del modelo. Lasimulacin es necesaria porque se estara buscando solucin a algn

problema que podra presentarse en el proceso de produccin, en el

caso del objetivo general, puede ser: Desarrollar un modelo desimulacin de la empresa especficamente en el sistema depara detectar las mejoras posibles a realizar, y plantear accionesque mejoren su desempeo.

En el caso de los objetivos especficos, algunos ejemplos podran ser:

Si se est considerando un sistema de servicio tal como el de un cajero

en un banco, puede ser un problema determinar cuntos cajeros se van

a necesitar durante un da pico (como el de pago de quincena) aqu el

objetivo especfico sera: Determinar el nmero de cajeros ptimopara que el cliente no pase ms de 10 minutos en fila durante unda pico.

En el caso de un proceso de manufactura podra ser un objetivo:Determinar el porcentaje de tiempo ocioso en la operacin del

torno as como el nmero de piezas producidas. Considerando el caso de una empresa que vende gasolina:

Determinar el nmero de bombas de gasolina adecuado para queno estn ms del 30% del tiempo ociosas durante el turnovespertino.

c) Preparacin de las especificaciones de la simulacin.Debe analizarse previamente a la realizacin del modelo lo siguiente:

El alcance del modelo. Es decir que parte del sistema se deseasimular, ya que cada sistema est integrado a la vez por subsistemas,

puede analizarse de manera modular o integral, claro que entre ms

amplio sea el sistema mayor ser la complejidad del modelo. Por

ejemplo en un auto baos puede simularse solamente el rea de lavado


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y secado sin considerar a las dems etapas del proceso, o si es

necesario desde que llegan los clientes hasta que se les proporciona el

servicio y abandonan el sistema, depende del objetivo del modelo.

Nivel de detalle. Este punto es muy importante ya que le proporciona almodelo el parecido con el sistema real, entre mas detalles se deseen

incorporar, mayor ser la cantidad de variables de entrada al modelo

que posteriormente tendrn que muestrearse. Generalmente se comete

el error de querer incorporar ciertas actividades que no agregan valor al

modelo como por ejemplo simular considerando fallos en la energa

elctrica o ciertos vicios metodolgicos que desarrollan los operadores o

paros imprevistos por falta de materia prima, etc. si no es necesario no

deben incorporarse este tipo de variables al modelo.

1.4.2 Definicin del sistema

Para esta etapa se debe realizar lo que a continuacin se menciona:

a) Determinar los principales subsistemas y reas fsicas queintegran el sistema analizado.En este caso, se pretende determinarlas principales reas productivas que integran el sistema considerado,

es una buena opcin describir brevemente cual es la razn de ser de

cada departamento o rea(incluir croquis de distribucin de planta).

b) Determinar los diferentes tipos de servicios y/o productos que serealizan en el sistema. Enumerar todos los productos y/o servicios queproporciona la empresa.

c) Establecer diagramas de anlisis de procesos general y particularpara cada uno de los bienes/servicios producidos.

d) Determinar los horarios y das de trabajo regulares as como loshorarios y das de que sern sujetos de estudio.

e) Determine los datos requeridos. Este se refiere a que tipo deinformacin se puede necesitar para realizar el estudio. Algunas

preguntas que ayudan a determinar estos pueden ser:

Qu tipo de entidades son procesadas en el sistema y que atributos

tienen?

Cul es la secuencia de ruteo para cada tipo de entidad en el sistema?


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Qu actividad se realiza para cada entidad en cada locacin?

Dnde, cundo y en qu cantidad las entidades entran al sistema

(definir el tiempo entre arribos o condiciones del arribo)?

En qu orden las entidades parten de cada locacin (primero que

entra, primero que sale; ltimo que entra, primero que sale, etc.)?

f) Determine la fuente apropiada de los datos. Buenas fuentes deobtencin de datos del sistema pueden ser las siguientes:

Diagramas de flujo.

Estudio de tiempos.

Observacin directa.

Tiempos estndar predeterminados.

Registros internos.

Pronsticos del mercado.

Reportes de mantenimiento.

Registros de produccin.

Experiencia del personal de piso.

Comparaciones con operaciones similares.

Tickets de compra, etc.

g) Haga supuestos donde sea necesario. Es necesario realizarsupuestos cuando se est experimentando en el modelo que representa

la realidad del sistema, hasta obtener los resultados deseados o

alcanzar el objetivo planteado.

Es importante recordar que los supuestos hacen ms sencillo un

modelo, pero debe haber congruencia entre los supuestos y lo que se

espera obtener del modelo, por que entre ms supuestos se agreguen,

ms se aleja este de la realidad. Ejemplos ms comunes de supuestos

pueden ser:

Los clientes que lleguen al sistema se van a ir atendiendo conforme

llegan (primeras entradas primeras salidas).

No se interrumpir el servicio por falta de insumos o materia prima.


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No se interrumpir la produccin por apagones o falta de energa

elctrica.

El tiempo ocioso por negligencia del operador de la mquina se

considerar dentro del muestreo de campo realizado a la variable de

entrada tiempo de operacin, etc.

1.4.3 Desarrollo del modelo conceptual o esquemtico

Una vez que la informacin es suficiente, analizada y validada para

describir el comportamiento del sistema, se proceder a la construccin del

modelo inicial. El objetivo de la construccin de un modelo es, proveer una

representacin valida que describa el comportamiento del sistema

analizado. El modelo debe ser capaz de proveer informacin necesaria

para cumplir con los objetivos de la simulacin.

Se tomara en cuenta lo siguiente:

a)Realizar el Modelo conceptual o esquemtico.Como se mencionanteriormente en el punto 1.2, el modelo conceptual generalmente

consta de bloques conceptuales secuenciales que incluyan la

informacin general de las actividades principales del proceso de

produccin. Se puede desarrollar el modelo con la ayuda del diagrama

de flujo de operaciones destacando:

Tipo de entidades que entran al sistema.

Tipo de entidades que se van obteniendo durante el proceso (para el

caso de procesos de manufactura).

Tamao del lote en las llegadas.

tiempo entre llegadas.

Tiempos de operacin o de servicio.

Flujo de las operaciones.

Recursos utilizados para realizar las operaciones (operadores,

montacargas, vehculos, etc.)

Nmero de operadores por mquina o estacin de trabajo, etc.

En la siguiente figura 1.7 se puede apreciar un ejemplo de modelo

conceptual considerando un taller de manufactura donde se realiza un

proceso que involucra diferentes operaciones a lotes de 20 piezas de


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Tiempo entre llegadas de los clientes al sistema.

Tipo de producto a comprar.

Nmero de productos a comprar.

Tiempo de operacin o de servicio, etc.

Considerando el ejemplo del modelo por bloques de la figura 1.7 el cual

es un proceso de produccin o manufactura, las variables de entrada

seran las siguientes:

Tiempo entre llegadas de las piezas al almacn de materia prima.

Tiempo de operacin en la cortadora.

Tiempo de operacin en el torno.

Tiempo de operacin en la fresadora.

Tiempo de inspeccin en el almacn de producto terminado.

1.4.4 Recoleccin y anlisis de datos

Para este paso se debe realizar lo siguiente:

a) Realizar el mu estreo d e las variables de entrada del m odelo. Se

debe realizar el muestreo de cada variable de entrada considerando el

turno, el da de trabajo, el operador, mquina utilizada, etc. es tambinmuy importante disear formatos u hojas de chequeo que se

consideren adecuados para la toma de datos.

En la siguiente tabla se puede apreciar el ejemplo de un formato para

toma de datos de una gasolinera:


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Tabla 1.9

Los datos muestreados como se muestran en la tabla anterior no se

pueden aplicar directamente en la elaboracin del modelo, por lo que se

deben convertir para poder utilizarlos, si se est considerando la variable:

Tiempo entre llegadas entonces los datos muestreados fueron: 3, 2, 7, 5,

5, 8, 3, 7, 5, y 3 minutos entre la llegada de un auto al otro al sistema. Si la

hora de inicio de toma de datos empez a las 8:00 y el primer auto lleg a

las 8:03 pasaron tres minutos, el segundo auto lleg a las 8:05 pasaron

dos minutos desde la llegada del auto anterior y as sucesivamente. Esimportante sealar que el periodo de muestreo y el tamao de la muestra

debe ser representativo, pueden muestrearse turnos, das, semanas, etc.

segn se considere en el impacto que debe tener el periodo en el modelo a

representar.

HOJA DE VERIFICACION PARA EL TIEMPO ENTRE LLEGADAS

ENERGETICOS DE COLIMA S.A. DE C.V.

AREA A MUESTREAR:Bombas

FECHA: REALIZO:

HORA DE INICIO: 08:00HORA

TERMINO:

VEHICULOHORA

LLEGADA

TIPO DECOMBUSTIBLE

BOMBA TIPO DE VEHICULO

GASOLINA DIESEL 1 2 CH MED GDE FACTURACIO

1 08:03 Si

2 08:05 Si

3 08:12 Si4 08:17 Si

5 08:22 Si

6 08:30 Si

7 08:33 Si

8 08:40 No

9 08:45 Si

10 08:48 No


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Por lo general todo software de uso especfico de simulacin como

ProModel, traen incluidos una herramienta estadstica muy til para

determinar el tipo de distribucin de las variables de entrada del modelo.

1.4.5 Desarrollo del modelo en lenguaje especfico de simulacin

Se debe manejar algn lenguaje especfico de simulacin o si se

domina algn lenguaje informtico de propsito general para realizar el

modelo. En general hoy en da los lenguajes de simulacin son amigables

y con entornos grficos como el que se muestra en la figura 1.12:

Figura 1.12


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Hora de

LlegadaHora deSalida

Wq

W

Una lnea un servidor

Wq = Tiempo en la filaWq = Hora de inicio de servicio Hora de Llegada

W = Tiempo en el sistemaW = Hora de salida hora de Llegada

Figura 1.13

Hora de

Inicio deservicio

Llegadas


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Mltiples lneas y mltiples servidores en paralelo

Una lnea mltiples servidores en paralelo

Figura 1.14

Figura 1.15


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Es muy comn que dentro de un sistema productivo existan

combinaciones de los modelos tpicos de lneas de espera dependiendo

del tipo de actividad o proceso realizado.

1.7 Ejemplos bsicos de simulacin

1. Suponga un sistema tal como el de una estacin de trabajo en una

fbrica donde se realiza un proceso de ensamble para conformar una

pieza, las piezas llegan cada 5 minutos y el tiempo que tarda el

operador en ensamblar es de 7 minutos, simule 10 llegadas a este

sistema y calcule lo siguiente:

a) Cul es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada pieza

desde que llegan los componentes de esta hasta que sale ensamblada?

b) Cul es el tiempo promedio en la fila que permanecen las piezas antes

de ser ensambladas?

c) Cul es el porcentaje de tiempo ocioso del servidor?

d) Suponga que se tienen 2 operadores en esa lnea, realice el ejercicio

anterior y comente.

Figura 1.16

Mltiples Lneas y Mltiples servidores en secuencia


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32

Suponga que el gerente no desea que los clientes duren ms de 5

minutos haciendo fila en la caja, Cuntos servidores son necesarios?

Con base en una corrida de tamao 10 clientes primeramente conteste

lo siguiente:

a) Cul es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada

cliente?

b) Cul es el tiempo promedio en la fila que permanece cada cliente?

Es suficiente con un servidor?


d) Realice el ejercicio anterior con dos servidores y comente.

Solucin:

La diferencia fundamental entre el ejemplo 1 y el 2 es que en este ltimo

las llegadas no son constantes, lo que le proporciona un efecto aleatorio al

modelo el cual se entiende como el parecido con la realidad del sistema

real con el que se desea representar. Una forma aleatoria de representar

las llegadas por ejemplo es utilizando el mtodo del sombrero, el cual

consiste en escribir los minutos uno en cada pedazo de papel, doblarlos y

sacarlos aleatoriamente de un recipiente con reposicin para asignarlos a

cada cliente que entra al sistema. Pero como no siempre es factible este

mtodo se puede entonces imitar utilizando los nmeros aleatorios que

sabemos estn ubicados en el rango 0 1 y utilizando el concepto

probabilstico de que la suma de las probabilidades de cada posible

resultado para un experimento dado siempre es 1(probabilidad

acumulada), se puede entonces emular el experimento de asignar

aleatoriamente un tiempo entre llegadas o tiempo de servicio para cada

cliente que entra al sistema.

Las variables de entrada del modelo se pueden generar utilizando

nmeros aleatorios y buscando el correspondiente valor en las tablas 1.20

y 1.21 que se muestran a continuacin:


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36

Este tipo de problema es totalmente diferente a las aplicaciones bsicas

de lneas de espera, por lo que se tendrn que buscar los indicadores para

realizar el modelo tabular. Como la finalidad que persigue cualquier

empresa, el objetivo es obtener ganancias o utilidades, por lo que el

objetivo principal es verificar si se espera obtener alguna utilidad con los

elementos que se conocen (costos variables, precio de venta, costos fijos,

etc.)

Considerar los siguiente.

Utilidad = ingresos egresos

Utilidad= (Volumen de ventas)(Precio de venta) ((costo variable) (volumen de

ventas)+ costo fijo))

Las variables de entrada del modelo son: El costo variable de produccin

La reaccin de la competencia

La demanda del producto

En las siguientes tablas se pueden ver los generadores de estas

variables:

Generador de la Reaccin de la Competencia

Reaccin de la

CompetenciaProbabilidad

Probabilidad

AcumuladaClases

Rpida 0.50 0.50 0.00 Rnd 0.50

Lenta 0.50 1.00 0.50 < Rnd 1.00

Tabla 1.25

Generador para la Demanda con Reaccin Rpida

Demanda ProbabilidadProbabilidad

AcumuladaClases

8,000 1/3 0.3333 0.0000 Rnd 0.33339,000 1/3 0.6666 0.3333 < Rnd 0.6666

10,000 1/3 1.0000 0.6666 < Rnd 1.0000

Tabla 1.26


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37

Generador para la Demanda con Reaccin Lenta

Demanda Probabilidad

Probabilidad

Acumulada Clases

10,000 1/3 0.3333 0.0000 Rnd 0.3333

11,000 1/3 0.6666 0.3333 < Rnd 0.6666

12,000 1/3 1.0000 0.6666 < Rnd 1.0000

Tabla 1.27

Generador para el Costo Variable

Costo

Variable Probabilidad

Probabilidad

Acumulada Clases

2.00 0.10 0.10 0.00 Rnd 0.10

2.10 0.10 0.20 0.10 < Rnd 0.20

2.20 0.10 0.30 0.20 < Rnd 0.30

2.30 0.10 0.40 0.30 Rnd 0.40

2.40 0.10 0.50 0.40 < Rnd 0.50

2.50 0.10 0.60 0.50 < Rnd 0.60

2.60 0.10 0.70 0.60 Rnd 0.70

2.70 0.10 0.80 0.70 < Rnd 0.80

2.80 0.10 0.90 0.80 < Rnd 0.902.90 0.10 1.00 0.90 < Rnd 1.00

Tabla 1.28


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a) Cul es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada pieza

desde que llegan los componentes de esta hasta que sale ensamblada?

b) Cul es el tiempo promedio en la fila que permanecen las piezas antes

de ser ensambladas?


d) Suponga que se tienen 2 operadores en esa lnea, realice el ejercicio

anterior y comente.

2. Considere un sistema de lneas de espera tal como el de un cajero

automtico, suponga por simplicidad que el tiempo entre llegadas de los

clientes vara entre 2 a 5 minutos y que el tiempo de servicio del cajero

varia de de 3 a 7 minutos por cada cliente, estos tiempos son

distribuidos de manera uniforme. Suponga que el gerente del banco nodesea que los clientes duren ms de 4 minutos haciendo fila en la caja,

Cuntos cajeros son necesarios? Con base en una corrida de tamao

10 clientes primeramente conteste lo siguiente:

a) Cul es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada

cliente?

b) Cul es el tiempo promedio en la fila que permanece cada cliente?

Es suficiente con un cajero automtico?

c) Realice el ejercicio anterior con dos cajeros y comente.

3. Una compaa desea establecer un negocio de renta de autos, el

gerente quiere saber el nmero de autos ptimo a comprar. El costo

promedio anual es de $200,000 por auto, la renta diaria por auto se

fijar en $700. El costo de no tener un auto disponible cuando se solicita

es de $300 y el de tener un auto ocioso durante el da es de $200. De

acuerdo a una investigacin realizada, se encontr que el nmero de

autos rentados por da as como el nmero de das rentados es como se

muestra a continuacin:


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No. de AutosRentados

FrecuenciaObservada

No. DasRentados

FrecuenciaObservada

0 15 1 40

1 25 2 35

2 45 3 153 10 4 10

4 5

a) Cules son las variables de entrada de este modelo?

b) Cul es el principal indicador para determinar el nmero ptimo de

autos a comprar?

c) Cules son las alternativas que se pueden considerar para este

modelo?

d) Realice una corrida de tamao 10 autos para cada una de las

alternativas y recomiende cuantos comprar.

4. La panadera la Trinidad satisface la demanda del da con pan recin

horneado. El pan se produce en lotes de docenas de panes, cada pan

tiene un costo de produccin de $2 Suponga que la demanda diaria total

de pan tambin se presenta en mltiplos de 12. Los datos muestran que

la demanda vara de 36 a 96 panes diarios. Un pan se vende a $4 y si

sobra pan al final del da, este se vende a una cocina de beneficencia a

un precio de recuperacin $1 cada pan. Si la demanda es mayor que la

oferta, suponemos un costo por ganancia prdida. Los registros de la

panadera muestran que la demanda diaria se puede clasificar en tres

tipos: alta, media y baja, estas se presentan con probabilidades de 0.30,

0.45 y 0.25 respectivamente. La empresa quisiera saber el nmero

ptimo de panes que se deben producir cada da para maximizar las

ganancias.


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a) Cules son las variables de entrada de este modelo?

b) Cul es el principal indicador para determinar el nmero ptimo de

panes a producir?

c) Cules son las alternativas que se pueden considerar para este

modelo?

d) Realice una corrida de tamao 10 das para cada una de las

alternativas y haga las recomendaciones que considere pertinentes.

5. Lea y desarrolle el siguiente caso:

Gerente: Seores, el desarrollo de nuestro nuevo producto ha alcanzado

el punto en que debemos tomar una decisin sobre la produccin. Por

supuesto, la cuestin clave es: se obtendr una ganancia?

Ventas: Pienso que la demanda puede estimarse bastante bien

basndonos en nuestros estudios. Esperamos niveles de ventas de 5,300;

6,000 y 6,700 unidades. Estadsticamente estimamos que el primer y tercer

nivel de ventas tengan un peso probabilstico de un 35%.

Produccin:Para producirlo necesitamos alguna maquinaria nueva, una

persona ms en mantenimiento y relocalizacin de algunas estaciones de

trabajo existentes. He costeado cuidadosamente estas necesidades y

ascienden a un total de $200,000 de costos fijos. Dira que hay 50% de

posibilidades para los $200,000 y 25% para $198,000 o para $202,000.

Gerente:Qu sucede con el costo variable?

Contabi l idad: Despus de consultar a nuestros departamentos de

ingeniera y produccin, hemos llegado a un costo esperado entre $48 y

$52. Digamos que existe el 50% de posibilidades para $50y 25% tanto

para $48 como para $52.

Distribucin de la Demanda

Demanda Alta Media Baja

36 0.15 0.10 0.15

48 0.10 0.20 0.25

60 0.25 0.30 0.3572 0.30 0.25 0.15

84 0.10 0.10 0.05

96 0.10 0.05 0.05


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Capitulo 2:

Nmeros pseudoaleatorios


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e) De la misma manera que se obtuvo la media, partiendo de la mismadistribucin uniforme continua la varianza se obtiene por medio de:

= ( ) = 12 = + = + = 13 12 + 14 = 112 =

2.3 Generacin de los nmeros pseudoaleatoriosGenerar un conjunto de ri nmeros pseudoaleatorios es relativamentesencillo, solo se tiene que aplicar algn algoritmo de generacin(sucesiones de dgitos por medio de una relacin de recurrencia.) oincluso disear un propio algoritmo de generacin. Lo que se debe teneren cuenta es que los nmeros generados cumplan las caractersticassealadas en el punto 2.2.A continuacin se presentan diferentes algoritmos determinsticos paragenerar los nmeros pseudoaleatorios. Existen muchos algoritmos pero

en general se pueden clasificar en algoritmos no congruenciales yalgoritmos congruenciales.

2.3.1 Algoritmo de cuadrados medios

Este es un algoritmo no congruencial y se fundamenta en laelevacin al cuadrado de una semilla de n dgitos tomando los ddgitos centrales para conformar el nuevo nmero, mismo que servircomo la nueva semilla y as sucesivamente. Los pasos para estealgoritmo son:

1. Seleccionar una semilla (X0) con ddgitos (d> 3).2. Elevar al cuadrado X0 y sea X1 = ddgitos del centro. Sea entonces

ri=0.ddgitos del centro.


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3. Sea Yi = resultado de elevar Xi al cuadrado; y sea Xi+1= los ddgitosdel centro y ri=0.ddel centro para toda i = 1,2,3,,n.

4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n nmeros ri deseados.

Nota: Si no es posible obtener los ddgitos del centro del nmero Yi sepueden tomar los ddgitos cargados un dgito hacia la derecha o haciala izquierda.

Ejemplo 2.1

Generar los primeros 5 nmeros ri de 4 dgitos (d) a partir de la semillaX0=9876, ver tabla 2.2:

Y0 = 9876 = 97535376 X1 = 5353 r1 = 0.5353

Y1 = 5353 = 28654609 X2 = 6546 r2 = 0.6546

Y2 = 6546 = 42850116 X3 = 8501 r3 = 0.8501

Y3 = 8501 = 72267001 X4 = 2670 r4 = 0.2670

Y4 = 2670 = 7128900 X5 = 2890 r5 = 0.2890

Tabla 2.2

2.3.2 Algoritmo de productos medios

Este es otro algoritmo no congruencial y la mecnica es similar alanterior. La diferencia radica en que el algoritmo de productos medios

requiere dos semillas, ambas con d dgitos y en lugar de elevarlas alcuadrado, se multiplican y del producto se seleccionan los ddgitos delcentro. Los pasos son como se enumeran a continuacin:

1. Seleccionar una semilla (X0) con ddgitos (d> 3).2. Seleccionar una semilla (X1) con ddgitos (d> 3).3. Sea Y0=(X0) (X1); Sea X2= los ddgitos del centro, y sea ri=0.ddgitos

del centro.4. Sea Yi=(Xi) (Xi+1); Sea Xi+2= los d dgitos del centro, y sea ri+1=0.d

dgitos del centro para toda i = 1,2,3,..,n5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n nmeros ri deseados.


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Nota: Si no es posible obtener los ddgitos del centro del nmero Yi sepueden tomar los ddgitos cargados un dgito hacia la derecha o haciala izquierda.

Ejemplo 2.2

Generar los primeros 7 nmeros ri de 4 dgitos (d) a partir de lassemillas X0=9638 y X1=8527, ver tabla 2.3:

Y0= (9638)(8527)= 82183226 X2=1832 r1=0.1832

Y1= (8527)(1832)=15621464 X3=6214 r2=0.6214

Y2= (1832)(6214)=11384048 X4=3840 r3=0.3840

Y3= (6214)(3840)=23861760 X5=8617 r4=0.8617

Y4= (3840)(8617)=33089280 X6=0892 r5=0.0892

Y5= (8617)(0892)=7686364 X7=6863 r6=0.6863

Tabla 2.3

2.3.3 Algoritmo congruencial mixto

Los mtodos congruenciales estn basados en el lgebra decongruencias. Este mtodo tiene la siguiente relacin de recurrencia:

Xn+1 = (aXn + c) mod m

Donde:X0 = Semillaa = Factor multiplicadorc= Constante aditivam = magnitud del mdulo

Los requisitos mnimos que estos parmetros deben satisfacer son:

X0, a, c, m 0; enteros y m >a, m >c, m >X0. Aqu modrepresenta a laoperacin aritmtica mdulo entre enteros a y b tal que el resultado de amodb es el residuo entero de la divisin a entre b.

Es muy importante aclarar que en la seleccin de los parmetros delos generadores congruenciales deben seguirse reglas y teoremas muy


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estrictos pero como todos los lenguajes de uso especfico de simulacinya incluyen sus propios generadores de nmeros pseudoaleatorios solose expondrn ejemplos meramente didcticos para ver cmo funcionanlos generadores congruenciales.

Ejemplo 2.3

Genere 8 nmeros a partir del generador congruencial mixto: considereX0 = 4, a=5, c=7 y mod=8. Los resultados son como se muestran en latabla 2.4:

Generador Divisin Xi Nmero Aleatorio

X1 = ((5)(4) + 7) mod 8 27/8 = 3 + 3/8 X1= 3 r1= 3/8 = 0.375

X2=( (5)(3) + 7) mod 8 22/8 = 2 + 6/8 X2= 6 r2= 6/8 = 0.750X3 = ((5)(6)+ 7) mod 8 37/8 = 4 + 5/8 X3= 5 r3= 5/8 = 0.625

X4 = ((5)(5) + 7) mod 8 32/8 = 4 + 0/8 X4= 0 r4= 0/8 = 0.000

X5=((5)(0) + 7) mod 8 7/8 = 0 + 7/8 X5= 7 r5= 7/8 = 0.875

X6=((5)(7) + 7) mod 8 42/8 = 5 + 2/8 X6= 2 r6= 2/8 = 0.250

X7=((5)(2) + 7) mod 8 17/8 = 2 + 1/8 X7= 1 r7= 1/8 = 0.125

X8=((5)(1) + 7) mod 8 12/8 = 1 + 4/8 X6= 4 r8= 4/8 = 0.500

Tabla 2.4

2.3.4 Algoritmo congruencial multiplicativoEste mtodo es muy similar al anterior salvo por la constante aditiva

que en este caso no se considera. La relacin de recurrencia es:

Xn+1 = (aXn) mod m

Donde:X0 = Semillaa = Factor multiplicador

m = magnitud del mduloLos requisitos mnimos que estos parmetros deben satisfacer son: X0,a, m 0; enteros y m >a y m >X0.


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2.4.1 Prueba de los promedios

Esta prueba est basada en la media de los nmeros aleatorios yesencialmente consiste en comparar la media de una muestra detamao n contra la media de toda la poblacin de nmeros que puedan

generarse (cuando n tiende a ): .Los pasos son los siguientes:

1. H0: = 0.5

H1: 0.5

2. Calcular la de los n nmeros generados: = 3. Estadstico de prueba:

= ( 0.5)112 /

4. Determinar las regiones de rechazo y no rechazo para los valores de

considerados.

5. Tomar la decisin para cada valor de .6. Concluir.

Ejemplo 2.5

Realice la prueba de los promedios a los 40 nmeros aleatorios de la

tabla 2.7 de abajo considerando: a) = 1%, b) = 5% y c) = 10% yconcluya.


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5. Decisin: Como ZC < Z/2 entonces no rechazar H0

6. Conclusin:Existe suficiente evidencia para decir que los nmeros aleatoriosse distribuyen uniformemente considerando n=40 y =0.01

0.95

rea de norechazo

0.0250.025

rea de rechazorea de rechazo

b) = 0.05

+ 1.96- 1.96

ZC = - 1.55

0.99

rea de norechazo

0.0050.005


a) = 0.01

+ 2.575- 2.575

ZC = - 1.55


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5. Decisin: Como ZC < Z/2 entonces no rechazar H06. Conclusin:

Existe suficiente evidencia para decir que los nmeros aleatorios sedistribuyen uniformemente considerando n=40 y =0.05

5. Decisin: Como ZC < Z/2 entonces no rechazar H06. Conclusin. Existe suficiente evidencia para decir que los nmeros

aleatorios se distribuyen uniformemente considerando n=40 y=0.10

Conclusin general:

Como la hiptesis nula no se rechaza con ninguno de los tres valores

de , entonces se trata de una pru eba altamente signif icat ivaparadecir que los nmeros se distribuyen uniformemente considerandon=40.

2.4.2 Prueba de las frecuencias

Esta prueba consiste en dividir el espacio [0,1] en ksubintervalos yverificar la cantidad de nmeros aleatorios que caen en cada particincontra los que deberan ser suponiendo que estos se distribuyenuniformemente. Es en realidad una prueba de bondad y ajuste (utiliza el

0.90

rea de norechazo

0.050.05


c) = 0.10

+ 1.96- 1.96

ZC = - 1.55


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Ejemplo 2.7

Aplicar la prueba del pker a los 100 nmeros que se muestran acontinuacin en la tabla 2.12:

0.80772 0.17791 0.13522 0.33942 0.51952 0.56367 0.30992 0.53029 0.32886 0.22031

0.99704 0.37347 0.56938 0.72269 0.23036 0.36737 0.64306 0.06359 0.48597 0.93187

0.10688 0.58583 0.32024 0.07030 0.84387 0.56090 0.14836 0.59700 0.76514 0.38088

0.94045 0.52118 0.81727 0.88695 0.39582 0.27950 0.90993 0.04543 0.33388 0.13548

0.21890 0.44946 0.99206 0.10144 0.09683 0.96107 0.78364 0.63935 0.10515 0.21707

0.24923 0.29121 0.31590 0.48642 0.36869 0.40785 0.85366 0.91186 0.38562 0.81903

0.65589 0.70207 0.03764 0.80680 0.33174 0.57563 0.66228 0.60460 0.36740 0.67429

0.66905 0.05462 0.24422 0.74264 0.31128 0.81286 0.26439 0.28189 0.54555 0.983810.37665 0.24623 0.46671 0.82446 0.26924 0.75091 0.04372 0.33886 0.81618 0.75224

0.94338 0.31334 0.86353 0.42163 0.30297 0.21871 0.28123 0.01430 0.55963 0.22901

Tabla 2.12

Solucin:1. H0: Los nmeros se distribuyen uniformemente.

H1: Los nmeros no se distribuyen uniformemente2. Tamao de la muestra: n = 1003. Calculo de

ver la tabla 2.13:

Jugadas(x)

Probabilidadf(x)

FO FEFO-FE

(FO-FE)

2 ()Todos diferentes 0.3024 27 30.24 -3.24 10.50 0.347Un par 0.5040 53 50.40 2.60 6.76 0.134Dos pares 0.1080 12 10.80 1.20 1.44 0.133Tercia 0.0720 5

8

7.20

8.56 -0.56 0.314 0.037Full 0.0090 2 0.90Pker 0.0045 1 0.45Quintilla 0.0001 0 0.01

1 100 100

= 0.651

Tabla 2.13

4. Como se mencion anteriormente, para obtener el valor de tablas, esnecesario primero calcular los grados de libertad: V = k-1, y el valor


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Figura 3.5

3.3 Identificacin del tipo de distribucin de

probabilidad de las variables aleatorias

El objetivo de identificar el tipo de distribucin de alguna variable

aleatoria es poder generarla cuando se est realizando el modelo enalgn lenguaje especfico informtico, de hecho la mayora de estos

lenguajes traen su propia aplicacin para determinar el tipo de

distribucin de las variables, en el caso del ProModel, tiene una

aplicacin llamada Stat:Fit la cual es muy til para este fin.

El procedimiento para la identificacin de la distribucin que sigue

una variable de entrada es aplicando el proceso de pruebas de hiptesis

utilizando la prueba de bondad y ajuste que utiliza como estadstico de

prueba a la chi-cuadrada (x2), tambin se puede utilizar la prueba de

Kolmogorov-Smirnov o la de Anderson-Darling. En este captulo serevisarn los dos primeros procedimientos mencionados anteriormente.

El procedimiento general es como se menciona a continuacin:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5

P(x)

X

Distribucin Exponencial


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b) Construya una distribucin de frecuencias y realice el histograma

correspondiente.

c) Mencione que tipo de distribucin terica pueden seguir los datos

(establecer H0 y H1).

d) Aplicar la prueba de bondad y ajuste con =0.05 y concluya.

e) Aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov con =0.05 y concluya.

Solucin:

a) Calculo del rango:

= 8 1 = 7b) Calculo del ancho de clase:

= 7

1+3.322(log30)= 1.18

En este caso los datos son discretos y el rango es pequeo

(Rango=7) as que el ancho de clase no es una referencia adecuada ya

que quedaran clases de 12, 23, etc. y como los datos son discretos

nunca se darn valores intermedios solo enteros por lo que en este

caso en particular es ms conveniente tomar los valores puntuales y

ajustar a alguna distribucin terica discreta.

La distribucin de frecuencias e Histograma son como se muestran

en la figura 3.12:

Figura 3.12


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( = 7) = (3.4667).7! = 0.0373

( = 8) = 1

= 1 0.9434 = 0.0566

El resumen de los clculos de la prueba de bondad y ajusta se

muestra en la tabla 3.13:

Clases FO Pi FE=nPi FO-FE (FO-FE)2 ()

1 4

100.1082 3

9 1 1 0.11112 6 0.1876 6

3 7 0.2168 7 0 0 0 0.00004 5 0.1879 6 -1 1 0.1666

5 4

8

0.1303 4

8 0 0 06 2 0.0753 2

7 1 0.0373 1

8 1 0.0566 1

30 1 30 = 0.2777Tabla 3.13

Para determinar el valor de tablas de

,

:V=4-1-1=2 grados de libertad

, =,. = 5.99En la siguiente figura 3.14 se muestra la regin de rechazo y no

rechazo para la prueba de bondad y ajuste de este ejercicio:


96/309


97/309


98/309


99/309


89

Para estimar se utiliza y para estimar se utiliza S. Utilizando lahoja de clculo se puede estimar la media y la desviacin estndar de la

muestra con la cual se obtiene la siguiente informacin: =

146.8y = 13.05.

Para el clculo de las probabilidades se consideran los lmites reales

de clase. La probabilidad de la primera clase es: P1(x


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102/309


103/309


93

Para utilizar el Stat:Fit, se puede ejecutar desde la pantalla inicial de

ProModel o desde los comandos del men Tools (ver figura 3.21):

Figura 3.21

Dentro de la ejecucin del Stat:Fit se debe iniciar un nuevo

documento (hoja en blanco de la barra de herramientas) e introducir los

datos de la variable a analizar, el uso de esta herramienta es muy

amigable e intuitivo (ver figura 3.22):


104/309

Variables aleatorias

94

Figura 3.22

Una vez que se introdujo la informacin se inicia el proceso mediante

el botn Auto::Fit o utilizando la barra de herramientas en el comando

Fit. Para el caso de los datos del ejemplo 3 los datos ya introducidos y

su correspondiente informacin de estadstica descriptiva serian como

se ve en las figura 3.23 y 3.24:


105/309


95

Figura 3.23

Figura 3.24


106/309


96

Una vez que se dio clic en el botn Auto: FIT se despliegan las

distribuciones a las cuales se ajustan los datos, incluso se puede ver el

histograma y los polgonos de frecuencia de las distribuciones a las

cuales se hizo el ajuste (ver figuras 3.25 y 3.26):

Figura 3.25


107/309


97

Figura 3.26

3.3.3 Ajuste de curvas manual a tendencias lineales para

distribuciones empricas continuas

Para el caso en que se considere una variable aleatoria continua

emprica (que no sigue ninguna distribucin terica conocida), se puede

utilizar el enfoque de ajuste a una tendencia lineal con el mtodo de

mnimos cuadrados.

Como es conocido, existen diversos tipos de tendencias: lineal,

parablica, logartmica, etc. pero en este caso se ver el ajuste a la

tendencia lineal para verificar si esta puede utilizarse en la obtencin del

generador de la variable (posteriormente) en lugar de la distribucin

original.


108/309


98

Ejemplo 3.4

Se toma una muestra de 100 llamadas a un centro de atencin

telefnico, la variable considerada es el tiempo de atencin en

minutos de un servidor. Los datos ordenados en una distribucin de

frecuencias, el histograma y el diagrama de dispersin son como se

muestran a continuacin en la figura 3.27:

Figura 3.27

La ecuacin de la recta es: = + y las respectivas ecuacionesnecesarias para aplicar el mtodo de mnimos cuadrados son:

= + = +


109/309


99

Para obtener la ecuacin de la recta es necesario conocer los valores

de las constantes a y b obteniendo las sumatorias necesarias (ver tabla

3.28):

X FO(Y) XY X2 Y2 3 12 36 9 144

4 14 56 16 196

5 17 85 25 289

6 16 96 36 256

7 21 147 49 441

8 20 160 64 400

33 100 580 199 1726

Tabla 3.28

100 = 6 + 33580 = 33 +199

Resolviendo el sistema de ecuaciones por el mtodo que se desee

(sustitucin, reduccin, Gauss-Jordan, etc.) se obtiene:

a = 10.667, b = 1.7143

= 10.667 + 1.7143

Sustituyendo los valores de X se obtienen los valores ajustados de Y

= 10.667 + 1.7143(3) = 15.81

= 10.667 + 1.7143(4) = 17.52

= 10.667 + 1.7143(5) = 19.24 = 10.667 + 1.7143(6) = 20.95 = 10.667 + 1.7143(7) = 22.67 = 10.667 + 1.7143(8) = 24.38


110/309


100

Estos valores se grafican sobre el polgono de frecuencias y

originando la recta de ajuste tal como se ve en la siguiente figura 3.29:

Figura 3.29

El valor de R2 es el coeficiente de determinacin y este mide la

dispersin de los datos originales respecto de la recta de ajuste. Un

valor de R2=1 hace un ajuste perfecto por lo que entre ms se acerque

a 1 mejor ser el ajuste que la recta haga de los datos. Un valor mayor

de 0.85 es considerado como bueno y podra considerarse la ecuacinde la recta como la nueva f(x) de los datos. La manera de obtenerlo es

calculando primero el coeficiente de correlacin y luego elevarlo al

cuadrado.

= () ()

= 6(580) (33)(100)6(199) (33)6(100) (1726)

= 0.9310 = 0.8668

y = 1.7143x + 10.667

0

5

10

15

20

25

3 4 5 6 7 8

Poligono de frecuencias


111/309


101

De aqu el valor de R= 0.9310 y por lo tanto R2=0.8668, con este

valor se puede decir que la tendencia lineal hace un buen ajuste de los

datos muestreados para posteriormente obtener un generador de esta

variable.

3.4 Generacin de variables aleatorias.El objetivo real de conocer el tipo de distribucin de las variables

aleatorias, es podergenerarlasen el modelo de simulacin que se est

desarrollando para darle el parecido con la realidad que se requiera y

obtener informacin fidedigna que permita tomar la mejor decisin en un

momento dado.

Existen varios mtodos para generar las variables aleatorias, porejemplo:

a) Mtodo de la transformada inversa.

b) Mtodo de convolucin

c) Mtodo de composicin.

d) Mtodo de la transformacin directa.

e) Mtodo de aceptacin y rechazo.

f) Mtodo de Montecarlo

En los siguientes puntos se describirn el mtodo de la transformada

inversa, el mtodo de Montecarlo y el de composicin (que es una

aplicacin especial del de la transformada inversa), el lector puede

consultar los dems mtodos en la bibliografa de este texto.

En la siguiente figura 3.30 se puede observar un cuadro sinptico

con un resumen de este punto adecuado al tipo de variable considerado

para un mejor entendimiento del tema:


112/309


102

Figura 3.30

Si los datosanalizadostienen una.

Distribucin

DiscretaTerica

1. Aplicar directamente la frmula directamente y obtenerlas probabilidades de cada valor posible de X.

2. Acumular las probabilidades hasta que la suma sea 1.

3. Establecer clases o rangos con la probabilidadacumulada.4. Generar nmeros aleatorios y verificar que valor

corresponde de X para introducir al modelo.

Mtodo de Montecarlo:1. Obtener las probabilidades relativas de cada

valor de X.2. Acumular las probabilidades hasta que la

suma sea 1.3. Establecer clases o rangos con la probabilidad

acumulada.4. Generar nmeros aleatorios y verificar que

valor corresponde de X para introducir al

modelo.

DistribucinContinuaTerica

DistribucinEmprica.

Mtodo de la Transformada inversa:

1. Dado f(x) calcular() = () 2. Hacer F(x) = R

3. Despejar = 4. Generar valores

Discreta

Continua

1. Ajustar a una tendencia lineal para checar si R

hace un buen ajuste de los datos.

2. Si R20.85 aplicar Transformada inversa.

Mtodo de Composicin:Si el rea f(x) se puede dividir en dos o ms reas, seaplica la transformada inversa a cada fi(x), siempre ycuando Ai=1

Si R2


113/309


114/309


115/309


105

X FOProbabilidad

RelativaAcumulada Clases

1 4 0.1333 0.1333 0.0000 R 0.1333

2 6 0.2000 0.3333 0.1333 < R 0.33333 7 0.2333 0.5667 0.3333 < R 0.5667

4 5 0.1667 0.7333 0.5667 < R 0.7333

5 4 0.1333 0.8667 0.7333 < R 0.8667

6 2 0.0667 0.9333 0.8667 < R 0.9333

7 1 0.0333 0.9667 0.9333 < R 0.9667

8 1 0.0333 1.0000 0.9667 < R 1.0000

30 1.0000

Tabla 3.32

Ejemplo 3.6Obtenga el generador para la distribucin terica exponencial continua y

genere 5 valores con = 5.

Solucin, en este caso se aplicar el mtodo de la transformada

inversa. La forma de la distribucin exponencial negativa y su respectiva

f(x) es como se muestra en la figura 3.33:

Figura 3.33

0 X

f(x)

() = > 0


116/309


106

Dado f(x) calcular F(X):

() =

=

=

+ 1

Igualar F(x) = R y despejar X:

+ 1 = = 1 = 1

ln(

) = ln( 1 )

= ln( 1 ) = ln() nota: 1-R R

=

Los valores generados son:

Si R1=0.269 entonces: = 5(0.269) = 6.56Si R2=0.819 entonces: = 5(0.819) = 0.99Si R3=0.360 entonces: = 5(0.360) = 5.11Si R4=0.454 entonces: = 5(0.454) = 3.95Si R5=0.606 entonces: = 5(0.606) = 2.50Ejemplo 3.7

Obtenga el generador de una distribucin uniforme continua y genere 5valores si a=3 y b=7.

Solucin, recurdese que la f(x) de la distribucin uniforme es como se

muestra en la figura 3.34:


117/309


107

Figura 3.34

Puesto que se trata de una distribucin uniforme continua terica, se

aplicar el mtodo de la transformada inversa.

a) Dado f(x), calcularF(x):

() = 1

=

=

b) IgualarF(x)=R y despejarX: =

= ( ) = + ( )

c) Los 5 valores generados si a=3 y b=7 son:

Si R1 = 0.2375 entonces X1= 3 + 4(0.2375) = 3.95

Si R2 = 0.7031 entonces X2= 3 + 4(0.7031) = 5.81

Si R3 = 0.9915 entonces X3= 3 + 4(0.9915) = 6.97

Si R4 = 0.0388 entonces X4= 3 + 4(0.0388) = 3.16

() = 1


118/309


108

Si R5 = 0.4221 entonces X5= 3 + 4(0.4221) = 4.69

Ejemplo 3.8

Los datos que se muestran en la distribucin de frecuencias de abajo(tabla 3.35), representan el tiempo en minutos para realizar una

operacin de ensamble. Obtenga un generador para dicha variable.

FO 3 7 11 15

X 1 2 3 4

Tabla 3.35

Solucin:

Para tener una idea del tipo de distribucin primeramente se trazar

el histograma correspondiente a los datos muestreados (ver figura3.36):

Figura 3.36

El polgono de frecuencias, los datos ajustados a la tendencia lineal yel valor del coeficiente de determinacin se muestra a continuacin en

la figura 3.37:


119/309


109

Figura 3.37

Con el coeficiente de determinacin se puede concluir que la

tendencia lineal hace un ajuste perfecto de los datos (en realidad no

importa la ecuacin de la recta para este punto lo que interesa es que

tanto se ajustan los datos a la tendencia lineal), por lo tanto para

obtener el generador de esta variable continua (suponiendo que

interesa generar valores cualquiera entre dos valores enteros) se

considera la forma lineal de la distribucin y se traza nuevamente la

distribucin pero en terminos de distribucin de probabilidad (ver figura

3.38):

R2=1


120/309


110

Figura 3.38

Se tiene que recalcular la base mayor del trapecio ( para cerrar el

rea a 1): = ( + )2

1 = +112 32

= Con este valor se puede obtener la nueva f(x) ajustada con la

ecuacin de la pendiente:

= 712 1124 1 =

112 1 = 16

112

1 2 3 4

336 =

112

d

X

f(x)

A=1b

B

h

La forma bsica de la distribucin esun trapecio


121/309


111

Entonces la f(x) de la distribucin es:

() =

1

6

1

12 1 4

Como es una distribucin emprica continua se aplicar entonces el

mtodo de la transformada inversa:

() = 16 112

= 112 112

1(1)12

112 (1) =

112

112

Como se est calculando la distribucin acumulada debe esperarse

que al sustituir con el valor de x superior (en este caso 4) se obtenga un

valor de 1 que es la probabilidad total acumulada de cualquier tipo de

evento:1

124

2 112

4 = 1.El siguiente paso es igualar la ecuacin a R y despejar x:

112

112 =

112

112 = 0

Como no se trata de una ecuacin lineal se utilizar la frmula general

para conocer el valor de x. Se puede multiplicar por 12 toda la ecuacinpara eliminar las fracciones:

112 112 = 0 12 = 12 = 0

= 42 = 1 1 4(1)(12)

2(1) = 1 48 + 1

2

Para saber cul de los dos signos (+ o -) es el adecuado se puede

evaluar la frmula con los extremos de los nmeros R para los que

aplica (0R1) se supone que con R=0 la ecuacin debe proporcionar


122/309


112

un valor de X=1 y con R=1 debe darX= 4, esto sucede con el signo +

de la ecuacin y el generador finalmente queda de la siguiente manera:

= 1 + 48 + 12 0 1

Si se generan 10 valores con este generador el resultado sera como se

muestra a continuacin en la tabla 3.39:

n R X

1 0.000 1

2 1.000 4

3 0.946 3.90

4 0.759 3.55

5 0.476 2.94

6 0.954 3.92

7 0.809 3.66

8 0.607 3.24

9 0.011 1.11

10 0.255 1.82

Tabla 3.39

Ejemplo 3.9

La siguiente figura 3.40 representa la distribucin de una variable

aleatoria continua emprica que ya ha sido ajustada a tendencias

lineales mismas que hacen un buen ajuste de los datos originales.

Determine un generador para esta variable aleatoria.


123/309


113

Figura 3.40

Solucin:

a) Primeramente hay que encontrar el valor desconocido d para cerrar

las reas a 1. En este caso la distribucin puede dividirse en dos

reas A1 y A2, debe recordarse que A1 + A2=1. Son dos trapecios, por

lo tanto:

+ = 1 + 1512 +

+ 15 12 = 1Despejando B se obtiene:

12 +

110 +

12 +

110 = 1 = 1

15

= 45

b) Enseguida se calculan las respectivas f1(x) y f2(x) con la ecuacin de

la pendiente:

1 5

d

1 2 3

A1 A2


124/309


114

Para f1(x):

= 45 152 1 = 15 1 =

35

25 :() =

35

25 1

2

Para f2(x):

= 15 453 2 =

45 2 = 35 + 2: ()

= 35 + 22 < 3

c) El siguiente paso es aplicar la transformada inversa a cada f(x).

Cuando se aplica este mtodo a ms de un rea, se le llama mtodo

de Composic in.

() = 35 25

= 310 25

3(1)10

25 (1) =

310

25 +

110

Como la distribucin total de esta variable se puede dividir en dos

reas, se puede evaluar esta primer distribucin acumulada con el valorde X superior para el cual aplica f1(x) (1X2) y debe dar el valor en

rea de la primer figura, en este caso es simtrica y el A1=1/2. Por lo

tanto si se evala la primer acumulada con X=2 el resultado es:


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115

() = 310 2 252 +

110 =

12

Enseguida se calcular la F2(x):

() = ( = 2) + 35 +2

= 12

310 +2

3(2)10 +2(2)

() = 310 + 2 2310

Si se evala con X=3 ya que la f2(x) aplica para 2


126/309


116

= 4 + 4+1206 0 0.5

Para F2(x): 310 + 2 2310 =

310 + 2 2310 = 0 10

3 20 + 23 + 10 = 0

= 42 = 20 20 4(3)(23+10)2(3)

= 20 1241206 Este generador aplicar para valores 0.5


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117

3.5 Ejercicios propuestos1. El nmero de toneladas de sulfato de amonio vendidas por una

empresa cada mes, se registran en la siguiente tabla, determine qu

tipo de distribucin siguen aplicando la prueba de Kolmogorov-

Smirnov.

10 11 12 10 11 14 12 14 14 11

12 10 13 11 10 11 12 11 14 12

13 14 10 12 13 10 11 13 14 13

14 11 13 10 12 14 14 11 14 11

11 13 12 13 10 13 12 13 11 13

2. Los siguientes datos representan el tiempo de atencin en un

departamento de quejas de una importante empresa telefnica.

Determine qu tipo de distribucin siguen estos aplicando la prueba

de bondad y ajuste.

19 11 18 37 33 28 29 14 17 10

20 19 23 59 13 20 14 18 17 11

11 22 29 42 15 19 14 12 20 10

11 30 20 15 15 38 13 12 21 22

28 12 12 12 16 31 12 17 22 27

3. Considere una empresa que vende seguros para autos. Existen 5

opciones diferentes de beneficios, por lo que cada cliente puede

elegir si compra o no desde ninguna hasta comprar las 5 opciones

que le presentan. Las probabilidades para venta y no venta son

iguales. Los datos obtenidos son los siguientes:

No. de opciones vendidas Frecuencia Observada

0 38

1 1442 342

3 287

4 164

5 25


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118

Verifique si estos datos siguen una distribucin Binomial aplicando:

a) La prueba de bondad y ajuste

b) La prueba de Kolmogorov-Smirnov

4. Verifique que tipo de distribucin tienen los siguientes datos

aplicando:

a) La prueba de bondad y ajuste

b) La prueba de Kolmogorov-Smirnov

1,170 1,207 1,581 1,277 1,305 1,472 1,077 1,319 1,537 1,849

1,332 1,418 1,949 1,403 1,744 1,532 1,219 896 1,500 1,671

1,471 1,399 1,041 1,379 821 1,558 1,118 1,533 1,510 1,760

1,826 1,309 1,426 1,288 1,394 1,545 1,032 1,289 695 803

1,440 1,421 1,329 1,407 718 1,457 1,449 1,455 2,051 1,6771,119 1,020 1,400 1,442 1,593 1,962 1,263 1,788 1,501 1,668

1,352 1,340 1,459 1,823 1,451 1,138 1,592 982 1,981 1,091

1,428 1,603 1,699 1,237 1,325 1,590 1,142 1,425 1,550 913

1,470 1,783 1,618 1,431 1,557 896 1,662 1,591 1,551 1,612

1,249 1,419 2,162 1,373 1,542 1,631 1,567 1,221 1,972 1,714

949 1,539 1,634 1,637 1,649 1,607 1,640 1,739 1,540 2,187

1,752 1,648 1,978 640 1,736 1,222 1,790 1,188 2,091 1,829

5. Verifique si los siguientes datos pueden ajustarse a una tendencia

lineal para posteriormente obtener un generador considerndoloscomo variable continua emprica.

6. Obtenga un generador manual para una distribucin Binomial con

n=10 yp=0.5

7. Obtenga un generador manual para una distribucin Uniforme

Continua entre 1 y 10.

X FO

1 122 163 144 205 18


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119

8. Obtenga el generador para una distribucin de Poisson con =5.

9. Obtenga el generador para una distribucin Exponencial Negativa

con =3.

10. La siguiente figura representa la distribucin de una variable

continua emprica, obtenga el generador de dicha variable.

11. La siguiente figura representa la distribucin de una variable

continua emprica, obtenga el generador de dicha variable.

d

1 2 30

1 3

d

1 2 3


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120

12. Obtenga un generador para la siguiente distribucin:

1 5

d

3 4 5

A1 A2


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121

Capitulo 4:

Lenguajes de simulacin


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122


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123

4.1 Lenguajes de simulacinInicialmente los modelo s de simula cin se de sarrollaban utilizando

algn lenguaje de propsito general, como FORT RAN, BASIC oASSEMBLER. Posteriormente se empezaron a desarrollar lenguajesespecficos para simulacin que permitieron el desarrollo de modelos deforma ms rpida, algunos de esos primeros lenguaje s especficosfueron: GPSS, GASP, SIMSCRIPT y SLAM. Con el advenimiento de lasinterfaces grficas se revolucion el campo de las aplicacio nes en estarea y surgieron lenguajes especficos cada vez ms fciles de utilizar ycon una capacidad d e entregar informacin de salid a que facilitaenormemente la toma de decisiones. Algunos de los len guajes de laactualidad son: ProModel, Arena, SIMPROCESS, SLIM.

El objetivo de este captulo es aprender a utilizar algn simulador, porlo que en lo sucesivo se vern las caracter sticas y ele mentos demodelaje que conforman el lengu aje ProModel 7.0 versin estudian til.Se eligi este por su facilidad de uso y adems por la razn de que nose requiere un permiso especial por parte de la empresa que locomercializa. Claro est que el uso que se le dar al manejo delsoftware es eminentemente acadmico (razn de ser de este texto).Adicionalmente se puede comentar que ya se incluye en otros textos desimulacin como el que se mencion en el captulo 3 punto 3.3.2.

4.2 Introduccin al uso de ProModelEste software es uno d e los ms difundidos comercialmente y por

ende de los ms usados. Cuenta con poderosas herramientas deanlisis y diseo que ju nto con las interfaces de animacin que posee,permite realizar modelos con facilidad, analiza rlos y tomar decisione sms confiables para solucionar el problema bajo consid eracin. Secontemplan diferentes versiones segn el enfoque que se desee utilizar:

ProModel (software de lneas de pr oduccin, justificacin de capital,entre otras aplicaciones).

ServiceModel (software de simulacin y optimizacin para sistemasde servicio, diseo y planeacin de la capa cidad en e mpresas oprocesos de servicio).


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MedModel (software de simulaci n y opti mizacin de hospitales,clnicas y procedimientos de trabajo en ambiente de hospitales).

Es importante aclarar que en trminos generales todos tienen el

mismo fundamento, varan principalmente los grficos de la s versionesprofesionales, pero con la versin estudiantil del ProModel se puedensimular prcticamente todos los sistemas de produccin solo serequiere de creatividad y un anlisis a fondo del sistema bajo estudiocomo se ver ms adelante en los ejemplos diseados para este texto.

Para conocer de primera mano las ltimas not icias respecto a esteproducto, visite la pgina web http: //www.promodel.com, la cualtambin contiene informacin sobre productos adicionales relacionadoscon la simulacin de sistemas, artculos recie ntes, empresas que lo

utilizan, etc.

4.3 Elementos BsicosEl software ProModel consta de diversos mdulos que permiten

hacer un estudio ms completo sobre el model o que se quiere simular,dichos mdulos son:

ProModel: Es aqu donde se realiza todo el modelo, d esde lasvariables entrada, el proceso de operacin, uso de recursos, flujo delas actividades, etc.

Mdulo de reporte de resultados: Al finalizar las cor ridas delmodelo de simulacin creado, esta interfaz es de suma importanciapor la gran cantidad de informacin estadstica que genera para suanlisis, adems este mdulo permite la interaccin con programasde hoja de clculo como Excel.

Editor grfico: Este cuenta con una serie de bibliotecas qu e ayudan

a mejorar los modelos visualmente. Se pueden importar imgenes deotros paquetes compatible como la galera de imgenes de Word,Corel Draw, etc., modificar las imgenes existentes e in cluso crearlas propias de acuerdo a las necesidades del modelo.


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Stat::Fit: Esta es una herramienta de anlisis estadstico muy til

como ya se coment en el captulo3.

Editor de Turnos: Este como su nombre lo dice, permite crear y

asignar turnos de traba jo a los e lementos del modelo qu e as lo

requieran.

Simrunner: Esta herramienta es muy til en el anlisis

libro simulacion jcz corregido

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