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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

AVM FACULDADE INTEGRADA

A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

NO COTIDIANO BRASILEIRO

Por: Amanda Falcão

Orientador

Prof. Ana Claudia Morrissy

Rio de Janeiro

2015

DOCUM

ENTO

PROTEG

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DOCUMENTO PROTEGID

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EITO AUTORAL

2

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

AVM FACULDADE INTEGRADA

A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

NO COTIDIANO BRASILEIRO

Apresentação de monografia à AVM Faculdade

Integrada como requisito parcial para obtenção do

grau de especialista em Finanças e Gestão

Coorporativa

Por: Amanda Falcão

3

AGRADECIMENTOS

....aos meus pais e irmãos pelo amor,

incentivo е apoio incondicional e a

todos qυе direta оυ indiretamente

fizeram parte dа minha formação.

4

DEDICATÓRIA

..... Аоs meus pais, irmãos, amigos е a

toda minha família que, cоm muito

carinho е apoio, se empenharam e me

ajudaram a chegar аté esta etapa dе

minha vida.

5

RESUMO

O trabalho a seguir pretende mostrar informações básicas sobre

matemática financeira e falar como o calculo de juros (simples e compostos) e

descontos ajudam no cotidiano do cidadão brasileiro.

O principal objetivo deste trabalho é mostrar de maneira fácil e simples a

utilização dos cálculos financeiros, demonstrar os métodos que são

empregados para calcular os mesmos e como o estudo desses cálculos

facilitam nas contas diárias dos cidadãos brasileiros.

6

METODOLOGIA

Este trabalho está baseado em uma pesquisa bibliográfica através da analise

de livros e sites, sobre matemática financeira, que utilizam exemplos simples e

práticos de cálculos financeiros no cotidiano dos brasileiros.

7

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 08

CAPÍTULO I - Matemática Financeira – Conceito Básico 09

CAPÍTULO II - Juros Simples 16

CAPÍTULO III - Descontos 27

CONCLUSÃO 39

BIBLIOGRAFIA 40

8

INTRODUÇÃO

A Matemática Financeira esta cada vez mais presente no dia a dia dos

brasileiros. A Matemática Financeira possui muitas aplicações no nosso atual

sistema econômico. Nos dias atuais é de extrema importância saber como

calcular as taxas de juros e descontos, pois estes cálculos auxiliam em

diferentes aplicações, como financiamentos de bens, realização de

empréstimos, crediários, compra com cartões de crédito, aplicações

financeiras, investimentos, etc.

Sendo assim, o ensino da matemática financeira se faz necessário

para que as pessoas possam fazer escolhas que lhes ajudem financeiramente

no seu cotidiano, aumentando a probabilidade dos ganhos e também

auxiliando na diminuição de prejuízos.

9

CAPÍTULO I

Matemática Financeira – Conceito Básico

A área da matemática que tem como conceito fundamental o estudo da

mudança do valor do dinheiro no decorrer de tempo chama-se Matemática

Financeira. Sua origem da está profundamente ligada a dos regimes

econômicos, o aparecimento do crédito e do sistema financeiro.

Segundo Rubens Souza, (2011, p.17)

“Todo o desenvolvimento da Matemática Financeira está ligado a

utilidade do dinheiro, que gera dinheiro, ao contrario de sua simples

propriedade, que por si só não apresenta rendimento. Portanto, estuda o

melhor emprego do dinheiro, utilizando a matemática para auxiliar na escolha

da melhor opção de investimentos para os recursos financeiros.”

O objetivo básico da Matemática Financeira é analisar e comparar

diversos fluxos de caixa (entrada e saída de dinheiro) examinados em

momentos distintos.

A Matemática financeira utiliza fórmulas matemáticas para auxiliar e

facilitar operações monetárias. Juros, capital, montante, taxas, prazo são

termos frequentemente utilizados nessa área.

1.1. Noções Básicas

• Capital ou Valor Presente (C ou VP): é todo valor expresso em

moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em

determinado tempo; capital ou é valor de uma quantia no inicio de

uma aplicação;

• Juros (J): é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela

utilização de um valor em dinheiro durante período; é o

10

rendimento em espécie, proporcionado pelo uso de uma quantia

monetária, por um determinado período de tempo;

• Taxa de Juros (i): é um coeficiente que satisfaz à razão entre os

juros pagos ou recebidos no fim de certo período de tempo e o

capital inicialmente empatado. A taxa de juros está referida a uma

unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na

forma percentual ou unitária;

• Montante ou Valor Futuro (M ou VF): Montante ou Valor futuro

de uma aplicação financeira é a soma do Capital inicialmente

emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos);

• Prazo (n ou t): é o número de períodos que o capital ficou

aplicado. .

1.2. Porcentagem

A percentagem ou porcentagem é uma medida de razão com base 100

(cem). É uma maneira de expressar uma proporção partindo de uma fração

cujo denominador é 100 (cem), assim sendo, porcentagem é dividir um número

por 100 (cem).

A porcentagem é um instrumento de muito utilizado no mercado

financeiro, pois é empregada na hora de obter um desconto, calcular o lucro na

venda de um produto ou medir as taxas de juros.

Quando expressos de maneira formal, os números percentuais, devem

aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser

representados na forma de número decimal.

A seguir, observamos os números e as três formas possíveis deles

serem apresentados:

11

PORCENTAGEM RAZÃO CENTESIMAL NUMERO DECIMAL

1% 1/100 0,01

32% 32/100 0,32

7,2% 7,2/100 0,072

115% 115/100 1,15

O cálculo de porcentagem é bem simples. Normalmente utiliza-se a

regra de três simples e direta. Para aprendermos melhor os conteúdos sobre

porcentagem iremos utilizar exemplos que envolvem situações cotidianas.

Exemplo 1: Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três

prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja

adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo.

Qual o preço da mercadoria na compra à vista?

12% = 12/100 = 0,12

Utilizando razão centesimal

12/100 x 900 = 12x900/100 = 10800/100 = 108 reais

900 – 108 = 792 reais

Utilizando número decimal

0,12 x 900 = 108 reais

900 – 108 = 792 reais

Resposta: O desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, logo o

preço da mercadoria na compra à vista é de R$ 792,00.

Exemplo 2: O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um

direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado

por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8%

12

do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo

funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do

depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto

de R$ 1.200,00.

8% = 8/100 = 0,08

Utilizando razão centesimal

8/100 x 1200 = 8x1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais

Utilizando número decimal

0,08 x 1200 = 96 reais

Resposta: O depósito efetuado será de R$ 96,00.

Exemplo 3: Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas

como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que

utilizam bicicleta.

Alunos → 13 ---------- 52

Porcentagem → x ----------- 100%

52*x = 13*100

52x = 1300

x= 1300/52

x = 25%

Resposta: Portanto, 25% dos alunos utilizam bicicletas.

13

1.3. Juros

Juro é o valor cobrado pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como

uma percentagem sobre o valor emprestado, assim sendo, podemos entender

o juro como um tipo de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria um

ressarcimento pago pelo tomador do empréstimo para poder utilizar o dinheiro

até a data do pagamento. Já o credor recebe um ressarcimento por não poder

utilizar esse valor até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o

dinheiro novamente.

Existem dois tipos de juros:

• Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital

inicial no final da aplicação;

• Juros Compostos - São acréscimos que são somados ao

capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um

novo capital.

Para calcularmos os Juros Simples utilizamos fórmula:

J = C x i x n

Exemplo1: Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia

de R$ 4.000,00, a juros simples, pelo prazo de 5 meses, à taxa de 3% ao mês.

Quanto deverá ser pago de juros?

Capital Aplicado (C) = R$ 4.000,00

Tempo de Aplicação (n) = R$ 5 meses

Taxa (i) = 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)

14

Fazendo o calculo temos:

J = C x i x n

J = 4.000 x 5 x 0,03

J = R$ 600,00

Resposta: Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.

1.4. Taxa de Juros

A taxa de juros é o coeficiente que indica qual o valor será pago ao

dinheiro emprestado, para um certo período. Normalmente a taxa é expressa

na forma percentual, e sempre se referem a um determinado período de

tempo: ano, mês, semestre, dia.

Podemos expressar a taxa de juros de duas maneiras: Taxa

Percentual e Taxa Unitária. Para efeito de cálculos, a taxa percentual é trocada

pela taxa unitária, que resulta da divisão por 100, sendo assim transformada

em número decimal equivalente. Por exemplo, a taxa de juros de 12%

corresponde à taxa unitária de 0,12, quociente da divisão 12/100.

1.4.1. Taxa exata e comercial

A taxa de Juros que considera os dias de acordo com o calendário

anual (365 ou 366 dias no ano / 28, 29, 30 ou 31 dias no mês), chamamos de

taxa exta.

A taxa de Juros convencionalmente usada no mercado financeiro, que

considera meses de 30 dias, e anos de 360, chamamos de taxa comercial.

15

1.4.2. Taxa efetiva e nominal

Taxa efetiva é aquela que faz referencia ao período de capitalização.

A taxa nominal é aquela informada em desconformidade com o

período de capitalização.

Para conversão, normalmente usamos a convenção comercial. Sendo

assim, deve-se dividir a taxa anual capitalizada mensalmente pelo número de

meses do ano para conseguir a taxa efetiva.

1.5. Montante

Chamamos de Montante (M) o valor acumulado produzido na aplicação

uma taxa periódica de juros sobre um determinado valor investido (capital) por

determinado tempo.

Logo, montante é a soma do capital (C) e do juro (J) que foi

concordado no ato da operação financeira e que é devido ao final da mesma, e

é representado pela seguinte fórmula:

M = C + J

Logo:

M = C(1 + i x n)

Dessa fórmula podemos extrair outras:

• Fórmula para a obtenção do valor do capital: C = M / 1 + i x n

• Fórmula para a obtenção do valor da taxa: i = [(M / C - 1) / n ]

• Fórmula para a obtenção do valor do tempo: n = [(M / C - 1) / i ]

16

CAPÍTULO II

Juros

O conceito de Juros é muito antigo, tendo sido largamente publicado e

usado durante a História. Os juros existem desde a época dos primeiros

registros de civilizações existentes na Terra. Segundo citações antigas, os

juros eram pagos utilizando sementes, prata ou outros bens.

Este conceito surgiu no momento em que o Homem entendeu que

havia uma ligação entre o dinheiro e o tempo. Técnicas de acúmulo de capital

e a desvalorização da moeda induziriam normalmente a ideia de juros, pois se

obtinham basicamente devido ao valor do dinheiro no tempo. Mesmo sendo

muito antiga, a ideia de juros pouco mudou ao longo da História.

2.1. Regimes de Capitalização

Regime de Capitalização é o processo de reinvestimento, ou não, dos

juros de uma aplicação financeira, ou seja, é o processo onde os juros são

somados ao capital inicial para a formação do montante.

Existem dois regimes de capitalização, a contínua e a descontínua,

que se diferem basicamente em função do momento em que os juros se

adicionam ao capital.

Na capitalização contínua, os juros são adicionados ao capital quase

que instantaneamente e não ao final de períodos determinados previamente.

Nesse tipo de capitalização o juro é considerado diretamente proporcional ao

capital e ao espaço de tempo em que o capital foi usado, podendo se apurar

uma taxa instantânea de juros.

17

São exemplos de capitalização continua: faturamento de um

supermercado, a formação de depreciação de um equipamento, etc.

No regime de capitalização descontínua, também conhecida como

capitalização periódica, os juros são adicionados ao capital apenas ao final de

cada período de tempo a que se refere à taxa de juros. Esse intervalo de

tempo em cujo final ocorre essa adição é conhecido como período de

capitalização. Deste modo, se a taxa é mensal, os juros somente se

adicionarão efetivamente ao capital ao final do período de um mês. Este é, o

regime mais conhecido e mais utilizado no mercado financeiro, tendo como

exemplo a caderneta de poupança que paga juros apenas ao final do período

referente à sua taxa de juros.

No regime de capitalização periódica há duas possibilidades de cálculo

para cobrança de juros (juros simples e composto). A principal diferença entre

eles é se o cálculo dos juros do momento consequente é considerado ou não

os juros calculados para o período anterior.

2.2. Aplicações Práticas dos Juros

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) “A

compreensão da Matemática é essencial para o cidadão agir como consumidor

prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e profissional”. (PCN, p.250,

1999).

Juros pode ser definido como a rentabilidade de uma aplicação

financeira, valor que se refere ao atraso no pagamento de uma cota ou a

quantia paga pelo empréstimo de um capital. Nos dias atuais, o sistema

financeiro normalmente utiliza o regime de juros compostos, por ser mais

lucrativo.

Os juros simples normalmente apresentam operações de curto prazo e

não costumam apurar a rentabilidade, hoje por conta de suas restrições

18

técnicas praticamente não utilizamos a capitalização baseada no regime

simples.

Os juros compostos são a base do atual sistema financeiro, dirigindo

praticamente todos os tipos de transações financeiras. As aplicações

financeiras, como por exemplo, a poupança, são bastante utilizadas pela

população em geral, que pretendem guardar suas economias em segurança e

aproveitam para ganhar algum rendimento.

2.3. Juros Simples

Juro Simples é um Regime de Capitalização, onde somente o valor

inicial rende juro, isto é, o juro que se forma no fim de cada período referente a

taxa não é adicionado ao capital inicial para que este possa render juro no

período seguinte. Neste caso dizemos que os juros não são capitalizados.

Sendo assim, Juro Simples é o valor acrescentado a um capital inicial ao

término do período.

Definimos Juro Simples, por possuir juros constantes por períodos

iguais.

2.3.1. Cálculo de Juros Simples

Se um capital C, aplicado a uma taxa i ao período, no sistema de juros

simples, rende juros J ao fim de um período n, então podemos dizer que:

J = C x i x n

Onde:

J = Juros (valor expresso em unidade monetária)

C = Capital (valor em unidade monetária, em um certo momento)

i = taxa de juros dada na forma unitária.

n = prazo

19

A partir desta fórmula podemos extrair outras:

• Fórmula para a obtenção do valor do capital: C = J / i x n

• Fórmula para a obtenção da taxa de juros: i = J / C x n

• Fórmula para a obtenção do tempo da aplicação: n = J / C x i

Exemplo 1: Considerando que uma pessoa empresta a outra a

quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3%

ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

C = R$ 2.000,00

n = 3 meses

i = 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)

J = ?


J = C x i x n

J = 2.000 x 3 x 0,03

J = R$ 180,00

Resposta: Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de

juros.

Exemplo 2: No empréstimo de R$ 780,00 por um período de 7 meses,

Roberta pagou R$ 351,00 de juros. Qual a taxa mensal de juros simples

cobrada nesse empréstimo?

J = R$ 351,00

C = R$ 780,00

i = ?

n = 7 meses

20


J = C x i x n

351 = 780 x i x 7

351 = 5460i

i = 351/5460

i = 0,06428...(dízima não periódica)

i = 0,06428... x 100 = 6,43% (arredondamento)

Resposta: A taxa mensal de juros cobrada neste empréstimo será de

6,43%.

Exemplo 3: Um cliente recebeu R$ 240,00 de juros, calculado no

regime de juros simples após ter aplicado uma quantia por 12 meses, a taxa de

2% a.m. Qual o valor aplicado?

C = ?

n = 12 meses

i = 2% a.m

J = R$ 240,00


J = C x i x n

240 = C x 0,02 x 12

240 = 0,24C

C = 240/0,24

C = 1000

Resposta: O valor aplicado foi de R$ 1000,00.

21

Exemplo 4: Uma pessoa aplicou R$ 300,00 a juros simples, tendo

recebido de juros R$ 72,00, à taxa de 3% a.m. Calcule o tempo de aplicação:

C = R$ 300,00

n = ?

i = 3% a.m

J = R$ 72,00


J = C x i x

72 = 300 x 0,03 x n

72 = 9n

n = 72/9

n = 8 meses.

Resposta: O tempo de aplicação foi de 8 meses.

2.3.2. Juros Simples com Ajuste Temporal

Um dado importante a considerar nos cálculos financeiros é que as

taxas de juro sempre devem estar de acordo com o período de capitalização.

Pode-se ter taxas mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais,

anuais.

Por exemplo, se a taxa de juros for mensal o tempo deverá estar

representado em meses, e assim por diante, os dois devem estar na mesma

unidade de tempo.

Sempre que a taxa e o prazo estiverem em unidades de tempo

diferentes deveremos fazer um ajuste temporal para facilitar o cálculo.

22

Exemplo 1: Uma pessoa aplica R$ 5.000,00 em regime de juros

simples durante 3 meses a uma taxa de 12% a.a. Quanto renderá de juros ao

final desta aplicação?

J = ?

C = R$ 5.000,00

i = 12% a.a

n = 3 meses

Transformando a taxa anual em taxa mensal temos:

12/12 = 1% a.m


J = C x i x n

J = 5.000 x 0,01 x 3

J = R$ 150,00

Resposta: Renderá R$ 150,00 de juros.

Exemplo 2: Calcular os Juros Simples de uma aplicação financeira no

valor de R$100.000,00, sabendo-se que a mesma foi resgatada após 90 dias

com uma taxa de juros de 5% ao mês.

C = 100.000,00

i = 5% ao mês

n = 90 dias

J = ?

Transformando o período do prazo:

90 dias = 3 meses

23


J = C x i x n

J = 100.000 x 0,05 x 3

J = R$ 15.000,00

Resposta: Renderá R$ 15.000,00 de juros

2.4. Juros Compostos

O sistema de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro,

sendo assim o mais útil para cálculos de problemas do cotidiano.

Devido aos juros o capital inicial (principal) pode crescer. De acordo

com o juros simples somente o principal rende juros ao longo do tempo. Já nos

juros compostos, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez,

a render juros após cada período. Os Juros Compostos também são

conhecidos como "juros sobre juros".

Para demonstrar diferença entre os crescimentos de um capital através

juros simples e juros compostos, utilizaremos o exemplo abaixo:

Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a.

Teremos:

Principal = 100 Juros Simples Juros Compostos

Nº de anos Montante Simples Montante Composto

1 100 + 0,1(100) = 110,00 100 + 0,1(100) = 110,00

2 110 + 0,1(100) = 120,00 110 + 0,1(110) = 121,00

3 120 + 0,1(100) = 130,00 121 + 0,1(121) = 133,10

4 130 + 0,1(100) = 140,00 133,1 + 0,1(133,1) = 146,41

5 140 + 0,1(100) = 150,00 146,41 + 0,1(146,41) = 161,05

24

Observando a tabela acima verificamos que o crescimento do principal

segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros

compostos é EXPONENCIAL, logo tem um crescimento muito mais "rápido".

2.4.1. Cálculo de Juros Compostos

Como já vimos anteriormente sistema mais usado em aplicações

financeiras são os Juros Compostos, onde os juros são calculados sempre

sobre cada novo montante.

Assim sendo, para um capital C aplicado a uma taxa i por período

durante um tempo t de períodos, temos:

• Ao final do 1º período:

M1 = C + C x i = C(1 + i)


M2 = M1+ M1 x i = M1(1 + i) = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)2


M3 = M2 + M2 x i = M2 (1 + i) = C(1 + i)2(1 + i) = C(1 + i)3

Observando os montantes acima, podemos concluir que eles formam

uma progressão geométrica, onde no final do enésimo período teremos:

M = C(1 + i)n

Exemplo 1: Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00

aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?

C = R$ 7.000,00

i = 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015

n = 1 ano = 12 meses

25


M = C(1 + i)n

M = 7000(1 + 0,015)12

M = 7000(1,015)12

M = 7000 . 1,195618

M = 8369,33

Resposta: O montante será de R$ 8.369,33.

Exemplo 2: Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2%

ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?

M = R$ 15.237,43

n = 10 meses

i = 2% a.m. = 2/100 = 0,02


M = C(1 + i)n

15237,43 = C(1 + 0,02)10

15237,43 = C(1,02)10

15237,43 = C x 1,218994

C = 15237,43 / 1,218994

C = 12500,00

Resposta: O capital é de R$ 12.500,00.

Exemplo 3: Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$

8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93?

C = R$ 8.000,00

M = R$ 10.145,93

n = 12

i = ?

26


M = C(1 + i)n

10145,93= 8000(1 + i)12

1,268241 = (1 + i)12

12√1,268241 = 12√(1 + i)¹²

1 + i = 1,02

i = 1,02 – 1

i = 0,02

Resposta: A taxa de juros da aplicação foi de 2%.

OBSERVAÇÂO: Em Juros Compostos devemos ressaltar que o

Capital não faz referencia, necessariamente a um valor expresso no momento

zero. O Capital Inicial pode ser determinado em qualquer data focal anterior à

do montante final.

Sendo assim podemos dizer que as expressões de calculo do Capital e

do montante permitem capitalizações e atualizações envolvendo vários valores

e não apenas um único C ou M.

27

CAPÍTULO III

Descontos

Quando dois agentes econômicos, no mercado financeiro, fecham um

acordo através de um título de crédito se faz necessário que esse documento

tenha todas as informações que correspondem a essa operação financeira.

São esses títulos que serão aplicados dentro das operações que envolvem o

Desconto.

Portanto, todo título de crédito deverá apresentar um valor e uma data

de vencimento correspondente. Se o devedor pagar ou resgatar esse título,

antes da data de vencimento, terá um abatimento do valor a ser pago.

Chamamos de Desconto esse abatimento. O Desconto é uma indenização

recebida pelo devedor, pelo pagamento adiantado da dívida. Podemos citar

como exemplo a duplicata, as notas promissórias e a letra de câmbio. O

desconto é obtido através da diferença entre o valor nominal da parcela (N) e o

valor líquido (V) pago ao possuidor do título. A fórmula usada para o cálculo do

desconto é:

D = N - V

Em Desconto são utilizados os seguintes conceitos:

• Valor Nominal, Valor Futuro ou Valor de Resgate: valor a ser

pago até o vencimento.

• Valor Descontado ou Valor Atual: É o pagamento feito antes do

vencimento.

• Tempo: prazo entre o dia da negociação do título e o dia do

vencimento.

Existem dois tipos de Descontos que podem ser usados para a

efetivação dos cálculos financeiros:

28

• Desconto Simples: Racional Simples (Desconto por Dentro) e

Comercial Simples (Desconto por Fora).

• Desconto Composto: Racional Composto (Desconto por Dentro) e

Comercial Composto (Desconto por Fora).

Os dois tipos podem ser aplicados em operações de juros simples

(desconto simples) e de juros compostos (desconto composto). Fica a critério

do credor ou do devedor escolher qual a melhor forma de desconto que se

adaptará as suas necessidades.

3.1. Desconto Simples

Como visto anteriormente existem dois tipos de Desconto Simples:

Racional (por dentro) e Comercial (por fora).

3.1.1. Desconto Racional Simples

O Desconto Racional Simples ou Desconto por Dentro é calculado

reduzindo o valor nominal do valor atual de um título, em determinado período.

No Desconto Simples engloba-se os conceitos e relações básicas de juros

simples.

Assim temos:

• Dr = valor do desconto racional

• C = capital (ou valor atual)

• i = taxa periódica de juros

• n = prazo do desconto (número de períodos que o título é

negociado antes de seu vencimento)

29

Desta forma obtemos a conhecida fórmula de juros simples:

Dr = C x i x n

Pela definição de desconto e substituindo conceito de valor de capital

pelo conceito de valor presente no cálculo do desconto, temos:

Dr = VN - VP

Onde:

• VN = valor nominal (ou valor de resgate, ou valor futuro).

• VP = valor presente racional (ou valor atual) na data da operação.

Sabendo-se que:

VP = C = VN / 1 + i x n

Logo:

Dr = VN – VN / 1 + i x n

Dr = VN(1 + i x n) - VN / 1 + i x n

Dr = VN + VN x i x n – VN / 1 + i x n

Dr = VN x i x n / 1 + i x n

Utilizando esta fórmula podemos calcular o valor presente, pela

seguinte expressão de cálculo:

VP = VN – Dr

VP = VN – VN x i x n / 1 + i x n

VP = VN(1 + i x n) – VN x i x n / 1 + i x n

VP = VN + VN x i x n – VN x i x n / 1 + i x n

VP = VN / 1 + i x n

Exemplo 1: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00.

Calcule o desconto racional simples a ser concedido para um resgate do título

3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.

30

n = 3

i = 5% = 5/100 = 0,05 a.m

VN = 10.000,00

Dr = ?


Dr = VN x i x n / 1 + i x n

Dr = (10000 x 0,05 x 3) / (1 + 0,05 x 3)

Dr = 1500 / 1,15

Dr = R$1304,35

Resposta: O valor do desconto será de R$ 1.304,35.

Exemplo 2: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível

em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento.

Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto racional simples, pede-se calcular o

valor presente dessa operação.

n = 3

i = 42% a.a = 3,5% a.m = 0,035

VN = 4.000,00

VP = ?


VP = VN / 1 + i x n

VP = 4000 / (1 + 0,035 x 3)

VP = 4000 / 1,105

VP = R$ 3.619,90

Resposta: O valor presente racional a ser recebido pelo título será de

R$ R$ 3.619,90.

31

3.1.2. Desconto Comercial Simples

O Desconto Comercial Simples, também conhecido por “desconto por

fora” é o mais utilizado pelo mercado, especialmente em operações de crédito

bancário e comercial em curto prazo.

Esse tipo de desconto ocorre sobre o valor nominal do título,

proporcionando um volume maior de encargos financeiros ativos nas

operações. Ao contrário do desconto racional, que calculam os encargos sobre

o valor presente, o desconto comercial calcula os juros sobre o valor futuro,

indicando custos adicionais ao tomador de empréstimo.

Determinamos o valor do desconto comercial (Dc), no regime de juros

simples, pelo produto do valor nominal do título (VN), da taxa de desconto

recorrente “por fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação

para o desconto (n).

Assim temos:

Dc = VN x d x n

Utilizando esta fórmula podemos calcular o valor presente, pela

seguinte expressão de cálculo:

VP = VN – Dc

VP = VN – VN x d x n

VP = VN(1 – d x n)

Exemplo 1: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00.

Calcule o desconto comercial simples a ser concedido para um resgate do

título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5%

a.m.

32

n = 3

d = 5% = 5/100 = 0,05 a.m

VN = 10.000,00

Dc = ?


Dc = VN x d x n

Dc = 10000 x 0,05 x 3

Dc = R$ 1.500,00

Resposta: O valor do desconto será de R$ 1.500,00

Exemplo 2: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível

em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento.

Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto comercial simples adotada, pede-se

calcular o valor presente dessa operação.

n = 3

d = 42% a.a = 3,5% a.m = 0,035

VN = 4.000,00

VP = ?


VP = VN(1 – d x n)

VP = 4000(1 – 0 ,035 x 3)

VP = 4000 x 0,895

VP = R$ 3.580,00

Resposta: O valor presente comercial a ser recebido pelo título será

de R$ R$ 3.580,00.

33

Utilizando os mesmos exemplos no calculo do Desconto Racional e do

Desconto Comercial podemos melhor avaliar as diferenças dos tipos de

descontos.

Observamos que o maior valor dos juros cobrados pelo título deve-se

ao fato, conforme ressaltado anteriormente, de o desconto comercial ser

aplicado diretamente sobre o valor nominal e não sobre o valor atual como é

característico das operações de desconto racional. Em verdade, o valor do

desconto comercial equivale, num mesmo período do tempo, ao montante do

desconto racional, supondo-se as mesmas condições de prazo e taxa.

Em toda operação de desconto comercial existe uma taxa efetiva de

juros superior a taxa declarada, ou seja, o valor nominal do título ao ser

apurado aceita de maneira implícita uma taxa de juros superior a taxa

declarada a operação.

Fica evidente que o devedor desse título, descontado pelo desconto

comercial assume encargos maiores do que aqueles declarados para a

operação, por este motivo, é essencial, no desconto comercial, separar a taxa

de desconto (d) e a taxa efetiva de juros da operação (i) da operação.

Para a obtenção da taxa efetiva de juros, basta conhecermos a taxa de

desconto comercial e o prazo do desconto. Assim sendo, temos:

i = d x n / 1 – d x n

3.2. Desconto Composto

O desconto composto é normalmente utilizado em operações de longo

prazo, e assim como o desconto simples possui dois tipos: o Desconto

Racional (“por dentro”) e o Desconto Comercial (“por fora”).

34

3.2.1. Desconto Racional Composto

Chamamos de desconto racional composto (ou desconto por dentro) o

desconto adquirido pela diferença entre o valor nominal (VN) e o valor atual

(VP) de um acordo que seja pago “n” períodos antes do seu vencimento. Para

melhor entendermos, podemos dizer que o desconto racional composto

engloba as mesmas relações do conceito de juro composto. Desta forma, o

valor presente racional é equivalente ao valor presente de juros compostos:

VP = VN / (1 + i)ⁿ

Já sabemos que o desconto é dado pela diferença entre o valor

nominal e o valor presente, logo, obtemos à seguinte fórmula de cálculo de

desconto racional composto:

Dr = VN – VP

Dr = VN – VN / (1 + i)ⁿ

Dr = VN(1 – 1 / (1 + i )ⁿ)

Exemplo 1: Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$

8.000,00, faltando 2 meses para o seu vencimento. Determine o valor

presente, sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês.

VN = 8000

i = 3% = 3/100 = 0,03

n = 2

VP = ?


VP = VN / (1 + i)ⁿ

VP = 8000 / (1 + 0 ,003)³

VP = 8000 / 1,0609

VP = R$ 7.540,80

35

Resposta: O valor presente do título será de R$ 7 540,80.

Exemplo 2: Calcular o valor do desconto racional composto de um

título de valor nominal de R$ 12.000,00 descontado 4 meses antes de seu

vencimento à taxa de 2,5% ao mês.

Dr = ?

VN = R$ 12.000,00

n = 4 meses

i = 2,5% a.m


Dr = VN(1 – 1 / (1 + i )ⁿ)

Dr = 12000 (1 – 1 / (1 + 0,025)4)

Dr = 12000(1 – 1 / 1,10381289)

Dr = 12000(1- 0,90595065)

Dr = 12000 x 0,09404935

Dr = R$ 1.128,59

Resposta: O valor de desconto do título será de R$ 1.128,59.

3.2.2. Desconto Comercial Composto

O desconto comercial composto é caracterizado pela incidência

consecutiva da taxa de desconto sobre o valor presente do título, o qual é

abatido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.

Utilizando este conceito, o desconto comercial composto exibe as

seguintes implicações numa sucessão de períodos:

36

• 1º Período: Dc = VN x d

Assim:

VP1 = VN – D

VP1 = VN – VN x d

VP1 = VN(1 – d)

Onde, VN(1 – d) é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de

desconto no período seguinte.

• 2º Período: Dc2 = VN(1 –d) x d

Assim:

VP2 = VP1 – Dc2

VP2 = VN(1 – d) – VN(1 – d) x d

VP2 = VN –VNd – (VN + VNd) x d

VP2 = VN – VNd – VNd + VNd2

VP2 = VN – 2VNd – VNd2

Colocando VN em evidência, temos:

VP2 = VN(1 – 2d + d2)

VP2 = VN(1 – d)2

• 3º Período: Dc3 = VN(1 –d)2 x d

Assim:

VP3 = VP2 – Dc3

VP3 = VN(1 – d)2 – VN(1 – d)2 x d

VP3 = VN(1 – 2d + d2) – VN(1 – 2d + d2) x d

VP3 = VN – 2dVN + VNd2 – VNd + 2d2VN – VNd3

VP3 = VN(1 – 2d + d2 – d + 2d2 – d3)

VP3 = VN(1 – 3d + 3d2 – d3)

VP3 = VN(1 – d)3

E assim continuamente até o enésimo período, chegando assim a

fórmula generalizada do desconto comercial composto:

VP = VN(1 – d)n

37

Como: Dc = VN – VP, tem-se:

Dc = VN – VN(1 – d)n

Dc = VN[1 – (1 – d)n]

Exemplo 1: Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado

através de uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes de

seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se

determinar o valor presente e o desconto da operação.

VN = R$ 35.000,00

n = 3 meses

d = 5% a.m.

Dc = ?

VP = ?

Fazendo o calculo do desconto temos:

Dc = VN[1 – (1 – d)n]

Dc = 35000[1 – (1 – 0,05)3]

Dc = 35000(1 – 0,857375)

Dc = 35000 x 0,142625

Dc = R$ 4.991,88

Fazendo o calculo do valor presente temos:

VP = VN(1 – d)n

VP = 35000(1 – 0,05)3

VP = 35000 x 0,857375

VP = 30.008,12

Resposta: O valor de desconto do título será de R$ 4.991,88 e o valor

presente será de R$ 30.008,12.

38

Exemplo 2: Uma duplicata no valor de R$ 2.000,00, é resgatada 2

meses antes do vencimento, obedecendo o critério do desconto comercial

composto. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial composto é de 10%

ao mês, determine o valor presente e o valor de desconto.

Fazendo o calculo do desconto temos:

Dc = VN[1 – (1 – d)n]

Dc = 2000[1 – (1 – 0,1)2]

Dc = 2000(1 – 0,81)

Dc = 2000 x 0,19

Dc = R$ 380,00

Fazendo o calculo do valor presente temos:

VP = 2000(1 – 0,1)2

VP = 2000(1 – 0,1)2

VP = 2000 x 0,81

VP = R$ 1.620,00

Resposta: O valor de desconto do título será de R$ 380,00 e o valor

presente será de R$ 1.620,00.

39

CONCLUSÃO

O objetivo deste trabalho foi mostrar através de cálculos e conceitos

matemáticos, de maneira simples e objetiva a importância da Matemática

Financeira no cotidiano brasileiro como de suas aplicações.

Como aqui exemplificado, todo e qualquer cidadão pode fazer uso dos

cálculos financeiros, assim se preparando para realizar aplicações, como

financiamentos de bens, realização de empréstimos, crediários, compra com

cartões de crédito, aplicações financeiras, investimentos, contribuindo com o

aumento de ganho e a diminuição dos prejuízos.

A matemática financeira se faz importante no cotidiano de qualquer

cidadão e a sua utilização correta, minimiza despesas e maximiza os

resultados.

40

BIBLIOGRAFIA

MARIANO, Fabricio. Matemática Financeira para Concursos – Teoria e

Questões, 3ª edição – Editora Elsevier – Rio de Janeiro, 2013.

SOUZA, Rubens. Administração Financeira: Para Concursos Públicos e

Provas, 1ª edição – Editora Áudio – São Paulo, 2011.

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 12ª

edição – Editora Atlas – São Paulo, 2012.

Site: Brasil Escola - www.brasilescola.com/matematica/porcentagem.htm

Site: Wikilivros - http://pt.wikibooks.org/wiki/Matemática_financeira

Site: Alunos Online - http://www.alunosonline.com.br/matematica/juros.html

http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem�tica_financeira

41

ÍNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATÓRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMÁRIO 7

INTRODUÇÃO 8

CAPÍTULO I

Matemática Financeira – Conceito Básico 9

1.1 - Noções Básicas 9

1.2 - Porcentagem 10

1.3 - Juros 13

1.4 - Taxa de Juros 14

1.4.1 - Taxa exata e comercial 14

1.4.2 - Taxa efetiva e nominal 15

1.5 - Montante 15

CAPÍTULO II

Juros 16

2.1 - Regimes de Capitalização 16

2.2 - Aplicações Práticas dos Juros 17

2.3 - Juros Simples 18

2.3.1 - Cálculo de Juros Simples 18

2.3.2 - Juros Simples com Ajuste Temporal 21

2.4 - Juros Compostos 23

2.4.1 - Cálculo de Juros Compostos 24

42

CAPÍTULO III

Descontos 27

3.1 - Desconto Simples 28

3.1.1 - Desconto Racional Simples 28

2.3.2 - Desconto Comercial Simples 31

3.2 - Desconto Composto 33

3.2.1 - Desconto Racional Composto 34

3.2.2 - Desconto Comercial Composto 36

CONCLUSÃO 39

BIBLIOGRAFIA 40

ÍNDICE 41

ldocumento protegido pela lei de direito autoral … fizeram parte dа minha formação. 4...

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