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BETÃO ARMADO II

RICARDO NUNO FRANCISCO DO CARMO

2010

LAJES DE BETÃO ARMADO

Departamento de Engenharia Civil

2 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo


Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 3

Índice 1. Introdução 5

1.1. Classificação de lajes 5

2. Lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas 9

2.1. Considerações gerais 10

2.2. Execução 12

2.3. Verificação da segurança 14

3. Lajes de betão armado (apoiadas em vigas) 26

3.1. Estado limite último de resistência à flexão e de resistência ao esforço

transverso 26

3.2. Estado limite de utilização de fendilhação e de deformação 29

3.2.1. Espessura da laje 30

3.3. Execução 33

3.3.1. Cofragem 33

3.3.2. Colocação das armaduras 34

3.3.3. Betonagem 35

3.4. Disposições relativas a armaduras em lajes 36

3.4.1. Recobrimento mínimo das armaduras em lajes 36

3.4.2. Armadura principal mínima e máxima 39

3.4.3. Espaçamento máximo e mínimo das armaduras 40

3.5. Armaduras em lajes 41

3.5.1. Armadura de distribuição das lajes armadas numa só direcção 41

3.5.2. Armadura de bordo livre 42

3.5.3. Armadura nos apoios, nos bordos simplesmente apoiados e em

apoios paralelos à direcção em que a laje é armada

43

3.5.4. Armadura de canto 47

3.6. Laje armada numa direcção 50

3.6.1. Representação dos apoios nas lajes 53

3.6.2. Flexão cilíndrica 53

3.6.3. Esforços nos casos mais correntes de lajes armadas numa direcção 56

3.6.4. Interrupção das armaduras 57

3.7. Laje armada em duas direcções 61

3.7.1. Teoria de comportamento elástico em lajes finas 63

3.7.2. Condições de apoio e tabelas 65

3.7.3. Elementos finitos 68

3.7.4. Teoria da plasticidade 69



3.8. Lajes contínuas (painel de laje com painéis de lajes adjacentes) 78

3.8.1. Equilíbrio dos momentos negativos 80

3.8.2. Análise da região da laje com momentos negativos 82

3.8.3. Determinação dos momentos máximos negativos 87

3.8.4. Análise uma laje com uma laje adjacente em consola 93

3.8.5. Distribuição das armaduras, interrupção e dispensa das armaduras

longitudinais

95

3.9. Lajes com aberturas 100

3.10. Lajes sujeitas a forças concentradas 104

3.11. Lajes aligeiradas de betão armado 107

4. Lajes fungiformes 112

5. Referências bibliográficas

6. Exercícios propostos

119

121

Agradecimentos

Aproveito esta oportunidade para agradecer ao Eng. Paulo Maranha toda a disponibilidade e

simpatia que sempre revelou no debate de questões relacionadas com este trabalho. As

suas sugestões foram fundamentais para melhorar a qualidade deste documento.



LAJES DE BETÃO ARMADO

1. INTRODUÇÃO

No EC2 é referido o seguinte “Os elementos de uma estrutura são geralmente classificados

em função da sua natureza e função, como vigas, pilares, lajes, paredes, placas, arcos,

cascas, etc. Indicam-se regras para a análise dos elementos mais comuns e das estruturas

constituídas pela sua associação. Para edifícios, aplica-se o seguinte:

• Uma viga é um elemento cujo vão não é inferior a 3 vezes a altura total da sua

secção transversal. Caso contrário, deverá ser considerada como uma viga-parede.

• Uma laje é um elemento cuja dimensão mínima no seu plano não é inferior a 5 vezes

a sua espessura total.

• Um pilar é um elemento cuja secção tem uma altura que não excede 4 vezes a sua

largura e cujo comprimento é pelo menos 3 vezes a altura da secção. Caso contrário

deverá ser considerado como uma parede.”

O REBAP no art. 100 define que os elementos são considerados laminares quando a

largura excede 5 vezes a sua espessura.

Resumindo, as lajes são elementos laminares que têm uma dimensão (espessura) muito

inferior às restantes. As lajes são, por exemplo, elementos estruturais usados nos

pavimentos de edifícios.

Figura 1 – Lajes.

1.1. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES Tipo de Apoio

• Lajes vigadas (apoiadas em vigas)

• Lajes fungiformes (apoiadas directamente em pilares)



• Lajes em meio elástico (apoiadas numa superfície deformável –

ensoleiramentos)

Figura 2 – Fotografias de lajes vigadas e fungiformes.

Constituição

Monolíticas (só em betão armado)

• Maciças (com espessura constante ou de variação contínua)

• Aligeiradas

• Nervuradas

Mistas (constituídas por betão armado, em conjunto com outro material)

• Vigotas pré-esforçadas

• Perfis metálicos



Figura 3 – Fotografias de lajes de betão armado e de lajes aligeiradas de vigotas pré-

esforçadas.

Modo de flexão dominante

• Lajes armadas numa direcção (comportamento predominantemente

unidireccional)

• Lajes armadas em duas direcções (comportamento bi-direccional)



Figura 4 – Lajes armadas numa direcção ou em duas direcções.

Modo de fabrico

• Betonadas “in situ”

• Pré-fabricadas: Totalmente (ex: lajes alveolares) ou parcialmente (ex: pré-

lajes)

Figura 5 – Fotografias de lajes de betão armado betonadas “in situ”.

Laje armada numa só direcção

Laje armada em duas direcções



2. LAJES ALIGEIRADAS DE VIGOTAS PRÉ-ESFORÇADAS

Figura 6 – Lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas.

As lajes de vigotas pré-esforçadas são pavimentos sujeitos a homologação.

Constituição:

• Vigota pré-esforçada;

• Bloco de aligeiramento (bloco cerâmico);

• Betão de compressão com malhasol (armadura de distribuição);

• Por vezes, existe um, ou mais, tarugos (nervura transversal).



Figura 7 – Exemplos de vigotas e tijoleiras da empresa Placfort.

Figura 8 – Revestimentos e paredes divisórias (empresa Placfort).

2.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

• As lajes de vigotas funcionam sempre como lajes armadas numa direcção.

• Estas lajes são concebidas para cargas uniformemente distribuídas (não se

consideram abrangidas acções resultantes de cargas concentradas ou acções

dinâmicas (vibrações)).

o Deverá haver um cuidado especial para as acções resultantes do peso

próprio das paredes divisórias (reforçar a armadura de distribuição junto à



zona de aplicação da carga). Quando a parede divisória está disposta

paralelamente às vigotas, deverão ser aplicadas vigotas suplementares

nessa área.

• Estas lajes estão concebidas para resistir, essencialmente, a momentos flectores

positivos.

• O dimensionamento destas lajes é, muitas vezes, condicionado pela resistência ao

esforço transverso ou pela limitação da deformação máxima. Relativamente ao

esforço transverso, a resistência poderá ser aumentada maciçando uma faixa junto

aos apoios.

• Nos pavimentos em que se utiliza 2 vigotas a par podem existir maiores conflitos

com os estribos das vigas do que nos pavimentos com vigotas isoladas.

• No caso de dois pavimentos apoiados na mesma viga, com diferentes afastamentos

entre vigotas pode haver incompatibilidades com os estribos das vigas.

• Não é aconselhável a aplicação destas lajes para vãos grandes. Quando o vão é

superior a 8 m, estas lajes devem ser objecto de estudo específico (estes casos

ficam, normalmente, fora do âmbito de aplicação definido pelos documentos de

homologação).

• Antes da aplicação deste tipo de lajes deve ser estudado o respectivo documento de

homologação.

• Aspectos ainda a considerar na análise destes pavimentos: comportamento em caso

de incêndio, isolamento sonoro e isolamento térmico (Documento de Homologação –

LNEC, Catálogo da Novobra).

Figura 9 – Imagens de lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas.



2.2. EXECUÇÃO

1. Nivelamento dos apoios para assentamento das vigotas.

2. Preparar o escoramento das vigotas.

3. Colocar as vigotas (devem ser dispostas paralelamente entre si) e os blocos entre

vigotas. A entrega mínima das vigotas nos apoios é de 10 cm.

4. Preparar a cofragem para a zona dos maciçamentos em betão armado junto aos

apoios e tarugos.

• Tarugo é uma viga perpendicular às vigotas, cuja função é solidarizar as

vigotas umas com as outras.

• É necessário colocar tarugos quando os pavimentos têm vãos superiores a 4

m.

• Os tarugos devem estar espaçados cerca de 2 m.

• A largura mínima do tarugo é de 10 cm e deve ter, no mínimo, 2 varões

(colocados imediatamente acima das vigotas).

5. Colocação das armaduras: junto aos apoios quando previsto, nos tarugos quando

previsto e a armadura de distribuição.

6. Humedecer as vigotas, blocos e a cofragem.

7. Betonagem e espalhamento do betão.

8. Manutenção da humidade do betão em obra (Documento de Homologação – LNEC,

Catálogo da Novobra).

Figura 10 – Execução das lajes de vigotas pré-esforçadas.



Figura 11 – Pormenores construtivos sobre lajes de vigotas pré-esforçadas.



2.3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA Estado Limite Último de resistência à flexão

Mrd ≥ Msd

Garantir que o Mrd (momento resistente do pavimento, tabelado pelo fabricante) é superior

ao Msd (momento máximo actuante resultante da combinação de acções mais desfavorável).

Estado Limite Último de resistência ao esforço transverso

Vrd ≥ Vsd

Garantir que o Vrd (esforço transverso resistente do pavimento, tabelado pelo fabricante) é

superior ao Vsd (esforço transverso máximo actuante resultante da combinação de acções

mais desfavorável).

Estado Limite de Utilização: estado limite de fendilhação

Mfctk ≥ MELS

Garantir que o Mfctk (momento correspondente à formação de fendas) é superior ao MELS

(momento máximo actuante resultante da combinação frequente ou rara). Para um ambiente

pouco agressivo ou moderadamente agressivo usar a combinação frequente. Para um

ambiente muito agressivo usar a combinação rara.

Salienta-se que a norma NP EN 206-1 já está em vigor e nesta norma são definidas novas

classes de exposição (consultar o Quadro 1 da respectiva norma). Dado que os documentos

de homologação para estes pavimentos ainda fazem referência aos diferentes tipos de

ambiente definidos no REBAP, verifica-se que o projectista para realizar os cálculos

necessários à verificação da segurança deve estabelecer uma correspondência entre as

novas classes de exposição e os ambientes definidos no REBAP.

Combinação rara: acções permanentes (valor médio, Gm) + acção variável base (valor

característico, Qk) + restantes acções variáveis (valor frequente, Ψ1.Qk).

Combinação frequente: acções permanentes (valor médio, Gm) + acção variável base (valor

frequente, Ψ1.Qk) + restantes acções variáveis (valor quase permanente, Ψ2.Qk).



Estado Limite de Utilização: estado limite de deformação

δcalc < δmáx

Garantir que a flecha máxima do pavimento (a longo prazo) é inferior à flecha máxima

admissível.

• Segundo o REBAP (art.º 72): δmáx = L/400 (casos correntes) ou 1,5 cm (se afectar

outros elementos da construção).

A flecha é determinada para a combinação frequente de acções.

• Segundo o EC2 (secção 7.4.1): δmáx = L/250 (casos correntes) ou δmáx = L/500 (se for

susceptível de danificar outros elementos da construção)

A flecha é determinada para a combinação quase permanente de acções.

Cálculo da flecha máxima de um pavimento aligeirado para uma determinada carga:

Flecha a longo prazo (considerar a fluência do betão):

A flecha a longo prazo pode ser obtida multiplicando a flecha instantânea por um factor que

tem em consideração as cargas permanentes e variáveis, e a fluência do betão. Em geral

pode considerar-se o coeficiente de fluência, ϕ, igual a 2.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

ϕ+δ=δ

∑∞sqsg

sg0 MM

.M1.

δ∞ - flecha a longo prazo

δ0 - flecha instantânea

Msg - momento actuante devido às cargas permanentes

Msg + ΣMsq - momento actuante devido à combinação frequente de acções

Flecha instantânea

O comportamento estrutural do pavimento aligeirado com as vigotas apoiadas nas vigas

aproxima-se do de uma viga simplesmente apoiada. Salienta-se que o grau de

encastramento da ligação entre o pavimento e a viga é praticamente nulo. Todavia, esse

grau de encastramento poderá ser aumentado definindo uma zona maciça com uma

determinada largura junto aos apoios. Nestas situações será, também, necessário colocar

armaduras superiores para resistir aos momentos negativos considerados.



Figura 12 – Modelo estrutural para calcular os esforços em lajes aligeiradas de vigotas pré-

esforçadas.

Figura 13 – Diagrama de momentos de uma viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga

concentrada unitária.

O valor da flecha instantânea pode ser determinado pela integração da linha elástica ou pela

integração do diagrama de momentos da acção aplicada com o diagrama de momentos

resultante de uma carga unitária aplicada na secção onde se pretende determinar o

deslocamento vertical.

.EI.384L.p.52

2L

4L

8L.p

125

EI1dx.M.M

EI1 42

100 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××××==δ ∫

Portanto, para determinar a flecha instantânea do pavimento é necessário conhecer o vão, o

carregamento, as dimensões do vão e a rigidez à flexão da laje (valor tabelado para cada

tipo de pavimento).

+

p.L /82

p kN/m

+

- -

p.L /(8 a 10)2

Diagrama de momentos flectores admitindo um ligeiro grau de encastramento nos apoios.

L

M1

+

1.L /4

L

1

M0



Exercício 1

Considere a planta estrutural de um edifício de habitação apresentada na Figura 14.

Acções: peso próprio da laje (como primeira estimativa pode considerar-se 3,5 kN/m2), peso

próprio das paredes divisórias (2,0 kN/m2), revestimento (1,5 kN/m2), sobrecarga (2,0 kN/m2,

Ψ1 = 0,3 e Ψ2 = 0,2).

Classe de exposição XC3, vamos admitir que corresponde a um ambiente moderadamente

agressivo (segundo o REBAP).

Escolha o pavimento aligeirado de vigotas pré-esforçadas que garanta a segurança em

relação aos Estados Limites Últimos e de Utilização.

Figura 14 – Planta estrutural do piso de habitação.

Resolução

• As vigotas ficam, normalmente, dispostas na direcção no menor vão.

• As lajes vão exercer uma acção uniformemente distribuída nas vigas.

• Neste cálculo vamos apenas considerar o pavimento com um vão de 5 m.

Determinar os esforços para a verificação os Estados Limites Últimos

Combinação para os ELU

p = 1,5.CP +1,5.SOB = 1,5x(3,5+1,5+2,0) + 1,5x2 = 13,5 kN/m/m

7.50

7.00

5,00

5.00

4,00



Msd,max = 42,2 kN.m

Vsd,max = 33,75 kN

Consultar as tabelas dos fabricantes de pavimentos aligeirados de vigotas pré-esforças e

escolher os pavimentos que verifiquem as seguintes condições:

Mrd ≥ Msd

Vrd ≥ Vsd

Atendendo aos aspectos económicos, deve-se escolher os pavimentos cujos esforços

resistentes não sejam muito superiores aos esforços actuantes.

Figura 15 – Modelo estrutural do pavimento e diagrama dos esforços actuantes.

Por exemplo:

1ª hipótese: VP4-22x12-17 (Mrd = 42,3 > Msd; Vrd = 34 > Vsd)

2ª hipótese: VP3-22x16-20 (Mrd = 46 > Msd; Vrd = 36,6 > Vsd; EI = 11588 kN.m2/m e Mfctk = 28

kN.m)

Estado Limite de Fendilhação (formação de fendas)

Como o ambiente é moderadamente agressivo, usar a combinação frequente de acções:

Gm + Ψ1.Qk + Ψ2.Qk = (3,5 +1,5 + 2,0) + 0,3x2 = 7,6 kN/m/m

MELS = 7,6x52/8 = 23,75 kN.m/m < Mfctk = 28 kN.m (verifica)

13,5 kN/m/m

M

+

p.L /8 = 42,2 kN.m2

5 m

33,75 kN

-33,75 kN

+

-

V



Estado Limite de Deformação

Calcular a flecha instantânea para o carregamento resultante da combinação de acções

frequente: mm33,5m00533,011588384

56,75.EI.384

L.p.5 44

0 ==×

××==δ

Calcular a flecha a longo prazo:

400/Lmm15,1584,233,575,23

2875,211.33,5MM

.M1.

sqsg

sg0 >=×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

ϕ+δ=δ

∑∞

Não verifica

L/400 = 5000/400 = 12,5 mm

Msg = 7x52/8 = 21,875 kN.m

Msg + ΣMsq = 23,75 kN.m (momento resultante da combinação frequente de acções)

Escolher um outro pavimento que verifique as condições anteriores mas com uma rigidez à

flexão (EI) maior para que a deformação seja menor.

Por exemplo, 3ª hipótese: VP3-34x20-24 (p.p = 3,23 kN/m2; Mrd = 43,3 > Msd; Vrd = 34,4 >

Vsd; EI = 15971 kN.m2/m e Mfctk = 28,8 kN.m > 23,75)

Só falta verificar o Estado Limite de Deformação

Flecha instantânea: mm87,3m00387,015971384

56,75.EI.384

L.p.5 44

0 ==×

××==δ

Flecha a longo prazo:

mm5,12mm1184,287,375,23

2875,211.87,3MM

.M1.

sqsg

sg0 <=×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

ϕ+δ=δ

∑∞

O pavimento com a referência VP3-34x20-24 é uma solução válida.

L > 4 m, colocar um tarugo (nervura transversal de betão armado, perpendicular às vigotas)

• Armadura do tarugo (largura mínima 10 cm e no mínimo 2 varões)

• Para o pavimento com a referência VP3-34x20-24: As,dist (A400) = 119 m2/m

• As > 0,5.As,dist.L/2 = 0,5x1,19x5/2 = 1,4875 cm2 (2∅10), é a armadura a colocar no

tarugo.



O peso próprio deste pavimento é 3,26 kN/m2 inferior ao valor 3,5 kN/ m2 considerado nos

cálculos. Se o peso próprio do pavimento escolhido fosse superior ao valor inicialmente

arbitrado, seria necessário verificar novamente a segurança mas considerando o valor real

do peso próprio do pavimento.

Exercício 2

Considere a planta estrutural de um edifício de habitação representada na figura seguinte.

A laje com 5 m de vão é aligeirada de vigotas pré-esforçadas (pavimento com a referência

VP3-34x20-24). A laje em consola é de betão armado.

Acções na laje de 5 m: peso próprio da laje (3,26 kN/m2), peso próprio das paredes

divisórias (2,0 kN/m2), revestimento (1,5 kN/m2), sobrecarga (2,0 kN/m2).

Acções na laje em consola: peso próprio da laje (5 kN/m2), revestimento (1,0 kN/m2),

sobrecarga (5,0 kN/m2 e 2,0 kN/m2).

Considere que a armadura longitudinal na consola é ∅12//0,15m, que o betão é classe B25

(C20/25) e o aço é A400NR.

Determine a distância a partir do apoio para o interior da laje aligeirada, até onde devem ser

prolongadas as armaduras superiores da laje em consola de modo a garantir a segurança

em relação ao ELU de resistência à flexão.

Determine o comprimento da zona a maciçar na zona adjacente à consola de modo a

garantir a segurança em relação ao ELU de resistência à flexão.

Figura 16 – Planta estrutural com a laje em consola.

5 m

1,5

m

Laje aligeirada de vigotas pré-esforçadas

Laje betão armado



Resolução

As lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas estão concebidas para resistir essencialmente

aos momentos positivos. Para estas lajes resistirem a momentos negativos é necessário

colocar armadura longitudinal superior e será também necessário que exista betão suficiente

na zona comprimida da laje. Para uma laje desenvolver um momento resistente é preciso

que exista um binário de forças internas.

Portanto, para responder à primeira questão é necessário calcular a zona da laje aligeirada

com momentos negativos. Atendendo ao caso apresentado, será razoável considerar que a

viga funciona como um apoio de continuidade e, portanto, não absorve o momento flector da

laje em consola. Assim, o momento da laje em consola é transmitido à laje adjacente, ou

seja, à laje aligeirada de vigota pré-esforçada. O cenário mais desfavorável para originar a

maior área de laje com momentos negativos é colocar a carga máxima na zona em consola

e a carga mínima na zona entre apoios.

Carregamento na consola:

p1 = 1,5.CP +1,5.SOB = 1,5x6 +1,5x5 = 16,5 kN/m2 (na faixa de 1 m adjacente ao limite sa

consola)

p2 = 1,5.CP +1,5.SOB = 1,5x6 +1,5x2 = 12 kN/m2

Carregamento entre apoios:

p3 = 1,0CP = 1x(3,26 + 1,5 + 2) = 6,76 kN/m2

Como estas acções têm um efeito favorável as cargas permanentes são multiplicadas por 1

e as acções variáveis não são consideradas.

Figura 17 – Carregamento mais desfavorável.

Cálculos auxiliares:

M = 16,5X1 +12X0,5X0,25 = 18 kN.m

1,5 m 5 m

6,76 kN/m

12 kN/m

16,5 kN/m



R1 = (16,5x1x6 +12x0,5x5,25+6,76x5x5/2)/5 = 43 kN

V(x) = (43-22,5) -6,76x = 20,5 – 6,76x

M(x) = -6,76x2/2 + 20,5x - 18 = -3,38x2 + 20,5x - 18

M(x) = 0 ⇒ x = 5 ou x = 1,065 m

Figura 18 – Diagrama de momentos.

Considerando que:

• al (translação do diagrama de momentos) é igual a 1,5d (art. 106 do REBAP). Este

valor é o definido para as lajes de betão armado sem armadura de esforço

transverso. Adopta-se este valor também para as lajes aligeiradas de vigotas pré-

esforçadas porque não há informação mais rigorosa.

• lb,net (comprimento de amarração) assume o valor mínimo, neste caso 130,5 mm,

porque pretende-se interromper a armadura na secção onde M = 0, logo As,cal = 0, o

que daria lb,net = 0. Portanto, deve-se aplicar o maior dos seguintes valores: 10∅

(120 mm), 100 mm e 0,3lb (130,5 mm). Considerou-se um betão B25, um aço

A400NR e varões ∅12.

então a distância mínima a partir do apoio até onde devem ser prolongadas as armaduras

superiores é 1,065 + 1,5d + 0,1305 m.

A altura total da laje é 0,24 m, por isso d = 0,24 – 0,025 – 0,012/2 = 0,209 m

x’ = 1,065 + 1,5x0,209 + 0,1305 = 1,509 ≅ 1,51 m

Em relação à segunda questão, o documento de homologação das lajes de vigotas pré-

esforçadas refere que, quando há apoios de continuidade ou de encastramento devem

prever-se faixas maciças de betão armado para resistir aos momentos negativos. A largura

das faixas maciças assim como as armaduras a utilizar para resistir aos momentos

negativos deverão ser convenientemente dimensionadas.

-

+1,065 m

-18



No limite poderá considerar-se que a zona a maciçar é a toda a zona de momentos

negativos. No entanto, é possível diminuir este valor realizando um cálculo mais detalhado

onde se considera o betão das vigotas na região comprimida da laje.

A largura da vigota é 0,12 m e estão afastadas 0,46 m (entre eixos).

Se se admitir que o eixo neutro da laje na zona dos momentos negativos está na zona mais

larga da vigota, então poderá admitir-se que a largura de betão comprimido por metro é

0,12/0,46 = 0,261 m.

Figura 19 – Corte transversal das lajes aligeiradas do tipo VP2/VP4-34x20-23/25.

Figura 20 – Dimensões da secção transversal da vigota VP2 e VP3.

Agora determina-se o máximo momento resistente com esta largura de betão e com a

armadura longitudinal aplicada ∅12//0,15m (As = 7,53 cm2/m).

Sabe-se que Fs = Fc e Mrd = z.Fc

Admitindo que as armaduras estão em cedência (condição a verificar com base no valor das

extensões do aço) pode-se determinar a profundidade do eixo neutro necessária para

mobilizar toda a força de tracção.



O betão utilizado no fabrico das vigotas tem normalmente uma resistência superior ao

utilizado nas estruturas correntes, por isso está-se do lado da segurança ao admitir que o

betão é da classe B25 (C20/25).

No cálculo abaixo considerou-se uma distribuição rectangular para as tensões de

compressão.

Equilíbrio das forças internas, ΣFx = 0

Fs = Fc ⇒ 7,53x10-4.348x103 = 0,8x.0,261.0,85.13,3x103 ⇒ x = 0,0553 m

x = 0,0553 m, significa que a zona comprimida não tem uma largura constante (ver

dimensões da secção transversal da vigota).

Poderá realizar-se uma estimativa abaixo do momento resistente real considerando que x é

igual a 0,042m. Assim, não se está a aproveitar o máximo de resistência das armaduras. A

vantagem desta hipótese é a maior facilidade em calcular a área comprimida e o braço das

forças internas.

Figura 21 – Forças internas numa secção de betão armado.

Fc = 0,8 x 0,042 x 0,261 x 0,85 x 13,3 x 103 = 99,1 kN (força máxima de compressão

considerando x igual a 0,042)

Nota: A máxima força de tracção possível, Fs = 7,53x10-4.348x103 = 262 kN, é muito superior

à força de compressão. Isto reforça a ideia de que a estimativa indicada abaixo para o

momento resistente é inferior ao momento resistente real.

z = d – 0.4x = 0,209 – 0,4 x 0,042 = 0,1922 m

Mrd = z.Fc = 0,1922 x 99,1 = 19 kN.m

Como o momento máximo negativo aplicado é 18 kN.m e a estimativa do momento

resistente é 19 kN.m, significa que o betão das vigotas consegue suportar uma força de

compressão suficiente para resistir ao momento aplicado (ELU). Portanto, não será

necessário maciçar a laje aligeirada junto ao apoio. Uma das razões para este resultado é o

As

e.n.M

0,8x

0.85fcd

Fs

Fc



facto da laje aligeirada ter uma espessura relativamente alta, consequentemente o braço

das forças internas, z, é também elevado (quando maior o z menores serão as forças

internas para um mesmo momento).

Admitir que a estrutura e as acções são iguais (incluindo a armadura longitudinal), excepto a

dimensão da consola que tem agora 2 metros.

Cálculos auxiliares:

M = 16,5X1,5 +12X1X0,5 = 30,75 kN.m

R1 = (16,5x1x6,5 +12x1x5,5+6,76x5x5/2)/5 = 51,55 kN

V(x) = (51,55-28,5) -6,76x = 23,05 – 6,76x

M(x) = -6,76x2/2 + 23,05x – 30,75 = -3,38x2 + 23,05x – 30,75

Figura 22 – Carregamento mais desfavorável e diagrama de momentos (2º cenário).

Neste caso verifica-se que o betão das vigotas não é suficiente para resistir ao momento

aplicado (ELU) -30,75 kN.m. Para momentos superiores a 19 kN.m (estimativa do momento

resistente) é necessário colocar mais betão na zona de compressão.

Para determinar a largura da faixa a maciçar utiliza-se a equação de momentos.

M(x) = -3,38x2 + 23,05x – 30,75 = - 19 ⇒ -3,38x2 + 23,05x -11,75 = 0 ⇒ x = 6,26 ou x = 0,55

O primeiro valor não tem significado físico.

Ao valor de 0,55 m deve-se adicionar o valor al (translação do diagrama de momentos) igual

a 1,5d, à semelhança do procedimento para utilizado na interrupção das armaduras

longitudinais.

Assim, deve-se maciçar uma faixa com uma largura mínima de 0,55 + 0,314 = 0,864 m.

-30,75

6,76 kN/m

1 m 5 m

12 kN/m

16,5 kN/m

-

+

1 m



3. LAJES DE BETÃO ARMADO (APOIADAS EM VIGAS) Constituição: betão e aço (armaduras)

A laje deverá resistir aos esforços actuantes resultantes dos carregamentos

correspondentes aos cenários mais desfavoráveis. Nas lajes apoiadas em vigas os esforços

predominantes são, os momentos flectores e o esforço transverso. O dimensionamento da

laje está também condicionado pelo seu comportamento nas condições de serviço

(deformação e fendilhação) e pela segurança contra incêndios.

3.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO E DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO

TRANSVERSO

Mecanismo de resistência à flexão

Nas lajes o mecanismo de resistência à flexão é semelhante ao das vigas. O momento

resistente numa secção resulta da existência de 2 forças (uma de tracção e outra de

compressão) e da existência de uma determinada distância entre as forças (braço interno

das forças).

Figura 23 – Resistência à flexão (Válter Lúcio).



REBAP EC2

Figura 24 – Equilíbrio de forças internas para a situação de estado limite último de

resistência à flexão.

No cálculo do momento flector resistente ao estado limite último pode considerar-se,

simplificadamente, um diagrama rectangular para a distribuição das tensões no betão na

zona comprimida. No REBAP a tensão considerar nesse diagrama é 0,85fcd e no EC2 a

tensão a considerar é ηfcd, sendo η igual a 1 para fck ≤ 50 MPa e η igual a 1 – (fck – 50)/200

para 50 < fck ≤ 90 MPa.

Numa laje as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura (b = 1 m) e

considerando a altura útil da laje. Recomenda-se que o momento reduzido μ seja inferior a

0,20.

Mecanismo de resistência ao esforço transverso

Figura 25 – Mecanismo de resistência ao esforço transverso (F.Leonhardt e E. Monning).

d

As

e.n.M

0,8x

0,85.fcd

Fs

Fc

As

d

η fcd

Fs

λx

εs

x

εcu3

Fc Ac



Figura 26 – Mecanismo de resistência ao esforço transverso (F.Leonhardt e E. Monning;

Carla Marchão e Júlio Appleton).

Em geral, adopta-se uma espessura para as lajes de modo a não ser necessário armadura

de esforço transverso. Nas lajes sem armadura de esforço transverso a carga é transmitida

aos apoios pelo efeito de arco e consolas. Nas lajes o arco atirantado é muito “achatado” o

que origina um aumento significativo da força no banzo traccionado. Assim, recomenda-se

um cuidado especial na amarração das armaduras traccionadas. Na sequência deste

raciocínio, os regulamentos recomendam o seguinte:

• Nas lajes sem armadura de esforço transverso a translação do diagrama de

momentos flectores deve ser al = 1,5d (art.º 106 do REBAP).

No EC2 al = 1,0d (Secção 9.3.1.1 (4), remete para 9.2.1.3, remete para 6.2.2 (5)).

• Devido à força de tracção que existe junto aos apoios, resultante do efeito de arco, é

necessário prolongar pelo menos ½ da armadura máxima existente a meio vão até

aos apoios, tanto para apoios com liberdade de rotação como para apoios de

encastramento ou de continuidade (art.º 106 do REBAP; Secção 9.3.1.2 do EC2).



3.2. ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO DE FENDILHAÇÃO E DE DEFORMAÇÃO

Figura 27 – Fotografias de fendas e deformações em elementos de betão armado.

Podem ser tomadas medidas que dispensem a verificação explícita do Estado Limite de

Fendilhação e de Deformação. A fendilhação e a deformação devem ser limitadas de modo

a não prejudicar o funcionamento correcto ou a durabilidade da estrutura, nem a tornar o

seu aspecto inaceitável.



REBAP EC2

• De acordo com o REBAP a verificação do

estado limite de deformação considera-se

satisfeita se se cumprir o disposto no art.º

102. Este artigo impõe uma espessura

mínima para a laje em função do vão, das

condições de apoio e do tipo de aço.

• De acordo com o REBAP a verificação do

estado limite de fendilhação (largura de

fendas) considera-se satisfeita se se

cumprir as disposições impostas no art.º

105. Este artigo impõe um espaçamento

máximo para as armaduras longitudinais.

• No EC2 a verificação do estado limite de

deformação pode ser garantida limitando

a relação vão/altura (L/d) de acordo com

a Secção 7.4.2 ou comparando o valor da

flecha máxima com um valor limite, de

acordo com a Secção 7.4.3. (verificação

explícita).

• No EC2 a verificação do estado limite de

fendilhação pode ser garantida limitando

o diâmetro e o espaçamento dos varões,

de acordo com a Secção 7.3.3 ou

comparando a largura máxima da fenda

com um valor limite, de acordo com a

Secção 7.3.4 (verificação explícita).

• No EC2, Secção 7.3.3. (1) (Controlo da

fendilhação sem cálculo directo), é ainda

referido que no caso de lajes de betão

armado ou pré-esforçado de edifícios,

solicitadas à flexão sem tracção axial

significativa, não são necessárias

medidas específicas para controlar a

fendilhação quando a espessura total da

laje não é superior a 200 mm e se tenha

respeitado o disposto em 9.3

(espaçamento máximo dos varões,

armaduras junto aos apoios, armadura de

canto, percentagem mínima de

armadura).

3.2.1. Espessura da laje

Pré-dimensionamento de lajes: determinação prévia da espessura da laje.

Não se deve esquecer que a determinação da solução final é, normalmente, precedida de

um processo iterativo. Como primeira aproximação pode-se utilizar as seguintes

expressões:



Laje armada numa direcção – h = L/(30 a 35)

Laje armada nas 2 direcções – h = L/(35 a 40)

L é o vão da laje.

A experiência demonstra que, nas situações correntes (sobrecarga < 5 kN/m3), os valores

da seguinte ordem de grandeza conduzem a resultados adequados:

• Vão até 2.5 m ⇒ h = 10 cm;

• Vão de 2.5 a 4 m ⇒ h = 12 cm;

• Vão de 4 a 6 m ⇒ h = 15 cm.

REBAP EC2

• O REBAP no art.º 102 apresenta uma

expressão para a altura mínima da

laje: η

≥.30

lh i .

• No entanto, recomenda-se a aplicação

da seguinte expressão: η

≥.21

lh i

O REBAP no art. 102 impõe valores

mínimos para a espessura das lajes

maciças:

5 cm, lajes de terraços não acessíveis;

7 cm, lajes submetidas principalmente

a cargas distribuídas;

10 cm, lajes submetidas a cargas

concentradas importantes;

12 cm, lajes submetidas a cargas

concentradas muito importantes;

15 cm, lajes apoiadas directamente

nos pilares.

• O EC2 na Secção 9.3.2 (1) refere que uma

laje com armadura de esforço transverso

deverá ter uma espessura pelo menos igual

a 200 mm.

• Para verificar o Estado Limite de

Deformação sem efectuar um cálculo

explícito das flechas, o EC2 na Secção

7.4.2. (2) apresenta valores limite para a

relação L/d, dados pelas seguintes

expressões:

se ρ ≤ ρ0

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρρ

+ρ

ρ+=

23

0ck

0ck 1f2,3f5,111K

dL

se ρ > ρ0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρρ

+ρ−ρ

ρ+=

0ck

0ck

'f121

'f5,111K

dL

Em relação às expressões do EC2 informa-se que:

L/d valor limite da relação vão/altura;

K coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais;



ρ0 taxa de armaduras de referência = 3ck 10f −× ;

ρ taxa de armaduras de tracção necessária a meio vão para equilibrar o

momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);

ρ´ taxa de armaduras de compressão necessária a meio vão para equilibrar o

momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);

fck em MPa.

Quadro 7.4N do EC2 - Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão

armado sem esforço normal de compressão.

Sistema estrutural K Betão fortemente solicitadoρ = 1,5%

Betão levemente solicitado ρ = 0,5%

Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções Vão extremo de uma viga contínua ou de uma laje contínua armada numa direcção ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior Vão interior de uma viga ou de uma laje armada numa ou em duas direcções Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior vão) Consola

1,0

1,3

1,5

1,2

0,4

14

18

20

17 6

20

26

30

24

8 Nota 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo frequentemente o cálculo revelar que é possível utilizar elementos mais esbeltos. Nota 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão. Nota 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vão a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.

Os valores de L/d determinados pelas expressões referidas acima deverão ser corrigidos

quando a tensão no aço na secção crítica é diferente de 310 MPa, em vigas com a secção

em T com com uma relação entre a largura do banzo e a largura da alma superior a 3, no

caso de vigas e de lajes (com excepção de lajes fungiformes) com vãos superiores a 7 m e

ainda no caso de lajes fungiformes em que o vão maior é superior a 8,5 m e que suportam

divisórias que possam ser danificadas por flechas excessivas (ver Secção 7.4.2 do EC2).



3.3. EXECUÇÃO 3.3.1. Cofragem

Requisitos da cofragem:

• Resistir às acções durante a construção (com reduzida deformação);

• Ser suficientemente rígida para que a deformação seja muito reduzida e assim

garantir a geometria definida (dentro das tolerâncias admissíveis);

• Manter a integridade do elemento estrutural;

• Garantir que a superfície do betão tem a qualidade pretendida;

• Ser estanque;

• Não reagir de forma prejudicial com o betão e armaduras;

• Permitir a fácil descofragem sem introduzir danos na estrutura.

Figura 28 – Cofragem para lajes.



3.3.2. Colocação das armaduras

Figura 29 – Espaçadores (algumas imagens são de J.D’Arga e Lima Vol. I).



3.3.3. Betonagem

O betão deve ser colocado e compactado de modo a assegurar que todas as armaduras e

elementos a integrar no betão ficam adequadamente embebidos de acordo com o

recobrimento definido (considerar também as tolerâncias definidas e permitidas). Deverão

ser considerados os seguintes aspectos durante a betonagem:

• Minimizar a segregação;

• Descarregar o betão na vertical, a baixa altura;

• Começar a betonagem pelas zonas mais baixas quando existe inclinação

significativa da cofragem;

• Utilizar tubagens para colocar o betão

• Vibração/compactação. Pode ser manual, com vibrador, vibração da cofragem (para

peças de pequena espessura) ou com mesas vibrantes (pré-fabricação).

Após a vibração não devem continuar a aparecer bolhas de ar à superfície.

Aplicar a vibração por cada camada não superior a 50 cm de espessura.

Em secções muito espessas a recompactação da camada superficial é

recomendada.

Figura 30 – Betonagem de uma laje. Figura 31 – Betonagem do 1º tramo

viaduto lado Benguela.

O betão nas idades jovens deve ser objecto de cura e protecção para:

• minimizar a retracção plástica;

• assegurar uma resistência superficial adequada;

• assegurar uma durabilidade adequada na zona superficial;

• assegurar resistência à congelação;

• proteger contra vibrações prejudiciais, impacto ou danos.



Os seguintes métodos de cura são admissíveis separadamente ou em sequência:

• Manter a cofragem;

• Cobrir a superfície de betão com uma membrana impermeável;

• Colocação de coberturas húmidas.

3.4. DISPOSIÇÕES RELATIVAS A ARMADURAS EM LAJES 3.4.1. Recobrimento mínimo das armaduras em lajes O recobrimento mínimo das armaduras deve assegurar:

• transmissão eficaz das forças de aderência;

• protecção do aço contra a corrosão (durabilidade);

• uma adequada resistência ao fogo (ver EN 1992-1-2).

REBAP EC2

Art.º 78

• Depende do ambiente onde está a

estrutura de betão armado e da classe

do betão.

• Para elementos laminares os valores

indicados podem ser diminuídos de 0,5

cm. Por exemplo, numa laje num

ambiente modera/ agressivo e um betão

de classe inferior a B30 o recobrimento

mínimo é 2,5 cm.

• O recobrimento não deve ser inferior a

1,5 cm nem inferior ao Ø das armaduras

(ou diâmetro equivalente se houver

agrupamento).

Secção 4.4.1

• O recobrimento depende de vários

factores: classe estrutural, classe de

exposição, da resistência betão e do

controlo de qualidade da produção do

betão.

• O recobrimento nas lajes pode ser

reduzido 0,5 cm em relação ao valor

estipulado para os pilares e vigas

(excepto na classe de exposição X0,

considerando que a classe estrutural é

S4, edifícios correntes).

• O recobrimento nominal deve ser

especificado nos desenhos e é definido

como um recobrimento mínimo, cmin (ver

4.4.1.2), mais uma margem de cálculo

para as tolerâncias de execução, Δcdev

(ver 4.4.1.3):

cnom = cmin + Δcdev

cmin = max {cmin,b; cmin,dur + ∆cdur,γ - ∆cdur,st -

∆cdur,add; 10 mm}



Em relação ao EC2 informa-se que:

Para o cálculo do recobrimento nominal, cnom, deverá majorar-se, ao nível do projecto, o

recobrimento mínimo para ter em conta as tolerâncias de execução (Δcdev).

Nota: O valor de Δcdev a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo

Nacional. O valor recomendado é 10 mm.

cmin,b - recobrimento mínimo para os requisitos de aderência, ver 4.4.1.2 (3)

Quadro 4.2 do EC2: Recobrimento mínimo, cmin,b, requisitos relativos à aderência.

Requisito de aderência

Disposição dos varões Recobrimento mínimo cmin,b*

Isolados Diâmetro do varão

Agrupados Diâmetro equivalente (φn)(ver 8.9.1)

* Se a máxima dimensão do agregado for superior a 32 mm, cmin,b deve ser aumentado de 5 mm.

∆cdur,γ - margem de segurança, ver 4.4.1.2 (6)

Nota: O valor de Δcdur,γ a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo

Nacional. O valor recomendado é 0 mm.

∆cdur,st - redução do recobrimento mínimo no caso de utilização de aço inoxidável, ver

4.4.1.2 (7).

Nota: O valor de Δcdur,st a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo

Nacional. O valor recomendado, na ausência de outras especificações, é 0 mm.

∆cdur,add redução do recobrimento mínimo no caso de protecção adicional, ver 4.4.1.2 (8)

Nota: O valor de Δcdur,add a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo

Nacional. O valor recomendado, na ausência de outras especificações, é 0 mm.

cmin,dur - recobrimento mínimo relativo às condições ambientais, ver 4.4.1.2 (5)

O valor do recobrimento mínimo das armaduras para betão armado tem em conta as

classes de exposição e as classes estruturais, é dado por cmin,dur.

A classificação estrutural e os valores de cmin,dur a utilizar num determinado país são dados

no respectivo Anexo Nacional. A Classe Estrutural recomendada para edifícios e outras

estruturas comuns (tempo de vida útil de projecto de 50 anos) é S4, as modificações

recomendadas da Classe Estrutural são dadas no Quadro 4.3N. A Classe Estrutural mínima

recomendada é S1. Na NP EN 206-1, DNA 5.3.1 está definido o quadro seguinte e é referido que a vida útil das

obras é especificada em 5 categorias (ver EN 1990).



Categorias de vida útil

Vida útil das obras Exemplos

Categoria Anos

1 10 Estruturas temporárias

2 10 a 25 Partes estruturais substituíveis, por exemplo, apoios

3 15 a 30 Estruturas para a agricultura e semelhantes

4 50 Edifícios e outras estruturas comuns

5 100

Edifícios monumentais, pontes e outras estruturas de engenharia civil. Nesta

categoria pode ainda incluir-se estruturas de edifícios altos ou obras de

relevante importância económica e social, como hospitais e teatros.

Quadro 4.4N do EC2: Valores do recobrimento mínimo, cmin,dur, requisitos relativos à

durabilidade das armaduras para betão armado, de acordo com a EN 10080.

Requisito ambiental para cmin,dur (mm)

Classe

Estrutural

Classe de Exposição de acordo com o Quadro 4.1

X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 XD2 / XS2 XD3 / XS3

S1 10 10 10 15 20 25 30

S2 10 10 15 20 25 30 35

S3 10 10 20 25 30 35 40

S4 10 15 25 30 35 40 45

S5 15 20 30 35 40 45 50

S6 20 25 35 40 45 50 55

Quadro 4.3N do EC2: Classificação estrutural recomendada.

Classe Estrutural

Critério Classe de Exposição de acordo com o Quadro 4.1

X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 XD2 / XS1 XD3 / XS2 /

XS3

Tempo de vida útil de projecto de 100 anos

aumentar de 2

classes

aumentar de 2

classes

aumentar de 2

classes

aumentar de 2

classes

aumentar de 2

classes

aumentar de 2

classes

aumentar de 2

classes

Classe de Resistência 1) 2)

≥ C30/37

reduzir de 1 classe

≥ C30/37

reduzir de 1 classe

≥ C35/45

reduzir de 1 classe

≥ C40/50

reduzir de 1 classe

≥ C40/50

reduzir de 1 classe

≥ C40/50

reduzir de 1 classe

≥ C45/55

reduzir de 1 classe

Elemento com geometria de laje

(posição das armaduras não afectada pelo

processo construtivo)

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

Garantia especial de controlo da qualidade da produção do betão

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe

reduzir de 1 classe



Notas ao Quadro 4.3N 1. Considera-se que a classe de resistência e a razão água-cimento estão relacionadas. Poderá considerar-se uma composição especial (tipo de cimento, razão água-cimento, enchimento de finos) a fim de obter uma baixa permeabilidade. 2. O limite pode ser reduzido de uma classe de resistência se a introdução de ar for superior a 4%.

Resumindo: cnom = cmin + Δcdev = cmin = max {cmin,b; cmin,dur + 0 - 0 - 0; 10 mm} + 10 mm

Para determinar os esforços resistentes é necessário estimar a altura útil:

d = h – recobrimento (cnom) – Ølong/2 – Øest (se existir armadura transversal)

3.4.2. Armadura principal mínima e máxima

Verificar se a área As determinada pelo cálculo na verificação da segurança ao estado limite

ultimo de resistência à flexão é superior à área mínima e inferior à área máxima

estabelecida pelos regulamentos.

REBAP EC2

Art.º 104

• O art. 104 (armadura principal mínima

em lajes) remete para o art. 90

(armadura principal mínima em vigas);

• Nas lajes armadas nas 2 direcções este

requisito aplica-se nas 2 direcções;

• A percentagem mínima de armadura é

definida pela seguinte expressão:

Sendo ρ = 0,25 (A235); ρ = 0,15 (A400);

ρ = 0,12 (A500).

• No REBAP não há nenhuma referência

explícita à percentagem máxima de

armadura principal em lajes. No entanto,

salienta-se que existe um limite máximo

para a armadura longitudinal em vigas,

0,04Ac. Este aspecto é relevante pois,

como se referiu acima, a armadura

mínima em lajes é remetida para o limite

imposto às vigas.

Secção 9.3.1.1 (1)

• Para as percentagens mínima e máxima

de armaduras na direcção principal, aplica-

se o disposto em 9.2.1.1 (1) e (3).

• A área da armadura longitudinal de

tracção não deve ser inferior a As,min:

Ver também a Secção 7.3

relativamente à área de armadura

longitudinal de tracção para controlo

da fendilhação;

O valor de As,min a utilizar num

determinado país é dado no

respectivo Anexo Nacional. O valor

recomendado é dado pela seguinte

expressão:

As,min = dbff

tyk

ctm26,0

mas não inferior a 0,0013btd

100xd.b

A s=ρ



• Em complemento da Nota 2 de 9.2.1.1

(1), para lajes em que o risco de rotura

frágil é reduzido, As,min pode ser

considerado igual a 1,2 vezes a área

exigida para a verificação do estado

limite último de resistência à flexão.

• A área das secções, quer da armadura de

tracção quer da armadura de compressão,

não deve ser superior a As,max, excluindo

as zonas de sobreposição. O valor de

As,max a utilizar num determinado país é

dado no respectivo Anexo Nacional. O

valor recomendado é 0,04Ac.

Em relação ao EC2 informa-se que:

bt representa a largura média da zona traccionada. No caso de uma viga em T com

os banzos comprimidos, deverá considerar-se apenas a largura da alma no cálculo

do valor de bt.

fctm deve ser determinado relativamente à classe de resistência aplicável, de acordo

com o Quadro 3.1. do EC2.

3.4.3. Espaçamento máximo e mínimo das armaduras

Espaçamento máximo dos varões da armadura principal e de distribuição.

REBAP EC2

Art.º 105

O espaçamento máximo dos varões da

armadura principal não deve ser superior ao

mínimo de:

1,5.h (altura da laje);

35 cm;

Valores duplos do indicado para as

vigas – ver Quadro XIV. Depende do

ambiente onde está a laje de betão

armado e da classe do aço.

Secção 9.3.1.1 (3)

O espaçamento dos varões não deve ser

superior a smax,slabs. O valor de smax,slabs a

utilizar num determinado país é dado no

respectivo Anexo Nacional.

Os valores recomendados são:

para as armaduras principais, 3h ≤ 400

mm, em que h representa a espessura

total da laje;

para as armaduras de distribuição, 3,5h ≤

450 mm .



Espaçamento máximo das armaduras de

distribuição é de 35 cm e está referido no

art. 108.

Nos casos correntes de vigas e lajes

considera-se que a verificação da segurança

em relação ao Estado Limite de Largura de

Fendas está garantido quando são

satisfeitas as disposições dos artigos 91º e

105º.

Em zonas com cargas concentradas ou nas

zonas de momento máximo, essas

disposições passam a ser, respectivamente:

para as armaduras principais, 2h ≤ 250

mm;

para as armaduras de distribuição, 3h ≤

400 mm.

Convém salientar novamente que no EC2 a

verificação do Estado Limite de Fendilhação

pode ser garantida limitando o diâmetro e o

espaçamento dos varões, de acordo com a

Secção 7.3.3.

Quadro 7.3N do EC2: Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1.

Tensão no aço

[MPa]

Espaçamento máximo dos varões [mm]

wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm

160 300 300 200

200 300 250 150

240 250 200 100

280 200 150 50

320 150 100 -

360 100 50 - 1 Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses: c = 25mm; fct,eff = 2,9MPa; hcr = 0,5; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0; kt = 0,4 e k’ = 1,0

A tensão na armadura deve ser calculada considerando a secção fendilhada para a

combinação de acções relevante. Nos elementos de betão armado e elementos de betão

pré-esforçado com armaduras não aderentes, a combinação de acções a considerar é a

combinação quase permanente (ver Quadro 7.1N do EC2).

Distância livre entre varões

As armaduras devem estar suficientemente afastadas para permitir que a betonagem ocorra

em boas condições. Esse afastamento deve também ser suficiente para assegurar que

existe uma boa aderência dos varões ao betão envolvente.



REBAP EC2

Art.º 77

A distância mínima entre varões não deve

ser inferior ao maior de:

2 cm;

Ømaior (maior diâmetro dos varões

em causa);

Øeq (diâmetro equivalente do

agrupamento de armaduras).

Secção 8.2 (2)

A distância livre (horizontal e vertical) entre

varões paralelos ou entre camadas

horizontais de varões paralelos não deverá

ser inferior ao maior dos valores seguintes:

k1 vezes o diâmetro do varão;

(dg + k2 mm), em que dg é a dimensão

máxima do agregado, ou 20 mm.

Nota: Os valores de k1 e k2 a utilizar num

determinado país poderão ser dados no

respectivo Anexo Nacional. Os valores

recomendados são 1 e 5 mm,

respectivamente.

3.5. ARMADURAS EM LAJES

3.5.1. Armadura de distribuição das lajes armadas numa só direcção

REBAP EC2

Art.º 108

• Na face oposta à da aplicação das

cargas deve ser disposta uma armadura

transversalmente ao vão. Nas consolas

colocar essa armadura também na

direcção do vão.

• Na face de aplicação das cargas, caso

exista armadura principal, deve dispor-se

armadura de distribuição

transversalmente à armadura principal.

• As,dist = 0,20.As,principal (área da armadura

adoptada).

• Espaçamento máximo da armadura de

distribuição é de 35 cm (já referido

acima).

Secção 9.3.1.1 (2)

• Nas lajes armadas numa só direcção,

deverão utilizar-se armaduras transversais

de distribuição correspondentes a pelo

menos 20% da armadura principal. Nas

zonas junto de apoios, não é necessária

armadura transversal aos varões

superiores principais no caso em que não

exista momento flector transversal.

• O espaçamento máximo destas

armaduras está referido acima.



Disposição das armaduras:

As armaduras principais devem ser colocadas de modo a funcionarem com o maior braço

interno.

Figura 32 – Disposição das armaduras (Carla Marchão e Júlio Appleton).

3.5.2. Armadura de bordo livre

REBAP EC2

Art.º 109

• Colocar 2 varões em cada aresta;

• Colocar uma armadura transversal ao

bordo num comprimento superior a 2.h

(espessura da laje);

• As,transversal (cm2/m) ≥ 0,05d (A235) e

≥ 0,025d (A400 e A500), d em cm;

• Espaçamento máximo desta armadura

transversal é de 35 cm;

• Para estas armaduras de bordo podem

ser tidas em conta as outras armaduras

existentes na laje.

Secção 9.3.1.4

Ao longo de um bordo livre (não apoiado), a

laje deve, normalmente, ter armaduras

longitudinais e transversais em geral

dispostas como se indica na figura abaixo. As

armaduras correntes utilizadas na laje podem

desempenhar a função de armaduras de

bordo livre.

Figura 33 – Armaduras de bordo livre numa laje (EC2).

≥ 2h

h



3.5.3. Armadura nos apoios, nos bordos simplesmente apoiados e em apoios paralelos à direcção em que a laje é armada

Figura 34 – Rotação livre das lajes.

Quando no cálculo de esforços da laje se admite que o apoio da laje na viga é simplesmente

apoiada (no cenário em que não há lajes adjacentes), verifica-se, na realidade, que aquele

apoio não se comporta como foi idealizado no cálculo, ou seja, não há uma rotação livre da

laje. Essa restrição à rotação no apoio existe porque há uma ligação entre a viga e a laje

(elementos betonados em simultâneo) e a viga tem certa rigidez à torção. Portanto, quando

a laje é solicitada haverá momentos negativos junto a esse apoio que não estão

contabilizados no modelo de cálculo. Assim, recomenda-se a colocação de armadura

superior junto a esses apoios para absorver a tensões de tracção existentes na face

superior da laje e, consequentemente, controlar a fendilhação.

Segundo alguns engenheiros, a área da armadura no apoio ( −apoio,sA ) deve ser igual à

armadura longitudinal mínima ou igual à armadura de distribuição, com um mínimo de

∅6//0.20m.

Figura 35 – Armadura no bordo simplesmente apoiado (Carla Marchão e Júlio Appleton).



REBAP EC2

Art.º 106

A armadura a prolongar até aos apoios (com

liberdade de rotação, de encastramento ou

de continuidade) deve ser pelo menos ½ da

armadura máxima de tracção existente no

vão.

Secção 9.3.1.2

Nas lajes simplesmente apoiadas, metade da

armadura calculada para o vão deve ser

prolongada até ao apoio e aí ser amarrada,

de acordo com 8.4.4.

Art.º 108.2

Quando existem apoios de encastramento

ou de continuidade paralelos à armadura

principal e não foram considerados no

cálculo, deve dispor-se sobre esses apoios

uma armadura transversal na face superior

adequada para resistir aos esforços aí

desenvolvidos.

Esta armadura deve ser colocada num

comprimento igual a ¼ do vão teórico.

Secção 9.3.1.2

No caso em que haja encastramento parcial

ao longo de um dos bordos da laje, não

considerado no cálculo, a armadura superior

deverá ser capaz de resistir a pelo menos

25% do momento máximo no vão adjacente.

Esta armadura deverá ter um comprimento de

pelo menos 0,2 vezes o vão adjacente,

medido a partir da face do apoio, ser

contínua nos apoios internos e amarrada

nos apoios extremos. Num apoio extremo, o

momento a resistir pode ser reduzido até

15% do momento máximo no vão adjacente.

O REBAP não indica nenhuma expressão para estimar os esforços desenvolvidos junto

desses apoios. Cada caso terá de ser estudado detalhadamente. Esses esforços vão

depender significativamente da rigidez do apoio, quanto maior for a rigidez do apoio maiores

serão os esforços. Para se ter uma noção da ordem de grandeza dos esforços aí

desenvolvidos, apresenta-se na Figura 36 a evolução dos momentos junto a um apoio

rígido. O momento negativo é aproximadamente igual ao máximo momento positivo na laje.

Portanto, de acordo com o EC2 a área da armadura superior nos apoios considerados

simplesmente apoiadas ( −apoio,sA ) deve ser suficiente para resistir a 0,15 ou 0,25 do +

vão,máxM

e ser superior à armadura longitudinal mínima. Segundo o EC2, esta armadura deve ser

aplicada num comprimento igual a 0,2L em vez de 0,25L referido anteriormente



Figura 36 - Variação dos momentos transversais junto ao apoio (não considerado no

cálculo) paralelo às armaduras principais (F.Leonhardt e E. Monning).

Abaixo apresenta-se uma comparação dos momentos numa laje com as dimensões

indicadas na Figura 37, onde se variou a rigidez do apoio paralelo à armadura principal.

Considerando a carga aplicada e as dimensões da laje, o momento máximo positivo é 93,75

kN.m

Figura 37 – Dimensões da laje armada numa só direcção com um apoio paralelo às

armaduras principais.

10 m 10 m

30 k

N/m

5 m



1º caso: sem apoio paralelo às armaduras principais

Figura 38 – Deformada e momentos m22 (originam tensões normais na direcção y).

2º caso: apoio paralelo às armaduras principais muito rígido.

O momento máximo negativo na laje sobre o apoio é -83 kN.m.



Figura 39 – Deformada e momentos m11 e m22.

3º caso: apoio paralelo às armaduras principais é uma viga (apoio menos rígido)

O momento máximo negativo na laje sobre o apoio é -22 kN.m.

Figura 40 – Momentos m11 e m22 (apoio menos rígido).

3.5.4. Armadura de canto

REBAP EC2

Omisso Secção 9.3.1.3

Se as disposições construtivas num apoio

forem tais que o levantamento de um canto

da laje seja impedido, devem dispor-se

armaduras adequadas.

Quando uma laje está simplesmente apoiada em todo o contorno e for solicitada, os cantos

terão tendência a levantar. Normalmente, os cantos estão impedidos de ter deslocamentos



verticais, consequentemente aparecem forças de reacção verticais nos cantos e momentos

torsores.

Figura 41 – Deformação de uma laje simplesmente apoiada no contorno (Carla Marchão e

Júlio Appleton).

O efeito originado por esta restrição corresponde ao aparecimento de momentos negativos

com um ângulo de 45º em relação ao bordo (tracção na face superior) e a momentos

positivos com um ângulo de 135º (tracção na face inferior). Estes efeitos podem originar

fendilhação no betão. Deste modo é conveniente colocar armaduras para controlar a

fendilhação. A solução mais prática será colocar armaduras paralelas e perpendiculares aos

bordos da laje (malha ortogonal) em ambas as faces da laje.

Figura 42 – Fendilhação na face superior e inferior da laje (Carla Marchão e Júlio Appleton).

Segundo F.Leonhardt e E. Monning, quando não for feita uma verificação mais rigorosa a

área da armadura de canto deve ser igual à maior armadura no vão (no caso de uma laje

armada nas 2 direcções e simplesmente apoiada em todo o contorno). Esta armadura deve

ser disposta numa área quadrada de lado igual a ¼ do menor vão.



Quando apenas um dos bordos é apoiado o momento torsor é menor, pelo que se pode

adoptar para armadura de canto metade da maior armadura no vão. Se ambos os apoios

forem encastrados não há momentos torsores.

Lajes armadas nas 2 direcções (admite-se que mx > my):

Figura 43 – Armadura de canto, lajes armadas em 2 direcçoes (Carla Marchão e Júlio

Appleton).

Apoio simplesmente apoiado - apoio simplesmente apoiado:

A armadura de canto deve ser colocada na face superior de acordo com a informação

referida acima. Salienta-se que nos bordos considerados simplesmente apoiados deve

haver uma armadura superior para controlar a fendilhação (ver Secção 3.5.3). Pode-se

aproveitar a existência desta armadura e colocar apenas um reforço, se necessário, de

modo a perfazer o valor Asx+ exigido (ver Figura 43).

Na face inferior da laje não é necessário colocar armadura específica para o efeito na

direcção x quando já existe armadura longitudinal nessa direcção e não se realizou uma

interrupção das armaduras. Na direcção y, uma vez que my < mx, poderá ser necessário

colocar um reforço na região do canto (1/4 do vão teórico).

Lajes armadas numa só direcção (Lx < Ly/2):

Nas lajes armadas numa só direcção a flexão é cilíndrica (deformada cilíndrica). Este

assunto será desenvolvido mais à frente. O momento torsor que aparece nas regiões dos

cantos é menor quando comparado com o das lajes armadas nas 2 direcções, pelo que

pode adoptar-se para armadura de canto metade da maior armadura no vão. Mais uma vez



pode-se aproveitar a existência de armadura na região (armadura principal, armadura de

distribuição e armadura superior nos apoios simplesmente apoiados) e colocar apenas um

reforço, se necessário, de modo a perfazer o valor Asx+/2 exigido (ver Figura 44).

Figura 44 – Armadura de canto, lajes armadas numa só direcção.

Figura 45 – Laje apoiada nos 4 bordos e os respectivos momentos torsores.

Os maiores momentos torsores aparecem junto aos cantos.

3.6. LAJE ARMADA NUMA DIRECÇÃO

Considera-se que as lajes devem ser armadas numa só direcção (ou funcionam

predominantemente numa direcção) quando:

• As condições de apoio estão apenas numa direcção

• A relação entre os vãos for superior a 2 (Lmaior/Lmenor ≥ 2)



REBAP EC2

Art.º 100

Em condições correntes é recomendado que

as lajes cujo vão maior não exceda duas

vezes o vão menor sejam armadas em duas

direcções.

Secção 5.3.1 (5)

Uma laje solicitada predominantemente por

cargas uniformemente distribuídas pode ser

considerada como resistente numa só

direcção nos seguintes casos:

ter dois bordos livres (não apoiados)

sensivelmente paralelos

corresponder à parte central de uma

laje sensivelmente rectangular apoiada

nos quatro bordos cuja relação entre o

vão maior e o vão menor é superior a

2.

Exemplos:

Laje 1 – armada na direcção do menor vão (se relação entre vãos for superior a 2).

Laje 1

Laje 2 – armada nas 2 direcções (se a relação entre vãos for inferior a 2)

Laje 2

simplesmente apoiada nos 4 bordos

q (kN/m)

bordo livre, encastrado e simplesmente apoiada nos outros 2 bordos



Laje 3 e 4 armadas na direcção do maior vão devido às condições de apoio.

Lajes 3 e 4

Figura 46 – Exemplos de lajes armadas numa em duas direcções.

Quando é definido que a laje é armadura numa só direcção, coloca-se a armadura principal

nessa direcção (armadura longitudinal necessária para a secção resistir aos esforços

aplicados) e na direcção perpendicular coloca-se armadura de distribuição (As,dist =

0,20.As,principal). Quando é definido que a laje é armadura nas duas direcções, coloca-se

armadura principal nas duas direcções.

As armaduras secundárias têm a função de assegurar que o comportamento global da

estrutura é adequado: garantem a eficiência das armaduras principais, asseguram a ligação

entre partes dos elementos que tenham tendência a destacar-se e limitam a fendilhação.

2 bordos livres e simplesmente apoiada nos outros 2 bordos

2 bordos livres e encastrada nos outros 2 bordos



3.6.1. Representação dos apoios nas lajes

Figura 47 – Representação dos vários tipos de apoio em lajes.

3.6.2. Flexão cilíndrica

Figura 48 – Laje rectangular com apoios simples apenas nos bordos de maior dimensão.

Figura 49 – Laje rectangular com apoios simples nos 4 bordos.

Apoiado Encastrado Bordo livre



Figura 50 – Laje rectangular com Lx >> Ly com apoios simples nos 4 bordos.

Uma laje está sujeita a flexão cilíndrica quando a curvatura é nula numa direcção (o

deslocamento vertical é constante ao longo dessa direcção ⇒ deformação cilíndrica), sendo

o seu comportamento, na direcção perpendicular, semelhante ao de uma viga com o mesmo

vão (ver Figuras 48 e 51). Quando uma laje tem uma das dimensões muito superior à outra,

verifica-se que a zona central da laje fica sujeita a uma flexão cilíndrica. Obviamente que

nas zonas junto aos apoios transversais (apoios paralelos ao vão teórico) há um efeito do

apoio (ver Figuras 49 e 50).

As lajes em flexão cilíndrica têm um momento flector na direcção perpendicular ao vão

teórico (admite-se que o vão teórico é na direcção xx). Assim, My = ν.Mx, ν é o coeficiente de

Poisson e assume valores compreendidos entre 0 (fendilhação extensa, valor razoável para

a análise aos Estados Limites Últimos) e 0,2 (fendilhação incipiente, valor razoável para a

análise aos Estados Limites Utilização).



Figura 51 – Flexão cilíndrica (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida)

Figura 52 – Analogia do comportamento de uma laje com uma grelha (A. Gomes, Júlio

Appleton e João Almeida). O comportamento de uma laje em termos qualitativos pode ser compreendido pela analogia

com uma grelha. A viga na direcção do menor vão tem maior rigidez vertical e,

consequentemente, absorve maiores esforços. Observando a curvatura das duas vigas

perpendiculares, verifica-se que a curvatura da viga com menor comprimento é muito maior,

logo o momento aplicado nessa viga também vai ser maior (M = EI.1/r). Tendo em

consideração este raciocínio, compreende-se a razão que justifica que as lajes apoiadas nos

4 bordos e com uma relação entre vãos superior a 2 é armada apenas numa direcção.



3.6.3. Esforços nos casos mais correntes de lajes armadas numa direcção

Figura 53 – Esforços de estruturas correntes.

Os esforços numa laje armada numa só direcção podem ser determinados como os de uma

viga com o mesmo vão teórico. Normalmente, a análise realiza-se para uma secção

transversal com a largura igual a um metro e a altura igual à altura da laje, obviamente.

Assim, a área da armadura longitudinal resultante dos cálculos corresponde à área de aço

necessária para um metro de laje (em largura).

p kN/m

M

+

p.L /8 2

L

p.L/2

+

-

V

-p.L/2

p kN/m

M

-

- p.L /22

L

p.L

+

V

p kN/m

L

V

M

5p.L/8

-3p.L/8

-

2 - p.L /8

-

+

+

p kN/m

M

+

L

V

- p.L /122

-

- p.L /122

p.L/2

+

-

-p.L/2

p.L /24 2



3.6.4. Interrupção de armaduras

Figura 54 – Interrupção da armadura principal.

REBAP EC2

REBAP (art.º 106) • No caso de lajes, sem armadura de

esforço transverso, a translação al do

diagrama de forças a absorver pela

armadura deve ser igual a 1,5.d.

• Como já referido anteriormente, a

armadura inferior a prolongar até aos

apoios (com liberdade de rotação, de

encastramento ou de continuidade) deve

ser pelo menos ½ da armadura máxima

existente no vão.

Secção 9.3.1.1 (4) e 9.3.1.2

• Nas lajes aplicam-se igualmente as

regras indicadas para as vigas em 9.2.1.3

(1) a (3), 9.2.1.4 (1) a (3) e 9.2.1.5 (1) a

(2), mas com al = d.

• Como já referido anteriormente, nas lajes

simplesmente apoiadas, metade da

armadura calculada para o vão deve ser

prolongada até ao apoio e aí ser

amarrada, de acordo com 8.4.4.

Para realizar uma interrupção da armadura longitudinal é necessário conhecer a equação do

diagrama de momentos. Por exemplo, admitindo que o projectista pretende interromper

metade dos varões, a secção a partir da qual pode fazer a interrupção física dos varões é

dada por:

As,máx+0,5.

p kN/m

M

+

-

Amarração da armadura L b,net

al = 1,5.d ou 1.dNas lajes sem armarmadura deesforço transverso a translação al dever ser igual a 1,5.d (REBAP).Segundo o EC2 al deve ser igual a d.

-

As,máx+>

net,bllcd2

rddc

sydsss laxaxxf.bd.M

f.d.bf'.A

2/A'A ±±→±→→μ=→μ→=ω→=



A - Envolvente de MEd/z + NEd B - força de tracção actuante Fs C - força de tracção resistente FRs ΔFtd – força de tracção adicional lbd – comprimento de amarração de cálculo

Figura 55 – Representação da interrupção da armadura longitudinal, tendo em conta a

envolvente da força de tracção actuante (EC2).

Exercício 3

Defina a espessura da laje abaixo indicada e as armaduras de modo a verificar a segurança

em relação aos estados limites últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço

transverso. Adopte as condições e disposições necessárias de modo a garantir a segurança

em relação ao estado limite de largura de fendas e de deformação. Pormenorize as

armaduras.

Dados

Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25)

Acções: peso próprio da laje, revestimento 1,3 kN/m2 e sobrecarga 2,0 kN/m2

Ambiente moderadamente agressivo

alΔFtd

al

A

B

C

lbd

lbd

lbd

lbd

lbd lbd

lbd

lbdΔFtd



Exercício 4

Defina a espessura da laje abaixo indicada e as armaduras de modo a verificar a segurança

em relação aos estados limites últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço

transverso. Adopte as condições e disposições necessárias de modo a garantir a segurança

em relação ao estado limite de largura de fendas e de deformação. Pormenorize as

armaduras.

Dados


Acções: peso próprio da laje, revestimento 1,5 kN/m2, sobrecarga 5,0 kN/m2 na faixa de 1 m

adjacente ao limite superior e 2,0 kN/m2 nos restantes 0,5 m da laje.


Exercício 5

Considere a escada representada na figura seguinte. Defina armaduras de modo a verificar

a segurança em relação ao estado limite último de resistência à flexão. Verifique a

segurança em relação ao estado limite último de resistência ao esforço transverso. Adopte

disposições necessárias de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite de

largura de fendas. Pormenorize as armaduras.

10 m

4,15

m

10 m

1,5

m



Dados

Espessura da laje: 0,20m


Acções: peso próprio da laje, revestimento 1,0 kN/m2, sobrecarga 3,0 kN/m2.


1,5 m 3,5 m 1,0 m

0,22 m

0,175 m

2,80



3.7. LAJE ARMADA EM DUAS DIRECÇÕES

As lajes serão armadas em duas direcções quando as condições de apoio o permitirem e

quando a relação entre os vãos for inferior a 2 (Lmaior/Lmenor < 2).

Figura 56 – Laje apoiada apenas em 2 bordos e os respectivos momentos flectores.

Figura 57 – Laje apoiada nos 4 bordos e os respectivos momentos flectores.



Figura 58 – Laje encastrada apenas em 2 bordos e os respectivos momentos flectores.

Figura 59 – Laje encastrada nos 4 bordos e os respectivos momentos flectores.



Como se pode observar nas figuras acima, nas lajes com apoios nas 2 direcções e com uma

relação entre os vãos for inferior a 2 (Lmaior/Lmenor < 2), verifica-se que há esforços

significativos nas 2 direcções. Portanto, nestas lajes é necessário colocar armadura principal

nas 2 direcções de modo a garantir a verificação da segurança não só aos estados limites

últimos mas também aos estados limites de utilização.

Nestes casos a curvatura é significativa nas 2 direcções, deformação bidireccional o que

implica uma flexão bidireccional. Os momentos flectores produzem tensões normais de

tracção e de compressão, como existem momentos flectores nas 2 direcções, haverá

também tensões normais nas 2 direcções.

Figura 60 – Tensões normais originadas pelo momento flector (neste caso unidireccional),

(A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida).

Resumindo, dependendo das condições de apoio e das dimensões das lajes há,

normalmente, um efeito bidimensional das lajes, ou seja, as cargas são transmitidas para os

apoios nas 2 direcções. A questão que agora se coloca é, como determinar os esforços

nestas lajes.

3.7.1 Teoria de comportamento elástico em lajes finas

Este modelo tem por base as seguintes hipóteses simplificativas:

• Laje de pequena espessura (h < 1/10 da dimensão do vão; h – espessura da laje),

material homogéneo, isotrópico e de comportamento linear elástico. Deformação por

corte desprezável;

• Os deslocamentos são pequenos comparados com as dimensões da laje (ω < h/10);

• Hipótese de Kirchoff: as deformações do plano médio da laje são nulas;

• As fibras perpendiculares ao plano médio permanecem rectas e perpendiculares a

este após a deformação;

• Tensões normais ao plano da laje são pequenas e desprezáveis quando

comparadas com as tensões de flexão



Com base nas hipóteses admitidas podem-se estabelecer várias relações: relação entre o

deslocamento de qualquer ponto e o deslocamento do plano médio da laje, relação entre as

extensões e os deslocamentos, relação entre as extensões e as tensões, relação entre as

tensões normais e os momentos, relação entre momentos e as deformações associadas.

Com base nas relações anteriores foi possível deduzir a seguinte equação diferencial de

equilíbrio:

Equação de Lagrange das lajes (deduzida em 1811):

Figura 61 – Equilíbrio de um elemento de laje (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida). Onde:

• q – é o valor do carregamento perpendicular ao plano da laje;

• D – é a rigidez à flexão das lajes

• ω - deslocamento do plano médio da laje;

• A resolução da equação diferencial de Lagrange dá o valor de ω(x,y), ou seja, a

deformada da laje;

Dq

yyx2

x 4

4

22

4

4

4

−=∂

ω∂+

∂∂ω∂

+∂

ω∂

qym

yxm

2xm

2y

2xy

2

2x

2

−=∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂

)1.(12h.ED 2

3

ν−=



Conhecido o campo de deslocamentos pode-se calcular o valor dos momentos e do esforço

transverso.

Para a resolver a equação de Lagrange é necessário conhecer as condições fronteira, por

exemplo: simplesmente apoiado ⇒ deslocamento nulo e momento nulo; encastramento ⇒

deslocamento e rotação nulas (ω = 0 e ω’ = 0). A resolução da equação de Lagrange é muito

complexa e saí fora do âmbito desta disciplina. Normalmente utilizam-se métodos numéricos

para a sua resolução.

Existem várias tabelas para o cálculo de esforços em lajes vigadas, para diferentes

condições de apoio e carregamentos, e para diferentes relações entre vãos (Tabelas de

Timoshenko, Bares, Montoya).

3.7.2. Condições de apoio e tabelas

Figura 62 – Exemplos de lajes que se encontram nas tabelas.



Uma das variáveis a definir para determinar os momentos flectores utilizando as tabelas, é o

valor do coeficiente de Poisson. Para uma análise aos estados limites últimos será

adequado considerar um valor reduzido, ou nulo, para o valor do coeficiente de Poisson

(fendilhação extensa).

O valor dos momentos flectores depende da relação entre vãos, da carga e das dimensões

da laje.

Salienta-se ainda que há tabelas que utilizam simbologias diferentes. Nas tabelas

representadas na figura anterior, o símbolo → representa a direcção das tensões normais

originadas pelos momentos. Há, no entanto, outras tabelas que utilizam o simbolo

que representa o momento flector, o que significa que as tensões normais são

perpendiculares à direcção do vector.

Na análise estrutural de um piso com lajes apoiadas em vigas é usual decompor-se o

pavimento em lajes isoladas. Portanto, nesta análise é importante simular, o mais

correctamente possível, as condições de apoio da laje. As lajes podem ter apoios pontuais

ou apoios se desenvolvem ao longo do bordo. Os apoios pontuais podem corresponder,

num modelo estrutural, a um pilar. Neste apoio pontual pode-se considerar apenas a

restrição ao deslocamento vertical e admitir que a restrição à rotação não é relevante.

Quanto às condições de apoio nos bordos pode considerar-se, genericamente, os seguintes

tipos de apoios: bordo livre, bordo simplesmente apoiado e bordo encastrado.

Uma questão que agora se coloca é, escolher o apoio mais adequado para o modelo

estrutural quando uma laje está apoiada numa viga. Será simplesmente apoiado ou

encastrado? Quando não há viga de apoio, não há dúvidas em considerar que esse

contorno é um bordo livre.

Quando a laje apoia-se numa viga e não há outra laje adjacente considera-se, usualmente,

que esse bordo é apoiado. Assume-se que a viga não tem rigidez à torção e apresenta uma

rigidez à flexão infinita. Estas simplificações para além de facilitarem muito a análise/cálculo

dos esforços, assentam no facto de que a viga corresponde a uma zona do pavimento onde

a rigidez à flexão é maior (e será tanto maior quanto maior for o EI da viga e menor for a

distância entre apoios). Por outro lado, devido à fendilhação do betão, as vigas têm uma

rigidez à torção muito reduzida. No REBAP está referido o seguinte: “Mesmo em fase não

fendilhada, o CEB sugere, para atender à não linearidade do comportamento do betão, que

se considere uma rigidez de torção de apenas cerca de 70% da rigidez elástica inicial e que



este valor se reduza a cerca de 25%, no caso de existir forte fendilhação devida à flexão, e

mesmo a cerca de 10%, quando haja fendilhação devida a torção ou a esforço transverso.”

Salienta-se ainda que, ao considerar no modelo estrutural das lajes que as vigas são

simuladas como um bordo simplesmente apoiado então não é necessário verificar a

segurança das vigas em relação ao estado limite último de resistência à torção.

Quando a viga serve de apoio a 2 lajes, a viga funciona como um apoio de continuidade.

Nesta situação não há rotação relativa entre as 2 lajes mas a rotação global da laje sobre o

apoio não está restringida. Simplificadamente, considera-se na análise estrutural do painel

de laje que esse bordo está encastrado. Esta simplificação será correcta quando as lajes

adjacentes à viga têm as mesmas dimensões e as mesmas condições de apoio (estrutura

simétrica, a rigidez das lajes adjacentes é igual). Nestes casos a rotação sobre o apoio é

nula. Se as lajes adjacentes têm condições de apoio e vãos diferentes, então a rotação da

laje sobre a viga é diferente de zero. Nestes casos os momentos no encastramento são

diferentes e será necessário realizar uma análise da distribuição de esforços de modo a

garantir que os momentos em ambos os lados do apoio de continuidade sejam iguais. Este

assunto será analisado mais adiante.

Figura 63 – Exemplo de uma estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico.

Quando as estruturas são simétricas e estão sujeitas a um carregamento simétrico pode-se analisar apenas metade da estrutura e extrapolar os resultados para toda a estrutura. Nesta análise é necessário dar uma atenção especial ao pontos de simetria. Nos pontos de simetria deve-sesimular o comportamento da estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico.

p kN/m

L L

p kN/m

L

p kN/m

L

Estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico



Note-se que, ao considerar no modelo estrutural das lajes que as vigas são apoios de

continuidade (estes apoios não restringem a rotação da laje sobre o apoio) não há, também,

necessidade de verificar a segurança das vigas em relação ao estado limite último de

resistência à torção.

Figura 64 – Exemplo de um piso de um estrutura e as condições de apoio a considerar para

a análise isolada das lajes.

3.7.3. Elementos finitos As armaduras longitudinais a aplicar numa laje de modo a verificar a segurança em relação

ao estado limite último de resistência à flexão podem determinadas, de forma simplificada,

com base nas seguintes expressões:

Armadura superior: mx,rd- ≤ mxsd - ⏐mxysd⏐ e my,rd

- ≤ mysd - ⏐mxysd⏐

Armadura inferior: mx,rd+ ≥ mxsd + ⏐mxysd⏐ e my,rd

+ ≥ mysd + ⏐mxysd⏐

Abaixo apresentam-se os diagramas de momentos da laje (estrutura apresentada na Figura

64) determinados com base num programa de elementos finitos. A partir destes diagramas é

possível dimensionar as armaduras longitudinais a aplicar na laje.



Figura 65 – Deformada e diagrama de momentos m11, m22 e m12 da laje.

3.7.4. Teoria da plasticidade

Os elementos de betão armado têm um comportamento não linear quando sujeito a cargas

elevadas. Tanto o betão como o aço têm uma relação σ-ε não linear. Num ensaio de um

elemento de betão armado até à rotura verifica-se que numa primeira fase é a fendilhação

do betão que origina o comportamento não linear. Numa fase posterior, para cargas mais

elevadas, as armaduras podem atingir a tensão de cedência e existe também a influência da



não linearidade da relação σ-ε do aço. Quando as armaduras atingem este nível de tensões

considera-se que se formou uma rótula plástica.

Figura 66 – Vista geral de um ensaio até à rotura de uma viga contínua.

1

4

5

1 Viga de ensaio

2

Perfil metálico para 3

4

5

Deflectómetros6

distribuição da carga

6 6

7 7 7

7

5 5

Demecs

Pórtico metálico

Cilindro hidraúlico

6 6

3

Apoio e célula de carga

LEGENDA

2

Figura 67 – Esquema do pórtico e do equipamento de ensaio.

Viga V1-0.7 Viga V1-1.4 Figura 68 – Diagrama de momentos registado experimentalmente e o previsto pela análise

linear elástica.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Mom

ento

flec

tor (

kN.m

)

P total = 15,1

P total = 34,8

P total = 56,2

P total = 76,4

P total = 116,5

P total = 116,5(A.L.E)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Mom

ento

flec

tor (

kN.m

)

P total = 15,7

P total = 64,7

P total = 84,7

P total = 110,6

P total = 133,3

P total = 133,3(A.L.E)



Figura 69 – Evolução dos momentos nas secções a

meio vão e na secção do apoio intermédio com a

carga aplicada.

Figura 70 – Rótula plástica e tirante

de betão armado (viga V1-2.1).

Nas figuras anteriores apresentam-se alguns resultados de ensaios experimentais

realizados em vigas de betão armado onde se pode observar o seu comportamento não

linear.

As lajes de betão armado têm também um comportamento não linear e é possível adoptar

uma distribuição de esforços diferente da determinada pela análise linear elástica para a

verificação da segurança em relação aos estados limites últimos. Nas lajes este

procedimento é especialmente válido porque:

• A percentagem de armaduras nas lajes é, em geral, reduzida, sendo a rotura em

flexão condicionada pelo comportamento do aço ⇒ comportamento dúctil;

• As lajes, em geral, são bastante mais hiperestáticas do que as restantes estruturas

(as consolas são um exemplo de lajes isostáticas), permitindo a redistribuição de

esforços em várias direcções (A. P. Ramos).

Os regulamentos permitem que os projectistas tirem partido da ductilidade dos elementos de

betão armado permitindo, dentro de certos limites, a alteração do diagrama de momentos

previsto pela análise linear elástica. Essa alteração consiste numa redução dos momentos

negativos e num consequente aumento dos momentos positivos de modo a respeitar as

condições de equilíbrio estático com as acções aplicadas. Este atenuar dos picos é

favorável à estrutura em geral porque permite explorar o máximo de reserva de resistência

das estruturas hiperestáticas e porque possibilita um melhor aproveitamento dos materiais,

em particular das armaduras. A hipótese de considerar uma distribuição de esforços

diferente da prevista pela análise linear elástica dá ao projectista maior liberdade na

execução do dimensionamento das vigas e lajes, especialmente na distribuição das

armaduras longitudinais de tracção. A redução da área das armaduras nas secções mais

0

15

30

45

60

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Momento (kN.m)

Ptotal/2 (kN)

Secção 3 exp.

Secção 1 exp.

Secção 2 exp.An. linear elástica

ΔM = 11.(Ptotal /2).L/32

Secção a 1/2 vãodo tramo (secção 1 e 2)

Secção do apoio intermédio (secção 3)

Rótula plástica



esforçadas traz a vantagem de diminuir as tensões máximas no betão comprimido e de

melhorar as condições da betonagem (menos congestionamento de armaduras) resultando

num betão de melhor qualidade.

A utilização da análise plástica para o cálculo da distribuição de esforços que,

posteriormente, servirá de base para o dimensionamento das lajes ou, como método para

determinar a carga máxima que uma laje (já concebida) pode suportar, só é permitida se a

distribuição de esforços for estaticamente possível e se a capacidade de rotação plástica

das secções críticas for suficientemente grande para que se possa formar o mecanismo de

rotura assumido. Portanto, é necessário garantir que a rotação plástica necessária nas

rótulas é inferior à rotação plástica possível.

A teoria da plasticidade tem 2 métodos: o estático e o cinemático.

Teorema / método cinemático

Pode-se determinar a carga de colapso utilizando o método cinemático que consiste “na

análise directa de todos os mecanismos de colapso possíveis, determinando-se a carga

correspondente a cada um deles. A carga real de colapso é a menor destas cargas”. Este

método é vantajoso quando o número de configurações de colapso é pequeno. O teorema

cinemático garante que a carga associada a um mecanismo cinematicamente admissível é

superior ou igual à carga última da laje.

A aplicação prática deste método é difícil e não se aconselha a aplicação deste método para

o dimensionamento das armaduras longitudinais.

Quando não existe informação mais precisa utiliza-se o método das linhas rotura para

estimar o valor máximo do esforço transverso actuante nas lajes.

Tópicos a considerar:

• Forma-se uma linha de rotura (e consequentemente uma linha de rotação) nos

encastramentos;

• Existe uma linha de rotação nos bordos simplesmente apoiados;

• Existem linhas de rotura que passam pelo ponto de intersecção dos eixos de rotação

dos elementos da laje;

• As outras linhas de rotura dependem das condições de apoio.



Figura 71 – Linhas de rotura.

Teorema / método estático

O dimensionamento das lajes por este método está do lado da segurança porque o cálculo

para uma distribuição de esforços equilibrada com a carga q, garante que a carga de rotura

qúltima é igual ou superior à carga q. Aliás, é com base neste teorema que se justifica a

utilização da distribuição de esforços determinada pela análise linear elástica na verificação

da segurança aos estados limites últimos (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida). Na

fase próxima da rotura, a laje não terá certamente um comportamento linear elástico.

Recorda-se que a distribuição de esforços linear elástica é uma das distribuições de

esforços possíveis equilibrada com a carga aplicada.

O método das bandas (ou das faixas) é uma aplicação prática do método estático e baseia-

se no facto de que a carga aplicada é equilibrada apenas por flexão (despreza-se a

resistência por torção). Portanto, a carga q é suportada por uma banda/“viga” na direcção x

e por uma banda/“viga” na direcção y.

-qx -qy

Portanto, qx + qy = q

45º

45º45º

45º

encastrado - encastrado simples/ apoiado - simples/ apoiado

30º

60º

encastrado - simples/ apoiado

90º

simples/ apoiado - bordo livreencastrado - bordo livre

5.0 m

Linhas de rotura

5.0 m

2.5q

2.5q

45º

45º

Carregamento no bordo lateral

qym

yxm

2xm

2y

2xy

2

2x

2

−=∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂



Considerando que α é um coeficiente de repartição da carga em cada uma das direcções,

0 ≤ α ≤ 1, obtém-se que: qx = α.q e qy = (1- α).q. Há uma banda que suporta a carga α.q e

haverá outra banda, na direcção perpendicular, que suporta a carga (1- α).q e assim

garante-se um caminho de carga equilibrado. Sabendo o valor da carga em cada direcção

será relativamente fácil determinar os momentos flectores e a armadura longitudinal em

cada direcção.

Para evitar que as distribuições de esforços adoptadas sejam muito diferentes das

registadas nas condições de serviço (poderá originar problemas na verificação da segurança

em relação aos ELS estando, todavia, garantido a segurança em relação aos ELU)

aconselha-se bom senso para a escolha do “caminho da carga”.

Tópicos a considerar:

• Escolher um caminho de carga próximo do que se esperaria pela análise linear

elástica;

• Escolher os coeficientes de repartição com base na compatibilidade do

deslocamento máximo vertical na laje (igual nas 2 direcções);

• Aconselha-se experiência e sensibilidade por parte do engenheiro;

• Respeitar as regras regulamentares.

Na figura abaixo apresentam-se os elementos com uma carga uniformemente distribuída e

com as condições de apoio correntemente utilizadas na modelação estrutural. a é a flecha

elástica da estrutura.

Figura 72 – Flecha elástica para os casos correntes.



Figura 73 – Exemplo da compatibilidade do deslocamento máximo vertical numa laje,

a = ax = ay.

Pode-se determinar o coeficiente de repartição com base na compatibilidade do

deslocamento máximo vertical na laje (igual nas 2 direcções), ax = ay.

Considerando que px = α.p e py = (1-α).p

O valor de k1 e k2 depende das condições de apoio (ver Figura 72).

O método das bandas (ou das faixas) é particularmente prático para as lajes com aberturas

ou com condições de apoio variáveis ao longo do bordo, lajes onde a distribuição de

esforços linear elástica não está tabelada (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida, A. P.

Ramos).

a = ax = ay

ax

px

ay

py

4y2

4x1

4y24

y24y2

4x1

4y2

4x1

4y2

4x1

4yy2

4xx1

yx

L.kL.kL.k

L.kL..kL..k

L).1.(kL..kEI

L.p)1.(kEI

L.p.kEI

L.p.kEI

L.p.kaaa

+=α⇒=α+α

⇒α−=α⇒α−

=α

⇒=⇒==



Figura 74 – Exemplo de uma laje não tabelada.

Figura 75 – Exemplo de um caminho de carga equilibrado.

q (kN/m)

q (kN/m)αR1+ R2*

2 3 4

1 1

2 3 4

R3

q α

q (1−α).

R5R4

R4

R3*

R5*

q

q (1−α).

R1 R2

* - deve-se adicionar a estes valores a carga q directamente aplicada na laje. Este depende da largura da faixa.

5

6

7

5

6

7



Figura 76 – Exemplo de uma laje com uma abertura significativa.

Para assegurar a ductilidade adequada dos elementos estruturais os vários regulamentos

condicionam a utilização da análise plástica a certo tipo de estruturas. No caso das lajes em

que se realiza uma análise plástica sem a verificação directa da capacidade de rotação

plástica das rótulas são definidas as condições apresentadas abaixo. Existem, também,

limitações à redistribuição de esforços (diferença entre a distribuição prevista pela análise

linear elástica e a distribuição considerada) para garantir o bom comportamento da laje nas

condições de serviço, ou seja, garantir a segurança em relação ao estado limite de

fendilhação e de deformação.

1

2

3

reac

ção

da fa

ixa

2

Faixa 3

Reacção da faixa 1

Carga directamente aplicada

R2

R2

R2R2

Faixa 2



REBAP EC2

Art.º 48

• Em qualquer ponto e em qualquer

direcção, a percentagem de armadura de

tracção da laje não deve exceder a que

conduz a um valor de x/d igual a 0,25,

sendo x a profundidade da linha neutra e

d a altura útil da secção;

• Se a determinação for feita por um

método estático, a distribuição de

momentos considerada não deve diferir

sensivelmente da distribuição de

momentos elástica; os momentos nos

apoios devem ser, pelo menos, metade

dos valores dos momentos elásticos, não

podendo também ultrapassá-los em mais

de 25%;

• Se a determinação for feita por um

método cinemático, a relação entre os

momentos no apoio e no vão de lajes

encastradas ou contínuas deve

apresentar, em módulo, um valor

compreendido entre 0,5 e 2.

Secção 5.6.2 (2)

• A área da armadura de tracção é limitada

de tal forma que, em qualquer secção:

x/d ≤ 0,25 para betões de classe

inferior a C50/60;

x/d ≤ 0,15 para betões de classe

superior a C55/67.

• Utilizar armaduras dúcteis, da classe B ou

C;

• A razão entre os momentos no apoio e a

meio vão deve estar compreendida entre

0,5 e 2.

3.8. Lajes contínuas (painéis de lajes adjacentes)

Para o dimensionamento de lajes contínuas é necessário definir o carregamento que conduz

à situação mais desfavorável (verificação da segurança em relação aos Estados Limites

Últimos). Nas lajes estão aplicadas acções permanentes e acções variáveis (usualmente é a

sobrecarga de utilização), e poderá considerar-se que a acção variável está, ou não, a

actuar em simultâneo em toda a laje. Para as acções permanentes não se pode considerar,

obviamente, esta hipótese.

Para a análise do carregamento que conduz à situação mais gravosa pode-se utilizar as

linhas de influência. Nesta análise as secções críticas a considerar são, as secções a meio

vão da laje e as secções sobre os apoios.



Figura 77 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento positivo máximo

na secção S.

Figura 78 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo

na secção C.

Atendendo à configuração das linhas de influência de momentos nos apoios compreende-se

que a obtenção do momento máximo negativo num apoio de continuidade, obtém-se

aplicando a carga máxima nos painéis adjacentes (carga permanente e sobrecarga).

Figura 79 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo

no apoio entre os painéis 4 e 5 (Carla Marchão, Júlio Appleton).

Atendendo à configuração da linha de influência de momentos a meio vão compreende-se

que os momentos positivos máximos obtêm-se aplicando a carga permanente e a

sobrecarga nesse vão (painel) e apenas a carga permanente nos vãos (painéis) adjacentes.



Figura 80 – Carregamento para se obter o momento positivo máximo no painel 5 (Carla

Marchão, Júlio Appleton).

3.8.1. Equilíbrio dos momentos negativos

Como se referiu atrás, na análise estrutural de um piso com lajes apoiadas em vigas é usual

decompor-se o pavimento em lajes isoladas. Também se referiu e justificou que, quando há

lajes adjacentes à viga de apoio considera-se que esse bordo é encastrado. Se lajes

adjacentes tiverem condições de apoio e vãos diferentes, então os momentos no

encastramento serão diferentes em ambos os lados. Como a viga é considerada como um

apoio de continuidade (a rigidez à torção da viga não é significativa) há necessidade de

proceder ao equilíbrio desses momentos (ver Figura 81).

O momento Mab estará compreendido entre os valores Ma e Mb e dependerá da rigidez dos

painéis adjacentes. Se os apoios dos painéis forem similares, então poder-se-á considerar a

rigidez dos painéis, de forma simplificada, como o inverso do vão.

Mab = ηa.Ma + ηb.Mb =

Se os painéis forem similares pode considerar-se, simplificadamente, que Mab = (Ma + Mb)/2.

Se os painéis adjacentes tiverem condições de apoio e vãos muito diferentes, os momentos

de encastramento, Ma e Mb, serão também muito diferentes. Nestes casos o valor do

momento no apoio de continuidade Mab determinado por (Ma + Mb)/2 poderá ser muito

bba

aa

ba

b M.L/1L/1

L/1M.L/1L/1

L/1+

++



diferente do determinado por uma análise linear elástica mais rigorosa. Uma forma de limitar

a redistribuição de esforços e assim evitar que a distribuição de momentos determinada

desta forma simplificada seja muito diferente da distribuição linear elástica, é condicionar o

momento Mab. Este momento deve ser maior ou igual a 0,8 do momento maior (Ma ou Mb).

Simplificadamente, Mab = máx (Ma + Mb)/2

0,8.máx (Ma, Mb)

Figura 81 – Equilíbrio dos momentos negativos num apoio de continuidade

Quando Mab é determinado pela condição 0,8.máx (Ma, Mb) é necessário analisar com

prudência a zona de momentos negativos no painel que teve o acréscimo de momentos (Mab

> M). Por outro lado, no painel que teve um decréscimo do momento negativo (Mab < M) é

necessário determinar o momento positivo resultante do ajuste necessário ao equilíbrio

estático (ver Secção 3.8.3). Este momento poderá ser o momento positivo dimensionante da

laje.

Ma

Mb

Corte AA´

A A'

MaCorte AA´ Mab

Corte AA´ Mab

Mb

Ma

MbCorte AA´



Figura 82 – Equilíbrio dos momentos negativos numa situação em que os vãos adjacentes

são muito diferentes.

3.8.2. Análise da região da laje com momentos negativos Nas lajes com apoios nas 2 direcções e cuja relação Lx/Ly está entre 0,5 e 2, verifica-se a

evolução dos momentos mx não é constante na direcção y, e vice-versa. Este aspecto é

pertinente porque é necessário ter uma noção do desenvolvimento dos momentos principais

para dispor convenientemente as armaduras longitudinais principais. As tabelas referidas na

secção 3.7.2 não dão esta informação e indicam apenas o valor dos momentos máximos.

Quando não existir informação mais rigorosa pode-se usar os diagramas simplificados

(tabelas da autoria de F. Czerny).

Figura 83 – Diagramas simplificados, laje duplamente encastrada.

Ma

Mb

Mab = 0,8máx.Ma

Aumento do momento positivo

Aumento da região com momentos negativos

- 0,2.Lx

Lx

0,2.Lx

Ly

-

0,2.Lx

-

+

-+

0,2.Lx



Figura 84 – Diagramas simplificados, lajes com diferentes condições de apoio.

+

0,2.Lx

0,2.Lx

Ly

-

- 0,2.Lx

Lx

0,2.Lx

Ly

+

+

0,2.Lx

- 0,2.Lx

0,2.Lx0,2.Lx

Lx

0,2.Lx

0,2.Lx

Lx

0,2.Lx

LyLy

+

-

-

+

0,2.Lx

Lx

-+

Ly

0,2.Lx

Lx

+

+

-

+

0,2.Lx0,2.Lx

0,2.Lx

+

0,2.Lx

0,2.Lx

Ly

- 0,2.Lx 0,2.Lx

Lx

0,2.Lx

0,2.Lx

0,2.Lx

+-

+

-

-

-

Ly

0,25.Lx



Considerando apenas os diagramas simplificados constata-se que há momentos negativos

até uma distância 0,2Lx ou 0,25Lx do apoio (Lx é o menor dos vãos), dependendo das

condições de apoio da laje. Portanto, a armadura superior só pode ser interrompida a partir

da seguinte distância do apoio:

(0,2.L ou 0,25L) + al + lb,net

al é a translação do diagrama de forças a absorver pelas armaduras e assume o valor 1,5.d

(REBAP) ou d (EC2), e lb,net é o comprimento de amarração da armadura.

Como se referiu na secção anterior, por vezes, há necessidade de realizar o equilíbrio de

momentos nos apoios e, consequentemente, o momento de dimensionamento pode ser

superior ao determinado inicialmente pelas tabelas. Nestes casos aconselha-se a corrigir de

forma proporcional o comprimento da região com momentos negativos: (0,2L ou 0,25L))) .

Assim, o comprimento da armadura superior deve ser igual a:

(0,2.L ou 0,25L) + al + lb,net

Figura 85 – Correcção do comprimento da região com momentos negativos.

Lx1 e Lx2 é o menor dos vãos da laje armada em 2 direcções.

No painel de laje que tem o momento de dimensionamento Mab inferior ao determinado

inicialmente pelas tabelas, não há necessidade de corrigir o comprimento da região com

Aumento da região com momentos negativos

Ma

Mb

0,2.L x1 0,2.Lx2

M ab

0,2.L .(M /M )x2 ab b

b

ab

MM

b

ab

MM



momentos negativos. Há uma diminuição desse comprimento e, portanto, o valor inicial está

do lado da segurança.

De seguida apresentam-se alguns exemplos de lajes cujos esforços foram determinados

com base num programa de elementos finitos. Nestas figuras salienta-se o comprimento da

região com momentos negativos.

Caso 1:

Laje simplesmente apoiada nos bordos e com um apoio entre os painéis de laje a 5 m da

extremidade direita. Nesta modelação considerou-se que a rigidez à torção das vigas era

nula para se aproximar mais dos resultados das tabelas. Todavia, salienta-se que neste

caso a consideração, ou não, da rigidez à torção das vigas praticamente não altera o

diagrama de momentos. De acordo com os diagramas simplificados, sem efectuar a

correcção, o comprimento da região com momentos negativos seria 0,2L =1,0 m.

Este caso serve para ilustrar a importância da correcção do comprimento da região com

momentos negativos.

Figura 86 – Diagrama de momentos mx do caso 1.

Caso 2:

Laje exactamente igual ao caso anterior excepto a posição do apoio entre painéis, agora

está a 3 m da extremidade direita. De acordo com os diagramas simplificados, sem efectuar

a correcção, o comprimento da região com momentos negativos seria 0,2L = 0,6 m. Neste

caso a diferença entre o valor sem correcção e o determinado com base no programa é

ainda maior e a razão é porque numa análise considerando as lajes isoladas o momento à

≅ 1,20 m 8,0 m 5,0 m

5,0 m



direita e à esquerda do apoio seriam muito diferentes (e, portanto, maior seria a correcção).

Por isso, mais uma vez, realça-se a importância da corrigir do comprimento da região com

momentos negativos.


Caso 3:

Laje simplesmente apoiada nos bordos superior e inferior, encastrada nos bordos à direita e

à esquerda e com um apoio entre os painéis a 6,5 m da extremidade direita. De acordo com

os diagramas simplificados, sem efectuar a correcção, o comprimento da região com

momentos negativos seria 0,2L = 1,0 m.


≅ 1,05 m

10,0 m 3,0 m

5,0 m

≅ 1,10 m

6,5 m 6,5 m

5,0 m

≅ 1,10 m ≅ 1,10 m ≅ 1,10 m



Figura 89 – Diagrama de momentos my do caso 3.

3.8.3. Determinação dos momentos máximos positivos

Na Secção 3.8 justificou-se, com base nas linhas de influência, que os momentos positivos

máximos obtêm-se aplicando a carga permanente e a sobrecarga nesse vão (painel) e

apenas a carga permanente nos vãos (painéis) adjacentes (ver Figuras 80 e 90).

Figura 90 – Carregamento para se obter o momento positivo máximo no vão (Carla

Marchão, Júlio Appleton).

A técnica proposta por Marcus consiste em decompor a carga da seguinte forma (considere

o carregamento da Figura 90):

Figura 91 – Decomposição do carregamento (Carla Marchão, Júlio Appleton).



Para a situação em que a carga é cp+sc/2 (carga permanente + sobrecarga a dividir por 2),

atendendo à deformada da laje, é admissível considerar que a rotação sobre os apoios de

continuidade é praticamente nula e, portanto, os bordos com continuidade podem ser

considerados encastrados.

Para a situação em que a carga é sc/2 (sobrecarga a dividir por 2), verifica-se que a rotação

sobre os apoios é significativa e será razoável considerar que os bordos com continuidade

sejam considerados simplesmente apoiados. Os restantes bordos mantêm as condições de

apoio iniciais.

Figura 92 – Modelos de cálculo para os momentos positivos.

Condições de apoio iniciais(como têm um efeito desfavorável x 1,5)

Determinar os momentos positivos

Cargas permanentes + sobrecarga/2 Sobrecarga/2

(como tem um efeito desfavorável x 1,5)

Condições de apoio iniciaisCargas permanentes + sobrecarga/2

(como têm um efeito desfavorável x 1,5)

Sobrecarga/2



Condições de apoio iniciaisCargas permanentes + sobrecarga/2

(como têm um efeito desfavorável x 1,5)

Sobrecarga/2





Resumindo, para dimensionar uma laje com painéis contínuos deve considerar-se 2

hipóteses de carga: uma para os momentos positivos e outra para os momentos negativos.

No entanto, na análise do momento máximo positivo deve considerar-se ainda os esforços

resultantes do equilíbrio dos momentos negativos (Secção 3.8.1). Chamou-se a atenção que

há um aumento do momento positivo resultante do ajuste necessário ao equilíbrio estático

no painel em que M (momento negativo no apoio antes do equilíbrio em valor absoluto) >

Mab (momento negativo no apoio após equilíbrio em valor absoluto), ver Figura 82. Este

momento poderá ser superior ao determinado pelo método apresentado atrás.

Nos casos em que Mab > 0,8.máx (Ma, Mb), ou seja, Mab é determinado pela expressão

(Ma + Mb)/2, é usual que o momento máximo positivo seja determinado pelo método de

Marcus. Quando Mab é determinado pela expressão 0,8.máx (Ma, Mb) deve determinar-se o

momento positivo resultante do equilíbrio dos momentos negativos, e verificar se este

momento é o momento dimensionante. Nos casos duvidosos deve-se sempre verificar se o

ajuste do diagrama de momentos é condicionante para o cálculo da armadura inferior.

Se a laje for armada numa só direcção o momento positivo máximo poderá ser determinado,

aproximadamente, da seguinte forma:

Figura 93 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio.

M

M/2

Mb

Ma

Aumento do momento positivo

Mab

Mab

Ma

M

L/2

M/2

M'

M' M/2



Esta forma de determinar o momento positivo máximo após o equilíbrio de momentos no

apoio é uma aproximação porque o M’ (momento positivo máximo antes do equilíbrio de

momentos) não é necessariamente na secção a meio vão (L/2).

Se existir equilíbrio de momentos nos 2 apoios da laje, o raciocínio é semelhante para

determinar o momento positivo máximo.

Figura 94 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos nos 2 apoios.

Se a laje for armada nas 2 direcções o momento positivo máximo terá de ser determinado

de modo diferente porque a alteração do momento num dos apoios afecta os esforços da

laje nas 2 direcções. Quando não existir informação mais rigorosa será razoável realizar

uma interpolação usando os esforços dados pelas tabelas. Para a interpolação poderá usar-

se os momentos de uma laje com as mesmas condições de apoio, excepto no apoio onde

há o equilíbrio de momentos negativos que deverá considerado simplesmente apoiado (ou

seja, momento nulo no apoio) e os momentos da laje considerando as condições de apoio

inicialmente definidas, incluindo o encastramento no apoio em estudo.

Exemplo:

p = 1,5.cp +1,5sc= 1,5.(5+1,5+2)+1,5.2 = 15,75 kN/m2

Interpolação (ver Figura 95):

Mxvs = -42,9 ______________ Mxs = + 5,6

Mxvs = 0 ______________ Mxs = + 11,6

Mxvs = -34,3 ______________ Mxs = ?

Mxvs = -42,9 ______________ Mys = + 14,4

Mxvs = 0 ______________ Mys = + 24,1

Mxvs = -34,3 ______________ Mys = ?

Mxs = 6,8 kN.m

Mab2M2

Ma2

Mb2

M1 Ma1Mab1

Mb1

M'

M' + M1 + M2)/2(

m.kN8,66,11)03,34.()06,42()6,116,5(6,11)0x.(

)06,42()6,116,5(bx.my =+−

−−

=+−−

−=+=



Mys = 16,3 kN.m

Figura 95 – Exemplo duma interpolação para determinar os momentos positivos após o

ajuste do momento negativo.

Usando os coeficientes de transmissão indicados na tabela seguinte é também possível

calcular os momentos positivos após o equilíbrio dos momentos negativos. Esta tabela é da

autoria de F. Czerny (a informação foi traduzida e organizada pelo Eng. Paulo Maranha).

Este procedimento para o cálculo dos momentos positivos é eventualmente mais simples do

Condições de apoio iniciais1,5x(cargas permanentes + sobrecarga)

5 m

4 m

Mys = +14,4 kN.m

Mxvs=-42,9 kN.m

Mxs = +5,6 kN.m

Mxvs = 0

Mxvs=-34,3 kN.m

Mxs = ?

Mys = ?

Momento no apoio após o equilíbrio demomentos negativos

Admitir que M = 0,8x(-42,9) = -34,3 kN.m

Mxvs=-34,3 kN.m

Interpolando determina-se os valores dos momentos positivos

Mxs = +11,6 kN.m

Mys = +24,1 kN.m

Mxs =6,8 kN.m

Mys =16,3 kN.m

m.kN3,161,24)03,34.()06,42()1,244,14(1,24)0x.(

)06,42()1,244,14(bx.my =+−

−−

=+−−

−=+=



que o método indicado anteriormente e é bastante rigoroso, uma vez que considera o

momento sinusoidal ao longo do bordo.

Outro exemplo de aplicação considerando os 2 métodos: p = 1,5.cp +1,5sc = 15,75 kN/m2

1,5x(cargas permanentes + sobrecarga)

M = -30.32 kN.m

6 m

5 m

M = +14,06 kN.m

M = +6,4 kN.m

M = -24.26 kN.m

M = ?

M = ?

Momento no apoio após o equilíbrio demomentos negativos

Admitir que M = 0,8x(-30.32) = -24.26 kN.m

M = 0

M = +17.25 kN.m

M = +10.2 kN.m

M = -24.26 kN.m

M =14.7 kN.m

M =7.17 kN.m

Interpolando determina-se os valores dos momentos positivos

Condições de apoio iniciais



Usando o método dos coeficientes de transmissão recorrendo à tabela indicada acima:

• O momento x está aplicado no bordo maior e assume o valor 6,07 = ΔM = -24,26 –

(-30,32);

• A relação entre vãos é 6/5 = 1,2 e atendendo às condições de apoio o tipo de laje

corresponde ao Caso 2;

• Os coeficientes de transmissão são: γxm = 0,082 e γym = 0,106;

• O aumento dos momentos positivos quando há um momento sinusoidal no valor de

ΔM = + 6,07 kN.m aplicado no bordo é igual a: ΔM+x = 0,082 x 6,07 = 0,50 kN.m e

ΔM+y = 0,106 x 6,07 = 0,64 kN.m. Atendendo à simbologia usada no apoio, ver tabela

com os coeficientes de transmissão, depreende-se que as tensões normais são

perpendiculares à direcção da linha;

• Atendendo à configuração da laje em estudo e da laje na tabela verifica-se que é

necessário rodar a laje 90º;

• Assim, o momento positivo final na direcção x é 14,06 + 0,50 = 14,56 kN.m e o

momento positivo final na direcção y é 6,4 + 0,64 = 7,04 kN.m.

O valor dos momentos positivos determinado pelos 2 métodos é bastante semelhante.

3.8.4. Análise de uma laje com uma laje adjacente em consola A laje em consola é dimensionada com base na distribuição de esforços resultante do

modelo em consola e considerando a carga máxima nesse vão. Como este modelo

estrutural é uma estrutura isostática significa que existe apenas uma distribuição de esforços

em equilíbrio com as acções aplicadas e, portanto, o momento no encastramento não pode

ser diminuído.

Figura 96 – Modelo da laje em consola.

C.P + SOB

LI.M -

LI.M +

-

-

+

DMF



A laje em consola é uma laje armada numa só direcção. Chama-se atenção para a

consideração da armadura de distribuição nestas lajes, deve ser aplicada não só na face

onde existe a armadura principal (face superior) mas também na face oposta à da aplicação

das cargas (face inferior).

A laje adjacente à laje em consola analisa-se de modo semelhante ao indicado nas secções

anteriores. Poderá, no entanto, surgir a dúvida em relação ao tipo de apoio a considerar na

ligação à laje em consola. O procedimento mais simples e que conduz também aos

resultados mais desfavoráveis é considerar esse bordo da laje como simplesmente apoiado.

Com estas condições de apoio os esforços da laje serão maiores (situação mais

desfavorável) comparativamente com os esforços resultantes da consideração da

continuidade para a laje em consola (ver Figura 96, nomeadamente, a LI M+, linha de

influência do momento a meio vão da laje). Acrescenta-se ainda que, quando o painel

interior é armado nas 2 direcções e os esforços são determinados com recurso às tabelas,

pode surgir novamente a dúvida em como considerar o apoio de continuidade para laje em

consola, encastrado ou simplesmente apoiado. Neste caso as lajes adjacentes ao apoio de

continuidade são muito diferentes e, consequentemente, a rotação da laje sobre o apoio

será diferente de zero. Mais um aspecto que justifica, na análise do painel interior, a

consideração do apoio de ligação à laje em consola como simplesmente apoiado.

Figura 97 – Cálculo do momento positivo numa laje com uma laje adjacente em consola.

Se o momento negativo da consola devido apenas às cargas permanentes for significativo e

se a consola existir em toda a extensão da laje interior poder-se-á tirar vantagem desse

C.P DMF

DMF

M (C.P)

=

+M1

M=M1-Mcp/2



momento para diminuir ligeiramente o momento positivo na laje interior. Se a laje adjacente

à consola for armada numa só direcção a redistribuição de esforços é, aproximadamente, a

indicada na Figura 97. Mais uma vez realça-se que o momento máximo positivo M1 (antes

da redistribuição de esforços) não é necessariamente na secção a meio vão.

Se a laje adjacente à consola for armada em 2 direcções e se se pretender realizar uma

redistribuição de esforços de modo a aproveitar o momento negativo da consola (devido às

cargas permanentes), então deve fazer-se uma interpolação, à semelhança do

exemplificado na secção anterior. Se se utilizar os coeficientes de transmissão para

determinar os momentos positivos, chama-se a atenção que neste caso o momento no

bordo é uniforme e não sinusoidal (ou seja, deve usar-se o coeficiente de correcção indicado

na tabela).

Realça-se ainda que é importante analisar correctamente a região com momentos negativos

na zona adjacente à consola. Esta análise é importante para determinar a distância, com

origem no apoio, até onde as armaduras superiores devem ser aplicadas. Essa distância é

x0 + al + lb,net, onde x0 é a distância do apoio à secção onde os momentos se anulam, al é a

translação do diagrama de forças a absorver pelas armaduras e lb,net é o comprimento de

amarração da armadura.

3.8.5. Distribuição das armaduras, interrupção e dispensa das armaduras longitudinais

Os desenhos com a disposição das armaduras devem apresentar toda a informação

necessária à sua execução. Normalmente apresenta-se um desenho para as armaduras

superiores e outro para as armaduras inferiores. Se a informação continuar pouco

perceptível pode apresentar-se as armaduras superiores em 2 desenhos e as armaduras

inferiores noutros 2 desenhos (armaduras na direcção x e y). Adicionalmente deve-se ainda

apresentar um corte.

A vantagem ou desvantagem em realizar uma interrupção ou dispensa de armaduras está

relacionada com a economia da quantidade de aço e com a facilidade, ou não, em executar

a solução proposta. A distribuição das armaduras numa laje deve ser regular (deve haver,

tanto quanto possível, uma homogeneização das armaduras e espaçamentos a utilizar) para

evitar erros de interpretação e simplificar a execução em obra.



Figura 98 – Exemplo de desenho com a distribuição das armaduras (laje simplemente

apoiada armada numa só direcção).

Nas lajes armadas em 2 direcções o procedimento para a realizar a interrupção das

longitudinais é igual ao definido para as lajes armadas numa só direcção (ver Secção 3.6.4).

Todavia, se o dimensionamento das lajes for realizado com base nos esforços determinados

pelas tabelas, não se conhece o diagrama de momentos e, portanto, é difícil determinar a

secção a partir da qual a armadura pode ser interrompida.

Observando os diagramas de esforços simplificados (ver Secção 3.8.2) e os diagramas de

momentos obtidos a partir de um programa de elementos finitos apresentados ao longo

deste documento, verifica-se que:

• os momentos positivos diminuem significativamente na zona junto aos apoios com

liberdade de rotação;

As,y+ = 0,20 As,x

+

A

s,y

+

As-

As- = 0,20 As,dist

-

A

s-

As- = 0,20 As,dist

-

A

s-

= 0,

20

As,

dist

-

A

s-

= 0,

20

As,

dist

-

As-

As- 0,

25.L

x0,

25.L

x

0,25.Lx0,25.Lx

Lb,net Lb,net

Lb,

net

Lb,

net

A

A'

A

A'

Armaduras inferiores

Armaduras superiores

Corte AA'

0,25.Lx

As,y+

As,y+ = 0,20 As,x

+

0,25.Lx As- As

- = 0,20 As,dist-

h



• os momentos negativos têm um decréscimo muito acentuado;

• os momentos negativos junto aos cantos são inferiores aos da zona central.

De acordo com os regulamentos (REBAP e EC2) a armadura nos apoios deve ser pelo

menos metade da armadura máxima existente no vão. Para os casos correntes, em que as

lajes adjacentes são semelhantes ao painel em estudo, é possível definir algumas regras

simplificadas para a distribuição de armaduras. Salienta-se que as soluções apresentadas

não são as únicas possíveis e que nos casos fora do comum deve realizar-se a uma análise

detalhada da distribuição das armaduras.

Considere-se, por exemplo, uma laje encastrada em todos os bordos. A armadura inferior

pode ser interrompida e dispensada na zona junto aos apoios. O comprimento dessa faixa

será L’ – al – lb,net. No entanto, o valor de L’ não está definido nos diagramas simplificados

apresentados na Figura 84, sabe-se apenas que será superior a 0,2.Lx. L’ é a distância do

apoio à secção a partir da qual a área de aço As+/2 é suficiente para resistir ao momento

aplicado. No limite o valor de L´ é 0,2.Lx e a armadura poderá ser interrompida e dispensada

a uma distância 0,2.Lx – al – lb,net. Neste casos o valor de lb,net poderá eventualmente assumir

valores mais pequenos que o usual porque área de aço requerida pelo cálculo é nula, M = 0

(determinar o valor mínimo a adoptar para o comprimento de amarração, lb,net não deve ser

inferior a 10∅, 100 mm, 0,3lb no caso de armaduras traccionadas).

Figura 99 – Armadura na face inferior da laje.

/2s,x A

A-

0,2.Lx

-

Ly

-

-

+

+

0,2.Lx

0,2.Lx

Lx

/

2s,

y

A

/

2 b,ne

t

- al

- L

x0,

2.L

/2

s,y

A

+s,x

- al - Lx0,2.L

0,2.Lxb,

net

-

al -

Lx

0,2.

L

b,net - al - Lx0,2.L

+

b,net

+

+



Para a interrupção da armadura superior (ver Secção 3.8.2) chama-se, mais uma vez, a

atenção para o comprimento da zona com momentos negativos após o equilíbrio dos

momentos negativos: (0,2.L ou 0,25L) + al + lb,net

Figura 100 – Armadura principal superior (falta representar a armadura de distribuição).

Quando não existir informação mais rigorosa poderá utilizar-se as regras simplificadas

indicadas acima, tendo por base os diagramas simplificados representados na Figura 84.

Como informação complementar representa-se abaixo alguns desenhos com a disposição

das armaduras para painéis com diferentes condições de apoio.

Figura 101 – Desenho com uma distribuição das armaduras, laje com os 4 bordos encastrados

(A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida).

Lx

0,2.Lx

0,2.Lx

0,2.Lx

+-

+

-

-

0,2.Lx

-Ly

0,2.LxMab1Mb

+ al + Lb,net0,2.Lx Mab2Mb

+ al + Lb,net

As,x2-

A

- s,y3

0,2.

L xM M

+ a

l + L

b,ne

tab

3 a0,

2.L x

M Ma +

al +

Lb,

net

As,x1-

ab4

A

- s,y4

b

ab

MM



Figura 102 – Desenho com uma distribuição das armaduras, laje com os 3 bordos

encastrados e um simplesmente apoiado (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida).

Figura 103 – Desenho com uma distribuição das armaduras, laje com os 2 bordos

encastrados e 2 bordos simplesmente apoiados (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida).



3.9. Lajes com aberturas

Se as dimensões das aberturas forem inferiores a determinados limites, as lajes podem ser

dimensionadas admitindo que não existem aberturas. Nestes casos deve apenas haver um

cuidado especial com os detalhes construtivos nas zonas próximas das aberturas. Os limites

acima referidos são indicados abaixo (Carla Marchão e Júlio Appleton).

Laje armada numa direcção

• dimensão máxima da abertura: b < L1/5 e b < L2/4

Figura 104 – Laje armada numa direcção com uma abertura (Carla Marchão e Júlio

Appleton).

Cuidados a considerar na disposição das armaduras: armadura principal de reforço deve ser

prolongada até aos apoios e reforçar a armadura de distribuição junto aos bordos.

Figura 105 – Disposição das armaduras numa laje armada numa direcção com uma

abertura de pequenas dimensões (Carla Marchão e Júlio Appleton).



Laje armada em duas direcções

• dimensão máxima da abertura: máx (b1,b2) ≤

Figura 106 – Laje armada em 2 direcções com uma abertura (Carla Marchão e Júlio

Appleton).

Figura 107 – Disposição das armaduras numa laje armada em 2 direcções com uma

abertura de pequenas dimensões (Carla Marchão e Júlio Appleton).

Quando as aberturas tiverem dimensões superiores a 0,5 m é conveniente colocar uma

armadura suplementar junto aos cantos, segundo a diagonal, para controlar a fendilhação.

Figura 108 – Armadura suplementar junto aos cantos (Carla Marchão e Júlio Appleton).

5)L,Lmin( 21



Quando as aberturas forem de dimensões significativas, com valores superiores aos

indicados anteriormente, a zona da laje adjacente à abertura pode ser analisada pelo

método das bandas (ver Figura 76 representada novamente abaixo).

Figura 109 – Diagrama de momentos myy numa laje com apoios apenas numa direcção.

Figura 110 – Diagrama de momentos myy e mxy numa laje com apoios apenas numa

direcção e com uma abertura de pequenas dimensões.

1

2

3

reac

ção

da fa

ixa

2

Faixa 3

Reacção da faixa 1

Carga directamente aplicada

R2

R2

R2R2

Faixa 2



Figura 111 – Diagrama de momentos myy e mxy numa laje com apoios apenas numa

direcção e com uma abertura de grandes dimensões.

Figura 112 – Diagrama de momentos myy e mxx numa laje com apoios nas duas direcções.

Figura 113 – Diagrama de momentos myy e mxx numa laje com apoios nas duas direcções e

com uma abertura de pequenas dimensões.



Figura 114 – Diagrama de momentos mxx e mxy numa laje com apoios nas duas direcções e

com uma abertura de grandes dimensões.

3.10. Lajes sujeitas a forças concentradas As tabelas correntes permitem a determinação dos momentos máximos para cargas

uniformemente distribuídas pelas lajes ou então para cargas com uma distribuição triangular

(variação linear ao longo da laje).

Para se determinar os esforços em lajes sujeitas a forças concentradas ter-se-á de recorrer

a programas de elementos finitos, ou então, no caso de lajes armadas numa só direcção

usar a metodologia descrita no art.º 103 do REBAP. Ver também o art.º 111 referente à

disposição das armaduras em lajes armadas numa só direcção e sujeitas cargas

concentradas.

No EC2 há apenas referências genéricas ao modo como analisar as lajes sujeitas a cargas

concentradas: “O objectivo de uma análise estrutural é o de determinar a distribuição, quer

de esforços, quer de tensões, extensões e deslocamentos, em toda ou parte da estrutura.

Sempre que necessário deve ser efectuada uma análise local complementar.” “Poderá ser

necessário efectuar análises locais quando não seja válida a hipótese de distribuição linear

de extensões, por exemplo: em zonas sob a acção de cargas concentradas.” Na Secção 7

do EC2, Estados Limites de Utilização, é referido que “Deverá ter-se em atenção os riscos

particulares de formação de fendas de grande largura em secções onde ocorram variações

bruscas de tensão, por exemplo: na proximidade de cargas concentradas.” Finalmente, na



Secção 9 do EC2, disposições construtivas, é referido que “O espaçamento dos varões não

deverá ser superior a smax,slabs.” O valor de smax,slabs a utilizar num determinado país poderá

ser dado no respectivo Anexo Nacional. O valor recomendado para zonas com cargas

concentradas ou nas zonas de momento máximo é: 2h ≤ 250 mm para as armaduras

principais e 3h ≤ 400 mm para as armaduras de distribuição.

Resumidamente, no art.º 103 do REBAP (lajes armadas numa só direcção sujeitas a cargas

concentradas) é mencionado que a laje funciona como uma viga com o mesmo vão, com os

mesmos apoios e com uma largura igual a bm.

bm = by + b1

by = a + 2.h1 + d

Figura 115 – Largura by segundo o REBAP.

O valor b1 está definido no Quadro XVI do REBAP e depende das condições de apoio e do

esforço que se pretende determinar. Para determinar os esforços na “viga” convém calcular

o valor da carga ao longo da largura bm, ou seja, deve dividir-se o valor da carga

concentrada P por bm, flexão e por bm,trans. Depois usa-se o valor P1 = P/bm,flexão para a

verificação da segurança em relação ELU de resistência à flexão e P2 = P/bm,trans para a

verificação da segurança em relação ELU de resistência ao esforço transverso.

Figura 116 – Modelo para determinar os esforços numa laje armada numa só direcção e

sujeita a uma carga concentrada (de acordo com o REBAP).

by

45º

a

h1+d/2

bm

1

(zonas onde actuam as cargas distribuídas apenas)

1

2

(zona onde actuam as cargas distribuídas e a carga concentrada)

1 2

P1 ou P2



Se o cálculo for realizado para uma laje com uma largura igual a 1 m então o resultado final

vem cm2/m. O valor total da área da armadura longitudinal obtém-se multiplicando o valor

anterior por bm,flexão. Esta armadura deve ser disposta numa largura igual a 0.5.bm,flexão mas

não deve ser inferior à largura by (ver art.º 111 do REBAP). Deve-se ainda colocar uma

armadura de distribuição na direcção perpendicular à armadura principal (na face oposta à

aplicação da carga) com a seguinte área, As,dist = 0.6.As. Esta armadura deve ser aplicada

numa largura igual a 0.5.bm mas não menor que a largura bx. Esta armadura deve ser

disposta num comprimento igual a bm mais o comprimento de amarração para cada lado.

Salienta-se que no caso de forças concentradas aplicadas directamente nas lajes é

necessário fazer a verificação da segurança em relação ao ELU de resistência ao

punçoamento.

Figura 117 – Diagrama de momentos myy numa laje com apoios apenas numa direcção e

sujeita a força concentrada.

Figura 118 – Diagrama de momentos myy e myy numa laje com apoios nas 2 direcções e

sujeita a 3 forças concentradas.



3.11. Lajes aligeiradas de betão armado

As lajes aligeiradas de betão armado são constituídas por nervuras numa direcção ou em

duas direcções ortogonais, solidarizadas por uma lâmina de compressão. Considerando os

condicionalismos indicados abaixo os esforços actuantes são determinados como se fosse

um laje maciça e os esforços resistentes como se se tratasse de um conjunto de vigas em T.

Quando existirem forças concentradas deve haver nervuras nas 2 direcções. Nestas lajes

devem dispor-se maciçamentos adequados junto dos apoios.

REBAP EC2

Art.º 112 até ao art.º 117

Largura e espaçamento das nervuras:

• Largura mínima da nervura, 5 cm;

• Distância máxima entre as faces da

nervura, 80 cm;

• No caso de lajes armadas numa

direcção devem dispor-se armaduras

transversais de solidarização cuja

distância entre eixos deve ser menor

ou igual a 10 vezes a espessura da

laje e a altura destas nervuras deve

ser maior ou igual a 0,8 vezes a

espessura da laje;

Espessura mínima da lajeta:

A espessura mínima da lajeta deve ser

maior ou igual a 5 cm (sem blocos de

cofragem incorporados). Este valor pode ser

reduzido para 3 ou 4 cm no caso de

existirem os tais blocos de cofragem

incorporados, e o valor limite a considerar

depende se a distância entre as faces de

nervuras consecutivas excede, ou não, 50

cm.

Secção 5.3.1 (6)

Para efeitos de análise, as lajes nervuradas

ou aligeiradas podem não ser tratadas como

elementos de barra, desde que a lajeta ou

lâmina de compressão e as nervuras

transversais tenham rigidez de torção

suficiente. Tal poderá admitir-se desde que:

• o afastamento das nervuras não

exceda 1500 mm;

• a altura da nervura abaixo da lajeta

não exceda 4 vezes a sua largura;

• a espessura da lajeta não seja

inferior a 1/10 da distância livre entre

nervuras ou a 50 mm;

• a distância livre entre nervuras

transversais não exceda 10 vezes a

espessura total da laje.

A espessura mínima das lajetas poderá ser

reduzida de 50 mm para 40 mm nos casos

em que se utilizem blocos incorporados

entre as nervuras.



Figura 119 – Valores limite a considerar numa laje aligeirada (segundo o REBAP).

Como se referiu acima os esforços resistentes nas aligeiradas são determinados como se

tratasse de um conjunto de vigas em T. A questão que agora se coloca é determinar qual a

largura do banzo comprimido a considerar nos cálculos.

REBAP EC2

Art.º 88

Largura do banzo comprimido b deve ser o

menor dos seguintes valores:

• bw + 2L0/10;

• bw + 0,5.b1 + 0,5.b2

bw é a largura da alma da secção

b1 e b2 é a distância entre as faces das

nervuras

L0 é a distância entre secções de momento

nulo:

• L0 = 0,7 x vão teórico – vigas

contínuas (caso geral);


contínuas (tramos centrais);


contínuas (tramos extremos –

encastrado/simplesmente apoiado).

Secção 5.3.2.1

Nas vigas em T, a largura efectiva do banzo

comprimido, ao longo da qual se podem

admitir condições de tensão uniforme,

depende das dimensões da alma e do banzo,

do tipo de acção, do vão, das condições de

apoio e das armaduras transversais.

A determinação da largura efectiva do banzo

depende do valor L0, distância entre pontos

de momento nulo (ver Figura 121).

Para a análise estrutural, nos casos em que

não seja necessária uma grande precisão,

poderá admitir-se uma largura constante ao

longo de todo o tramo. Deverá, então,

adoptar-se o valor aplicável à secção do vão.

A largura efectiva do banzo beff para uma

viga em T ou para uma viga em L poderá ser

considerada igual a:

• beff =Σ beff,i + bw

em que:

• beff,i = 0,2bi +0,1L0 ≤ 0,2 L0

• beff,i ≤ bi

> 5 cm

> 5cm

< 80 cm



Figura 120 – Largura efectiva do banzo das vigas em T (segundo o REBAP).

Figura 121 – Definição da distância L0 (segundo o EC2).

NOTA: O vão da consola, l3, deverá ser inferior a metade do vão adjacente e a relação entre

os vãos de dois tramos adjacentes deverá situar-se entre 2/3 e 1,5.

Figura 122 – Definição dos parâmetros para a determinação de beff (segundo o EC2).

Cálculo da área das armaduras longitudinais nas vigas em T (ver Figura 123).

Momentos negativos

• se x < (h – hf), pode-se usar as tabelas para secções rectangulares

• se x > (h – hf) – usar tabelas para as secções em T

x – profundidade do eixo neutro



Na expressão do momento reduzido, , salienta-se que b é a largura da área

comprimida da secção. Para momentos negativos b é igual a bw mas junto dos apoios

poderá haver maciçamentos que alteram o valor de b a considerar no cálculo. Para

momentos positivos b é igual à largura do banzo superior.

Momentos negativos

Momentos positivos

Figura 123 – Área comprimida numa secção em T.

Segundo o REBAP (art.º 117) a lajeta deve ser armada nas duas direcções. A armadura

mínima na direcção principal deve respeitar o art. 90 e o espaçamento dos varões não deve

exceder 25 cm ou em certas situações 35 cm. No caso de lajes armadas numa só direcção

deve colocar-se numa direcção a armadura principal e na direcção perpendicular a

armadura de distribuição ou a armadura resultante da “regra das costuras”, o maior destes 2

valores. No caso das lajes aligeiradas a armadura de distribuição só pode ser colocada na

parte superior da laje, por razões evidentes. O dimensionamento das armaduras pela

chamada “regra das costuras”, pode ser realizado com base na seguinte expressão:

Onde As é a armadura existente no comprimento s, neste caso é uma armadura

perpendicular à superfície considerada. s é o espaçamento das armaduras e νsd é a força

tangencial por unidade de comprimento da superfície considerada.

A “regra das costuras” está definida no art. 74 do REBAP. Neste artigo é referido que

nalguns casos deve haver armaduras secundárias para garantir o bom funcionamento dos

elementos, para assegurar a ligação entre partes que têm tendência a separar-se e para

controlar a fendilhação. Quando há partes do elemento que têm tendência a deslizar devido

a tensões tangenciais, deve colocar-se uma armadura que atravesse essas superfícies (ver

syd

sds

fsA ν

≥

cd2 f.d.bM

=μ



artigos 74 e 97 do REBAP). Nos casos correntes em que os banzos são betonados

conjuntamente com a alma, poderá dispensar-se o dimensionamento específico desta

armadura, desde que a área da sua secção seja maior ou igual a metade da área total da

secção dos estribos e tenha o mesmo espaçamento. Quando os banzos estão submetidos a

flexão num plano perpendicular ao plano de flexão da viga, as armaduras de flexão poderão

ser consideradas para efeitos de armaduras de ligação (art.º 97).

Ainda segundo o REBAP, art.º 116, a armadura nas nervuras deve respeitar as

recomendações definidas para as vigas: armadura longitudinal máxima e mínima; armadura

para resistir ao esforço transverso (para as nervuras na direcção principal). Segundo alguns

engenheiros a obrigatoriedade da armadura transversal ser superior à mínima é discutível,

porque o esforço transverso pode, eventualmente, ser absorvido sem recurso às armaduras

transversais (comportamento global da laje).

Para as nervuras transversais de solidarização das lajes armadas numa só direcção, deve

colocar-se armadura longitudinal, As ≥ 0,1.As,principal.(d1/d2)]. Nestas nervuras deve também

colocar-se uma armadura de esforço transverso: armadura mínima de esforço transverso.

d1 – distância entre eixos das nervuras secundárias

d2 - distância entre eixos das nervuras principais

O EC2, na Secção 9.2.1.2, refere que “nos apoios intermédios de vigas contínuas, a área

total da armadura de tracção As de uma secção em T deverá ser distribuída ao longo da

largura efectiva do banzo (ver 5.3.2). Parte da armadura poderá ser concentrada na largura

da alma” (ver figura abaixo).

Figura 124 – Disposição da armadura de tracção numa secção em T (segundo o EC2).



4. LAJES FUNGIFORMES As lajes fungiformes são lajes apoiadas directamente em pilares, podem ser lajes maciças

ou aligeiradas (com moldes recuperáveis ou embebidos). Como nestas lajes não há vigas

salientam-se as seguintes vantagens e desvantagens:

• maior liberdade para o projectista definir uma estrutura sem interferir com o projecto

de arquitectura;

• maior facilidade em mudar as divisórias sem criar o problema das vigas ficarem mais

expostas à vista;

• maior facilidade em colocar condutas suspensas nas lajes (não há a obstrução das

vigas);

• maior facilidade na execução: colocação da cofragem e das armaduras;

• maior concentração de esforços junto dos pilares (flexão e punçoamanto). Nestas

lajes há a necessidade acrescida de verificar a segurança em relação ao estado

limite último de resistência ao punçomento. Poderá ser necessário colocar capiteis

(ou aumentar a espessura da laje junto dos pilares) para garantir a segurança.

• maiores deformações da laje junto dos pilares e maior deformabilidade em geral.

• maior flexibilidade às acções horizontais

Há um aspecto muito importante a considerar no dimensionamento das lajes fungiformes

que não se verifica nas lajes vigadas, as lajes fungiformes são calculadas para as acções

verticais e para as acções horizontais.

Para sobrecargas correntes em edifícios (5 kN/m2) a espessura da laje pode ser

determinada, para primeira iteração no processo de dimensionamento, a partir das

seguintes expressões (Carla Marchão e Júlio Appleton):

• Lajes maciças: h = Lmaior/(25 a 30) e o valor do momento reduzido deve ser:

o μ+ < 0,18 e μ- < 0,30

• Lajes aligeiradas: h = Lmaior/(20 a 25)

Valores correntes para a espessura da laje (Carla Marchão e Júlio Appleton)



A determinação de esforços neste tipo de lajes pode ser efectuada utilizado modelos de

grelhas, análise por elementos finitos de laje ou através do método simplificado de pórticos

equivalentes. Tanto o REBAP como o EC2 permitem a determinação dos esforços

actuantes, nos casos correntes, a partir deste método simplificado. Este método consiste

essencialmente em dividir a estrutura (constituída pela laje e pilares de apoio) em 2

conjuntos independentes de pórticos em direcções ortogonais.

REBAP EC2

Art.º 119

Cada pórtico é constituído por uma fila de

pilares e por travessas formadas pelos

troços de laje compreendidos entre meios

dos painéis de laje adjacentes a essa fila

de pilares; porém, para a determinação dos

esforços devidos a forças horizontais, a

rigidez a considerar para essas travessas

deve ser reduzida a metade do seu valor.

As cargas actuantes em cada pórtico são

as correspondentes à largura das suas

travessas, não se devendo considerar

portanto qualquer repartição das cargas

entre pórticos ortogonais.

Os momentos determinados nas travessas

devem ser distribuídos, nas suas faixas

central e lateral, de acordo com as regras

indicadas no Quadro XVII.

Anexo I

A rigidez dos elementos poderá ser calculada

a partir das secções transversais brutas.

Para cargas verticais, a rigidez poderá

basear-se na largura total dos painéis. Para

cargas horizontais, deverá ser utilizado 40 %

deste valor para traduzir a maior flexibilidade

das ligações entre os pilares e as lajes das

estruturas de lajes fungiformes quando

comparada com a das ligações pilares-vigas.

A carga total no painel deverá ser

considerada na análise em cada direcção.

Os momentos flectores totais obtidos na

análise deverão ser distribuídos por toda a

largura da laje. Na análise elástica, os

momentos negativos tendem a concentrar-se

na vizinhança dos eixos dos pilares.

Deverá considerar-se os painéis divididos em

faixas sobre pilares e em faixas centrais (ver

Figura 126), e distribuir-se os momentos

flectores conforme indicado no Quadro I.1

Resumo do Quadro XVII do REBAP e do Quadro I.1 do EC2.

Momentos negativos Momentos positivos

Faixa sobre pilares (central) 60 - 80% (REBAP 75%) 50 - 70% (REBAP 55%)

Faixa lateral 40 - 20% (REBAP 25%) 50 - 30% (REBAP 45%)

Nota: O total dos momentos negativos e positivos, ao qual devem resistir conjuntamente as faixas sobre pilares e as faixas laterais, deve ser sempre igual a100%.



Figura 125 – Faixas sobre pilares e faixas laterais.

Considere o seguinte exemplo:

Calcule os momentos flectores de dimensionamento da seguinte laje fungiforme (1º piso)

recorrendo ao método dos pórticos equivalentes. Considere apenas as acções verticais

(carga permanente total igual a 8,5 kN/m2 e sobrecarga igual a 2,0 kN/m2). Espessura da

laje 20 cm. Pilares 40 x 40 cm2. Materiais C20/30 e A400NR.

Figura 126 – Definição dos 2 conjuntos independentes de pórticos em direcções ortogonais.

lx (> ly)

ly

ly/4 ly/4

ly/4

ly/4

= lx - ly/2

= ly/2

= ly/2 A

B

B

Pórtico 1x

6,0 m

3,25 m

2,75 m

Pórtico 2x

Pórtico 3x

6 m 3 m3 m 6 mPórtico 1y Pórtico 2y Pórtico 3y Pórtico 4y

6 m 6 m 6 m

5,5 m

6,5 m



A carga vertical a considerar na análise aos estados limites últimos será 1,5.c.p + 1,5sc =

1,5x8,5 +1,5x2 = 15,75 kN/m2.

A carga a aplicar, por exemplo, no pórtico 1x será 2,75x15,75 = 43,3 kN/m.

Figura 127 – Pórtico 1x com o carregamento.

Figura 128 – Diagrama de momentos do pórtico 1x.

Quadro com os momentos flectores.

Pórtico Lpórtico (m) psd(kN/m)

Msd ext (+)(kN.m)

Msd inter (+)(kN.m)

Msd ext (-)(kN.m)

Msd inter(-) (kN.m)

Pórtico 1x 2,75 43,3 69,6 64,8 114,5 136,4

Pórtico 2x 6,00 94,5 163,3 139,1 219,1 307

Pórtico 3x 3,25 51,2 83,2 76,4 132,5 162,3

Pórtico Lpórtico (m) psd(kN/m)

Msd ext1 (+)(kN.m)

Msd ext2 (+)(kN.m)

Msd ext maior (-)(kN.m)

Msd inter(-) (kN.m)

Pórtico 1yPórtico 4y

3,00 47,3 90,7 62,7 146 172,6

Pórtico 2yPórtico 3y

6,00 94,5 194,5 130,8 258,4 353

43,3 kN/m

43,3 kN/m3 m

3,5

Secção do elemento na horizontal: 2,75x0,20 m2



Quadro com a distribuição dos momentos flectores (pórtico 1x).

Figura 129 – Distribuição dos momentos para determinar as armaduras na direcção xx.

Figura 130 – Distribuição dos momentos para determinar as armaduras na direcção yy.

A análise estrutural das lajes fungiformes utilizando os modelos de elementos finitos de laje

permite modelar de forma mais rigorosa a interação laje-pilar e é mais adequado quando

Pórtico 1x Msd(kN.m)

Lfaixa(m)

Faixa Distribuição(%)

Msd(kN.m)

Msd(kN.m/m)

M (+)extremo 69,6 1,375

Central 0,55 38,3 27,8

Lateral 0,45 31,3 22,8

M (+)intermédio 64,8 1,375

Central 0,55 35,6 25,9

Lateral 0,45 29,2 21,2

M (-)extremo 114,5 1,375

Central 0,75 85,9 62,5

Lateral 0,25 28,6 20,8

M (-)intermédio 136,4 1,375

Central 0,75 102,3 74,4

Lateral 0,25 34,1 24,8

+27,8 +27,8

+22,8 +22,8+21,2

+25,9-62,5

-20,8

-62,5

-20,8

-74,4

-24,8

-74,4

-24,8

+24,5 +24,5+20,9-25,6 -25,6-18,3

-54,8

-18,3

-54,8-76,8 -76,8

+24,5 +24,5+20,9-25,6 -25,6-18,3 -18,3

+29,9 +29,9+25,5

+28,2 +28,2+25,9-61,2 -61,2-74,9 -74,9

+23 +23+21,2-20,4 -20,4-25 -25

+23,3

-73

-73

-86,3

+33,3

+23,3

-73

-73

-86,3

+33,3

+18,8

-24,3

-24,3

-28,8

+27,2

+18,8

-24,3

-24,3

-28,8

+27,2

+19,6

-21,5

-21,5

-29,4

+29,2

+19,6

-21,5

-21,5

-29,4

+29,2

+19,6

-21,5

-21,5

-29,4

+29,2

+24

-64,6

-64,6

-88,3

+35,7

+24

-64,6

-64,6

-88,3

+35,7



não há um sistema regular de pilares. A rigidez da ligação laje-pilar real é menor do que a

simulada pelo método dos pórticos equivalentes, se for considerada toda a largura da

banda.

Figura 131 – Situação real e modelada usando o método dos pórticos equivalentes (A. P.

Ramos).

Já se referiu anteriormente que há momentos torsores na laje e, simplificadamente, as

armaduras de flexão são dimensionadas para os seguintes valores de momento:

m´sd,x = msd,x + | msd,xy⏐≥ 0 → A+sx

m´sd,y = msd,y + | msd,xy⏐≥ 0 → A+sy

m´sd,x = msd,x - | msd,xy⏐≤ 0 → A-sx

m´sd,y = msd,y - | msd,xy⏐≤ 0 → A-sy

O exemplo de lajes fungiformes descrito acima mas agora analisado usando um modelo de

elementos finitos:

Figura 132 – Distribuição dos momentos mxx usando os modelos de elementos finitos.



Figura 133 – Distribuição dos momentos myy e mxy usando os modelos de elementos finitos.

O EC2 refere na Secção 5.3.2.2 que nos “casos em que a viga ou a laje é betonada

monoliticamente com os apoios, deverá considerar-se para momento de cálculo crítico no

apoio o valor à face do apoio. Em geral, deverá considerar-se para o momento de cálculo e

a reacção transmitidos ao apoio (por exemplo, pilar, parede, etc.) o maior dos valores

elásticos ou redistribuídos. O momento à face do apoio não deverá ser inferior a 0,65 do

momento de encastramento.”

Independentemente do método de análise utilizado, no caso de continuidade de uma viga ou

de uma laje sobre um apoio que se possa considerar como não impedindo a rotação (por

exemplo, sobre paredes), o valor de cálculo dos momentos de apoio, calculados com base

nos vãos iguais entre eixos dos apoios, poderá ser reduzido de uma quantidade ΔMed.

ΔMed = Fed,sup.t / 8

Onde Fed,sup é a reacção de apoio e t é a largura do apoio .



Figura 134 – Valor de ΔMed.

Portanto, na interpretação da distribuição dos momentos junto dos apoios usando os

modelos de elementos finitos deverá proceder-se a uma redução do momento de “pico”

sobre o apoio (A. P. Ramos).

Figura 135 – Redução do momento sobre o apoio (A. P. Ramos).

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS A. P. Ramos: Apontamentos de apoio às aulas de Estruturas de Betão Armado II,

Universidade Nova de Lisboa, Setembro 2006.

Appleton, Júlio: Execução de Estruturas, Instituto Superior Técnico.

D’Arga e Lima, J.: Betão Armado, Armaduras (REBAP -83), Volume I – Aspectos Gerais.

D’Arga e Lima, J.; Monteiro, Vitor; Mun, Mary: Betão Armado, Esforços Normais e de

Flexão (REBAP -83).

Fed, sup

edM



D’Arga e Lima, J.; Monteiro, Vitor; Mun, Mary: Betão Armado, Esforços Transversos, de

Torção e de Punçoamento (REBAP -83).

EC2, NP EN 1992-1-1 2008 – Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão, Parte 1-1:

Regras gerais e regras para edifícios, CEN, Instituto Português da Qualidade. Gomes, A.; Appleton, Júlio; Almeida, João: Betão Armado e Pré-Esforçado II, Volume I –

Dimensionamento e Pormenorização de Lajes, Março de 1989, Instituto Superior Técnico.

Lajes de Vigotas Pré-esforçadas, Documento de Homologação do LNEC e Catálogo da

Novobra, Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado – IST.

Leonhardt, F.; Mönnig, E.: Construções de Concreto, Volume 2, Casos especiais de

dimensionamento de estruturas de concreto armado, Editora Interciência Ltda, 1978.

Leonhardt, F.; Mönnig, E.: Construções de Concreto, Volume 3, Princípios básicos sobre a

armação de estruturas de concreto armado, Editora Interciência Ltda, 1978.

Marchão, Carla; Appleton, Júlio: Betão Armado e Pré-Esforçado II, Folhas de Apoio às

Aulas, Módulo 2 – Lajes de Betão Armado, Instituto Superior Técnico. NP EN 206-1 2007: Betão, Parte 1: Especificação, desempenho, produção e conformidade,

CEN, Instituto Português da Qualidade.

NP ENV 13670-1 2007: Execução de estruturas em betão, Parte 1: regras gerais, CEN,

Instituto Português da Qualidade.

Placfort - Informação disponibilizada no programa de cálculo e dimensionamento de lajes

aligeiradas pré-esforçadas - Placfortcalc, empresa: Placfort-Empresa de Pre-Esforçados

S.A.

REBAP – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado, 1983. Válter Lúcio: Apontamentos de apoio às aulas de Estruturas de Betão Armado I,

Universidade Nova de Lisboa, Fevereiro 2006.



6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 6

Nas lajes armadas numa só direcção indique que medidas são necessárias adoptar junto

dos apoios paralelos às armaduras principais (por exemplo, a viga 1). Justifique

devidamente a sua resposta.

Exercício 7

Justifique porque é que se utiliza a técnica proposta por Marcus para a determinação dos

momentos máximos positivos.

Exercício 8

Considere que a laje representada na figura abaixo tem a espessura de 0,15 m e foi

executada com os materiais B25 (C20/25) e aço A400NR. Na figura estão representadas

apenas as armaduras principais. Considere que os coeficientes de segurança para as

cargas permanentes e variáveis são γg = γg = 1,5 e que o recobrimento é 25 mm.

Determine a máxima carga p kN/m2 (uniformemente distribuída), incluindo o peso próprio da

laje, que pode actuar na laje de modo a garantir apenas a segurança em relação ao estado

limite último de resistência à flexão. Sugestão: Na resolução deste problema utilize o

q (kN/m)

Viga 1

Ø10

//0,1

0m

6 m

4 m

Ø10

//0,1

0m

Ø10//0,15m

Ø10

//0,1

5m

Armaduras inferioresArmaduras superiores



método das bandas (aplicação prática do método estático da teoria da plasticidade em

lajes).

Exercício 9

O método das bandas é uma aplicação prática do método estático da teoria da plasticidade

em lajes. Este método é particularmente útil para lajes com aberturas ou com condições de

apoio variáveis ao longo do bordo.

Usando o método das bandas defina um esquema de cálculo de esforços adequado para a

laje indicada abaixo. Na análise considere apenas a verificação da segurança em relação

aos Estados Limite Últimos. No esquema defina as dimensões e o carregamento.

Exercício 10

Descreva os principais factores que influenciam o valor médio da largura das fendas.

Indique como cada factor afecta o valor médio da largura das fendas.

Exercício 11

Justifique porque é necessário colocar nalgumas lajes armadura de canto.

Exercício 12

Dimensione as armaduras necessárias para o painel de laje assinalado (painel 1) de modo a

verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão e de

resistência ao esforço transverso.

7.00

m

3.00 m 3.00 m2.50 m

Considere que a carga aplicada é q (kN/m2)

2.50

m



Defina num desenho o modo como as armaduras devem estar distribuídas no painel.



Acções: peso próprio da laje; revestimento 1,5 kN/m2, paredes divisórias 2,0 kN/m2,

sobrecarga 4,0 kN/m2.

Exercício 13

Dimensione as armaduras necessárias para os painéis de laje assinalados (painel 1 e 2) de

modo a verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão

e de resistência ao esforço transverso. Defina num desenho o modo como as armaduras

devem estar distribuídas nos painéis.



Acções: peso próprio da laje, revestimento 1,5 kN/m2, paredes divisórias 1,75 kN/m2,

sobrecarga na consola 5,0 kN/m2, sobrecarga na restante laje 2,0 kN/m2.

Bordo livreBordo livre

6.40 m 6.00 m 5.00 m

4.00

m4.

00m

4.00

Laje em consola

Painel 1

1.00 m

Bordo livre



Exercício 14

Dimensione as armaduras necessárias para os painéis de laje assinalados (painel 1 e 2) de

modo a verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão

e de resistência ao esforço transverso. Defina num desenho o modo como as armaduras

devem estar distribuídas nos painéis.

Materiais: aço A400NR e betão da classe B30



sobrecarga na consola 5,0 kN/m2 e sobrecarga na restante laje 4,0 kN/m2. Não considere a

acção das paredes divisórias na laje em consola.

Vazio(não há laje nesta área)

Laje em consola

Bordo livre

Bordo livre

6.40 m 5.00 m 6.40 m1.00 m

4.00

m4.

00m

4.00

Abertura

0.50m0.50

m

Painel 2

Pai

nel 1

6.00 m 6.80 m 6.80 m 5.45 m

Bordo livre

Laje em consola

Materiais: Betão da classe B30 e A400NRAcções: peso próprio da laje

revestimento: 1.0 kN/m2paredes divisórias: 2,0 kN/m2Sobrecarga: 4,0 kN/m2

Painel 2

6.00

m5.

45m

1.00

m

Painel 1

Sobrecarga na consola: 4,0 kN/m2



Exercício 15

Dimensione as armaduras necessárias para o painel de laje assinalado (painel 1) de modo a

verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão e de

resistência ao esforço transverso. Defina num desenho o modo como as armaduras devem

estar distribuídas no painel.

Materiais: aço A400NR e betão da classe B30



sobrecarga 4,0 kN/m2.

6.00 m 6.80 m 6.80 m 5.45 m

Bordo livre

Laje em consola

Painel 1

4.00

m5.

45m

1.50

m

lajes_de_betao_armado_isec_2010.pdf

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