Florianópolis, 2010

Laboratório de Física IJosé Ricardo MarinelliFlavio Renato Ramos de Lima

Governo FederalPresidência da República

Ministério de Educação

Secretaria de Ensino a Distância

Coordenação Nacional da Universidade Aberta do Brasil

Universidade Federal de Santa CatarinaReitor: Alvaro Toubes Prata

Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva

Secretário de Educação a Distância: Cícero Barbosa

Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Müller

Pró-Reitora de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes

Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo

Pró-Reitor de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz Henrique Vieira Silva

Pró-Reitor de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso

Pró-Reitor de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante

Centro de Ciências da Educação: Wilson Schmidt

Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Tarciso Antônio Grandi

Centro de Filosofia e Ciências Humanas: Roselane Neckel

Curso de Licenciatura em Física naModalidade à DistânciaCoordenação de Curso: Sônia Maria S. Corrêa de Souza Cruz

Coordenação de Tutoria: Rene B. Sander

Coordenação Pedagógica/CED: Roseli Zen Cerny

Coordenação de Ambientes Virtuais/CFM: Nereu Estanislau Burin

Comissão EditorialDemétrio Delizoicov Neto

Frederico F. de Souza Cruz

Gerson Renzetti Ouriques

José André Angotti

Nilo Kühlkamp

Silvio Luiz Souza Cunha

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CEDCoordenação PedagógicaCoordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny

Núcleo de Formação: Nilza Godoy Gomes

Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de MateriaisDesign GráficoCoordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira

Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart

Braga, Natal Anacleto Chicca Junior.

Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues,

Thiago Rocha Oliveira

Diagramação: Felipe Augusto Franke

Ilustrações e tratamento de imagem: Steven Nicolás Franz Peña,

Felipe Augusto Franke

Capa: Cristiane Amaral

Design InstrucionalCoordenação: Juliana Machado

Design Instrucional: Elena Maria Mallmann, Geraldo W. Rocha Fernandes

Revisão do Design Instrucional: Juliana Machado

Revisão Gramatical: Maria Tereza Piacentini

Copyright © 2010, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC

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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Física na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica M338l Marinelli, José Ricardo Laboratório Física I / José Ricardo Marinelli, Flavio Renato Lima. – 2. ed. – Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2010. 179p. ISBN 978-85-8030-001-7 1. Física. I. Lima, Flavio Renato. II. Título. CDU 53

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786

Sumário

Apresentação ............................................................................. 7

1. Erros e Medidas ................................................................... 91.1 Medidas ....................................................................................... 111.2 Introdução à teoria de erros de medida ................................. 131.3 Cálculo do erro aleatório provável ........................................... 161.4 Erro de escala de um instrumento de medida ....................... 241.5 Propagação de erros ................................................................... 311.6 Erro percentual ........................................................................... 39Exercícios .......................................................................................... 40Resumo .............................................................................................. 43

2. Gráficos ................................................................................ 452.1 Introdução ................................................................................... 472.2 Construindo um gráfico ............................................................ 492.3 Linearização de curvas ..............................................................612.4 Equação dos mínimos quadrados ............................................ 682.5 Papéis especiais (semi-log e log-log) ....................................... 80

2.5.1 Papel semi-log (mono-log) ................................................ 802.5.2 Papel di-log (log-log) ......................................................... 89

Exercícios ..........................................................................................101Resumo ............................................................................................ 109

3. Atrito Estático.................................................................... 1113.1 Teoria básica ...............................................................................1133.2 Fotografia do equipamento ......................................................1153.3 Esquema .....................................................................................1163.4 Procedimento experimental ....................................................1163.5 Relação do material ...................................................................1173.6 Questionário ..............................................................................1183.7 Tabelas ........................................................................................118

4. Velocidade Média e Velocidade Instantânea .............. 1214.1 Teoria básica .............................................................................. 1234.2 Fotografia do experimento ...................................................... 1254.3 Procedimento experimental ................................................... 1264.4 Relação do material .................................................................. 1284.5 Questionário ............................................................................. 1284.6 Tabela ......................................................................................... 129

5. Queda Livre ....................................................................... 1315.1 Teoria básica .............................................................................. 1335.2 Fotografia do experimento ...................................................... 1355.3 Esquema .................................................................................... 1365.4 Procedimento experimental ................................................... 1365.5 Relação do material ...................................................................1405.6 Questionário ..............................................................................1405.7 Tabelas ........................................................................................141

6. Comprovação da 2a Lei de Newton usando a Máquina de Atwood ........................................................ 143

6.1 Teoria básica ...............................................................................1456.2 Fotografia do experimento .......................................................1466.3 Procedimento experimental ....................................................1476.4 Material Utilizado .....................................................................1486.5 Questionário ..............................................................................1496.6 Tabelas ....................................................................................... 150

7. Choque Elástico e Leis de Conservação da Mecânica ....................................................................... 151

7.1 Teoria básica .............................................................................. 1537.2 Fotografia do experimento ...................................................... 1557.3 Procedimento experimental .................................................... 1567.4 Relação do material ...................................................................1607.5 Questionário ...............................................................................1617.6 Tabelas .........................................................................................162

Respostas dos Exercícios ..................................................... 165

Referências ............................................................................ 179

ApresentaçãoO material contido nessa disciplina tem como objetivo introdu-zir as técnicas básicas de análise em um laboratório de física, e mostrar a importância de tais técnicas na interpretação de resul-tados envolvendo alguns princípios fundamentais do movimento de um corpo, tratado aqui através da cinemática e dinâmica do ponto material. Além disso, uma conseqüência imediata da in-trodução deste tipo de análise através de experimentos simples é a possibilidade de verificar experimentalmente alguns conceitos fundamentais da mecânica ou de obtermos no laboratório a de-terminação de constantes físicas, se não fundamentais, de grande importância no estudo do movimento de corpos.

O trabalho desenvolvido em um curso de laboratório introdutório como este é diferente daquele desenvolvido por um pesquisador em um laboratório de pesquisa. No entanto, é nosso objetivo também que o estudante se torne familiarizado com as principais preocu-pações, dificuldades, métodos, instrumentos e objetivos de um pes-quisador. Nesse sentido, mais do que aprender técnicas de análise de dados experimentais (que são de fundamental importância em um laboratório de qualquer natureza), é importante que se adquira uma “atitude” de experimentador, ou seja, aprenda-se a interpretar os resultados obtidos levando-se sempre em conta, tanto as limita-ções das condições em que o experimento foi realizado, como das técnicas e instrumentos empregados. Para isso, embora não existam receitas prontas, é sempre muito importante usar, tanto o conheci-mento prévio dos conceitos de física, como o bom senso.

Outro ponto importante é o aprendizado da linguagem própria com que devemos expressar os resultados obtidos em uma ati-vidade experimental. Para isso precisamos saber como quantifi-car as limitações impostas pelas condições em que o experimen-to ocorreu. Esta, entre outras, é a função da Teoria de Erros que será introduzida no capítulo 1. Embora esta teoria seja baseada em conhecimentos matemáticos que estão fora do escopo deste texto, faremos uma introdução ao assunto, procurando discutir tanto quanto possível os aspectos mais qualitativos, porém, sem perder de vista a necessidade de utilizarmos seus principais re-sultados de forma quantitativa. Como pretendemos deixar claro

adiante, a estimativa dos chamados erros experimentais é de vi-tal importância para que possamos ter um mínimo de confiança em nossos resultados e conclusões a respeito de um determinado fenômeno. Paralelamente à estimativa desses erros é importante que o estudante tenha contato com alguns instrumentos de medi-da simples, aprenda o seu manuseio, assim como os cuidados ne-cessários para sua correta utilização. Embora ao longo de outros cursos que virão, novos e mais sofisticados instrumentos sejam necessários, muitos destes cuidados serão comuns.

No capítulo 2 discutiremos uma forma mais eficiente de obser-var o comportamento de uma grandeza medida em termos de outra(s) grandeza(s) também medida(s). Isso se dará pela constru-ção de Gráficos, que nos permitem ter uma visualização clara da dependência entre duas ou mais variáveis, auxiliando-nos, assim, a construir relações matemáticas entre elas. Trata-se de um pro-cedimento muito útil, uma vez que pode ser o ponto de partida para a formulação e/ou comprovação de resultados teóricos refe-rentes a um dado fenômeno físico. Podemos dizer, em geral, que a construção de um gráfico a partir de medidas experimentais pode ser o ponto de partida para tentarmos generalizar algum conceito físico. Além disso, como veremos, um gráfico associado a algum conceito físico já bem estabelecido, pode ser usado tam-bém para a determinação de constantes físicas relacionadas a esse conceito ou fenômeno. Alguns exemplos disso serão vistos nos experimentos propostos nessa disciplina.

Finalmente, outro objetivo, não menos importante de um curso de laboratório, é treinar o estudante a fazer um relatório, ou seja, reportar de forma clara e precisa os principais objetivos, proce-dimentos, resultados e conclusões do experimento realizado. Na verdade, ao escrever o relatório de uma experiência, devemos sempre procurar fazê-lo imaginando que alguém, com o mesmo grau de conhecimento, irá lê-lo e tentar aprender algo de novo. Es-peramos que esta seja uma habilidade a ser desenvolvida durante este e outros cursos de laboratório que virão a seguir.

José Ricardo Marinelli Flavio Renato Ramos de Lima

Capítulo 1Erros e Medidas

Capítulo 1Erros e Medidas

Neste Capítulo introduzimos o conceito de medida e er-ros de uma medida assim como uma classificação destes últimos. O conceito de algarismos significativos na re-presentação numérica de medidas é também elaborado com o auxílio de alguns instrumentos de medida comu-mente utilizados em práticas experimentais. As técni-cas de obtenção para o erro aleatório associado a um conjunto de medidas, assim como a obtenção do erro propagado (ou erro indeterminado) são também apre-sentadas e discutidas através de exemplos numéricos.

1.1 MedidasSuponha que você esteja precisando medir a largura de uma ja-nela de sua casa ou escritório e não tenha nenhum instrumento de medida próprio à sua disposição no momento. Muitas vezes, a maioria de nós se deparou com este tipo de situação e, natural-mente, logo pensamos em utilizar a palma de nossa mão como um instrumento de medida para o comprimento (ou distância) desejado. Por outro lado, se decidíssemos agora medir o tamanho da sala ou cômodo em que nos encontramos, a palma de nossa mão já não seria tão adequada e, em lugar desta, poderíamos uti-lizar o tamanho de um “passo” como um melhor instrumento de medida de comprimento. Ainda, se precisássemos obter um pa-drão de medida para o lápis que usamos para escrever, ou mesmo as dimensões da borracha que usamos para apagar o que escreve-mos, nem o palmo da mão nem o passo dado com nossas pernas seriam satisfatórios.

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Assim ocorre sempre que precisamos medir uma grandeza. O que temos que fazer é comparar tal grandeza com um pa-drão escolhido, de acordo com nossa melhor conveniência.

É claro, que muitas vezes, uma mesma grandeza precisa de padrões diferentes. Seria pouco prático usar o mesmo padrão de compri-mento para medir a espessura de um fio de cabelo e a distância en-tre a Terra e o Sol, ou ainda, o tempo que um raio de luz gasta para atravessar a sala de aula de uma escola e o tempo que o mesmo raio luminoso leva para ir de uma galáxia a outra.

Em geral, podemos ter então mais de uma unidade de medida para cada grandeza, mas de forma que sempre podemos estabelecer uma relação entre as unidades da mesma grandeza.

É importante que as unidades escolhidas sejam de fácil reproduti-bilidade, ou seja, que o maior número possível de pessoas, em di-ferentes condições e locais possam reproduzir o padrão de medida de forma inequívoca, a fim de poder calibrar os instrumentos uti-lizados para efetuar as medidas. Além disto, os padrões devem ser universais, no sentido de que sejam os mesmos para todos, ou, se não forem, que o fator de transformação entre as diferentes unida-des seja bem conhecido.

Todo o problema de se medir uma grandeza se resume então em es-tabelecer um padrão de medida razoável e de simples reprodução e usá-lo para calibrar o instrumento a ser usado. Nosso problema esta-ria então resolvido, não fosse um pequeno, mas importante detalhe: a precisão de qualquer instrumento, seja ele qual for, é limitada.

Outro problema que enfrentamos ao tentar obter experimentalmen-te o valor de qualquer grandeza é a interferência de fatores externos associados ao método usado no processo de medida. Algumas vezes tais fatores podem ser facilmente evitados ou controlados. Porém, em outros, se torna impossível evitar tal interferência e o melhor que podemos fazer então é tentar estimar quantitativamente o seu efeito. Isto é o que discutiremos a seguir.

O padrão de medida que usamos para medir uma determinada grandeza é o que chamamos de UNIDADE de medida da grandeza.

Por exemplo, se você ligar ao marceneiro e informar que sua janela tem seis palmos de largura e ele preferir usar o comprimento de uma caixa de fósforos como unidade de medida, é bom que a relação entre o seu palmo e a caixinha usada por ele seja muito bem conhecida.

Da mesma forma que podemos, por exemplo, dizer que um passo dado por nossa perna equivale, digamos, a três palmos de nossa mão.

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1.2 Introdução à teoria de erros de medida

Nenhuma medida é perfeita ou exata. Limitações ligadas aos ins-trumentos utilizados, às condições físicas em que a medida é rea-lizada e do próprio operador (experimentador) causam desvios no valor obtido em relação ao valor “real” da medida. Mas o que vem a ser o valor “real” de uma medida? Podemos dizer simplesmente que este valor seria o que obteríamos se pudéssemos eliminar qualquer erro instrumental ou de procedimento. No entanto, mais importante do que conhecer o valor real ou exato de uma medida é sabermos avaliar o erro cometido ao tentarmos obter tal valor. Na verdade, o resultado de uma medida experimental será de pouca, senão de ne-nhuma valia, se não soubermos nada sobre o erro associado ao pro-cesso. Assim, se não podemos eliminar totalmente o erro inerente a qualquer valor de uma grandeza obtido experimentalmente, não po-demos esperar medir o valor real da grandeza, mas sim eliminar ao máximo os erros de medida, os quais podemos antever no processo experimental. Por outro lado, mesmo sabendo que tais erros existem é possível que não tenhamos total controle sobre os mesmos e por esta razão não possamos eliminá-los. Neste último caso, vamos pelo menos tentar estimá-los da melhor forma possível e assim descobrir se o resultado de nossa medida tem um mínimo de confiabilidade.

Com a finalidade de facilitar a estimativa dos erros experimentais, costuma-se utilizar uma classificação para eles. Na literatura, pode-mos encontrar alguns autores que chegam a agrupar os diversos er-ros em até vinte tipos diferentes. Utilizaremos aqui uma classifica-ção que consideramos bastante geral e, ao mesmo tempo, suficiente para nossos propósitos. A fim de melhor entender a razão de nossa classificação, é importante reconhecermos que a qualidade de uma medida experimental depende principalmente:

das dificuldades inerentes ao objeto a ser medido;a)

da qualidade do equipamento de medida;b)

das condições em que a medida foi feita;c)

DesviosTais desvios são chamados de incertezas experimentais ou simplesmente erro de medida.

O que em geral não é possível a princípio

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da habilidade do operador;d)

de limitações físicas do operador (visão, tato, tempo de e) reflexo, etc.)

de causas previsíveis porém impossíveis de serem f) controladas;

de causas imprevisíveis.g)

Da lista acima, vemos que erros podem ser cometidos devido à falta de habilidade ou cuidados do próprio operador (ou experimenta-dor). Chamamos estes de erros grosseiros e não os incluiremos em nossa classificação, embora tenhamos que ter sempre em mente sua possível presença e tentemos evitá-los tomando os devidos cuida-dos. Classificamos então os erros em três tipos:

Erros Sistemáticos1) - A causa do erro é bem definida e age sem-pre de forma a afetar a medida da mesma maneira. Nem sem-pre é fácil sabermos que existe um erro sistemático atuando no processo de medida, porém uma vez detectado este pode ser facilmente eliminado ou, quando isto não for possível, pode-mos compensá-lo ou simplesmente extrair seu valor da medi-da final.

Exemplos comuns, porém importantes desta categoria de er-ros, são aqueles devidos à má calibragem de um instrumento de medida, causando uma leitura “sistematicamente” menor ou “sistematicamente” maior do que o valor lido caso o instru-mento estivesse corretamente calibrado ou ajustado. Considere-mos um exemplo simples de uma balança que mede a massa de objetos em gramas. Em geral, as balanças (principalmente ba-lanças de alta precisão) devem permanecer niveladas, ou seja, o “prato” onde o objeto cuja massa se quer determinar é coloca-do, deve permanecer na posição horizontal. Caso a balança não esteja corretamente nivelada, ela vai fornecer um valor diferen-te da massa verdadeira do objeto e, dependendo do caso, este valor será sempre maior ou sempre menor que o valor que seria medido se a balança estivesse nivelada. Para corrigir o proble-ma temos duas alternativas: a primeira é nivelar a balança uti-lizando parafusos niveladores que muitas balanças já possuem.

Erros SistemáticosTambém conhecidos como erros determinados, são aqueles que afetam o valor real da medida fazendo com que o valor obtido seja sem-pre maior ou sempre menor que o valor real, não impor-ta quantas vezes repitamos a medida.

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No entanto, se isto não for possível, caso a balança não possua este dispositivo ou por outra razão qualquer não possamos nós mesmos buscar um mecanismo de nivelamento, podemos uti-lizar uma massa padrão, ou seja, uma massa cujo valor é bem conhecido e medi-la com a balança desnivelada, obtendo assim a diferença. Suponha que encontremos um valor 5% menor que a massa padrão conhecida. Podemos agora efetuar qualquer outra medida com a mesma balança e nas mesmas condições e corrigir os valores obtidos pelo mesmo fator de 5%.

Assim, vemos que um erro sistemático, uma vez detectado, pode ser eliminado (no exemplo acima simplesmente nivela-mos a balança!) ou se não for possível ele pode ser compensa-do (aplicamos o fator de correção à medida).

Outro exemplo importante de erro sistemático é o caso de medidas que dependem de fatores climáticos, como pressão e temperatura. Caso as medidas sejam efetuadas em condições diferentes, o valor obtido pode ser diferente do que se espe-raria em determinadas condições de pressão e temperatura. Neste caso, se não pudermos ter um controle maior sobre as condições, devemos tentar obter de algum modo o fator de correção correspondente e aplicá-lo sobre as medidas obtidas, em outras palavras, obter o erro sistemático da medida.

Erros Aleatórios Prováveis2) - Este é um tipo de erro imprevisível, no sentido de que o mesmo age de forma a fornecer um valor li-geiramente acima ou ligeiramente abaixo do que consideramos o valor real da medida. Em geral as causas destes erros são atri-buídas a condições experimentais variáveis, condições variá-veis do próprio meio ambiente em que se realiza o experimento ou mesmo variabilidade inerente aos instrumentos de medida utilizados. Na verdade o erro aleatório é uma expressão do fato de ser impossível controlar tais condições e assim não podemos eliminar ou tentar compensar o erro. A única coisa que nos resta a fazer é tentar estimar o erro correspondente para que possamos ter uma estimativa da confiabilidade da medida. Isto é o que mostraremos como fazer na secção seguinte.

Erros de Escala3) - Dedicaremos uma secção exclusivamente à discussão deste tipo de erro, quando vários exemplos serão apresentados em detalhe.

Erros de EscalaTais desvios são chamados de incertezas experimentais ou simplesmente erro de medida.

Erros Aleatórios ProváveisTambém conhecidos como erros estatísticos ou sim-plesmente erros aleatórios. Este tipo de erro reflete o fato de que, toda a vez que se efetua uma determinada medida deve-se obter um valor ligeiramente acima ou abaixo do valor real.

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Neste ponto é importante observar que existe uma certa am-bigüidade na literatura sobre o assunto, no que se refere à ter-minologia e regras gerais relativas ao que denominamos aqui de Teoria de Erros de Medida. Organizações Internacionais e Nacionais, as quais procuram estabelecer um padrão para a linguagem e regras usadas para este fim, recomendam que se use o termo “incerteza” ao invés de “erro” e “medição” ao invés de “medida”. Além disto, termos como “erro (ou incer-teza) aleatório e sistemático” são considerados de significado dúbio. Apesar disto seguiremos, por razões históricas e até mesmo didáticas, usando a nomenclatura introduzida acima. No entanto, lembramos ao leitor que as recomendações mais recentes podem ser encontradas em algumas das referências bibliográficas citadas no final deste volume.

1.3 Cálculo do erro aleatório provávelAntes de discutirmos o método de obtenção dos erros aleatórios ou estatísticos, vamos rapidamente introduzir algumas noções prelimi-nares sobre algarismos significativos. Ao expressarmos o resultado de uma medida experimental é importante que o número de algaris-mos do número correspondente seja, tanto quanto possível, coerente com a precisão da medida e contenha, de alguma forma, algum tipo de informação sobre o erro de medida. Assim, se medimos um com-primento utilizando uma régua comum graduada em centímetros e que permite a leitura até a segunda casa decimal, parece razoável que expressemos o resultado com um número que vá até a segunda casa decimal em centímetros, como por exemplo, o valor 38,53cm. Neste caso, consideramos que os três primeiros algarismos (3, 8 e 5) são resultados “exatos” e que o último algarismo (o 3) é o duvidoso. Na realidade quem deve definir qual é o algarismo duvidoso da me-dida é o erro associado a ela. Assim, suponha que após avaliarmos o erro chegássemos ao valor 0,05cm± . Note que o sinal de mais ou menos indica que podemos estar cometendo um erro para mais ou para menos ao efetuar a medida. Assim, podemos dizer que o valor da medida deve estar entre 38,47cm e 38,58cm. Desta forma, poderí-amos representar a medida e o respectivo erro como:

(38,53 0,05)l cm= ±

Como o INMETRO, por exemplo.

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Por outro lado, suponha que o erro avaliado fosse 0,5cm± , ou seja, dez vezes maior que no exemplo anterior. Neste caso, não nos pare-ce muito importante o valor que aparece na segunda casa decimal (casa do centésimo) da medida, já que o erro é da ordem de décimos de centímetros. Assim, parece razoável que arredondemos o valor da medida para a segunda casa decimal, ou seja:

(38,5 0,5)l cm= ±

Resumindo: ao representarmos uma medida usaremos sempre a forma (m ± ∆m)u, onde m é o valor medido, ∆m é o erro de medida estimado e u a unidade de medida usada. O número de algarismos significativos da medida fica li-mitado pelo valor do erro, o qual será sempre expresso por apenas um algarismo significativo.

Deve-se aqui observar que quando dizemos que o erro deve ser ex-presso com apenas um (1) algarismo, não estamos considerando os zeros colocados à esquerda do número. Por exemplo, 0,006 pode ser reescrito como 36 10-× usando notação científica. Desta forma fica claro que os zeros à esquerda servem neste caso apenas para indicar a ordem de grandeza do número.

Neste ponto é útil estabelecermos os critérios que utilizamos para o arredondamento de um número, quando for o caso. As regras que usamos são as seguintes:

se a quantidade a ser desprezada no número for maior a) que 5, 50, 500, 5000, etc, aumentamos em 1 unidade a casa decimal a ser arredondada;

se a quantidade a ser desprezada no número for me-b) nor que 5, 50, 500, 5000, etc, mantemos inalterada a casa decimal a ser arredondada;

se a quantidade a ser desprezada no número for igual c) a 5, 50, 500, 5000, etc, aumentamos em 1 unidade a casa decimal a ser arredondada se a mesma for ímpar e mantemos inalterada se a mesma for par.

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Considere os exemplos abaixo e compare com cuidado os arredon-damentos feitos usando as regras acima (a barra sobre o número indica que queremos arredondar naquele algarismo):

23,459 23,461)

0,32142 0,321

2)

113,5 1143)

2,245 2,24

4)

69,87 705)

33435 3,44 10x6)

O exemplo de número 6 tem um pequeno “truque” muito comum de arredondamento. Note que se usarmos simplesmente a regra, o número 3435 passaria a ser 344. Ou seja, nossa regra transformou um número da ordem de 3000 em um número da ordem de 300. Para resolver este problema e as regras acima continuarem válidas, fazemos uso da notação científica. Em outras palavras, escrevemos o número com quantos algarismos desejarmos multiplicado pela po-tência de dez adequada, isto é, pela potência de dez que preserva a ordem de grandeza correta do número original.

Vamos agora voltar ao cálculo do erro aleatório. Como vimos, este erro é imprevisível no sentido de que, ao efetuarmos duas medidas da mesma grandeza em condições aparentemente idênticas, em uma delas pode-se obter um valor acima e em outra um valor abaixo do valor real. Esta idéia dá um caráter probabilístico à determinação do erro correspondente. Em outras palavras, como não há um pa-drão de como o erro se manifesta em várias medidas efetuadas (ao contrário do erro sistemático), somos obrigados a admitir que existe igual probabilidade de errarmos para mais ou para menos.

Vamos considerar como exemplo uma situação que, embora não te-nha muito a ver com medidas em um laboratório, ilustra bem como a probabilidade e a estatística podem nos ajudar a entender melhor o problema. Suponha que alguém, sem ter muito de interessante a fazer, pegue dez moedas iguais e comece a atirá-las, contando em cada jogada quantas “caras” e quantas “coroas” aparecem. Suponha ainda que este alguém, pacientemente, repetiu o procedimento 200

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vezes e anotou em uma tabela o número de “coroas” que aparecem em cada uma das jogadas. Note que, cada vez que jogamos uma única moeda, a chance da moeda cair com a “coroa” virada para cima é de 50%, supondo que a moeda não seja “viciada”.

Agora note com atenção os números da tabela obtida por alguém que não tinha muito o que fazer: 45 vezes (a maioria delas quando comparada com as demais) tivemos cinco moedas caindo com “co-roa” para cima. Claro que um número considerável de vezes este número foi maior ou menor. Olhando para a terceira coluna da ta-bela onde apresentamos a porcentagem de vezes de cada tipo de ocorrência isto fica mais claro.

Assim, se nosso jogador de moedas resolvesse atirar uma vez mais as dez moedas e você tivesse que apostar em um número apenas, em qual número de “coroas” você apostaria? Acho que você diria que as chances maiores, ou seja, a probabilidade maior é que o número seja cinco. Mas é claro também que existe uma chance considerável de você errar, baseado nos dados da tabela. Embora o valor mais prová-vel seja cinco, vemos que existe uma “dispersão” dos números entre zero e dez, com uma concentração maior em torno do cinco, que é o valor médio obtido se computarmos todas as jogadas anteriores.

Ou seja, se somarmos cada número da primeira coluna cada uma das vezes que ele ocorre e dividirmos pelo número total de ocorrên-cias (200), obteremos o valor médio. Matematicamente escrevemos isto como:

0 2 1 4 2 12 3 22 4 37 5 45 6 34 7 29 8 9 9 4 10 2 5,01200

x x x x x x x x x x x+ + + + + + + + + +=

Figura 1.1 - Uma das muitas jogadas feitas; a que se repetiu o maior número de vezes (45).

Ou melhor dizendo, a probabilidade

O resultado está reproduzido na tabela 1.1.

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Parece-nos óbvio que o número de moedas que mostram “coroa” não pode ser fracionário, sendo, portanto mais conveniente repre-sentar este valor médio como sendo 5 moedas.

Número de “coroas”

Número de ocorrências

Porcentagem

0 2 1,0%

1 4 2,0%

2 12 6,0%

3 22 11,0%

4 37 18,5%

5 45 22,5%

6 34 17,0%

7 29 14,5%

8 9 4,5%

9 4 2,0%

10 2 1,0%

Tabela 1.1

Número de caras

Núm

ero

de o

corr

ênci

as

Número de Absoluto de Ocorrências

40

30

20

10

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ajustamento gausslano

Figura 1.2 - Gráfico realizado com o software OriginPro 7.5, que mostra a distribuição das medidas e uma curva de ajuste para elas (linha cheia).

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O cálculo do erro aleatório é baseado essencialmente nas idéias dis-cutidas no exemplo anterior. A questão chave é: se quisermos obter uma boa estimativa para o erro devemos fazer várias medidas da mesma quantidade e manter as mesmas condições para todas as medidas, tanto quanto possível. O valor mais provável da medida será, portanto, a média aritmética de todas elas.

Em outras palavras, se 1 2, ,.... Nx x x representa cada um dos valores obtidos em cada repetição, então o valor mais provável deve ser:

1 2 3 1.......

N

iN i

xx x x xx

N N=+ + + +

= =∑

. (1.1)

O número de vezes N que repetimos a medida depende da maior ou menor facilidade e tempo de que dispomos, mas é claro que quanto maior N, mais confiável será o valor médio obtido, embora como se trata de um efeito de amostragem, em geral não precisaremos au-mentar indefinidamente N para se chegar a um “bom” valor médio. O que ocorre é que a partir de um certo valor de N a média pratica-mente não se altera mais.

No entanto, queremos mais do que simplesmente determinar o valor mais provável (ou médio) da série de medidas. Queremos também calcular o erro cometido ou, usando a mesma linguagem do exem-plo das moedas, obter a dispersão em relação ao valor médio. Para isso, precisamos utilizar conceitos matemáticos que estão além dos objetivos deste curso. Assim, apresentaremos a seguir os principais resultados que usaremos daqui em diante como uma receita para a estimativa do erro aleatório. Para você que tiver interesse na dedução formal dos resultados, indicamos a bibliografia ao final deste livro.

Começaremos definindo o desvio de uma medida ix em relação ao valor médio como:

.i ix x x∆ = - (1.2)

O desvio assim definido pode então ser positivo ou negativo e, é cla-ro, se somarmos os desvios de todas as medidas a partir das quais tomamos a média, este valor será zero. Considere como exemplo o conjunto de medidas dado na tabela 1.2, onde a coluna 1 mostra o

22

valor de i (correspondendo à i-ésima medida) e a coluna 2 os valo-res das medidas ix . Se calcularmos a média das medidas, teremos

6,035x = . A terceira coluna mostra os desvios para cada medida. Se somarmos todos os desvios, obteremos exatamente zero, ou seja,

1 2 3 ... 0Nx x x x∆ + ∆ + ∆ + + ∆ = .

Medida [xi ] Desvio [∆xi = xi- ]Quadrado do

desvio [ (∆xi )2 ]

5,90 -0,135 0,018225

6,10 0,065 0,004225

6,00 -0,035 0,001225

5,95 -0,085 0,007225

6,20 0,165 0,027225

6,15 0,115 0,013225

5,95 -0,085 0,007225

5,85 -0,185 0,034225

6,05 0,015 0,000225

6,20 0,165 0,027225

Tabela 1.2

Assim, se quisermos alguma estimativa do desvio médio das me-didas deveremos ou tomar os desvios em módulo ou os seus qua-drados. A segunda opção é a normalmente utilizada, sendo o que apresentamos na coluna 3 da tabela 1.2.

Definimos agora o desvio padrão ( ) da média de um conjunto de medidas como sendo:

2

1( )

( 1)

N

ii

x

N N=

∆=

-

∑ . (1.3)

Como dissemos acima, esta fórmula é obtida a partir de conceitos matemáticos que fogem ao nível deste curso. Além disso, a definição de desvio padrão encontrada na literatura não é sempre a mesma, podendo diferir um pouco da equação acima. Na verdade, tal defi-nição depende de algumas hipóteses feitas para a sua dedução. O próprio cálculo do erro aleatório pode estar relacionado ao desvio

23

padrão de formas diferentes. Adotaremos aqui a definição de erro aleatório como sendo o próprio desvio padrão da média.

No entanto, mesmo sem deduzir a equação acima, é possível ob-servar algumas características discutidas anteriormente, presentes nesta fórmula. Por exemplo, um ponto importante a se notar é que, admitindo que o valor de ix∆ não mude apreciavelmente de uma medida para outra, o numerador dentro da raiz cresce com N, en-quanto o denominador cresce como 2N≈ . Tais aproximações ficam mais claras se fizermos:

2 2

1( ) ( )

N

ii

x N x=

∆ ≈ ∆∑ ,

onde 2( )x∆ pode ser entendido como um valor médio para os desvios ao quadrado (ou também chamado de desvio quadrático médio). Por outro lado, para N suficientemente grande, pode-se escrever:

2( 1)N N N- ≈ .

Dessa forma, substituindo estes dois últimos resultados na definição de desvio padrão (equação 1.3), teremos o resultado aproximado:

2 2

2

( ) ( )N x xN N∆ ∆

≈ ≈ . (1.4)

Isto é o mesmo que dizer que o desvio padrão varia com o inverso da raiz quadrada de N (número de medidas). Fica claro desta for-ma que, quanto maior o número de vezes que repetimos a medida, menor deverá ser o erro aleatório. Por outro lado, quanto maior o desvio quadrático médio, maior será o erro.

Voltando, então, ao nosso exemplo baseado na tabela 1.2, podemos agora facilmente obter o erro, simplesmente somando os números da coluna 3 (soma dos quadrados dos desvios), dividindo o resulta-do por 10x9 (= N(N-1)) e extraindo então a raiz quadrada do resulta-do final.

O desvio padrão e, portanto, o erro aleatório será neste caso = 0,0394757. Arredondando o erro para um algarismo significativo

apenas, e o valor médio para um número de casas decimais tais que

24

o algarismo duvidoso esteja na mesma casa decimal do erro, pode-mos então escrever para nossa medida X, o resultado:

(6,04 0,04)x unidade= ± .

Resumindo, o procedimento para a obtenção do erro aleatório é sempre o seguinte:

medimos a grandeza desejada a) N vezes;

calculamos a média aritmética dos valores medidos;b)

obtemos o desvio de cada medida em relação à média;c)

calculamos os quadrados dos desvios;d)

usamos este último resultado na equação (1.3);e)

representamos o resultado final (f) m Δm)unidade, onde ∆m = .

Note-se ainda que o item (f) se refere a erros do tipo aleató-rio. A ele podemos ainda ter que adicionar o erro de escala, que será discutido na próxima seção.

1.4 Erro de escala de um instrumento de medida

Alguns equipamentos de medida exigem cuidados prévios ao ma-nuseio. Quando utilizamos uma balança, um teodolito, um barôme-tro e uma série de equipamentos, necessitamos verificar e ajustar, se necessário, o nível ou prumo antes de realizar qualquer medida.

Voltímetros, galvanômetros, amperímetros e outros apare-lhos necessitam ser zerados antes de sua utilização. Estes e outros equipamentos (como paquímetros e micrômetros) muitas vezes exigem temperatura e umidade controladas para funcionarem corretamente.

25

Nem sempre podemos respeitar estas condições especiais, mas de-vemos sempre levar isto em conta quando avaliamos os erros destas medidas. Muitas vezes, na impossibilidade de se manter um dado equipamento/instrumento sob condições pré-estabelecidas e con-troladas, podemos fazer correções matemáticas destas medidas.

Por exemplo, um paquímetro que foi projetado para funcionar a uma dada temperatura pode ser usado em outra sem nenhum problema desde que se façam as correções necessárias. Caso isto não seja fei-to, estaremos cometendo um erro sistemático. Alguns equipamentos exigem todos estes cuidados simultaneamente e outros mais.

Sempre que efetuamos uma medida, estamos sujeitos a cometer erros. Já falamos anteriormente nos erros inerentes ao processo de medida (condições ambientais e de operação ou do operador), como os erros aleatórios, entre outros, mas nos referimos superficialmente a erros de escala dos instrumentos. Nesta seção, nos dedicaremos exclusivamente a este tipo de erro.

É um erro devido à limitação da escala do aparelho de medida e não está associado ao fato de a escala ser bem ou mal construída. Vamos ilustrar com um exemplo: se colocarmos duas réguas de fabricantes diferentes lado a lado fazendo coincidir o início das duas escalas, provavelmente os seus finais (por exemplo 30,0cm) não irão coin-cidir. É obvio que, pelo menos uma das réguas, se não ambas, tem problemas de construção de escala. Supomos por simplicidade que a régua de baixo na figura (1.3) seja a correta, portanto, assumimos que a de cima na figura está errada. Isto não configura erro de esca-la, mas sim um erro sistemático (alguns autores o classificam como “erro parasita”).

Figura 1.3 - A figura mostra duas réguas cujas divisões de escalas são iguais, atente para o fato das duas estarem estrategicamente

colocadas de forma que os zeros coincidam. Veja o final das escalas.

Erros de Escala dos InstrumentosErro de escala de um ins-trumento é o erro máximo aceitável devido à divisão de escala do instrumento.

26

O erro de escala das duas réguas seria exatamente o mesmo e estaria associado ao fato de as réguas terem sido ambas divididas em milí-metros (mm). Portanto, não podemos confundir erro de escala com o fato de a escala ser bem ou mal construída. Um termômetro não possui um erro de escala maior ou menor por ter sido mal aferido, mas sim por ter a sua escala em divisões maiores ou menores (1ºC ou 0,1ºC, por exemplo).

Quando definimos algarismos significativos de uma medida, dize-mos: “São algarismos significativos de uma medida, todos os alga-rismos que lemos com segurança mais um único algarismo duvi-doso”. Se formos medir a largura de uma mesa a palmos ninguém teria dúvidas sobre a necessidade de levar em consideração a fração da mão”que sobraria no final, 4,3 palmos (ver figura 1.4). A informa-ção contida na primeira casa decimal (0,3 palmos) teria sido encon-trada por avaliação, fazendo-se a comparação do pedaço de palmo que sobrou com o todo (o palmo inteiro). Observe que o último al-garismo da medida foi avaliado (“chutado”). O fato de fazermos esta comparação, ou analogia, para se obter a fração da unidade é que caracteriza o que chamamos de uma medida analógica. É impor-tante salientar que, mesmo não tendo certeza que a parte excedente da mesa seja 0,3 palmos, é obvio que esta informação é bastante confiável e aumenta significativamente a informação sobre a medi-da. Talvez alguém achasse que a parte excedente fosse 0,4 palmos, porém acreditamos pouco provável que alguém a avaliasse em 0,8 palmos, por exemplo.

Figura 1.4 -Mesa sendo medida a palmos.

27

Em outras medidas como, por exemplo, as de um relógio ou cronô-metro digital, todos os algarismos são lidos, inclusive o último, que mesmo assim deve ser interpretado como duvidoso.

Mesmo desconhecendo o processo interno do relógio, é certo que em um dado instante ele tem que decidir internamente qual medida mos-trar. Se o relógio mostra até segundos, o que ele fará com frações me-nores que um segundo? Desprezará? Arredondará para um valor mais alto? Na dúvida, consideramos o erro de escala como sendo a própria menor divisão de escala. A este tipo de medida chamamos de medida digital, onde todos os algarismos da medida são lidos. Na verdade, es-calas digitais são muito semelhantes a escalas de instrumentos de me-dida que usam uma escala auxiliar conhecida como nônio ou vernier, onde também todos os algarismos da medida são lidos. Costuma-se então dizer que tais tipos de medidas são não analógicas.

Como já foi dito anteriormente o erro total em uma medida deve levar em conta todos os tipos de erros a que a medida está sujeita, ou seja, o erro sistemático, o aleatório provável, o de escala etc. Porém, em muitas situações ocorre que um dos erros é relativamente tão maior que os outros, que podemos assumir este tipo de erro como preponderante. Neste caso podemos considerar que o erro da me-dida é, por exemplo, o erro de escala. Nesta seção, independente do valor dos outros erros, somente iremos nos preocupar com os erros de escala. Classificamos os instrumentos de medida de acordo com a forma de construção da escala, em dois tipos:

Instrumentos analógicosConsideramos como erro de escala a metade da menor divisão de escala. Alguns autores consideram que o erro de escala de um ins-trumento analógico varia de um décimo até a metade da menor di-visão. Como estamos definindo erro de escala como o máximo erro aceitável, devido exclusivamente à divisão de escala do aparelho, a nossa definição está de pleno acordo com a maioria dos autores. Pela definição acima, o erro de escala de nossa medida da largura da mesa, utilizando a própria mão, seria então “meio palmo”. Se quiséssemos representar o valor da medida com o respectivo erro, teríamos:

(4,3 0,5) palmos= ± palmos

Figura 1.5 – Instrumento digital

28

Observe que na realidade isto significa dizer que a nossa mesa mede algo entre 3,8 palmos, ou seja, (4,3 - 0,5) e 4,8 palmos, ou seja, (4,3 + 0,5). Assim, esta maneira de representar a medida nos dá os limites de sua confiabilidade devido à limitação do instrumento usado.

Instrumentos não analógicosTodo instrumento que não permita avaliação de nenhum algarismo da medida é dito não analógico. Nesta categoria, incluímos aqueles que possuem nônio (ou vernier).

Nônio ou Vernier são exatamente o mesmo tipo de escala auxiliar, porém por razões históricas alguns historiadores da ciência relatam como invenção do físico português Pedro Nunes (Alcácer do Sal 1492 – Coimbra 1577). Nônio seria a versão latinizada para o sobrenome Nunes. Outros historia-dores atribuem a invenção ao físico francês Pierre Vernier (1580 – 1637). Vernier nasceu quando Nunes já estava morto e não parece haver razão para dúvidas sobre quem foi o seu real inventor.

Na realidade, o nônio não precisa necessariamente ser decimal. Na figura (1.6b) vemos um nônio que divide meio grau em trinta minutos, portanto, um nônio sexagesimal. O que difere fundamen-talmente das medidas analógicas é que agora todos os algarismos foram lidos, nenhum algarismo foi avaliado. Neste caso, considera-mos que o erro de escala é a menor divisão de escala.

Figura 1.6 - Dois instrumentos dotados de nônio: (a) Paquímetro com um detalhe da leitura; (b) Escala de leitura de um espectrômetro, destacando o nônio.

Exemplos comuns de instrumentos deste tipo são: a trena, termômetros analógicos (como os termômetros clínicos, por exemplo) e micrômetros analógicos.

VernierNônio ou vernier é o nome que se dá a um tipo de esca-la auxiliar, usado em inúme-ros instrumentos nos quais a medida é feita pela leitura direta na escala principal do aparelho até o zero do nô-nio, acrescida de mais casas decimais lidas no nônio, por coincidência de um traço do nônio com um traço da es-cala principal.

29

Na figura (1.6a) vemos um paquímetro com nônio de 20 partes. Como o nônio é uma escala auxiliar cuja função é dividir em partes menores a escala principal, então este nônio deve estar subdividin-do uma divisão da escala principal (1mm) em 20 partes. A menor divisão de escala do aparelho, portanto, é 0,05mm (= 1mm/20).

A leitura deve ser feita na escala principal até o zero do nônio. Fa-zendo-se essa leitura chegamos a 17mm e observamos que sobrou uma quantidade que será lida com o auxílio do nônio, observando qual o traço do nônio coincide com um traço qualquer da escala principal (observe o detalhe na figura 1.6 (a)).

Podemos ver que o traço coincidente é o traço 1, ou melhor 0,1, ou melhor ainda 0,10. Isto porque se tivéssemos escolhido o traço an-terior, ele seria 0,05 e o posterior 0,15. Para sermos coerentes, lemos 0,10 e não 0,1. O resultado final da medida será: 17,10mm.

Fica claro que em um instrumento com nônio (ou não analógico) o erro de escala é igual à menor divisão de escala. Assim o erro de es-cala deste aparelho (nem todos os paquímetros são iguais) é 0,05mm e, portanto, a maneira correta de apresentarmos a medida será:

S = (17,10 ± 0,05) mm

O outro aparelho mostrado (figura (1.6b)) é um goniômetro que, na verdade, é parte de um aparelho que você utilizará no laboratório 4 (espectrômetro) e que mede ângulos. A primeira coisa a se notar é a menor divisão da escala principal. Depois disso, em quantas partes o nônio se divide e, finalmente, qual é a menor divisão do nônio, que é a menor divisão do aparelho e, também, o erro de escala.

Olhando para a escala principal entre 10 e 20 existem 20 divisões. Portanto, a menor divisão será (20° - 10°)/20 = 0,5°. Ainda, como 1°=60', a menor divisão da escala principal é 0,5° = 60'/2 = 30'. Olhe agora para o nônio e observe que ele possui 30 divisões. A menor divisão do nônio e, portanto, do aparelho, é 30'/30 =1'. Observando ainda que o zero do nônio está entre 11,5º e 12º, ou seja 11,5º, ou melhor ainda 11º e 30', procure agora o traço coincidente do nônio com a escala principal. Lembre que você deve escolher o traço que melhor coincida e, no caso de ter dúvida entre 3 traços, por exemplo,

Não é o canto do nônio e sim o zero.

30

deve escolher o traço do meio. O traço coincidente é o traço 27 (27') e a leitura é, portanto:

q = (11°57' ± 1') ou 11° + (57 ± 1)'

Podemos concluir nossa discussão sobre erros de escala di-zendo que: todo instrumento que permite a avaliação do úl-timo algarismo por comparação à menor divisão da escala terá seu erro dado pela menor divisão da escala dividida por dois. Os instrumentos que se enquadram nesta catego-ria são ditos analógicos. Por outro lado, todo instrumento que não permite tal avaliação é dito não analógico. Enqua-dram-se nesta segunda categoria os instrumentos digitais e aqueles que dispõem de uma escala auxiliar conhecida como nônio.

Ao avaliar o erro de escala, procure responder a quatro perguntas:

O instrumento é analógico (dá pra ler entre traços)?1)

Qual é a menor divisão de escala do aparelho?2)

Qual é o erro de escala do aparelho?3)

Qual é a leitura do aparelho? (Anote corretamente na forma (4) M ± ∆M) unidade).

Na figura (1.7), são mostrados alguns exemplos em que você pode testar o que acabou de aprender sobre erros de escala. Faça as leitu-ras correspondentes em cada caso, usando o procedimento indicado pelas quatro perguntas acima.

31

Figura 1.7 – Vários instrumentos comuns de medida, apresentando diversas medidas.

1.5 Propagação de errosEm um procedimento experimental para estudar determinado fe-nômeno físico, precisamos, em geral, medir determinadas quan-tidades diretamente, usando para isso instrumentos de medida e técnicas apropriadas. No entanto, é comum que tenhamos que ma-nipular numericamente as medidas assim obtidas a fim de obter outras grandezas associadas às nossas medidas originais.

32

Um exemplo simples é a determinação da velocidade média de um corpo em um determinado intervalo do seu movimento. Para isso, precisamos medir diretamente a distância ou espaço percorrido pelo corpo, assim como o tempo gasto para isso, com auxílio de instru-mentos correspondentes (por exemplo, uma trena e um cronôme-tro). A partir daí obtemos a velocidade média no intervalo usando a definição, ou seja, dividindo-se o espaço pelo tempo.

Ocorre que tanto a medida de espaço como a de tempo carregam consigo erros devidos às limitações dos instrumentos usados, e er-ros associados aos procedimentos de medida utilizados, como er-ros aleatórios. Como então podemos expressar o valor obtido para a velocidade do corpo incluindo tais efeitos? Em outras palavras, dizemos que os erros associados às nossas medidas de tempo e espaço se propagam para a medida final da velocidade.

Podemos agora imaginar várias outras situações semelhantes ao exemplo dado acima. Precisamos, portanto, de um método geral de obtenção para o erro propagado sempre que efetuarmos operações matemáticas envolvendo números provenientes de medidas diretas, ou seja, aquelas obtidas diretamente de um procedimento experi-mental. Para ilustrar como podemos chegar ao resultado desejado, vamos considerar inicialmente as quatro operações básicas. Supo-nha que tenhamos efetuado duas medidas x1 e x2 e tenhamos ainda estimado os erros associados 1x∆ e 2x∆ respectivamente. O resulta-do da soma destas duas quantidades (acompanhadas dos seus res-pectivos erros de medida) será:

1 1 2 2( ) ( )y y x x x x± ∆ = ± ∆ + ± ∆ ,

Uma vez que o erro de cada medida tem igual chance de causar um aumento ou diminuição no valor de cada uma delas, vamos consi-derar todas as possibilidades, quais sejam:

1 2 1 2( ) ( )y y x x x x± ∆ = + + +∆ + ∆ ou,

1 2 1 2( ) ( )y y x x x x± ∆ = + + -∆ + ∆ ou,

1 2 1 2( ) ( )y y x x x x± ∆ = + + +∆ - ∆ ou ainda,

1 2 1 2( ) ( )y y x x x x± ∆ = + + -∆ - ∆ .

33

Assim, vemos que o maior erro que podemos cometer ao somar as duas quantidades será (para mais ou para menos) a soma dos erros de cada parcela, ou seja,

1 2 1 2( ) ( )y y x x x x± ∆ = + ± ∆ + ∆ . (1.5)

Usando agora os mesmos argumentos utilizados para o caso da soma, podemos concluir que na subtração teremos:

1 2 1 2( ) ( )y y x x x x± ∆ = - ± ∆ + ∆ , (1.6)

onde y representa agora a diferença entre as duas quantidades. As-sim, tanto na soma como na subtração, o erro será a soma dos erros de cada parcela.

Vejamos agora o que deve ocorrer com o erro no caso do produto. Teremos:

1 1 2 2( ).( )y y x x x x± ∆ = ± ∆ ± ∆ ,

e efetuando o produto termo a termo:

1 2 1 2 2 1 1 2. . . .y y x x x x x x x x± ∆ = ± ∆ ± ∆ ± ∆ ∆ .

Aqui, podemos fazer a hipótese de que os erros sejam consideravel-mente menores do que as medidas correspondentes, ou seja, x x∆ . Com isto, podemos ver que o último termo na equação acima deve ser desprezível em relação aos demais, já que se trata do produto de duas quantidades relativamente pequenas, o que será relativamente ainda menor. Assim, obtemos com boa aproximação:

1 2 1 2 2 1. ( . . )y y x x x x x x± ∆ ± ∆ + ∆ . (1.7)

Concluímos que, ao efetuar o produto de duas grandezas 1 e 2, o erro resultante será o produto da medida 1 pelo erro da medida 2 mais o valor da medida 2 multiplicado pelo erro da medida 1.

34

Exemplo 1.1: Queremos obter a área de uma chapa de madeira re-tangular. Para isto medimos, com o auxílio de uma trena, os dois lados da chapa e obtemos:

1 (37,58 0,05)l cm= ± e 2 (149,25 0,05)l cm= ± .

A área será, portanto:

37,58 149,25 (37,58 0,05 149,25 0,05)A = × ± × + × , ou seja:

2

5608,815 9,3415(5609 9)

AA cm

= ±

= ± 2

5608,815 9,3415(5609 9)

AA cm

= ±

= ± cm2

Observe que, na última passagem, arredondamos o erro propagado para um algarismo apenas, e o valor da área também foi arredonda-do de tal forma que o algarismo duvidoso seja o mesmo do erro, ou seja, a casa decimal correspondente à unidade neste caso.

Exemplo 1.2: Suponha agora que as medidas do exemplo anterior ( 1l e 2l ) correspondam, respectivamente, à altura e à base de um triângulo. Qual é a área do triângulo e seu respectivo erro?

Sabemos que a área do triângulo é dada por 2

bxhA = , sendo b a base e h a sua altura. Neste caso, escrevemos:

1 1 2 2( ).( )2

l l l lA ± ∆ ± ∆= ,

37,58 149,25 (37,58 0,05 149,25 0,05)2

A × ± × + ×= ,

2

2804,4075 4,67075(2804 5)

AA cm

= ±

= ± 2

2804,4075 4,67075(2804 5)

AA cm

= ±

= ± cm2

Observe que tanto a área quanto o erro correspondente foram divi-didos pela constante 2. Esta última, por ser uma constante de fórmu-la, não tem erro (o erro é igual a 0). Em outras palavras, se você usar a regra da divisão (que será vista a seguir) para incluir o cálculo do fator dois com erro zero, vai obter o mesmo resultado acima.

35

Consideremos agora o caso da divisão. Escrevemos:

1 1

2 2

( )( )

x xy yx x

± ∆± ∆ =

± ∆, ou também

1 1

2 2 2 2( ) ( )x xy y

x x x x∆

± ∆ = ±± ∆ ± ∆

,

1 11 2 1 2

2 2 2 2

.(1 ) .(1 )x x x xy yx x x x

- -∆ ∆ ∆± ∆ = ± ± ± .

Usaremos novamente o fato de que o erro deve ser relativamente pe-queno em relação à medida correspondente, o que pode ser expres-

so como 1xx

∆ . Nestas condições podemos usar a propriedade:

(1 ) 1 .nx xn

x x-∆ ∆

± ≈ ± , (1.8)

onde n é uma constante podendo ser um número inteiro ou fração. Aplicando este último resultado, obtemos:

1 1 2 1 1 22 2

2 2 2 2

. .x x x x x xy yx x x x

∆ ∆ ∆ ∆± ∆ = ± ± ± ,

e, desprezando o último termo como fizemos no caso da multiplica-ção, temos finalmente:

1 1 2 2 12

2 2

. .( )x x x x xy yx x

∆ + ∆± ∆ ± , (1.9)

Assim, ao dividirmos a medida 1 pela medida 2, o erro resultante será o produto da medida 1 pelo erro da medida 2 mais o valor da medida 2, multi-plicado pelo erro da medida 1, dividido pela medida 2 elevada ao quadrado.

Exemplo 1.3: Um corpo de massa (13,54 0,01)m g= ± g percorre uma distância (84,6 0,7)s cm= ± cm com velocidade constante durante um intervalo de tempo (9,325 0,001)t s= ± s. Qual é a quantidade de mo-vimento do corpo durante seu movimento?

A quantidade de movimento, ou simplesmente momento linear, é

dada por sp mv mt

= = . Vamos inicialmente calcular a velocidade:

36

(84,6 0,7)(9,325 0,001)

svt

±= =

±,

2

84,6 84,6 0,001 9,325 0,79,325 (9,325)

x xv += ± ,

9,072386 0,076039v = ± .

E, para o momento linear, obtemos:

(13,54 0,01) (9,072386 0,076039)p x= ± ±

13,54 9,072386 (13,54 0,076039 0,01 9,072386)p x x x= ± +

122,8401064 1,12029192(123 1) . / .

pp g cm s

= ±= ±

122,8401064 1,12029192(123 1) . / .

pp g cm s

= ±= ± g.cm/s

Pode-se agora facilmente descobrir como se propaga o erro no caso de elevarmos um número a uma determinada potência n (lembran-do que n pode ser inteiro ou fração). Usando novamente a proprie-dade dada pela equação (1.8), teremos:

( )ny y x x± ∆ = ± ∆

(1 )n nxy y xx

∆± ∆ = ±

(1 . )n xy y x nx

∆± ∆ ≈ ± , e assim:

1.n ny y x n x x-± ∆ ± ∆ . (1.10)

Exemplo 1.4: Uma esfera tem diâmetro (23,568 0,005)d mm= ± mm. Qual é o seu volume?

O volume da esfera é dado por: 3 34 13 6

V r d= = , onde r é o raio da

esfera. Teremos, então, para o volume e seu respectivo erro:

3 2.( 3. . )6

V d d d= ± ∆

,

onde 0,005d∆ = . Portanto,

3

6854,358428 4,362499(6854 4) .

VV mm

= ±

= ± 3

6854,358428 4,362499(6854 4) .

VV mm

= ±

= ± mm3.

37

Para aqueles que já têm alguma familiaridade com o cálculo de deriva-das de uma função, é possível desenvolver uma fórmula geral para o cálculo do erro propagado que inclui os resultados acima como casos particulares. Apresentamos a seguir, sem demonstração, a fórmula final que é também conhecida como equação do erro indeterminado.

Suponha que uma determinada grandeza (y) possa ser obtida a par-tir de uma função dada que depende de várias outras grandezas que denotaremos aqui por 1 2 3, , ,...... nx x x x , onde n representa o número de variáveis das quais a grandeza y depende. Usando uma lingua-gem matemática mais apropriada, escrevemos:

1 2 3( , , ,..... )ny f x x x x= .

Ocorre que se para calcularmos y temos que medir 1 2 3, , ,...... nx x x x , e se para cada medida corresponde um erro 1 2 3, , ,..........., nx x x x∆ ∆ ∆ ∆ , então o erro propagado em y será:

1 2 3

1 2 3

| | | | | | .... | | nn

f f f fy x x x xx x x x

∂ ∂ ∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + + ∆

∂ ∂ ∂ ∂. (1.11)

Na expressão acima, 1

fx

∂∂

representa a derivada da função dada f em

relação à variável 1x , ou seja, calcula-se a derivada em relação a 1x como se todas as outras quantidades ( 2 3, ,.... nx x x ) fossem constantes. E de forma análoga para o cálculo dos demais termos. Observe que o valor numérico de cada uma das derivadas deve ser tomado em módulo (|

1

fx

∂∂

| etc.).

A vantagem de utilizarmos a equação (1.11) é que não precisamos apli-car sucessivamente as regras obtidas para cada uma das operações fundamentais quando a grandeza y depende de muitas variáveis.

Exemplo 1.5: Consideremos os dados do exemplo (1.3). O momento linear é dado por

. sp mt

= .

Assim, de acordo com a equação (1.11), o erro será dado por:

38

| | | | | |p p tp m s tm s t

∂ ∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂.

Teremos, portanto:

2

.

,

. ,

p sm tp ms tp smt t

∂=

∂∂

=∂∂

= -∂ 2

.

,

. ,

p sm tp ms tp smt t

∂=

∂∂

=∂∂

= -∂ 2

.

,

. ,

p sm tp ms tp smt t

∂=

∂∂

=∂∂

= -∂

Substituindo os valores numéricos, teremos:

2

84,6 13,54 84,6.0,01 .0,7 13,54. .0,0019,325 9,325 9,325

p∆ = + +

e finalmente:

0,09072386 1,016407 0,01317321,120303861.

pp

∆ = + +∆ =

Obtemos para a quantidade de movimento do corpo, como anterior-mente:

(123 1) / .p gcm s= ± gcm/s.

Pode ocorrer que, em algumas operações envolvendo medidas expe-rimentais, devido à forma como o cálculo é desenvolvido, ou mesmo quando o erro experimental não é conhecido, o resultado final deva ser arredondado e, dada nossa ignorância do erro associado, temos que decidir em qual casa decimal isto deve ser feito. Nestes casos, existe uma regra prática que, embora não seja tão precisa quanto a da obtenção do erro propagado, pode ser utilizada como forma alterna-tiva de arredondamento. Na verdade, esta regra se divide em duas:

Ao somar ou subtrair duas ou mais grandezas obtidas experi-1) mentalmente, deve-se arredondar o resultado na casa decimal correspondente à parcela com menor número de casas deci-mais. Por exemplo:

5,64 12,394 18,034 18,03125 23,15 101,85 102

+ =

- =

39

Ao multiplicar ou dividir duas ou mais grandezas, deve-se 2) conservar o número de algarismos significativos da parcela com o menor número de algarismos. Considere agora os exem-plos abaixo:

1

12,45 7,2 89,64 90134 2 67 7 103,52 4,7 112 0,1477142857 0,15

× =

÷ = ×

× ÷ =

Caso as duas regras acima tenham que ser aplicadas sucessivamen-te, procure sempre efetuar o arredondamento ao final de todas as operações, como por exemplo no caso abaixo:

(25,0 33,44) (13,84 5,211) 58, 44 8,629 504,27876 504+ × - = × =

É importante observar nos dois grupos de exemplos acima, a diferen-ça entre casas decimais e número de algarismos significativos. A ra-zão para tal diferença é devido à maneira como a soma e a subtração são efetuadas em relação às demais operações. De qualquer forma, tome estas regras como uma alternativa aproximada, lembrando que, sempre que possível, o cálculo do erro propagado é a forma mais pre-cisa de se obter a posição do algarismo duvidoso no resultado final.

Em outras operações, como exponenciação, radiciação, logaritmação, etc.., mantem-se o número de significativos da medida original. Se-guem-se alguns exemplos:

2

3,5

(2, 456) 6,031936 6,032

45 6, 7082039324 6,7ln(250)=5,5214609178 5,52

33,11545195 33e

=

=

=

1.6 Erro percentualUma forma útil de comparar valores de grandezas medidas com valores tabelados ou calculados pela teoria, ou mesmo comparar valores medidos, obtidos por métodos experimentais diferentes, é

40

através do cálculo do chamado erro percentual. Imagine, por exem-plo, que você obteve para uma dada grandeza física, o valor medido x e seja x o valor obtido a partir de uma tabela ( em geral valores tabelados são considerados os mais precisos ou os valores médios obtidos a partir de medidas de várias fontes diferentes e portanto mais confiáveis). O erro percentual de sua medida em relação ao valor tabelado sera dado por:

| |% 100x xEx-

= × .

Note que a diferença entre o valor medido e o tabelado é tomada em módulo, já que só nos interessa saber o valor absoluto dessa di-ferença, não importando qual deles é maior ou menor. Por exem-plo, suponha que você use um densímetro (instrumento que mede a densidade de líquidos) para medir a densidade de uma amostra de glicerina, encontrando o valor 1,255 ( adimensional), a uma tempe-ratura de 20 °C. Consultando uma tabela de densidade de líquidos, encontramos por sua vez o valor 1,2604, medido à mesma tempera-tura. O erro percentual sera portanto:

|1, 235 1,2604 |% 100 2,01523 2%.1,2604

E -= × = ≈

Observe que na apresentação do erro percentual, o número de sig-nificativos não é muito importante, já que estamos apenas interessa-dos em conhecer a ordem do desvio do valor medido em relação a outro valor padrão, que, em geral, também foi medido usando mé-todos e instrumentos diferentes e portanto, com precisão também diferente. A representação do erro percentual com um, dois ou no máximo três algarismos, é suficiente.

Exercícios Escreva os números abaixo usando notação científica:1)

a) 25,69 b) 0,00031

c) 203.194

41

Identifique o número de algarismos significativos em cada 2) caso a seguir:

a) 2,557 b) 0,1416

c) 220×103 d) 0,0025

e) 4250

Efetue as operações abaixo e expresse os resultados de acordo 3) com as regras de arredondamento:

a) 3,103 0232+ = b) 29,00 0,0649- =

c) 12,6 7,544× = d) 0,05 2÷ =

e) 3,57 = f) 0,5 10× =

Um instrumento de medida analógico tem sua menor divisão 4) de escala (numa dada unidade de medida) igual a 0,03. Qual o erro de escala do dito instrumento?

Um instrumento de medida digital tem sua menor divisão de 5) escala (numa dada unidade de medida) igual a 0,1. Qual o erro de escala do dito instrumento?

A base de um retângulo mede 6) (6,325 0,005)cmb = ± e sua lar-gura é (26,54 0,05)cml = ± . Calcule sua área. Obtenha o erro propagado no cálculo da área.

S = S∆ =

As bases de um trapézio medem respectivamente 7)

1 (8,543 0,005) mmb = ± e 2 (12,334 0,005) mmb = ± . A altura do trapézio também é medida e vale (12,48 0,05)cmh = ± . Obte-nha a área do trapézio com o respectivo erro propagado e es-creva o resultado no formato padrão ( )y y± ∆ unidade.

Em um experimento para a determinação do valor da constante 8) elástica k de uma determinada mola, foram utilizados cinco (5) objetos de massas semelhantes. Para cada massa m, foi verificada a elongação x da mola. Na tabela abaixo encontram-se os valores obtidos na experiência, com os respectivos erros de escala.

42

m (g) 49,90 0,01± 50,67 0,01± 50,27 0,01± 49,71 0,01± 50,85 0,01±

x (cm) 5,90 0,05± 6,10 0,05± 6,00 0,05± 5,95 0,05± 6,20 0,05±

A constante elástica da mola pode ser calculada usando a

lei de Hooke: ,Fkx

= sendo que F é dado por: ,F m g= ⋅ e 2979,15cm/s .g =

a) Calcule os valores médios (valores mais prováveis) de m e x.

b) Determine os erros aleatórios prováveis de m e x.

c) Calcule o valor da constante elástica k da mola, com a sua respectiva unidade e respeitando o número adequado de algarismos significativos.

d) Determine o erro propagado da constante elástica da mola, e escreva todos os resultados (massa, elongação e constante elástica) no formato padrão: ( )y y± ∆ unidade.

Em um dado experimento pode-se determinar a posição de um 9) corpo, medido em relação à origem do sistema de coordenadas, como função do tempo. A equação que relaciona estas duas grandezas é dada por : A B .x t= + Na tabela abaixo estão repre-sentadas cinco medidas efetuadas para um determinado ponto da trajetória do corpo, com os respectivos erros de escala.

t (s) 0,622 0,001± 0,627 0,001± 0,625 0,001± 0,622 0,001± 0,624 0,001±

x (cm) 19,08 0,05± 19,02 0,05± 19,09 0,05± 19,07 0,05± 19,05 0,05±

Sabe-se ainda que a constante A vale 10,00cm.

a) Calcule os valores médios (valores mais prováveis) de t e x.

b) Determine os erros aleatórios prováveis de t e x.

c) Calcule o valor da constante B, com a sua respectiva unida-de e determine o erro propagado para tal constante.

d) Escreva todos os resultados (tempo t, posição x e constante B) no formato padrão: ( )y y± ∆ unidade.

43

Para a determinação da massa específica de um pequeno 10) cilindro de latão, foram realizadas diversas medidas de sua massa e do seu volume. Os resultados estão apresentados na tabela abaixo:

M (g) 38,38 0,01± 38,36 0,01± 38,37 0,01± 38,34 0,01± 38,30 0,01±

V (cm3) 4,54 0,05± 4,50 0,05± 4,51 0,05± 4,48 0,05± 4,42 0,05±

a) Calcule os valores médios (valores mais prováveis) de m e V.

b) Determine os erros aleatórios prováveis de m e V.

c) Sendo que a massa específica ( ) é dada por ,mV

= de-

termine o seu valor, respeitando o número adequado de algarismos significativos, e obtenha o erro percentual em relação ao valor tabelado 3( 8,3934g/cm ).=

d) Determine o erro propagado da massa específica, e escreva todos os resultados (massa, volume e massa específica) no formato padrão: ( )y y± ∆ unidade.

ResumoNeste Capítulo vimos que os instrumentos de medida podem ser classificados em analógicos e não-analógicos (ou digitais) e que o número de algarismos significativos utilizados para representar a medida depende desta distinção, assim como da precisão da escala do instrumento, a qual define o chamado erro de escala do instru-mento de medida. Além disso, aprendemos que é possível estimar os chamados erros aleatórios em uma medida, efetuando-a repeti-das vezes e usando métodos baseados em estatística para esta esti-mativa. Além destes, podemos ainda distinguir os chamados erros sistemáticos, os quais, uma vez detectados devem ser evitados ou compensados no processo de medida. Finalmente, o cálculo do erro propagado em uma operação matemática envolvendo quantidades medidas experimentalmente foi discutido e um método de obtenção do mesmo foi apresentado. Todos os conceitos aqui apresentados deverão ser utilizados na análise dos resultados experimentais que serão obtidos nos experimentos propostos a partir do Capítulo 3.

Capítulo 2Gráficos

Capítulo 2Gráficos

Neste capítulo o aluno desenvolverá técnicas que permi-tam extrair informações (parâmetros e/ou constantes) a partir de uma série de dados experimentais, através de técnicas gráficas, propondo uma equação matemática que relacione duas variáveis obtidas experimentalmen-te. Ao final o aluno deverá ser capaz de :

a) dado um conjunto de medidas de duas variáveis, identificar as variáveis dependente e independente respectivamente, escolhendo qual delas deve ser re-presentada em cada um dos eixos coordenados;

b) dividir adequadamente as escalas em um gráfico, usando algumas regras fornecidas;

c) marcar adequadamente os pontos experimentais;d) traçar a melhor reta que passa pelos pontos marca-

dos. Caso a equação original proposta não seja li-near, fazer as modificações necessárias para que a função torne-se linear (quando possível);

e) utilizar, se necessário, papeis de gráfico especiais de-cidindo quando usar estes papéis;

f) calcular o coeficiente de correlação e através de sua análise, concluir a respeito da validade ou não da proposta inicial.

2.1 IntroduçãoQuando temos um número muito grande de medidas com mais de uma variável, torna-se praticamente impossível (ou pelo me-nos muito difícil) analisar os dados experimentais. Quando, por exemplo, um médico quer examinar os batimentos cardíacos de uma pessoa, ele pode simplesmente utilizar um estetoscópio e observar se os tempos entre estes batimentos variam e como eles variam. Porém, se desejar fazer uma análise mais completa, este

48

sistema se mostra ineficiente e, neste caso, pode dispor de um apa-relho de eletrocardiograma, que nada mais é que um “estetoscópio com impressora que registra o gráfico dos batimentos em função do tempo”. É indiscutível que com o eletrocardiograma o exame é mais completo, e mais importante, ele é mais confiável.

Quando queremos estudar o comportamento da temperatura de um dado local em função do tempo, podemos fazer isso simplesmente olhando para uma planilha onde estejam tabulados as temperaturas e os respectivos tempos. Contudo, é indiscutível que esta tarefa seria menos trabalhosa e mais eficiente se tivéssemos um gráfico destas temperaturas em função do tempo. Tal comportamento é mostrado na figura 2.1 para a temperatura média de nosso planeta ao longo de um período de aproximadamente 150 anos. A curva teórica de-nominada de “ajuste polinomial” é uma tentativa de reproduzir a tendência dos pontos experimentais que nos permite prever o que deve ocorrer com a temperatura média do planeta no futuro, caso as condições permaneçam as mesmas que levaram a esta curva.

Aquecimento global

Tem

pera

tura

méd

ia (°

Cels

ius)

Média anual Média 5 anos Ajuste polinomial

0.35

-0.35

0.25

-0.25

-0.55

1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000

-0.45

0.15

-0.15

0.05

-0.05

Figura 2.1 - Gráfico retirado, traduzido e adaptado do software Grapher

Quando alguém quer construir uma casa, poderia passar as infor-mações a um engenheiro ou construtor. Porém, o número de infor-

Número de peças, área das peças, disposição etc.

49

mações necessárias além das já citadas é tão grande que a inexistên-cia de uma planta detalhada (gráfico) praticamente inviabilizaria a obra ou, no mínimo, dificultaria extremamente a previsão do resul-tado final. O cliente imaginaria uma casa e o construtor faria outra completamente diferente.

Teríamos inúmeros exemplos da importância do uso de gráficos em quase todos os tipos de atividades que vão da medicina à engenha-ria, passando por lazer, os mapas geográficos e de turismo. As re-vistas em quadrinhos são livros com gráficos, a televisão e o cinema são “rádios com gráficos”. Acreditamos, assim, ser desnecessário nos alongarmos nesta discussão.

2.2 Construindo um gráficoQuando um físico, um engenheiro, um médico ou qualquer profis-sional constrói um gráfico, ele o faz para que outro profissional o leia. Para que isto ocorra sem maiores problemas de entendimento, é necessário seguir algumas normas que evitem interpretações am-bíguas ou errôneas. Consideramos, assim, que alguns passos devam ser dados no sentido de eliminarmos ao máximo tais ambigüidades, quais sejam:

Escolha e identificação dos eixos (variáveis dependentes e independentes)Quando temos uma função qualquer de duas variáveis y = f(x), os matemáticos dizem que y depende de x, porém se reescrevermos a função isolando x, teríamos ( )x f y= ′ e agora esses mesmos mate-máticos diriam que x depende de y.

Para os físicos, uma variável depende da outra ou não, independen-te de como foi escrita a equação. Por exemplo, a altura de uma crian-ça depende da sua idade e não o contrário. Isto significa que, inde-pendentemente da maneira como escrevemos a equação, a altura da criança sempre depende da sua idade e não o contrário.

Quase sempre em eventos que dependam do tempo, como o espa-ço percorrido, a temperatura do dia e a velocidade de um móvel,

Área e posição das janelas e portas, altura das janelas e

portas, número de tomadas elétricas, suas posições etc.

NormasConvenções

50

a variável independente é o tempo, pois ele continua a transcorrer independente do móvel parar ou não ou da temperatura da sala su-bir ou não. Porém, existem situações em que a afirmativa anterior é falsa e isto ocorre, por exemplo, quando fixamos as posições de dois sensores de tempo em um trilho de ar e, posteriormente, medimos o tempo de passagem de um carrinho. Nessa condição, a variável intervalo de tempo depende da variável posição.

Na realidade, definimos qual é a variável independente ou dependente respondendo às seguintes perguntas: “O que aconteceu primeiro?” (variável independente) e “O que foi conseqüência?” (variável dependente).

Observe que para uma mesma equação física, uma mesma variável pode ser variável dependente em uma dada situação e variável inde-pendente em outra situação. Porém, essa mudança decorre da mu-dança de situação física e não da maneira como foi escrita a equação.

Começamos o gráfico, então, sempre com uma pergunta: Qual é a variável dependente? Quando definimos isso, automaticamente, es-taremos definindo a outra variável como independente.

No eixo vertical devemos colocar, sempre que possível, a variável dependente e, no eixo horizontal, a variável independente. Existirão situações em que é difícil saber qual é a variável dependente e qual é a independente e existem outras situações em que por alguma razão (hábito, por exemplo), é conveniente não respeitar esta regra. Lembra-mos, entretanto, que esta situação deve ser a exceção e não a regra.

A primeira norma a ser seguida é escolher para o eixo vertical a variável dependente. Na extremidade superior deste eixo devemos marcar a grandeza e a sua unidade. A variável independente deverá ser colocada no eixo horizontal. Devemos identificar a grandeza e a sua unidade na extremidade direita deste eixo.

Divisão da escalaNão podemos esquecer que o melhor gráfico é aquele que não neces-sita do uso de nenhum outro instrumento e que pode ser facilmente

Régua, calculadora, transferidor.

MarcarIdentificar

51

lido e compreendido. Para tanto, o gráfico deve ser limpo, porém preciso, ou seja, deve conter apenas as informações relevantes.

A primeira decisão sobre a escala é se ela deve ou não iniciar em zero. Normalmente, não é necessário começar a escala em zero. A fim de torná-la de fácil leitura, devemos adotar para um bloco de divisão (normalmente 10,0mm) valores como 1; 2; 2,5; 4; 5; 10 vezes uma potência de 10. Nunca, sob hipótese alguma, valores múltiplos de 3, 7, 11, 13, 17 etc. Tente dividir 1 cm (10,0mm) por um destes nú-meros e você entenderá a razão desta restrição.

Escolhida a grandeza que vai ser colocada em cada eixo, devemos di-vidir a escala levando em conta que o gráfico é, na essência, um ins-trumento de medida e não uma simples figura. Portanto, devemos ocupar o máximo espaço na escala disponível sem deixar de levar em conta a praticidade da leitura. Para simplificar a divisão da esca-la, podemos fazer uma divisão do intervalo de medida (maior valor de y – menor valor de y, ou seja, ymax - ymin) pelo tamanho do papel.

max min

Tamanho do papel(em cm)y y-

=

O resultado deste cálculo deve ser comparado com os valores acei-táveis de escala (1; 2; 2,5; 4; 5 ou 10).10n. Assumimos como divisão de escala, entre os valores aceitáveis, o valor igual ou mais próximo imediatamente superior ao resultado obtido.

Devemos, então, marcar os valores regulares na escala (marca-se a cada 5cm ou 4cm). Estes valores devem ser marcados com a mesma precisão da tabela de dados, ou seja, mesmo número de casas de-cimais das medidas. No eixo horizontal (eixo x), o procedimento é exatamente o mesmo, ou seja, consideramos a diferença entre o nos-so maior e menor valor de x e dividimos pelo tamanho (horizontal) do papel.

max min

Tamanho do papel(em cm)x x-

=

O resultado deste cálculo deve ser comparado com os valores acei-táveis de escala (1; 2; 2,5; 4; 5 ou 10).10n. Assumimos como divisão de escala, entre os valores aceitáveis, o valor igual ou mais próxi-

O tamanho do eixo vertical padrão no Brasil para o

papel milimetrado A4 é 28,0 cm, porém existem papéis com tamanhos diferentes.

O tamanho padrão do eixo horizontal de um

papel milimetrado A4 é normalmente 18,0 cm.

52

mo imediatamente superior ao resultado desta conta. Devemos, da mesma maneira como agimos no eixo y, marcar adequadamente os valores regulares da escala.

Marcação dos pontos experimentaisUma vez identificadas, divididas e marcadas as duas escalas, deve-mos proceder à marcação dos pontos experimentais, tendo o má-ximo cuidado em respeitar as posições corretas. Quando usamos as escalas aceitáveis esta tarefa é muito simples. Para evitar que se confunda um ponto experimental com alguma sujeira perdida no gráfico, os pontos experimentais devem ser realçados com um sím-bolo qualquer, sendo os mais usados: , , , , , , ⊕ ⊗ × + etc.

É muito comum algumas empresas usarem como símbolo indicador de ponto experimental algum logotipo ou brasão próprio da empre-sa. Quando temos que traçar duas ou mais curvas (ou retas) em um mesmo gráfico devemos usar símbolos diferentes para cada linha. Neste caso é conveniente indicarmos, em uma legenda no canto do gráfico, o que significa cada símbolo. Caso tenhamos na mesma curva pontos experimentais e teóricos é conveniente diferenciá-los, usando símbolos diversos.

T (decrescendo) T (crescendo)

Birr

efrin

gênc

ia (∆n)

Temperatura (°C)

0,003500

0,003000

0,002500

0,002000

0,001500

18,0 20,0 22,0 24,0 26,0 28,0 30,0

Figura 2.2 - Gráfico de birrefringência óptica para uma dada amostra em função da temperatura. Gráfico feito e adaptado do software OriginPro 7.5

53

Traçado da curvaPara o traçado da curva temos que considerar duas situações dife-rentes: caso a nossa escolha seja traçar à mão (sem calcular os parâ-metros da melhor reta/curva), devemos ter o cuidado e o bom senso de primeiro tentar identificar, olhando os pontos, qual é o tipo de curva que pode ser usada para reproduzir a tendência desses pon-tos. Uma vez identificada a curva, traçá-la suavemente pelos pontos usando régua, réguas flexíveis, curvas francesas etc. A curva, não necessariamente, passa em cima dos pontos mas, por outro lado, a curva não pode passar muito longe deles. Veja, por exemplo, os gráficos da figura 2.3.

Figura 2.3 - Três gráficos mostrando a variação da tensão em função da corrente para um mesmo resistor.

Observe que os três gráficos representam os mesmos pontos experi-mentais. O primeiro (esquerda) está evidentemente errado.

Se o fenômeno é linear, o resistor é ôhmico, o valor do parâ-metro angular ou inclinação da reta, que no caso é o valor da resistência, não pode variar.

O gráfico do meio também está errado, uma vez que, apesar de os dois primeiros pontos e o último estarem próximos da reta, o tercei-ro está muito afastado. O último gráfico (direita) é o que tem maior chance de ser uma boa escolha, pois ainda que a reta não passe

Régua flexívelRégua flexivel é aquela que permite traçar curvas.

54

sobre os pontos, fica evidente que há um equilíbrio no traçado e os afastamentos dos pontos estão sendo compensados. O segundo e o quarto ponto estão deslocados para cima da reta em uma quantida-de próxima à do afastamento do terceiro ponto que está deslocado para baixo.

Caso tenhamos calculado os parâmetros devemos escolher dois va-lores da variável independente, o mais distante possível no nosso gráfico, e aplicar na equação da melhor reta, calculando os valores para a variável dependente. Devemos marcar estes dois novos pon-tos com um símbolo diferente do anteriormente adotado para os pontos experimentais. Traçamos a reta por estes dois pontos.

Observe que neste caso, para o traçado da reta, só levamos em conta estes dois pontos. Isso é meia verdade, pois é obvio que se a escolha for adequada, a reta passará entre os pontos entre os pontos de ma-neira que fique visivelmente claro que a escolha foi adequada.

ExemploVejamos um exemplo prático de construção de gráficos, onde po-deremos recapitular, passo a passo, cada etapa da sua construção. Tomemos para isso o exemplo de um termômetro a gás a volume constante. Trata-se de um balão de vidro preenchido com um gás confinado, tendo como limitador um manômetro de mercúrio (veja figura 2.4). Em uma experiência com um termômetro de gás chegou-se aos seguintes dados:

t (ºC) 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0

P (mmHg) 819 846 872 903 931 958 986 1014

Sabendo que a temperatura de referência era 0,0ºC e que a equação que rege o fenômeno é:

0.(1 . )P P t= + ∆

trace o gráfico de P x t e determine os valores de P0 e com suas unidades.

Falaremos mais sobre isto quando, no momento adequado, trabalharmos a equação da melhor reta.

Figura 2.4 - Termômetro a gás

Mostraremos mais adiante como fazer isso.

∆P

∆T

∆h

55

1º Passo – Determinação de qual é a variável dependente e qual é a variável independente.

Pela descrição do equipamento, quando variamos a temperatura, a pressão também varia, como conseqüência, a pressão depende da temperatura. Então devemos marcar a pressão no eixo dos y e a tem-peratura no eixo x.

2º Passo – Divisão dos eixos x e y:

A divisão do eixo x :

O maior valor de x é 90,0ºC e o menor é 20,0ºC, então o intervalo que temos de marcar no eixo x é (90,0 – 20,0)ºC = 70,0ºC. O nosso papel é A4, tendo no eixo x 18,0cm. Então:

max min (90,0 20,0)º 70,0ºTamanho do papel(em cm) 18,0 18,0

x x C Ccm cm

- -= = = º3,88888... C

cm

max min (90,0 20,0)º 70,0ºTamanho do papel(em cm) 18,0 18,0

x x C Ccm cm

- -= = =

Comparando 3,888... com os valores aceitáveis de escala (1; 2; 2,5; 4; 5; 10) e lembrando que o valor escolhido tem que, necessariamente, ser maior ou igual, temos que a melhor escolha é 4. O que significa que cada centímetro do nosso eixo x do papel milimetrado corresponde a 4,0ºC. Ao marcar a escala x, não esqueça que a conta foi feita para iniciarmos a partir de 20,0ºC, e não de 0,0ºC.

A divisão do eixo y :

Para dividirmos o eixo y procedemos de maneira idêntica à usada para dividir o eixo x. Tomemos o máximo valor da variável depen-dente (1014mmHg) e o mínimo valor (819mmHg), extraímos a dife-rença entre eles e dividimos pelo tamanho do papel (eixo y).

max min (1014 819) 195Tamanho do papel(em cm) 28,0 28,0

y y mmHg mmHgcm cm

- -= = =

6,9642...mmHgcm

max min (1014 819) 195Tamanho do papel(em cm) 28,0 28,0

y y mmHg mmHgcm cm

- -= = =

56

Comparando com os valores aceitáveis de escala (1; 2; 2,5; 4; 5; 10), ve-mos que somos obrigados a usar a escala 10, o que implica que cada cm da nossa escala vale 10,0mmHg. Novamente nossa conta foi feita para começar a escala de um valor diferente de 0,0 e é visível que não podemos começar a marcar deste valor. Porém, fica também eviden-te que sobrará espaço na nossa escala sendo portanto no mínimo de-sagradavel (difícil de ler) a escala começar em um valor “quebrado” como 819mmHg. Recomendamos, então, iniciar a escala a partir do primeiro valor redondo anterior a este, no caso 800mmHg. Contudo, esses pequenos acertos aprendem-se com a prática. Não esqueça que o seu maior objetivo é construir um gráfico preciso e de fácil leitura.

3º Passo – Marcação dos eixos x e y:

Uma vez definida qual variável vai ser representada em qual eixo e as escalas divididas, devemos identificá-las, marcando nas suas ex-tremidades as grandezas e as suas respectivas unidades. Os valores dos pontos, não necessariamente, serão marcados na escala, apenas os que forem valores regulares, caso contrário, não devem ser mar-cados. Quanto menos “poluição” no gráfico, melhor.

Observe, por exemplo, como é fácil encontrar o ponto 819mmHg nes-ta escala: se cada cm do papel vale 10mmHg, basta encontrarmos o valor 800mmHg e contarmos 19mm. Este é o ponto. Sendo esta mar-cação na escala completamente dispensável e até mesmo prejudicial à boa leitura do gráfico, só devemos marcar os valores regulares.

4º Passo – Marcação dos pontos experimentais:

Marque todos os pontos experimentais. Se a sua escala foi bem divi-dida, esta tarefa é muito simples. Não esqueça de usar algum tipo de marcador/identificador dos pontos experimentais. Caso você tenha feito algum sinal auxiliar na escala para marcar os pontos, remova-os, pois agora só dificultarão a leitura da escala.

5º Passo – O traçado da curva/reta:

Temos duas situações diferentes:

57

Primeira situação – Quando não calculamos a equação da melhor reta/curva:

Neste caso, simplesmente tomamos uma régua, de preferência transparente (se for uma reta), ou uma curva francesa ou semelhan-te (se for uma curva) e a posicionamos sobre os pontos tentando co-locar a régua/curva francesa de modo que a reta/curva passe o mais próximo dos pontos, porém, tendo o cuidado para que a reta/curva não passe exatamente sobre eles e que fiquem distribuídos de forma equilibrada em torno da reta/curva. Queremos desenhar a reta/cur-va que passe simultaneamente o mais próximo possível de todos os pontos. Em resumo, a reta/curva deve ser traçada usando o máximo de bom senso, evitando torções ou afastamentos exagerados.

Segunda situação – Quando calculamos a equação da melhor reta:

Veremos mais detalhes e um exemplo resolvido após deduzirmos a equação dos mínimos quadrados (equação da melhor reta).

Lembre a equação da reta, que você já deve ter estudado no ensino médio (e/ou em geometria analítica),

.y A B x= +

Para encontrarmos o parâmetro angular B, basta termos as coorde-nadas (xi,yi) para dois pontos quaisquer e assim:

2 1

2 1

y yBx x

-=

-

Para calcular ,A escolhe-se um destes dois pontos e substitui-se na equação da reta, ou seja:

1 1,A y Bx= -

lembrando que agora B é conhecido.

As únicas ressalvas são:

Os pontos, necessariamente, têm que pertencer à reta. Isto pa-•rece óbvio, porém, lembre-se do fato da reta, não necessaria-mente, passar pelos pontos experimentais (veja o ponto (40,0ºC;

58

872mmHg), por exemplo). Se fosse para pegar dois pontos quaisquer da tabela, para que construir o gráfico? O gráfico é, na realidade, uma forma de calcular a média do compor-tamento da função que relaciona duas variáveis estudadas, a partir de uma série de valores medidos para essas grandezas.

Para minimizar os erros de leitura, devemos escolher dois pon-•tos no gráfico o mais distantes possível. Isto evita (minimiza) erros de avaliação, tornando os nossos cálculos mais precisos.

Figura 2.5 - Gráfico de uma experiência com termômetro a gás a volume constante

Tomamos, então, o gráfico e escolhemos dois pontos bem definidos e os mais distantes possíveis e substituímos na equação de B levando

59

em conta as considerações acima. Escolha, por exemplo, os pontos (24,0ºC; 830mmHg) e (92,0ºC; 1020mmHg).

Então:

2,794117647... ºmmHg

C

2 1

2 1

(1020 830) 190(92,0 24,0)º 68,0º

y y mmHg mmHgBx x C C

- -= = = =

- -

Para saber onde arredondar o resultado deveríamos calcular o erro propagado nesta medida. Como isto é muito trabalhoso, pelo menos neste momento, a única coisa que faremos é observar a tabela origi-nal das medidas. Os valores de y (pressão) estão medidos e represen-tados por no mínimo 3 e no máximo 4 algarismos significativos. Os valores de x (t) têm sempre 3 algarismos significativos. Ora, uma divisão de um número com 3 ou 4 algarismos significativos por um que possua 3 algarismos significativos resulta em um número com 3 algarismos significativos, então:

2,79 ºmmHgB C= .

Para encontrarmos o parâmetro linear A, temos dois caminhos possíveis:

O primeiro método, mais simples, mas nem sempre viável, con-•siste em ler o valor em que a reta corta o eixo y. Isso, no entanto, só é útil quando a escala começa em zero. No exemplo que estamos resolvendo, isto não é possível, uma vez que na cons-trução do nosso gráfico o valor zero do eixo x não aparece.

O segundo método, apesar de ser um pouco mais trabalho-•so, SEMPRE funciona. Consiste em pegar a equação da reta e substituir o valor de B já encontrado e os valores de x e y para um ponto qualquer da reta. Tomemos o segundo ponto que usamos para calcular B:

2 2 ,y A Bx= +

e isolando A,

2 2.A y Bx= -

60

Substituindo o ponto (92,0ºC; 1020mmHg),

1020 (2,794117647... ).(92,0º )ºmmHgA mmHg CC= - =

762,9411765...mmHg

Apesar de já termos discutido como arredondar o valor re-sultante da medida, e já termos arredondado estes resulta-dos, para evitar propagação desnecessária de erros, sempre que possível voltamos a usar os valores de A e B sem ar-redondamento, arredondando após os cálculos, para evitar erros em cascata (erros sobre erros).

Da mesma forma como fizemos anteriormente para arredondar B, o número correto de algarismos significativos depende, basicamente, dos erros calculados nas medidas. Porém, uma primeira aproxima-ção pode ser tirada observando a tabela de medidas. Todas as me-didas de pressão foram feitas até a casa da unidade e não há motivo para acreditarmos que esta medida poderia ter um número maior ou menor de casas decimais. Existe aqui uma aparente contradição: quando falamos na precisão de B, falamos em número de algaris-mos significativos e agora, quando falamos em A, falamos em casas decimais. O que ocorre é que B resulta de uma divisão e A, de uma subtração. Devemos escrever:

A = 763 mmHg

Se desenvolvermos a equação do problema inicial, 0.(1 . )P P t= + ∆ , e compararmos com a equação da reta, teremos:

0 0 0.(1 . ) . .P P t P P t = + ∆ = + ∆ .

Mas, .y A B x= + , onde P = y e P0 = A. Por comparação direta 0P B = e t x∆ = . Assim,

3 12,794117647... º 3,66229761.10 º

762,9411765...

mmHgC C

mmHg - -= =

Como tanto A quanto B possuem 3 algarismos significativos, a razão entre eles deve ter também 3 algarismos significativos, portanto:

Erros calculados nas medidasErros propagados.

61

3 1 13,66.10 º 0,00366ºC C - - -= =

Uma pergunta que sempre é feita: podemos extrapolar as escalas de um gráfico? Sim, a não ser que exista alguma limitação física conhecida. Tanto é assim que Lord Kelvin construiu sua escala de temperatura a partir de uma hipótese: como a pressão de um gás é devida aos choques das moléculas e/ou átomos do gás com as paredes do recipiente que o contém, a pressão mínima seria zero, quando a agitação das moléculas seria mínima. Da extrapolação de um gráfico semelhante ao exemplo anterior, ele então determinou a menor temperatura possível.

AtividadeAplique agora a hipótese de Kelvin e calcule qual seria o valor da menor temperatura possível de existir, baseado no gráfico anterior.

2.3 Linearização de curvasPela simplicidade da equação da reta e facilidade de se obterem os seus parâmetros, é conveniente muitas vezes que linearizemos a equação.

Tomemos o caso da tensão superficial (). Podemos obter a altura (h) de um líquido que sobe por capilaridade dentro de um tubo fino de vidro em função do raio do tubo (conhecido como tubo capilar ou simplesmente capilar). A equação que rege o fenômeno é:

. . .2

h g r = ,

onde é a massa específica do líquido considerado, g é a aceleração da gravidade, é a tensão superficial e r é o raio do capilar. Tanto como e g podem variar, porém, os consideraremos constantes. Isolando a variável dependente, temos:

2. 2. 1.. . .

hg r g r

= =

Podemos escrever simplesmente,

1.h Cr

= .

LinearizaçãoLinearizar uma equação significa, por meio de ope-rações matemáticas e/ou mudanças de variáveis, transformar uma equação que não é linear (não é uma equação de primeira ordem) em uma equação de reta.

Algum fenômeno físico que reconhecidamente

não possa existir em determinada situação.

62

h (c

m)

r (cm)

16,000

14,000

12,000

10,000

8,000

6,000

4,000

2,000

0,000

0,000 0,050 0,100 0,2000,150

Figura 2.6 - Gráfico feito e adaptado do software OriginPro 7.5, mostrando a altura que um líquido sobe em um capilar como função do raio

Observe no gráfico da figura 2.6 que, apesar de não ser impossível, é difícil calcularmos a constante C e finalmente a constante (tensão superficial) que é o nosso real objetivo. É muito fácil transformar

esta equação não linear (2. 1.

.h

g r

= ) em linear. Basta para isso fazer

uma mudança de variável e substituir a variável 1r

, por uma nova variável x’.

2. 1 2. 1. . , onde = . .

h x xg r g r

= = ′ ′

h (c

m)

x'=1/r (cm−1)

16,000

14,000

12,000

10,000

8,000

6,000

4,000

2,000

0,000

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0

Figura 2.7 - Gráfico feito e adaptado do software OriginPro 7.5, mostrando o mesmo exercício anterior (Figura 2.6), agora linearizado, mostrando h=f (1/r)

63

Agora que temos uma reta, podemos usar todo o tratamento visto anteriormente, determinando o parâmetro linear e angular.

Existem inúmeras situações semelhantes no laboratório. A depen-

dência do período do pêndulo com o seu comprimento ( ),

por exemplo, pode ser transformada em uma dependência linear bastando, para isso, construir o gráfico de T em função de e não mais em função de , como originariamente.

Um caso particular nos interessa e vamos resolvê-lo: é o caso de um corpo em queda livre.

A distância percorrida por um corpo em queda livre (altura de que-da) tem uma dependência com o tempo dado pela equação

2.( )2

g th ∆= .

A equação completa é , porém, com a

escolha conveniente de sistema de referência podemos omi-tir o termo h0 e, como estamos abandonando o corpo (esfera) do repouso, v0 é nulo. Note que, se existisse o termo em v0, a linearização não mais seria possível com uma substituição de variáveis.

Os dados a seguir foram encontrados experimentalmente:

h (cm) 0,00 8,55 15,45 28,25 47,00 57,70 69,15 82,15 168,50

∆t (s) 0,00000 0,12410 0,17188 0,23560 0,30579 0,33860 0,37221 0,40598 0,58126

Linearize a função, construa o gráfico e determine a aceleração da gravidade.

Para começarmos o processo de linearização, é necessário definir qual é a variável dependente e qual é a variável independente. Este

Parâmetro linear: que é teoricamente nulo, mas

deve ser calculado.

Parâmetro angular: que servirá para encontrarmos

a constante almejada, a tensão superficial.

Você fará esta experiência.

64

processo é, na maioria dos casos, muito simples, mas pode se tornar um pouco mais complicado dependendo do equipamento e do proce-dimento usados. Neste caso particular vamos pensar mais na teoria (já que você ainda não conhece o equipamento) do que na prática. A altura em que se encontra o móvel depende do tempo e não o contrá-rio. A regra geral é que em fenômenos que dependam do tempo este último seja a variável independente (mesmo que nesta experiência isso não seja tão claro). Linearizar é fundamentalmente, comparar a equação original com a equação genérica de reta. Assim, temos

22.( ) .( )

2 2g t gh t∆

= = ∆ , e

.y A B x= + .

Quando definimos que t∆ é a variável independente, dizemos que 2( )t∆ é ,x portanto, h tem que ser y. Temos:

2

0

2( )

y hA

gB

x t

==

=

= ∆

Mesmo que na linearização A seja nulo, devemos calcular também o valor de A e não seria nada improvável que o valor encontrado fosse diferente de zero. O que ocorre é que em uma situação experimental real, diferente de uma situação teórica ideal, não podemos controlar todas as condições de contorno. Por exemplo, na teoria dizemos: “Considere que a resistência do ar é nula”, mas no laboratório rara-mente conseguimos tornar nula a resistência do ar.

A linearização proposta é definirmos uma nova variável 2( )x t= ∆ . Portanto, o primeiro passo é construir uma nova tabela com os va-lores de 2( )x t= ∆ .

65

(s2) y = h (cm)

0,0000000000 0,00

0,0154008100 8,55

0,0295427344 15,45

0,0555073600 28,25

0,0935075241 47,00

0,1146499600 57,70

0,1385402841 69,15

0,1648197604 82,15

0,3378631876 168,50

Na construção da tabela os valores de (t)2 deveriam ter o mesmo número de algarismos significativos de (t), porém, esta regra não foi neste momento aplicada para evitar arredondamentos em “cas-cata”, principalmente quando formos calcular a equação da melhor reta. Esses arredondamentos desnecessários podem vir a ser um problema numérico. Contudo, devemos ter em conta que as medi-das de (t)2 na realidade têm somente 5 algarismos significativos.

Para a escala horizontal (x), o maior valor a ser colocado no gráfico é 0,3378 6 631876 e o menor é 0,0000000000 . Como estamos usando papel milimetrado A4 cujo eixo horizontal tem 18cm, então:

2 20,3378631876s 0,01877...18,0

scmcm

=

2max min (0,3378631876 0,0000000000)

Tam. do papel(cm) 18,0x x s

cm- -

= =

O valor encontrado foi 0,01877... s2/cm = 1,877...10-2 s2/cm. Comparan-do com as escalas aceitáveis a melhor escolha é 20,02 2 10 ,-= × , o que significa que cada cm do nosso eixo x vale 0,02 s2.

Equação da melhor retaEquações dos mínimos quadrados.

66

Para a escala vertical (eixo y), o maior valor a ser colocado no gráfico é 168,50, e o menor é 0,00 e como estamos usando papel milimetrado A4, cujo eixo vertical tem 28cm, então:

168,50 6,017857...28,0

cm cmcmcm

=

max min (168,50 0,00)Tamanho do papel(em cm) 28,0

y y cmcm

- -= =

Alguém poderia imaginar simplificar as unidades na conta acima. Achamos inconveniente se quisermos evitar que se perca a informação de “o que representa o quê”.

Comparando com as escalas ideais, optamos pela escala 10, que sig-nifica que cada cm do nosso gráfico irá representar 10cm de altura de queda da nossa experiência.

Construímos o gráfico identificando as escalas, marcando os valores regulares nela e, finalmente, marcando os pontos experimentais.

Poderíamos traçar a reta “a olho”, ou seja, aquela que nos parecer melhor, ou então calcular a equação da melhor reta, calcular outros dois pontos pela equação obtida e traçar a reta por estes pontos. Ob-serve que qualquer que seja a nossa escolha, o gráfico deve mostrar os pontos experimentais. Após vermos a equação da melhor reta voltaremos a este gráfico e traçaremos a melhor reta.

67

Figura 2.8 - Marcação dos pontos experimentais do gráfico feito à mão, mostrando a relação entre as alturas de queda de uma esfera em função dos intervalos de tempo ao quadrado

68

2.4 Equação dos mínimos quadradosConsiderando o gráfico da figura 2.9 e partindo do princípio de que a reta representada por ele seja a “melhor reta” que passa pelos pon-tos experimentais, temos várias maneiras para medir os desvios de cada ponto até a reta. Porém o principal modo seria medir o afasta-mento horizontal da reta ou o afastamento vertical da reta.

Como definimos no início do texto que a variável dependente seja colocada no eixo y (vertical) parece bastante razoável afirmar que os erros da variável independente influenciam (causam erro) na variá-vel dependente. Portanto, nos parece bastante aceitável que atribu-amos todo erro das medidas à variável dependente. Observe que não estamos desprezando qualquer erro, estamos simplesmente ar-bitrando que todo erro cometido está na variável dependente fican-do, portanto, a variável independente isenta de erros.

Na figura 2.9, vemos 5 pontos identificados pelos pares ordenados (xi, yi), bem como os valores corrigidos de cada ponto até a reta. Ob-serve que ficam visíveis os desvios (afastamentos verticais dos pon-tos à reta).

Figura 2.9 - Gráfico mostrando os desvios y = (A+B ⋅x-y)

DesviosAfastamentos

69

Uma primeira proposta para a“melhor reta” é assumirmos que a “melhor reta é aquela cuja soma dos desvios seja mínima”:

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )A Bx y A Bx y A Bx y+ - + + - + + - +

4 4( ) ... ( ) minn nA Bx y A Bx y+ - + + + - =

Porém, matematicamente, é possível que como os desvios ( )i iA Bx y+ - podem ter sinais muitas vezes contrários, a soma re-sultante seja nula mesmo sem a reta ser, de fato, a melhor possível. Veja, por exemplo, a figura 2.10.

Figura 2.10 – Gráfico mostrando dois desvios (y) da mesma ordem (aproximadamente iguais)

É, portanto, mais adequada a definição:

2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )A Bx y A Bx y A Bx y+ - + + - + + - +

2 2

4 4( ) ... ( ) minn nA Bx y A Bx y+ + - + + + - =

Para simplificar podemos usar o símbolo de somatório (∑):

2

1( ) min

n

i ii

A Bx y→

+ - =∑ ,

em que min é a abreviação para mínimo da função do lado esquer-do da equação. Do cálculo sabemos que a condição de mínimo para uma função qualquer é que sua derivada primeira seja zero. No en-tanto, uma vez que os valores ix e iy foram medidos e são, assim,

70

conhecidos, nossa função depende das constantes desconhecidas A e B e é em relação a elas que devemos efetuar nossa derivada, igua-lando o resultado a zero. Como temos duas constantes a determinar, a condição de mínimo em relação a A e a B nos fornecerá duas equa-ções que serão usadas para sua determinação em termos dos pontos medidos. Assim,

2

1[ ( ) ] 0

n

i ii

A Bx yA →

∂+ - =

∂ ∑ (2.1)

2

1[ ( ) ] 0

n

i ii

A Bx yB →

∂+ - =

∂ ∑ (2.2)

Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas, pode-mos permutar o sinal de somatório com o de derivação:

2

1( ) 0

n

i ii

A Bx yA→

∂+ - =

∂∑ (2.3)

2

1( ) 0

n

i ii

A Bx yB→

∂+ - =

∂∑ (2.4)

Além disso temos a seguinte propriedade: 1. .n

ndy dyn ydx dx

-= , que nos dá para a equação (2.3):

12. ( ). ( ) 0

n

i i i ii

A Bx y A Bx yA→

∂+ - + - =

∂∑

12. ( ).[ ( ) ( )] 0

n

i i i ii

A Bx y A Bx yA A→

∂ ∂+ - + - =

∂ ∂∑

Lembrando ainda que em relação a A, B é uma constante e vice-versa:

1 12. ( ).(1) 2. ( ) 0

n n

i i i ii i

A Bx y A Bx y→ →

+ - = + - =∑ ∑ .

Dividindo toda a linha acima por dois, temos:

1( ) 0

n

i ii

A Bx y→

+ - =∑ ,

Que passam a ser tratadas com variáveis.

71

e desenvolvendo os somatórios:

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )A Bx y A Bx y A Bx y+ - + + - + + - +

4 4( ) ... ( ) 0n nA Bx y A Bx y+ - + + + - =

1 2 3 4... ...A A A A A Bx Bx Bx Bx+ + + + + + + + + +

1 2 3 4 ... 0n nBx y y y y y- - - - + - =

1 2 3 4 1 2 3 4. .( ... ) ( ... ) 0n nn A B x x x x x y y y y y+ + + + + + - + + + + + =

1 1. . 0

n n

i ii i

n A B x y→ →

+ - =∑ ∑ .

Isolando A, temos:

1 1

.n n

i ii i

y B xA

n→ →

-=

∑ ∑.

(2.5)

Façamos agora um desenvolvimento semelhante para a equação (2.4):

12. ( ). ( ) 0

n

i i i ii

A Bx y A Bx yB→

∂+ - + - =

∂∑

Pelos mesmos motivos apresentados anteriormente, a derivada em B do termo que não depende de B será nula. Temos, portanto:

12. ( ).[ ( ) ( )] 0

n

i i i ii

A Bx y Bx A yB B→

∂ ∂+ - + - =

∂ ∂∑

1( )( ) 0

n

i i ii

A Bx y x→

+ - =∑

Lembrando que a quantidade xi está multiplicando cada um dos ter-mos do primeiro parêntese, então:

2

1 1( . . . ) [ . ( ) . ] 0

n n

i i i i i i i i ii i

A x Bx x y x A x B x x y→ →

+ - = + - =∑ ∑

2

1 1 1. ( . ) 0

n n n

i i i ii i i

A x B x y x→ → →

+ - =∑ ∑ ∑

72

Isolando A na equação acima, temos:

2

1 1

1

( . )n n

i i ii i

n

ii

y x B xA

x

→ →

→

-=

∑ ∑

∑ (2.6)

Igualando agora as equações (2.5) e (2.6), temos:

2

1 1 1 1

1

. ( . )n n n n

i i i i ii i i i

n

ii

y B x y x B x

n x

→ → → →

→

- -=

∑ ∑ ∑ ∑

∑

2

1 1 1 1 1.[ . ] .[ ( . ) ]

n n n n n

i i i i i ii i i i i

x y B x n y x B x→ → → → →

- = -∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2

1 1 1 1 1 1. . . . ( . ) .

n n n n n n

i i i i i i ii i i i i i

x y B x x n y x n B x→ → → → → →

- = -∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Passando os termos em B para o primeiro membro da equação e, posteriormente, isolando B, temos:

2

1 1 1 1 1 1. . . . . ( . ) .

n n n n n n

i i i i i i ii i i i i i

n B x B x x n y x x y→ → → → → →

- = -∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2

1 1 1 1 1 1.[ . . ] . ( . ) .

n n n n n n

i i i i i i ii i i i i i

B n x x x n y x x y→ → → → → →

- = -∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1

[ . ( . ) . ] [ . ( . ) . ]

[ . . ] [ . ( ) ]

n n n n n n

i i i i i i i ii i i i i i

n n n n n

i i i i ii i i i i

n y x x y n y x x yB

n x x x n x x

→ → → → → →

→ → → → →

- -= =

- -

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

(2.7)

Substituindo o valor de B da equação (2.7) na equação (2.5) ou (2.6) (por simplicidade substituiremos na equação (2.5)), teremos:

73

1 1 1

2 21 1

1 1

[ . ( . ) . ].

[ . ( ) ]

n n n

i i i in ni i i

i in ni i

i ii i

n y x x yy x

n x xA

n

→ → →

→ →

→ →

--

-=

∑ ∑ ∑∑ ∑

∑ ∑

2 2

1 1 1 1 1 1 1

2 2

1 1

[ . ( ) ]. .[ . ( . ) . ]

.[ . ( ) ]

n n n n n n n

i i i i i i i ii i i i i i i

n n

i ii i

n x x y x n y x x yA

n n x x

→ → → → → → →

→ →

- - -=

-

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2

1 1

. . ( ) . . . ( . ) . .

.[ . ( ) ]

n n n n n n n n n

i i i i i i i i i ii i i i i i i i i

n n

i ii i

n x y x y n x y x x x yA

n n x x

→ → → → → → → → →

→ →

- - +=

-

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2

1 1

. . ( ) . . . ( . ) ( ) .

.[ . ( ) ]

n n n n n n n n

i i i i i i i i ii i i i i i i i

n n

i ii i

n x y x y n x y x x yA

n n x x

→ → → → → → → →

→ →

- - +=

-

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

Observe que o segundo e o quarto membros da soma do numerador são iguais, porém com sinais contrários, podendo, portanto, ser sim-plificados. Disto resulta:

2

1 1 1 1

2 2

1 1

. . . . ( . )

.[ . ( ) ]

n n n n

i i i i ii i i i

n n

i ii i

n x y n x y xA

n n x x

→ → → →

→ →

-=

-

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

Colocando n em evidência no numerador e finalmente simplifican-do com o n do denominador, ficamos com:

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

.[ . . . ( . )] [ . . . ( . )]

.[ . ( ) ] [ . ( ) ]

n n n n n n n n

i i i i i i i i i ii i i i i i i i

n n n n

i i i ii i i i

n x y x y x x y x y xA

n n x x n x x

→ → → → → → → →

→ → → →

- -= =

- -

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ (2.8)

74

Provamos que a reta definida por estes parâmetros A e B é a reta cuja soma dos desvios 2( )i iA Bx y+ - é mínima ou máxima. Para pro-var que é mínima, basta fazermos a derivada segunda. Caso resulte um valor negativo, será um máximo. Caso resulte um valor positivo, será um mínimo. Assim,

2 22 2

12 2

1

( )( )

n

i i ni i i

i

A Bx yA Bx y

A A→

→

∂ + -∂ + -

= =∂ ∂

∑∑

2

1

( )ni i

i

A Bx yA A→

∂ + -∂=

∂ ∂∑ 1

[2.( )]n

i ii

A Bx yA→

∂+ - =

∂∑

1 12. ( ) 2 (1) 2

n n

i ii i

A Bx y nA→ →

∂+ - = =

∂∑ ∑

Como n é o número de pontos e tem que ser positivo, 2n é também positivo.

Calculemos agora a derivada segunda em relação a B:

2 22 2

12 2

1

( )( )

n

i i ni i i

i

A Bx yA Bx y

B B→

→

∂ + -∂ + -

= =∂ ∂

∑∑

2

1

( )ni i

i

A Bx yB B→

∂ + -∂= =

∂ ∂∑

2

1 1[2.( )].( ) 2. [ ( ) . ]

n n

i i i i i i ii i

A Bx y x Ax B x x yB B→ →

∂ ∂+ - = + - =

∂ ∂∑ ∑

2

12 ( )

n

ii

x→

= ∑

Ora, como os valores de xi são reais, os seus quadrados (xi)2 têm que

ser positivos, portanto, o somatório 2

1( )

n

ii

x→∑ também o será. Conclui-

se, daí, que como as duas derivadas segundas são positivas, os va-lores de A e B são os parâmetros para a “melhor reta”, ou seja, a reta dos mínimos desvios quadráticos.

Chegaríamos ao mesmo resultado se tivéssemos utilizado a equação (2.6). Por simplicidade, a partir de agora, representaremos as duas equações dos mínimos quadrados sem indicar mais os limites do

75

somatório, ficando claro que devemos somar todos os termos do pri-meiro ao enésimo sempre:

2

2 2

[ ( . )][ . ( ) ]i i i i i

i i

x y x y xA

n x x-

=-

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

(2.9)

2 2

[ . ( . ) ( )][ . ( ) ]

i i i i

i i

n y x x yB

n x x-

=-

∑ ∑ ∑∑ ∑

(2.10)

Matematicamente seria possível construir o gráfico considerando como dependente a variável x e a variável y como independente. Caso fizéssemos isso, teríamos uma nova reta definida por:

' 'x A B y= +

Isolando y e comparando termo a termo com a equação da reta y A Bx= + , temos

' ' 1' ' '

x A Ay xB B B-

= = - +

y A Bx= +

Por comparação direta temos 1

'B

B= . Devemos lembrar que isso só

ocorrerá quando a dependência entre x e y for realmente linear, o que não é o comum ocorrer com os dados experimentais. Em si-tuações reais o produto . 'B B pode, no entanto, se aproximar muito de 1. Em estatística define-se o produto 2. 'B B R= , onde R é cha-mado coeficiente de correlação. Uma reta será tão melhor definida quanto mais próximo de 1 for o coeficiente de correlação R (como em R=0,999999...). Se simplesmente trocarmos o valor de x por y na equa-ção (2.10), teremos o valor de 'B e, portanto, de R em termos dos pontos experimentais:

2 2

[ . ( . ) ( )]'

[ . ( ) ]i i i i

i i

n y x x yB

n y y-

=-

∑ ∑ ∑∑ ∑

2 2 2 2

[ . ( . ) ( )] [ . ( . ) ( )]. '

[ . ( ) ] [ . ( ) ]i i i i i i i i

i i i i

n y x x y n y x x yR B B

n x x n y y- -

= =- -

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

76

2 2 2 2

[ . ( . ) ( )]

[ ( ) ].[ ( ) ]i i i i

i i i i

n y x x yR

n x x n y y

-=

- -∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ (2.11)

A maioria das calculadoras científicas de hoje calcula tanto os parâ-metros da melhor reta, como o coeficiente de correlação R. Ao fazer este cálculo é conveniente consultar primeiro o resultado do coefi-ciente de correlação R. Caso ele não seja 0,999..., (pelo menos uns três noves) comece a desconfiar de que a função não seja linear ou de que seus cálculos não estejam corretos.

ExemploRetomemos agora o exemplo da queda livre. Já dividimos as esca-las e marcamos os pontos experimentais. Vamos então calcular os parâmetros A e B, bem como o coeficiente de correlação R. Para isso, antes de mais nada, temos de calcular os somatórios ( x∑ , 2( )x∑ ,

2( )x∑ , ( . )x y∑ , y∑ , 2( )y∑ ):

1 2 3 ... 0,0000000000 0,0154008100nx x x x x= + + + = + +∑+ 0,0295427344 0,0555073600+ + 0,093507529 + 0,11464996 + + 0,138540284 + 0,16481976 + 0,337863187 = 0,94983162

0,949.831.62x =∑

2 2( ) (0,949.831.62) 0,902.180.010.7x = =∑

2 2 2 2 2 21 2 3( ) ... (0,0000000000)nx x x x x= + + + + = +∑

+ (0,0154008100)2 + (0,0295427344)2 + (0,0555073600)2 + + (0,0935075241)2 + (0,114699600)2 + (0,1385402841)2 + + (0,1648197604)2 + (0,3378631876)2 = 0,1865897922( ) 0,186.589.792x =∑

0,00 8,55 15,45 28,25 47,00 57,70 69,15y = + + + + + + +∑82.15 168,50 476,75+ + =

476,75y =∑

Reta dos mínimos quadrados.

77

22( ) (476,75) 227.290,562.5y = =∑

2 2 2 2 2 2 2 21 2 3( ) ... (0,00) (8,55) (15,45)ny y y y y= + + + + = + + +∑ + (28.25)2

+ (47,00)2 + (57,70)2 + (69,15)2 + (82,15)2 + (168,50)2 = 46.570,752.5

2( ) 46.570,752.5y =∑

1 1 2 2 3 3( . ) . . . ... .n nx y x y x y x y x y= + + + + =∑= (0,000.000.000.0).(0,00) + (0,015.400.810.0).(8,55) ++ (0,029.542.734.4).(15,45) + (0,055.507.360.0).(28,25) + + (0,093.507.524.1).(47,00) + (0,114.649.960.0).(57,70) + + (0,138.540.284.1).(69,15) + (0,164.819.760.4).(82,15) + + (0,337.863.187.6).(168,50) = 93,216.302.49

( . ) 93,216.302.49x y =∑n = 9 (número de pontos).

Devemos substituir estes somatórios nas equações (2.9), (2.10) e (2.11). Comecemos pela equação (2.11), uma vez que ela “qualifica” a nossa reta:

[9.(93,216.302.49) (0,949.831.62).(476,75)]. [9.(0,186.589.792) 0,902.180.107].[9.(46.570,752.5) 227.290,562.5].

R -= =

- -

[838,946.722.4 452,832.224.8]. [1,679.308.135 0,902.180.107].[419.136,7725) 227.290,562.5]

R -=

- -

386,114.497.6 386,114.497.6[0,777.128.028].[191.846,21] 149.089,0669

R = = =

= 386,114.497.6 0,999984366386,120.534.1

=

Como o valor de R encontrado é bastante próximo de 1, concluímos que a linearização utilizada é boa e, provavelmente, não ocorreu ne-nhum erro nas considerações iniciais feitas.

78

Uma vez que estamos convencidos da correção da nossa propos-ta de linearização, passamos ao cálculo dos parâmetros linear (A) e angular (B). Para isso, substituímos os valores dos somatórios nas equações (2.9) e (2.10):

2

2 2

[ ( . )][ . ( ) ]i i i i i

i i

x y x y xA

n x x-

= =-

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

= [(0,186.589.792).(476,75) (0,949.831.62).(93,216.302.49)

[9.(0,186.589.792) (0,902.180.010.7)-

-

Lembre-se que na linearização, teoricamente, A deveria ser zero, PORÉM o fato de, na avaliação prévia, quando da linearização, um dado parâmetro ser zero não significa que ele realmente seja zero.

Quando você for fazer a experiência talvez fique mais cla-ro, porém há uma certa dificuldade em definir quais são os pontos de referência para medir a altura. Outro fator com-plicador é o próprio corpo em queda, que, diferentemente de problemas teóricos anteriores, não é um ponto, pois pos-sui dimensões.

Temos agora que descobrir qual é a unidade e qual é o número de significativos (ou casas decimais, dependendo do caso) deste parâ-metro. Lembrando a equação da reta .y A B x= + , então A, se existir, tem que ter a mesma dimensão de y. Ora, pela linearização, vimos que y era a altura h, então A tem que ter o mesmo significado de h e é, portanto, medido em cm. Assim,

A = 0,53645174cm.

Para definirmos o número de significativos de A (até que casa deci-mal devemos escrever), teríamos que calcular o erro de A. Caso não façamos isso, devemos analisar a linearização. Como A está ligado à equação da reta por soma e, como vimos, tem dimensão de y, le-vamos em conta o número de casas decimais de y. Como todos os valores de y foram medidos com duas casas decimais, temos:

A = 0,54cm.

79

Para o coeficiente B,

2 2

[ . ( . ) ( )][ . ( ) ]

i i i i

i i

n y x x yB

n x x-

= =-

∑ ∑ ∑∑ ∑

= [9.(93,216.302.49) (0,949.831.620).(476,75)]

[9.(0,186.589.792) (0,902.180.107)]-

-

[838,946.722.4 452,832.224.8] 386,1144976 496,847993[1,679.308.128 0,902.180.107] 0,777128021

B -= = =

-

Novamente, para definirmos qual é a unidade do parâmetro B, re-corremos à linearização.

Se nos recordarmos do método da triangulação onde yBx

∆=

∆, ve-

mos que B é uma razão entre y (altura em cm) e x (tempo ao quadra-do em s2). Então:

B = 496,847993cm/s2.

Da mesma maneira que A, o número correto de algarismos signifi-cativos depende do cálculo do erro de B. Um método aproximado que podemos utilizar é a análise da tabela original para ver qual é o número de algarismos significativos de x e y. Neste problema, y tem no mínimo 3 e no máximo 5 algarismos significativos e x (na realidade x é t ao quadrado) tem sempre 5 algarismos significativos. Portanto, é razoável que B não deva ter menos que 3 e nem mais que 5 algarismos significativos, sendo aceitável que se assuma o valor de B com esta precisão. Como seria aceitável algo entre 3 e 5 algarismos significativos, optamos por usar 4 algarismos significativos, ficando o resultado final:

B = 496,8cm/s2.

Note que, como foi dito, o número correto de algarismos significativos só pode ser definido com precisão quando fei-to o cálculo do erro propagado. Assim seria aceitável que alguém optasse por 497cm/s2 ou mesmo por 496,85cm/s2.

Observe o parágrafo acima que B é definido por uma

divisão.

80

Voltando à linearização, vimos que B era g/2, então:

2 22. 2.(496,8 ) 993,6g B cm s cm s= = =

Para traçarmos a curva, basta tomarmos a equação da melhor reta .y A B x= + , onde devemos substituir dois valores para x (o mais dis-

tante possível na escala do gráfico) e recalcular os valores de y, ou seja:

2. 0,53645174 496,847993( )y A B x h t= + = = + ∆ .

Tomamos como exemplo o ponto (t)2 = 0,0200000 s2, e a altura cor-respondente será:

0,02000 0,53645174 (496,847993).(0,020000) 10,4734116h = + = cm.

Tomando outro ponto, agora na extremidade oposta (t)2 = 0,3600000s2

0,36000 0,53645174 (496,847993).(0,360000)h = + =

= 10,4734116 179,4017292= cm.

Marcaremos no gráfico estes dois pontos com um símbolo diferente dos anteriormente utilizados para os pontos experimentais:

P1 = (0,0200000s2; 10,47cm)

P2 = (0,3600000s2; 179,40cm)

Finalmente, traça-se a reta por estes dois pontos, sem se preocupar com os demais. Obviamente, se a reta foi calculada corretamente, os outros pontos experimentais, devem estar no mesmo alinhamento.

2.5 Papéis especiais (semi-log e log-log)

2.5.1 Papel semi-log (mono-log)Algumas equações podem ser facilmente linearizadas, usando-se para isto não apenas simples mudança de variáveis, mas sim apli-cando logaritmos à equação e posteriormente fazendo as mudanças

81

de variáveis necessárias. A relação entre a viscosidade () e a tempe-ratura absoluta (T), por exemplo, é dada por:

.10kT ∞= ,

onde é a viscosidade de um líquido qualquer, T é a temperatura absoluta e ∞ é a viscosidade do líquido na temperatura infinita. Se aplicarmos logaritmo aos dois lados da equação (como a base da exponencial é o número 10 é conveniente aplicar logaritmo na base 10), teremos:

log log( .10 )kT ∞=

log log log(10 )kT ∞= +

log log log10kT

∞= + ,

e como log 10 = 1:1log log .kT

∞= +

por comparação direta com a equação ( .y A B x= + ) da reta, temos:

log = y

log = A

k = B

1T

= x.

Portanto, agora podemos efetuar as mudanças de variáveis acima in-dicadas fazendo o gráfico linearizado da função em papel comum.

No passado era extremamente trabalhoso calcular todos estes lo-garitmos (dependendo do número de pontos), tornando a tarefa de construir um gráfico deste tipo muito tediosa e demorada. Para fu-gir da necessidade de calcular estes logaritmos é que foi construído o papel semi-logaritmo. Este papel tem como fundamento que uma das escalas foi construída com divisões não lineares, mas sim pro-porcionais ao logaritmo dos números (muito semelhante à constru-ção de algumas escalas de réguas de cálculos). Observe na figura

Antes da invenção e popularização das

calculadoras eletrônicas.

82

2.11, um detalhe de um papel semi-log. Veja que os espaçamentos nas escalas são desiguais, diminuindo quando se afastam da ori-gem. O segmento que vai até 2 não é proporcional a 2, mas sim pro-porcional ao logaritmo de 2 e assim sucessivamente.

Figura 2.11 - Fragmento de um papel semi-log, onde podemos ver uma década

Em uma escala logarítmica nunca existirão valores nulos e/ou negati-vos, pelo simples motivo de não existir logaritmo de zero ou de valo-res negativos. Com a escala logarítmica é mais fácil de se trabalhar do que com o papel milimetrado comum, uma vez que para a escala só devemos atribuir potências de 10. Portanto, no ponto 1 do papel deve-mos assumir 1, 10-1, 101, 10-2, ..., 10-n, 10n. Não devemos assumir valores diferentes de 1.10n, onde n é um número inteiro (positivo ou negativo). Quando assumimos que o 1 (do papel) vale, por exemplo, 1.10-5, isto implica que o 2 (do papel) vale 2.10-5 e assim por diante.

Outra característica interessante das escalas logarítmicas é o fato de serem divididas em décadas. No Brasil, são comuns os papéis de três décadas. Mesmo assim, existem papéis com um número dife-rente de décadas (1, 2, 4, ...,n).

Figura 2.12 - Detalhe da escala de um papel semi-log mostrando 4 décadas

No detalhe de um dado papel semi-log (figura 2.12) podemos ver quatro décadas. Cada década começa em 1 e vai crescendo até che-gar em 10, que é o 1 da década seguinte e assim por diante. Quando mudamos de década estamos multiplicando todos os valores da es-

83

cala da década anterior por 10. Isto equivale dizer que se escolhe-mos para o 1 da primeira década 1.10n, então o 1 da segunda década vale 1.10n+1, o da década seguinte, 1.10n+2 e, assim sucessivamente, até o final da escala.

Observe que, de acordo com o que foi visto anteriormente, existe um intervalo de valores que podem ser marcados em uma escala logarítmica e que, dependendo do número de décadas, pode ir de 10 x até 10.000 x para um papel com 4 décadas. Isto implica que muitas vezes não usemos todas as décadas disponíveis. Existem situações em que, apesar de termos à mão um papel com 3 ou 4 décadas, só utilizamos uma década.

Figura 2.13 Detalhe de um papel semi-log destacando a escala comum (decimal)

Na figura 2.13 vê-se a escala horizontal de um papel semi-log. É uma escala comum, como se fosse um papel milimetrado qualquer sem restrição. Pode assumir valores negativos, pode assumir valor zero, pode ser redividida. Observe, entretanto, que as divisões não são necessariamente iguais a um milímetro, mas são iguais entre si, ou seja, são uniformes.

Como este papel possui uma escala logarítmica e outra escala co-mum, diz-se que o papel é semi-log ou mono-log.

ExemploTomaremos agora o exemplo de uma experiência que você realiza-rá no Laboratório III (eletricidade). Em uma experiência de carga e descarga de capacitor, carrega-se o capacitor a uma dada tensão (força eletromotriz) e descarrega-se através de um resistor de resis-tência conhecida, medindo simultaneamente as tensões no resistor e os tempos a partir do momento em que o resistor foi ligado ao capacitor. A seguir, temos dados de uma experiência desse tipo:

Semi-log“Meio” logarítmico.

Mono-logMono = um, uma escala logarítmica.

84

VR(V) 63,0 40,3 25,5 16,2 10,3 6,5 4,2 2,6 1,7 1,0

t (s) 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

A equação que rege o fenômeno é:

..t

R CRV e

∆-

=

Linearize a equação.•

Construa o gráfico em papel semi-log.•

Sabendo que o valor do resistor é 10,00 • kΩ, calcule os parâme-tros e C com as respectivas unidades.

Aplicando logaritmos à equação acima, devido à base ser o núme-ro e (número de Néper) é conveniente utilizar logaritmo neperiano, portanto:

( ).ln ln ln[ ]t

R CRV e

∆-

= + ,

ln ln [ ( ) ln( )].RtV e

R C

∆= + - ,

e como ln(e) = 1,

1ln ln ( ) ln .. .RtV t

R C R C

∆= - = - ∆

ln VR = y

ln = A

1.

BR C

- =

∆t = x

Temos agora duas etapas diferentes e consecutivas.

1ª Etapa – Construção do gráfico

Para construirmos o gráfico temos que decidir se vamos construí-lo em papel milimetrado ou semi-log. Caso a opção seja usar papel mi-limetrado, há necessidade de se calcular todos os logaritmos de VR , e de se construir uma nova tabela de dados com lnVR e ∆t. A partir daí fica tudo como mostrado no caso de um gráfico em papel milimetrado,

85

ou seja, divisão das escalas, identificação das escalas, marcação dos pontos experimentais.

Caso a decisão seja construir o gráfico em papel semi-log, o primei-ro passo é verificar que variável está logaritmada (quando foi feita a linearização). No nosso exemplo, VR . O passo seguinte é verificar quantas décadas do papel serão utilizadas. Os valores 63,0; 40,3; 25,5; 16,2; 10,3 estão na mesma década, que vai de 10 a 100. Já os valores 6,5; 4,2; 2,6; 1,7; 1,0 estão na década que vai de 1,0 a 10,0, portanto, neste caso necessitamos utilizar duas décadas.

Caso o papel que você possua seja o padrão brasileiro e tenha 3 décadas, caberá decidir se utilizará as duas décadas de cima ou de baixo. Com prática você fará a escolha adequada para um melhor visual, porém, em princípio, as duas escolhas seriam corretas. Uma vez escolhidas que décadas utilizar, devemos identificar as escalas e marcar (identificar) cada “cabeceira” da escala logarítmica. A escala horizontal é uma escala comum (igual a uma escala milimetrada), portanto, seguimos o procedimento já mostrado, ou seja: tomamos o maior valor da tabela (100,0s), subtraímos o menor valor (10,0s) e dividimos pelo número de divisões.

(100,0 10,0) 90,0 7,512divisões 12divisões divisão

s s s-= =

Comparando o valor encontrado (7,5) com os valores aceitáveis de divisão de escala (1, 2, 2,5, 4, 5 e 10) e lembrando que o valor usado tem que ser no mínimo igual ao valor encontrado, concluímos que a melhor divisão de escala é 10. Isto significa que cada divisão (bloco de divisões) do eixo horizontal do nosso papel semi-log vale 10,0s. Como temos 12 divisões e temos que marcar de 10,0 a 100,0. Não uti-lizaremos a escala inteira, sendo conveniente, por questões estéticas, neste caso, começar a marcar a escala a partir de 0,0s indo até 120,0s. Marcamos a escala horizontal e identificamos a grandeza conside-rada (no caso ∆t) juntamente com a respectiva unidade (s) bem como os valores da escala.

Observe que apesar da escala já estar divida em 120 partes, isto é somente uma coincidência. Além disso, é necessário deixar clara a precisão das suas medidas, que no caso é de uma casa decimal.

O papel semi-log padrão no Brasil divide o eixo x em 12

divisões.

86

Portanto, a maneira correta de identificar os valores da escala é 0,0; 10,0; 20,0 etc. e não 0, 10, 20 etc. Com as duas escalas identificadas, devemos marcar os pontos experimentais.

Figura 2.14 - Detalhes das duas escalas (a comum abaixo da logarítmica) divididas e identificadas

2ª Etapa – Traçado da curva (reta) e cálculo dos parâmetros

Para traçarmos a curva, independente de termos feito o gráfico em papel milimetrado ou semi-log, devemos decidir se vamos traçar a “melhor reta” ou não. Caso a escolha seja de traçar uma reta qual-quer, basta colocar a régua sobre os pontos e, usando o bom senso, traçar aquela que na sua opinião é a reta que melhor se ajusta aos seus pontos. Neste caso, se você quiser calcular os parâmetros, bas-ta escolher dois pontos do gráfico (preferentemente o mais distante possível) e por triangulação, lembrando que os valores de y na reali-dade são logaritmos de alguma grandeza (no caso lnVR) e então:

2 1

2 1

ln lny yBx x

-=

-, que no nosso caso dá

2 1

2 1

ln ln1 R RV VBRC t t

-= - =

∆ - ∆.

Para o cálculo do parâmetro linear A (no nosso caso A = ln ), basta tomar um ponto qualquer da reta (não da tabela) e substituir os valores das variáveis juntamente com o valor de B, anteriormente encontrado:

n nA y Bx= -

Podemos substituir estes valores (B, x e y) na equação da reta ou na equação original. No nosso caso

..t

R CRV e

∆-

= ,

87

..nn

Rn RntB t

R C

V Ve

e ∆∆

-= =

.

Caso a decisão seja calcular a “melhor reta”, temos que construir uma nova tabela respeitando a linearização proposta (no caso lnVR).

Com as calculadoras mais novas é desnecessário construir uma nova tabela. É possível entrar com os dados diretamen-te ou calcular os logaritmos e entrar com os dados simulta-neamente.

No exemplo temos:

y = lnVR 4,143134726 3,696351469 3,238678452 2,785011242 2,332143895

x = ∆t 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0

y = lnVR 1,871802177 1,435084525 0,955511445 0,530628251 0,0

x = ∆t 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Tivemos que escrever a tabela em duas linhas para não arredondar os valores dos logaritmos. Como já foi dito anteriormente, quando trabalhamos com a equação dos mínimos quadrados, evitamos fa-zer qualquer arredondamento. Calculando os somatórios de x e y e substituindo nas equações dos mínimos quadrados, temos:

2

2 2

[ ( . )][ . ( ) ]i i i i i

i i

x y x y xA

n x x-

=-

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

e

2 2

[ ( . ) ( )][ . ( ) ]

i i i i

i i

y x x yB

n x x-

=-

∑ ∑ ∑∑ ∑

10 10

1 1550

i ix t s

→ →

= ∆ =∑ ∑ s

10 10

1 1ln 20,98834618R

i iy V

→ →

= =∑ ∑

88

10 102 2 2 2

1 1( ) ( ) (550 ) 302.500

i ix t s s

→ →

= ∆ = =∑ ∑ s2

10 10

1 1( . ) ( .ln ) 777,4878802R

i ix y t V s

→ →

= ∆ =∑ ∑ s

10 102 2 2

1 1( ) 38500

i ix t s

→ →

= ∆ =∑ ∑ s2 n = 10

A = 4,611309017

B = -0,045681352 s-1

R = -0.999900457.

O primeiro parâmetro a ser analisado é o coeficiente de correlação R = -0,9999..., que é suficientemente próximo de 1. Ele é negativo por-que o parâmetro angular da reta é negativo, ou seja, a função é de-crescente. Lembrando que pela linearização vimos que B = -1/(R.C) e que R = 10,00 kΩ:

-11 1 - 0,045681352 s = -. 10,0 .

BR C k C

= - =Ω

.

Simplificando os sinais e isolando C, temos:

-1

1 = -10,0 .(- 0,045681352 s )

Ck

= =Ω

33 -1

1 2,189.1010,0.10 .( 0,045681352 s )

s-=Ω Ω

A unidade s/Ω tem nome próprio, é o farad, que se abrevia por F e assim C = 2,189.10-3F. Para a maioria das grandezas em física, 10-3 é representado pelo prefixo mili (m) e, portanto, C = 2,189mF. O habi-tual, em se tratando de capacitâncias, é medi-las em micro farads (µF) (algumas vezes usa-se o nano farads (nF) ou picofarads (pF)). O mais usual seria, portanto:

C = 2,189.103.10-6 F = 2189µF.

Também na linearização vimos que ln = A, portanto

4,611309017 100,6157712Ae e = = = .

89

Por análise dimensional podemos concluir que tem que necessaria-mente ter a mesma dimensão de VR (volts), portanto = 100,61157712V. Analisando a tabela do exercício 2, vimos que todas as medidas de VR só possuem uma casa decimal, portanto é improvável que te-nha mais de uma casa decimal e assim consideramos 100,6V. =

Para traçar a reta no papel semi-log, no caso de termos calculado a equação da melhor reta, basta pegar a equação calculada, arbitrar dois valores para x (no caso ∆t) e recalcular y (no caso VR ou lnVR dependendo do caso):

0,045681352... 100,6.t

tR CRV e e

∆- - ∆= =

Para minimizar erros de colocação dos pontos assuma valores para x (∆t) o mais distantes possíveis. Neste caso assumiremos ∆t = 0,0s e ∆t = 120,0s e assim:

0,045681352 5,0 0,228406763( 5,0) 100,6 100,6 80,058VR TV e e- ⋅ -∆ = = ⋅ = ⋅ =

0,045681352 120,0 5,481762324( 120,0) 100,6 100,6 0,419VR TV e e- ⋅ -∆ = = ⋅ = ⋅ =

Marcamos estes dois pontos e traçamos a reta por eles, sem nos pre-ocuparmos com os outros pontos. Eles naturalmente devem ficar no alinhamento da reta (figura 2.15).

2.5.2 Papel di-log (log-log)Algumas equações aparecem com as duas variáveis logaritmadas quando aplicamos logaritmos à equação. Neste caso é obvio que podemos construir o gráfico em papel milimetrado, desde que se construa uma nova tabela com os logaritmos das duas variáveis. Podemos, por outro lado, construir um gráfico da tabela original diretamente em um papel especial chamado log-log.

No Laboratório III você fará uma experiência sobre curvas caracte-rísticas de resistores. Existe um resistor não-ôhmico (não respeita a lei de Ohm) que nos interessa de perto, o varistor. A equação que rege um varistor é:

.V C I = ,

onde V (variável dependente) é a tensão a que está sujeito o varistor, quando é percorrido por uma corrente I (variável independente). C

90

e β são constantes características do varistor e, na nossa experiên-cia, são as incógnitas do problema. Se aplicarmos logaritmo (como a função não apresenta nem o número de neper (e) nem 10, é comple-tamente irrelevante se aplicamos logaritmo na base 10 ou na base e, unicamente por questão de hábito, optamos por logaritmo decimal) a equação .V C I = fica:

log log( . ) log log( )V C I C I = = +

log log .logV C I= +

Figura 2.15 Gráfico semi-log da tensão sobre um resistor durante a descarga de um capacitor em função do tempo de descarga

91

Comparando com a equação da reta temos:

loglog

log

V yC ABI x

==

==

Agora é fácil perceber como as duas variáveis ficaram logaritma-das, não havendo nenhuma (ou muito pouca) vantagem em usar um papel semi-log. Existem papéis que possuem as duas escalas logaritmadas. A esses papéis dá-se o nome papel log-log ou di-log. As escalas logarítmicas desses papéis funcionam exatamente como a escala logarítmica do papel semi-log.

Na figura vê-se um papel di-log que possui 4 décadas horizontais e 2,3 décadas verticais. Da mesma forma que o papel mono-log, po-demos ter uma gama muito grande de papéis diferentes, porém os papéis mais populares no Brasil possuem 3 décadas horizontais e duas décadas verticais. O papel que se vê na figura 2.16 é fabricado na Alemanha.

Figura 2.16 - Um papel log-log comercial produzido na Alemanha

92

O físico alemão Johannes Kepler é considerado, juntamente com Tycho Brahe (físico eslovaco), um dos pais da astronomia moderna. A ele devemos as três leis de Kepler. Para nós, neste momento, inte-ressa a terceira lei, que pode ser resumida pela seguinte equação:

.n mT C R= ,

onde T é o período de rotação de um dado planeta em torno do sol, R é o raio maior da órbita do mesmo planeta, n e m são constantes inteiras, e C é uma constante qualquer. A tabela a seguir mostra os períodos (em dias terrestres) e os raios maiores (em km) para os planetas no sistema solar, apresentados na ordem. Embora os astrô-nomos não mais considerem Plutão com um planeta, nós o manti-vemos na lista.

Planeta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno Plutão

T (dias) 88 224,7 365 686 4329 10753 30569 59758 90520

R (km) 5,79.107 1,082.108 1,496.108 2,279.108 7,784.108 1,424.109 2,867.109 4,488.109 5,909.109

Linearize a equação e trace a reta da equação linearizada em papel di-log. Determine os valores das constantes m, n e C com as respec-tivas unidades. Temos:

log( ) log( . )n mT C R=

log log logn T C m R= +

log log loglog .logC m R C mT Rn n n

+= = +

Comparando com a equação da reta, temos:

loglog

log

y TCA

nmBn

x R

=

=

=

=

loglog

log

y TCA

nmBn

x R

=

=

=

=

loglog

log

y TCA

nmBn

x R

=

=

=

=

93

Da mesma forma como a escala logarítmica do papel semi-log, as escalas logarítmicas são divididas em décadas. O primeiro passo é ver quantas décadas são necessárias em cada eixo. Pela lineariza-ção proposta no eixo x vamos colocar os valores de R. Olhando para a tabela vemos que o maior valor do raio é de RPlutão = 5,909.109km e o menor valor é RMercúrio = 5,79.107km. Portanto, necessitamos das décadas 107, 108 e 109, ou seja, três décadas. No eixo y observamos que o menor valor é TMercúrio = 88 dias (8,8.101 dias) e o maior é o pe-ríodo de Plutão, TPlutão = 90520 dias (9,0520.104 dias), sendo que agora necessitamos das décadas 101, 102, 103 e 104, ou seja, 4 décadas.

Figura 2.17 - Gráfico log-log (di-log) mostrando o período de rotação em torno do Sol para diversos planetas em função do raio de sua órbita

94

Precisamos de um papel que possua três décadas no eixo horizontal e quatro no eixo vertical e isso, aparentemente simples, na verdade não o é. No Brasil, a maioria dos fabricantes (todos os que conhe-cemos) só fabricam papéis log-log com 3 por 2 décadas. A solução, portanto, ou é procurarmos papéis fabricados no exterior ou fabri-carmos nós mesmos recortando e colando quantas décadas forem necessárias.

Uma vez encontrado ou construído o papel, devemos identificar, nos eixos, as grandezas representadas, as suas unidades e os valo-res principais das escalas. Feito isso, devemos marcar, conveniente-mente, os pontos experimentais. Agora temos um gráfico comple-to faltando simplesmente traçar a reta e para isso podemos ou não calcular a equação da melhor reta. Caso o nosso grau de exigência não seja muito grande, podemos traçar a reta “a olho” e calcular os parâmetros utilizando o método da triangulação. O único cuidado a mais é lembrar que nosso x é logaritmo de uma variável, no caso de R, e a variável y, da mesma forma, é logaritmo de outra variável, no exemplo logT. Então:

2 1 2 1

2 1 2 1

log loglog log

y y T TyBx x x R R

- -∆= = =

∆ - -,

e, lembrando da propriedade da divisão de logaritmos,

2

1

2

1

log

log

TTB RR

= .

Observe que sempre, em um papel log-log, o valor de B será adimen-sional, porque em qualquer situação, para qualquer gráfico log-log, haverá a simplificação das unidades tanto da variável dependente como da variável independente (no caso as razões T2/T1 e R2/R1 são indiscutivelmente adimensionais).

Podemos também, no papel log-log, encontrar a equação da melhor reta e, nesse caso, será necessário calcular uma nova tabela com os logaritmos das duas variáveis.

Os valores principais são as “cabeceiras” de cada década.

Estados Unidos, Alemanha etc.

95

Planeta y = log(T) x = log(R)

Mercúrio 1,944482672 7,762678564

Vênus 2,351603072 8,034227261

Terra 2,562590225 8,174931594

Marte 2,836324116 8,357744325

Júpiter 3,636387586 8,891202827

Saturno 4,031529646 9,153509989

Urano 4,485281232 9,457427693

Netuno 4,776396054 9,652052848

Plutão 4,956744545 9,771513990

2 2 2( ) [ log( )] (79,25528909) 6281,1400849x R= = =∑ ∑ ,

2 2( ) (log ) 702,4171642x R= =∑ ∑ ,

log( ) 31,58133915y T= =∑ ∑ ,

( . ) [log( ).log( )] 284,8326342x y R T= =∑ ∑ ,

0,999999797; 9,694743598; 1, 499382979r A B= = - =

Note que, apesar de até agora termos representado o coeficiente de correlação por r maiúsculo, neste exercício, para evitar confusão com R (raio da órbita dos planetas) mudamos a representação para r minúsculo.

Não podemos perder de vista que estes valores são experimentais sendo, portanto, mais provável que o valor de B seja 1,5 e não 1,499382979 . Aliás, se você arredondar este número na segunda casa decimal, resulta 1,50. Isto resolve o nosso problema de B ser a razão entre dois números inteiros, como proposto no problema. Se

mBn

= e B é 1,5, então m e n são respectivamente 3 e 2.

96

Já foi feita uma discussão, em que concluímos que B era adi-mensional. Mas isto não implica diretamente em que m e n sejam adimensionais. Porém m e n são também adimensio-nais pelo simples fato de serem expoentes na equação. Um expoente SEMPRE representa o número de vezes que a base se auto-multiplica, não havendo, portanto, sentido algum em possuir dimensão própria. Observe também que pode-ríamos escolher m e n com os valores de 6 e 4 ou 9 e 6, mas podemos mostrar que as equações resultantes são equiva-lentes, apenas multiplicadas por uma constante C diferente. As equações obtidas seriam iguais à mesma equação obtida acima com m = 3 e n = 2, elevando-se os dois lados da equa-ção às potências 2 ou 3, respectivamente.

Podemos agora reescrever a equação inicial do problema:

2 3.T C R=

Se isolarmos C na equação acima (não numérica), podemos definir a unidade de C,

2 2

3 3

( )( )

T dias terrestresCR km

= = .

Podemos agora, novamente, com o auxilio da linearização, determi-nar o valor numérico de C:

log log . 2.( 9,694743598) 19,3894872CA C n An

= ∴ = = - = -

Lembrando da matemática em que a função inversa da logaritma-ção é a exponenciação, temos:

219,3894872 20

3

( )10 4,078615855.10( )

dias terrestresCkm

- -= =

Apesar de ser mais simples, quando trabalhamos com números mui-

to grandes, como medidas astronômicas, a unidade 2

3

( )( )

dias terrestreskm

não é muito usual. Portanto, é interessante passar este valor para o S.I. (Sistema Internacional – MKS):

97

220 19 2 3

3

[(24).(60).(60 )]4,078615855.10 3,044670421.10(1000 )

sC s mm

- -= = s2/m3

É interessante apresentarmos agora uma forma mais completa de enunciar a Terceira lei de Kepler: É constante para todos os plane-tas a razão entre o tempo (T), elevado ao quadrado, que o planeta leva para dar uma volta completa em torno do Sol e o raio maior (R) de sua órbita, elevado ao cubo:

2 2

3

4

S

TR GM

=

Nesta equação MS é a massa do Sol e G é a constante universal de gravitação, que pode ser determinada em laboratório através de uma experiência relativamente simples criada por Henry Caven-dish. Esta experiência, que muitas vezes na literatura é apontada como Balança de Coulomb/Cavendish, foi realizada pela primeira vez em 1797. Uma vez que o valor de G é conhecido, podemos deter-minar a massa do Sol.

Sabendo que o valor da constante universal da gravitação G é 6,673. 10-11m3s-2kg-1, determine a massa do Sol. Tomemos o valor de C, an-teriormente encontrado:

2 219 2 3

3 -2 -1

4. 4.3,044670421.10. ( ).(6,673.10-11m s kg )S S

C s mG M M -= = =

2

19 2 3 -11 3 -2 -1

4(3,044670421.10 ).(6,673.10 m s kg )SM

s m

-= =

301,943114192.10 kgkg

Considerando o número de algarismos significativos das medidas iniciais (de 2 a 5 algarismos significativos), caso não tenhamos cal-culado os erros dos parâmetros A e B, parece razoável que o valor da massa do Sol, por nós determinado, não deva ter menos de 2 algarismos significativos, nem mais de 5. Optamos por escrevê-la com 4 algarismos significativos. Portanto, a massa do Sol, por nós determinada, é MS = 1,943.1030 kg.

Não confundir G (Constan-te Universal da Gravitação) com g aceleração da gravi-dade. A primeira constante, como o próprio nome diz, é

Universal, vale em qual-quer lugar da terra ou Alfa Centauro. Já a aceleração da gravidade depende do

planeta e da posição no planeta (latitude, longitude,

altitude etc).

98

Nem sempre desejamos e/ou necessitamos linearizar uma função para construir um gráfico tanto em papel milimetrado quanto em papel semi-log ou log-log. Você já deve ter visto, por exemplo, em enciclopédias ou livros de história, quando se apresentam escalas de tempo, como tempo de vida de um homem, tempo de existência da humanidade, tempo de existência do universo etc. Por questões óbvias, seria impossível usar uma escala linear nestes casos, quando então se utiliza uma escala logarítmica, não com intenção de tor-nar lineares os fenômenos, mas sim com intenção de tornar possível visualizar fenômenos tão curtos de algumas dezenas de anos, ou longos, de alguns bilhões de anos. Da mesma forma, quando se quer comparar distâncias/comprimentos, seria impossível nos referirmos a distâncias como as que definem as dimensões do núcleo de um átomo e seus elétrons e a distância entre a Terra e o Sol, ou ainda, entre o Sol e uma estrela distante. Nesses casos, quase sempre utili-zamos escalas logarítmicas com a intenção única de tornar possível tal visualização em um único gráfico. Partículas cuja vida média é muito curta, como mésons , podem ser comparadas com o tempo de vida do universo, por exemplo, usando-se escalas logarítmicas.

Na figura 2.18 mostramos uma página da Philips Semiconductors, onde são mostradas as características de um varicap. Observe que a Philips está usando gráfico semi-log sem nenhum desejo de mostrar uma reta, mas sim com intenção de mostrar a gama de tensões VR para um dado varicap (BB178).

Finalmente você está em condições de começar a construir um grá-fico. Apesar de não termos dito, agora você já sabe que para come-çarmos um gráfico, o primeiro passo é sempre a escolha do papel a ser utilizado.

Atualmente existem inúmeros programas de computador para construir gráficos (Grapher, Origin etc.) porém, para utilizá-los cor-retamente é necessário ter amplo conhecimento sobre gráficos, caso contrário, tais programas não terão utilidade.

www.semiconductors.philips.com

VaricapDiodo de capacitância variável.

99

Figura 2.18 - Página da Philips Semiconductors, mostrando três gráficos sobre características de um dado semicondutor

100

Figura 2.19 - Três tipos de papel: milimetrado, log-log e semi-log

101

ExercíciosEscolheu-se objetos de diferentes volumes porém formados pelo 1) mesmo material e para cada um deles mediu-se as massas cor-respondentes. Os valores são apresentados na tabela abaixo:

V (ml) 2,0 5,8 11,1 13,3 16,0

m (g) 15,80 48,02 92,96 112,84 134,89

Sabe-se ainda que a massa específica de um dado material é

dada pela definição: .mV

=

a) A partir da equação acima, identifique as variáveis depen-dente e independente, mostrando que a mesma pode ser re-presentada por uma equação de reta e aponte os respectivos coeficientes linear e angular dessa reta.

b) Determine a equação da melhor reta através do método dos mínimos quadrados. Forneça os valores dos coeficientes an-gular e linear com as respectivas unidades e número ade-quado de algarismos significativos bem como os valores das somatórias usadas para o cálculo desses coeficientes.

c) Faça o gráfico com os dados da tabela e represente também a melhor reta ajustada.

d) A partir dos resultados encontrados para a melhor reta, de-termine o valor da massa específica do material usado, in-dicando a sua unidade e número adequado de algarismos significativos.

Em um gás ideal, a pressão 2) ( )P , o volume ( )V e a temperatura ( )T estão relacionados por:

,nRTPV

=

onde n é o numero de moles e R a constante universal dos ga-ses. Em um experimento foram medidos os valores de P em função de V, em um recipiente contendo 2,00 moles de um gás ideal à temperatura de 300,00K. Na tabela abaixo são mostra-dos os resultados obtidos:

102

P (atm) 49,20 25,01 16,23 12,40 9,72

V (L) 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000

a) Linearize a equação acima, identificando as variáveis de-pendente e independente, bem como os coeficientes linear e angular.

b) Para os dados obtidos, determine a equação da melhor reta através do método dos mínimos quadrados. Forneça os va-lores dos coeficientes angular e linear com as respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos bem como os valores das somatórias usadas para o cálculo desses coeficientes.

c) Faça o gráfico com os resultados do item anterior e repre-sente também a melhor reta ajustada.

d) A partir dos resultados encontrados para a melhor reta, determine o valor da constante universal dos gases, R, in-dicando a sua unidade e número adequado de algarismos significativos.

Sabe-se que a altura 3) h da coluna de uma certa quantidade fixa de água em um tubo de vidro vertical é inversamente propor-cional ao raio r do tubo. A tabela abaixo apresenta os dados experimentais de uma série de cinco (5) medidas feitas:

h (cm) 7,369 3,685 2,948 2,105 1,474

r (cm) 0,0105 0,0195 0,0250 0,0355 0,0495

A equação teórica que deve relaciona as duas variáveis pode

ser escrita na forma: 2 ,h Agr

= + onde A é uma constante,

31,000g/cm , = , 2980cm/sg = e é a constante de tensão su-perficial da água, a ser determinada.

a) Linearize a equação acima, identificando as variáveis de-pendente e independente, bem como os coeficientes linear e angular.

b) Para os dados obtidos, determine a equação da melhor reta através do método dos mínimos quadrados. Forneça os valo-

103

res dos coeficientes angular e linear com as suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos.

c) Faça um gráfico a partir dos dados.

d) Represente no mesmo gráfico do item anterior, a melhor reta ajustada.

e) A partir dos resultados encontrados para a melhor reta, es-creva os valores de A e com suas unidades e número ade-quado de algarismos significativos.

Pendura-se na extremidade de uma mola, verticalmente, uma 4) massa m . Deslocando-se então o sistema ligeiramente em re-lação à sua posição de equilíbrio, o mesmo passa a oscilar com um período .T Na tabela abaixo são fornecidos os valores de T obtidos para cinco valores diferentes de m:

T (s) 0,701 0,863 1,000 1,114 1,224

m (g) 100,49 151,04 200,14 250,08 300,14

A equação que relaciona estas grandezas é dada por:

2 ,mTk

= onde k é a constante elástica da mola.

a) Linearize a equação acima, identificando as variáveis de-pendente e independente, bem como os coeficientes linear e angular.

b) Determine a equação da melhor reta através do método dos mínimos quadrados. Forneça os valores dos coeficientes an-gular e linear com as suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos.

c) Faça um gráfico da equação linearizada.

d) Represente no mesmo gráfico do item (c), a melhor reta ajus-tada.

e) A partir dos resultados encontrados para a melhor reta, de-termine o valor da constante elástica k, indicando a sua uni-dade e número adequado de algarismos significativos.

104

Usando um experimento com o trilho de ar, mede-se a velo-5) cidade de um corpo ( )v para várias posições ( ),x , medidas em relação à origem de coordenadas 0( 0).x = Os valores obtidos, para o intervalo medido, são dados na tabela abaixo. Por outro lado, a equação teórica que deve relacionar estas duas quanti-dades deve ser dada por:

2 20 2 ,v v ax= + , onde 0v é a velocidade do corpo na posição ini-

cial e a é a aceleração, suposta constante.

v (cm/s) 39,50 44,00 47,62 50,68 53,85

x (cm) 80,00 100,00 115,00 130,00 150,00

a) Linearize a equação acima, identificando as variáveis de-pendente e independente, bem como os coeficientes linear e angular.

b) Para os dados obtidos, determine a equação da melhor reta através do método dos mínimos quadrados. Forneça os va-lores dos coeficientes angular e linear com as suas respecti-vas unidades e número adequado de algarismos significati-vos.

c) Faça um gráfico a partir dos dados.

d) Represente no mesmo gráfico do item anterior, a melhor reta ajustada.

e) A partir dos resultados encontrados para a melhor reta, de-termine o valor de 0v e de a com suas respectivas unidades e número de significativos apropriados.

Um patinador (de massa 6) m) descreve uma trajetória circular de raio r com velocidade v. Ele mantém sua trajetória prendendo-se, através de uma corda, a uma barra fixa no centro do círcu-lo. A tensão T da corda é a força centrípeta que o mantém no movimento circular sobre uma superfície de gelo sem atrito. A relação existente entre a tensão T e a velocidade v do patinador

é dada por 2

.mvTr

=

A seguir você encontra valores medidos da tensão na corda em função da velocidade do patinador:

105

T (N) 230 940 2110 3740 5850

v (m/s) 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0

Sabendo que 52,0kg:m =

a) Linearize a equação, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os coeficientes linear e angular.

b) Aplicando as equações dos mínimos quadrados para os pontos da equação linearizada, determine a equação da melhor reta e represente-a graficamente, juntamente com os pontos experimentais.

c) A partir dos valores determinados no item (b), determine o valor do raio da trajetória, com sua unidade.

Quando o pistão de um amortecedor a óleo se move, o óleo é 7) empurrado através de orifícios para o pistão, no qual exerce uma força resistiva linearmente proporcional à velocidade . Se esta é a única força que atua sobre o pistão, a velocidade deste em função do tempo é dada pela expressão:

0 ,k tmv v e

- =

sendo que v0 é a velocidade inicial do pistão e m é a sua massa. A tabela a seguir apresenta valores medidos da velocidade v do pistão em função do tempo t, para um determinado amor-tecedor.

v (cm/s) 11,59 5,37 2,49 1,15 0,53

t (s) 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000

a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os parâmetros line-ar e angular.

b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel semilog (monolog).

c) Determine a partir do gráfico, os valores de v0 e k, com suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos. Suponha 200,00g.m =

106

Tem-se uma amostra com certa quantidade de um elemento 8) químico radioativo. O elemento químico decai, transforman-do-se em outro tipo de elemento e mede-se então a massa (m) restante como função do tempo (t). Os resultados são apresen-tados na seguinte tabela:

m (g) 36,80 13,51 4,98 1,81 0,68 0,25

t (h) 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0

Um modelo teórico propõe a seguinte expressão para descre-ver a massa restante na amostra, 0 .ktm m e-=

a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os parâmetros line-ar e angular.

b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel semilog (monolog).

c) Determine a partir do gráfico, os valores de 0m e k, com suas respectivas unidades e número adequado de algaris-mos significativos.

Um dispositivo elétrico, presente em um dado circuito, libera 9) carga Q, medida em Coulombs (C), em função do tempo t, me-dido em segundos (s), de acordo com a tabela abaixo, obtida experimentalmente:

Q (C) 0,1752 0,0812 0,0376 0,0174 0,0080 0,0037

t (s) 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

Um modelo teórico propõe a seguinte expressão para o pro-cesso, 0 .ptQ Q e-=

a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os parâmetros line-ar e angular.

b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel semilog (monolog).

107

c) Determine a partir do gráfico, os valores de Q0 e p, com suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos.

O vencedor do prêmio ignobel de Física de 2002, Arnd Leike, 10) apresentou um estudo sobre o comportamento da altura do colarinho da cerveja (espuma) em função do tempo. A equação obtida nesse estudo, publicado no European Journal of Phy-sics, número 23, pg. 21 a 26, está representada abaixo:

0 10 ,t

h h - = ⋅

onde 0h (altura inicial do colarinho) e são constantes.

A tabela abaixo traz um conjunto de valores de h e t para uma dada marca de cerveja.

h (cm) 14,96 7,28 3,68 1,76 0,90

t (s) 50,00 250,00 450,00 650,00 850,00

a) Linearize a equação dada identificando as variáveis depen-dente e independente, bem como os coeficientes linear e an-gular.

b) Construa o gráfico com os dados da tabela em papel semi-log.

c) A partir do gráfico, obtenha os valores de h0 e ,, com res-pectivas unidades e numero adequado de algarismos signi-ficativos.

Um objeto é acelerado de tal forma que os tempos gastos para 11) percorrer distâncias previamente definidas, são dados pela ta-bela abaixo:

t (s) 1,6 4,6 7,7 10,5 12,3 15,2

x (cm) 0,9 9,3 25,1 48,9 64,9 99,8

Uma proposição teórica para explicar o comportamento expe-rimental observado é dada por: .bt Cx=

108

a) Linearize a equação dada acima, identifi cando as variáveis dependente e independente, bem como os parâmetros line-ar e angular.

b) Construa o gráfi co para a tabela anterior, em papel log-log (dilog).

c) Determine a partir do gráfi co, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e número adequado de algarismos signifi cativos.

Varistor é um componente eletrônico cuja resistência é não 12) ôhmica (não respeita a lei de Ohm). Este componente é usado em circuitos de proteção de fontes (veja fi gura).

150º

T3D784

T3D784

T3D784

Varistor

O Levantamento de dados de corrente e tensão em um varistor forneceu os seguintes dados experimentais:

V (V) 2,250 4,000 6,000 10,000 30,000 50,000

I (mA) 0,200 0,551 1,158 2,785 19,503 49,897

A equação que rege o fenômeno é: .V C I = ⋅

a) Construa o gráfi co V I× em papel log-log

b) Determine C e bem como suas unidades.

Observação: Apesar de aparentemente ser absurdo, é comum em certas aplicações (Eletrônica por exemplo), misturar-se uni-dades do SI (volt) com outras unidades que não pertençam ao SI (mA (mili-ampére)).

109

ResumoNeste capítulo, vimos as principais técnicas para construir gráficos em papel milimetrado e outros papeis especiais (semi-log e log-log), bem como as maneiras de se extrair o maior número de informações destes gráficos.

Foi também apresentada uma série de regras e normas sobre cons-trução de gráficos cujo objetivo maior, é tornar os mesmos de fácil leitura por qualquer outra pessoa, independentemente de maiores informações. Métodos padrões de linearização de funções, assim como de ajuste de retas para um dado conjunto de pontos experi-mentais, foram também discutidos.

Capítulo 3Atrito Estático

Capítulo 3Atrito Estático

Neste capítulo nossos objetivos serão: verificar experi-mentalmente as hipóteses sobre as forças de atrito estático e obter o coeficiente de atrito estático entre dois corpos.

3.1 Teoria básicaQuando se deseja colocar em movimento um objeto apoiado sobre uma superfície horizontal, é necessário aplicar horizontalmente sobre o mesmo uma força mínima, a qual depende do peso do mesmo e do tipo de material de que são constituídos o objeto e a superfície sobre a qual ele está apoiado. Por exemplo, para um mesmo corpo apoiado sobre um bloco de gelo ou sobre uma mesa de madeira, esta força mínima pode ser bem diferente. Por outro lado, para empurrar dois corpos de mesmo material porém de massas diferentes sobre a mesma superfície, precisamos de uma força maior para conseguir o mesmo efeito sobre o corpo de mas-sa (e portanto peso) maior. O que impede o corpo de iniciar o

114

movimento para um valor menor da força, é o que denominamos de força de atrito estático. Assim, se formos aumentando gradativa-mente a força aplicada, o corpo iniciará o movimento a partir de um certo valor desta força.

Em geral assumimos como válidas as seguintes hipóteses sobre a força de atrito estática ( )ef máxima: a) deve ser diretamente pro-porcional à força normal ( )NF aplicada sobre o corpo; b) depende do material de que são feitos o corpo e a superfície de contato; c) não depende da área de contato entre as superfícies do corpo e do apoio. Matematicamente isto pode ser expresso pela equação:

e e Nf F≤ (3.1)

O coeficiente adimensional ,e conhecido como coeficiente de atrito estático, depende dos materiais de que são compostos o corpo e a su-perfície sobre a qual o mesmo está apoiado. O sinal < se refere às situações em que a força aplicada é menor que o valor mínimo para colocar o corpo em movimento. No limite em que o corpo está prestes a iniciar o movimento vale o sinal de igual, correspondendo assim ao que chamamos de força de arranque. Note que, se o corpo não estiver apoiado sobre uma superfície horizontal, a equação (3.1) continua vá-lida, embora a força normal não seja mais igual ao peso do corpo.

A origem da força de atrito está no fato de que, mesmo parecendo que as superfícies estejam perfeitamente polidas, existe sempre al-gum tipo de rugosidade que dificulta o deslizamento de uma contra a outra, como mostra a figura (3.1). Não fosse por isto, para qualquer valor da força horizontal aplicada o corpo entraria imediatamente em movimento. Mesmo depois que isto ocorre, a força de atrito con-tinua a existir, porém, neste caso, dizemos que o atrito passa a ser dinâmico, pois em geral o valor do coeficiente de atrito muda.

Figura 3.1 - Ampliação da superfície de contato entre dois objetos

115

Uma das maiores dificuldades em se comprovar certas leis da Mecâ-nica está justamente em se eliminar ao máximo os efeitos do atrito. Para isto devemos utilizar corpos cujo coeficiente de atrito entre si seja o menor possível ou utilizar a técnica de produzir um “colchão de ar” entre as duas superfícies, evitando assim o contato entre as mesmas.

3.2 Fotografia do equipamento

Figura 3.2

116

3.3 Esquema

Motor

Dinamômetro

Mesa

Haste comgancho

Haste desuporte

Haste comroldanas

Bloco demadeira

Figura 3.3

3.4 Procedimento experimentalNeste experimento pretende-se determinar as propriedades 1) do atrito estático descritas acima, utilizando-se da montagem proposta nas figuras (3.2) e (3.3). Confira a relação de materiais descrita abaixo, com o equipamento que você recebeu.

Faça então um reconhecimento da escala do dinamômetro que 2) será utilizado para a medida da força de arranque sobre o blo-co de madeira. Observe em particular a menor divisão de es-cala e o erro de escala associado ao instrumento.

Meça a massa do bloco de madeira bem como as dimensões 3) necessárias para a obtenção das áreas de contato com a mesa e anote seus valores nas tabelas (3.1) e (3.2).

Verifique se o fio de nylon está conectado ao dinamômetro e 4) ao bloco apoiado sobre a mesa, observando que o trecho do fio ligando ambos deve ficar paralelo ao plano da mesa e perpen-dicular à haste vertical. Antes de iniciar a medida, certifique-se que a escala do dinamômetro registra a posição zero.

117

Ligue então o motor e observe cuidadosamente a escala do di-5) namômetro, efetuando a leitura da força de tensão máxima (ou força de arranque) indicada pelo dinamômetro.

Repita o item anterior com o bloco na mesma configuração, 6) ou seja, sempre com a mesma face apoiada sobre a mesa, até preencher a tabela (3.1). Note que na parte inferior da tabela há uma linha para anotar o valor médio da força de arranque. Entre uma medida e outra, volte o corpo para a posição inicial, desen-rolando manualmente o fio.

Inverta agora a face de apoio do bloco de madeira e repita todo 7) o procedimento indicado nos itens 4, 5 e 6 para a nova configu-ração, preenchendo a tabela (3.2).

A seguir escolha uma das duas configurações anteriores para 8) o bloco e repita os itens 4, 5 e 6, porém adicionando ao mesmo, uma a uma, as massas recebidas. A primeira medida deve ser feita sem nenhuma massa adicional. Efetue uma medida para cada massa adicionada, anotando na tabela (3.3) os seus resul-tados, ou seja, a massa total (M) em cada caso juntamente com as forças normal e de arranque correspondentes.

3.5 Relação do materialMotor elétrico de baixa rotação para o enrolamento do fio•

Bloco de madeira • ( 100g)≈

Massas diversas•

Diversas hastes •

Suportes de fixação•

Roldanas•

Dinamômetro (fundo de escala de • 2N≈ )

Paquímetro•

Balança•

Fio fino de nylon•

118

3.6 QuestionárioCalcule, a partir dos resultados registrados nas tabelas (3.1) e 1) (3.2), o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a mesa para cada configuração do bloco. Para isto, obtenha, para cada con-junto de medidas, ou seja, cada configuração, o erro aleatório provável da força de arranque. Calcule então o erro propagado na obtenção do coeficiente de atrito estático. Discuta as pos-síveis diferenças entre os valores encontrados nos dois casos, considerando o erro total em suas medidas. O que se pode con-cluir sobre a hipótese de que o atrito estático não depende da área de contato, baseado nestes resultados?

Usando os dados registrados na tabela (3.3), faça um gráfico 2) relacionando a força de arranque e a força normal para as dife-rentes massas utilizadas, usando o método dos mínimos qua-drados. A partir da comparação deste gráfico com a equação (3.1), o que se pode concluir? Qual o valor do coeficiente de atrito estático no caso analisado? Compare com o valor corres-pondente encontrado na questão 1 do Questionário, calculan-do o desvio percentual entre ambos, tomando como referência o valor obtido na questão 1.

3.7 TabelasTabela 3.1

Área de contato 2(m ) =

Massa do Bloco (kg) =

Medida

1

2

3

4

5

6

(N)arranqueF =

119

Tabela 3.2

Área de contato 2(m ) =

Massa do Bloco (kg) =

Medida

1

2

3

4

5

6

(N)arranqueF =

Tabela 3.3

Área de contato 2(m ) =

Capítulo 4Velocidade Média e Velocidade Instantânea

Capítulo 4Velocidade Média e

Velocidade Instantânea

Neste capítulo, nossos objetivos serão: medir diversas distâncias arbitrárias e os respectivos tempos de per-curso de um carrinho em um trilho de demonstração (rolamento); construir o gráfico da velocidade média em função do tempo de percurso; calcular a velocidade ins-tantânea pelo método gráfico; aprender a utilizar o tri-lho de demonstração, bem como o conjunto cronômetro/sensores fotoelétricos.

4.1 Teoria básicaDefinimos velocidade média como a razão entre o espaço ( S∆ ) percorrido e o tempo ( t∆ ) gasto em percorrê-lo:

svt

∆⟨ ⟩ =

∆ . (4.1)

Podemos reduzir gradativamente o intervalo de tempo em que a medida é feita, de tal forma a torná-lo o mais próximo possível de zero. Em outras palavras, queremos determinar a velocidade média o mais próximo possível de um determinado instante de tempo t .

Note que ao fazer isso a razão entre o espaço percorrido e o inter-valo de tempo pode ainda ser um número bem definido, embora cada um deles possa tornar-se separadamente um número bem próximo de zero. Quando isto ocorre, dizemos que a velocida-de média se aproxima do valor da velocidade no instante t , ou simplesmente velocidade instantânea. Quanto menor o intervalo

124

de tempo em torno de t , melhor será a aproximação obtida para a velocidade naquele instante.

Matematicamente podemos expressar esta idéia com a introdução do conceito de limite, ou seja, a velocidade instantânea será dada por:

0lim

t

s dsvt dt∆ →

∆= =

∆ . (4.2)

Assim, pode-se ainda dizer que a velocidade em um dado instante será dada pela derivada da posição em função do tempo, calculada no instante desejado.

No caso do movimento retilíneo e uniforme (MRU) a velocidade é a mesma em qualquer instante e portanto, a velocidade média calcu-lada em qualquer intervalo do movimento será igual à velocidade em qualquer instante.

Já o movimento retilíneo e uniformemente variado (MRUV) se ca-racteriza pelo fato da aceleração ser sempre a mesma ao longo do movimento. Neste caso, a velocidade média e a velocidade em um dado instante qualquer não são necessariamente iguais. No entanto, como a velocidade varia linearmente com o tempo, pode-se mostrar que a velocidade média entre dois instantes, 1t e 2t pode ser obtida pela média aritmética entre as velocidades instantâneas nos extre-mos do intervalo, ou seja,

1 2 =2

v vv +⟨ ⟩ , (4.3)

onde 1v e 2v são as velocidades nos instantes 1t e 2t respectivamen-te. Para qualquer outro tipo de movimento valem sempre as defini-ções dadas pelas equações (4.1) e (4.2).

125

4.2 Fotografia do experimento

Figura 4.1

Figura 4.2

126

4.3 Procedimento experimentalSe você ainda não o fez, assista o vídeo sobre utilização do cro-1) nômetro digital e sobre o trilho de rolamento com carrinhos, no ambiente da disciplina.

Monte o esquema com dois sensores fotoelétricos e cronôme-2) tro. O primeiro sensor deve disparar o cronômetro quando a bandeirola do carrinho (pequeno retângulo acoplado à parte lateral do carrinho) começar a cortar o feixe de luz e o segundo sensor deve parar o cronômetro nas mesmas condições.

Verifique o nivelamento do trilho, nivelando-o, se for o caso, com 3) o auxílio dos parafusos niveladores e de um nível de bolha.

Use um pequeno objeto para desnivelar o trilho, colocando-o 4) sob o pé isolado do mesmo. Sugestão: use 3 massas de 10g cada, fornecidas. O trilho funcionará assim como um plano inclinado ou rampa. Meça o desnível assim obtido com auxílio de um micrômetro.

Identifique o centro do trilho. Chamaremos este ponto de 5) P .

Verifique o funcionamento do cronômetro, identificando o pri-6) meiro sensor (sensor de disparo I ) e o segundo sensor (sensor de parada do cronômetro ( II )).

Posicione o sensor de disparo distante de 7) P , na parte alta da rampa (por exemplo 50,00 cm antes de P ) . Anote na tabela esta posição como sendo 1S .

Posicione o outro sensor a igual distância depois do ponto 8) P , parte baixa da rampa. Anote na tabela esta posição como sen-do 2S .

Calcule a distância entre 9) 1S e 2S e anote na tabela como S .

Fixe o carrinho no início do trilho antes do primeiro sensor. 10) Note que o disparador (montado de forma a não dar impulso algum ao carrinho), ao qual o carrinho é fixado, possui 3 po-sições para o imã que prende o carrinho. Escolha a posição intermediária.

127

Configure o cronômetro para leituras de tempo de um sensor 11) ao outro. Zere o cronômetro e abandone o carrinho, ou seja, solte-o sem dar impulso algum. Anote o tempo registrado na tabela como t .

Desloque os sensores diminuindo a distância entre eles. Em 12) qualquer das medidas a posição dos dois sensores deve ser absolutamente simétrica em relação a P , ou seja, no caso de-ve-se aproximar o sensor de disparo 5,00 cm em relação a P . O outro sensor também tem que ser deslocado de igual distân-cia e também aproximar-se de P .

Anote as novas posições 13) 1S e 2S , bem como S .

Repita os itens 10, 11, 12 e 13 até preencher a penúltima linha 14) da tabela .

Sempre respeitando a simetria citada no item 12, posicione os 15) dois sensores o mais próximo possível do ponto P .

Anote as novas posições 16) 1S e 2S , bem como S .

Zere o cronômetro e abandone o carrinho, ou seja, solte sem 17) dar impulso algum. Anote o tempo na última linha da tabela como t .

Calcule as velocidades médias 18) v e anote na tabela.

Retire um dos sensores e posicione o outro sensor no ponto 19) P . Ajuste então o cronômetro para registrar o tempo de pas-sagem do carrinho por este sensor (configuração para sensor único). A seguir, abandone o carrinho do mesmo ponto em que isto foi feito em suas medidas anteriores e anote o tempo de passagem (que chamaremos de Lt ), assim como o compri-mento da bandeirola.

Mantendo o sensor no ponto 20) P , ajuste agora o cronômetro para medir o tempo que o carrinho gasta para ir da posição inicial (posição em que ele é abandonado), até passar por P (configuração START + 1 sensor). Abandone novamente o car-rinho e anote o tempo total registrado pelo cronômetro, que chamaremos de tT .

128

4.4 Relação do material1 Cronômetro digital com conexões para sensores externos.•

2 Sensores fotoelétricos (dispara quando o feixe luminoso é •“cortado” pelo carrinho)

6 Cabos para conexão elétrica • ≥ 0,50m de comprimento.

1 Trilho de rolamento.•

1 Carrinho para o trilho anterior.•

2 Bandeirolas (tamanhos diferentes) para acionamento do cro-•nômetro

1 Trena (caso o seu trilho não possua uma acoplada)•

1 Jogo de massas de 10g cada ou calços quaisquer.•

1 Micrômetro•

4.5 QuestionárioCom os dados da tabela faça um gráfico de 1) v por t (assuma que v dependa do tempo t ).

A partir do gráfico obtido no item anterior, qual deve ser a ve-2) locidade do carrinho ao passar pelo ponto P , escolhido apro-ximadamente no centro do trilho? Explique como você chega a este valor a partir do gráfico.

Use as medidas obtidas para 3) Lt e para o comprimento da ban-deirola para obter uma aproximação para a velocidade do carrinho ao passar pelo mesmo ponto P . Compare com o re-sultado obtido na questão anterior. Comente as razões para as possíveis diferenças entre eles.

Utilizando o valor do desnível do trilho (medido no item 4 do 4) procedimento experimental), calcule a aceleração do carrinho (com sua respectiva unidade), após ser abandonado no mesmo. Use ainda sua medida para Tt e para a velocidade instantânea para obter esta aceleração e compare com o valor calculado a par-tir do desnível do trilho. Qual o desvio percentual entre ambas?

129

4.6 Tabela

Velocidade Média – Velocidade Instantânea

Tabela 4.1

(cm) (cm) (cm) (s) (cm/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Capítulo 5Queda Livre

Capítulo 5Queda Livre

Neste capítulo teremos os seguintes objetivos: medir diversas alturas arbitrárias e os respectivos tempos de queda de uma dada esfera; construir o gráfico das di-versas alturas em função do tempo de queda; calcular a aceleração da gravidade pelo método da derivação grá-fica e calcular a aceleração da gravidade pelo método da linearização.

5.1 Teoria básicaQuando um corpo qualquer está sob a ação de uma força resul-tante diferente de zero e constante durante um intervalo de tem-po ,f it t t∆ = - ele está sujeito a uma aceleração a, definida por:

f i

f i

v vvat t t

-∆= =

∆ -

134

onde fv e iv correspondem, respectivamente, às velocidades final e inicial no intervalo de tempo considerado e a representa a acele-ração média nesse intervalo. Isolando ,fv temos

f iv v a t= + ⋅∆ (5.1)

Lembrando ainda da definição de velocidade média

f i

f i

s ssvt t t

-∆= =

∆ - (5.2)

ou ainda,

s v t∆ = ⋅∆ (5.3)

No caso em que a aceleração é constante, podemos ainda escrever:

2i fv v

v+

= (5.4)

Substituindo (5.1) em (5.4) temos:

( )2 2

i ii

v v a t a tv v+ + ⋅ ∆ ⋅∆= = + (5.5)

e substituindo (5.5) em (5.3) obtemos, finalmente:

2f i ia ts s s v t⋅∆ ∆ = - = + ⋅∆

2( )2f i i

a ts s s v t ⋅ ∆∆ = - = ⋅∆ +

2( )2f i i

a ts s v t ⋅ ∆= + ⋅∆ + (5.6)

Uma esfera no ar está sujeita a outras forças além da gravitacional, tais como atrito viscoso, empuxo estático, e empuxo dinâmico, entre outras. Porém para uma pequena esfera de aço todas estas forças são muito menores que a força da gravidade, podendo em uma primeira aproximação ser desprezadas.

135

Levando isto em conta, podemos afirmar que a nossa esfera está sujeita “somente” à força gravitacional. Neste caso podemos aplicar a equação (5.6) e substituir a por g (aceleração da gravidade), sendo também conveniente representarmos os espaços s pela letra h (altu-ra). Para simplificar mais ainda a nossa equação, colocaremos a ori-gem do sistema de referência junto à esfera no início do movimento e orientaremos o eixo no sentido de cima para baixo (assumiremos valores positivos para baixo). Como a esfera é abandonada, e não lançada, podemos afirmar que a velocidade inicial é zero. Finalmen-te, escolhendo o instante inicial (instante de lançamento) como sen-do zero, podemos escrever 0 .ft t t∆ = - = Portanto, a nossa equação se resume a:

2( ) .

2g th ⋅

∆ = (5.7)

5.2 Fotografia do experimento

Figura 5.1

136

5.3 Esquema

Cronômetrodigital

Esfera

Altura (h)de queda

Chave 1Liga quando aesfera é abandonada

Chave 2Liga quando aesfera chega ao final

Figura 5.2

5.4 Procedimento experimentalEsta experiência pode ser realizada de mais de uma maneira, de-pendendo do equipamento disponível. O objetivo principal é ad-quirir um conjunto de medidas de altura de queda com o tempo gasto nesta queda. Uma das maneiras mais interessantes é através de foto estroboscópica, onde pode-se fazer (em uma sala escura e utilizando-se preferentemente um fundo preto) por intermédio de uma chapa fotográfica uma sucessão de fotos sobrepostas. Esta su-cessão de fotos é conseguida iluminando o objeto da fotografia, no caso uma esfera caindo no ar, por uma sucessão de flashes conse-guida por uma lâmpada estroboscópica, enquanto o obturador da câmera fotográfica permanece aberto. Como a freqüência da lâmpa-da é ajustável, o tempo entre uma e outra posição é conhecido.

Outra maneira de realizá-la é utilizar um sistema com faiscador e fita grafitada. O primeiro sistema apesar de ser bastante simples e eficiente depende de câmara escura para revelar o filme, ou de fo-tos tipo Polaroid que são dispendiosas. O segundo sistema, com fita grafitada e faiscador, é de manutenção relativamente barata, porém existe o risco de um desagradável choque elétrico (bons faiscadores trabalham com tensões maiores que 10.000 volts).

137

Existe um terceiro sistema que é o uso de cronômetros (ou computa-dores usados como cronômetros) associados a sensores fotoelétricos e/ou de pressão. Este é o método que iremos utilizar aqui, ou seja, um cronômetro acoplado a sensores externos.

Primeira Parte – Método das tangentesMonte o esquema com dois sensores de pressão e cronômetro 1) (observe que o sensor um deve ter um sistema que prenda a esfera e dê um sinal/comando para o cronômetro quando a esfera é abandonada). O segundo sensor ao contrário do pri-meiro deve emitir um sinal quando pressionado pela esfera (fim da queda).

Ajuste para que os dois sensores estejam na mesma vertical todo 2) o tempo da experiência (a bolinha abandonada pelo primeiro sensor tem que necessariamente cair sobre o segundo sensor).

Para ajustar o sensor de baixo (sensor com “prato”), eleve o 3) prato com a mão. Ajuste o cursor da régua para um valor “re-dondo”, por exemplo, 10,00cm. Leve o sensor prato (com o pra-to levantado até bater no cursor) e anote na tabela a primeira posição de altura.

138

Com o mesmo cursor anteriormente usado, ajuste agora para 4) uma nova posição 10,00cm

acima da posição anterior. Nesta po-

sição coloque o centro (existe uma linha marcando este centro) do segundo sensor (sensor disparador), anotando na tabela.

Prenda a esfera no segundo sensor (sensor disparador). Veri-5) fique se o cronômetro está zerado, se não estiver zere-o. Veri-fique se o cronômetro está ajustado para disparar quando a esfera é abandonada. Faça três medidas de tempo de queda, calcule a média e anote na tabela o valor médio do tempo. Ob-serve que a contagem do cronômetro é disparada quando a es-fera deixa o primeiro sensor e só pára quando a esfera atingir o segundo sensor.

Desloque o sensor superior (disparador) aumentando a distân-6) cia entre os sensores de aproximadamente 10,00cm.

Refaça os itens 5 e 6 até preencher a tabela.7)

Não há nenhuma dúvida que o tempo de queda depende da altura de queda e não o contrário, porém, nos é conveniente neste caso por razões didáticas fazermos o gráfico de h (no eixo y) por t (no eixo x).

139

Com os dados da tabela (5.1), faça um gráfico de 8) h por t (assu-ma que a altura de queda dependa do tempo de queda). O grá-fico de uma curva deve ser traçado com uma régua francesa ou régua flexível.

Escolha no seu gráfico 5 pontos em que, na sua opinião, a cur-9) va esteja bem definida (pontos distantes). (Sugestão: t0= 0,000s; t1= 0,100s; t2= 0,200s; t3= 0,300s; t4= 0,400s).

Trace com o máximo cuidado por estes 5 pontos, 5 tangentes. 10) Lembre-se que a tangente toca a curva somente em um ponto e é perpendicular à normal (utilize um compasso; a secante geométrica é paralela à tangente e é mais fácil de ser definida; como o que queremos é a direção da tangente, ela terá a mes-ma direção da secante geométrica)

Lembrando que a tangente é igual ao 11) cateto oposto ( )h∆ dividido pelo ca-

teto adjacente ( ),t∆

tg ,iht

q∆

=∆

então

esta tangente é a velocidade naquele instante. Calcule as velocidades para os cinco pontos (tempos) escolhidos.

140

Marque na tabela 5.2 os valores dos tempos escolhidos junta-12) mente com as velocidades calculadas.

Faça o gráfico da velocidade em função do tempo.13)

A partir da comparação desse gráfico com a equação (5.1), 14) calcule a aceleração.

Segunda Parte – Método da linearizaçãoCom os dados da tabela 5.1, faça o gráfico do tempo ao qua-15)

drado (t2) (no eixo dos y) por ∆h (∆h=h-h0) (assuma a primeira

medida de altura, altura do sensor prato, como sendo h0). Lem-brando que na situação da sua experiência a velocidade inicial era zero, calcule a aceleração a partir deste gráfico.

5.5 Relação do material1 Cronômetro digital com conexões para sensores externos.•

1 Sensor de contato elétrico (dispara quando o contato é aberto) •

1 Sensor de pressão (dispara quando pressionado).•

Cabos para conexão elétrica ≥ 0,50m de comprimento.•

1 Esfera de aço.•

1 Régua com cursor. •

1 Curva francesa ou régua flexível.•

5.6 QuestionárioQual o valor da aceleração encontrado através do gráfico cons-1) truído no item 14 do Procedimento (método das tangentes)? Calcule o erro percentual comparado ao valor esperado (tabe-lado).

Qual o valor da aceleração encontrado através do gráfico cons-2) truído no item 15 do Procedimento (método da linearização)? Calcule o erro percentual nesse caso. Qual dos dois métodos fornece o resultado mais correto? Por que?

141

5.7 Tabelas

Tabela 5.1

Medida Altura (cm) Tempo (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

Tabela 5.2

Medida Altura (cm) Tempo (s)

1

2

3

4

5

Capítulo 6Comprovação da 2a Lei de Newton usando a Máquina de Atwood

Capítulo 6Comprovação da 2a Lei de Newton

usando a Máquina de Atwood

Neste capítulo, nossos objetivos serão: verificar a 2a Lei de Newton ou Lei de Força; explorar conceitos de ci-nemática e dinâmica de um ponto material, utilizan-do para isto uma montagem baseada na Máquina de Atwood.

6.1 Teoria básicaO conceito de Força está entre os mais importantes da Física. A 2a Lei de Newton do movimento pode ser vista como uma definição de força. Ela estabelece que, dado um corpo de massa M e acele-ração a , a força F

que atua sobre o corpo deve ser escrita como o produto da massa pela aceleração deste corpo, ou seja:

F Ma=

. (6.1)

Se várias forças diferentes atuam sobre o corpo, subentende-se que a força que entra na equação acima é a resultante de todas elas. É sempre importante lembrar que aceleração e força são grandezas vetoriais, enquanto a massa é uma quantidade esca-lar. Assim, pela equação acima, vemos que a aceleração adquirida pelo corpo tem a mesma direção e sentido da força aplicada.

A Máquina de Atwood é um dispositivo simples (ilustrado na Fi-gura 6.1), onde dois corpos são interligados por um fio que passa por uma roldana. Na situação ideal, as massas do fio e da roldana, respectivamente, são nulas. Na prática, podemos escolher as mas-sas dos corpos suficientemente grandes em comparação às mas-sas do fio e da roldana, para considerar estas últimas desprezíveis. Neste caso, considerando o atrito entre o fio e a roldana também desprezível, podemos supor a tensão ao longo do fio constante e

146

facilmente determinar, a partir do conhecimento das massas dos dois corpos, a aceleração do sistema.

Para a montagem experimental que utilizamos aqui, o atrito entre o corpo e a superfície horizontal onde ele se apóia (ver Figura 6.1) é eli-minado (ou quase totalmente eliminado), usando o trilho mostrado. Sugerimos que você faça um esquema, mostrando então todas as forças que atuam no sistema. A partir deste esquema, escreva as equações que deter-minam a aceleração de cada corpo e a tensão no fio que os liga.

6.2 Fotografia do experimento

Figura 6.1

147

6.3 Procedimento experimentalPrimeira parte: massa do carrinho mais massa do corpo suspenso constante.

Utilizaremos o trilho com dois sensores fotoelétricos e o cro-1) nômetro correspondente para obtenção dos tempos envolvi-dos. Verifique se o trilho encontra-se nivelado e nivele-o, se for o caso (ver figura 6.2). O trilho estará completamente nivelado quando a bolha estiver centrada entre os dois traços.

Meça, usando a balança, a massa do carrinho (2) Mcarro ) e a massa suspensa fornecida (mp ), a qual deverá ficar pendurada ao car-rinho (ver Figura 6.1). Meça o comprimento da bandeirola (L) acoplada ao carrinho. Anote, na tabela 6.1, os valores obtidos.

Posicione os dois sensores fornecidos em dois pontos ao longo 3) do trilho, afastados de uma distância tal que, quando o car-rinho tiver passado totalmente pelo segundo sensor, a massa suspensa ainda não tenha atingido o chão. Anote o valor dessa distância na tabela como (s - s0 ). Você deverá agora preparar o cronômetro digital para que o mesmo registre o tempo de pas-sagem do carrinho por cada um dos sensores (ver vídeo sobre uso do cronômetro). Caso seu sistema de tomada de tempos não permita que isto seja feito em uma única passagem, tais tempos deverão ser obtidos em duas passagens do carrinho.

Adicione 60g de massa ao carrinho, usando as massas forne-4) cidas. Anote a massa total (carrinho + 60g + massa do corpo suspenso).

Prenda o carrinho na extremidade do trilho e ligue-o à massa 5) suspensa através do fio de nylon, conforme mostra a figura 6.1 Solte então o carrinho. O cronômetro conectado aos sensores fornecerá o intervalo de tempo de passagem do carrinho pelo primeiro sensor (t1 ) assim como o tempo de passagem pelo se-gundo sensor (t2 ) . Anote estes valores na tabela 6.1.

Retire 10g do carrinho e adicione à massa suspensa, repetin-6) do o procedimento do item anterior. Repita então o item 5 do Procedimento, prosseguindo com este processo até que as 60g passem totalmente do carrinho para a massa suspensa.

Figura 6.2

148

Segunda parte: massa do corpo suspenso constante.

Escolha um valor para a massa suspensa e fixe tal valor, ano-7) tando-o na tabela 6.2.

Repita agora todo o procedimento usado na primeira par-8) te adicionando 20g à massa do carrinho em cada tomada de tempos efetuada. No entanto, a massa suspensa permanecerá agora a mesma em todas as medidas. Anote na tabela 6.2, em cada caso, a massa do carrinho e os tempos de passagem por cada sensor.

Cálculos e análise dos resultadosAs tabelas 6.1 e 6.2 possuem colunas referentes às velocidades do carrinho nos pontos em que os sensores foram posicionados. Calcu-le essas velocidades para cada medida efetuada. Há também uma coluna referente à aceleração (a) do carrinho. Com o auxílio da equa-ção de velocidades (também conhecida como equação de Torricelli), calcule os valores correspondentes a cada medida. A equação de Torricelli fornece a relação:

2 20 2v v a S= + ∆ (6.2)

Usando os dados da tabela 6.1, faça um gráfico da aceleração em função do peso da massa suspensa mp . Para isto, use o valor tabela-do da aceleração da gravidade g. A seguir, faça um segundo gráfico, a partir dos dados da tabela 6.2, da aceleração em função do inverso da massa total (carrinho+massa suspensa).

6.4 Material Utilizado1 Trilho de rolamento.•

1 Carrinho (acoplável ao trilho anterior).•

1 Suporte para massas (massa suspensa).•

1 Roldana leve (com baixo momento de inércia).•

1m de Fio de nylon.•

149

2 Sensores fotoelétricos.•

1 Cronômetro digital (que aceite comando por sensores exter-•nos/ fotocélulas) com precisão mínima de milésimos de se-gundo, com as respectivas conexões.

Massas de 1 g.•

Massas de 10 g.•

1 Paquímetro.•

1 Balança.•

1 Trena (caso não contida no trilho).•

6.5 QuestionárioQual o valor (e sua respectiva unidade ) do parâmetro angu-1) lar da reta obtida com os dados da tabela 6.1? Qual o seu sig-nificado? Qual o desvio percentual deste valor em relação ao esperado?

Qual o valor (e sua respectiva unidade) do parâmetro angular 2) da reta obtida com os dados da tabela 6.2? Qual o seu signifi-cado? Qual o desvio percentual deste valor em relação ao es-perado?

Considerando ainda os dados da tabela 6.2, observe que o pro-3) duto da massa total (carrinho+massa suspensa) pela acelera-ção do mesmo em cada medida, tem aproximadamente o mes-mo valor. O que isto significa e qual o significado físico deste valor?

150

6.6 Tabelas

Segunda Lei de Newton

Tabela 6.1

s - s0 (cm) = Mtotal (g) = Lband (cm) =

t1 (s) t2 (s) mp (g) Mcarro (g) V1 (cm/s) V2 (cm/s) a (cm/s2)

Tabela 6.2

s - s0 (cm) = mp (g) = Lband (cm) =

t1 (s) t2 (s) Mcarro (g) Mtotal (g) V1 (cm/s) V2 (cm/s) a (cm/s2)

Capítulo 7Choque Elástico e Leis de Conservação da Mecânica

Capítulo 7Choque Elástico e Leis de Conservação da Mecânica

Neste capítulo iremos obter experimentalmente as velo-cidades de dois objetos antes e depois da colisão entre eles; analisar os resultados à luz das leis de conservação do momento linear e energia mecânica; obter o coefi-ciente de restituição no choque entre dois objetos.

7.1 Teoria básicaSuponha um sistema formado por duas partículas, de massas 1m e 2m respectivamente, onde a única força que atua é a força de contato entre elas. Neste caso, o Princípio de Conservação do Mo-mento Linear ( ou quantidade de movimento) nos diz que

1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v+ = + , (7.1)

onde v representa a velocidade da partícula e os sub-índices i (inicial) e f (final)se referem a antes e depois da colisão entre as duas massas, respectivamente.A equação acima pode ainda ser reescrita como:

1 1 1 1 2 2 2 2i f f im v m v m v m v- = -

1 1 1 2 2 2( ) ( )i f f im v v m v v- = - .

Vamos agora particularizar o resultado acima para uma colisão em uma dimensão, uma vez que esta é a situação de interesse aqui. Neste caso podemos simplesmente retirar o símbolo de ve-tor nas velocidades (iniciais e finais) e isolar a razão entre as mas-sas para obter,

2 21

2 1 1

( )( )

f i

i f

v vmm v v

-=

-. (7.2)

154

Por outro lado, a energia cinética total do sistema antes da colisão pode ser igual ou maior do que a energia cinética total depois da colisão. Isto porque parte da energia mecânica pode ser parcialmen-te (ou totalmente) transformada em outro tipo de energia durante o choque das partículas. Podemos expressar isto na forma da desi-gualdade:

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 12 2 2 2i i f fm v m v m v m v+ ≥ + , (7.3)

onde o sinal de igual se refere à situação onde a energia cinética é conservada. Escrevemos ainda:

2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2i f f im v m v m v m v- ≥ + -

e dividindo tudo por 12

e pondo em evidencia os termos comuns,

2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) ( )i f f im v v m v v- ≥ -

Isolando novamente a razão entre as massas, temos

2 22 212 2

2 1 1

( )( )

f i

i f

v vmm v v

-≥

-. (7.4)

Podemos agora comparar a desigualdade acima com a equação (3.16) para obter:

2 22 2 2 2

2 21 1 1 1

( ) ( )( ) ( )

f i f i

i f i f

v v v vv v v v

- -≥

- -

Lembrando ainda da propriedade 2 2 ( )( )a b a b a b- = + - ,

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

( ) ( )( )( ) ( )( )

f i f i f i

i f i f i f

v v v v v vv v v v v v

- + -≥

- + -

e simplificando:

2 2

1 1

( )1

( )f i

i f

v vv v

+≥

+

155

Rearranjando os termos acima, podemos finalmente escrever:

2 1 ( )

1 2 ( )

( )1

( )f f R Afastamento f

i i R Aproximação i

v v V Vv v V V

-≥ = =

-.

Observe que 1 2( )i iv v-

é a velocidade relativa de aproximação ou

velocidade relativa antes do choque ( iV ) e 2 1( )f fv v- é a velocidade relativa de afastamento das partículas, ou ainda velocidade relativa depois do choque ( fV ). Costuma-se definir a razão acima como co-eficiente de restituição do choque ( e ), ou seja:

2 1

1 2

( )( )

f f f

i i i

v v Ve

v v V-

= =-

(7.5)

Concluímos assim que o coeficiente de restituição será sempre um numero igual ou menor que a unidade. A igualdade ( 1e = ) se refere, portanto à situação em que há conservação da energia cinética du-rante o choque. Neste caso dizemos tratar-se de um choque elástico. Caso contrário ( 1e < ) dizemos que o choque é inelástico.

7.2 Fotografia do experimento

Figura 7.1

156

Figura 7.2

7.3 Procedimento experimentalMonte o esquema com três sensores fotoelétricos e cronômetro. 1) O primeiro sensor deve medir o tempo de passagem da bandei-rola do carro que está sendo lançado (carro projétil). O segundo sensor deve medir o tempo de passagem da bandeirola do carro que está sendo abalroado (carro alvo). O terceiro sensor medirá o tempo de passagem do carro projétil após o choque. Um dos dois carrinhos deve ter uma mola de aço (ou para-choques flexí-vel) afixada na parte em que haverá o contato entre os mesmos.

Verifique o nivelamento do trilho, nivelando-o se for o caso 2) com auxílio dos parafusos niveladores e nível de bolha.

Afixe o lançador ao trilho. Mesmo que você não conheça exa-3) tamente qual é o impulso do projétil, é importante que ele seja sempre o mesmo em todas as medidas (utilize sempre a mes-ma pressão para o lançador).

Meça a massa do carrinho projétil incluindo todos os acessórios 4) (bandeirola, para-choques, etc..) acoplados ao mesmo em uso naquele instante e anote como 1m . Meça a massa do carrinho alvo com os acessórios, anotando-a como 2m . Antes de medir as massas tente ajustar com contrapesos para que as mesmas sejam as mais próximas possíveis (situação ideal: 1 2m m= ), pois nessa situação o carro projétil deve parar após o choque.

157

Ajuste o seu cronômetro para ler os tempos de passagem das 5) bandeirolas.

Coloque o primeiro sensor numa posição tal que possa medir 6) o tempo total de passagem da bandeirola do primeiro carrinho antes do choque. O segundo sensor deverá ser colocado logo após o segundo carrinho, que por sua vez deve estar parado.

Verifique o funcionamento do cronômetro, identificando os 7) intervalos de tempo: tempo de passagem da bandeirola do carro projétil antes do choque ( 1it∆ ), tempo de passagem da bandeirola do carro alvo após o choque ( 2 ft∆ ) e o tempo de passagem da bandeirola do carro projétil após o choque ( 1 ft∆ ). Dependendo do seu sistema de medidas de tempo esta ope-ração poderá ser feita em uma única passagem. Caso o seu sistema não permita três leituras de tempo simultâneas talvez seja necessário fazê-lo em duas ou até três passagens.

Zere o cronômetro e posicione o carrinho projétil junto ao 8) lançador e o segundo carrinho (alvo) em uma posição como explicado no item 6. Observando que o lançador possui três níveis de impulso, tenha o cuidado para dispará-lo sempre no mesmo nível.

Lance o projétil e anote na tabela 9) 1it∆ , 1 ft∆ e 2 ft∆ . Se você fez o ajuste das massas corretamente, o cronômetro registrará o valor nulo para 1 ft∆ .

Repita os itens 6, 7, 8 e 9 tantas vezes quanto necessário para 10) completar a tabela 7.1.

Calcule os valores médios 11) 1it⟨∆ ⟩ , 1 ft⟨∆ ⟩ e 2 ft⟨∆ ⟩ anotando na tabela 7.1.

Meça o comprimento das bandeirolas 1 (12) 1l ) e 2 ( 2l ), anotando na tabela 7.1.

Calcule as velocidades médias 13) 1iv⟨ ⟩ , 1 fv⟨ ⟩ e 2 fv⟨ ⟩ e anote na tabela 7.1.

Faça agora com que a massa do carro projétil seja muito maior 14) que a massa do carro alvo (use os contrapesos no carro projétil e/ou improvise um carrinho mais leve feito de plástico).

Meça as massas dos dois carrinhos (incluindo bandeirola, 15) pára-choque e contrapesos se for o caso).

158

Ajuste o seu cronômetro para ler os tempos de passagem da 16) bandeirolas.

Coloque o primeiro sensor numa posição tal que possa medir 17) o tempo total de passagem da bandeirola do primeiro carrinho antes do choque. O segundo sensor deverá ser colocado logo após o segundo carrinho, que por sua vez deve estar parado (situação da primeira parte da experiência).

Verifique o funcionamento do cronômetro, identificando os 18) intervalos de tempo: tempo de passagem da bandeirola do carro projétil antes do choque ( 1it∆ ), tempo de passagem da bandeirola do carro alvo após o choque ( 2 ft∆ ) e o tempo de passagem da bandeirola do carro projétil após o choque ( 1 ft∆ ). Dependendo do seu sistema de medidas de tempo esta ope-ração poderá ser feita em uma única passagem. Caso o seu sistema não permita três leituras de tempo simultâneas talvez seja necessário fazê-lo em duas ou até três passagens.

Zere o cronômetro e posicione o carrinho projétil junto ao 19) lançador e o segundo carrinho (alvo) em uma posição como explicado no item 6.

Lance o projétil e anote na tabela 7.3 os valores de 20) 1it∆ , 1 ft∆ e 2 ft∆ .

Repita os itens 16, 17, 18 e 19 tantas vezes quantas forem ne-21) cessárias para completar a tabela 7.3.

Calcule os valores médios22) 1it⟨∆ ⟩ , 1 ft⟨∆ ⟩ e 2 ft⟨∆ ⟩ anotando na tabela 7.3.

Meça o comprimento das bandeirolas 1 (23) 1l ) e 2 ( 2l ), anotando na tabela 7.3.

Calcule as velocidades médias 24) 1iv⟨ ⟩ , 1 fv⟨ ⟩ e 2 fv⟨ ⟩ e anote na tabela 7.3.

Retire o segundo carrinho (carro alvo) do trilho mantendo 25) somente o carro projétil. O pára-choque de mola deve ser man-tido. O carrinho agora irá bater em uma “parede” (limitador final do trilho) e retornar no sentido do lançador.

Posicione um único sensor próximo ao final do trilho (região 26) onde haverá o choque). Há uma limitação de quão próximo do

159

final do trilho poderá ser colocado este sensor. A limitação está no seu tipo de cronômetro. Caso ele permita acumular duas me-didas (tempo de passagem da bandeirola antes ( 1it∆ ) e tempo de passagem após o choque ( 1 ft∆ ), o sensor deverá ser colocado a uma distância pouco maior que o suficiente para o carrinho passar totalmente pelo sensor na iminência de se chocar com a “parede” (aproximadamente a 20 cm do final do trilho). Caso o seu cronômetro não possa acumular duas medidas de tempo talvez seja necessário aumentar esta distância tal que você te-nha tempo suficiente para zerar o cronômetro logo após o sen-sor ser ultrapassado pela primeira vez, para que o mesmo possa registrar o tempo após o choque. Uma terceira alternativa seria fazer as duas tomadas de tempo (antes e depois do choque) em duas passagens, ou seja, lançamentos diferentes do carrinho.

Zere o cronômetro e posicione o carrinho projétil junto ao 27) lançador. Lance o carrinho medindo o tempo de passagem da bandeirola antes e depois do choque conforme explicado no item anterior.

Anote na tabela 28) 1it∆ e 1 ft∆ .

Repita os itens 26 e 27 tantas vezes quantas forem necessárias 29) para completar a tabela 7.2.

Calcule os valores médios 30) 1it⟨∆ ⟩ , 1 ft⟨∆ ⟩ anotando na tabela 7.2.

Meça o comprimento da bandeirola 1 (31) 1l ) anotando na tabela 7.2.

Calcule as velocidades médias 32) 1iv⟨ ⟩ e 1 fv⟨ ⟩ (lembre-se de que como as direções são opostas, 1 fv⟨ ⟩ deve ser negativa) e anote na tabela 7.2.

Prenda os dois carrinhos com o pára-choque flexível entre 33) eles, de forma a manter a mola comprimida (ver fotos a se-guir). Para isto use um pedaço de fio de nylon ou um elástico. Os dois carrinhos podem ser então posicionados aproximada-mente no centro do trilho e entre dois sensores. Usando uma tesoura, corte o fio ou elástico tendo o cuidado de não tocar nos carrinhos. Os sensores deverão então registrar o tempo de passagem de cada carrinho após os mesmos serem separados. Anote estes valores, os quais serão utilizados para responder a uma das questões abaixo (ver Questionário).

160

Figura 7.3

Figura 7.4

7.4 Relação do material01 Trilho de demonstração•

01 Cronômetro digital com conexões para sensores externos.•

161

03 Sensores fotoelétricos (dispara o cronômetro quando o feixe •de luz é cortado e pára o cronômetro nas mesmas condições)

Cabos para conexão elétrica.•

02 Carrinhos para o referido trilho.•

02 Bandeirolas (para os carrinhos)•

01 Pára-choques flexível•

01 Trena (caso seu trilho não possua trena acoplada)•

01 Paquímetro•

Jogo de massas para contrapeso de 1g, 10g e 400g•

7.5 QuestionárioObtenha, a partir dos seus dados da tabela 7.1, o erro aleatório 1) provável dos tempos calculados. Usando ainda os erros de es-cala dos instrumentos utilizados nas tomadas de tempo e do comprimento das bandeirolas, calcule o erro propagado nas velocidades dos dois carrinhos, antes e depois do choque. Fi-nalmente, calcule o coeficiente de restituição com o respectivo erro propagado. O choque é elástico ou inelástico?

Responda às mesmas questões anteriores, considerando agora 2) os dados da tabela 7.2 e tabela 7.3.

Usando as medidas efetuadas no item 33 do Procedimento ex-3) perimental, calcule o momento linear total dos carrinhos as-sim como a energia cinética total após cortar o fio de nylon (ou elástico). Houve conservação do momento linear do sistema (carrinhos +molas)? E da energia cinética total? Suponha agora que no procedimento utilizado para a obtenção dos dados da tabela I, você tivesse atado um explosivo ao pára-choque de um dos carrinhos, de forma a produzir uma explosão ao con-tato dos dois. O momento linear total do sistema (carrinhos + explosivo) deve se conservar neste caso? E a energia cinética total? Explique suas conclusões.

162

7.6 Tabelas

Choque Elástico e Leis de Conservação

Tabela 7.1Massa do carro alvo ≈ massa do carro projétil

(g) 2m (g)

2l

medida Δt1i (s) Δt2f (s) Δt1f (s)

1

2

3

4

5

valores médios

(cm/s) 1iv⟨ ⟩ = 2 fv⟨ ⟩ = 1 fv⟨ ⟩ =

Tabela 7.2Massa do carro alvo infinita (parede)

(g) 2m (g) ∞

2l ----

medida Δt1i (s) Δt2f (s) Δt1f (s)

1 ∞

2 ∞

3 ∞

4 ∞

5 ∞

valores médios ∞

(cm/s) 1iv⟨ ⟩ = 2 fv⟨ ⟩ = 0,00 1 fv⟨ ⟩ =

163

Tabela 7.3Massa do carro projétil > massa do carro alvo

(g) 2m (g)

2l

medida Δt1i (s) Δt2f (s) Δt1f (s)

1

2

3

4

5

valores médios

(cm/s) 1iv⟨ ⟩ = 2 fv⟨ ⟩ = 1 fv⟨ ⟩ =

RespostasCapítulo 1

a)1) 12,569 10×

43,1 10-×b)

22,03194 10×c)

2) a) quatro

b) quatro

c) três

d) dois

e) quatro

3) a) 3,335

b) 28,94

c) 95,1

d) 0,02

e) 1,89

f) 5

0,024)

0,15)

2167,9cmS =6) ; 20, 4cmS∆ =

2 3 2 1 2(1303 6) mm (1,303 0,006) 10 mm (1,303 0,006) 10 cmS = ± = ± × = ± ×7)

2 3 2 1 2(1303 6) mm (1,303 0,006) 10 mm (1,303 0,006) 10 cmS = ± = ± × = ± ×

166

a)8) 50,28g,m = 6,03cmx =

b) , 0, 2g,m m = , 0,05cmm x =

c) 3 28,16 10 g/s dina/cmk = × = 3 28,16 10 g/s dina/cmk = × =3 28,16 10 g/s dina/cmk = × =

d) 30, 2 10 dina/cm;k∆ = × (50,3 0,2)g;m = ± (6,0 0,1)cm;x = ±3(8, 2 0,2) 10 dina/cmk = ± ×

a)9) 0,624s,t = 19,06cmx =

b) , 0,001s,m t = , 0,01cmm x =

c) 14,5cm/s,B = 0,1cm/sB∆ =

d) (0,624 0,002)s;t = ± (19,06 0,06)cm;x = ± (14,5 0,1)cm/sB = ±

a10) ) 38,35g;m = 34, 49cmV =

b) , 0,01g;m m = 3

, 0,02cmm V =

c) 38,54g/cm ; = % 01,76% 2%E = ≈% 01,76% 2%E = ≈

d) 30,1g/cm ;∆ = (38,35 0,02)g;m = ± 3(4, 49 0,07)cm ;V = ±

3(8,5 0,1)g/cm = ±

Capítulo 2;y m=1) ;x V= ;B = 0A =

148,2;

N

ii

x=

=∑ 1

404,51;N

ii

y=

=∑

2

1( ) 42125,2997;

N

ii

y=

=∑

1( ) 5000,984;

N

i ii

x y=

⋅ =∑ 5n =

1,343548477g 1,35g;A = - ≈ -

3 38,532733245g/cm 8,533g/cm ;B = ≈

0,99995951R =

38,533g/cm =

167

Observação: 31ml(mililitro) 1cm .=

Obs.: arredondamos A tal que tenha o mesmo número de decimais que os valores medidos de y e B tal que possua o menor número de significativos entre y e x . No caso acima seriam aceitos 3 ou 2 significativos para B .

168

;y P=2) 1 ;xV

= ;B nRT= 0A =

12, 2833;

N

ii

x=

=∑ 1

112,56;N

ii

y=

=∑

2

1( ) 1, 46358889;

N

ii

x=

=∑

2

1( ) 3557,7914;

N

ii

y=

=∑1

( ) 72,158459N

i ii

x y=

⋅ =∑

0,00847002atm 0,01atm;A = - ≈ -

49,3156 atm 49,32 atm ;B l l= ⋅ ≈ ⋅ 0,9999R =

atm0,08219mol K

lR ⋅=

⋅ (constante de Clapeyron)

169

;y h=3) 1 ;xr

= 2 ;Bg

= A A=

1234,891;

N

ii

x=

=∑ 1

17,581;N

ii

y=

=∑ 2

1( ) 14501,73353;

N

ii

x=

=∑

2

1( ) 83,175791;

N

ii

y=

=∑1

( ) 1097,776485N

i ii

x y=

⋅ =∑

0,167456 cm 0,167cm;A = - ≈ - 2 20,078412cm 0,0784cm ; B = ≈

0,999041R =

238,4g/s 38,4dyn/cm. = =

170

4) ;y T= ;x m= 2 ;Bk

= 0A =

169,59985474;

N

ii

x=

=∑ 1

4,902;N

ii

y=

=∑ 2

1( ) 1 001,89;

N

ii

x=

=∑

2

1( ) 4,975 342;

N

ii

y=

=∑1

70,602 316 67N

i ii

x y=

⋅ =∑

0,016007509s 0,016s;A = - ≈ -

1 2 1 20,071581148s/g 0,07158s/g ; B = ≈ 0,999612R =

4 2 27740,8166 10 g/s 7741g/sk = × ≈ ou 7741dyn/cm

171

2;y v=5) ;x x= 2 ;B a= 20A v=

1575;

N

ii

x=

=∑ 1

11232;N

ii

y=

=∑ 2

1( ) 69025;

N

ii

x=

=∑ 2

1( ) 26330144;

N

ii

y=

=∑

11348060

N

i ii

x y=

⋅ =∑

2 210,99953155(m/s) 11,00(m/s) ;A = ≈

2 219,43861155cm/s 19,44cm/s ;B = ≈ 0,99697R =

0 3,317cm/sv = 29,719cm/sa =

172

;y T=6) 2;x v= ;mBr

= 0A =

1495;

N

ii

x=

=∑ 1

12870;N

ii

y=

=∑

2

1( ) 79299;

N

ii

x=

=∑

2

1( ) 53598700;

N

ii

y=

=∑ 1

2061630N

i ii

x y=

⋅ =∑

0,470588 0A = ≈

(note que T é medido até a casa decimal da unidade);

25,9952kg/m 26,0kg/m;B = ≈ 0,999998R = , 2,00mr =

173

ln ;y v=7) ;x t= ;kBm-

= 0lnA v=

usando o método dos mínimos quadrados (MMQ):

3,222;A = 3,855;B = - 0,999999R =

771g/s;k = 0 25,10cm/sv =

174

ln ;y m=8) ;x t= ;B k= - 0lnA m=

usando o MMQ:

4,599789;A = 0,199647;B = - 0,999993R =

10, 200h ;k -= 0 99,48gm =

175

ln ;y Q=9) ;x t= ;B p= - 0lnA Q=

usando o MMQ:

2,11932;A = 38,58705;B = - 1,00000R =

139s ;k -= 0 8,3255CQ =

176

ln ;y h=10) ;x t= 1 ;B

= - 0lnA h=

Usando o MMQ

1,248582492;A = 3 11,58299844 10 s ;B - -= × 0,99991075R =

1,2485824920 10 10 17,72cm;Ah = = =

3

1 1 1 654,02s1,52899844 10

BB

-= - → = - = - =

- ×

177

log ;y t=11) log ;x x= ;B b= logA C=

usando o MMQ:

0,21679;A = 0,47878;B = 0,99902R =

0,478b = ou 0,48 (adimensional)

0,478

s1,6cm

C =

178

log ;y V=12) log ;x I= ;B = logA C=

Seria possível usar logarítimo em base neperiana (estaria cor-reto também). Optamos por resolver pela equação dos míni-mos quadrados.

12,538253173;

N

ii

x=

=∑ 1

5,908485019;N

ii

y=

=∑

2

1( ) 5,310293507;

N

ii

x=

=∑

2

1( ) 7,160414404;

N

ii

y=

=∑

14,883944498

N

i ii

x y=

⋅ =∑

0,746649286;A = 0,5622823801 0,5623B = = ≈ (Adimensio-nal); 0,999982089;R = 0,5623 10 5,580 v/mAAC = =

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