x

z

x

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE JUNDIAÍ

Turmas: Informática e Logística – 2º. semestre (noturno)Prof.: Aurimar - Lista de exercícios de Cálculo Diferencial

Exercícios – Aplicações de derivadas

1) Aproveitando uma parte de um muro já existente e 120 metros de tela de arame, deseja-se construir uma cerca retangular para guarnecer uma quadra de tênis (conforme figura). Nessas condições, obtenha:a) as dimensões dos lados da cerca de modo que a área cercada seja máxima;b) a área máxima.

Solução:a) Pela figura, 2x + z = 120 metros => z = 120 – 2xÁrea do cercado: A = x.z = x.(120 – 2x) = 120x – 2x2 A área é uma função de 2º. grau, uma parábola com concavidade voltada para baixo: a = -2 < 0 e, portanto, tem um máximo, uma área máxima, que corresponde ao vértice da parábola, cuja abscissa pode ser obtida pela derivada primeira da área em relação a x:

A derivada no ponto mais alto, no vértice da parábola, é igual a zero, pois indica a inclinação da reta tangente no ponto mais alto da parábola. Nesse ponto, a reta tangente é horizontal e, portanto, tem inclinação nula. Logo, a derivada é nula (A’(x) = 0):

m

O outro lado da cerca é dado por:z = 120 – 2x = 120 – 2.30 = 60 metros.

b) A área máxima é dada por:A = x.z = 30.60 = 1800 m2

Que também pode ser obtida levando o valor de x na expressão da área:A = 120x – 2x2 = 120.30 – 2.302 = 3600 – 1800 = 1800 m2.

2) Deseja-se construir uma casa térrea retangular. Determine as dimensões do retângulo onde a casa será construída, sabendo que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima.Resp.: 15m 15m.

3) Suponha que o custo C para produzir x unidades de certo produto seja dado por:

muro

C = 2x2 – 400x + 100000. Nessas condições, obtenha:a) o nível de produção (valor de x) para que o custo seja mínimo;b) o valor mínimo do custo.Resp.: a) 100 unid., b) $ 80000,00.

Solução:Observe que a expressão do custo é uma função de 2º. grau; seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima (veja que o valor de a = 2, coeficiente de x2, é positivo). Se tem concavidade voltada para cima, então o vértice da parábola é um ponto de mínimo e representa o custo mínimo. Para obter o valor de x que corresponde ao custo mínimo, basta derivar a expressão do custo e igualar a zero.

C = 2x2 – 400x + 100000,

Para obter o custo mínimo, basta levar esse valor de x na expressão do custo:

4) A receita R de uma empresa que produz um certo bem de consumo é o produto do preço de venda y pela quantidade vendida x daquele bem de consumo. Suponha que o preço y varie de acordo com x segundo a equação y = 100 – 2x. Qual é a quantidade a ser vendida para que a receita seja máxima?Resp.: 25 unid.

Solução:Queremos obter a receita máxima. Então teremos que achar uma expressão para a receita R, derivar R e igualar a expressão a zero para obter a coordenada x correspondente à receita máxima. O próprio problema diz como obter a expressão para a receita: R é igual ao produto de y por x, e y é dado.

R = y∙x = (100 – 2x)∙x = 100x – 2x2.Note que o gráfico de R é uma parábola com concavidade voltada para baixo (o

coeficiente de x2 é negativo. Essa constatação também poderia ser obtida com a derivada segunda da função R, R’ = 100 – 4x e R” = - 4, que é sempre negativa. Quando a derivada segunda de uma função é negativa, em um intervalo, ela tem concavidade voltada para baixo) e, portanto, possui um valor máximo. A derivada primeira, R’, dá a quantidade x.

5) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado por L(q) = R(q) – C(q), onde L é o lucro total, R a receita total e C o custo total da produção. Numa empresa onde R(q) = 80q – q2 e C(q) = q2 + 20q + 40 (q é a quantidade produzida), obtenha:a) o nível de produção q para que o lucro seja máximo;b) o valor do lucro máximo.Resp.: a) 15 unid., b) $ 410,00.

6) Uma companhia estima que o custo (em dólares) na produção de x itens é C(x) = 2600 + 2x + 0,001x2.(a) Encontre o custo, o custo médio e o custo marginal da produção de 1000, 2000 e 3000 itens.

A P B

C

Q

y

xC

AB

D

(b) A que nível de produção será mais baixo o custo médio? Qual o custo médio mínimo?

7) Determine o nível de produção que maximizará o lucro de uma empresa com funções custo e demanda (L = R – C, R = p∙x):C(x) = 84 + 1,26x – 0,01x2 + 0,00007x3 e p(x) = 3,5 – 0,01x.

8) Para as funções custo e demanda dadas, encontre o nível de produção que maximizará o lucro.(a) C(x) = 680 + 4x + 0,01x2 e p(x) = 12 – x/500.(b) C(x) = 1450 + 36x – x2 + 0,001x3 e p(x) = 60 – 0,01x.

9) Um corpo lançado a partir do solo descreve uma parábola de equação y = 100x – 2x2

(x e y em metros). Forneça: a) o alcance do lançamento (distância AB);

b) a altura máxima atingida (distância CD).Resp.: a) 50m, b) 1250 m.

10) Um dia na praia a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. Supondo que nesse dia a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t medido em horas, dada por f(t) = - t2 + bt – 156 quando 8 < t < 20, obtenha:a) o valor de b;b) a temperatura máxima atingida nesse dia.Resp.: a) 28, b) 40 graus.

11) Uma bola é lançada verticalmente para cima. Suponha que a sua altura h em metros relativamente ao solo, t segundos após o lançamento, seja aproximadamente h = -5t2

+ 20t + 30. Responda:a) Em que instante a bola atingirá sua altura máxima?b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?Resp.: a) 2 s., b) 50 m.

12) Determine dois números de soma 8 de modo que a soma de seus quadrados seja mínima.Resp.: 4 e 4.

13) ABCD é um quadrado de área igual a 1. São tomados dois pontos P AB e Q AD tais que PA + AQ = AD. Nessas condições, determine o maior valor da área do triângulo APQ.Resp.: 1/8.

D

14) Qual é a área máxima de um retângulo inscrito num triângulo eqüilátero de lado 6 metros, estando a base do retângulo sobre um lado do triângulo?

Resp.:

15) Uma caixa retangular sem tampa tem base quadrada. A área total da superfície da caixa é de 432 dm2 (decímetro quadrado, 1 dm = 10 cm). Achar as dimensões da caixa de volume máximo satisfazendo a estas condições.

16) Um arame de 60 cm de comprimento é cortado em duas partes; uma delas é dobrada no formato de um quadrado, e a outra na forma de um círculo. Como deve ser dividido o arame para que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja a mínima possível?

Resp.: .

17) Um fazendeiro quer cercar uma área de 1,5 milhão de pés quadrados (1 pé = 30,48 cm) num campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?Resp.: 1000 pés 1500 pés.

18) Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32000cm3. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Solução:Queremos obter as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado, ou seja, devemos obter naturalmente uma expressão para a área do material a ser usado. O volume foi dado e será utilizado para obter uma relação entre as dimensões da caixa. Teremos que achar uma expressão para a área superficial A da caixa, derivar A e igualar a expressão a zero para obter uma das dimensões, x por exemplo, correspondente à área mínima. O problema diz que a caixa é de base quadrada e sem tampa. A área da superfície da caixa A é igual a área da base, Abase, mais a área lateral, Alat. Chamando de x o lado do quadrado da base e h a altura da caixa, teremos:

R

Achamos a dimensão x da base, x = 40cm; levando na expressão de h:

O problema só pediu as dimensões, mas se quisermos saber a área basta levarmos os valores de x e h na expressão da área:

A = x2 + 4xh = 402 + 4∙40∙20 = 1600 + 3200 = 4800 cm2.

19) Se 1200 cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.Resp.: 4000 cm3.

20) Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter uma capacidade de 10 m3. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa $ 10,00 por metro quadrado. O material para os lados custa $ 6,00 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato de tais contêineres.

21) Uma lata cilíndrica de alumínio é feita para receber 350 ml (= 350 cm3) de refrigerante. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Resp.: altura = diâmetro = cm.