jorge carpinteiro, nº6 leila calado, nº 7. floco de neve de koch estrela de davidtriângulo...
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Jorge Carpinteiro, nº6Leila Calado, nº 7
Floco de Neve de Koch
Estrela de DavidTriângulo Inicial
REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA
Comece com um triângulo equilátero sólido
Quando vir um segmento fronteiro substitua-o por
Floco de Neve de Koch
Floco de Neve de Koch
Como varia o número de lados com as transformações?
Passos Número de lados
Figura de partida 3 = 3 x 40
1 3x4 = 12 = 3 x 41
2 12x4 = 48 = 3 x 42
3 48x4 = 192 = 3 x 43
4 192x4 = 768 = 3 x 44
5 768x4 = 3072 = 3 x 45
nn 43M O número de lados do Floco
de Neve de Koch tende para o infinito.
Floco de Neve de Koch
Como varia o comprimento de cada lado com as transformações?
Passos Medida de cada lado
Figura de partida 1
1 = = 3-1
2 = = 3-2
3 = = 3-3
4 = = 3-4
5 = = 3-5
nn
nN
3
13 O comprimento de cada
lado do Floco de Neve de Koch tende para zero.
131
231
331
431
531
2431
271
811
91
31
Floco de Neve de Koch
Como varia o perímetro da curva com as transformações?
Podemos definir a sucessão dos perímetros Pn à custa das duas sucessões anteriores. Assim:
nPn
nnnnn 3
43)3()43(NMP
Quando n tende para infinito, a sucessão Pn tende para infinito, logo podemos concluir que o perímetro da curva de Koch tende para infinito.
Floco de Neve de Koch
Será que a área do floco de neve de Koch também cresce para infinito?
Consideremos que a área do triângulo inicial tem uma unidade.
nP
A área da Floco de Neve de Koch está compreendida entre 1 e 2.
Floco de Neve de Koch
A área do polígono, em cada passo, obtém-se adicionando à área do polígono do passo anterior a área de um triângulo equilátero, cujo lado é do anterior, multiplicada tantas vezes quantas o número de lados do polígono anterior.
31
Pela semelhança de figuras planas, sabe-se que, se o lado de um polígono sofre uma redução de razão , a área sofre uma redução de
31
91
Floco de Neve de Koch
3
113
9
11A1
1A0
9
4
3
1
3
11)43(
9
1
3
11A
2
2
nn2
1n 9
4
3
11
9
4
3
1
9
4
3
1
9
4
3
1
3
11A
..
..
Floco de Neve de Koch
6,15
31)S1(limAlim n
n1n
n
A área do Floco de Neve de Koch é:
94
1
94
1
3
1
n
nSEntão An+1 = 1 + Sn com
5
3n
nSlimCalculando o limite de Sn quando n tende para
infinito tem-se:
O Floco de Neve de Koch tem perímetro infinito e área finita.
Floco de Neve de Koch
O facto de termos um perímetro infinito a “fechar” uma área finita pode parecer contrário à nossa intuição geométrica, mas é característico de muitas formas importantes na Natureza. O sistema vascular das veias e artérias no corpo humano, por exemplo, ocupa uma pequena fracção do corpo e tem um volume relativamente pequeno, mas tem um enorme comprimento: de ponta a ponta, as veias, artérias e capilares de um único corpo humano atingem cerca de 65 mil quilómetros.
Modelo do Sistema
Circulatório Humano
Fractais
A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objectos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objecto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objecto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independente de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou interactivo.O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjectivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objectos matemáticos.