setembro de 2014

Jorge Alexandre Moura Alves Vieira

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Universidade do MinhoInstituto de Educação

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Relatório de Estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Trabalho realizado sob a orientação da

Doutora Maria Helena Silva de Sousa Martinho

Universidade do MinhoInstituto de Educação

outubro de 2014

Jorge Alexandre Moura Alves Vieira

O erro construtivo: Uma experiência com alunos do 10º ano de escolaridade

iii

AGRADECIMENTOS

Aos alunos da turma em estudo, à direção da escola e todos os seus professores, pelo

tratamento que me prestaram, fazendo com que me sentisse em casa.

Ao meu orientador e à minha supervisora, Mestre Paulo Correia e Doutora Helena

Martinho, não só pelo conhecimento que me transmitiram, mas pela atenção, paciência e

principalmente pela amizade que sempre me dedicaram.

À minha professora de Psicologia, Doutora Susana Caires, cujos conselhos e orientações

foram de inestimável valor para a elaboração deste relatório.

Ao Nuno Castro, pelas conversas construtivas e por partilhar comigo esta magnífica

experiência.

Aos meus amigos amarantinos, que apesar de se encontrarem longe, estão sempre

comigo.

Aos meus amigos bracarenses, pela amizade que me dedicam e pelos momentos de

descontração que partilhamos.

À Filipa Barroso, ao Fernando Gomes e ao Nuno Martins, por tudo aquilo que representam

para mim.

À minha Mãe e ao meu Irmão, pois são as pessoas mais importantes da minha vida.

Acima de tudo, PARA TI PAI!

A realização deste mestrado foi apoiada financeiramente por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-01-0124-FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHC-CED/0645/2013)).

v

O ERRO CONSTRUTIVO: UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 10º ANO DE ESCOLARIDADE Jorge Alexandre Moura Alves Vieira

Mestrado em Ensino de Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Universidade do Minho, 2014

RESUMO

Esta investigação refere-se a uma intervenção de ensino centrada na análise de erros

como forma de promover a aprendizagem no estudo das funções, numa turma do 10º ano de

escolaridade, pertencente a uma escola secundária com 3º ciclo do concelho de Barcelos.

O estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) Identificar os erros mais frequentes

entre os alunos de uma turma do 10º ano, no estudo das funções; 2) Averiguar as causas

subjacentes aos erros que cometem durante o estudo das funções; 3) Avaliar o impacto que a

predisposição para a aprendizagem de cada aluno tem no respetivo desempenho a Matemática,

no estudo das funções.

O sucesso dos alunos não depende somente das suas capacidades cognitivas, uma

condição necessária, mas não suficiente para explicar o seu sucesso ou insucesso. Os fatores

emocionais, espelhados numa predisposição para aprender, têm influência no sucesso de cada

aluno, sendo importante considerar-se uma interação entre fatores cognitivos e emocionais no

processo de aprendizagem dos alunos. Desta forma, nesta investigação procura-se estabelecer

uma relação entre a predisposição para a aprendizagem e o desempenho dos alunos na

disciplina de Matemática, traduzido nos erros que cometem, no estudo das funções. No que diz

respeito às estratégias de investigação e avaliação da ação, recorreu-se à análise de

questionários, observação e análise das gravações das aulas e à análise de produções escritas

realizadas pelos alunos antes e após a intervenção.

Os resultados obtidos sugerem que os alunos sentiram imensas dificuldades na designada

Álgebra processual e estrutural, bem como dificuldades relacionadas com a interpretação. Os

resultados obtidos sugerem ainda que a predisposição de um aluno para a aprendizagem

influencia positivamente no seu desempenho à disciplina de Matemática, verificando-se que está

relacionada com a ocorrência dos designados erros construtivos. No sentido inverso, a não

predisposição de um aluno para a aprendizagem influencia negativamente o seu desempenho à

disciplina, podendo precipitar a ocorrência dos designados erros sistemáticos.

vii

THE CONSTRUCTIVE ERROR: AN EXPERIMENT WITH STUDENTS IN 10TH GRADE Jorge Alexandre Moura Alves Vieira

Master in Mathematics Teaching to the 3rd Cycle of Basic School and Secondary School University of Minho, 2014

ABSTRACT

This research refers to a teaching intervention focused on error analysis as a way to

promote learning in the study of functions in a 10th grade belonging to the County of Barcelos.

The study was developed around three objectives: 1) Identify the most common mistakes

among students in a 10th grade, in the study of functions; 2) Investigate the causes underlying

the mistakes they make during the study of the functions; 3) Assess the impact that the

predisposition for learning in each student has in their performance at Mathematics, in the study

of functions.

The success of students depends not only on their cognitive abilities, a necessary, but

insufficient condition to explain its success or failure. Emotional factors, mirrored on the

predisposition to learn, influence the success of each student, therefore it is important to

consider an interaction between cognitive and emotional factors in the learning process of

students. Thus, this research seeks to establish a relationship between the predisposition for

learning and student achievement at Mathematics, translated on the mistakes they make, on the

study of functions. Regarding the research strategies and evaluation of the action, it has recourse

on the analysis of questionnaires, observation and analysis of recordings of lessons and analysis

of written productions made by students before and after the intervention.

The results suggest that students felt many difficulties in the designated procedural and

structural Algebra, as well as difficulties related to interpretation. The results suggest that the

predisposition of a student for learning positively influences their performance in the discipline of

Mathematics, verifying that is related to the occurrence of designated constructive errors.

Inversely, the non predisposition of a student for learning adversely affects its performance at the

discipline and can precipitate the occurrence of the designated systematic errors.

ix

ÍNDICE

DECLARAÇÃO ……………………………………………………………………………………………………. ii

AGRADECIMENTOS ……………………………………………………………………………………………. iii

RESUMO ………………………………………………………………………………………………………….. v

ABSTRACT ………………………………………………………………………………………………………… vii

ÍNDICE ………………….….……………………………………………………………………………………… ix

ÍNDICE DE QUADROS ….……………………………………………………………………………………… xii

ÍNDICE DE FIGURAS …………………………………………………………………………………………… xiii

CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO ………………………………………………………………………………… 1

1.1. Tema, pertinência e objetivos da investigação …………………………………………………… 1

1.2. Estrutura do relatório ……………………………………………………………………………………. 2

CAPÍTULO II – ENQUADRAMENTO TEÓRICO …………………………………………………………… 5

2.1. O processo de aprendizagem …………………………………………………………………………. 5

2.1.1. A perspetiva comportamentalista …………………………………………………………..... 5

2.1.2. A perspetiva cognitivista …………………………………………………………………………. 6

Aprendizagem significativa ………………………………………………………………………..... 8

Aprendizagem pela descoberta …………………………………………………………………..... 9

2.1.3. A perspetiva sociocultural ………………………………………………………………………. 10

2.1.4. Predisposição dos alunos para a aprendizagem ……………………………………….... 12

Autoeficácia ……………………………………………………………………………………………… 13

Ansiedade ………………………………………………………………………………………………… 15

2.1.5. O papel do erro no processo de ensino e aprendizagem ………………………………. 16

O uso do erro na sala de aula ………………………………………………..……………………. 18

Cargas emocionais provocadas pelo erro ……………………………………………………..... 20

2.2. O ensino e a aprendizagem da Álgebra ……………………………………………………………. 21

2.2.1. Recomendações para o ensino da Álgebra ………………………………………………… 23

Trabalho de grupo ……………………………………………………………………………………… 24

Novas tecnologias ……………………………………………………………………………………… 24

2.2.2. Dificuldades e erros cometidos pelos alunos na aprendizagem da Álgebra ………. 25

As dificuldades dos alunos na aprendizagem das funções …………………………………. 27

As diferentes categorias de erros ………………………………………………………………..... 29

x

CAPÍTULO III - INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA …………………………………………………………… 35

3.1. Contexto da intervenção ………………………………………………………………………………… 35

3.1.1. Caracterização da escola ………………………………………………….……………………. 35

3.1.2. Caracterização da turma ……………………………………………………………………..... 37

3.2. Organização e descrição da intervenção …………………………………………………………… 38

3.3. Avaliação da intervenção ……………………………………………………………………………….. 39

3.3.1. Opções Metodológicas …………….…………………………………………………………..... 39

3.3.2. Recolha de dados …………………………….…………………………………………………… 40

Questionário …………………………………………………………………………………..………… 40

Teste diagnóstico …………………………………………………………………………………..….. 42

Ficha de avaliação (ficha por partes) ………………………………………………………..…… 42

Observação (participante) das aulas ……………………………………………………………… 43

3.3.3. Análise de dados ………….………………………………………………………………………. 44

CAPÍTULO IV - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS …………………………………………………. 49

4.1. Predisposição dos alunos para a aprendizagem das funções ……………………………..... 49

4.1.1. Perceção perante a utilidade da Matemática ……….………………………………..…… 49

4.1.2. Ansiedade em momentos de avaliação de Matemática ……………………….…,,…… 52

4.1.3. Autoeficácia em relação à Matemática ………..…………..……………………………….. 53

4.1.4. Avaliação do nível de predisposição para a aprendizagem ………………….……...... 55

4.2. Erros cometidos na aprendizagem das funções ………………………………………….……... 56

4.2.1. Resultados do teste diagnóstico …….……………………………………………….……….. 57

4.2.2. Abordagem ao erro na sala de aula …………………………………………….……………. 65

Aula 3 ……………………………………………………………………………………………………… 66

Aula 4 ……………………………………………………………………………………………………… 68

4.2.3. Resultados da ficha por partes ………………………………………………………………… 70

CAPÍTULO V - CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES ………..... 83

5.1. Conclusões …………………………………………………………………………………………………. 83

5.1.1. Objetivo 1 - Identificar os erros mais frequentes entre os alunos de uma turma

do 10º ano, no estudo das funções ……….…………….…………..……..…………………….

83

5.1.2. Objetivo 2 - Averiguar as causas subjacentes aos erros que cometem durante o

estudo das funções ………………………………………………………………………..……….....

84

xi

5.1.3. Objetivo 3 - Avaliar o impacto que a predisposição para a aprendizagem de cada

aluno tem no respetivo desempenho a Matemática, no estudo das funções …….......

85

5.2. Implicações para o ensino e aprendizagem ………………………………………………………. 86

5.3. Limitações e recomendações …………………………………………………………………………. 87

BIBLIOGRAFIA …………………………………………………………………………………………………… 89

ANEXOS …………………………………………………………………………………………………………… 93

ANEXO I - Organização da intervenção pedagógica …………………………………………………… 95

ANEXO II - Pedido de autorização ao Diretor da Escola ……………………………………………… 99

ANEXO III - Pedido de autorização aos Encarregados de Educação ……………………………… 103

ANEXO IV - Questionário ……………………………………………………………………………….…….. 107

ANEXO V - Teste diagnóstico ………………………………………………………………………………... 115

ANEXO VI - Ficha por partes …………………………………………………………………………………. 121

xii

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 1 – Estádios de desenvolvimento cognitivo segundo Piaget ……………………………… 7

Quadro 2 – Taxionomia para o uso do erro em sala de aula ……………………………………….. 19

Quadro 3 – Categorização de erros de Hall ……………………………………………………………… 31

Quadro 4 – Categorização de erros de Socas …………………………………………………………… 32

Quadro 5 - Desempenho dos alunos da turma ao longo do ano letivo …………………………… 38

Quadro 6 – Categorização de erros a que se recorreu nesta investigação ……………………… 46

Quadro 7 – Perceção de cada aluno da turma perante a utilidade da Matemática …………. 51

Quadro 8 – Níveis de autoeficácia de cada aluno em relação à Matemática …………………… 55

Quadro 9 – Predisposição de cada aluno para a aprendizagem das funções ………………….. 56

Quadro 10 – Classificação das respostas dos alunos no teste diagnóstico …………………….. 57

Quadro 11 – Frequência absoluta de erros cometidos no teste diagnóstico (por nível de

predisposição para a aprendizagem dos alunos) ………………………………….…….

64

Quadro 12 – Classificação das respostas dos alunos na ficha por partes ………………………. 70

Quadro 13 – Frequência absoluta de erros cometidos na ficha por partes (por nível de

predisposição para a aprendizagem dos alunos) …………………………….………….

82

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – Esquema representativo da reciprocidade triádica de Bandura ………..…………… 13

Figura 2 – Esquema representativo do processo de seleção da amostra desta investigação. 45

Figura 3 – A opinião dos alunos acerca da importância da Matemática ………………………… 50

Figura 4 – Preferência dos alunos relativamente aos cursos do ensino superior ……………… 50

Figura 5 – Níveis de ansiedade dos alunos em momentos de avaliação em Matemática ..… 52

Figura 6 – Afetividade dos alunos com a Matemática ………………………………………………… 53

Figura 7 – Preferência dos alunos relativamente aos conteúdos da Matemática ………..……. 54

Figura 8 – Menor preferência dos alunos relativamente aos conteúdos da Matemática ….… 54

Figura 9 – Respostas dos alunos A1, A7 e A15 na alínea 1.2 …………………….……………….. 59

Figura 10 – Resposta do aluno A21 na alínea 2.1 …………………………………………………….. 59

Figura 11 – Resposta do aluno A18 na alínea 2.1 ……………………………………………….……. 60

Figura 12 – Cálculo auxiliar do aluno A5 na questão 3 …………………...…………………………. 60

Figura 13 – Cálculo auxiliar do aluno A8 na questão 3 ………………………………..….…………. 60

Figura 14 – Resposta do aluno A1 na questão 4 ………………………………………………….…… 61

Figura 15 – Resposta do aluno A21 na questão 4 …………………………………………………….. 62

Figura 16 – Resposta do aluno A11 na questão 4 …………........…………………………………… 62

Figura 17 – Resposta do aluno A17 na questão 4 ……..……………………………………………… 62

Figura 18 – Resposta do aluno A19 na questão 4 ………………………………..…………………… 63

Figura 19 – Resposta do aluno A1 na questão 5 …………………………………….………………… 63

Figura 20 – Resposta do aluno A8 na questão 5 ………………………………………………………. 64

Figura 21 – Resposta do aluno A10 na questão 5 ………………………………..…………………… 64

Figura 22 – Resposta do aluno A1 na alínea 1.1 ………………………………………..…………….. 71

Figura 23 – Resposta do aluno A18 na alínea 1.1 …………………………………………………….. 71

Figura 24 – Resposta do aluno A4 na alínea 1.2 ………………..……………………………….……. 72

Figura 25 – Resposta do aluno A9 na alínea 1.2 ………………………………………………………. 72

Figura 26 – Resposta do aluno A16 na alínea 1.2 …………………………….………………………. 72

Figura 27 – Resposta do aluno A20 na alínea 1.2 ………………………..…………………………… 73

Figura 28 – Resposta do aluno A1 na alínea 1.3 ………………..…………………………………….. 73

Figura 29 – Resposta do aluno A2 na alínea 1.3 …….………………………………………………… 73

Figura 30 – Resposta do aluno A4 na alínea 1.4 .……………………………………………………… 74

xiv

Figura 31 – Resposta do aluno A13 na alínea 1.4 ………………………..…………………………… 74

Figura 32 – Resposta do aluno A1 na alínea 2.2 …………………………………………………….… 75

Figura 33 – Resposta do aluno A16 na alínea 2.2 …………………………………………….………. 75

Figura 34 – Resposta do aluno A10 na alínea 2.2 ………………………………..…………………… 75

Figura 35 – Resposta do aluno A5 na alínea 2.2 …………………………………..………………….. 75

Figura 36 – Resposta do aluno A4 na alínea 2.3 …………………………………………..………….. 76

Figura 37 – Resposta do aluno A5 na alínea 2.3 …………………………………………..…….……. 76

Figura 38 – Resposta do aluno A8 na alínea 2.3 ………………………………………………………. 77

Figura 39 – Resposta do aluno A1 na alínea 3.1 ………………..………………………….…………. 77

Figura 40 – Resposta do aluno A2 na alínea 3.1 ……………………….……………………………… 77

Figura 41 – Resposta do aluno A6 na alínea 3.1 ……………..……………………………………….. 78

Figura 42 – Resposta do aluno A7 na alínea 3.1 ….…………………………………………………… 78

Figura 43 – Resposta do aluno A4 na alínea 3.2 ….…………………………………………………… 79

Figura 44 – Resposta do aluno A15 na alínea 3.2 ……………………………..……………………… 79

Figura 45 – Resposta do aluno A7 na alínea 3.2 …………………………………………………….… 79

Figura 46 – Resposta do aluno A6 na alínea 4.1 ………………………………………………………. 80

Figura 47 – Resposta do aluno A13 na alínea 4.1 ………………………………..…………………… 80

Figura 48 – Resposta do aluno A7 na alínea 4.1 …………………………………..………………….. 80

Figura 49 – Resposta do aluno A9 na alínea 4.1 …………………………………..………………….. 81

Figura 50 – Resposta do aluno A7 na alínea 4.2 ….……………………………………………..……. 81

Figura 51 – Resposta do aluno A13 na alínea 4.2 ………………………………….…………………. 81

1

CAPÍTULO I INTRODUÇÃO

Neste capítulo é apresentado o tema, pertinência e objetivos da investigação para o ensino

da Matemática. Por fim, é realizada uma breve descrição da estrutura do relatório.

1.1. Tema, pertinência e objetivos da investigação

O estudo da Álgebra está fortemente ligado à manipulação simbólica e à resolução de

equações. No entanto, esta temática da Matemática é muito mais do que isso. A Álgebra dá

ênfase às relações entre quantidades, às formas de representar relações matemáticas e à

análise de variação (NCTM, 2007). Atualmente, as ideias provenientes desta temática

fundamentam o trabalho matemático nas mais diversas áreas, revelando-se importantes na vida

adulta dos alunos, quer no trabalho, quer na preparação para o ensino superior (idem, 2007).

Desta forma, é essencial que todos os alunos aprendam Álgebra (idem, 2007).

No entanto, os alunos costumam ter imensas dificuldades na aprendizagem da Álgebra.

Os alunos são uma montra fortemente heterogénea, sendo provenientes de diferentes meios

culturais, classes sociais ou religiões. Existirão sempre diferenças nas formas de raciocinar dos

alunos, pelo que as dificuldades sentidas por cada um serão, com certeza, diferentes entre si e,

desta forma, torna-se fundamental que o professor de Matemática tenha conhecimento das

mesmas.

A análise das respostas dos alunos é uma das formas utilizadas para conhecer as

dificuldades sentidas pelos alunos. Além de ser uma metodologia de investigação, pode ser

encarada como uma metodologia de ensino quando aplicada na sala de aula (Cury, 2007). Um

dos princípios estruturantes desta metodologia de ensino é a conceção do erro como uma

hipótese integrante da construção do conhecimento pelo aluno, suscitando uma ampliação dos

aspetos formativos da aprendizagem (Pinto, 2000).

Tal como as metodologias de ensino, as teorias da aprendizagem foram-se desenvolvendo

ao longo do tempo, evoluindo de perspetiva para perspetiva. Desde a comportamentalista de

Pavlov, Thorndike ou Skinner, passando pela cognitivista de Piaget, Ausubel ou Bruner até à

sociocultural de Vygotsky, o modo de encarar o processo de aprendizagem foi-se alterando. Um

aspeto que vai ganhando preponderância nestas teorias é o da predisposição do aluno para a

aprendizagem. Assim, para que um aluno aprenda um determinado conteúdo de forma

significativa é necessário que este esteja predisposto para tal (Ausubel, 2003).

2

Em suma, o sucesso dos alunos não depende somente das suas capacidades cognitivas,

uma condição necessária, mas não suficiente para explicar o seu sucesso ou insucesso

(Bandura, 1993). Os fatores emocionais, espelhados numa predisposição para aprender, têm

influência no sucesso de cada aluno, sendo importante considerar-se uma interação entre

fatores cognitivos e emocionais no processo de aprendizagem dos alunos.

Por outras palavras, a relação entre a predisposição do aluno para a aprendizagem e o

conhecimento que este demonstra possuir é evidente, pelo que o seu estudo constitui a principal

motivação e pertinência desta investigação. Desta forma, estabeleceram-se os três seguintes

objetivos gerais:

1) Identificar os erros mais frequentes entre os alunos de uma turma do 10º ano, no

estudo das funções;

2) Averiguar as causas subjacentes aos erros que cometem durante o estudo das funções;

3) Avaliar o impacto que a predisposição para a aprendizagem de cada aluno tem no

respetivo desempenho a Matemática, no estudo das funções.

1.2. Estrutura do relatório

O relatório de estágio está organizado em cinco capítulos. No Capítulo I, Introdução, é

apresentado o tema, pertinência e objetivos da investigação.

No Capítulo II, Enquadramento teórico, é justificada a relevância do projeto, tendo em

conta a literatura. Neste capítulo serão analisadas as diferentes perspetivas de aprendizagem,

destacando-se o papel dos fatores emocionais no mesmo e o papel do erro como estratégia

didática. De igual forma, serão destacadas a importância da Álgebra, as recomendações do

Ministério da Educação para o seu ensino e as dificuldades por eles sentidas no seu estudo.

No Capítulo III, Intervenção pedagógica, são apresentados o contexto, descrição e

avaliação da intervenção pedagógica. Neste capítulo é descrito o contexto em que ocorreu a

intervenção, sua organização e estratégias de avaliação.

No Capítulo IV, Apresentação dos resultados, são apresentados os resultados da

intervenção de ensino. São apresentadas as produções escritas dos alunos, bem como algumas

abordagens realizadas ao erro em sala de aula.

Por fim, no Capítulo V, Conclusões, Implicações, Recomendações e Limitações,

apresentam-se e discutem-se as principais conclusões do estudo com vista a responder aos

3

objetivos que suportaram este estudo. Também são feitas referências às limitações deste estudo

e são apresentadas algumas recomendações para estudos futuros.

5

CAPÍTULO II ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Este capítulo foi estruturado em duas secções. Na primeira, serão analisadas as diferentes

perspetivas de aprendizagem e desenvolvimento do indivíduo. Serão destacados os fatores

emocionais, espelhados na predisposição para a aprendizagem, fundamentais para desencadear

o processo de aprendizagem. De igual forma, será destacado o papel do erro como estratégia

didática. Na segunda secção, é destacado o papel da Álgebra para o desenvolvimento do

indivíduo e as recomendações do Ministério da Educação para o seu ensino. Nesta secção,

destacam-se, também, as dificuldades dos alunos em Álgebra, sendo salientada a importância

do seu estudo e respetivas origens.

2.1. O processo de aprendizagem

Com o tempo, foram aparecendo várias definições de aprendizagem. Uma que é bem

aceite na Psicologia é a definição proposta por Kimble (1961): a aprendizagem ocorre no

comportamento de um indivíduo através da ação (ou prática), sendo que esta mudança é

relativamente permanente e estável. Assim, se um indivíduo aprende, implica a existência de

uma mudança, após uma experiência que o mesmo tenha vivido. Desta forma, a aprendizagem

pressupõe uma interação entre o sujeito, os seus comportamentos e o seu contexto de vida.

Vários autores estudaram o processo de aprendizagem das crianças (e adolescentes). Ao

longo do tempo, várias perspetivas foram aparecendo, tal como Watson numa perspetiva

comportamentalista, Piaget numa perspetiva experimental, Ausubel numa perspetiva de

aprendizagem significativa, Bruner enaltecendo a aprendizagem pela descoberta e Vygotsky

numa perspetiva sociocultural (Ponte & Serrazina, 2000).

Este capítulo começa por abordar diferentes perspetivas da aprendizagem, bem como o

contributo de cada uma delas para o processo de ensino e aprendizagem. São referidas as

perspetivas comportamentalista, cognitivista e sociocultural.

2.1.1. A perspetiva comportamentalista

O comportamentalismo constitui uma importante corrente de investigação em Psicologia

da Aprendizagem, particularmente ativa na primeira metade do século XX. Esta corrente teve a

sua origem com Watson e foi aprofundada por Thorndike e Skinner, defendendo que “eram os

6

comportamentos e não a experiência que deviam ser estudados e analisados” (Ponte &

Serrazina, 2000, p. 85). O comportamentalismo defende que a aprendizagem resulta da relação

que se estabelece entre um estímulo e uma resposta. Esta corrente não considerou quaisquer

estados mentais que não pudessem ser observados ou quantificados (idem, 2000).

Os comportamentalistas baseiam-se nas respostas (comportamentos) dos indivíduos,

defendendo que a aprendizagem é um processo mecânico, regido pela perda ou fortalecimento

de conexões entre estímulos e respostas (Sprinthall & Collins, 1999). Neste processo, os

indivíduos assumem um papel passivo, aprendendo através de mecanismos associativos

devidamente pensados e estruturados. Existem duas teorias comportamentalistas de relevo: o

condicionamento clássico e o condicionamento operante.

O condicionamento clássico, introduzido por Ivan Pavlov e John Watson, tem como

objetivo ajudar o indivíduo a aprender através de um condicionamento. Quer isto dizer, que é

uma aprendizagem involuntária e adquirida através da associação entre estímulos e uma dada

resposta (Sprinthall & Collins, 1999). O condicionamento operante foi introduzido por Skinner e

Thorndike e considera que as consequências de um comportamento podem influenciar a

probabilidade de este ocorrer novamente (Sprinthall & Collins, 1999).

O comportamentalismo é atualmente bastante criticado pois “não é um bom modelo para

considerar a aprendizagem de capacidades cognitivas mais complexas, atitudes e valores”

(Ponte & Serrazina, 2000, p. 86).

2.1.2. A perspetiva cognitivista

As perspetivas cognitivistas opõem-se às perspetivas comportamentalistas e criticam o

facto de estas considerarem o processo de aprendizagem do ser humano de forma bastante

elementar, ao ponto de ser comparável com o dos restantes animais. As perspetivas

comportamentalistas, não permitem explicar comportamentos e aprendizagens tão complexas

como o comportamento imitativo, a criatividade e muitos outros aspetos do comportamento

humano que ultrapassam as possibilidades de desenvolvimento dos animais.

Os cognitivistas veem a aprendizagem como uma reorganização de perceções. Muito do

trabalho em teorias cognitivistas tem por base os estudos de Piaget (idem, 2000, p. 86).

A teoria de Piaget considera que o processo de desenvolvimento do indivíduo se faz

através de estádios distintos e por esta razão é denominada de teoria dos estádios. A

identificação de diferentes estádios de desenvolvimento levou Piaget a defender que a

7

inteligência muda profundamente ao longo do tempo. Desta forma, a cognição é um “processo

ativo e interativo, isto é, um processo permanente de avanços e recuos em que a pessoa afeta o

meio e o meio afeta a pessoa” (idem, 2000, p. 86).

Piaget, após cuidadosas observações das crianças em seus ambientes naturais, começou

a encontrar sistemas consistentes dentro de certas faixas etárias, definindo assim quatro

estádios principais (Quadro 1).

Quadro 1 – Estádios de desenvolvimento cognitivo segundo Piaget (adaptado de Sprinthall & Sprinthall, 1993)

Idades Estádios

0-2 Sensório-motor

2-7 Intuitivo ou pré-operatório

7-11 Operações concretas

11-16 Operações formais

Piaget considera que a mudança de estádio na criança ocorre pela ordem acima proposta.

No entanto, considera que o período de tempo que um dado estádio compreende pode variar e

que os períodos de transição entre estádios são mais longos e flexíveis do que o previsto e, desta

forma, menos abruptos. Embora as características modais de cada estádio específico

permaneçam como esquema dominante, elementos cognitivos de estádios anteriores e

posteriores manifestam-se mais do que o previsto (Sprinthall & Sprinthall, 1993).

Na perspetiva de Piaget, em qualquer dos estádios o desenvolvimento cognitivo depende

da ação, ou seja, para ocorrer aprendizagem, a criança precisa envolver-se em atividades que

sejam consideradas como adequadas (idem, 1993).

Nesta investigação, os alunos em estudo têm idades compreendidas entre os 15 e os 18

anos. Embora o período de tempo que cada estádio de Piaget compreende possa variar, estes

alunos encontram-se, supostamente, no estádio das operações formais. Piaget considera que

neste estádio, o adolescente é capaz de refletir sobre o seu próprio pensamento e sobre o

pensamento dos outros (idem, 1993). Esta característica, a metacognição ou pensamento

alargado, permite ao adolescente “tomar consciência da variedade de estratégias de

aprendizagem que poderão ser utilizadas”, o que significa que “as oportunidades de

autocorreção a nível da resolução de problemas são muito maiores” (idem, 1993, p. 112).

Relacionado com a metacognição, Piaget sugere que o pensamento perspetivista é outra

característica deste estádio. O adolescente consciencializa-se “sobre o facto de pessoas

8

diferentes terem pensamentos diferentes sobre a mesma ideia ou situação”, desenvolvendo-se

assim, “uma forma de relativismo” (idem, 1993, p. 113).

Piaget considera que o processo de aprendizagem depende da “capacidade de criar,

manter e modificar representações internas de situações experimentadas no ambiente” (Ponte &

Serrazina, 2000, p. 88). As representações internas são denominadas de esquemas e “são

construídas por padrões muito complexos envolvendo reconhecimento, compreensão, ação

associada e reação emocional” (idem, 2000, p. 88). Desta forma, a aprendizagem pode definir-

se como a “aquisição de novos esquemas e a sua modificação em resposta a novas

necessidades” (idem, 2000, p. 88).

Piaget afirma que o processo pelo qual os esquemas são mudados, a adaptação, é

composto por dois aspetos complementares, assimilação e acomodação. Assim, perante uma

nova experiência, a criança constrói uma representação interna (ou imagem mental),

reorganizando, desta forma, os conteúdos da mente, integrando-a nos conhecimentos que já

possui (idem, 2000, p. 88).

Como resposta a uma nova situação, a assimilação possibilita a utilização de um

esquema já existente e a acomodação modifica o próprio esquema, criando, a partir dele, um

outro. O mecanismo de mudança designa-se por equilibração.

Piaget considera que por alguma razão, podem ocorrer situações em que uma ação

realizada com base num esquema foi inadequada, conduzindo a um estado de desequilíbrio em

que os novos elementos desestabilizam o denominado padrão de compreensão. Perante uma

situação deste género a criança pode escolher entre modificar o esquema, ignorar a informação,

ou mesmo viver sem resolver o conflito (idem, 2000, p. 89).

Aprendizagem significativa

Na perspetiva de Ausubel (2003), a aprendizagem é um processo que envolve a interação

de nova informação com o conhecimento que o indivíduo já possui. A este processo, Ausubel

denomina por aprendizagem significativa.

Se a nova informação não tiver ligação com os conceitos relevantes que o aluno já possui,

ocorre aquilo que Ausubel denomina por aprendizagem mecânica. Desta forma, o aluno limita-se

a decorar conteúdos, os quais esquece após a avaliação (Ausubel, 2003).

Para Ausubel a essência da aprendizagem significativa reside no facto de que as ideias expressas simbolicamente são relacionadas com as informações previamente

9

adquiridas pelos alunos através de uma relação não arbitrária e substantiva. Isto é, as ideias são relacionadas com algum aspeto relevante existente na estrutura cognitiva do aluno, como por exemplo, uma imagem, um símbolo, um conceito ou uma proposição. (Ponte & Serrazina, 2000, p. 90)

Assim, a aprendizagem significativa ocorre quando novos conceitos, ideias ou proposições

interagem com outros conhecimentos relevantes e disponíveis na estrutura cognitiva do aluno,

sendo assimilados, contribuindo, desta forma, para a sua elaboração e estabilidade (Ausubel,

2003).

Ausubel considera que para ocorrer aprendizagem significativa é necessário que o aluno

manifeste disposição para relacionar os novos conceitos, de forma não arbitrária, com a sua

estrutura cognitiva e que esses novos conceitos sejam potencialmente significativos. A escolha

da tarefa é também relevante para que o aluno aprenda de forma significativa. O aluno pode até

estar disposto a aprender um determinado conceito, mas se a tarefa de aprendizagem não for

potencialmente significativa, então não ocorrerá aprendizagem significativa (Ponte & Serrazina,

2000).

Como estratégia para manipular a estrutura cognitiva dos alunos, Ausubel recomenda o

uso de “pontes cognitivas” que façam a ligação entre o que o aluno já sabe e o que vai

aprender. Estas “pontes cognitivas” seriam por exemplo, uma revisão dos conceitos

considerados como pré-requisitos para os conceitos que a seguir seriam lecionados (Ausubel,

2003).

Desta forma, Ausubel considera, na sua teoria, que no ensino é fundamental “especificar

como as principais ideias estão interligadas e relacionadas com o que os alunos já sabem”

(Ponte & Serrazina, 2000, p. 93).

Aprendizagem pela descoberta

Bruner considera que a aprendizagem “faz-se a partir de problemas que se levantam,

expectativas que se criam, hipóteses que se formulam e verificam, descobertas que se fazem”

(Ponte & Serrazina, 2000, p. 93). Desta forma, considera que através de uma aprendizagem

pela descoberta, os próprios alunos “constroem conexões de forma que o conhecimento

relevante se torna disponível para a resolução de problemas” (idem, 2000, p. 93). Bruner

(1999) considera, no entanto, que é necessário considerar os fatores culturais, motivacionais e

pessoais que afetam o desejo de aprender. Na sua teoria da educação, Bruner (1999) considera

quatro elementos fundamentais: motivação, estrutura, sequência e reforço.

10

Em relação ao primeiro elemento, a motivação, Bruner (1999) salienta a motivação

intrínseca. Por exemplo, a curiosidade do aluno num determinado conteúdo é um bom exemplo

de motivação intrínseca. Não coloca de parte a motivação extrínseca (reforço por parte do

professor, pais, etc.), mas defende que esta tem apenas um efeito transitório, “importante

sobretudo para iniciar a ação” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 93). Para Bruner, os professores

devem facilitar e regular o processo de aprendizagem dos seus alunos, explorando as suas

motivações intrínsecas na sala de aula (idem, 2000). Esta exploração, a ser realizada pelo

professor envolve três fases: ativação, manutenção e orientação (Bruner, 1999). Por exemplo,

através da atribuição de uma tarefa (nem demasiado fácil, nem demasiado difícil), será possível

ao professor recorrer à motivação intrínseca (curiosidade) dos alunos, ativando a exploração. A

manutenção consiste em assegurar ao aluno que a tarefa não terá, para ele, efeitos negativos,

logo frustrantes. A orientação consiste no dever de o professor dar ao aluno a conhecer o

objetivo da tarefa e em que patamar da mesma se encontra (Bruner, 1999; Ponte & Serrazina,

2000).

O segundo elemento, a estrutura, diz respeito à melhor organização possível dos

conteúdos, para que possa ser transmitido e compreendido por todos os alunos. Em suma,

qualquer conteúdo “pode ser apresentado de modo suficientemente simples para que

determinado aluno possa compreendê-lo de forma reconhecível” (Bruner, 1999, p. 66).

O terceiro elemento, a sequência, diz respeito à ordem em que os conteúdos são

transmitidos aos alunos, facilitando a compreensão dos mesmos pelos alunos. A sequência

segundo a qual o aluno encontra os conteúdos “afeta a dificuldade que terá em atingir o seu

domínio” (Bruner, 1999, p. 71).

O quarto e último elemento da teoria de Bruner é o reforço. Segundo Ponte e Serrazina

(2000), para que o aluno “possa atingir a mestria num problema, é necessário receber feedback

sobre o que se está a fazer” (p. 95), devendo ser dado na altura certa e de forma clara.

2.1.3. A perspetiva sociocultural

Para Vygotsky, o processo de aprendizagem é um processo mediado. Desta forma, de

processo simples de estímulo-resposta, passa a ser reconhecido como um processo mais

complexo, neste caso, mediado, onde são distinguidos dois elementos: os instrumentos e os

signos (Ponte & Serrazina, 2000). Os instrumentos são elementos externos ao indivíduo e os

signos são elementos que representam objetos, acontecimentos ou situações. Por exemplo, a

11

palavra carro é associada a um objeto concreto que possui certas características: é usado para o

transporte de pessoas, tem rodas, faróis, etc. Neste caso, a palavra carro é o signo. Desta forma,

os signos “são ferramentas que intervêm nos processos psicológicos e não nas ações concretas

como os instrumentos” (idem, 2000). Vygotsky salienta que todos os processos mentais

superiores que caracterizam o pensamento humano são todos eles “mediados por sistemas

simbólicos” (idem, 2000, p. 96).

Segundo Ponte e Serrazina (2000), esta capacidade de lidar com representações que

substituem o próprio real possibilita a cada indivíduo a libertação do espaço e do tempo

presentes e o estabelecimento de relações mentais, ou seja, na ausência dos objetos

propriamente ditos, é capaz de “imaginar, fazer planos e ter intenções” (p. 97).

Vygotsky acrescenta que é o grupo cultural onde o indivíduo está inserido permite-lhe

compreender e organizar o real, fornecendo ao mesmo “instrumentos psicológicos que

estabelecem a mediação entre ele e o mundo” (idem, 2000, p. 97).

As perspetivas referidas até aqui centravam a sua atenção no indivíduo. Por exemplo,

Piaget considera que a cultura tem um papel secundário no processo de aprendizagem,

podendo apenas acelerar ou retardar o mesmo (idem, 2000). Segundo Ponte e Serrazina

(2000), a aprendizagem ocorre também em contextos que envolvem outras pessoas (família,

professores, amigos, etc.), ou seja, é um conjunto de processos influenciados pelos contextos

onde tem lugar.

Vygotsky defende que a cultura influencia sobremaneira cada situação de aprendizagem.

Em particular, quando um aluno ingressa no 1º ciclo do ensino básico, já possui alguns

conhecimentos e noções sobre as diversas áreas do saber, não sendo portanto uma “tábua

rasa”.

Um facto empiricamente estabelecido é que os conteúdos ou conceitos inerentes ao

processo de aprendizagem devem estar em conformidade com o nível de desenvolvimento da

criança. Por exemplo, é estabelecido que o ideal seria iniciar-se o ensino da leitura, escrita ou

aritmética numa determinada faixa etária. Vygotsky (1991) aponta para o fato de que não nos

devemos limitar meramente “à determinação de níveis de desenvolvimento, se o que queremos

é descobrir as relações reais entre o processo de desenvolvimento e a capacidade de

aprendizagem” (p. 57). Vygotsky defende que devem ser considerados dois níveis de

desenvolvimento, o real e o potencial (idem, 1991).

12

Quando há uma referência ao desenvolvimento de uma criança, normalmente são levadas

em conta apenas as tarefas que ela é capaz de realizar sozinha. Vygotsky considera que esta

capacidade de realizar tarefas de forma independente é designada por “nível de desenvolvimento

real” (idem, 2000, p. 97). Vygotsky salienta que para se compreender adequadamente o

desenvolvimento, deve ser considerado um outro nível, o de desenvolvimento potencial. Neste

nível é contemplada a capacidade da criança em “realizar tarefas com a ajuda de adultos ou de

colegas mais capazes” (idem, 2000, p. 97). Desta forma, é de se esperar um melhor

desempenho de uma criança na realização de uma tarefa após esta observar um outro aluno

mais experiente (na mesma tarefa), do que se a tentar realizar sozinha. Desta forma, Vygotsky

define a zona de desenvolvimento proximal como a distância entre estes dois níveis (real e

potencial).

Por outras palavras, a zona de desenvolvimento proximal engloba “funções que ainda não

amadureceram, mas que estão em processo de maturação”, ou seja, funções que irão

amadurecer, mas que presentemente se encontram em “estado embrionário” (Vygotsky, 1991,

p. 58).

Uma das principais vantagens da aprendizagem na escola é que “cria uma zona de

desenvolvimento proximal” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 98). Com o apoio dos colegas mais

experimentados ou do professor, o aluno “consegue ter um desempenho de ordem superior,

progredindo no seu desenvolvimento”, pelo que a sua aprendizagem tem lugar através da

atividade mediada pelo grupo onde este está inserido (idem, 2000, p. 98). Desta forma, a

interação social é um aspeto central na teoria de Vygosky (idem, 2000).

2.1.4. Predisposição dos alunos para a aprendizagem

À medida que as diversas teorias da aprendizagem foram evoluindo, um aspeto que vai

ganhando relevância no processo de aprendizagem é a predisposição do aluno para aprender.

Bruner (1999) na sua teoria da educação e Ausubel (2003) na sua perspetiva de aprendizagem

significativa consideram que para o aluno aprender é necessário que esteja motivado e

predisposto para tal, considerando que estes assumem um papel fundamental no processo de

aprendizagem.

Segundo Chacón (2000), essa predisposição determina as intenções pessoais e afeta o

comportamento do indivíduo, constituindo o que a autora denominou por “atitude”,

reconhecendo-lhe três componentes distintas: a cognitiva, que se manifesta nas crenças

13

subjacentes à dita atitude; a afetiva, que se manifesta através de sentimentos de aceitação ou

rejeição perante uma determinada atividade; e a intencional ou de tendência para um certo tipo

de comportamento.

Chacón (2000) considera que a definição de atitude é válida para qualquer tipo de

atividade. No entanto, numa atividade relacionada com a Matemática, McLeod (1989, citado por

Chacón, 2000) considera ser possível avaliar as atitudes dos alunos relativamente à disciplina se

forem consideradas as seguintes componentes específicas: perceção do aluno perante a

utilidade da Matemática; autoeficácia do aluno perante a Matemática; perceção da Matemática

do ponto de vista dos colegas, pais e professores do aluno; e a ansiedade. De seguida, serão

desenvolvidas a autoeficácia e a ansiedade, pelo motivo de estas componentes poderem suscitar

maiores dúvidas ao leitor.

Autoeficácia

Albert Bandura dedicou nos seus estudos especial atenção às variáveis mediadoras da

aprendizagem. A teoria social cognitiva de Bandura considera que o indivíduo não é apenas

conduzido por impulsos internos nem apenas moldado ou controlado por estímulos externos. Ao

invés, Bandura considera “um modelo de reciprocidade triádica, no qual o comportamento,

fatores cognitivos, o meio onde o indivíduo está inserido e ainda fatores pessoais operam entre si

de forma bidirecional” (1989, p. 2).

Figura 1 – Esquema representativo da reciprocidade triádica de Bandura (1997).

Bandura denominou este modelo por “teoria social cognitiva”, no qual são contempladas

características de todas as perspetivas de aprendizagem acima referidas, comportamentalista,

14

cognitivista e sociocultural. Bandura considera que este modelo triádico permite ao indivíduo

exercer algum controle sobre as suas ações.

Na teoria social cognitiva, o indivíduo é o principal agente do seu desenvolvimento,

adaptação e mudança. O indivíduo, por conta das suas capacidades, “possui um sistema que o

possibilita agir intencionalmente em direção a fins específicos, elaborar planos de ação,

antecipar possíveis resultados, avaliar e replanear as suas ações” (Azzy & Polydoro, 2006, p.

17).

Esta teoria é na sua essência, um conjunto dos constructos teóricos que Bandura

formulou para explicar o comportamento humano, entre os quais, a autoeficácia. Bandura

considera que a autoeficácia tem um papel preponderante como mediador da aprendizagem. A

autoeficácia refere-se às “convicções de alguém relativamente à sua capacidade em organizar e

executar certas realizações” (Bandura, 1997, p. 3). Desta forma, a autoeficácia não está

relacionada com o que o indivíduo consegue fazer, mas com aquilo que ele julga que consegue

fazer com as capacidades que pensa ter, em determinadas circunstâncias (idem, 1997). O

mesmo autor (1997) defende que a autoeficácia de um aluno afeta a sua motivação, podendo

variar consoante a atividade.

Cada indivíduo constrói a sua autoeficácia (ou autoconfiança) nos mais variados domínios

a partir da interpretação da informação que resulta de quatro fontes: a experiência direta, a

experiência vicária, a persuasão social e estados físicos e emocionais (idem, 1997). A

experiência direta é a fonte de informação mais importante, pois deriva diretamente da

realização do indivíduo. As informações obtidas por meio da observação e comparação com

modelos sociais constituem a segunda fonte de autoeficácia. A perceção que o indivíduo tem da

sua autoeficácia é, também, influenciada socialmente através de fontes significativas

(professores, pais, comunicação social, etc.), ou seja, através do feedback sobre as suas

atividades. A outra fonte de informação diz respeito à perceção dos estados físicos e emocionais,

tais como a ansiedade, stress, alegria, bem-estar, etc., podendo ocorrer antes ou durante a

atividade (idem, 1997).

A autoeficácia opera, desta forma, como um dos elementos reguladores da motivação,

afeto e até da ação humana, influenciando as decisões que se tomam, o empenho e persistência

aplicados em cada atividade e o sentimento que se tem na sua realização (Azzy & Polydoro,

2006).

15

Em suma, Bandura (1993) defende a ideia de que o sucesso dos alunos não depende

somente das suas capacidades cognitivas ou do meio onde estão inseridos e que a capacidade

cognitiva de cada um é uma condição necessária, mas não suficiente para explicar o sucesso

(ou insucesso) dos alunos. Desta forma, é imperativo considerar-se a interação entre cognição,

motivação e afeto, que apesar de distintos, são inseparáveis, tendo influência uns sobre os

outros.

Ansiedade

Para a maioria dos alunos, a educação escolar provoca um certo nível de ansiedade, que

em determinada “dosagem”, pode aumentar a atividade do aluno, facilitando a sua

aprendizagem. No entanto, quando ocorre ansiedade em níveis excessivos, pode ocorrer um

bloqueio das capacidades naturais e predisposição para aprender por parte do aluno, produzindo

uma desorganização das suas respostas cognitivas, dificultando, por exemplo, a resolução de

uma tarefa (Dinis, 2003).

A autoeficácia está fortemente ligada ao desempenho dos alunos nos testes de avaliação.

Os níveis de ansiedade que muitas vezes afetam o desempenho dos alunos estão diretamente

ligados às tarefas que o aluno julga que é capaz de realizar. Se os alunos se considerarem

capazes de obterem resultados positivos, os níveis de ansiedade serão obrigatoriamente

menores. Assim, o desempenho dos alunos nos testes, por diversas vezes, “não é consentâneo

com a actividade desenvolvida pelo aluno na sala de aula” (idem, 2003, p. 26).

Os alunos que manifestam mais dificuldades na aprendizagem em Matemática

apresentam, normalmente, maiores níveis de ansiedade, o que representa, na generalidade, um

baixo nível de autoeficácia. Este facto é, muitas vezes, consequência de “pressão por parte dos

pais que colocam expectativas elevadas, às quais têm dificuldades em corresponder, também

pelo desinteresse na actividade escolar, ou pela própria fase de crescimento que atravessam, a

adolescência” (idem, 2003, p. 26). Estes fatores afetam negativamente o desempenho dos

alunos nos testes, criando “uma tensão interna com reflexos na disciplina” (idem, 2003, p. 26).

16

2.1.5. O papel do erro no processo de ensino e aprendizagem

A expectativa de qualquer escola, é a de que o aluno tenha sucesso. Segundo Rosso e

Berti (2010), apesar de frequentemente se associar uma resposta correta ao sucesso do aluno e

uma resposta errada ao seu fracasso, esta dicotomia não implica a existência da compreensão

dos conceitos envolvidos ou da aplicação dos mesmos ao quotidiano dos alunos. É comum que

a classificação de um aluno espelhe o seu sucesso, mas uma boa classificação, nem sempre

representa que o mesmo adquiriu o conhecimento que era pretendido.

Muitos professores ainda consideram o “erro” como um passo atrás no processo de

aprendizagem e, muitas vezes, inaceitável por parte dos alunos. No entanto, o “erro” deve ser

visto como um passo necessário para o desenvolvimento de cada aluno. Como diz a sabedoria

popular, “é com os erros que se aprende”.

A definição da palavra “erro” que consta no dicionário da língua portuguesa sugere que se

trata de uma opinião ou julgamento que é contrário à verdade. Por outras palavras, o “erro” é

uma ideia que tem origem no contexto da existência de um padrão que é considerado correto.

No entanto, Ponte e Serrazina (2000) consideram que os “erros” dos alunos podem revelar-se

tão importantes como as suas respostas corretas. A análise dos “erros” cometidos pelos alunos

permite ao professor aperceber-se das dificuldades por eles sentidas e do caminho a seguir para

as contrariar, podendo tirar conclusões sobre o que sabem e sobre o que não sabem (idem,

2000).

Relativamente à Matemática, vários professores desta disciplina costumam recorrer a

metodologias que enfatizam a sobrecarga de fórmulas, regras e uma quantidade de exercícios

sem contexto, encorajando a mecanização de processos, em detrimento do desenvolvimento da

criatividade e curiosidade do aluno, levando-o a acreditar que a Matemática é uma ciência

“acabada” e que não pode contestar os seus resultados, ou escolher diferentes caminhos para

os alcançar (Freire, 1987).

Tendo em vista um maior desenvolvimento intelectual dos alunos, surge a necessidade de

implementar uma metodologia alternativa. Piaget e Vygotsky, investigadores que deram um forte

contributo à educação matemática, consideram que essa mudança pode ser iniciada com uma

análise profunda aos erros cometidos pelos alunos na disciplina.

Na teoria construtivista, defendida por Piaget e Vygotsky, entre outros, o que se “erra” não

deve ser considerado como o oposto do que se “acerta”, devendo ser valorizadas a invenção, a

investigação, a tentativa, a criatividade e a curiosidade do aluno no seu processo de

17

aprendizagem. Estes autores consideram que o “erro” é parte integrante e natural neste

processo. Inhelder e Cellérier (1992) consideram que um erro corrigido pode ter mais valor que

uma resolução imediata, pelo que a partir da sua análise podem surgir novos conhecimentos.

Assim, o “erro” é um elemento valioso no processo de ensino e aprendizagem, permitindo

ao professor conhecer o nível de desenvolvimento cognitivo do aluno e provocando, ao mesmo

tempo, uma contradição cognitiva interna no aluno que o induz a uma reorganização estrutural

do pensamento, reorientando-o para a resposta que é aceite como correta (Botelho et al, 2006).

Assim, deve ser visto de um modo positivo no processo de aprendizagem dos alunos, auxiliando-

os a progredir. Para tal, é fundamental que os alunos se apercebam do erro cometido, devendo

a resposta correta ser construída a partir da resposta errada (Ponte & Serrazina, 2000).

Desta forma, os “erros” não traduzem sempre uma falta de competência cognitiva, isto é,

uma falta de conhecimentos ou de trabalho por parte dos alunos, podendo ser um elemento de

informação sobre as conceções que um aluno tem, no imediato, relativamente a um

determinado conceito (idem, 2000). Aliás, muitos dos erros cometidos devem-se ao facto de que

a Matemática abordada na sala de aula não tem qualquer significado para os alunos e resultam

de conceções erradas que formaram sobre determinados conceitos (idem, 2000).

Silva (2008) considera que um docente de Matemática deve encarar os “erros” cometidos

pelos alunos de duas maneiras distintas: a primeira, na hora de classificar, pelo rigor e exatidão

inerentes à Matemática enquanto ciência; a segunda, na sala de aula, onde o “erro” deve ser

considerado como parte do processo de aprendizagem.

Consequentemente, a atitude do professor em relação ao “erro” passa a ser investigativa,

ou seja, procura compreender as decisões tomadas pelos alunos na resolução das tarefas. Por

exemplo, procura compreender o que levou um determinado aluno a optar por esta ou aquela

estratégia na resolução de uma tarefa e a que conceitos recorreu na sua realização.

Paralelamente, Davis e Espósito (1990) consideram que o “erro” assume um papel de

extrema importância no processo de construção do conhecimento. Face a uma situação-

problema, por exemplo numa tarefa da disciplina de Matemática, o aluno adota uma estratégia

para o resolver, pelo que a mesma envolve noções do objetivo a ser alcançado e dos meios ou

procedimentos a que recorrerá para o atingir (idem, 1990). O nível estrutural (ou cognitivo) de

cada aluno limita o seu raio de ação quer na assimilação do objetivo do problema, quer nos

procedimentos que lhe é possível recorrer. No entanto, dentro destes limites, cabe ao aluno

adotar uma estratégia, que no seu parecer é a melhor para resolver a tarefa (idem, 1990).

18

Perante este quadro, duas situações podem ocorrer: o aluno acerta ou erra na solução da tarefa.

Se acerta, cabe ao professor atribuir-lhe tarefas mais desafiantes para que possa atingir novos

patamares cognitivos. E se errar, que significado pode ter esse erro?

Davis e Espósito (1990) consideram três possíveis significados para a ocorrência do

“erro”: (1) o aluno possui a estrutura de pensamento necessária para a tarefa, mas selecionou

procedimentos inadequados para a tarefa. Este tipo de erro não está relacionado com a

construção de conhecimentos mas com o seu aprimoramento, dependendo, assim, unicamente

do próprio aluno; (2) o aluno ainda não possui um nível estrutural suficiente para resolver a

tarefa, denotando dificuldades na compreensão da tarefa e consequentemente na seleção de

procedimentos para a sua resolução. Neste tipo de erro, o aluno apercebe-se que existem

lacunas ou “desequilíbrios” na sua estrutura cognitiva, pelo que é obrigado a encontrar uma

nova forma de abordar a tarefa, que poderá acontecer por tentativa e erro, modificando, assim,

as suas estratégias em função dos resultados que obtiver com cada uma delas. Estes erros são

denominados por “construtivos”, pois sinalizam a formação de novas estruturas cognitivas.

Neste tipo de erro, é fundamental o papel do professor que deve aproveitar estes

“desequilíbrios” apresentados pelos alunos, proporcionando-lhes as condições necessárias para

a formação destes novos patamares cognitivos; (3) o aluno não possui a estrutura cognitiva

necessária requerida para a tarefa, pelo que lhe é impossível a compreensão da tarefa e muito

menos a seleção de procedimentos para a resolver. Neste caso, o “desequilíbrio” na estrutura

cognitiva é permanentemente ignorado pelo aluno, pelo que o mesmo não procura novas

estratégias. Por esta razão, estes erros são denominados por “sistemáticos”. Na impossibilidade

de construir novos patamares cognitivos na estrutura cognitiva do aluno, o professor tem a

obrigação de o conduzir ou orientar no sentido de o mesmo dar conta desse “desequilíbrio”,

proporcionando um ambiente de diálogo na sala de aula que o leve a justificar as suas

estratégias.

Segundo Pinto (2000), os erros sistemáticos podem revelar que os conteúdos abordados

na sala de aula não estão de acordo com a capacidade cognitiva do aluno, existindo, desta

forma, “uma cisão entre os seus fatores internos e externos” (p. 49).

O uso do erro na sala de aula

Relativamente à Matemática, Borasi (1996) considera que devem ser propiciados

ambientes de aprendizagem em sala de aula que privilegiem o potencial dos erros, o que pode

19

levar os alunos a “operarem num nível diferente de abstração” (p. 278). Desta forma, a autora

(1996) considera que o professor pode optar por diferentes abordagens ao erro, tendo em conta

os seus níveis de discurso matemático: realização de uma tarefa matemática específica,

compreensão de algum conteúdo matemático técnico e compreensão sobre a natureza da

Matemática. Dentro de cada um destes níveis de discurso matemático, o objetivo da

aprendizagem oferece informações sobre as possíveis abordagens aos erros cometidos pelos

alunos. Desta forma, Borasi (1996) propõe uma taxionomia de utilização dos erros em sala de

aula, onde considera nove tipos de abordagens tendo em conta o objetivo de aprendizagem:

correção (do erro), descoberta (a partir do erro) e investigação (a partir do erro).

Quadro 2 – Taxionomia para o uso do erro em sala de aula (adaptado de Borasi, 1996)

Objetivo de aprendizagem

Níveis de discurso matemático Realização de uma tarefa

matemática específica Compreensão de algum

conteúdo matemático técnico Compreensão sobre a natureza

da Matemática

Correção

Análise de erros para compreender o que de

errado ocorreu, por forma a obter sucesso na realização da tarefa.

Análise de erros para esclarecer interpretações deficientes de

um conteúdo técnico da Matemática.

Análise de erros para esclarecer interpretações deficientes sobre a natureza matemática ou de

algum conteúdo em específico.

Descoberta

Uso construtivo do erro no processo de resolução de

uma tarefa;

Observação da resolução de um aluno para que seja

possível identificar possíveis erros.

Uso construtivo do erro na aprendizagem de novos conceitos, regras, etc.

Uso construtivo do erro na aprendizagem sobre a natureza

matemática ou de algum conteúdo específico.

Investigação

Erros e resultados surpreendentes

proporcionam novas pesquisas, servindo para desenvolver novas tarefas

matemáticas.

Erros e resultados surpreendentes proporcionam questões que podem levar a novas perspetivas sobre um conceito, regra ou tópico que

pode não estar no plano original.

Erros e resultados surpreendentes proporcionam questões que podem levar a

introspeções ou a novas perspetivas acerca da natureza matemática ou algum conteúdo

em específico.

A partir de uma análise ao Quadro 2, é percetível que o aproveitamento do erro pode ser

realizado através da sua exploração com os alunos ou simplesmente através da sua correção,

oferecendo, desta forma, um vasto leque de estratégias de ensino nos conteúdos em que os

alunos mostram mais dificuldades. Borasi (1996) refere que estas abordagens ao erro podem

surgir separadamente ou em conjunto, dependendo do tipo de erro e, consequentemente, do

20

tipo de questões que levanta. Desta forma, consoante os objetivos de aprendizagem, é possível

transitar entre as diversas formas de trabalhar com o erro (Cury, 2007).

Cargas emocionais provocadas pelo erro

Pinto (2000, p. 54) defende que “quando um aluno comete um erro, ele expressa o

carácter incompleto do seu conhecimento”, oferecendo, desta forma, uma oportunidade de o

professor o ajudar a adquirir o conhecimento em falta. Através de uma reflexão epistemológica

do “erro”, a autora (2000) refere que este pode contribuir positivamente para o processo de

ensino e aprendizagem, “desde que se modifique a atitude de condenação do aluno como o

único culpado do erro” (p. 54).

Do ponto de vista sociológico, o “erro” deve ser visto de modo construtivo, perdendo,

assim, a sua conotação negativa e, desta forma, deve representar a essência de uma pedagogia

de sucesso e não de fracasso escolar (Pinto, 2000). Nesta perspetiva, “o erro colabora para a

boa autoestima do aluno” (idem, 2000, p. 63).

O “erro” está, muitas vezes, associado a fortes cargas emocionais por parte dos alunos.

Repetidos casos de sucesso ou de insucesso, podem ser determinantes na construção da

autoestima dos alunos. Por exemplo, na busca da solução de um problema de Matemática,

Neves e Carvalho (2006) referem que os alunos podem experienciar distintas reações

emocionais: uns começam a trabalhar no problema com entusiasmo e empenho mas se, ao fim

de algum tempo, não encontram a solução, as reações emocionais podem tornar-se negativas; e

outros, que acabam por descobrir a solução, manifestando sentimentos de satisfação e até de

euforia. As autoras consideram que quando acontecem de forma mais frequente, estas

experiências, positivas ou negativas, contribuem para a criação da autoeficácia dos alunos.

Assim, no caso de essas experiências serem positivas, os alunos têm tendência em persistir

perante possíveis dificuldades, avançando rumo ao objetivo pretendido. No caso de essas

experiências serem negativas, existe a possibilidade inversa, ou seja, a criação de desinteresse e

até aversão à Matemática por parte dos alunos (Neves & Carvalho, 2006).

A teoria do desânimo aprendido de Seligman (1975) refere que todos os indivíduos

experienciam situações de desânimo já que, em algum momento da sua vida, são confrontados

com situações que estão fora do seu controlo ou são independentes do seu comportamento

(situação de não-contingência).

21

Seligman (1975) baseia a sua teoria na aprendizagem resultante de um determinado

conjunto de experiências negativas. Desta forma, a partir da experiência, os indivíduos são

capazes de aprender a contingência e, de igual forma, são capazes de aprender que, na

ausência de contingência entre o comportamento e o resultado, a não-contingência irá

prevalecer. Por outras palavras, quando o indivíduo experiencia situações que lhe trazem

sentimentos negativos, aprende que em situações idênticas, o sentimento resultante das

mesmas será também negativo, caindo no designado desânimo (aprendido).

Assim, a aversão que alguns alunos têm à Matemática é, muitas vezes, resultado de

experiências infelizes anteriores e precoces. Neves e Carvalho (2006) consideram que as

“situações, pensamentos e ações de um indivíduo, que originam estados positivos, tendem a ser

procurados e repetidos, mas aqueles que geram estados negativos serão evitados” (p. 208).

As mesmas autoras (2006) defendem que a melhor forma de um professor detetar estes

casos parte da “observação informal dos alunos em situação de sala de aula: enquanto tentam

resolver problemas, enquanto trabalham nas várias propostas, individualmente ou em grupo e

na forma como participam em discussões com toda a turma” (p. 208).

2.2. O ensino e a aprendizagem da Álgebra

De um ponto de vista histórico, falar em Álgebra remete para “a formalização e

sistematização de certas técnicas de resolução de problemas” (Ponte, 2006, p. 9).

As origens da Álgebra remontam ao antigo Egipto, à Babilónia, à China e à Índia, onde

foram formalizadas e sistematizadas técnicas para a resolução de problemas (Ponte, Branco &

Matos, 2009). Como exemplo, Ponte, Branco e Matos (2009) referem o papiro de Ahmes/Rhind

que ficou célebre por ser um documento matemático recheado de técnicas de resolução de

problemas.

Com o decorrer do tempo foi-se construindo o conceito de equação, tendo a Álgebra

ficado conhecida pelo seu estudo. Muito deste reconhecimento deve-se ao contributo de Diofanto

que desenvolveu diversos métodos para a resolução de equações e sistemas de equações (idem,

2009).

A maior transformação deu-se já no século XVI com François Viète que “construiu” a

designada Álgebra simbólica (idem, 2009). Nessa mesma época, dão-se grandes progressos na

resolução de equações algébricas, nomeadamente nas fórmulas para as soluções das equações

de terceiro e quarto grau, através dos matemáticos da península itálica Scipione del Ferro,

22

Tartaglia, Cardano, Bombelli e Ferrari (Estrada et al, 2000, p. 522). Este enorme progresso

constituiu um estímulo para novas pesquisas, “incluindo o início da manipulação das raízes

quadradas de números negativos” (idem, 2000, p. 521). Paralelamente a este desenvolvimento

das teorias de equações algébricas, foi-se desenvolvendo o conceito de função como uma

correspondência entre os valores de duas variáveis, onde as primeiras funções consideradas

foram as funções polinomiais e racionais (Ponte, Branco & Matos, 2009).

Atualmente, a Álgebra constitui uma das áreas fundamentais do currículo de matemática

do ensino básico e secundário. Os primeiros currículos atribuíam-lhe pouca importância, sendo

encarada como um campo da matemática que tratava essencialmente de um conjunto de regras

de transformação de expressões e processos de resolução de equações (Ponte, 2006). Esta

perspectiva é coerente com a terminologia usada nos antigos programas que, em vez de

referirem “Álgebra”, referiam “cálculo” ou “cálculo algébrico” (idem, 2006, p. 10).

A imagem tradicional da Álgebra, baseada num século de ensino, consiste numa simplificação de expressões algébricas, resolução de equações e aprendizagem de regras para a manipulação de símbolos. (Kaput, 1999, p. 2)

Contudo, Ponte (2006) considera que esta é uma visão limitada da mesma, pois

desvaloriza aspetos muitos importantes, reduzindo-a a apenas uma das suas facetas. Outra

perspectiva é a de que o objeto de estudo da Álgebra são os símbolos. Neste sentido, esta área

da Matemática assume uma linguagem própria, a linguagem algébrica.

Mais recentemente, emergiu uma nova visão da Álgebra, na qual o propósito principal de

ensino consiste no desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. Este pensamento

inclui a capacidade de manipulação de símbolos. Desta forma, a Álgebra permite que esta

articulação seja realizada através de símbolos a que já estejamos habituados, tais como as letras

de alfabetos (Ponte, Branco & Matos, 2008). Através da utilização de símbolos é possível

expressar ideias matemáticas de forma precisa, sendo particularmente importante na resolução

de problemas (idem, 2008). Dependentemente do contexto, os símbolos podem ter diversos

significados e a sua interpretação representa, geralmente, um forte obstáculo para os alunos

(idem, 2008).

Segundo o NCTM (2007), o pensamento algébrico diz respeito ao estudo das estruturas, à

simbolização, à modelação e ao estudo da variação, que visam desenvolver nos alunos desde o

ensino pré-escolar até ao ensino secundário, as seguintes competências:

23

compreender padrões, relações e funções; representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos; usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas; analisar a variação em diversos contextos. (p. 39)

É importante salientar que o estudo da Álgebra esteve afastado dos currículos de

matemática dos níveis elementares, por esta ser considerada difícil e abstrata (Ponte, 2006). No

entanto, nos últimos anos surgiram investigações que reconhecem como problemática a

abordagem tardia da Álgebra nos currículos, defendendo a inclusão do pensamento algébrico

desde o 1º ciclo (idem, 2006). Tendo em conta o desenvolvimento das capacidades cognitivas

dos alunos, é aconselhada uma abordagem ao pensamento algébrico desde o início da

escolaridade, devendo ser integrado com outros temas matemáticos, enaltecendo, desta forma,

uma aprendizagem ativa que valorize a construção de significados. (Kaput, 1999).

Assim, a inclusão do pensamento algébrico no currículo de Matemática nos primeiros

anos de escolaridade “pode evocar-se, não só o seu carácter preparatório para a Álgebra dos

anos posteriores, mas também pelo seu contributo para o aprofundamento da compreensão da

matemática e do poder desta área do saber” (Canavarro, 2009, p. 92).

2.2.1. Recomendações para o ensino da Álgebra

O Ministério da Educação (2001) salienta que os conhecimentos sobre funções são

“indispensáveis para a compreensão do mundo em que vivemos” (p. 26). Desta forma, “o papel

da Matemática como instrumento de modelação da realidade é incontornável: um modelo

matemático é uma descrição matemática do mundo real” (idem, 2001, p. 11).

Neste ano letivo deve ser realizado um “estudo detalhado de algumas funções polinomiais

e da função módulo e resolvem-se analítica, gráfica e numericamente algumas equações e

inequações”, onde é enfatizada “a ligação entre as fórmulas e as representações geométricas”

(idem, 2001, p. 26).

Para o 10º ano de escolaridade, o Ministério da Educação (2001) pretende que sejam

abordados os seguintes conteúdos algébricos: função, gráfico cartesiano de uma função em

referencial ortogonal e representação gráfica; estudo intuitivo das propriedades das funções

quadrática e módulo e respetivos gráficos, quer a partir de um gráfico particular, quer usando a

calculadora gráfica; resolução de problemas envolvendo funções polinomiais de graus 2, 3 e 4; e

decomposição de um polinómio em fatores, por divisão dos polinómios e recorrendo à regra de

Ruffini.

24

O Ministério da Educação (2001) pretende que o estudante seja “o agente da sua própria

aprendizagem” (p. 10). Para que tal aconteça, é destacada a importância das atividades a

selecionar pelo professor, “as quais deverão contribuir para o desenvolvimento do pensamento

científico, levando o estudante a intuir, conjeturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o

reforço das atitudes de autonomia e de cooperação” (idem, 2001, p. 10). Assim, a seleção de

tarefas por parte do professor assume um papel fundamental, onde estas devem estabelecer

uma ligação ao real sempre que possível, devendo ser interessantes e desafiadoras, por forma a

incentivar a colaboração de todos os elementos do grupo (idem, 2001).

Trabalho de grupo

O trabalho de grupo é um dos métodos de trabalho em sala de aula. Segundo o Ministério

da Educação (2001), “o trabalho de grupo e em pares favorece a comunicação matemática pois

os estudantes ganham em partilhar com os colegas e com o professor os seus métodos de

resolução ou as justificações dos seus raciocínios” (p. 12).

Este método possibilita aos alunos desenvolver habilidades e competências interpessoais,

promovendo a reflexão e a discussão de diferentes pontos de vista, clarificando, desta forma,

“significados e a construção pessoal do conhecimento” (Martinho & Ponte, 2005, p. 276).

A interação com outros estimula a aparição de novos problemas, de novas ideias e de descobertas adicionais. Os estudantes deparam-se com formas diferentes da sua de resolver problemas e a compreensão conceptual é mais profunda e duradoura. (Ministério da Educação, 2001, p. 13)

Desta forma, as recomendações metodológicas vigentes no programa sugerem ao

professor, a adoção de uma pedagogia centrada no aluno, sendo notórias influências das

perspetivas de aprendizagem de Piaget e Vygotsky.

Novas tecnologias

O Ministério da Educação (2001) recomenda para o ensino da Álgebra a utilização das

novas tecnologias referindo que a sua utilização “facilita uma participação ativa do estudante na

sua aprendizagem” (p. 15).

O professor deverá estar habilitado a utilizar a tecnologia de modo a melhorar as

oportunidades de aprendizagem do aluno. Integrar a utilização da tecnologia na sala de aula com

os outros meios de estudar matemática permite integrar mudanças no que se ensina e na forma

25

como se ensina. A tecnologia não substitui a compreensão e a intuição, mas pode ajudar a

estimular essas capacidades. Com a utilização da calculadora gráfica ou do computador os

alunos devem:

observar que podem ser apresentadas diferentes representações gráficas de um mesmo gráfico, variando as escalas; traçar um número apreciável de funções tanto manualmente em papel quadriculado ou papel milimétrico como usando calculadora gráfica ou computador escolhendo o melhor retângulo de visualização; elaborar conjeturas, evitando conclusões apressadas, sendo sistematicamente treinados na análise crítica de todas as suas conclusões; estudar situações em que uma descrição qualitativa satisfatória do comportamento da função só é possível com um gráfico múltiplo (conjunto de gráficos em diferentes retângulos de visualização). (Ministério da Educação, 2001, p. 27)

No entanto, o recurso às novas tecnologias não garante, só por si, uma melhoria na

aprendizagem na temática das funções, facto salientado na investigação de Rocha (2000). Como

exemplo, a autora (2000) refere que, apesar do recurso às tecnologias, se continuam a verificar

dificuldades por parte dos alunos no estabelecimento de conexões entre as representações

algébrica e gráfica de uma função.

Desta forma, as novas tecnologias não eliminam as dificuldades dos alunos nesta

temática, nem tal poderia acontecer quando as próprias têm limitações. Por exemplo, o recurso

às calculadoras gráficas tem algumas limitações ao nível da precisão numérica, na construção

de um gráfico de uma função, na resolução de problemas ou nos métodos de cálculo de

derivadas, zeros ou extremos (idem, 2000). O professor, por sua vez, deverá aproveitar estas

limitações de forma pedagógica, confrontando os alunos com essas limitações e explorando as

situações que daí possam advir (idem, 2000).

2.2.2. Dificuldades e erros cometidos pelos alunos na aprendizagem da Álgebra

Nesta subsecção serão exploradas as dificuldades e erros cometidos (e respetiva

categorização) pelos alunos na aprendizagem da Álgebra e mais concretamente no estudo das

funções.

Assim, no que diz respeito à aprendizagem da Álgebra, os alunos deparam-se com vários

tipos de dificuldades. Ponte, Branco e Matos (2009) afirmam que, normalmente, os alunos

sentem dificuldades em:

26

ver a letra como representando um número ou um conjunto de números; pensar numa variável como significando um número qualquer; atribuir significado às letras existentes numa expressão; dar sentido a uma expressão algébrica; passar informação da linguagem natural para a algébrica; compreender as mudanças de significado, na Aritmética e na Álgebra, dos símbolos “+” e “=” e, em particular, distinguir adição aritmética ( ) da adição algébrica ( ). (pp. 74-75)

Destas dificuldades, as mais comuns são as de interpretação dos símbolos algébricos,

que dependentemente do contexto podem ter diversos significados, obrigando os alunos a

realizar diversos ajustes na transição da Aritmética para a Álgebra ou vice-versa (Kilpatrick,

Swafford & Findell, 2001). Por exemplo, o facto de se usarem letras na representação de

variáveis, incógnitas ou de um número generalizado, faz com que os alunos não percebam o

sentido das expressões algébricas (Ponte, Branco & Matos, 2009).

Ponte, Branco e Matos (2009) referem que o significado do sinal de igual depende da

situação em que este aparece, podendo ter um significado de operador (surgindo em situações

aritméticas como ), equivalência (surgindo em equações como ) ou de

proporcionalidade (entre duas razões, como

). Esta diversidade de significados leva, por

vezes, a uma confusão por parte dos alunos. Kilpatrick, Swafford e Findell (2001) referem que

numa equação como , os alunos simplesmente somam os dois algarismos,

escrevendo 13 como resposta, em vez do valor correto 4. Quando um sinal de igualdade está

presente, os alunos tratam-no como se fosse um separador entre o problema e a solução,

interpretando-o como um “espaço” dedicado ao resultado das operações indicadas à esquerda

do sinal. Desta forma, o sinal de igual é tratado como se fosse um sinal direcional da esquerda

para a direita (idem, 2001).

A não compreensão do significado de uma regra faz com que os alunos recorram à

mesma de forma indiscriminada. Muitas vezes, memorizam os procedimentos numa

determinada situação, aplicando-os posteriormente em situações que lhes pareçam

semelhantes. A deficiente compreensão das regras proporciona um elevado número de erros por

parte dos alunos, por exemplo, em relação à propriedade distributiva, casos notáveis,

desembaraçar de parêntesis ou em operações com frações.

Ponte, Branco e Matos (2009) salientam que os alunos costumam recorrer a

generalizações não válidas, referindo, ainda, que é fundamental que os alunos “compreendam o

significado dos parênteses e a prioridade das operações numa expressão numérica” (p. 26).

27

Assim, não é verdade que seja igual a , sendo relevante a ordem pela

qual se realizam as diferentes operações.

Borasi (1996) refere que os alunos também costumam sentir dificuldades quando operam

com frações. A autora (1996) refere o seguinte exemplo

em que os alunos “somam

os numeradores e os denominadores de forma separada” (p. 7).

Kieran (1999) distingue duas perspetivas da Álgebra: a processual e a estrutural. A

Álgebra processual lida com a substituição de variáveis por números, realizando-se de seguida

as correspondentes operações aritméticas. Kieran (1999) aponta o exemplo da resolução da

equação , em que se substitui por vários números até encontrar o valor correto.

Relativamente à Álgebra estrutural, a autora (1999) menciona que é uma perspetiva que está

relacionada com um conjunto de operações realizadas com expressões algébricas e não com

números. A autora dá o exemplo da resolução da equação , em que numa fase

inicial, é possível subtrair em ambos os membros, originando, desta forma, a equação

equivalente .

Segundo Kieran (1999), é na perspetiva estrutural da Álgebra que os alunos costumam

sentir mais dificuldades. Assim, a autora classifica os erros por eles cometidos nesta perspetiva

(mais concretamente na resolução de equações) em dois tipos: (1) erro por troca de membros

(por exemplo, ); e (2) erro de redistribuição (por exemplo,

). Kieran (1999) considera que estes erros surgem

porque os alunos “sentem dificuldades relativamente às relações estruturais entre a adição e a

subtração, ou pelo menos quando estas envolvem um termo literal” (p. 351).

Quando os alunos operam neste quadro de referência tendem a não ver os aspetos

relacionais das operações pelo que o seu foco incide unicamente no cálculo. Assim, é necessário

um ajustamento considerável para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Segundo Kieran

(2004), esse ajustamento deve incidir nas relações algébricas e não apenas no cálculo numérico

da resposta, nas várias operações (e respetivas inversas), na representação e resolução de um

problema (em vez de apenas o resolver), nos números e letras (em vez de apenas números) e

numa reorientação do significado do sinal de igual.

As dificuldades dos alunos na aprendizagem das funções

As funções são um conteúdo da Álgebra em que os alunos costumam sentir diversas

dificuldades. Sajka (2003) refere que essas dificuldades estão relacionadas, por um lado, com a

28

filosofia e métodos da Matemática em si e os vários esquemas de pensamento dos alunos e, por

outro lado, com o conceito de função e com os termos relacionados (definição, número, variável,

coordenadas, gráfico da função, etc.). Assim, a ambiguidade e contexto do simbolismo

matemático, que aliados a uma certa limitação no tipo de tarefas e à interpretação que o aluno

faz delas no estudo das funções, ajudam, em parte, a justificar as dificuldades por eles sentidas

(Sajka, 2003).

Segundo Sajka (2003), a compreensão da própria definição de função é difícil para os

alunos devido à dualidade da sua natureza, podendo ser entendida numa perspetiva estrutural

(como um objeto) ou numa perspetiva operacional (como um processo). São, no entanto, duas

perspetivas que se completam e que se constituem como uma unidade coerente (idem, 2010).

Por exemplo, tem dois significados: apresenta o conceito de função no seu todo

e indica o processo de cálculo do valor da função para determinados valores de (Sajka, 2003).

Desta forma, representa, ao mesmo tempo, o nome da função e o seu valor, pelo que a

sua interpretação depende do contexto onde esta se insere (idem, 2003).

Alguns alunos, apesar de conhecerem a definição de função, não a conseguem identificar

graficamente. Tal, pode ser explicado pelo facto de o aluno ter noção do conceito em si, mas, no

entanto, este não se encontra corretamente formado na sua mente (Vinner, 1983 citado por

Saraiva & Andrade, 2012).

Consequentemente, Saraiva e Andrade (2012) apontam que a aprendizagem das funções

deve contemplar “o estabelecimento e a compreensão de relações entre os vários tipos de

representação (a gráfica, a algébrica, a tabelar e a verbal)” (p. 141), tornando os alunos

“capazes de avaliar as vantagens e desvantagens de cada representação” (p. 141), consoante

os objetivos pretendidos em cada tarefa. Em suma, “a aprendizagem do conceito de função

requer o estabelecimento de conexões entre as suas representações e o confronto de ideias que

nem sempre são fáceis de agregar” (idem, 2012, p. 146).

Desta forma, os mesmos autores (2012) consideram os alunos precisam de um

acompanhamento mais constante por parte do professor durante a sua aprendizagem, “para

que a definição que se pretende que interiorizem e a imagem que têm de função se

complementem e permitam uma aprendizagem significativa” (p. 146).

29

As diferentes categorias de erros

Numa análise aos erros em Educação Matemática, é essencial ter um conhecimento

sobre o modo de como eles podem ser classificados (Vale, Ferreira & Santos, 2011). A título de

exemplo, são a seguir apresentadas algumas das análises realizadas aos erros cometidos pelos

alunos na aprendizagem da Álgebra (Radatz, 1979, Movshovitz-Hadar, Zaslavsky & Inbar, 1987,

Hall, 2002; Socas, 1997, citado por Ruano, Socas & Palarea, 2008).

Radatz (1980) considera que os erros cometidos pelos alunos não são simplesmente fruto

da sua ignorância, insegurança ou descuido. Considera que são o resultado das suas

experiências anteriores nas aulas de Matemática. Desta forma, considera que os erros

cometidos são maioritariamente sistemáticos e que sem a ajuda do professor, eles continuarão a

persistir por muito tempo. Como forma de os combater, Radatz (1980) considera a análise dos

erros fundamental para o ensino e aprendizagem da Matemática por dois motivos: primeiro,

porque considera ser uma oportunidade para diagnosticar as dificuldades de aprendizagem dos

alunos, diferenciando, desta forma, o ensino empregue a cada um deles; segundo, porque

considera que essa análise é um excecional ponto de partida para investigações realizadas no

sentido de melhorar o ensino e aprendizagem da Matemática, pelo que, desta forma, é uma

estratégia fundamental para a clarificação de problemáticas na aprendizagem da disciplina.

Radatz (1979) considera na sua investigação a seguinte categorização de erros: (1) Erros

que derivam de dificuldades na interpretação da linguagem matemática. Nesta categoria, os

alunos realizam interpretações deficientes dos conceitos, vocabulário ou símbolos matemáticos;

(2) Erros que derivam da dificuldade em obter e interpretar informação espacial. Nesta categoria,

os alunos mostram dificuldades de visualização (como por exemplo na Geometria); (3) Erros que

derivam de um domínio deficiente de conteúdos, factos ou técnicas consideradas como pré-

requisitos; (4) Associações incorretas entre os conteúdos ou rigidez de pensamento. Nesta

categoria, os alunos mostram dificuldades em transpor informações em questões que abordam

diferentes conteúdos; (5) Erros que derivam da deficiente ou irrelevante aplicação de regras ou

estratégias.

Na investigação de Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) também foi adotado um

modelo de classificação de erros que compreende seis categorias: (1) uso errado dos dados.

Esta categoria está relacionada com erros em que existe uma discrepância entre os dados

fornecidos no enunciado da tarefa e a forma como foram utilizados pelo aluno, podendo

aparecer no início da tarefa ou no decorrer da mesma; (2) linguagem mal interpretada. Esta

30

categoria inclui erros que têm origem numa tradução deficiente dos dados fornecidos no

enunciado da tarefa em linguagem corrente para a linguagem matemática ou vice-versa; (3)

inferência logicamente inválida. Esta categoria inclui os erros relacionados com possíveis

conclusões falaciosas que possam ser tiradas durante a resolução da tarefa; (4) definição ou

teorema distorcido. Esta categoria inclui os erros relacionados com o emprego deficiente dos

teoremas ou definições; (5) solução não verificada. Esta categoria inclui os erros relacionados

com a solução (errada ou incompleta) apontada pelo aluno no final da tarefa, sendo, por

exemplo, contraditória com os processos utilizados; (6) erros técnicos ou de cálculo. Nesta

categoria estão contidos os erros computacionais, como os de manipulação algébrica.

De igual forma, Hall (2002) categorizou os erros cometidos pelos alunos. De seguida, são

apresentadas algumas das categorias a que o autor recorreu na sua investigação: (1) erro por

eliminação; (2) erro por troca de membros; 3) erro por redistribuição; (4) erro por transposição;

(5) erro na aplicação da operação inversa; (6) erro por exaustão; e (7) erro por omissão.

De acordo com a categorização de erros de Hall (2002), os erros de eliminação ocorrem

quando os alunos confundem constantes e variáveis, operando o coeficiente da variável com a

constante. O erro por exaustão é o caso em que o aluno erra perto do final da tarefa. No entanto,

no início da mesma e em situação semelhante, o aluno resolve corretamente. O erro da

operação inversa é o caso em que o aluno, na troca de um termo de membro, opta pela

operação inversa errada. O erro por transposição é o caso em que os alunos, na tentativa de se

libertarem do denominador de um dos termos, multiplicam os termos que estão no outro

membro da equação pelo valor que consta no denominador.

Quando um aluno tenta realizar a mesma operação em ambos os membros da equação,

três tipos de erro podem ocorrer: erro na troca de membros, erro de redistribuição e erro por

omissão. Segundo Hall (2002), estes erros derivam de uma falta de compreensão sobre o modo

de operar em equações, aparentando desconhecer que é necessário “realizar as mesmas

operações em ambos os membros” (p. 29). A categorização de Hall (2002) está representada

no Quadro 3.

31

Quadro 3 – Categorização de erros de Hall (2002)

Categoria do erro Exemplo

(1) Erro por eliminação

(2) Erro na troca de membros

(3) Erro por redistribuição

(4) Erro por transposição

(5) Erro na aplicação da operação inversa

(6) Erro por exaustão

(7) Erro por omissão

Segundo Ruano, Socas e Palarea (2008), é importante que o professor possua um

conhecimento aprofundado dos erros cometidos pelos seus alunos, pois a partir deles obtém

informações sobre as suas distintas formas de raciocínio. Os autores acrescentam que para

ocorrer a assimilação de novos conteúdos na estrutura cognitiva do aluno, estes devem ter

significado para ele. Quando um aluno comete um erro, significa que o conhecimento em

questão ainda não foi assimilado, provocando um conflito na sua estrutura cognitiva que o obriga

a rever ou reestruturar aquilo que já sabe (idem, 2008). Desta forma, conhecer a origem de um

erro cometido é fundamental para compreender o funcionamento do aluno, permitindo aceder

com maior facilidade às suas reais dificuldades.

Ruano, Socas e Palarea (2008) consideram que um erro pode ter diferentes origens,

podendo resultar de um processo cognitivo inadequado, não sendo, desta forma, originado

apenas por falta de conhecimentos específicos ou distrações. Consequentemente, os autores

(2008) relacionam as dificuldades de aprendizagem em Matemática com as suas distintas

origens. Estas dificuldades manifestam-se sob a forma de obstáculos cognitivos e na prática sob

a forma de erros.

Socas (1997 citado por Ruano, Socas & Palarea, 2008), refere que os erros de

aprendizagem em Matemática se devem a certas dificuldades que podem ser agrupadas em três

categorias: (A) erros com origem num obstáculo cognitivo; (B) erros com origem na ausência de

significado; e (C) erros com origem em atitudes afetivas e emocionais face à Matemática. A

32

categoria (B) é, ainda, dividida em três subcategorias: (B1) erros de Álgebra com origem na

Aritmética; (B2) erros de procedimento; e (B3) erros de Álgebra devidos às características da

linguagem algébrica. A categorização do autor encontra-se ilustrada no Quadro 4.

Quadro 4 – Categorização de erros de Socas (1997, citado por Ruano, Socas & Palarea, 2008)

Categoria Subcategoria Exemplos

(A) Erros com origem num obstáculo cognitivo

Erros de eliminação, por exaustão e de concatenação

(B1) Erros de Álgebra com origem na Aritmética

Uso inadequado de parêntesis;

Erros por transposição e de divisão

(B) Erros com origem na ausência de significado

(B2) Erros de procedimento

Uso indevido de fórmulas ou procedimentos;

Uso errado da propriedade distributiva

(B3) Erros de Álgebra devidos às características da linguagem algébrica

Erros derivados da incompreensão do significado do sinal de igual em Álgebra;

Erros na substituição formal de variáveis

(C) Erros com origem em atitudes afetivas e emocionais face à Matemática

Falta de concentração, excesso de confiança, esquecimento, etc.

Ruano, Socas e Palarea (2008) consideram que os erros compreendidos na categoria (A)

não se devem a uma falta de conhecimento, mas ao uso inadequado do mesmo. Segundo os

autores (2008), estes erros devem-se a obstáculos epistemológicos, gerados, ao longo do tempo,

por uma resistência contínua do aluno em captar certos conceitos matemáticos. Para os autores

(2008), os erros compreendidos na categoria (B) têm origem numa falta de compreensão do

significado dos conceitos matemáticos nos diferentes estádios de desenvolvimento (semiótico,

estrutural e autónomo). A subcategoria (B1) compreende os erros algébricos que têm a sua

origem na Aritmética. Segundo os mesmos autores (2008), para que seja possível entender as

generalizações das relações e processos matemáticos, é necessário compreendê-los, numa

primeira instância, no contexto aritmético. A subcategoria (B2) compreende os erros

processuais, como no recurso inadequado a fórmulas ou a regras. A subcategoria (B3)

compreende os erros com origem nas características da linguagem algébrica. Os autores (2008)

referem os erros derivados da compreensão do sinal de igual e na substituição formal de

variáveis como exemplos desta categoria. Os erros compreendidos na categoria (C) têm a sua

33

origem em atitudes afetivas e emocionais do aluno perante a Matemática. Os autores (2008) dão

alguns exemplos dessas atitudes afetivas e emocionais, salientando o esquecimento, o excesso

de confiança ou o bloqueio.

Ruano, Socas e Palarea (2008) referem que esta categorização dos erros é útil para

compreender a sua origem na maioria das questões que foram alvo de investigação. No entanto,

em erros cometidos em questões de natureza mais aberta, a determinação da sua origem gerou

alguma incerteza. Os autores sugerem a realização de entrevistas aos alunos por forma a

conhecer os seus raciocínios e, consequentemente, a origem dos seus erros.

35

CAPÍTULO III INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

Neste capítulo, dividido em três secções, são apresentados o contexto, descrição e

avaliação da intervenção pedagógica. Na primeira secção é descrito o contexto em que ocorreu a

intervenção. Na segunda secção é realizada uma descrição da organização da intervenção

pedagógica. Na terceira secção, são apresentadas as estratégias de avaliação da intervenção

pedagógica.

3.1. Contexto da intervenção

Nesta secção, caracteriza-se a turma e a escola onde se desenvolveu a intervenção

pedagógica de ensino.

3.1.1. Caracterização da escola

O estudo apresentado foi desenvolvido numa escola secundária (e 3º ciclo do ensino

básico) situada no conselho de Barcelos, uma cidade caraterizada por locais históricos, culturais

e religiosos, bem como pelo “galo de Barcelos”, um símbolo da cidade e do nosso país.

Segundo a IGE (2009) esta escola é frequentada por alunos vindos da zona urbana ou de

outras freguesias do concelho. A escola foi recentemente remodelada, tendo começado a

usufruir da totalidade das instalações este ano letivo, sendo constituída por um bloco central,

com ligação interior a outros três blocos destinados a atividades letivas e por um pavilhão

gimnodesportivo. Está situada numa zona bastante agradável, rodeada por bastantes espaços

verdes e muito próxima do Rio Cávado.

Segundo o relatório de avaliação externa à escola, a população escolar ronda os mil e

duzentos alunos, distribuídos por vinte e duas turmas do ensino básico e trinta e três do ensino

secundário, sendo distribuídas pelas diversas áreas pedagógicas.

Em 2009 a escola dispunha de 138 professores, em que quase metade conta com mais

de vinte anos de experiência e 69% dos quais eram pertencentes aos quadros e 31% eram

contratados. Relativamente a pessoal não docente, estão empregados nesta escola nove

assistentes técnicos e vinte e três assistentes operacionais.

A IGE, em 2009, avaliou esta escola com nível “bom” em relação aos resultados,

prestação do serviço educativo, organização escolar, liderança, capacidade de autorregulação e

melhoria da escola.

36

Do projeto educativo desta escola (2005), é relevante a postura adotada para “educar

para os valores” da sociedade. Para colocar em prática estes ideais, a escola delineou

estratégias, entre as quais a de incentivar a participação dos alunos nas atividades escolares,

como forma de estimular a sua capacidade de autonomia, responsabilidade, sentido crítico e

espírito de abertura e criatividade. Para que os alunos possuam um espírito de abertura face à

diversidade cultural, a escola realiza visitas de estudo e intercâmbios estudantis. De modo a

incentivar o gosto pela arte e cultura portuguesas, a escola desenvolve projetos que permitem

uma maior sensibilização face a diferentes formas de expressão, recorrendo às autarquias,

empresas e demais entidades que possam promover a formação para a cidadania.

Desta forma, é uma escola ativa, que desenvolve imensos projetos (este ano estiveram

onze projetos ativos) tendo em vista as diferentes necessidades e interesses dos alunos, entre os

quais o “Clube de Xadrez”, o “Espaço +”, a “Rede Pequenos Cientistas” ou o “Arboreto de

Barcelos”, que é um projeto de reconhecimento nacional. Realço o “MAT xyz”, projeto no qual

participei, criado com o intuito de apoiar todos os alunos do 3º ciclo do ensino básico à

disciplina de Matemática.

Para a execução deste projeto, é integrado no horário das diferentes turmas do 3º ciclo do

ensino básico um segmento de quarenta e cinco minutos destinado a este projeto oferecendo,

assim, um apoio suplementar às aulas. Por forma a atender às diferentes necessidades dos

alunos, a escola propõe que os alunos sejam distribuídos por um dos seguintes grupos: “MAT

x”, “MAT y” e “MAT z” no caso dos alunos com fraco desempenho a Matemática (nível 2 ou

inferior); “MAT xyz +” de Nível 3 para os alunos com um desempenho de nível 3 a Matemática;

“MAT xyz +” de Nível 4/5 para os alunos com um desempenho de nível 4 ou 5 a Matemática.

Com o intuito de incentivar os alunos a um maior envolvimento neste projeto, no final de cada

período letivo é atribuída uma classificação ao desempenho do aluno no mesmo, que se reflete

na avaliação de final de período da disciplina de Matemática.

Para a viabilidade deste projeto, existe uma total empatia entre os professores de cada

turma e o coordenador do projeto. Se um aluno alterar o seu desempenho a Matemática, o

professor da turma indica ao coordenador do projeto o tipo de grupo que o aluno deve passar a

integrar.

37

3.1.2. Caracterização da turma

Para a concretização do meu projeto foi fundamental, em primeiro lugar, conhecer a

turma onde ele foi desenvolvido. A intervenção pedagógica foi realizada numa turma do 10º ano

de escolaridade do curso científico‐humanístico de ciências socioeconómicas, constituída por

vinte e nove alunos, entre os quais dezasseis raparigas e treze rapazes, com uma média de

idades de 15,3 anos. Dois alunos desta turma estavam a repetir o 10º ano de escolaridade. A

maioria dos alunos desta turma vieram de diversas escolas, pelo que esta escola representou

uma nova realidade para os mesmos.

Segundo um documento de caracterização da turma (fornecido pela diretora de turma),

todos os alunos tinham acesso à internet nas suas residências. Dos vinte e nove, apenas um

aluno referiu que pretende terminar os estudos quando der por concluído o 12º ano. Todos os

restantes elementos referiram pretender ingressar no ensino superior.

Relativamente à disciplina de Matemática, vinte e dois alunos referiram que esta é das

suas disciplinas favoritas e cinco alunos referem que é nela que sentem mais dificuldades.

Nenhum aluno frequentava as aulas de apoio a matemática. Nas atividades a realizar em sala de

aula, a grande maioria referiu preferir trabalhar em grupo, a pares ou recorrendo a material

audiovisual.

Realço o facto de a turma, genericamente, ter demonstrado pouca autonomia, tendo

solicitado de forma constante a ajuda dos professores. Tratou-se de uma turma barulhenta, o

que acaba por ser natural, devido ao elevado número de elementos que a constituía. Era, no

entanto, uma turma afetuosa, participativa e trabalhadora.

É importante conhecer este tipo de aspetos sobre a turma, nomeadamente a forma de

como gostam de trabalhar. É importante que os alunos se sintam confortáveis enquanto

aprendem, valorizando a vertente formativa da disciplina, que “só pode ser alcançada

fomentando uma atitude positiva do estudante face à Matemática” (Ministério da Educação,

2001, p. 12).

Quanto ao desempenho dos alunos ao longo do ano letivo, pode observar-se pelo Quadro

5 que, de um modo geral, foi sempre positivo, terminando com uma média muito próxima dos

treze valores.

38

Quadro 5 - Desempenho dos alunos da turma ao longo do ano letivo

1º Período 2º Período 3º Período

(Legenda: representa a média e o desvio-padrão.)

Através do Quadro 5, é notória a descida da média classificativa da turma do primeiro

para o segundo período. Neste período foi abordada a temática das funções, pelo que se

salientaram as dificuldades dos alunos desta turma em Álgebra. As classificações dos alunos

foram bastante homogéneas ao longo do ano letivo, tendo o desvio-padrão sofrido pequenas

alterações.

3.2. Organização e descrição da intervenção

Nesta secção será descrita a metodologia de ensino a que se recorreu durante a

intervenção pedagógica, assim como a sua organização.

No ensino da temática das funções do 10º ano de escolaridade foi delineada uma

estratégia de intervenção pedagógica sustentada por uma metodologia dinâmica, baseada numa

pedagogia centrada no aluno, tendo sempre como objetivo que os alunos atingissem por eles

próprios, os objetivos de cada aula. Consequentemente, o papel do professor, que neste caso é

o investigador, foi o de guia da turma, controlando e pautando as ações da turma, orientando-a

para os objetivos pretendidos.

No início de cada aula, quando considerado necessário, foram realizadas pequenas

sínteses dos conceitos abordados na aula anterior, com o objetivo de dissipar algumas dúvidas

que pudessem persistir.

Durante as aulas, após a introdução de conceitos, os alunos realizaram as tarefas que

lhes eram atribuídas em pequenos grupos de quatro ou cinco elementos. Assim, os grupos

foram observados e interpelados, oferecendo ao investigador, no imediato, grandes quantidades

de informação, fundamentais para o presente estudo.

A realização dessas atividades em trabalho de grupo permite aos estudantes adquirir uma certa prática para enfrentar novos problemas ou ideias matemáticas escrevendo e explicando claramente os seus resultados e comunicando as suas observações e soluções de forma clara, primeiro aos colegas em pequeno grupo, depois à turma e ao professor. (Ministério da Educação, 2001, p. 13)

39

Tendo como principal objetivo promover a aprendizagem mais independente aos alunos,

foram elaboradas fichas de trabalho, disponibilizadas a cada um dos elementos do grupo. Com a

turma organizada em grupos, os alunos resolviam as tarefas que constavam nessas fichas de

trabalho ou no manual escolar de que dispunham. As fichas de trabalho continham questões de

diversos tipos, permitindo ao professor “avaliar diversos tipos de objetivos como a aquisição de

conhecimentos, ao nível dos conceitos, das competências de cálculo e da resolução de

problemas” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 232). Assim, estas fichas assumiam um duplo

propósito, formativo e avaliativo, pelo que foram, um valioso material de ensino e de

aprendizagem.

No Anexo I é apresentada a organização da intervenção pedagógica, segundo as aulas e

respetivos conteúdos abordados e objetivos.

3.3. Avaliação da intervenção

Nesta secção serão apresentadas as estratégias de avaliação da intervenção, identificando

a pertinência de cada uma para que seja possível responder aos objetivos desta investigação.

Serão justificadas as opções metodológicas escolhidas, assim como serão descritas as técnicas

de recolha e análise de dados a que se recorreram nesta investigação.

3.3.1. Opções Metodológicas

Segundo Bogdan e Biklen (1994), todas as investigações de natureza qualitativa têm em

comum um determinado conjunto de características. Os investigadores de um estudo qualitativo

têm como fonte de dados o ambiente natural dos participantes, têm interesse mais pelos

processos do que simplesmente pelos resultados, analisam os dados de forma indutiva e

descritiva e procuram captar o seu significado enquanto os relacionam. Os autores (1994)

consideram que o investigador constitui o principal instrumento num estudo deste tipo. Como

tal, tendo em conta o contexto, limitações e objetivos da presente investigação, foi adotada uma

metodologia de natureza qualitativa.

Segundo Ponte (1994), “um estudo de caso pode ser caracterizado como um estudo de

uma entidade bem definida como um programa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um

sistema educativo, uma pessoa, ou uma unidade social” (p. 4), procurando um conhecimento

aprofundado do mesmo. O mesmo autor (1994) refere que se trata de uma “investigação que se

assume como particularística”, na qual é analisada “uma situação específica que se supõe ser

40

única em muitos aspetos, procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico

e, desse modo, contribuir para a compreensão global do fenómeno de interesse” (p. 4).

Desta forma, a presente investigação é um estudo de caso, em que o “caso” ou objeto de

análise é a turma. Trata-se de um “estudo de caso interpretativo” e de “observação

participante”, no qual se procuram “conhecer os processos, dinâmicas e perspetivas dos

intervenientes numa dada situação” (idem, 1994, p. 7). Ponte (1994) considera que um estudo

desta natureza se baseia numa “descrição grossa, que vai além dos factos e das aparências,

apresentando com grande riqueza de pormenor o contexto, as emoções e as interações sociais

que ligam os diversos participantes entre si” (p. 11). O mesmo autor (1994) salienta que este

tipo de estudo depende do investigador, pelo que, na análise de dados, o mesmo não pode

deixar de recorrer ao seu próprio ponto de vista.

3.3.2. Recolha de dados

A estratégia adotada para avaliar a intervenção passava por uma recolha de dados que

permitisse uma análise ao desempenho da turma na temática em questão, tendo em conta a

sua predisposição para aprender.

A recolha de dados deste estudo foi obtida com recurso a diferentes técnicas, tais como

questionário, teste (antes e após a intervenção) e observação das aulas (gravadas em vídeo e

posteriormente transcritas). Segundo Tuckman (2000) e Bogdan e Biklen (1994) estas técnicas

são adequadas para uma investigação qualitativa.

A recolha de dados decorreu em três momentos distintos: antes da intervenção

pedagógica, durante a intervenção pedagógica e após a intervenção pedagógica, dados que

foram sendo organizados e analisados desde a fase inicial da investigação. Antes da intervenção

pedagógica, os alunos responderam a um questionário e realizaram um teste diagnóstico.

Durante a concretização da intervenção pedagógica, foram gravadas as aulas em vídeo (e

posteriormente transcritas). Após a intervenção pedagógica, os alunos realizaram um teste de

avaliação (ficha por partes).

Questionário

Face aos objetivos definidos, foi delineada uma metodologia de investigação, recorrendo a

um questionário. Os questionários são instrumentos a que os investigadores recorrem para

transformar em dados a informação comunicada diretamente por um indivíduo (Tuckman,

41

2000). Destinam-se, assim, a aceder às suas dimensões internas, ou seja, à informação ou

conhecimento que possui, aos seus valores, experiências (passadas ou atuais), preferências ou

convicções (idem, 2000). No entanto, por ser um instrumento de auto-registo, é importante que

se tenha em consideração a possibilidade de o indivíduo não saber dar certas respostas sobre si

mesmo, ou que responda aquilo que o investigador deseja ouvir (efeito da desejabilidade social)

(idem, 2000).

As capacidades cognitivas de um aluno, nem sempre garantem, por si, que o mesmo

aprenda. Deve ser considerada uma interação entre diversos fatores, cognitivos e emocionais

(Bandura, 1993). Desta forma, para que ocorra aprendizagem é fundamental que o aluno esteja

predisposto para tal. Esta ideia foi vincada por diversos autores de referência (Ausubel, 2003;

Azzy & Polydoro, 2006; Bandura, 1993, 1997; Bruner, 1999; Chacón, 2000; Ponte & Serrazina,

2000), tal como foi apresentado no Capítulo II.

Segundo a literatura apresentada, para se quantificar a predisposição de um aluno para a

aprendizagem da Matemática, é fundamental que se considere a sua perceção perante a

utilidade da disciplina, a sua autoeficácia e ansiedade sentida perante a disciplina e a opinião

dos seus colegas sobre a mesma (McLeod, 1989, citado por Chacón, 2000). Desta forma, o

principal propósito do questionário consistiu em averiguar e quantificar essa predisposição para

aprender Matemática por parte de cada aluno, tendo em conta as referidas componentes.

Antes da intervenção pedagógica, foi entregue um questionário (Anexo IV) aos alunos da

turma, com o objetivo de apurar e, de certa forma, quantificar, a predisposição de cada um para

a aprendizagem da Matemática. Para tal, foi entregue um pedido de autorização para os

questionários ao diretor da escola (Anexo II) e a todos os encarregados de educação (Anexo III),

que foi por todos concedida. Tuckman (2000) salienta que se podem obter melhores resultados

com o questionário quando este é respondido de forma anónima, garantindo, desta forma, maior

honestidade e liberdade de resposta por parte dos participantes. No entanto, o questionário não

foi elaborado por forma a ser respondido anonimamente pela turma. Esta opção deveu-se ao

facto de um dos propósitos desta investigação incidir no cruzamento de dados resultantes de

cada um dos instrumentos utilizados para que fosse possível traçar um perfil para cada aluno da

turma.

42

Teste diagnóstico

O teste diagnóstico elaborado destinou-se a “verificar se os alunos têm os pré-requisitos

necessários para iniciar o estudo de determinado assunto” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 27),

neste caso, o estudo das funções.

Esta avaliação, preliminarmente realizada, forneceu informações para as tomadas de

decisões que se seguiram durante o decurso do processo de ensino (NCTM, 2007). Assim, os

dados recolhidos foram utilizados para orientar aprendizagens posteriores, oferecendo aos

alunos a oportunidade de ir “integrando as novas aprendizagens de forma positiva e consciente”,

ajudando-os, desta forma, a “adquirir conhecimentos profundos e ideias claras sobre os

conteúdos matemáticos” (Ministério da Educação, 2001, p. 13).

Como pré-requisitos para esta temática do 10º ano de escolaridade, os alunos devem:

conhecer a função afim; (…) reconhecer essa função através do gráfico, esboçar o gráfico; (…) conhecer algumas propriedades (monotonia e zeros de forma apenas intuitiva e usando os conhecimentos de equações); (…) saber resolver equações e inequações do 1º e (…) do 2º grau; (…) conhecer os números reais e representar intervalos de números reais. (Ministério da Educação, 2001, p. 27)

O teste diagnóstico (Anexo V) teve a duração de noventa minutos, tendo sido estruturado

em dois grupos. Um primeiro grupo de escolha múltipla (Grupo I) e um segundo de resposta

livre (Grupo II). Os dados recolhidos através do mesmo constituíram uma das bases da

intervenção pedagógica, permitindo conhecer as dificuldades que transitaram com os alunos dos

anos letivos anteriores. Foi realizado antes da intervenção pedagógica por vinte e oito alunos,

que para a sua resolução tiveram autorização para recorrer à calculadora gráfica.

Ficha de avaliação (ficha por partes)

As fichas de avaliação são o modo de avaliação mais frequente no ensino (Ponte &

Serrazina, 2004). São, habitualmente, provas escritas, realizadas individualmente pelos alunos,

não havendo qualquer tipo de consulta e com tempo limitado (idem, 2004).

Estas provas “têm aspetos muito positivos e são muito importantes” (Ministério da

Educação, 2001, p. 13). Devem aparecer em “momentos de síntese e cumprir uma função

diferenciada da dos outros instrumentos” (idem, 2001, p. 13).

A inserção da ficha de avaliação após a intervenção pedagógica teve por objetivo verificar

as aprendizagens dos alunos resultantes da experiência de ensino. Excetuando as fichas de

43

avaliação usuais, que exercem grande influência na classificação final de cada período, os alunos

desta turma eram, ainda, sujeitos a avaliações periódicas que decorriam através da realização

das denominadas “fichas por partes”. A média aritmética da classificação obtida nas mesmas

durante o ano letivo equivalia à classificação de um teste sumativo, cujo “peso” se refletiu na

classificação do terceiro período. Apesar de não ter um “peso” acentuado nas classificações dos

alunos, cada ficha por partes desempenhava uma importante função para a aprendizagem dos

alunos, servindo como “aviso” para o teste sumativo seguinte.

A ficha por partes (Anexo VI) foi estruturada em quatro questões e teve a duração de

noventa minutos. Tinha o duplo objetivo de verificar os conhecimentos adquiridos pelos alunos

até ao momento e recolher informação sobre os erros dos alunos para a presente investigação.

Esta ficha foi realizada por vinte e seis alunos, que para a sua resolução tiveram autorização

para recorrer à calculadora gráfica.

Observação (participante) das aulas

Segundo Bogdan e Biklen (1994, p. 113), o trabalho de campo é “a forma que a maioria

dos investigadores qualitativos utilizam para recolher os seus dados”, encontrando-se com os

sujeitos nos seus territórios. Desta forma, convivem com os sujeitos nos respetivos ambientes

naturais, o que leva a uma maior proximidade entre os intervenientes e, consequentemente, a

uma relação menos formal (idem, 1994).

Consequentemente, Bogdan e Biklen (1994, pp. 113-114) consideram que o trabalho de

campo “se refere ao estar dentro do mundo do sujeito” e que esta relação oferece melhores

condições ao investigador para que possa prosseguir com os objetivos da sua investigação, pelo

que “maximiza o acesso às fontes”. O investigador que no seu trabalho de campo procura este

tipo de relação com os sujeitos em análise realiza aquilo a que os mesmos autores denominam

de “observação participante” (idem, 1994, p. 114).

Por forma a recolher a melhor informação possível dos alunos, foi adotada a estratégia

referida anteriormente. A turma foi analisada durante todo o ano letivo, tendo sido criadas

relações de grande empatia entre os participantes. Desta forma, a recolha de dados foi um

processo natural, que permitiu conhecer e compreender a personalidade de cada aluno. De

salientar que a experiência resultante da observação e convivência com a turma durante todo o

ano letivo constituiu um valioso elemento para esta investigação.

44

Como complemento à observação, as aulas foram gravadas (e posteriormente transcritas)

durante o período da investigação. O registo em vídeo das respetivas aulas foi devidamente

autorizado pela direção da escola e pelos encarregados de educação de todos os alunos, sendo

garantido o anonimato em relação à identidade dos alunos da turma.

Utilizaram-se duas câmaras de vídeo para que fossem captadas as discussões entre os

elementos de grupo. Para o efeito, tal como anteriormente, foi entregue um pedido de

autorização para as gravações das aulas ao diretor da escola (Anexo II) e a todos os

encarregados de educação (Anexo III), que, de igual forma, foi por todos concedida. O

posicionamento das câmaras foi sendo modificado de aula para aula, sendo colocada em locais

estratégicos próximos do grupo em questão. De salientar que a presença das câmaras de vídeo

não provocou grandes alterações no comportamento dos alunos.

3.3.3. Análise de dados

Segundo Bogdan e Biklen (1994), a análise dos dados é um processo sistemático de

busca e de organização de materiais que foram sendo acumulados durante uma investigação,

com o objetivo de aumentar a compreensão dos mesmos, permitindo uma posterior

apresentação aos outros daquilo que tenha sido encontrado ou concluído. Esta investigação

seguiu uma abordagem qualitativa, de cunho interpretativo (Bogdan & Biklen, 1994).

O objetivo deste estudo consistiu em averiguar o impacto que a predisposição de cada

aluno para a aprendizagem da Matemática tem na ocorrência de erros e consequente

desempenho à disciplina. Desta forma, foram elaborados um questionário, com o objetivo de

quantificar a predisposição de cada aluno para a aprendizagem da disciplina, um teste

diagnóstico e uma ficha por partes, em que um dos objetivos era quantificar e categorizar os

erros cometidos por cada aluno, analisando as possíveis origens dos mesmos para uma melhor

compreensão das suas dificuldades.

Após a intervenção, foi realizada uma primeira análise, ainda que superficial, a toda a

documentação reunida para ter uma ideia dos dados que tinham sido recolhidos.

Posteriormente, os dados foram analisados uma segunda vez, categorizados e recombinados,

procurando obedecer às proposições iniciais do estudo, ou seja, relacionar esta diversidade de

fontes de dados com as questões de investigação, adequando-as aos objetivos a atingir

(Tuckman, 2000). Neste processo foram considerados o contexto, papéis, comportamentos,

45

motivações e a relação entre motivações e comportamentos dos participantes no estudo

(Tuckman, 2000).

Como já foi referido, a turma que constituiu o objeto de análise era composta por vinte e

nove alunos. No entanto, foram recolhidos apenas vinte e cinco questionários, vinte e oito testes

diagnósticos e vinte e seis fichas por partes. Por forma a atingir os objetivos desta investigação,

existia a necessidade de cruzar os dados recolhidos através dos diversos instrumentos, pelo que

o tamanho da amostra teve que ser restringido a vinte e dois alunos ( ), tal como é

ilustrado na Figura 2.

Figura 2 – Esquema representativo do processo de seleção da amostra desta investigação.

Dos vinte e dois alunos que constituem a amostra desta investigação, doze são do sexo

feminino e dez do sexo masculino. Para proteção das suas identidades, os alunos foram

designados por A1, A2, A3, …, A22.

A análise dos dados recolhidos teve três momentos distintos: análise dos dados recolhidos

através do questionário; análise dos dados recolhidos através do teste diagnóstico e da ficha por

partes; e confronto entre os dados recolhidos pelos instrumentos referidos e a observação das

aulas.

No primeiro momento, com o objetivo de analisar, de modo geral, a predisposição dos

alunos da turma para aprender, os questionários foram analisados questão a questão, sendo as

46

respostas registadas numa tabela de frequências absolutas. Seguidamente, os questionários

foram analisados por aluno, com o objetivo de analisar a predisposição de cada um para a

aprendizagem da disciplina, tendo em conta os parâmetros referenciados por McLeod (1989,

citado por Chacón, 2000).

O segundo momento consistiu em três fases. Na primeira, foi realizada uma análise

superficial aos dados recolhidos através do teste diagnóstico e da ficha por partes com o objetivo

de se ter uma ideia das respostas dadas pelos alunos. Seguidamente foram separadas em

quatro classes, corretas, parcialmente corretas, incorretas e sem resposta, sendo realizada uma

contagem do número de respostas de cada tipo. Em algumas questões, as respostas tiveram

que ser classificadas em apenas três classes, corretas, incorretas ou sem resposta. Nesta

primeira fase, foi realizada uma pré-seleção das respostas que seriam mais representativas das

categorias em estudo nesta investigação.

Na segunda fase, a análise dos dados foi aprofundada, procedendo-se à categorização das

respostas. Nesta fase realizou-se uma interpretação dos dados, sendo estabelecidos os critérios

que definem cada categoria. Tendo em conta os tipos de erro encontrados nos dados recolhidos

e as categorizações analisadas no Capítulo II (Radatz, 1979; Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar

(1987); Hall, 2002; Socas, 1997), foram consideradas as categorias apresentadas no Quadro 6.

Quadro 6 – Categorização de erros a que se recorreu nesta investigação (segundo os autores analisados)

Tipo de erro

Cálculo ou procedimento Regra Uso inadequado dos

dados Conteúdos

matemáticos Código A B C D

Autores

Radatz (1979); Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987); Socas (1997);

Kieran (1999); Hall (2002)

Radatz (1979); Movshovitz-Hadar,

Zaslavsky e Inbar (1987); Socas (1997); Kieran (1999); Hall (2002)

Radatz (1979); Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar

(1987); Socas (1997)

Radatz (1979); Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar

(1987); Socas (1997)

Os erros contemplados na categoria (A), ou seja, de cálculo ou procedimento, podem ter

origem numa ausência de significado ou em determinadas atitudes afetivas e emocionais,

denotando uma certa resistência por parte do aluno em captar um determinado processo. Nesta

categoria são registados os erros relacionados com a Álgebra processual, ou seja, estão ligados

à aritmética (Kieran, 1999). Por exemplo, considerem-se os seguintes casos:

47

Neste caso, o aluno tenta simplificar a expressão através da eliminação do termo , tanto

no numerador como no denominador, revelando uma ausência de significado no processo.

Neste caso, o aluno, de forma irrefletida, comete um erro numa operação simples que

pode ter origem num certo excesso de confiança ou numa distração.

Os erros contemplados na categoria (B), ou seja, os erros que derivam da utilização

inadequada de uma regra e têm origem numa ausência de significado, denotando uma certa

resistência por parte do aluno em captar uma determinada regra. De igual forma, nesta

categoria são registados os erros relacionados com a Álgebra estrutural, ou seja, com as

operações realizadas com expressões algébricas (Kieran, 1999). Por exemplo, considerem-se os

seguintes casos:

Neste caso, na tentativa de isolar a variável, o aluno divide ambos os membros da

equação por , mas, no processo, não troca o sinal da desigualdade. Neste caso, o aluno

mostra desconhecer a regra.

Neste caso, o aluno soma os coeficientes de dois monómios de diferentes graus,

revelando uma ausência de significado no processo.

Os erros contemplados na categoria (C), ou seja, os erros que derivam do uso inadequado

dos dados, têm origem numa interpretação incorreta de linguagem, seja corrente ou algébrica.

Nesta categoria existe uma discrepância entre os dados fornecidos no enunciado da tarefa e a

forma como foram utilizados pelo aluno, denotando uma incompreensão do que é proposto no

enunciado da questão.

Os erros contemplados na categoria (D), ou seja, os erros que derivam de um domínio

deficiente dos conteúdos matemáticos (definições, teoremas, etc.). Nestes casos, o aluno denota

uma carga de trabalho insuficiente para a apreensão dos conceitos.

48

Na terceira fase do segundo momento, o tratamento dos resultados, as categorias são

apresentadas em quadros onde são indicadas as frequências absolutas, sendo incluídos

exemplos das respostas obtidas, acompanhadas de uma síntese do sucedido em cada caso.

No terceiro momento, procura-se relacionar a predisposição de cada aluno para a

aprendizagem com as categorias de erro detetadas e sua frequência, procurando-se, desta

forma, responder às questões propostas para esta investigação.

49

CAPÍTULO IV

APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Neste capítulo serão analisados e apresentados os dados recolhidos nos três momentos

da intervenção pedagógica (antes, durante e após). Este capítulo está dividido em duas secções.

Na primeira, será avaliada a predisposição dos alunos da turma para a aprendizagem das

funções. Na segunda, serão analisadas as produções escritas recolhidas dos alunos,

classificando os erros por eles cometidos. De igual forma, serão analisadas algumas das

abordagens realizadas ao erro na sala de aula.

4.1. Predisposição dos alunos para a aprendizagem das funções

Como já foi referido, um dos objetivos desta investigação passa por avaliar a

predisposição para a aprendizagem de cada aluno da turma em análise. Nesta secção serão

analisados os dados recolhidos através do questionário e da observação das aulas durante a

intervenção, tendo em conta a literatura apresentada no Capítulo II. Como parâmetros de

avaliação da predisposição de cada aluno para a aprendizagem das funções, foram considerados

os referidos por McLeod (1989, citado por Chacón, 2000): perceção do aluno (e dos colegas de

turma) perante a utilidade da Matemática, autoeficácia e ansiedade.

4.1.1. Perceção perante a utilidade da Matemática

Para o primeiro parâmetro, recorreu-se à análise dos questionários (Anexo IV) para

averiguar a opinião de cada aluno relativamente à importância da Matemática para o seu futuro

e em que curso gostariam de ingressar. A perceção de um aluno perante a utilidade de uma

determinada disciplina pode influenciar o seu futuro relativamente às suas escolhas profissionais

(Azzy & Polydoro, 2006).

Desta forma, dezoito alunos (82%) consideram que a Matemática será importante para o

seu futuro. Em contrapartida, quatro alunos (18%) consideram que a Matemática terá pouca ou

nenhuma importância no curso em que pretendem ingressar (Figura 3).

50

Figura 3 – A opinião dos alunos acerca da importância da Matemática.

De modo geral, os alunos reconheceram a utilidade da aprendizagem da Matemática, a

qual, segundo os mesmos, assumirá um papel determinante nos seus futuros profissionais.

Os vinte e dois alunos em análise pretendem ingressar no ensino superior. Os que já têm

uma ideia do curso no qual pretendem ingressar, referiram os cursos de Economia, Gestão e

Contabilidade (Figura 4).

Figura 4 – Preferência dos alunos relativamente aos cursos do ensino superior.

A intenção dos alunos ingressarem em cursos que requerem conhecimentos de

Matemática, denota que continuarão a trabalhar com Matemática.

A avaliação individual dos alunos relativamente ao primeiro parâmetro está apresentada

no Quadro 7.

4% 14%

41%

41%

Em que medida te parece que a Matemática poderá ser importante para o teu futuro profissional?

Nada;

Pouco;

Bastante;

Imensamente importante.

27%

9%

23%

41%

Que curso pretendes frequentar?

Gestão;

Contabilidade;

Economia;

Sem Informação.

51

Quadro 7 – Perceção de cada aluno da turma perante a utilidade da Matemática

Perceção perante a utilidade da Matemática Aluno Importância da disciplina (Q) Curso (Q)

1 (-) Gestão 2 (+) SI 3 (+) Gestão 4 (+) SI 5 (+) Gestão 6 (+) SI 7 (-) Contabilidade 8 (+) SI 9 (-) SI

10 (+) SI 11 (+) Economia 12 (+) Gestão 13 (+) Economia 14 (+) Gestão 15 (+) Gestão 16 (-) Contabilidade 17 (+) Economia 18 (+) Economia 19 (+) SI 20 (+) SI 21 (+) Economia 22 (+) SI

(Legenda: (+) Nível elevado; (-) Nível baixo; SI - Sem informação; Q – Questionário.)

Através do Quadro 7, é percetível que a maioria dos alunos (18) considera que a

Matemática lhes será útil no futuro e quatro alunos têm uma opinião contrária. Os alunos A1, A7

e A16 consideram que a Matemática não será útil para os seus futuros profissionais, mas, no

entanto, pretendem ingressar nos cursos de gestão e contabilidade. Ambos os cursos

contemplam algumas cadeiras que requerem conhecimentos da disciplina no seu plano de

estudos, o que demonstra que estes alunos não têm noção da importância que a disciplina terá

na sua formação académica e, consequentemente, para o seu futuro. Por sua vez, o aluno A9

referiu no seu questionário que ainda não ponderou em que curso pretende ingressar. No

entanto, considera que a Matemática não lhe servirá de muito para o seu futuro profissional.

Desta forma, conclui-se que estes quatro alunos têm uma perceção diminuta em relação à

utilidade da Matemática.

Segundo McLeod (1989, citado por Chacón, 2000), a perceção dos colegas de turma do

aluno sobre a utilidade da Matemática é também um parâmetro a ter em conta. Como a

52

perceção dos alunos da turma, de modo geral, é positiva, este parâmetro foi considerado como

irrelevante para esta investigação.

4.1.2. Ansiedade em momentos de avaliação de Matemática

Tal como o primeiro parâmetro, a ansiedade sentida pelos alunos é difícil de avaliar

através da observação, tendo-se recorrido à análise dos questionários para averiguar o seu nível

nos momentos de avaliação da disciplina.

Relativamente a este parâmetro, catorze alunos referiram sentir nervosismo em

momentos de avaliação da disciplina. Os restantes referiram sentir-se tranquilos na realização de

uma ficha de avaliação da disciplina (Figura 5).

Figura 5 – Níveis de ansiedade dos alunos em momentos de avaliação em Matemática.

Desta forma, apenas 36% alunos referiram sentir-se tranquilos em momentos de avaliação

da disciplina, pelo que se considerou que apresentam baixos níveis de ansiedade. De modo

geral, os alunos que revelaram sentir-se tranquilos em momentos de avaliação da disciplina são

os alunos que costumam obter melhores classificações da turma. Curiosamente, os alunos A9 e

A22 são a exceção neste caso.

Como referido anteriormente, níveis excessivos de ansiedade podem prejudicar o

rendimento dos alunos em momentos de avaliação, inibindo os alunos de recorrer à totalidade

das suas capacidades. Neste aspeto, cerca de 64% dos alunos mostram ser mais vulneráveis

que os restantes, pelo que se considerou que apresentam níveis elevados de ansiedade.

64%

36%

Quando realizas um teste de Matemática, sentes-te:

Nervoso/a;

Tranquilo/a;

53

4.1.3. Autoeficácia em relação à Matemática

Para o terceiro e último parâmetro, recorreu-se à análise dos questionários e à observação

das aulas para averiguar a afetividade que os alunos nutrem pela disciplina (e com o conteúdo

das funções), bem como o nível de empenho e persistência que dedicaram às aulas durante a

intervenção pedagógica.

A afetividade que um aluno nutre pela Matemática, ou por um seu conteúdo em

específico, tem influência direta no empenho que este lhe dedica. O empenho de um aluno

numa determinada atividade, neste caso relacionada com a Matemática, reflete-se nos níveis de

atenção e dedicação que lhe dispensa. Desta forma, estes fatores estão todos relacionados,

refletindo-se, por fim, na qualidade de trabalho que realiza em sala de aula. Desta forma, foi

considerado que a qualidade do trabalho realizado em sala de aula espelha, de certa forma, a

autoeficácia de cada aluno.

Dos vinte e dois alunos em análise, catorze (63%) referem que a Matemática está entre as

suas três disciplinas favoritas e três (14%) referem que é a sua disciplina favorita. Apenas cinco

alunos (23%) referem que a Matemática se encontra entre as três disciplinas que menos gostam

(Figura 6).

Figura 6 – Afetividade dos alunos com a Matemática.

Relativamente aos conteúdos da Matemática, doze alunos (55%) referem ter uma maior

preferência pela temática da estatística (Figura 7). Esta temática é a mais votada porque “pode

ser utilizada no dia-a-dia”, “porque é fácil”, ou porque “é mais importante para o nosso futuro”.

No sentido inverso, a menos votada é a das funções (18%).

14%

63%

23%

No caso da Matemática, em que posição se situa no teu ranking de preferências?

É a disciplina de que mais gostas;

Está entre as tuas três disciplinas favoritas;

Está nas três disciplinas de que menos gostas;

54

Figura 7 – Preferência dos alunos relativamente aos conteúdos da Matemática.

Como já seria de esperar, a temática menos apreciada é a das funções, recolhendo doze

votos (55%), seguida pela geometria e pela estatística, com nove votos (41%) e um voto (4%),

respetivamente (Figura 8). Desta forma, de modo geral, os alunos demonstram um baixo nível

de afetividade com esta temática porque “é muito difícil” ou porque “é preciso muitas contas”.

Figura 8 – Menor preferência dos alunos relativamente aos conteúdos da Matemática.

O nível de empenho e persistência foi avaliado através da observação das aulas durante o

período de intervenção, tendo sido considerados os níveis de distração e de participação e

trabalho na sala de aula.

A avaliação individual dos alunos relativamente ao terceiro parâmetro está apresentada no

Quadro 8.

55%

18%

27%

Dentro dos conteúdos de Matemática que já estudaste, indica aquele de que mais gostaste.

Estatística;

Funções;

Geometria;

4%

55%

41%

Dentro dos conteúdos de Matemática que já estudaste, indica aquele de que menos gostaste.

Estatística;

Funções;

Geometria;

55

Quadro 8 – Níveis de autoeficácia de cada aluno em relação à Matemática

Autoeficácia

Aluno Afetividade Empenho e persistência

Disciplina (Q) Conteúdo (Q) Nível de atenção (O) Nível de trabalho (O) 1 (+) SI (-) (-) 2 (+) SI (-) (-) 3 (+) SI (+) (+) 4 (+) (-) (-) (-) 5 (+) (+) (+) (+) 6 (+) (-) (+) (+) 7 (+) (-) (+) (+) 8 (+) (-) (+) (+) 9 (-) SI (-) (-)

10 (+) (-) (-) (+) 11 (-) (-) (-) (-) 12 (+) SI (+) (+) 13 (+) (+) (+) (+) 14 (+) SI (+) (+) 15 (+) (+) (+) (+) 16 (-) (-) (-) (-) 17 (+) (+) (+) (+) 18 (-) (-) (-) (-) 19 (+) (-) (-) (+) 20 (+) (-) (+) (+) 21 (-) (-) (-) (-) 22 (+) (-) (-) (-)

(Legenda: (+) Nível elevado; (-) Nível baixo; SI - Sem informação; Q - Questionário; O – Observação.)

Através do Quadro 8, é possível verificar que nove alunos apresentaram um baixo nível de

trabalho em sala de aula, tendo-se considerado que os mesmos apresentam elevados níveis de

autoeficácia.

É importante salientar que os alunos A10 e A19 apresentaram um baixo nível de atenção,

que, no entanto, não se refletiu na respetiva qualidade de trabalho em sala de aula. Estes alunos

conversavam imenso, mas terminavam, sem exceção, as tarefas propostas para cada aula.

4.1.4. Avaliação do nível de predisposição para a aprendizagem

Tendo em conta os parâmetros referidos, foi elaborado o Quadro 9, no qual é apresentada

a avaliação de cada um dos alunos da turma no que diz respeito à predisposição para a

aprendizagem. É importante salientar que a observação constituiu um instrumento decisivo para

este processo de avaliação, tendo a autoeficácia de cada aluno desempenhado um papel de

maior importância que os restantes parâmetros no mesmo.

56

Quadro 9 – Predisposição de cada aluno para a aprendizagem das funções

Parâmetros de avaliação

Aluno Perceção perante a utilidade da

Matemática Ansiedade Autoeficácia

Predisposição para a aprendizagem das funções

1 (-) (+) (-) NP 2 (+) (+) (-) NP 3 (+) (-) (+) P 4 (+) (+) (-) NP 5 (+) (-) (+) P 6 (+) (+) (+) P 7 (-) (+) (+) P 8 (+) (+) (+) P 9 (-) (-) (-) NP

10 (+) (-) (+) P 11 (+) (+) (-) NP 12 (+) (+) (+) P 13 (+) (-) (+) P 14 (+) (+) (+) P 15 (+) (+) (+) P 16 (-) (+) (-) NP 17 (+) (-) (+) P 18 (+) (+) (-) NP 19 (+) (+) (+) P 20 (+) (-) (+) P 21 (+) (+) (-) NP 22 (+) (-) (-) NP

(Legenda: (+) Nível elevado; (-) Nível baixo; P – Predisposto; NP – Não predisposto.)

Através do Quadro 9, é possível verificar que nove alunos não foram considerados como

predispostos para a aprendizagem das funções. No sentido inverso, treze alunos foram

considerados como predispostos para a aprendizagem deste conteúdo.

4.2. Erros cometidos na aprendizagem das funções

Nesta secção serão analisados os erros cometidos pelos alunos durante a intervenção

pedagógica. Serão analisadas as resoluções dos alunos da turma do teste diagnóstico e da ficha

por partes. De igual forma, serão analisados os momentos de aula considerados pertinentes

para esta investigação.

57

4.2.1. Resultados do teste diagnóstico

No Quadro 10 são apresentadas as respostas dos alunos ao teste diagnóstico (Anexo V),

tendo sido classificadas como corretas, parcialmente corretas (em algumas questões), incorretas

e sem resposta.

Quadro 10 – Classificação das respostas dos alunos no teste diagnóstico

Respostas

Grupo Questão Corretas Parcialmente corretas Incorretas Sem resposta

I

1 18 - 4 0

2 19 - 3 0

3 18 - 4 0

4 20 - 2 0

5 19 - 3 0

1

1.1 1.1.1 22 - 0 0

II

1.1.2 22 - 0 0

1.2 4 0 3 15

1.3 19 - 0 3

1.4 19 - 0 3

1.5 16 0 0 6

2

2.1 16 - 4 2

2.2.

2.2.1 16 - 4 2

2.2.2 16 - 4 2

2.3 16 - 4 2

3 8 13 0 1

4 9 10 0 3

5 8 4 2 10

Através do Quadro 10, é possível verificar que a maior parte dos alunos respondeu

corretamente às questões de escolha múltipla do Grupo I.

Relativamente à questão 1 do Grupo I, dezoito alunos apontaram a alternativa B como

resposta correta e os restantes quatro apontaram as alternativas A e D. As respostas incorretas

obtidas nesta questão não foram contabilizadas como erros porque todas as alternativas

representavam uma forma simplificada do número real . No entanto, a que se

apresentava mais simplificada era a alternativa B, apresentada sob a forma . Assim, de

modo geral, a turma mostrou saber lidar com a simplificação de expressões.

58

Na questão 2, dezanove alunos apontaram a alternativa A como resposta correta e três

apontaram as alternativas B e D. As respostas incorretas obtidas nesta questão foram

contabilizadas como erros da categoria (D). Se representa o perímetro de um quadrado de

lado , ou seja, , pode-se afirmar que se trata de uma proporcionalidade direta cuja

constante de proporcionalidade é . Desta forma, a alternativa A seria a opção correta. De um

modo geral, a turma mostrou saber reconhecer este tipo de relações entre quantidades.

Na questão 3, dezoito alunos apontaram a alternativa C como resposta correta e quatro

apontaram as alternativas B e D, pelo que, de modo geral, a turma mostrou saber traduzir

expressões de linguagem corrente para linguagem matemática. As respostas incorretas obtidas

nesta questão foram contabilizadas como erros da categoria (C).

Na questão 4, dezanove alunos apontaram a alternativa C como resposta correta e três a

alternativa D. As respostas incorretas obtidas nesta questão foram contabilizadas como erros da

categoria (B). O quadrado da soma é equivalente à expressão , pelo que a

alternativa C seria a correta. No entanto, os alunos que escolheram a alternativa D como

resposta, a expressão , denotaram não saber utilizar corretamente a propriedade

distributiva da multiplicação, interpretar corretamente o significado de potência ou identificar o

caso notável em questão.

Na questão 5, vinte alunos apontaram a alternativa A como resposta correta e dois

apontaram as alternativas B e D. Tal como na questão anterior, as respostas incorretas obtidas

nesta questão foram contabilizadas como erros da categoria (B). A expressão é o

desenvolvimento de , um caso notável, a diferença de quadrados, pelo que a

alternativa A seria a opção correta. Os alunos que não escolheram esta alternativa mostraram

que não sabem utilizar corretamente a propriedade distributiva da multiplicação nem identificar o

caso notável em questão.

Relativamente ao Grupo II, as questões 1, 2 e 3 tinham por objetivo avaliar as noções dos

alunos em relação à interpretação e construção de representações gráficas, conceitos de

domínio e contradomínio de uma função, objeto, imagem e a simbologia que lhes é associada.

Na questão 1 do segundo grupo foram notórias as dificuldades dos alunos com os

conceitos de domínio e contradomínio de uma função e com a simbologia associada ao conceito

de função, ou seja, nas alíneas 1.2 e 1.5 da questão 1 do Grupo II.

Na alínea 1.2 do Grupo II, a maioria dos alunos não conseguiu identificar os conjuntos

e como domínio e contradomínio da

59

função . De salientar que apenas quatro alunos responderam corretamente a esta questão,

dando indícios das dificuldades sentidas pela maioria da turma relativamente a estes conceitos.

Na Figura 9 estão ilustradas as três respostas incorretas obtidas nesta alínea.

Figura 9 – Respostas dos alunos A1, A7 e A15 na alínea 1.2.

As respostas incorretas obtidas nesta questão foram contabilizadas como erros da

categoria (D).

Na alínea 1.5 do Grupo II, os alunos tiveram algumas dificuldades em trabalhar com a

simbologia associada ao conceito de função, mais concretamente em lidar com expressões do

tipo ou . Como não foram recolhidas respostas incorretas nesta alínea, não

foram contabilizados quaisquer tipos de erros. Assim, ficou patente a existência de dificuldades

na captação dos seus significados: na primeira expressão está implícita a questão “qual é a

imagem do objeto 2 pela função ?”; e na segunda expressão está implícita a questão “qual é o

objeto que pela função tem imagem 9?”.

Através da análise do Quadro 10 é possível verificar que, de um modo geral, a maioria dos

alunos não sentiu dificuldades na questão 2 do Grupo II, quer na construção de uma

representação gráfica (alínea 2.1), quer na sua posterior interpretação. No entanto, os alunos

A3, A10 e A21 mostraram dificuldades de interpretação da situação descrita no enunciado,

construindo a tabela como se o volume total da vasilha fosse . O raciocínio destes alunos

passou por considerar que por minuto, a torneira deixava cair cerca de dentro da

vasilha, durante cinco minutos (Figura 10).

Figura 10 – Resposta do aluno A21 na alínea 2.1.

60

O aluno A18 mostrou ter as mesmas dificuldades de interpretação na situação

apresentada, tendo considerado que a torneira deixava cair por cada período de cinco

minutos (Figura 11).

Figura 11 – Resposta do aluno A18 na alínea 2.1.

Desta forma, estes erros podem ser enquadrados na categoria (C), ou seja, são erros

cometidos devido ao uso inadequado dos dados. Nas alíneas seguintes (2.2 e 2.3), os erros

cometidos derivaram da construção errada da tabela de valores da função da alínea 2.1 e, como

tal, não foram contabilizados.

Apenas oito alunos responderam corretamente à questão 3 do Grupo II, tornando

evidentes as dificuldades sentidas pelos alunos ao completar a tabela. A maior parte dos alunos

não sentiu grandes dificuldades quando o valor de era fornecido, resolvendo a equação em

ordem a . No entanto, na situação inversa, quando apenas fornecido o valor de , alguns

alunos sentiram algumas dificuldades em calcular o valor de . Os alunos A5 e A13 cometeram

um erro por transposição da categorização de Hall (2002) que se enquadrado na categoria (A),

situação que é ilustrada na Figura 12.

Figura 12 – Cálculo auxiliar do aluno A5 na questão 3.

O aluno A8 comete um erro por omissão da categorização de Hall (2002) que se

enquadra na categoria (A), tendo omitido o termo no segundo membro da equação na

passagem do primeiro para o segundo passo (Figura 13).

Figura 13 – Cálculo auxiliar do aluno A8 na questão 3.

61

Também foi possível apurar que a maioria dos alunos não reconheceu que , não

substituindo o valor de pelo termo , deixando a respetiva linha da tabela por preencher e,

tal como nos casos anteriores, as suas respostas foram consideradas como parcialmente

corretas. Não contabilizados mais erros nesta questão porque a maioria dos alunos não

apresentou cálculos auxiliares na folha de resolução.

Na questão 4, os alunos mostraram grandes dificuldades na resolução da inequação

apresentada,

, cometendo erros em alguns procedimentos básicos e no

manuseamento de algumas regras da Matemática, tais como a propriedade distributiva da

multiplicação, desembaraçar de parêntesis ou simplificação de denominadores. Os erros

cometidos nesta questão enquadram-se nas categorias (A) e (B), apresentando-se, de seguida,

um exemplo de cada.

Na Figura 14 está ilustrada a resolução da questão 4 do aluno A1, na qual comete três

erros.

Figura 14 – Resposta do aluno A1 na questão 4.

Neste caso, o aluno A1 soma os termos,

e , obtendo

. De seguida, por distração,

obtém o termo como resultado da divisão de por , cometendo, desta forma, dois erros da

categoria (A). No passo seguinte, divide ambos os membros da equação por , mas não

modifica o sentido da desigualdade, cometendo um erro da categoria (B).

De igual forma, os alunos A4, A11 e A16 cometeram o mesmo erro que o aluno A1 ao

não modificam o sentido da desigualdade quando dividiram ambos os membros por .

O aluno A21 cometeu um erro contemplado na categoria (B), tendo aplicado a

propriedade distributiva de forma incorreta (Figura 15).

62

Figura 15 – Resposta do aluno A21 na questão 4.

Neste caso, na tentativa de se desembaraçar dos parêntesis mais exteriores, o aluno

tentou aplicar a propriedade distributiva nos termos e , multiplicando o termo por

ambos. O seu erro consistiu em não considerar a expressão como um só termo, tendo

multiplicado o termo duas vezes à mesma.

De igual forma, os alunos A2, A8 e A14 cometeram o mesmo erro que o aluno A21 ao

aplicarem a propriedade distributiva da multiplicação incorretamente.

O aluno A11 cometeu um erro por eliminação (Hall, 2002) contemplado na categoria (B),

tendo somado os coeficientes de dois monómios de graus diferentes, . Este aluno

não terminou a sua resolução (Figura 16).

Figura 16 – Resposta do aluno A11 na questão 4.

É de salientar que os alunos A1, A11 e A21 recorreram ao sinal “=” entre as expressões,

em vez do sinal “ ”, denotando, desta forma, dificuldades em lidar com a linguagem algébrica.

O aluno A17 cometeu um erro por omissão (Hall, 2002) que se enquadra na categoria (A),

tendo omitido o termo , por distração, no quarto passo da sua resolução (Figura 17).

Figura 17 – Resposta do aluno A17 na questão 4.

63

Tal como o aluno A17, também os alunos A3 e A10 cometeram erros de cálculo devido a

distrações, pelo que também foram contabilizados como erros da categoria (A).

Paralelamente, o aluno A19 cometeu um erro da categoria (A). Na tentativa de reduzir os

termos do segundo membro da inequação ao mesmo denominador, o aluno multiplica por o

denominador desses termos, eliminando-o de seguida (Figura 18).

Figura 18 – Resposta do aluno A19 na questão 4.

Apenas oito alunos responderam corretamente à questão 5, na qual era solicitada a

resolução da equação , facto que retrata as dificuldades sentidas, tendo

sido cometidos erros em alguns procedimentos básicos e no manuseamento de algumas regras

da Matemática, tais como na aplicação da fórmula resolvente. Os erros cometidos nesta questão

enquadram-se nas categorias (A) e (B), apresentando-se, de seguida, um exemplo de cada tipo.

O aluno A1 cometeu, na sua resolução, um erro contemplado na categoria (A), onde tenta

simplificar a expressão

através da eliminação do termo , tanto no numerador como no

denominador (Figura 19).

Figura 19 – Resposta do aluno A1 na questão 5.

Tal como o aluno A1, o aluno A12, A14 e A17 também cometeram este erro nas suas

resoluções.

Na Figura 20 está ilustrada a resolução do aluno A8, na qual aplicou a fórmula resolvente

num polinómio de terceiro grau, cometendo um erro que se enquadra na categoria (B).

64

Figura 20 – Resposta do aluno A8 na questão 5.

O aluno A10 aplicou uma estratégia “pouco ortodoxa” na tentativa de se libertar do

monómio de terceiro grau (Figura 21).

Figura 21 – Resposta do aluno A10 na questão 5.

Neste caso, o aluno não reparou que poderia colocar o termo em evidência e optou por

colocar a raiz quadrada em ambos os membros da equação. Seguidamente, o aluno separou os

termos dentro da raiz como se de uma multiplicação se tratasse, cometendo um erro que se

enquadra na categoria (B).

Em jeito de síntese, foi elaborado o Quadro 11, onde foram contabilizados todos os erros

cometidos pelos alunos no teste diagnóstico, tendo em conta a categoria do erro e o nível de

predisposição para a aprendizagem dos alunos.

Quadro 11 – Frequência absoluta de erros cometidos no teste diagnóstico (por nível de predisposição para a aprendizagem dos alunos)

Categoria do erro Alunos A B C D Total

Predispostos 10 5 6 4 25 Não predispostos 3 11 6 2 22

Total 13 16 12 6 47

Pela análise do Quadro 11, é percetível, ao contrário daquilo que seria de se esperar, que

os alunos considerados como predispostos para a aprendizagem cometeram mais erros do que

65

os que foram considerados como não predispostos. Este facto deve-se a um índice elevado de

questões sem resposta por parte dos alunos não predispostos para aprendizagem.

No Grupo 1, os alunos responderam a todas as questões. Já no Grupo II, tal facto não se

verificou. Na questão 1, quinze alunos não responderam à alínea 1.2, entre os quais constavam

seis alunos que tinham sido considerados como predispostos para a aprendizagem. Nas alíneas

1.3 e 1.4, dos três alunos que não responderam, apenas um aluno tinha sido considerado como

predisposto para a aprendizagem. De igual forma, dos cinco alunos que não responderam à

alínea 1.5, apenas um tinha sido considerado como predisposto.

Na questão 2, dois alunos não responderam a qualquer alínea deste grupo. Ambos tinham

sido considerados como não predispostos para a aprendizagem. Relativamente à questão 3,

apenas um aluno não respondeu a esta questão. Esse aluno tinha sido considerado como não

predisposto para a aprendizagem. Na questão 4, dos três alunos que não responderam a esta

questão, apenas um tinha sido considerado como predisposto para a aprendizagem. Por fim, na

questão 5, dos dez alunos que não responderam, apenas três tinham sido considerados como

predispostos.

Com um nível de autoeficácia inferior ao dos alunos predispostos, os alunos não

predispostos são menos persistentes, desistindo à primeira dificuldade encontrada. A resposta

do aluno A10 à questão 5 é um bom exemplo de persistência perante uma dificuldade.

Os erros que foram registados em maior quantidade foram os da categoria (B), tendo sido

cometidos maioritariamente pelos alunos considerados como não predispostos. Este facto

mostra que a maioria das dificuldades destes alunos é proveniente de regras e procedimentos

que são considerados como pré-requisitos (propriedade distributiva, fórmula resolvente, etc.).

Desta forma, é possível afirmar que não apreenderam estes conceitos de forma significativa.

4.2.2. Abordagem ao erro na sala de aula

Durante a intervenção pedagógica ocorreram diversas situações propícias para o

aproveitamento do erro (Borasi, 1996). Nesta subsecção serão analisadas duas das abordagens

realizadas que foram captadas pelas câmaras de vídeo, relativas às aulas 3 e 4 da intervenção

pedagógica (Anexo I).

66

Aula 3

A aula 3 da intervenção pedagógica decorreu com grande afluência e participação da

turma em geral. De seguida, é apresentada a atividade motivacional a que se recorreu no início

da aula e a discussão gerada em torno da mesma.

Considere a função definida por que a cada valor do raio faz corresponder o valor da área do círculo. a) O que significa no contexto do problema? E ? b) No contexto do problema, qual é o domínio da função ? c) Qual é a área do círculo quando ? d) Qual o valor do raio do círculo, sabendo que a sua área é ?

Na alínea a), pretendia-se que os alunos concluíssem que o domínio da função é e,

consequentemente, obtivessem uma janela de visualização nas respetivas calculadoras gráficas

que se ajustasse ao contexto da situação. A discussão entre o professor e o grupo turma na

alínea a) ocorreu da seguinte forma:

Professor: No contexto do problema, qual é o significado de ? A17: É a área de um círculo de raio . Professor: E qual é o significado de ? A6: É a área de um círculo de raio ? Grupo Turma: Não! O raio não pode ser negativo!

A segunda questão colocada pelo professor teve a intenção de incitar à discussão entre os

elementos da turma. Seria de esperar que alguns alunos associassem a expressão à

área de um círculo de raio , pelo que a intenção desta questão era provocar um conflito na

estrutura cognitiva dos mesmos, por forma a assimilassem que estes tipos de medida

(comprimento, largura, raio, etc.) não podem ser negativas.

A discussão da alínea b) desta atividade prosseguiu como consta na seguinte discussão:

Professor: Então o que podem concluir quanto ao domínio da função ? A10: Só podem ser valores positivos! Professor: Então qual é o domínio desta função? Grupo Turma: De zero a mais infinito. Professor: O zero pertence ou não?

67

A turma mostrou-se dividida em relação a esta última questão. Neste caso, o professor

intrometeu-se, afirmando que ambos os casos são válidos, mas que no contexto do problema faz

mais sentido que o zero não pertença ao domínio, pelo facto de uma circunferência de raio igual

a zero não existir. De seguida, os alunos foram instruídos acerca do modo de alteração da janela

de visualização da calculadora gráfica segundo o contexto da situação.

Relativamente à alínea c), ocorreu a seguinte discussão:

Professor: Qual é a área do círculo quando ? Grupo Turma: É só substituir o por . Professor: Muito bem!

Após resolver a equação algebricamente, o professor questiona:

Professor: Recorrendo ao gráfico obtido com a calculadora, como se calcula ? Grupo Turma: É só ver o valor que corresponde a no gráfico.

Os alunos não mostraram dificuldades em compreender os conceitos envolvidos nesta

alínea, avançando-se para a instrução dos procedimentos a realizar com a calculadora para o

cálculo de

A discussão da alínea d) é apresentada de seguida:

Professor: Qual o valor do raio do círculo, sabendo que a sua área é 5? Grupo Turma: (em silêncio). Professor: Então se olharmos para a expressão da função o que é que representa a área

do círculo? Grupo Turma: É o ! Professor: E neste caso, qual é a área do círculo? Grupo Turma: 5! Professor: Então o é quanto? A15: É só fazer e resolver! Professor: Todos concordam? É isso mesmo!

O professor, com a sua segunda questão, procurou direcionar os alunos para o raciocínio

correto. A questão, como se observou, provocou o efeito que era pretendido. Após a discussão

anterior, a equação foi resolvida no quadro com a participação da turma. Seguidamente, o

professor questiona:

Professor: E graficamente como se resolve?

68

A17: É ao contrário da outra pergunta. É só ir ao eixo dos e ver quando é 5.

Na essência, este aluno afirmou que os pontos de interseção da função com a reta

são os valores do domínio para os quais a área do círculo é , tal como era pretendido. De

seguida, os alunos foram instruídos acerca dos procedimentos a realizar na calculadora gráfica

para este tipo de cálculo.

Nesta aula, de carácter exploratório, recorreu-se ao uso construtivo do erro no processo de

resolução de uma tarefa (Borasi, 1996).

O objetivo desta aula passava pela exploração das calculadoras gráficas, ao nível do seu

manuseamento e respetivas potencialidades. A inexperiência dos alunos com o manuseamento

da calculadora gráfica, o elevado número de alunos da turma e a existência de diferentes

calculadoras gráficas (quatro tipos) foram as principais limitações desta aula.

Aula 4

Na aula 4 da intervenção pedagógica foram abordados os seguintes conceitos: zeros,

injetividade e continuidade de uma função. Após a introdução destes conceitos, foi proposta aos

alunos a resolução de algumas tarefas que constavam na ficha de trabalho que lhes fora

fornecida. Durante a resolução de tarefas, o aluno A19 pediu a ajuda do professor, referindo que

o resultado que tinha obtido não era igual ao das soluções. De seguida, é apresentada a tarefa

em questão:

O Rui é capaz de saltar da prancha mais alta da piscina do clube. A distância do Rui ao nível da água é dada pela expressão

,

em que é a distância em metros, do corpo do Rui ao nível da água num determinado instante , em segundos. Recorrendo à calculadora responda às seguintes questões: a) Obtenha uma janela de visualização adequada ao contexto do problema. Qual o

domínio da função no contexto do problema? b) A que distância da água se encontrava o Rui antes do salto? c) Durante quantos segundos o Rui esteve a mais de do nível da água? d) Em que instante é que o Rui tocou na água da piscina?

69

Na alínea d), era solicitado aos alunos o cálculo dos zeros da função . O aluno A19 tinha

a seguinte resolução no seu caderno:

Na sua resolução, o aluno mostrou que ainda não tinha assimilado este tipo de processo,

cometendo um erro da categoria (A) devido a ausência de significado dos conceitos envolvidos.

Como este tipo de situação já tinha sido explicado ao grupo turma algumas vezes, optou-se por

uma abordagem individual. O diálogo entre o professor e o aluno é apresentado de seguida:

Professor: Explica lá o que fizeste. A19: Igualei a zero, fiz a fórmula resolvente e acho que os valores estão errados. Professor: Tu tens aqui uma divisão entre dois termos irredutíveis, o no

numerador e o no denominador. Eles são iguais? A19: Não. Professor: O está a multiplicar por (no numerador)? A19: Não. Professor: Qual é a operação inversa da divisão? A19: A multiplicação. Professor: Então não podes cortar o . Mas podes tentar simplificar a expressão. Por

exemplo, quanto tens se somares com

?

A19: Deixe pensar… .

Professor: Sim. Então tu sabes que

(a escrever no caderno do aluno).

A19: Ah… espere lá! Já sei. Vou separar os números! Fica

(a escrever

no seu caderno). Já dá igual à solução! Professor: É isso mesmo.

70

Este aluno não tinha resolvido a questão 5 do teste diagnóstico pelo que não tinha sido

possível detetar-lhe este erro. Apesar de trabalhador, era um aluno que se encontrava várias

vezes distraído. Este facto provocou a prolongação do erro até à altura. No entanto, o aluno

respondeu corretamente à alínea 3.1 da ficha por partes, o que comprova que o processo foi

assimilado com a explicação anteriormente apresentada. Neste caso, recorreu-se a uma análise

do erro tendo em vista o esclarecimento de uma interpretação deficiente de um conteúdo técnico

da Matemática (Borasi, 1996).

4.2.3. Resultados da ficha por partes

No Quadro 12 são apresentadas as respostas dos alunos à ficha por partes (Anexo VI),

tendo sido classificadas como corretas, parcialmente corretas, incorretas e sem resposta.

Quadro 12 – Classificação das respostas dos alunos na ficha por partes

Respostas

Questão Corretas Parcialmente Corretas Incorretas Sem resposta

1

1.1 18 0 2 2

1.2 0 9 13 0

1.3 17 3 1 1

1.4 3 8 0 11

2

2.1 19 0 0 3

2.2 0 20 2 0

2.3 5 5 7 5

3 3.1 14 5 3 0

3.2 11 2 2 7

4 4.1 6 2 11 3

4.2 14 2 2 4

A questão 1 da ficha por partes tinha como objetivo verificar os conhecimentos dos alunos

relativamente à análise de uma função no contexto de um problema. Nesta questão foram

abordados conceitos como domínio de uma função no contexto representativo da área de um

retângulo, sua interpretação e construção gráfica e ainda a determinação da imagem de um

objeto segundo a função dada.

De modo geral, na alínea 1.1, os alunos não tiveram grandes dificuldades em chegar à

expressão pretendida, , aplicando de forma correta a propriedade

71

distributiva da multiplicação em . No entanto, alguns alunos ainda mostraram

dificuldades em aplicar esta propriedade.

O aluno A1 considerou que para determinar a área do retângulo tinha de multiplicar a

expressão representativa do seu comprimento pela expressão representativa da sua largura, mas

no processo, não colocou os parêntesis a separar as mesmas, cometendo um erro que se

enquadra na categoria (B). O aluno considerou que com a multiplicação destas expressões

obtinha a área do retângulo, à qual denominou , a variável que tinha sido utilizada em ambas

as expressões representativas das medidas do retângulo. Desta forma, o aluno não atribui

significado à variável , cometendo um erro que se enquadra na categoria (C). Esta situação

está ilustrada na Figura 22.

Figura 22 – Resposta do aluno A1 na alínea 1.1.

O aluno A18 cometeu o mesmo erro que a aluna A1, ao não colocar os parêntesis entre

as expressões representativas das medidas do retângulo. O aluno sentiu a “necessidade” de

resolver uma equação, igualando a expressão a e resolvendo-a em ordem a , cometendo um

erro que se enquadra na categoria (C). Desta forma, o aluno não compreendeu o que era pedido

(Figura 23).

Figura 23 – Resposta do aluno A18 na alínea 1.1.

Na alínea 1.2 era solicitada a determinação do domínio da função no contexto do

problema, mostrando ser um conceito de difícil apreensão por parte dos alunos, pelo que

72

nenhum respondeu corretamente a esta alínea. De seguida, são descritas algumas das

respostas dos alunos.

O aluno A4 recorreu à calculadora para determinar (corretamente) o domínio da função,

mas não apresentou quaisquer tipos de cálculos, pelo que a sua resposta foi considerada como

parcialmente correta (Figura 24). Na mesma situação, encontram-se mais oito respostas, não

tendo sido contabilizadas como erros.

Figura 24 – Resposta do aluno A4 na alínea 1.2.

O aluno A9 considerou o retângulo como estando integrado num referencial ortonormado,

e indicou como domínio da função os valores possíveis para o comprimento do retângulo, a

medida que “encaixava” no eixo das abcissas. No entanto, o aluno considerou que domínio da

função representava a área do retângulo, que não pode ser representada por valores negativos,

indicando como o seu limite inferior e a expressão como o seu limite superior (Figura

25). Este erro enquadra-se na categoria (C).

Figura 25 – Resposta do aluno A9 na alínea 1.2.

O aluno A16 considerou o domínio da função em si e não no contexto do problema, tendo

indicado o conjunto dos números reais como resposta (Figura 26). Este erro enquadra-se na

categoria (C). Foram encontradas nove respostas idênticas a esta.

Figura 26 – Resposta do aluno A16 na alínea 1.2.

O aluno A20 mostrou ter conhecimento que a área de um retângulo é sempre positiva,

mas não considerou que a área é representada no contradomínio e não no domínio da função

73

(Figura 27). Como nos casos anteriores, este erro enquadra-se na categoria (C). O aluno A10

cometeu o mesmo erro, respondendo de forma idêntica.

Figura 27 – Resposta do aluno A20 na alínea 1.2.

Na alínea 1.3, o cálculo de , ou seja, a imagem de pela função , mostrou-se

acessível para os alunos. No entanto alguns alunos cometeram alguns erros, por falta de

atenção ou por ausência de significado de algumas das regras matemáticas.

O aluno A1 cometeu o mesmo erro da alínea 1.1, não colocando parêntesis entre as

expressões representativas das medidas do retângulo, cometendo novamente um erro da

categoria (B). O valor que apresentou como resposta não aparenta ter qualquer relação com os

cálculos apresentados, tendo sido considerado um erro da categoria (A). A sua resposta está

ilustrada na Figura 28.

Figura 28 – Resposta do aluno A1 na alínea 1.3.

O aluno A2, por distração, cometeu um erro de cálculo, o qual se encontra ilustrado na

Figura 27. De igual forma, os alunos A6 e A13 cometeram erros de cálculo nesta questão devido

a uma distração. A sua resposta está ilustrada na Figura 29. Este erro enquadra-se na categoria

(A).

Figura 29 – Resposta do aluno A2 na alínea 1.3.

74

Os alunos mostraram dificuldades na resolução da alínea 1.4, que solicitava a construção

e interpretação gráfica da função num determinado contexto. Este facto é comprovado pelo facto

de terem sido obtidas apenas três respostas corretas. O aluno A4 respondeu corretamente a

esta alínea da questão 1. No entanto, o aluno limitou-se a recorrer à calculadora gráfica, não

apresentando a representação gráfica da situação na sua resposta tal como era solicitado no

enunciado (Figura 30). Desta forma, a sua resposta foi considerada como parcialmente correta.

Os alunos A8, A12 e A20 apresentaram uma resposta idêntica.

Figura 30 – Resposta do aluno A4 na alínea 1.4.

O aluno A13 apresentou a construção gráfica na sua resolução, mas não apresentou o

intervalo solução, pelo que a sua resposta foi considerada como parcialmente correta (Figura

31). Os alunos A3, A17 e A19 apresentaram respostas idênticas nas suas resoluções.

Figura 31 – Resposta do aluno A13 na alínea 1.4.

A questão 2 tinha como objetivo verificar os conhecimentos dos alunos relativamente à

interpretação gráfica de uma função. Foram abordados nesta questão conceitos como zeros da

função, seus extremos relativos e sua continuidade.

Na alínea 2.1, na análise do gráfico de uma função, de modo geral, os alunos não

mostraram grandes dificuldades em indicar quais os seus zeros.

É de salientar que nenhum aluno respondeu corretamente à alínea 2.2, que abordava os

extremos relativos da função. O aluno A1 mostrou não ter noção da definição de que são

extremo relativo de uma função, apresentando na sua resposta, uma reunião de intervalos

(Figura 32). O aluno comete um erro da categoria (D).

75

Figura 32 – Resposta do aluno A1 na alínea 2.2.

De igual forma, o aluno A16 mostra desconhecer o conceito de extremo relativo de uma

função, cometendo um erro da categoria (D). Na sua resposta o aluno indicou o maximizante e

minimizante relativos ao máximo e mínimo absolutos da função. A sua resposta está ilustrada na

Figura 33.

Figura 33 – Resposta do aluno A16 na alínea 2.2.

O aluno A10 indicou na sua resposta apenas os extremos absolutos da função. Como tal,

a sua resposta foi considerada como parcialmente correta (Figura 34). O modo como a questão

foi formulada, onde era solicitado aos alunos que indicassem os extremos relativos da função

poderá ter gerado alguma confusão, tendo-se registado mais seis respostas idênticas a esta. Este

tipo de resposta não foi contabilizada como erro.

Figura 34 – Resposta do aluno A10 na alínea 2.2.

O aluno A5 indicou a maior parte dos extremos relativos da função, mas, por distração,

não indicou o como extremo relativo da função (Figura 35). Registaram-se doze casos idênticos

a este, onde não foram indicados todos os extremos relativos da função. Tal como no caso

anterior, este tipo de resposta não foi contabilizado como erro.

Figura 35 – Resposta do aluno A5 na alínea 2.2.

76

Tal como na alínea anterior, os alunos mostraram não ter compreendido o conceito de

continuidade de uma função abordado na alínea 2.3. O aluno A4 indicou na sua resposta que a

função não era contínua, mas justificou a sua resposta de forma incorreta. Pela sua justificação,

este aluno considera como contínua qualquer função cujo domínio seja um conjunto finito,

mostrando desconhecer a definição de continuidade de uma função (Figura 36). Tal como o

aluno A4, os alunos A2 e A18 cometeram o mesmo erro nas suas respostas, enquadrando-se na

categoria (D).

Figura 36 – Resposta do aluno A4 na alínea 2.3.

O aluno A5 indicou que a função é contínua, não reparando que a imagem de é

(Figura 37). Desta forma, este erro deveu-se a uma distração do aluno, que já na alínea anterior

se esquecera de indicar o como extremo relativo. Desta forma, o aluno comete um erro que se

enquadra na categoria (C). Paralelamente, os alunos A6, A10 e A17 cometem um erro idêntico.

Figura 37 – Resposta do aluno A5 na alínea 2.3.

O aluno A8 considerou que a afirmação é falsa mas, no entanto, na sua justificação não

indica o ponto de descontinuidade, pelo que a sua resposta é considerada como parcialmente

correta (Figura 38). Os alunos A3, A12, A13 e A16 responderam a esta alínea de forma idêntica.

Este tipo de resposta não foi contabilizado como erro. Registaram-se quatro respostas idênticas a

esta.

77

Figura 38 – Resposta do aluno A8 na alínea 2.3.

A questão 3 abordava os conceitos zeros de uma função e ponto de um gráfico da função

, cuja expressão analítica é .

Na alínea 3.1, a maioria dos alunos não teve quaisquer dificuldades. No entanto, foram

registados alguns erros nesta alínea. O aluno A1 aplicou a fórmula resolvente de forma incorreta,

cometendo um erro que se enquadra na categoria (B). Curiosamente, no teste diagnóstico, este

aluno aplicou-a corretamente, podendo tratar-se de um erro por falta de atenção (Figura 39).

Figura 39 – Resposta do aluno A1 na alínea 3.1.

Tal como no caso anterior, o aluno A2 cometeu um erro que não cometera no teste

diagnóstico somando dois monómios de diferentes graus (Figura 40). Este erro enquadra-se na

categoria (B). De igual forma, este erro foi também cometido pelos alunos A18 e A21.

Figura 40 – Resposta do aluno A2 na alínea 3.1.

O aluno A6 cometeu um erro de cálculo que se enquadra na categoria (A). Como o aluno,

do terceiro para o quarto passo, tinha acabado de realizar corretamente um cálculo idêntico,

deduz-se que este erro teve origem numa falta de atenção (Figura 41).

78

Figura 41 – Resposta do aluno A6 na alínea 3.1.

O aluno A7 respondeu de forma incorreta a esta alínea porque calculou a imagem de

em vez dos zeros da função (Figura 42). Como o aluno já tinha respondido corretamente à alínea

2.1 da questão 2, na qual identificou os zeros da função dada, deduz-se que este erro se deve a

uma interpretação incorreta do enunciado, ou seja, cometeu um erro da categoria (C). De igual

forma, os alunos A9 e A11 cometeram o mesmo erro. Estas respostas foram consideradas como

incorretas.

Figura 42 – Resposta do aluno A7 na alínea 3.1.

Na alínea 3.2, era solicitado aos alunos que determinassem para que valores de , com

, o ponto pertencia ao gráfico da função . Desta forma, os alunos tinham

que ter em conta a definição de gráfico de uma função, onde, deviam ter considerado que para

um determinado ponto de coordenadas pertencer ao gráfico de uma função , então

, com . Pelas resoluções analisadas foi possível verificar que esta questão se

mostrou difícil para os alunos, principalmente ao nível da interpretação daquilo que era

pretendido.

O aluno A4, na sua resolução calculou os valores de tal que o ponto de coordenadas

pertença ao gráfico de , revelando desconhecer a definição de gráfico de uma

função (Figura 43). Desta forma, o aluno cometeu um erro da categoria (D).

79

Figura 43 – Resposta do aluno A4 na alínea 3.2.

Paralelamente, o aluno A15 calculou os valores de tal que o ponto de coordenadas

pertença ao gráfico de , cometendo, tal como o aluno A4, um erro da categoria (D).

A resposta deste aluno está ilustrada na Figura 44.

Figura 44 – Resposta do aluno A15 na alínea 3.2.

Por sua vez, o aluno A7, do segundo para o terceiro passo, cometeu um erro de

redistribuição (Hall, 2002), que se enquadra na categoria (A). A sua resposta está ilustrada na

Figura 45. De igual forma, o aluno A21 também interpretou bem o que era solicitado mas

cometeu um erro idêntico ao descrito anteriormente.

Figura 45 – Resposta do aluno A7 na alínea 3.2.

80

A questão 4 abordava o conceito de monotonia de uma função afim. A grande maioria dos

alunos não respondeu corretamente à alínea 4.1, não por falta de conhecimento da definição,

mas por não a conseguirem relacionar com a expressão com . O

aluno A6 escreveu, na sua resposta a esta alínea, a definição de função afim estritamente

crescente mas não reconheceu que o declive da função é a expressão (Figura 46).

Este aluno cometeu um interpretou de forma incorreta o que era pretendido, pelo que cometeu

um erro categoria (C). Foram registadas quatro respostas idênticas a esta, tendo sido

consideradas como incorretas.

Figura 46 – Resposta do aluno A6 na alínea 4.1.

De igual forma, o aluno A13 mostrou ter conhecimento de que o declive de uma função

afim estritamente crescente é positivo. No entanto, a aluna considerou como sendo o declive

da função (Figura 47). Esta resposta foi considerada como um erro da categoria (C).

Figura 47 – Resposta do aluno A13 na alínea 4.1.

Por sua vez, o aluno A7 reconheceu que a expressão é o declive da função, e que

, mas não indicou para que valores de a função é estritamente crescente, tendo

esta resposta sido considerada como parcialmente correta (Figura 48). Este tipo de resposta não

foi contabilizada como erro. De igual forma, o aluno A22 apresentou uma resposta idêntica.

Figura 48 – Resposta do aluno A7 na alínea 4.1.

81

O aluno A9 recorreu a uma estratégia de tentativa e erro, substituindo por , obtendo à

primeira tentativa uma função estritamente crescente (Figura 49). O aluno não reconheceu que

poderiam existir outros valores nas mesmas condições que o , revelando uma interpretação

incorreta do que era pedido. Desta forma cometeu um erro que se enquadra na categoria (C).

Foram registadas quatro respostas idênticas a esta, tendo sido consideradas como incorretas.

Figura 49 – Resposta do aluno A9 na alínea 4.1.

Relativamente à alínea 4.2, os alunos não mostraram grandes dificuldades em indicar

para que valores de a função é constante. No entanto, algumas das respostas analisadas

revelaram, tal como na alínea anterior, uma interpretação incorreta daquilo que era pedido.

O aluno A7 respondeu a esta alínea da mesma forma que tinha respondido na alínea

anterior, ou seja, referiu a definição de função afim constante, reconheceu que era o

declive da função, mas não referiu para que valores de a função é constante (Figura 50). O

aluno A22 realizou o mesmo procedimento. Estas respostas não foram contabilizadas como

erro, tendo sido consideradas como parcialmente corretas.

Figura 50 – Resposta do aluno A7 na alínea 4.2.

Tal como na alínea anterior, o aluno A13 mostrou ter conhecimento de que o declive de

uma função afim constante é . No entanto, a aluna considerou como sendo o declive da

função (Figura 51).

Figura 51 – Resposta do aluno A13 na alínea 4.2.

82

De igual forma, o aluno A9 apresentou uma resposta idêntica. Estas respostas foram

contabilizadas como erros da categoria (C).

Em jeito de síntese foi elaborado o Quadro 13, onde foram contabilizados todos os erros

cometidos pelos alunos na ficha por partes, tendo em conta a categoria do erro e o nível de

predisposição para a aprendizagem dos alunos.

Quadro 13 – Frequência absoluta de erros cometidos na ficha por partes (por nível de predisposição para a aprendizagem dos alunos)

Categoria do erro Alunos A B C D Total

Predispostos 4 0 10 1 15 Não predispostos 3 7 15 4 29

Total 7 7 25 5 44

Através do Quadro 13, é percetível, tal como seria de esperar, que os alunos considerados

como predispostos para a aprendizagem apresentam um menor número (quase metade) de

erros cometidos do que os considerados como não predispostos. Desta forma, os alunos

considerados como predispostos para a aprendizagem apresentaram um índice de evolução

mais acentuado do que os alunos considerados como não predispostos, conseguindo absorver

os conteúdos de forma significativa.

Os alunos considerados como não predispostos para a aprendizagem, cometeram mais

erros que os considerados como predispostos em todas as categorias, exceto a (A). No entanto,

os erros registados em maior quantidade foram os da categoria (C). Tal como os erros registados

na categoria (D), os erros registados nesta categoria revelam uma clara falta de estudo e,

consequentemente, de prática.

É de salientar que nenhum aluno considerado como predisposto cometeu um erro da

categoria (B), pelo que os erros que se registaram no teste diagnóstico aparentam ter sido

corrigidos. No sentido inverso, alguns dos alunos considerados como não predispostos

continuaram a cometer erros em procedimentos que são considerados básicos para este nível

de escolaridade.

Destaque para a categoria (A), onde foram registados mais erros dos alunos considerados

como predispostos para a aprendizagem. No entanto, todos os erros registados destes alunos

nesta categoria ocorreram devido a distrações.

83

CAPÍTULO V

CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES

Este capítulo divide-se em três secções: na primeira apresentam-se as conclusões do

estudo, na segunda faz-se referência às implicações do projeto no âmbito da educação

matemática e na terceira discutem-se as limitações relativas ao projeto desenvolvido e fazem-se

recomendações para futuras investigações.

5.1. Conclusões

Nesta secção apresentam-se os principais resultados da investigação, tendo como

referência os objetivos estabelecidos. Os resultados obtidos são confrontados com a literatura

apresentada.

5.1.1. Objetivo 1 - Identificar os erros mais frequentes entre os alunos de uma turma do 10º

ano, no estudo das funções

Através dos resultados apresentados no Capítulo IV é possível concluir que os erros da

categoria (C) foram os mais frequentes, ou seja, os erros que derivam do uso inadequado dos

dados, referidos nas investigações de Radatz (1979) e Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar

(1987). As dificuldades de interpretação da linguagem algébrica reveladas através dos erros

desta categoria foram reveladas pelos alunos no decorrer da intervenção pedagógica.

Os erros da categoria (B), ou seja, os erros que derivam da utilização inadequada de uma

regra, foram, tal como na categoria anterior, registados com bastante frequência tal como nas

investigações de Radatz (1979) e Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987). Os alunos

revelaram dificuldades na aplicação da propriedade distributiva, no desembaraço de parêntesis,

ou na mudança do sentido da desigualdade de uma inequação. Tal como na investigação de

Kieran (1999), os erros registados nesta categoria revelam que os alunos sentem maiores

dificuldades na designada Álgebra estrutural, que está relacionada com as operações realizadas

com expressões algébricas.

De igual forma, os erros da categoria (A), ou seja, os erros de cálculo ou de procedimento,

foram registados frequentemente, quer nas produções escritas obtidas dos alunos, quer nas

aulas relativas à intervenção pedagógica, como já o haviam sido nas investigações de Radatz

(1979), Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987), Ruano, Socas e Palarea (2008), Hall

84

(2002) e Kieran (1999). Foram registados erros por transposição, eliminação, omissão (Hall,

2002), ou de redistribuição (Hall, 2002; Kieran, 1999), pelo que é possível afirmar, tal como foi

referido na investigação de Kieran (1999), que os alunos sentiram dificuldades na designada

Álgebra processual.

Também foram registados erros da categoria (D), ou seja, erros derivam de um domínio

deficiente dos conteúdos matemáticos, embora em menor quantidade que os das restantes

categorias.

5.1.2. Objetivo 2 - Averiguar as causas subjacentes aos erros que cometem durante o estudo

das funções

Os erros registados nas categorias (C) e (D) tiveram origem, essencialmente, na falta de

estudo e prática fora da sala de aula. Como já foi referido, o “peso” que uma ficha por partes

tinha na classificação destes alunos era diminuto, facto que pode ter influenciado no empenho

que dedicaram no estudo para a mesma.

Relativamente à categoria (A), grande parte dos erros ocorreu devido a fatores emocionais,

no caso, devido a distrações. Tal como Kilpatrick, Swafford e Findell (2001) e Kieran (1999)

referem nas respetivas investigações, ao longo da intervenção pedagógica foi possível verificar

que os alunos costumam errar por diversas vezes na designada Álgebra processual, revelando

dificuldades relacionadas com a aritmética.

Tal como na investigação de Ruano, Socas e Palarea (2008), os erros registados na

categoria (B) revelaram uma ausência de significado por parte dos alunos nos referidos

processos, ou seja, os alunos revelaram uma falta de compreensão do significado de alguns

conceitos matemáticos. Kieran (1999) considera, na sua obra, que a Álgebra estrutural é

tradicionalmente difícil para os alunos. No entanto, os erros registados nesta categoria revelaram

dificuldades em conceitos que já deveriam ter sido assimilados neste nível de escolaridade.

Desta forma, tal como Ausubel (2003), é possível concluir que esses conceitos não tinham sido

aprendidos pelos alunos de forma significativa.

85

5.1.3. Objetivo 3 - Avaliar o impacto que a predisposição para a aprendizagem de cada aluno

tem no respetivo desempenho a Matemática, no estudo das funções

Os resultados da ficha por partes apresentados no Capítulo IV permitem concluir que os

alunos considerados como predispostos para a aprendizagem apresentaram um nível superior

de progressão relativamente aos conteúdos abordados.

A frequência de erros cometidos pelos alunos considerados como predispostos para a

aprendizagem diminuiu bastante durante o período de tempo entre o teste diagnóstico e a ficha

por partes. Este facto está espelhado nos resultados da ficha por partes.

É de salientar que não foram registados erros da categoria (B) por partes deste grupo de

alunos. Tal como no teste diagnóstico, alguns dos exercícios propostos na ficha por partes eram

suscetíveis para a ocorrência de erros desta categoria e, não tendo sido registadas reincidências,

é possível concluir que os conteúdos foram apreendidos por este grupo de forma significativa.

Assim, tal como na investigação de Davis e Espósito (1991), os erros desta categoria cometidos

por estes alunos podem ser designados por construtivos, pois sinalizaram a formação de novas

estruturas cognitivas.

Relativamente ao grupo de alunos considerado como não predisposto para a

aprendizagem, a frequência de erros registados nesta categoria não ficou reduzida a zero, mas

ainda assim, diminuiu, facto que também é positivo. No entanto, alguns alunos revelaram-se

reincidentes no que diz respeito aos erros cometidos. Os alunos A1, A2 e A18 são exemplos

disso. Relativamente aos dois primeiros, aplicaram uma regra de forma adequada no teste

diagnóstico mas não o fizeram na ficha por partes. É difícil de explicar o que vai nas suas

mentes nestas situações. Tanto é possível considerar que esses erros se deveram a uma falta de

atenção, como também é possível considerar que estes alunos ainda não tinham assimilado o

processo de forma significativa. Similarmente ao referido na investigação de Davis e Espósito

(1991), o aluno A18 cometeu erros sistemáticos, revelando não possuir a estrutura cognitiva

necessária para este nível de escolaridade, pelo que lhe é impossível compreender as tarefas

propostas e muito menos executá-las com sucesso. Neste caso, os desequilíbrios criados na sua

estrutura cognitiva pelas tarefas propostas são, por ele, permanentemente ignorados,

provocando os tais erros sistemáticos. Tal como na obra de Seligman (1975), este aluno encara

a Matemática com um certo “desânimo”, pelo que aparenta, tal como referiu algumas vezes nas

aulas, não acreditar que algum dia será capaz de a compreender.

86

Desta forma, tal como Ausubel (2003), Bruner (1999) e Chacón (2000) referem nas

respetivas obras, a predisposição de um aluno para a aprendizagem tem uma influência positiva

no seu desempenho a uma determinada disciplina, neste caso a Matemática. Através dos

resultados obtidos, verificou-se que a predisposição para a aprendizagem está relacionada com a

ocorrência dos designados erros construtivos. No sentido inverso, a não predisposição de um

aluno para a aprendizagem tem uma influência negativa no seu desempenho à disciplina,

podendo precipitar a ocorrência de erros sistemáticos.

5.2. Implicações para o ensino e aprendizagem

Deste estudo resultam várias implicações para o ensino e aprendizagem da Álgebra. A

análise do erro como metodologia de ensino e aprendizagem revelou ser eficaz nesta

investigação. O uso construtivo do erro na sala de aula proporcionou, em diversos casos,

aprendizagens significativas. No entanto, é uma metodologia que requer imenso trabalho por

parte do professor. Segundo Pinto (2000), o recurso a esta metodologia “comporta uma

profunda mudança de valores e de atitudes” (p. 37). Consequentemente, para uma melhoria do

ensino da Matemática, não é suficiente diagnosticar e corrigir os erros dos alunos. É necessário

que o conhecimento matemático não seja encarado como uma incorporação de conceitos, mas

como um redescobrimento dos mesmos (Pinto, 2000). É necessário recorrer ao potencial

educativo do erro e “provocar” os alunos, obrigando-os a “reinventar” os conceitos matemáticos

(idem, 2000). Neste sentido, esta investigação é uma contribuição para uma melhoria do ensino

da Matemática, na medida em são analisadas algumas dificuldades e respetivos raciocínios dos

alunos no estudo das funções.

O professor deve valorizar o erro, tentando transformá-lo numa experiência enriquecedora

para si e principalmente para os alunos. Assim, os erros cometidos pelos alunos devem ser

discutidos e trabalhados, num ambiente que não provoque inibições nos alunos, para que

prevaleçam os seus pensamentos e reflexões acerca dos mesmos.

Para que ocorra aprendizagem não é suficiente considerar apenas os aspetos cognitivos

dos alunos. Como foi sublinhado por diversas vezes nesta investigação, os aspetos emocionais

são, de igual forma, determinantes no processo (Ausubel, 2003; Azzy & Polydoro, 2006;

Bandura, 1993, 1997; Bruner, 1999; Chacón, 2000; Ponte & Serrazina, 2000). Desta forma, na

abordagem a um erro, o professor não deve adotar uma atitude de condenação para com o

aluno, mas de motivação, para que a sua autoestima não saia “beliscada” pela ocorrência. Por

87

vezes, um pequeno gesto por parte do professor pode revelar-se de grande valor para um aluno,

motivando-o para a aprendizagem.

5.3. Limitações e recomendações

A análise de erros como metodologia de ensino revelou ser uma metodologia de difícil

execução. Numa primeira instância, o professor necessita conhecer os erros dos seus alunos

para que posteriormente possa atuar sobre eles. Esta análise (prévia) requer tempo. Numa

segunda instância, é fundamental que o professor esteja permanente atento às oportunidades

criadas pelos alunos para aproveitar o erro. Aqui, a experiência do professor faz toda a diferença,

refletindo-se num conhecimento mais aprofundado das dificuldades mais gerais dos alunos e,

consequentemente, num maior à vontade na sala de aula que lhe permite estar mais atento a

estas situações.

Desta forma, o facto de a recolha e alguma da análise de dados coincidir com a primeira

experiência de ensino, criou um certo conflito de interesses. Por um lado, a inexperiência do

professor (investigador) que procurou aprender a ensinar e, por outro lado, a obrigação que tinha

em recolher dados para a sua investigação. Esta foi a principal limitação desta investigação, a

qual carece de registos a abordagens realizadas ao erro.

Para futuras investigações, é sugerida uma exploração focada no papel do professor no

“manuseamento” da predisposição para a aprendizagem dos alunos. Se um aluno é

considerado como não predisposto para a aprendizagem, que fatores podem provocar uma

alteração dessa condição? O que pode o professor fazer para que tal aconteça?

89

BIBLIOGRAFIA

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93

ANEXOS

95

ANEXO I

Organização da intervenção pedagógica

97

Organização da intervenção pedagógica

Conteúdos da aula Objetivos

1 (90 minutos)

Teste diagnóstico.

- Verificar o estado dos alunos relativamente ao tema das funções; - Verificar o estado dos alunos relativamente à resolução de equações e inequações; - Verificar o estado dos alunos relativamente à simplificação de expressões.

2 (90 minutos) Noção de função.

- Relembrar os conceitos de correspondência unívoca, objeto, imagem, domínio, contradomínio e conjunto de chegada de uma função; - Definição de função; - Conhecer as diferentes representações gráficas e analíticas de uma função; - Função real de variável real.

3 (90 minutos)

Utilização da calculadora gráfica no estudo das funções.

- Obter a representação gráfica de uma função através da calculadora; - Seleção de uma janela de visualização na calculadora tendo em conta o domínio e contradomínio de uma função; - Identificar, dada uma função definida analiticamente, imagens e objetos, com recurso à calculadora (tabela e gráfico).

4 (90 minutos)

Zeros de uma função; Injetividade de uma função; Continuidade de uma função.

- Identificar os zeros de uma função; - Averiguar se uma função é injetiva; - Averiguar se uma função é contínua no seu domínio.

5 (90 minutos)

Sinal e monotonia de uma função.

- Identificar os intervalos em que uma função é positiva ou negativa; - Construir uma tabela (ou quadro) de sinal de uma função; - Identificar os intervalos de monotonia (sentido estrito e sentido lato) de uma função; - Construir uma tabela (ou quadro) de variação de uma função.

6 (90 minutos)

Extremos e extremantes de uma função.

- Identificar os extremos relativos e absolutos (e respetivos maximizantes e minimizantes) de uma função.

7 (90 minutos)

Consolidar os conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores.

- Conceito de função, domínio, contradomínio, objeto e de imagem; - Manuseamento da calculadora gráfica; - Zeros de uma função; - Injetividade e continuidade de uma função.

8 (90 minutos)

Consolidar os conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores.

- Conceito de função, domínio, contradomínio, objeto e de imagem; - Manuseamento da calculadora gráfica; - Zeros de uma função; - Injetividade e continuidade de uma função; - Sinal e monotonia de uma função; - Extremos de uma função.

9 (90 minutos)

Função afim.

- Conhecer (e relembrar) algumas das propriedades da função afim; - Consolidar os conhecimentos adquiridos através da resolução de exercícios.

10 (90 minutos)

Função quadrática; Revisões.

- Conhecer algumas propriedades da função quadrática; - Rever os conteúdos lecionados nas aulas anteriores.

11 (90 minutos) Ficha de avaliação. - Verificar e avaliar o estado dos alunos relativamente aos

conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores.

99

ANEXO II

Pedido de autorização ao Diretor da Escola

101

Exmo. Senhor Presidente da

Comissão Administrativa Provisória do

Agrupamento de Escolas de Barcelos

No âmbito do curso de Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e do

Ensino Secundário, da Universidade do Minho, nós, Jorge Vieira e Nuno André Castro, professores

estagiários de Matemática desta Escola, encontrámo-nos a elaborar um relatório de estágio, intitulado O

erro construtivo: Uma experiência com alunos do 10º ano de escolaridade e O feedback na contribuição

para o desenvolvimento da escrita matemática: Uma experiência realizada com uma turma do 10º ano de

escolaridade, durante o estudo das funções, respetivamente.

O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em

Educação Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de

ação, que decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência

e contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar

uma recolha de dados que, nestes estudos, impõe gravações áudio de algumas aulas de Matemática e a

aplicação de questionários aos alunos.

De forma a viabilizar este estudo, solicitamos a V. Exa. autorização para realizar as gravações

nas aulas de Matemática.

Quer no processo de recolha de dados, quer no relatório de estágio, comprometemo-nos a

garantir o anonimato em relação à identidade dos alunos da turma e ainda a solicitar a autorização aos

Encarregados de Educação.

Desde já agradecemos a sua atenção.

Com os melhores cumprimentos,

12 de Dezembro de 2013 Autorização

Os professores estagiários

___________________________ _____ de ______________ de 2013 (Jorge Alexandre Moura Alves Vieira)

O Presidente da CAP

__________________________ _____________________________ (Nuno André Barbosa e Castro) (Jorge Manuel Vaz Saleiro)

103

ANEXO III

Pedido de autorização aos Encarregados de Educação

105

Exmo(a) Senhor(a) Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a)

_________________________________

Nº _____, da turma E, 10º ano

Eu, Jorge Vieira, Estagiário de Matemática na Escola Secundária de Barcelos, no âmbito do

Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário, da

Universidade do Minho, pretendo desenvolver uma investigação em Educação Matemática, intitulada O

erro construtivo: Uma experiência com alunos do 10º ano de escolaridade.

O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em

Educação Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de

ação, que decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência

e contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar

uma recolha de dados que, no meu estudo, impõe a aplicação de questionários.

Quer no processo de recolha de dados, quer no tratamento dos dados no relatório de estágio,

comprometo-me a garantir o anonimato em relação à identidade de todos os alunos da turma.

Após autorização concedida pela Direção da Escola, solicito de igual modo a autorização de V.

Exa. para aplicar os questionários, de forma a viabilizar este projeto de intervenção pedagógica

supervisionada.

Desde já, muito obrigado pela sua colaboração.

Barcelos, ____ de dezembro de 2013

O professor estagiário,

(Jorge Alexandre Moura Alves Vieira)

Autorizo

Barcelos, ____ de dezembro de 2013.

Assinatura do(a) Encarregado(a) de Educação

107

ANEXO IV

Questionário

109

Caro/a Aluno/a

No âmbito da realização de um estudo de investigação sobre o erro construtivo, que constitui o objeto de estudo do meu relatório de estágio profissional do Mestrado em Ensino da Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, venho pedir a tua colaboração para responder às questões que a seguir são apresentadas.

Embora as tuas respostas não sejam usadas para te atribuir qualquer classificação à disciplina de Matemática, é muito importante que leias cuidadosamente todas as questões e que respondas a todas as perguntas do questionário com sinceridade.

As tuas respostas às questões serão mantidas confidenciais e eu, enquanto a única pessoa com acesso aos dados, comprometo-me a não divulgar as respostas a não ser para fins do estudo e sempre sob a forma de anonimato.

Muito obrigado pela colaboração.

Jorge Alexandre Moura Alves Vieira

Nas questões de escolha múltipla, contorna com uma circunferência, , apenas uma das alternativas que são apresentadas.

1. Nome _____________________________________________________________________________;

Idade ___;

2. Durante todo o teu percurso escolar, já repetiste algum ano escolar? Se sim, que ano(s) repetiste?

3. No caso da Matemática, em que posição se situa no teu ranking de preferências?

a) É a disciplina de que mais gostas;

b) Está entre as tuas três disciplinas favoritas;

c) Está nas três disciplinas de que menos gostas;

d) É a disciplina de que menos gostas;

e) Outro. __________

4. No caso de teres escolhido a alínea a) ou d), na questão anterior, aponta as razões que te levaram a escolher essas opções.

5. Ao longo do teu percurso escolar, tiveste algum(a) professor(a) de Matemática que te tivesse marcado pela positiva? Se sim, por que é que te marcou?

110

6. Ao longo do teu percurso escolar, tiveste algum(a) professor(a) de Matemática que te tivesse marcado pela negativa? Se sim, por que é que te marcou?

7. Se respondeste afirmativamente à questão 5, ou à questão 6, em que medida achas que esse(a) professor(a) contribuiu para a forma como hoje te sentes em relação à Matemática?

8. Quando cometes um erro (de cálculo ou de raciocínio) numa tarefa de Matemática:

a) Costumas dar por ele/ identificá-lo no fim da tarefa;

b) Costumas dar por ele/ identificá-lo durante a resolução da tarefa;

c) Não costumas dar conta dele/ identificá-lo, a não ser que to indiquem;

d) Às vezes dás conta dele/ identifica-lo, outras não.

9. Quando te apontam um erro (de cálculo ou de raciocínio) a uma resolução tua de um exercício de Matemática:

a) Sentes-te envergonhado/a e esperas que mais ninguém repare que erraste;

b) Tentas perceber como aconteceu e estás mais atento/a em situações idênticas;

c) Ficas aborrecido/a e desistes do exercício;

d) Ficas aborrecido/a mas persistes no exercício;

e) É-te indiferente;

e) Outro. ____________

10. Como preferes que o teu professor(a) lide com os teus erros (de cálculo ou de raciocínio)?

a) Que te explique individualmente;

b) Que explique perante a turma, mas que não diga que foste tu a errar;

c) É-te indiferente, desde que fiques a perceber os conteúdos;

d) Outro. _____________

11. Que classificação obtiveste a Matemática no último período?

12. Fora da escola, tens ajuda na resolução das tarefas da disciplina de Matemática? Se sim, quem te ajuda? (explicador, pais, etc.)

111

13. Fora da escola, quando é que estudas Matemática?

a) Todos os dias;

b) Uma vez por semana;

c) Antes dos testes;

d) Nunca;

e) Outro. _______________

14. Entendes a matéria que te é transmitida na sala de aula à disciplina de Matemática?

a) Sempre;

b) Quase sempre;

c) Quase nunca;

d) Nunca.

15. Distrais-te com facilidade nas aulas de Matemática?

a) Sempre;

b) Quase sempre;

c) Quase nunca;

d) Nunca.

16. Se respondeste afirmativamente (a ou b) à questão anterior, qual a causa mais frequente da tua distração?

a) Conversa com os colegas;

b) Falta de interesse pelos conteúdos da disciplina;

c) O professor não te cativa;

d) Assuntos extra-aula que te prendem a atenção;

e) Outro. ______________

112

17. As tuas classificações a Matemática costumam ser:

a) Acima da maioria da turma;

b) Igual à maioria da turma;

c) Inferior à maioria da turma.

18. No caso de teres escolhido a alínea c) na questão anterior, achas que esse facto afeta a tua motivação nas aulas/para a disciplina de Matemática?

a) Nada;

b) Um pouco;

c) Bastante;

d) Totalmente.

19. Em que medida achas que as características do professor afetam o teu desempenho na disciplina de Matemática? (a sua simpatia, a forma como explica, as estratégias que utiliza para motivar os alunos, etc.)

a) Nada;

b) Um pouco;

c) Bastante;

d) Imenso/totalmente.

20. Se respondeste afirmativamente (bastante ou imenso/totalmente) à questão anterior, refere quais as características que mais valorizas num(a) professor(a) de Matemática:

a) Clareza na sua exposição de conteúdos;

b) Domínio científico da matemática;

c) Carácter inovador/motivante das estratégias utilizadas;

d) Humor;

e) Simpatia/Humanismo;

f) Não discriminação dos alunos;

g) Entusiasmo;

h) Outro(s). ______________

113

21. Quando realizas um teste de Matemática, sentes-te:

a) Nervoso/a;

b) Tranquilo/a;

c) Outro. __________

22. Dentro dos conteúdos de Matemática que já estudaste, indica aquele de que mais gostaste. Porquê?

a) Estatística;

b) Funções;

c) Geometria;

d) Outro. __________

23. Dentro dos conteúdos de Matemática que já estudaste, indica aquele de que menos gostaste. Porquê?

a) Estatística;

b) Funções;

c) Geometria;

d) Outro. __________

24. Pretendes ingressar no ensino superior? Se sim, que curso(s) pretendes frequentar?

25. Em que medida te parece que a Matemática poderá ser importante para o teu futuro profissional?

a) Nada;

b) Pouco;

c) Bastante;

d) Imensamente importante.

115

ANEXO V

Teste diagnóstico

117

Teste Diagnóstico

10º ano Turma E Ano letivo 2013/2014

Grupo I

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleciona a única opção correta, contornando-a com uma circunferência, .

1. O número real , quando simplificado o mais possível, é apresentado sob a forma:

A. .

B. .

C. .

D. .

2. Seja o perímetro de um quadrado de lado , ou seja, . Podemos afirmar que se trata de:

A. uma proporcionalidade direta cuja constante de proporcionalidade é 4.

B. uma proporcionalidade inversa cuja constante de proporcionalidade é 4.

C. uma função cujo gráfico é uma reta oblíqua que passa pelo ponto de coordenadas .

D. uma proporcionalidade direta cuja constante de proporcionalidade é .

3. As condições

«A Andreia tem mais dois anos que a Joana»;

«Se juntarmos o meu dinheiro com um quarto do teu, ficamos com 410 euros»;

são traduzidas em linguagem matemática pelas expressões:

A. –

.

B. – .

C. –

.

D. .

118

4. A expressão é equivalente a:

A. .

B. .

C. .

D. .

5. A expressão – é equivalente a:

A. – .

B. .

C. – .

D. – .

Grupo II

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Na figura está representada graficamente a função que à idade faz corresponder o número de horas de sono.

1.1. De acordo com o gráfico indica:

1.1.1. O número de horas que a Rita, de 16 anos, deve dormir.

119

1.1.2. A idade do Serafim, sabendo que precisa de dormir 15 horas.

1.2. Indica o domínio e o contradomínio da função .

1.3. Qual é a imagem de 6 pela função ?

1.4. Qual é o objeto que pela função tem por imagem 12?

1.5. Completa:

; .

2. Uma torneira enche uma vasilha em 5 minutos, deixando cair de água por minuto. Seja a função que a cada minuto faz corresponder o volume de água na vasilha.

2.1. Constrói uma tabela de valores da função de zero a cinco minutos.

2.2. Indica:

2.2.1. A imagem de 2.

2.2.2. O objeto que tem por imagem 18.

2.3. Seja o volume da água na vasilha e o tempo de enchimento, completa:

;

3. Observa a tabela que representa uma função .

Sabendo que a expressão analítica de é

, completa a tabela:

4. Indica o conjunto solução da seguinte inequação:

5. Indica o conjunto solução da seguinte equação:

121

ANEXO VI

Ficha por partes

123

Ficha por partes

10º ano Turma E Ano letivo 2013/2014

1. Considere um retângulo cujas dimensões, em centímetros, são as indicadas na figura.

1.1. Mostre que a função , que a cada valor de faz corresponder a área do retângulo,

é dada por .

1.2. Atendendo ao contexto da situação apresentada, indique, justificando, o domínio da função .

1.3. Determine, analiticamente, a área do retângulo para .

1.4. Recorrendo às potencialidades da calculadora gráfica, determine os valores de para os quais a área do

retângulo não é inferior a .

Reproduza o gráfico obtido na calculadora atendendo ao contexto da situação apresentada. Pela observação

do gráfico, deverá ser possível identificar o domínio, o contradomínio e as coordenadas dos pontos de

interseção do gráfico de com os eixos coordenados. Considere valores arredondados às centésimas.

2. Na figura está representado, num referencial o.n. , o gráfico de uma função de domínio .

2.1. Determine os valores de tais que

.

2.2. Indique os extremos relativos de .

2.3. Comente a seguinte afirmação:

”A função é contínua.”

124

3. Considere a função definida em por:

3.1. Determine os objetos com imagem nula.

3.2. Considere o ponto P de coordenadas com . Para que valores de , o ponto pertence

ao gráfico de ? Apresente valores exatos o mais simplificados possível.

4. Considere a seguinte família de funções afins:

4.1. Determine para que valores de a função é estritamente crescente.

4.2. Determine de modo que o gráfico da função seja uma reta horizontal.

Questão 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 2.1. 2.2. 2.3. 3.1. 3.2. 4.1. 4.2

Cotação 2,5 1,5 1,5 2,5 1,5 2 1,5 1,5 2,5 1,5 1,5