Método de Newton-Raphson

Joinville, 29 de Abril de 2013

Método de Newton-Raphson

Escopo dos Tópicos AbordadosSolução de equações via métodos iterativos – Método de Newton-Raphson

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Operação de Sistemas Elétricos de PotênciaA operação de Sistemas Elétricos de Potência (SEP) balanceados (equilibrados) sob regime permanente necessita dos seguintes requisitos:– Geração igual à carga somadas às perdas;– Tensões das barras próximas aos valores de referência

especificados;– Geradores, linhas de transmissão, transformadores , dentre

outros equipamentos, operando dentro de seus limites;

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Operação de Sistemas Elétricos de PotênciaA ferramenta básica para investigar tias requisitos são programas de fluxo de potência ou fluxo de carga.Tais programas calculam os fasores de tensão (módulo e ângulo) em cada barra sob condições de regime permanente trifásico equilibrado – Fluxo desequilibrado e

trifásico terá uma breve abordagem;Também calculam:– A potência ativa e reativa em todos os equipamentos que

interligam as barras;– As perdas nestes equipamentos;

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Operação de Sistemas Elétricos de PotênciaSão objetos de estudo via fluxo de potência:– Tanto o SEP existente, como as alterações propostas,

incluindo adição de novas fontes de energia e linhas de transmissão, utilizadas para atender o aumento da demanda

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Resolução das Equações NodaisForam vistos métodos de resolução de equações (lineares) nodais via:– Inversão da matriz Ybus;– Eliminação de Gauss;– Fatoração LU;– Obs: A solução de um sistema matricial de ordem 10000, com

operações com duração de 1ns, pode levar 1000s utilizando o método de Gauss.

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Também os métodos convencionais de análise nodal e de malhas, solucionados via métodossupramencionados, não são convenientes pararealização de estudos de fluxo de potência.

Resolução das Equações do Fluxo de PotênciaAnálise nodal e de malhas não são convenientes para estudos de fluxo de potência, pois:

Dados de cargas são normalmente representados em termos de impedância e não em termos de potência;

Geradores são considerados como fontes de tensão ou de corrente e não como fontes de potência;

Para atender aos requisitos mencionados, os estudos de fluxode potência são formulados por conjuntos de equaçõesalgébricas não-lineares, convenientemente resolvidascomputacionalmente via métodos numéricos iterativos.

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Resolução de Equações AlgébricasOs métodos de resolução de equações (lineares) via:– Inversão da matriz Ybus;– Eliminação de Gauss;– Fatoração LU;– São considerados métodos diretos.

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Métodos iterativos comumente utilizados parasolucionar equações algébricas são:

Médoto de Jacobi e de Gauss-Seidel;Método de Newton-Raphson

Resolução de Equações Algébricas

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Métodos iterativos de Jacobi e o de Gauss-SeidelConvergência bastante lenta;Em alguns casos, mesmo havendo solução, o processoiterativo não converge (principalmente se os elementosda diagonal principal da matriz não forem dominantes)Método de Gauss-Seidel – Exemplo de um processoconvergente e de um divergente:

Processo convergente: Processo divergente:

Resolução de Equações Algébricas Não LinearesResolução via método iterativo de Newton-Raphson:É o mais utilizado para a solução de sistemas de equações algébricas não-lineares;Consiste em aplicar a série de Taylor, truncada no primeiro termo no sistema de equações a ser resolvido e, por aproximações sucessivas, dado um valor arbitrário inicial, encontrar a solução do problema.

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesExemplo do método de Newton-Raphson:Dado a equação algébrica:

Aplique a série de Taylor, e elimine os termos de ordem superior infinitésimos de ordem superior (trunque a série):

Assuma:

Com:11

Resolução de Equações Algébricas Não LinearesExemplo do método de Newton-Raphson:Assuma:

Dado X0, a primeira aproximação é dada por:

Realizando sucessivas aproximações:

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesExemplo do método de Newton-Raphson:Quando:

O processo é interrompido e há convergência para uma das raízes do processo.

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesExemplo do método de Newton-Raphson:Resolva:

Dado X0 =6, encontre a raíz mais próxima de X0:Passo 1:

Graficamente:

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesExemplo do método de Newton-Raphson:

Dado X0 =6, graficamente, tem-se a solução:

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesAlgoritmo no Matlab:

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesResposta no Matlab gerada pela saída do algoritmo apresentado:

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Critério de parada

Resolução de Equações Algébricas Não LinearesO método de Newton-Raphson pode ser extendido para um sistema de várias equações não lineares:

Especifique os valores iniciais deE os valores de correções

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesAs correções satisfazem as seguintes equações:

Expanda em série de Taylor, desprezando os termos de ordem superior:

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesReescreva em forma matricial:

Sendo J a matriz Jacobiana do sistema na iteração t:

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesAs sucessivas aproximações dadas por:

E o critério de parada dado na iteração t por:

Ou via número máximo de iterações: n<100, por exemplo

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesResolva agora no Matlab:

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesResolva agora no Matlab:

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Resolução de Equações Algébricas Não LinearesResposta via Matlab:

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