Johannes Kepler

(1571 – 1630)

Johannes Kepler nasceu em 27 de Dezembro de 1571 no Sul da Alemanha, no seio de uma família protestante. Com o auxílio de uma bolsa de estudo, ingressou em 1589 na Universidade de Tübingen, e aí aprendeu grego, hebreu, astronomia, física e matemática. Com tenra idade tornou-se professor de matemática num colégio protestante na Áustria e em 1596 publicou o seu primeiro trabalho, “Mysterium Cosmographicum”.

Entre 1617 e 1621 publicou sete volumes do “Epitome Astronomiae Copernicanae”, obra que se tornou a introdução mais importante à astronomia heliocêntrica, contrariava a concepção aristotélica do universo, na altura defendida pela Igreja Católica. Foi ainda autor de diversos artigos científicos sobre óptica, astronomia e matemática. É de destacar a convivência que teve com o prestigiado astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, a quem viria a suceder, por ocasião da sua morte, em Outubro de 1601, como matemático da corte. Com esta sucessão, Kepler teve acesso a dados de Tycho Brahe que lhe permitiram, ao fim de várias tentativas, determinar as leis dos movimentos dos planetas e conquistar um lugar de destaque no desenvolvimento da astronomia.

Os muitos cálculos que Kepler teve de efetuar foram facilitados pelo aparecimento dos logaritmos de Neper, tendo sido Kepler o primeiro a publicar uma explicação rigorosa dos mesmos. Assim, eram muito rigorosas as tabelas astronômicas que veio a publicar, as “Tabulae Rudolphinae”. Ao estudar o problema da determinação do volume de uma pipa de vinho, Kepler, utilizando métodos com raízes em Arquimedes, veio a colaborar nos primórdios do cálculo infinitesimal.

Durante a sua vida, Kepler foi diversas vezes perseguido pela Contra-Reforma Católica. Em 1626 a sua casa foi incendiada, fato que o levou a deixar a Áustria e a refugiar-se na Alemanha, onde imprimiu as “Tabulae Rudolphinae”, publicadas em 1627. Faleceu em Regensburg, Alemanha no dia 15 de Novembro de 1630 com 58 anos de idade. Tinha à sua frente um futuro promissor como astrônomo.

Leis de Kepler

Quando o ser humano iniciou a agricultura, ele necessitou de uma referência para identificar as épocas de plantio e colheita.

Ao observar o céu, os nossos ancestrais perceberam que alguns astros descrevem um movimento regular, o que propiciou a eles obter uma noção de tempo e de épocas do ano.

Primeiramente, foi concluído que o Sol e os demais planetas observados giravam em torno da Terra. Mas este modelo, chamado de Modelo Geocêntrico, apresentava diversas falhas, que incentivaram o estudo deste sistema por milhares de anos.

Por volta do século XVI, Nicolau Copérnico (1473-1543) apresentou um modelo Heliocêntrico, em que o Sol estava no centro do universo, e os planetas descreviam órbitas circulares ao seu redor.

No século XVII, Johanes Kepler (1571-1630) enunciou as leis que regem o movimento planetário, utilizando anotações do astrônomo Tycho Brahe (1546-1601).

Kepler formulou três leis que ficaram conhecidas como Leis de Kepler.

1ª Lei de Kepler - Lei das Órbitas

Os planetas descrevem órbitas elipticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse.

2ª Lei de Kepler - Lei das Áreas

O segmento que une o sol a um planeta descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

3ª Lei de Kepler - Lei dos Períodos

O quociente dos quadrados dos períodos e o cubo de suas distâncias médias do sol é igual a uma constante k, igual a todos os planetas.

Tendo em vista que o movimento de translação de um planeta é equivalente ao tempo que este demora para percorrer uma volta em torno do Sol, é fácil concluirmos que, quanto mais longe o planeta estiver do Sol, mais longo será seu período de translação e, em consequência disso, maior será o "seu ano".

Exemplos de Exercícios sobre as Leis de Kepler

1 - Cite as leis de Kepler do movimento dos corpos celestes.

I – Os planetas descrevem órbitas elípticas e o Sol ocupa um dos focos.

II – A linha imaginária que liga o centro do Sol ao centro de um planeta percorre em tempos iguais áreas iguais.

III – O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol.

2 - Por que o período de translação do planeta Mercúrio em torno do Sol é menor que o da Terra ?

Porque sua distância média ao Sol é menor do que a da Terra, pela terceira lei de Kepler quanto maior a distância média ao Sol maior o período de translação.

3 - Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período 3.104

s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos.

Sabemos da Terceira Lei de Kepler que: k

r

T =3

2

, onde T é o período de translação do planeta e r é a distância média do planeta ao Sol.

Mas podemos generalizá-la para satélites que orbitam um planeta, desta forma podemos escrever:

Kr

T

F

F =3

2

, onde FT é o período orbital de Fobos em torno de Marte e Fr é a distância média entre

Marte e Fobos.

Também podemos escrever:

Kr

T

D

D =3

2

, onde DT é o período orbital de Deimos em torno de Marte e Dr é a distância média entre Marte e Deimos.

Igualando as duas equações podemos escrever:

=3

2

F

F

r

T3

2

D

D

r

T

, portanto temos: 3

322 .

F

DFD r

rTT =

, então:

( ) ( )( ) ssTD

5434

3424

10.14,110.4,1110

10.4,210.3 =≈×=

.

4 - A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é A=6,98.1022 m2. Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol entre 0,0 h do dia 1º de abril até 24 h do dia 30 de abril do mesmo ano.

De acordo com a Segunda Lei de Kepler a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol é proporcional ao intervalo de tempo para varrê-la. Logo se em um ano, que possui 12 meses, a área varrida é de 6,98.1022 m2

, em um mês será:

22122

10.82,512

10.98,6m≈

.

5 - (Direito. C.L.-97) Tendo em vista as Leis de Kepler sobre os movimento dos planetas, pode-se afirmar que:

a. a velocidade de um planeta, em sua órbita, aumenta à medida que ele se afasta do sol; b. o período de revolução de um planeta é tanto maior quanto maior for sua distância do sol; c. o período de revolução de um planeta é tanto menor quanto maior for sua massa; d. o período de rotação de um planeta, em torno de seu eixo, é tanto maior quanto maior for seu

o período de revolução; e. o sol se encontra situado exatamente no centro da órbita elíptica descrita por um dado

planeta.

Alternativa: b, pois segundo a Terceira Lei de Kepler constatá-se que quanto maior a distância média do planeta ao Sol, maior também é o período de revolução.

6 - O movimento de translação da Terra é:

a. periódico;

b. retilíneo uniforme;

c. circular uniforme;

d. retilíneo, mas não uniforme;

e. circular não uniforme.

Alternativa: a, pois segundo as Leis de Kepler os planetas descrevem órbitas elípticas com velocidade variável.

7 - Baseando-se nas leis de Kepler pode-se dizer que a velocidade de um planeta:

a. independe de sua posição relativamente ao sol;

b. aumenta quando está mais distante do sol;

c. diminui quando está mais próximo do sol;

d. aumenta quando está mais próximo do sol;

e. diminui no periélio.

Alternativa: d, pois a Segunda Lei de Kepler nos leva a concluir que no periélio a velocidade é máxima e no afélio é mínima.

8 - No sistema planetário:

a. cada planeta se move numa trajetória elíptica, tendo o sol como o centro;

b. a linha que une o sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos iguais;

c. a razão do raio de órbita para seu período é uma constante universal;

d. a linha que liga o Sol ao planeta descreve no mesmo tempo diferentes áreas.

Alternativa: b, que descreve a Segunda Lei de Kepler.

9 - Na figura que representa esquematicamente o movimento de um planeta em torno do sol, a velocidade do planeta é maior em:

a. A

b. B

c. C

d. D

e. E

Alternativa: a, pois se concluí de acordo com a Segunda Lei de Kepler que quanto mais próximo está o planeta do Sol maior sua velocidade.