Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Jogo da trilha

Objetivos da unidadeDiscutir, através de um jogo, o conceito de probabilidade 1. condicional;Desenvolver a habilidade necessária para o tratamento 2. de informações através de gráficos e tabelas;Induzir o aluno à formulação de estratégias a partir de 3. seu conhecimento matemático.

Análise de dAdos e probAbilidAde

O experimento

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O experimento

SinopseO Jogo da Trilha é bastante simples e exige como material apenas um dado de 6 faces. Além disso, nesta atividade a intuição dos alunos será desafiada quando eles tiverem de optar por uma estratégia que acreditam ser vencedora. Por fim, o experimento culminará em uma análise probabilística guiada pelo professor.

ConteúdosProbabilidade: Eventos equiprováveis, Probabilidade condicional, Representação gráfica, Permutação e combinação.

ObjetivosDiscutir, através de um jogo, o conceito de probabilidade condicional;1. Desenvolver a habilidade necessária para o tratamento de informações 2. através de gráficos e tabelas;Induzir o aluno à formulação de estratégias a partir de seu conhecimento 3. matemático.

DuraçãoUma aula dupla.

Jogo da trilha

Jogo da trilha O Experimento 2 / 9

Introdução

Jogos que envolvem o lançamento de dados costumam ser envolventes. A cada jogada ficamos na expectativa para saber se o número sorteado é aquele que nos interessa ou não. O que nos move, de certa forma, é a confiança na “democracia” de um dado equilibrado, confortando-nos quanto a resposta à questão: o que é mais provável de acontecer, sair o número 6 ou o número 1? Imagine então um trilha onde o número sorteado em um dado representa “passos”. Sabemos que as chances de sortearmos “1 ou 6 passos” é a mesma se o dado for honesto – p(1) = p(6). Porém, e se eu acrescentar algum tempero a pergunta inicial… Quando lanço o dado pela última vez, momento em que chego ao fim do caminho, o que é mais provável ocorrer: ter sorteado 6 passos ou 1 passo? Para responder esta pergunta, que nossa intuição faz parecer simples, iremos analisar cuidadosamente nesta atividade os conceitos de independência e de probabilidade condicional.

Material necessário

Dados de 6 faces; �

Peão � (este peão pode ser qualquer objeto que caiba na trilha);Calculadora; �

Trilha. �

fig. 1

Preparação

Professor, com a Folha do Aluno já distri-buída, explique as regras do jogo para garantir uma melhor participação dos alunos no experimento. Para a realização desta atividade divida a classe em grupos de 3 alunos que jogarão entre si. Cada grupo receberá 1 Folha do Aluno, 1 dado de 6 faces e uma calculadora comum. Antes do início de cada partida, seguindo as Regras do Jogo, peça aos alunos que escolham um dentre 3 conjuntos de números que representam as faces do dados. São eles:

�

�

�

A cada partida realizada, os alunos poderão escolher novamente com qual conjunto querem jogar.

Dois alunos não podem !escolher o mesmo conjunto na mesma rodada.

Regras do jogo

Cada partida será subdividida em 1. rodadas que valem 1 ponto cada. Cada rodada, em lances.Cada aluno lança o dado e, por ordem 2. decrescente do valor obtido no lançamento, escolhe um dos conjuntos ,

, .Inicialmente o peão deverá ser colocado 3. na casa “Saída”.Um aluno lança o dado e move o peão 4. pela trilha, de acordo com o resultado obtido; repete o procedimento até que o peão alcance o fim da trilha (a oitava casa) ou passe dela.Marca um ponto o aluno que tiver escolhido 5. o conjunto que contenha a face que foi sorteada no último lance da rodada.Vence a partida o aluno que somar 10 pontos 6. primeiro.

A pergunta em aberto é: qual conjunto dá mais chances de vitória?

Jogo e coleta de informações

É necessário que os alunos joguem por apro-ximadamente 20 minutos. Neste período, esperamos que todos os grupos realizem pelo menos duas partidas. Contudo, se algum grupo realizar mais, não há problema. Os resultados obtidos em cada rodada devem ser anotados pelos grupos na Tabela 1, que contém:

fig. 2

etapa

os resultados dos lançamentos do dado, �

por rodada;o número de lançamentos em cada rodada; �

o resultado obtido no último lançamento �

do dado;o conjunto vencedor em cada rodada. �

Cada linha será usada para uma rodada.

É importante que todos os alunos tenham as informações obtidas pelo grupo em cada partida.

Faces obtidas por rodada Total de

lançamentos

Face do

último

lançamento

Conjunto

vencedor

4 4 2 4 B5 4 2 4 B1 5 3 3 3 A6 2 2 2 A1 5 2 3 2 A4 2 6 3 6 C4 6 2 6 C4 1 5 3 5 C4 2 1 1 4 1 A

tabela 1 Registro dos resultados do experimento. As primeiras

oito colunas indicam as faces obtidas em cada lançamento de cada

rodada. Neste exemplo, A venceu 4 rodadas, B venceu 2 e C venceu

3, porém a partida não terminou.

Note que o número !máximo de lances por rodada é 8 se obtivermos apenas a face 1.

Análise das informações

Depois dos 20 minutos de jogo, peça aos grupos que preencham a Tabela 2 com as frequências das faces em todos os lança mentos e as frequências dos resultados da última rodada.

Com os dados da tabela, peça aos alunos que construam os gráficos de frequências das faces obtidas em todos os lançamentos, como na figura 3, e das faces obtidas no último lançamento, como na figura 4.

etapa

Face sorteada 1 2 3 4 5 6 Total

Frequência das faces

5 4 1 7 4 3 24

Frequência no último lançamento

1 2 1 2 1 2 9

tabela 2 Frequências das faces obtidas em todos os lançamentos e apenas

no último lançamento. Exemplo a partir da Tabela 1.

A ! Tabela 2 serve para verificar se o dado utilizado pelo grupo é equilibrado. Caso observe que a frequência entre as faces sorteadas não é homogênea comente com a sala sobre a possibili-dade destas flutuações.

10

1

2

3

4

5

6

7

8

2 3 4 5 6

10

1

2

3

2 3 4 5 6

fig. 3 Gráfi co de frequências das faces em todas os lançamentos.

fig. 4 Gráfi co de frequências das faces obtidas no último lançamento.

Na Folha do Aluno não há exemplo de Gráfi co de Frequência. Caso os alunos não tenham visto tal construção, faça na lousa um exemplo antes do início da Etapa 2. Percorra a sala enquanto os alunos realizam a atividade e procure orientá-los na construção de um gráfi co para cada partida. As perguntas a serem respondidas nesta etapa são:

É razoável supor que o dado é equilibrado, 1. ou seja, que as faces têm a mesma probabilidade de ocorrer? Em qual gráfi co você observa isto?Existem faces mais prováveis no último 2. lançamento ou todas têm mesma probabilidade de ocorrer? Em qual gráfi co você observa isto?Qual conjunto tem mais chances de ganhar?3.

A partir das questões acima, incentive os alunos a discutir internamente nos grupos o signifi cado de cada um dos 2 gráfi cos construídos. Questione-os sobre quais informações podem ser obtidas e sobre as conclusões a que se pode chegar a partir dos dados coletados durante os jogos.

Enquanto os alunos executam a Etapa 2, construa na lousa a Tabela 3. O intuito dessa construção é unir os dados dos grupos e construir novos gráficos, só que dessa vez com muito mais informação. Para isso, recomendamos que escolha ao menos 5 partidas de diferentes grupos. Isso nos dará aproximadamente 100 rodadas e 300 lançamentos de dados, aumentando assim a precisão das estimativas das proba-bilidades requeridas.

Na hipótese criada no início do jogo, muitos alunos acreditarão que o conjunto

tem mais chances de vencer pois tem mais elementos. Contudo,

Último lançamento A B C Total

1 2 3 4 5 6

Grupo 1 2 3 4 3 6 4 22

Grupo 2 1 2 3 4 4 6 20

Grupo 3 1 4 4 6 4 6 25

Grupo 4 - - - - - - -

Grupo 5 - - - - - - -

Total 4 9 11 13 14 16 67

24 13 30 67

tabela 3 Frequências das faces obtidas no último lançamento, com

as informações de todos os grupos, e os totais por conjunto.

se somarem a frequência de sorteio dos números desse conjunto verão que é menor do que a frequência para o conjunto

. Intuitivamente, podemos esquematizar a solução deste problema da seguinte maneira:A face 1 somente encerra a rodada se o peão �

estiver na casa 7;A face 2 somente encerra a rodada se o peão �

estiver nas casas 6 ou 7;A face 3 somente encerra a rodada se o peão �

estiver nas casas 6, 7 ou 8;Assim sucessivamente, a face 6 somente �

encerra a rodada se o peão estiver em qualquer uma das casas de 2 a 7.

A Tabela 4 mostra estas possibilidades para cada uma das faces:

tabela 4 ossibilidades de cada face no último lançamento,

de acordo com a posição do peão. Observe que a face 6 tem

mais opções de sair no último lançamento do que a face 1.

Face do último

lançamento

Encerra a rodada se o peão estiver em uma

das seguintes casas:

2 3 4 5 6 7

1 X

2 X X

3 X X X

4 X X X X

5 X X X X X

6 X X X X X X

Da Tabela 4 podemos concluir que a face 6 tem mais chances de ser a última do que a face 1, por exemplo. Porém, qual é esta chance? Podemos calculá-la? Para calcular a probabilidade do último lançamento precisamos considerar os sorteios anteriores e saber em que casa o peão se encontra no penúltimo lançamento. Por exemplo, a probabilidade de que a face 1 seja o último lançamento é:

último lance é 1 peão está na casa 7 e obter face 1

peão está na casa 7 obter face 1

Além disso, para saber qual é a probabilidade de estar em cada uma das casas da trilha precisamos saber de quantas formas podemos chegar até essas casas. Esta conta envolve cálculo combinatório. Vejamos a probabilidade de estar na casa 3:

Casa 3 faces obtidas

ou ou ou

Assim, a chance de que o peão esteja na casa 3 é ⁴⁹⁄₂₁₆.

No Guia do Professor é possível encontrar o cálculo da probabilidade de estarmos em cada uma das casas, além de mais detalhes sobre o cálculo das chances de vitória de cada grupo. Se os dados estiverem balanceados, a probabilidade de cada face no último lançamento é a representada na Tabela 5:

Observando a tabela 5 temos que o conjunto C é a melhor opção.

Último lance A B C

1 2 3 4 5 6

Probabilidade 0,04 0,1 0,15 0,2 0,24 0,27

0,29 0,2 0,51

tabela 4 Probabilidade teórica de cada face no último

lançamento.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoraLaura Letícia Ramos Rifo

Coordenação de redaçãoLeonardo Barichello

RedaçãoFabricio de Paula Silva

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio e José Plínio de Oliveira Santos Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto