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3  

 

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Ítalo Linhares Salomão

Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade de Fortaleza (Ceará, Brasil) em 2011. Trabalhou na área de projetos de estruturas de concreto armado e protendido na empresa Structurale. Desenvolveu junto com os seus orientadores durante o Mestrado modelos representativos de lajes nervuradas.

Ficha Catalográfica

Salomão, Ítalo Linhares Análise numérica da eficiência de lajes nervuradas tridirecionais / Ítalo Linhares Salomão ; orientadora: Marta de Souza Lima Velasco ; co-orientadora: Elisa Dominguez Sotelino. – 2014. 107 f. il. (color.) ; 30 cm Dissertação (mestrado)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2014. Inclui bibliografia 1. Engenharia civil – Teses. 2. Elementos finitos. 3. Laje nervurada. 4. Laje nervurada rotacionada. 5. Laje nervurada tridirecional. I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Sotelino, Elisa Dominguez. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

CDD: 624

 

4  

 

Dedico este trabalho a Edna Salomão, pelo apoio dado através do amor incondicional de mãe.

5  

 

Agradecimentos

Aos meus pais, irmã e cunhado que decidiram apoiar minhas decisões e me guiar através das incertezas.

Aos que inicialmente e continuamente cultivaram junto comigo a paixão pela engenharia civil, dentre elas cito Cássio, Georgiana e Anderson.

Aos amigos da Pós-Graduação que tão rapidamente se tornaram uma segunda família em uma cidade até então estranha, aos Snakes (Helvio, Graciele e Patrick), por uma irmandade jamais esperada, tendo posteriormente agregado mais pessoas como Carlos e Magno.

A todos aqueles que me acompanharam fora da faculdade, Wetter, Duan, Elida, Luiz, Tia Ana, Gisele e Leonardo, a quem tem me auxiliado de uma maneira singular, se mostrando uma pessoa que desejo ter ao meu lado sempre.

Às professoras Marta Velasco e Elisa Sotelino pela orientação de forma tão competente e afetuosa tornando esse processo mais fluido.

Aos que me transmitiram ética e profissionalismo, além de todo o conhecimento, agradeço a Eduardo Leite, Letícia Leite e Elaine Ponte.

A empresa Impacto Protensão, por manter as portas abertas para o desenvolvimento de novas pesquisas.

Ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos durante o curso de mestrado.

6  

 

Resumo

Salomão, Ítalo Linhares; Velasco, Marta de Souza Lima (Orientador); Sotelino, Elisa Dominguez (Co-Orientador).  Análise numérica da eficiência de lajes nervuradas tridirecionais. Rio de Janeiro, 2013, 107pp. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

As lajes nervuradas quando comparadas às lajes maciças apresentam

redução do volume de concreto, não comprometem a eficiência da estrutura e

permitem a construção de lajes mais econômicas e com maiores vãos. Este

trabalho tem como objetivo verificar o comportamento de três tipos de lajes

nervuradas: a laje nervurada tradicional, a laje nervurada rotacionada e a laje

nervurada tridirecional. Na primeira fase deste trabalho foi realizado um estudo

comparativo de vários modelos usando diferentes tipos de elementos, a fim de

determinar aquele que melhor representa o comportamento das lajes nervuradas.

O modelo selecionado utiliza elementos de casca para representar a capa de

concreto e elementos de viga para representar as nervuras, ambos com seis graus

de liberdade por nó. Elementos de ligação rígida foram usados para conectar os

elementos de casca e os de viga a fim de capturar a posição relativa entre a capa e

as nervuras. Uma vez selecionado o modelo, foi desenvolvido um estudo dos

sistemas bidirecional, rotacionado e tridirecional, no regime elástico-linear. Os

resultados encontrados através do programa de elementos finitos Robot

permitiram comparar os três tipos de lajes em termos dos deslocamentos obtidos

no Estado Limite de Serviço, da quantidade de aço determinada através do

dimensionamento no Estado Limite Último, e do volume de concreto. As lajes

nervuradas tradicionais apresentaram um comportamento estrutural melhor, com

lajes mais rígidas e mais econômicas sob o ponto de vista da quantidade de

materiais utilizados.

Palavras-chave

Elementos Finitos; Laje Nervurada; Laje Nervurada Rotacionada; Laje Nervurada Tridirecional.

7  

 

Abstract

 

Salomão, Ítalo Linhares; Velasco, Marta de Souza Lima (Advisor); Sotelino, Elisa Rodrigues (Co-Advisor).  Numerical analysis of the efficiency of three-way slabs. Rio de Janeiro, 2013, 107pp. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

When compared to flat slabs, the waffle slabs reduce the volume of

concrete, do not compromise the efficiency of the structure and also allow the

construction of more economical slabs with longer spans. This study intends to

investigate the behavior of three types of waffle slabs: a traditional waffle slab, a

rotated ribbed slab and three-way slab. In the first part of this study, it was carried

out a comparative analysis of various models using different types of finite

element techniques in order to determine which one best represents the behavior

of waffle slabs. The selected model uses shell elements to represent the concrete

cover and beam elements to represent the ribs, both with six degrees of freedom

per node. Rigid link elements were used to connect the shell elements and the

beam elements in order to capture the relative position between the concrete cover

and the ribs. Once the model was selected, a study of two-way, three-way and

rotational systems were developed in the linear elastic regime. The results found

using the finite element program Robot allowed the comparison between the three

types of slabs in terms of, displacements obtained from the Service Limit State,

amount of steel determined by designing in the Ultimate Limit State and volume

of concrete. The traditional ribbed slabs had an overall better structural behavior,

resulting in slabs that are more rigid and more economical from the point of view

of the amount of materials used.

Keywords

Finite Elements; Waffle Slabs, Rotated Waffle Slabs, Three-way Waffle Slabs.

8  

 

Sumário

1.   Introdução ................................................................................................................ 17 

1.1. Motivação ............................................................................................................... 18 

1.2. Objetivos ................................................................................................................ 18 

1.3. Estrutura do Trabalho ............................................................................................ 19 

2.   Pesquisa Bibliográfica ............................................................................................... 20 

2.1. Considerações Gerais Sobre Lajes .......................................................................... 20 

2.2.  Lajes Maciças ......................................................................................................... 22 

2.2.1. Considerações Gerais ...................................................................................... 22 

2.2.2. Prescrições Normativas (NBR 6118:2007)....................................................... 23 

2.3. Lajes Nervuradas .................................................................................................... 24 

2.3.1. Considerações Gerais ...................................................................................... 24 

2.3.2. Prescrições Normativas (NBR 6118:2007)....................................................... 26 

2.4. Lajes Tridirecionais ................................................................................................. 26 

2.4.1. Considerações Gerais ...................................................................................... 26 

2.4.2. Método Construtivo e Detalhamento ............................................................. 30 

2.4.3. Lajes Contínuas Ligadas por Vigas Faixas Nervuradas .................................... 31 

2.5. Métodos de Análise ................................................................................................ 32 

2.5.1 Teoria das Placas .............................................................................................. 33 

2.5.1.1.   Teoria Clássica das Placas Delgadas ................................................. 34 

2.5.1.2. Momento em uma Placa Anisotrópica ..................................................... 35 

2.6. Procedimentos Numéricos e Analíticos ................................................................. 36 

2.6.1. Método dos Elementos Finitos ....................................................................... 36 

2.6.1.1. Fundamentos Teóricos ............................................................................. 36 

2.6.1.2. Elementos e Convergência ....................................................................... 37 

2.6.1.3. Método dos Elementos Finitos Baseado em Deslocamentos .................. 39 

2.6.1.4. Integração Numérica por Pontos de Gauss .............................................. 42 

2.6.2. Grelha Equivalente .......................................................................................... 43 

2.6.3. Métodos Empíricos ......................................................................................... 45 

2.7. Programas Computacionais para Análise de Estruturas ........................................ 46 

2.7.1. Autodesk Robot ............................................................................................... 47 

3.   Modelagem por Elementos Finitos .......................................................................... 48 

3.1. Validade do Modelo ............................................................................................... 48 

9  

 

3.2. Precisão do Modelo ................................................................................................ 52 

3.3. Ligação Rígida ......................................................................................................... 53 

3.4. Resultados do Estudo de Convergência ................................................................. 56 

4.   Estudo do Comportamento de Lajes Nervuradas .................................................... 66 

4.1. Análise Numérica de Laje Nervurada Simplesmente Apoiada ............................... 67 

4.1.1. Laje Nervurada Ortogonal ............................................................................... 70 

4.1.2. Laje Nervurada Rotacionada ........................................................................... 73 

4.1.3. Laje Nervurada Tridirecional ........................................................................... 75 

4.2. Análise Numérica de Lajes Nervuradas com Diversas Condições de Apoio ........... 77 

4.3. Análise Numérica de Lajes Contínuas Ligadas por Vigas Faixas Nervuradas ......... 83 

5.   Análise dos Resultados ............................................................................................. 87 

5.1. Análise dos Resultados para Lajes Simplesmente Apoiada ................................... 87 

5.2. Análise dos Resultados para Lajes com Diversas Condições de Apoio .................. 92 

5.3. Análise Numérica de Lajes Contínuas ligadas por Vigas Faixas Nervuradas .......... 97 

6.   Conclusões e Sugestões ......................................................................................... 101 

6.1. Conclusões ............................................................................................................ 101 

6.2. Sugestões para Trabalhos Futuros ....................................................................... 104 

Referências Bibliográficas ............................................................................................... 106 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10  

 

Lista de Figuras

 

 

 

Figura 2.1 – Laje Lisa, Reinforced Concrete Slabs [10] .................................... 22

Figura 2.2 – Laje cogumelo, Reinforced Concrete Slabs [10] ........................... 23

Figura 2.3 – Laje nervurada ................................................................................ 25

Figura 2.4 – Modulação da forma de uma laje tridirecional, Análise

Tridirecional em Lajes Nervuradas Protendidas [12] ......................................... 27

Figura 2.5 – Sistema de escoramento de uma laje tridirecional ......................... 30

Figura 2.6 – Laje nervurada tridirecional, Sistema Construtivo Tridirecional

para Construção de Lajes Nervuradas [3] .......................................................... 31

Figura 2.7 – Laje nervurada tridirecional ........................................................... 32

Figura 2.8 – Corpo livre a um ângulo a........................................................... 34

Figura 2.9 – Cálculo do momento por nervura através do momento por

unidade de comprimento, Theory of plates and shells [13] ................................ 45

Figura 3.1 – Forma da Laje nervurada ............................................................... 50

Figura 3.2 – Planta de locação da área de carregamento .................................... 51

Figura 3.3 – Modelos de viga com e sem excentricidade, Análise numérica de

lajes nervuradas por meio do método dos elementos finitos [6] ........................ 55

Figura 3.4 – Laje nervurada gerada pelo Modelador TQS ................................. 56

Figura 3.5 – Deslocamento obtido pelo Modelador TQS ................................... 57

Figura 3.6 – Modelo de casca e viga sem ligações rígidas ................................. 57

Figura 3.7 – Malha de 25x25 cm² para o modelo de casca e viga sem ligações

rígidas ................................................................................................................. 58

Figura 3.8 – Modelo de casca e viga com ligações rígidas ................................ 58

 

11  

 

Figura 3.9 – Modelo de elementos sólidos ......................................................... 59

Figura 3.10 – Planta de locação dos pontos de instrumentação ......................... 59

Figura 3.11 – Deslocamentos obtidos através do modelo com elementos de

casca e viga sem consideração do offset ............................................................. 60

Figura 3.12 – Deslocamentos obtidos através do modelo com elementos de

casca e viga com consideração do offset ............................................................. 60

Figura 3.13 – Deslocamentos obtidos através do modelo com elementos

sólidos ................................................................................................................. 61

Figura 3.14 – Gráfico comparativo dos deslocamentos ...................................... 62

Figura 4.1 – Geometria das formas da laje tipo .................................................. 59

Figura 4.2 – Laje de referência 1.1, Marcus caso 1 – 6x6 m² (λ=1) .................. 70

Figura 4.3 – Laje de referência 2.1, Marcus caso 1 – 6x4 m² (λ=1,5) ............... 70

Figura 4.4 – Laje de referência 3.1, Marcus caso 1 – 6x3 m² (λ=2) .................. 71

Figura 4.5 – Momentos principais nas direções x e y, λ=1 ............................... 71

Figura 4.6 – Laje de referência 1.2, Marcus caso 1 – 6x6 m² (λ=1) .................. 74

Figura 4.7 – Laje de referência 2.2, Marcus caso 1 – 6x4 m² (λ=1,5) .............. 74

Figura 4.8 – Laje de referência 3.2, Marcus caso 1 – 6x3 m² (λ=2) ................. 74

Figura 4.9 – Laje de referência 1.3, Marcus caso 1 – 6x6 m² (λ=1) ................. 76

Figura 4.10 – Laje de referência 2.3, Marcus caso 1 – 6x4 m² (λ=1,5) ............ 76

Figura 4.11 – Laje de referência 3.3, Marcus caso 1 – 6x3 m² (λ=2) ............... 76

Figura 4.12 – Lajes de referência no caso 2 de Marcus ..................................... 79

Figura 4.13 – Lajes de referência no caso 4 de Marcus ..................................... 79

Figura 4.14 – Lajes de referência no caso 5 de Marcus ..................................... 80

Figura 4.15 – Lajes de referência no caso 7 de Marcus ..................................... 80

 

12  

 

Figura 4.16 – Lajes de referência no caso 9 de Marcus ..................................... 81

Figura 4.17 – Lajes de referência no caso 4 de Marcus ..................................... 82

Figura 5.1 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos no caso 1 ..... 87

Figura 5.2 – Gráfico comparativo entre peso de aço nas nervuras no caso 1 ..... 89

Figura 5.3 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras no

caso 1 .................................................................................................................. 90

Figura 5.4 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos ..................... 92

Figura 5.5 – Gráfico comparativo entre peso de aço nas nervuras ..................... 94

Figura 5.6 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras ........ 95

Figura 5.7 – Deslocamentos da laje bidirecional ................................................ 97

Figura 5.8 – Deslocamentos da laje rotacionada ................................................ 97

Figura 5.9 – Deslocamentos da laje com faixas nervuradas ............................... 98

Figura 5.10 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos ................... 98

Figura 5.11 –Gráfico comparativo entre peso de aço das nervuras e vigas faixa 99

Figura 5.12 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras e

vigas faixa ........................................................................................................... 100

 

13  

 

Lista de Tabelas

Tabela 3.1 – Quadro comparativo da convergência dos deslocamentos,

Análise numérica do comportamento de pavimentos constituídos de lajes lisas

de concreto protendido [9] ..................................................................................

53

Tabela 3.2 – Quadro comparativo dos deslocamentos nos diversos modelos

estudados ............................................................................................................ 61

Tabela 3.3 – Quadro comparativo dos deslocamentos entre modelos estudados 62

Tabela 3.4 – Quadro comparativo dos deslocamentos obtidos em um modelo

com variação de malha ....................................................................................... 63

Tabela 3.5 – Quadro apresentando a quantidade de nós nos diversos modelos

estudados ............................................................................................................ 64

Tabela 4.1 – Propriedades mecânicas dos materiais empregados ...................... 67

Tabela 4.2 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes

ortogonais, no caso 1 .......................................................................................... 72

Tabela 4.3 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1 .......... 72

Tabela 4.4 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes

rotacionadas, no caso 1 ....................................................................................... 75

Tabela 4.5 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1 .......... 75

Tabela 4.6 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes

tridirecionais, no caso 1 ...................................................................................... 77

Tabela 4.7 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1 .......... 77

Tabela 4.8 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes ....... 82

Tabela 4.9 – Verificação da tensão de compressão das bielas ........................... 83

14  

 

Tabela 4.10 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes ..... 86

Tabela 4.11 – Verificação da tensão de compressão das bielas ......................... 86

Tabela 5.1 – Comparação entre deslocamentos máximos no caso 1 .................. 88

Tabela 5.2 – Comparação entre peso de aço nas nervuras no caso 1 ................. 89

Tabela 5.3 – Comparação entre volume de concreto das nervuras no caso 1 .... 91

Tabela 5.4 – Comparação entre deslocamentos máximos .................................. 93

Tabela 5.5 – Comparação entre peso de aço nas nervuras ................................. 94

Tabela 5.6 – Comparação entre volume de concreto das nervuras .................... 96

Tabela 5.7 – Comparação entre deslocamentos máximos .................................. 98

Tabela 5.8 – Comparação entre peso de aço das nervuras e vigas faixas ........... 99

Tabela 5.9 – Comparação entre volume de concreto das nervuras e vigas

faixas ................................................................................................................... 100

 

15  

 

Lista de Símbolos

 

 

 

 

 

Letras Romanas Maiúsculas

P Força externa

N Função de forma

G Módulo de elasticidade transversal

q Carga imposta na placa ou na barra

A Área da seção transversal

F Força axial

, Força Cortante

E Módulo de elasticidade ou módulo de Young

 

Letras Romanas Minúsculas

, , Momento

u’ Deslocamento axial

k Matriz de rigidez

h Espessura da placa

w Deflexão da placa na direção do carregamento no ponto

16  

 

Letras Gregas

  Coeficiente de Poisson

Ω  Trabalho exercido pelas forças externas

, ,    Tensão

,  ,    Deformação especifica

λ Relação entre vãos da laje

Π  Energia potencial

U Energia Interna ou energia de deformação

 

Lista de Abreviaturas

MEF Método dos Elementos Finitos

ELS Estado Limite de Serviço

ELU Estado Limite Último

GUI Graphical User Interface

BIM Building Information Modeling

GDL Grau de Liberdade

MRD Método da Rigidez Direta

EPE Energia Potencial Estacionária

NBR Norma Brasileira Registrada

17  

 

1. Introdução

A concepção de um modelo teórico ou computacional para o projeto de uma

estrutura deve ser capaz de simular o modelo físico real, garantir a segurança à

ruptura, satisfazer os estados limites de utilização e as recomendações das normas.

O projeto resultante deve, também, ser econômico e de fácil execução.

O desenvolvimento da tecnologia dos materiais, as novas técnicas

construtivas e as ferramentas computacionais sofisticadas (maior capacidade de

processamento e armazenamento de dados) capazes de reproduzir com maior

precisão o comportamento das estruturas, possibilitam, atualmente, o projeto de

estruturas mais arrojadas e esbeltas.

A laje nervurada é uma solução estrutural bastante adotada no caso de lajes

com grandes dimensões, pois como uma parcela de concreto é retirada da zona

tracionada e as armaduras são concentradas nas nervuras, há redução no peso

próprio e economia no custo final da obra.

As tensões nas placas oriundas de carregamentos uniformes são

naturalmente direcionadas para os elementos mais rígidos, formando usualmente

um ângulo de 45º. A fim de aperfeiçoar o comportamento estrutural do sistema,

Rocha [11] sugere a inclinação das nervuras para o mesmo plano do

caminhamento das tensões, gerando assim uma grelha rotacionada. Esta solução

possibilita a utilização de lajes tridirecionais, ou seja, armadas em três direções,

sendo uma delas transversal e as duas restantes com angulação de 45° em relação

aos eixos cartesianos da laje.

18  

 

1.1.

Motivação

 

As placas são elementos estruturais bidimensionais complexos e de difícil

solução através de métodos analíticos. Por este motivo, processos simplificados de

dimensionamento foram propostos apesar da divergência entre esforços e

deslocamentos reais e teóricos.

Os processos numéricos de cálculo como, por exemplo, a análise de

estruturas através dos métodos dos elementos finitos, são cada vez mais utilizados

porque fornecem resultados próximos dos modelos reais e permitem modelar

novos sistemas estruturais mais complexos e econômicos.

 

1.2.

Objetivos

 

Este trabalho tem como objetivo comparar o comportamento de três tipos de

lajes nervuradas: A tradicional, a rotacionada e a tridirecional. A análise dos

resultados obtidos vai dar subsídio para a escolha do melhor tipo de laje para

substituir a laje maciça.

O estudo abrange lajes nervuradas apoiadas em faixas maciças ou

nervuradas, sustentadas por apoios engastados em suas extremidades e

parcialmente flexíveis nos nós de ligação com a laje.

Será feita uma análise elástica linear através do método dos elementos

finitos e uma comparação quanto a interferência da relação entre os vãos nas

direções x e y nos esforços internos e no deslocamento da laje.

Sendo assim, serão adotados critérios de projeto comumente utilizados em

edifícios residenciais, os materiais utilizados para essas estruturas, o carregamento

recomendado pela NBR 6120:1980 e as combinações de carga previstas pela NBR

6118:2007.

Essa metodologia é estabelecida a partir dos resultados dos diversos

modelos simulados através do programa computacional Robot.

19  

 

1.3.

Estrutura do Trabalho

 

Esta dissertação está dividida em seis capítulos.

Capítulo 1: INTRODUÇÃO – No presente capítulo são abordados, de forma

sucinta, o conteúdo, a motivação e os objetivos desta pesquisa.

Capítulo 2: PESQUISA BIBLIOGRÁFICA – Este capítulo apresenta uma

breve consideração sobre os tipos de laje e os métodos de análise necessários para

seu estudo. Com ênfase nas lajes nervuradas tradicionais, rotacionadas e

tridirecionais.

São apresentados procedimentos numéricos e analíticos para análise das

lajes e programas computacionais para auxiliar neste trabalho.

Capitulo 3: MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS – Este capítulo

apresenta uma revisão dos conceitos do método dos elementos finitos e sua

utilização na modelagem de lajes nervuradas. Os resultados obtidos com a

utilização de analíticos e modelos numéricos são comparados com o objetivo de

verificar a eficiência de cada um para representar o comportamento de uma placa

nervurada.

Capitulo 4: ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE LAJES

NERVURADAS – Neste capitulo é desenvolvido o estudo dos esforços internos,

de deslocabilidade e o dimensionamento de três tipos de lajes nervuradas, a

tradicional, a rotacionada e a tridirecional.

Capitulo 5: ANÁLISE DOS RESULTADOS – Neste capítulo são

apresentados e analisados os resultados obtidos com a utilização dos modelos do

Capítulo 4 e a eficiência de cada modelo.

Capitulo 6: CONCLUSÃO – Com base nos resultados obtidos e

apresentados no Capítulo 5, é possível escolher que modelo melhor representa

uma laje nervurada quando calculada através do método dos elementos finitos e

qual das lajes nervuradas, dentre as analisadas, apresenta melhor eficiência nos

quesitos rigidez global da estrutura e custo.

20  

 

2. Pesquisa Bibliográfica

2.1. Considerações Gerais Sobre Lajes

A hierarquia de transmissão dos carregamentos em um sistema estrutural

tem como primeiro elemento a laje, responsável pela resistência direta às cargas

provenientes de ações permanentes como revestimento, tubulações entre outros

elementos fixos, e ações variáveis como pessoas, móveis e etc.

As lajes podem ser classificadas a partir de diferentes critérios.

Quanto à forma: retangulares, quadradas, poligonais, circulares ou

elípticas;

Quanto à natureza:

Maciças: placas monolíticas de concreto armado ou

protendido;

Nervuradas: compostas por nervuras na sua zona tracionada

e por uma mesa, também chamada de capa, na zona

comprimida;

Mistas: semelhantes às nervuradas, a diferença está na

adição de tijolos cerâmicos que colaboram na resistência aos

esforços de compressão oriundos da flexão;

Em grelhas: semelhantes às lajes nervuradas, o espaçamento

entre nervuras não obedece às limitações das lajes

nervuradas previstas na NBR 6118:2007 [1];

Duplas: apresentam capa tanto na parte superior quanto

inferior;

Pré-moldadas: são fabricadas como elementos isolados,

apenas a montagem é feita no local, proporcionando,

portanto uma execução mais rápida;

21  

 

Cogumelos: lajes que não apresentam sistema de vigas,

desta forma as cargas são transmitidas diretamente aos

pilares, os quais podem ou não ter capitéis sobre eles,

Lisas: caso particular da laje cogumelo, os capitéis não

existem.

Quanto ao tipo de apoio: contínuo ou discreto;

Quanto ao tipo de armação: armadas em uma ou duas direções. 

A NBR 6120 [2] estabelece os valores que devem ser adotados para as

cargas variáveis em diferentes situações, e os valores de cargas permanentes para

diversos materiais. As cargas variáveis são analisadas em várias situações

probabilísticas, prevalecendo a mais desfavorável por questão de segurança. A

NBR 6118:2007 [1] indica os coeficientes de ponderação das ações para diversas

situações.

Quanto aos estágios de carregamento de uma laje de concreto armado, em

um primeiro nível de deformação não surgem fissuras. À medida que a

intensidade da carga aumenta, ocorre a formação de fissuras até o ponto onde a

placa não resistirá mais e entrará em colapso. O estado-limite de serviço está

relacionado à aparência, conforto do usuário e a boa utilização funcional da

construção e estado-limite último relacionado ao colapso da estrutura.

Essa alteração nos estágios de deformações é estudada através dos estádios:

O estádio I corresponde ao regime elástico, o II ao de fissuração e o III ao de

ruina. Os dois primeiros são utilizados para verificação das situações de serviço e

o terceiro ao Estado Limite Último.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.

Laje

 

2.2.1Con

carga

dúcte

ou di

proje

most

dimin

das a

sufic

aume

(figu

como

esses

es Maciças

1. nsideraçõe

As lajes

as preponde

eis às solici

iretamente

eto e dos vã

O modelo

trado na Fig

nuição das

armaduras.

F

No entant

ciente para c

entar a seçã

ura 2.2). Ou

o resultado

s esforços. E

s

es Gerais

maciças sã

erantemente

itações, e ta

aos pilares.

ãos adotados

o de laje qu

gura 2.1. Es

formas e d

Figura 2.1 –

to, nos caso

combater os

ão da laje n

utras soluçõ

o chamado

Este esforço

ão element

e normais a

mbém trans

. A escolha

s.

ue não apr

sse tipo de l

do cimbram

Laje lisa, Re

os com carg

s esforços c

nesta região

ões são o au

o capitel, o

o é denomin

tos estrutur

ao seu plano

smitir o car

a é feita a p

resenta viga

laje traz div

mento, o tem

einforced C

gas elevada

cisalhantes

o, ocasionad

umento da

ou a utilizaç

nado punção

rais bidime

o médio que

regamento

artir da ma

a é denomi

versas vanta

mpo de conc

oncrete Slab

as, se a espe

no entorno

do o chama

seção na c

ção de arm

o.

nsionais pl

e devem se

nela aplicad

gnitude das

inado laje

agens prátic

cretagem e

bs [10].

essura da la

do pilar, é

ado ábaco o

cabeça do p

aduras para

22 

lanos com

apresentar

do às vigas

s cargas de

lisa, como

cas como a

montagem

aje não for

necessário

ou pastilha

pilar, tendo

a combater

 

 

2.2.2Pres

de M

apres

um p

méto

Quan

realiz

distri

most

surgi

serão

Figu

2. scrições N

As lajes m

Mindlin co

sentado em

A NBR 61

procedimen

odo das dife

ndo os pila

zado atrav

ibuição dos

trados na se

A necessid

issem méto

o abordados

ura 2.2 – Laje

Normativa

maciças pod

om solicita

maiores de

118:2007 [1

nto numéric

erenças fini

ares estivere

és do mét

s momento

eção 14.7.8 d

dade de mo

odos simplif

s na seção 2

e cogumelo

s (NBR 61

dem ser ana

ações princ

talhes na se

1] recomend

co adequad

itas, método

em dispost

todo dos p

os positivos

dessa norm

odelos mais

ficados com

.6.3.

o, Reinforced

118:2007)

alisadas pela

cipalmente

eção 2.5.1 d

da o cálculo

do, como o

o dos elem

tos em filas

pórticos eq

s e negativ

ma.

práticos pa

mo os de M

d Concrete

a teoria da p

normais a

deste trabalh

o de lajes m

o método d

mentos de co

s ortogonai

quivalentes

vos com os

ara a análise

Marcus e Cz

Slabs [10].

placa de Ki

ao seu pla

ho.

maciças lisas

dos element

ontorno, en

is, o estudo

e, portant

s valores p

e de lajes fe

zerny. Esse

23 

 

irchhoff ou

ano, como

s utilizando

tos finitos,

ntre outros.

o pode ser

to fazer a

percentuais

ez com que

es métodos

24  

 

2.3.

Lajes Nervuradas

2.3.1. Considerações Gerais

Uma seção de concreto armado com carregamentos aplicados

perpendicularmente ao seu eixo longitudinal apresenta um binário de forças

equilibradas atuantes nas fibras superior e inferior, sendo uma delas de

compressão e outra de tração. Essa separação é feita a partir da linha neutra, que

nos casos de vãos com grande dimensão, se encontra mais elevada do que quando

se tem pequenos vãos. Como o concreto apresenta uma resistência à tração muito

pequena, desenvolveu-se o conceito de diminuir a área de concreto da região

tracionada das lajes e concentrar as armaduras nas nervuras.

Na laje nervurada, retira-se parte do concreto da zona tracionada, e

colocam-se materiais inertes como formas de polipropileno, isopor, ou tijolos

cerâmicos sem função estrutural, formando uma mesa de concreto apoiado em

grelhas de vigas. Há uma maior economia de material, um menor peso próprio da

laje, e consequentemente menor peso final da estrutura descarregado nas

fundações. Esse modelo é usualmente adotado para lajes com grandes vãos ou

elevados carregamentos, podendo ser armadas em duas direções, ou em uma

direção, quando utilizado o tapa nervura em um dos sentidos.

As formas de polipropileno, também chamadas de plasterits, se tornaram

comercialmente mais utilizadas por serem fabricadas com um material reciclável e

com grande durabilidade, podendo ser reaproveitadas em diversas lajes diferentes.

Empresas como a Impacto Protensão apresentam um catálogo com dimensões pré-

estabelecidas que sugere ao arquiteto e ao engenheiro uma modulação para obras

mais rotineiras.

Para modelar essa classe de laje, em se tratando das condições de contorno,

Carvalho [4] indica a sua consideração como simplesmente apoiada em todo o seu

bordo, já que a espessura da capa, geralmente esbelta, não é suficiente para resistir

às tensões de tração. Esta é uma situação não real por não representar a

continuidade dos painéis de lajes com os adjacentes.

 

 

pode

sistem

em a

most

se cr

torne

some

que s

se de

da fa

os ne

carga

carga

inérc

valor

painé

A obtençã

e ser feita at

ma pode se

alguns casos

tra a seção 1

Com o int

riar faixas m

e plano (fig

ente nos ca

se pode assu

eforma com

aixa, que po

egativos na

Portanto p

a total trans

a total deve

cia da faixa

r de carga c

éis.

ão dos esfor

través da te

er comparad

s, é permiti

14.7.7 da NB

tuito de aum

maciças com

gura 2.3). A

asos que ela

umir que as

mo uma estru

ode ocasiona

proximidad

para as faix

smitida pelo

e ser o prod

e da laje, p

como se a f

rços em um

eoria das vig

do a uma gr

da a verific

BR 6118:20

mentar a altu

m altura ig

A análise des

a apresenta

s lajes apoia

utura só. Co

ar o aument

de das faixa

Figura 2.3 –

xas rígidas,

os painéis vi

duto de um

pelas cargas

faixa não es

ma laje nervu

gas, já para

relha de bar

cação da laj

007 [1].

ura útil de c

gual a das l

ssas faixas

rigidez mu

am-se nelas

om isso, é n

to dos mom

as.

– Laje nervu

deve-se ad

izinhos. Já p

ma constante

s dos painé

stivesse rec

urada armad

a as armada

rras uniform

e como um

cada pavime

ajes, fazend

deve ser fe

uito maior q

s, caso contr

necessário o

mentos positi

urada.

dotar o cálcu

para as sem

e que relaci

éis vizinhos

ebendo carr

da em uma

s em duas d

memente esp

ma placa mac

ento, surgiu

do com que

eita com ate

que as das

rário toda a

observar a d

ivos da laje

ulo como v

mi-rígidas, o

ione os mo

, e somado

regamento d

25 

só direção

direções, o

paçadas ou

ciça, como

u a ideia de

e o teto se

enção, pois

nervuras é

a superfície

deformação

e diminuir

viga com a

cálculo da

omentos de

a isto, um

devido aos

26  

 

2.3.2. Prescrições Normativas (NBR 6118:2007)  

As lajes nervuradas podem ser consideradas como uma mesa ou capa de

concreto apoiado em um sistema de vigotas ou nervuras. A norma restringe as

espessuras de ambos os elementos da seguinte maneira:

Capa sem tubulação horizontal embutida: 1 15⁄ da distância entre

nervuras ou 3 cm, o que for mais restringível;

Capa com tubulação de até 12,5 mm embutida: valor absoluto

mínimo de 4 cm;

Espessura da nervura: valor não inferior a 5 cm, e para as que

tiverem menos que 8 cm não conter armadura de compressão.

Quanto às hipóteses simplificadoras adotadas, a norma permite para lajes

com espaçamento entre eixos de nervuras inferior ou igual a 65 cm, que a

verificação à flexão da mesa seja desconsiderada, e o cisalhamento das nervuras

seja verificado considerando os critérios de laje. Para as que têm entre 65 e 110

cm, as mesas devem ser verificadas a flexão e as nervuras ao cisalhamento com a

teoria das vigas, salvo para espaçamentos de até 90 cm e largura das nervuras

maior que 12 cm, que devem ser consideradas como laje. Para aquelas com

espaçamento maior que 110 cm, as mesas devem ser calculadas como laje maciça

apoiadas em grelhas de viga.

2.4.

Lajes Tridirecionais

2.4.1. Considerações Gerais  

Ao estudar o caminho das cargas em lajes carregadas uniformemente,

observa-se que as tensões oriundas desse carregamento se dissipam em um fluxo

que segue em direção aos apoios de maior rigidez. Devido a esse fluxo, em sua

maioria, não ser ortogonal aos bordos, a eficiência das lajes tradicionais é

reduzida quando comparada com lajes rotacionadas.

 

 

direç

relaç

melh

const

produ

form

obser

Figu

novo

funci

grelh

estud

ortog

carte

valor

direç

dime

apoia

Através de

ções, sendo

ção aos eix

horia atravé

trutiva. A e

uto que tor

ma constituíd

rvado na Fi

ra 2.4 – Mod

Para obed

o sentido a f

ionamento

has equivale

do prático

gonalmente

esiano. Para

res encontra

ção.

Primeiram

ensão longi

ados.

essa teoria

uma delas

os cartesian

és deste m

empresa Imp

rnou possív

da de mater

igura 2.4.

dulação da f

Laje

decer ao flux

fim de redir

estrutural

ente (métod

que prop

às bordas,

a obtenção

ados através

mente são

itudinal igu

surgem as l

transversal

nos. Rocha

método, no

pacto Prote

vel a constr

rial poliprop

forma de um

es Nervurad

xo natural d

recionar a d

do sistema

do melhor e

pôs equaç

e em lajes

dos momen

s das equaç

apresentado

ual a trans

lajes tridirec

l e as duas

a [11] menc

entanto, f

ensão sediad

rução dessa

pileno com

ma laje tridir

das Protend

de tensões u

distribuição

a. Rocha [1

estudado na

ções dos

inclinadas

ntos em um

ções pelo es

os valores

sversal, sen

cionais, ou

restantes co

ciona a po

foi encontr

da em Forta

a laje em o

um rasgo c

recional, An

didas [12].

utiliza-se um

de cargas e

11] fez a p

a seção 2.6

momentos

a um ângul

ma direção,

spaçamento

para o ca

ndo seus b

seja, armad

om ângulo

ssibilidade

ada uma d

aleza, Ceará

bras, fabric

central, com

nálise Tridire

ma armadura

conseguir u

partir do m

.2 deste tra

em lajes

lo de 45° d

, basta mul

das nervura

aso de laj

bordos sim

27 

das em três

de 45° em

teórica de

dificuldade

á, criou um

cando uma

mo pode ser

ecional em

a com esse

um melhor

método das

abalho) um

s armadas

do seu eixo

ltiplicar os

as na outra

es com a

mplesmente

28  

 

Em uma laje bidirecional sem levar em consideração a torção:

13

(2.1)

Em uma laje bidirecional levando em consideração a torção:

16

(2.2)

Em uma laje Maciça:

27,4

(2.3)

Para o caso de lajes com nervuras inclinadas a 45° do eixo cartesiano temos:

Sem levar em consideração a torção:

25

(2.4)

Levando em consideração a torção:

27

(2.5)

Onde:

: Momento máximo;

: Carregamento distribuído;

: Comprimento da laje.

Este estudo concluiu que as lajes com armadura inclinada apresentam

valores para momentos máximos próximos aos das lajes maciças, ou seja,

possuem um melhor comportamento estrutural com uma grande economia de

concreto devido à criação de espaços vazios na borda tracionada. A justificativa é

a existência de maior entrelaçamento das vigas com a disposição inclinada.

Para o caso das lajes engastadas no contorno, o método tridirecional

apresenta ainda maior diferença em relação ao tradicional, pois as nervuras

próximas aos vértices apresentam um momento positivo pequeno já que estas

terão comprimentos menores que as centrais. A formulação para estes casos

(equações 2.6, 2.7 e 2.8) apresentados por Rocha [11] são denominadas pelo

29  

 

próprio autor como grosseiras e por isso obtêm resultados com alto coeficiente de

segurança.

Momento positivo:

32

(2.6)

Momento negativo das nervuras centrais:

32

(2.7)

Momento negativo das nervuras no canto:

18

(2.8)

Onde:

: Dimensão em relação ao eixo da laje.

Por fim, Rocha [11] sugere os coeficientes para momentos em lajes com a

relação (sendo este igual a ⁄ ) entre dois e três, apresentados através das

equações 2.9, 2.10 e 2.11.

Momento positivo:

36

(2.9)

Momento negativo das nervuras centrais:

12

(2.10)

Momento negativo das nervuras no canto:

24

(2.11)

No caso de lajes com nervuras próximas e numerosas é indicada a

multiplicação por um fator igual a 1,20 com objetivo de corrigir o erro causado

pela não consideração da rigidez à torção, como mostrado na Equação 2.12.

1,22

(2.12)

 

 

torna

expre

com

não a

2.4.Méto 

tridir

cobiç

flexív

com

essas

conv

adeq

utiliz

conc

nece

difer

À medida

a desvantaj

essivos dev

formatos ir

apresentar v

.2. odo Cons

A inexistê

recional torn

çado. No e

vel para fa

formatos a

s formas

vencionais,

quada para o

A empresa

zação da l

retagem no

ssidade de

rentes, como

Figura

a que o coe

ajoso, pois

vido às nerv

rregulares,

vantagem.

trutivo e D

ência de pro

nou desse s

entanto, com

abricação de

adequados.

devem seg

dando ao

o projeto em

a Impacto P

laje tridirec

o local foss

mão de o

o é apresent

a 2.5 – Siste

ficiente te

o métod

vuras terem

deve-se faz

Detalhame

ocessos con

sistema, dur

m a forma

e diversos m

Para que o

guir os m

engenheiro

m questão.

Protensão a

cional, fez

e realizada

obra especia

tado na Figu

ema de esco

ende a infin

do clássico

comprimen

zer um estu

ento

nstrutivos a

rante muito

feita de po

moldes, foi

o método tri

mesmos pad

a mesma

além de fab

z com que

a da mesma

alizada ou

ura 2.5.

oramento de

nito, o uso

o apresenta

ntos menore

udo mais de

adequados p

tempo, um

olipropileno

i possível a

idirecional

drões de d

flexibilidad

ricar a nov

e a monta

a maneira q

mesmo um

e uma laje tr

dessa meto

a momento

es. Já no ca

etalhado, po

para execuç

m objeto de e

o, que é um

a confecção

se torne co

dimensões

de para esc

a caixa que

gem da fo

que a tradic

m sistema d

ridirecional.

30 

odologia se

tos menos

aso de lajes

odendo ou

ção da laje

estudo não

m material

o de caixas

ompetitivo,

das lajes

colha mais

e permite a

orma para

cional, sem

de escoras

.

 

 

facili

os es

centr

eixo

repre

proje

2.4.3Laje 

conti

nervu

das l

uma

devid

Fig

Observa-s

idade que n

spaços que

ral nas caix

x ou y da la

Programas

esentar esse

etista a utiliz

3. es Contínu

A partir d

inuidade d

uradas entre

lajes, antes

maior econ

do a não uti

gura 2.6 – La

se a partir d

na laje conv

seriam pree

as, uma dir

aje, podend

s computac

e tipo de

zação desse

uas Ligada

da nova con

da modulaç

e lajes, ou

maciças, s

nomia para

ilização de e

aje nervurad

Con

a Figura 2.5

vencional, e

enchidos po

eção de arm

o também s

ionais de di

laje adequa

e novo sistem

as por Vig

nfiguração r

ção das ca

seja, as faix

se tornam u

a este méto

estribos nas

da tridirecio

nstrução de

5 que as for

existindo ca

or concreto

madura pod

ser protendi

imensionam

adamente,

ma.

gas Faixas

rotacionada

aixas (figur

xas que sep

um conjunto

odo, não só

s faixas.

onal, Sistema

Lajes Nervu

rmas são mo

aixas triangu

em espaços

e ser dispos

da em uma

mento e deta

não tornan

s Nervurad

das formas

ra 2.6) a

param e rec

o de vigas

ó de concre

a Construtiv

uradas [3].

ontadas com

ulares a fim

s vazios. Co

sta ortogona

das direçõe

alhamento c

ndo mais o

das

s, é possíve

utilização

ebem o car

(nervuras)

eto, mas de

vo Tridirecio

31 

m a mesma

m de tornar

om o rasgo

almente ao

es.

conseguem

oneroso ao

el devido à

de faixas

rregamento

atribuindo

e armadura

onal para

 

 

do qu

como

2.5.

Méto

mode

atrav

adota

Deve-se g

ue a rigidez

o uma peça

odos de A

Na anális

elo físico

vés de um m

Para calcu

adas alguma

N

n

Q

d

A

d

c

garantir que

z das lajes, n

unificada, c

Figura

Análise

e de qualq

que atenda

modelo mate

ular os esfor

as hipóteses

Não há defo

neutro duran

Qualquer se

deformação,

As tensões

desconsidera

ortante.

as faixas a

não permitin

como já dis

a 2.7 – Laje

quer proble

a às suas c

emático.

rços solicita

s simplifica

ormação no

nte a flexão;

eção transv

ou seja, as

normais na

adas, logo n

apresentem

ndo, portant

scutido na se

nervurada t

ema de eng

característic

antes utiliza

adoras:

o plano méd

;

versal da

deformaçõ

a direção t

não há a ne

rigidez sign

to, que esta

eção 2.3.1.

tridirecional

genharia de

cas reais, q

ando a Teori

dio da plac

peça perm

es são distr

transversal

ecessidade d

nificativam

s estruturas

.

eve ser esco

que será so

ia da Elastic

a, permanec

manece plan

ibuídas line

da placa p

do cálculo

32 

mente maior

s trabalhem

olhido um

olucionado

cidade, são

cendo este

na após a

earmente;

podem ser

do esforço

33  

 

No estudo com o material trabalhando no regime elástico, pode ser utilizada

a lei de Hooke. Junto com essa suposição, diz-se que a laje é constituída de um

material homogêneo, ou seja, o concreto e o aço trabalham como um só,

apresentando deformações iguais. Por fim, é considerado o material como

isotrópico, ou seja, o material apresenta as mesmas propriedades físicas

independente da direção.

Para o caso de lajes de concreto armado, o dimensionamento da seção

analisada é feito no estádio III, para o Estado Limite Último.

2.5.1 Teoria das Placas

De acordo com a NBR 6118:2007 [1], quando a laje de concreto apresenta

ações normais ao seu plano e uma superfície plana, esta deve ser estudada como

placa. Este elemento apresenta uma classificação quanto a sua espessura para fins

da escolha de um método adequado para análise. Placas podem ser classificadas

como espessas e delgadas.

Para o caso da placa espessa, i.e., espessura maior que 1/3 do vão, a teoria

que melhor descreve o comportamento da estrutura é a de Reissner-Mindlin, a

qual pode ser analogamente comparada com a teoria de Timoshenko para vigas,

pois ambas consideram o efeito das tensões de cisalhamento tangenciais ao plano

da placa. Para as placadas delgadas, caso este usualmente encontrado em

problemas práticos de engenharia, pode-se adotar a teoria de Kirchhoff-Love,

também chamada de teoria elástica linear das lajes delgadas, que por sua vez pode

ser analogamente comparada com a de Euler-Bernoulli, em que as tensões

cisalhantes são desprezadas e são consideradas as simplificações expostas no

início dessa seção. Esta consideração é viável, porque na grande maioria das lajes

o esforço predominante é a flexão.

 

 

2.5.1

Teor

ângu

dado

form

1.1.

ria Clássic

No presen

ulos arbitrár

os podem s

mulação apre

tan 2

ca das Pla

nte trabalh

rios da plac

ser facilmen

esentada por

sen

2sen 2

2

Figur

acas Delga

ho é necess

ca, principa

nte encontr

r Park Gam

n cos

2 c

ra 2.8 – Corp

adas

sária a det

almente a 4

rados pelo

mble [10] mo

2 sen

sen 2

os 2

po livre a um

terminação

45° dos eixo

círculo de

ostrada a seg

cos

m ângulo .

das solicit

os (figura 2

Mohr ou

guir.

34 

itações em

2.8). Esses

através da

(2.13)

(2.14)

(2.15)

 

 

2.5.1

Mom

dos m

apres

é pos

Figu

1.2.

mento em

Em projet

momentos e

sentada por

ssível obter

24

2

ura 2.9 – Cál

uma Plac

tos estrutura

encontrados

Timoshenk

as expressõ

4

24

lculo do mo

comprim

a Anisotró

ais, faz-se o

s em cada n

ko [13] para

ões para o m

22

22

mento por n

ento, Theor

ópica

o dimension

nervura (fig

a placas ani

momento tor

nervura atra

ry of plates

namento da

gura 2.9). A

isotrópicas,

rsor e fletor

avés do mom

and shells [

laje nervura

A partir da f

e reproduzi

r em cada um

 

mento por u

13].

35 

ada através

formulação

ida abaixo,

ma delas.

(2.16)

(2.17)

unidade de

36  

 

2.6.

Procedimentos Numéricos e Analíticos

2.6.1. Método dos Elementos Finitos  

2.6.1.1.

Fundamentos Teóricos

Na maioria dos problemas de engenharia, especialmente quando sistemas

estruturais são considerados, não é possível a obtenção de uma solução analítica.

Nesses casos é adotada uma metodologia numérica que produza uma solução

aproximada. Um procedimento idealizado para tal fim é o método dos elementos

finitos. Nesse método um meio contínuo é discretizado em elementos finitos,

compondo para cada elemento um conjunto de equações que sejam solucionadas

numericamente. O método dos elementos finitos (MEF) é a metodologia mais

utilizada na solução de problemas de engenharia estrutural.

Uma estrutura pode ser modelada de diversas maneiras, a escolha do melhor

modelo depende das hipóteses simplificadoras adotadas pelo engenheiro e do grau

de precisão desejado. Este passo consiste na idealização do modelo, quando é

escolhido, em primeiro lugar, qual a dimensionalidade do modelo, i.e., 1D, 2D ou

3D. Uma vez decidido isso, seleciona-se o melhor elemento para discretização do

contínuo quando este for discretizado em elementos. Subsequentemente são

selecionadas as propriedades dos materiais que melhor caracterizam aquele

problema. Finalmente decide-se as condições de contorno e de carregamento que

melhor representam o problema considerado.

O processo de discretização consiste na subdivisão do contínuo (ou

estrutura) a ser analisado em elementos simples. Os elementos são conectados

entre si através de nós que possuem graus de liberdade (GDL) associados. Estes

representam a liberdade que cada nó tem em transladar ou rotacionar e também

apresentam a solução numérica. Os resultados são encontrados nos graus de

liberdade dos nós. A obtenção dos deslocamentos e rotações em qualquer outro

 

 

ponto

ou de

méto

2.6.1

Elem

 

aprox

cálcu

elem

fim d

Trel

Bar

o do eleme

e interpolaç

Podemos

odo dos elem

Di

Fo

Mo

Ap

Ap

So

de

Int

ten

1.2.

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As soluç

ximadas, de

ulo. No ME

mento, e o qu

de gerar a m

Ele

liça: GD

rra: GD

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ção.

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DL somente

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e a translaçã

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ão nos

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;

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genharia sã

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da estrutur

lagem.

37 

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através do

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ão sempre

dimento de

de de cada

ra global, a

 

 

Vig

Pórt

Plac

Casc

Tetra

Pent

ga: GD

tico: GD

Ele

a: GD

ca: GDL a

Ele

aedros: G

aedros: G

DL a transla

eixo

DL a transla

todos

ementos 2D

DL a transla

rotação nos

a translação

os e

ementos 3D

GDL a transl

GDL a transl

ação e rotaçã

os x e y.

ação e rotaç

os eixos.

D (elemento

ação no eixo

s eixos x e y

e rotação em

ixos.

D (elemento

lação em to

lação em to

ão nos

ão em

s triangular

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y.

m todos

s sólidos)

odos os eixo

odos os eixo

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os.

os.

rangulares)

38 

 

 

H

deslo

físico

mais

não s

apres

pórti

lajes

conv

resul

form

sufic

em f

mais

 

2.6.1

Méto

 

basea

vetor

para

grada

Hexa: G

Nos eleme

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o mais prec

alto quand

Para prob

se aplica a t

senta uma

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1.3.

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representa

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rutura real.

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mo a formu

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somente G

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refinament

m Desloc

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ra, seguido

GDL relativo

a geometria

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de element

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e o modelo

s finitos é r

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icos são ti

de elemento

o tendem a

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ssárias par

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r elemento

será feito

por um el

39 

os aos três

do modelo

a ser muito

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tos é o de

a o caso de

delo físico.

apresentou

refinada os

entos com

ipicamente

os baseados

a convergir

ra o MEF

rigidez e o

necessário

de forma

lemento de

40  

 

viga, concluindo nos elementos isoparamétricos utilizados no estado plano de

tensão. A formulação das equações será realizada através da formulação

variacional baseado no princípio da energia potencial total.

Um sistema é dito conservativo quando o trabalho das forças internas e o

trabalho dos carregamentos externos não são dependentes da deformada da

estrutura, ou seja, o corpo pode se deformar de diversas maneiras e os valores dos

trabalhos não mudarão. Cook [5] cita que todas as configurações que satisfazem

as equações de equilíbrio de um sistema conservativo, compõem o princípio da

Energia Potencial Estacionária (EPE) em respeito a pequenos deslocamentos

admissíveis. Portanto, quando o valor da energia potencial corresponder a um

mínimo, o equilíbrio é estável.

Π Ω (2.18)

U12

(2.19)

Ω PD (2.20)

Π Ω12

(2.21)

A configuração de equilíbrio é obtida minimizando a energia potencial

do sistema, resultando em:

Π 0 ⇒ ⇒ (2.22)

A formulação anterior é aplicada para um único grau de liberdade, no

entanto uma análise em elementos finitos usualmente utiliza centenas de GDL.

Portanto, podemos obter e energia potencial mínima através do cálculo diferencial

da Equação 2.23.

Π0 (2.23)

Onde o índice é usado para se referir ao grau de liberdade . 

Para sistemas elásticos o trabalho das forças internas é igual à variação na

energia de deformação, logo temos que a energia potencial total nestes sistemas é

igual à soma da energia de deformação integrada no volume e o potencial de

41  

 

trabalho externo exercido pelas forças de corpo ou de superfície, sendo este

função dos deslocamentos desconhecidos em .

12

V12

x12

x00

Onde:

Logo;

12

′ ′ x12

′ ′

00 (2.24)

(2.25)

Ainda no pré-processamento é necessário informar dados sobre a geometria

do modelo. Internamente, o programa de elementos finitos relaciona as

coordenadas fornecidas no sistema cartesiano com as coordenadas do sistema

natural através das funções de forma. Cada elemento em específico contém suas

funções de forma implementadas. Para elementos isoparamétricos essas mesmas

funções são também utilizadas para interpolar os deslocamentos e rotações dos

nós (Equação 2.26).

(2.26) Outro conceito importante é a matriz de transformação cinemática , que

relaciona os deslocamentos às deformações a nível do elemento através das

equações de compatibilidade (Equação 2.27).

  (2.27) 

Por fim, com a matriz de transformação cinemática e as funções de forma

para um elemento em função do sistema de coordenadas naturais, pode-se

formular a matriz de rigidez e o vetor de força nodal global utilizando o conceito

de energia de deformação através da formulação forte.

12

ξ1

0

42  

 

12

ξ1

0 (2.28)

ξ (2.29)

ξ (2.30)

Π12

. . . . V . . . . V (2.31)

 

2.6.1.4.

Integração Numérica por Pontos de Gauss

 

A integração da matriz de rigidez para elementos genéricos não pode ser

obtida analiticamente, sendo então utilizada a integração numérica para executar

tal tarefa. Esta pode ser realizada através das fórmulas de Newton-Cotes, da regra

dos retângulos, ou através da regra da quadratura de Gauss, sendo esta a qual se

obtém melhores resultados para o MEF.

A quadratura de Gauss consiste em uma aproximação numérica da função

desejada através de um somatório de funções pesos, avaliadas em um número

mínimo de pontos necessários para obter um resultado satisfatoriamente próximo.

A integração clássica de Gauss em uma dimensão dá-se no intervalo de [-1,1], e é

definida como:

ξ ξ ξ (2.32)

Onde:

: Peso da integração;

: Número de pontos de Gauss;

ξ : Função a ser integrada em ξ.

43  

 

Pra o caso de elementos planos, i.e., em duas dimensões, o cálculo da

integração numérica em função de duas variáveis deve obedecer à formulação

abaixo.

ξ, η ξ η η ξ, η ξ

ξ , η

(2.33)

Onde:

: Peso da integração;

: Número de pontos de Gauss;

ξ, η : Função a ser integrada nas direções ξ e η.

Para obter a quantidade mínima de pontos necessários a serem utilizados

para integrar uma determinada função, faz-se uso da Equação 2.34, sendo esta

utilizada para elementos unidimensionais e bidimensionais.

2 1 (2.34)

Onde:

: grau do polinômio a ser integrado;

: Número de pontos de Gauss.

2.6.2. Grelha Equivalente  

O método da grelha equivalente ou analogia de grelha consiste na

discretização da laje em um conjunto de elementos de viga interconectados

formando uma malha. É possível simplificar o conceito físico da teoria das placas

de Kirchhoff alegando que as cargas externas aplicadas na laje são equilibradas

pela combinação dos momentos fletores e torsores nas duas direções ortogonais.

O processo de definição da malha para as lajes nervuras é ditado pela

posição das nervuras. Cada elemento de viga é situado em seus eixos e as

características geométricas da seção transversal são adotadas em função da inércia

44  

 

à flexão e à torção. Com isso é possível a obtenção da solução para qualquer

geometria, assim como para elementos com rigidez ou não a torção, e para a

possível flexibilidade dos apoios, não somente para os indeslocáveis

transversalmente.

O carregamento neste método é distribuído entre os elementos da grelha de

acordo com as faixas de laje que representam cada barra, ou seja, a área de

influência de cada uma. Esse carregamento é então distribuído linearmente entre

os elementos, que por sua vez é repassado aos nós.

Sabemos que a laje é um elemento bidimensional, podendo ser analisada

pela teoria das placas de Kirchhoff, portanto, os momentos fletores em um

elemento dependem tanto da curvatura em uma direção, quanto da curvatura na

direção ortogonal. Já para as vigas, elementos unidimensionais, os momentos

fletores nas barras só dependem da sua curvatura axial. Essa simplificação gera

erros nos deslocamentos, esforços e deformações que são aceitáveis em obras de

engenharia, pois os resultados encontrados apresentam valores a favor da

segurança.  

Para medir os deslocamentos, com o elemento de viga apresenta dois GDL à

rotação e dois GDL à translação, que no caso estudado é suficiente para descrever

satisfatoriamente seu comportamento. Na consideração de faixas isoladas, o

coeficiente de Poisson não influencia na rigidez (Equação 2.35), diferentemente

da placa (Equação 2.36).

12 (2.35)

12 1 (2.36)

Onde:

: Rigidez da viga;

No entanto o coeficiente de Poisson influencia no módulo de elasticidade

transversal usado no estudo pelas grelhas, gerando uma diferença nos resultados

entres os métodos. A partir das equações 2.37 e 2.38, observamos que para a

teoria de Kirchhoff, com o aumento do coeficiente de Poisson há um aumento na

45  

 

rigidez, o que diminui o deslocamento. Por outro lado, para a grelha, com o

aumento de a rigidez diminui, e consequentemente os deslocamentos aumentam.

11 2 1 (2.37)

2 11 (2.38)

Onde:

: Módulo de elasticidade transversal.

Para as deformações, a diferença entre os métodos se dá devido ao

confinamento lateral existente no modelo de placa para cada elemento

infinitesimal, o que não ocorre nas vigas da grelha, pois estas são peças lineares

com comportamento em uma única direção. Essas diferenças são abordadas pela

NBR 6118:2007 [1] e absorvidas através de um aumento de aproximadamente

15% da rigidez elástica devido à ausência da rigidez a torção.

O processo simplificado para o cálculo através do método da grelha

equivalente consiste na utilização de equações da estática. Para o caso de lajes

contínuas é feita a simplificação considerando a laje isolada com os bordos de

contato analisados como engastados.

2.6.3. Métodos Empíricos  

O grande volume de projetos fez com que os engenheiros buscassem

métodos mais práticos e rápidos para o cálculo de lajes, resultando em

coeficientes e Tabelas para o auxilio desta tarefa. Dentre os mais adotados estão

as Tabelas de Marcus e de Czerny.

Marcus primeiramente utilizou a teoria matemática da elasticidade para

desenvolver sua hipótese, partindo da integração das equações derivadas parciais

fornecidas pela elasticidade e empregando o método das diferenças finitas.

Notoriamente esse processo ainda seria demorado e trabalhoso para engenheiros

que desejassem fazer o dimensionamento das lajes de maneira mais prática, por

isso, Marcus desenvolveu de forma teórica e experimental coeficientes por meio

46  

 

semi-empírico, comparando-os com os resultados obtidos pela sua primeira

hipótese.

Supondo as lajes estaticamente isoladas com um tecido de malhas

retangulares, foi sugerido um coeficiente que é adicionado às equações do método

das grelhas a fim de corrigir a ausência do momento torsor. Como o coeficiente é

menor que um, os momentos positivos terão valores menores para a laje.

No entanto, o processo simplificado de Marcus apresenta erros

significativos quando as placas contínuas possuem vãos muito diferentes. As

Tabelas apresentadas por Czerny são mais precisas e também são baseadas na

teoria da elasticidade com a suposição que o coeficiente de Poisson é nulo,

podendo ser incorporado posteriormente.

2.7.

Programas Computacionais para Análise de Estruturas

A grande quantidade de equações geradas pelo método dos elementos

finitos torna por diversas vezes difícil e trabalhoso a busca por suas soluções. Por

esse motivo, o MEF era pouco utilizado antes do surgimento de computadores

capazes de resolver os sistemas criados por este método. No entanto, com a

evolução dos computadores tornou-se possível o uso da mecânica computacional,

que de acordo com Felippa [7], resolve problemas por um modelo baseado na

simulação através de métodos numéricos implementados.

Os projetistas estruturais no Brasil comumente utilizam o programa TQS,

que para o cálculo de lajes utiliza o método das grelhas na obtenção dos esforços.

Este programa é bastante difundido no país, pois os dimensionamentos das peças

de concreto armado e protendido são baseados na NBR 6118:2007 [1], além de

apresentar boas ferramentas de detalhamento. Programas como o SAP 2000,

ADAPT, Ansys, Autodesk Robot, entre outros, são bastante utilizados para a

análise em elementos finitos, o que os torna mais preciso.

47  

 

2.7.1. Autodesk Robot  

O Robot é um programa comercial da empresa Autodesk que vem se

tornando popular por apresentar uma boa interoperabilidade com o Revit

Structure, IFC, CIS2 entre outras interfaces que são aplicáveis pra o processo BIM

(Building Information Modeling). Ele é utilizado na modelagem e análise por

elementos finitos, assim como no dimensionamento através de diversas normas

internacionais de estruturas de concreto armado, concreto protendido, aço, entre

outros materiais.

Seu poder na análise estrutural, sua facilidade de desenho e modelagem

(apresenta características para estas finalidades que outros programas da

plataforma Autodesk contem), e o GUI (Graphical User Interface), tornaram o

Robot uma ferramenta desejada pelas empresas de projeto estrutural, pois com ele

é possível confeccionar a documentação solicitada pelas construtoras.

Diversos tipos de análises são possíveis com esse programa, dentre elas a

análise linear, não linear e dinâmica (modal, espectral, sísmica), sendo as peças

estudadas isoladas, acopladas, ou até mesmo no modo de multi-level (para o caso

de edifícios com diversos níveis). Todas elas podem ser realizadas através de

módulos que contem elementos de placa, casca, barra, treliça, pórtico, sólido,

cálculo pelo método das grelas, ou que contemplem o estado plano de tensão ou o

estado plano de deformação.

O Robot permite ao usuário a liberdade de escolha no tipo de elemento,

como por exemplo quadriláteros ou triângulos, e no tipo de discretização (Coons,

Delaunay). Em contrapartida ele disponibiliza apenas elementos baseados em

interpolação linear, ocasionando a necessidade de maior discretização para

obtenção de um resultado satisfatório.

Para comodidade do projetista, o programa apresenta diferentes ferramentas

como diversas combinações de cargas, carregamentos (pontual, distribuída

linearmente ou não linear, momentos, cargas devidas à temperatura, cargas

proveniente da protensão, peso próprio, etc), condições de apoios, seções em

estruturas de aço, offsets, dentre outras, sendo possível a adição de novos

elementos ou edição dos existentes para utilização em projetos específicos.

48  

 

3. Modelagem por Elementos Finitos  

 

 

 

 

Para que a modelagem de uma estrutura através do método dos elementos

finitos seja válida e precisa, é necessário, respectivamente, que o modelo esteja

bem representado fisicamente e que este apresente convergência de valores em

sua solução, como já comentado na seção 2.6.1.2 deste trabalho. Estas variantes

devem ser aferidas antes de qualquer estudo, pois as aproximações em sua

geometria, nas propriedades dos materiais, nas condições de carregamento e

apoio, assim como o método de discretização, e o tipo de elemento utilizado

podem afetar de maneira substancial os resultados finais obtidos.

Essa seção apresenta os estudos realizados para obtenção do modelo

utilizado no presente trabalho. A partir de uma análise analítica e numérica, é

realizado um estudo para ciência de qual modelo e malha melhor se adequam na

representação de uma laje nervurada.

3.1.

Validade do Modelo

 

Durante o processo de modelagem, algumas decisões devem ser tomadas

para garantir que o modelo físico seja bem representado através de um modelo

computacional. Em primeiro lugar, decide-se a dimensionalidade a nível global

que deve ser utilizada no modelo computacional, i.e., opta-se por modelar em

uma, duas ou três dimensões. A seguir escolhem-se os tipos de elementos, e o

nível de discretização a serem adotados. Os tipos de elementos estão associados

com as funções de forma usadas na interpolação de seus campos de

deslocamentos, bem como de sua geometria. O nível de discretização é obtido a

partir de um estudo de convergência.

49  

 

Neste trabalho, são considerados três modelos tridimensionais a nível de

aproximação global. O primeiro modelo usa elementos de casca para representar a

capa da laje, e elementos de viga para representar os pilares, nervuras e vigas do

projeto. O segundo contém a mesma concepção do primeiro, diferindo apenas na

localização relativa entre seus componentes. Especificamente, neste segundo

modelo, a localização dos elementos de viga não estão no mesmo plano da

superfície média da casca, apresentando, portanto, uma excentricidade (offset).

Por fim, o terceiro modelo é construído integralmente usando elementos sólidos

hexaédricos, com exceção dos pilares, que ainda são modelados com elementos de

viga. Quanto à aproximação a nível local, o programa computacional adotado

fornece elementos lineares. Portanto, o estudo de convergência considerou apenas

o refinamento da malha até conseguirem-se resultados satisfatórios.

As dimensões em centímetros dos elementos estruturais da laje para estudo

de convergência são apresentadas na Figura 3.1.

Após a definição da geometria da laje, são estabelecidas as propriedades dos

materiais empregados. São adotados os valores do módulo de elasticidade

longitudinal do concreto de 33,13 GPa, e a resistência característica à compressão

de 35 MPa. O coeficiente de Poisson empregado é 0,2, e para o módulo de

elasticidade transversal do concreto utiliza-se o valor relativo a 40% do módulo de

elasticidade longitudinal, como estabelecido pela NBR 6118:2007 [1].

 

 

empr

peso

figur

O terceiro

regadas, co

próprio da

ra 3.2.

Figu

o aspecto a

m valores d

a estrutura,

ra 3.1 – Form

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de 4,1 kN/m

e 6,6 kN/m

ma da Laje

iderado são

m² de carg

m² de carga

nervurada.

o as condiç

a permanen

a acidental

ções de car

nte correspo

na área ind

50 

rregamento

ondente ao

dicada pela

 

 

reduz

méto

lump

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o pi

propo

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o necessária

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51 

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tação nula,

or modelar

ades. Isso

trutura, e,

a rigidez

52  

 

3.2.

Precisão do Modelo

 

Anteriormente ao estudo da validade dos modelos escolhidos, faz-se um

estudo da convergência de cada malha a ser adotada. Para isto, é necessário refinar

a malha gradativamente até o ponto em que a variação nos resultados possa ser

considerada desprezível de acordo com o nível de tolerância que é considerado

aceitável. No presente trabalho foi utilizada a comparação dos deslocamentos

entre modelos, sendo a tolerância de até 2,5% entre resultados para considerar-se

que houve convergência.

O refinamento da malha pode ser realizado de duas maneiras, sendo a

primeira o chamado h-refinement, onde a geometria é refinada em elementos cada

vez menores, que é o caso no presente trabalho. A segunda metodologia é a p-

refinement, em que o grau das funções de forma do elemento é elevado. No

entanto, como já apresentado na seção 2.7.1 deste estudo, o software utilizado

apenas trabalha com elementos lineares, não sendo possível o segundo método de

refinamento.

No processo adotado para a obtenção de um modelo válido e preciso, são

feitos vários protótipos de mesma concepção, com vários níveis de refinamento. O

trabalho de La Torre Cubas [9] é utilizado como base para o presente estudo de

convergência. Este considera a análise numérica do comportamento de

pavimentos constituídos de lajes lisas de concreto protendido. Neste estudo o

sistema foi modelado utilizando elementos de placa para representar a laje,

localizada excentricamente em relação aos apoios. Foram analisadas malhas com

elementos quadrados com dimensões de: 100x100 cm², 50x50 cm², 25x25 cm²,

16,37x16,37 cm², 12,50x12,50 cm², 10x10 cm² e 8,33x8,33 cm². Os resultados

obtidos são mostrados na Tabela 3.1.

53  

 

Malha (cm) Deslocamento (cm)Com

excentricidade%

diferença100.00 -6.85 14.95% 50.00 -7.31 9.25% 25.00 -7.65 5.00% 16.67 -7.82 2.95% 12.50 -7.92 1.65% 10.00 -8.00 0.72% 8.33 -8.05 0.00%

Tabela 3.1 – Quadro comparativo da convergência dos deslocamentos, Análise

numérica do comportamento de pavimentos constituídos de lajes lisas de concreto

protendido [9].

Observa-se que a convergência foi obtida com elementos de 8,33x8,33 cm²,

no entanto a própria autora afirma em sua dissertação que a malha com 25x25 cm²

é suficiente para representar a laje nervurada, visto que sua diferença foi de

apenas 5%, divergência esta admissível para problemas de engenharia estrutural.

Outro fator favorável para a adesão da malha 25x25 cm², é o fato de ela apresentar

menor esforço computacional para o processamento da estrutura, otimizando a

utilização da memória e do tempo.

3.3.

Ligação Rígida

 

Todo sistema estrutural consiste de componentes tridimensionais, no

entanto, para tornar viável e prático o dimensionamento destes, é muitas vezes

aconselhável à utilização de elementos com geometria mais simples,

representados por um plano (como elementos de placa) ou por uma única

dimensão (elementos de barras e vigas). Apesar de serem bem mais simples, estes

elementos são, geralmente, capazes de capturar com precisão o comportamento do

sistema estrutural. A modelagem dos sistemas estruturais usando elementos

sólidos ou tridimensionais é mais complexa e exige um maior esforço

computacional. No entanto, os modelos sólidos conseguem capturar detalhes das

conexões entre componentes mais precisamente, bem como reproduzir

54  

 

realisticamente a geometria do sistema. Portanto, quando refinados

satisfatoriamente, eles produzem resultados confiáveis e precisos.

Um elemento plano, como o elemento de casca (ou placa) que é utilizado

neste trabalho, é representado pela sua superfície média. Já um elemento

unidimensional como o de viga é presentado pela sua linha neutra. Para o sistema

estrutural considerado no presente trabalho, o posicionamento desses elementos

em um mesmo nível não estaria de acordo com a realidade espacial. Por isso,

torna-se importante a representação desta excentricidade, ou offset, que gera um

momento adicional causado pelos esforços normais neste braço de alavanca. Isto

torna o sistema mais realístico.

Mesmo estando em planos diferentes, sabe-se que a laje e a viga na

realidade estão conectadas e, portanto, apresentam comportamentos relacionados

um com o outro. Para representar esta conexão, é necessário inserir um elemento

que expresse matematicamente esta ligação. Isto é feito através de ligações rígidas

conectando os dois tipos de elementos. Essas ligações relacionam os graus de

liberdade dos dois elementos garantindo que seções planas (do conjunto)

permaneçam planas após a deformação. Matematicamente, isto é feito

relacionando os graus de liberdade dos dois tipos de elementos, i.e:

. (3.1)

Onde:

: matriz de restrição que representa a relação entre os graus de liberdade;

: graus de liberdade da estrutura;

: deslocamento ou rotação prescrita, sendo usualmente adotado valor nulo.

No caso da ligação de vigas e laje, sendo estas solidarizadas

estruturalmente, sabemos que a conectividade entre elas devem apresentar

deslocamentos e rotações iguais. Para cada dupla de nó neste caso, sendo um

deles da viga e outro da casca (como mostrado através da Figura 3.3, extraída da

dissertação de Christian Donin [6]), resulta na matriz de restrição (definida na

equação 3.2) abaixo:

 

 

Figuura 3.3 – Mod

nerv

100000

010000

001000

  

delos de vig

vuradas por

000100

000010

000001

ga com e se

r meio do m

100000

010000

em excentric

método dos e

001000

000100

cidade, Aná

elementos f

000010

000001

lise numéric

initos [6].

0

55 

ca de lajes

0 (3.2)

 

 

3.4.

Res

 

cálcu

progr

cálcu

detal

tamb

repro

form

consi

deslo

imed

ultados do

Usualmen

ulo de laje

rama comp

ulo dos esfo

lhamento d

bém model

oduzido no

Fig

O desloca

ma deforma

ideração d

ocamento im

diato da estr

o Estudo

nte, no Bra

s maciças

utacional b

orços intern

das peças d

lada usando

TQS.

gura 3.4 – La

amento obti

ada é most

a deformaç

mediato por

rutura é de 4

de Conve

sil, adota-s

e nervurad

rasileiro TQ

nos da estru

e concreto

o este pro

aje nervurad

ido através

trada na F

ção lenta

r um coefici

4,8 mm.

ergência

se o métod

das em con

QS utiliza e

utura, além

armado e

ograma. A

da gerada p

da grelha

Figura 3.5.

do concret

iente no val

do da grelh

ncreto arma

ste método

de realizar

protendido

Figura 3.

pelo Modelad

coplanar do

Porém, e

to através

lor de 2,5. L

ha equivalen

ado (seção

implement

o dimensio

o. A laje de

4 mostra

dor TQS.

o TQS é 12

este progra

da multipl

Logo, o des

56 

nte para o

2.6.2). O

tado para o

onamento e

e estudo é

o modelo

2 mm, e a

ama faz a

licação do

slocamento

 

 

repre

todos

ao m

discr

cm²,

cm².

empr

feitas

caixa

Fi

O primeir

esenta as ne

s em um me

método da g

retização sã

80x80 cm²

Nas regiõ

regados ele

s para comp

as de polipr

Fig

gura 3.5 – D

ro modelo

ervuras com

esmo plano

grelha equiv

ão considera

², 50x50 cm

ões maciça

ementos com

plementar a

opileno.

ura 3.6 – Mo

Deslocamen

em elemen

mo elemento

o (Figura 3.6

valente, ado

adas, i.e., m

m², 25x25 cm

as, próxima

m maior ár

a forma nas

odelo de cas

nto obtido pe

ntos finitos

o de viga e

6). Este pro

otado pelo

malhas com

m² (Figura

as aos pila

rea de seçã

áreas em qu

sca e viga s

elo Modelad

s a ser ana

a capa com

otótipo é o q

TQS. Neste

dimensões

3.7), 12,5x

ares e vig

ão transvers

ue não é po

sem ligaçõe

dor TQS.

alisado é a

mo elemento

que mais se

e caso, seis

máximas d

x12,5 cm² e

gas de bor

sal. Estas re

ossível ser c

s rígidas.

57 

aquele que

o de casca,

assemelha

s níveis de

de 100x100

8,33x8,33

rdo, foram

regiões são

colocado as

 

 

F

posiç

centr

nece

rígid

Os n

o prim

3.9).

só na

em tr

igura 3.7 – M

O segundo

ção relativa

ro de grav

ssária a cria

da em cada n

níveis de ref

meiro mode

Fig

Por último

A complex

a criação do

rês dimensõ

Malha de 25

o modelo a

a entre os e

vidade das

ação de div

nó para faze

finamento d

elo.

ura 3.8 – Mo

o, é analisa

xidade deste

o modelo fí

ões se torna

5x25 cm² par

r

adotado é se

elementos d

nervuras,

versos nívei

er a ligação

das malhas u

odelo de cas

ado o mode

e modelo em

ísico como

mais comp

ra o modelo

rígidas.

emelhante a

de casca e o

laje, e vig

is distintos,

entre os dif

utilizadas s

sca e viga c

lo constituí

m relação ao

na leitura d

plicado e dem

o de casca e

ao primeiro

os de viga

gas de bor

sendo acre

ferentes com

são os mesm

com ligaçõe

ído de elem

os outros do

de resultado

morado.

e viga sem li

o, diferindo

(Figura 3.8

rdo são dif

escentada um

mponentes e

mos apresen

s rígidas.

mentos sólid

ois é muito

os, visto qu

58 

igações

apenas na

8). Como o

ferentes, é

ma ligação

estruturais.

ntados para

dos (Figura

maior, não

ue trabalhar

 

 

leitur

meno

resul

ponto

3.10.

deter

Tabe

malh

aprox

Para o estu

ra dos desl

or quantida

ltados como

os escolhido

.  

Figura

Os result

rminados sã

ela 3.2. Para

ha com seus

ximadamen

Figura

udo de conv

locamentos,

ade de aprox

o tensão e

os para a le

a 3.10 – Plan

ados para

ão apresent

a o modelo

s limites co

nte 80x80 c

3.9 – Model

vergência e

, tendo em

ximações m

deformação

eitura dos de

nta de locaç

o deslocam

tados nas F

o que utiliza

oincidentes

cm². Portan

lo de eleme

e comparaçã

vista que

matemáticas

o são encon

eslocament

ção dos pon

mento máx

Figuras 3.1

a o método

com cada

nto, todos o

ntos sólidos

ão entre os m

esta é a re

s, pois é a p

ntrados (pó

os são os ap

ntos de instr

ximo e no

1, 3.12 e 3

o das grelha

nervura, ou

os cinco po

s.

modelos, é r

esposta que

partir dela

s-processam

presentados

rumentação

os cinco po

3.13, e resu

as, é aprese

u seja, uma

ntos analis

59 

realizada a

e apresenta

que outros

mento). Os

s na Figura

o.

ontos pré-

umidos na

entada uma

a malha de

ados estão

 

 

conti

deslo

Figur

Figur

idos em u

ocamento.

ra 3.11 – De

ra 3.12 – De

uma região

eslocamento

vig

eslocamento

vig

onde só

os obtidos a

ga sem cons

os obtidos a

ga com cons

é possíve

através do m

sideração d

através do m

sideração d

l obter-se

modelo com

do offset.

modelo com

do offset.

um único

elementos

elementos

60 

valor de

de casca e

 

de casca e

 

 

Figu

M

Mégrelh

Cassem

Cascom

S

estud

plota

ura 3.13 – D

Modelo

étodo da ha (TQS)

sca/Viga m offset

sca/Viga m offset

Sólido

Tabela 3.2

dados.

Os result

ados e o res

Deslocament

Malha (mm²)

800x800

1000x1000 800x800 500x500 250x250 125x125

83.3x83.3 1000x1000

800x800 500x500 250x250 125x125

83.3x83.3 1000x1000

800x800

500x500

250x250

125x125

83.3x83.3

2 – Quadro c

ados da T

sultado é ap

tos obtidos

R1

3.62 3.57 3.62 3.71 3.73 3.74 2.13 2.12 2.12 2.14 2.16 2.17 1.64

1.69

1.63

1.66

1.94

1.86

comparativo

Tabela 3.2

presentado a

através do

Desl

R2

4.25 44.18 44.25 44.35 44.38 44.39 42.43 22.41 22.41 22.44 22.46 22.47 21.81 1

1.81 1

1.80 1

1.85 1

2.06 1

1.99 1

o dos desloc

para deslo

através da f

modelo com

locamento

R3 R

4.8

4.13 4.4.06 4.4.13 4.4.24 4.4.27 4.4.28 4.2.35 2.2.34 2.2.33 2.2.37 2.2.39 2.2.40 2.1.71 1.

1.73 1.

1.71 1.

1.75 1.

1.95 2.

1.89 2.

camentos n

ocamentos

figura 3.14.

m elementos

(mm)

R4 R5

58 3.8854 3.7856 3.9168 3.8972 4.0373 4.0358 2.2657 2.2356 2.2359 2.2662 2.2863 2.2989 1.75

88 1.74

88 1.73

95 1.77

13 1.97

14 1.86

os diversos

máximos p

As Tabela

61 

 

s sólidos.

5 Max

8 4.58 8 4.56 1 4.62 9 4.76 3 4.80 3 4.76 6 2.59 3 2.59 3 2.58 6 2.64 8 2.64 9 2.64 5 1.94 4 1.92 3 1.93 7 2.01 7 2.15 6 2.20

s modelos

podem ser

as 3.3 e 3.4

62  

 

apresentam respectivamente: a comparação em porcentagem dos deslocamentos

obtidos entre modelos estudados, a comparação em porcentagem dos

deslocamentos obtidos em um modelo com variação da malha.

 

Figura 3.14 – Gráfico comparativo dos deslocamentos.

Modelo Malha (mm²)

Diferença (%)

R1 R2 R3 R4 R5 Max

Sem offset Sólido

1000x1000 54.55 57.42 58.62 58.71 54.89 57.71 800x800 52.75 56.60 57.37 58.55 54.08 57.95 500x500 54.87 57.73 58.63 58.75 55.64 58.10 250x250 55.15 57.49 58.57 58.30 54.42 57.68 125x125 48.00 52.95 54.38 54.83 51.15 55.13 83.3x83.3 50.31 54.68 55.98 54.87 53.87 53.84

Com offset Sólido

1000x1000 22.81 25.60 27.35 26.69 22.68 25.27 800x800 20.43 24.89 25.92 26.75 22.13 25.93 500x500 22.85 25.57 26.74 26.56 22.32 24.95 250x250 22.29 24.32 25.82 24.74 21.50 23.65 125x125 10.14 16.39 18.35 18.53 13.73 18.32 83.3x83.3 14.29 19.56 21.32 18.65 18.74 16.86

Met. Grelha Sólido

1000x1000 65.73 62.33 64.42 60.63 63.56 59.65 800x800 64.88 62.21 63.92 60.75 63.79 60.06 500x500 65.96 62.58 64.38 60.77 63.90 59.71 250x250 65.35 61.50 63.44 59.31 63.04 58.04 125x125 59.56 57.06 59.40 55.56 59.02 55.15 83.3x83.3 50.17 58.54 60.71 55.48 61.25 54.19

Tabela 3.3 – Quadro comparativo dos deslocamentos entre modelos estudados.

0

1

2

3

4

5

6

Des

loca

men

to (

mm

)

Malha (mm²)

Casca/Viga comoffset

Solido

Casca/Viga semoffset

63  

 

Modelo Malha (mm²)

Diferença (%)

R1 R2 R3 R4 R5 Max

Casca/Viga sem offset

1000x1000 800x800

-1.43 -1.58 -1.60 -0.70 -2.43 -0.46

800x800 500x500

1.46 1.62 1.69 0.44 3.12 1.23

500x500 250x250

2.35 2.25 2.43 2.52 -0.39 3.00

250x250 125x125

0.67 0.75 0.84 0.83 3.35 0.81

125x125 83.3x83.3

0.27 0.25 0.28 0.27 0.12 -0.71

Casca/Viga com offset

1000x1000 800x800

-0.57 -0.62 -0.56 -0.23 -1.34 -0.15

800x800 500x500

-0.05 -0.08 -0.17 -0.31 -0.04 -0.43

500x500 250x250

1.03 1.19 1.35 1.19 1.28 2.31

250x250 125x125

0.93 0.93 0.88 0.88 0.88 -0.08

125x125 83.3x83.3

0.46 0.36 0.42 0.34 0.39 0.34

Sólido

1000x1000 800x800

2.43 0.33 1.39 -0.32 -0.63 -1.04

800x800 500x500

-3.18 -1.00 -1.29 -0.05 -0.29 0.88

500x500 250x250

1.74 2.81 2.56 3.58 2.31 3.97

250x250 125x125

14.32 10.33 9.95 8.44 9.81 6.46

125x125 83.3x83.3

-4.35 -3.57 -3.34 0.19 -5.75 2.09

Tabela 3.4 – Quadro comparativo dos deslocamentos obtidos em um modelo com

variação da malha.

O tempo para que sejam efetuados os cálculos necessários para a obtenção

dos resultados está diretamente ligado a quantidade de memória computacional

utilizada para armazenamento, i.e, o tamanho da matriz de rigidez apresentada em

cada modelo. Esta memoria é maior pra modelos mais discretizados, ou seja, com

maior quantidade de nós. A quantidade de nós de cada modelo está apresentada na

Tabela 3.5.

64  

 

Modelo Malha (mm²)

Quantidade de Nós

Método da grelha (TQS) 800x800 310

Casca/Viga sem offset

1000x1000 920 800x800 901 500x500 1119 250x250 2855 125x125 10738 83.3x83.3 23760

Casca/Viga com offset

1000x1000 920 800x800 901 500x500 1119 250x250 2855 125x125 10738 83.3x83.3 23760

Sólido

1000x1000 233875

800x800 233923

500x500 238854

250x250 244104

125x125 281692

83.3x83.3 397790

Tabela 3.5 – Quadro apresentando a quantidade de nós nos diversos modelos

estudados.

A partir dos resultados apresentados, podemos concluir que o modelo

calculado através do método das grelhas tem uma diferença de deslocamento de

até 66% maior se comparado ao modelo com elementos sólidos. Este processo,

usualmente utilizado para cálculo de lajes, mostrou-se extremamente conservador,

acarretando em peças mais robustas e com uma maior taxa de aço. No entanto,

para o calculista, este processo oferece alto grau de confiabilidade e rapidez.

A modelagem feita com os elementos de casca e nervuras em um mesmo

plano é análoga ao processo da grelha equivalente, bem como pode ser

confirmado através dos deslocamentos (Tabela 3.3). Portanto, mesmo sendo de

rápido processamento, este método apresenta um alto grau de conservadorismo,

aproximadamente 58,6% maior que o modelo com elementos sólidos.

Com a utilização das ligações rígidas, observa-se que o efeito da

excentricidade auxilia para uma maior aproximação dos modelos sólidos, com

65  

 

deslocamentos maiores de 10% a 27%. Este método se torna eficiente devido ao

menor conservadorismo diante dos métodos clássicos, assim como a facilidade de

modelagem e velocidade de processamento. Quanto ao refinamento de sua malha,

verificou-se que a diferença de deslocamento entre elas é pequena,

aproximadamente 2,5%, no entanto, ao refinar bastante a malha, o esforço

computacional é consideravelmente maior.

Conclui-se que, o modelo com elementos de viga e casca com ligações

rígidas tem um resultado satisfatório quando comparado com os métodos adotados

analiticamente, além de apresentar relativamente um tempo menor de

processamento, demonstrando ser mais indicado para este trabalho.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

66  

 

4. Estudo do Comportamento de Lajes Nervuradas  

 

 

 

 

Neste capítulo é apresentada a metodologia da análise numérica utilizada

para a avaliação de lajes nervuradas tradicionais, bem como os novos modelos

descritos na seção 2.4 deste trabalho. Por fim, é apresentado o estudo de um novo

conceito construtivo e sua contribuição para a rigidez geral da laje, sendo este as

faixas nervuradas.

Para isso, é utilizado, assim como no capítulo 3, o software Robot 2012. O

modelo utilizado, descrito em detalhes também no capítulo 3, utiliza elementos de

casca para representar a capa maciça de concreto e elementos de viga para

representar as nervuras. A excentricidade entre os eixos desses dois elementos

estruturais (offset) é modelada explicitamente através de ligações rígidas. A malha

de elementos finitos possui dimensões máximas de 25x25 cm².

A análise realizada avalia os deslocamentos dos diversos tipos de lajes,

assim como os momentos fletores nas nervuras, e, posteriormente, o

dimensionamento destas. Com isto, é possível fazer o comparativo entre os

modelos, relacionando comportamento estrutural e quantidade de materiais

utilizados, sendo este último de grande importância para o construtor, por estar

relacionado à economia de recursos.

São criados modelos baseados em uma laje tipo, sendo inerente a ela as

dimensões e espaçamento entre nervuras, carregamento aplicado e propriedades

mecânicas dos materiais. A variação é feita apenas nas dimensões e e nas

condições de contorno.

Os resultados são apresentados tanto numericamente através de tabelas

como em gráficos a fim de evidenciar as diferenças entre os diversos modelos.

Nesta análise, foi considerado o comportamento elástico linear do concreto, ou

seja, não fissurado.

 

67  

 

4.1.

Análise Numérica de Laje Nervurada Simplesmente Apoiada

 

A laje padrão utilizada foi definida com base na adoção usual de

construtoras no Brasil, principalmente no nordeste do país, já que a cultura da

construção civil, assim como a diversidade de materiais, sofre mudanças em cada

região. No nordeste brasileiro, uma empresa que atua fortemente no segmento de

formas de polipropileno é a Impacto Protensão, tendo sede também em algumas

cidades do Centro-Oeste e Sudeste do país. Sendo assim, optou-se pela utilização

das formas catalogadas por essa empresa como referência na composição da laje.

Para as propriedades mecânicas dos materiais empregados no cálculo,

adotou-se a combinação de valores normativos e valores recorrentes em obras,

estando estes dispostos na Tabela 4.1.

Parâmetro Valor

Resistência característica do concreto 35 MPa

Resistência característica de escoamento do aço CA50 500 MPa

E Modulo de elasticidade longitudinal 33130 MPa

G Modulo de elasticidade transversal 13252 MPa

Coeficiente de Poisson 0,2

- Peso Específico do Concreto armado 25 kN/m³

Tabela 4.1 – Propriedades mecânicas dos materiais empregados.

Para a determinação da geometria e de uma altura ótima para análise,

realizou-se um pré-dimensionamento da laje quadrada, com 6 metros de lado,

utilizando-se a metodologia proposta por Carvalho [4], a qual está formulada na

Equação 4.1. Este cálculo não é normatizado pela NBR 6118:2007 [1], sendo,

portanto, necessária a verificação posterior de suas tensões, bem como seus

deslocamentos.

(4.1)

68  

 

Onde:

: altura útil da laje;

: menor dos dois vãos;

: coeficiente dependente das condições de vinculação e dimensões da

laje;

: coeficiente dependente do tipo de aço.

Para a laje tipo quadrada ( 1 ) e com os quatro bordos apoiados,

denominado caso 1 de Marcus, o coeficiente tem valor de 1,5. Para o ,

devido ao aço utilizado ser o CA-50, tem-se que seu valor é de 17. Com a

substituição destes coeficientes na Equação 4.1, obtêm-se a altura total mínima da

placa a ser adotada.

61,5 17

⇒ 0,235

Através deste valor de referência, optou-se por uma altura total de 25 cm,

correspondente à espessura da capa mais altura da nervura. Por meio do catálogo

da empresa Impacto Protensão [8], pôde-se escolher o melhor tipo de forma para

atender à altura desejada, sendo esta decisão condicionada ao volume de vazios

proporcionado por cada caixa.

A configuração final do sistema é dada por: altura da capa (hm) de 4 cm,

altura da nervura (h) de 21 cm, proporcionando uma altura total (ht) de 25 cm. As

dimensões da nervura são de: 7 cm de largura inferior (bi), 13 cm de largura

superior (bs), e 10 cm de largura média (br), totalizando uma área da seção

transversal de 454 cm².

O espaçamento adotado entre eixos das nervuras foi igual a 61 cm, visto

que, para este valor, a norma dispensa a verificação da mesa à flexão e das

nervuras ao cisalhamento. Temos, portanto, a geometria final apresentada através

da Figura 4.1.

 

 

F

da co

6120

perm

carre

apres

de e

arma

4.3 p

utiliz

desfa

como

Figura 4.1 –

Ainda a fi

onstrução, u

0:1980 [2],

manente tota

egamento ac

Para as c

sentada na E

sgotamento

ado. Já para

para o cas

zada na veri

,

Onde:

: é o val

, : é o

, : s

: são a

, , ,

, :

Para os c

avoráveis pa

o na sobrec

Geometria d

fim de torna

utilizaram-s

, para edi

alizou, além

cidental util

ombinações

Equação 4.2

o da capaci

a a combina

so de comb

ificação do

,

lor de cálcu

o valor de cá

são as ações

as ações var

, : são co

são coeficie

oeficientes

ara o dimen

carga, sendo

das formas

ar o estudo

se, para car

ifícios resi

m do peso pr

lizado foi de

s de carga,

2 para a com

dade resist

ação no Est

binações q

estado limit

,

ulo das açõe

álculo das aç

s permanent

riáveis diret

oeficientes T

entes Tabela

, utilizara

nsionamento

o este de 1

da laje tipo

mais próxim

rregamento,

idenciais.

róprio da es

e 2 kN/m².

, a NBR 6

mbinação n

tente de ele

tado Limite

quase perm

te de deform

es para comb

ções para co

tes diretas e

ta, sendo a

Tabelados;

ados.

am-se os v

o da laje, ta

1,4 no ELU

, Especifica

mo aos cas

, os valores

Sendo ass

trutura, o va

6810:2007 [

no Estado L

ementos est

e de Serviço

manentes de

mações exce

binação últi

ombinação

e indiretas re

a princ

alores corr

anto no carr

U. Já para o

ações Técnic

os usuais d

s indicados

im, o car

alor de 1,5 k

[1] fornece

imite Últim

truturais em

o, adota-se

serviço, s

essivas.

ima;

de serviço;

espectivame

cipal delas;

espondentes

egamento p

o fator de r

69 

cas [8].

da indústria

pela NBR

rregamento

kN/m², e o

e a relação

mo, no caso

m concreto

a Equação

sendo esta

(4.2)

(4.3)

ente;

s às ações

permanente

redução de

 

 

comb

valor

equip

de pe

 

4.1.1Laje 

mate

dime

Últim

adota

binação qua

r para carga

pamentos a

essoas, que

1. e Nervurad

Com a de

eriais e o c

ensionament

mo, respect

adas para es

Figura

Figura 4

ase frequen

as acidentai

tuando em

foi o caso e

 

da Ortogo

finição da g

carregament

to da laje,

ivamente. A

studo do des

4.2 – Laje d

4.3 – Laje de

te , foi

is de edifíci

um grande

escolhido pa

nal

geometria,

to utilizado

feitos no E

As Figuras

slocamento

e referência

e referência

adotado o v

ios onde nã

período de

ara este estu

assim como

o, iniciam-s

Estado Lim

4.2 a 4.4

o e dimensio

a 1.1, Marcu

2.1, Marcus

valor tabela

ão há predo

e tempo, ou

udo.

o as proprie

e os proce

mite de Serv

mostram a

onamento da

s caso 1– 6

s caso 1– 6 x

ado de 0,3,

minância d

u grande con

edades mec

ssos de ver

viço e Esta

s lajes de r

as nervuras

x 6 m² (λ=1

x 4 m² (λ=1,

70 

sendo este

de pesos de

ncentração

cânicas dos

rificação e

ado Limite

referências

à flexão.

1).

,5).

 

 

cálcu

supo

mom

laje t

ocasi

ser o

consi

despr

uma

variá

então

nervu

estão

Figura

O caso 1

ulo dos esf

sição de qu

mento negati

trabalha em

ionando, as

observado a

ideravelmen

rezado na p

Fig

A partir do

amostragem

ável de 1 a

o, os desloc

uras a parti

o apresentad

4.4 – Laje d

de Marcus

forços seja

ue a laje este

ivo. No enta

m conjunto

ssim, um pe

através da

nte maiores

prática.

ura 4.5 – Mo

os três mod

m satisfatóri

até 2, para

camentos n

ir dos mom

dos na Tabe

e referência

indica a nã

feito atrav

eja simplesm

anto, quand

com as vig

equeno mo

Figura 4.5.

s do que a d

omentos pri

delos adotad

ia, já que el

casos de la

o Estado L

mentos obtid

ela 4.2.

a 3.1, Marcu

ão continuid

vés dos mé

mente apoia

do adotado o

gas de bord

omento nega

. Como a r

da laje, na m

incipais nas

dos para est

les cobrem

ajes armada

Limite de Se

dos no Esta

s caso 1– 6

dade da laje

étodos clás

ada em seus

o método do

do e os pila

ativo nestas

rigidez da

maioria das

s direções x

tudo no caso

todo o dom

as em duas

erviço e o

ado Limite

x 3 m² (λ=2

e, ou seja, p

sicos, é ne

s bordos, nã

os elemento

ares de form

s regiões, c

viga ou do

vezes este m

x e y, λ=1.

o 1 de Marc

mínio de λ,

s direções.

dimensiona

Último. Est

71 

2).

para que o

ecessária a

ão gerando

os finitos, a

ma global,

como pode

o pilar são

momento é

cus, tem-se

sendo este

Obtêm-se,

amento das

tes valores

72  

 

λ=1 λ=1.5 λ=2

ELS ELU ELS ELU ELS ELU δ (cm) -0.50 - -0.43 - -0.31 - P (Kg) - 89.43 - 54.83 - 32.39 V (m³) - 2.40 - 1.55 - 1.05

Tabela 4.2 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes

ortogonais, no caso 1.

Por fim, é necessário garantir a integridade da estrutura contra o

esmagamento das bielas nas faixas de concreto. Para isso, foi calculada a tensão

de cisalhamento na faixa no contorno C do pilar, obtida no Estado Limite Último,

e comparada com a tensão resistente no modelo 1.

Para a tensão resistente 2, é feita a verificação das tensões de compressão

nas bielas, assegurando o não rompimento destas devido ao cisalhamento

excessivo da peça. Para esse cálculo, são admitidas as diagonais de compressão

inclinadas 45º em relação ao eixo longitudinal da peça. Esta verificação é feita em

função das tensões tangenciais solicitantes e realizada no modelo 1 de cálculo.

Com isso, têm-se:

1250

135250

0,86

0,27 0,27 0,86 351,4

5,80

Portanto, a tensão de cisalhamento resistente da peça é de 5,805 MPa. Já

para o modelo 2, é necessário o cálculo da armadura transversal no ponto de

cortante máximo, sendo variável em cada modelo.

Para a o caso 1 de Marcus, a Tabela 4.3 nos mostra os valores obtidos.

λ (MPa) (MPa) Resultado

1 4,26 5,80 Não esmaga o concreto

1,5 5,76 5,80 Não esmaga o concreto

2 3,92 5,80 Não esmaga o concreto

Tabela 4.3 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1.

73  

 

Pode-se, então, concluir que a tensão de compressão das bielas não

ultrapassa o limite, não havendo, portanto, necessidade do aumento da espessura

da viga faixa. Por fim, deve-se encontrar a taxa de armadura a ser utilizada na viga

faixa para resistir ao esforço cortante. Devido ao objetivo deste trabalho se limitar

ao estudo da laje nervurada, e não de suas vigas faixas, este cálculo não é

contemplado aqui.

 

4.1.2. Laje Nervurada Rotacionada  

Como já abordado anteriormente, as tensões oriundas de carregamentos

uniformemente distribuídos na placa se dissipam em um fluxo que segue em

direção aos apoios de maior rigidez. Para o caso de lajes, estes elementos são os

pilares, os quais estão situados, no caso estudado, nos vértices da laje. A maior

rigidez destes elementos e sua posição na geometria do sistema faz com que o

carregamento caminhe a uma angulação de aproximadamente 45º dos eixos

cartesianos convencionais x e y.

Desta forma, os modelos de lajes apresentados anteriormente (Seção 4.1.1)

são utilizados aqui, com o diferencial das nervuras, que agora não mais são

apresentadas ortogonais aos eixos cartesianos, e sim com uma inclinação de 45º.

No entanto, as dimensões da laje, assim como as propriedades mecânicas e

seu carregamento, continuam iguais aos do modelo de nervuras ortogonais, a fim

de permitir a comparação entre os resultados obtidos (figuras 4.6 a 4.8).

 

 

Figura

Figura 4

Figura

4.6 – Laje d

4.7 – Laje de

4.8 – Laje d

e referência

e referência

e referência

a 1.2, Marcu

2.2, Marcus

a 3.2, Marcu

s caso 1– 6

s caso 1– 6 x

s caso 1– 6

x 6 m² (λ=1

x 4 m² (λ=1,

x 3 m² (λ=2

74 

1).

,5).

2).

75  

 

A Tabela 4.4 apresenta os valores para os deslocamentos máximos das lajes

rotacionadas, obtidos no Estado Limite de Serviço, assim como o peso de aço e

volume de concreto determinados através do dimensionamento das peças no

Estado Limite Último.

λ=1 λ=1.5 λ=2

ELS ELU ELS ELU ELS ELU δ (cm) -0.51 - -0.45 - -0.32 -

P (Kg) - 90.35 - 68.71 - 46.69

V (m³) - 2.73 - 1.93 - 1.45

Tabela 4.4 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes

rotacionadas, no caso 1.

Assim como nas lajes ortogonais, é necessária a verificação das faixas de

bordo ao esmagamento da biela no contorno crítico do pilar. A Tabela 4.5

apresenta os resultados obtidos no caso 1.

λ (MPa) (MPa) Resultado

1 3,92 5,80 Não esmaga o concreto

1,5 5,40 5,80 Não esmaga o concreto

2 2,97 5,80 Não esmaga o concreto

Tabela 4.5 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1.

 

4.1.3. Laje Nervurada Tridirecional  

Com a finalidade de dar uma maior rigidez ao conjunto, foi elaborada a laje

tridirecional, sendo esta constituída da laje rotacionada acrescida de uma terceira

nervura em uma das direções ortogonais, dando três possíveis caminhos de carga.

Neste estudo, é realizada, então, a análise desta em três variações de tamanho,

como feito nos outros dois sistemas, e, então, observado se o acréscimo de peso é

contrabalanceado pela rigidez da estrutura.

Os três modelos tridirecionais adotados estão representados através das

Figuras 4.9, 4.10 e 4.11.

 

 

Figura

Figura 4.

Figura 4

4.9 – Laje d

.10 – Laje de

4.11 – Laje d

e referência

e referência

de referência

a 1.3, Marcu

a 2.3, Marcus

a 3.3, Marcu

s caso 1– 6

s caso 1– 6

us caso 1– 6

x 6 m² (λ=1

x 4 m² (λ=1

6 x 3 m² (λ=

76 

1).

1,5).

=2).

77  

 

Têm-se, por fim, os valores dos deslocamentos para as lajes tridirecionais,

peso total de aço das nervuras e seu volume de concreto, assim como a verificação

das bielas comprimidas expostas nas Tabelas 4.6 e 4.7.

λ=1 λ=1.5 λ=2 ELS ELU ELS ELU ELS ELU

δ (cm) -0.53 - -0.54 - -0.39 -

P (Kg) - 162.08 - 102.45 - 68.71

V (m³) - 4.73 - 3.13 - 2.35

Tabela 4.6 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes

tridirecionais, no caso 1.

λ (MPa) (MPa) Resultado

1 4,26 5,80 Não esmaga o concreto

1,5 6,60 5,80 Esmaga o concreto

2 3,47 5,80 Não esmaga o concreto

Tabela 4.7 – Verificação da tensão de compressão das bielas, no caso 1.

4.2.

Análise Numérica de Lajes Nervuradas com Diversas Condições de

Apoio

 

Devido às grandes dimensões dos edifícios residenciais e comerciais no

Brasil, a adoção do sistema construtivo de laje nervurada bidirecional com

diversas placas separadas por vigas se torna necessária, formando, portanto, uma

continuidade entre estas. As continuidades provocam um efeito de diminuição da

flecha e a redução do momento positivo, sendo este consequentemente balanceado

pelo aumento do momento negativo. Com isso, deformações excessivas,

eventualmente obtidas nestas lajes, podem ser reduzidas a níveis aceitáveis por

norma.

Com o estudo realizado das lajes isoladas, pode-se constatar que aquela que

apresenta menor variabilidade entre as analisadas é a quadrada, ou seja, λ=1,

sendo esta adotada para estudo das demais condições de apoio.

78  

 

Serão analisadas nesta seção lajes com as seguintes condições de apoio: laje

engastada em apenas um bordo, denominada caso 2 de Marcus; laje engastada em

dois apoios adjacentes, denominada caso 4 de Marcus; laje engastada em dois

apoios paralelos, denominada caso 5 de Marcus; laje engastada em três apoios,

denominada caso 7 de Marcus; laje engastada em todo seu bordo, denominada

caso 9 de Marcus. 

Com a utilização da continuidade, têm-se uma maior proximidade aos

modelos físicos reais, pois, a grande maioria dos edifícios apresentam medidas

que exigem a utilização de placas separadas. Para as lajes bidirecionais, a

continuidade se dá de maneira simples, pois a ortogonalidade das nervuras

proporciona um caminho linear e de fácil distribuição das tensões.

Para o caso da laje rotacionada, a continuidade das nervuras se dispõe de

maneira semelhante às das convencionais, com a diferença do plano a qual os

momentos irão atuar e ao fato de que, em algumas nervuras, a sua extremidade

estará ligada a um pilar, ocasionando, portanto, um grande momento negativo

nestas. Para a laje tridirecional, é observada uma mistura dos dois sistemas

anteriores.

As placas estão ligadas através de faixas maciças de dimensão 70x25cm,

permanecendo, estas, com a mesma espessura da laje. As Figuras 4.12 à 4.16

mostram os modelos bidirecionais (a), rotacionados (b), e tridirecionais (c), das

lajes nos diversos casos de Marcus .

 

 

Fi

Fi

a)

igura 4.12 –

a)

igura 4.13 –

– Lajes de re

– Lajes de re

c)

eferência no

c)

eferência no

b)

o caso 2 de M

b)

o caso 4 de M

Marcus.

Marcus.

79 

 

 

Fi

Fi

a)

igura 4.14 –

a)

igura 4.15 –

– Lajes de re

– Lajes de re

c)

eferência no

c)

eferência no

b)

o caso 5 de M

b)

o caso 7 de M

Marcus.

Marcus.

80 

 

 

most

Marc

biela

Fi

Com o m

tram o desl

cus, assim c

a.

a)

igura 4.16 –

mesmo pro

locamento,

como o estu

– Lajes de re

cesso adot

peso de aç

udo da verif

c)

eferência no

tado anterio

ço e volume

ficação do c

b)

o caso 9 de M

ormente, a

e de concre

colapso atra

Marcus.

s Tabelas

eto para cad

vés da com

81 

4.8 e 4.9

da caso de

mpressão da

82  

 

Caso  Modelo  Estado  δ (cm) P (Kg) V (m³)

2 

BI ELS -0,44 - - ELU - 101,75 2,40

ROT ELS -0,47 - - ELU - 103,59 2,73

TRI ELS -0,50 - - ELU - 165,02 4,73

4 

BI ELS -0,39 - - ELU - 104,91 2,40

ROT ELS -0,43 - - ELU - 105,50 2,73

TRI ELS -0,45 - - ELU - 176,21 4,73

5 

BI ELS -0,39 - - ELU - 89,74 2,40

ROT ELS -0,42 - - ELU - 106,18 2,73

TRI ELS -0,41 - - ELU - 145,19 4,73

7 

BI ELS -0,34 - - ELU - 97,49 2,40

ROT ELS -0,39 - - ELU - 109,77 2,73

TRI ELS -0,42 - - ELU - 167,66 4,73

9 

BI ELS -0,30 - - ELU - 94,80 2,40

ROT ELS -0,36 - - ELU - 105,074 2,73

TRI ELS -0,34 - - ELU - 120,159 4,73

Tabela 4.8 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto para lajes.

 

 

 

 

 

 

 

 

83  

 

Caso Modelo (MPa) (MPa) Resultado

2 BI 3,54 5,80 Não esmaga o concreto

ROT 3,76 5,80 Não esmaga o concreto

TRI 4,43 5,80 Não esmaga o concreto

4 BI 3,85 5,80 Não esmaga o concreto

ROT 3,47 5,80 Não esmaga o concreto

TRI 4,06 5,80 Não esmaga o concreto

5 BI 4,09 5,80 Não esmaga o concreto

ROT 3,66 5,80 Não esmaga o concreto

TRI 4,38 5,80 Não esmaga o concreto

7 BI 3,70 5,80 Não esmaga o concreto

ROT 3,39 5,80 Não esmaga o concreto

TRI 4,23 5,80 Não esmaga o concreto

9 BI 1,27 5,80 Não esmaga o concreto

ROT 0,88 5,80 Não esmaga o concreto

TRI 3,39 5,80 Não esmaga o concreto

Tabela 4.9 – Verificação da tensão de compressão das bielas.

 

4.3.

Análise Numérica de Lajes Contínuas Ligadas por Vigas Faixas

Nervuradas

 

Na maioria dos processos de cálculo, sejam eles analíticos ou simplificados,

é realizada uma discretização da estrutura em peças menores, as quais se tenha

conhecimento de uma determinada solução. Com um sistema estrutural formado

pelo conjunto lajes, vigas e pilares, ocorre o mesmo, sendo, portanto, estudada

cada peça isoladamente. Através deste processo, são encontradas aproximações,

por vezes grosseiras do comportamento real, pois se sabe que a estrutura trabalha

como um só elemento conectado entre si. 

Neste processo, é realizado o cálculo dos esforços nas lajes, provenientes de

carregamentos externos, sendo estas apoiadas em elementos de viga considerados

84  

 

indeslocáveis verticalmente. Somente depois, através das cargas redistribuídas

pela laje, é possível realizar o cálculo dos esforços internos na viga. Este processo

não contempla a rigidez da estrutura como uma só grande peça, apresentando,

portanto, deslocamentos finais aproximados e até irreais. O método do pórtico

equivalente apresenta uma maior aproximação, pois, com ele, é considerada uma

faixa de laje atuando em conjunto com os elementos de apoio, no caso os pilares.

Por apresentar maior seção transversal, as faixas dão maior rigidez à

estrutura, tornando possível a construção de grandes pavimentos em concreto

armado. No entanto, estas peças não são indeslocáveis verticalmente, trabalhando

em conjunto com o restante da laje. Deve-se, então, determinar a rigidez deste

elemento através do processo numérico, e como ele altera a configuração

deformada da laje.

Através destes fatores, conclui-se que aproximações numéricas que

consideram as peças estruturais trabalhando como um sistema único, levando em

conta a rigidez de cada elemento e a interação entre elementos, reproduz o

comportamento real com maior acurácia. As soluções para deslocamentos deste

modelo podem ser encontradas através de métodos como o dos elementos finitos. 

A nova metodologia de construção proposta permite, ao rotacionar as

nervuras, a substituição de vigas faixas maciças por uma terceira linha de

nervuras, processo este viabilizado com o novo sistema de formas da empresa

Impacto Protensão.

Para representar essas estruturas, foi adotado o mesmo padrão de modelos

utilizados anteriormente, ou seja, elementos de casca para representar a capa, e

elementos de viga para representar as nervuras, vigas e pilares. Os modelos foram

estudados por um conjunto de nove placas apoiadas nas faixas, sendo elas maciças

(Figuras 4.17a e 4.17b) e nervuradas (Figura 4.17c).

 

 

nove

de di

em u

nervu

maci

pilare

dime

Marc

Fig

Os modelo

e placas apo

imensões d

um conjunto

uras das laje

iças no bord

es.

Para a aná

ensionament

cus, quis-se

a)

gura 4.17 – L

os apresenta

oiadas em fa

e 25x70 cm

o de seis ne

es. Neste ul

do para dar

álise dos re

to somente

imprimir a

Lajes de ref

ados na Fig

aixas maciç

m. Para o m

ervuras em

ltimo model

r fechament

esultados, c

e da laje ce

continuida

c)

ferência par

gura 4.17a e

ças modelad

modelo da F

cada eixo,

lo, tornou-s

to à placa e

considerou-s

entral, pois

ade da laje e

b)

ra estudo da

e 4.17b cons

das através

igura 4.17c

de seção tr

se necessári

transmitir

se o efeito

s, assim com

em todas as

as faixas.

sistem no c

de elemento

c, as placas

ansversal ig

a a utilizaçã

as devidas

do desloca

mo no caso

quatro face

85 

conjunto de

os de viga,

se apoiam

gual às das

ão de vigas

cargas aos

amento e o

o nove de

es da placa.

86  

 

Os resultados para deslocamento, peso total de aço e volume total de

concreto do conjunto nervuras/faixa, estão fornecidos na Tabela 4.10.

BI ROT FAIXA NERV. ELS ELU ELS ELU ELS ELU

δ (cm) -0,23 - -0,36 - -0,46 -

P (Kg) - 271,13 - 313,57 - 383,32

V (m³) - 6,6 - 7,12 - 6,52

Tabela 4.10 – Deslocamentos, peso de aço e volume de concreto.

O resultado do estudo da compressão das bielas no contorno crítico do pilar,

para as faixas e nervuras, estão apresentados na Tabela 4.11.

λ (MPa) (MPa) Resultado

BI 0,33 5,80 Não esmaga o concreto

ROT 3,43 5,80 Não esmaga o concreto

F.N. 5,94 5,80 Esmaga o concreto

Tabela 4.11 – Verificação da tensão de compressão das bielas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

87  

 

5. Análise dos Resultados  

 

 

 

 

5.1.

Análise dos Resultados para Lajes Simplesmente Apoiada

 

Foi escolhido, para fins de comparação, o deslocamento máximo obtido em

cada laje, de forma a determinar qual configuração apresenta maior flexibilidade

e, portanto, maior desvantagem como sistema estrutural. Outro dado utilizado

para comparação foi o obtido a partir do dimensionamento das nervuras, sendo

estes a quantidade de aço necessária em cada nervura e os seus respectivos

volumes.

Esses valores foram apresentados para cada modelo estudado no capitulo 4

através das Tabelas 4.2, 4.4 e 4.6 e são reapresentados em um formato

comparativo dispondo da porcentagem da diferença entre cada configuração.

Esses dados são também apresentados em gráficos para uma melhor visualização

dos resultados e, por fim, comentados.

Figura 5.1 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos no caso 1.

0

0,2

0,4

0,6

BI ROT TRI

δ (c

m)

Deslocamento

λ=1

λ=1.5

λ=2

88  

 

λ=1 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

δ (cm) -0,50 -0,51 -0,53 1,60 6,19 4,52 λ=1.5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

δ (cm) -0,43 -0,45 -0,54 4,65 24,65 19,11 λ=2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

δ (cm) -0,31 -0,32 -0,39 5,19 25,65 19,44

Tabela 5.1 – Comparação entre deslocamentos máximos no caso 1.

Nessa primeira análise que cada λ é estudado separadamente, é possível

observar que para λ=1 ocorre uma maior deformação da laje ao se rotacionar as

nervuras, sendo o deslocamento acrescido de 1,60%. Já quando se compara a laje

bidirecional com a tridirecional, observa-se também um acréscimo de 6,19% no

deslocamento. Conclui-se que, para esta laje tipo, com a rotação das nervuras ou

utilização do modelo tridirecional, encontra-se desvantagem quanto à deformação

medida no Estado Limite de Serviço.

O mesmo ocorre quando analisado o λ=1,5, havendo um acréscimo de

flecha de 4,65% quando rotacionadas as nervuras, e de 24,65% quando idealizada

a laje tridirecional. É possível também observar o mesmo padrão de

comportamento quando analisado o λ=2, sendo o aumento de deslocamento de

5,19% da bidirecional para a rotacionada, e de 25,65% da bidirecional para a

tridirecional.

Por fim, podemos estudar o comportamento do efeito da rotação das

nervuras quando o λ é variado. Neste quesito, observamos que a menor variação

de deslocamento acontece quando o λ=1, aumentando consideravelmente a

diferença à medida que o λ aumenta, como pode ser observado na figura 5.1.

Com isso, conclui-se que, para o caso 1 de Marcus, nesta laje tipo, a rotação

das nervuras, diferentemente do que Rocha [11] diz, é desvantajosa diante do

método bidirecional. Isso se deve ao fato do comprimento da nervura central

aumentar consideravelmente, provocando um maior vão entre apoios, não sendo

balanceada pela rigidez provocada pelas nervuras de menor vão, mais próximas

aos apoios. Tem-se, também, que a melhor situação possível de apresentar uma

pequena vantagem é quando o λ=1, pois a diferença entre a laje bidirecional e a

rotacionadas apresentaram valores bem próximos de deslocamentos.

89  

 

Figura 5.2 – Gráfico comparativo entre peso de aço nas nervuras no caso 1.

λ=1 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Peso de aço (Kg) 84,43 90,35 162,08 1,04 81,25 79,38 λ=1.5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Peso de aço (Kg) 54,83 68,71 102,45 25,33 86,87 49,10 λ=2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Peso de aço (Kg) 32,39 46,69 68,71 44,15 112,15 47,17

Tabela 5.2 – Comparação entre peso de aço nas nervuras no caso 1.

Utilizando a mesma sequência de análise adotada para o deslocamento, é

comparado, através da variação de λ, o peso resultante de aço nas nervuras,

calculado através do dimensionamento no Estado Limite Último. Para λ=1,

obteve-se uma variação semelhante a dos deslocamentos, onde o acréscimo do

peso foi de 1,04% da bidirecional em relação a rotacionada. Já quando se adiciona

uma terceira nervura, o acréscimo do peso resultante é consideravelmente alto, de

79,38%. Isso se deve à armadura necessária para esta terceira nervura, não sendo

balanceado pela diminuição de aço nas outras duas.

Uma variação semelhante ocorre para as outras duas lajes, observando na de

6x4 m² um aumento de 25,33% quando rotacionadas as nervuras e 86,87% quando

acrescida a terceira. Para a laje 6x3 m², a variação é ainda maior, sendo de 44,15%

no primeiro comparativo e 112,15% no segundo.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

BI ROT TRI

Pes

o d

e aç

o (k

g)

Peso de aço

λ=1

λ=1.5

λ=2

90  

 

Isso reforça a ideia de que, quanto maior o λ, os novos processos

construtivos se tornam mais desvantajosos diante do processo clássico de duas

direções de nervuras ortogonais aos eixos cartesianos.

Uma explicação para esse acréscimo considerável de aço é o aumento do

momento positivo nas nervuras centrais quando rotacionadas, pois seu vão

(aproximadamente 8,5 m para a laje 6x6 m²) é bem maior do que nas ortogonais

(6 metros para a laje 6x6 m²). Outro fator é que nas nervuras mais próximas aos

apoios, o momento positivo é pequeno, por vezes inexistente, gerando um alto

momento negativo e uma elevada taxa de aço.

Um terceiro fator que contribui para o acréscimo dos momentos, e

consequentemente do peso de aço, é o aumento do peso próprio da estrutura, pois

a maior rigidez obtida com a rotação das nervuras não compensa o aumento do

carregamento.

Os cálculos da quantidade de peso de aço para cada tipo foram realizados

somente nas nervuras, visto que na capa é necessária somente uma armadura

construtiva que será igual em todos os casos.

Figura 5.3 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras no caso 1.

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

5

BI ROT TRI

Vol

. de

Con

cret

o (m

³)

Volume de Concreto

λ=1

λ=1.5

λ=2

91  

 

λ=1 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 λ=1.5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Vol. de Concreto (m³) 1,55 1,94 3,13 24,58 102 62,14 λ=2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Vol. de Concreto (m³) 1,05 1,45 2,35 37,86 123,57 62,18

Tabela 5.3 – Comparação entre volume de concreto das nervuras no caso 1.

Por último, é verificado o volume de concreto utilizado para fabricação de

cada modelo. É possível observar que, nesse quesito, há também um acréscimo do

volume quando as nervuras são rotacionadas, e isso se deve ao fato da colocação

das nervuras a 45º produzir comprimentos maiores das nervuras do que quando

elas são dispostas ortogonalmente. Além disso, quando rotacionadas há o

acréscimo de cinco nervuras pequenas próximas aos apoios para completar o

contorno da laje. Para a laje tridirecional o acréscimo de uma terceira fileira de

nervura contribui consideravelmente no aumento do volume de concreto da

estrutura.

Para λ=1, observa-se que o acréscimo de volume quando a laje é

rotacionada é de 13,95%, e quando acrescida a terceira nervura, de 96,91%. Para

λ=1,5, os valores são de 24,58% e 102%, respectivamente. Por fim, para λ=2, o

aumento percentual é de 37,86% e 123,57% respectivamente.

Quanto à comparação da compressão das bielas na seção crítica C do pilar,

com exceção do caso rotacionado para λ=1,5, todas as lajes apresentaram

resultado satisfatório. No caso em que a biela colapsou, é necessário um

acréscimo de altura útil da faixa que trabalha como laje, tornando esse caso ainda

mais desvantajoso perante os outros, e tornando o modelo não mais laje lisa, e sim

laje cogumelo devido ao acréscimo do capitel.

Com o acréscimo do volume de concreto com o aumento de λ, é possível ser

conclusivo quando se diz que em nenhuma circunstância a laje rotacionada ou

tridirecional apresentou vantagem perante a tradicional para essas lajes tipos.

 

92  

 

5.2.

Análise dos Resultados para Lajes com Diversas Condições de

Apoio

 

De posse dos resultados expostos no item 5.1 deste trabalho, foi possível

optar pelo painel mais favorável para os novos modelos construtivos, a fim de

tornar válida a averiguação de algum possível resultado positivo para estes

sistemas. Com isso, foi constatado que a laje tipo com menor porcentagem de

ineficácia, quando as novas lajes são comparadas com a convencional, foi aquela

que apresenta λ igual a 1, ou seja, laje quadrada.

Com a utilização do mesmo padrão de laje, buscou-se nos casos restantes de

Marcus algum resultado satisfatório, com o intuito de mostrar que a literatura,

mesmo com suas diversas hipóteses simplificadoras, ainda seja em parte verídica

quando se trata das vantagens da inclinação das nervuras.

Com os mesmos princípios explanados na seção anterior, é feita uma análise

dos deslocamentos verticais, da quantidade de aço medido em quilos, e do volume

de concreto resultante em cada modelo.

 

Figura 5.4 – Gráfico comparativo entre deslocamentos máximos.

0,30,320,340,360,380,4

0,420,440,460,480,5

BI ROT TRI

δ (c

m)

Deslocamento

Caso 2

Caso 4

Caso 5

Caso 7

Caso 9

93  

 

Caso 2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

δ (cm) -0,44 -0,47 -0,50 6,12 12,47 5,98 Caso 4 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

δ (cm) -0,39 -0,43 -0,45 10,59 16,80 5,61 Caso 5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

δ (cm) -0,39 -0,42 -0,41 8,70 6,14 2,35 Caso 7 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

δ (cm) -0,34 -0,39 -0,42 14,29 21,87 6,63 Caso 9 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

δ (cm) -0,30 -0,36 -0,34 19,54 12,58 5,82

Tabela 5.4 – Comparação entre deslocamentos máximos.

Através dos dados demonstrados na Tabela 5.4 e na figura 5.4, é possível

observar que, em todos os casos, o deslocamento da laje bidirecional apresenta

valores menores, ou seja, a laje proporciona maior rigidez à deformação do que os

outros modelos, tendo como variação de 6,12% no caso dois, até 19,54% no caso

nove, comparando-se às lajes bidirecionais e rotacionadas.

Observa-se, portanto, que mesmo com a condição de continuidade aplicada

em cada laje, os engastes em ambos os casos são equivalentes, fazendo com que o

aumento da rigidez na laje bidirecional seja equivalente ao aumento de rigidez da

laje rotacionada.

Por fim, foi possível constatar que, para os casos 5 e 9, as lajes tridirecionais

se tornaram mais rígidas do que as rotacionadas, com índices de 2,35% e 5,82%,

respectivamente. Isso se deve ao fato de que, nestes casos, a terceira nervura

colaborou para que o deslocamento da laje fosse menor, pois ela contém agora

três direções de continuidade.

Conclui-se que, para esta laje tipo, em nenhuma das hipóteses apresentadas,

a laje rotacionada e tridirecional apresentou vantagem diante da clássica

bidirecional no quesito deflexão.

 

94  

 

Figura 5.5 – Gráfico comparativo entre peso de aço nas nervuras.

Caso 2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Peso de aço (Kg) 101,75 103,59 165,02 1,81 62,18 59,30 Caso 4 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Peso de aço (Kg) 104,91 105,50 176,21 0,56 67,96 67,02 Caso 5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Peso de aço (Kg) 89,74 106,18 145,19 18,31 61,78 36,74 Caso 7 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Peso de aço (Kg) 97,49 109,77 167,66 12,60 71,98 52,74 Caso 9 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Peso de aço (Kg) 94,80 105,07 120,16 10,84 26,75 14,36

Tabela 5.5 – Comparação entre peso de aço nas nervuras.

Com o surgimento do engaste nos vértices das lajes, ocorre,

consequentemente, um aumento significativo do momento negativo,

proporcionando, para o dimensionamento, uma maior quantidade de aço

resultante se comparado com a laje simplesmente apoiada em seus bordos.

Para que os novos métodos sejam vantajosos neste aspecto, é necessário que

a elevação do momento positivo na nervura central, nos casos que ocorreram

rotação, seja balanceada através da diminuição dos momentos negativos nas

nervuras rotacionadas próximas aos vértices da laje.

80,000

100,000

120,000

140,000

160,000

180,000

BI ROT TRI

Pes

o d

e aç

o (k

g)

Peso de aço

Caso 2

Caso 4

Caso 5

Caso 7

Caso 9

95  

 

No entanto, não foi observado este balanceamento, tornando mais onerosos

os métodos novos devido ao aumento, tanto do momento positivo na nervura

central, quanto o aumento significativo dos momentos negativos nas nervuras

próximas aos apoios.

Para o caso quatro, a diferença é de apenas 0,56%, sendo este o caso menos

desvantajoso no quesito peso de aço, se comparado a bidirecional e rotacionada. O

caso cinco apresentou maior disparidade com 18,31% entre estes modelos.

O modelo tridirecional continua apresentando maior custo diante do

clássico, variando de 26,7% até 71,99% para os casos nove e sete

respectivamente.

Fica claro que em nenhuma hipótese das apresentadas, o construtor obterá

economia no quesito taxa de aço.

Figura 5.6 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras.

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

5

BI ROT TRI

Vol

. de

Con

cret

o (m

³)

Volume de Concreto

Caso 2

Caso 4

Caso 5

Caso 7

Caso 9

96  

 

Caso 2 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 Caso 4 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 Caso 5 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 Caso 7 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80 Caso 9 Diferença (%) BI ROT TRI BI/ROT BI/TRI ROT/TRI

Vol. de Concreto (m³) 2,4 2,73 4,73 13,95 96,91 72,80

Tabela 5.6 – Comparação entre volume de concreto nas nervuras.

Com a inclinação das nervuras, assim como no caso da laje simplesmente

apoiada em seus bordos, a quantidade de volume de concreto necessário para estes

novos modelos sofre um aumento de 13,95% para as rotacionadas, e 96,91% para

as tridirecionais, quando comparadas com as bidirecionais.

Assim como para as armaduras, o volume de concreto acrescido devido a

essas novas tecnologias apresentam mais gastos ao construtor. Por não

apresentarem vantagens na rigidez global do sistema, assim como um maior custo

em materiais, fica provado que, para os modelos estudados, os novos sistemas

construtivos não apresentam vantagens diante dos clássicos.

Os métodos clássicos da literatura não contemplam o acréscimo de material

devido à rotação, assim como não demonstram que, ao utilizar os novos sistemas

estruturais, o peso próprio da estrutura aumenta consideravelmente, ocasionando

um maior deslocamento da mesma. Além disto, a literatura utiliza de métodos

conservadores, os quais fazem uso de hipóteses simplificadoras, como a não

utilização do efeito de torção nas nervuras, que, com o modelo com offset,

demonstrou ter uma grande diferença nos momentos finais.

 

 

 

 

5.3.

Aná

Nerv

mesm

dos d

dos d

deslo

elem

em c

é per

maio

enga

lise Num

vuradas

Ao observ

ma ter geom

deslocamen

dois sentido

As vigas

ocamentos

mentos dão u

centímetros

Para as laj

rfeitamente

or quantidad

aste com a la

mérica de

var o desl

metria e ca

ntos, com m

os principais

s faixas tr

verticais re

uma maior

no Estado L

Figura 5.7

jes com ner

simétrico, p

de de nerv

aje adjacent

Figura 5.8

Lajes C

ocamento

arregamento

menor deform

s, x e y.

rabalham e

elativamente

rigidez à es

Limite de Se

7 – Deslocam

rvuras rotac

pois, com a

vuras, torna

te. A Figura

8 – Deslocam

ontínuas

global da

o simétricos

mação na la

em conjun

e menores

strutura. A

erviço da es

mentos da la

cionadas, o

a inclinação

ando mais

a 5.8 aprese

mentos da la

ligadas

estrutura b

s, verifica-s

aje central, d

nto com a

do que os

Figura 5.7

strutura bid

aje bidirecio

comportam

o, um dos se

rígido um

nta a deform

aje rotacion

por Vigas

bidirecional

se a simetri

devido à co

a laje, apr

das lajes,

exibe o des

irecional.

onal.

mento da est

entidos apre

dos eixos

mada da estr

 

nada.

97 

s Faixas

l devido à

ia também

ontinuidade

resentando

pois esses

slocamento

trutura não

esenta uma

devido ao

trutura.

 

 

sendo

estru

nervu

comp

casos

poste

Figur

O mesmo

o um dos e

utura para

uras na t

portamento

Figura 5.9

A Tabela

s, relacion

eriormente d

ra 5.10 – Grá

δ (cm

Tabela 5.7

δ(c

m)

fenômeno a

eixos mais r

o Estado L

terceira dir

desejado.

– Deslocam

5.7 expõe o

nando a e

demonstrad

áfico compa

m) BI R-0,23 -

7 – Compara

0,20,250,3

0,350,4

0,450,5

δ (c

m)

acontece pa

rígido. A Fi

Limite de

reção traba

mentos da la

os deslocam

efetividade

do através da

arativo entre

- ROT F.N-0,36 -0,4

ação entre d

BI

De

ara a laje rot

igura 5.9 m

Serviço, s

alham com

aje com faix

mentos para

de cada

a figura 5.1

e deslocam

N. BI/ROT6 54,47

deslocament

ROT

eslocamen

tacionada c

mostra os de

endo possí

mo faixas,

xas nervurad

a laje centra

uma per

0.

entos máxim

Diferença (T BI/F.N.

94,04

tos máximo

FNer

nto

om faixas n

slocamento

ível observ

tendo, p

 

das.

al de cada u

centualmen

mos .

(%) ROT/F.N.

25,62

s.

Faixarvurada

98 

nervuradas,

os finais da

var que as

portanto o

um dos três

nte, sendo

.

99  

 

Para os modelos apresentados formados por nove placas, a rotação das

nervuras, assim como demonstrado para todos os casos de Marcus, não

demonstrou vantagem, pois o deslocamento da laje central foi 54,47% maior do

que no caso da laje bidirecional. A utilização das nervuras como faixa conectora

entre lajes também não apresentou vantagem diante da clássica, obtendo um

deslocamento de 94,04% maior do que a laje bidirecional.

Conclui-se que no quesito deslocamento, a utilização de nervuras ao invés

de faixas maciças de concreto demonstra uma desvantagem significativa devido

ao grande aumento de deformação, tornando, assim, a laje mais flexível.

Para uma comparação mais fidedigna, foi dimensionado não só as nervuras

da laje, mas também as faixas, sendo elas maciças ou nervuradas. A Tabela 5.8 e a

figura 5.11 apresentam os valores de peso de aço já somados para esses elementos

na laje central.

Figura 5.11 – Gráfico comparativo entre peso de aço das nervuras e vigas faixa.

- Diferença (%) Peso de aço (Kg) BI ROT F.N. BI/ROT BI/F.N. ROT/F.N.

271,13 313,57 383,32 15,65 41,38 22,24

Tabela 5.8 – Comparação entre peso de aço das nervuras e vigas faixa.

No quesito peso de aço, o aumento ao utilizar a faixa nervurada foi

significativo, sendo 41,38% maior do que no caso da laje bidirecional. Para a

região das faixas, isso se deve à diminuição da inércia e volume de concreto,

acarretando em uma maior área de aço necessária para combater os momentos.

200

250

300

350

400

BI ROT Faixa Nervurada

Pes

o d

e aç

o (k

g)

Peso de aço

100  

 

Figura 5.12 – Gráfico comparativo entre volume de concreto das nervuras e

vigas faixa.

- Diferença (%) Vol. de Concreto (m³) BI ROT F.N. BI/ROT BI/F.N. ROT/F.N.

6,6 7,12 6,52 7,94 -1,15 -8,42

Tabela 5.9 – Comparação entre volume de concreto das nervuras e vigas

faixa.

Por fim, ao analisar o volume de concreto necessário para a construção de

cada sistema, observa-se, para a laje com faixas nervuradas, a diminuição no valor

de 1,15% se comparada à laje com nervuras ortogonais e faixas maciças. Essa

diferença demonstraria uma pequena vantagem caso as nervuras fossem

suficientes para evitar o esmagamento das bielas (Tabela 4.11), o que não

acontece. Torna-se necessário, portanto, o acréscimo da área da seção transversal

das vigas faixas, a fim de evitar o colapso por cisalhamento.

Esse acréscimo não é necessário quando são utilizados faixas maciças, pois

as bielas no contorno crítico dos pilares apresentaram tensão de cisalhamento

solicitante ( ) menor do que a resistente ( ), estando, assim, íntegra na

verificação ao cisalhamento no Estado Limite de Utilização. Esta região maciça

acresce um valor que equipara, ou até torna maior, o volume de concreto no

modelo com faixas nervuradas, tornando-a não mais vantajosa nesse quesito.

66,26,46,66,8

77,27,47,67,8

8

BI ROT Faixa Nervurada

Vol

. de

Con

cret

o (m

³)

Volume de Concreto

101  

 

6. Conclusões e Sugestões

6.1.

Conclusões

 

Este trabalho analisou modelos numéricos representativos de lajes

nervuradas a fim de permitir ao engenheiro civil o cálculo dos deslocamentos e

esforços internos deste tipo de elemento.

As lajes nervuradas apresentam vantagens quando comparada às maciças

pela diminuição de volume de concreto sem afetar sua eficiência estrutural,

permitindo aos construtores maiores vãos e economia. Este conceito implica na

necessidade do desenvolvimento de novas tecnologias da construção, como as

lajes nervuradas rotacionadas e as lajes nervuradas tridirecionais, assim como o

conceito de faixas nervuradas quando utilizada a rotação de 45º das nervuras.

O objetivo deste trabalho foi, portanto, a busca da eficiência deste novo

sistema estrutural através do método numérico dos elementos finitos. Sendo

assim, pretende-se fornecer aos construtores parâmetros matemáticos para a

escolha do tipo ideal de laje para cada situação.

Na primeira parte deste trabalho, foi apresentado um estudo a fim de

verificar qual o melhor modelo para lajes nervuradas, ou seja, qual o melhor

elemento, melhor malha, e as hipóteses de cálculo que imprimem melhor validade

e precisão ao modelo. Este estudo consistiu na comparação dos deslocamentos

entre uma laje analisada através do processo analítico e do processo numérico.

No processo numérico, foi utilizado o método dos elementos finitos, e foram

testados três modelos. No primeiro, o elemento de casca representou a capa da laje

e elementos de viga simularam as nervuras, faixas e pilares. Todos os elementos,

com exceção dos pilares, encontrando-se no mesmo plano. O segundo modelo é

102  

 

semelhante ao primeiro, diferindo somente que as linhas neutras não mais se

encontram no mesmo plano, sendo ligadas por elementos rígidos (offset). O

terceiro é baseado em elementos sólidos, ou seja, todos consistindo em três

dimensões com apenas 3 graus de liberdade por nó, que foi usado como o modelo

de referência para comparação dos resultados. Os resultados de um quarto modelo

baseado no método das grelhas, que é normalmente utilizado no dimensionamento

dessas lajes, são também comparados com os resultados obtidos pelos outros três

modelos.

Concluiu-se, através de vários estudos, que, ao medir os deslocamentos

máximos nos cinco pontos distintos da laje, aquele que apresentou maior

proximidade com o modelo sólido foi o modelo com ligações rígidas. Já a pior

aproximação se deu no modelo analisado através do software  TQS, que utiliza o

método das grelhas para encontrar a solução.

Para o processo rotineiro de dimensionamento de lajes, assim como para

viabilização da simulação dos diversos modelos deste trabalho, é necessário

combinar a precisão do modelo com o tempo de processamento, armazenamento

de dados, tempo e dificuldade na modelagem e análise de resultados. Quando se

combina todos os fatores, é possível demonstrar que o modelo de casca e vigas

com ligações rígidas entre planos apresentou notável vantagem.

Na análise do estudo de convergência da dimensão da malha adotada em

cada modelo, foram analisadas malhas com dimensões de 1000x1000 mm²,

800x800 mm², 500x500 mm², 250x250 mm², 125x125 mm² me 83,3x83,3 mm².

Utilizando o mesmo método comparativo dos modelos, a melhor relação

deslocamentos e tempo de processamento foi obtida com a malha de 250x250

mm².

Por fim, pode-se afirmar que, para o presente estudo, o melhor modelo para

simular uma laje nervurada é o modelo que utiliza elementos 1D (vigas), e

elementos 2D (cascas) representados em planos diferentes utilizando ligações

rígidas. A malha adotada foi a que utilizou elementos 250x250 mm². 

A segunda parte do trabalho consistiu em, a partir do melhor modelo

encontrado, simular para as diversas condições de apoio, as lajes nervuradas

ortogonais aos eixos x e y, as lajes rotacionadas em 45º a esses eixos, e as lajes

103  

 

tridirecionais. Além disso, foi realizado um estudo onde foram substituídas as

faixas maciças por um conjunto de nervuras com o intuito de simular uma faixa.

Neste estudo, foram parametrizados os dados do modelo, tornando as

propriedades mecânicas do material, as condições de carregamento e a geometria

das seções transversais padrão, variando apenas a dimensão total da laje e as

condições de contorno.

Conclui-se que, para o caso 1 de Marcus, ou seja, com as lajes simplesmente

apoiadas em seu bordo, a rotação das nervuras, assim como a utilização de três

nervuras, não apresentaram vantagem em nenhum dos três aspectos, sendo eles a

deformação, a quantidade de aço medida em quilogramas e o volume de concreto.

Nesta etapa, foram testadas lajes com a relação entre as dimensões x e y de 1, 1,5

e 2.

Posteriormente, foram adotadas as outras condições de contorno, sendo elas

a variação de continuidade entre lajes. Para esta simulação, foi adotada a laje que

apresentou melhor resultado na comparação no caso um, pois mesmo com

resultados inviabilizando a adoção dos novos sistemas estruturais, a variação da

continuidade entre lajes poderia apresentar resultados satisfatórios. Com isso foi

adotado a laje quadrada de dimensões 6x6 m².

Nesta nova etapa, o resultado negativo persistiu, provando que os

deslocamentos no modelo clássico de lajes nervuras, assim como o peso de aço e

volume de concreto são consideravelmente menores.

Por fim, foi estudada a influência que as faixas têm sobre as lajes e os

efeitos no sistema, que são impostos a partir da substituição da faixa maciça por

nervurada.

Pode-se constatar que a diminuição de inércia das faixas nervuradas

implicou em uma maior flexibilidade no sistema, aumentando os deslocamentos

obtidos no Estado Limite de Serviço, e a área de aço dimensionada através do

Estado Limite Último. Devido ao efeito de esmagamento da biela de compressão

nas proximidades dos pilares, a pequena diminuição de concreto para o caso de

lajes rotacionadas com faixas nervuradas não implicou em vantagem, pois é

necessário um acréscimo da área transversal das vigas faixas para combater o

esmagamento da biela.

104  

 

Esses resultados são contrários ao que afirmam alguns trabalhos

encontrados na literatura, como a de Rocha [11], que afirma ser favorável o

caminhamento do fluxo de tensões diretamente aos pilares. No entanto, estes

dados foram obtidos a partir de estudos analíticos simplificados, que utilizam

grelhas coplanares, desprezando, portanto, o efeito da excentricidade, que, por sua

vez, provoca efeitos como torção nas nervuras e um aumento dos momentos

fletores.

Outro fator desprezado foi o aumento do peso próprio da estrutura ao

rotacionar as nervuras ou adotar a laje tridirecional, aumentando, portanto, os

momentos no vão central, que passa a ter maior vão teórico, e nas proximidades

dos apoios, devido ao engaste destas nervuras.

Fica claro, portanto, que nestas lajes adotadas para estudo, o método

clássico apresentou melhor comportamento estrutural, com lajes mais rígidas e

econômicas no ponto de vista de materiais.

Torna-se mais oneroso a adoção dos novos sistemas estruturais também pela

nova adequação da mão de obra, pois esta teria que apresentar treinamentos

específicos para a montagem das formas in loco.

 

6.2.

Sugestões para Trabalhos Futuros

 

Este estudo consistiu na análise de lajes nervuradas no regime linear, com

algumas hipóteses simplificadoras usualmente adotadas para dimensionamento de

lajes, não elucidando completamente o comportamento dos novos sistemas

estruturais. Com o intuito de dar continuidade à pesquisa, propõem-se as seguintes

abordagens:

Estudo experimental das lajes rotacionadas e tridirecionais expostas

neste trabalho, a fim de comprovar os resultados numéricos

encontrados;

Estudo numérico e experimental das lajes rotacionadas e

tridirecionais com faixas e/ou nervuras sob o efeito de Protensão;

105  

 

Análise dos novos sistemas estruturas no regime plástico, já que o

presente estudo foi realizado para a estrutura com comportamento

elástico linear;

Avaliação dinâmica das lajes sob efeitos de carregamentos cíclicos;

Estudo da influência da laje para utilização como laje diafragma,

contribuindo assim para a rigidez global da estrutura de edifícios;

Estudo do efeito de torção nas nervuras causado pela excentricidade

dos planos neutros dos elementos de casca e de viga;

Estudo do efeito de cisalhamento nas nervuras quando exigido por

norma.

106  

 

Referências Bibliográficas  

[1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR

6118:2007. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de

Janeiro, 2007.

[2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR

6120:1980. Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de

Janeiro, 1980.

[3] BARRETO, L.A. et al. Sistema Construtivo Tridirecional para

Construção de Lajes Nervuradas. In: 54º Congresso Brasileiro do

Concreto – IBRACON, 2012, Maceió, Alagoas. ISSN: 2175-8182.

[4] CARVALHO, R.C.; PINHEIRO, L.M. Cálculo e Detalhamento de

Estruturas Usuais de Concreto Armado, v2. 1.ed. São Paulo: Editora

PINI Ltda., 2009. 589p.

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Applications of Finite Element Analysis. 3.ed. EUA: Editora John

Wiley & Sons, Inc., 1974. 630p.

[6] DONIN, Christian. Análise Numérica de Lajes Nervuradas por Meio

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Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil,

Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, 2007.

[7] FELIPPA, C.A. Introduction to Finite Element Methods. Colorado,

2004. Disponível em:

http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/Home.html.

Acesso em: 27 de jun. 2013.

107  

 

[8] IMPACTO PROTENSÃO. Especificações Técnicas. Brasil, 2012.

Disponível em: http://impactoprotensao.com.br/downloads/area-do-

calculista. Acesso em: 13 de jun. 2013.

[9] LA TORRE CUBAS, Maria Vanessa. Análise Numérica do

Comportamento de Pavimentos Constituídos de Lajes Lisas de

Concreto Protendido. 2012. 137p. Dissertação (Mestrado) –

Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do

Rio de janeiro, Rio de Janeiro, 2007.

[10] PARK, R.; GAMBLE, W.L. Reinforced Concrete Slabs. 1. ed. EUA:

Editora John Wiley & Sons, Inc., 1980. 618p.

[11] ROCHA, A.M. Curso Prático de Concreto Armado: cálculos

complementares de estruturas de edifícios, v.4. 1.ed. Rio de Janeiro:

Editora Científica, 1956. 226p.

[12] SILVA Fº, C.A.I. et al. Análise Tridirecional em Lajes Nervuradas

Protendidas. In: 54º Congresso Brasileiro do Concreto – IBRACON,

2012, Maceió, Alagoas. ISSN: 2175-8182.

[13] TIMOSHENKO, S.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of Plates and

Shells. 2.ed. EUA: Editora McGraw-Hill Book Company, Inc., 1959.

580p.