SUMÁRIO1 RESUMO............................................................................................................................................................... 2

2 EQUACIONAMENTO......................................................................................................................................... 3

3 RESULTADOS...................................................................................................................................................... 73.1 MODELO PERFEITO.......................................................................................................................................................... 73.2 MODELO REAL.................................................................................................................................................................. 7

4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................................................. 8

5 ANEXO 1 – MEMORIAL DE CÁLCULO...........................................................................................................95.1 MODELO PERFEITO.......................................................................................................................................................... 95.2 MODELO REAL.................................................................................................................................................................. 9

6 ANEXO 2 – FRAGMENTAÇÃO DO PROCESSO EM ETAPAS, DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES.............11

1 ResumoCampinas, 21 de abril de 2015.

Caros colegas do Departamento de Processos,

Ao fabricante da tubulação do gasoduto Santa Cruz de la Sierra – Araçatuba. Informam-se por meio deste documento as condições de saída do processo de compressão apresentados para consulta em 31 de março de 2015.

A temperatura de saída do compressor, estimada por nossa equipe, é de 600±2℃; sendo a pressão de descarga já verificada e condicionada para 33,0MPa.

O resultado foi obtido levando-se em consideração a equação PVT de Beattie-Bridgeman para descrever o comportamento do gás. As considerações e os cálculos se encontram ao longo do corpo do documento.

Saudações,

Att.

Área de Projetos,

ps: perdoem-nos os eventuais atrasos em deliberar uma resposta técnica concisa, os feriados do mês de Abril e debilitações médicas postergaram o trabalho.

2

2 EquacionamentoDados e fluxograma

Os dados do problema fornecidos são apresentados na tabela a seguir. Pede-se determinar a temperatura de saída do compressor (T 2).

Tabela 1 Parâmetros do processo e condições de operação.

Parâmetro Valor UnidadePressão Succção (P1) 1,2 MPaPressão Descarga (P2) 33,0 MPaTemperatura Sucção (T 1) 300,0 KCalor Específico (c p) 18,89+0,05545T J mol−1K−1

Eficiência (η) 0,8 -Equação PVT Beattie-Bridgeman -

É viável se organizar um fluxograma de como o problema pode ser abordado

1. Resolução do problema considerando comportamento de gás perfeito, para se obter uma estimativa da condição de saída;

2. Resolver o equacionamento para cálculo das variações de entropia, energia interna e entalpia para PVT de Beattie-Bridgeman;

3. Iniciar processo iterativo a partir da estimativa da temperatura de saída do compressor.

a. Estimar uma temperatura de saída do compressor;

b. Resolver o volume molar pela equação PVT empregada (ferramenta Solver, do Excel);

c. Resolver a variação da entropia;

d. Iterar até que o processo seja considerando o processo isentrópico; determinar assim a temperatura de descarga reversível T 2 ,rev;

4. Resolver variações de energia interna e entalpia para o processo reversível;

5. Determinar a variação real de entalpia e entropia a partir da eficiência do compressor e dos resultados reversíveis;

6. Iniciar segundo processo iterativo, a partir da temperatura de saída do compressor

a. Estimar temperatura de saída real do compressor;

b. Resolver o volume molar pela equação PVT empregada (ferramenta Solver, do Excel);

c. Resolver variações de energia interna e entalpia

d. Iterar até que a variação da entalpia seja igual a calculada a partir da eficiência do compressor e do resultado reversível – determinar temperatura de descarga real T 2;

Equações

Assim, detalham-se as equações necessárias em cada etapa. Trata-se do conjunto de equações para se medirem entropia, energia interna e entalpia. Em termos gerais, as equações são as seguintes.

3

∆ S=∫ dS=∫T1

T2 cVTdT +∫

V 1

V 2

( ∂ P∂T )V

dV (2.1)

∆U=∫dU=∫T1

T2

cV dT+∫V 1

V 2 [T ( ∂ P∂T )V

−P]dV (2.2)

∆ H=∫ dH=∫ dU+d (PV )=∆U+(P2V 2−P1V 1 ) (2.3)

Consideradas as condições reversíveis e reais, a eficiência do processo se relaciona as variações das entalpias, conforme.

∆ H=∆ H rev

η(2.4)

Modelo perfeito

Utilizado apenas para se ter uma estimativa inicial sobre o problema. Nesse caso, passa a ser válida a equação dos gases perfeitos e as equações se simplificam para as seguintes.

∆ S=∫T1

T2 cVTdT +R ln (V 2

V 1) (2.5)

∆U=∫T1

T2

(c P−R )dT (2.6)

∆ H=∫T1

T2

cPdT (2.7)

Substituindo a função para o calor específico e integrando.

( i )∫T 1

T 2 cVTdT=∫

T 1

T 218,89+0,05545T−R

TdT=(18,89−R ) ln(T2T1 )+0,05545 (T2−T 1 ) (2.8)

( ii )∫T1

T2

(c P−R )dT=∫T1

T2

(18,89+0,05545T−R )dT= (18,89−R ) (T 2−T1 )+ 0,055452

(T 22−T12 ) (2.9)

( iii )∫T1

T2

cPdT=∫T1

T2

18,89+0,05545T dT= (18,89 ) (T 2−T 1 )+ 0,055452

(T 22−T 12 ) (2.10)

Assim,

∆ S=(18,89−R ) ln(T2T1 )+0,05545 (T 2−T 1 )+R ln (V 2

V 1) (2.11)

∆U=(18,89−R ) (T 2−T 1 )+ 0,055452

(T 22−T 12) (2.12)

4

∆ H=(18,89 ) (T2−T1 )+ 0,055452

(T22−T 12 ) (2.13)

Desse modo, é possível se calcularem as variações de entropia, entalpia e energia interna para um gás perfeito, e, logo, a temperatura de descarga.

Modelo real

Toma-se a equação de estado de B-B para descrever o comportamento do fluido. A equação em sua forma geral é apresentada a seguir.

P= RTV

+β (T )V 2

+γ (T )V 3

+δ (T )V 4

(2.14)

β (T )=B0 RT−A0−Rc

T 2(2.15)

γ (T )=A0a−B0bRT−B0Rc

T2(2.16)

δ (T )=B0bRc

T 2(2.17)

Os parâmetros da equação são reunidos na tabela a seguir.Tabela 2 Parâmetros da equação PVT de Beattie-Bridgeman.

Parâmetro Valor UnidadeA0 0,2307 −¿a 0,01855 ⋅10−3 −¿B0 0,05587 ⋅10−3 −¿b −0,01587 ⋅10−3 −¿c 12,83 ⋅101 −¿R 8,314 J mol−1K−1

Nos cálculos executados, emprega-se a derivada da pressão em relação a temperatura a volume molar constante, a qual se obtém da seguinte sequência algébrica:

( ∂ P∂T )V

= RV

+ β '

V 2+γ '

V 3+δ '

V 4(2.18)

β '=( ∂ β (T )∂T )

V

=B0R+ 2 RcT 3

(2.19)

γ '=( ∂ γ (T )∂T )

V

=−B0bR+2B0Rc

T 3(2.20)

δ '=( ∂δ (T )∂T )

V

=−2B0bRc

T 3(2.21)

Sendo assim, é possível se calcularem as variações de entropia, energia e entalpia, conforme:

5

∆ S=∫T1

T2 (18,89+0,05545T−R )T

dT +∫V 1

V 2

( RV + β'

V 2+ γ '

V 3+ δ'

V 4 )dV (2.22)

∆U=∫T1

T2

(18,89+0,05545T−R )dT +∫V 1

V 2 [T ( RV + β '

V 2+γ '

V 3+δ '

V 4 )−( RTV +β (T )V 2 +

γ (T )V 3 +

δ (T )V 4 )]dV (2.23)

∆ H=∆U+(P2V 2−P1V 1 ) (2.24)

Integrando, teríamos.

(i )∫V 1

V 2

( RV + β '

V 2+ γ '

V 3+ δ '

V 4 )dV=R ln(V 2

V 1)−β '( 1V 2

− 1V 1

)− γ '

2 ( 1V 22− 1

V 12 )− δ '

3 ( 1V 23− 1

V 13 ) (2.25)

( ii )∫V 1

V 2 [T ( RV + β '

V 2+γ '

V 3+δ '

V 4 )−(RTV +β (T )V 2 +

γ (T )V 3 +

δ (T )V 4 )]dV=−(T β '−β )( 1V 2

− 1V 1

)− (T γ '−γ )2 ( 1V 2

2−1V 1

2 )−(T δ '−δ)3 ( 1V 2

3−1V 1

3 )(2.26)

( iii )∫T1

T2 (18,89+0,05545T−R )T

dT=(18,89−R )ln (T 2T 1 )+0,05545(T2−T 1) (2.27)

( iv )∫T1

T2

(18,89+0,05545T−R )dT=(18,89−R ) (T2−T 1 )+ 0,055452

(T22−T 12 ) (2.28)

Assim,

∆ S=[ (18,89−R ) ln(T2T1 )+0,05545(T 2−T1)]+[R ln(V 2

V 1)−β

'( 1V 2

−1V 1

)− γ '

2 ( 1V 22−

1

V 12 )− δ '

3 ( 1V 23−

1

V 13 )](2.29)

∆U=[(18,89−R ) (T2−T1 )+ 0,055452

(T22−T 12 )]+[−(β¿ )( 1V 2

− 1V 1

)− γ¿

2 ( 1V 22−

1V 1

2 )− δ¿

3 ( 1V 23−

1V 1

3 )](2.30)

∆ H=∆U+(P2V 2−P1V 1 ) (2.31)

Onde,

β¿=(Tβ'−β )=(B0 RT+

2Rc

T 2 )−(B0RT−A0−Rc

T 2 )=A0+3 Rc

T2(2.32)

γ ¿=(T γ '−γ )=(−B0bRT+2B0Rc

T 2 )−(A0a−B0bRT−B0Rc

T 2 )=−A0a+3 B0 Rc

T 2(2.33)

δ ¿= (T δ '−δ )=(−2 B0bcRT 2 )−( B0bcRT 2 )=−( 3B0bRcT2 ) (2.34)

A variação da entalpia e a eficiência do processo levam ao valor da temperatura de saída. Nota-se que o processo é iterativo, uma vez que pressupõe um volume molar associado a um valor de temperatura estimado, de acordo com a equação de B-B.

6

A fim de facilitar os cálculos, é possível fragmentar o caminho do processo sem influenciar no resultado final dos cálculos, uma vez que se tratam de propriedades de estado. Divide-se, assim, o processo em duas etapas isotérmicas e uma etapa a volume molar infinito, condição onde se pode reduzir o processo a gás perfeito. A ilustração a seguir exemplifica a fragmentação, detalhes dessa consideração se encontram em anexo.

Figura 1 Figura 6.4-2 (Sandler, 2006), evidenciando a fragmentação do processo em três etapas, duas isotérmicas e uma a condição de gás perfeito com volume molar infinitamente grande.

As equações fragmentadas se tornam assim:

∆ S=[∆ S ]T1 , V 1T1 , V∞+ [∆ S ]T 1 ,V∞

T 2 ,V∞+ [∆S ]T2 ,V 2

T2 ,V 2=∫V 1

V∞

( ∂ P∂T )V

dV +∫T1

T2 cPTdT+∫

V∞

V 2

( ∂P∂T )V

dV (2.35)

∆U=[∆U ]T 1, V 1T 1, V∞+ [∆U ]T1 ,V ∞

T2 ,V ∞+ [∆U ]T2 , V 2T2 , V 2=∫

V 1

V ∞ [T ( ∂P∂T )V

−P ]dV∫T 1

T 2

cV dT+∫V ∞

V 2 [T ( ∂P∂T )V

−P] dV (2.36)

∆ H=∆U+(P2V 2−P1V 1 )=[∆U ]T 1 ,V 1T 1 ,V∞+ [∆U ]T1 ,V ∞

T2 , V∞+[∆U ]T 2 ,V 2T 2 ,V 2+(P2V 2−P1V 1) (2.37)

Com as equações acima apresentadas e seguindo o fluxograma de resolução, é possível se obter a condição de saída da temperatura do compressor, como se deseja.

7

3 Resultados

3.1 Modelo Perfeito

Conforme as equações apresentadas, os resultados obtidos para o processo simulado como gás perfeito são apresentadas a seguir.

Tabela 3 Resultados obtidos para resolução com modelo perfeito, gás com comportamento perfeito.

Condição Temperatura (K ) Pressão (MPa)Sucção 300,0 1,2

Descarga 394 ,0 33,0

Dessa forma, partem-se dos valores nessa condição como estimativas para o processo real.

3.2 Modelo Real

Seguindo o fluxograma de resolução apresentado e empregando-se as equações destacadas, os resultados obtidos são apresentados a seguir.

Tabela 4 Resultados obtidos para resolução com modelo real, equação de B-B.

Condição Temperatura (K ) Pressão (MPa)Sucção 300,0 1,2

Descarga 600,0 33,0

Como o resultado foi obtido por meio iterativo, apresentam-se resultados de algumas iterações em anexo ao trabalho.

Assim, conclui-se que a saída do compressor terá temperatura de 600 ,0K com precisão de ±2℃.

8

4 Referências bibliográficasSANDLER, I.S. Chemical, biochemical and engineering thermodynamics, 4th Edition, John Wiley & Sons., 2006, 960 pp, ISBN 978-0-471-66174-0

9

5 Anexo 1 – Memorial de CálculoApresentados a seguir as planilhas empregadas nos cálculos, para modelos perfeito e real.

5.1 Modelo Perfeito

Constantes e iterações

Constantes T2 V2 Delta S Delta U Delta HR (J/(mol K)) 370 9.32176E-05 -0.56733 2040.623 2622.603

8.314 374 9.42253E-05 -0.14241 2165.436 2780.672reversível 376 9.47292E-05 0.069238 2228.176 2860.04 reversível

Sucção 378 9.52331E-05 0.28035 2291.137 2939.629P1 12000000 390 9.82564E-05 1.536111 2673.563 3421.823T1 300 392 9.87602E-05 1.743635 2738.076 3502.964V1 0.0002079 real 394 9.92641E-05 1.950668 2802.812 3584.328 real

396 0.000099768 2.157214 2867.77 3665.914Descarga 400 0.000100776 2.568864 2998.35 3829.75

P2 33000000

DeltaHrev 2860.0396Deltahreal 3575.0495

5.2 Modelo Real

Constantes

Constantes

A0 a B0 b c R (J/(mol K))0.2307 0.00001855 5.59E-05 -0.00001587 128.3 8.314

Sucção DescargaP1 1200000 Pa P2 33000000 PaT1 300 K

β(T) -0.103201115γ(T) 5.82881E-06 DeltaHrev 12,089.07 δ(T) -1.05087E-11 Deltahreal 15,111.34

β' 0.000543517γ' 1.17862E-08δ' 2.10174E-11β* 0.266256207γ* -2.29296E-06δ* 3.15262E-11V1 0.002037459 m3/mol

P1 Solver 1200000.007 Pa

10

Iterações

11

T2 (K)V2 (m

3/mol)

P2 Solver (Pa)Delta PV (J/m

ol)Delta S (J/m

ol K)Delta U

(J/mol)

Delta H (J/mol)

5000.00013768

33,000,000.151

2.10E+034.177

- 8,262.669

10,361.174

520

0.00014396432,999,999.874

2.31E+03

1.954-

8,951.863

11,257.727

5300.000147075

32,999,999.817

2.41E+030.853

- 9,308.249

11,716.786

534

0.00014831532,999,999.991

2.45E+03

0.415-

9,452.943

11,902.374

reversível538

0.00014955132,999,999.991

2.49E+03

0.023

9,598.845

12,089.072

reversível540

0.00015016832,999,999.877

2.51E+03

0.241

9,672.245

12,182.834

5800.000162368

33,000,000.145

2.91E+034.541

11,201.345

14,114.534

590

0.0001653832,999,999.906

3.01E+03

5.596

11,601.275

14,613.850

5940.00016658

32,999,999.956

3.05E+036.016

11,763.171

14,815.372

real

6000.000168377

32,999,999.996

3.11E+036.643

12,008.060

15,119.563

real

6020.000168975

32,999,999.996

3.13E+036.852

12,090.231

15,221.467

6 Anexo 2 – Fragmentação do Processo em Etapas, Dedução das Equações

12