investigação da distribuição de forças ao longo dos dentes de uma
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
INVESTIGAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE FORÇAS AO LONGO DOS
DENTES DE UMA COROA DE TRANSMISSÃO POR CORRENTE
Estevão Fróes Ferrão
Projeto de Graduação apresentado ao curso de Engenharia
Mecânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto
Rio de Janeiro
Março de 2014
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
INVESTIGAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE FORÇAS AO LONGO DOS DENTES
DE UMA COROA DE TRANSMISSÃO POR CORRENTE
Estevão Fróes Ferrão
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovado por:
________________________________________________
Prof. Dr.Ing. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto
________________________________________________
Prof. Dr.Ing. Sylvio José Ribeiro de Oliveira
________________________________________________
Prof. Dr.Ing. Max Suell Dutra
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
iii
FERRÃO, Estevão Fróes
Investigação da distribuição de força ao longo dos dentes de
uma coroa de transmissão por corrente/ Estevão Fróes Ferrão. –
Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2014
47 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Mecânica, 2014.
Referências Bibliográficas: p.39.
1.Coroa 2.Forças 3.Distribuição 4.Experimental
5.Extensômetro 6.Elementos finitos 7.Numérica.
I. Pinto, Fernando Augusto de Noronha Castro. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,
Curso de Engenharia Mecânica. III. Investigação da distribuição
de força ao longo dos dentes de uma coroa de transmissão por
corrente.
iv
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
Investigação teórica, numérica e experimental da distribuição de forças ao longo dos
dentes de uma coroa de transmissão por corrente
Estevão Fróes Ferrão
Março/2014
Orientador: Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto
Curso: Engenharia Mecânica
Este trabalho tem o objetivo de investigar e determinar a distribuição de carga ao longo
dos dentes de uma coroa de transmissão por correntes. Esta distribuição é um dado
praticamente inexistente no meio acadêmico e na literatura em geral, apesar de sua
importância para um projeto otimizado desta peça. Serão três métodos utilizados para
investigar essa distribuição: teórico, numérico e experimental. O método teórico
baseado em pesquisa bibliográfica sobre este assunto, principalmente nas bases de
publicações acadêmicas. O método numérico contará com uma simulação por elementos
finitos. O método experimental contará com uma bancada em que serão utilizados
extensômetros para medir a força nos elos da corrente que estiverem montados na coroa.
A partir desta informação é possível calcular a força que atua nos dentes adjacentes a
esse elo e, portanto determinar uma distribuição. Este experimento servirá também de
parâmetro para validar ou não os outros métodos de análise.
Palavras-chave: Coroa, Forças, Distribuição, Modelo Teórico, Experimental,
Extensômetro, Elementos Finitos, Numérica.
v
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Mechanical Engineer.
Investigation of a sprocket’s teeth load distribution
Estevão Fróes Ferrão
March/2014
Advisor: Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto
Course: Mechanical Engineering
The objective of this work is to study the load distribution along a sprocket’s teeth. This
distribution is pratically absent in academic field and textbooks in general, despite its
importance for the optimal design of this part. There will be three different methods to
investigate: theoretical, numerical and experimental. The theoretical method is based in
research about this subject, mostly in scientific papers and articles data basis. Numerical
method presents a finite element analysis of the load distribution. The experimental
method includes an experimental facility for strain gage measurements in a few links of
the sprocket. From the strain gage informations can be evaluated the teeth load
distribution. This experiment will be a reference to validate the other study methods.
Keywords: Sprocket, Force, Load Distribution, Theoretical Model, Experimental, Strain
Gage, Finite Element, Numerical.
vi
Agradecimentos
Agradeço primeiramente à minha família, em especial ao meu pai Aloysio e minha mãe
Maira que me educaram e me despertaram e incentivaram, desde a minha infância, a
paixão pela ciência e pelo conhecimento. Agradeço à minha amada companheira
Nathalia pela paciência e incentivo sempre presentes durante esta etapa complicada da
minha vida, nunca me permitindo o desânimo e sempre me inspirando coragem e
vontade nos momentos mais difíceis.
Agradeço ao professor Fernando Castro Pinto que sempre apoiou o projeto da Equipe
Ícarus, nos instigando à busca pela pesquisa, experimentação e conhecimento. A ele
devo o incentivo à realização deste trabalho e agradeço à sua orientação amiga e sempre
presente.
Agradeço à Equipe Ícarus de Fórmula SAE como um todo, pelo patrocínio financeiro e
pelo fornecimento de toda a infraestrutura necessária para a fabricação e construção da
bancada experimental. Desta forma não posso deixar de citar o Hugo Cabral que muito
prestativamente me ajudou em toda esta etapa de fabricação. Agradeço também ao
amigo Luiz Otávio pela importante ajuda com a modelagem computacional no Abaqus.
Agradeço ao Laboratório de Acústica e Vibrações - LAVI, que por meio do professor
Fernando me cedeu o espaço e as ferramentas fundamentais para a montagem e
realização do experimento deste trabalho.
Agradeço por fim a todos os meus professores dos quais tive a honra de ser aluno. Estes
que impuseram todo o rigor necessário a uma faculdade de excelência como o curso de
Engenharia Mecânica da UFRJ. Saio desta não só engenheiro, mas um profissional
adulto também.
vii
Sumário
1. Introdução.............................................................................................................. 1
1.1 Motivação ....................................................................................................... 1
1.2 Objetivo .......................................................................................................... 2
2. Análise Teórica ...................................................................................................... 4
2.1 Modelo de corpos rígidos ................................................................................ 4
2.2 Modelo de corpos flexíveis ............................................................................. 8
2.2.1 Cálculo de Kl ......................................................................................... 10
2.2.2 Cálculo de Kt ......................................................................................... 11
2.2.3 Cálculo de K0 ......................................................................................... 13
2.3 Resultados teóricos ....................................................................................... 14
3. Análise Numérica ................................................................................................ 15
3.1 Elementos do modelo .................................................................................... 16
3.2 Malha ........................................................................................................... 17
3.3 Modelo de contato ........................................................................................ 18
3.4 Condições de contorno .................................................................................. 18
3.5 Condições de carregamento........................................................................... 18
3.6 Resultados numéricos ................................................................................... 19
3.6.1 Distribuição de forças em cada dente da coroa ....................................... 19
3.6.2 Ângulo de pressão.................................................................................. 19
4. Análise Experimental ........................................................................................... 22
4.1 Projeto da bancada experimental ................................................................... 22
4.2 Aquisição de dados ....................................................................................... 24
4.3 Montagem dos extensômetros ....................................................................... 26
4.4 Cálculo das forças reais de operação ............................................................. 30
4.5 Procedimento experimental ........................................................................... 32
4.5.1 Montagem do experimento..................................................................... 32
4.5.2 Aquisição e tratamento dos dados .......................................................... 33
4.6 Resultados experimentais .............................................................................. 34
5. Comparação dos resultados .................................................................................. 36
6. Considerações Finais ........................................................................................... 37
7. Referências bibliográficas .................................................................................... 39
1
1. Introdução
A coroa de transmissão por corrente é um elemento de máquina muito utilizado há
décadas, como por exemplo, em veículos e máquinas operatrizes em geral. A função da
coroa é transmitir e multiplicar torque de um eixo a outro através de uma corrente. Sua
principal vantagem em relação a uma engrenagem é a liberdade em relação à distância
entre os eixos, tal que não é necessário aumentar o tamanho da coroa motriz (pinhão)
e/ou da coroa movida, permitindo apenas ajustar-se o número de elos da corrente.
O projeto de uma coroa não é muito diferente de uma engrenagem comum – cilíndrica
de dentes retos, por exemplo. Desta forma, os cálculos e dimensionamentos necessários
são encontrados amplamente na literatura. Porém, os cálculos utilizados limitam-se
apenas ao dimensionamento do dente da engrenagem, ou da coroa, em função das
condições de carga, de operação, da relação de transmissão, da distância entre os eixos,
etc.
Não há na literatura geral um estudo dedicado ao dimensionamento do corpo da coroa.
Devido à liberdade de tal projeto e pelas infinitas variações de configurações e
geometria possíveis, seria realmente muito difícil determinar um método geral. Desta
forma, seria impossível prever e dedicar modelos de cálculo estrutural para tantas
variações. Uma saída interessante seria a utilização de programas de elementos finitos
para o cálculo da tensão em cada elemento da coroa, em função da geometria dos dentes
e do corpo, assim como de todas as condições de operação desejadas. A partir dos
resultados seria possível validar ou alterar o projeto da peça.
Para isso, seria necessário um modelo que representasse as forças atuantes na coroa,
através da força realizada pela corrente. Entretanto, mesmo conhecendo-se a tração
exercida na corrente, inicialmente não sabemos como esta força é distribuída ao longo
de cada dente da coroa. Este é um dado de entrada essencial para elaboração de um
modelo mais próximo do real e, assim, projetar a peça com um fator de segurança
reduzido. A importância e a vantagem de um melhor dimensionamento são variadas,
como dentre elas: redução de matéria prima necessária, aumento de desempenho da
máquina, redução do espaço ocupado pela peça ou até mesmo estético. Logo, o
conhecimento desta distribuição permitirá uma evolução no projeto destes elementos de
máquinas.
1.1 Motivação
O aluno participou durante 4 anos da Equipe Ícarus UFRJ de Fórmula SAE (2008-
2011). Esta equipe tem o objetivo de projetar, fabricar, testar e competir um protótipo
monoposto do tipo fórmula. Nesta equipe o aluno teve a oportunidade de ser Gerente de
2
Transmissão (2009-2011) e ter a responsabilidade de projetar uma nova coroa para o
carro.
O objetivo inicial era o projeto da peça em função de uma nova relação de transmissão
calculada e sua adaptação e montagem no novo protótipo Fórmula SAE. Como não
havia no mercado uma peça com as configurações ótimas necessárias, surgiu-se o
desejo e a oportunidade de se fazer uma peça mais leve que a anterior, assim como
estudar a possibilidade de se usar outros materiais para sua fabricação.
Vale lembrar que a busca pelo projeto de peças mais leves é incessante no meio
esportivo e automobilístico, como por exemplo no ciclismo e na Formula 1, já que este
é um meio direto de se alcançar maior desempenho, na maioria dos casos.
O estudo e o levantamento bibliográfico, necessários para o projeto da peça,
demonstraram uma falta de informações específicas na literatura, assim como os dados
de distribuição das forças trativas em cada dente da coroa.
Este vácuo de informação e o desafio deste projeto foram a principal motivação para
realização deste trabalho que, sobretudo, espera-se deixar um importante legado de
conhecimento à equipe.
1.2 Objetivo
O objetivo deste trabalho é justamente determinar a distribuição de carga, exercida pela
corrente, ao longo de cada dente da coroa. Assim poderemos prover os dados
necessários a um modelo CAD/CAE1 de um programa de cálculo de tensões por
elementos finitos.
A investigação desta distribuição, neste trabalho, será feita de acordo com o
organograma a seguir:
1 CAD – Computer Aided Design; Computer Aided Engineering
Análise teórica
Corpos rígidos Corpos
elásticos
Análise numérica
Estudo de forças
Ângulo de pressão
Análise experimental
Experimento estático
3
A investigação teórica será baseada nos modelos teóricos apresentados por BINDER
[1], para o modelo de corpos rígidos, e NAJI e MARSHEK [2] para o modelo de corpos
flexíveis.
A análise numérica será feita a partir de um modelo em CAD da coroa e simulação no
programa de elementos finitos Abaqus. Este modelo é uma simplificação do caso real de
operação da coroa, mas seu resultado também será utilizado para comparação. Tem
objetivo de obter a distribuição de forças e o ângulo de pressão do contato corrente x
coroa.
Enfim será realizado um experimento estático em uma bancada projetada e construída
especialmente para este estudo.
4
2. Análise Teórica
Podemos tratar o modelo teórico de investigação da distribuição de forças ao longo dos
dentes da coroa de duas formas: (i) corpos rígidos e (ii) corpos flexíveis ou elásticos. O
modelo de corpos rígidos foi proposto inicialmente por BINDER [1] assumindo que a
corrente e a coroa formam um par de corpos totalmente rígidos. O modelo elástico foi
apresentado como uma evolução do modelo rígido, apresentado por NAJI e MARSHEK
[2].
Os dados da coroa que será a referência para nosso estudo de caso são os seguintes
Perfil de acordo com a norma ASME B29.1 [3]
Número de dentes, N: 39 dentes
Ângulo de articulação: 9 3360
,2 1N
Passo: 15,875 mmp
Espessura, e: 7,2 mm
Material: Aço carbono SAE 1045
2.1 Modelo de corpos rígidos
A figura 1 ilustra o modelo de contato entre os roletes da corrente e a coroa, e
demonstra as forças exercidas no primeiro rolete em contato com a corrente. Os círculos
representam os roletes da corrente e as linhas entre eles representam os elos.
5
Figura 1 - modelo de contato corrente e coroa. Fonte: NAJI e MARSHEK [2], p. 350
Onde:
Tt: força trativa da corrente, exercida pelo pinhão
Ti : força exercida pelo i-ésimo elo da corrente
Ts : força trativa do lado “frouxo” da corrente
Pi : força exercida no i-ésimo dente da coroa
α : ângulo de articulação
θ : ângulo de pressão do contato entre o rolete e a coroa
ξ / ε : ângulo de entrada/saída da corrente
n : número de roletes da corrente em contato com a coroa
Podemos isolar o i-ésimo rolete em contato, de acordo com as figuras:
6
Figura 2 - diagrama de forças, sem atrito. Fonte: NAJI e MARSHEK [2], p. 350
Figura 3 - Diagrama de forças, com atrito. Fonte: NAJI e MARSHEK [2], p. 350
Podemos fazer o equilíbrio do diagrama de forças da figura 1 e obter que:
1
sen
seni iT T
[1]
É interessante observar que, se conhecido o ângulo de pressão θ, determinamos
explicitamente, por este método, as forças em todos os n elos da corrente.
O ângulo de pressão é deduzido analiticamente por BINDER [1]. Seu valor é:
Para uma corrente nova: 120
35n
[2]
Seu valor mínimo pode ser: 64
17n
[3]
Podemos também considerar um valor médio: 92
26n
[4]
Para este estudo, usaremos o valor do ângulo de pressão para uma corrente nova.
Logo, para a coroa de 39 dentes,
31,923°
Se levarmos em consideração o atrito do contato entre o rolete e a corrente, o efeito da
força de atrito leva a uma alteração do ângulo de pressão, denotado por δ. Assim, de
acordo com o equilíbrio do diagrama de forças da figura 3, podemos escrever:
7
1
sen
seni iT T
, i=2,...,n [5]
Onde δ é o ângulo de desvio da força no dente, Pi.
E as condições de contorno, entre os elos t e n serão:
1
sen
sentT T
[6]
sen
sens nT T
[7]
Para satisfazer a condição de equilíbrio estático, ou seja, o rolete não deslizar pelo dente
da coroa, deduz-se que o valor de δ deve ser tal que:
arctg arctg [8]
onde μ é o menor valor do coeficiente de atrito estático entre o rolete e a coroa (μr) e
entre o rolete e a bucha da corrente (μb).
min arctg ,arctgr b [9]
O coeficiente de atrito estimado será considerado entre 0,05 0,1 para ambas as
peças de aço e lubrificadas [4]. Como os materiais do rolete, da coroa e da bucha são
iguais, podemos considerar r b . Assim, o valor do ângulo de desvio δ será na
faixa:
2,86 5,7
Para os cálculos realizados neste trabalho, arbitramos o valor de 5,0 .
Combinando a equação [5] com as condições de contorno, obtemos uma forma geral e
explícita para a força em cada elo da corrente:
1
sen sen
sen sen
i
i tT T
, i=1,...,n [10]
8
Do equilíbrio do diagrama da figura 3, podemos também obter a distribuição de forças
em cada dente da coroa:
sen
seni iP T
, i=1,...,n [11]
2.2 Modelo de corpos flexíveis
Este método considera as propriedades elásticas dos materiais da corrente e da coroa e,
portanto, suas deformações. Do equilíbrio dado pelos diagramas das figuras 1 e 3,
podemos deduzir as seguintes equações:
1cos cosi i iP T T [12]
1 1sen seni iP T [13]
Vamos considerar que uma força Ti causa um alongamento ΔLi no i-ésimo elo da
corrente. Da mesma forma, uma força Pi causa uma flexão de ui no i-ésimo dente da
coroa. Assim, podemos definir as constantes de proporcionalidade Kt e Kl, tais que:
ii
Pu
Kt [14]
ii
TL
Kl [15]
Assim, a compatibilização cinemática, tal que a deformação do elo é acompanhada por
uma deformação do dente, nos leva à seguinte expressão:
1cos cosi i iu u L [16]
Definindo 0/Kt Kl K e substituindo as equações [14] e [15] em [16], temos:
1 0cos cosi i iP P K T [17]
E das equações [12] e [13] em [17] e após algumas manipulações algébricas, podemos
escrever a expressão na forma:
9
1 1 0i i iA T B T C T [18]
Onde:
cosA [19]
0
cos cos1
cosB K
[20]
cos
cosC
[21]
Uma análise numérica desse sistema[5]
permite solucionar a equação [18] da seguinte
forma:
1 1 2 2
i i
iT A A [22]
onde,
2
1,2
4
2
B B AC
A
[23]
e os coeficientes A1 e A2 são obtidos pelas condições de contorno. Do nosso caso
particular:
0 tT T , para i=0 [24]
0nT , para i=n [25]
Onde n é o último elo em contato com a coroa.
Logo,
21
1 2
t
n n
TA
[26]
22
1 2
1n
t n nA T
[27]
Usando as equações [23] a [27] encontramos Ti, e usando a equação [9], com os termos
obtidos, temos finalmente a distribuição de forças ao longo dos dentes da coroa, Pi.
10
Vale considerar desde já que este método é mais abrangente que o primeiro, já que,
levando-se em consideração a elasticidade dos corpos, podemos prever e comparar a
distribuição de esforços nos dentes da coroa para diferentes materiais. Porém, ressalta-
se que é justamente por este motivo que nos deparamos com a dificuldade deste método.
Ao utiliza-lo, devemos ter de antemão os valores de Kt e Kl, que não se encontram na
literatura e devem ser calculados, estimados ou obtidos experimentalmente.
Neste caso particular, sendo a coroa e a corrente constituídas de aço, vamos estimar o
valor de K0.
2.2.1 Cálculo de Kl
Se considerarmos o elo da corrente como uma mola de constante elástica Kl, podemos
escrever:
i iT Kl l [28]
Mas, considerando a deformação da corrente apenas nos elos que ligam os roletes,
podemos escrever:
Deformação do elo: l
l
[ 29]
Tensão no elo: T
ES
[ 30]
Onde S é a área da seção transversal do elo da corrente, T é a força trativa no elo da
corrente e E é o módulo de elasticidade do material. Para aço vamos usar E = 200 GPa.
Logo, de [29] e [30] em [28] temos:
S EKl
l
[31]
Para o elo da corrente considerada neste trabalho, usaremos E=200 GPa. Os dados de
geometria estão apresentados na figura 4, a seguir:
11
Figura 4 - dimensões do elo
Assim, o valor de Kl será, aproximadamente:
608 kN/mmKl
2.2.2 Cálculo de Kt
Vamos agora estimar o valor de Kt. Para isso, consideraremos o dente da coroa como
uma viga engastada. Logo, Kt será o valor da rigidez à flexão do dente. Podemos usar o
teorema de Castigliano para encontrar a deflexão do dente no ponto de aplicação da
carga P. O dente da coroa pode ser modelado para este cálculo como um perfil
puramente triangular, inscrito no perfil original do dente da coroa, de acordo com a
figura 6.
Figura 5 - dimensões do dente para o modelo de viga
12
Para a solução do problema da viga engastada pelo teorema de Castigliano, temos que a
energia de deformação é calculada pela expressão:
2
0
1( )
2 ( )
h
U M x dxEI x
[32]
Onde U é a energia de deformação, E é o módulo de elasticidade da coroa, I(x) e M(x)
são o momento de inércia e o momento fletor ao longo do dente, na direção x,
respectivamente.
O diagrama da viga sob flexão é representado pela figura 5, a seguir.
Figura 6 - modelo de viga do dente da coroa
De acordo com as dimensões do triângulo inscrito, podemos escrever uma função para
representar a dimensão a(x) do modelo do dente triangular. Assim,
1 0 0,4624 4,5724a x a x a x [33]
O momento de inércia pode ser calculado então pela seguinte expressão:
32 ( )
12
b a xI x
[34]
Logo, aplicando a equação [33] e [34] em [32], podemos calcular a energia de
deformação. Ainda pelo Teorema de Castigliano a flexão δ no ponto de aplicação da
carga, pode ser calculada por:
U
P
[35]
13
Assim, teremos:
11 0 1 0
0
2 3
0 1
2 2 log 13
4
a ha h a a h a
aP
E a a b
[36]
E da equação [34] em [14]:
2 3
0 1
11 0 1 0
0
4
3 2 2 log 1
Ea a bPKt
a ha h a a h a
a
[37]
E usando os valores mencionados anteriormente, teremos finalmente que:
7,456 kN/mmKt
2.2.3 Cálculo de K0
Calculando Kt/Kl com os valores obtidos anteriormente, temos que K0 será:
0 0,0129Kt
KKl
Existe um valor de K0 para o qual o modelo de corpos flexíveis se iguala ao modelo de
corpos rígidos. Vamos chamar este valor de K0*. Pode ser calculado pela seguinte
equação:
*
0 0
cos cossen
sen senK K
[38]
Logo, seu valor, de acordo com os dados da coroa em estudo vale:
*
0 0,0436K
Algumas considerações podem ser feitas sobre este parâmetro. Para os casos em que
*
0 0K K , ou seja, a coroa é muito rígida em relação à corrente, a elongação do elo da
corrente faz com que este suba pelo dente da coroa. Para os casos em que *
0 0K K , ou
seja, a corrente é muito rígida em relação à coroa, a contração do elo da corrente faz
com que o ponto de contato desça no dente da coroa.
14
2.3 Resultados teóricos
Os resultados teóricos são apresentados abaixo para cada modelo: (i) corpos rígidos e
(ii) corpos flexíveis. O resultado é dado em função de uma carga normalizada, ou seja,
para uma dada tração na corrente, teremos uma carga em cada elo ou dente como uma
fração de uma carga T0. Assim, podemos comparar os diferentes métodos em função de
cargas iniciais diferentes. Os resultados encontram-se a seguir:
Figura 7 - Resultado para o elo
0.768
0.589
0.452 0.347
0.266
0.204 0.157
0.120 0.092
0.071
0.830
0.688
0.571
0.474
0.393
0.326
0.271 0.225
0.186 0.155
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fo
rça n
o e
lo i, T
i/T
0
Número do elo, i
Força em cada elo
Corpos rígidos
Corpos flexíveis
15
Figura 8 - Resultado para o dente
3. Análise Numérica
O modelo numérico servirá como uma forma de comparação e validação deste método,
quando comparados com os resultados teóricos e os experimentais.
Para este método foi utilizado o programa de simulação por elementos finitos Abaqus
versão 6.10. Os objetivos que se espera alcançar são:
a. Encontrar a distribuição de forças ao longo de cada dente da coroa
b. Medir o ângulo de contato resultante da simulação
A simulação representa um modelo simplificado da atuação da corrente sobre a coroa.
Ao invés de modelar-se uma corrente completa utilizou-se apenas elementos rígidos
circulares para representarem os roletes da corrente. Estes são os responsáveis pelo
contato e transmissão da força entre cada dente da coroa. Ao posicionarmos os roletes
ao longo de cada assento, podemos torna-los fixos e aplicarmos o torque na coroa. Isto
permitirá que não precisemos impor a força em cada rolete, sendo assim, a força em
cada dente da coroa e o ângulo de pressão no contato, uma consequência e resultado da
simulação.
0.209
0.160
0.123
0.094
0.072
0.056 0.043
0.033 0.025
0.019
0.191
0.158 0.131
0.109
0.091
0.075 0.062
0.052 0.043
0.036
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fo
rça n
o d
en
te i, P
i/T
0
Número do dente, i
Força em cada dente
Corpos rígidos
Corpos flexíveis
16
3.1 Elementos do modelo
Os elementos utilizados no modelo CAE são os seguintes:
Uma coroa – sob a forma de uma superfície 2D, o que diminui drasticamente o
número de elementos da malha, resultando em menores graus de liberdade,
menor tempo de cálculo computacional e melhor estabilidade. Desta forma,
estamos modelando um estado plano de tensões, o que não afetará
significativamente o resultado.
Dezesseis roletes da corrente – sob a forma de arames circulares rígidos. Estes
serão posicionados entre cada dente da coroa, ou seja, nas extremidades dos elos
1 ao 17 da corrente.
As figuras abaixo apresentam uma visão geral da coroa e dos arames rígidos que
representam os roletes da corrente. A coroa foi separada em regiões a fim de permitir o
melhor controle da malha.
Figura 9 - modelo bidimensional CAD
17
Figura 10 - detalhe dos roletes
3.2 Malha
A malha foi refinada na região de contato de cada rolete. O refinamento permite melhor
interpretação do contato das partes pelo programa e melhor visualização da tensão no
contato, assim como permitirá a medição do ângulo de pressão resultante da simulação.
A figura a seguir demonstra a malha resultante do refinamento pontual e das sub-regiões
da coroa.
Figura 11 - Detalhe da malha
18
3.3 Modelo de contato
O modelo de contato aplicado se divide em: comportamento normal e comportamento
tangencial entre as partes.
Comportamento normal: contato rígido e não penetração entre as partes
Comportamento tangencial: as partes deslizam sem atrito entre si
3.4 Condições de contorno
As condições de contorno foram as seguintes:
Coroa: aplicada condição de não translação nas direções X e Y, no centro da peça. Os
oito furos de fixação da coroa também foram restritos quanto a sua posição radial em
relação ao centro. Permite-se rotação na direção Z.
Roletes: aplicada condição de não translação nem rotação em nenhuma direção, ou seja,
os roletes estão fixos em suas posições iniciais, o que implica que este modelo torna a
corrente (representada apenas pelos roletes) um elemento de rigidez infinita.
3.5 Condições de carregamento
Foi-se aplicado, como dito anteriormente, um torque à coroa. A magnitude deste torque
será de acordo com o cálculo realizado mais adiante, na seção 4.4, que está em função
do torque máximo que o motor do protótipo Fórmula SAE pode entregar. Logo, o valor
usado para o torque aplicado à coroa nesta simulação será:
911 NmmáximoT
19
3.6 Resultados numéricos
3.6.1 Distribuição de forças em cada dente da coroa
O programa permite avaliar as forças de reação em cada um dos 16 roletes. Por ação e
reação, esta é justamente a força que o dente da coroa realiza em cada rolete. A força
total aplicada pela coroa pode ser calculada dividindo-se o torque aplicado pelo raio da
coroa. Assim, a força resultante do torque será denominada F0 e o resultado para a força
que cada dente sofreu, normalizada por F0, encontra-se abaixo.
Figura 12 - Resultado numérico
3.6.2 Ângulo de pressão
O resultado da distribuição de tensão ao longo da coroa encontra-se abaixo. A legenda
está informando a tensão em GPa.
0.148
0.088
0.090
0.079 0.071 0.070
0.074 0.074 0.072 0.069
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fo
rça n
o d
en
te i, P
i/F
0
Número do dente, i
Força de reação em cada dente
20
Figura 13 - Resultado de tensão
Figura 14 – Detalhe D da tensão nos dentes
O resultado demonstra uma distribuição bastante uniforme ao longo da coroa, onde há roletes
em contato. Pelo detalhe da figura 14, podemos visualizar a tensão no contato entre o dente e
o rolete. Desta forma, conseguimos perceber uma região de maior pressão no contato.
Podemos deduzir que nesta região atua uma pressão originada de uma distribuição da força de
contato e, se assumimos que esta força possui uma resultante localizada em um eixo de
simetria desta região de maior pressão de contato, podemos encontrar a direção da força
resultante e, a partir desta direção medir o ângulo de pressão resultante deste modelo.
21
Figura 15 - Medição do ângulo de pressão
A partir da figura 15 e, com o auxílio de uma ferramenta de edição de imagem,
podemos realizar uma medição aproximada do ângulo de pressão. O resultado, de
acordo com a figura 15 foi de:
31,87numérico
Este valor é muito próximo ao valor utilizado no método teórico, onde 31,92teórico .
Isso vem a confirmar o ângulo de pressão deduzido por BINDER [1].
22
4. Análise Experimental
O modelo experimental tem o objetivo de obter um resultado próximo ao que ocorrerá
na operação da coroa utilizada no protótipo Formula SAE e também comparar com os
modelos teórico e numérico buscando validar ou não estes métodos.
O experimento desenvolvido e utilizado neste estudo é estático, quando a real operação
da coroa é dinâmica. Logo, os efeitos de choques, atritos dinâmicos e acelerações não
serão medidos. Na prática, estes efeitos podem ser incluídos sob a forma de inclusão de
fatores de segurança de projeto.
Projetou-se então uma bancada experimental, tal que fosse possível fixar a coroa
estaticamente em uma estrutura, montar a corrente, e tracioná-la. Extensômetros colados
em elos estratégicos da corrente medirão a força dos elos, através de suas respectivas
deformações. Conhecendo-se esta força, pode-se calcular a força que atua no dente
adjacente, pelas equações de equilíbrio estático desenvolvidas nos cálculos teóricos.
4.1 Projeto da bancada experimental
Figura 16 – Projeto CAD da bancada experimental
23
Para auxiliar na fabricação e montagem do aparato experimental, desenhou-se o sistema
completo, ilustrado acima, no programa de desenho computacional SolidWorks, versão
2012. A partir deste foram elaborados os desenhos de fabricação e toda a logística de
compra de materiais e fabricação em si. A seguir, uma breve descrição de cada item do
sistema:
1. Coroa: objetivo de montar a corrente, suportar a carga trativa e permitir a
medição. Fabricada em máquina fresadora controlada por Comando Numérico
Computadorizado (CNC), em aço carbono SAE 1045, espessura 7,2 mm.
Posteriormente será utilizada no protótipo Fórmula SAE da UFRJ. A peça
utilizada no experimento possui vazios para alívio de massa, o que difere dos
modelos utilizados para a análise teórica e numérica. Porém, estes vazios não
alteram significativamente a rigidez da peça, permitindo-se a comparação direta
com os outros modelos.
Figura 17 - Coroa do modelo numérico
Figura 18 - Coroa do modelo experimental
2. Disco fixo: tem o objetivo de fazer a ligação entre a coroa e a estrutura,
dividindo a carga igualmente por todos os 8 parafusos da coroa. Fabricado em
aço carbono 1020, espessura 8 mm.
3. Polia de apoio: tem a função da apoiar a corrente, fazendo com que esta saia
da coroa paralela ao chão, com o motivo de compatibilizar a comparação com
os outros métodos. Fabricada em Alumínio.
4. Estrutura: tem como objetivo dar suporte à coroa, assim como resistir à carga
de tração da corrente. Fabricada em aço carbono SAE 1020, seção tubular de
30x30 mm e espessura 3 mm.
5. Corrente: tem a função de aplicar a carga trativa na coroa e medir a partir de
sua instrumentação a distribuição de carga ao longo dos dentes da coroa.
24
6. Pino de trava da corrente: é o elo entre a ponta da corrente e o macaco
mecânico. Fabricado em aço carbono SAE 1020.
7. Macaco mecânico: tem a função de tracionar a corrente a partir do seu braço
de alavanca. Esta peça permitirá alcançar uma carga próxima à carga real
máxima de tração da corrente no protótipo Fórmula SAE.
4.2 Aquisição de dados
Para aquisição dos dados dos extensômetros foi utilizada a placa de aquisição da
National Instruments NI 9219, que permite a leitura de até 4 canais simultaneamente.
Foi utilizado o programa SignalExpress, versão 2011, para a leitura, armazenamento e
tratamento dos dados. Este programa ainda permite transduzir a leitura de voltagem em
deformação aplicando-se os parâmetros do extensômetro, tais como resistência e fator
de sensibilidade. Assim, temos a leitura direta da deformação.
A placa utilizada também permite a completação da ponte de Wheatstone adicionando
as resistências não ativas em algumas configurações variadas de ponte, objetivando,
hora anular-se efeitos de temperatura (uso de dummy gages), hora anular-se efeitos de
flexão ou tração (meia ponte ou ponte completa).
A figura a seguir apresenta o esquema de uma ponte de Wheatstone, tal que: R1, R2, R3,
R4 são resistências, podendo ou não representar sensores, de acordo com o objetivo da
montagem; VEX é a tensão de excitação da ponte, esta aplicada pela placa de aquisição
(utilizado VEX = 2,5V para o experimento); V0 é a tensão resultante da ponte.
Figura 19 - Ponte de Wheatstone
O balanceamento da ponte é importante para melhor leitura e interpretação dos dados,
pois quando não há nenhum efeito sobre a ponte e se todas as resistências forem iguais,
25
esta deve retornar V0=0 V, e assim se diz balanceada. Sendo esta, portanto, uma medida
de referência do sistema a ser medido, quando estiver em equilíbrio. No nosso caso, isto
significa não atuar nenhuma força sobre os elos da corrente.
A equação que relaciona a variação de resistência em cada “perna” da ponte com a
variação de tensão é a seguinte:
3 20
3 4 1 2
EX
R RV V
R R R R
[39]
Logo, no equilíbrio, todas as resistências são iguais e o valor de V0 é zero. Se
substituirmos as resistências por extensômetros, as variações de resistência (ΔR’s) irão
desbalancear a ponte e poderemos ler uma variação na voltagem V0. Neste experimento
vamos substituir as resistências pelos extensômetros, desta forma será possível
transduzir o resultado da variação da voltagem em deformação e, mais adiante, em
força.
Optou-se pela montagem da ponte completa de Wheatstone. A maior vantagem desta
configuração é a possibilidade de se anular os efeitos da flexão no desbalanceamento da
ponte. Desta forma, permite-se ler o resultado puro da tração na deformação do
material. Este artifício é essencial para a correta interpretação dos dados deste trabalho,
pois qualquer flexão no resultado da deformação representaria algum desalinhamento do
sistema experimental, o que não nos interessa medir.
Os extensômetros foram então colados nas posições 1 e 3 da ponte do desenho
esquemático (fig.18). Desta forma, o aumento da resistência total da ponte, oriundo de
uma flexão em 1, é compensado por uma igual diminuição da resistência total, em 3, e
assim não resulta em variação da voltagem de saída. Para completar a ponte foram
utilizados dois extensômetros compensativos, colados em elos incondicionalmente
descarregados, nas posições 2 e 4 da ponte. O motivo para o uso de extensômetros
compensativos, ao invés de simplesmente resistências, é uma maior confiabilidade
quanto ao valor da sua resistência nominal. Abaixo o detalhe da colagem dos sensores
no elo da corrente, referentes às posições 1 e 3 da ponte de Wheatstone:
26
Figura 20 - Esquema de colagem dos extensômetros no elos
O diagrama de blocos a seguir apresenta o fluxo de transdução da extensometria
realizada, até se chegar à leitura da força.
Figura 21 - Diagrama de blocos de extensometria
4.3 Montagem dos extensômetros
Foram adquiridos extensômetros elétricos uniaxiais modelo PA-06-125AA-350-LEN da
fabricante Excel Sensores, com as seguintes características:
27
Dimensões:
Figura 22 - Dimensões do extensômetro
a =3,18 mm
b = 3,18 mm
c = 6,35 mm
Material da base: polyimida
Filme metálico de constantan
Resistência nominal: 350 Ω
Fator de Sensibilidade: k = 2,13
Os extensômetros foram colados em elos pré-definidos da corrente, da seguinte forma:
SG-0: em um elo livre de contato com a coroa. Este extensômetro servirá como
uma célula de carga
SG-1: entre o primeiro e o segundo dentes em contato com a corrente
SG-2: entre o terceiro e o quarto dentes em contato com a corrente
OBS: a sigla SG servirá para referenciar cada par de extensômetros em cada elo. Assim,
os extensômetros 1 e 3 de cada ponte de Wheatstone serão daqui pra frente
referenciados apenas por SG-0,1,ou 2
A figura a seguir demonstra o desenho esquemático com o posicionamento dos
extensômetros ao longo da coroa.
28
Figura 23 – Nomenclatura e posição dos dentes, elos e extensômetros
O primeiro elo assentado na coroa atuará como uma célula de carga, tal que, ao
aplicarmos a tração na corrente, poderemos calcular a força trativa desta, da seguinte
forma:
E [40]
Onde ε é a deformação longitudinal do elo e σ é a tensão resultante. Logo, podemos
escrever:
FE
S [41]
Tal que S é a área de seção transversal à deformação do elo e F é a força trativa na
corrente. Assim, podemos escrever a força como uma função da deformação e dos
parâmetros de geometria e material do elo da corrente.
F E S [42]
Desta forma, ao conhecermos a força que realizamos através do macaco, podemos
normalizar a força que cada elo está sofrendo em relação à força trativa pura na
29
corrente, T0. Este cálculo será válido para encontrar a força em cada elo da corrente que
estiver montado com um extensômetro.
Por condições construtivas da corrente, não é possível colar extensômetros em elos
consecutivos. Por este motivo faremos uso das equações desenvolvidas na seção de
análise teórica e do diagrama de corpo livre do rolete da figura 22.
Figura 24 - Diagrama de forças no rolete
Para calcular a força que atua em cada dente, a partir da força trativa em cada elo, é
necessário conhecer o ângulo de pressão. Usaremos portanto o valor teórico deduzido
por BINDER [1]. A tabela a seguir demonstra as equações utilizadas para o cálculo da
força em cada dente, a partir dos resultados experimentais da força em cada elo.
30
Tabela 1 - Correlações entre forças medidas e forças calculadas
Extensômetro
Mede-se
deformação
do elo i =
Calcula-se
SG-0 1 0T
SG-1 2
1 2 2cos sen cotanT T T
2
1
sen
sen
TP
2
2
sen
sen
TP
SG-2 4
3 4 cos sen cotanT T
4
3
sen
sen
TP
4
4
sen
sen
TP
4.4 Cálculo das forças reais de operação
Um dos objetivos deste trabalho é prover os dados necessários ao projeto de uma coroa
para o novo protótipo da Equipe Ícarus de Fórmula SAE. Logo, podemos calcular as
forças reais de operação desta coroa no carro. Ao conhecermos a ordem de grandeza
desta força, podemos realizar o experimento o mais próximo possível desta carga.
A seguir, é apresentada a curva de torque e potência do motor do protótipo, que foi
obtida em ensaio de dinamômetro de rolo, em 2011. Também são listados os dados para
o cálculo da força máxima que a coroa irá suportar no carro.
31
Figura 25 - Curva de torque e potência do motor do protótipo Fórmula SAE
Torque máximo do motor: 60 N.m
Relações de transmissão:
Primária: 1,863
Primeira marcha: 2.9828
Relação final (pinhão/coroa): número de dentes do coroa 39
2,786número de dentes da pinhão 14
Logo, o torque máximo entregue no eixo da coroa é calculado pela seguinte expressão:
1ªmáximo motor primária marcha finalT T r r r [43]
O torque máximo então vale:
60 1,863 2,9828 2,786 911 N.mmáximoT
Assim, podemos calcular a força trativa na corrente multiplicando o torque pelo raio da
coroa.
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000
Po
tên
cia
(kW
)
To
rqu
e (N
m)
Rotação (RPM)
Torque
Potência
32
9119211 N
0,0989máximo
máxima
TF
R [44]
Podemos então calcular a deformação esperada no elo para esta carga na corrente.
Assim poderemos aumentar a carga através do macaco até o valor mais próximo a este
calculado. O valor da deformação esperada para esta carga vale:
2
2kN
9,211 kN1001 m/m
200 23 mmmáximo
máximo
mm
F
E S
[45]
4.5 Procedimento experimental
4.5.1 Montagem do experimento
As imagens abaixo apresentam a bancada real do experimento e um diagrama de
montagem esquemático:
Figura 26 - Bancada Experimental
33
Figura 27 - Esquema de montagem do experimento
Figura 28 – Detalhe E da colagem dos extensômetros
4.5.2 Aquisição e tratamento dos dados
O programa utilizado para aquisição permite ao usuário a leitura direta da deformação,
de forma que são necessários alguns parâmetros de entrada. São eles:
Fator de sensibilidade do extensômetro: K = 2,13
34
Resistência nominal do extensômetro: R = 350 Ω
Resistência dos fios: serão desprezadas devido ao pequeno diâmetro e
comprimento
Para uma visualização mais limpa dos dados, foi incluído pelo programa um
processamento de média no tempo. Desta forma, eliminamos apenas a visualização do
ruído, sem afetar o sinal.
4.6 Resultados experimentais
O programa SignalExpress exibe em tempo real a aquisição dos dados dos
extensômetros. A placa de aquisição utilizada é capaz de ler até quatro canais
simultaneamente. Optou-se pela visualização gráfica ao longo do tempo. Realizou-se o
armazenamento dos dados para posterior análise e tratamento. A visualização, na
interface do programa encontra-se abaixo:
Figura 29 - Interface do programa
35
A distribuição de forças será normalizada em relação à força máxima alcançada no elo
livre da corrente. O resultado para a distribuição de força ao longo da coroa encontra-se
abaixo:
Figura 30 - Resultado experimental do elo
Figura 31 - Resultado experimental do dente
0.730
0.560
0.469
0.360 0.276
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5
Fo
rça n
o e
lo i, T
i/T
0
Número do elo, i
Força em cada elo
0.198
0.152
0.109 0.098
0.075
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4
Fo
rça n
o d
en
te i, P
i/T
0
Número do dente, i
Força em cada dente
36
5. Comparação dos resultados
Abaixo é apresentada finalmente a comparação entre os diferentes métodos de
investigação:
Figura 32 - Comparação dos resultados para o elo
Figura 33 - Comparação dos resultados para o dente
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5
Fo
rça n
o e
lo i, T
i/T
0
Número do elo, i
Força em cada elo
Ti experimental
Ti rígido
Ti flexível
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4
Fo
rça n
o d
en
te i, P
i/T
0
Número do dente, i
Força em cada dente
Pi experimental
Pi rígido
Pi flexível
Pi numérico
37
Observação: de acordo com o modelo de análise numérica, não é aplicável o resultado
de força no elo, já que os elos não foram modelados.
6. Considerações Finais
Foi possível encontrar resultados para as três linhas de investigação: teórica numérica e
experimental. Possível também perceber as diferenças entre cada modelo a partir da
comparação gráfica final. Como o resultado é expresso de forma relativa à carga
aplicada na corrente, a comparação dos resultados é direta e não depende desta carga.
O método teórico, dividido em modelo de corpos rígidos e de corpos elásticos,
apresentou resultados parecidos. Quanto à força trativa que cada elo sofre, o modelo que
mais se aproximou ao resultado experimental foi o que considera os corpos totalmente
rígidos, apesar do modelo de corpos flexíveis apresentar um resultado também muito
próximo. Quanto à força absorvida por cada dente da coroa é muito difícil afirmar qual
método teórico foi o mais próximo, podendo considera-los igualmente precisos quanto a
previsão da distribuição de forças.
Para o método numérico utilizado obtivemos um resultado ligeiramente diferente ao
encontrado tanto no experimento quanto nos métodos teóricos. Este apresentou uma
distribuição mais uniforme, com uma queda abrupta apenas entre o primeiro e o
segundo dentes da coroa, ficando quase estável para os dentes posteriores. Isso pode ser
explicado pelo fato de, no modelo computacional a coroa ser considerada um elemento
totalmente rígido em relação à coroa. Logo, este modelo não seria o mais indicado para
determinar a distribuição de forças, mas pode ser considerado uma boa aproximação.
Quanto ao segundo objetivo da análise numérica, obtivemos um resultado que pode
confirmar os estudos analíticos apresentados por BINDER [1]. O ângulo de pressão
medido pelo resultado numérico foi muito próximo ao encontrado no modelo teórico.
31,92°
31,87°
teórico
numérico
38
Pode-se considerar que o experimento foi de grande importância para verificar a
validade dos cálculos analíticos e numéricos. Confirmar a validade de um método
teórico tem um impacto muito grande quando precisamos projetar uma peça em
engenharia. Se os modelos teóricos representam suficientemente bem a realidade, isto
pode representar uma grande economia quanto ao uso de softwares sofisticados de
engenharia ou até mesmo laboratórios de testes e ensaios. Por isso, a importância de se
fazer um experimento que se confirme a validade destes modelos.
Este trabalho pode ser continuado no futuro, com a implementação de novos
dispositivos experimentais, como por exemplo um dispositivo para simular o impacto
da tração na aplicação súbita de carga, como a aplicada por um motor, por exemplo; os
modelos teórico e numérico podem incorporar as forças provenientes das acelerações
envolvidas na operação real; o modelo numérico deve ser aperfeiçoado para incluir a
elasticidade da corrente, o que espera-se aproximar o resultado quanto ao ensaio
experimental e os métodos teóricos.
E por fim, os resultados podem ser utilizados também para um projeto de otimização da
coroa com a finalidade de redução massa, o que implica também em menos matéria-
prima e menor custo; possibilidade de uso de outros materiais; ou até mesmo com a
finalidade de aumentar o desempenho de um veículo de competição, como o Fórmula
SAE, ou de bicicletas de competição de ciclismo em que cada grama de massa pode
fazer a diferença.
39
7. Referências bibliográficas
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Prentice Hall, 1956
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Projeto de Engenharia Mecânica. 8 ed. Porto Alegre: McGraw Hill, 2011
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and Control of Dynamic Systems 2 ed. Nova Iorque: McGraw Hill, 1964
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[7] BENTLEY, J. P. Principles of Measurement Systems. 2 ed. Prentice Hall,
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Sprockets, Chains, Brake Pads, 5 ed. Jundiaí (Catálogo Comercial)
[10] NATIONAL INSTRUMENTS. Choosing The Right Strain-Gauge For Your
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Disponível em: www.simulia.com
[13] DE MARCO, F. Elementos de Transmissão Flexíveis. Rio de Janeiro:
Departamento de Engenharia Mecânica, 2009
[14] MARSHEK, K.M.; NAJI, M.R. Analysis of Roller Chain Sprocket Pressure Angles.
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[15] PEDERSEN, S.L. Modelo of Contact Between Rollers And Sprocket In Chain
Drive Systems. Archive of applied Mechanics, v. 74, p. 489-508, Springer-Verlag, 2005
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Double-Pitch Steel Roller Chains on Polymer Sprockets. Mechanism and
Machine Theory, v. 24, n. 5, p. 335-349, Pergamon Press, 1989
[17] BURGESS, S.C.; LODGE, C.J. An Investigation Into Selection of Optimum Chain
And Sprocket Size. Journal of Engineering Design. V. 15, n. 6, Taylor and Francis,
2004