Elemento Inverso Equacoes Matriciais Condicao de existencia da Matriz Inversa Determinacao da Inversa

Inversao de Matrizes

Prof. Marcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2017.1

18 de setembro de 2017

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Elemento Inverso Equacoes Matriciais Condicao de existencia da Matriz Inversa Determinacao da Inversa

Sumario

1 Elemento Inverso

2 Equacoes Matriciais

3 Condicao de existencia da Matriz Inversa

4 Determinacao da Inversa

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Sumario

1 Elemento Inverso

2 Equacoes Matriciais

3 Condicao de existencia da Matriz Inversa

4 Determinacao da Inversa

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Elemento Inverso

Na soma de matrizes, vimos o inverso aditivo

A = [aij ] ∈ Cn×m

Elemento neutro da soma: 0 = [0] ∈ Cn×m

Inverso aditivo: −A = [−(aij)], pois A + (−A) = 0

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Elemento Inverso

Para o produto, no caso de numeros complexos:

Elemento neutro do produto: 1;

se α 6= 0 entao a equacao αx = 1 tem exatamente umasolucao:

x = α−1

Portanto, o inverso multiplicativo de α e o complexo α−1 ou1

α.

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Elemento Inverso

Para o produto de Matrizes em Cn×n:

Elemento neutro do produto: In;

Definicao (Inverso Multiplicativo de uma matriz)

Seja A uma matriz quadrada de ordem n × n. Se existir umamatriz quadrada B tambem de ordem n × n tal que

AB = In e BA = In

dizemos que A e inversıvel ou nao singular e que B e a inversade A. Notacao B = A−1.

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ExemploConsiderando as matrizes

A =

[2 14 3

], B =

[3/2 −1/2−2 1

]temos

A.B =

[A1∗ · B∗1 A1∗ · B∗2

A2∗ · B∗1 A2∗ · B∗2

]

=

[(2.(3/2) + 1.(−2)) (2.(−1/2) + 1.1)(4.(3/2) + 3.(−2)) (4.(−1/2) + 3.1)

]=

[1 00 1

]= I2

Da mesma forma, B.A = I2;

Portanto, A e nao singular com A−1 =

[3/2 −1/2−2 1

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Observacao

Assim como no caso dos numeros complexos, quando uma matrizA possuir uma inversa, esta sera unica.

Com efeito, suponha que B1 e B2 sejam inversas de A.

Entao AB1 = AB2 = I = B1A = B2A e

B1 = B1.I = B1(AB2) = (B1A)B2 = IB2 = B2

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Sumario

1 Elemento Inverso

2 Equacoes Matriciais

3 Condicao de existencia da Matriz Inversa

4 Determinacao da Inversa

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Equacoes MatriciaisConsidere as matrizes An×n e Bn×p. Suponha que A seja naosingular. Se desejarmos encontrar X tal que AX = B entao

AX = B ⇐⇒ A−1(AX ) = A−1B

=⇒ (A−1A)X = A−1B

=⇒ (I )X = A−1B

=⇒ X = A−1B

Todos os produtos acima sao compatıveis, uma vez que A−1

tem ordem n × n assim como a matriz identidade I .

Quando se trata da equacao matricial de um sistema comnumero de equacoes igual ao numero de variaveis, digamos,An×n.Xn×1 = Bn×1 entao (caso A seja uma matriz naosingular) a solucao sera dada por

X = A−1B

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Sumario

1 Elemento Inverso

2 Equacoes Matriciais

3 Condicao de existencia da Matriz Inversa

4 Determinacao da Inversa

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Condicao de existencia da Matriz Inversa

A questao agora e determinar se a inversa existe ou nao.

Teorema

Seja A uma matriz quadrada de ordem n × n. Sao equivalentes:(i) A−1 existe;(ii) posto(A) = n;(iii) A pode ser transformada em In atraves do metodo deGauss-Jordan;(iv) Se AX = 0 entao X = 0

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ExemploConsidere a matriz

A =

1 2 −13 −1 22 −3 −1

Aplicando o metodo de Gauss-Jordan, obtemos: 1 0 0

0 1 00 0 1

Portanto, A −→ I foi possıvel ou,

posto(A) = n = 3.

Pelo Teorema, existe A−1.

Ainda pelo Teorema, A.X = 0 implica que X = 0.

Isso significa que qualquer sistema homogeneo que tenha Acomo matriz dos coeficientes, tem solucao unica!

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Exemplo

Considerando, agora, a matriz identidade

A =

1 0 00 1 00 0 1

Aplique em I as mesmas operacoes elementares (e na mesmaordem) que foram aplicadas na matriz A do exemplo anterior.Chame a matriz resultante de B.

Faca os produtos A.B e B.A. Qual o resultado?

Qual a conclusao?

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Exemplo

Dada a matriz A =

1 1 11 2 21 2 3

, determine a sua inversa da

seguinte forma:

Escreva lado a lado as matrizes A e I , obtendo uma matriz deordem 3× 6;

Aplique o metodo de Gauss Jordan de modo a obter a matrizidentidade nas 3 primeiras colunas da matriz [A|I ];

A matriz resultante, isto e, [I |B], traz nas 3 ultimas colunas, ainversa de A:

B = A−1 =

2 −1 0−1 2 10 −1 1

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ObservacaoB e a inversa de A se

A.B = I e tambem B.A = I

No entanto, quando A for inversıvel, A.B = I =⇒ B.A = I .

Seja B uma matriz tal que An×n.Bn×n = In.

Afirmacao: B e nao singular.

Suponha, por absurdo, que B e singular.

Entao, pelo Teorema, o produto B.X = 0 ocorre para algumamatriz X nao nula.

Por outro lado, X = I .X = (AB)X = A(BX ) = A.0 = 0. Oque e um absurdo!

Portanto, existe, sim, a inversa de B e

AB = I ⇐⇒ (AB)B−1 = I .B−1 ⇐⇒ A(BB−1) = B−1

⇐⇒ AI = B−1 ⇐⇒ A = B−1

⇐⇒ BA = BB−1 ⇐⇒ BA = I16 / 24

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Sumario

1 Elemento Inverso

2 Equacoes Matriciais

3 Condicao de existencia da Matriz Inversa

4 Determinacao da Inversa

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Determinacao da InversaNosso objetivo e resolver a equacao

An×nXn×n = In

sendo A inversıvel.

(A1∗.X∗1) (A1∗.X∗2) ... (A1∗.X∗n)(A2∗.X∗1) (A2∗.X∗2) ... (A2∗.X∗n)

......

. . ....

(An∗.X∗1) (An∗.X∗2) ... (An∗.X∗n)

=

1 0 ... 00 1 ... 0...

.... . .

...0 0 ... 1

ou seja,

A.X∗1 = I∗1, A.X∗2 = I∗2, ..., A.X∗n = I∗n

que sao n sistemas, cada um deles com n variaveis.

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Determinacao da InversaUsando a notacao matricial e resolvendo esses sistemas pelometodo de Gauss-Jordan, teremos:

A.X∗1 = I∗1 −→ [A | I∗1] −→ [I | B∗1]

A.X∗2 = I∗2 −→ [A | I∗2] −→ [I | B∗2]

...

A.X∗n = I∗n −→ [A | I∗n] −→ [I | B∗n]

As operacoes elementares empregadas foram as mesmas nos nsistemas. Por outro lado, com essas mesmas operacoeselementares, cada coluna de I foi transformada em uma novacoluna:

I∗1 −→ B∗1, I∗2 −→ B∗2, ..., I∗n −→ B∗n

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Determinacao da Inversa

Como se tratam de matrizes colunas de ordem n × 1, podemosdizer que exatamente com as mesmas operacoes elementares:

A −→ I

I −→ B

onde B e a reuniao das colunas de I depois de transformadas!

Retomando os sistemas, A.X∗k = I∗k significa que

X∗k = A−1.I∗k (1)

Ja [I | B∗k ] representa o sistema I .X∗k = B∗k , ou seja,

X∗k = I−1B∗k = B∗k (2)

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De (1) e (2), temos

A−1.I∗k = B∗k (3)

Para encontrarmos de vez a inversa de A, lembremos que

Lema

Se M e uma matriz de ordem n × n e I∗k a k-esima coluna damatriz identidade In, entao M.I∗k e a k-esima coluna de M

Assim, a igualdade em (3) equivale a

(A−1)∗k = B∗k

ou seja, cada coluna da matriz B obtida a partir datransformacao da matriz identidade (usando-se o metodo deGauss-Jordan) equivale a uma coluna da matriz inversa de A.Portanto,

A−1 = B

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Determinacao da Inversa

Resumindo:

I Seja A uma matriz nao singular. O Teorema deCaracterizacao garante que A pode ser transformadana matriz identidade atraves de operacoeselementares;

I Transforme An×n em In;

I Usando exatamente as mesmas operacoeselementares, transforme I . Voce encontrara umaoutra matriz. Chame-a de B.

I A−1 = B.

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Exemplo

Idem para a matriz B =

2 1 0 12 2 −1 11 3 2 11 −1 −1 1

Resposta...

B−1 =1

7

9 −2 −3 −4−3 3 1 −14 −4 1 −1−8 1 5 9

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Exemplo

Idem para a matriz C =

1 2 1 00 2 1 31 1 −1 40 2 4 2

Resposta...

C−1 =

(2/5) −1 (3/5) (3/10)(1/3) (2/3) (−1/3) (−1/3)

(−1/15) (−1/3) (1/15) (11/30)(−1/5) 0 (1/5) (1/10)

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