IntroduçãoTeoria dos Grafos

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Introdução à Teoria dos GrafosCurso: Introdução à Análise de Redes

Pós-Graduação em Demografia - FACE - UFMG

Prof. Gilvan R. Guedes e Wesley H. S. Pereira

Departamento de Demografia - UFMG

16 de Setembro de 2017

Prof. Gilvan R. Guedes e Wesley H. S. Pereira Aula 01 - Introdução à Análise de Redes

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Informações do Curso

Disciplina: Introdução à Análise de Redes* Website: http://gilvanguedes.com/network-analysis/

* Carga-horária: 30 horas - 2 créditos* Número de aulas: 9 aulas* Início: 17/10/2017* Previsão de Término: 19/12/2017Professor: Gilvan Ramalho Guedes (CEDEPLAR/UFMG)* e-mail: grguedes@cedeplar.ufmg.br* Gabinete: FACE 3093Monitor: Wesley Henrique Silva Pereira (DEST/UFMG)* e-mail: wesleyhspereira@gmail.com

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Avaliações

Disciplina: Introdução à Análise de Redes* Exercício: Cálculo e interpretação de parâmetros (30

pontos)* Exercício: Representação visual da rede e intepretação (30

pontos)* Trabalho Final: Análise aplicada a um estudo de caso à

escolha do aluno (40 pontos)

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Sobre este material

Essas notas de aula são parcialmente baseadas em:* Kolaczyk (2009) Statistical analysis of network data-methods

and models;* Feofiloff (2016) Algorítmos para grafos e c via sedgewick (url

nas referências);* UFSC (UFSC) Conceitos básicos da Teoria dos Grafos (url

nas referências);* Notas de aula de Teoria dos Grafos - Urrutia, S.

(DCC/UFMG);* Notas de aula de Teoria dos Grafos - Nogueira, L. T

(IC/UFF);

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Definição de Análise de RedesDefinição de Teoria dos GrafosGrafos e redesMotivação

A Análise de Redes é a área da Tecnologia da Informação edas Ciências Sociais que trata do processo de analisar qualquertipo de rede por intermédio da Teoria das Redes;

Estuda interdisciplinarmente redes complexas, como porexemplo redes de computador, redes biológicas, redes cognitivase redes sociais;

É definida como “o estudo das representações de rede defenômenos físicos, biológicos e sociais, levando a modelospreditivos desses fenômenos.”, (Council et al., 2006)

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A Análise de Redes é a área da Tecnologia da Informação edas Ciências Sociais que trata do processo de analisar qualquertipo de rede por intermédio da Teoria das Redes;

Estuda interdisciplinarmente redes complexas, como porexemplo redes de computador, redes biológicas, redes cognitivase redes sociais;

É definida como “o estudo das representações de rede defenômenos físicos, biológicos e sociais, levando a modelospreditivos desses fenômenos.”, (Council et al., 2006)

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A Análise de Redes é a área da Tecnologia da Informação edas Ciências Sociais que trata do processo de analisar qualquertipo de rede por intermédio da Teoria das Redes;

Estuda interdisciplinarmente redes complexas, como porexemplo redes de computador, redes biológicas, redes cognitivase redes sociais;

É definida como “o estudo das representações de rede defenômenos físicos, biológicos e sociais, levando a modelospreditivos desses fenômenos.”, (Council et al., 2006)

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Teoria dos Grafos

A Teoria dos Grafos é um ramo da Matemática que estuda asrelações entre um conjunto de objetos;

“A Teoria dos Grafos estuda objetos combinatórios — os grafos— que são um bom modelo para muitos problemas em váriosramos da Matemática, da Informática, da Engenharia e daIndústria. Muitos dos problemas sobre grafos tornaram-secélebres porque são um interessante desafio intelectual eporque têm importantes aplicações práticas.” (Feofiloff et al.,2011).

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Teoria dos Grafos

A Teoria dos Grafos é um ramo da Matemática que estuda asrelações entre um conjunto de objetos;

“A Teoria dos Grafos estuda objetos combinatórios — os grafos— que são um bom modelo para muitos problemas em váriosramos da Matemática, da Informática, da Engenharia e daIndústria. Muitos dos problemas sobre grafos tornaram-secélebres porque são um interessante desafio intelectual eporque têm importantes aplicações práticas.” (Feofiloff et al.,2011).

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Definição de Análise de RedesDefinição de Teoria dos GrafosGrafos e redesMotivação

Desambiguação

Em termos práticos, a principal diferença entre uma rede e um grafoestá na motivação:

Em geral uma rede surge da observação de um fenômenorelacional e necessariamente está atrelada àquele fenômeno. Poroutro lado, um grafo não necessita de um motivo para existir: eleé como um número ou um segmento de reta em Matemática;

Uma rede pode ser representada por um grafo, isto é, ela dáorigem a um grafo. Em geral, não há sentido em dizer que umgrafo deu origem a uma rede;

A rede pode ser encarada como o objeto sobre o qual se baseia oestudo sobre um fenôneno relacional. Através dos grafos, aTeoria dos Grafos é uma ferramenta que nos permite estudar ocaráter relacional de um conjunto dados.

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Desambiguação

Em termos práticos, a principal diferença entre uma rede e um grafoestá na motivação:

Em geral uma rede surge da observação de um fenômenorelacional e necessariamente está atrelada àquele fenômeno. Poroutro lado, um grafo não necessita de um motivo para existir: eleé como um número ou um segmento de reta em Matemática;

Uma rede pode ser representada por um grafo, isto é, ela dáorigem a um grafo. Em geral, não há sentido em dizer que umgrafo deu origem a uma rede;

A rede pode ser encarada como o objeto sobre o qual se baseia oestudo sobre um fenôneno relacional. Através dos grafos, aTeoria dos Grafos é uma ferramenta que nos permite estudar ocaráter relacional de um conjunto dados.

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Desambiguação

Em termos práticos, a principal diferença entre uma rede e um grafoestá na motivação:

Em geral uma rede surge da observação de um fenômenorelacional e necessariamente está atrelada àquele fenômeno. Poroutro lado, um grafo não necessita de um motivo para existir: eleé como um número ou um segmento de reta em Matemática;

Uma rede pode ser representada por um grafo, isto é, ela dáorigem a um grafo. Em geral, não há sentido em dizer que umgrafo deu origem a uma rede;

A rede pode ser encarada como o objeto sobre o qual se baseia oestudo sobre um fenôneno relacional. Através dos grafos, aTeoria dos Grafos é uma ferramenta que nos permite estudar ocaráter relacional de um conjunto dados.

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Desambiguação

Em termos práticos, a principal diferença entre uma rede e um grafoestá na motivação:

Em geral uma rede surge da observação de um fenômenorelacional e necessariamente está atrelada àquele fenômeno. Poroutro lado, um grafo não necessita de um motivo para existir: eleé como um número ou um segmento de reta em Matemática;

Uma rede pode ser representada por um grafo, isto é, ela dáorigem a um grafo. Em geral, não há sentido em dizer que umgrafo deu origem a uma rede;

A rede pode ser encarada como o objeto sobre o qual se baseia oestudo sobre um fenôneno relacional. Através dos grafos, aTeoria dos Grafos é uma ferramenta que nos permite estudar ocaráter relacional de um conjunto dados.

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Definição de Análise de RedesDefinição de Teoria dos GrafosGrafos e redesMotivação

Então, por que estudar grafos?

Porque tanto a rede quanto o grafo estudam as relações entreobjetos;

Porque através deles modelamos fenômenos relacionais de todanatureza em um modelo matemático formalizado;

Porque embora tenhamos visto que uma rede não é um grafo,um grafo é a representação mais natural para uma rede.

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Definição de Análise de RedesDefinição de Teoria dos GrafosGrafos e redesMotivação

Então, por que estudar grafos?

Porque tanto a rede quanto o grafo estudam as relações entreobjetos;

Porque através deles modelamos fenômenos relacionais de todanatureza em um modelo matemático formalizado;

Porque embora tenhamos visto que uma rede não é um grafo,um grafo é a representação mais natural para uma rede.

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Definição de Análise de RedesDefinição de Teoria dos GrafosGrafos e redesMotivação

Então, por que estudar grafos?

Porque tanto a rede quanto o grafo estudam as relações entreobjetos;

Porque através deles modelamos fenômenos relacionais de todanatureza em um modelo matemático formalizado;

Porque embora tenhamos visto que uma rede não é um grafo,um grafo é a representação mais natural para uma rede.

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Definição de Análise de RedesDefinição de Teoria dos GrafosGrafos e redesMotivação

Então, por que estudar grafos?

Porque tanto a rede quanto o grafo estudam as relações entreobjetos;

Porque através deles modelamos fenômenos relacionais de todanatureza em um modelo matemático formalizado;

Porque embora tenhamos visto que uma rede não é um grafo,um grafo é a representação mais natural para uma rede.

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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo

O problema das sete pontes de Königsberg

É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?

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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo

Modelagem

Temos:

4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;

Proposta A Proposta B Proposta C

Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.

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Temos:4 localidades e 7 pontes;

4 pontos e 7 conexões;

Proposta A Proposta B Proposta C

Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.

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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo

Modelagem

Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;

Proposta A Proposta B Proposta C

Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.

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Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;

Proposta A

Proposta B Proposta C

Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.

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Modelagem

Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;

Proposta A Proposta B

Proposta C

Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.

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Modelagem

Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;

Proposta A Proposta B Proposta C

Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.

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Modelagem

Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;

Proposta A Proposta B Proposta C

Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?

Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.

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Modelagem

Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;

Proposta A Proposta B Proposta C

Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.

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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo

Solução

Suponha que exista um percurso que atravesse as pontes semrepetir qualquer uma delas.

Façamos P o nosso ponto departida genérico e F o nosso ponto final genérico.

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Solução

Suponha que exista um percurso que atravesse as pontes semrepetir qualquer uma delas. Façamos P o nosso ponto departida genérico e F o nosso ponto final genérico.

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Solução

Suponha que exista um percurso que atravesse as pontes semrepetir qualquer uma delas. Façamos P o nosso ponto departida genérico e F o nosso ponto final genérico.

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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo

Solução

Vamos chamar de C o conjunto dos pontos pertencentes a essepercurso e que não são nem o ponto partida e nem oponto final. Como o caminho existe, C deve intermerdiar opercurso entre P e F .

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Solução

Vamos chamar de C o conjunto dos pontos pertencentes a essepercurso e que não são nem o ponto partida e nem oponto final. Como o caminho existe, C deve intermerdiar opercurso entre P e F .

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Solução

Já que o percurso existe, então existe uma ponte que vai de Ppara um ponto C1 genérico e uma ponte que vai de um pontoC2 genérico para F .

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Já que o percurso existe, então existe uma ponte que vai de Ppara um ponto C1 genérico e uma ponte que vai de um pontoC2 genérico para F .

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Já que o percurso existe, então existe uma ponte que vai de Ppara um ponto C1 genérico e uma ponte que vai de um pontoC2 genérico para F .

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Já que o percurso existe, então existe uma ponte que vai de Ppara um ponto C1 genérico e uma ponte que vai de um pontoC2 genérico para F .

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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo

Solução

Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas.

Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Solução

Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias?

Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Solução

Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Solução

Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Solução

Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Solução

Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Solução

Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Solução

Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.

Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.

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Solução

Então, o número de pontes que conectam qualquer pontopertencente a C deve ser necessariamente par.

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Solução

Então, o número de pontes que conectam qualquer pontopertencente a C deve ser necessariamente par.

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IntroduçãoTeoria dos Grafos

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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo

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Então, o número de pontes que conectam qualquer pontopertencente a C deve ser necessariamente par.

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Como P é ponto de partida, então o número de pontes queconectam P deve ser necessariamente ímpar: a ponte queinicia o percurso mais um par de pontes para cada visita a P .O mesmo ocorre com F : um par de pontes para cada visita a Fmais a ponte que encerra o percurso.

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Como P é ponto de partida, então o número de pontes queconectam P deve ser necessariamente ímpar: a ponte queinicia o percurso mais um par de pontes para cada visita a P .O mesmo ocorre com F : um par de pontes para cada visita a Fmais a ponte que encerra o percurso.

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Solução

Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.

Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.

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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.

Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.

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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.

Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.

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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.

Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.

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Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.

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Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.

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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.

Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.

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Solução

Problema: É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?

Análise:Território A : 5 pontes;Território B, C e D: 3 pontes.

Conclusão: Não existe um percurso que satisfaça o problema emquestão.

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Problema: É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?

Análise:Território A : 5 pontes;Território B, C e D: 3 pontes.

Conclusão: Não existe um percurso que satisfaça o problema emquestão.

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Problema: É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?Análise:

Território A : 5 pontes;Território B, C e D: 3 pontes.

Conclusão: Não existe um percurso que satisfaça o problema emquestão.

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Problema: É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?Análise:

Território A : 5 pontes;Território B, C e D: 3 pontes.

Conclusão: Não existe um percurso que satisfaça o problema emquestão.

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