BCC204 - Teoria dos Grafos

Marco Antonio M. Carvalho

(baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos)Departamento de Computação

Instituto de Ciências Exatas e BiológicasUniversidade Federal de Ouro Preto

9 de março de 2020

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 1 / 26

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Site da disciplina:I http://www.decom.ufop.br/marco/

Lista de e-mails:I bcc204@googlegroups.com

Para solicitar acesso:I http://groups.google.com/group/bcc204

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Avisos

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Conteúdo

1 Isomorfismo

2 Subgrafos

3 Conectividade e Caminhos

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Exercício

1 Com relação ao grafo abaixo, responda:

v3

v4

v5v7

v6

v2v1

a O grafo é simples?b Completo?c Regular?d Conexo?e Encontre dois caminhos diferentes entre v3 e v6.f Indique uma aresta cuja remoção tornará o grafo desconexo.g Indique a representação deste grafo por listas de adjacências.

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Isomorfismo

DefiniçãoDois grafos G e H são ditos isomorfos se existir uma correspondênciaum-para-um entre seus vértices e entre suas arestas, de maneira que asrelações de incidência são preservadas.

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Isomorfismo

Condições necessárias mas não suficientes para isomorfismoI Mesmo número de vértices;I Mesmo número de arestas;I Mesmo número de componentes;I Mesmo número de vértices com o mesmo grau.

Exemplo:

a b c

d

e f

5

61 2 3 4

Observação: Não existem algoritmos comprovadamente eficientes paradeterminar se dois grafos são isomorfos.

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Isomorfismo

ComplexidadeO algoritmo intuitivo para testes de isomorfismo consiste em analisar aspermutações de linhas e colunas de matrizes de equivalência, em busca de umarelação um-para-um, ou seja, O(n!).

Em outubro de 2015, Lászó Babai, da Universidade de Chicago, anunciou umalgoritmo quasipolinomiala para o teste de isomorfismo!b

Em 4 de janeiro de 2017, foi descoberto um erro na prova, reclassificando oalgoritmo como subexponencialc.

Em 9 de janeiro de 2017, o erro na prova foi anunciado como contornadod.

aMais lento que polinomial, mas significativamente mais rápido queexponencial.

bhttps://jeremykun.com/2015/11/12/a-quasipolynomial-time-algorithm-for-graph-isomorphism-the-details/

cMais lento que quasipolinomial, mas mais rápido que exponencial.dhttp://people.cs.uchicago.edu/~laci/update.html

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 8 / 26

Exercícios

1 Encontre um grafo com 4 vértices que seja isomorfo a seucomplemento (ou seja, auto-complementar).

2 Qual o número de arestas de um grafo que é isomorfo a seucomplemento?

3 Qual grafo é diferente dos demais?

(a)(b)

(c) (d) (e)

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 9 / 26

Isomorfismo

Algoritmo BásicoI Verificar todas as seguintes propriedades:

I mesmo número de vértices;I mesmo número de arestas;I mesmo número de componentes;I mesmo número de vértices com o mesmo grau.

I Em seguida efetuar a combinação das matrizes de adjacência dosgrafos, verificando se são semelhantes.

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Isomorfismo e Matrizes de Adjacência

a b

de c

a b c d ea 0 1 0 1 1b 1 0 1 1 1c 0 1 0 1 0d 1 1 1 0 1e 1 1 0 1 0

1 2

4

5 3

1 2 3 4 51 0 0 1 1 12 0 0 1 0 13 1 1 0 1 14 1 0 1 0 15 1 1 1 1 0

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Isomorfismo e Matrizes de Adjacência

a b

de c

a b c d ea 0 1 0 1 1b 1 0 1 1 1c 0 1 0 1 0d 1 1 1 0 1e 1 1 0 1 0

1 2

4

5 3

1 5 2 3 41 0 1 0 1 15 1 0 1 1 12 0 1 0 1 03 1 1 1 0 14 1 1 0 1 0

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 11 / 26

Subgrafo

DefiniçãoUm grafo Gs = (Vs , As) é dito ser um subgrafo de um grafo G = (V, A)se todos os vértices e todas as arestas de Gs estão em G , ou seja, seVs ⊆ V e As ⊆ A.

Observações:I Todo grafo é subgrafo de si próprio;I O subgrafo Gs2 de um subgrafo Gs de G também é subgrafo de G ;I Um vértice simples de G é um subgrafo de G ;I Uma aresta simples de G (juntamente com suas extremidades) é um

subgrafo de G .

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Subgrafo

Encontre todos os subgrafos.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 13 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

PasseioUm passeio é uma sequência finita de vértices earestas.

Cada vértice da sequência é incidente a arestaque o precede e a aresta seguinte.

Essa sequência deve acabar e iniciar em umvértice (não necessariamente os mesmos).

Ex.: 1 - a - 2 - c - 3 - d - 4 - d - 3 - e - 5ou: 1 - 2 - 3 - 4 - 3 - 5

O passeio pode ser:

Aberto : quando inicia e acaba emvértices diferentes (o caso acima).

Fechado : quando inicia e acaba no mesmovértice. Ex.: 1-2-3-4-3-5-3-1.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 14 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

PasseioUm passeio é uma sequência finita de vértices earestas.

Cada vértice da sequência é incidente a arestaque o precede e a aresta seguinte.

Essa sequência deve acabar e iniciar em umvértice (não necessariamente os mesmos).

Ex.: 1 - a - 2 - c - 3 - d - 4 - d - 3 - e - 5ou: 1 - 2 - 3 - 4 - 3 - 5

O passeio pode ser:

Aberto : quando inicia e acaba emvértices diferentes (o caso acima).

Fechado : quando inicia e acaba no mesmovértice. Ex.: 1-2-3-4-3-5-3-1.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 14 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

PasseioUm passeio é uma sequência finita de vértices earestas.

Cada vértice da sequência é incidente a arestaque o precede e a aresta seguinte.

Essa sequência deve acabar e iniciar em umvértice (não necessariamente os mesmos).

Ex.: 1 - a - 2 - c - 3 - d - 4 - d - 3 - e - 5ou: 1 - 2 - 3 - 4 - 3 - 5

O passeio pode ser:

Aberto : quando inicia e acaba emvértices diferentes (o caso acima).

Fechado : quando inicia e acaba no mesmovértice. Ex.: 1-2-3-4-3-5-3-1.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 14 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

PasseioUm passeio é uma sequência finita de vértices earestas.

Cada vértice da sequência é incidente a arestaque o precede e a aresta seguinte.

Essa sequência deve acabar e iniciar em umvértice (não necessariamente os mesmos).

Ex.: 1 - a - 2 - c - 3 - d - 4 - d - 3 - e - 5ou: 1 - 2 - 3 - 4 - 3 - 5

O passeio pode ser:

Aberto : quando inicia e acaba emvértices diferentes (o caso acima).

Fechado : quando inicia e acaba no mesmovértice. Ex.: 1-2-3-4-3-5-3-1.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 14 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

PasseioUm passeio é uma sequência finita de vértices earestas.

Cada vértice da sequência é incidente a arestaque o precede e a aresta seguinte.

Essa sequência deve acabar e iniciar em umvértice (não necessariamente os mesmos).

Ex.: 1 - a - 2 - c - 3 - d - 4 - d - 3 - e - 5ou: 1 - 2 - 3 - 4 - 3 - 5

O passeio pode ser:

Aberto : quando inicia e acaba emvértices diferentes (o caso acima).

Fechado : quando inicia e acaba no mesmovértice. Ex.: 1-2-3-4-3-5-3-1.

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Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

PasseioUm passeio é uma sequência finita de vértices earestas.

Cada vértice da sequência é incidente a arestaque o precede e a aresta seguinte.

Essa sequência deve acabar e iniciar em umvértice (não necessariamente os mesmos).

Ex.: 1 - a - 2 - c - 3 - d - 4 - d - 3 - e - 5ou: 1 - 2 - 3 - 4 - 3 - 5

O passeio pode ser:

Aberto : quando inicia e acaba emvértices diferentes (o caso acima).

Fechado : quando inicia e acaba no mesmovértice. Ex.: 1-2-3-4-3-5-3-1.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 14 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

PasseioUm passeio é uma sequência finita de vértices earestas.

Cada vértice da sequência é incidente a arestaque o precede e a aresta seguinte.

Essa sequência deve acabar e iniciar em umvértice (não necessariamente os mesmos).

Ex.: 1 - a - 2 - c - 3 - d - 4 - d - 3 - e - 5ou: 1 - 2 - 3 - 4 - 3 - 5

O passeio pode ser:

Aberto : quando inicia e acaba emvértices diferentes (o caso acima).

Fechado : quando inicia e acaba no mesmovértice. Ex.: 1-2-3-4-3-5-3-1.

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Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

PasseioUm passeio é uma sequência finita de vértices earestas.

Cada vértice da sequência é incidente a arestaque o precede e a aresta seguinte.

Essa sequência deve acabar e iniciar em umvértice (não necessariamente os mesmos).

Ex.: 1 - a - 2 - c - 3 - d - 4 - d - 3 - e - 5ou: 1 - 2 - 3 - 4 - 3 - 5

O passeio pode ser:

Aberto : quando inicia e acaba emvértices diferentes (o caso acima).

Fechado : quando inicia e acaba no mesmovértice. Ex.: 1-2-3-4-3-5-3-1.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 14 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CadeiaUm passeio que não repete arestas.

Ex.: 4 - 3 - 2 - 1 - 3 - 5

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Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CadeiaUm passeio que não repete arestas.

Ex.: 4 - 3 - 2 - 1 - 3 - 5

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 15 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CadeiaUm passeio que não repete arestas.

Ex.: 4 - 3 - 2 - 1 - 3 - 5

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 15 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CadeiaUm passeio que não repete arestas.

Ex.: 4 - 3 - 2 - 1 - 3 - 5

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 15 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CadeiaUm passeio que não repete arestas.

Ex.: 4 - 3 - 2 - 1 - 3 - 5

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 15 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CadeiaUm passeio que não repete arestas.

Ex.: 4 - 3 - 2 - 1 - 3 - 5

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 15 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CaminhoUma cadeia sem repetição de vértices.

Ex.: 1 - 2 - 3 - 5Aberto : quando inicia e acaba em

vértices diferentes (o casoacima).

Fechado : quando inicia e acaba nomesmo vértice. Ex.: 1-2-3-1.

Comprimento : o comprimento de umcaminho é o número de arestasque o mesmo inclui.

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Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CaminhoUma cadeia sem repetição de vértices.

Ex.: 1 - 2 - 3 - 5Aberto : quando inicia e acaba em

vértices diferentes (o casoacima).

Fechado : quando inicia e acaba nomesmo vértice. Ex.: 1-2-3-1.

Comprimento : o comprimento de umcaminho é o número de arestasque o mesmo inclui.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 16 / 26

Definições

1 2

3

5

4

a

b c

d

e

CaminhoUma cadeia sem repetição de vértices.

Ex.: 1 - 2 - 3 - 5Aberto : quando inicia e acaba em

vértices diferentes (o casoacima).

Fechado : quando inicia e acaba nomesmo vértice. Ex.: 1-2-3-1.

Comprimento : o comprimento de umcaminho é o número de arestasque o mesmo inclui.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 16 / 26

Definições

CaminhoUma cadeia sem repetição de vértices.

Ex.: 1 - 2 - 3 - 5Aberto : quando inicia e acaba em

vértices diferentes (o casoacima).

Fechado : quando inicia e acaba nomesmo vértice. Ex.: 1-2-3-1.

Comprimento : o comprimento de umcaminho é o número de arestasque o mesmo inclui.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 16 / 26

Definições

CaminhoUma cadeia sem repetição de vértices.

Ex.: 1 - 2 - 3 - 5Aberto : quando inicia e acaba em

vértices diferentes (o casoacima).

Fechado : quando inicia e acaba nomesmo vértice. Ex.: 1-2-3-1.

Comprimento : o comprimento de umcaminho é o número de arestasque o mesmo inclui.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 16 / 26

Definições

CaminhoUma cadeia sem repetição de vértices.

Ex.: 1 - 2 - 3 - 5Aberto : quando inicia e acaba em

vértices diferentes (o casoacima).

Fechado : quando inicia e acaba nomesmo vértice. Ex.: 1-2-3-1.

Comprimento : o comprimento de umcaminho é o número de arestasque o mesmo inclui.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 16 / 26

Sumarizando...

PasseioSequência finita de vértices e arestas.

CadeiaUm passeio que não repete arestas.

CaminhoUma cadeia sem repetição de vértices.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 17 / 26

Relembrando...

Grafo ConexoUm grafo é dito conexo se para todo par de vértices i e j existe pelo menosum caminho entre i e j .

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 18 / 26

Exercícios

1 Quantos caminhos existem entre os vértices b e f ?b e

c d

a

f

g

2 Dê um exemplo de um grafo conexo G cuja remoção de qualqueraresta torna G desconexo.

3 Quantas arestas possui um grafo com estas características?

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 19 / 26

Caminhos e Circuitos

Teorema 1Se um grafo possui exatamente 2 vértices de grau ímpar, existe umcaminho entre esses dois vértices.

Teorema 2O número mínimo de arestas de um grafo simples com n vértices e kcomponentes é n − k .

Teorema 3Um grafo simples com n vértices e k componentes possui no máximo(n − k)(n − k + 1)/2 arestas (caso trivial).

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 20 / 26

Caminhos e Circuitos

Teorema 1Se um grafo possui exatamente 2 vértices de grau ímpar, existe umcaminho entre esses dois vértices.

Teorema 2O número mínimo de arestas de um grafo simples com n vértices e kcomponentes é n − k .

Teorema 3Um grafo simples com n vértices e k componentes possui no máximo(n − k)(n − k + 1)/2 arestas (caso trivial).

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 20 / 26

Caminhos e Circuitos

Teorema 1Se um grafo possui exatamente 2 vértices de grau ímpar, existe umcaminho entre esses dois vértices.

Teorema 2O número mínimo de arestas de um grafo simples com n vértices e kcomponentes é n − k .

Teorema 3Um grafo simples com n vértices e k componentes possui no máximo(n − k)(n − k + 1)/2 arestas (caso trivial).

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 20 / 26

Ciclos

DefiniçãoUm ciclo é um caminho fechado.

Alguns autores, utilizam o termo circuito para o caso de grafos orientados.

Grafo Ciclo: Um grafo ciclo Cn é um grafo com n vértices formado porapenas um ciclo passando por todos os vértices.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 21 / 26

ExercícioQuantos grafos ciclos (não isomorfos) são subgrafos do grafo abaixo?

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 22 / 26

Ciclos

DefiniçõesA cintura de um grafo é o comprimento do menor ciclo existente no mesmo.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 23 / 26

Ciclos

DefiniçõesA circunferência de um grafo é o comprimento do maior ciclo existente nomesmo.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 24 / 26

Exercícios

1 Qual a cintura e a circunferência do grafo abaixo ?

2 Mostre que não é possível haver um grupo de 7 pessoas no qual cadaum conhece exatamente outras 3 pessoas.

3 Prove que quaisquer dois grafos conexos com n vértices, todos de grau2, são isomorfos.

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 25 / 26

Dúvidas?

Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de março de 2020 26 / 26