introduÇÃo ao uso da hp-12c...matemática financeira professor daniel souza 3 funÇÕes de limpeza...

Matemática Financeira Professor Daniel Souza

INTRODUÇÃO AO USO DA HP-12C

[ON] – Liga e desliga a máquina. Caso permaneça ligada por mais de 6 minutos sem uso, ela desligará sozinha. OBS: Quando as pilhas estiverem fracas, aparecerá um ( ) asterisco à esquerda do visor.

AUTOTESTES ⌦A HP 12C possui 3 autotestes que asseguram maior confiabilidade ao seu uso. 1° Teste - Testando as funções de funcionamento (automático): 1- desligue a calculadora. 2- pressione a tecla [ON] e mantenha pressionada. 3- pressione a tecla [X] e mantenha pressionada. 4- libere [ON]. 5- libere [X]. OBS: Aparecerá no visor a palavra “running” mostrando que o programa está sendo executado. Após alguns segundos o visor apresentará: − 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM ⌦ Este conjunto, apresentado com nitidez no visor, significa que todas as funções da máquina estão funcionando bem. Caso apresente a mensagem “Error 9”, ou um estado diferente do correto, mesmo que parcialmente, a calculadora precisa de reparos. 2° Teste - Testando o teclado: 1- desligue a calculadora. 2- pressione a tecla [ON] e mantenha pressionada. 3- pressione a tecla [ ÷ ] e mantenha pressionada. 4- libere [ON] e depois [ ÷ ]. 5- pressione “todas” as teclas da esquerda para direita, e de cima para baixo. OBS: Aparecerá o n° 12 no visor. Caso contrário as observações feitas no 1° teste serão válidas neste. 3ºTeste - Testando as funções (por comando): Neste teste usamos as teclas [ON] e [ + ]. É semelhante ao 1° teste, diferindo apenas na duração, pois é indeterminada. Para finalização deste teste, pressione qualquer tecla após 50 seg. aproximadamente. ⌦ OBS - Limpeza Geral (máquina fica STANDARD)


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Neste teste usamos as teclas [ON] e [ − ]. Quando utilizado a máquina fica como saiu da fábrica. FUNÇÕES [f] e [g] - A máquina permite o uso da mesma tecla em até 3 funções diferentes. Em branco, na parte central, estão as funções que, ao serem pressionadas, entram logo em execução. Na parte inferior das teclas, em azul, e acima delas em amarelo, encontram-se as funções que necessitam dos prefixos [g] e [f] respectivamente, para serem executadas. ⇒ Número de casas decimais - Pressione a tecla [f ] e depois 2 , 3 ou ... no máximo 9. ⇒ [.]Ponto ou [,] Vírgula - Com a máquina desligada, pressione, ao mesmo tempo, as teclas

[ON] e [.].Solte em primeiro lugar a tecla [ON] e depois a tecla [.].Agora você troca o ponto pela vírgula e vice-versa.

FUNCIONAMENTO das MEMÓRIAS CONTÍNUAS nas OPERAÇÕES A HP-12C possui 4 memórias principais: X; Y; Z; T. Chamada de Pilha Operacional.

O visor da calculadora é a leitura da memória X. As operações são sempre realizadas nas memórias Y e X. As memórias Z e T são memórias armazenadoras.

⌦ A tecla [R ] (roll down) serve para movimentar as memórias na pilha operacional.

⌦ A tecla [CHS] (Change sinal) – Troca o sinal de positivo para negativo e vice-versa.

⌦ A tecla [X Y] TROCA POSIÇÃO DE MEMÓRIA na pilha operacional ( x com y ).

Exemplo: Digite 1[E], 2[E], 3 [E] e 4

Se comandarmos +, a máquina somará 3 e 4, colocando o resultado (7) na memória X.

Se comandarmos -, a máquina subtrairá 2 de 7, colocando o resultado (-5) na memória X.

Se comandarmos [CHS], -5 que está na memória X, trocará de sinal.

Se comandarmos [X Y], 1 que está em Y, irá para X e o 5 que está em X, irá para Y.

Operação 1 [E

] 2 [E] 3 [E] 4 + - [CHS] [X Y]

t 1 1 1 1 1 1 z 1 1 2 2 1 1 1 1 y 1 1 2 2 3 3 2 1 1 5 x 1 1 2 2 3 3 4 7 -5 5 1


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FUNÇÕES DE LIMPEZA

[Clx] : Esta função zera o conteúdo da memória X. [f] [ ∑ ]:Esta função zera as memórias de 1 a 6 e a pilha operacional. [f] [Fin]:Esta função zera os registros financeiros ( n, i, PV, PMT e FV ). [f] [REG]: Esta função zera todos os registros da máquina ( exceto os programas ).

OBS: Para apagar programas, deve-se entrar no módulo de programação [f] [P/R] e então apagá-lo [f] [PRGM].

COMO REALIZAR as OPERAÇÕES PRINCIPAIS: Adição: 6 + 3 ⇒ [6 ] [enter] [3] [+] ⇒ 9 Subtração: 15 − 8 ⇒ [15] [enter] [8] [−] ⇒ 7 Multiplicação: 2 x 5 ⇒ [2 ] [enter] [5] [x] ⇒ 10 Divisão: 35 ÷ 7 ⇒ [35] [enter] [7] [÷] ⇒ 5 Potenciação: 2 4 ⇒ [2] [enter] [4] [YX] ⇒ 16 Radiciação: 3 64 = 64 1/3 ⇒ [64] [enter] [ 3] [1/x ] [Yx ] ⇒ 4 ⇒ [1/x ] - Esta tecla calcula o inverso de um número. EX: 5 [1/x] ⇒ 0,20

⇒ [EEX] - Nesta tecla trabalha-se em notação científica (potência de 10). EX: 3.128.456.000.000 X 6 ⇒ 3,128456 [EEX] 12 [enter] 6 [X] ⇒ 1,877073 13; equivalente a 1,877073 X 10 13 ⇒ 18.770.730.000.000 OBS: Qualquer número (mesmo com menos de dez dígitos), pode ser convertido para Notação científica, basta pressionarmos f e (.), para retornarmos basta pressionar a função f e o número de casas que estávamos trabalhando. Logaritmo : LOG A B = C , onde B é um n real > 0, e A é um n real > 0 e ≠ de 1, Então : Log 2 8 = 3 porque 23 = 8 ⇒ [8] [g] [LN] [2] [g] [LN] [÷] ⇒ 3 Log 3 81 = 4 porque 34 = 81 ⇒ [81] [g] [LN] [3] [g] [LN] [÷] ⇒ 4 OBS: O LOG neperiano é calculado direto. EX : LN 3 ⇒ [3] [g] [LN] ⇒ 1,098612 LN 5 ⇒ [5] [g] [LN] ⇒ 1,609438 Fatorial: n! [g] [3] ⇒ Representa o produto dos números inteiros de 1 até n. EX: 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ⇒ 120 ⇒ [LST x]: Representa o número antes da última operação realizada. EX: 40 x 6 ÷ 3 = ⇒ 40[E] 6 x 2 ÷ ⇒120 (percebe que digitou 2 errado; então digite [g][LST x] reaparecerá o 2, digite x (operação inversa) e agora digite o 3 ÷ que é a operação correta.


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FUNÇÕES de PERCENTAGEM

PERCENTUAL de um valor : %

EX: Apliquei R$ 5.000,00 em CDB com juros de 2%.

RESP: 5.000 [enter] 2 [ % ] ⇒ 10

VARIAÇÃO PERCENTUAL: ∆ %

EX : Uma aplicação de R$ 6.000,00, resultou em R$ 6.250,00. Qual a taxa representativa do ganho?

RESP: 6.000 [enter] 6.270,00 [∆ % ] ⇒ 4,5 %

⇒ PERCENTUAL DO TOTAL: % T

EX : Aplicamos R$ 4.500,00 em Cad.Poup., R$9.000,00 em Títulos e R$ 2.000,00 em Ações. Qual o percentual do principal aplicado em cada produto?

RESP: Total = 4.500 [enter] 9.000 [+] 1.500 [+] ⇒ 15.000 % em Cad.Poup.: 15.000 [enter] 4.500 [% T ] ⇒ 30% % em Títulos : [R ] 9.000 [% T ] ⇒ 60% % em Ações : [R ] 1.500 [% T ] ⇒ 10%

MEMÓRIAS SECUNDÁRIAS (STO)

A HP-12C possui 20 memórias secundárias: 0 a 9 e de . 0 a . 9 Para registrar um n°,utilize a tecla STO (STORE), e em seguida digite o n° da memória que você escolheu. Para recuperar o n° armazenado na memória, use a tecla RCL (RECALL) seguida da memória escolhida.

EX: a) Armazene os números 7, 10 e 15 nas memórias secundárias 2, .5 e .9 respectivamente.

RESP: 7 [STO] 2 , 10 [STO] . 5 , 15 [STO] . 9 b) Agora recupere as memórias.

RESP: [RCL] 2 = 7 , [RCL] . 5 = 10 , [RCL] . 9 = 15


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⌦Obs.: As memórias 0, 1, 2, 3 e 4 são operacionáveis, isto é, podemos operar (realizar cálculos) dentro dessas memórias. EX: Faça esta operação [( 4 + 6 + 10 ) ÷ 2 )] − 5 na memória 3 : RESP: 4 [STO] 3, 6 [STO] + 3, 10 [STO] + 3, 2 [STO] ÷ 3, 9 [STO] − 3, [RCL] 3 ⇒ 5

FUNÇÕES de CALENDÁRIO

(opera com as datas entre 15/10/1.582 e 25/11/4.046) M.DY - month. day, year (mês. dia, ano): [g] 5 D.MY - day. month, year (dia. mês, ano): [g] 4 ⇒ como usaremos EXEMPLO: a) Quantos dias existem entre 18 de Fevereiro de 2002 e o dia 25 de Dezembro de 2002 ?

RESP: [g] 4 18.022002 [enter] 25.122002 [g] [∆ DYS] ⇒ 310 dias. EXEMPLO: b) Determine quantos dias de vida você tem.

RESP: Data nasc. 11.101962 [enter] Hoje 18.022002 [g] [∆ DYS] ⇒ 14.375 dias. EXEMPLO: c) Se eu aplicar em um CDB para 30 dias, o resgate acontecerá em dia útil?

RESP: Hoje 18.022002 [enter] 30 [g] [ DATE ] ⇒ 20.03.2002 3 (Quarta-feira)

OBS: 1) Os cálculos são feitos para o ano civil (365), se pressionarmos [R ] ou [X Y] aparecerá o resultado baseado no ano comercial (360).

2) Dias da semana na HP 12C:

1- Segunda-feira 2- Terça-feira 3- Quarta-feira 4- Quinta-feira 5- Sexta-feira 6- Sábado 7- Domingo


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FUNÇÕES FINANCEIRAS

n ⇒ registra o tempo i ⇒ registra a taxa na forma percentual ( %) PV ⇒ PRESENT VAUE – Valor presente, principal ou capital inicial. PMT ⇒ PERIODIC PAYMENT – Pagmtos/Recebmtos periódicos de uma série uniforme. FV ⇒ FUTURE VAUE – Valor futuro, montante, resgate ou capital final. CHS ⇒ CHANGE SIGNAL – Troca os sinais dos valores. BEG ⇒ [g] [7] – Ativa-se o modo de pagamentos antecipados nas séries uniformes. END ⇒ [g] [8] – Ativa-se o modo de pagamentos postecipados nas séries uniformes. C ⇒ [STO] [EEX] – Ativa-se dessa forma sempre o cálculo pela capitalização composta, mesmo que o período não seja inteiro.


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CCoonncceeiittoo ddee FFaattoorr

Para uma aplicação de R$ 4.000,00, resgatarei R$ 4.100,00. Qual a taxa de juros envolvida na operação?

FATOR DE CORREÇÃO:

TAXA UNITÁRIA:

TAXA PERCENTUAL: Com base no exemplo anterior, temos: O VALOR FUTURO é igual ao produto do VALOR PRESENTE pelo FATOR DE CORREÇÃO.

As Escavadeiras TATU necessitando de Capital de Giro, tomou um empréstimo no Banco TQBRO a uma taxa de 5,5%. No vencimento pagou R$ 44.310,00. Qual o valor creditado?

Utilizando conceito de FATOR:

FATOR DE CORREÇÃO:

VALOR DO EMPRÉSTIMO:

Com base no exemplo anterior, temos: O VALOR PRESENTE é igual ao VALOR FUTURO dividido pelo FATOR DE CORREÇÃO.

4.100,00

4.000,00

44.310,00

FV = PV X FATOR FV = PV X (1 + i )

PV = FV ÷ FATOR PV = FV ÷ (1 + i )


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EEXXEEMMPPLLOOSS PPRRÁÁTTIICCOOSS

1- THIAGO aplicou R$ 6.400,00 no FUNDO DE INVESTIMENTOS AZULÃO.

A remuneração, no período, foi de 3,5 %.

Fator de Correção:

Fator de Resgate:

Juros:

2- A Cia. Industrial ALEGRE realizou um financiamento. Tomou Capital de Giro a 4,2 % e pagou juros de R$ 2.100,00.

Valor do empréstimo (Valor Presente):

Fator de correção:

Valor a pagar no vencimento (Valor Futuro):

3- SORAYA aplicou em CDB no BANCO SALVADOR

a uma taxa de 1,2% e resgatou R$ 8.602,00.

Fator de correção:

Valor presente:

Juros:


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4- ROBERT CRUISE comprou dólares a R$ 2,35;

obteve um ganho de 12% ao vendê-los por R$ 15.792,00.

Valor da compra:

Quantidade de dólares:

5- TYNA GIBSON opera na mesa do Banco TFRAY. Aplicou nas Letras Grandes Sonhos obtendo PU de R$ 92,98.

O valor nominal do papel era de R$ 100,00.

Fator de correção do papel:

Taxa % de ganho:

6- TOM BANDERAS aplicou nas Letras Maravilhosas do Rio de Janeiro e obteve um ganho de 6,8 %.

O valor nominal do papel era de R$ 1.000,00.

Fator de correção do papel:

PU obtido por Bandeiras:


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Conceitos: a) Pagamento em moeda pelo uso desta durante certo tempo, através de um empréstimo,

ou seja, é o custo do capital de terceiros colocados a nossa disposição.

b) Para o INVESTIDOR: Remuneração do capital aplicado.

c) Para o TOMADOR: Custo do capital tomado por empréstimo.

OBS.: Se somarmos os juros (j) ao capital inicial ou principal (PV), encontraremos o

Montante ou Valor Futuro (FV): FV = PV + j

O Fator da Correção Total (Ktotal) é igual ao produto do Fator de Correção Monetária (Kcorr) pelo Fator de Ganho Real (Kreal)!

kt = kcorr x kreal (1+ i total) =(1+ i corr ) x (1+ i real)

EX: Calcule a taxa total de uma operação financeira definida por 20% de ganho real mais

a variação da inflação de 10% num determinado período.

(1+ i total) =(1+ i corr ) x (1+ i real) = ( 1,20 x 1,10 ) - 1 = 0,32

i total = 32,00%

Taxa de Ganho Real: É aquela obtida, quando expurga-se da taxa efetiva da operação

os efeitos da inflação neste mesmo período.

EX: A taxa total (aparente ou nominal) de uma operação financeira num determinado prazo foi de 27% sendo que neste período houve uma inflação de 25%. Calcule a taxa de ganho real.

(1+ i real) = (1+ i total) ÷ (1+ i corr ) ( 1,27 ÷ 1,25 ) - 1 = 0,016

i real = 1,6%

Juros

Taxa de Ganho Real


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EEXXEEMMPPLLOOSS PPRRÁÁTTIICCOOSS 1- No final de 2000, o PATRIMÔNIO LÍQUIDO da Cia. MELADA era R$ 2.500.000,00; em 2001 apurou um crescimento real de 12% em relação ao IGP-M anual de 1,82 %.

Analisemos os números dessa empresa

Fator de correção monetária (base IGP-M):

PAT. LÍQ. corrigido monetariamente:

Fator de crescimento real:

PATRIMÔNIO LÍQUIDO no final de 2001:

Correção monetária do PAT. LÍQ. em R$:

Crescimento real (em R$):

2- LUCAS aplicou em CADERNETA DE POUPANÇA por 1 mês em que a TR foi 0,75%. Resgatou R$ 1.620,06.

Fator de Correção Monetária:

Fator de Juros Reais:

Aplicação:

Correção Monetária:

Juros reais:

3- A FAMÍLIA SILVERSTONE pretendia viajar para MIAMI.

Para tal, resgatou suas aplicações de um Fundo de Investimentos e comprou dólares a R$ 1,22. Como os filhos ficaram em “recuperação“, desistiram da viagem.

Um mês depois venderam os dólares a R$ 1,94. Nesse período, o Fundo de Investimentos valorizou 2,25%.

Fator de Correção Cambial:

Fator de Correção do Fundo:

Fator de ganho real em relação ao Fundo:

Taxa de ganho real em relação ao Fundo:


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Chamam-se juros simples a remuneração de um capital com a taxa de juros (i) sempre

incidindo sobre o capital inicial ou principal (PV). Demonstração da fórmula geral dos Juros Simples:

Vejamos: R$1.000,00 aplicados a 10%, renderão sempre R$100,00, isto porque a taxa de juros ( i ) sempre incidirá sobre o principal ou capital inicial ( PV ) : 1.000 + 1.000 x 0,1 = 1.100 ( para n = 1 ) 1.000 + 1.000 x 0,1 + 1.000 x 0,1 = 1.200 ( para n = 2) 1.000 + 1.000 x 0,1 + 1.000 x 0,1 + 1.000 x 0,1 = 1.300 ( para n = 3)

Literalmente falando teremos: F1 = P + P. i = P ( 1+i )

F2 = P + P . i + P . i = P + 2 . P . i = P( 1 + i . 2 )

F3 = P + P . i + P . i + P . i = P + 3 . P . i = P( 1 + i . 3 )

Fn = P ( 1+ i . n ) Fórmula geral dos juros simples

Fórmulas derivadas da fórmula geral dos Juros Simples:

Determinação do Principal: P = F / ( 1 + i . n ) Determinação do período de capitalização: n = [( F/P ) – 1 ] / i

Determinação da taxa de juros:

i = [(F/P – 1 ) ] / n

Obs.: Sendo F = P + P . i . n; então F = P + j ;

Conclui-se que j = P . i . n (nos Juros Simples)

Juros Simples


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Gráfico representativo do crescimento de um capital no regime de Juros Simples

Capital ($)

F = P (1 + i . n )

F4 crescimento linear F1 P

Eixo do tempo 0 1 2 3 4 n

Equação da reta: Y = a + bx

F = P + P . i . n (coef. linear = P ; coef. angular = i )


1- As Lojas Elétricas pagaram uma duplicata de R$ 3.600,00 com atraso de 22 dias. O Banco Sorriso cobrou juros de mora de 4,5 % ao mês.

Qual o valor pago? 11ªª SSOOLLUUÇÇÃÃOO ::Calculando os juros: Taxa do período = j = FV = 22ªª SSOOLLUUÇÇÃÃOO ::Utilizando o Fator: Taxa do período = Fator de correção = FV =

2- JULIETA pagou seu seguro com atraso de 18 dias. No vencimento, o valor era R$ 840,00 e os juros de mora foram de 2,1 % ao mês.

Qual o valor pago? Taxa de Juros do Período:

Fator de Correção:

Juros em R$:

Valor pago com atraso:


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Desconto Simples, Comercial, Bancário ou por fora

Chamamos de desconto de um título ao abatimento que se dá sobre seu valor pela antecipação de pagamento.Existem dois tipos de desconto simples: o desconto bancário ou por fora e o desconto racional ou por dentro. O primeiro será visto agora e o desconto racional mais à frente.

OBS.: É o maior desconto que existe, por isso é o utilizado pelo Mercado. O desconto bancário é equivalente ao juro cobrado sobre o valor final do título a

uma taxa dada, também chamada de taxa de desconto, durante o prazo que decorre desde a transação até o vencimento do título.Supondo que Vf seja o valor final de um título que vai ser descontado em um Banco para uma taxa d e n períodos. Seu desconto bancário Db será: Db = Vf .d.n

Ex: Qual será o desconto para Vf = 200.000,00 ; d =24% a.a e n = 60 dias,?

Db = 200.000 . 0,02 .2 Db = 200.000 . 0,04 Db = R$ 8.000,00

Valor Atual Bancário

O valor atual Va é a diferença entre o Vf e o Db, então teremos:

Va = Vf – Db ou Va = Vf – Vf .d.n Va = Vf (1– d.n)

Ex: Qual será o valor atual para os mesmos dados do exercício anterior?

Va = 200.000 (1 - 0,02.2) Db = R$ 192.000,00

OBS 1.: Como o desconto bancário é cobrado antecipadamente, entrega-se ao cliente a diferença entre o valor do título e o seu desconto. Desta forma o custo para o tomador é maior, pois a taxa foi aplicada sobre o valor final do papel. Para calcularmos a taxa real (r), procederemos da seguinte maneira:

r = 200.000 = 1,041667 r = 4,1667%p.p 192.000 ou r = 0,04 = 0,041667 r = 4,1667%p.p 1 - 0,04

PV = FV (1– d.n )


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OBS 2.: Considerando-se que o Banco solicitou uma reciprocidade de 10% em Saldo médio, calcule a nova taxa real (r’).

r’ = 0,04 r’ = 0,046512 r’ = 4,6512%p.p 1 - 0,04 -0,1

OBS 3.: Os empréstimos estão sujeitos Imposto sobre Operações Financeiras (IOF), cobrados também antecipadamente, cujo valor é de 0,0041% ao dia (1,5% a.a) tanto para P.J como P.F. Então calcule a nova taxa real (r”).

r” = 0,04 + 0,00246 r” = 0,049514 r” = 4,9514%p.p 1 - 0,04 - 0,1- 0,00246

Podemos observar o quanto a taxa maximizou na operação.

Atenção: O desconto bancário só é utilizado para prazos pequenos.

Observe: Se Vf = 50.000,00; d = 4% a.m para n = 25 meses, teremos:

Db = 50.000,00 x 0,04 x 25

Db = 50.000,00 (teremos um desconto de 100%)

Taxas Antecipadas(DESCONTO) e Finais(Custo Efetivo - REAL)

OBS.: Não confundir com taxas Pré-fixadas e Pós-fixadas.

Notamos que as taxas antecipadas são utilizadas para o cálculo do desconto bancário e

que a taxa real da operação é a taxa final. Agora iremos aprender como saber a sua

equivalente.

Ex: a) Qual será a taxa antecipada (desconto) se o custo efetivo (final - real) é 10% ?

a) Ant = Final = 0, 1 = 0,090909 Ant = 9,0909 %

1 + Pós 1 + 0, 1 b) Qual será o custo efetivo (taxa final - real) se a antecipada (desconto) é 10% ?

b) Final = Pré = 0, 1 = 0,111111 Final = 11,11 %

1 - Pré 1 - 0, 1


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1- A CIA FESTEIRA S/A descontou uma duplicata de R$ 14.000,00 no BANCO DO CÉU. O prazo do título era de 46 dias.

A taxa de desconto foi de 5,1% ao mês.

Desconto em R$:

Valor Descontado (Líquido):

Custo Efetivo no Período (%):

2- JOÃO CRUISE descontou uma NP no BANCO VERDINHO S/A.

O prazo do título era de 41 dias. A taxa de desconto foi de 6 % ao mês. O valor recebido no ato da operação

foi de R$ 7.803,00.

Taxa de Desconto no Período:

% Correspondente ao Creditado:

Valor Nominal da Np (Valor Futuro):


3- TELMO KILMER, desejando casar, descontou uma NP numa empresa de Factoring.

O prazo do título era de 35 dias. A taxa de desconto foi de 7,2 % ao mês.

Taxa de Desconto no Período:

% Correspondente ao Creditado:



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Chamam-se juros compostos a remuneração de um capital com a taxa de juros (i)

incidindo a cada período (n) sobre o montante (FV) obtido no final do período

anterior.

Demonstração da fórmula geral dos Juros Compostos:

Vejamos: R$1.000,00 aplicados a 10%, renderão juros diferentes ( j ), pois a taxa de

juros ( i ), a cada período( n ) estará incidindo sobre um novo montante ( FV ) :

1.000 + 1.000 x 0,1 = 1.100 (no 1º período - n =1)

1.100 + 1.100 x 0,1 = 1.210 (no 2º período - n =2)

1.210 + 1.210 x 0,1 = 1.331 (no 3º período - n =3)

Literalmente falando teremos: F1 = P + P. i = P ( 1+ 1. i ) = P ( 1+ i )

F2 = P ( 1+ i ) + P ( 1+ i ) . i = P ( 1+ i ) ( 1 + 1 . i ) = P ( 1+ i ) 2

F3 = P ( 1+ i ) 2 + P ( 1+ i ) 2 . i = P ( 1+ i ) 2 ( 1 + 1 . i ) = P ( 1+ i ) 3

Fn = P ( 1+ i ) n Fórmula geral dos Juros Compostos

Fórmulas derivadas da fórmula geral dos Juros Compostos:

P = F / (1 + i )n : Determinação do Principal.

i = (F/ P) ( 1/ n )

– 1 : Determinação da taxa de juros.

n = log (F/ P) : Determinação do período.

log ( 1+ i )

Obs.: Fórmula para cálculo dos Juros ( j ) : ⌦ Sendo: F = P ( 1+ i ) n e F = P + j ; substituindo P + j = P ( 1+i ) n j = P ( 1+i ) n – P teremos:

j = P [ (1 + i ) n – 1 ]

Juros Compostos


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Gráfico representativo do crescimento de um capital no regime de Juros Compostos:

Capital ($) F = P ( 1 + i ) n crescimento exponencial

F2 F1

P Eixo do tempo 0 1 2 n

Gráfico comparativo entre Juros Simples e Juros Compostos:

Capital ($) F = P ( 1 + i ) n F = P ( 1 + i . n ) F4 F1 P

Eixo do tempo 0 1 2 3 4 n

⌦ Observe: a) Quando o período (n) é menor que a unidade (1), os juros simples são maiores que os juros compostos, considere: P = 1.000, i = 10%, n = 0,5.

J.Simples : F = P (1 + i . n ) F = 1.000 ( 1 +0,1 . 0,5 ) F = 1.000 ( 1 ,05 ) F = 1.050,00

J.Compstos : F = P (1 + i ) n F = 1.000 ( 1 +0,1 ) 0,5 F = 1.000 ( 1 ,0488 ) F = 1.048,80

b) Quando o período (n) é igual a unidade os juros simples e os juros compostos são iguais, considere: P = 1.000, i = 10% e n = 1. F = P (1 + i . n ) F = 1.000 ( 1 +0,1 . 1 ) F = 1.000 ( 1 ,1 ) F = 1.100,00

F = P (1 + i ) n F =1.000 ( 1 +0,1 ) n F = 1.000 ( 1 ,1 ) F = 1.100,00

c) Quando o período (n) é maior que a unidade, os juros compostos são maiores que

os simples, considere: P = 1.000, i = 10%, n = 1,5.

F = P (1 + i . n ) F = 1.000 ( 1 +0,1 . 1,5 ) F = 1.000 ( 1 ,15 ) F = 1.150,00 F = P (1 + i ) n F = 1.000 ( 1 +0,1 )1,5 F = 1.000 ( 1 ,15368 ) F = 1.153,68


19


1- Apliquei R$ 4.200,00 no BANCO VITORIOSO S/A a 2,8% ao mês, por 2 meses e 19 dias, juros compostos.

Quanto vou resgatar?

FV=

2- A INDUSTRIAL BARULHENTA tomou um Capital de Giro no Banco Lindão. No vencimento, pagou, R$ 25.906,84.

O prazo da operação foi de 3 meses. A taxa de juros compostos foi de 5,60% ao mês.

Qual o valor do empréstimo? PV=

A partir de Janeiro de 1998, adotou-se uma nova forma de cálculo para o custo do

dinheiro; a taxa OVER ANUALIZADA, que posteriormente substituiu por completo a taxa

Over mensal. Sua característica é ser efetiva considerando-se 252 dias úteis (RESERVAS

ou SAQUES). Na verdade, aufere-se o custo efetivo do dinheiro nos dias úteis referente ao

prazo da operação e calcula-se a equivalente anual com 252 saques.

Exemplo: A Industrial Kamikaze aplicou em CDB pelo prazo de 50 dias com 35 saques, a

uma taxa OVER ANUALIZADA de 16,50%. Qual será a taxa efetiva no período?

Resolução: Através do conceito de fator de capitalização

(16,50% ÷ 100) + 1 = (1,1650 ) 35/252 = 1,021438 resultando numa taxa efetiva de

2,1438% para o período (50/35).

Taxa Over Anualizada


20


1- Julia aplicou R$ 14.600,00 à taxa de 13,8% ao ano, juros compostos,por 58 reservas. Qual o valor do resgate bruto?

2- Susan emprestou uma grana para sua prima a uma taxa de 5,4% ao trimestre, juros compostos, por 8 meses e 12 dias. O valor bruto de resgate

foi de R$ 7.878,85. De quanto foi o empréstimo?

3- Meg aplicou R$ 26.600,00 em CDB a 14%a.a (taxa over anualizada/Selic) no dia 3/10/2201 para resgatar no dia 12/02/2001.

a) Qual o prazo da operação em dias corridos? E em reservas?

b) Qual o valor bruto de resgate?

c) Qual o rendimento bruto?

d) Qual o valor de IR (alíquota 20%)

e) Qual o valor de resgate líquido?

4- A Industrial Strong tomou um capital de giro no Banco TQBRAY. No vencimento, pagou R$ 25.906,84. O prazo da operação foi de 3 meses. A taxa de juros

compostos foi de 5,60% ao mês. Qual o valor do empréstimo?

5- Quanto a LOJA Audaciosa deve aplicar a juros compostos de 46% ao ano (Taxa Over) para juntar o montante de R$ 2.332,78 em 100 dias úteis?


21

6- A CIA. Alto Astral aplicou R$ 2.500,00 por 37 dias, a juros compostos. Resgatou, no vencimento, R$ 2.620,34. Qual a taxa percentual ao ano (over)?

7- A CIA. do Mel financiou uma venda de R$ 1 milhão a uma taxa trimestral de 18% num prazo de 10 meses e 20 dias. Quanto recebeu no vencimento?

8- A Empresa Blue Sky aplicou em CDB por 1.250 reservas e seu capital dobrou. Qual a taxa percentual ao ano?

9- Marcela pagou o seguro de seu automóvel financiado. O prazo da operação correspondeu a 66 dias úteis e os juros a 10% do valor principal.

Qual a taxa Over anual equivalente dessa operação?

10- Sofia aplicou R$ 40.000,00 em CDB por 26 dias úteis. Os juros líquidos foram de R$ 444,33. Qual a taxa Over anual da operação?

11-A CIA.LUMINOSA pagou uma duplicata com atraso de 25 dias e os juros de mora foram de R$ 112,50.

A credora cobrou juros simples a 4,5% ao mês. Se fossem juros compostos, qual seria a diferença? Comente!


22

Taxas de Juros

Taxas Efetivas: São aquelas em que o período de tempo de referência da taxa de

juros coincide com a unidade de tempo do período de capitalização.

EX: 6% a.a capitalizados anualmente ; 0,5% a.m capitalizados mensalmente.

Neste caso, podemos omitir o período de capitalização: 6% a.a ; 0,5% a.m .

Taxas Nominais: São aquelas em que o período de tempo de referência da taxa de

juros não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização.

EX: 24% a.a capitalizados mensalmente; 12% a.s capitalizados bimestralmente.

Neste caso não podemos omitir o período de capitalização. Taxas Proporcionais: São aquelas que ao serem aplicadas sobre o mesmo principal, no

mesmo intervalo de tempo produzem o mesmo montante no regime de Juros Simples (ou

seja, é uma relação entre taxas).

EX: 120% a.a = 60% a.s =10% a.m Obs.: Taxas proporcionais são na realidade uma relação entre taxas nominais, definidas

abaixo, a partir da fórmula geral dos juros simples: F = P (1 + i . n) .Observe que a taxa

de juros ( i ) está presa somente ao período( n ); por isso teremos:

ia = im . 12 = it . 4 = is . 2 = id . 360

Exemplo: Transforme im = 5% a.m em uma taxa nominal anual:

ia = im . 12 ia = 0,05 . 12 ia = 60% a.a


23

Taxas Equivalentes: São aquelas que ao serem aplicadas sobre o mesmo principal, no

mesmo intervalo de tempo produzem o mesmo montante no regime de Juros Compostos

(ou seja, é uma relação entre taxas).

EX: 213,84% a.a = 77,16% a.s = 10% a.m Obs.: Taxas equivalentes são na realidade uma relação entre taxas efetivas, definida

abaixo, a partir da fórmula geral dos juros compostos: F = P ( 1 + i ) n .Observe que a

taxa de juros ( i ) agora está presa ao parênteses ( 1 + i ) n ; por isso teremos:

( 1 + ia ) = ( 1 + im )12 = (1 + it )4 = (1 + is )2 = ( 1 + id )360

Exemplo: Transforme 5% a.m em uma taxa efetiva anual:

(1 + ia ) = ( 1 + im )12 (1 + ia ) = (1 + 0,05 )12 ia = (1,05)12 - 1 = 80% a.a.

Fórmula geral para cálculo de Taxas Efetivas: (Macete)

iQ = [( 1 + iT ) n Q / n T ] - 1

Onde: iQ = Taxa que eu Quero

iT = Taxa que eu Tenho n T = Período ( em dias ) da taxa que eu Tenho n Q = Período ( em dias ) da taxa que eu Quero

OU FATOR Q/T

(1 + i ) Q/T


24

1) MANDUCA aplicou em CDB por 21 dias úteis. A taxa foi de 17,80% a.a. a) Qual a taxa bruta de ganho no período? b)Qual a taxa líquida (alíquota de 20%)? Na HP-12c:

a) b)

2) LINA aplicou em CDB por 26 reservas e teve um ganho líquido de 0,98% no período.

a) Qual a taxa bruta do período(alíquota de 20%)?

b) Qual a taxa equivalente anual?

Na HP-12c: a) b)

Equivalência Aplicada ao “CDB”


25

Ora, às vezes, está arredondado por excesso, pois a HP-12c não lê “n” fracionário (quando resposta).

Então, ao buscar “n” você deve usar uma taxa diária equivalente

para evitar erro de aproximação no prazo.

Exemplo:

A CIA.EXEMPLAR tomou um empréstimo de Capital de Giro no montante de R$ 45.000,00, a juros compostos.

Pagou, no vencimento, o montante de R$ 50.836,55. A taxa anual de juros compostos foi 84%.

Qual o prazo da aplicação?

Se você fizer:

45000 CHS PV 50836,55 FV

84 i 85 n ?

A resposta será: “ 1” (?) ano.

Mantenha o PV e o FV e transforme a taxa anual em equivalente diária. Registre-a na memória “ i ”.

1,84 ENTER 360 1/x Yx 1 - 100 x i

Pergunte o “ n ” : n ? A resposta será 72 dias !

O caso do ‘n’ na HP-12c

Na HP-12c, o "n", quando resposta é sempre inteiro!


26

É uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, exigíveis em épocas pré-determinadas, destinados a extinguir uma dívida ou a constituir um capital. O Termo de uma série é cada um dos pagamentos ou recebimentos (PMT- Periodic payment) que compõem uma série. Classificação das Séries: 1) Quanto ao valor dos termos, podem ser:

. constantes ( uniformes ) – quando os termos são iguais

. variáveis ( não uniformes ) – quando os termos não são iguais entre si. 2) Quanto á periodicidade, podem ser:

. periódicas – quando o intervalo de tempo entre pagtos / recebtos consecutivos é constante.

. não periódicas – quando o intervalo de tempo entre pagtos / recebtos consecutivos não é constante.

3) Quanto ao número de termos, podem ser:

. temporárias – quando o número de termos for finito.

. perpétuas – quando o número de termos for infinito, ou indeterminado.

4) Quanto à forma de pagamento ou de recebimento: . imediatas – quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período . diferidas – quando. o 1° pagto/recebto só é efetuado após determinado período de carência.

Séries Uniformes Postecipadas (END) – Quando os pagamentos são nos finais dos

períodos. (quando a série começa um período após o valor presente e termina no mesmo período do valor futuro) F P 1 4 meses 0

Séries Uniformes Antecipadas (BEGIN) – Quando os pagamentos são nos inícios dos períodos. (quando a série começa no mesmo período do valor presente e termina um período antes do valor futuro) F P 3 meses 0 4

Séries de Pagamentos / Recebimentos ou Renda Certa


27

Exemplo: Cristiane comprou uma geladeira na Loja Brilhante nas seguintes condições:

R$ 320,00 de entrada mais 3 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 400,00. À vista, pagaria R$ 1.320,00. Qual a taxa mensal de juros praticada pela loja?

Uma das raízes é “0,097” ou 9,70%, isto é, i = 9,70% ao mês.

☺ Resumindo: As séries mais utilizadas são as Séries Uniformes

⌦ Na H.P passaremos a utilizar a tecla PMT

onde colocaremos o valor das prestações da série.

400,00 (1+i) +

400,00 (1+i)2 +

400,00 (1+i)3 = 1.000,00

1.000,00

0 1 2 3

400,00 400,00 400,00

f FIN

g END

1000 PV

400,00 CHS PMT

3 n

i ? “9,70%”

limpeza dos registradores financeiros

identificando uma série uniforme postecipada

registrando o valor financiado

registrando a prestação mensal

registrando o número de pagamentos mensais

perguntando a taxa mensal


28

Começaremos a demonstração pelo cálculo do Principal (P); as demais derivam desta. P P 1 n ou 1 2 3 ..... n 0 PMT meses PMT meses Se P = F , então: P = PMT + PMT + PMT + .......... PMT ( 1+i )n ( 1+i ) ( 1+i )2 ( 1+i )3 ( 1+i )n P = PMT 1 + 1 + 1 + .......... 1 *** ( 1+i ) ( 1+i )2 ( 1+i )3 ( 1+i )n

Obs.: Os termos entre colchetes são uma P.G de n termos com razão = 1

(1 + i ) Somatório dos termos de uma P.G: ∑ = a 1 − a n . q 1 − q 1 − 1 . 1 1 1 − 1 1 (1+ i ) n

− 1 ∑ = (1+ i ) (1+ i )n (1+ i ) (1+ i ) (1+ i ) n

(1+ i ) (1+ i ) n 1 − 1 1 + i − 1 i (1+ i ) 1 + i 1 + i 1 (1+ i ) n

− 1 (1+ i ) n − 1

(1+ i ) (1+ i ) n (1+ i ) n (1+ i ) n

− 1 Substituindo em *** , teremos : i . 1 i i . (1+ i ) n 1 + i P = PMT (1+ i ) n

− 1 então, dado o Principal a Prestação será PMT = P i . (1+ i ) n i . (1+ i ) n (1+ i ) n

− 1 ⌦ Obs.: Vejamos agora a substituição na fórmula do Montante : F = P ( 1 + i ) n , então: F = PMT (1+ i ) n

− 1 ( 1 + i ) n F = PMT (1+ i ) n − 1

i . (1+ i ) n i então, dado o Valor Futuro (Resgate / Montante) a Prestação será PMT = F i (1+ i ) n

− 1

Dedução da Fórmula Geral para Séries Uniformes:


29

P = PMT (1+ i ) n − 1 (1+ i ) n

− 1 = (1+ i ) n − 1

i . (1+ i ) n i . (1+ i ) n i . (1+ i ) n i . (1+ i ) n

= 1 − 1 = 1 1 − (1+ i ) - n = 1 − (1+ i ) - n

i i . (1+ i ) n i i

P = PMT 1 − (1+ i ) – n PMT = P i

i 1 − (1+ i ) – n F = PMT (1+ i ) n - 1

PMT = F i i (1+ i ) n - 1

Simplificando a Fórmula Geral de Séries Uniformes:


30


1) A Loja Castelo do Lar está vendendo televisores nas seguintes condições: à vista R$ 800,00 ou a prazo, 3 prestações mensais de R$ 300,00,a 1ª a 30 dias.

Qual a taxa mensal de juros que a Loja está praticando?

2) A casa Kremlin está vendendo forno microondas nas seguintes condições: à vista por R$ 700,00 ou em 3 prestações mensais de R$ 250,00, a 1ª no ato.

Qual a taxa mensal utilizada?

3) O BANCO TAQUARA S/A lançou um tipo de captação muito interessante: se você fizer 4 aplicações mensais e sucessivas de R$ 500,00, sempre na mesma data,

no dia em que fizer a 4ª aplicação, o seu saldo será de R$ 2.100,00. Qual a taxa mensal que o Banco remunera o aplicador?

4) O BANCO FREGUESIA S/A querendo competir com o TAQUARA, lançou uma captação prefixada programada: se você fizer 5 aplicações de R$ 400,00,

mensais e sucessivas, sempre na mesma data, um mês após a última aplicação o seu saldo será de R$ 2.200,00. Qual a taxa mensal utilizada?


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5) A FÓRMULA 1 MOTOCICLETAS está com uma promoção muito interessante:

uma entrada de R$ 400,00 mais 6 prestações mensais de R$ 520,00. Como se pratica a taxa mensal de 7%, qual o preço da motocicleta à vista?

6) ÂNGELA comprou um automóvel pagando da seguinte forma: uma entrada de R$ 6.000,00,

a 90 dias do contrato R$ 3.000,00; mais 6 prestações mensais de R$ 1.917,74, a 1ª. a 120 dias do contrato.

A taxa mensal de juros foi 5%. Qual o valor do automóvel à vista?

7) A Cia. Aérea SANTA CRUZ está fazendo uma promoção nas passagens para o Pantanal: à vista com desconto de 10 % ou em 4 prestações mensais e iguais, sem acréscimo,

a 1ª. no ato. Que taxa mensal de juros estão praticando?

8) A FELIZTUR está fazendo uma promoção para viagens regionais: -à vista com desconto de 30% ou

- com acréscimo de 20%, -em 3 prestações mensais iguais,

-a 1ª. no ato do contrato. Que taxa mensal estão praticando?


32

Séries não Uniformes

a) Exemplo de uma série variável, periódica, temporária, imediata e postecipada: Um empréstimo foi contratado à taxa de juros de 5% ao mês e vai ser pago da seguinte forma: - 1ª prestação, um mês após a assinatura do contrato, no valor de R$ 70.000,00; - 2ª prestação, no 2º mês após a assinatura do contrato, no valor de R$ 90.000,00; - 3ª prestação, no 3º mês, após a assinatura do contrato no valor de R$ 60.000,00; - última prestação, no 4º mês, após a assinatura do contrato no valor de R$ 80.000,00.

Como calcular o valor do empréstimo contratado?

Trazemos os valores futuros para um valor atual, ou seja, descapitalizamos os termos trazendo-os um de cada vez, para a época zero e depois somamos os valores obtidos. P = ? i = 5% a. m. 1 2 3 4 meses 0 60.000 70.000 80.000 90.000 P = 70.000 + 90.000 + 60.000 + 80.000 (1 + 0,05)1 (1 + 0,05)2 (1 + 0,05)3 (1 + 0,05)4

P = 66.666,67 + 81.632,65 + 51.830,26 + 65.816,20 P = 265.945,78

⌦ Na H.P faremos da seguinte forma: ( Pelo Cash-flow )

f [ Fin ] 5 [ i ] 0 [g ] [ Cfo ] 70.000 [g ] [Cfj ] 90.000 [g ] [Cfj ] 60.000 [g ] [Cfj ] 80.000 [g ] [Cfj ] f [ NPV ] NPV = 265.945,77


33

Séries não Uniformes b) Exemplo de uma série variável, periódica, temporária, diferida e postecipada: Como calcular o valor do empréstimo contratado à taxa de juros de 3% a.m., que vai ser pago da seguinte forma: - uma parcela, dois meses após a assinatura do contrato, no valor de R$ 30.000; - uma parcela, três meses após a assinatura do contrato, no valor de R$ 40.000; - nos meses subseqüentes parcelas de: R$ 20.000 / R$ 35.000 / R$ 55.000 / R$ 65.000; - duas parcelas sem pagamento e uma última parcela de R$ 20.000.

Faremos como exemplo anterior. P = ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses 0 20.000 20.000 30.000 35.000 40.000 i = 3% a. m. 55.000 65.000 P = 30.000 + 40.000 + 20.000 + 35.000 + 55.000 + 65.000 + 20.000 (1 + 0,03) 2 (1 + 0,03) 3 (1 + 0,03) 4 (1 + 0,03)5 (1 + 0,03) 6 (1 + 0,03)7 (1 + 0,03)10 P = 28.277,88 + 36.605,67 + 17.769,74 + 30.191,30 + 46.061,63 + 52.850,95 + 14.881,88 P= 226.639,05 ⌦ Na H.P faremos da seguinte forma: ( Pelo Cash-flow )

f [ Fin ] 3 [ i ] 0 [g ] [ Cfo] 0 [g ] [ Cfj ] 30.000 [g ] [ Cfj ] 40.000 [g ] [ Cfj ] 20.000 [g ] [ Cfj ] f [ NPV ] NPV = 226.639,05 35.000 [g ] [ Cfj ] 55.000 [g ] [ Cfj ] 65.000 [g ] [ Cfj ] 0 [g ] [Cfj ] 2 [g ] [ Nj ] 20.000 [g ] [ Cfj ]


34


1) A FINANCEIRA TIGRE opera CDC a uma taxa mensal de 8% utilizando vários planos. Analisemos um financiamento de R$ 10.000,00 em 6 meses.

1ª hipótese: 6 prestações mensais e iguais. 2ª hipótese: 6 prestações mensais de R$ 1.700,00 e duas prestações intermediárias

(balões) no 3° e 6° meses.


35

Métodos de Análise de Investimentos

Valor Presente Líquido (NPV) e Taxa Interna de Retorno (IRR ).

Um dos métodos de análise de investimentos ou projetos é o método do Valor Presente

Líquido (VPL ou NPV-net present value), é uma medida fundamental para a avaliação de investimentos. Consiste na comparação dos valores presentes líquidos, ou seja, avaliar o aumento/redução de riqueza proporcionado por um investimento. A operação que consiste em trazer valores futuros para o valor presente ou atual dá-se o nome de desconto de fluxo de caixa, e quanto maior a taxa de juros envolvida menor será o valor atual, pois as grandezas futuras terão descontos maiores. O objetivo deste item é o de introduzir o conceito de valor atual ou valor presente de um fluxo de caixa. Isto será alcançado através do seguinte exemplo: ⌦ Uma distribuidora está oferecendo uma taxa de 2% a.m. para os seguintes papéis de sua carteira:

Prazo até o resgate Valor de resgate 3 meses 1.000,00 6 meses 2.000,00 9 meses 3.000,00

Um investidor deseja comprar os três papéis dentro das condições oferecidas. Qual será o valor do cheque que ele deverá entregar a distribuidora, para fechar a operação? Solução: O valor de compra do papel com prazo de 3 meses para resgate será:

p1 = 1.000,00 / ( 1 + 2% )3 = 942,32 O valor de compra do papel com prazo de 6 meses para resgate será:

p2 = 2.000,00 / ( 1 + 2% )6 = 1.775,94 O valor de compra do papel com prazo de 9 meses para resgate será:

p3 = 3.000,00 / ( 1 + 2% )9 = 2.510,27

Como o investidor vai comprar os três papéis, o valor de seu cheque será de: Resposta: P1 + P2 + P3 = 5.228,53 O resultado R$ 5.228,53 é o valor atual (NPV) para uma taxa de 2% a.m. do fluxo de caixa formado por R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, daqui a 3, 6 e 9 meses respectivamente. ⌦ Na H.P faremos da seguinte forma: ( Pelo Cash-flow ) f [ Fin ] 2.000 [g ] [Cfj] 2 [ i ] 0 [g ] [ Cfj] 0 [g ] [ Cfo] 2 [g ] [ Nj] 0 [g ] [ Cfj ] 3.000 [g ] [Cfj ] 2 [g ] [Nj ] 1.000 [g ] [Cfj ] f [ NPV ] NPV =5.228,53 0 [g ] [ Cfj ] 2 [g ] [Nj ]


36

Taxa Interna de Retorno (IRR)

Outro método de análise financeira é o método da taxa interna de retorno (TIR) que consiste em encontrar a taxa de juros que anula o valor atual, ou seja, iguala os valores futuros ao valor presente. Uma vez determinada a TIR comparamos com a taxa mínima de atratividade (TMA) que é aquela adotada como mínima para tornar viável um projeto ou investimento. Caso a (TIR) seja menor que a (TMA) o projeto é dito inviável e caso sejam iguais a escolha será indiferente. -EX.: Calcular o valor atual (NPV) e a taxa interna de retorno (TIR) do fluxo de caixa abaixo que representa um empréstimo bancário. Considerar como taxa mínima de atratividade(TMA) 8% a.m. 0 85.000 meses 1 10 500.000 ⌦Teremos que determinar a TIR por métodos interativos (tentativa e erro) , então:

TIR VA 0% -350.000,00 5% -156.348,46

* 10% - 22.288,20 * 12% + 19.731,04

15% + 73.404,67

Obs.: A TIR encontra-se entre 10% e 12% pois é neste intervalo que o valor atual(NPV) é anulado.

Faremos agora uma aproximação razoável interpolando linearmente entre esses pontos: V.A 73.404,67 x = 22.228,20 2 - x 19.731,04 +19.731,04 (19.731,04) . x = 22.288,20 (2-x) 10 12 i 19.731,04 x = 44.456,40 - 22.288,20 x 42..019,24 x = 44.456,40

-22.228,20 x = 44.456,40 x 2 - x 42.019,24 x = 1,058001 - 350.000 Taxa interna de retorno (TIR) = 10 + x = 10 + 1,058001 = 11,58001 Resultado muito próximo do valor real que é 11,027882% (calculado através do cash-flow da H.P). Este desvio(≅ 0,03%) diminuirá conforme usarmos valores mais próximos nas tentativas iniciais. Atualmente é fácil obter o valor correto da TIR com o auxílio de calculadoras financeiras. O processo através do cash-fluw é o mesmo utilizado no cálculo do valor atual (NPV); apenas não entramos com a taxa (pois é objeto do nosso cálculo), agora descobriremos o Valor Atual no nício do fluxo de caixa.


37


1) Os sócios da CIA. DE AVENTURAS estão analisando um projeto cuja vida útil é 3 anos. O investimento inicial é de US$ 420.000. Analisemos o FLUXO DE CAIXA:

A taxa interna de retorno do projeto é: ______________.

Se as oportunidades de aplicação no mercado internacional, remuneram a 12,81% a.a., o projeto é viável? Por quê? Para que a IRR fosse igual à taxa de mercado, o investimento inicial deveria ser de ___________________ dólares.

2) JENNIFER e GRACE contrataram a maior e melhor empresa de consultoria, DS CONSULTORIA e TREINAMENTO para o estudo de viabilidade de um projeto

cuja vida útil é de 4 meses. O investimento inicial é de R$ 80.000,00.

a) Qual a taxa interna de retorno (IRR)? b) Se o investimento inicial fosse de R$ 84.000,00, qual seria a IRR? c) E se além disso, o saldo líquido de caixa do 1º mês fosse de R$ 18.200,00, qual seria a nova IRR ?

ANO ENTRADAS SAÍDAS SALDOS LÍQUIDOS

1 338.000 176.000 2 370.000 190.000 3 395.000 230.000

0 1 2 3

MÊS ENTRADAS SAÍDAS SALDOS LÍQUIDOS

1 34.000 20.000 2 48.500 25.000 3 52.800 29.300 4 73.950 43.500

0 1 2 3 4


38

ATIVIDADES COMPLEMENTARES


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Exercícios:

Cálculos em cadeia

1) X = ( 6,48 - 4,23 ) x ( 8,45 + 0,06 ) 11) ( 1 + 0,45 )12 1,63

2) X = [ ( 1 + 45 ÷ 100 ) x 10 ] - 4 12) ( 1,48 ) -5

48 ÷ 100

3) X = 50.000 ( 4,30 x 3 ) - 1 13) ( 1 + 48 ÷ 100 ) 1/22

4,30 x 3 x 0,50

4) X = 1.000 10 - 3,68 x ( - 2 ) 14) √ ( 1 + 0,38 ) 3

0,68

5) X = 3.890 15) 2 0√ 1,789 69 1 ÷ 0,25

6) X = 1 16) 1,654 1 / 360 ( 8 - 20 ) + ( 35 - 23 )

7) X = ( Log 3 ÷ Log 2 ) x 2,31/42 17) √ ( 3 + 6,15 ) - 3 / 11

( LN 5 x LN 7 ) ÷ 7,34 2/5

22 8) X = ( ( 10790 ÷ 100 ) - 1 )30/360 18) √ 50 ÷ 3.000 + 1

3 x [2 x (8 + 6) -15 ] 19) Log 3 10

9) X = 2 x (4 – 1)

10) X = 5 x [(3 ÷ 4) - (5 ÷ 2) + (4 x 3)] 20) LN 25 3 x 0,28


40

Exercícios:

1) Calcular 15% de R$120,00.

2) Calcular 8% deR$1.500,00.

3) Uma geladeira teve seu preço reajustado de R$120,00 para R$150,00. Qual

o percentual de aumento?

4) Na compra de um equipamento foram pagos, no 1° semestre, os valores

abaixo em milhões de R$. Pergunta-se qual o percentual mensal do total gasto

em cada mês:

Jan – 350 / Fev – 300 / Mar – 450 / Abr – 550 / Mai – 950 / Jun – 900

5) Um comerciante deseja lucrar 35%. Por quanto deverá vender uma

mercadoria que lhe custou R$ 43,00?

6) Uma televisão teve seu preço aumentado em 25% e está sendo vendida por

R$ 500,00. Qual era o seu preço antigo?

7) Calcular a variação do Dólar no mercado de cambio, saindo de R$ 1,80,

chegando a R$ 2,00 e posteriormente recuando para R$ 1,80.

8) No mês de dezembro uma empresa exportou U$ 5,5 milhões. Deste total U$

3,3 milhões foram para os EUA, e o restante para EUROPA. Qual o percentual

exportado respectivamente?

9) Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% ao

mês,respectivamente, qual a inflação acumulada nesse trimestre?

10) Um carro custa R$ 15.280,00, se o vendedor lhe concede um desconto de

15% e existe um imposto de 1,5% sobre o preço de venda.Calcular os valores

de desconto e valor do carro?


41

Juros Simples e Desconto Bancário

1) Calcule os juros auferido em uma aplicação de R$ 500,00 a 60 % a.a., pelo prazo de 8 meses.

2) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 2.000,00 à taxa de 27 % a.s., pelo prazo de 9 meses. 3) O resgate de um capital foi R$ 8.000,00. Esse capital foi aplicado à taxa de juros simples de 6 % a.m, pelo prazo de 67 dias. Determine o valor aplicado.

4) Um determinado capital aplicado a juros simples rendeu R$ 580,00. Determinar o valor aplicado se a taxa negociada foi de 3,7 % a.m. no prazo de dois meses.

5) Uma aplicação de R$ 700,00 teve um resgate de R$ 1.900,00 após 235 dias. Determinar a taxa mensal dessa aplicação, considerando juros simples.

6) Um capital de R$ 800,00 é aplicado a juros simples de taxa igual a 50 % a.a. Após quanto tempo os juros auferidos formam a uma quantia igual ao capital inicialmente aplicado?

7) Quantos períodos são necessários para triplicar um capital, a juros de 10 % a.p?

8) Qual a taxa mensal de juros simples que aplicada sobre R$ 430,00 tem como resgate R$ 820,00 no prazo de 4 meses ?

9) Uma empresa descontou num Banco uma NP com prazo de 45 dias à taxa de 3,5% a.m . Calcule o valor da NP se a empresa recebeu um crédito de R$ 473.750,00.

10) Um comerciante deseja trocar um título de R$ 200,000,00 com vencimento em 40 dias. Um amigo oferece R$ 187.000,00 à vista, se for desconta-lo no Banco encontrará um taxa de 4,5 % a.m. Qual a melhor opção?

11) Para quitar uma dívida de R$ 92.500,00 uma locadora descontou uma NP de 60 dias. Calcule o valor do título se o Banco opera à taxa de 3,75% a.m.

12) Um posto de gasolina descontou uma duplicata 55 dias antes do seu vencimento com valor de R$ 150.000,00. Se o valor creditado em sua conta corrente foi R$ 138.862,50. Calcule a taxa mensal negociada.

13) Um título foi descontado 50 dias antes do seu vencimento por R$ 95.000,00. Se a taxa negociada foi de 3,0% a.m. Calcule o valor nominal do título.


42

Juros Compostos

1) Quais os juros que um capital de R$ 3.000,00 aplicado a taxa de 2,3 % ao mês,

proporcionará ao final de três anos?

2) Você recebeu uma proposta para investir hoje R$ 5.000,00 para resgatar R$ 7.500,00

dentro de 8 bimestres; qual a taxa de rentabilidade bimestral implícita no investimento ?

3) Quanto você deve investir hoje para resgatar R$ 150.800,00 em 2 anos à taxa de 2,4

% ao mês ?

4) Quanto tempo é necessário para transformar um capital inicial de R$ 2.000,00 em R$

4.800,00 a juros de 8,5% ao trimestre ?

5) O montante de uma aplicação é R$ 18.000,00. Sabe-se que a taxa é de 29% ao ano e

o prazo de 4 anos e seis meses; determinar o principal dessa aplicação.

6) Um investidor aplicou R$ 1.250,00 em um CDB de 90 dias. O valor de resgate bruto foi

de R$ 1.438,00. Qual a taxa mensal implícita nesta operação?

7) Determinar o montante ao final de 10 meses, resultante de uma aplicação de R$

2.300,00 à taxa de 2,9 % ao mês.

8) Os juros de R$ 650,00 foi o resultado de uma aplicação com taxa de 2,7 % a.m no

prazo de 5 meses. Determine o valor aplicado.

9) A que taxa de juros, um capital aplicado poderá ser resgatado pelo dobro do seu valor

após 4 meses.

10) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado durante 12 meses em 3 tipos de aplicações.

Durante os primeiros 3 meses obteve um rendimento total de 6,2 %, nos 5 meses

seguintes totalizou 10,75 % e após completar o prazo, o investidor resgatou R$

19.170,00. Calcule a taxa de rendimento do último período da aplicação.


43

Séries Uniformes

1) Quanto um investidor deve oferecer por uma série de 20 títulos mensais no valor de R$

800,00 cada, para auferir uma rentabilidade de 2,8% a.m. ?

2) Para uma taxa de juros composta de 3,5% a.m., determinar o valor principal de 25

pagamentos mensais de R$ 700,00, sendo o primeiro vencimento para hoje.

3) Determinar o valor da prestação mensal, que em 18 meses amortizará um empréstimo

de R$ 8.500,00 para uma taxa de juros composta de 5,8% a.m.

4) Uma coleção de livros é vendida em 6 pagamentos mensais, sendo o primeiro no ato

da compra. Se a coleção custa R$ 2.300,00, determine o valor do pagamento mensal,

para uma taxa de 5,2% a.m.

5) Uma empresa efetivou cinco depósitos mensais, iguais e sucessivos em uma instituição

financeira que remunera seus depósitos a taxa de 3,1% a.m. Em 30.12.XX o total

acumulado por essa empresa através desses depósitos era de R$ 85.000,00.Admitindo

que todos os meses tem 30 dias, determinar o valor dos depósitos mensais nas seguintes

hipóteses:

A) O primeiro depósito foi efetuado em 30.01.XX

B) O primeiro depósito foi efetuado em 30.05.XX

6) Quanto acumulará um investidor no final de 12 meses, se depositar a partir

de hoje R$ 180,00 por mês em uma instituição que pague juros de 3,4% a.m?

7) Quanto um investidor deve depositar mensalmente durante 36 meses a

partir de hoje, para dispor de R$ 85.000,00 no final de 3 anos, se os depósitos

são remunerados a taxa de 3,6% ?

8) Quanto resgatará um investidor no final de três anos e meio se fizesse a

partir de hoje, 30 depósitos mensais de R$ 540,00 em uma instituição que

remunera à taxa de 3,1% a.m.?


44

9) Se uma pessoa deseja acumular a quantia de R$ 20.000,00 ao final de 24

meses, quanto ela deve depositar mensalmente, a partir de hoje, em uma

instituição que pague uma taxa de 2,3% a.m. ?

10) Um empréstimo de R$ 30.000,00 é financiado em 12 prestações mensais,

vencendo-se o primeiro pagamento no final do primeiro mês com uma taxa de

5,9% a.m. Determine o valor do pagamento mensal.

11) Um cidadão ao comprar um automóvel resolveu pagá-lo em 24 prestações

mensais iguais e consecutivas sem entrada. Sabendo-se que o preço do

automóvel à vista é de R$ 17.000,00 e que a taxa de juros cobrada pela

financiadora é de 4,1% a.m,calcule o valor das prestações desse automóvel. .

12) Um cidadão comprou em 5 prestações mensais iguais com entrada, uma

geladeira que custava R$ 1.250,00 à vista. Sabendo-se que a taxa de juros

cobrada pela financiadora foi de 5,9% ao mês, qual o valor da prestação?

13) Quanto terei que depositar nos próximos 12 meses para obter ao final

deste período R$ 3.000,00 à taxa de 2,1% ao mês?

14) Comprei uma máquina e vou pagá-la em 2 anos em prestações bimestrais.

Qual o valor destas prestações sabendo-se que o valor da máquina hoje é R$

82.000,00, e a taxa de juros cobrada é de 4,9% a.m?

15) Calcule o valor de um empréstimo que deve ser liquidado em 1 ano, com

os seguintes critérios:

*duas prestações semestrais com taxa de 5,8% a.m.

* valor das prestações: R$ 3.500,00.

16) O multiplicador de uma loja é 0,308669 (p/mês) para cada R$ 1,00 financiado no

prazo de 4 meses. Quanto uma pessoa pagará por mês ao comprar um bem cujo valor

seja de R$ 1.940,00? Determine também a taxa mensal dessa operação.

17) Desejando se aposentar com uma quantia de R$ 2.000.000,00. Quanto essa pessoa

deverá depositar por mês, se o seu objetivo é de se aposentar em 35 anos?


45

Operações Mistas

1) Seja um equipamento industrial no valor de R$ 6.500,00 financiado em 24 prestações

mensais de R$ 300,00 mais um pagamento intermediário no décimo quinto mês. Sabendo-

se que a taxa é de 2 % a.m., qual será o valor dessa cota intermediária ?

2) Por quanto poderei comprar hoje um terreno, sabendo-se que para pagá-lo terei R$

120,00 nos próximos 24 meses, e mais R$ 200,00 no terceiro mês e R$ 300,00 no décimo

segundo mês para uma taxa de 5% a.m.?

3) Comprei um apartamento e vou pagá-lo em 80 prestações de US$ 1,000.00 mais uma

parcela de US$ 5,000.00 no décimo mês e outra de US$ 8.000,00 no trigésimo mês. Qual

será o valor deste imóvel hoje, sabendo-se que a primeira prestação eu só pagarei no

oitavo mês e a taxa negociada foi de 2% a.m.?

4) Um estudante comprou livros no valor de R$ 500,00. Pagou R$ 70,00 à vista e

comprometeu-se a pagar R$ 270,00 no final do sexto mês e o restante no final do décimo

segundo mês. Qual o valor do último pagamento se o livreiro cobra uma taxa composta de

4,8% ao mês?

5) Ao vender seu automóvel cujo preço de mercado era R$ 7.000,00, o proprietário

recebeu as seguintes propostas abaixo. Analise-as e opte pela mais vantajosa.

a) Receber R$ 6.800,00 à vista.

b) R$ 2.400,00 de entrada, mais 2 parcelas de R$ 2.350,00 (15 e 30 dias ).

c) 3 parcelas mensais de R$ 3.000,00 sem entrada .


46

6) Um empréstimo de R$ 100.000,00 tomado por uma empresa para financiamento de

seu ativo permanente, será liquidado em 24 prestações mensais de R$ 8.658,78, após um

período de carência concedido pelo banco. Calcular este prazo de carência para uma taxa

de 3,8% ao mês.

7) Calcule o valor da prestação que liquida um empréstimo de R$15.000,00 em dez meses

sem entrada e sem pagamento no sexto mês, para uma taxa de 3,5% ao mês.

8) Um financiamento de R$10.000,00 a uma taxa de 5% ao mês foi liquidado da seguinte

forma: um mês após o recebimento do dinheiro foram pagos R$ 5.500,00 e dois meses

após esse pagamento a dívida foi liquidada. Qual foi o valor da última parcela?

9) Quanto pagarei de taxa de juros se financiar um bem que o lojista concede um

desconto de 8% para pagamento à vista e o aumenta em 4% para pagamento à prazo.

Forma de pagamento: duas parcelas sendo a primeira no ato?


47

Respostas dos Exercícios

Pg. 39 1) 11,75 6) ∃ 11) 86,38 16) 1,001399 2) 21,88 7) 1,15 12) 0,14 17) 0,74 3) 92.248,06 8) 1,48 13) 1,02 18) 1,000752 4) 25.529,41 9) 6,50 14) 1,62 19) 2,10 5) 972,50 10) 61,01 15) 7,44 20) 3,22

Pg. 40

1) 18 2) 120 3) 25% 4) Jan:10% – Fev: 8,57% – Mar: 12,86% – Abr: 15,71% – Mai: 27,14% – Jun: 25,71% 5) R$ 58,05 6) R$ 400,00 7) 11,11% e -10% 8) 60% p/ EUA e 40% p/ Europa 9) 25,928% 10) Desconto: R$ 2.292,00 - Prç de venda: R$ 12.988,00 – Prç do carro: R$ 13.182,82

Exercícios de Juros Simples - pg. 41

1) j = R$ 200,00 2) F = R$ 2.810,00 8) i = 22,67% a.m 3) P = R$ 7.054,67 9) Vf = R$ 500.000,00 4) P = R$ 7.837,84 10) Banco: 6%; amigo: 6,5% Banco é melhor 5) i = 21,88% 11) Vf = R$ 100.000,00 6) n = 2 anos 12) i = 4,06% a.m 7) n = 20 per 13) Vf = R$ 100.000,00 Exercícios de Juros Compostos - pg. 42 1) j = R$ 3.802,12 6) i = 4,78 % a.m 2) i = 5,2 % a.b 7) F = R$ 3.061,13 3) P = R$ 85.349,78 8) P = R$ 4.561,74 4) n = 10,73 trimestres 9) i = 18,92 % a.m 5) P = R$ 5.722,93 10) i = 8,66 % p.p


48

Exercícios de Séries Uniformes - pgs. 43 e 44

1) PV = R$ 12.125,07 10) PMT = R$ 3.558,72 2) PV = R$ 11.940,86 11) PMT = R$ 1.126,42 3) PMT = R$ 773,28 12) PMT = R$ 279,45 4) PMT = R$ 433,50 13) PMT = R$ 222,42 5) PMT = R$ 12.903,76 e PMT = R$ 14.579,78 14) PMT =12.058,24 6) FV = R$ 2.702,25 15) PMT = 4.274,74 7) PMT = R$ 1.148,25 16) PMT = 598,82 e i = 9% a.m 8) FV = R$ 26.920,42 17) PMT = 1.403,79 9) PMT = R$ 619,45 Exercícios de Operações Mistas - pgs. 45 e 46 1) 1.111,45 2) 1.995,66 3) 43.118,30 4) 397,04 5) 9,23 % a.m 6) 9 meses 7) 1.999,17 8) 5.512,50 9) 30 % p.p

introduÇÃo ao uso da hp-12c...matemática financeira professor daniel souza 3 funÇÕes de limpeza...

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