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1. FICHA DE IDENTIFICAÇÃO _______________________________________________________________
Título: Introdução ao Estudo dos Poliedros na perspectiva da Educação
Matemática Realística
Autor: Marcos Paulo Sabião
Disciplina/Área: Matemática
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização:
C. E. Profª Lúcia Barros Lisboa
Município da escola: Londrina
Núcleo Regional de Educação: Londrina
Professor Orientador: Profª Drª Regina Luzia Corio de Buriasco
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Londrina (UEL)
Relação Interdisciplinar:
Resumo: Apresenta uma proposta de Intervenção
Pedagógica a respeito de Poliedros,
pautado na metodologia da Resolução de
Problemas na perspectiva da Educação
Matemática Realística – RME, de modo a
fundamentar uma proposta de prática
docente que ofereça aos estudantes a
oportunidade de elaborar conhecimentos
matemáticos por meio da reinvenção-
guiada.
Palavras-chave: Educação Matemática. Trajetória de
Ensino e Aprendizagem. Resolução de
Problemas. Poliedros.
Formato do Material Didático: Unidade Didática
Público: Alunos do 2º ou 3º anos do Ensino Médio
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2. APRESENTAÇÃO _______________________________________________________________
Caro(a) Professor (a)
É com grande satisfação e entusiasmo que compartilhamos com
você, profissional conectado com a realidade de nossos estudantes, uma
proposta para o ensino de Poliedros dentro dos princípios gerais da Educação:
aprender a conhecer, aprender a fazer, aprender a conviver e aprender a ser.
Esta Produção Didático-Pedagógica é voltada para alunos do
Ensino Médio e se preocupa em tornar o conhecimento matemático
“real/imaginável” na mente do aluno.
Assim, o papel central do processo de ensino-aprendizagem é
focado por um lado, no aluno, participante ativo na medida em que desenvolve
suas próprias ferramentas matemáticas, confronta soluções, verifica
regularidades, faça conjecturas, tira conclusões e, por outro lado, no professor
que acompanha toda a trajetória do aluno fazendo intervenções. Para isso, os
conceitos matemáticos aqui introduzidos por situações-problema são
trabalhados de maneira mais intuitiva, evitando o formalismo excessivo e
contribuindo para que o aluno perceba a aplicabilidade do conhecimento
matemático na resolução de problemas do mundo real.
As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste
trabalho serão sempre bem-vindas.
Cordialmente,
Marcos Sabião
“Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa
um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.”
Nicolai Lobachevsky
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3. PROCEDIMENTOS _______________________________________________________________
CONSTRUÇÃO DO CONTRATO DIDÁTICO
Tempo previsto: 02 aulas
Conteúdos:
- Contrato didático.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
Estabelecer regras atitudinais e comportamentais necessárias para o bom
desenvolvimento das tarefas em sala de aula.
Recursos:
Papel craft, canetas esferográficas coloridas e papel sulfite.
Um contrato didático (conjunto de regras atitudinais e
comportamentais constituídos de forma colaborativa) procura refletir e definir
responsabilidades e comportamentos, tanto do professor como dos alunos nas
práticas do dia-a-dia em sala de aula durante o processo de ensino e
aprendizagem. Nesse sentido, o contrato didático pode ser utilizado como
recurso para auxiliar no estabelecimento e na análise das relações entre o
professor, o aluno e o saber.
Estratégias de ações para a realização da tarefa:
1 – Inicialmente provoca-se uma conversa para apresentação da Unidade
Didática e, a seguir discute-se a necessidade da elaboração de um conjunto de
regras que deverão ser seguidas durante o trabalho. Os alunos podem ser
divididos em grupos (de 3 a 5 participantes) e estimulados a refletirem sobre
quais regras básicas devem ser adotadas para o bom funcionamento da
dinâmica em sala de aula. Num primeiro momento, os grupos anotam no sulfite
todas as ideias levantadas. O grupo deve escolher um representante para
apresentar as ideias elaboradas nessa discussão.
2 – Cada grupo apresenta as regras elaboradas por seus participantes e a
turma toda discute se a regra deve ser adotada para o contrato didático ou não.
As sugestões são anotadas no quadro negro e depois de toda a negociação do
contrato didático finalizada, estas regras poderão ser registradas no papel craft
que será fixado num lugar visível a todos dentro da sala de aula.
Sugestões do que poderiam ser incluídas nesse contrato didático:
a forma de relacionamento dos alunos dentro de sala de aula entre eles
e com o professor;
a garantia do direito de falar e de ouvir de cada uma das partes;
a distribuição de responsabilidades;
a determinação de prazos;
a utilização ou não do uso de determinados recursos.
TAREFA 1 – INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
..
Tempo previsto: 02 aulas
Conteúdos:
Introdução à Geometria Espacial: estudo dos sólidos geométricos.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Ampliar e aprofundar os conhecimentos de Geometria Espacial;
- Relacionar objetos tridimensionais aos sólidos geométricos.
Recursos:
Objetos tridimensionais do cotidiano e a folha de tarefa.
Estratégias de ações para a realização da tarefa:
1 – A turma deve ser dividida em grupos de 3 ou 4 alunos e receber um dos
objetos sugeridos na Figura 1 (ou outros objetos similares). O professor
entrega a tarefa solicitando aos grupos que respondam às questões.
Observando atentamente o objeto que seu grupo recebeu, responda às seguintes
questões:
a) O que é e para que serve esse objeto?
b) É possível observarmos formas retas e curvas nesse objeto? Quantas faces ele
possui?
c) Quais características desse objeto você pode associar com o conhecimento
matemático que você possui?
d) Existe algum modelo matemático que se assemelharia a este objeto ?
e) É possível fazer um paralelo entre os modelos matemáticos geométricos que
conhecemos com algum outro objeto do cotidiano? E com outros exemplos
das construções civis? E com elementos da natureza?
2 – O professor caminha pela sala observando a discussão de cada grupo e se
necessário, intervindo na interação entre os alunos, usando principalmente o
questionamento de modo a serem eles próprios a fazerem as conexões entre o
objeto na posse do grupo e um dos modelos matemáticos que possam
conhecer. Concomitantemente a esta ação, o professor deve também recolher
informações sobre as resoluções apresentadas por cada grupo, selecionando e
sequenciando as estratégias que serão utilizadas na plenária.
3 – Ao iniciar a discussão da tarefa (plenária) procurar criar um ambiente
propício à discussão, apoiando os alunos a explicarem suas ideias e
raciocínios com a maior clareza possível sem dizer se algo está correto ou não.
Todas as respostas a convite do professor devem ser apresentadas ao restante
da turma.
4 – Na sistematização das respostas dessa tarefa procura-se introduzir os
conceitos iniciais da Geometria Espacial, a discussão da importância do seu
estudo e de sua aplicabilidade em nosso cotidiano. Essa tarefa tem o objetivo
de levar o aluno a interagir com o mundo real, relacionando objetos
tridimensionais aos sólidos geométricos. Em todo campo científico, inclusive na
Fonte: o próprio autor
Figura 1 - Relação: objetos tridimensionais e os sólidos geométricos
Geometria, estabelecer ideias e conceitos são necessários para tentar
compreender a realidade e modificá-la, sempre que necessário.
Ao manusear objetos, tais como caixas e embalagens de vários tamanhos e
formas, objetiva-se desenvolver melhor no aluno sua noção de espaço. Com a
exploração desses objetos (nº de faces, formas retas ou curvas, suas
semelhanças com algum modelo matemático etc.) dá a possibilidade de o
aluno perceber quanta geometria há nas construções humanas (formas retas e
curvas das estradas, a utilização de modelos geométricos na arquitetura e
construção civil, como em casas e prédios etc.), nos objetos do cotidiano e na
natureza (cilindro do caule das plantas, a forma geométrica do favo nas
colmeias das abelhas, a simetria das flores etc.)
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a) Conhecer o objeto e sua utilidade em nosso cotidiano;
(b) e (c) Reconhecer formas e nº de faces do objeto, bem como suas
dimensões (altura, largura e comprimento). Discutir também a ideia de arestas
e vértices (cantos) dos objetos;
(d) e (e) Sistematizar junto aos alunos os conceitos de Geometria Espacial e
sólidos geométricos.
OBS: Alguns importantes conceitos em que as tarefas dessa Produção
Didático-Pedagógica foram pautados se encontram no Anexo 1 deste
documento.
TAREFA 2 – ESTUDOS DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
...
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Observe os modelos de sólidos geométricos de acrílico que seu grupo recebeu,
atentando-se para as características físicas de cada um deles, tais como, o tipo de
figura geométrica que forma suas faces, a medida de suas dimensões etc.
a) Existem objetos do seu dia-a-dia que se assemelham a algum destes modelos
matemáticos?
b) Com base nas observações que seu grupo obteve, complete o quadro a seguir
sobre os sólidos geométricos estudados:
Nº Nº DE FACES
PLANAS Nº DE VÉRTICES Nº DE ARESTAS NOME DO SÓLIDO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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Tempo previsto: 02 aulas
Conteúdos:
Introdução ao estudo dos Sólidos Geométricos.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Ampliar os conhecimentos de geometria Plana e Espacial;
- Diferenciar poliedros de corpos redondos;
- Reconhecer as características principais dos poliedros (prismas e pirâmides).
Recursos:
Modelos de sólidos geométricos de acrílico e a folha de tarefa.
Estratégias de ações para a realização da tarefa:
1 – A dinâmica da aula é a mesma da tarefa anterior. A turma deve ser dividida
em pequenos grupos.
Cada um dos grupos deve receber ao menos dois dos sólidos geométricos
destacados na Figura. A tarefa está pautada no grupo de sólidos geométricos
de acrílico que foi enviado às escolas estaduais pelo MEC como material
didático de apoio. Intitulado de “Kit de sólidos geométricos para Ensino Médio“,
o material é formado por 20 modelos de sólidos geométricos em acrílico (Figura
2). São eles: (1) Paralelepípedo; (2) Prisma quadrangular oblíquo; (3)
Dodecaedro; (4) Prisma hexagonal reto; (5) Pirâmide reta triangular; (6) Prisma
de base trapezoidal; (7) Pirâmide oblíqua; (8) Prisma regular triangular; (9)
Octaedro; (10) Tronco do cone; (11) Cubo ou hexaedro regular; (12) Cilindro
oblíquo; (13) Cone reto; (14) Cilindro equilátero; (15) Icosaedro; (16) Esfera;
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c) Sobre os modelos investigados, é possível indicar semelhanças e/ou diferenças entre suas características observadas?
d) É possível rolar cada um destes sólidos sobre um plano (sobre a mesa, por exemplo)? Que características eles possuem que permitem ou não essa ação?
e) É possível agrupar esses sólidos levando em consideração características comuns? Em quais características se pautaria essa classificação?
(17) Pirâmide regular hexagonal; (18) Pirâmide quadrangular; (19) Tetraedro;
(20) Tronco da pirâmide.
2 – Durante o tempo de discussão dos alunos nos grupos, o professor caminha
pela sala de aula recolhendo informações sobre as resoluções da tarefa,
sequenciando as estratégias que serão apresentadas na próxima fase. Neste
momento, o professor deve encorajar seus alunos a resolverem a tarefa de
maneira que faça sentido para eles e também a se prepararem para explicar
sua proposta para os outros alunos da sala.
3 – Na fase de discussão da tarefa (plenária) o professor deve incentivar seus
alunos a explicar suas ideias e raciocínios com a maior clareza possível. Deve
destacar também a importância de ouvir respeitosamente os raciocínios de
todos os grupos, do começo ao fim.
4 – Na sistematização das ideias gerais da tarefa, a intensão é promover a
discussão dos conteúdos relacionados ao Estudo dos Sólidos Geométricos:
sua classificação em poliedros e corpos redondos; noções de faces, arestas
e vértices; nomenclatura dos sólidos estudados; classificação dos poliedros
em prismas e pirâmides.
Figura 2 - Modelos de Sólidos Geométricos
Fonte: Disponível em : http://www.lojadoprofessor.com.br/solidosgeometricos- 1/solidos-geometricos-em-acrilico-20-pecas-1.html, com acesso em 29/10/16.
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a) Relembrar o conceito de sólido geométrico e sua aplicabilidade;
(b) Recordar as noções de polígono, face, aresta, vértice e conhecer a
nomenclatura dos sólidos em questão;
Nº Nº DE FACES
PLANAS Nº DE VÉRTICES Nº DE ARESTAS NOME DO SÓLIDO
1 6 8 12 Paralelepípedo
2 6 8 12 Prisma quadrangular oblíquo
3 12 20 30 Dodecaedro
4 8 12 18 Prisma hexagonal reto
5 4 4 6 Pirâmide reta triangular
6 6 8 12 Prisma de base trapezoidal
7 5 5 8 Pirâmide oblíqua
8 5 6 9 Prisma regular triangular
9 8 6 12 Octaedro
10 2 - - Tronco do cone
11 6 8 12 Cubo ou hexaedro regular
12 2 - - Cilindro oblíquo
13 1 1 - Cone reto
14 2 - - Cilindro equilátero
15 20 12 30 Icosaedro
16 - - - Esfera
17 7 7 12 Pirâmide regular hexagonal
18 5 5 8 Pirâmide quadrangular
19 4 4 6 Tetraedro
20 6 8 12 Tronco da pirâmide
(c), (d) e (e) Apresentar a divisão dos sólidos geométricos em Poliedros e
Corpos redondos e conceituá-los. Discutir a classificação dos poliedros em
prismas e pirâmides.
TAREFA 3 – POLIEDROS CÔNCAVOS E CONVEXOS
.....
Tempo previsto: 02 aulas
Conteúdos:
Estudos dos Poliedros.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Classificar os poliedros em regular e irregular;
- Classificar os poliedros em côncavo e convexo.
Recursos:
Espetinhos de madeira, modelos de sólidos geométricos feitos de espuma
floral, fita adesiva colorida, estilete e a folha de tarefa.
Nesta tarefa vamos tomar cada um dos espetinhos de madeira como se fossem
retas e as espumas florais como sólidos geométricos. Então, a partir dos poliedros
que seu grupo recebeu, verifique:
a) É possível afirmarmos algo sobre as formas, medidas e ângulos das faces destes
poliedros?
b) É possível agruparmos esses poliedros a partir de características comuns levando
em conta as informações testadas na questão anterior?
c) Exercitando a imaginação e considerando a parede próxima de você como um
enorme plano (ou plano infinito) do espaço, tente encostar todas as faces desses
poliedros nesse plano (na parede). Quais os resultados obtidos?
d) É possível traçarmos (furarmos) uma reta num destes poliedros cortando apenas
duas de suas faces? E cortando mais duas faces?
e) É possível reagruparmos esses poliedros a partir de características
comuns levando em consideração as informações acerca do no nº de
faces cortadas por uma reta num poliedro?
Estratégias de ações para a realização da tarefa:
1 – Novamente, a turma deve ser dividida em grupos (de preferência com
formação diferente dos grupos formados nas tarefas anteriores). O professor
deve garantir que cada grupo tenha em mãos ao menos 3 espetinhos de
madeira e 1 modelo de cada sólido geométrico (feitos a partir de espuma floral)
em destaque na Figura logo a seguir: (1) poliedro regular convexo – cubo; (2)
poliedro irregular convexo; (3) poliedro irregular não convexo. Nesta etapa da
tarefa é importante instigar os alunos a participarem da discussão dentro de
seus grupos.
FONTE: o próprio autor
1
3 2
Será necessário:
Espuma floral;
espetinhos de madeira;
fita adesiva colorida e
estilete.
Figura 3 - Desenvolvimento da Tarefa 3: Classificando os Poliedros a partir de algumas de suas características
FONTE: o próprio autor
A sugestão é que o professor já leve os poliedros recortados na espuma para
que os alunos não tenham contato com o estilete. Pode ser utilizada fita
adesiva colorida para dar cor e destaque ao espetinho de madeira ou utilizá-lo
ao natural. É preciso cuidado no manuseio da espuma floral pois se trata de um
material delicado que deforma com facilidade.
2 – As próximas etapas (monitoramento, seleção e sequenciamento) ocorrem
buscando explorar ao máximo o material e as relações estabelecidas pelos
alunos.
3 - Nas plenárias, ocorrem as discussões e a sistematização das ideias gerais
da tarefa, cujo objetivo é levar os alunos a fazerem conexões entre as ideias
matemáticas apresentadas pelos grupos e o reconhecimento das principais
características da classificação de um poliedro (convexo ou não
convexo/côncavo e em regular ou irregular).
Figura 4 - Poliedros Côncavos e Convexos
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a) e (b) Relembrar o que é um poliedro. Introduzir o conceito de poliedro
regular (aquele que possui faces com forma de polígonos regulares
congruentes entre si e que possui ângulos poliédricos congruentes entre si) e
poliedro irregular, a partir da observação das formas e medidas das faces e
ângulos desses poliedros;
(c), (d), (e) e (f) Apresentar a noção de poliedro convexo e/ou não convexo
(côncavo). Para esta Produção Didática-Pedagógica assumiu-se como
definição que poliedros convexos são aqueles que podem ter todas as suas
faces encostadas na parede [todas as faces pertencentes a um mesmo plano],
têm todos os seus vértices direcionados pra fora da figura e que quando
seccionados por uma reta tem apenas duas de suas faces interceptadas. Já os
poliedros côncavos (não convexos) são aqueles que podem possuir vértices
direcionados para o interior da figura e que quando seccionados por uma reta
tem mais de duas de suas faces interceptadas.
TAREFA 4 – RELAÇÃO DE EULER
..........
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a) Observando as figuras dos poliedros convexos a seguir, determine o nº de faces (F), o nº
de vértices (V) e o nº de arestas (A) que cada um deles apresenta, preenchendo as três
primeiras colunas da tabela.
(A) (B) (C)
(D) (E) (F)
POLIEDRO F V A F + V A + 2
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
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Tempo previsto: 02 aulas
Conteúdos:
Relação de Euler.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Deduzir e conhecer a Relação de Euler;
Recursos:
Apenas as folhas de tarefa.
Estratégias de ações para a realização da tarefa:
1 –As primeiras etapas da tarefa (apresentação, monitoramento, seleção e
sequenciamento) deverão ser realizadas como foi feito nas tarefas anteriores.
Durante as discussões em grupo o professor deve visitá-los individualmente,
incentivando-os a utilizar sua intuição para o reconhecimento da relação
matemática em questão. As duas páginas podem ser entregues juntas. O
professor deve orientar os alunos a iniciar a resolução da tarefa observando a
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b) Complete a quarta coluna da tabela somando o nº de faces que cada poliedro apresenta
com seu nº de arestas.
c) Agora preencha a quinta coluna da tabela acrescentando sempre duas unidades ao nº de
vértices que cada poliedros apresentou.
d) Ao observar a tabela toda preenchida é possível afirmar que existe uma relação entre
estes poliedros. O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi o primeiro a observá-la
e a sistematizá-la. Qual seria essa relação?
e) Como escrever algebricamente essa relação?
f) Com base nessa relação, encontre o nº de faces de um poliedro convexo que possui
5 vértices e 10 arestas. Indique também o nome deste poliedro.
g) Um poliedro convexo apresenta 4 faces triangulares e 6 faces quadrangulares.
Quantas arestas e quantos vértices tem esse poliedro ?
representação tridimensional da cada poliedro proposto e identificando o
número de faces, vértices e arestas de cada um deles simplesmente contando.
2 – Nas plenárias e na sistematização do conteúdo desta tarefa a intenção
principal do professor deve ser o de levar o aluno a consolidar os conceitos
geométricos trabalhados até o momento e a percepção do padrão existente na
relação observada por Euler.
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a), (b), (c), (d) e (e) Através da intuição levar à dedução da Relação de Euler:
o nº de vértices mais o nº de faces é igual ao nº de arestas mais dois, ou seja,
V + F = A + 2.
POLIEDRO F V A F + V = ? A + 2 = ?
(A) 5 5 8 5 + 5 = 10 9 + 2 = 10
(B) 6 8 12 6 + 8 = 14 12 + 2 = 14
(C) 7 10 15 7 + 10 = 17 15 + 2 = 17
(D) 8 6 12 8 + 6 = 14 12 + 2 = 14
(E) 12 20 30 12 + 20 = 32 30 + 2 = 32
(F) 16 13 27 16 + 13 = 29 27 + 2 = 29
(f) Operar com a Relação de Euler: retirando os dados do problema tem-se 5
vértices (V=5) e 10 arestas (A=10). Aplicando na Relação de Euler
encontramos 5 + F = 10 + 2 F = 12 – 5, então obtemos F = 7. O nome
deste poliedro é heptaedro;
(g) Operar com a Relação de Euler: retirando os dados do problema tem-se
4 faces triangulares e 6 faces quadrangulares. Para encontrar o nº de arestas
multiplica-se a quantidade de faces de cada tipo de polígono pelo nº de arestas
que o polígono possui (4x3 = 12 e 6x4 = 24). Como cada aresta foi contada
duas vezes é necessário fazer A = (12+24) / 2 obtendo-se 18 arestas.
Aplicando a Relação de Euler encontra-se V + 10 = 18 + 2 V = 20 – 10
V=10. Obtém-se então 10 vértices e 18 arestas.
TAREFA 5 – POLIEDROS DE PLATÃO
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Dentre os poliedros temos um grupo com características próprias:
(...) Na verdade não existem muitos poliedros regulares e não é possível construir senão poucos tipos destes poliedros – apenas o suficiente para uma correspondência com os dedos de uma mão! (...) Essa constatação (...) chamou, há séculos, a atenção de muitos filósofos. Platão, por exemplo, um filósofo grego que viveu por volta do século VI antes de Cristo, sabia disso e estudou algumas interessantes propriedades dos poliedros. Ele tratou especialmente de uma classe bem caracterizada de poliedros, conhecidos hoje como poliedros de Platão.
Fonte: MACHADO, Nilson J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão – ColeçãVivendo a Matemática, São Paulo: Scipione, 2000. p. 18–19.
Conta-se que para Platão o Universo teria sido criado a partir da combinação entre
elementos da natureza e alguns sólidos geométricos com características especiais. São eles:
Fonte: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/listaEventos.php . Acesso em 07/11/2016.
Seu grupo recebeu no material de apoio: uma régua, um transferidor, fita crepe e poliedros
variados já recortados em papelão.
a) Com o auxílio da régua e do transferidor calcule as medidas dos lados e dos ângulos
internos de cada um destes polígonos.
b) Diante dessas informações é possível afirmar algo sobre estes polígonos?
c) Agora, unindo os lados desses polígonos com fita crepe, seu grupo deve construir um
modelo de poliedro utilizando todos os polígonos disponíveis em seu material de apoio,
levando em consideração que, ao final da construção, seu modelo de poliedro deve ter:
(____) LADOS (____) ARESTAS (____) VÉRTICES
Obs: Independente do polígono utilizado serão necessários pelo menos três formas poligonais para formar um “bico” (um ângulo poliédrico)
Tetraedro - FOGO Cubo - TERRA Icosaedro - ÁGUA Octaedro - AR Dodecaedro - UNIVERSO
Tempo previsto: 04 aulas
Conteúdos:
Poliedros de Platão.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Conhecer as características dos Poliedros de Platão.
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Observando atentamente o modelo de poliedro que seu grupo construiu responda:
d) Como é o formato de cada face de seu modelo de poliedro? Cada uma dessas
faces possui o mesmo número de arestas? Quantas arestas possui cada face?
e) Quantos vértices tem o modelo de poliedro de seu grupo? De cada um desses
vértices partem quantas arestas?
f) Confira se a Relação de Euler é válida ou não para esse modelo de poliedro.
g) O modelo de poliedro que seu grupo construiu faz parte do grupo de modelo de
poliedros regulares chamado de Poliedros de Platão. Diante da discussão e
compreensão de seu grupo nesta tarefa, o que esses poliedros possuem que
chamaram tanto a atenção de Platão?
h) O poliedro que seu grupo recebeu é um Poliedro de Platão. Completando a tabela
a seguir sobre as principais características desse poliedro e socializando suas
conclusões com os outros grupos, teremos o conjunto dos 5 sólidos geométricos
conhecidos com Poliedros de Platão:
POLIEDRO FORMATO DAS FACES Nº FACES Nº ARESTAS Nº VÉRTICES RELAÇÃO DE EULER
Recursos:
Régua, transferidor, fita crepe e polígonos (quadrados e triângulos equiláteros)
cortados em papelão.
Estratégias de ações para a realização da tarefa:
1 – Esta tarefa foi adaptada do livro Os poliedros de Platão e os dedos da
mão do autor Nilson José Machado, Coleção Vivendo a Matemática, Editora
Scipione, São Paulo, ano de 2000, páginas 15 a 33. A atividade deve ser
iniciada com a entrega do material para cada grupo: régua, transferidor, fita
crepe e modelo de polígonos regulares cortados em papelão paraná, numa
gramatura que lhe dê alguma rigidez, no formato de triângulo equilátero,
quadrado e pentágono regular. Cada grupo receberá um número específico de
polígonos, de acordo com o poliedro regular destinado a cada um deles sem
que saiba qual é de antemão. Será necessário o mínimo de 5 grupos na sala:
Grupo (1) – Tetraedro: receberá 4 modelos de triângulos equiláteros; Grupo (2)
– Hexaedro (cubo): receberá 6 modelos de quadrados; Grupo (3) – Octaedro:
receberá 8 modelos de triângulos equiláteros; Grupo (4) – Dodecaedro:
receberá 12 modelos de pentágonos regulares; Grupo (5) – Icosaedro:
receberá 20 modelos de triângulos equiláteros. Se forem formados mais de 5
grupos repetir alguns poliedros. É necessário também indicar na folha da
tarefa, no item (c), o número de lados, arestas e vértices referentes ao polígono
que o grupo construirá.
2 – Durante a realização da tarefa pelos alunos, segue as mesmas etapas de
monitoramento, seleção e sequenciamento. No primeiro momento, trabalha-se
com a página 01 da tarefa e depois dos modelo de poliedros construídos, o
grupo parte para a reflexão da página 02. Outro aspecto que deve chamar
atenção é que por se tratar de uma tarefa que requer trabalho manual e estar
lidando com adolescentes, o barulho em sala será inevitável. Será necessário
aqui o trabalho com contrato didático consistente. Nessas etapas o professor
deve promover principalmente o questionamento dos alunos de modo a serem
eles próprios a fazerem as conexões entre o modelo de poliedro construído e
os conceitos geométricos pretendidos.
3 – Na fase de discussão da tarefa (plenária) o professor deve incentivar seus
alunos a apresentarem suas ideias e raciocínios com clareza. Cabe também ao
professor destacar o importante papel da História da Matemática. Na
sistematização das ideias gerais a intenção é promover a conexão entre o
poliedro construído com os conceitos relacionados à Introdução ao Estudo
dos poliedros: conceito de poliedros regulares e a ideia de Poliedros de
Platão.
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a) e (b) Relembrar as características de um polígono regular.
(c) Construção dos 5 modelos de poliedros regulares conhecidos como
Poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e
icosaedro. Utilizar a fita crepe para unir os lados dos polígonos. Atentar-se que,
independente do polígono utilizado, serão necessários pelo menos três
modelos de polígonos para formar um bico (um ângulo poliédrico) e que a
soma dos ângulos internos dos polígonos em torno do bico seja menor que
360°. O modelo resultante deve seguir as características do poliedro que cada
grupo recebeu: n° de lados, arestas e vértices.
(d), (e) e (f) Conferir se o modelo de poliedro que o grupo recebeu satisfaz as
condições necessárias para ser classificado como Poliedro de Platão: todas as
faces possuem o mesmo número de arestas (d); de cada vértice parte o
mesmo número de arestas (e) e a validade da Relação de Euler (f);
(g) e (h) Apresentar e sistematizar o conceito de um Poliedro de Platão.
POLIEDRO FORMATO DAS FACES Nº FACES Nº VÉRTICES Nº ARESTAS RELAÇÃO DE EULER
Tetraedro Triangular 4 4 6 4 + 4 = 6 + 2
Cubo ou hexaedro regular
Quadrangular 6 8 12 6 + 8 = 12 + 2
Octaedro Triangular 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2
Dodecaedro Triangular 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2
Icosaedro Triangular 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2
TAREFA 6 – ÁREA DE SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
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Seu grupo recebeu como material de estudo duas caixas diferentes de formatos de prismas e folhas de papel de presente. Nessa tarefa queremos saber quanto de papel se utiliza para embrulhar cada uma dessas caixas.
Para que essa medida possa ser encontrada precisamos calcular então o valor da área total da superfície de cada uma dessas caixas (modelos de prismas). Para isso, vamos considerar que estamos procurando o menor valor possível dessa medida, imaginando que não sobraria nenhuma borda ao redor das faces. Lembre-se que no cálculo da área é preciso levar em consideração duas dimensões: medidas de comprimento e de largura.
a) Debata com os integrantes de seu grupo possíveis estratégias de resolução para o cálculo da medida de quanto de papel seria utilizado para embrulhar cada uma dessas caixas.
b) Feita a escolha da estratégia que o grupo considerou mais adequada para esta tarefa, calcule a área total de superfície de cada um desses modelos de prismas.
c) Preencha a tabela abaixo detalhando alguns valores que vocês podem ter encontrado durante o cálculo da área da superfície de cada um dos modelos de prismas (caixas) propostos:
CAIXA NOME DO
PRISMA
QUANTIDADE E
FORMATO DAS FACES ÁREA DAS FACES
SOMA
AB COM
AL
ÁREA
TOTAL
DO
PRISMA
(1)
Base (B) Lateral (L)
AB AL
Cada
face
Todas
as
faces
Cada
face
Todas
as
faces
(2)
Base (B) Lateral (L)
AB AL
Cada
face
Todas
as
faces
Cada
face
Todas
as
faces
d) Descreva a estratégia utilizada por seu grupo para o cálculo da área total de superfície
desses prismas.
e) Qual a unidade de medida de área encontrada? Justifique.
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pág 2
f) Como poderia então ser representado algebricamente o cálculo da área total de superfície
desses prismas?
Com base nessas reflexões sobre o cálculo da área de superfície de um prisma, resolva as
questões a seguir:
g) Uma indústria de produtos de limpeza precisa fabricar 5 000
caixas de sabão em pó para armazenamento, transporte e
venda desse produto. Desprezando as abas, calcule quantos
centímetros quadrados de papelão serão gastos para satisfazer
toda essa demanda, considerando cada uma das caixas de
sabão em pó do tipo e tamanho indicados ao lado.
h) João é metalúrgico e precisa cobrir a superfície total de uma peça sextavada de aço com
papel adesivo. Quantos centímetros quadrados desse papel adesivo João precisará,
considerando a forma e as medidas indicadas abaixo? Obs: considere a base desse prisma
um hexágono regular.
FONTE IMAGEM: http://rodmancomercial.com.br/acabamento/
i) Ana trabalha em uma gráfica e recebeu uma encomenda de 120 unidades de uma
determinada embalagem de papelão para uma pequena empresa de sua cidade. O tipo e as
medidas da estrutura dessa embalagem estão representados nas figuras abaixo.
Desprezando as abas, calcule quanto de papelão, em m2, Ana irá utilizar para atender toda
essa encomenda. Obs: considere a base desse prisma um triângulo equilátero.
FONTE IMAGEM: http://kdexatas.blogspot.com.br/
22 cm
2,5 cm
5 cm
15 cm
Tempo previsto: 04 aulas
Conteúdos:
Área de superfície de um prisma .
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Compreender o conceito de área de superfície de um prisma;
- Resolver situações problema envolvendo a medida de superfície de um
prisma.
Recursos:
Duas caixas em formato de prisma, papel de presente e a folha da tarefa.
Ações para a realização da tarefa:
1 – Para esta tarefa o professor deve preparar para cada grupo o seguinte
material: uma caixa de formato de hexaedro (cubo ou paralelepípedo), outra
caixa de formato de um prisma de base triangular ou hexagonal e uma folha de
papel de presente. Durante a fase de discussões em grupo o professor deve
incentivar os alunos a utilizarem da observação e da intuição para o
reconhecimento de padrões matemáticos envolvidos nas questões. A utilização
da régua e da calculadora podem agilizar os processos esperados, já que o
objetivo principal é o reconhecimento e deduções das relações matemáticas
relacionadas ao cálculo da área de superfície e não a simples utilização de
fórmulas e algoritmos das operações utilizadas.
2 – A sugestão é que se realize primeiro as seis questões iniciais da tarefa e
promova uma primeira plenária com parte da sistematização do conteúdo
discutido até o momento, incluindo a dedução das fórmulas utilizadas para o
cálculo da área de superfície dos poliedros apresentados. Somente depois
disso é que se sugere a apresentação das três últimas questões, que servirão
para a amarração dos pontos ainda não compreendidos pelos alunos.
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a) Oportunizar aos alunos a possibilidade de confrontarem soluções
diferentes, verificarem regularidades, fazerem conjecturas e tirarem suas
referidas conclusões acerca do cálculo da área de superfície dos prismas.
(c), (d), (e) e (f) Reconhecer a planificação dos prismas. Revisar área de
figuras planas. Revisar o conceito de unidade de medida de área. Deduzir
fórmulas para o cálculo da área de superfícies dos prismas: algebricamente,
essa relação pode ser expressa por AT = AB+ AL , ou seja, a área total da
superfície de um prisma é igual a soma da área da base com a área lateral do
prisma.
(g) Cálculo da área da superfície de um paralelepípedo: todas as faces desse
prisma são retangulares. A área de um retângulo é dada por A = B.h.
Considerando como bases os dois retângulos de dimensões 18cm e 20cm e
ainda como laterais dois retângulos de dimensões 5cm e 18cm e outros dois
retângulos de dimensões 5cm e 20cm, pode-se calcular a área da superfície da
base por AB = 2.(18.20) AB = 720cm2 e a área da superfície das laterais
por AL = 2.(5.20) + 2.(5.18) AL = 200 + 180 AL = 380cm2. Então a área
da superfície total desse prisma é dada por AT = AB + AL AT = 720 + 380
AT = 1100 cm2 ou ainda AT = 1,1 m2 de papelão.
(h) Cálculo da área da superfície de um prisma hexagonal:
Resol.1 por ser um hexágono regular a base pode ser decomposta em 6
triângulos equiláteros de lado 2,5cm. Como a área de um triângulo equilátero
de lado l é dada por A = √
, a área da base desse prisma é dada por AB =
√
, utilizando √ = 1,73 AB = 6.2,7 AB = 16,21cm2. Como são
duas bases hexagonais tem-se AB = 2.16,21cm2 AB = 32,42cm2.
A superfície lateral é formada por 6 retângulos de dimensões 2,5cm e 22cm.
Como a lateral desse prisma é formado por 6 retângulos o cálculo da área da
superfície lateral pode ser dado por AL = 6 . (2,5.22) AL = 330cm2. Então, a
área da superfície total desse prisma de base hexagonal é dada por AT = AB +
AL AT = 32,42 + 330 AT = 362,42 cm2 ou ainda AT 362cm2 de papel
adesivo.
Resol.2 utilizando a relação A = √
para o cálculo da área de um
hexágono pode-se calcular a área de superfície da base desse prisma por
AB = √
AB =
AB = 16,21 cm2 (utilizando √ = 1,73). Como são
duas bases hexagonais calcula-se AB = 2.16,21cm2 AB = 32,42cm2. Como a
lateral desse prisma é formado por 6 retângulos o cálculo da área de sua
superfície lateral pode ser dado por AL = 6 . (2,5.22) AL = 330cm2. Então a
área da superfície total desse prisma de base hexagonal é dada por
AT = AB + AL AT = 32,42 + 330 AT = 362,42 cm2 ou ainda
AT 362cm2 de papel adesivo.
(i) Cálculo da área da superfície de um prisma de base triangular: o enunciado
da questão informa que a base desse prisma é formada por dois triângulos
equiláteros. Assim, a área de superfície de cada um desses triângulos pode ser
obtida por A = √
. Considerando que a medida do lado do triângulo equilátero
é de 5cm, tem-se AB = √
, utilizando √ = 1,73 AB =
AB = 10,81cm2. Como o prisma possui duas bases triangulares
conclui-se que AB = 2 . 10,81 AB = 21,62cm2. As laterais desse prisma são
formadas por 3 retângulos de dimensões 5cm e 15cm. Então o cálculo
da área da superfície lateral do prisma pode ser dado por AL = 3 . (5.15)
AL = 225cm2. Logo, a área da superfície total desse prisma de base
triangular pode ser obtida por AT = AB + AL AT = 21,62 + 225
AT = 246,62 cm2 ou ainda AT 247cm2 de papelão.
TAREFA 7 – VOLUME E CAPACIDADE DE UM PRISMA
Pág 01
pág 1
Seu grupo recebeu como material de estudo duas caixas de acrílico de formatos diferentes e
um copo medidor de capacidade.
a) Observando essas duas caixas apenas a olho nú, responda: Qual das duas caixas cabe
mais líquido? Por quê?
Assim como podemos medir o comprimento de um terreno, a massa de um objeto ou a
superfície de uma quadra de esportes, podemos também medir o espaço ocupado por um
corpo qualquer. Neste caso, estamos determinando o volume deste corpo.
Pensando desta forma vamos refazer a pergunta anterior de uma forma diferente: Qual das
duas caixas tem maior volume?
b) Qual a estratégia de resolução que seu grupo sugere para que essa medida possa ser
encontrada? É possível verificar a validade da estratégia escolhida por vocês?
Como visto, para calcular o volume de cada uma dessas caixas é necessário levar em
consideração a media de suas dimensões, a área da figura plana que forma a base do prisma
e a altura desse poliedro.
c) Ao completar a tabela abaixo podemos entender melhor o cálculo para a medida do
espaço ocupado por cada caixa.
Caixa Compri
mento Largura
Figura plana
da Base Área da Base Altura
Área da Base
multiplicado pela
Altura
Espaço
ocupado
(1)
(2)
d) Se pensarmos que o espaço ocupado por um corpo é o mesmo que seu volume, quais
medidas foram levadas em consideração para o cálculo do volume da cada uma dessas
caixas?
e) É possível escrevermos uma relação algébrica genérica para o cálculo de volume
de um prisma qualquer? Como seria essa relação?
Pág 01
Pág 01
pág 2
f) Agora, comparando as medidas de volume encontrados nas questões anteriores responda:
Qual das duas caixas tem maior volume?
Assim, como as medidas de comprimento, largura e altura dessas caixas foram medidas em
centímetros, a medida de volume que encontramos para as elas é dada em centímetros
cúbicos (cm3), pois usamos para o seu cálculo três dimensões.
Porém, em nossa linguagem usual, seria estranho dizermos que nessas caixas cabem
1000cm3 de líquido. Normalmente, para medirmos qualquer líquido como óleo, leite, água,
suco etc, expressamos essas medidas em mililitros (ml) ou litros (l).
Portanto, ao retornarmos para nossa pergunta original “Qual das duas caixas cabe mais
líquido?” estamos procurando saber qual é o volume interno desses recipientes, ou seja,
estamos querendo calcular sua capacidade.
g) Utilizando o medidor entregue no início da tarefa, meça quanto de capacidade tem cada
uma dessas caixas, colocando água dentro delas. Obs: Para conversão de unidade de medida
utilize a relação 1000cm3 = 1 dm3 = 1 l (litro)
h) Afinal, qual das duas caixas cabe mais líquido?
pág 3
Com base nas reflexões sobre o cálculo do volume e de capacidade de um prisma, resolva as
questões a seguir:
i) O esquema ao lado representa as dimensões de uma
piscina de um determinado clube de campo. Qual é a
quantidade máxima de água, em litros, que essa piscina
pode conter sabendo que por determinação da direção
do clube os empregados da empresa só podem enchê-la
com 95% de sua capacidade ?
Obs: Utilize a relação 1m3 = 1000 l
j) Um metalúrgico precisa produzir uma peça sextavada
de liga metálica, conforme esquema e medidas ao lado.
Calcule o volume de liga metálica necessário para a
produção dessa peça.
2,5m
10m
7m
10cm
15cm
5cm
Fon
te:
o p
róp
rio
au
tor
Tempo previsto: 04 aulas
Conteúdos:
Volume e capacidade de um prisma.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Compreender o conceito de volume de um prisma;
- Revisar as unidades de medida de capacidade;
- Resolver situações problema envolvendo as medidas de volume e capacidade
de um prisma.
Recursos:
Duas caixas de acrílico (em formato de paralelepípedos), um copo medidor de
capacidade (plástico ou acrílico), água e a folha de tarefa.
Ações para a realização da tarefa:
1 – Cada grupo deve receber o seguinte material: uma caixa de acrílico no
formato do modelo de um cubo com medida de 10cm cada aresta, uma
segunda caixa de acrílico no formato do modelo de um paralelepípedo com
dimensões 10cm, 5cm e 20cm e um copo medidor de capacidade (plástico ou
acrílico) de no mínimo 1 litro. Se necessário o material de acrílico pode ser
substituído por vidro ou algum outro material impermeável.
Nas plenárias e na sistematização o professor deve guiar os alunos a
deduzirem eles mesmos as relações e fórmulas envolvidas no cálculo do
volume e capacidade de um prisma qualquer.
2 –As páginas devem ser entregues uma de cada vez para os alunos. Um
Grupo só inicia a página 02 quando terminar a página 01. Parte-se para uma
plenária inicial, discutindo as conclusões que os grupos tiveram até o momento.
Somente após a dedução algébrica das relações utilizadas para o cálculo do
volume é que se entrega a terceira página da tarefa. Numa plenária final se
sistematiza o conteúdo que o professor julgar necessário e se aproveita o
momento para tirar as dúvidas finais dos alunos.
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a) Trabalhar com a observação e intuição do aluno acerca de sua concepção
de espaço geométrico.
(b) Oportunizar aos alunos a possibilidade de confrontarem soluções
diferentes, verificarem regularidades, fazerem conjecturas e tirarem suas
referidas conclusões acerca do cálculo do volume de prismas.
(c), (d), (e) e (f) Conceito, dedução de fórmulas e cálculo de volume de um
prisma qualquer. Algebricamente, essa relação pode ser expressa por
V = AB . h , ou seja, o volume de um prisma é dado pelo produto da área da
base do prisma com a altura desse prisma.
Caixa Compri
mento
Largura Figura plana
da Base
Área da Base Altura Área da Base
multiplicado pela
Altura
Espaço
ocupado
(1)
cubo 10 cm 10 cm Quadrado
AB = l2
AB = 102
AB = 100cm2
10 cm 10 . 100 1000
cm3
(2)
para
lelepí
pedo
20 cm 10 cm Retângulo
AB = B.h
AB = 20.10
AB = 200cm2
5 cm 200 . 5 1000
cm3
(g) e (h) Conceito de Capacidade e conversão de medidas.
(i) Com as medidas de 10m de comprimento, 7m de largura e 2,5m de
profundidade o cálculo do volume total dessa piscina inicia-se pela área de sua
base multiplicada por sua profundidade, ou seja, AB = 10 . 7 AB = 70m2
V1 = AB . h V1 = 70 . 2,5 V1 = 175 m3.Como o enunciado da questão
pede apenas 95% desse volume tem-se V2 = 175 . 0,95 V2 = 166,25 m3.
Convertendo volume em capacidade tem-se VF = 166,25 . 1000
VF = 166 250 l (litros) de água.
(j) No caso desta questão deve-se considerar que a base desse prisma é
formado por um hexágono regular. Inicia-se calculando o volume dos dois
prismas envolvidos na peça: o 1º (externo) com medidas de 10cm para as
arestas da base e altura de 15cm; o 2º (interno) com medidas de 5cm para as
arestas da base e altura também de 15cm. Adotando o cálculo da área da base
hexagonal pela relação A = √
(onde √ = 1,73) e o cálculo do volume
V = AB . h, tem-se V = √
.h. Para o cálculo do 1º prisma (externo):
V1 = √
.15 V1 = =
. 15 V1 = 259,5 . 15 V1 = 3892,5 cm3. Para
o cálculo do 2º prisma (interno): V2 = √
.15 V2 = =
. 15
V2 = 64,875 . 15 V2 = 973,125 cm3. Para o cálculo do volume final tem-se
VF = V1 – V2 VF = 3892,5 – 973,125 VF = 2 929,375 VF 2 929 cm3
de liga metálica.
TAREFA 8 – ÁREA DE SUPERFÍCIE DE UMA PIRÂMIDE
Pág 01
pág 1
Estudaremos agora outro tipo de poliedro: a Pirâmide.
Uma construção que lembra muito este poliedro são as Pirâmides do Egito, construídas há
milhares de anos para abrigar tumbas de faraós.
Considerando uma pirâmide regular de base quadrada com medidas de arestas laterais e da
base com 15cm e 18cm, respectivamente, determinar:
(a) os formatos e as medidas das faces (d) a área da lateral da pirâmide
(b) a apótema da lateral (e) a área total da pirâmide
(c) a área da base da pirâmide
f) Em seguida, revisando todos os cálculos utilizados para a resolução das
questões anteriores, indique algebricamente a ideia geral do cálculo da área de
superfície de uma pirâmide.
g = apótema da lateral h= altura da pirâmide
m = apótema da base
aresta da base
aresta da lateral
A
V
D
M O
C
B
pág 2
g) Roberto e seu filho vão acampar e querem saber quanto
de lona precisarão para montar uma barraca de formato de
uma pirâmide de base quadrangular de 2m de
comprimento de arestas da base e 2,5m como medida da
aresta lateral. Ajude-os a calcular a quantidade de lona, em
m2, que eles precisarão para isso, sabendo que a parte
debaixo da barraca também será forrada com lona para que
os ocupantes dela não fiquem em contato direto com o
chão. 2m
2,5m
Fon
te:
o p
róp
rio
au
tor
Fon
te:
o p
róp
rio
au
tor
Tempo previsto: 03 aulas
Conteúdos:
Área de superfície de uma pirâmide.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Compreender o conceito de área de superfície de uma pirâmide;
- Resolver situações problema envolvendo a medida de superfície uma
pirâmide.
Recursos:
Folha da tarefa e equipamento multimídia para áudio e vídeo.
Ações para a realização da tarefa:
1 – Nesta tarefa sugere-se que o professor forme grupos juntando alunos que
demonstram certo conhecimento em Geometria com aqueles que apresentam
maior dificuldade, com base no desenvolvimento das tarefas anteriores. O
vídeo “5 Fatos Incríveis (que você não sabia) sobre as Pirâmides Egípcias”, do
canal Fatos Desconhecidos do site YouTube e disponível no link
https://www.youtube.com/watch?v=q0BxKF2RGzI, com acesso em 21/11/2016,
pode ser utilizado como introdução ao tema por trazer à tona curiosidades a
respeito das pirâmides do Egito e informações de como o conhecimento
matemático contribuiu na construção dessas maravilhas da humanidade.
2 – A falta de conhecimento de geometria plana, por parte dos alunos, poderá
trazer certa dificuldade ao início da tarefa. Ao caminhar pela sala atendendo os
alunos, o professor precisará guiá-los no sentido de recordarem conceitos
fundamentais de geometria (como apótema, altura, teorema de Pitágoras, ideia
de área de superfície etc). Sugere-se entregar a página 02 da tarefa somente
quando o grupo conseguir deduzir a forma algébrica do cálculo da área de
superfície da pirâmide (questão g).
3 - Nas plenárias e sistematização dos conteúdos, o principal papel do
professor é conduzir o processo para que os próprios alunos deduzam as
relações e fórmulas envolvidas no cálculo da área de superfície de uma
pirâmide.
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a) até (f) Compreender o conceito e deduzir a fórmula para o cálculo da área
da superfície de uma pirâmide.
OBS: exercício adaptado de IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e
aplicações, v2. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010. pág 206.
(a) Face da base: quadrado de lado 18cm; Face da lateral: triângulo isósceles
de base 18cm e lados 15cm.
(b) Para o cálculo da apótema da lateral (g)
pelo Teorema de Pitágoras tem-se que
ltriângulo2 = g2 + (
)
152 = g2 + 92
g2 = 225 –81 g = √ g = 12cm.
(c) Como a base é um quadrado de lado 18cm então área da base é igual a
AB = l2 AB = 182 AB = 324cm2.
(d) Como a lateral da pirâmide é formada por quatro triângulos com 15cm de
base e 18cm de lado, tem-se que a área da lateral é 4 vezes a área do
triângulo (ATriângulo =
). Já a altura do triângulo é dada, no caso, pela apótema
da lateral. Então, AL = 4 . ATriângulo AL = 4.
AL = 4.108 AL = 432cm2.
(e) Para o cálculo da área total da superfície dessa pirâmide tem-se
AT = AB+ AL, ou seja, AT = 324 + 432 AT = 756cm2.
(f) Algebricamente, essa relação pode ser expressa por AT = AB+ AL , ou seja,
a área total da superfície de uma pirâmide é igual a soma da área da base com
a área lateral da pirâmide.
(g) Para o cálculo da área total da superfície dessa pirâmide tem-se
AT = AB+ AL. Como a base é um quadrado de lado 2cm então área da base é
igual a AB = l2 AB = 22 AB = 4m2. A altura dada (2,5m) é a altura da
pirâmide. Enquanto, a altura do triângulo pode ser dada pela apótema da
lateral. Assim, para se encontrar a medida da apótema da lateral (g) aplica-se
o Teorema de Pitágoras, tal que
B M
C
V
18cm
ltriângulo
lquadrado g
ltriângulo2 = g2 + (
)
2,52 = g2 + 12
g2 = 6,25 –1 g = √ g = 2,29m.
Como a lateral da pirâmide é formada por quatro
triângulos isósceles com 2m de base e 2,5m de lado,
tem-se que a área da lateral da pirâmide é 4 vezes
a área do triângulo (ATriângulo =
). Portanto AL = 4 . ATriângulo AL = 4.
AL = 4 . 2,29 AL = 9,16m2. Então, para o cálculo da área total da
superfície dessa pirâmide, tem-se que AT = AB+ AL, ou seja, AT = 4 + 9,16
AT = 13,16m2, ou ainda, aproximadamente 13,5m2 de lona.
B M
C
2cm
g
V
TAREFA 9 – VOLUME E CAPACIDADE DE UMA PIRÂMIDE
3
pág 1
Seu grupo recebeu como material de estudo duas folhas em papel cartão com as
planificações de dois poliedros que utilizaremos para a realização desta tarefa.
a) Com o auxílio de cola e tesoura monte essas planificações: um paralelepípedo e uma
pirâmide de base quadrada.
Lembre-se que, seguindo as orientações das folhas das planificações entregues pelo
professor, as bases de cada um dos poliedros precisam ser vazadas (abertas).
b) A partir das medidas das arestas desses poliedros pode-se afirmar que eles possuem algo
em comum?
c) Utilizando grãos de arroz cru como conteúdo desses poliedros, faça uma comparação
entre eles e indique quantas vezes o conteúdo da pirâmide cabe dentro do prisma.
d) Dentro dos limites do erro experimental, qual a relação existente entre o volume da
pirâmide e o volume do prisma?
e) Escreva essa relação algebricamente.
Agora, conhecendo um pouco mais sobre prismas e pirâmides trazemos uma questão para o
grupo pensar:
f) Qual a razão da indústria dar maior preferência para embalagens prismáticas,
como o cubo e o paralelepípedo por exemplo, e não para as piramidais?
Fonte: o próprio autor
Tempo previsto: 04 aulas
Conteúdos:
Volume e capacidade de uma pirâmide.
Expectativa(s) de Aprendizagem:
- Compreender o conceito de volume de uma pirâmide;
- Revisar as unidades de medida de capacidade;
- Resolver situações problema envolvendo as medidas de volume e capacidade
de uma pirâmide.
Recursos:
Cola, tesoura, régua, folhas em papel cartão com as planificações dos
poliedros (um paralelepípedo e uma pirâmide de base quadrada) e um
punhado de grãos de arroz cru.
Ações para a realização da tarefa:
1 – Esta tarefa foi adaptada da comprovação experimental sobre volume de
pirâmides apresentada na página 173 do livro Matemática Aplicada
(volume3), dos autores Fernando Trotta, Luiz Márcio Pereira Imenes e José
Jakubovic, da editora Moderna, ano de publicação 1980. A comprovação
pág 2
g) O ouro 18 quilates é uma liga metálica formada por 75%
de ouro, 13% de prata e 12% de cobre. Sua vantagem em
relação ao ouro puro é que esse metal é macio e pode ser
facilmente riscado. Além disso, a liga mantém as
propriedades desejadas do ouro, como brilho, dureza
adequada e para a joia a durabilidade.
(Disponível em http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/quimica/ligas-
metalicas.htm , com acesso em 23/11/2016)
Sabendo que a densidade do ouro 18 quilates é de 16g/cm3 e a densidade de um objeto é
obtida pela razão entre sua massa e seu volume, calcule a massa, em gramas, de um
pingente de ouro 18 quilates que possui formato de um octaedro regular, com arestas
medido 2cm e altura total do pingente de aproximadamente 3cm.
2cm
3cm
Fon
te:
o p
róp
rio
au
tor
científica é o ato de confirmar através de experimentos, evidências ou
demonstrações a veracidade de alguma teoria ou hipótese, com base no
método científico. Partindo de seu conhecimento prévio e informal, o aluno
poderá ser (co)autor do objeto matemático em estudo. Ações de reinvenção
como esta, contribui com os alunos na compreensão do objeto ou conceito
matemático estudado, o qual se tornará num conhecimento formal com maior
significado.
2 – A melhor forma de compreender um poliedro e suas características
individuais é construindo-o. Portanto, cada grupo deve receber folhas em papel
cartão com as planificações de um paralelepípedo e de uma pirâmide de base
quadrada, conforme Anexos 2 e 3 desta Produção Didático-Pedagógica. Com a
manipulação das planificações desses poliedros o professor pode revisar a
diferença entre prismas e pirâmides. Os materiais para a comprovação
experimental proposta podem ser trocados, se necessário: arroz cru por
serragem ou água e/ou papel cartão por acrílico. O importante nestas
planificações é que suas bases sejam equivalentes e que possuam alturas
iguais, uma vez que as conclusões as quais se desejam chegar estão
baseadas no Princípio de Cavalieri.
Ideias a serem discutidas em cada questão:
(a) e (b) Estudo das planificações dos prismas e pirâmides. Discussão sobre os
limites do erro experimental. Com o auxílio de cola, tesoura e régua os alunos
devem montar os referidos poliedros, a partir de suas planificações,
determinando também as medidas de suas arestas e altura. A ideia da tarefa é
de que os alunos identifiquem a equivalência das bases desses poliedros e a
igualdade de suas alturas. Estas questões também servirão para a discussão e
compreensão de que em uma medição se cometem erros experimentais.
(c), (d) e (e) Dedução da relação e fórmula do volume de uma pirâmide. Ao
encher o prisma com grãos de arroz cru os alunos devem perceber que será
necessário repetir a operação três vezes. Assim, baseando-se também no
Princípio de Cavalieri, pode-se afirmar que o volume da pirâmide é a terça do
volume do prisma que tem a mesma base e a mesma altura que ela, ou seja,
V =
.
(f) As embalagens poliédricas tem destaque na preferência das indústrias para
acondicionar seus produtos. As formas mais utilizadas são as embalagens do
tipo prismático (cubo e paralelepípedo-reto) pelo fato de trazer certa
comodidade e facilidade de locomoção, acomodação, armazenamento e
segurança dos produtos. Normalmente os lados econômico e de aparência
ficam num segundo plano, entretanto também possuem sua importância no
processo de escolha.
(g) O octaedro pode ser dividido em duas pirâmides de base quadrada com
arestas de 2cm e altura aproximada de 1,5cm. Área da base: AB = l2
AB = 22 AB = 4cm2. Volume da pirâmide: V =
V =
V = 2cm3.
Como o pingente de formato octaédrico pode ser decomposto em duas
pirâmides, o volume total do pingente é dado por VT = 2.2 VT = 4cm3. Para o
cálculo da massa (M) dessa peça é preciso levar em consideração a densidade
(d) do ouro 18 quilates, ou seja, d = 16g/cm3. Então, a massa pode ser dada
por M = V . d M = 4.16 M = 64g de ouro 18 quilates.
AVALIAÇÃO
Tempo previsto: 04 aulas (02 aulas Prova escrita e 02 aulas Recuperação)
Na perspectiva adotada para este trabalho a avaliação é vista
como parte integrante do processo de ensino e de aprendizagem, como forma
de regular e guiar esse processo. A avaliação deve contribuir para que o
professor possa checar os resultados das ações do processo como um todo e
ajudar na tomada de decisões futuras, melhorando suas práticas de ensino. Ao
estudante, a avaliação deve fornecer um feedback sobre o seu próprio
processo de aprendizagem, proporcionando-lhe a oportunidade de identificar
suas próprias dificuldades e de buscar a sua superação.
Segundo Ciani (2012, p. 47), a avaliação
(...) deve fornecer informações para professores e alunos de modo a poderem reorientar suas práticas, assim todos os elementos constituintes da avaliação devem ser pensados e formulados a fim de possibilitarem a aprendizagem de matemática, desde os instrumentos utilizados, os critérios de correção e classificação adotados até a comunicação das informações.
Esta proposta de trabalho segue uma forma de avaliação e
recuperação de conteúdos adaptada do estudo da Profª Aurea de Gouveia Piai,
intitulado Recuperação Paralela em Matemática: uma oportunidade de
aprender, o qual foi apresentado ao Programa de Desenvolvimento
Educacional do Estado do Paraná / PDE no ano de 2007.
Para a elaboração de um instrumento avaliativo significativo
Buriasco (2000) destaca que é preciso definir princípios em função de objetivos
que se pretendem alcançar. Portanto é necessário que o professor tenha claro
o que pretende avaliar em uma prova: objetivos definidos para cada questão da
prova, equilíbrio na complexidade das questões utilizadas, critérios de correção
e dosagem do número de questões adequada ao tempo que o aluno terá para
resolvê-las.
No momento da aplicação da prova escrita, mediante o que foi
discutido durante a resolução das tarefas em sala, os alunos devem ser
incentivados a resolver os problemas (de forma individual e sem consulta a
nenhum material) de acordo com o que sabem e o que entenderam.
Tanto na correção da prova escrita como também na aplicação de
outros instrumentos avaliativos, deve ser valorizado o que o aluno produzir,
mesmo que ele não apresente uma solução considerada correta para o
problema. O professor deve analisar e valorizar todo o caminho percorrido pelo
aluno, pontuando de acordo com os critérios de correção estabelecidos (
intenções do professor quando formulou a prova escrita).
Na folha da prova escrita e resolvida pelo aluno, o professor não
deve indicar a nota que ele recebeu em cada questão. Para sua organização
deve produzir uma planilha à parte. O professor deve combinar com os alunos
símbolos para indicar solução correta, solução parcialmente correta ou solução
incorreta. Com isso, a intenção é que o aluno perceba o seu próprio modo de
lidar com a questão.
RECUPERAÇÃO DE ESTUDOS
Para a Recuperação de estudos os alunos serão separados em
duplas pelo professor, procurando juntar alunos que obtiveram as maiores
notas na prova escrita com alunos que obtiveram as menores notas. Na
sequência os alunos recebem a prova corrigida (somente com símbolos) e
mais uma folha para registro das novas resoluções com o título Recuperação
Paralela.
Neste momento do processo, os alunos devem ser orientados a
rever cada uma das questões da prova e a sua resolução. Caso a questão
estiver assinalada como correta o aluno deve justificar como pensou e procurar
apresentar uma outra forma de resolução. No entanto, se a questão estiver
assinalada incorreta ou parcialmente correta, ele deverá explicar o quê errou e
apresentar uma forma correta de resolução.
Com a comparação de variadas formas de resolução e a troca de
ideias pretende-se possibilitar aos alunos a percepção de seus erros e aquilo
que precisa ser aprimorado para um melhorar seu desempenho dentro do
processo de ensino. Ao apresentar uma justificativa os alunos podem
demonstrar seus esforços de reflexão e compreensão daquilo que fizeram de
correto ou incorreto. Conforme Piai (2007) o processo avaliativo não deve se
tratar apenas de uma oportunidade para a correção dos erros, mas sim para
aprender a partir deles.
Nas duas etapas deste instrumento avaliativo as questões terão o
mesmo valor, podendo o aluno atingir o máximo de 2,5 pontos em cada uma
das etapas, perfazendo um total de 5,0 pontos na prova escrita. Desta forma, a
Recuperação de estudos não se resumirá apenas numa outra prova escrita
substitutiva, mas como parte integrante do processo de ensino e de
aprendizagem.
Os outros 5,0 pontos serão voltados para outros instrumentos
avaliativos, distribuídos como nota de participação, envolvimento e registros
dos alunos na resolução das tarefas em sala de aula, durante a aplicação desta
Unidade Didática.
_______________________________________________________________
4. REFERÊNCIAS _______________________________________________________________
CIANI, Andréia Büttner. O realístico em questões não-rotineiras de matemática. 2011. 166f. Tese (Programa de Pós-Graduação em Ensino de
Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2012.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações, v2. 1. ed. São Paulo: Ática, 2011.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações, v2. 6. ed. São Paulo:
Saraiva, 2010.
MACHADO, Nilson José. Os poliedros de Platão e os dedos da mão – coleção vivendo a matemática, 8.ed. São Paulo: Scipione, 2000.
PIAI, Aurea de Gouveia. Recuperação Paralela em Matemática: uma oportunidade de aprender. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. O professor PDE e os desafios da escola pública paranaense, 2007. Curitiba: SEED/PR., 2011. V.1. (Cadernos PDE). Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2007_uel_mat_artigo_aurea_de_gouveia_piai.pdf>. Acesso em 29/09/16. ISBN 978-85-8015-037-7
Portal Mundo Educação - Ligas metálicas. Disponível em:
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/quimica/ligas-metalicas.htm>. Acesso em 23 de novembro de 2016.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática, v3 : ensino médio.
2. ed. São Paulo: FTD, 2013.
TROTTA, Fernando, IMENES, Luiz Márcio Pereira, JAKUBOVIC, José. Matemática aplicada, v3. 3. Ed. São Paulo: Moderna, 1980.
YouTube. 5 Fatos Incríveis (que você não sabia) sobre as Pirâmides Egípcias. Vídeo Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=q0BxKF2RGzI>. Acesso em 21 de nov. de 2016.
_______________________________________________________________
5. ANEXOS _______________________________________________________________
Anexo 1
CONCEITOS ADOTADOS NA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
Na sequência, apresentamos alguns conceitos com referência à
bibliografia consultada, e que devem ser trabalhados com os alunos na medida
em que o professor regente julgar necessário.
TAREFA 1 – INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
GEOMETRIA ESPACIAL: estuda as figuras geométricas (no espaço) que
possuem 3 dimensões (altura, largura e comprimento). O termo Geometria
resulta do grego “Geo” (terra) e “métron” (medir), cujo o significado em geral
é designar propriedades relacionadas com a posição e forma de objetos no
espaço.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: região do espaço limitada por uma superfície
fechada. Formas tridimensionais idealizadas pela Geometria.
TAREFA 2 – ESTUDO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Polígono: linha fechada formada apenas por segmentos de reta (lados) que
não se cruzam. O prefixo poli- indica muitos e o sufixo –gono indica ângulos.
Assim, polígono indica uma figura geométrica de muitos ângulos.
Polígono convexo: polígono em que todos os ângulos internos são menores
do que 180°. Dizemos também que pé um polígono é convexo quando,
tornando-se como referência qualquer um de seus lados, o polígono fica
situado em um mesmo semipleno em relação a esse lado.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações, v2. 1. ed. São
Paulo: Ática, 2011. p.354.
Um Sólido Geométrico é uma região do espaço limitada por uma superfície.
Os Sólidos Geométricos dividem-se em dois grandes grupos: Poliedros e Não
poliedros. Poliedros: São sólidos limitados por superfície planas. Não
Poliedros: São sólidos que tem pelo menos uma das faces que não é plana.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações, v2. 1. ed. São
Paulo: Ática, 2011. p.207.
***************
Os poliedros são sólidos geométricos limitados por superfícies planas
poligonais. Em um poliedro, podemos destacar os seguintes elementos:
As faces são os polígonos que limitam os poliedros. A quantidade de
faces de um poliedro é finita.
As arestas são os lados de cada face do poliedro, sendo que cada
aresta é comum a somente duas faces.
Os vértices são os pontos de intersecção de três ou mais arestas,
sendo que os vértices de cada face são também vértices do poliedro.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar Matemática, v3. 2. ed. São Paulo:
FTD, 2013. p.70.
***************
Quando examinamos as formas tridimensionais idealizadas pela Geometria,
estamos observando sólidos geométricos.
Os sólidos geométricos mais simples podem ser de dois tipos:
Poliedros: sólidos geométricos cujas superfícies são formadas apenas por
polígonos planos (triângulos, quadriláteros, pentágonos etc). A palavra
“poliedro” vem do grego antigo “poli” (vários) e “edros” (faces). Em um
Poliedro podemos distinguir: faces (polígonos planos), quinas (arestas) e
pontas (vértices).
Corpos Redondos: sólidos geométricos cujas superfícies têm ao menos uma
parte que é arredondada (não plana).
Os poliedros podem ser divididos em dois grupos, de acordo com certas
características comuns:
PRISMAS: poliedros em que duas de suas faces são denominadas bases e as
demais, faces laterais. As bases de um prisma sempre são idênticas e
paralelas entre si. As faces laterais são quadriláteros.
PIRÂMIDES: poliedros que possuem uma face denominada base e as demais
são as faces laterais. Suas faces laterais são triângulos.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações, v2: ensino médio.
6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p.183.
TAREFA 3 – POLIEDROS CÔNCAVOS E CONVEXOS
Uma região do plano é convexa quando o segmento de reta que liga dois
pontos quaisquer dessa região está inteiramente contida nela. (...) podemos
dizer também que uma região plana é convexa se qualquer reta r desse plano
intersecta seu contorno em, no máximo, dois pontos.
Um polígono é convexo quando o segmento que liga dois de seus pontos
está sempre contido nele. De modo equivalente, podemos dizer que um
poliedro é convexo se qualquer reta não paralela e nenhuma das faces
intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações: v2. 1. ed. São
Paulo: Ática, 2011. p.207.
TAREFA 4 – RELAÇÃO DE EULER
O suíço Leonhard Euler (1707-1783) realizou muitas contribuições à
Matemática. Mesmo ficando cego aos 59 anos de idade, Euler continuou seus
estudos. É prováel que nenhum outro matemático tenha produzido tanto quanto
ele, que durante toda a vida publicou cerca de 500 trabalhos, entre livros e
artigos.
Dentre as várias contribuições de Euler, podemos destacar uma importante
relação envolvendo o número de faces (F), aretas (A) e vértices (V) de um
poliedro.
(...) Em cada poliero [convexo] podemos notar que o nº de vértices mais o nº de
faces é igual ao nº de arestas mais dois. Podemos escrever essa relação da
seguinte forma: V + F = A + 2.
Essa igualdade é conhecida como Relação de Euler e é válida para todo
poliedro convexo. No entanto, essa relação é válida também para alguns
poliedros não convexos.
Os poliedros cuja Relação de Euler é válida são chamdos poliedros eulerianos.
Assim, podemos afirmar que todos os polieros convexos são eulerianos, mas
nem todo poliedro euleriano é convexo.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática, v3. 2. ed. São Paulo:
FTD, 2013. p.73.
TAREFA 5 – POLIEDROS DE PLATÃO
Um Poliedro de Platão satisfaz simultaneamente as seguintes condições:
Todas as faces têm o mesmo número de arestas;
De cada vértice parte o mesmo número de arestas;
A Relação de Euler é válida.
Em relação aos Poliedros de Platão, temos a seguinte propriedade: Existem 5,
e somente 5, classes de Poliedros de Platão.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática, v3. 2. ed. São Paulo:
FTD, 2013. p.74.
***************
Só existem cinco tipos de sólidos geométricos que podem ser classificados
como Poliedros de Platão, são eles: o tetraedro, o octaedro e o icosaedro
regulares que possuem faces triangulares; o hexaedro regular formado por
faces quadradas; e o dodecaedro regular que é um poliedro com faces
pentagonais.
Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-
poliedros-platao.htm , com acesso em 29/05/16.
***************
Platão (427 a.C.–347 a.C.) foi um filósofo grego, discípulo de Sócrates,
nascido em Atenas. Em 387 a.C., após a morte de seu mestre fundou em sua
cidade natal uma escola que ficou conhecida como “Academia”. Na fachada
dessa escola, podia-se ler: “Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui”.
Nessa frase, podemos observar que, apesar de Platão não ter dado
contribuições significativas aos resultados matemáticos técnicos da época, ele
tinha uma grande admiração pela Geometria.
Comumente é dito que Platão passou a ter uma visão matemática por
influência de um amigo, Arquitas. Acredita-se também que foi a partir daí que
ele soube da existência de cinco poliedros: o tetraedros, o cubo, o octaedro, o
icosaedro e o dodecaedro. Nessa época, esses poliedros eram associados aos
quatro elementos considerados primordiais: ar, associado ao octaedro; terra,
associado ao cubo; fogo, associado ao tetraedro; e água, associada ao
icosaedro. O quinto e último poliedro foi o dodecaedro, que Platão considerou o
símbolo do Universo.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática, 3: ensino médio. 2. ed.
São Paulo: FTD, 2013. p.74.
TAREFA 6 – ÁREA DE SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
Área da superfície de um prisma
Para iniciar o estudo acerca do cálculo da área da superfície de um prisma,
faremos algumas considerações. Em um prisma:
A superfície lateral corresponde à reunião de todas as suas faces
laterias, sendo a área dessa superfície a área lateral do prisma (AL);
A área da base corresponde a àrea do polígono que constitui cada uma
das bases do prisma (AB);
A superfície total corresponde à reunião da superfície lateral com as
bases, sendo a área dessa superfície a área total do prisma (AT).
Assim, a área total da superfície de um prisma corresponde à área lateral
mais duas vezes a área da base, isto é AT = AL + 2AB.
Área do quadrado: A = l2 Área do triângulo: A =
Área do retângulo: A = b.h Área do triângulo equilátero: A = √
Área do hexágono: A = √
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática, v3. 2. ed. São Paulo:
FTD, 2013. p.79-84.
TAREFA 7 – VOLUME E CAPACIDADE DE UM PRISMA
Volume de um prisma qualquer: V = AB . h
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações: v2. 1. ed. São
Paulo: Ática, 2011. p.224.
***************
Unidades de volume
Medir uma grandeza é compará-la com outra, de mesma espécie, tomada
como unidade. Para obter o volume de um sólido devemos compará-lo com
outro tomado como unidade. Toma-se para unidade o volume de um cubo de
aresta unitária, isto é, o cubo de aresta 1 (um), por convenção. Assim, o cubo
de aresta 1cm terá volume 1cm3.
O cubo de aresta 1m tem volume 1m3 e o cubo de aresta 1dm tem volume
1dm3. Uma unidade de volume muito usada na prática é o litro, sendo que um
litro equivale a um decímetro cúbico, isto é, a capacidade de uma caneca
cúbica de aresta 1dm é 1litro.
Então: 1 metro cúbico (m³) corresponde à capacidade de 1000 litros.
1 decímetro cúbico (dm³) corresponde à capacidade de 1 litro.
TROTTA, Fernando, IMENES, Luiz Márcio Pereira, JAKUBOVIC, José.
Matemática aplicada, v3. 3. Ed. São Paulo: Moderna, 1980. p. 125.
TAREFA 8 – ÁREA DE SUPERFÍCIE DE UMA PIRÂMIDE
Área da superfície de uma pirâmide
Assim como os prismas, temos em uma pirâmide que:
A superfície lateral corresponde à reunião de todas as suas faces
laterias, sendo a área dessa superfície a área lateral da pirâmide (AL);
A área da base corresponde a àrea do polígono que constitui cada uma
das bases da pirâmide (AB);
A superfície total corresponde à reunião da superfície lateral com as
bases, sendo a área dessa superfície a área total da pirâmide (AT).
Assim, a área total da superfície de da pirâmide corresponde à área lateral
mais a área da base, isto é AT = AL + AB.
Área da superfície da pirâmide regular: AT = AL + AB = 4.
+ l2 = 2lg + l2
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática, v3. 2. ed. São Paulo:
FTD, 2013. p.94.
TAREFA 9 – VOLUME E CAPACIDADE DE UMA PIRÂMIDE
Volume da pirâmide:
Comprovação experimental
Utilizando papel cartão faça duas canecas: uma prismática e outra piramidal,
de bases equivalentes e alturas iguais. Encha a caneca piramidal com grãos de
arroz cru e despeje o conteúdo na caneca prismática. Verá que, para encher a
caneca prismática, será necessário repetir a operação três vezes.
É claro que com um pouco de técnica, a qualidade dessa experiência pode ser
melhorada, por exemplo usando canecas metálicas e água em vez de grãos de
arroz. Dentro dos limites do erro experimental, podemos então afirmar que o
volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma que tem a mesma
base e a mesma altura que ela.
As conclusões teóricas que temos tirado então estão baseadas no Princípio de
Cavalieri. Como a experiência vem comprovando essas conclusões,
prosseguiremos usando as ideias do discípulo de Galileu.
Princípio de Cavalieri:
Sejam S1 e S2 dois sólidos quaisquer. Se todo plano horizontal seciona S1 e
S2 segundo figuras planas equivalentes, então os sólidos S1 e S2 são
equivalentes.
Sejam S1 e S2 dois sólidos quaisquer. Se todo plano horizontal seciona S1 e
S2 segundo figuras planas de mesma área, então: volume de S1 = volume de
S2.
TROTTA, Fernando, IMENES, Luiz Márcio Pereira, JAKUBOVIC, José.
Matemática aplicada, v3. 3. Ed. São Paulo: Moderna, 1980. p 140-141-172.
***************
A massa específica (densidade) do ouro puro (24 quilates) é de 19,32 g/cm³, o
que significa que um cubo com 10 cm de lado (um litro) de ouro puro pesa
quase vinte quilogramas (19,32 kg).
Por outro lado, o ouro 18 quilates não é puro, e sim uma liga feita com 75% de
ouro e 25% de outros metais. Existem muitos tipos de ouro 18 quilates. As ligas
mais comuns pesam aproximadamente 16 kg por litro (densidade de 16 g/cm³).
Disponível em https://ipemsp.wordpress.com/tag/densidade/ , com acesso em
23/11/2016.
***************
Anexo 2
PLANIFICAÇÃO PIRÂMIDE DE BASE QUADRANGULAR
Base v
azada
Base vazada
Anexo 3
PLANIFICAÇÃO PRISMA: PARALELEPÍPEDO
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