POLIEDROS DE POLIEDROS DE PLATÃOPLATÃO

Poliedros ou particularmente sólidos de Platônicos, tem sido estudados há milhares de anos.

Platão já destacava a beleza das formas dos cinco sólidos regulares: cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

““Poliedro é uma reunião de um Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, número finito de polígonos planos, onde cada lado de um desses onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono”, apenas um, outro polígono”, podendo ser côncavo ou convexo.podendo ser côncavo ou convexo.

Os poliedros convexos possuem Os poliedros convexos possuem nomes especiais, de acordo com o nomes especiais, de acordo com o número de faces:número de faces:

• Tetraedro: poliedro convexo com quatro faces;Tetraedro: poliedro convexo com quatro faces;• Pentaedro: poliedro convexo com cinco faces;Pentaedro: poliedro convexo com cinco faces;• Hexaedro: poliedro convexo com seis faces;Hexaedro: poliedro convexo com seis faces;• Heptaedro: poliedro convexo com sete faces;Heptaedro: poliedro convexo com sete faces;• Octaedro: poliedro convexo com oito faces;Octaedro: poliedro convexo com oito faces;• Icosaedro: poliedro convexo com vinte faces.Icosaedro: poliedro convexo com vinte faces.

São elementos dos poliedros:São elementos dos poliedros:

Face

Vértice

Aresta

Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares iguais, e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas.

São Poliedros de Platão:São Poliedros de Platão:

Cubo

V= 8

A=12

F= 6

Tetraedo

V= 4

A= 6

F= 4

Octaedro

V= 6

A= 12

F= 8

Dodecaedro

V= 20

A= 30

F= 12

Icosaedro

V= 12

A= 30

F= 20

Relação de Euler:Relação de Euler:

Em todos os poliedros convexos, Em todos os poliedros convexos, podemos notar que vale a relação de podemos notar que vale a relação de Euler:Euler:

V – A + F = 2

Exercício:Exercício:

Usando a relação de Euler determine Usando a relação de Euler determine o número de arestas e de vértices de o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces um poliedro convexo com seis faces quadragulares e quatro faces quadragulares e quatro faces triangulares:triangulares:

SoluçãoSolução

6 faces quadrangulares – 6X4 = 24 arestas

4 faces triangulares – 4X3 = 12 arestas

Número total de arestas = 36

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos: 2ª = 36 A = 18

Aplicando a relação de de Euler temos:

A + 2 = V + F 18 + 12 =