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7/17/2019 IntroducaoFEA

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Análise por ElementosFinitos

Prof a. Geice Paula Villibor

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIC

Departamento de Engenharia de Produção e MecânicaMEC 492 – Tópicos Especiais II

Viçosa- MG



Análise por Elementos Finitos

O objetivo da disciplina é prover osconhecimentos e fundamentos iniciais sobreo método de elementos finitos, aplicando-opara solução de problemas em diferentesáreas da engenharia.




Conteúdo analítico resumido:

1 – Introdução;

2 – Elementos lineares unidimensionais;3 – Matrizes elementos: formulação de Galerkin;4 – Elementos bidimensionais;5 – Sistemas de coordenadas;6 – Aplicações em problemas gerais de engenharia;7 – Mecânica estrutural e de sólidos.




Critério de Avaliação

• I Prova – Data: 25/09/2013 (30%)• II Prova – Data: 03/02/2014 (30%)• Trabalho final – Data: 10/02/2014 (30%)• Listas de exercícios (10%)

Não serão aceitos trabalhos, listas esimilares entregues fora da datacombinada.




Trabalho Final - Data: 10/02/2014 (30%)• O objetivo principal é aplicar o método de elementos

finitos para resolução de problemas na área daengenharia mecânica;

• O trabalho escrito deverá conter todas as consideraçõesteóricas necessárias e ser organizado na seguinteestrutura: (i) Introdução, (ii) Material e métodos,

(iii) Resultados e discussão, (iv) Conclusões e(v) Referências Bibliográficas;• Apresentação oral (20 minutos);

• Deverá ser realizado em duplas.



Análise por Elementos FinitosReferências Bibliográficas:

SEGERLIND, L. J. Applied finite element analysis. Second Edition. New York, EUA, John Wiley & Sons Inc., 1984, 427 p.

HUEBNER, K. H.; DEWHIRST, D. L.; SMITH, D. E.; BYRON, T. G. Thelement method for engineers. Fourth edition, New York, EUA, JohWiley & Sons Inc., 2001, 720 p.

BATHE, K. Finite element procedures. Prentice Hall, 1996, 1037p.RAO, S. S. The Finite Element Method in Engineering. 4ª Edition, Miami,

Elsevier Science & Technology Books, 2004, 661p.REDDY, J. N. An Introdution to the finite element method. Secod edition,

Singapore, McGraw-Hill International Editions, 2006, 766p.ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L.; ZHU, J. Z. The finite element methobasis and fundamentals. Sixth edition. Elsevier Butterworth-Heinemann,2005, 733p.

ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L. The finite element method: for solid structural mechanics. Sixth edition. Elsevier Butterworth Heinemann,2005, 631p.



Considerações iniciais

O Método de Elementos Finitos é um procedimentonumérico amplamente utilizado para obtenção desoluções de muitos problemas de engenharia.

Análise de tensões em umabielahttp://www.meta-synthesis.com

Análise da chapa de base de um compressor a gáswww.howden.com



Considerações iniciaisFinite Element Meshes of the Human Mandible and Teeth(Ribeiro, 2009)

http://www.flometrics.com

• Método é muito aplicado emproblemas das áreas de saúde;• Análise de tensões, deformações,fluido dinâmica, transferência de calor

entre outras áreas.




O Método de Elementos Finitos possui duas subdivisõesoriginais:

1) Utilização de elementos discretos para obter osdeslocamentos e forças atuantes em uma estrutura:( Análise matricial de estruturas, obtém-se solução exata)

2) Elementos contínuos para obter soluções aproximadade problemas envolvendo transferência de calor,mecânica dos fluidos e mecânica dos sólidos.




A segunda abordagem é o verdadeiro método deelementos finitos o qual produz valores aproximados deparâmetros desejados em pontos específicos chamadosnós;

Programas computacionais são capazes de resolver osdois tipos de problemas;

O MEF combina muitos conceitos matemáticos paraproduzir sistemas de equações lineares e não-lineares;

O sistema pode ter desde uma dezena de equações atémilhares ou milhões de equações a serem resolvidas.




Conceitos básicos nos quais o método se fundamentaforam estabelecidos a mais de 150 anos;

O método da forma como é conhecido hoje foi

desenvolvido nos anos 1950;O matemático Richard Courant, no estudo da torção de Saint-

Venant, empregou de forma pioneira em 1943 o método deRayleigh-Ritz em subdomínios na comcepção de elementosfinitos. (Bulletin of America Mathematic Society, vol. 49, pp. 1-

23)




A exploração espacial fez com que recursos fossemdisponibilizados para o desenvolvimento do método eestimulou o desenvolvimento de programascomputacionais;

Aviões, mísseis, cápsulas espaciais e outros, foram asáreas de aplicação do método.




Vantagens do método: – Facilmente aplicado a corpos com formato irregular; – Possibilita a análise de corpos com diferentes

materiais e submetidos a diferentes condições decontorno; – Pode ser usado para resolver problemas em estado

permanente e problemas transientes;

– Pode ser usado para analisar corpos que apresentammateriais com propriedades não lineares; – Programas de uso geral podem ser desenvolvidos.




• Hoje em dia estão disponíveis no mercado diversosprogramas computacionais que utilizam elementosfinitos;

• Programas geradores de malhas;

• Ansys, Abaqus, LS-Dyna, Nastran entre outros.

• Gmsh, QMG entre outros.



1.1. Solução de problemas envolvendocondições de contorno

Problemas físicos envolvendo a solução de equaçõesdiferenciais: – Solução analítica é a melhor porque é exata

Em um número muito grande de situações a soluçãoexata não pode ser obtida ou é muito difícil de serobtida; – Por exemplo, o formato do corpo pode ser irregular e ter

seu contorno impossível de ser descrito matematicamente; – O corpo pode ser constituído de diferentes materiais; – O material ou, os materiais, do qual o corpo é constituído

pode ter propriedades não lineares.




Métodos numéricos podem ser utilizados para obtenção deuma solução aproximada;

Todas soluções numéricas produzem resultados emdeterminados pontos (solução discreta) para um dadoconjunto de parâmetros independentes;O processo de solução é repetido sempre que os valores dosparâmetros variarem;

Uma solução aproximada é mais desejável do que não ternenhuma solução;

Os valores calculados fornecem informação sobre o processofísico mesmo que eles sejam apresentados em determinados

pontos do domínio (solução discreta);




Métodos numéricos para a solução de equaçõesdiferenciais podem ser divididos em três gruposbásicos:

1. Método das diferenças finitas;2. Método variacional;3. Método dos resíduos ponderados.




Método das diferenças finitas: – O valor das derivadas são aproximadas usando

equações de diferenças; – Usado na solução de problemas de transferência de

calor e mecânica dos fluidos; – É um bom método de solução para problemas

bidimensionais, com linhas de contorno paralelas aoseixos de coordenadas;

– O método se torna difícil de ser aplicado paracontornos curvos ou irregulares; – É difícil de se desenvolver programas de computador

de uso geral para esse método.




Método variacional: – A clássica formulação variacional refere-se à

construção de umfuncional, ou um princípiovariacional, que seja equivalente às equaçõesgovernantes do sistema (REDDY, 2006);

– A função correspondente ao extremo do funcional

variacional será a solução das equações diferenciaisdo contínuo;




Método variacional: – Envolve a solução de uma função na forma de

integral que produz um valor numérico;

– A função que produz o mais baixo valor tem apropriedade de satisfazer uma equação diferencialespecífica;

– Em análises de tensão, o funcional é a função energiapotencial (Mínima energia potencial).



1.1 Solução de problemas envolvendocondições de contorno

Método variacional: – Como exemplo, vamos considerar a seguinte integral

– O valor numérico deΠ pode ser calculado para umadeterminada função y=f(x).

– O cálculo variacional mostra que uma função particulary=g(x) que fornece o menor valor deΠ é a solução da

equação diferencial

– Com as condições de contorno y(0)=y0 e y(H)=y

H




Método variacional: – Dada uma equação diferencial, uma solução

aproximada pode ser obtida substituindo diferentesfunções num funcional aproximado;

– A função que fornecer o mínimo valor deΠ é asolução aproximada;

– O método variacional é a base para muitas soluçõespor elementos finitos, mas tem uma desvantagem

• Não é aplicável para equações diferenciais que contenham

termos de derivada de primeira ordem.




Método dos resíduos ponderados: – O método dos resíduos ponderados também envolve

uma integral;

– Uma solução aproximada é substituída na equaçãodiferencial;

– Uma vez que a solução aproximada não satisfazexatamente a equação, um resíduo ou termo de erroé obtido;




Método dos resíduos ponderados: – Suponha que y=h(x) é uma solução aproximada da

equação:

– Com as condições de contorno y(0)=y0 e y(H)=yH.• Substituindo y=h(x) nessa equação diferencial obtém-se

– Uma vez que y=h(x) não satisfaz exatamente aequação.




Método dos resíduos ponderados – O método dos resíduos ponderados estabelece que:

– O resíduo R(x) é multiplicado por uma função peso Wi(x). – A integral do produto é requerida ter valor zero. – O número de funções peso é igual ao número decoeficientes a serem determinados na solução aproximada – Existe várias opções de funções pesos que podem ser

escolhidas, algumas das mais populares receberam nomesespecíficos.




Método dos resíduos ponderados – Método da colocação

• Utiliza a função impulso como função peso

• Significa fazer com que o resíduo seja zero emalgum ponto do domínio.

• O número de pontos em que o resíduo deve serzero é igual ao número de coeficientes a seremdeterminados na solução aproximada.




Método dos resíduos ponderados – Método do subdomínio

• Cada função peso é assumida com sendo igual a 1 emuma região específica.

• Isso é equivalente a fazer com que a integral dosresíduos ao longo do intervalo de uma região sejazero.

• O número de intervalos de integração deve serigual ao número de coeficientes a seremdeterminados na solução aproximada.




Método dos resíduos ponderados – Método de Galerkin

• O método de Galerkin usa a mesma função da equaçãoaproximada como função peso;

• Essa forma de solução é base do método de elementosfinitos para problemas envolvendo derivadas deprimeira ordem;

• Esse método fornece os mesmos resultados que ométodo variacional quando as equações diferenciaissão do tipo auto-adjunta (differential equations that areself-adjoint);

• O método de Galerkin será usado para obtenção dasolução de equações diferenciais.




Método dos resíduos ponderados – Método dos mínimos quadrados

• O método de mínimos quadrados utiliza o próprioresíduo como função peso, e obtém um novotermo de erro dado por:

• O erro é minimizado com respeito aos coeficientes aserem determinados da solução aproximada.




Método dos resíduos ponderados – Método dos mínimos quadrados

• O método de mínimos quadrados tem sido

utilizado em formulações de elementos finitos masnão é tão popular quanto o método de Galerkin ouo método do variacional.




O método variacional e o método dos resíduosponderados envolve a solução de uma integral;

Esses métodos são denominados como formulaçãointegral;

Ilustraremos o uso desses métodos resolvendo um

problema bastante simples.



1.2. Formulação integral para soluçõesnuméricas

Obtenção da deflexão (y) de uma viga simplesmenteapoiada submetida a momentos concentrados nasextremidades

Equação diferencial governante

Condições de contorno:



1.2 Formulação integral para soluçõesnuméricas

Obtenção da deflexão (y) de uma viga simplesmenteapoiada submetida a momentos nas extremidades

O coeficiente EI representa a resistência da viga àdeflexão e M(x) é a equação do momento fletor;

Nesse exemplo, M(x) é constante e igual a M0.





Uma solução aproximada para a deflexão da viga é:

Em que, A é um coeficiente a ser determinado.Essa solução é uma candidata aceitável pois satisfaz as

condições de contorno y(0)=0 e y(H)=0.





A solução exata dessa equação diferencial é:




Método variacional – A integral que fornece a solução da equação é:

— O valor de A da equação

que faz com que esta seja a melhor aproximaçãopara a deflexão é aquele que torna o valor deΠ mínimo.




Método variacional – Para obter o valor de A,Π deve ser escrito como uma função de A eentão minimizado em relação a A. – Derivando y(x) em relação a x obtém-se:

— Substituindo essa equação na integral tem-se:




Método variacional – A solução da integral fornece:

— O valor mínimo deΠ em relação a A é




Método variacional – Isolando o valor de A obtém-se:

— A solução aproximada, pelo método variacional, para aequação diferencial é, portanto:




Método da colocação (Resíduos Ponderados) – O método da colocação requer que a equação do resíduo da soluçã

aproximada seja zero em tantos pontos quantos forem oscoeficientes da equação aproximada a serem determinados;

– A equação do resíduo é obtida substituindo a equação aproximadaequação diferencial a ser resolvida;

– Ou seja,

— Uma vez que:




Método da colocação – Existe somente um coeficiente a ser determinado, portanto,

R(x) deve ser igualado a zero em um ponto entre 0 e H. – Selecionando x=H/2, por conveniência, obtém-se:

— Portanto,




Método da colocação – A solução aproximada pelo método da colocação é,

portanto,

—Se tivéssemos escolhido outro ponto que não ox=H/2, uma solução aproximada diferente teria sidoobtida.




Método do subdomínio – O método do subdomínio requer que

ao longo de quantos intervalos quantos forem onúmero de coeficientes indeterminados.

– O usuário pode escolher a faixa de cada intervalo; – No presente exemplo, tem-se apenas um coeficiente a sdeterminado, dessa forma o intervalo deve ser

[0, H].




Método do subdomínio – A equação do resíduo é

– Resolvendo-se a integral obtém-se:

– Isolando o termo A obtém-se:




Método do subdomínio

– A solução aproximada pelo método do subdomínio é,portanto,




Método de Galerkin – A solução é obtida resolvendo-se a integral:

– A função peso é escolhida como sendo igual a função aproximada – Nesse exemplo usaremos como função peso a funçãoWi(x)=sen(π x/H). – Dessa forma,

– Resolvendo essa integral obtém-se:




Método de Galerkin – Isolando o valor de A obtém-se:

– A solução aproximada usando o método de Galerkin, éportanto:

– Essa solução é idêntica a obtida pelo método variacion




Método dos mínimos quadrados – A solução é obtida criando-se um termo erro definido p

– No exemplo em questão tem-se:

– Resolvendo essa integral obtém-se:




Método dos mínimos quadrados – O erro é minimizado fazendo a derivada de Er com

relação a A igual a zero:

– Isolando-se o valor de A dessa equação e substituindo equação aproximada obtém-se:

– Essa solução é idêntica a obtida pelos métodosvariacional e Galerkin;




Não é possívelestabelecer qualmétodo é mais exato;O erro depende da

função de aproximaçãoe da equação que estásendo resolvida;O erro percentual para

o problema analisado éapresentado na Figuraao lado;




Pela figura apresentada parece que os métodos do Variacional, Galerkin e Mínimos Quadrados são melhorque os métodos de colocação e do subdomínio;

Entretanto, é possível encontrar um ponto de colocaçãoem que a deflexão máxima calculada é a deflexãomáxima obtida analiticamente;

O ponto de colocação ou as sub-regiões selecionadasafetam a exatidão das soluções aproximadas.

l l l




Por esse exemplo pode-se ver que a solução de umaequação diferencial pode ser obtida por umaformulação integral;

A formulação integral é a base do método deelementos finitos.



1.3. Formulação pela energia potencial

A solução de problemas de mecânica dos sólidos, o que incluiproblemas bi e tridimensionais de elasticidade assim comoestruturas tipo placas e cascas podem ser obtidas de diferentesformas.

– O método clássico de solução é formular as equaçõesdiferenciais que governam o problema e resolvê-lasanaliticamente;

– Entretanto, isso não pode ser aplicado em diversos problemasdevido as dificuldades de representar matematicamente ageometria dos corpos e as condições de contorno;

– Uma alternativa é usar um método numérico com base noprincípio que estabelece que os deslocamentos da estrutura naposição de equilíbrio ocorre de tal forma que a energia potenciade um sistema estável é mínima.




O termo que contribuí para a energia potencial é aenergia de deformação; Essa energia é armazenada durante o processo dedeformação;

A energia de deformação é obtida integrando o produtoda tensão pela deformação unitária ao longo do volumedo corpo;Por exemplo, a energia de deformação de um membrosubmetido a um esforço axial é:




A análise dos deslocamentos de problemas estruturaisou mecânica do sólidos combina, portanto, a avaliaçãode uma integral com um processo de minimização;

Numericamente, a análise de uma estrutura tipo treliçaou tipo placa é muito similar ao método variacional ouao método Galerkin, já apresentado.



1.4. O método de elementos finitos

O método de elementos finitos é um método numéricopara solução de problemas governados por equaçõesdiferenciais ou pelo teorema da energia;

Duas características distingue esse método dos outros:

– O método utiliza uma formulação integral para gerarum sistema de equações algébricas; e

– O método utiliza funções contínuas e suaves (ou seja,sua derivada pode ser determinada) divididas porregiões do corpo (elementos) para obter os valoresaproximados das variáveis a serem determinadas.




Um modelo de elementos finitos para determinação dadeflexão de uma viga bi-apoiada pode ser obtido deduas formas: – Criando-se uma série de nós e considerando que

entre cada par de nós sucessivos a deflexão varialinearmente com a coordenada x (ou seja, cadaelemento é constituído por dois nós); ou




- Criando-se uma série de nós e considerando que paracada conjunto de três nós sucessivos a deflexão variasegundo uma função quadrática com a coordenada x (ouseja, cada elemento é constituído por três nós).




(a) modelo de elementos finitos utilizando elementoslineares e (b) modelo de elementos finitos utilizandoelementos quadráticos




O método de elementos finitos pode ser dividido emcinco passos:

I. Discretize a região. Isso inclui a locação enumeração dos nós e a especificação de suascoordenadas;

II. Defina uma equação aproximada. A ordem daaproximação, linear ou quadrática, deve serdefinida e as equações devem ser escritas emtermos dos valores nodais a serem determinados.Uma equação é escrita para cada elemento.




III. Desenvolva o sistema de equações. Quando usar ométodo de Galerkin, a função peso para cada valornodal a ser obtido é definido e a integral dosresíduos ponderados é resolvida. Isso gera umaequação para cada valor nodal a ser determinado.Em problemas envolvendo a formulação de energiapotencial, a energia potencial é escrita em funçãodos deslocamentos e depois é minimizada. Isso gera

uma equação para cada deslocamento a serdeterminado.




O método de elementos finitos pode ser dividido emcinco passos:

IV. Resolva o sistema de equações;

V. Calcule os valores de interesse. Esses valoresgeralmente estão associados a derivada deparâmetros e inclui componentes de tensão, fluxode calor e velocidades do fluido.




Lista de exercícios: 1.1,1.3; 1.6; 1.9 e 1.16

Data de entrega: 14/10/2013 (Horário de aula)

Bons estudos!Obrigada!

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