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INTRODUÇÃO

A teoria dos subconjuntos vagos (SCVJ - (Fuzzy Sets) foi construída

a partir do trabalho de Zadeh (1] em 1965. O desenvolvimento da teoria foi

rápido, porém as aplicações seguiram-se com maior dificuldade porque exigia

encontrar uma interpr-etação e uma heurística adequadas.

Passaram a usar-se as palavras ''possibilidade'', Zadeh (2) , e ''oportu­

nidade", H!lgg (3) , para descrever a natureza dos SCV.

Radicou-se no vocabulário o conceito de precisão de linguagem

(Language Crispness). Assim, uma grandeza, uma proposição, uma informação,

podiam ser descritas por:

ou uma variável bem determinada;

ou uma distribuição probabilística ; ou um caracterizante de um conjunto vago,

segundo a imprecisão crescente de que estavam envolvidas.

Tarefa idêntica foi realizada no sentido de explicar e interpretar

as conectivas e quantificadores usados na teoria dos SCV.

Esta imprecisão está para além do aleatório, como mostra S.Nahmias (4) . Uma tarefa importante tem sido a de enquadrar a teoria dos SCV em

conceitos formais preexistentes nos seguintes domínios principais, (veja-se

por exernplo J

Lógica e Linguística

Topologia

GOTTWALD ( 14 l NGUYEN (10) RALESCU (6) 8ANULER e KDHOUT (16) WILL�lDTT ( 17) FUKAMI et alter (22) EYTAN

ZAOEH (32) GDGUEN (31) e (33) \oJDNG ( 34 l LDWEN (35) e (37) (15) HUTTON ( 36 l ( 13 l GANTNER et alter (14) e (39)

.l , HOHLE ( 9)

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Distribuições (d" Probabilidade

e Possibilidade)

HISDAL (7) NGUYEN (8) e (10) HDHLE (9) KLEMENT (18) et alter (24) HIRDTA (25)

No domínio das aplicações, a bibliografia é muito extensa, por isso

faremos referência breve a alguns trabalhos típicos:

Teoria da decisão "

HAGG ( 3)

Programação FLACHS et alter (38)

Clusters BEZDEK " " ( 5)

Proximidacles ( 27); ( 28) , ( 29) , ( 30) , ( 40)

O Prof. ANICETO MONTEIRO também tem trabalhos sobre reticulados

relacionados com (SCV), por' exemplo (42) .

Uma linha de desenvolvimento da teoria SCV consiste em procurar uma

teoria ou linguagem formal que possa abarcar os conceitos de probabilidade

e possibilidade como casos particulares, veja-se, por exemplo, RALESCU e

EYTAN (26) .

2

Na verdade, o pensamento humano foi construindo uma linguagem que

pode ser extremamente precisa ou muito vaga, mas nenhuma destas feiçÕes pode

ser desprezada, porquanto todas têm um certo conteúdo informativo.

Por Último, recordar que se estabeleceu ultimamente uma certa predi­

leção pelo reticulado ( oJl] eventualmente com uma Cl� álgebra associada,

e medidas de vários tipos nele definidas.

Nas aplicações, os reticulados baseados em conjuntos finitos têm sido

muito trabalhados.

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l) L. A. ZADEH: . "Fuzzy Sets", publicado em"Information and Control �· 8 [1865), 338-353

2) L.A • . ZADEH: "Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility", publicad6 em ''Fuzzy Sets and Systems''. vol. 1 n'l,.pag. 3,28, 1878

3) C. HÃGG: "Possibility and Cost in Oecision Analysis", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", vol. l n9 2, pag. 81-86, Abril 1978

4) S. NAHMIAS: "Fuzzy Variables", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", vol. l, n'2, pag. 87-ll0, Abril 1978

5) J.C. BEZDEK; J.D. HARRIS: ·"Fuzzy Partitions and Relations: an Axiomatic Basis for Clustering", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", vol.l, n92, pag.lll-127. Abril 1878

6) O. RALESCU: "Fuzzy subobjects in a category and the theory of C-Sets", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", vol.l, n93, pag . 193-202, Abril 1978

7) E'. HISDAU: "Conditional Possibilities, Independance and Non Interaction", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", vol.l, n9 4, 283-297, Outubro 1978

8) H. T .. NGUYEN: "On Condi tiorial Possibility Oistributions", publicado em �Fuzzy Sets and Systems", vol. l, n9 4, 298-309, Outubro 1978

· 9) U. HÕHLE: "Probabilistic Uniformisation of Fuzzy Topologies". publicado em "Fuzzy Se�s and Systems'', vol. l n94,0utubro 1978, pag • . 311-332

lO) H.T. NGUYEN: "So,ne Mathematical Tools for Linguistic Probabilities", publicado em "Fuzzy Sets and Systems'', vol.2n9l, Janeiro 1979, pag. 53-65

lll S. GOTT\�ALO: "Set Theory for Fuzzy Sets of Higher Level ", publioado em "Fuzzy Sets and Systems� vol.2, n• 2, Janeiro 1978, pag. 125-151

121 S. GOTT\oJALD: "Fuzzy Uniquensss of Fuzzy Mappings", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", vol.3, n'l, pag.48-74

13) B. HUTTON, I. REILLY: "Separation Axioms in Fuzzy Topological Spaces, publicado em "Fuzzy Ssts and Systems", vol. 3, n'L pag.93-l04

14) S. GOTTWALD: "Fuzzy Propositional Logics, publicado em "Fuzzy Sets and Systems", voi.3, n'2, pag. 181-182

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· 15) R. LOWENi, "Convex Fuzzy Sets", publicado em "Fuzzy Sets and Systems",

vol.a, n9 3, pag. 291-310

16) w. BANDLÊR: "Fuzzy Power Sets and Fuzzy Implication Operators",

· vol.4, n9l, pag. l3-30

17) R. WILLMDTT: "T�Jo Fuzzier Implication ·Operators in Theory of Fuzzy

Power Sets", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", vol.4, n9l, '

pag.3l-36 '

18) E. P. KLEMENT: "Fuzzy -algebras and Fuzzy Measurable Functions", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", vol.4, n9l, pag. 83-93

; ''•19) A. KANOEU, W.J. BYATT: "Fuzzy Proce�ses", publicado em "Fuzzy Sets and Systems", volo4, n92, pag.ll7-l52.

'2Cll A' DINOLfX, A. G�s. VENTRE: "On some Chaihs of Fuzzy Sets", vol.4, n92,

pag.l85-l9l da "Fuzzy Sets and Systems" (F.s.s. J

. 21) R. R. YAGER: '�On •a General Class of Fuzzy Connectives", vol. 4, n93, pag. 235-242 (F.S. S. )

22) S·. FUKAMI, M. MZUMOTO, K. TANAKA: "Some Considerations of Fuzzy Conditional Influencs", F.S.S., vol.4, n93, pag.243-273

23) KH. KIM, F. W. ROUSH: "Generalized Fuzzy Matrices", F.S.S., vol.4, n93, pag.293-315

24) E.P. KLEMENT, W. SCHWYHLA, R. LDWEN: "Fuzzy Probability Measures", F"S. S. , vol.S, n9l, pag. 2l-30

25) K. HIROTA: "Concepts of Probabilistic Sets'', F.S.S., vol.5, n9l, pag.31-46

26) M. EYTAN: "Fuzzy Sets: A Topos-Logical Point of View", vol.5, n9l,

'·" ··--····-·-···------·-·· P.C!g_, �? -f!J _____ _ _ ·-·· · • . , ................ .

(27.].: A.G, PORTELA, Conceito de Proximidade em Mecânica, 19 Congresso Nacional. de Mecàn ica Teórica e Aplicqda, Ocro, �874, �isban

(28) A. G. PORTELA, Apl icaçáo do Conceito dG ProximidznJs El Tsrmodin�rn�f'� Macroscópica, 19 Congresso Nacional de Mecânica Teórica e Aplicuda,

. . - . ··- ·. �- . \

Dsc. 1974, Lisbon

(29) A.G. PORTELA, Aplicação de um Sistema de Proxirnidudes a um SistElroa Mecânico Articulado, 19 Congresso Nacional de Mecânica Teórica e Aplicada, Oec. 1974, Lisbon

(30) A.G. PORTELA, CElrtas Classes de Proximidade de Aplicação à Mecânica, 29 Congresso Nacional de Mecânica Teórica e Aplicada, July 1979, Lisbon

7..

'

(31) J.A. GOGUEr-1, L - Fuzzy Sets, Journa1 of Mathematica1 Analysis and App1ications 18, 145-174, 1967

(3ZJ L. A. Z/I.DEII, Probability ��easures of Fuzzy Events, _,Journa1 of Mathematical Analysis and App1ications, 23, 421-427, 1968

(33) J. A. GOGUEN, ThG Fuzzy Tychonoff Theorem, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 43, 714-742, 1973

(34) C.K. WONG, Fuzzy Topology: Product and Quocient Theorems, Journal of Mathomatical Analysis and App1ications, 45, 512-521, 1974

(35) c M. ROBERTS LDWEN, Topologia Ginirale - Topologies Floues, C.R.Acad. Se, de Pileis,' 278, 19 Avril 1974, Série A-925

(36) BRUCE HUTTON, Norma1ity in Fuzzy Topolor,ica1 Spaces, Journa1 of

Mathematical Ana1ysis and App1ications, 50, 74-79, 1975 l37l R. LO\•/f.N,' Jnitia1 and Final Fuzzy Topo1ogies and the Fuzzy Tychonoff

Theorem, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 58, 11-21, 1977

(38) J,FLI'.CHS and �l.A.POLLATSCHEK, Further Rosu1ts on Fuzzy-Mathematica1 Prop,rarrminr, ; lnformntion and Contro1, 38, 241-357, 1978

(39) T.E. GANTNER and R,C. STEINLAGE, Compactness in Fuzzy Topologica1 Spaces, Journal of �bthematical F1na1ysis and Applications, 62, 547-562, 1978.

(4�) A.G. PORTELA, Proximity, paper presented to the lst. Congress H.B.D.S., held in Lisbon, May 1979

(41) R. LDWEN: "Fuzzy Topological Spaces and Fuzzy Compactness", Journal

of Mathematical Analysis and Applications, 56, 1976

(42) A.A. MONTEIRO: Tªcnica, Setembro e Outubrg, 1978, n9449/50, ano Lili volume XL

Anexo 1 [SUBCONJUNTOS VAGOS)

l) Todos os subconjuntos de um dado conjunto universal de discurso )( podem ser especificados por um "caracterizante", [característica ou indicatriz) e este '1ão é mais do que uma aplicação { : X ____.:;, R , onde R represen­ta um reticulado.

Assim, se o reticulado R for o de Boole RB =: (O> 1) e associando o

valor l à frase semântica "o eleménto X E: X pertence ao subconjunto A de X " e o valor J à frase "o elemento .Y: E: X nao pertence ao subconjunto A de X ", entãc R8 e a indicatriz do subconjunto A

Existe uma relação 1-1 entre os subconjuntos A e as respectivas indi­catrizes [ou caracterizantes) .

A natureza de X· R P , onde Ç' representa o conjunto das aplicações ? previstas numa dada Teoria de subconjuntos Vagos [SCV) , e determinante nas propriedades e estrutura dessa teoria.

O conjunto universal de · discurso '/.. mais usado é a recta real, porem conjuntos com um número enumerável ou finito de elementos é usual em aplicações.

e se

Quanto aos reticulados (R) , convém distinguir duas classes: A e B Sendo Ov .> S& [ R av .J \lr são elementos quaiquer do conjunto de

base 1-Ç do reticulado (-\ for possível definir

_Q .Q.

(YY\.0-.X [o,_ J .Q,. J çvvU_CV1.. l CN) \)., J c cL � R )

c.

estão esta classe será designada de � , ou tal não é possível para alguns pares e então designa-se de 8

Os reticulados (R) do tipo ,Á, sao munidos das conectivas (V .R. A). Onde:

e interpretado como max (a.... J Q;;.) e interpretado como min (o..-

J ?.r)

Se o reticulado for complementado ou pseudo-complementado pode definir-se:

onde

lOv 1 - CL

1 e o símbolo do elemento do supremo do reticulado. O e o símbolo do elemento ínfimo do reticulado.

Nos reticulados do ti�o B , as conectivas mais usuais sãb:

interpretado como majorante (o.,;�) interpretado como minorante ( �·, Q,.)

Estas relações assentam na relação de ordem ( >-) do reticulado R Uma cla.sse de reticulados do tipo A mui to usada é construída com

base nos conjuntos adiante definidos ( 11, GOTT\,ALD)

para (YY\. :: ::1, R"' é o reticulado de Boole usado nos conjuntos usuais.

(YY\. > ;;), R�,,. obtêm-se reticulados onde é sempre possível definir max e min (como aliás em R,_ ) e card (H,",) é finito ou enumerável.

Simboliza-se por R "'

Repare-se que a relação de ordem dos reticulados do tipo R"" ( .L) vai permitir formar conjuntos

onde

R""' (o<) =

tX simboliza D11grau de pertence" ou "membership level '', conceito semântico fundamental nas teorias de s.c.v ..

São evidentes as seguintes expressoes:

R (i) R"�' (VV\

R"" (o) o

�� p R""· (o() ::::> I' ( (-" ) ,"'\c ., v"' R"'' (i) ::;, R'""' l•x) -"- 0- (o<) ;:, R (o) M

Semânticamente (l l representa a certeza absoluta na verdade da decla­raçao e (0) a certeza absoluta na inão verdade de uma declaração.

A dificuldade semântica que os conjuntos vulgares introduzem e esta "absoluta certeza'' ho sim ou no nao, quando a informação recebida pu emitida

e apenas verdadeira num certo grau.

i \ 2) Sistemas de conectívas

O sistema de conectiva's mais usado e max e min mas muitas outras formas têm sido apresentadas e convem referir para mostrar como e vasto o campo por explorar.

Assim, Yager (21 l para o reticulado R _ [O i J pseudo-complementado,

sugere uma intersecção da forma:

onde

A n 8 = e, ·

p \ '

C.l' (::c)= 1 _\',;""�i; (c L A(_:c)]\ [i_ BCx)J�}; � Co<- <. '\" :;, l

de que resultam os seguintes casos particulares:

c\> ('x:) ::: (Y>'V�\'0. L A (�c:; ) C-\ (_ =) J c\" (_x�:; - l - (V ,. �l) 0- (AC.x)+ G '�cc)))

- çv-r;o..X �O) lA(�<')+ 0. (::c)- i)\ _;

Esta definição conserva as propriedades de associatividade e comutati­vidade e C 'r? ( c:c) é monotonicamente não ·decrescente com A ( x) e ou e,(_=)

A (?C) e como propriedades novas

A (::x:) ()r, A (::c) !, A (x) (\,., A (-x) ,.,.,"''\"''-'v" A (_-;c) () "" A (se) A (_:c) A (-:c) ()� B c_ -x) {, l"'c<Y>. tA c_:x.)) 8 (se)} = Ax n ... í3 C_=)

Yager para definir união U· usa a pseudo complementaridade de Zadeh definida como: 7A := A := i_ A então sera:

-:-A -:-U.,--\"�8 = A. () \" B Donde ainda · y,

o\> e: A (':c) \J�.> B'"' =. �\:i)\_ A c"")\ B c_t) J r'� I

. Propriedades correspondentes às da intersecção 'podem ser demonstradas. Outro exemplo é devido a Gottwald (lll que constrói a sua lÓgica a

partir de P . ....., e � � e define numerosas conectivas:

lA (-;e) = l-A (-:c) • I'

1\). (A (:x.) ) B ('::c)) :::: · çvv,.� ""': t A (:oc) J G (:r.) �

' ''

A-2 (A C.=); 8 (-:c)) = <:_V'C\.0-X �o) !-\(-:c)+ (3 (=)- 1 � A p�imeira corresponde a p;oe de Yager e a segunda a p;l de Yager.

v� ( A ('X)) (3 (-.:x.J= <Y'<..QX t A X. ) \'1 ( c) J V-2- (A ( =)

J G (_-c<=)) :: �Vv\. t l ; ,\c=) "'" '6 c"") j

-f> (A C"")) \3 (cc) J (Y"•l.; ''' \_ l i. !\ ( :x)-\- ('\(:c�� <-> (A (::c))\" (:o:::)) i - I 5 _-\-\

Com estes dois exemplos espera-se ter mostrado como sao variadas as

conectivas nas teorias de S.C.V ..

Anexo 2 - Probabilização de subconjuntos vagos

O primeiro trabalho é devido a Zadeh [32) publicado no Journal of Mathematical Analysis and Applications em 1968, e introduz uma generalização ao conceito clássico de probabilidade.

Assim, partindo de um �"' munido de uma �- álgebra de. Boreleanos

(_ (.\� (3 ) define uma medida P real e nor'1ada sobre (R'": (3) , e

� 5 J.r

onde

fCA)

I)..;; 8 a indicatriz do

A

( lA(!:) t{] )I?''"

conjunto A [ou, ê o caracterizante r" de A 1.

usando a linguagem de S.C.V.,

1

A generalização consiste justamente em substituir e aplicar a definição aos conjuntos vagos.

Como Zadeh usa essencialmente o reticulado [o J 1J tal como na teoria ···-

clássica de probabilidades, encontrava-se na situação de .os domínios serem iguais nas duas teorias, bem como os contradomínios.

Então, definiu probabilidade de um subconjunto vago como:

�A c\.? (Integral Lebesgue-Stieltges) � IA (l=).cl.?

R"" Assim, a probabilidade de um acontecimento vago (Fuzzy) e a esperança

do respectivo caracterizante (r A) Donde resultam as seguintes propriedades principais:

AcB =1> pCA) �p(B) f(A)+P(�) t(A u 13) ...

....

r cy:�i) ::• L P(A;) L f(A;�j) +··· + tl) [(A,;-A,..) • • i

' - i :: ..

?( y� A·)� I l

�:;·,o,-.,dependência de A e l3 e definida pela expressao clássica:

A probabilidade condicional' e definida por:

!(AI�) ::: A média e variância são definidas como se segue:

A entropia toma uma forma corrente de ....

t;:..l

que terá de ser entendida como a entropia de um conjunto vago A com relação a uma distribuição. de probabilidades .:i? .

'Assim, se :1:- e 't forem duas variáveis aleatórias com distribuiçÕes de probabilidade..[ e <y , �.._.,.' H l)1.Lt) ,:. f/l>c) + H{v) ""--

= 1 { rd H P {A) + J [ B) -+ /-1 fl{ B) será

8

Hlr.r (fi. B) r4) :o � r i 9j 1 A..J t-(i.--·'-')

f' c A) = t r"' L� i ) . r:. i (}) :::. 'L r5 Uj) ·li

i """

\-f?(Pt) -;:. 2 j"\A(?:;) í: .

.' f: los rÃ. Hfg(A\ ""' Je l"/1 \·li z_ L,J 1 J. . )

.S. :::1

Nota fi al: Porque:·

sera:

i I PC:.) . ct�

' ' ' ' I . Hisdal 7) para estender a probabilização de c�njuntos vagos a relações

vagas define: '

:1 - Dois conjuntos universais de discurso: XA e X 2

Y ::: (_Y, 1/:1.) uma11,variável binária vaga quT toma valÓres em

XJ � X-2. ::::: X i I 1 ! ' . 01)

- -ny.z I Y.i (:x:� \X. A) a distribuição da "possibilidade" de: y:;.. desde que a Yi tenha sido dado um determinado valor

'X (X! (•}

a "possibilidade" marginal para 1: '

Repare-se nas

,, ) ' d -correspRndencias ' ii : seguintes:

Possibilidade� Probabilidade

Vago (Fuzzy) (---?>aleatório

--rí" <---;> 9 (probabilidade J

·.E facil aproveitar a relações vagas entre X�

Assim, se f for calcular

esta definição e e X,

respectivos teoremas �ara aplicar : �

uma relação de X, para x.2. então e possível

'

-rrc�.) o f . onde o e o operador max . min (tratam-se' de reticulados do tipo Al .

Nguyen (8) trata de um modo semelhante as distribuiçÕes! de possibili-{1) .. \

dadas, isto e, apoiando-se na1;teoria das distribuiçÕes 'de probabilidades e de modo que se um conjunto

o caracterizante do subconjunto vago degenerar na indicatriz de : {f) :

vulgar, as distribuições de "possibilidades" reduzem-se a distri-buições de probabilidades.

Nas condições anteriores, I

\\?C�)-- -ny- (I'A) -·

onde: A e um subconjunto vago ·de Assim, sejam dadas: .

Possibilidade t 'j Su.f '\y (x) :X: E. />.

X

Uma funçeo �� X,-> [o J

.i J t.

sendo S u.� '"\"\ (X) 1 ·:c

'

se T

Então y· I

< [o, 1] � [_o, 1]

e Y"l.. são T -independentes, sse.

1 [h (x,) , fy.._ L)fz.)] [T( ty,(x,), trL 61) )]

A distribuição condicional será dada por:

( onde rJ. : [p, 1]-;> fZ+ é designada de fu�ção de normalização e e escolhida de tal modo que:

al

b)

Finalmente, o operador 8( ) pode tomar a forma de � ( ) Sobre este tema veja-se também Hôhle (9).

Tem interesse referir o trabalho de Klement (lB) sobre -vagas e funções mensuráveis vagas.

ü-Algebras-

Porque os trabalhos apresentados até 1980 foram desenvolvidos em torno de classes de funções vagas da forma:

r X munido de ·uma

Borel Assim� o dàmínio

respect�vamente i( X 1 F} vagos. 1

I

X-?T munido de G' -Álgebra de

I B· cori'tradomÍnio de. r sao OS espaÇOS m�nsuráveis.

e. { Y 1 }3). que não são �spaços de, conjuntos

O progresso efectuado por Klement consiste em partir de espaços de subconjuntos vagos, ,-, apoiando�se nos trabalhos efectuados em Topologia de conjuntos vagos,. nomeadamente ''os de Lowen (41) e (37) . Porque neste domínio há copiosa bibli

1o'grafia, suge,�

·e""-se ,as referências segui'ntes:

(33), (34), (lO), (1 1), ( 12) , (14), ( 13), (15) e (26)

4

'

•

'•,

5

Uma medida

satisfazendo a A -fr(�) = o . .e. -rí(x)- i

sendo �(X J o conjunto das partes de X Entã.o:

onde� e um conjunto de Índices. A

Donde resulta que I\ é:

.. .. E subaditiva •

pode nao ser identicamente nulo. ; (1) A extensão destes conceitos às distribuiçÕes de possibilidades faz-se -1.:

definindo:

Possibilidade de � Y ser A} ·= Su.\> \ f-A (x) /\ íly l'X.) )

onde �A (se) --/ Caracterizante de f\ -r\y (-:c)-? A função y

Repare-se:

l) Tanto --\íj como f A operam de X .-) [ O) ! J 2) A forma raconduz-se a conceitos clássicos q4ando o caracterizante

degenera na indicatriz de um conjunto usual.'

mente,

Assim, pode ser introduzida a noçao de distribuiçÕes condicionais. Sejam:

t ( y, /'f:t) \y, ( x,) :::

e

e X2 dois conjuntos univers�is.

-.':> t o, l J

sao operaçoes de"mistura11 sobre X •

e X� , respectiva-

•

•

Dada a extensão deste domínio, preferiu-se produzir duas sínteses

que constituem os anexos 3 e 4.

8

Anexo 3 - Resume os trabalhos de Klement et Alter, (32), ( 18) , (24)

Anexá 4 - Resume o trabalho de Hirota (25), em 1981 que lança mao

do conceito,de espaço paramétrico a abre eventualmente

uma nova via à probabilização dos subconjuntos vagos.

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