introdução às medidas em física 11a aula * ...
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Marcia Takagui Ed. Ala 1
sala 216
ramal 6811
Introdução às Medidas em Física 11a Aula * http://fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2010/
* Baseada em Suaide/Munhoz 2006
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Cordas vibrantes – Parte 1
! Objetivos: – Estudo da ressonância sonora em um fio tensionado
• Obtenção da expressão que relaciona os parâmetros experimentais com as freqüências de ressonância
– Análise de dados: • Análise gráfica – escala logarítmica;
• Fórmulas empíricas;
Oscilações Forçadas e Ressonância
! Sistemas que podem oscilar tem suas frequências naturais de oscilação: tirados de suas posições de equilíbrio, passam a oscilar com a frequência natural, e na ausência de atrito, assim permanecem.
! Podemos forçar um sistema a oscilar aplicando uma força periódica: o sistema irá oscilar com a frequência imposta, mas a amplitude da oscilação depende da relação entre a frequência imposta e a frequência natural.
! Ressonância: é quando a frequência imposta coincide com a frequência natural. O sistema absorve a máxima energia e a amplitude da oscilação torna-se a máxima.
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Ondas em uma corda ! Onda é uma perturbação se propagando; deve-se notar que não é o
meio que se desloca, é a perturbação. Conforme ela passa as partículas do meio saem da posição de equilíbrio mas retornam quando a perturbação se vai. Se o agente que produz a perturbação atua periodicamente temos um trem de ondas progressivas se propagando com velocidade v.
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€
λ = vT = v / f
Princípio da superposição
! Se numa região do espaço houver mais de uma onda passando, o efeito global é a soma dos efeitos de cada onda.
! Interferência construtiva: quando as ondas estão em fase a amplitude resultante é a máxima pois os deslocamentos das partículas em relação ao equilíbrio estão no mesmo sentido.
! Interferência destrutiva: quando as ondas resultantes estão em oposição de fase, a amplitude resultante é a mínima pois os deslocamentos das partículas em relação ao equilíbrio devidos a cada onda individual estão em sentidos opostos. Se tiverem a mesma magnitude, a amplitude resultante é nula.
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Ondas estacionárias numa corda ! Quando uma corda presa nas duas extremidades é posta a vibrar, a
onda caminhando para a direita se reflete ao chegar na extremidade direita, originando uma onda caminhando para a esquerda. Pelo princípio da superposição, os efeitos das duas ondas se somam algebricamente.
! Em determinadas frequências, alguns pontos da corda estão permanentemente em repouso.
São chamados nós. Entre os nós,
os pontos onde a amplitude é
máxima são chamados ventres.
As ondas são chamadas
estacionárias. As frequências,
modos harmônicos. 6
Ressonância numa corda
! Quando forçamos uma oscilação na corda, apenas algumas frequências, que coincidem com as frequências normais de oscilação da corda, produzem ondas estacionárias e quando isto ocorre a amplitude é máxima: a corda está em ressonância.
! As frequências são ditas frequências de ressonância.
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Modos de vibração de um fio
! Fio preso nas duas extremidades – Essa condição limita
as configurações possíveis de ondas estacionárias
– Modos de vibração
! Quais parâmetros influenciam a freqüência de vibração do fio?
nL
= 1 = 2λ
nL
= 2 = λ
nL
= 3 = 2 /3λ
L
ventre
nó
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As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?
! Modo de vibração – Aumento o n, diminuo o
comprimento de onda, e aumento a frequência
! Comprimento do fio – Aumento o comprimento,
maior o comprimento de onda para o mesmo modo de vibração, e diminuo a frequência
nL
= 1 = 2λ
nL
= 2 = λ
nL
= 3 = 2 /3λ
L
ventre
nó
vfλ
=
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As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?
! Densidade do fio – Fios de densidade
diferentes vibram em freqüências diferentes (violão)
! Tensão aplicada ao fio – Variando-se a tensão,
varia-se a freqüência (afinar um violão)
nL
= 1 = 2λ
nL
= 2 = λ
nL
= 3 = 2 /3λ
L
ventre
nó
vfλ
=
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As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?
! Assim, os parâmetros principais são – Modo de vibração (n) – Comprimento do fio (L) – Densidade (µ)
• Vamos usar a densidade linear µ = m / L
– Tensão aplicada (T)
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As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?
! Como correlacionar a freqüencia com esses parâmetros? – Tomar os dados e analisá-los
– Método
• Fixar todos os parâmetros, menos um deles e, estudar como a freqüência depende do parâmetro que está variando
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Arranjo experimental
L f
T = m g
ρ
T=mg
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Procedimento experimental
! Quatro parâmetros a serem estudados
– n, L, µ e T. – Variar um parâmetro de cada vez, fixando os outros.
– Exemplo: Como a freqüência depende de n? • Escolher um fio de nylon e montá-lo no arranjo experimental
• Fixar (e anotar, com a respectiva incerteza) todos os outros parâmetros
• Medir as freqüências de ressonância para vários valores de n • Analisar os dados
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Atividades - I ! Estudar a dependência da frequência de ressonância com o modo de
vibração n: – Montar o fio de nylon de φ=0.8mm tal que a distância entre a polia (fixa) e o alto-
falante (móvel) seja a máxima. Medir o comprimento L do fio = distância do ponto de tangência do fio com a polia ao ponto de fixação do mesmo ao alto-falante.
– Tensionar o fio usando uma massa m de cerca de 250g, antes medindo-a juntamente com o suporte de massas.
– Ligar o gerador de audio na faixa das dezenas de Hertz (Hz) e procurar a frequência que produz o primeiro harmônico (n=1) com a máxima amplitude.
– Anotar a frequência e o modo de vibração numa tabela f versus n. – Sucessivamente o mesmo aluno procura as frequências para os modos seguintes
até cerca de n=8, anotando os valores na mesma tabela. Em cada modo a frequência é sempre aquela de máxima amplitude.
– Retornar o gerador para a frequência inicial e agora o outro aluno da equipe procura e anota as frequências para os diversos modos de vibração desde n=1 até o máximo enxergado anteriormente.
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Atividades - II ! Estudar a dependência da frequência de ressonância
com o a tração T no fio: – Manter o fio de nylon de φ=0.8mm e o mesmo comprimento L
do fio. – Variar a massa m de tração entre 100g e 500g (5 pontos), não
esquecendo de considerar a massa do suporte de massas. – Para cada massa procurar a frequência de ressonância do modo
n=2. Em cada massa os dois alunos da equipe procuram a frequência de ressonância anotando na tabela f versus m. Os outros parâmetros mantidos constantes devem ser reescritos próximos à tabela ou, melhor ainda, na legenda da tabela, incluindo o modo de vibração.
Preparação dos dados
! Em cada tabela, determinar os valores médios das frequências medidas e suas incertezas = soma quadrática da incerteza estatística com a instrumental. Atribuir como incerteza estatística a diferença entre os dois valores lidos dividida por 2. A incerteza instrumental será fornecida em aula.
! Certificar-se que as incertezas de todas as outras grandezas estejam anotadas.
! Anotar o valor da densidade linear µ do fio utilizado, afixado na sala de aula.
! Certificar-se que os valores dos parâmetros mantidos fixos (com as incertezas) estejam mencionados na legenda das tabelas.
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Análise dos dados experimentais
! Como obter uma expressão para a freqüência de ressonância?
! Hipótese – Supor que a freqüência depende de um parâmetro como uma
potência deste parâmetro
– No caso dos nossos parâmetros, supor uma combinação de potências
( ) bf x Ax=
δγβα µ= TLCnfn
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Atividades (casa) ! Supondo que a expressão abaixo seja suficiente para
determinar as freqüências de ressonância, faça uma análise dimensional e obtenha os valores dos coeficientes α, β, γ e δ
! Dica: Lembre-se que a unidade de freqüência é Hz (1/s) e a unidade de tensão (N) pode ser dada em termos da massa e aceleração. Para saber se as potências são positivas ou negativas, lembre-se do violão, e que notas musicais mais agudas correspondem a frequências mais altas.
δγβα µ= TLCnfn
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Como obter os valores destes coeficientes experimentalmente
! A partir dos dados
! Para um determinado parâmetro, com todos os outros fixos, podemos escrever que
! Por exemplo: para todos os parâmetros fixos e variando apenas n
( ) bf x Ax=
δγβα µ=== TCLcteBBnfn onde ,
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Exemplo: determinar B e α
! Fixar todos os parâmetros e variar somente n
! Como determinar B e α? – Extrair log da expressão
δγβα µ=== TCLcteBBnfn onde ,
log( ) log( )log( ) log( ) log( ) reta!!!!
log ; ; log( )
n
n
n
f Bnf n B
y ax by (f ) a b B
α
α
α
=
= + ⇒
= +
= = =
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Solução elegante: papel di-log
! Usado para fazer gráficos do tipo
– y = axb
! O papel di-log já tem as escalas proporcionais a log(x) • Dividido em décadas
– Cada década representa uma ordem de grandeza
• Leitura direta dos valores – Coeficiente angular é a inclinação do gráfico – Coeficiente linear diretamente lido da escala
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Década (igualmente válido para o eixo X)
1 2 3 10 20 ... 10 20 30 100 200 ...
0,1 0,2 0,3 1 2 ...
ESCALA (sempre múltipla de 10)
24
10 10
100
1 n
fn
B Δx (cm)
Δy
(cm
)
1 2
1 2
/log loglog log /
y
x
y Ly yx x x L
αΔ−
= =− Δ
Retas auxiliares para estimar incertezas
(x1, y1)
(x2, y2)
Ly
Lx
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Atividades: determinando as potências
! Fazer o gráfico di-log das frequências de ressonância como função dos parâmetros medidos – f vs n – f vs m
! Os dados realmente são uma reta no papel di-log? – Quais os coeficientes angulares das retas com as suas
incertezas? Os valores obtidos são compatíveis com a análise dimensional realizada?