Capítulo 8134

Introdução

Estivemos, até aqui, analisando o movimento translacional dos corpos. Isso porque os corpos que estudamos eram pontos materiais, e estes não são dotados de movimentos de rotação. Caso desejemos avaliar os possíveis mo-vimentos de um corpo extenso, precisaremos de uma análise um pouco mais detalhada. Observe as figuras a seguir. Como devem ser dispostos os pesos extras para que a balança fique em equilíbrio na horizontal? Aceite o desafio....

Você deve ter percebido ao analisar as figuras acima, que há uma relação entre a massa colocada em cada pra-to e o comprimento dos braços da balança. Caso a balança fosse simétrica, cada prato deveria receber a mesma massa para que o sistema ficasse em equilíbrio com o braço da balança na horizontal. Como os braços possuem comprimentos diferentes, cada prato deve receber uma massa diferente a fim de se colocar a balança em equilí-brio. Veja que, como dissemos antes, o equilíbrio de corpos que podem girar em torno de um eixo é diferente do equilíbrio de pontos materiais. Para que possamos entender de fato como se comporta esse equilíbrio, é neces-sário que antes conheçamos a fundo o torque ou momento de uma força.

1 Momento ou torque de uma força

Uma força pode ser capaz de provocar dois tipos de movimento em um corpo extenso. Pode fazer com que ele translade ou pode fazer com que ele gire, dependendo da forma como for aplicada. O primei-

ro passo para descobrir qual será o efeito de uma força aplicada sobre um corpo é avaliar se ele está livre para girar em torno de algum ponto (caso esteja, a este ponto daremos o nome de polo de giro). Por exemplo: se analisarmos a porta de nossas casas, ela está, quando aberta, livre para girar em torno de suas dobradiças; a linha formada por essas dobradiças pode ser entendida como uma linha formada pelos polos de giro da porta.

Caso o corpo esteja completamente livre, o ponto preferencial em torno do qual ele deveria girar seria seu centro de massa. Mas o que é exatamente o centro de massa de um corpo?

Centro de massa é o ponto onde se pode considerar com efeito, para certas situa-ções, que toda a massa do cor-po está concentrada. É o ponto que melhor representa a distri-buição de massa do corpo. No caso de corpos dotados de uma certa simetria, é bem fácil de se fazer essa estimativa; por exemplo, para uma esfera maciça e ho-mogênea, o centro de massa deve ser o centro. No caso do corpo humano, ele deve se posicionar dentro do corpo, no plano do um-bigo, aproximadamente. Para corpos assimétricos, no entanto, o centro de massa pode não se localizar em posições tão previsíveis e uma forma bastante segura de determiná-lo pode ser por meio de alguns procedimentos simples. Veja a foto acima.

Equilíbrio estatístico de um corpo em movimento 135

A distância entre o ponto de aplicação da força e o polo de giro é fundamental para a capacidade que essa força tem de fazer o corpo girar. Essa capacidade é o momento ou torque exercido por essa força e o vetor que nasce no polo de giro e morre no ponto de aplicação da força é chamado braço da força – note que o módulo desse vetor é justamente a distância de que tratávamos inicialmente. O momento ou torque de uma força é o produto vetorial entre a força e seu braço. Assim:

M = F x b

Neste capítulo, para sermos coerentes com o conteúdo a ser trabalhado no Ensino Médio, iremos nos preocu-par apenas com a determinação do módulo do momento, que pode ser calculado, simplesmente, por meio desta expressão matemática:

M = b.F. sen θ ,

onde M é o módulo do momento da força, b é o braço (ou a distância entre o ponto de aplicação da força e o polo de giro) e Θ, o ângulo entre a força e seu braço. Note, por meio dessa expressão, que apenas forças perpen-diculares ao braço podem provocar o giro do corpo e que forças aplicadas diretamente sobre o polo de giro (b=0)nunca farão o copo girar. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo 1

Qual o valor do momento de uma força de 10 N aplicada perpendicularmente a uma porta 1,2 m das do-bradiças?

M=10.1,2 . sen90º M=10.1,2.1 M=12N.m

Resolução:

Note que, caso a força fosse aplicada com um braço menor, exerceria um momento também menor e seria mais difícil abrir a porta com essa mesma força. É essa a razão pela qual a maioria das maçanetas é posicionada no extremo oposto da porta com relação às dobradiças. Nessa situação, seria necessária uma força menor para gerar o mesmo torque. Note, ainda, que a unidade de momento no Sistema Internacional é o N.m, obedecendo assim à relação entre as grandezas.

Apesar de talvez nunca ter sido apresentado ao conceito de torque, você já o utiliza, intuitivamente, pelo sim-ples fato de conseguir ficar de pé. O centro de gravidade dos corpos é o local onde melhor avaliamos a atuação da força peso sobre o corpo. Quando a força peso atua de maneira a aplicar um torque no corpo, nós nos dese-quilibramos e podemos cair. Para garantir nosso equilíbrio na posição vertical, é interessante que o nosso centro de gravidade esteja sempre verticalmente sobre a base, dessa forma, o torque gerado por ele com relação a um polo de giro próximo ao chão seria nulo, e o equilíbrio estaria garantido. É essa a razão pela qual as mulheres grá-vidas inclinam-se para trás, e você consegue inclinar seu corpo muito mais para frente que para trás, e ainda con-

Importante

A unidade de momento (ou torque) no Sistema Internacional de Unidades é o newton vezes metro (N.m), acompanhando a relação entre as grandezas braço e força aplicada.

Capítulo 8136

segue permanecer de pé. É por isso que, quando você carrega uma mochila muito pesada, naturalmente inclina seu corpo para frente: para que a força peso aplicada sobre o centro de massa do conjunto tenha um momento nulo e não o faça desequilibrar. Faça o teste! É muito mais fácil permanecer de pé quando nossas pernas estão separadas que quando estamos sobre um pé só. A base é maior e a chance de que o peso exerça um torque nulo é maior quando nossa base é menor (um pé só).

Exemplo 2

Suponha uma chave inglesa qualquer será posta a girar em torno de um parafuso a que foi acoplada. Em qual das posições abaixo e em que direção devemos aplicar a força a fim de que seja necessário o menor esforço pos-sível para girar a chave?

Veja que a melhor forma de girarmos a chave é na posição mais distante possível do polo de giro e

aplicando uma força perpendicular ao braço, pois é nessa situação que poderemos maximizar o momento de uma força qualquer: quando o braço é máximo, e o seno do ângulo entre a força e o braço é 1, já que

M = b.F.senq.

HORA DE PRATICAR

1. Por que geralmente a maçaneta das portas localiza-se no extremo oposto ao das dobradiças?

2. Qual a melhor forma de aplicarmos uma força numa chave de roda para conseguirmos torcer os parafusos? Em que local devemos aplicar essa força e em que direção? Cite pelo menos um motivo que justifique o fato de ser mais fácil girar a chave com a perna sob a óptica do momento de uma força.

3. Analise as formas como podemos aplicar forças em uma barra rígida que pode girar em torno de seu centro a fim de fazê-la girar nos sentidos horário e anti-horário. Como devem ser aplicadas essas forças? É possível que duas forças idênticas façam a barra girar em sentidos opostos?

4. É possível que uma única força seja aplicada sobre um corpo e não o faça girar? Em que condições isso pode acontecer?

5. Determine o módulo do momento da força aplicada sobre o braço de uma balança que mede 50 cm de com-primento por uma massa de 10 g colocada sobre seu prato em unidades do Sistema Internacional.

2 Equilíbrio de um corpo extenso

Como já discutimos na introdução, para que um corpo extenso se encontre em equilíbrio, é necessário que ele tenha equilíbrio translacional (repouso ou MRU) e rotacional (isto é, precisamos garantir que o corpo não gira).

O equilíbrio translacional é garantido pelas mesmas condições do equilíbrio de pontos materiais, ou seja, com uma força resultante nula (a soma de todas as forças que atuam no corpo deve ser nula).

∑F = 0

Equilíbrio estatístico de um corpo em movimento 137

Para garantir que o corpo não gire, no entanto, precisamos ressaltar o fato de que, nessa situação, não há momento resultante sobre o corpo. Quando as duas condições são obedecidas, dizemos que o corpo extenso se encontra em equilíbrio.

∑M = 0

Note que estamos avaliando o módulo da grandeza momento (ou torque) de uma força. Ora, como módulos de grandezas podem ser somados e resultar num valor nulo? É claro que algumas dessas parcelas devem ser negativas. Mas quais? É certo que o sentido de giro que cada força provoca pode ser horário ou anti-horário. Estipulemos então uma convenção de sinais: forças capazes de fazer o corpo girar no sentido anti-horário terão como efeito um momento positivo e forças capazes de fazer o corpo girar no sentido horário terão como efeito um momento negativo. Agora, sim, os momentos somados podem se equilibrar.

Verdadeiramente, o momento é um antigo conhecido da nossa sociedade. Basta que nos lembremos de nossos

tempos de criança, quando brincávamos de gangorra. A brincadeira era mais justa quando duas crianças de massas semelhantes sentavam-se nos bancos da gangorra, mas não era impossível brincar caso seu amigo fosse um pouco mais “cheinho” que você. Bastava que ele se sentasse um pouco mais à frente e você um pouco mais atrás. A diferen-ça entre os braços dos dois lados compensaria a diferença entre os pesos exercidos sobre as duas crianças.

Utilizamos o momento de uma força para construir as alavancas. Arquimedes disse algo que se espalhou pelo mundo e que surpreen-deu muita gente sobre o tema: “Se me derem uma alavanca e um ponto de apoio, desloca-rei o mundo!!”. Como seria possível utilizar o momento de uma força a nosso favor a ponto de conseguirmos mover grandes massas sem precisarmos dispender grandes esforços? As máquinas como alavancas e sistemas de polias podem nos ajudar com isso. As alavancas, mais associadas ao nosso estudo desse capítulo, po-dem ser de três tipos: interfixas, interpotentes ou inter-resistentes. As primeiras são alavancas que possuem o polo de giro posicionado entre o ponto de aplicação da força e o corpo que queremos mover. As interpotentes são aquelas em que a força é aplicada entre o polo de giro e o corpo que se deseja mover e, por último, as alavancas inter-resistentes são aquelas em que o corpo que se deseja mover é colocado entre o polo de giro e o local em que aplicamos a força. Em cada situação, em cada montagem, cabe ao operador decidir qual o tipo de alavanca mais adequado. É claro que sua decisão passa pela análise de como exercer o maior tor-que aplicando a menor força e, consequentemente, do torque gerado no sistema.

ConclusãoCondições de Equilíbrio de um corpo extenso:1) força resultante nula;2) momento (torque) resultante nulo.

Capítulo 8138

Exemplo 3

Uma ponte é feita com uma tábua rígida, homogênea e horizontal. Esta tá-bua tem massa m e comprimento L e está livremente apoiada sobre dois cute-los, 1 e 2, em suas extremidades.

Uma pessoa de massa m começa então a atravessar a ponte. Seja x a distân-cia percorrida pela pessoa sobre a ponte.

a) Isole a tábua, mostrando em uma figura todas as forças que atuam sobre ela e identifique essas forças por meio de uma legenda.

b) Escreva as condições de equilíbrio da tábua, explicitando-as em termos das forças e das distâncias mos-tradas na figura do item anterior.

Determine a expressão que mostra como varia a reação do cutelo 1 sobre a tábua com a distância x percor-rida pela pessoa sobre a ponte.

Resolução:

a) N1 – reação normal do cutelo 1 sobre a tábua

N2 - reação normal do cutelo 2 sobre a tábua

P = Peso da tábua

F = Força que a pessoa faz sobre a tábua.

b) N1 + N2 = F + P (1)

N2.L – F.X – P. 2L = 0 (2)

c) De (1)

N1 = F + P – N2

N1 = F + P – L2

P+

FX N1 = F + L2

P+

FX

N1 = L

mgX2

++mg Mg

N1 = g(m + L2

M+

mX )

De (2)

N2 = L2L.P

÷

+ FX

N2 = L2

P+

FX

Equilíbrio estatístico de um corpo em movimento 139

6. Num posto fiscal de pesagem, um ca-

minhão está em repouso sobre duas balanças, uma embaixo de suas rodas dianteiras e a outra sob suas rodas traseiras. Ao fazer as leituras das balanças, o fis-cal verifica que a primeira marca 1,0 .105N, mas perce-be que a segunda está quebrada.Sendo profundo conhecedor de caminhões, o fiscal sabe que as distâncias entre o centro de massa C do caminhão e os planos verticais que contêm os eixos dianteiro e traseiro das rodas valem, respectivamente, d1 = 2,0m e d2 = 4,0m, como ilustra a figura.

a) Calcule o peso do caminhão.b) Determine a direção e o sentido da força que o ca-

minhão exerce sobre a segunda balança e calcule seu módulo.

7. A figura mostra uma balança composta de uma haste rígida com um prato em uma extremidade e uma mola na outra extremidade. A haste rígida pode girar em torno de um eixo sustentado por uma colu-na rígida e fixa. A distância do eixo ao prato é AB = 6 x 10-1 m, e a distância do eixo à mola é AC = 1,2 x 10-1 m. Na configuração de equilíbrio, a haste rígida está na horizontal. Colocando-se uma massa de 5 kg no prato da balança, a extremidade B desloca-se de um comprimento de 1 x 10-1 m, medido na vertical.

Considerando desprezível a massa da haste rígida e a aceleração da gravidade g = 10m/s2, calcule a força que a mola exerce na haste.

8. Um suporte para vasos é preso a uma parede verti-cal, como mostra a figura. Ele é fixo na parede por um parafuso colocado no ponto A e fica apenas apoiado na parede no ponto B, na mesma vertical de A. Um

vaso de massa total 3 kg é pendurado no ponto C do suporte e o sistema é mantido em equilíbrio.

Sabe-se que o ângulo entre AC e AB é reto e que a massa do suporte é desprezível. Adotando g = 10m/s2, determine a intensidade da força com que o supor-te comprime a parede no ponto B.

9. Determine os momentos escalares das forças em relação ao polo P.

10. Duas pessoas carregam um bloco de concreto que pesa 900 N, suspenso por uma barra AB de peso desprezível, de 1,5 m de comprimento, cujas extre-midades apoiam-se nos respectivos ombros. O bloco está 0,5 m da extremidade A. Determine o valor da força aplicada pela extremidade B, ao ombro do car-regador.

A B

11. Uma gangorra de parques infantis, com distri-buição de massa homogênea, possui o eixo de rota-ção localizado no seu centro geométrico. Crianças de mesma massa só poderiam se equilibrar caso estives-sem sentadas cada uma num extremo da gangorra.

Exercícios

Capítulo 8140

No entanto, se o brinquedo possuísse opções para mudança na posição das crianças, em relação ao eixo de rotação, crianças de massas diferentes também poderiam se equilibrar. Sendo assim, determine, em metros, a que distância uma criança de 20 kg deveria estar do eixo de apoio para poder equilibrar uma ou-tra de 40 kg sentada a 1,5 m do eixo de rotação.

12. Uma barra homogênea de 100 N de peso é colo-cada sobre os apoios A e B, conforme a figura.

Sendo de 200 N o peso de C, determine as intensida-des das reações dos apoios A e B contra a barra em equilíbrio.

13. A barra AB é uniforme, pesa 50,0 N e tem 10,0 m de comprimento. O bloco D pesa 30,0 N e dista 8,0 m de A. A distância entre os pontos de apoio da barra é AC = 7,0 m. Calcule a reação na extremidade A.

14. Um homem, cujo peso tem intensidade igual a 400 N, caminha desoladamente sobre uma prancha homogênea de madeira, simplesmente apoiada em A (mas não presa) e articulada no apoio B (onde pode girar), como mostra a figura a seguir. O comprimen-to da prancha é de 6,0 m e seu peso tem intensidade igual a 500 N. Determine o valor da máxima distância medida a partir de B que o homem pode caminhar sem que a prancha gire.

15. Um bloco de massa igual a 240 kg está suspenso conforme é apresentado na figura. Considerando des-prezível a massa da barra AB, determine a intensidade da tração no cabo BC.

16. Apresentações de circo são cercadas de mistério e fascínio, principalmente para as pessoas que assistem aos shows com uma visão não científica. Entender que os malabarismos e até mesmo as mágicas apre-sentadas são aplicações de várias Leis da Natureza (da Física, da Química etc.) pode tornar o espetáculo me-nos impressionante, porém mais seguro. Um número bastante interessante, do ponto de vista do equilíbrio, é aquele em que um equilibrista percorre uma distân-cia de cerca de 12 m ao longo de uma corda esticada a mais de 15 m de altura, sem a proteção de uma rede que o proteja no caso de uma queda. Mais importante que a rede é a longa barra de metal (supostamente homogênea) que o artista segura em suas mãos, man-tida na posição horizontal enquanto ele percorre a corda.A partir das informações acima e em conformidade com os princípios da estática, julgue os itens seguin-tes.

(1) No caso do equilibrista sobre a corda, é importante que ele segure a barra de metal em um ponto próximo ao centro de massa da mesma.

(2) O centro de massa da barra está necessariamente no seu centro geométrico (no meio dela).

(3) Caso o equilibrista, acidentalmente, se incline para a esquerda, bastaria que ele movesse, adequadamente, a barra para o lado contrário para que o seu equilíbrio estático se restabeleça.

17. Além do aspecto estético, as cadeiras devem ser construídas de tal forma que possam oferecer con-forto e segurança. O material escolhido e o desenho devem ser tais que suportem as forças que irão agir sobre cada parte. As pessoas também devem sentar-se de modo a evitar quedas. Observe na figura abaixo uma situação muito comum: uma pessoa está lendo distraída e inclina-se para trás, então surgirão torques sobre a cadeira: um torque devido à força aplicada pelas costas da pessoa, outro, em sentido contrário,