Introdução ao Introdução ao Desenvolvimento de Desenvolvimento de

Aplicações Paralelas e Aplicações Paralelas e DistribuídasDistribuídas

Djalma M. FalcãoDjalma M. Falcão

Março-Abril, 2002Março-Abril, 2002

2

Resumo Introdução Simulação da dinâmica eletromecânica Simulação de transitórios eletromagnéticos Estimação de estado distribuída Otimização I: FPO/FPORS Otimização II: Metaheurísticas/aplicações Otimização III: Programação Hidrotérmica Avaliação da segurança dinâmica Avaliação da confiabilidade composta (Carmen) Ajuste de estabilizadores usando AGs Método dos elementos finitos (Alvaro) Aplicações reais

IntroduçãoIntrodução

Computação em Sistemas Computação em Sistemas Elétricos de PotênciaElétricos de Potência

4

Cenário Atual

Planejamento e operação – Novo contexto econômico: privatização,

reeestruturação , co-geração, geração distribuída, etc.

– Equipamentos rápidos de controle eletrônico: FACT’s e HVDC– Operação próxima dos limites

Ferramentas computacionais– Poderosa para tratar:

Modelos muito complexosPossibibidades de solução não usuais

Deficiência de pessoal

5

Evolução da Computação em Sistemas Elétricos de Potência Grande desenvolvimento nas últimas três

décadas– Técnicas para manipulação de matrizes esparsas– Introdução de conceitos de engenharia nos algoritmos

Melhorias modestas no desempenho se baseadas em metodologias convencionais– Novos métodos numéricos– Novos processadores

Possibilidade de grandes ganhos– Novos técnicas de desenvolvimento de aplicações– Sistemas inteligentes– Computação de Alto Desempenho

6

Requisitos

Robustez Amigabilidade Integração Capacidade de Aprendizado Resposta Rápida

Novos Algoritmo Visualização Novos Amb.

Desenvolvimento Sistemas Inteligentes CAD

FerramentasInteligentes

Ferramentas de Visualização

AlgoritmosRobustos

Ambiente de Computação de Alto Desempenho

7

CAD em SEP Obviamente paralelizáveis

– Decomposição natural em problemas quase totalmente independentes

– Exemplos: análise de contingências (estática e dinâmica), confiabilidade (simulação Monte Carlo), etc.

Não obviamente paralelizáveis – Requer estudo complicado de decomposição para se

atingir razoável grau de paralelismo nas tarefas (Ax=b)– Exemplos: simulação da dinâmica

Situação intermediária– Exemplos: transitórios eletromagnéticos, estimação de

estado, fluxo de potência com restrições de segurança, etc.

8

Áreas de Aplicação

Controle em Tempo-Real– Avaliação da segurança usando modelos dinâmicos

(estabilidade transitória, peq. perturbações, tensão)– Fluxo de potência ótimo com restrições de segurança

Simuladores em Tempo-Real– Teste de equipamentos e esquemas de controle

Avaliação probabilística– Confiabilidade composta, curto-circuito

Processos automáticos de análise e síntese– Planejamento da expansão sistemas de transmissão

e distribuição

9

Objetivos do Curso

Fornecer uma visão geral dos tipos de problemas e soluções enfrentadas na aplicação de CAD em sistemas elétricos depotência

Tipos de aplicações– Desenvolvidas no grupo da COPPE– Desenvolvida em outros grupos– Idéias para desenvolvimento

Evolução da pesquisa na área– Algumas aplicações descritas de pouco interesse

atual

Simulação da Dinâmica Simulação da Dinâmica EletromecânicaEletromecânica

11

Introdução

Um dos problema mais estudados Motivações principais:

– Avaliação da segurança em tempo-real– Simuladores em tempo-real

Dificuldade– Problema fortemente acoplado (rede)

Resultados obtidos– Razoáveis na primeira geração de computadores

paralelos comerciais– Possibilidade de melhoria substancial com nova

geração de computadores paralelos

12

),(0

),(

zxg

zxfx

Modelo Matemático

A B

C

G

G G

G

G G

x : variáveis de estadoz : variáveis das equações algébricasf , g : funções não-lineares

G

13

Esquema Alternado Implícito

Algebrização das equações diferenciais em cada passo de integração usando método implícito (regra trapezoidal)

Solução alternada dos sistemas de equações algébricas

Representação

),(

),(

VEhu

YVVEI

BuAxx

14

Esquema Simultâneo Implícito

Solução simultânea dos dois conjuntos de equações algébricas em cada passo de integração

Representação

Solução pelo Método de Newton

0),(

0),(

e

e

VxG

VxF

1

),(

),(

k

e

k

e

e

V

x

YS

RQ

VxG

VxF

15

Paralelização do EAI

Equações diferenciais naturalmente desacopladas– Acoplamento apenas na mesma máquina

Equações algébricas acopladas– Requer decomposição para solução paralela– Estrutura da matriz Y

Quase-bloco diagonalBlocos: áreasFora-dos-blocos: interconexões

A

B

C

NBDF

16

Paralelização do ESI

Sistemas de equações em cada iteração do método de Newton é acoplado

Também exige esquema de decomposição Estrutura da matriz de coeficientes

Máquina

Rede

BBDF

17

Métodos Paralelos

Paralelização no espaço– Método VDHN paralelo (Chai,Zhu,Bose,Tylavsky)– Método Newton-Matriz W (Chai,Bose)– Simulador Digital em Tempo-Real (Taoka,Iyoda, e outros)– Híbrido Gradiente Conjugado/Fatoração LU (Decker,

Falcão, Kaszkurewicz)

– Gradiente Conjugado Completo (Decker, Falcão, Kaszkurewicz)

Relaxação de forma de onda (Crow, Ilic)

Paralelização no espaço e no tempo– Gauss-Jacobi/Block-Newton (LaScala, Bose, e outros)– Gradiente Conjugado (Decker, Falcão, Kaszkurewicz)

18

Solução de equações lineares

Métodos Diretos– Eliminação de Gauss– Fatoração LU ou LDU– Matrizes W

Métodos Iterativos– Jacobi– Gauss-Seidel– Gradiente Conjugado

Métodos Híbridos - Bloco Iterativos– Método iterativo considerando blocos como elementos– Solução de cada bloco por método direto

19

Método Híbrido GC-LU

Baseado no EAI e decomposicão da rede na BBDF

Formulação:

s

p

sTp

TTpp

s

p

V

V

V

V

YYYY

YY

YY

YY

I

I

I

I

2

1

21

22

11

2

1

20

Solução em duas fases

Fase 1 (Gradiente Conjugado Paralelo)

Fase 2 (Fatoração LU em cada processador)

ii

p

i

Tiss

ii

p

i

Tiss

IYYII

YYYYY

1

1

1

1

siiii VYIVY Para i = 1,2,...,p, resolva

ss IYV

21

GC Completo

Solução da equação completa da rede pelo método GC (pré-condicionado) paralelo

Matriz decomposta na forma quase-bloco diagonal (NBDF)

Pré-condicionador: matriz bloco-diagonal Vantagem em relação ao híbrido: GC aplicado

a sistema de equações de grande porte

22

Paralelização no tempo e no espaço com GC

Solução de vários passos de integração simultaneamente ( janela de integração)

Cada passo de integração resolvido em um processador

Cada processador pode ser um cluster de q processadores (paralelização no espaço)

Solução dos sistemas lineares:– Método do Gradiente Bi-conjugado (Bi-CG)– Método Bi-CGSTAB

23

Formulação

p

p

pp

pppppp

p

p

V

x

V

x

V

x

YS

RQRQ

YS

RQRQ

YS

RQ

G

F

G

F

G

F

2

2

1

1

11

22

222121

11

11

2

2

1

1

00

00

24

Síntese dos Resultados Implementação paralela:

– NCP1: hipercubo, 8 nós, Transputer T800– Intel iPSC/860: hipercubo, 8 nós, i860

Sistemas Testes:– Região Sul-Sudeste: 88 ger., 616 barras, 995 ramos

Eficiência– 31% a 85%– Influenciada negativamente pelo tipo de computador paralelo

usado(alta relação comunic./proces.)

Gradiente Conjugado– Robusto– Alternativa confiável aos métodos diretos– Busca de pre-condicionadores

Decomposição de RedesDecomposição de Redes

26

Decomposição de Redes Objetivos

– Numero de subredes igual ao número de processadores– Cada subrede deve ter aproximadamente o mesmo grau

de complexidade tendo em vista solução seqüencial– Comunicação entre processadores deve ser minimizada– Assegurar convergência da solução bloco-iterativa

Solução– Difícil se tentada por uma abordagem teórica– Estudada bastante com outros objetivos– Abordagem proposta por Vale, Falcão e Kaszkurewicz:

Combinação de informações teóricas e heurísticasValidação através de testes em ambientes paralelos

27

Método proposto

Princípio

Agregação dos nós das sub-redes a partir de um dado número de nós sementes

Semente

28

Etapas do método

Classificação de nós– Ponderações em função da soma das susceptâncias

dos ramos ligados a este nó

Escolha dos nós sementes– Por experiência ou baseado nas ponderações

(escolhe-se os nós mais fortes)

Formação das sub-redes– Algoritmos para BBDF e NBDF

Seleção das decomposições– Critério para escolher decomposições com melhor

desempenho potencial

29

Ponderações

T

i

l

l

l

bl

M

B

li

b

BM

niB ,...,1,

i : conjunto das barras conectadas ao nó i

T : conjunto dos ramos da rede

Bl : susceptância do ramo lb : número de ramos da rede

30

Algoritmo (NBDF)

31

Resultados

Testada em conjunto com métodos paralelos de simulação da dinâmica vistos anteriormente

Resultados superiores às decomposições obtidas por tentativas de um analista experiente

Vantagem de ser (semi) automática

Simulação de Transitórios Simulação de Transitórios EletromagnéticosEletromagnéticos

33

Simulação de Transitórios Eletromagnéticos

Aplicação– Planejamento (coordenação de isolamento)– Testes para equipamentos e esquemas de controle

(simulador em tempo-real)

Elevados requisitos computacionais Abordagens possíveis

– Simulação analógica (TNA)– Simulação digital (EMTP)– Híbrida

34

Modelos

Subestação Subestação

Subestação

LT

LT LT

Parâmetros Concentrados

Parâmetros Distribuídos

35

Modelos dos Elementos

Integração Trapezoidal

h/2C

I C(t)

2L/h

I L(t)

Indutor Capacitor

h : passo de integração

36

Modelo de Linhas (Travelling Waves)

A

A B

B

Retardo ()

Desacoplamento

I tA

H ( ) I tB

H( )

37

Modelo Matemático

IS : Fontes de corrente independentesIL: Fontes de corrente no circ. eqv. dos indutoresIC : Fontes de corrente no circ. eqv. dos capacitoresIH : Fontes de corrente no circ. eqv. das linhas de

transmissão (determinadas em passos de integração anteriores: t- )

FA(.) e FB(.): elementos não-lineares

HB

HA

CB

CA

LB

LA

SB

SA

BB

AA

B

A

B

A

I

I

I

I

I

I

I

I

EF

EF

E

E

G

G

)(

)(

0

0

38

Implementação Paralela

Decomposição da rede– Utiliza o desacoplamento natural do modelo de

linhas– Decomposição geográfica

Balanço de carga– Etapa decisiva do método– Em geral número de sub-redes maior que o número

de processadores– Foi desenvolvida técnica especial para efetuar esse

balanço automáticamente

39

Resultados Implemetações paralelas no computador:

– NCP1: hipercubo, 8 nós, Transputer T800

Sistemas Testes: Caso Barras Ramos Linhas Sub-

redes A 561 1115 66 48

B 1026 2457 146 77

Eficiências alcançadas (%): Caso Número de Processadores 2 4 8 A 98 89 51 B 98 96 86

Estimação de EstadoEstimação de Estado

41

Formulação

~

~

CENTRO

DE

CONTROLE

COMUNICAÇÕES

42

Estado Atual

Estimação de estado centralizada Intervalo entre estimativas: 5-10 m Intervalo entre varreduras do SCADA: 1-10 s Rede supervisionada: transmissão principal Tendências

– Menor intervalo entre estimativas – Ampliar rede supervisionada

Problema– Realizar estimação de estado em redes com

milhares de barras em alguns segundos– Estimador rápido e robusto

43

Abordagem Distribuída

Estimação de estado é um problema local O estado de uma área é principalmente

determinado por informaçãoes colhidas na própria área

Características da abordagem– Realiza estimações de estado localmente– Combina informações através de técnica de

otimização baseada em restrições de acoplamento– Caso falhe comunicação entre áreas, os estimadores

locais continuam a produzir estimativas

44

Modelos Integrados

Modelo completo

Modelo desacoplado

)(xhz

qqq

ppp

vhz

vhz

),(

),(

45

Modelo Distribuído

r: número de áreasxk: vetor de estado da área kzk: vetor de medidas da área k

rkvhz

rkvhz

kq

kkkq

kq

kp

kkkp

kp

,...,1,),(

,...,1,),(

46

Restrições de Acoplamento

Restrições de acoplamento:

Linha não-nula de Ai corresponde às restrições de acoplamento da área i

Area 1

Area 3Area 2

03

2

1

321

AAA

47

Formulação do Problema

0

0

(.)]}[][(.)][

(.)][][(.)]{[2/1minimize

1

1

1

1

1

kM

k

kp

kM

k

kp

qkq

kq

Tkq

kq

kp

kp

kp

Tkp

M

k

kp

VA

Aasujeito

hzRhz

hzRhz

48

Algoritmo Básico (Modelo Ativo)

MkiACii

ACAN

iANi

MkhzRHCii

pkp

kp

kk

Tkp

kp

M

k

kp

kp

kM

k

kppp

kp

kp

kp

kp

kp

kk

oacoplamentderestriçõesdasAplicação

LocaissEstimativa

,...,1,)1(][][)1()1(

][][

)1()1(

,...,1,(...)][]][[][)()1(

11~

1

1

~

1

1

11~

oCoordenaçã

49

Algoritmo Básico (Modelo Ativo)

Deprezando elementos fora da diagonal de

jeiáreasdasganhomatrizes

dasinversadadiagonaiselementossãoe

iigg

gi

iii

kr

krj

rrkrr

krrk

kkk

jrr

krr

~~~

~~

gg

)]1()1([)1(

)1()1()1(

50

Resultados

Simulação de ambiente distribuído Sistemas testes: IEEE 14, 30, 118 barras Eficiências: 70% a 90% Precisão: erros desprezíveis se comparado ao

esquema integrado Restrições de acoplamento: só importante se

redundância de uma das áreas é baixa

Avaliação da Segurança Avaliação da Segurança Dinâmica em Tempo RealDinâmica em Tempo Real

52

Introdução

Projeto desenvolvido em conjunto por Furnas, Efei e Coppe (97-98)– Furnas: concepção geral, fluxo de potência e

simulador da dinâmica– Efei: previsão de carga em curto-prazo– Coppe: Ambiente de processamento paralelo e

integração de aplicativos

Dotar novo centro de controle de módulo independente para avaliação da segurança dinâmica em tempo-real

53

Configuração do Software

Previsão de Carga

Seleção de Contingências

Simulação no Tempo

Análise dos Resultados

Medidas Corretivas

Seleção de Contingências• Estabilidade Transitória (Função Energia)• Estabilidade de Tensão (Vetor Tangente)• Grande Número de contingência (100)• Avaliação Independente• Execução Paralela

Simulação no Tempo•Apenas para contingências selecionadas(10-20) • Simulação passo-a-passo• Método de ordem e passo variáveis• Simulações independentes• Execução Paralela

Fluxo de Potência Continuado

SCADAEstimação de Estado

54

Configuração do Hardware

NetworkHub

Anel de Fibra Ótica

Servidor Cliente 1 Cliente 2 Cliente 5

Servidor

W1

W2

W3

Wn

Ambiente DEC Alpha

Ambiente de PCs

Sistema ComputacionalPrincipal do EMS de Furnas

55

Ambiente Computacional

Hardware– Três (seis) PCs Pentium 200 MHz– Fast Ethernet Network (100 Mbs)– Arquiitetura mestre-escravo– Conexão física: estrela

Software– MS Windows NT Server and NT Workstation v. 4.0– Message Passing Interface (MPI)– Compilador Fortran PowerStation – Modelo de programação: mestre-escravo

56

Configuração da Rede para Teste

ServidorPentium 200 MHz

128 Mb RAM2.1 Gb HD

Escravo 1Pentium 200 MHz

64 Mb RAM2.1 Gb HD

Escravo 2Pentium 200 MHz

64 Mb RAM2.1 Gb HD

Hub3COM Office Connect

8/TP100Fast Ethernet

57

Teste

Sistema Teste– Sistema Brasileiro da Região Sul-Sudeste – (1772 barras, 2550 ramos, 84 geradores)– 23 contingencias ( 9 contingencies selecionadas )

Programas de Simulação– Fluxo de Potência Continuado (LFLOW - Furnas)– Simulação Dinâmica (POWERSIM - Furnas)

58

Resultados

Experiência I - Rede com 3 PCs

Tarefa Tempo (min)

Seqüencial Paralelo

Seleção de Contingências 3,70 1,98

Simulação Dinâmica 21,75 8,15

J. Jardim, C.A. da S. Neto, A.P. Alves da Silva, A.C. Zambroni de Souza, D.M. Falcão,C.L.T. Borges, and G.N. Taranto, “A Unified Online Security Assessment System“, Proceedings of the 38th CIGRÉ Session - 2000 Session, Paris, França, 27 Ago./1 Set.de 2000.

Resultado mais realista: sistema com 700 barras, 1000 ramos e 80 geradores.Contingências pré-selecionadas: 98. Rede com 5 PCs. Tempo total: 2m30s.

59

Outra Aplicação

Sistemas para avaliação da segurança dinâmica em tempo-real desenvolvido pela Powertech Labs (Vancouver, Canada)– TSAT - Transient Security Assessment Tool– VSAT - Voltage Security Assessment Tool

WEB: http://www.powertechlabs.com

OTIMIZAÇÃOOTIMIZAÇÃO

61

Problemas de Otimização

Fluxo de Potência Ótimo com Restrições de Segurança (FPORS)– Otimização da condição estática de operação

incluindo contingências– Problema de programação não-linear de grande porte

Expansão de Redes de Transmissão e Distribuição– Problema de otimização combinatória– Branch&Bound, Metaheurísticas (AG, SA, BT, etc.)

Operação de Sistemas Hidrotérmicos– Programação dinâmica estocástica

Fluxo de Potência Ótimo com Fluxo de Potência Ótimo com Restrições de Segurança Restrições de Segurança

(FPORS)(FPORS)

63

Formulação do FPO

ui : vetor de variáveis de controle (ger. ativa/reativa, tensão, taps, etc.)

xi : vetor de variáveis de controle (módulo e ângulos de fase das tensões)

f (·) : função objetivo;

gi (·): equações do fluxo de potência;

hi (·): limites operativos

0),(

0),(

),(min

xuh

xug

asujeito

xuf

i

i

64

Solução do FPO

Problema estudado desde a década de 60 Primeiros produtos adequados para utilização

prática disponibilizados no final dos 80s Métodos utilizados em pacotes comerciais:

– Programação Linear Succesiva– Programação Quadrática Seqüencial– Método de Newton– Métodos dos Pontos Interiores

Ferramenta complexa e ainda relativamente pouco difundida no ambiente das empresas de energia elétrica

65

FPORS Otimizar (min./max. critério) ponto de operação (caso base)

incluindo o efeito de contingências (desligamento de linhas, trafos, etc.)

Aplicações: controle em tempo-real, métodos automáticos de planejamento, confiabilidade composta, etc.

Controle Preventivo– O caso base dever ser suficientemente robusto para

garantir a viabilidade dos estados em contingência– Conservativo

Controle Corretivo– Prevê ações corretivas pós-contingências em intervalo de

15-30 minutos– Mais adequado ao ambiente competitivo

66

Formulação Preventiva do FPORS

n: número de contingências (i = 0: caso base; i = 1, …,n: contingências);

ui : vetor de variáveis de controle (ger. ativa/reativa, tensão, taps, etc.)

xi : vetor de variáveis de controle (módulo e ângulos de fase das tensões)

f (·) : função objetivo;

gi (·): equações do fluxo de potência;

hi (·): limites operativos

nixuh

nixug

asujeito

xuf

ii

ii

,...,2,1,0,0),(

,...,2,1,0,0),(

),(min

0

0

00

67

Formulação Preventiva do FPORS

n: número de contingências (i = 0: caso base; i = 1, …,n: contingências);

ui : vetor de variáveis de controle (ger. ativa/reativa, tensão, taps, etc.)

xi : vetor de variáveis de controle (módulo e ângulos de fase das tensões)

f (·) : função objetivo;

gi (·): equações do fluxo de potência;

hi (·): limites operativos

nixuh

nixug

asujeito

xuf

ii

ii

,...,2,1,0,0),(

,...,2,1,0,0),(

),(min

0

0

00

68

Formulação Corretiva do FPORS

i(·): distância no espaço de controles (norma Euclidiana, p.ex.);

i : vetor de limites superiores da variação permitida nas variáveis de controle para corrigir violações no período de tempo considerado.

niuu

nixuh

nixug

asujeito

xuf

iii

iii

iii

,...,2,1,0,)(

,...,2,1,0,0),(

,...,2,1,0,0),(

),(min

0

00

Restrições de Acoplamento

69

Características do FPORS Dimensão Elevada (Exemplo)

– 1.000 barras, 50 contingências– 2.000x51 = 102.000 restrições de igualdade– 4.000x51 = 204.000 restrições de desigualdade

Estrutura– n+1 problemas de PNL fracamente acoplados– grande maioria das restrições de desigualdade não-

ativas na solução

Adequado para solução em paralelo utilizando algum método de decomposição de problemas de PNL

70

Decomposição de Benders

Decomposição em um Problema Mestre e n Subproblemas

Algumas variáveis chaves são mantidas constantes nos Subproblemas e ajustadas no Problema Mestre

Iteração entre Problema Mestre e Subproblema é mantida até a convergência

Problema Mestre

Subproblema nSubproblema 2Subproblema 1 . . .

Variável Chave Corte de Benders

71

Problema Mestre

niuu

xuh

xug

asujeito

xuf

Tii

i

i

,...,2,1,0)(

,0),(

0),(

),(min

*00

*

00

00

00

Cortes de Benders

i* : obtido da solução dos subproblemas;

i : multiplicador de Lagrange associado à i-ésima restrição de acoplamento dos subproblemas

u0* : solução ótima atual para as variáveis de controle do caso base

72

Subproblemas

0

0),(

0),(

min

0

s

suu

xuh

xug

asujeito

sd

ii

iii

iii

i

d : constante positiva

u0* : variável chave (valor atual das variáveis de controle do caso base)

: norma Euclidiana

O único objetivo desse subproblema é garantir a viabilidade da solução para um dado u0* . Portanto, s deve ser nulo na solução final, isto é, i* = 0.

Se i* 0, então u0 deve ser trazido para perto de ui de forma a satisfazer as restrições de acoplamento.

Os multiplicadores de Lagrange i, obtidos na solução desses subproblemas, são as sensibilidades da função objetivo (i* = d.s) a variações nos parâmetros u0* (inviabilidade do subproblema).

73

Algoritmo1. Gere aproximações para os cortes de Benders.

2. Resolva o Problema Mestre com os novos cortes de Benders.

3. Com o valor de u0* obtido no passo anterior, resolva os n Subproblemas.

4. Se i* = 0 em todos os subproblemas, PARE. Os presentes ui*, e correspondentes xi*, são a solução do problema.

Senão, vá para o passo 5.

5. Use os resultados obtidos no passo 3 para gerar n novos cortes de Bender. Vá para o passo 2.

74

Implementação Paralela

Os problemas associados ao caso base e subproblemas são fracamente acoplados

Esses problemas podem ser resolvidos independentemente

Existem implementações síncronas e assíncronas

Várias implementações em máquinas paralelas reais com elevada eficiência

75

Assincronismo

Implementação Síncrona– Todos os subproblemas são resolvidos

completamente e suas soluções são comunicadas ao problema mestre para iniciar uma próxima iteração

Implementação Assíncrona– Utiliza-se o valor mais atual da solução dos

subproblemas, antes mesmo que eses estejam compleamente resolvidos

Implementações assíncronas são mais rápidas porém podem apresentar problemas de convergência

76

Referências S.M. Shahidehpour and V.C. Ramesh, “Nonlinear Programming

Algorithms and Decomposition Strategies for OPF”, IEEE Tutorial Course Optimal Power Flow: Solution Techniques, Requirements, and Challenges, 1996.

A. Monticelli, M.F.V. Pereira, and S. Granville, “Security constrained Optimal Power Flow with Post-Contingency Corrective Rescheduling”, IEEE Transactioms on Power Systems, vol. 2, no. 1, pp. 175-182, February 1987.

HJC Pinto, MVF Pereira and MJ Teixeira, “New parallel algorithms for the security constrained dispatch with postcontingency corrective actions”, Proceedings of the 10th Power Systems Computation Conference, pp. 848-853 Graz, Austria, August 1990.

M. Rodrigues, O.R. Saavedra, and A. Monticelli, “Asynchronous Programming Model for the Concurrent Solution of the Security Constrained Optimal Power Flow Problem”, IEEE Transactioms on Power Systems, vol. 9, no. 4, pp. 2021-2027, November 1994.

Planejamento da Expansão de Planejamento da Expansão de Sistemas de TransmissãoSistemas de Transmissão

Introdução aos Algoritmos Genéticos

78

Formulação

Dada a configuração da rede de transmissão para um determinado ano e a previsão da demanda/geração para um próximo ano, determinar o plano de expansão de custo mínimo (onde, quais e quando novos circuitos devem ser adicionados à rede)

Formulação estática: onde e quais Formulação dinâmica: onde, quais e quando Problema de otimização combinatória mista (varáveis

binárias e reais) não linear Primeiro passo do processo de planejamento: gera

opções de expansão as quais devem ser estudadas com mais detalhes (estabilidade, curto-circuito, etc.)

79

Formulação matemática (modelo DC)

Ckx

Nkgg

Cklxff

Eklff

Cklxf

Eklf

Nkdgff

asujeito

xcz

kl

kk

klklkl

klkl

lkklklkl

lkklkl

kkCl

klEl

kl

klCkl

kl

kk

,1,0

,0

,

,

,0)(

,0)(

,

min

11

00

11

00

10

ckl :custo do ramo kl

E,C: conjuntos dos ramos existentes e candidatos (Ek,Ck subconjuntos dos ramos ligados ao nó k)

N: conjunto de nós da rede

fkl : fluxo de potência no ramo kl

gk : geração no nó k

dk : demanda no nó k

k : ângulo de fase da tensão nó k

kl : susceptância do ramo kl

Não-linear

Variável binária

80

Solução candidata

Nkdr

Nkgg

Cklxff

Eklff

Cklxf

Eklf

Nkdrgff

asujeito

rz

kk

kk

klklkl

klkl

lkklklkl

lkklkl

kkkCl

klEl

kl

Nkk

kk

,0

,0

,ˆ

,

,0)(ˆ

,0)(

,

ˆmin

11

00

11

00

10

Para uma candidata a solução x, obtida por algum procedimento (heurístico?), o problema reduz-se a um problema de programação linear

^

rk: carga não-suprida nó k

z : total de carga não suprida para a solução x; pode ser utilizado como uma medida da inviabilidade da solução

^

^^

81

Métodos de Solução

Métodos de otimização combinatória: eg Branch&Bound: difícil

Procedimentos heurísticos Metaheurísticas

– Algoritmos Evolucionários (Genéticos)– Busca Tabu– Simulated Annealing– GRASP– Particle Sworm Optimization (PSO)– Etc.

82

Algoritmos Genéticos [

Inicie a população Avalie a população inicial Faça_enquanto critério_de_parada não é satisfeito [

Selecione soluções para a próxima população Aplique operadores genéticos Avalie nova população ]

]Seleção,

cruzamento e mutação

83

Exemplo de Codificação do Problema

13 5

4

2

1 0 0 1 0

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

1 0 0 1 0

1 1 0 1 1

População AvaliaçãoFunção Adequabilidade

z1

z2

z3

z4

z5

z6Cruzamento

1 0 1 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 0 1 1 0

Seleciona melhores indivíduos

Mutação

Alteração aleatória de 1 ou mais genes

84

Algoritmo [

Inicie a população (candidatos a planos de expansão) Avalie a população inicial ( resolva um PPL para cada indivíduo da população) Faça_enquanto critério_de_parada não é satisfeito [

Selecione soluções para a próxima população (critério: custo da expansão + operação) Aplique operadores genéticos Avalie nova população ]

]

85

AG Paralelos

Essencialmente o mesmo AG porém a avaliação dos indivíduos, e em alguns casos também a aplicação dos operadores genéticos, são paralelizadas

Fácil implementação Ganho de velocidade proporcional ao número

de processadores

86

AGs Distribuídos População divida em algumas poucas sub-populações

as quais são mantidas relativamente isoladas Operador Migração usado para trocar indivíduos entre

sub-populações Vantagens

– Convergência mais rápida (populações menores)– Pode encontrar melhores soluções– Ganho de velocidade se implementado em ambiente

com múltiplos processadores

P1 P2

P3 P4

P1 P2

P3 P4

Planejamento da Expansão de Planejamento da Expansão de Sistemas de DistribuiçãoSistemas de Distribuição

88

Expansão de Redes de Distribuição

Determinar a localização e data de construção de novos trechos de alimentadores primários

Problema de programação combinatória não-linear (modelo de fluxo de potência)

Solução por métodos de programação matemática é bastante difícil e exige esforço computacional muito elevado

89

Exemplo Ilustrativo

RedeExistente Previsão de

Expansão

Ponto de Carga

Sub-Estação

90

Exemplos de SoluçãoRestrição: rede radial

91

Formulação

Minimizar– Custos de instalação de novos ramos– Perdas de energia

Restrições– Conectividade– Radialidade– Queda de tensão

92

Função Adequabilidade

Decodificação

Resolve Fluxo de Potência

Calcula Aptidão

Conexa e Radial?

S

N

Aptidão = 0

Fluxo de Potência calcula tensões nodais e perdas

Aptidão1/ Custo + (1/Perdas)

+ (1/Desvio_Tensão)

Reparo

Formulação Híbrida:Formulação Híbrida:AG + FPOAG + FPO

Javier R. O. Soto, Carlos R. R. Dornellas and Djalma M. Falcão , “Optimal Reactive Power Dispatch Using a Hybrid Formulation: Genetic Algorithms and Interior Point”, Proceedings of the 2001 IEEE Porto Powertech, Porto, Portugal, September 2001.

Planejamento da Operação de Planejamento da Operação de Sistemas HidrotérmicosSistemas Hidrotérmicos

95

Introdução

ObjetivoObjetivo Determinar, a cada período, estratégias de geração

para cada unidade geradora do sistema, de modo a minimizar o custo esperado de operação ao longo de todo o período de planejamento

Custo EsperadoCusto Esperado– Combustíveis das usinas termelétricas– Penalidades por eventuais não atendimentos à

demanda de energia - Déficit

96

Características

Acoplamento Temporal e Espacial: relação entre uma decisão tomada em um estágio e sua conseqüência futura

Natureza Estocástica: impossibilidade de uma perfeita previsão das afluências futuras

Grande Porte: múltiplos reservatórios e otimização multi-período

Não-linear: função de produção das hidrelétricas e custos de operação das termelétricas

Uso Múltiplo da Água: navegação, cheias, irrigação, entre outros

97

Decisões Operativas

Usar Água

Não UsarÁgua

Afluências normais

secas

OK

Déficit de Energia(corte de carga)

Vertimento

OK

Decisão?Decisão 1

Cenário Alternativo 1

Cenário Alternativo 2

secas

Afluências normais

98

Etapas de Planejamento

Divisão em Etapas:

Impossibilidade de englobar todas as complexidades em um modelo matemático único

Necessidade de analisar os efeitos de longo, médio e curto prazos

99

Cadeia de PlanejamentoLongo Prazo (5 anos)

Geração hidro totalGeração térmica totalIntercâmbio entre os subsistemas

Médio Prazo (1 ano)Despacho(1 hora)

Despacho instantâneoRestrições de segurança

Curto PrazoPré-Despacho(1 dia)

Cada ano ou menos

Tempo Real

Cadahora

Desagregação do totalde geração hidráulica em metas de geração para asunidades hidráulicas

(1 semana)

Desagregação dasmetas mensais emmetas horárias paraas usinas hidráulicas

Determinação do perfilde geração que respeita as restrições elétricas e energéticas

100

Problema de Longo Prazo

Características

– Horizonte de Planejamento de 5 anos

– Discretização Mensal

– Difícil conjunção dos fatores: não-linearidades, grande porte e natureza estocástica

– Exige várias simplificações na formulação do problema

Principais Resultados

– Totais de geração e intercâmbios entre subsistemas

– Determinação de riscos no atendimento energético

101

Método de Solução

Programação Dinâmica Estocástica (PDE) Divide o período de estudo em estágios e

determina a melhor decisão a cada estágio, de acordo com o estado em que o problema se encontra– Estágio: variável discreta que divide o período de

estudo em partes elementares, as quais ocorrem modificações no sistema

– Estado: variável que descreve o sistema em um determinado estágio

– Decisão: variável de controle que, aplicada ao sistema no estágio t, determina o estado em que o sistema se encontrará ao final do mesmo

102

Reservatório Equivalente

Elimina a característica de grande porte do problema agregando os diversos reservatórios do sistema em um único reservatório equivalente

Descartam-se variáveis hidráulicas em favor de variáveis energéticas, calculadas para o sistema como um todo

Desvantagens:– Não representa corretamente as restrições

operativas individuais das usinas do sistema– Desconsidera o acoplamento hidráulico existente

entre as usinas– Subestima a capacidade de produção do sistema

hidrelétrico

103

Noções de Programação Dinâmica

Técnica utilizado para resolver problemas de decisão com múltiplos estágios

Técnica de Solução– Princípio de Otimalidade de Bellman: Uma política

ótima deve ser tal que, independentemente da trajetória seguida para chegar a um determinado estágio, as decisões remanescentes devem constituir uma trajetória ótima.

– Faça o melhor que possa onde estiver.

Técnica de Solução– A recursão deve ser realizada no sentido inverso do

tempo

104

Exemplo Genérico

105

Funções de Custo Imediato e de Custo Futuro

Volume Final

FCI FCFFCI: custo da geração térmica no estágio t

FCF: custo esperado da geração térmica do final do estágio t (início de t +1) até ofinal do período de estudo

106

Problema de um Estágio

Supondo conhecida a FCF: t+1 (v t+1 )

v t+1

v tu t

Estágio t

Min z = c (u t) + t+1 (v t+1 )

sujeito a

v t+1 = v t - u t - s t - a t

v t+1 v max

u t u max

FCI

107

Aplicação de PDE

Passo 1: Para cada estágio (t) defina um conjunto de estados (níveis de armazenamento: 100%, 90%, etc.). Suponha o estado inicial conhecido.

1 2 T-1 T

108

Aplicação de PDE

Passo 2: No estágio final (T), resolva um Problema de um Estágio para cada estado (100%, 90%, etc.) e para cada cenário de afluências. Assuma que a FCF é nula.

T

Cenário 1

Cenário 2

Cenário k

109

Aplicação de PDE

Passo 3: Calcule o valor esperado do custo de operação para cada estado. Esses valores são pontos da FCF para o estágio T-1. Interpole

T

FCF para o estágio T-1

110

Aplicação de PDE

Passo 4: Repita o processo para os estados selecionados (de acordo com o princípio da PD) para os estágios T-1, T-2, etc.

1 2 T-1 T

111

Possibilidades de Paralelização

Passo 2: os Problema de um Estágio podem ser resolvidos simultaneamente

Passo 3: supõe-se ser possível a paralelização do cálculo da FCF

Observação: não foi analisado o método PDE Dual o qual é efetivamente utilizado em programas como NEWAVE e DECOMP