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Introdução à Física S.J.Troise

Ciência é a arte de estudar a natureza e este estudo pode ser feito sob diferentes aspectos. Cada um destes aspectos define um dos três grandes ramos da ciência: a Biologia, a Química e a Física. Enquanto a primeira preocupa-se com o estudo dos seres vivos e a segunda preocupa-se com o estudo das substâncias e suas transformações, a Física tem por objetivo o estudo da energia e suas manifestações. Assim estudar Física é uma forma de estudar a natureza

Principio da pesquisa física Ao estudar um fenômeno, a Física adota o seguinte procedimento: A) realiza a observação atenta do fenômeno até não restar nenhuma dúvida sobre o que está sendo

observado; B) define todas as grandezas envolvidas no fenômeno observado, isto é, tudo que pode ser medido; C) mede essas grandezas, construindo assim tabelas que mostram as correlações existentes entre

elas; D) constrói gráficos a partir dessas tabelas, os quais colocam em evidência a existência de relações

matemáticas definidas entre as grandezas, ou seja, de fórmulas relacionando-as; E) determina essas fórmulas, as quais passam a se constituir num modelo matemático do fenômeno,

isto é, um meio de prever o fenômeno sem ter que observá-lo experimentalmente; F) manipula essas fórmulas, a partir de regras matemáticas, obtendo novas fórmulas, as quais

permitem, até mesmo. prever novos fenômenos. Os procedimentos A a E apresentados acima constituem a chamada Física Experimental enquanto

que o procedimento F é a chamada Física Teórica. O objetivo deste texto é apresentar os procedimentos acima, aplicados a uma classe especial de

fenômenos apresentados pela natureza, chamados genericamente de Fenômenos Elétricos. Este capítulo da Física é chamado de Eletricidade.

Para efeito didático, a Eletricidade está dividida em três grandes áreas: Eletrostática, Magnetismo e

Eletrodinâmica.

Cap 1 - 1

Introdução à Eletricidade S.J.Troise

Cap 2—1

2. Introdução à Eletricidade S.J.Troise

2.1 Fenômeno fundamental

OBSERVAÇÃO FUNDAMENTAL

Existem partículas, encontradas na natureza, que apresentam a propriedade de se atraírem ou de se repelirem ou seja, quando

colocadas em presença mútua. entre elas aparece uma força de interação, de atração ou de repulsão.

Para distinguir esta força das demais forças encontradas na natureza ela é denominada “força de natureza elétrica“. As partículas mais comuns encontradas na natureza, que apresentam esta propriedade, são o elétron e o próton.

O que se observa, de forma indireta, é que:

a) próton repele próton:

Figura 2-1

b) elétron repele elétron:

Figura 2-2

c) próton atrai elétron:

Figura 2-3

Observa-se ainda que esse processo de interação obedece à Lei da Ação e Repulsão, estudada na Mecânica.

2.2 Conceito de Carga Elétrica Para que essas partículas tenham este comportamento é necessário que elas apresentem alguma

propriedade.

Chama-se Carga Elétrica à propriedade apresentada por essas partículas que faz com que elas se atraiam ou se repilam. Ou em outras palavras: essas partículas têm “alguma coisa” que faz com que elas se atraiam ou se repilam. Essa “alguma coisa” é chamada Carga Elétrica. É importante que se observe que não estamos dizendo o que é carga elétrica; estamos apenas estabelecendo um conceito.

2.3 Tipos de Carga Elétricas É possível concluir-se a partir da observação do fenômeno de interação entre elétrons e prótons que

existem dois tipos de cargas elétricas. Isto é feito analisando-se os três fatos acima colocados.

Observação 1: prótons se repelem Raciocinemos: os prótons são partículas idênticas (não há razão para que não sejam). Logo os prótons têm

as mesmas propriedades e portanto devem ter o mesmo tipo de carga elétrica e se repelem

1ª Conclusão: partículas que têm as mesmas propriedades, isto é a mesma carga elétrica, se repelem.


Cap 2—2

Observação 2: elétrons se repelem Raciocinemos: os elétrons são partículas idênticas (não há razão para que não sejam). Logo os elétrons

têm as mesmas propriedades e portanto devem ter o mesmo tipo de carga elétrica e se repelem

1ª Conclusão bis: partículas que têm as mesmas propriedades, isto é a mesma carga elétrica, se repelem

Observação 3: elétrons e prótons se atraem Raciocinemos: se o elétron e o próton tivessem a mesma propriedade, isto é, a mesma carga elétrica,

deveriam repelir-se, conforme as conclusões acima. Como isto não acontece podemos tirar a

2ª Conclusão: a carga elétrica do elétron é diferente da carga elétrica do próton e portanto existem dois tipos de carga elétrica.

Podemos também concluir:

3ª Conclusão: partículas que apresentam propriedades diferentes, isto é, cargas elétricas diferente se atraem

2.4 A denominação das Cargas Elétricas Para distinguir estes dois tipos de cargas elas recebem nomes diferentes:

a carga do próton é denominada positiva a carga do elétron é denominada negativa

Deve-se observar que essas denominações são arbitrárias. Não há nenhuma justificativa natural para elas.

2.5 Medida da Carga Elétrica A propriedade carga elétrica é mensurável, isto é, pode ser medida. Em vista da conclusão 5 a medida da

carga elétrica do elétron é representada por um número negativo e a carga elétrica do próton por um número positivo.

Métodos indiretos permitem medir essas duas cargas. No Sistema Internacional (SI) a unidade de medida da carga elétrica é o Coulomb (C) cuja definição não pode ser dada neste momento. Os valores obtidos são:

carga do elétron qe x C= − −1 6 10 19.

Carga do próton C106,1q 19p

−⋅+=

2.6 Partículas neutras Existem também na natureza partículas que não interagem com prótons e com elétrons. Essas partículas

não apresentam a propriedade carga elétrica e são denominadas NEUTRAS. Um exemplo é o nêutron, partícula constituinte do núcleo atômico.

2.7 O átomo Sabe-se que o átomo em condições normais apresenta igual número de elétrons e prótons. Sabe-se

também que, nessa condição átomo é neutro, isto é, não apresenta não apresenta carga elétrica pois não interagem com outros prótons ou elétrons, apesar de conter no seu interior cargas positivas (prótons) e cargas negativas (elétrons).

4: Conclusão a carga elétrica positiva dos prótons de um átomo em condições normais cancela a carga elétrica negativa dos elétrons.

Como no átomo em condições normais o número de elétrons é igual ao número de prótons e ele é neutro apesar de conter cargas elétricas positivas e negativas podemos concluir que a carga elétrica positiva do próton é capaz de anular a carga elétrica negativa do elétron, sem o que o átomo não seria neutro, ou ainda:

5: ª Conclusão a carga elétrica do próton é igual e oposta à carga elétrica do elétron.


Cap 2—3

2.8 O átomo ionizado - ions Sabe-se que os elétrons das camadas externas de um átomo podem se mover com facilidade devido à sua

fraca ligação com o núcleo atômico. Por esta razão os átomos podem, em certas condições, perder ou ganhar elétrons, ficando conseqüentemente com excesso de próton ou excesso de elétrons. Quando isto acontece passa a existir no átomo excesso de um dos tipos de carga elétrica. Dizemos então que o átomo está eletrizado ou ainda que é um ion.

quando ganha elétrons ele passa a apresentar excesso de carga elétrica negativa e é chamado de ion negativo ou cátion.

quando perde elétrons passa a apresentar excesso de carga elétrica positiva e é chamado de ion positivo ou ânion

Devemos observar aqui que nos estudos da Eletricidade admite-se o próton fortemente ligado ao núcleo atômico e portanto impossibilitado de mover-se. Fenômenos que envolvem a mobilidade do próton são estudados na Física do Átomo.

2.9 Corpos eletrizados Os corpos em condições normais são constituídos por átomos em condições normais e portanto são

neutros. Como seus átomos podem ganhar ou perder elétrons o corpo como um todo pode apresentar excesso ou falta de elétrons, passando portanto a apresentar carga elétrica negativa, se ganhar elétrons ou positiva, se perder elétrons.Um corpo que apresenta carga elétrica é chamado “corpo eletrizado”. O ganho ou perda de elétrons ocorre, por exemplo, durante o processo de atrito entre corpos. Textos elementares de Física descrevem este fenômeno com detalhes.

2.10 A divisão da eletricidade A Eletricidade á a parte da Física que estuda os fenômenos da natureza que envolvem as cargas elétricas e

esses fenômenos podem ser classificados em dois grandes grupos: aqueles que ocorrem quando as cargas estão em repouso e aqueles que ocorrem quando as cargas estão em movimento.

Para simplificar o estudo, a eletricidade é subdividida em três grandes áreas: a Eletrostática, que estuda fenômenos que se manifestam quando as cargas geradoras do fenômeno estão em repouso, o Magnetismo que estuda fenômenos que se manifestam quando as cargas geradoras estão em movimento e Eletrodinâmica que estuda as relações entre o movimento das cargas e suas causas.

2.10.1 Exercícios de revisão teórica 2.10.1.1 ( ) O que é carga elétrica? 2.10.1.2 ( ) Como é possível concluir que existem dois tipos de cargas elétricas? 2.10.1.3 ( ) Como um corpo pode apresentar carga elétrica? 2.10.1.4 ( ) O que é um corpo carregado positivamente? 2.10.1.5 ( ) O que é um corpo carregado negativamente?


Cap 3—1

3. Estudo da força de interação entre corpos eletrizados S.J.Troise

3.1 Introdução Como foi dito na introdução, a Física utiliza como método de trabalho a medida das qrandezas envolvidas

em cada fenômeno que estuda. A força é uma grandeza que aparece entre as cargas elétricas e por essa razão ela e todas as demais grandezas são estudadas e medidas em laboratório e desse estudo nasce a relação fundamental que dá origem à Eletricidade e que recebe o nome de Lei de Coulomb.

3.2 A Lei de Coulomb na forma escalar Para que possamos iniciar o estuda da força de interação entre corpos eletrizados, imaginemos que os

mesmos tenham suas dimensões suficientemente pequenas para que possam ser representadas por pontos geométricos. Os corpos eletrizados que satisfazem a esta condição são chamados “cargas puntiformes”. Isto é feito neste momento para que dois fatos ocorram:

1 - que suas posições definam exatamente uma direção no espaço (dois pontos definem uma direção no espaço);

2 - que a distância entre elas seja bem definida (distância entre dois pontos que representam, as cargas)

Consideremos então duas carga puntiformes, representadas pelos pontos geométricos A e B da figura abaixo, que apresentem cargas elétricas de medidas e respectivamente, separadas por uma distância

. AQ BQ

r

Figura 3-1

A experiência mostra que entre essas duas cargas aparece uma força de atração ou de repulsão Fr

com as seguintes propriedades:

1) a direção da força coincide com a reta que passa pelos pontos A e B;

Figura 3-2

2) o sentido da força é de repulsão se (as cargas têm o mesmo sinal) e de atração se

(as cargas têm sinais opostos);

0Q.Q BA >Q QA B. < 0

Figura 3-3

3) a intensidade da força é proporcional às medidas das cargas Q e Q ; A B

AQ F αr

e AQF ∝r

4) a intensidade da força é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas; r

2r1F ∝

r

5) a intensidade da força depende do meio no qual as cargas se encontram.


Cap 3—2

A partir destas observações experimentais é possível determinar uma expressão que permite calcular a força que atua sobre cada uma das cargas:

As relações 3 e 4 podem ser colocadas sob a forma de uma única relação de proporcionalidade, ou seja

2BA

rQQ

F⋅

∝r

Esta relação de proporcionalidade pode agora ser transformada numa igualdade, introduzindo-se uma constante de proporcionalidade, cujo valor depende do meio no qual as cargas se encontram, ou seja

2BA

rQ.Q

K = F ⋅r

Equação 3-1 Esta equação é denominada Lei de Coulomb na forma escalar. Com ela é possível calcular o modulo da

força de interação entre duas cargas puntiformes de medidas e Q , separadas por uma distância AQ B r

A constante que aparece na lei de Coulomb é determinada experimentalmente e seu valor para o ar ou para o vácuo á aproximadamente, no Sistema Internacional de Unidades (SI):

2

29

CN.m 10x9K =

Esta constante é denominada constante da eletrostática e costuma ser escrita sob outra forma, com o objetivo de simplificar as expressões resultantes dos desenvolvimentos que se seguem. Esta outra forma da constante é

0..41Kεπ

=

onde é denominado 0ε permissividade elétrica do meio, cujo valor também depende do meio no qual as cargas se encontram. Para o ar ou para o vácuo seu valor é, no SI

2

212

0 m.NC10x85,8 −=ε

Assim, a lei de Coulomb pode a ser escrita:

2BA

0 rQQ

41F

⋅⋅

ε⋅π⋅=

r

Equação 3-2 Embora a experiência que dá origem à Lei de Coulomb não possa ser realizada em qualquer meio, a

permissividade de vários diferentes meios é medida e para eles define-se a constante dielétrica relativa rε , como

sendo a razão entre a permissividade desse meio ε e a permissividade do vácuo 0ε , ou seja:

0r ε

ε=ε

Equação 3-3 Pode-se observar que essa constante é adimensional. Assim a permissividade de qualquer meio é dada

por

0r ε⋅ε=ε Equação 3-4

A tabela abaixo mostra a constante dielétrica relativa de algumas substâncias.

Substância rε Ar 1,00059

Água 81 Álcool etílico 28

Borracha 3,5 Diamante 16,5 Enxofre 4


Cap 3—3

Glicerina 56 Hidrogênio 1,000264

Mica 4 a 7 Oxigênio 1,00055

Papel 2 Parafina 2,1

Poliestireno 2,5 Vidro 3,7 a 6,9

3.3 A Lei de Coulomb na forma vetorial Lembremos que o efeito de uma força só é conhecido se conhecermos o vetor que a representa.

Procuremos então uma expressão que permita calcular diretamente o vetor força.

Como este vetor deve estar sobre a reta que passa pelos dois pontos A e B onde estão as duas cargas, tomemos um versor ur sobre a reta AB, apontanto para a carga que sofre a força que está sendo calculada.

Figura 3-4

É fácil observar-se que

)AB()AB(u

−−

=r

Equação 3-5 pode ser determinado simplesmente conhecendo-se a posição das duas cargas dadas por suas coordenadas. Podemos então escrever:

u.r

Q.QKF

2BA rr

⋅=

Equação 3-6 Esta equação é chamada Lei de Coulomb na forma vetorial pois ela permite calcular diretamente o vetor

força que atua sobre a carga. Para a sua aplicação devemos lembrar sempre da expressão 3-2 que permite calcular o versor ur

Observemos que nesta equação não escrevemos e em seus valores absolutos pois agora o sinal das cargas definirá o sentido da força, ou seja:

AQ BQ

⇒ se , F tem o sentido de u0Q.Q BA >r

como na figura (repulsão)

⇒ se , F tem sentido contrário oposto a uOQ.Q BA <r

(atração)

3.3.1 Exercícios de revisão teórica 3.3.1.1 ( ) É possível demonstrar-se teoricamente a Lei de Coulomb? 3.3.1.2 ( ) Qual o procedimento experimental que leva à Lei de Coulomb? 3.3.1.3 ( ) Enuncie a Lei de Coulomb na forma escalar. Use palavras e não fórmulas. 3.3.1.4 ( ) Enuncie a forma vetorial de Lei de Coulomb. Use palavras, não use fórmulas. 3.3.1.5 ( ) Porque é importante a forma vetorial de Lei de Coulomb?

3.3.2 Exercícios 3.3.2.1 ( ) Duas cargas puntiformes de medidas C3,1 µ e C4,2 µ encontram-se separadas de uma distância de . Calcule a intensidade da força de interação

m2,0

Resp:.

3.3.2.2 ( ) Qual será a intensidade da força se a segunda carga medir C4,2 µ− ?

Resp:


Cap 3—4

3.3.2.3 ( ) A força de interação entre duas cargas tem intensidade de . Se as cargas têm medidas de N108,2 6−⋅ C4,3 µ , calcule a distância entre as cargas.

Resp:

3.3.2.4 ( ) Uma carga de medida interage com outra carga de medida desconhecida que se encontra a uma distância

de 0,5m com uma força de intensidade . Calcule a medida de outra carga

C6,5 µ

N108,7 5−⋅Resp:

3.3.2.5 ( ) Duas cargas de medidas iguais estão separadas de um distância de e interagem com uma força de

intensidade . Calcule a medida das cargas.

m8,0N104,3 6−⋅

Resp:

3.3.2.6 ( ) Sobre uma reta estão duas cargas de medidas C4,2 µ− e C6,5 µ separadas de uma distância de . Uma

terceira carga de medida é colocada entre as duas primeiras cargas a uma distância de da carga negativa. Calcule a intensidade da força resultante sobre a terceira carga.

m8,0C3,1 µ m3,0

Resp: 3.3.2.7 ( ) Se na questão anterior a terceira carga for colocada fora da região entre as cargas, do lado da carga positiva, a uma distância de desta, calcule a intensidade da força resultante sobre a terceira carga. m5,0

Resp: 3.3.2.8 ( ) Na questão anterior, determine onde deve ser colocada a terceira carga para que a força resultante sobre ela seja nula.

Resp:

3.3.2.9 ( ) Calcular a intensidade da força de interação entre duas cargas puntiformes de medidas C3,1 µ e C6,2 µ separadas por uma distância d=0,15 m.

Resp: N35,1F =r

3.3.2.10 ( ) Idem com e separadas de d=0,35 m C4,2 µ− C5,3 µResp:.

3.3.2.11 ( ) Suponha possível a seguinte situação: dois elétrons são colocados numa mesma vertical, o de baixo fixo e o de cima em equilíbrio resultante da força de interação entre os elétrons e a força da gravidade. Calcule a distância entre eles. Dada

a massa do elétron = e g = kg10x11,9 31− 2m/s 81,9Resp: m08,5

3.3.2.12 ( ) Resolva o problema anterior considerando dois prótons interagindo. Dada massa do próton igual a 1836 vezes a massa do elétron.

Resp:

3.3.2.13 ( ) Duas cargas puntiformes C8,2Q1 µ= e C8,4Q2 µ= estão separadas por uma distância r = 15 cm.

Determinar onde deve ser colocada uma terceira carga C1Q µ= para que a força resultante sobre ela seja nula.

Resp: 211 QeQentre,Qaargcdam065,0

3.3.2.14 ( ) Resolva o problema anterior sendo C8,2Q1 µ−= e C8,4Q2 µ= separadas de uma distância d=0,35 m

Resp: 11 QdeesquerdaàQaargcdam13,1a3.3.2.15 ( ) Na situação do exercício 3-1.6 determine a posição em que deve ser colocada a carga C7,3Q µ−= para que esta permaneça em equilíbrio.

Resp: 11 QdeesquerdaàQaargcdam13,1a

3.3.2.16 ( ) Na situação da figura, calcule a força resultante sobre a carga . Dados

. 2Q

C3,5QeC8,1Q,7,3Q 321 µ=µ=µ=


Cap 3—5

Resp: N98,0

3.3.2.17 ( ) No problema anterior suponha C8,5Q3 µ−= . Calcule a intensidade da força sobre . 2QResp:

3.3.2.18 ( ) Na situação da figura ao lado, calcule a intensidade da força sobre a carga . Dados 3QC4,2QeC3,2Q.C8,1Q 321 µ=µ−=µ= .

Resp: N043,0

3.3.2.19 ( ) Na situação da figura, calcule a intensidade da força sobre a carga .Dados: h= 20 cm, x = 40 cm, y = 30 cm, 4QC0,1QeC7,3Q,C8,2QQ 4321 µ=µ−=µ== .

Resp: N82,0Fou)N(j71,0i38,0F =−=rrrr

3.3.2.20 ( ) Calcular o vetor força de interação entre as cargas puntiformes mostradas na figura. Dados: . C4,2QeC7,1Q 21 µ=µ=

Resp: )N(j1056,1i1034,2F 33 rrr −− ⋅+⋅=

3.3.2.21 ( ) Na figura abaixo calcule o vetor força resultante sobre a carga . Dados: 3QC5,3QeC4,5Q,C7,2Q,C8,3Q 4321 µ−=µ−=µ−=µ=

Resp:

3.3.2.22 ( ) Nos pontos A, B, C, D e E existem cargas iguais de C0,1 µ . Calcule a força resultante sobre a carga localizada em


Cap 3—6

E

Resp:

3.3.2.23 ( ) Nos pontos A(1,2,3)m, B(4,2,-5)m, C(2,-3,4)m e D(0,-1,3)m existem respectivamente as cargas puntiformes: C3,4QeC8,2Q,C3,6Q,C2,3Q DCBA µ=µ−=µ=µ−= . Calcule a intensidade da força que atua sobre a

carga . DQResp:

3.3.2.24 ( ) Nos pontos H(3,-1,2)m e K(2,2,1)m existem as carga puntiformes C0,2QeC8,3Q KH µ=µ−= . Determine

as coordenadas de um ponto P(x,y,z) do espaço no qual, colocando-se qualquer carga puntiforme esta permanece em equilíbrio.

Q

Resp:

3.3.2.25 ( ) Uma carga de medida localiza-se na origem de um sistema de referência bidimensional. Uma outra

carga de medida localiza-se no ponto P(0,4 ; 0,6)m. Calcule o vetor força que atua sobre a segunda carga.

C5,4 µ−C5,2 µ−

Resp:

3.3.2.26 ( ) Nos pontos A(0,3 ; 0;4 ; 0,7)m e B(0,5 ; 0,2 ; 0,8)m encontram-se as cargas de medidas C4,2 µ− e

respectivamente. Calcule o vetor força que atua sobre a primeira carga. C2,6 µResp:

3.3.2.27 ( ) Três cargas de medidas C0,3e0,2,C0,1 µµµ encontram-se respectivamente nos pontos A(0,1 ; -0,3 ; -0,5)m,

B(-0,3 ; 0,5 ; -0,4)m e C(0,7 ; 0,5 ; 0,1)m. Calcule a força sobre a carga de C0,2 µ .

Resp:

3.3.2.28 ( ) Considerando o exercício anterior, calcule a força sobre a carga de C0,3 µ .

Resp:

3.3.2.29 ( ) Nos vértices de um triângulo equilátero encontram-se três cargas de medidas iguais a . Se a medida dos

lados do triângulo é calcule a intensidade da força sobre uma das cargas.

C4,2 ν−m2,0

Resp: 3.3.2.30 ( ) Se uma carga de medida qualquer for colocada no centro do triângulo do exercício anterior, calcule a força resultante sobre ela.

Resp:


Cap 4—1

4. O Campo Elétrico

4.1 Conceito de Campo Chama-se Campo a toda região do espaço que apresenta uma determinada propriedade física. Esta

propriedade pode ser de qualquer natureza, dando origem a diferentes campos, escalares ou vetoriais, dependendo da natureza da propriedade apresentada ser escalar ou vetorial. Abaixo são apresentados alguns exemplos

Propriedade física Campo Tipo força peso gravitacional vetorial

força de atração magnética magnético vetorial força de interação entre cargas elétricas elétrico vetorial

temperatura térmico escalar pressão de pressões escalar

4.2 O Campo Elétrico Chama-se Campo Elétrico a toda região do espaço em que aparece uma força de natureza elétrica sobre

qualquer carga que for nela colocada. Esta carga é chamada “carga de teste” 0Q

4.3 O Vetor Campo Elétrico

Para se estudar o Campo Elétrico define-se, em cada um de seus pontos, um vetor Er

, chamado VETOR CAMPO ELÉTRICO, como sendo a força por unidade de carga que aparece sobre uma carga nele colocada.

Seja a medida da carga puntiforme colocada no ponto P e seja 0Q Fr

a força de natureza elétrica que passa a atuar sobre ela. Por definição, chama-se VETOR CAMPO ELÉTRICO no ponto P ao vetor dado por

0QFEr

r=

Equação 4-1

cuja unidade no Sistema Internacional é CN

CoulombNewtom

= . Em módulo

0Q

FE

rr=

Equação 4-2 A definição do Vetor Campo Elétrico pode dar a entender que seu valor depende da carga o que na

realidade não ocorre como veremos mais abaixo. O que de fato acontece é que o Vetor Campo Elétrico é uma propriedade do ponto P do campo e não da carga . Esta carga é denominada de “carga de teste” e sua função é apenas investigar o que ocorre em cada ponto do campo.

0Q

0Q 0Q

É fácil observar-se que se o Vetor Campo Elétrico for conhecido no ponto P saberemos calcular a força Fr

que atua sobre qualquer carga colocada no ponto P, ou seja

E.QF 0

rr=

Equação 4-3 Observemos agora o seguinte: se a carga sofre a ação de uma força de natureza elétrica é porque ela

deve estar interagindo com uma outra carga elétrica - se esta não existisse não haveria força de natureza elétrica. Podemos então concluir que o campo elétrico é gerado (produzido) por carga elétrica. Estudemos então alguns campos gerados por cargas elétricas em diferentes situações.

0Q

4.4 Campo gerado por uma carga puntiforme Imaginemos inicialmente uma região do espaço absolutamente vazia, isolada do universo, (o que é uma

abstração teórica). Colocando-se num ponto P dessa região uma carga não aparecerá sobre ela força de

natureza elétrica. Imaginemos agora que nessa região exista uma carga puntiforme Q localizada no ponto A. 0Q


Cap 4—2

Colocando-se agora a carga no ponto P atuará sobre ela uma força de natureza elétrica F0Qr

, ou seja, a região

transformou-se num campo elétrico o qual foi gerado pela carga puntiforme Q

Figura 4-1

Calculemos o Vetor Campo Elétrico desse campo. O Vetor Campo Elétrico é dado pela definição Equação 4-3-1 e o vetor força que atua sobre a carga é dada pela Lei de Coulomb, ou seja,

A)-(PA)-(Pu onde u.

rQ.Q

K=F e QFE 2

0

0

rrrr

r= =

Fazendo as substituições:

ou Q

u.rQ.Q

K

QFE

0

20

0

rrr

==

u.r

.QKE 2

rr=

Equação 4-4 que é a expressão que permite calcular o Vetor Campo Elétrico num ponto P de um campo gerado por uma carga puntiforme localizada no ponto A. Podemos observar nesta última expressão aquilo que foi colocado

anteriormente: o Vetor Campo Elétrico não depende da carga de teste colocada no ponto no qual se quer calculá-lo.

Q

0Q

4.4.1 Exercícios de revisão teórica 4.4.1.1 ( ) O que é um Campo na Física? 4.4.1.2 ( ) Descreva alguns tipos de campos. 4.4.1.3 ( ) Defina Campo Elétrico. 4.4.1.4 ( ) Qual a vantagem de se trabalhar com o conceito de Campo Elétrico? 4.4.1.5 ( ) Descreva a expressão que permite calcular a intensidade do campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. Use palavras, não use formulas. 4.4.1.6 ( ) Descreva a expressão que permite calcular o vetor campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. Use palavras, não use fórmulas.

1.1.1 Exercícios 4.4.1.7 ( ) Uma carga puntiforme de medida C4,2 µ− quando colocada num certo ponto P do espaço sofre uma força de

intensidade . Calcule a intensidade do vetor campo elétrico nesse ponto P. N106,0 6−⋅

Resp: m/N25,04.4.1.8 ( ) Uma carga de medida colocada num certo ponto H do espaço sofre uma força de intensidade

. Usando o conceito de campo elétrico, calcule a intensidade da força que atuará sobre uma carga de medida

se esta for colocada nesse ponto H.

C8,7 µ

N108,9 5−⋅C3,2 µ−Resp:

4.4.1.9 ( ) Uma carga se encontra localizada num certo ponto M e observa-se que o campo elétrico a uma distância de 0,6m

tem medida . Qual a medida da carga? C/N107,4 4−⋅

Resp: C1088,1Q 14−⋅= C4,2 µ−

4.4.1.10 ( ) A que distância da carga de medida o campo elétrico terá intensidade de ? C/N102,8 8−⋅


Cap 4—3

Resp:513000m

4.4.1.11 ( ) Duas cargas de medidas C4,5eC4,3 µµ encontram-se sobre um reta r separadas por uma distância de 0,6m. Calcule o vetor campo elétrico exatamente no meio da distância entre elas.

Resp: C/N2000004.4.1.12 ( ) No exercício anterior determine o ponto sobre a reta r no qual a intensidade do vetor campo elétrico é nulo

Resp: a 0,26m da carga menor 4.4.1.13 ( ) .Considerando ainda o problema anterior, responda: é possível o campo elétrico ser nulo fora da região entre as cargas?

Resp:não, pois os vetores campo elétricos são de mesmo sentido

4.4.1.14 ( ) Colocando-se uma carga de medida C5,1 µ num certo ponto do espaço aparece sobre ela uma força de natureza

elétrica de intensidade . Calcule a intensidade do vetor campo elétrico nesse ponto. N103 4−⋅Resp: C/N200

4.4.1.15 ( ) Dada a carga puntiforme , calcule a intensidade do vetor campo elétrico num ponto P a uma distância de 0,3m da carga.

c3Q µ=

Resp: C/N103 5⋅4.4.1.16 ( ) Se a carga localiza-se no ponto A(1,-2,4)m, calcule o vetor campo elétrico e a sua intensidade no ponto C(1,3,-3)m

C2Q1 µ=

Resp: ( )C/Nk200j4,141vr

− , C/N243E =r

4.4.1.17 ( ) Considere a carga localizada no ponto a(2,3)m. Calcule o vetor campo elétrico gerado por essa carga no ponto P(3,5)m

C5,3Q µ=

Resp:

4.4.1.18 ( ) Resolva o exercício anterior admitindo que o valor da carga seja Q C6µ− .

Resp:

4.4.1.19 ( ) O vetor campo elétrico no ponto P(1,2,-1)m á dado por ( )C/Nk101j103i102E 444 rvrr⋅+⋅−⋅= .

Calcule a força que atuará sobre uma carga de medida 12, µC quando esta for colocada nesse ponto.

Resp: )C/N(k102,1j106,3i104,2 222 rrr −−− ⋅+⋅−⋅

4.4.1.20 ( ) Quando uma carga de é colocada num ponto do espaço aparece sobre ela uma força de natureza elétrica

dada por . Calcule a intensidade da força que atuará sobre uma carga de medida

C4µ

( )Nk10x3i10x2F 33 rrr+= C6,3 µ

quando esta for colocada no mesmo ponto do espaço.

Resp: C/N1024,3 3⋅

4.4.1.21 ( ) Na origem de um sistema de referência existe uma carga de medida C7,5 µ− . Calcule o vetor campo elétrico no ponto P(0,1 ; 0,4)m.

Resp:

4.4.1.22 ( ) No ponto F(0,1 ; 0,4 ; -0,5)m existe uma carga de medida C0,9 µ . Calcule o vetor campo elétrico por ela produzido no ponto G(0,0 ; -0,4 ; 0,2)m

Resp:

4.4.1.23 ( ) A força sobre uma carga de medida C3,2 µ− quando colocada num ponto W do espaço é dada pelo vetor:

)N(j103,2i107,4F 33rrr

−− ⋅+⋅= . Calcule o vetor campo elétrico nesse ponto W.

Resp:

4.4.1.24 ( ) Duas cargas puntiformes de medidas C4,5eC2,3 µµ localizam-se respectivamente nos pontos A(0,5 ; 0,7)m e B(-0,3 ; -0,5)m. Calcule o vetor campo elétrico e sua intensidade no ponto P(0,7 ; -0,8)m.

Resp:

4.4.1.25 ( ) Três cargas de medidas C0,3e0,2,C0,1 µµµ encontram-se respectivamente nos pontos A(0,1 ; -0,3 ; -0,5)m, B(-0,3 ; 0,5 ; -0,4)m e C(0,7 ; 0,5 ; 0,1)m. Calcule o vetor campo elétrico no ponto H(0,4 ; -0,4 ; 0,3)m.

Resp:

4.4.1.26 ( ) Calcule o vetor força e a intensidade da força que atuará sobre uma carga de medida se ela for colocada C0,9 µ


Cap 4—4

no ponto P da questão anterior. Resp:

4.4.1.27 ( ) O campo elétrico num ponto P do espaço é dada pelo vetor )C/N(k102j105i103E 555rrrr

−−− ⋅+⋅−⋅= .

Calcule a força que aparecerá sobre uma carga de medida C2,8 µ− se for colocada nesse ponto P.

Resp:

4.4.1.28 ( ) Qual é o vetor campo elétrico num ponto P se, colocada nesse ponto uma carga de medida aparece sobre

ela uma força dada pelo vetor

C0,1 µ

)C/N(105E 5−⋅=r

?

Resp:

4.5 Campo gerado por uma coleção de cargas puntiformes Suponhamos agora que na região do espaço em estudo exista um conjunto de n cargas puntiformes de

medidas . Se uma carga for colocada num ponto P dessa região aparecerão, atuando sobre ela,

as forças

n21 Q,...,Q,Q 0Q

n,...,21 FF,Frrr

produzidas respectivamente pelas cargas conforme visto na figura abaixo.

Isto significa que a região é um campo elétrico que é gerado pela coleção de cargas puntiformes. n21 Q,...,Q,Q

Figura 4-2

Lembremos inicialmente que cada uma das cargas puntiformes do conjunto gera um vetor campo elétrico, conforme visto no item anterior, e que esses vetores campos elétricos são dados por:

n

nn

3

33

2

22

1

11 Q

FE,...,QFE,

QFE,

QFE

rr

rr

rr

rr

====

Equação 4-5 De acordo com a Mecânica, a força resultante sobre a carga será:

n321 F.....FFFFrrrrr

++++= Equação 4-6

Aplicando-se a definição de Vetor Campo Elétrico dado pela Equação 4-3-1 e substituindo-se a Equação 4.5-2 teremos:

0

n

0

3

0

2

0

1

0

n321

0 QF......

QF

QF

QF

QF.......FFF

QFE

rrrrrrrrrr

++++=++++

==

Equação 4-7 Observemos agora que cada uma das frações do segundo membro é o vetor campo elétrico produzido por

cada uma das cargas puntiformes da coleção. e Equação 4.5-3 fica:

n321 E.......EEEErrrrr

++++= Equação 4-8

Este resultado mostra que num campo elétrico gerado por uma coleção de cargas puntiformes o Vetor Campo Elétrico é a soma dos vetores campo elétrico gerados por cada uma das cargas da coleção individualmente.

4.5.1 Exercícios 4.5.1.1 ( ) Dadas duas cargas puntiformes conforme a figura abaixo, calcular a intensidade do vetor campo elétrico resultante


Cap 4—5

no ponto P. Dados: C4QeC6Q 21 µ−=µ=

Resp: C/N1084,1E 5⋅=

r

4.5.1.2 ( ) Considere a mesma situação do exercício anterior, Determine a posição de um ponto A no qual a intensidade do vetor campo elétrico é nula.

Resp: retaasobreQdedireitaàm1,1 2

4.5.1.3 ( ) Resolva o problema 4.5.1.2 supondo a carga 21 QQ −= .

Resp:

4.5.1.4 ( ) Considere a figura abaixo na qual C2QeC2Q 21 µ−=µ= . Calcule o vetor campo elétrico e a sua intensidade no ponto P.

Resp: )C/N(j101,2i103,2E 54 rrr

⋅+⋅−=

4.5.1.5 ( ) Nos pontos A(1,2,3)m e B(3,2,1)m localizam-se as cargas C3QeC1Q BA µ=µ−= . Calcule a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P(0,-2,1)m.

Resp: C/N1063,7E 3⋅=r

4.6 Cargas elétrica distribuídas As situações apresentadas acima não correspondem à realidade pois as cargas encontradas normalmente

não são puntiformes mas sim se distribuem sobre um corpo, ocupando uma certa região do espaço. Nessas condições a carga é chamada distribuída.

Para que possamos estudar esta situação real devemos introduzir o conceito de densidades de carga. Este conceito permitirá estabelecer uma relação entre a grandeza física carga elétrica e as grandezas geométricas comprimento, superfície e volume, o que auxiliará na solução de problemas de natureza prática.

4.6.1 Densidade linear de cargas

Consideremos um corpo filiforme que contem sobre ele uma carga distribuída . Desse corpo filiforme consideremos um pedaço de comprimento que contem uma quantidade de

QL∆

Figura 4-3

carga . Por definição chama-se densidade linear de cargas média à carga por unidade de comprimento contido no pedaço ou seja

Q∆


Cap 4—6

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆

=λmC

lq

m

Como o valor médio de uma grandeza pode não apresentar significado, define-se então a densidade linear no ponto como sendo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=λ

∆∆

=λ>−∆ m

C dldqou

lqlim

0l

Equação 4-9 Observemos agora que esta última expressão pode ser escrita como

∫ ∫ λ==λ= dl.dqQoudl.dq Equação 4-10

que permite que seja calculada a carga total contida no corpo, desde que se conheça a densidade linear de cargas e que a integral seja feita sobre todo o corpo.

4.6.2 Densidade superficial de cargas

Consideremos um corpo pelicular (de espessura desprezível) que contem uma carga Q distribuída. Consideremos então sobre o corpo uma área Q∆ que contem uma quantidade de cargas . Q∆

Figura 4-4

Por definição chama-se densidade superficial carga média à carga por unidade de superfície, ou seja

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆

=σ 2m mC

Aq

Ainda por definição, chama-se densidade superficial no ponto à grandeza dada por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

∆∆

=σ>−∆ 20a m

C dAdq=ou

Aqlim


∫ ∫ σ==σ= dA.dqQoudA.dq

Equação 4-12 que permite que seja calculada a carga total contida no corpo, desde que se conheça a densidade linear de cargas e que a integral seja feita sobre todo o corpo.

4.6.3 Densidade volumétrica de cargas

Consideremos agora um corpo sólido que contem uma carga Q . Seja um volume do corpo que contem a carga .

∆VQ∆

Figura 4-5


Cap 4—7

Por definição chama-se densidade volumétrica média de cargas à carga por unidade de volume, ou seja

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

=ρ3m

mC

Vq

Ainda por definição, chama-se densidade volumétrica de cargas no ponto a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ρ

∆∆

=ρ>−∆ 30V m

CdVdqou

Vqlim


∫ ∫ ⋅ρ==⋅ρ= dVdqQoudVdq

Equação 4-14 que permite que seja calculada a carga total contida no corpo, desde que se conheça a densidade linear de

cargas e que a integral seja feita sobre todo o corpo

4.6.4 Exercícios 4.6.4.1 ( ) Um fio de 1m de comprimento apresenta densidade linear de cargas variável dada pela expressão

, onde s é o comprimento do fio medido a partir de uma de suas extremidades. Calcule a carga total contida no fio.

m/Cs2 ⋅=λ

Resp: C14.6.4.2 ( ) Um corpo filiforme semi circular de cargas, de raio 0,2m, apresenta densidade linear de cargas igual a

, onde φ é medido a partir de uma de suas extremidades. Calcule a carga total contida no fio. m/Csen10.5 4 φ=λ −

Resp: C102Q 4−⋅=4.6.4.3 ( ) Suponha no exercício 4.6.4.2 que o fio seja uma circunferência. Calcule a carga total no fio. Justifique a resposta obtida.

Resp: C0

4.6.4.4 ( ) Uma superfície plana apresenta carga total igual a e tem área igual a 0,34C10.3,2 5− 2m . Calcule a densidade superficial de cargas. Podemos afirmar que essa densidade é a mesma em todos os pontos da superfície?.

Resp: .não,m/C1076,6 25−⋅=σ

4.6.4.5 ( ) A superfície plana da figura apresenta densidade superficial de cargas dada por , Calcule a carga total contida na superfície.

242 m/C10).yx( −+=σ

Resp: C1022,1Q 6−⋅=

4.6.4.6 ( ) O paralelepípedo da figura tem densidade volumétrica de cargas dada por . Calcule a carga total contida no mesmo.

332 m/C10).zyx( µ−+=ρ

Resp: C1016,1Q 3−⋅=

4.7 Campo gerado por carga distribuída


Cap 4—8

Suponhamos agora que uma região do espaço contenha uma carga Q distribuída sobre um corpo cujas dimensões não permitem que o mesmo seja representado por um ponto geométrico, ou seja a carga se distribui sobre o corpo de tal forma que não pode ser considerada puntiforme. Se uma carga de teste Q for colocada na região ela sofrerá a ação de uma força de natureza elétrica produzida pela carga distribuída Q, ou seja esta carga gera um campo elétrico.

0

Figura 4-6

Procuremos determinar o Vetor Campo Elétrico no ponto P, gerado pela carga Q que se distribui. Para que

esse vetor seja calculado é necessário que calculemos a força Fr

que atua sobre a carga e essa força dividida

por será o vetor campo elétrico. 0Q

0QSabemos que quando a carga é puntiforme a força de interação entre as cargas é dada pela Lei de Coulomb na forma vetorial, ou seja

u.rQ.QKF 2

0 rr=

Observemos que neste caso não podemos aplicar esta expressão diretamente pois a carga Q que produz a força não é puntiforme e conseqüentemente a distância r não está determinada bem não esta determinado o versor ur que define a direção da força.

Figura 4-7

Para podermos calcular o vetor campo elétrico neste caso utiliza-se de um artifício de natureza matemática (perfeitamente válido) que consiste de:

1- imagina-se a carga não puntiforme subdividida em infinitas cargas infinitamente pequenas cada uma das quais pode ser considerada puntiforme (representada por um ponto geométrico).

Q dq

2- cada uma destas cargas irá produzir sobre a carga uma força infinitamente pequena dq 0Q Fdr

.

3- essa força pode ser agora calculada pela aplicação da Lei de Coulomb, lembrando apenas que a carga que está gerando a força é infinitamente pequena, ou seja

Fdr

u.r

dq.QKFd

20 rr

=

4- de acordo com a Mecânica a força resultante sobre é a soma de todas as forças 0Q Fdr

que atuam sobre ela, ou seja, matematicamente

∫∫ == u.r

dq.QKFdF 2

0 rrr


Cap 4—9

lembrando agora a definição de vetor campo elétrico Equação 4-3-1

0

20

00 Q

u.r

dq.QK

Q

Fd

QFE

∫∫ ===

rrr

r

ou

∫∫ == u.rdq.Ku.

rdq.KE

22rrr

Equação 4-15 que é a expressão que permite calcular o vetor campo elétrico produzido pela carga distribuída sobre o corpo. Q

4.7.1 Exercícios 4.7.1.1 ( ) Considere o corpo da filiforme da figura, uniformemente eletrizado (densidade linear de cargas constante λ ). Calcule a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P.

Resp: ( )LssLKE

+⋅⋅λ⋅

=r

4.7.1.2 ( ) Suponha no exercício anterior que a densidade linear de cargas é variável, variando de acordo com a expressão

. Determine a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P, sendo L = 0,3m e s = 0,1 m. m/Cx.3 2µ=λ4.7.1.3 ( ) O corpo filiforme da figura apresenta densidade linear de cargas dada por m/Ccos.3 µφ=λ . Calcule o vetor campo elétrico no ponto C. Dado R = 0,3 m.

Resp: i10R2

K3E 6 rr⋅⋅

⋅⋅π⋅

−= −

4.7.1.4 ( ) Calcule o vetor campo elétrico no ponto P da figura abaixo, supondo o corpo filiforme uniformemente eletrizado com densidade superficial . σ

4.7.1.5 ( ) A superfície plana infinita da figura esta uniformemente eletrizada com densidade superficial de cargas σ . Calcule o vetor campo elétrico no ponto P.


Cap 5—1

5. Trabalho da força eletrostática - potencial elétrico

5.1 Introdução Suponhamos que uma partícula qualquer se desloque desde um ponto A até em ponto B sob a ação de

uma força . Para medir a ação dessa força sobre a partícula a Mecânica define uma grandeza escalar, denominada Trabalho, como sendo

∫ ⋅=τB

AAB sdF

rr

Equação 5-1 onde é um deslocamento elementar sobre a trajetória seguida pela partícula e portanto tangente a essa trajetória.

Figura 5-1

Lembremos que na Mecânica esta integral quando Fr

é a força resultante sobre a partícula e o resultado obtido é a variação de energia cinética, ou seja

2Bvm

212

Bvm21sd

B

AFAB ⋅⋅−⋅⋅=⋅=τ ∫

rr

Equação 5-2

5.2 Trabalho da força eletrostática Calculemos o trabalho quando a força que atua sobre a partícula é de natureza eletrostática, isto é, dada

pela lei de Coulomb. Para isto, consideremos uma carga puntiforme Q fixa em um ponto C e uma outra carga

que se move desde um ponto A até um ponto B sob a ação da força de natureza eletrostática existente produzida pela carga fixa Q .

0QFr

Figura 5-2

A força que atua sobre a carga móvel é dada pela Lei de Coulomb, ou seja Fr

0Q

u.r

Q.QKF

20 rr

=

Substituindo na Equação 5-1,

∫ ⋅=τB

A2

0AB sdu

r

Q.QK rr

Equação 5-3


Cap 5—2

Nosso problema agora consiste em calcular o resultado desta integral. Iniciemos colocando fora da integral os fatores multiplicativos constantes.

∫ ⋅=τ

B

A20AB

rsdu.Q.Q.Krr

Equação 5-4 Observemos agora que o integrando contem o produto escalar sdu

rr⋅ o qual deve ser efetuado antes da

integração. Para isto observe na figura que o vetor deslocamento elementar foi decomposto em duas componentes, uma na direção do eixo

sdr

r , e outra perpendicular a esse eixo gdr

, tal que gdrdsdrrr

+= . O produto escalar que aparece na equação 5.1-3 fica então:

( ) gdurdugdrdusdu rrrrrrrrr⋅+⋅=+⋅=⋅

Desenvolvendo agora os produtos escalares:

drrd)0cos(.rd.urdu o ===⋅rrrrr e 0)90cos(.gd.ugdu o ==⋅

rrrr e o produto escalar se reduz a drsdu =⋅

rr.

Substituindo na equação 5.1-3 obtemos:

∫=τB

A20AB

r

dr.Q.Q.K

Equação 5-5 Calculando agora a integral:

AB

Br

Ar

B

A

B

A

B

A

22 r

1r1

r1

r1drr

r

dr+−=−=−==∫ ∫ −

onde os limites de integracão foram substituídos pelos respectivos valores de r, conforme indicado na figura. Substituindo agora este resultado na equação 5.1-4:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=τ

AB0AB r

1r1.Q.Q.K

Equação 5-6 Esta expressão permite uma importante conclusão: o trabalho realizado pela força eletrostática não

depende da trajetória ao longo da qual o trabalho é realizado. Isto pode ser facilmente observado analisando-se a expressão resultante do trabalho: ela só depende dos pontos inicial e final da trajetória, não dependendo portanto do caminho seguido. Quando isto acontece dizemos que a força é conservativa. O que significa que seu trabalho é a variação de uma forma de energia potencial. Reescrevendo a equação 5.1-5 convenientemente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ

A

0

B

0AB r

Q.Q.K

rQ.Q

.K

Equação 5-7

A expressão rQQ

K 0⋅⋅ (que aparece calculada nos pontos A e B) é chamada energia potencial elétrica

da carga . Assim: 0Q

ABAB EpotEpot +−=τ Equação 5-8

Devemos observar aqui a analogia que ocorre entre o trabalho realizado pela força peso e o trabalho realizado pelas forças elástica e gravitacional que são estudados no curso de introdução a Mecânica.

5.2.1 Exercícios 5.2.1.1 ( ) A figura abaixo mostra uma carga fixa no ponto P. Uma outra carga, C5Q0 µ= de massa 30g, é abandonada no ponto A e se desloca livremente passando pelo o ponto B. Calcule a) o trabalho realizado pela força eletrostática; b) a velocidade


Cap 5—3

da carga ao passar por B. 0QResp:

5.2.1.2 ( ) Na figura abaixo a carga puntiforme está fixa no ponto P. Uma outra carga é lançada no ponto C

de encontro à carga Q com velocidade de . Determine a menor distância entre as cargas.

C4,5Q0 µ−=

s/m10x4,3 4

Resp:

5.3 Potencial elétrico gerado por carga puntiforme Voltemos à equação 5.1-6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ

A

0

B

0AB r

Q.Q.K

rQ.Q

.K

Esta equação pode ser rescrita convenientemente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅−=τ

AB0AB r

QKrQKQ

Equação 5-9

Observemos que o termo rQK ⋅ , que aparece calculada nos pontos A e B, depende apenas do ponto no

qual é calculado, através da distância r e da carga fixa . Podemos então afirmar que QrQK ⋅ mede uma

propriedade do ponto em que é calculado, propriedade esta que existe devido à existência da carga Q . Essa propriedade do ponto recebe o nome de POTENCIAL ELÉTRICO gerado pela carga puntiforme Q . Representando por essa propriedade: V

rQKV ⋅=

Equação 5-10

Assim, no ponto A: A

A rQKV ⋅= e no ponto B:

BB r

QKV ⋅= e a equação 5.2-1 fica:

)VV(QrQK

rQKQsdF AB0

AB0

B

AAB −⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅⋅−=⋅=τ ∫ rr

Equação 5-11 A expressão recebe o nome de AB VV − diferença de potencial (ddp) entre os pontos A e B.

Uma informação importante deve ser colocada neste instante: suponha que a carga que gera os

potenciais e não seja fixa, ou seja, que as distâncias e sejam variáveis no tempo. Nesta condição a diferença de potencial que aparece no resultado obtido não tem mais significado embora continue existindo a integral do primeiro membro. Esta integral tem um importante papel o estudo da eletricidade, como veremos posteriormente, e recebe o nome de força eletromotriz (fem).

Q

AV BV Ar Br

A partir da equação 5.2-3 podemos definir a unidade de diferença de potencial. Reescrevendo-a convenientemente

VVoltCJ

CoulombJoule

QVV

0

ABAB ====

τ−=−

Equação 5-12 Esta última expressão permite que se dê o significado físico da diferença de potencial: é o trabalho

realizado por unidade de carga com o sinal trocado.


Cap 5—4

Voltemos à equação 5.2-2 ,rQKV ⋅= . Observa-se que se a distância r tornar-se infinitamente grande o

potencial no ponto torna-se infinitamente pequeno, este fato nos permite atribuir um significado físico ao valor do potencial no ponto. Para isto imaginemos, na situação descrita acima, que a carga seja transportada desde um ponto A até um ponto infinitamente distante. O trabalho realizado pela força eletrostática será dado por

0Q

A0A

0A

0)(AB VQrQKQ

rQK

)(QKQ ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

∞⋅⋅−=τ ∞ ou seja:

0

AA Q

V ∞τ=

Equação 5-13 que nos permite dar o significado de potencial no ponto: é o trabalho realizado pela força eletrostática quando a carga é deslocada desde o ponto até um ponto infinitamente distante.

5.3.1 Exercícios 5.3.1.1 ( ) Uma carga puntiforme de medida encontra-se fixa em um ponto P. Uma outra carga de medida C2µ C0,2 µ− é transportada de um ponto localizado a 0,3m da carga fixa até um outro ponto localizado a 0,5m da mesma carga fixa. a) Calcule o potencial elétrico gerado pela carga fixa nos dois pontos extremos do movimento. b) Calcule o trabalho realizado pela força eletrostática. c) O resultado dependeria da trajetória ser retilíneo ou não? d) O trabalho realizado seria o mesmo se o sentido do movimento fosse invertido?

Resp

5.3.1.2 ( ) Na figura abaixo a carga puntiforme Q= C0,2 µ− é fixa no ponto O. Uma outra carga puntiforme de medida

é transportada desde o ponto A até o ponto E seguindo a trajetória indicada A, B, C, D e E. Calcule o potencial elétrico gerado pela carga fixa em cada ponto particular da trajetória. Calcule o trabalho realizado em cada trecho da trajetória bem como o trabalho total.

C0,7 µ−

Resp:

5.3.1.3 ( ) Considere uma carga puntiforme fixa C7,2Q µ= . Uma carga móvel de medida é transportada desde um ponto a 0,5m da carga fixa até um ponto infinitamente distante. Calcule o trabalho realizado pela força eletrostática sobre a carga móvel.

C8,5 µ−

Resp:

5.3.1.4 ( ) Uma carga de medida é deslocada desde um ponto A até um ponto B. Se o potencial elétrico em A é 12000V e o potencial elétrico em B é 18000V, calcule o trabalho realizado pela força eletrostática.

C3,1 µ

Resp:

5.3.1.5 ( ) No ponto P existe uma carga de medida C3,1 µ− que se encontra a 0,4m de um ponto A e a 0,7m do ponto B.

Calcule o trabalho realizado pela força eletrostática se uma carga de medida Cµ4,7 se esta for transportada desde B até A .

Resp: 5.3.1.6 ( ) O trabalho é o mesmo se o sentido do movimento for invertido? Justifique a resposta.

Resp: 5.3.1.7 ( ) Em que condições o trabalho de uma força eletrostática é nulo?

Resp:

5.3.1.8 ( ) Duas cargas de medidas C4,5eC4,3 µ−µ encontram-se sobre o eixo Ox de um referencial, respectivamente em

x = 0,2m e x = 0,4m. Uma terceira carga de medida C7,6 µ é transportada desde um ponto M em x = 0,9m até um ponto N em x = 1,3m. Calcule o trabalho realizado pela força eletrostática.


Cap 5—5

Resp:

5.4 Potencial gerado por uma coleção de cargas puntiformes Imaginemos uma carga puntiforme movendo-se em presença de uma coleção de cargas puntiformes

. A carga sofrerá a ação de um conjunto de forças

0Q

n321 Q,.....,Q,Q,Q n321 F,.....,F,F,Frrrr

tal que a força

resultante sobre ela será n321 F.....FFFFrrrrr

++++= . Calculemos o trabalho realizado por essa força resultante usando a definição de trabalho dada pela Equação 5-1-1 quando a carga móvel se deslocar desde A até B.

∫∫∫∫∫

∫ ∫

⋅++⋅+⋅+⋅=⋅=τ

⋅++++=⋅=τ

B

An

B

A

B

A2

B

A1

B

AAB

B

A

B

An321AB

sdF........sdFsdFsdFsdF

sd)F.....FFF(sdF

rrrrrrrrrr

rrrrrrr

Equação 5-14 Observemos agora que cada uma das integrais do segundo membro é o trabalho realizado pela força

produzida por cada uma das cargas puntiformes isoladamente cujo resultado é dado pela equação 5.2-3, ou seja:

)VV(QsdF

.........................................

)VV(QsdF

)VV(QsdF

)VV(QsdF

nAnB0

B

An

A3B30

B

A3

A2B20

B

A2

A1B10

B

A1

−⋅−=⋅

−⋅−=⋅

−⋅−=⋅

−⋅−=⋅

∫

∫

∫

∫

r

r

r

r

onde os índices 1,2,3,....,n indicam os potenciais gerados por cada uma das cargas puntiformes isoladamente. Substituindo este conjunto de resultados na equação 5.3-1:

)VV(Q........)VV(Q)VV(Q)VV(Q nAnB0A3B30A2B20A1B10AB −−−−−−−−−=τ ou, colocando em evidência e agrupando convenientemente

( ) ( )[ ]nAA3A2A1nBB3B2B10AB V.....VVVV.....VVVQ ++++−++++−=τ Comparando agora este resultado com a equação 5.2-3 que dá o trabalho realizado pela força produzida

por uma só carga puntiforme observamos que ambas são semelhantes. A diferença entre elas está no fato de que neste segundo caso os potenciais se somam. Podemos então concluir que o potencial resultante em cada ponto, produzido por uma coleção de cargas puntiformes é a soma dos potenciais gerados por cada carga isoladamente. Este resultado recebe o nome de “princípio da superposição dos potenciais elétricos”.

Temos então que o potenciais resultante em cada ponto é:

n321 V.....VVVV ++++= Equação 5-15

5.4.1 Exercícios de revisão teórica 5.4.1.1 ( ) O que é o potencial elétrico? 5.4.1.2 ( ) Descreva a expressão que permite calcular o potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme. Use palavras, não use fórmulas. 5.4.1.3 ( ) Qual a unidade de potencial elétrico? Como ela é definida? 5.4.1.4 ( ) O que significa dizer que a diferença de potencial entre os pólos de uma pilha é 1,5V? 5.4.1.5 ( ) Qual a relação entre o trabalho realizado por uma força de natureza eletrostática e o potencial elétrico? 5.4.1.6 ( ) Por que você pode afirmar que o trabalho realizado pela força dada pela Lei de Coulomb não depende da trajetória?

5.4.2 Exercícios 5.4.2.1 ( ) Um ponto P encontra-se a uma distância de 0,4m de uma carga de medida . Calcule o potencial elétrico no ponto P gerado por essa carga.

C3,12 µ


Cap 5—6

Resp: 277000V

5.4.2.2 ( ) No ponto P existe uma carga de medida C3,1 µ− que se encontra a 0,4m de um ponto A e a 0,7m do ponto B. Calcule a diferença de potencial entre os pontos A e B

Resp: 12536V

5.4.2.3 ( ) Sobre o eixo 0x de um referencial existem as cargas: C3,1 µ em x = 0,4m, em x = 1,2m. Calcule o potencial elétrico em x = 0,8m.

C3,2 µ−

Resp: -22500V

5.4.2.4 ( ) Três cargas de medidas C0,3e0,2,C0,1 µµµ encontram-se respectivamente nos pontos A(0,1 ; -0,3 ; -0,5)m, B(-0,3 ; 0,5 ; -0,4)m e C(0,7 ; 0,5 ; 0,1)m. Calcule o potencial elétrico na origem do referencial.

Resp: 71845V

5.4.2.5 ( ) Duas cargas de medidas C4,5eC4,3 µ−µ encontram-se sobre um reta r separadas por uma distância de 0,6m. Calcule o potencial elétrico exatamente no meio da distância entre elas.

Resp: -60000V 5.4.2.6 ( ) Encontre um ponto entre as cargas do exercício anterior no qual o potencial elétrico seja nulo.

Resp: 0,23m

5.4.2.7 ( ) As duas cargas C3QeC2Q 21 µ−=µ= da figura estão fixas. Determine o potencial elétrico nos pontos A, B e C..

Resp: 5.4.2.8 ( ) Considere a figura do exercício 5.3.1.1. Determine a posição de um ponto sobre a reta que passa pelas duas cargas no qual o potencial elétrico é nulo.

Resp: 5.4.2.9 ( ) Considere a figura do exercício 5.3.1.1. Determine medida da carga que deveria ser colocada no ponto A para que o potencial em C fosse nulo?

Resp:

5.4.2.10 ( ) Na figura abaixo tem-se: C2QeC4,3Q,C3,2Q 321 µ−=µ−=µ= . Calcule o potencial elétrico resultando

no ponto A. Determine o trabalho realizado se uma carga C3,6Q0 µ−= fosse transportada desde esse ponto A até um ponto muito distante.

Resp:

5.4.2.11 ( ) Considere na figura do exercício 5.3.1.4 somente as cargas . Determine a equação dos pontos do plano no qual o potencial elétrico é nulo

21 QeQ

5.5 Potencial elétrico produzido por uma carga nÃO PUNTIFORME Vimos que o potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma distância Q r da mesma é dado

pela expressão

rQKV ⋅=

Equação 5-16 Imaginemos agora que a carga não seja puntiforme. Nesta condição a distância r não está determinada e

conseqüentemente a equação 5.2-2 não pode ser diretamente aplicada para calcular-se o potencial num certo ponto P. Para calcular-se o potencial elétrico neste caso utilizamos o recurso matemático, já descrito no capítulo que estudou o vetor campo elétrico, que consiste de:


Cap 5—7

Figura 5-3

1- Imagina-se a carga distribuída subdividida em infinitas cargas. infinitamente pequenas , cada uma das quais pode ser considerada puntiforme. Nestas condições a carga dq pode ser considerada puntiforme e portanto a distância entre cada uma delas e o ponto P fica determinada;

dq

Figura 5-4

2- Cada uma dessas cargas puntiformes produzirá no ponto P um potencial elétrico que pode ser calculado pela equação 5.2-2, ou seja

rdqKdV ⋅=

Equação 5-17 Observemos que nesta equação escrevemos indicando que o potencial elétrico gerado por dq é

também infinitamente pequeno; dV

3- Aplicando-se o princípio da superposição dos potenciais elétricos podemos dizer que o potencial elétrico resultante no ponto P é a soma dos infinitos potenciais equação 5.4-1, gerados pelas infinitas cargas dq ou seja:

∫ ∫ ⋅==r

dqKdVV

Equação 5-18 Deve-se entender que a soma deve ser feita considerando-se todas as cargas existentes na carga

distribuída. dq

5.5.1 Exercícios 5.5.1.1 ( ) Considere uma distribuição linear e retilínea de cargas AB, de comprimento L, uniformemente eletrizada, e um ponto P, na mesma direção da distribuição. e a uma distância s do extremo da distribuição. Calcule o potencial gerado no ponto P.

Resp: 5.5.1.2 ( ) Resolva o exercício 5.4.1.1 supondo que a densidade linear de cargas varia de acordo com a expressão

, onde x é medido a partir da extremidade mais afastada do ponto P. x1,0 ⋅=λResp:

5.5.1.3 ( ) Um fio de comprimento L, uniformemente eletrizado com densidade linear de cargas é encurvado formando uma semicircunferência. Calcule o potencial elétrico gerado no centro da semicircunferência.

Resp: 5.5.1.4 ( ) Resolva o exercício 5.4.1.3 supondo que o fio seja encurvado formando uma circunferência

Resp:. 5.5.1.5 ( ) Na figura abaixo AB é um condutor filiforme, de comprimento L, uniformemente eletrizado com densidade linear de cargas . Calcule o potencial gerado no ponto P

Resp:


Cap 6—1

6. Relação entre Potencial Elétrico e Campo Elétrico

S.J.Troise

6.1 Introdução Mostremos agora que existe uma relação definida entre o potencial elétrico e vetor campo elétrico, ou seja, uma

expressão que permite calcular uma deles sempre que se conhece o outro. Isto permite que o campo elétrico seja estudado conhecendo-se o vetor campo elétrico ou o potencial elétrico.

O estuda do campo elétrico através do potencial elétrico na região é muito mais simples pois, lembremos, o potencial elétrico é um escalar.

Vimos no capítulo anterior que o trabalho realizado pela força eletrostática é dado por

∫ −−=⋅=τB

AAB0AB )VV(QsdF rr

Equação 6-1

onde Fr

é a força de natureza eletrostática que atua sobre a carga que se move entre os pontos A e B e 0Q AB VV − é a

diferença de potencial entre esses dois pontos. Dividamos ambos os membros desta expressão por 0Q

)VV(sdQFsdF.

Q1

AB

B

A 0

B

A0−−=⋅=⋅ ∫∫

rr

r

Equação 6-2

Porém, 0Q

Fr

nada mais é do que o vetor campo elétrico que atua sobre a carga , ou seja, podemos escrever 0Q

)VV(sdE AB

B

A

−−=⋅∫ rr

Equação 6-3 Lembremos agora que no capítulo 6 vimos que o trabalho da força eletrostática não depende da trajetória seguida pela

carga móvel. Isso nos permite escrever a diferença de potencial como

( )V V dVB AA

B

− = ∫

Equação 6-4 substituindo na Equação 6-1-3

r rE ds dV dV

A

B

A

B

A

B

× = − = −∫ ∫ ∫

Equação 6-5 Sendo as duas integrais iguais, concluímos imediatamente que

dVsdE −=⋅rr

Equação 6-6

Este resultado mostra a existência de uma relação entre o vetor campo elétrico e a diferença de potencial. Mostra mais exatamente que:

1- onde existe campo elétrico ( ) existe variação de potencial (0Err

<> 0dV <> )

2- onde existe variação de potencial ( 0dV <> ) existe campo elétrico ( 0sdE <>×rr

), ou seja, para que se produza uma campo elétrico basta que se produza uma diferença de potencial.

6.2 O Gradiente do Potencial Lembremos que qualquer que seja o vetor campo elétrico e qualquer que seja o deslocamento elementar eles podem

ser decompostos em componentes, ou seja,

kdzjdyidxsdekEjEiEE zyxrrrrrrrr

++=++=


Cap 6—2

Equação 6-7 Substituindo na Equação 6-6

( ) ( )( ) dVdz.Edy.Edx.E

oudVkdzjdyidxkEjEiE

zyx

zyx

−=++

−=++⋅++rrrrrr

Equação 6-8 Suponhamos agora que o deslocamento elementar ocorra somente na direção (x 0dye0dx == ) . A Equação

6-8 fica

dxdVE x −=

Equação 6-9 Este resultado mostra que a componente do vetor campo elétrico pode ser calculada a partir do potencial elétrico.

Raciocinado de forma semelhante para deslocamentos elementares nos outros eixos

dzdVEe

dydVE zy −=−=

Equação 6-10 As equações Equação 6-1-9 e Equação 6-1-10 apresentam um erro de formalismo matemático pois as derivadas

devem ser parciais, ou seja, devemos escrever

E Vx

E Vy

e E Vzx y z= − = − = −

∂∂

∂∂

∂∂

,

Equação 6-11 Voltando à Equação 6-8. podemos escrever

r r rE V

xi V

yj V

zk= − + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

∂∂

∂∂

r

Equação 6-12 representado por grad ou O termo que aparece entre parênteses é denominado gradiente do potencial elétrico seja

grad V Vx

i Vy

j Vz

k= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

∂∂

∂∂

r r r

Equação 6-13 Assim, escreve-se

r rE grad V V

xi V

yj V

zk= − = − + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

∂∂

∂∂

r r

Equação 6-14

6.2.1 Exercícios de revisão teórica 6.2.1.1 ( ) Qual a relação existente entre potencial elétrico e campo elétrico? 6.2.1.2 ( ) Como é definido campo elétrico médio? Quando que este conceito é utilizado? 6.2.1.3 ( ) Qual a importância dessa relação?

6.2.2 Exercícios 6.2.2.1 ( ) Entre dois pontos do espaço, separados por uma distância de 0,5m existe uma diferença de potencial igual a 400V. Calcule a intensidade média do vetor campo elétrico nessa região.

Resp:

6.2.2.2 ( ) O potencial elétrico varia ao longo de um eixo de acordo com a expressão s )V(s1103V 4⋅= ‘. Calcule a

componente do vetor campo elétrico na direção do eixo . sResp:

6.2.2.3 ( ) Numa certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela função . Calcule o vetor campo elétrico na região

)V(x102106V 33 ⋅⋅−⋅=

Resp

6.2.2.4 ( ) Sendo ( ) )V(zy2x103V 334 −⋅+⋅⋅= a função que representa o potencial elétrico numa região do espaço, determine o vetor campo elétrico nessa região.Numa certa região do espaço o potencial elétrico é dado pela função

. Determine o vetor campo elétrico na região. V = +510 2103 3. . x V


Cap 6—3

Resp:: )C/N(i102E 3 rr −⋅−=

6.2.2.5 ( ) Sabe-se que numa região do espaço o vetor campo elétrico tem componente somente no eixo y sendo constante e

igual a 5 0 . Determine o potencial elétrico na região. 104, . /N C

Resp:: )C/N(Cy100.5)y(V 4 +⋅⋅−=

6.2.2.6 ( ) Sendo ( )V x x z= +2 10 23 2. . . . V a função que representa o potencial elétrico numa região do espaço,

determine o vetor campo elétrico.

Resp: [ ] )C/N(kxi)zx(104E 3 rrr⋅++⋅⋅−= :

6.2.2.7 ( ) Entre dois pontos do espaço separados de uma distância d = 0,3m existe uma diferença de potencial igual a 270V. Determine o vetor campo elétrico médio entre esses dois pontos.

Resp: C/N900Em =r

6.2.2.8 ( ) Suponha que entre dois pontos do espaço existe uma diferença de potencial. Descreva o que acontece com uma carga elétrica se ela for abandonada entre os dois pontos.

Resp: 6.2.2.9 ( ) Em um tubo de TV elétrons são acelerados por uma diferença de potencial e lançados contra a tela que contem um material transdutor, isto é, que transforma energia mecânica em energia luminosa. Se a ddp de aceleração é 25 kV, calcule a velocidade com que os elétrons atingem a tela.

Resp:

6.2.2.10 ( ) Na Equação 6-6 sdr é um deslocamento qualquer no espaço. Calcule a variação de potencial a) quando este deslocamento é paralelo ao vetor campo elétrico; b) quando é perpendicular ao vetor campo elétrico; c) quando o deslocamento faz um ângulo qualquer com o vetor campo elétrico.

Resp: 6.2.2.11 ( ) A partir da análise do exercício anterior, conclua que existem superfícies nas quais o potencial é constante e que o vetor campo elétrico é sempre normal elas

Laboratório de Eletricidade S,J.Troise

Cap 7 - 1 -

7. Corrente elétrica, Campo elétrico e potencial elétrico S.J.Troise

7.1 A Corrente Elétrica Dissemos anteriormente que os elétrons das camadas mais externas dos átomos são fracamente ligados ao

núcleo e por esta razão podem mover-se. Estes elétrons que podem se mover são chamados elétrons livres. Este movimento será mais ou menos permitido, ou até mesmo não existir, dependendo das características do material . Quando o material permitir esse movimento ele é chamado condutor. Caso contrário é chamado isolante. Nos condutores, estes elétrons livres encontram-se em contínuo movimento aleatório, isto é, sem obedecer a nenhuma regra. Entretanto, se um agente externo atuar sobre o condutor eles passam a executar um movimento ordenado, o qual é chamado corrente elétrico. Isto ocorre por exemplo quando um material condutor é submetido a um campo

elétrico . Seus elétrons livres passam a sofrer a ação de uma força Er

EqF err

.= e conseqüentemente passam a

executar um movimento ordenado comandado pela força Fr

e conseqüentemente pelo vetor campo elétrico Er

. Esse movimento ordenado de elétron é o que se chama corrente elétrica.

Os materiais condutores não são iguais. Cada um tem suas próprias características Chamemos de n o número de elétrons livres por unidade de volume (elétrons que podem se mover) que o material condutor apresenta.

Se é a carga de cada elétron, a carga livre por unidade de volume apresentada pelo material será eq

euv qnq ⋅= Equação 7-1

Existem duas grandezas associadas à corrente elétrica: a intensidade de corrente e a densidade de corrente. Estudemos cada uma delas:

7.2 Medida da Corrente Elétrica - Intensidade de Corrente

Para medirmos a intensidade da corrente elétrica, consideremos um fio de material condutor e seja q∆ a quantidade de carga que atravessa uma secção do condutor num intervalo de tempo . t∆

Figura 7-1

Por definição, chama-se intensidade média de corrente elétrica à carga por unidade de tempo que atravessa a secção, ou seja:

A)=Ampèré=sC=

segundoCoulomb(

tq=Im ∆

∆

Como este valor médio pode não corresponder a aquilo que realmente acontece em cada instante, define-se então a intensidade instantânea de corrente elétrica, ou simplesmente intensidade de corrente, como sendo

tqlimI

0t ∆∆

=>−∆

ou

Equação 7-2

dtdqI =

Equação 7-3


Cap 7 - 2 -

Podemos observar facilmente que a corrente elétrica é medida em , que recebe a denominação de

. Esta unidade em muitas situações é muito grande e por essa razão são usados submúltiplos, indicados na tabela abaixo:

s/CAAmpèré =

mA Miliampèré A10/1 3 Aµ Microampèré A10/1 6

7.3 A Densidade de Corrente Consideremos um fio condutor retilíneo percorrido por uma corrente de intensidade e seja I I∆ a corrente

que atravessa uma secção transversal do fio de área A∆ . Por definição chama-se densidade de corrente média ao valor dado por

)

mA(

AI=J

2m ∆∆

Equação 7-4

Figura 7-2

Como o valor médio pode não ser significativo, define-se a densidade de corrente em cada ponto como sendo:

oum

AmperesIlimJ

2s ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

=>−∆

r

Equação 7-5

dAdIJ =

Equação 7-6

Esta última relação pode ainda ser escrita

∫ ∫=== dA.JdIIoudA.JdI Equação 7-7

que permite calcular a corrente que circula sobre um condutor quando se conhece a densidade de corrente.

7.4 Relação entre a Intensidade de Corrente e o Campo Elétrico Dissemos na introdução que quando um meio condutor é submetido a um campo elétrico aparece um

movimento ordenado de elétrons que é chamado corrente elétrica. Isto significa que deve existir uma relação entre a

intensidade do vetor campo elétrico aplicado Er

e a corrente I que aparece no meio. Procuremos determinar essa

relação, fazendo um estudo simplificado, supondo que o movimento ocorre sempre na direção do vetor campo elétrico. Isto nos permite um estudo fazer um estudo escalar do problema.

Figura 7-3

Para isto chamemos de vr o módulo da velocidade com que as cargas livres (elétrons) se movem no

interior do condutor de secção de área e seja A∆ L∆ o espaço percorrido por essas cargas no intervalo de tempo t∆ .


Cap 7 - 3 -

É obvio que tvL ∆⋅=∆r . A quantidade de cargas que atravessa uma secção do condutor de área A∆ ,

no intervalo de tempo t∆ , será aquela contida no volume V∆ que é dado por

tvALAV ∆⋅⋅∆=∆⋅∆=∆r

e a correspondente carga que atravessa a secção do condutor será aquela contida no volume , ou seja V∆

tvAqVqq uvuv ∆⋅⋅∆⋅=∆⋅=∆r

e usando a Equação 7-1-1 teremos

tvAq.nq e ∆⋅⋅∆⋅=∆r

ou então vAqntq

er

⋅∆⋅⋅=∆∆

que é a intensidade de corrente média no meio condutor.

Fazendo agora o intervalo de tempo t∆ tender a zero, teremos a intensidade instantânea de corrente, ou seja

v.A.q.nIdtdq

tqlim e

0t

r∆===

∆∆

>−∆ que já foi definida na equação 7.2-1, ou seja

v.A.q.nI er

= Equação 7-8

que ainda pode ser escrita

v.q.nAIJ e

rr==

Equação 7-9 que é a densidade de corrente média que circula no condutor.

Lembremos que os elétrons livres se movem formando a corrente elétrica devido à ação do campo elétrico

aplicado ao condutor. Deve portando existir uma relação entre essa velocidade vr e a intensidade do campo elétrico.

Lembremos que a existência do campo elétrico de intensidade Er

faz aparecer sobre cada elétron uma força

E.qF err

= o que faz com que os elétrons apresentem uma aceleração dada por m

E.q

mFa

err

r== . Se o movimento

dos elétrons não sofresse qualquer força de oposição os mesmos atingiriam uma velocidade infinita (não considerando efeitos relativísticos) o que de fato não ocorre. Isto significa que existe uma velocidade limite para esse movimento. Façamos a suposição que essa velocidade limite seja proporcional à intensidade do campo elétrico, ou seja

Evrr

∝ Introduzindo agora uma constante de proporcionalidade Μ teremos

Evrr⋅Μ=

e substituindo na equação 7.4-2, teremos

E.q.nJ e ⋅Μ=r

Equação 7-10

O termo Μ⋅⋅=σ eqn é uma característica de cada material que recebe o nome de condutividade, cujo valor pode ser determinado experimentalmente. Ou seja, teremos sempre

EJrr

⋅σ= Equação 7-11


Cap 7 - 4 -

o que coloca em evidência que a densidade de corrente num meio condutor é proporcional à intensidade de vetor campo elétrico e do material que constitui o meio condutor através da sua condutividade. Ao inverso da condutividade dá-se o nome de resistividade, ou seja

σ=ρ

1

Equação 7-12. Material condutividade

m/Sm. 11 =Ω −−resistividade

m.Ω Prata 710x3,6 810x6,1 − Cobre 710x9,5 810x7,1 −

Alumínio 710x6,3 810x8,2 − Tungstênio 710x8,1 810x6,5 −

Ferro 710x0,1 710x0,1 −

7.5 Potencial elétrico e corrente elétrica A Equação 7-11 mostra que onde há Campo Elétrico E

r há corrente desde que material seja condutor. No

capítulo 6 vimos que o Campo Elétrico é gerado por potencial elétrico. Podemos portanto estabelecer a seguinte relação:

Potencial elétrico gera campo elétrico. Campo elétrico gera força sobre os elétrons livres. Estes elétrons livres movem-se sob a ação dessa força, formando a corrente elétrica (desde que o material

seja condutor). Esta relação explica, por exemplo, o aparecimento de corrente elétrica nos dispositivos eletro-eletrônicos

quando os mesmos são conectados a uma tomada que é uma fonte de potencial elétrico.

7.5.1 Exercícios de revisão teórica 7.5.1.1 ( ) Qual a relação entre a condutividade e a resistividade de um material? 7.5.1.2 ( ) Como se define a densidade de corrente? 7.5.1.3 ( ) Qual a relação entre densidade de corrente e o campo elétrico? 7.5.1.4 ( ) Descreva como, com a aplicação de diferença de potencial, obtém-se corrente?

7.5.2 Exercícios

7.5.2.1 ( ) Num condutor de de secção reta estabelece-se uma corrente de . Calcule a densidade de corrente media nesse condutor.

2mm6 A2

Resp: 26 m/A1033,0 ⋅7.5.2.2 ( ) Determine a relação entre as correntes que se estabelecem em dois condutores de mesmas dimensões, um de cobre e outro de ferro, submetidos ao mesmo vetor campo elétrico.

Resp: 9,5/17.5.2.3 ( ) Observando a tabela acima determine aquele que é melhor condutor e o que é pior condutor.

Resp: melhor Ag, pior Fe

7.5.2.4 ( ) Em um condutor de prata aplica-se um campo elétrico na sua direção longitudinal de intensidade .

Se a área de sua secção reta for determine a corrente no condutor.

C/N103 5−⋅2mm3

Resp: mA7,5I =

7.5.2.5 ( ) A corrente num condutor varia em função do tempo de acordo com a lei matemática . Calcule a carga que atravessa uma secção do condutor no intervalo de tempo 0 a 5s.

Ae.3I t200−=

Resp: C200/3


Cap 7 - 5 -

7.5.2.6 ( ) Considere a condição do exercício 7.5.1.5. Se a secção reta do condutor for , determine a variação do vetor campo elétrico médio ao longo do tempo, no interior do condutor, supondo que o mesmo seja de tungstênio.

2m008,0

Resp:

7.5.2.7 ( ) Um condutor de Fe de de secção é percorrido por uma corrente de . Calcule a intensidade média do vetor campo elétrico em seu interior.

2mm4 A5,0

Resp: C/N0125,07.5.2.8 ( ) Entre dois pontos do espaço A e B, separados de uma distância de 05m, existe uma ddp de 0,3V. Uma carga de medida é colocada entre esses dois pontos. Calcula a força que atua sobre a carga. C0,1 µ

Resp: N106 7−⋅

7.5.2.9 ( ) Um pedaço de fio de comprimento 0,3m é submetido a uma diferença de potencia de . Calcule a força que atuará sobre os elétrons desse pedaço de fio.

V10 5−

Resp: N106,1 22−⋅7.5.2.10 ( ) Um fio de alumínio tem comprimento de 20cm. Qual deve ser a ddp aplicada sobre o fio para que a força aplicada

sobre os elétrons seja ? N102 20−⋅Resp:


Cap 8—1

8. Fluxo do vetor campo elétrico - A Lei de Gauss S.J.Troise

8.1 Introdução Quando estudamos o campo elétrico introduzimos o vetor campo elétrico e mostramos que quando gerado

por uma carga puntiforme em um ponto P é dado por

urQKE2rr

= ou em módulo 2r

QKE =

r

onde r é a distância entre a carga Q que gera o campo e o ponto P onde o vetor campo elétrico é calculado.

Dissemos também que a constante K pode ser escrita sob a forma o4

1Kπε

= e, portanto, o módulo é

dado por

2o r

Q4

1Eπε

=r

Equação 8-1 Observemos agora que esta última expressão pode ser escrita

o

2 Qr4E

ε=π

r

Equação 8-2

onde nada mais é do que a medida da superfície de uma esfera centrada na carga Q que gera o campo e que passa pelo ponto P no qual o vetor campo elétrico é calculado.

2r4S π=

Figura 8-1

Portanto

o

QS.Eε

=r

Equação 8-3 Analisando esta equação verificamos que o produto do módulo do vetor campo elétrico pela superfície

esférica fechada que envolve a carga que gera o campo é uma constante que só depende da medida da carga elétrica no interior da superfície e do meio no qual as cargas se encontram através de sua permissividade Q oε

Observemos também que o vetor campo elétrico é sempre normal à superfície fechada S que envolve a carga. Ao produto da componente normal do cetro campo elétrico pela área da superfície dá-se o nome de fluxo. O fluxo é uma grandeza auxiliar, que não apresenta significado físico, e que permitirá várias aplicações práticas no

cálculo do vetor campo elétrico. A unidade do fluxo, no SI é o Cm.N 2

8.2 Generalização do conceito de fluxo do vetor campo elétrico


Suponhamos que uma região do espaço seja um campo elétrico e que portanto, em cada um dos seus pontos, exista um vetor campo elétrico . Nessa região consideremos agora uma pequena superfície cujo versor normal seja

Er

dSnr

. Por definição chama-se fluxo elementar do vetor campo elétrico à grandeza dada por φd

dS.nEd rr⋅=φ

Equação 8-4

Observemos que o produto nr

Er× que desenvolvido resulta

nEcosEcosnErrrr

=α⋅=α⋅⋅ que nada mais é do que a componente normal

à superfície do campo elétrico (vide figura). Portanto dSEdSnE n ⋅=⋅⋅rrr

é o

produto da componente normal do vetor campo elétrico pela superfície que é o mesmo que aparece na Equação 8.1-1.

Suponhamos agora uma superfície extensa . Podemos imaginá-la como constituída de infinitas superfícies infinitamente pequenas

SdS . Em cada

q

c

pp8e

q

s

8

Figura 8-2

Cap 8—2

uma delas haverá um fluxo elementar φd dado pela Equação 8.2-1. Por definição chama-se fluxo do vetor campo elétrico à soma dos infinitos fluxos φd

ue ocorrem nas infinitas superfícies , ou seja dS

∫∫ ⋅⋅=φ=φSS

dSnEdrr

Equação 8-5

Se em particular a superfície S for fechada, a integral é escrita

∫∫ ⋅⋅=φ=φ

SS

dSnEdrr

Equação 8-6

Observe que esta última expressão é equivalente à Equação 8-1-1 pois a integral resulta no produto da omponente normal do vetor campo elétrico pela medida da área da superfície que envolve a carga.

8.3 A Lei da Gauss Lembremos que a Equação 8-3 estabelece que o produto da componente normal do vetor campo elétrico

ela medida da superfície que envolve a carga é igual à carga contida no interior da superfície dividida pela ermissividade do meio. Lembremos também que esse produto pode ser escrito sob a forma dada pela equação .2-1. Considerando, como no item 8.1, o campo gerado por uma carga puntiforme e uma superfície esférica nvolvendo-a, podemos escrever

0S

QdSnEε

=⋅=Φ ∫rr

Equação 8-7 Este resultado está sendo obtido a partir de uma situação particular. Entretanto é possível demonstrar-se

ue qualquer que seja a forma da superfície que envolve a carga, qualquer que seja a carga no interior dessa

uperfície, o fluxo através dela é sempre igual a o

Qε

. Esse resultado é denominado Lei de Gauss

.3.1 Exercícios 8.3.1.1 ( ) No interior de uma superfície esférica de raio R = 0,1m encontra-se uma carga puntiforme de medida C3,1 µ . Calcule o fluxo do vetor campo elétrico através da superfície esférica.

Resp: CmN1047,1

25 ⋅

⋅

8.3.1.2 ( ) Se no exercício o raio da superfície esférico for aumentado em 30%, qual o novo valor do fluxo?

Resp: CmN1047,1

25 ⋅

⋅


Cap 8—3

8.3.1.3 ( ) Se no exercício 8.3.1.1 a carga no interior da superfície for reduzida em 40% qual o novo valor do fluxo?

Resp: CmN1082,8

24 ⋅

⋅

8.3.1.4 ( ) Usando a lei da Gauss, calcule a intensidade do vetor campo elétrico produzido por uma carga filiforme, suposta infinita, retilínea e homogênea, de densidade linear de cargas, num ponto P localizado a uma distância s da distribuição.

Resp. s2

E0 ⋅ε⋅π⋅

λ=

r

8.3.1.5 ( ) Usando a lei da Gauss, calcule a intensidade do vetor campo elétrico produzido por uma carga delgada plana, suposta infinita e homogênea, de densidade superficial de cargas σ , num ponto P localizado a uma distância s da distribuição.

Resp: 02

Eε⋅σ

=r


Cap 9—1

9. Capacitância S.J.Troise

9.1 Introdução Uma das importantes aplicações da Eletrostática é a possibilidade de construir dispositivos que permitem o

armazenamento de cargas elétricas. Esses dispositivos são chamados capacitores cuja medida é chamada capacitância.

Para entender os capacitores consideremos dois condutores isolados, separados por um meio isolante, inicialmente descarregados o que implica que não existe ddp entre eles. Suponhamos agora que entre esses dois condutores seja aplicada uma diferença de potencial a qual provocará o aparecimento de uma corrente elétrica entre os dois condutores que persistirá até que a diferença de potencial entre os condutores seja igual à aplicada. Lembrando que corrente elétrica é deslocamento de elétrons, cada um dois condutores passa a apresentar cargas iguais em medida porém de sinais contrários.

V

Figura 9-1

Por definição chama-se capacitância ou capacidade do sistema à relação entre a carga que se deposita no sistema e a ddp aplicada, ou seja

VQC =

Equação 9-1

cuja unidade é FFaradVC

VoltCoulomb

=== . Na prática usam-se submúltiplos desta unidade, conforme tabela:

mF miliFarad Farad10/1 3 Fµ microFarad Farad10/1 6

nF nanoFarad Farad10/1 9 pFF =µµ micromicroFarad

ou picoFarad Farad10/1 12

Os capacitores são representados pelo símbolo

9.1.1 Exercícios 9.1.1.1 ( ) Aplica-se uma diferença de potencial de 10V sobre um capacitor de capacidade . Calcule a carga por ele armazenada.

pF22

Resp:

9.1.1.2 ( ) Qual a diferença de potencial que deve ser aplicada sobre um capacitor de para que ele adquira uma carga

de ?

F100 µC20µResp:

9.1.1.3 ( ) Aplicando-se uma diferença de potencial de 35V sobre um capacitor observa-se que a carga sobre ele armazenada é de . Calcule a capacitância do capacitor. C135µ

Resp:

9.2 Capacitores planos paralelos


Cap 9—2

Apliquemos a definição acima em um caso particular que consiste de dois condutores planos de área S separados de um material isolante de permissividade ε0 de espessura , tal que esta espessura seja pequena comparada com a área das placas.

d

Aplicada uma diferença de potencial , cada uma das placas adquirirá uma carga Q , tal que as densidades superficiais de cargas serão dadas por

V

SQe

SQ −

−+

+ =σ=σ

Equação 9-2 sendo e, sendo as placas grandes, podemos considerar o vetor campo elétrico gerado por cada uma

das placas normal a elas e dado por

σ σ σ+ −= =

E =σε2 0.

(vide capítulo 7). Existirão no interior das placas dois campos

elétricos gerados pelas duas placas E e E++

−−= =

σε

σε2 20 0. .

,

de mesma intensidade e mesmo sentido de tal forma que o campo resultante será

E E E= + =+ −σε0

Observando agora que o vetor campo elétrico esta na

direção do eixo x auxiliar, podemos escrever 0dx

dVEεσ

=−= que

integrando:

d)xx(dx0

B

AAB

00⋅

εσ

=−⋅εσ

=εσ

= ∫VVdVV AB

B

A

−== ∫

Lembrando a definição da densidade superficial de carga

ainda, lembrando a definição de capacitância dada pela Equação 9-3 t

dS

VQC 0 ⋅ε

==

que é a expressão que permite calcular a capacitância de um sistemaObservemos que essa capacitância aumenta com a área das placaselas bem como depende do material isolante que as separa através da

Observando a Equação 9.2-3 verifica-se que a capacitâncimeio. Lembrando o que foi dito no força de interação entre corpos eletmeio para meio e é dada por 0r ε⋅ε=ε . Assim, se o meio dielétrico n

dS

VQC 0r ⋅ε⋅ε

==

Figura 9-3

Figura 9-2

s podemos escrever 00 .S.

d.Qd.SQ

Vε

=ε

= ou

eremos

Equação 9-4 constituído de duas placas planas e paralelas. e diminui com o aumento da separação entre sua permissividade.

a do capacitor depende da permissividade do rizados capítulo 3, esta permissividade varia de ão for o vácuo, a capacitância é dada por


Cap 9—3

9.2.1 Exercícios

9.2.1.1 ( ) Calcule a capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas de área separadas de uma distância de supondo que o dielétrico seja: a) o vácuo, b) o ar, c) água, d) borracha, e) glicerina.

2cm10mm1

Resp:

9.2.1.2 ( ) Deseja-se construir um capacitor de capacidade utilizando-se papel de espessura mF2 mm2 como meio dielétrico Calcule a área das placas a serem utilizadas.

Resp: 9.2.1.3 ( ) Um capacitor, chamado cilíndrico. é constituído de dois condutores cilíndricos concêntricos, o maior oco de raio a e o menor, interno, de raio b. Calcule a capacitância do mesmo.

Resp:

9.3 Associação de capacitores Em muitas aplicações práticas os capacitores são associados, tanto em série como em paralelo. Em ambas

as situações temos interesse em conhecer a chamada capacitância equivalente, isto é, a capacidade de um capacitor que sozinho produz o mesmo efeito. O princípio básico que nos permite estudar estas associações, e portanto determinar a capacitância equivalente, é o princípio da conservação da carga, isto é, estando um sistema isolado a carga elétrica existente no mesmo se conserva. Lembremos que carga elétrica corresponde ao número de elétrons - eles não podem aparecer ou desaparecer.

9.3.1 Associação em paralelo

Consideremos os dois capacitores de capacitâncias , inicialmente isolados e descarregados. Suponhamos então que eles sejam associados em paralelo e que sobre essa associação seja aplicada uma diferença de potencial .

C eC1 2

V

Figura 9-4

Nestas condições, cada um dos capacitores adquirirá cargas elétricas resultantes da potencial aplicado sobre eles. Portanto a carga adquirida por cada um deles pode ser calculada a partir da definição de capacitância, ou seja:.

V

VCQeVCQ 2211 ⋅=⋅= Equação 9-5

Isto significa que, como resultado da associação uma carga total

21 QQQ += Equação 9-6

é armazenada pelo sistema. Procuremos a capacitância equivalente, isto é, aquela que sob a mesma diferença de potencial armazena esta carga.

No capacitor equivalente deveremos ter:

VCQ eq ⋅= Equação 9-7

Figura 9-5

Substituindo as relações dadas pela Equação 9-3-1 na Equação 9-3-3 podemos escrever:


Cap 9—4

( ) VCCQouVCVCQ 2121 ⋅+=⋅+⋅= Equação 9-8

Comparando com a Equação 9-3-5 concluímos que:

21eq CCC += Equação 9-9

Ou seja, quando capacitores são associados em paralelo, a capacitância equivalente da associação é a soma das capacitâncias associadas. Este resultado foi obtido com apenas dois capacitores associados. Entretanto podemos generalizar: quando n capacitores são associados em paralelo, a capacitância equivalente é a soma dos n capacitores associados.

9.3.2 Associação em série

Consideremos os dois capacitores de capacitâncias Suponhamos então que eles sejam conectados em série e, que seja aplicada uma diferença de potencial sobre a associação.

21 CeCV

Figura 9-6

Quando a diferença de potencial é conectada acontece um movimento de cargas elétricas carregando o sistema ou seja, os dois capacitores passam a apresentar carga elétrica. Sejam as cargas adquiridas pelos dois capacitores respectivamente. Mostremos que essas duas cargas são iguais. Para isto observe a figura lado que ilustra a situação. A região da associação marcada por (a) inicialmente não apresentava cargas. Agora passou a apresentar a carga total . Como a carga elétrica se conserva, deveremos ter

21 QeQ

21 QQ +

2121 QQou0QQ −==+ Equação 9-10

o que demonstra que os dois capacitores adquirem cargas iguais.

Chamemos esta carga comum aos dois capacitores de . Nestas condições, a diferença de potencial sobre cada capacitor será:

Q

22

11 C

QVeCQV ==

Equação 9-11 Observando que os capacitores estão em série e que portanto os potenciais se somam podemos escrever:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=+=+=

212121 C

1C1QVou

CQ

CQVouVVV

Equação 9-12 Procuremos agora a capacitância equivalente. Lembremos que é a capacitância de um capacitor que

sozinho é capaz de armazenar a mesma carga sob a mesma diferença de potencial . A carga armazenada pela associação é quando a diferença de potencial é e portanto, a partir da definição podemos escrever: Q V

eqCQV =

Equação 9-13 Comparando as equações Equação 9-7 e Equação 9-8 podemos concluir:

21eq C1

C1

C1

+=

Equação 9-14


Cap 9—5

ou seja, numa associação em série o inverso da capacitância equivalente é igual à soma dos inversos das capacitâncias associadas. Este resultado pode ser generalizado para capacitores associados em série. n

9.3.3 Exercícios 9.3.3.1 ( ) Dois capacitores iguais, de capacitâncias são associados em série e em paralelo. Determine a capacitância equivalente em cada caso.

pF7,4

Resp: 9.3.3.2 ( ) Determine a capacitância resultante em cada uma das situações abaixo.

Resp:

9.3.3.3 ( ) Considere dois capacitores de capacitâncias F3CeF2C 21 µ=µ= conectados inicialmente aos potenciais

respectivamente, Suponha que esses dois capacitores sejam conectados em paralelo, com as polaridades coincidentes. Determine as cargas resultantes da cada capacitor bem como a tensão final.

V2VeV3V 21 ==

Resp: V4,2VeF2,7Q,F8,4Q 21 =µ=µ=

9.3.3.4 ( ) Resolva o exercício 9.3.3.1 supondo polaridades não coincidentes

Resp: 0Ve0Q,0Q 21 ===

9.3.3.5 ( ) Suponha que no exercício 9.3.3.3 que a conexão seja feita de tal forma que a placa positiva de um seja conectada à placa positiva do outro. Calcule a carga e o potencial de cada capacitor após a conexão.

Resp: 9.3.3.6 ( ) Considere os três capacitores da figura abaixo previamente carregados e conectados como mostrado. Observando atentamente a polaridade de cada capacitor, determine a ddp final da associação.

Resp: V93,3)fV46,2)eV75,6)d

V4,3)cV29,0)bV76,0)a

9.4 carga e descarga de capacitores

9.4.1 Processo Carga do Capacitor:


Cap 9—6

Estudemos agora o processo de carga de um capacitor. Na definição dissemos que quando um capacitor é conectado a uma fonte de tensão ele adquire uma carga tal que 0V 0Q 00 VCQ ⋅= . Observe a figura abaixo: ela ilustra o processo de carga no qual o capacitor é conectado diretamente sobre a fonte pelo fechamento da chave ch.

Figura 9-7

Quando isto acontece aparece uma corrente através dos fios condutores, chamada corrente de carga, a qual cessa quando a diferença de potencial sobre o capacitor se iguala àquela da fonte. Como os fios condutores não apresentam resistência essa corrente de carga é grande e a carga aparece sobre o capacitor quase que instantaneamente.

0Q

Suponhamos agora que o processo de carga ocorra através de um resistor conforme figura ao abaixo.

Figura 9-8

Quando é fechada a chave ch aparece a corrente de carga, porém como existe resistência, essa corrente é limitada e o processo de carga é mais lento pois o potencial sobre o capacitor aumenta gradativamente e portanto a diferença de potencial[ sobre o resistor diminuí, fazendo com que a corrente fique cada vez menor. Chamemos de

a corrente no circuito. )t(I

Determinemos como varia a carga sobre o capacitor em função do tempo, ou seja determinemos , supondo que a chave ch é fechada no instante

)t(Q0t = no qual o capacitor está descarregado. Para isso lembremos

que, passado o tempo, o capacitor atingirá uma carga , tal quer 0Q 00 VCQ ⋅= , ou ainda, tal que

CQ

V 00 =

Equação 9-15 Apliquemos a lei das malhas na Figura 9-4-2:

CR0 VVV += Equação 9-16

onde é a queda de potencial no resistor, )t(IRVR ⋅=C

)t(QVC = é a queda de potencial no capacitor.

Substituindo na Equação 9-16

C)t(Q)t(IRV0 +⋅=

Equação 9-17

Lembrando agora que dt

)t(dQ)t(I = e que C

QV 0

0 = a Equação 9-17 fica:

C)t(Q

dt)t(dQR

CQ0 +⋅=

Equação 9-18


Cap 9—7

Que é uma equação na qual não se conhece que pode ser determinada por integração, bastando para isto que se separe as variáveis. Assim procedendo:

)t(Q

dt)t(dQ

CR)t(QQ0 =

⋅−

ou dtCR

1)t(QQ

)t(dQ

0⋅

⋅=

−

Fazendo agora a mudança de variáveis z)t(QQ0 =− (a) teremos que e substituindo )t(dQdz −=

dtCR

1zdz

⋅⋅

=−

que pode ser integrada entre os instantes 0t = no qual o capacitor está descarregado, , e um instante qualquer t tem que o capacitor apresenta carga

0)0(Q =)t(Q

t

0

t

0t

CR1zln ⋅⋅

=− Lembrando a definição de z :

tCR

1))t(QQ(lnt

00 ⋅

⋅=−− ou [ ] t

CR1))0(QQ(ln))t(QQ(ln 00 ⋅⋅

=−−−− ou ainda

tCR

1Q

)t(QQln

0

0 ⋅⋅

−=−

e passando para a exponencial correspondente:

tCR

1

0

0 eQ

)t(QQ ⋅⋅

−=

− e finalmente:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⋅⋅

− tCR

1

0 e1Q)t(Q

Figura 9-9 que é a expressão que fornece a carga sobre o capacitor em função do tempo.

Figura 9-10

O gráfico acima mostra o comportamento da carga durante o processo de carga, crescente tendendo ao valor final . A partir deste resultado podemos obter a variação do potencial sobre o capacitor, bastando lembrar a definição de capacitância. Obtermos:

0Q

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⋅⋅

− tCR

1

0 e1V)t(V

Equação 9-19 Que apresenta o mesmo comportamento mostrado na figura acima.

A partir da expressão da carga podemos obter o comportamento da corrente no processo de carga. Para

isto lembremos que dt

)t(dQI = . Derivando então a Equação 9-17Equação 9-17 obteremos:

tCR

1

eCR

1)t(I⋅

⋅−

⋅⋅

=


Cap 9—8

Equação 9-20

Figura 9-11

Na figura ao acima é mostrado o comportamento da corrente em função do tempo. Observe que quando

temos 0t = 0ICR

1)0(I =⋅

= que é a corrente que acontece no momento do fechamento da chave e que, com o

passar do tempo a corrente diminui exponencialmente tendendo a zero. Isto se justifica pelo que foi dito acima: na medida em que o capacitor carrega, o potencial sobre ele aumenta, diminuindo a diferença de potencial sobre o resistor o quer causa redução na corrente.

9.4.2 Descarga do Capacitor carregado: Estudemos agora processo inverso, ou seja, o processo de descarga do capacitor. Para isto consideremos

um capacitor que tenha sido carregado por um potencial , adquirindo uma carga . Este capacitor pode ser descarregado diretamente, colocando seus conectores em curso circuito. Quando isto ocorre, aparece uma corrente de alta intensidade que o descarrega quase que instantaneamente.

0V 0Q

Figura 9-12

Consideremos uma outra situação na qual o capacitor seja descarregado através de um resistor R através do fechamento da chave ch no instante conforme mostrado na figura ao lado. Aplicando nesse circuito a lei das malhas:

0t =

0VV CR =+ ou 0C

)t(Q)t(IR =+⋅

Sendo dt

)t(dQ)t(I = teremos 0C

)t(Qdt

)t(dQR =+ que pode ser integrada desde o instante

inicial no qual a carga do capacitor é até um instante qualquer t no qual a carga é . Separando as variáveis e integrando:

0t = 0Q )t(Q

dtCR

1)t(Q)t(dQ

⋅⋅

−= ou ∫∫ ⋅⋅

−=t

0

t

0

dtCR

1)t(Q)t(dQ ou

t

0

t

0t

RC1)t(Qln −=

ou tCR

1)0(Qln)t(Qln ⋅⋅

−=− . A aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:

tCR

1Q

)t(Qln0

⋅⋅

−= Aplicando agora a definição de logaritmo:


Cap 9—9

tCR

1

0 eQ)t(Q⋅

⋅−

⋅= Equação 9-21

Que dá o comportamento da carga do capacitor durante o processo de descarga através de um resistor. Este resultado mostra que a carga diminui exponencialmente com o tempo.

Podemos agora aplicar a definição de capacitância e obter o comportamento do potencial sobre o capacitor, obteremos:

tCR

1

0 eV)t(V⋅

⋅−

⋅=

Figura 9-13

Nesta equação é o potencial inicial do capacitor. A figura acima mostra o comportamento do potencial durante o processo de descarga.

0V


Cap 10—1

10. Magnetismo S.J.Troise

10.1 Introdução MAGNETISMO é a parte da Física que estuda os chamados fenômenos magnéticos, os quais se

constituem, como todos os demais fenômenos estudados pela Física, em uma manifestação da Natureza. Para iniciarmos o estudo do Magnetismo, façamos uma descrição de uma nova classe de fenômenos que podem ser observados.

10.2 Fenômenos fundamentais 1- Existem pedras encontradas na natureza que apresentam a propriedade de atrair pedaços de Ferro,

Níquel e Cobalto, não atraindo outros materiais como Alumínio, Cobre, Madeira, Plásticos, etc. Estas pedras foram chamadas MAGNETOS e hoje são chamadas IMÃS os quais são produzidas industrialmente para inúmeras diferentes aplicações. Estes imãs produzidos artificialmente podem apresentar diferentes formatos, dependendo da aplicação específica à qual se destinam.

Figura 10-1

2- Quando um imã longílineo é suspenso por seu ponto médio observa-se que, após oscilar, ele para sempre numa mesma direção que coincide aproximadamente com a direção N-S geográficos. (este é o princípio de funcionamento da bússola).

Figura 10-2

3- Observa-se que os extremos desse imã longilíneo não apresentam as mesmas propriedades pois um deles sempre aponta para o N geográfico e o outro sempre para o S geográfico, qualquer que seja a situação na qual o imã é abandonado a oscilar. Para diferenciá-los, recebem denominações diferentes: o que aponta para o N-geográfico é denominado POLO NORTE MAGNÉTICO (N) e o que aponta para o S-geográfico é denominado POLO SUL MAGNÉTICO (S).

Figura 10-3

4- Os polos magnéticos são inseparáveis. Se o imã longilíneo utilizado acima for dividido ao meio observa-se que cada pedaço obtido se comporta como um novo imã, isto é, apresenta os polos N e S magnéticos. Isto também ocorre se cada um desses pedaços for novamente dividido ao meio. Em nenhuma hipótese se observa a separação dos polos.


Cap 10—2

5- Dois imãs quando aproximados interagem através do aparecimento de uma força de interação. Esta força será de atração ou de repulsão dependendo da posição relativa dos dois imãs. Se os imãs forem aproximados segundo polos magnéticos iguais a força será de repulsão. Se os imãs forem aproximados segundo polos magnéticos diferentes a força será de repulsão.

Figura 10-4

Resumindo: polos magnéticos iguais se repelem e polos magnéticos diferentes se atraem. Este fato, associado com a observação 3 acima nos permite afirmar que a Terra é um grande imã, e ainda, que o polo N-geográfico é o polo S-magnético do imã da Terra (pois atrai o que se chamou Polo N- magnético do imã) e o polo S-geográfico da Terra e o polo N-magnético do imã da Terra (pois atrai o que se chamou polo S-magnético do imã).

6- Se uma carga elétrica for colocada próxima de um imã em repouso em relação a ele não existirá ação do imã sobre a carga. Entretanto, se essa carga se mover relativamente ao imã, haverá sobre ela uma força resultante da presença do imã que será denominada força de natureza magnética (esta força será estudada posteriormente).

10.3 Campo Magnético Chama-se CAMPO MAGNÉTICO a toda região do espaço na qual aparecem forças de natureza magnética,

isto é, produzidas pela ação equivalente à ação de um imã.

Podemos visualizar geometricamente um campo magnético espalhando-se na região limalha de ferro. Observamos que a limalha formará linhas contínuas, que não se interceptam. Essas linhas formam figuras cuja aparência depende do campo que está sendo estudado são denominadas linhas de indução. Se considerarmos o campo magnético produzido por um imã longilíneo, como seus polos N e S magnéticos localizados nos extremos, observaremos a abaixo (esta figura pode ser facilmente obtida colocando-se sobre o imã uma placa de vidro ou papel ou plástico e sobre esta placa colocarmos a limalha de ferro; após agitarmos a placa observaremos a formação da figura).

Figura 10-5

A forma apresentada pelas linhas de indução depende da forma do imã. A figura abaixo mostra as linhas de indução de um imã em forma de ferradura.

Figura 10-6

10.4 Vetor indução magnética ou Vetor densidade de fluxo


Cap 10—3

Os fenômenos magnéticos apresentam comportamento vetorial, isto é, as grandezas envolvidas nesses fenômenos necessitam das três informações: módulo, direção e sentido. Então, para estudarmos o campo magnético, isto é, a região na qual fenômenos magnéticos ocorrem, definiremos em cada uma dos seus pontos um vetor B

r, denominado vetor indução magnética ou vetor densidade de fluxo magnético, com as seguintes

propriedades:

a- a direção de Br

é sempre tangente às linhas de indução;

b- o sentido de Br

é sempre do N-magnético para o S-magnético;

c- a intensidade ou módulo de Br

não pode ser definido neste momento; diremos apenas que a intensidade ou módulo é maior onde mais próximas forem as linhas de indução, isto é, onde maior for a densidade de linhas de indução.

d- no Sistema Internacional de Unidades (SI) a intensidade de Br

é medida em

(T). Tesla = )(Wb/m Weber/m 22

Na figura abaixo são mostrados vetores Br

em diferentes posições do campo magnético observado ao redor de um imã longilíneo já apresentado acima.

Figura 10-7

Um exemplo interessante é o campo magnético da Terra que apresenta uma intensidade de aproximadamente de 5,6x10-5 T (ou Wb/m2), tem sua direção aproximadamente tangente aos meridianos terrestres e tem seu sentido do S-geográfico (N-magnético do imã da Terra) para o N-geográfico (S-magnético do imã da Terra). A figura abaixo mostra o vetor indução magnética em um ponto da Terra.


Cap 11—1

11. ESTUDO DA FORÇA MAGNÉTICA S.J.Troise

11.1 Força elétrica sobre carga elétrica em movimento

Imaginemos uma região do espaço que seja um campo magnético cujo vetor indução magnético seja, Br

no ponto. P. Seja q a medida de uma carga elétrica que se move nesse campo magnético com velocidade vr .

Figura 11-1

A experiência mostra que sobre a carga aparece uma forca Fr

de natureza magnética que apresenta as

seguintes propriedades:

A - a intensidade da forca e proporcional ao valor absoluto da carga q ;

B - a intensidade da forca é proporcional à componente da velocidade da carga perpendicular ao vetor indução magnético ou seja, proporcional ao produto do módulo da velocidade pelo seno do ângulo que a velocidade forma com as linhas de indução do campo, ou seja, com o vetor B

r. Isto significa que se a velocidade e o vetor

indução magnética forem paralelos, e portanto o ângulo α for 0, a força será nula;

C- a intensidade da força Fr

é proporcional ao módulo do vetor indução magnético;

D- a direção da forca Fr

é perpendicular ao plano formado pela velocidade e pelo vetor indução magnética, isto é, a força é perpendicular a e a Bvr

r;

As observações a, b e c podem ser colocadas sob a forma de uma única expressão de proporcionalidade, ou seja:

α⋅⋅⋅⋅= senBvqCteFrrr

Equação 11-1

Transformando a proporcionalidade acima em igualdade pela introdução de uma constante de proporcionalidade teremos:

α⋅⋅⋅⋅= senBvqCteFrrr

Equação 11-2

Escolhendo agora as unidades de tal forma que a constante de proporcionalidade seja unitária podemos escrever:

α⋅⋅⋅= senBvqFrrr

Equação 11-3

que permite calcular o módulo ou intensidade da força que atua sobre a carga em movimento.

Ocorre que força é uma grandeza vetorial. Isto significa que conhecer apenas o módulo da força não é suficiente para se saber a ação da força. Faz-se então necessário determinar o vetor força. Para isto analisando simultaneamente a expressão que fornece o módulo da força, a observação d acima e a definição de produto vetorial, concluímos que o vetor força pode ser determinado a partir de um produto vetorial, ou seja:

Bv.qFrrr

∧= Equação 11-4

O módulo de Fr

a partir desta expressão é dado pela equação 11.1-3 e Fr

é perpendicular a vr e a Br

.


Cap 11—2

11.1.1 Exercícios

11.1.1.1 ( ) Um próton move-se num campo magnético uniforme de intensidade 0,05T com velocidade de tal que o ângulo entre a velocidade e o vetor indução magnética é de . Calcule a intensidade da força que atua sobre o próton. Faça um esboço no qual apareçam a velocidade, o vetor indução magnética e a força.

s/m10x0,3 7

°30

Resp: 11.1.1.2 ( ) Resolva o exercício 11.1.1.1 supondo que seja um elétron a se mover no campo magnético.

Resp: 11.1.1.3 ( ) Uma partícula de massa 30g move-se num campo magnético uniforme de intensidade 0,6T com velocidade de

segundo um ângulo de com as linhas de indução. Calcule a intensidade da força que atua sobre a partícula e o módulo da aceleração normal que sofre a partícula.

s/m10x0,2 5 30°

Resp 11.1.1.4 ( ) Desenhe a trajetória de uma partícula que se move perpendicularmente às linhas de indução de um campo magnético uniforme. 11.1.1.5 ( ) Na figura ao lado o símbolo representa um vetor indução magnética perpendicular ao plano da figura e de sentido para dentro do plano da figura. Demonstre que se vr é a velocidade da uma carga q , de massa m , a trajetória da

carga é circular, de raio B.q

vmR r

r

=

11.1.1.6 ( ) Na figura ao lado o símbolo representa um vetor indução magnética perpendicular ao plano da figura e de sentido para fora desse plano. Uma carga q, de massa m é lançada através de um orifício O dentro de campo magnético e perpendicularmente às linhas de indução, com uma velocidade vr . a) faça um esboço da trajetória seguida pela carga, considerando que a mesma pode ser positiva ou negativa; b) a trajetória seguida pela carga faz com que ela atinja o anteparo que contem o orifício O. Calcule a distância entre o ponto O e o ponto em que ocorre o impacto contra o anteparo.

11.1.1.7 ( ) Considere a situação do exercício 11.1.1.6. Suponha que a carga lançada no campo magnético tenha sido acelerada, antes de entrar no campo magnético por uma diferença de potencial V. Estabeleça uma relação entre essa diferença de potencial e a distância entre o orifício e o ponto de impacto. 11.1.1.8 ( ) Considere a situação do exercício 11.1.1.7. Analise a possibilidade de construir-se um dispositivo que permita medir a massa da carga que é lançada no campo magnético. (Tal dispositivo existe e é denominado espectrômetro de massa).

11.1.1.9 ( ) Se é a velocidade de uma carga s/m10)k5j4i3(v 4⋅−+=rrrr C5q µ−= num campo magnético uniforme

de vetor indução magnética calcule o módulo da força de natureza magnética que atua sobre a carga.

2m/Wbk4,0i1,0Brrr

−=

Resp:

11.2 O trabalho da força de natureza magnética A força de natureza magnética não realiza trabalho e, conseqüentemente, não altera o módulo da

velocidade da carga, alterando somente a sua direção. Isto pode ser facilmente mostrado aplicando-se o Teorema da Energia Cinética que afirmar que o trabalho realizado pela força resultante entre dois pontos A e B é a variação da energia cinética da partícula, ou seja:

2A

B

A

2BAB mv

21mv

21sdF∫ −=×=Γ

rr

Equação 11-5


Cap 11—3

onde é a velocidade da carga no ponto A da trajetória e é a velocidade da carga no ponto B. Lembremos que Av Bv sd r é um

deslocamento elementar sobre a trajetória seguida e portanto tangente a trajetória. Sendo Fr

perpendicular a velocidade, Fr

será sempre normal a trajetória e portanto sempre perpendicular ao deslocamento sd

r . Conseqüentemente, o produto escalar sd.F rr

será sempre nulo e o trabalho será nulo. Isto significa que não há variação de energia cinética e portanto não há variação de velocidade em módulo. Por outro, sendo a força normal a trajetória da carga ela produzirá apenas uma aceleração normal a qual é responsável pela mudança da direção da velocidade. Portanto a trajetória de uma carga elétrica em presença de um campo magnético é curvilínea.


12. Força de natureza magnética sobre corrente elétrica S.J.Troise

12.1 Introdução Corrente elétrica nada mais é do que cargas elétricas em movimento e quando este movimento ocorre em

presença de uma campo magnético aparece sobre elas um força que é dada pela expressão r r rF q v B= ∧.

Equação 12-1 Suponhamos então um fio condutor, pelo qual circula corrente elétrica ,colocado num campo magnético. E

fácil imaginar-se que as cargas elétricas em movimento no interior do fio estarão sob a ação de uma força de natureza magnética produzida pela ação do campo magnético existente na região. Como estas cargas são solidárias ao condutor, a força que atua sobre elas atua também sobre o próprio condutor podendo, inclusive, produzir seu movimento. Este é o princípio de funcionamento dos motores elétricos.

I

12.2 Estudo do caso mais geral - Campo magnético variável e condutor qualquer

Consideremos um condutor AB, de comprimento , imerso num campo magnético de vetor indução LrB

conforme figura abaixo.

Figura 12.2—1

Seja um pedaço infinitamente pequeno desse condutor que contem uma quantidade de carga também infinitamente pequena dq que se move com velocidade

dlrv . Como a carga dq move-se no campo magnético ela

estará sob a ação de uma força dada por, de acordo com o capítulo anterior

Bv.dqFdrrr

∧= Equação 12-2

onde escrevemos dFr

para representar a forca que atua sobre o pedaço dl . Por outro lado, o condutor AB é uma

sucessão de pequenos pedaços dl , cada um dos quais sofre a ação de uma força dFr

e portanto a força total sobre condutor AB será soma de todas as infinitas forças dF

r, ou seja:

r r r rF dF dq v

A

B

A

B

= = ∧∫ ∫ . B

Equação 12-3 que fornece a força resultante que atua sobre o condutor AB. Ocorre que, na forma em que se encontra, a expressão acima não é prática por se tratar de uma integral cuja variável é a carga elétrica e que exige que se conheça a velocidade com que as cargas se movem no interior do condutor. Procuremos colocar a expressão da força sobre o condutor numa forma mais prática. Para isto seja Tur o versor tangente ao elemento de condutor dl . É fácil observar-se que a velocidade vr é tangente ao condutor pois a trajetória coincide com o próprio fio. podemos então escrever:

r rv v u T= .

Cap 12—1

Introdução à Eletricidade S.J.Troise Mas, de acordo com a Mecânica, a velocidade é dada por

v = dldt

e portanto

r rv dl

dtu T=

Substituindo na expressão Equação 12-3

r r rF dl

dtdq u BT

A

B

= ∧∫ . .

ou rearranjando

r r rF dl dq

dtu BT

A

B

= ∧∫ . .

Equação 12-4

Por outro lado dqdl

I= , que aparece nesta expressão é, por definição, a intensidade de corrente que

percorre o condutor. Porém a corrente no interior do fio é constante e portanto não participa do processo de integração e pode ser colocada fora da integral

r r rF I u B dT

A

B

= ∧∫. . l

Equação 12-5 que é a expressão prática para o cálculo da força sobre o condutor pois a sua aplicação exige apenas que se conheça a corrente que percorre o condutor, seu versor tangente determinado geometricamente bem como o campo magnético no qual o condutor está mergulhado através de seu vetor indução magnética B

I r.

12.2.1 Exercícios 12.2.1.1 ( ) Um condutor retilíneo é percorrido por uma corrente de 2A e tem comprimento de 0,3m. E está mergulhado num

campo magnético uniforme de intensidade igual a 0,02T. Se o ângulo entre o condutor e o vetor indução magnética for de 30 calcule a intensidade da força que atua sobre o condutor.

o

Resp: 12.2.1.2 ( ) O condutor semicircular da figura, de raio 0,3m, pelo qual circula uma corrente de 3A, encontra-se mergulhado num campo magnético radial, paralelo ao plano yOz do sistema de referência e de intensidade 0,6T. Calcule a força de natureza magnética que atua sobre o condutor.

Resp: 12.2.1.3 ( ) Resolva o exercício 12.2.1.2 supondo o condutor circular completo.

Resp: 12.2.1.4 ( ) Considere a mesma situaçãoigual a 2R, coincidente com o eixo Oy.

Resp:

12.3 Caso partUm caso de particular intere

uniforme. Um condutor retilíneo tem por

do exercício 12.2.1.2. Calcule a força sobre o condutor AB retilíneo, de comprimento

icular - Campo uniforme e condutor retilíneo sse ocorre quando se tem um condutor retilíneo num campo magnético característica o versor Tur constante e um campo magnético uniforme tem

Cap 12—2


seu vetor indução magnética Br

constante o que significa que as linhas de indução são retas paralelas. É fácil observar-se que neste caso

r ru B consT ∧ = t

Nestas condições na equação 12.2-4 o produto vetorial pode ser tirado da integral e a expressão da força fica

r r rF I u B dlT

A

B

= ∧ ∫. .

Observando agora que

dl LA

B

∫ =

ou seja, o comprimento do fio AB, podemos escrever: r r rF I u B LT= ∧. .

Equação 12-6 que é a expressão que permite, de forma simples, calcular a força que atua sobre um condutor retilíneo mergulhado num campo magnético uniforme.

12.3.1 Exercícios 12.3.1.1 ( ) Em cada uma das situações abaixo, calcule a força que atua sobre o condutor. Suponha sempre que a corrente se desloca de A para B.

Resp: )N(k1018j1024i106F)d

)N(k1027F)c)N(i15,0F)b)N(i05,1F)a444

4rrrr

rrvrr

−−−

−

⋅+⋅+⋅−=

⋅−=−=−=

12.3.1.2 ( ) A espira mostrada na figura é formada por três condutores retilíneos, percorridos por uma corrente de . Calcule a força resultante que atua sobre o sistema, sabendo que o campo magnético é vertical, de sentido para cima e de intensidade 0,04T.

A2

Cap 12—3


Resp: 0FFF CABCABrrrr

=++12.3.1.3 ( ) Na figura abaixo ABC é um fio percorrido por uma corrente de 2A. Calcule a força magnética que atua sobre ele.

Resp:

12.3.1.4 ( ) Considerando a situação da figura do exercício 3 calcule a força que atua sobre condutor retilíneo AC. Compare este resultado com aquele obtido na solução do exercício 12.3.1.3. Qual a conclusão que pode ser tirada.

Resp: 12.3.1.5 ( ) Calcule a força de natureza magnética que atua sobre o condutor curvilíneo cujos extremos coincidem com os pontos A(1,1,2)m e B(2,2,3)m quando mergulhado num campo magnético cujo vetor indução magnética é dado por

( )Tk3,0j4,0i1,0Brrrr

−+=Resp:

12.3.1.6 ( ) Considere um condutor de comprimento 1m e massa 30g mergulhado no campo magnético da Terra, na direção leste-oeste. Calcule a corrente que deve circular por ele para que permaneça em equilíbrio sob a ação da força peso e da força de natureza magnética.

Resp: 12.3.1.7 ( ) Em que condição a força sobre um condutor retilíneo mergulhado num campo magnético uniforme é nula?. E máxima?

Resp:

Cap 12—4


Cap 13 -1 -

13. Torque magnético S.J.Troise

13.1 Introdução Sabemos que a força é capaz de produzir tanto movimento de translação como movimento de rotação.

Estudemos agora o fato de que a força magnética quando atua sobre uma espira, isto é, qualquer caminho fechado percorrido pela corrente, produz o movimento de rotação dessa espira. Para isto consideremos uma espira plana retangular, de dimensões a e b, localizada num campo magnético uniforme vertical (de sentido para cima portanto), tal que o ângulo entre o plano da espira e o plano horizontal é

k.BBrr

=φ . Seja ainda I a corrente que circula pela

espira. Calculemos a força de natureza magnética que atua sobre a espira, isto é, sobre os quatro condutores retilíneos que a constituem.

Figura 13-1

13.2 Cálculo da força resultante sobre a espira Calculemos a força resultante sobre a espira, calculando a força que atua sobre cada um desses

condutores retilíneos. Para isto devemos aplicar a LBIF T ⋅∧µ⋅=rr

, deduzida no capítulo anterior, em cada um dos lados retilíneos e somar os quatro resultados obtidos. Observemos que para a aplicação desta equação devemos conhecer o versor tangente a cada um dos lados e isto e conseguido simplesmente observando-se a figura abaixo na qual os versores foram desenhados.

Figura 13-2

Os versores tangentes aos lados AB e CD são imediatos pois estes dois lados são paralelos ao eixo : . Os versores aos lados BC e DA não são imediatos pois a sua determinação depende da

observação da figura em uma vista particular. Olhando a figura no eixo x verificamos que esse versor tangente pode ser decomposto em componentes, conforme indicado na figura abaixo, ou seja

xiueiu CDABrrrr

=−=

)k(senu)j(cosuu CDCDCDrrrrr

φ⋅+−φ⋅= . Analogamente podemos determinar o versor tangente ao lado DA. Basta que observemos na figura 13.2-1

que ele é oposto ao versor ao lado CD, ou seja:

)k(senu)j(cosuu DADADArrrrr

−φ⋅+φ⋅= .


Cap 13 -2 -

Figura 13-3

Devemos lembrar que estamos trabalhando com versores e portanto seus módulo são unitários. A) força sobre o condutor retilíneo AB

[ ] )j.(b.B.Ib.kBi.IL.kBu.IF ABABABrrrrrr

=∧−=∧= Equação 13-1

B) força sobre o condutor retilíneo CD

)j(IBaa.kB)i.(IL.Bu.IF CDCDCDrrrrrr

−=∧=∧= Equação 13-2

C) força sobre o condutor retilíneo BC

[ ] )i.(cos.b.B.Ib.kB)k(sen)j(cos.IL.kBu.IF BCBCBCrvrrrrr

−φ=∧φ+−φ=∧= Equação 13-3

D) força sobre o condutor retilíneo DA

[ ] )i.(cos.b.B.Ib.kB)k(sen)j(cos.IL.kBu.IF DADADArvrrrrr

φ=∧−φ+φ=∧= Equação 13-4

A força resultante sobre a espira será DACDBCAB FFFFFrrrrr

+++= . Substituindo os resultados acima teremos:

0)i.(cos.b.B.I)j.(a.B.I)i.(cos.b.B.I)j.(a.B.IFrrrrrv

=φ+−+−φ+= Equação 13-5

ou seja, não existe força resultante sobre a espira. Isto significa que a espira se encontra em equilíbrio de rotação pois não há excesso de força em nenhuma direção.

Por outro lado uma observação atenta das forças que atuam sobre os lados da espira mostra que a espira não está em equilíbrio de rotação pois existe atuando sobre ela um binário, isto é um sistema constituído de duas forças iguais e opostas com linhas da ação não coincidentes. A figura abaixo coloca este fato em evidência.

Figura 13-4

Podemos ainda obter uma nova visão do binário olhando-se novamente a figura na direção do eixo x.


Cap 13 -3 -

Figura 13-5

Vê-se claramente a existência do binário atuando sobre a espira, mostrando uma tendência de rotação no sentido anti-horário.

Para medir-se esta tendência de rotação a Mecânica define uma grandeza denominada momento do binário ou torque ou ainda conjugado, medida em N.m, como sendo o produto da força do binário pelo braço, isto é, pela distância entre as direções das duas forças, que na figura acima está representada por h, ou seja:

h.a.B.Ih.Fh.F CDAB ===Τrr

Equação 13-6

Observando agora a figura 13.2-7 obtemos que

φ====φ sen.bhdondebh

DAh

BChsen

Substituindo na figura 13.2-8 teremos

φ=Τ sen.b.a.B.I Equação 13-7

que é a expressão que permite calcular o torque que atua sobre a espira. Nesta expressão observe que o produto a.b=S nada mais é do que a área da espira retangular que estudamos. Assim

φ=Τ sen.S.B.I Equação 13-8

Nesta expressão aparece o produto φsen.S.I que constituído de elementos que só dependem da espira em estudo (a corrente que por ela circula, sua área e sua posição através do ângulo φ ). A esse produto dá-se o nome de intensidade do momento magnético da espira, representado por Μ , ou seja

φ=Μ sen.S.I Equação 13-9

que é medido em A.m Desta forma o torque que atua sobre a espira é dado por

B⋅Μ=Τ Equação 13-10

Podemos agora fazer um tratamento vetorial que leva ao mesmo resultado. Para isto definamos um versor , teoria à espira, cujo sentido é dado pela regra da mão direita: o polegar indica o sentido desse versor quando os

demais dados indicam o sentido da corrente. Na figura abaixo é mostrado esse versor. nr


Cap 13 -4 -

Figura 13-6 Define-se então o vetor momento magnético da espira como sendo

n.S.Irr

=Μ Equação 13-11

Nestas condições, o torque vetorial que atua sobre a espira é dado por

Brrr

∧Μ=Τ Equação 13-12

A importância desta ultima expressão está no fato que a direção do vetor torque resultante é direção do eixo de rotação da espira. Observemos que conhecer a direção de um eixo não significa que conheçamos o eixo. Ele dependerá do vínculo sofrido pela espira, isto é, de como será permitida a rotação da mesma.

13.2.1 Exercícios 13.2.1.1 ( ) Calcule o módulo do vetor torque magnético dado pela Equação 13-12 e compare com o resultado da Equação 13-9

Resp.: 13.2.1.2 ( ) Avalie, teoricamente, o vetor torque magnético que atua sobre a espira do desenvolvimento teórico e verifique se o mesmo tem a direção obtida na análise do exercício 13.2.1.1

Resp.: 13.2.1.3 ( ) Em cada uma das situações abaixo, determine o vetor momento magnético da espira e o vetor torque que atua sobre a ela.


Cap 13 -5 -

Resp: )m.N(j00,0)c)mN(0)b)mN(j12,0k06,0)a

rrr−⋅⋅+−

13.2.1.4 ( ) Em que condição o torque sobre uma espira mergulhada num campo magnético uniforme é nulo? Em que condição esse torque é máximo?


Cap 14-1

14. Campo magnético gerado por corrente elétrica S.J.Troise

14.1 Introdução Até agora os fenômenos elétricos e magnéticos foram apresentados como fatos isolados. Veremos a partir de agora que

os mesmos fazem parte de uma mesma manifestação da natureza, ou seja, da carga elétrica apresentada por algumas partículas. Isto nos permitirá ter uma visão mais ampla do universo físico. Lembremos que corrente elétrica é carga elétrica em movimento, no caso mais geral os elétrons pois os prótons são fortemente ligados ao núcleo. Portanto sempre que se tem corrente elétrica, têm-se carga elétrica em movimento.

14.2 Fenômeno fundamental: Campo magnético gerado por carga elétrica em movimento

Consideremos um fio condutor percorrido por uma corrente elétrica de intensidade . Se colocarmos na região próxima desse fio uma bússola, veremos que a posição da mesma é alterada pela existência da corrente, ou seja, nas vizinhanças desse fio aparece um campo magnético, o qual desaparece quando a corrente cessa. A experiência mostra ainda que, considerando um condutor retilíneo muito longo,:

I

Figura 14-1

1- o campo magnético gerado pela corrente elétrica está contido num plano perpendicular ao fio; 2- o vetor indução magnética tem sua direção perpendicular ao plano formado pela direção do condutor e pelo raio

traçado a partir do condutor até o ponto em que o Br

está sendo observado; 3- o sentido do vetor indução magnética é dado pela regra da mão direita: quando o polegar indica o sentido da

corrente, os demais dedos indicam o sentido de Br

, ou seja o sentido de Br

inverte se inverter-se a corrente;

4- a intensidade do vetor campo elétrico gerado é proporcional á corrente I que circula pelo condutor;

IB ∝r

Equação 14-1

5- a intensidade do vetor indução magnética é inversamente proporcional à distância r ;

r1B ∝

r

Equação 14-2 6- a intensidade do vetor indução magnética depende do meio no qual o sistema se encontra, ou seja, em meios

diferentes aparece uma intensidade diferente. Associando as relações de proporcionalidade acima podemos escrever:

rIB ∝

r

Equação 14-3 Esta nova relação de proporcionalidade pode ser colocada sob a forma de uma igualdade colocando-se uma constante

de proporcionalidade. Trabalhado com unidades do Sistema Internacional de Unidades, determinou-se que a constante é dada por

π⋅µ2

0 onde 0µ é uma constante denominada permeabilidade magnética do meio e cujo valor para o vácuo é 70 104 −⋅π⋅=µ .

Assim, podemos escrever:

r2I

B 0⋅π⋅⋅µ

=r

Equação 14-4


Cap 14-2

Que é a expressão que permite calcular a intensidade do vetor indução magnética gerado por uma corrente num

condutor retilíneo longo quando o sistema se encontra num meio de permeabilidade 0µ . Observemos que esta equação pode ser colocada sob a forma

Ir2B 0 ⋅µ=⋅π⋅⋅r

Equação 14-5

A qual nos será útil posteriormente.

14.2.1 Exercícios 14.2.1.1 ( ) Um condutor retilíneo muito longo é percorrido por uma corrente de 5 A . Calcule a intensidade do vetor indução magnética a 10 cm do condutor, supondo que o sistema encontra-se no vácuo.

Resp: 14.2.1.2 ( ) Qual a corrente que deve circular num fio retilíneo muito longo para que a intensidade do vetor indução magnética a 5 cm do mesmo seja 0,5T?

Resp: 14.2.1.3 ( ) Considere dois fios paralelos separados por uma distância de 10 cm, percorridos pela mesma corrente de 0,5 A em sentidos opostos, no ponto P da figura. . Calcule o vetor indução magnético no ponto P

Resp:

14.2.1.4 ( ) Considere os dois fios da figura acima percorridos pela mesma corrente, porém de mesmo sentido. Calcule o vetor indução magnético no ponto P.

Resp: 14.2.1.5 ( ) Considere os dois fios da figura abaixo. Calcule o vetor indução magnética por eles gerado quando os fios são percorridos pela corrente de 3A em duas situações:a) as correntes são de mesmo sentido e b) são de sentidos opostos.

14.3 A lei circuital de Ampèré

A Equação 14-5 permite uma generalização muito importante. Para isto definamos o conceito de circuitação ou circulação do vetor indução magnética.

Consideremos um condutor percorrido por uma corrente e um caminho qualquer fechado, que chamaremos de caminho C, que envolva o condutor, conforme a figura ao lado.

I

Figura 14-2

Esse caminho fechado é chamado “contorno”

Seja sdr um deslocamento elementar, isto é, infinitamente pequeno, sobre o caminho C e portanto tangente ao

caminho e seja o vetor indução magnética existente na região e gerado pela corrente . Br

IPor definição chama-se “circulação ou circuitação do vetor indução magnética ao longo do contorno C”, à integral:


Cap 14-3

∫ ⋅=C

i sdBCrr

Equação 14-6 Lembremos que essa integral pode ser feita em sentidos opostos sobre o contorno. Faz-se necessário sempre que se

defina o sentido em que a circuitação é calculada, conforme indicado na figura por uma farpa colocada sobre o contorno.

Figura 14-3

Façamos uma aplicação desta integral calculando a circuitação na situação da figura acima, na qual se tem um único fio percorrido por uma corrente e considerando um contorno circular de raio I r . Pode-se observar nessa figura que o deslocamento

elementar sdr

é tangente ao contorno C circular de raio r e portanto paralelo a Br

e portanto o produto escalar fica:

)0(cossdBsdB o⋅⋅=⋅rrrr

A Equação 14-6 fica então, lembrando que sobre o circunferência a intensidade do vetor indução magnética é constante:

∫∫ ⋅=⋅=CC

i dsBdsBC

Porém, ∫C

ds é a soma de todos os pedaços infinitamente pequenos existentes sobre a circunferência e portanto é o

seu comprimento, ou seja r2 ⋅π⋅ , Temos portanto que, neste caso, a circuitação se reduz exatamente no primeiro termo da Equação 14-5, ou seja, podemos escrever:

IsdBC 0C

i ⋅µ=⋅= ∫rr

Equação 14-7

onde é a corrente que atravessa uma superfície qualquer determinada pelo contorno C. IPode ocorrer que existam diversas correntes atravessando esta superfície e neste caso define-se a chamada “corrente

concatenada”. Para estabelecer este conceito, considere a figura abaixo na qual um contorno C tem a superfície por ele determinada atravessado por diversas correntes em sentidos quaisquer. Todas essas correntes são chamadas correntes concatenadas pelo contorno. Cada uma dessas correntes será considerada positiva ou negativa de acordo com a seguinte regra da mão direita: quando o polegar indicar a direção e o sentido da corrente e os demais dedos indicarem a sentido de integração a corrente será positiva e negativa caso contrário.

Figura 14-4

Assim, na figura acima, as correntes 32 IeI são positivas enquanto as correntes 41 IeI são negativas. A medida da correntes concatenada será a soma algébrica dessas correntes. No caso da figura, ela será:

4321CO IIIII −++−= Equação 14-8

A Equação 14-8 deve ser escrita neste caso:


Cap 14-4

∫ ⋅µ=⋅=C

0i IsdBC rr

Equação 14-9 Este resultado é chamado Lei Circuital de Ampèré. Sua aplicação só pode ser feita em situações em que ocorre alta

simetria, pois se isto não ocorrer a integração torna-se extremamente complicada ou até mesmo impraticável.

14.3.1 Exercícios: 14.3.1.1 ( ) Um condutor cilíndrico de raio mm4 é percorrido por uma corrente de 2 A.. Calcule a intensidade do vetor indução magnética para pontos internos e externos ao condutor.

Resp: 14.3.1.2 ( ) Um condutor cilíndrico é oco e seus raios interno e externo são respectivamente 0,001 mm e 0,003 mm. Calcule a intensidade do vetor indução magnética nas três regiões determinadas pelo condutor.

Resp: 14.3.1.3 ( ) Calcule a intensidade do vetor indução magnética no interior de um solenóide de secção retangular cujos raios interno e externo são respectivamente 0,004 cm e 0,006 cm, supondo que o mesmo é construído em madeira.

14.4 A lei de Biot-Savart O vetor indução magnética gerado por um condutor que apresenta uma corrente elétrica I pode ser calculado por outro

processo. Para isto imaginemos um pedaço de condutor de comprimento e seja ds ur o versor sobre no sentido da corrente que o percorre. Consideremos também um ponto P, a uma distância

dsI r de ds onde o vetor indução magnética será calculado.

Chamemos de rr

o vetor de posição de em relação a ds e de P rur o seu versor.

Figura 14-5

Sendo o pedaço do condutor infinitamente pequeno, o vetor indução magnética por ele gerado será também

infinitamente pequeno. Chamemos de esse vetor indução magnética Bdr

É possível observar-se que o vetor indução magnética Bdr

gerado pelo pedaço ds apresenta as seguintes propriedades:

1- é proporcional a ; Bdr

ds2- é proporcional à corrente que circula no condutor que contém Bd

rI ds ;

3- é inversamente proporcional ao quadrado da distância Bdr

r ;

4- varia proporcionalmente com o Bdr

θsen , onde θ é o ângulo entre rueu rv

5- sua direção é perpendicular ao plano que contém rueu rv;

6- o sentido é dado pela regra da mão direita já apresentada anteriormente. Podemos colocar as relações de proporcionalidade sob a forma de uma única relação, escrevendo:

2rdssenIBd ⋅θ⋅

∝r

Esta relação agora pode ser colocada sob a forma de uma igualdade acrescentando-se uma constante de proporcionalidade. Trabalhando-se no SI, esta constante assume o valor

π⋅µ4

0

ou seja, podemos escrever:


Cap 14-5

20

rdssenI

4Bd ⋅θ⋅

π⋅µ

=r

Por outro lado, sendo perpendicular a Bdr

rueu rv e sendo seu sentido dado pela regra da mão direita, podemos

afirmar que Bdr

esta na direção e sentido do produto vetorial ruu rr∧ que contém a dependência em θsen e portanto podemos

finalmente escrever:

dsr

uuI4

Bd 2r0 ⋅

∧⋅π⋅

µ=

rrr

Equação 14-10 Este resultado é conhecido por Lei de Biot-Savart.

Se considerarmos um condutor muito longo percorrido pela corrente , podemos somar a contribuição de todos os I ds que constituem o fio, ou seja:

∫ ∫ ⋅∧⋅

π⋅µ

==

fiootodo

fiootodo

2r0 ds

r

uuI4

BdB rrrr

Equação 14-11

14.4.1 Exercícios 14.4.1.1 ( ) Calcule a intensidade do vetor indução magnético produzido por um fio retilíneo, suposto infinito, percorrido por uma corrente , a uma distância I r do mesmo.

Resp.: 14.4.1.2 ( ) Se a corrente que circula no fio do exercício anterior é de 2 A, calcule a intensidade do vetor indução magnética a uma distância de 0,5m

Resp.:

14.4.1.3 ( ) Considere uma espira circular de raio , isto é, um fio de forma circular, percorrido por uma corrente .R I . Calcule a intensidade do vetor indução magnética gerado num ponto P sobre o eixo de simetria da espira, e a uma distância r do plano da mesma.

Resp.: 14.4.1.4 ( ) Considerando a resposta do item anterior, calcule a intensidade do vetor indução magnética no centro da espira.

Resp.:

14.4.1.5 ( ) Considere um solenóide, isto é, um tubo cilíndrico de raio sobre o qual se enrola espiras de fio condutor, que contém N espiras por unidade de comprimento, percorridas por uma corrente

.RI . Calcule a intensidade do vetor indução

magnética num ponto qualquer no interior do solenóide e sobre o eixo deste. Resp.:


Cap 15 - 1 -

15. Indução Magnética S.J.Troise

15.1 Introdução Dissemos anteriormente que campo elétrico produz força sobre cargas e conseqüentemente aparece

corrente elétrica. Dissemos também que corrente elétrica gera campo magnético. Mostremos agora que campo magnético pode gerar corrente elétrica e conseqüentemente campo elétrico. mostrando que existe reversibilidade no processo. Este último fenômeno é denominado indução magnética.

A figura abaixo esquematiza o que foi colocado acima.

campo elétrico

correnteelétrica

campomagnético

Figura 15-1

Para estudarmos a indução magnética é necessário que recordemos que o trabalho realizado pelo campo elétrico é dado pela expressão

fem)VV(sdE AB

B

A

=−−=⋅∫rr

Nesta expressão o segundo membro é denominado diferença de potencial e a integral do primeiro membro recebe o nome de força eletromotriz (fem).

Necessitamos também introduzir um novo conceito como segue no item abaixo.

15.2 Fluxo do Vetor Indução Magnético Consideremos uma região do espaço que seja um campo magnético, isto é, na qual aparece um vetor

indução magnética. Nessa mesma região consideremos um superfície infinitamente pequena dS cujo versor normal seja . n

r

Por definição chama-se fluxo elementar do vetor indução magnética à expressão dada por: Φd

dSnBd ⋅⋅=Φrr

Equação 15-1

Figura 15-2

Se tivermos agora uma superfície S qualquer podemos supô-la subdividida em infinitos pedaços em cada um dos quais existirá um fluxo elementar dado pela expressão acima. Por definição o fluxo total

dSΦ do vetor

indução magnética através de S será a soma de todos os Φd , ou seja:

∫∫ ⋅⋅=Φ=ΦSS

dSnBdrr

Equação 15-2 Antes de continuarmos analisemos esta expressão e verifiquemos que o valor desse fluxo pode variar se: A- o próprio vetor indução magnética variar; B- quando a área S variar; C- quando variar o ângulo entre o vetor indução magnética e a normal à superfície, ou seja, quando a

superfície mudar de posição. Veremos a seguir que quando ocorrer a variação desse fluxo um importante fato ocorre.

15.3 Indução Magnética


Cap 15 - 2 -

Imaginemos uma região do espaço que seja um campo magnético, ou seja, em que exista o vetor indução

magnética e suponhamos nessa região um circuito elétrico fechado, por exemplo um simples fio, no qual se coloque um amperímetro que certamente não indica corrente. Esse fio fechado define uma superfície e conseqüentemente, existe um fluxo do vetor indução magnética.

Br

A experiência mostra que se o fluxo do vetor indução magnética através da área definida pelo circuito varia, então aparece no mesmo uma corrente elétrica, mesmo sem a existência de um gerador, significando que existe força sobre as cargas elétricas, ou seja existe campo elétrico mesmo sem a existência de potencial elétrico Este fato recebe o nome de indução magnética.

Figura 15-3

Lembremos que o fluxo do vetor indução magnética pode variar simplesmente deslocando-se o imã em relação à espira.

Observemos agora que, se no fio aparece corrente elétrica, deve aparecer no interior do condutor um campo elétrico que faz aparecer sobre as cargas uma força que as desloca produzindo corrente elétrica. Portanto a variação do fluxo do vetor indução magnética através da superfície da espira produz sobre esta um campo elétrico .

Lei da indução magnética estabelece que a circuitação do campo elétrico através do contorno coincidente com a espira é igual à taxa de variação do fluxo do vetor indução magnética com o sinal contrário ou em fórmula:

∫ ∂Φ∂

−=⋅C

tldErr

Equação 15-3 Este resultado é chamado Lei de Faraday. Nesta expressão a integral do primeiro membro é a força-eletro-

motriz já definida no capítulo sobre potencial elétrico, calculada num caminho fechado. Para sabermos o sentido da corrente devemos considerar a seguinte regra: “a corrente gerada na espira tem um sentido tal que gera um vetor indução magnética cujo fluxo se adiciona

ou se subtrai tentado manter o fluxo do vetor indução magnética constante através da superfície da espira”. Este resultado é chamado Lei de Lenz.

15.4 Exercícios 15.4.1.1 ( ) O fluxo da vetor indução magnética através de uma espira de área 12 cm2 varia ao longo do tempo de acordo com a expressão . Calcule a força-eletro-motriz que aparece na espira. Wb)t120cos(10 π=Φ

Resp.:

15.4.1.2 ( ) Se um resistor de resistência for colocada no espira acima determine a corrente que aparece na espira. Ω10Resp.:

15.4.1.3 ( ) Na figura abaixo ABCD é um fio dobrado em forma de U enquanto EF é um fio retilíneo apoiado sobre o U e que o fecha formando uma espira retangular. O sistema se encontra mergulhado um campo magnético uniforme, perpendicular ao plano da espira formada, cujo vetor indução magnética tem intensidade de 0,08T. Se o fio EF mover-se, deslizando sobre o U no sentido indicado, com velocidade de 0,5 m/s, determine a força eletromotriz que aparecerá na espira.

Resp.:

15.4.1.4 ( ) Na figura abaixo é mostrada um espira retangular que gira no eixo x com velocidade angular s/rad5,0=ω . As linhas de indução indicam a presença de um campo magnético uniforme cujo vetor indução magnética tem intensidade de 0,4


Cap 15 - 3 -

Wb/m2. Determine a força eletromotriz induzida na espira sabendo que sua área é 2m6,0

Resp.:

introdução à física -...

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