introdução a disciplina de sistemas de controle 1 - aula 03 -- cristiano quevedo andrea

Introduo A Transformada de Laplace Exerccio

Aula 3

Cristiano Quevedo Andrea1

1UTFPR - Universidade Tecnolgica Federal do ParanDAELT - Departamento Acadmico de Eletrotcnica

Curitiba, Dezembro de 2012.

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Resumo

1 Introduo

2 A Transformada de Laplace

3 Exerccio

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Introduo

O mtodo de transformada de Laplace uma metodologiaoperacional que pode ser utilizado com vantagens para resolverequaes diferenciais lineares.Utilizando a transformada de Laplace podemos converter muitasfunes, tais como senoides, em uma funo algbrica de umavarivel complexa.Permite o uso de tcnicas grficas para prever o desempenhode sistemas, sem a necessidade de resolver equaesdiferenciais.Aps a resoluo via transformada de Laplace, pode-se obter aresposta transitria e a resposta em regime.

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A Transformada de Laplace

Vamos definir:1 f (t) uma funo do tempo t , tal que f (t) = 0 para t < 0.2 s a varivel complexa.3 L um smbolo operacional indicando que a quantidade que ele

prefixa para ser transformada pela integral Laplace 0

estdt .4 F (s) a transformada de Laplace de f (t).

Ento, a transformada de Laplace de f (t) definida por:

L[f (t)] = F (s) =

0est [f (t)]dt =

0f (t)estdt .

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Exemplo: Considere a funo

f (t) = 0, para t < 0,= Aebt para t 0,

os termos A e b so constante. Assim a transformada deLaplace obtida da seguinte maneira,

L[f (t)] = F (s) =

0Aebtestdt ,

F (s) =

0Ae(s+b)tdt ,

F (s) = As + b .

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ConsideraoA transformada de Laplace de uma funo f (t) existe se f (t) seccionalmente contnua em todo o intervalo finito na regiot > 0 e se a funo de ordem exponencial.

Funo de Ordem ExponencialUma funo f (t) de ordem exponencial se existe umaconstante real e positiva tal que a funo,

et |f (t)|,

tende a zero quando t tende ao infinito.

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Transformada de Laplace: Degrau, Rampa e Senoide(t > 0)

1 Degrau

f (t) = A, L[f (t)] = F (s) = As

2 Rampa

f (t) = At , L[f (t)] = F (s) = As2

3 Senoide

f (t) = Asen(t) L[f (t)] = F (s) = As2 + 2

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Teoremas da Transformada de Laplace1 Funo Transladada: considere a funo f (t ).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

f(t)

f(t

)

Tempo [seg] e igual a 1.

L[f (t )] = esF (s)2 Multiplicao de f (t) por et

L[et f (t)] = F (s + )

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Mudana na Escala de TempoAo analisar sistemas fsicos, s vezes necessrio alterar aescala de tempo ou normalizar uma dada funo do tempo.Assim ser alterado a base de tempo t para t

.

L[f(

t

)]= F (s).

Teorema da Diferenciao

L[

ddt f (t)

]= sF (s) f (0)

Generalizando para derivadas de qualquer ordem, tem-se:

L[

dndtn f (t)

]= snF (s) sn1f (0) sn2 f (0) sf (0)n2 f (0)n1

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Teorema do Valor FinalSe f (t) e ddt f (t) so transformveis segundo Laplace, e selimt f (t) existe e se F (s) analtica no semiplano direito doplano s, incluindo o eixo j, exceto por um plo simples naorigem, ento,

limt

f (t) = lims0

sF (s)

Teorema do Valor InicialSe f (t) e ddt f (t) so ambos transformveis segundo Laplace, ese lims0 F (s) existe, ento,

f (0+) = lims

sF (s)

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Teorema da Integrao A transformada de Laplace da integralde f (t) dada por,

L[

f (t)dt]=

F (s)s

f1(0)

s

sendo f1(0) =

f (t)dt , avaliada em t = 0.

ConsideraoSe f (t) envolve uma funo impulso, modifica-se a equaoanterior,

L+

[f (t)dt

]=

F (s)s

f1(0+)

s

L

[f (t)dt

]=

F (s)s

f1(0

)

s

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Funo Impulso

0 100 200 300 400 500 600 700 8004

2

0

2

4

6

8

10

12

(t) = 2sen(2t)2t

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Teorema da Derivada ComplexaSe f (t) for transformvel por Laplace, ento, exceto nos plosde F (s),

L[tf (t)] = dds F (s)

Generalizando,

L[tnf (t)] = (1)n dn

dsn F (s)

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Integrais de ConvoluoConsidere o seguinte sistema descrito na forma de diagramade blocos:

EntradaG(s) H(s)

Sada

Neste caso temos,

Sada = Entrada(G(s)H(s)) Domnio da Frequncia

Entretanto se tivermos,

Entradag(t) h(t)

Sada

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Podemos obter o sistema resultado ilustrado no diagrama deblocos anterior por meio da convoluo,

g(t) h(t) = t

0g(t )h()d, sendo denota convoluo.

A expresso anterior est descrita no domnio do tempo.

Considerao mais simples equacionar sistemas para projeto de sistemasde controle abordando a plana no domnio da frequncia. Emoutras palavras, menos complexo realizar projeto de sistemade controle para sistemas descritos na forma de Laplace aoinvs de estarem descrito em equaes temporais.

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Tabela de Transformadas de Laplace

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Transformada de Laplace InversaO processo de transformar uma varivel descrita no espaofrequencial para o espao temporal e denominado detransformada inversa de Laplace, e sua denominao :

L1

Matematicamente f (t) determinado por meio de F (s) daseguinte maneira:

f (t) = 12pij c+j

cjF (s)estds, t > 0. (1)

sendo c a abscissa de convergncia uma constante real eescolhida como maior do que as partes reais de todos ospontos singulares de F (s).

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Mtodo de Fraes ParciaisSe F (s), a transformada de Laplace de f (t), separada emcomponentes,

F (s) = F1(s) + F2(s) + + Fn(s).

e se as transformadas inversas de Laplace de F1(s),F2(s), ,Fn(s)so conhecidas, ento,

L1[F (s)] = L1[F1(s)] + L1[F2(s)] + + L1[Fn(s)],f (t) = f1(t) + f2(t) + + fn(t).

Frequentemente, F (s) descrita da seguinte maneira:

F (s) = B(s)A(s) ,

sendo A(s) e B(s) polinmios em s, e o grau de A(s) maior do queo grau de B(s). Ainda, os polinmios podem ter os graus iguais, ouat o grau do numerador maior do que o denominador.

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Consequentemente,

F (s) = B(s)A(s) =K (s + z1)(s + z2) (s + zp)(s + p1)(s + p2) (s + pn)

F (s) tem Apenas Plos DistintosNeste caso F (s) pode ser expandido em uma soma de simplesfraes parciais.

Exemplo: Determine a transformada inversa de Laplace daseguinte funo:

F (s) = s + 3(s + 1)(s + 2)

Podemos expandir F (s) como,

F (s) = a1s + 1 +

a2(s + 2)

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Assim temos que determinar os valores de a1 e a2, ento,

a1 = lims1

(s + 1)(s + 3)(s + 1)(s + 2) = 2

a2 = lims2

(s + 2)(s + 3)(s + 1)(s + 2) = 1

Portanto,

f (t) = L1[F (s)] = L1[

2s + 1

] L1

[1

s + 2

]

Assim,

f (t) = 2et e2t

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F (s) tem Plos Conjugados ComplexosSe F (s) possui plos conjugados complexos, temos que utilizara seguinte expanso:

F (s) = B(s)A(s) =1s + 2

s + p1+

3s + p3

+ + ns + pn

.

Exemplo: Determine a transformada inversa de Laplace de:

F (s) = (s + 1)s(s2 + s + 1)

A funo F (s) pode ser expandida da seguinte maneira:

F (s) = (s + 1)s(s2 + s + 1) =

1s + 2(s2 + s + 1) +

3s

(2)

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Multiplicando-se ambos os lados de (2) por (s2 + s + 1) temos,(s + 1)

s= (1s + 2) +

3s(s2 + s + 1) (3)

Considerando s = 0, 5 + j0, 866 em (3)0, 5 + j0, 8660, 5 + j0, 866 = 1(0, 5 + j0, 866) + 2

0, 5 + j0, 866 = 1(0, 5 + j0, 866) + 2(0, 5 + j0, 866)Igualando-se as partes imaginrias e reais temos o seguintesistema: {

1 + 2 = 11 2 = 1 (4)

Ento, 1 = 1 e 2 = 0.

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Para determinar 3, multiplicamos ambos os lados de (2)conforme abaixo e consideramos s = 0:

3 =

[s(s + 1)

s(s2 + s + 1)

]s=0

= 1 (5)

Portanto,

F (s) = ss2 + s + 1 +

1s

=1s s + 0, 5

(s + 0, 5)2 + 0, 8662 +0, 5

(s + 0, 5)2 + 0, 8662(6)

Aplicado a transformada de Laplace inversa em (6) temos,f (t) = 1 e0,5tcos0, 866t + 0, 578e0,5tsen0, 866t

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F (s) tem plos mltiplosConsidere F (s) = B(s)A(s) , onde A(s) = 0 tem razes p1 demultiplicidade r (as outras razes so distintas). A(s) pode entoser escrita como:

A(s) = (s + p1)r (s + pr+1)(s + pr+2) (s + pr+n)

A expanso em fraes parciais de F (s) :

F (s) = B(s)A(s) =br

(s + p1)r+

br1(s + p1)r1

+ + b1(s + p1)

+

ar+1(s + pr+1)

+ar+2

(s + pr+2)+ + an

(s + pn)

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Exemplo: Determine a transformada inversa de Laplace da funoF (s):

F (s) = s2 + 2s + 3(s + 1)3

Expandindo F (s) em fraes parciais temos,

F (s) = b3(s + 1)3 +

b2(s + 1)2 +

b1(s + 1) (7)

Ento, os coeficientes podem ser determinados da seguinte maneira:

b3 = lims1

(s + 1)3(s2 + 2s + 3)(s + 1)3 = 2,

b2 =[

dds

(s + 1)3(s2 + 2s + 3)(s + 1)3

]s1

= (2s + 2)s1 = 0,

b1 =1

(3 1)![

d2ds2

(s + 1)3(s2 + 2s + 3)(s + 1)3

]s1

=122 = 1.

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Assim,

F (s) = 2(s + 1)3 +

1(s + 1)

Ento,f (t) = (t2 + 1)et , t 0.

Aplicao:

Considere o sistema mecnico ilustrado abaixo:

(t): impulso

x(t)

molam

massa m e mola de constante elstrica K

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A equao diferencial que representa a dinmica do sistemailustrado anteriormente :

mx(t) + Kx(t) = (t). (8)Aplicando-se a transformada de Laplace em (8), temos,

m[s2X (s) sx(0) x(0)

]+ KX (s) = 1.

Considerando-se as condies iniciais nulas, temos,

X (s) = 1ms2 + K .

Utilizando a transformada inversa pode-se obter x(t) como,

x(t) =1mK

sen

Km

t .

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Exerccio em Sala

Uma impressora utiliza um feixe de laser para imprimirrapidamente cpias para um computador. O laser posicionado por um sinal de controle de entrada, r(t), tal que,

Y (s) = 5(s + 100)s2 + 60s + 500R(s) (9)

A entrada r(t) representa a posio desejada do feixe de laser.Determine:

1 a sada y(t) quando r(t) for um degrau unitrio de entrada,2 qual o valor final de valor de y(t).

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IntroduoA Transformada de LaplaceExerccio

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