intervalos de confiança
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Intervalos de confiança. Sejam X 1 , X 2 , …, X n i.i.d. com distribuição F q . Um intervalo de confiança de nível 1– a para q é um par de estatísticas [T 1 (X), T 2 (X)] tais que P( q [T 1 (X), T 2 (X)] ) 1– a, para todo q. Observações. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Intervalos de confiança
• Sejam X1, X2, …, Xn i.i.d. com distribuição F. Um intervalo de confiança de nível 1– para é um par de estatísticas [T1(X), T2(X)] tais que P( [T1(X), T2(X)] ) 1– para todo .
Observações
• A probabilidade da definição se refere a T1 e T2 e não a .
• O ideal é obter intervalos de confiança em que a probabilidade indicada é sempre igual a 1– .
• Intervalos de confiança são normalmente reportados através dos valores observados de T1 e T2.
Como obter um I.C.?
• Método da quantidade pivotal
• Obter uma função S(x, ) (quantidade pivotal) cuja distribuição independa de .
• Escolher dois números a e b tais que P(a ≤ S(x, ) ≤ b) = 1 –
• Resolver a inequação obtida em termos de .
Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0,
Intervalos de confiança para distribuição normal
X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(, 2)
Quatro casos:
• I.C. para , com 2 conhecido
• I.C. para 2, com conhecido
• I.C. para , com 2 desconhecido
• I.C. para 2, com desconhecido
I.C. para , com 2 conhecido
• Aplicável quando– a distribuição é normal e 2 é de fato conhecido,
ou– a distribuição é normal e a amostra é grande, de
modo que se possa estimar 2 com razoável precisão
– a distribuição não é normal, mas a amostra é grande e deseja-se um I.C. aproximado para a média da distribuição, usando o T.C.L.
I.C. para , com 2 conhecido
• I.C. central
• I.C. unilaterais
n
zX
,
,n
zX
n
zX
n
zX 2/2/ ,
z
Exemplo
• n = 25, X = 60, = 10, = 0,1
Exemplo
• Em uma pesquisa de opinião com 400 pessoas, 190 foram favoráveis a uma certa proposta. Obtenha um I.C. de nível 95% para a fração de pessoas favoráveis na população.
I.C. para , com conhecido
• I.C. central
• I.C. unilaterais
)2/1(
)(,
)2/(
)(2
2
2
2
n
i
n
i XX
x2n
()
)1(
)(,0
2
2
n
iX
,)(
)(2
2
n
iX
A distribuição 2
• Sejam X1, …, Xn i.i.d. N(0,1). A distribuição
de X12 +… + Xn
2 é chamada de distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.
Exemplo
• n = 20, = 60, Xi - 2 = 90.000, = 0,1
I.C. com e 2 desconhecidos
• Teorema Fundamental
Sejam X1, …, Xn i.i.d. N(0,1).
(Xi – X)2 e X são independentes
(Xi – X)2 tem distribuição 2n-1
tem distribuição tn-1S
Xn
n
XX
Xn
i
1
)(2
A distribuição t de Student
• Sejam X e Y variáveis independentes, X com distribuição N(0,1) e Y com distribuição 2
n. A distribuição de
é chamada de distribuição t de Student com n graus de liberdade.
nY
X
/
Observação
No caso de X1, …, Xn i.i.d. N(,2).
(Xi – X)2 e X são independentes
(Xi – X)2/2 tem distribuição 2n-1
tem distribuição tn-1S
Xn
n
XX
Xn
i
)(
)1(
)(
/)(
2
2
I.C. para , com 2 desconhecido
• I.C. central
• I.C. unilaterais
n
tSX n )(
, 1
,)(1
n
tSX n
n
tSX
n
tSX nn )2/(
,)2/( 11
I.C. para , com desconhecido
• I.C. central
• I.C. unilaterais
)2/1(
)(,
)2/(
)(2
1
2
21
2
n
i
n
i XXXX
)1(
)(,
21
2
n
i XX
,
)(
)(2
1
2
n
i XX
Exemplo
• Obter I.C. de nível 95% para e 2 para o caso em que n = 16, Xi = 960 e Xi
2 = 70.000