intervalo de confianza 4

a. Elsa Retureta Álvarez

Intervalo de confianza

Canales Hernández Anabel

Escobar Martínez Marisol

Fernández Zapata Ana Karen

Gonzales López Ana Karen

Jiménez flores Jessica

Reyes Ovalles anahi

Muñoz rivera claribel

Torres utrera Brenda lilian

ESTADISTICA INFERENCIALINTERVALO DE CONFIANZA

1. TEMA: INTERVALO DE CONFIANZA

APLICACIÓN

Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.[1]

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple 1:

P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95 (lo anterior se puede comprobar con una tabla de probabilidades o un programa computacional que calcule probabilidades normales).

Luego, si una variable X tiene distribución N( , ), entonces el 95% de las veces se cumple: Despejando en la ecuación se tiene:

El resultado es un intervalo que incluye al el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media cuando la variable X es normal y es conocido.

2.- GLOSARIO

Mtra. A Elsa Retureta Álvarez Página 2

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confianza#cite_note-0

http://es.wikipedia.org/wiki/Error_aleatorio

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_poblacional

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestra_aleatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica

http://www.uv.mx/index.html


CONCEPTO DEFFINICION TRADUCCION

Intervalo Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios.

It is a set of numbers that correspond with the points of a straight line or segment, in that is an internal ordering among them. The intervals are the space that occurs from a point to another one in which all the intermediate points are taken into account.

Muestra Es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística. Se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, el número de sujetos que componen la muestra suele ser inferior que el de la población.

It is a subgroup of cases or individuals of a statistical population. They are obtained with the intention to infer properties of the totality of the population, the number of subjects that compose the sample usually are inferior that the one of the population.

Parametro Estadistico Se llama valor representativo de la población parámetro estadístico, medida estadística o parámetro poblacional a un valor representativo de una

Representative value of the population is called statistical parameter, statistical measurement or population parameter to a representative value of a population, like the




población, como la media aritmética, la proporción de individuos que presentan determinada característica, o la desviación típica.

average Arithmetic, the proportion of individuals that present/display certain characteristic, or the standard deviation.

Error Aleatorio Viene determinado por el hecho de tomar sólo una muestra de una población para realizar inferencias. Puede disminuirse aumentando el tamaño de la muestra.

It comes determined by the fact to take only one shows of a population to make inferences. It can be diminished increasing the sample size.

Distribucion de probabilidad

Es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.

It is a function that assigns to each event defined on the variable the probability that this event happens. The probability distribution is defined on the set of all the events rank of values of the variable

FORMULARIO




INTERVALO DE CONFIANZA

CASO ESTADISTICO

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

INTERVALO DE CONVIANZA PARA LA PROPORCION

3.- INTRODUCCIÓN

En la aplicación estadística, para el análisis de resultados, se prefiere el uso de intervalos de confianza, debido a que el intervalo de confianza aporta información tanto de la magnitud, como de la precisión de las estimaciones, pudiéndose interpretar el intervalo en términos del margen de error de la estimación puntual. En la inferencia estadística, se desea estimar la población que utiliza los parámetros de la muestra datos observados.




A confidence interval gives an estimated range of values which is likely to include an unknown population parameter, the estimated range being calculated from a given set of sample data. ( Definition taken from Valerie J. Easton and John H. McColl's ) Un intervalo de confianza proporciona una magnitud estimada de valores que es probable que incluya un parámetro poblacional desconocido, el rango estimado se calcula a partir de un determinado conjunto de datos de la muestra.

The common notation for the parameter in question is La notación común para el

parámetro en cuestión es . Often, this parameter is the population mean . A

menudo, este parámetro es la media poblacional , which is estimated through

the , Que se estima a través de la sample mean media de la muestra . .

The level C of a confidence interval gives the probability that the interval produced by the method employed includes the true value of the parameter El nivel C de un intervalo de confianza da la probabilidad de que el intervalo producido por el

método empleado incluye el verdadero valor del parámetro . .

TEORÍA

II- Intervalo de confianza para un promedio:

Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional, la varianza poblacional es desconocida, por lo que el intervalo para construido al final de II es muy poco práctico.

Si en el intervalo se reemplaza la desviación estándar poblacional por la desviación estándar muestral s, el intervalo de confianza toma la forma:

La cual es una buena aproximación para el intervalo de confianza de 95% para con desconocido. Esta aproximación es mejor en la medida que el tamaño muestral sea grande.

Cuando el tamaño muestral es pequeño, el intervalo de confianza requiere utilizar la distribución t de Student (con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra), en vez de la distribución normal (por ejemplo, para un intervalo de 95% de confianza, los límites del intervalo ya no serán construidos usando el valor 1,96).

III. Intervalo de Confianza para una Proporción.

En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para una proporción o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensión, fumadoras, etc.)




Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura que:

O bien:

Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p.

SUPUESTOS Y RESTRICCIONES

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el

intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota . La

probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza

Cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional ,

la varianza poblacional es desconocida, por lo que el intervalo para construido al final de II es muy poco práctico.

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.

Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura que:

O bien:




GRAFICOS

FORMULAS

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

INTERVALO DE CONVIANZA PARA LA PROPORCION




TABLAS

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852


NO

SE UTILIZA LA DISTRIBUCION T

SE SUPONE QUE LA

POBLACION ES NORMAL

SE CONOCE LA DESVIACION ESTANDAR

DE LA POBLACION?

SI

SE UTILIZA LA DISTRIBUCION Z

Determinar cuándo se utiliza la distribución z y t



0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

UTILIDAD

A pesar de la inercia intelectual que nos conduce la aceptación universal del uso de pruebas de hipótesis como un asunto de todo o nada, hay otras alternativas que no se quedan en la mera receta: el uso de los intervalos de confianza. Esta alternativa ha sido defendida vehementemente por diferentes autores y secundada por diferentes editores de revistas médicas. El intervalo de confianza nos da el margen de valores en los que es previsible esperar que se encuentre la verdadera diferencia entre los tratamientos, para una probabilidad dada (habitualmente el 95 %). En realidad se sustenta sobre la misma teoría, pero el enfoque es mucho más expresivo, proporcionando información y no sólo documentando una mera decisión, como es el caso del contraste de hipótesis.


Tabla de intervalos de confianza

c 0,8 0,9 0,95 0,99

z c 1,28 1,645 1,96 2,58



En nuestro ejemplo, el intervalo de confianza va aproximadamente desde -0.5 a 10.5, lo que revela que es insuficiente para descartar el 0 (igualdad de tratamientos) con toda certidumbre, pero se encuentra muy escorado hacia el lado positivo llegando a valores de gran importancia clínica, por lo que de acuerdo con otros datos (por ejemplo de coste, disponibilidad, posología, efectos secundarios, etc) proporcionan una mayor información a la hora de determinar el interés del nuevo tratamiento.

El intervalo de confianza nos proporciona no sólo información en cuanto a las diferencias sino también en cuanto a la sensibilidad de nuestro estudio.

Intervalo para la media si se conoce la varianza:

Este no es un caso práctico (no se puede conocer sin conocer previamente ), pero sirve para introducirnos en el problema de la estimación confidencial de la media;

Intervalos de confianza para la media (caso general):

Este se trata del caso con verdadero interés práctico. Por ejemplo sirve para estimar intervalos que contenga la media del colesterol en sangre en una población, la altura, el peso, etc, cuando disponemos de una muestra de la variable.

Intervalo de confianza para la varianza:

Éste es otro caso de interés en las aplicaciones. El objetivo es calcular un intervalo de confianza para, cuando sólo se dispone de una muestra.

Estimación de tamaño muestral

La utilidad consiste en decidir cuál deberá ser el tamaño necesario de una muestra para obtener intervalos de confianza para una media, con precisión y significación dadas de antemano. Para que esto sea posible es necesario poseer cierta información previa, que se obtiene a partir de las denominadas muestras piloto.

Más adelante, consideramos el caso en que tenemos dos poblaciones donde cada una sigue su propia ley de distribución y . Los problemas asociados a este caso son :

Diferencia de medias homocedáticas

Se realiza el cálculo del intervalo de confianza suponiendo que ambas variables tienen la misma varianza, es decir son homocedáticas. En la práctica se usa este cálculo, cuando ambas variables tienen parecida dispersión.




Diferencia de medias (caso general)

Es el mismo caso que el anterior, pero se realiza cuando se observa que hay diferencia notable en la dispersión de ambas variables.

EJEMPLOS

1. Un fabricante de bolsas de arroz. El peso del contenido de estas bolsas tiene una distribución normal con una desviación típica de 15 gramos. A su vez, los contenidos de una muestra aleatoria de 25 bolsas tiene un peso medio de 100 gramos. Calcúlese un intervalo de confianza del 95% para el verdadero peso medio de todas las bolsas de arroz producidas por el fabricante.

SOLUCION:

Cuando buscamos un intervalo de confianza del 95% tenemos que, por lo que =5%=0.05.

De la tabla normal estándar, encontramos que = = 1,96 porque P(Z>1,96)=0,025. Con esto y debido a que =100, =15 y n=25, el intervalo buscado es;

o bien

por lo tanto podemos concluir que, con una confianza del 95%, el verdadero peso medio de todas las bolsas de arroz producidas por el fabricante está entre 94,14 y 105,88 gramos.

2. Un biólogo desea hacer una estimación, con un intervalo de confianza del 95%, de la cantidad promedio de agua que consume cierta especie animal en




condiciones experimentales. De alguna manera, el investigador logra determinar que la población de valores de consumo diario de agua esta distribuida normalmente. Además, una muestra aleatoria de 36 animales arroja una media de 16,5 gramos con una desviación estándar de 2 gramos.

SOLUCION:

Debido a que , entonces .Debido a que la varianza poblacional es desconocida y el tamaño de la muestra es mayor que 30, entonces, utilizaremos a la desviación muestral como aproximación de la desviación poblacional .El intervalo de confianza del 95% para la media poblacional es :

De la tabla normal estándar, encontramos, también, que

porque se cumple que Con esto y debido a que

, se concluye que el intervalo buscando es:

Con una confianza del 95% el biólogo puede afirmar que con una confianza del 95% la verdadera cantidad promedio de agua que consume diariamente la especie animal en condiciones experimentales se encuentra entre 15,8 y 17,15 gramos.

3. En una muestra aleatoria de 85 soportes para la pieza de un motor de automóvil, 10 tienen un pequeño defecto. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la proporción p de piezas de motor que tiene un pequeño defecto en la población.

SOLUCION:

Debido a que n=85, entonces, una estimación puntual de la proporción de piezas

de motor que tiene un pequeño defecto en la población es




O bien:

Con una confianza del 95%. Podemos afirmar que la verdadera proporción de piezas de motor que tiene un pequeño defecto esta entre el 5% y el 19% en la población.

4. Hay empresas especializadas en ayudar a otras a ubicar y asegurar talento para la alta gerencia. Tales firmas son responsables de la ubicación de muchos de lso mejores directores ejecutivos de la nación. Una reconocida revista reporto que: “uno de cada cuatro directores ejecutivos es una persona con mas de 35 años de edad”. Si en una muestra aleatoria de 350 compañías de cierto país, 77 tienen directores ejecutivos con más de 35 años de edad, ¿un intervalo de confianza del 99% apoyaría la afirmación?

SOLUCION:

Tenemos que n=350 y que . Debido a que , entonces, un intervalo de confianza para la proporción poblacional p es:

O bien,

Con una confianza del 99%, se puede afirmar que aproximadamente entre el 16.3% y el 27.7% de las empresas del país tienen directores ejecutivos con más de 35 años de edad. Y, en conclusión, la afirmación está apoyada por tales descubrimientos, ya que el 25% está contenido dentro del intervalo.

5. Los contenidos de 7 recipientes similares de ácido sulfúrico son 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2 y 9,6 litros. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para




la media de todos los recipientes, suponiendo que la población de valores tiene distribución normal.

SOLUCION:

Tenemos que n=7. Además, la media y desviación de los datos dados son

y litros, respectivamente. Debido, entonces, a que, el intervalo buscado será

Con una confianza del 95%, podemos afirmar que la media de todos los recipientes se encuentra entre 9,74 y 10,26 litros.

FUENTE

http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distribution-table.html

http://www.wiziq.com/tutorial/11026-Intervalos-de-Confianza

http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/confint.htm

(Definición tomada de Valerie J. Easton y John H. McColl 's Estadísticas Glosario v1.1 )

http://books.google.com.mx/books?id=sZ2HLz4erJgC&printsec=frontcover&dq=estadistica+inferencial&as_brr=3&cd=4#v=onepage&q=INTERVALO%20DE%20CONFIANZA&f=false (Estadística Inferencial, Humberto Llinás Solano)


http://books.google.com.mx/books?id=sZ2HLz4erJgC&printsec=frontcover&dq=estadistica+inferencial&as_brr=3&cd=4#v=onepage&q=INTERVALO%20DE%20CONFIANZA&f=false



http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.cas.lancs.ac.uk/glossary_v1.1/main.html&rurl=translate.google.com.mx&twu=1&usg=ALkJrhgxWUI1FHIj2Cr10Td3TF2B6ULDUw



http://www.wiziq.com/tutorial/11026-Intervalos-de-Confianza




intervalo de confianza 4

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