instituto superior de engenharia de...

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

ÁLGEBRA

LINEAR E

GEOMETRIA

ANALÍTICA

Espaços afins

Geometria analítica do 1º grau

Geometria analítica do 2º grau

Volume 3

ISEL - DEETC Por Engº Carlos M. Ribeiro

Versão 3.7 Licenciado em Engenharia Electrotécnica pelo IST, Março de 2009

Álgebra Linear e Geometria Analítica, Volume 3© 2009 por Engº Carlos M. RibeiroLicenciado em Engenharia Electrotécnica pelo ISTE-mail: [email protected]: http://www.deetc.isel.ipl.pt/paginaspessoais/carlosribeiroVersão 3.7, Março de 2009

————— Conteúdo —————

Conteúdo, iii

Lista de figuras, v

Lista de tabelas, vii

Simbologia, viii

Capítulo 7 Espaços afins

7.1 Introdução, 3

7.2 Espaço afim. Subespaço afim, 4

7.3 Referencial afim. Mudança de referencial, 12

7.4 Paralelismo, 21

Capítulo 8 Geometria analítica do 1º grau

8.1 Generalidades: representação de linhas e superfícies, 27

8.2 Estudo do plano, 38

8.2.1 Plano definido por um ponto e duas direcções, 38

8.2.2 Plano definido por três pontos, 41

8.2.3 Plano passando por um ponto e perpendicular a uma direcção, 43

8.2.4 Equação normal e equação axial do plano, 45

8.3 Estudo da recta, 49

8.3.1 Recta definida por um ponto e uma direcção, 49

8.3.2 Recta definida por dois pontos, 52

8.4 Problemas não métricos, 60

8.4.1 Posição relativa de três planos, 60

8.4.2 Posição relativa de uma recta e um plano, 62

8.4.3 Posição relativa de quatro planos, 64

8.4.4 Posição relativa de duas rectas, 66

iv Conteúdo

8.4.5 Família de planos passando por um ponto, 68

8.4.6 Família de planos passando por uma recta, 69

8.5 Problemas métricos, 71

Capítulo 9 Geometria analítica do 2º grau

9.1 Introdução, 75

9.2 Quádricas, 75

————— Lista de figuras —————

Capítulo 7

Fig. 7.1 À esquerda: subtração de pontos e soma de ponto com vector, 7

Fig. 7.1 À direita: relação de Chasles, 7

Fig. 7.2 Variedade linear unidimensional ou de , 9recta R$

Fig. 7.3 Variedade linear bidimensional ou de , 9plano R$

Fig. 7.4 Coordenadas de um ponto de um espaço afim num referencial, 12

Fig. 7.5 Referenciais ortonormados em : directo (à esquerda), 16R#

Fig. 7.5 Referenciais ortonormados em : inverso (à direita), 16R#

Fig. 7.6 Referenciais não ortonormados em : directo (à esquerda), 16R#

Fig. 7.6 Referenciais não ortonormados em : inverso (à direita), 16R#

Fig. 7.7 Referenciais ortonormados em : directo (à esquerda), 16R$

Fig. 7.7 Referenciais ortonormados em : inverso (à direita), 16R$

Fig. 7.8 Referenciais não ortonormados em : directo (à esquerda), 17R$

Fig. 7.8 Referenciais não ortonormados em : inverso (à direita), 17R$

Fig. 7.9 Mudança de referencial em , 18R$

Fig. 7.10 Mudança de referencial no plano, 20

Capítulo 8

Fig. 8.1 Representação paramétrica de uma linha no espaço afim , 27R$

Fig. 8.2 Elipse e ramo de hipérbole em referencial o.n.d, 28

Fig. 8.3 A epiciclóide para , 297 œ $ < œ " e

Fig. 8.4 As epiciclóides para inteiro entre e , 307 " ' < œ " e

Fig. 8.5 As epiciclóides para , e , 307 œ $Î# 7 œ &Î# 7 œ (Î# < œ "e

Fig. 8.6 A epiciclóide para , 317 œ # < œ "È ,

Fig. 8.7 As hipociclóides para inteiro entre e , 317 $ ) < œ " e com

Fig. 8.8 As hipociclóides para , e , 32< œ " 7 œ &Î# 7 œ (Î# 7 œ *Î# e

vi Lista de figuras

Fig. 8.9 A hipociclóide para , 327 œ "" < œ "È ,

Fig. 8.10 Representação paramétrica de uma superfície, 33

Fig. 8.11 Parabolóide hiperbólico, como superfície regrada, 35

Fig. 8.12 Superfície cilíndrica, 36

Fig. 8.13 Superfície cónica, 37

Fig. 8.14 O toro como superfície de revolução, 38

Fig. 8.15 Plano definido por um ponto e dois vectores , 381 U ?t @t e

Fig. 8.16 Plano definido por três pontos , e não colineares, 41T T T! " #

Fig. 8.17 Plano passando por um ponto e ortogonal a um vector, 43

Fig. 8.18 Relação entre o vector e os ângulos que faz com os , 458t Á 9t /t3

Fig. 8.19 Distância da origem a um plano, 46

Fig. 8.20 A equação axial de um plano, 48

Fig. 8.21 Representação da recta pelas , 51equações reduzidas

Fig. 8.22 Recta passando por um ponto e perpendicular a um plano, 57

Fig. 8.23 Posição relativa de três planos, 60

Fig. 8.24 Posição relativa de uma recta e um plano, 62

Fig. 8.25 Posição relativa dos quatro planos do exemplo 8.0, 65

Fig. 8.26 As rectas e obtidas no , 68< = MATHEMATICA©

Capítulo 9

Fig. 9.0 Relação entre as soluções dos sistemas e , 0E\ œ F E\ œ S

Fig. 9.0 Caso de um sistema , 0simplesmente indeterminado

————— Lista de tabelas —————

Capítulo 8

Tab. 8.1 Posição relativa de três planos, 61

Tab. 8.2 Posição relativa de uma recta e um plano, 62

Tab. 8.3 Posição relativa de uma recta e um plano, 63

Tab. 8.4 Posição relativa de quatro planos, 65

Tab. 8.5 Posição relativa de duas rectas, 66

Tab. 8.6 Posição relativa de duas rectas, 67

Tab. 8.7 Posição relativa de duas rectas: outra abordagem, 67

————— Simbologia —————

Lógicac: :................................................. negação (not) da proposição : ” ; : ;..............................................disjunção (or) das proposições e : ” ; : ;† ..............................................disjunção exclusiva (xor) das proposições e : • ; : ;..............................................conjunção (and) das proposições e : Ê ; : ;............................................ implica : ´ ;ß : Í ; : ;................................. equivalência das proposições e sse................................................. se e só se a....................................................quantificador universal (qualquer que seja...) b....................................................quantificador existencial (existe pelo menos um...) b".................................................. quantificador existencial exclusivo (existe um e um só...) q.e.d...............................................quod erat demonstrandum

Conjuntose f+ß ,ß -ßá +ß ,ß -ßá................................... conjunto formado por e f a ba bB − \À B \ Bp ............................... conjunto dos elementos de com a propriedade p gß ef...............................................conjunto vazio Pa b\ \.............................................conjunto das partes (subconjuntos) do conjunto

E ßE Ec ............................................. complementar do conjunto E Ï F E F............................................ diferença entre os conjuntos e E F E F............................................reunião dos conjuntos e E F E F............................................intersecção dos conjuntos e a b+ß , + ,..............................................par ordenado formado pelos objectos e E ‚F E F........................................... produto cartesiano dos conjuntos e a b a bB ß B ßá ßB ß B 8 \" # 8 5 "Ÿ5Ÿ8............ lista de comprimento de elementos de um conjunto gß ab................................................lista vazia pr .............................................. ª projecção ou componente da lista 5 B 5 B\ 8 \8.................................................conjunto das sequências de elementos de a bB \ M5 5−M .......................................... família de elementos de um conjunto indexada por pr ...............................................projecção ou componente de índice da família ( ) 3 3B 3 B B\ \ MM ................................................. conjunto das famílias de elementos de indexadas por \Î< \............................................... conjunto quociente do conjunto pela relação de

equivalência <-3−M

3E .............................................. reunião duma família de conjuntos

+3−P

3E ............................................. intersecção duma família de conjuntos

Simbologia ix

Relações bináriasœ ................................................. igual Á .................................................diferente − ................................................. pertence a, é elemento de Â ................................................. não pertence a, não é elemento de § .................................................está contido em, é uma parte de ¨ .................................................contém, é sobreconjunto de §Î .................................................não está contido em, não é parte de

Funções0 B 0 Ba b...............................................valor da função no ponto ] \ ]\ .................................................conjunto das funções de em

0À\ Ä ] ß\ Ä ] 0 \ ]0

........................ é função de em

B È Cß B È 0 B ß B È C B 0 C 0 Ba b a b0............... é aplicado por em ou

I\ ................................................. relação (função) identidade no conjunto \

0 E E 0a b.............................................. imagem directa do conjunto por 0 E E 0"a b.......................................... pré-imagem do conjunto por 0 C C C 0"a b e f........................................... pré-imagem do conjunto singular ou traço de por 0 0"................................................ função inversa da função injectiva 1 ‰ 0 1 0 1 0.............................................. composta das funções e ( após ) limBÄ+

0 B 0 +a b......................................... limite da função no ponto

0 + ß 0 + ß 0 + 5 0 +w ww 5a b a b a ba b ...................... derivada de 1ª ordem, 2ª ordem, ordem de em 0 ß 0 ß 0 5 0w ww 5a b..................................... função derivada de 1ª ordem, 2ª ordem, ordem de ln logBß B B ! B ++ .......................................logaritmo neperiano de , logaritmo de na base / ß B /B exp .........................................função exponencial de base + + !B.................................................. função exponencial de base sin cosß ........................................... funções seno e coseno arcsin arccosß ..................................funções arcseno e arccoseno ' a b+,0 B B 0 + ,d ...................................... integral definido da função entre os pontos e ' a bM0 B B 0 Md ...................................... integral definido da função estendido ao intervalo

EstruturasB C B C............................................. soma dos elementos e de um grupóide aditivo B ‚ Cß B † Cß B C B C.............................. produto dos elementos e de um grupóide multiplicativo !.................................................... elemento neutro (zero) de um grupóide aditivo ".................................................... elemento neutro (um, unidade ou identidade) de um

grupóide multiplicativoB B.................................................oposto (simétrico) do elemento regular , num monóide

aditivoB ß "ÎB B" ........................................ oposto (inverso) do elemento regular , num monóide

multiplicativo! a b5œ"

8

5 3 "Ÿ3Ÿ8B B............................................ soma da lista de elementos de um semigrupo

comutativo aditivo

x Simbologia

# a b5œ"

8

5 3 "Ÿ3Ÿ8B B............................................. produto da lista de elementos de um semigrupo

comutativo multiplicativoE F E Fz ........................................... é isomorfo de

Números Inteiros e Racionais!..................................................conjunto dos números naturais com zero e f!ß "ß #ßá ß8ßá ™ß "ß #ßá ß8ßá.............................................conjunto dos números naturais e fc d7ß8 7 8.............................................conjunto dos inteiros entre e inclusivé c d e f"ß 8 "ß #ßá ß8 §.............................................. intervalo

™....................................................conjunto dos inteiros ™................................................. conjunto dos inteiros !™‡..................................................conjunto dos inteiros Á !™:..................................................anel dos inteiros módulo (corpo, se é primo) : :................................................... conjunto dos números racionais .................................................conjunto dos racionais !!

.................................................conjunto dos racionais !.................................................conjunto dos racionais !!

.................................................conjunto dos racionais Ÿ !‡................................................. conjunto dos racionais Á !

Combinatória8x 8...................................................factorial de T ßE 88

88 ........................................... permutações de Š ‹8: ...............................................combinações de elementos tomados a (coeficientes 8 : :

binomiais)E 8 : :8

: ................................................. arranjos de elementos tomados a

Números reais‘................................................... conjunto dos números reais ‘................................................. conjunto dos números reais !‘!

................................................. conjunto dos números reais !‘................................................. conjunto dos números reais !‘!

................................................. conjunto dos números reais Ÿ !‘‡..................................................conjunto dos números reais Á !‘................................................... recta acabada ‘†................................................... recta projectiva

1....................................................pi, razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência

/ B È B.................................................... número de Neper, base da função exponencial expa bB Ÿ Cß C B ß ß..................................relação de ordem em ou ™ ‘

B Cß C B ß ß..................................relação de ordem estrita em ou ™ ‘a b c d d ba c+ß , ß +ß , ß +ß , ß +ß , ................. intervalos limitados em ou num espaço ordenado ‘

Simbologia xi

a b da_ß , ß _ß , .......................... intervalos não limitados inferiormente em ou num espaço ‘

ordenado (secções inferiores)a b c b+ß_ ß +ß_ ..........................intervalos não limitados superiormente em ou num espaço ‘

ordenado (secções superiores)+ ¸ , + ,............................................. aproximadamente igual a k kB B..................................................módulo do real max\ \............................................máximo do conjunto min\ \.............................................mínimo do conjunto sup\ \.............................................supremo do conjunto inf\ \.............................................. ínfimo do conjunto _ß_.......................................menos infinito, mais infinito em ‘

Números complexos‚................................................... conjunto dos números complexos ‚‡..................................................conjunto dos números complexos Á !3‘.................................................. conjunto dos imaginários puros B 3C............................................ forma algébrica de um complexo <cis ........................................... forma trigonométrica de um complexo a b)</3)................................................ forma exponencial de um complexo D D.................................................... conjugado do complexo E F E F........................................... soma dos subconjuntos e de ‚

DE D E §................................................. produto do complexo pelo subconjunto ‚

d D ße D D Da b a b.....................................parte real do complexo , parte imaginária do complexo k kD D..................................................módulo ou valor absoluto do complexo arga bD D............................................ argumento principal do complexo Arg ........................................... conjunto de todos os argumentos do complexo a bD D/ ß DD expa b.......................................função exponencial complexa exp"a bD D Á !........................................ conjunto de todos os logaritmos do complexo lna bD D Á !.............................................. valor principal do logaritmo do complexo

Quaterniões‡................................................... conjunto dos quaterniões de Hamilton ‡‡................................................. conjunto dos quaterniões não nulos ‡"................................................. conjunto dos quaterniões unitários ‡$................................................. conjunto dos quaterniões puros ‡.................................................... multiplicação de quaterniões

Espaços vectoriais!Bt................................................. produto de escalar por vector Bt Ct............................................. soma de vectores Bt Ct................................................. produto de vectores (numa álgebra linear) Btß !ß ?tt ............................................ vector, vector nulo, vector unidade (numa álgebra linear com

unidade)! a b3œ"

8

3 3 3 "Ÿ3Ÿ8! Bt Bt.......................................... combinação linear dos vectores da sequência

xii Simbologia

!3−g

3 3! Bt œ 9t................................... combinação linear vazia

pr .............................................. ª projecção ou componente do vector 58Bt 5 Bt − Š

J £ I J I........................................... é subespaço vectorial de # a b3−M

3 3 3−MI I.............................................. produto cartesiano dos espaços vectoriais da família

de espaços vectoriais sobre um mesmo corpo Š#3œ"

8

3 " # 8I I ‚I ‚â‚I ou ........ produto cartesiano dos espaços vectoriais da sequência

a bI3 "Ÿ3Ÿ8 de espaços sobre um mesmo corpo Š9 a b3−M

3 3 3−MI I..............................................soma directa externa da família de espaços vectoriais

sobre um mesmo corpo Š9 a b3−M

3 3 3−MI I..............................................soma directa da família de subespaços

! a b3−M

3 3 3−MI I.............................................. soma da família de subespaços

E F E F........................................... soma dos subespaços e E ŠF E F........................................... soma directa dos subespaços e I Bt Ia bM

3 3−M............................................... conjunto das famílias de vectores de indexadas por a bM Bt œ !t e tais que no complementar de uma parte finita de3

M.IÎJ I J.............................................. espaço vectorial quociente de pelo subespaço W ßW ß W S" # $...................................... espaços de segmentos orientados com origem num ponto

EF GH EF GHÒ ÒÒ Ò

µ ...................................equipolência entre os segmentos orientados e

W ßW ß W~ ~ ~ ...................................... conjunto dos segmentos aplicados em qualquer ponto " # $

W ßW ß Ws s s" # $...................................... espaços vectoriais dos vectores livres

¶ ‘a bß ......................................... espaço das sucessões reais convergentes ¶ ‘!a bß !........................................espaço das sucessões reais convergentes para 6#‘

...................................................espaço de Hilbert de sucessões reais Ba bMß M‘ ..........................................espaço das funções reais limitadas no conjunto

Da bMß M‘ ..........................................espaço das funções reais diferenciáveis em

Ca bMß M‘ ..........................................espaço das funções reais contínuas no conjunto

C5 5a bMß M‘ ........................................ espaço das funções reais de classe C no conjunto

C_ _a bMß M‘ ....................................... espaço das funções reais de classe C no conjunto

¶ ‚a bß ......................................... espaço das sucessões complexas convergentes ¶ ‚!a bß !........................................espaço das sucessões complexas convergentes para 6#‚

...................................................espaço de Hilbert de sucessões complexas Ba bMß M‚ ..........................................espaço das funções complexas limitadas no conjunto

Da bMß M‚ ..........................................espaço das funções complexas diferenciáveis em

Ca bMß M‚ ..........................................espaço das funções complexas contínuas no conjunto

C5 5a bMß M‚ ........................................ espaço das funções complexas de classe C no conjunto

C_ _a bMß M‚ ....................................... espaço das funções complexas de classe C no conjunto

P8a bŠ ........................................... espaço dos polinómios de grau e de coeficientes no Ÿ 8

corpo ŠPa bŠ Š............................................. álgebra dos polinómios de coeficientes no corpo

Simbologia xiii

P B ßP Bt B œ BtŠ Ša b a b a b3 3"Ÿ3Ÿ7 "Ÿ3Ÿ7......................subespaço gerado pela lista de vectores de um espaço vectorial sobre o corpo I Š

P Bt ß Bt ßá ßBt Bt ß Bt ßá ßBtŠa b a b" # 7 " # 7........................ subespaço gerado pela lista de vectores de um espaço vectorial sobre o corpo I Š

Bt ß Bt ßá ßBt Bt ß Bt ßá ßBt" # 7 " # 7......................subespaço gerado pela lista de vectores de a bum espaço vectorial I

dim dimŠ Iß I I................................dimensão do espaço vectorial sobre o corpo Š

I J I Jz ........................................... é isomorfo de

Matrizesc d+ 7‚ 8 + \34 34"Ÿ3Ÿ7"Ÿ4Ÿ8

.........................................matriz de tipo de elementos de um conjunto

c d+ 8 +34 34"Ÿ3ß4Ÿ8......................................matriz quadrada de ordem de elementos de um

conjunto \Š7ß8.............................................. espaço vectorial das matrizes do tipo de elementos 7‚ 8

no corpo ŠŠ8ß8...............................................álgebra das matrizes quadradas de ordem de elementos no 8

corpo ŠS 7‚ 87ß8.............................................. matriz nula do tipo S 88................................................. matriz nula de ordem M 88...................................................matriz identidade de ordem E „F E F........................................... soma (diferença) das matrizes e ! !E E.................................................produto do escalar pela matriz E ßE ßE ET > w......................................matriz transposta de E E................................................... matriz conjugada de E E‡................................................. matriz transconjugada de EF E F................................................ produto das matrizes e c .............................................. característica da matriz a bE Etr ..............................................traço da matriz quadrada a bE Ediag ....................... matriz diagonal de elementos diagonais a b- - - - - -" # 8 " # 8ß ßá ß ß ßá ßX / ///

ww ................................................ matriz de mudança da base para a base

E 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4 E 3 ßá ß 3c d" : " ; " :................... Submatriz de , obtida seleccionando as linhas e as colunas de 4 ßá ß 4 E" ;

E 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4 E 3 ßá ß 3c de f e f" : " ; " :........... Submatriz de , obtida seleccionando as linhas e as colunas de 4 ßá ß 4 E" ;

E Mà N Ec d...........................................Submatriz de , obtida seleccionando as linhas cujos índices pertencem aos conjuntos e M N

E 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4 E 3 ßá ß 3a b" : " ; " :.................. Submatriz de , obtida eliminando as linhas e as colunas de 4 ßá ß 4 E" ;

E 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4 E 3 ßá ß 3bc " : " ; " :...................Submatriz de , obtida seleccionando as linhas e eliminando as colunas de 4 ßá ß 4 E" ;

E 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4 E 3 ßá ß 3da " : " ; " :...................Submatriz de , obtida eliminando as linhas e seleccionando as colunas de 4 ßá ß 4 E" ;

xiv Simbologia

Funções linearesHom , .....................espaço vectorial das funções lineares de em a b a bIßJ IßJ I JL

End ..........................................álgebra dos endomorfismos de a bI IKer , Nuc ..............................núcleo da aplicação linear a b a b2 2 2Img , Im , ..................... imagem da aplicação linear definida em a b a b a b2 2 2 I 2 Ic , ..........................................característica da aplicação linear a b2 - 22

n , .........................................nulidade da aplicação linear a b2 8 22

OJI ...............................................função (linear) nula do espaço no espaço I J

OI .................................................endomorfismo nulo no espaço I

deta b2 2............................................ determinante do endomorfismo Q 2 2 0 /0 /a b.......................................... representação matricial da função linear nas bases e Q 2 2 //a b............................................representação matricial do endomorfismo na base

Funções multilineares e determinantesÆ8................................................. grupo simétrico de ordem 8

I8.................................................. permutação identidade de ordem 8

5 7ß ................................................ permutação, transposição 5 5"................................................ permutação inversa de & 5 5a b............................................... sinal ou paridade da permutação . deta bc dE 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4 : E" : " : ........... menor de ordem da matriz deta ba bE 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4" : " : .......... menor complementar do anterior cof ... cofactor do menor a b a ba b c dc ddet detE 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4 E 3 ßá ß 3 à 4 ßá ß 4" : " : " : " :

cof cof ............................... cofactor de a b+ ß + +34 34 34

E Es................................................... matriz complementar de (matriz dos cofactores dos elementos de )E

adj ...............................................matriz adjunta de (transposta da anterior) E Edet/ " # 8 " # 8a b a bBt ß Bt ßá ßBt Bt ß Bt ßá ßBt /.......................determinante dos vectores na base deta b? ?............................................ determinante do endomorfismo deta b k kE ß E E.....................................determinante da matriz Fa bI ßJ I J: :.......................................espaço de todas as funções de em

M:a bIßJ : I J......................................espaço das funções -lineares sobre com valores em

A:a bIßJ : I.......................................espaço das funções -lineares alternadas sobre com

valores em JS:a bIßJ : I....................................... espaço das funções -lineares simétricas sobre com

valores em JOJI

:: ..............................................função -linear nula de em : I J

OŠI:

: ..............................................forma -linear nula de em : I Š

Simbologia xv

Valores e vectores próprios71a b- -............................................multiplicidade geométrica do valor próprio 7+a b- -............................................multiplicidade algébrica do valor próprio I 2 2-a b............................................ Subespaço próprio do endomorfismo associado ao valor

próprio -Ea b2 2.............................................. espectro do endomorfismo

: : 22 Ea b a b- - (resp. )....................... polinómio característico do endomorfismo (resp. da matriz E)

Espaços euclidianosBt † Ctß ØBtß CtÙß BtlCt Bt Ct..............................produto interno dos vectores e l lBt Bt................................................ norma euclidiana ou hermitiana do vector vers ..............................................versor do vector não nulo Bt Bt

proj ...........................................projecção ortogonal de sobre Ct Bt Bt Ct Á !t

Bt ¼ Ct.............................................ortogonalidade entre vectores de um espaço com produto interno

E E¼.................................................complemento ortogonal de o.n................................................. (base) ortonormada

o.n.d.............................................. (base) ortonormada directa

K B ßK Bt ß Bt ßá ßBt B œ Bt ß Bt ßá ßBta b a b a b" # 7 " # 7................ determinante de Gram da lista K BB................................................. matriz de Gram da lista Ba bI .............................................conjunto das bases de um espaço vectorial

Oa bI ............................................. conjunto das orientações de um espaço vectorial real

sgn.................................................sinal de uma base, num espaço euclidiano orientado ÔBt ß Bt ßá ßBt Õ Bt ß Bt ßá ßBt" # 8 " # 8..............................produto misto dos vectores Bt ‚ Bt ‚á ‚ Bt Bt ß Bt ßá ßBt" # 8" " # 8".................... produto externo dos vectores Bt ‚ Bt Bt Bt" # " #..........................................produto externo dos vectores e num espaço euclidiano

orientado de dimensão $Ba bIßJ à I ‚ JŠ ................................... espaço das formas bilineares sobre

Ba bIà IŠ ........................................ espaço das formas bilineares sobre

Aa bIà IŠ ........................................ espaço das formas bilineares autoadjuntas sobre

Qa bIà IŠ ........................................espaço das formas quadráticas sobre Sa bIßJ à I ‚ J‚ .................................... espaço das formas sesquilineares sobre

Sa bIà I‚ .........................................espaço das formas sesquilineares sobre

A‚a bIß I‚ ...................................... espaço das formas sesquilineares hermitianas sobre

Q‚a bIà I‘ ......................................espaço das formas quadráticas hermitianas sobre E E.................................................matriz pseudoinversa de

Geometria analíticaE F, ...............................................Espaço afim, subespaço afim

EF F E E FÒ

, .................................. vector de origem e extremidade dimE E..............................................dimensão do espaço afim

R8................................................. espaços afins euclidianos reais orientados de dimensão 8

xvi Simbologia

a b a bSà / Sà /t ß /t ßá ß /t, ............... referencial num espaço afim " # 8

o.n................................................. abreviatura de ortonormado (para referenciais)o.n.d.............................................. abreviatura de ortonormado directo (para referenciais)T B ß B ßá ßB Ta b" # 8 ...........................ponto de um espaço afim com coordenadas a bB ß B ßá ßB" # 8 num dado referencialT ´ B ß B ßá ßB Ta b" # 8 ......................ponto de um espaço afim com coordenadas a bB ß B ßá ßB" # 8 num dado referencial@t @ ß @ ßá ß @ @ ß @ ßá ß @a b a b" # 8 " # 8............................. vector de coordenadas numa dada base ØEà J Ù E........................................... Subespaço afim gerado pelo ponto e pelo subespaço

vectorial J

7Espaços Afins

Sec. 7.1] Introdução 3

7.1 Introdução

É usual considerar-se que a geometria analítica foi criada por . Esta visão é,Descartesa b1

contudo, demasiado redutora. Se a expressão “geometria analítica” for entendida no sentidomoderno, a de Descartes estava ainda longe desta; por outro lado, vários dos elementoscaracterísticos da geometria analítica foram formulados antes de Descartes.

A geometria analítica consiste na associação de três factores: a tradução de uma realidadegeométrica mediante a relação entre quantidades variáveis, o uso de algum sistema decoordenadas e, por último, o princípio da representação gráfica. Cada um destes factores podeser identificado antes de Descartes, mas sem uma ligação mútua entre si.

Desde a antiguidade que a observação astronómica tinha conduzido a referenciar as direcçõesna abóbada celeste por duas coordenadas angulares: a altura acima do horizonte e o afastamentoangular em relação ao meridiano. Todavia, estas práticas pouco tinham a ver com a ciênciageométrica. Pelo contrário, os antigos gregos fizeram intervir uma forma de cálculo sobre duasvariáveis para caracterizar certas realidades geométricas e estudar as suas propriedades:Arquimedes Apolónioa b a b2 3 e, sobretudo, estudaram as cónicas através de um tal cálculo eescreveram explicitamente as respectivas equações em coordenadas oblíquas com origem numponto da cónica e tendo por direcções o diâmetro correspondente a esse ponto e o seu diâmetroconjugado:

ÚÛÜ

C œ #:B B

C œ #:B B

C œ #:B

# #:+

# #:+

#

(hipérbole)(elipse)(parábola)

Numa perspectiva diferente, , no século XIV, imagina uma representaçãoNicole d'Oresmea b4

gráfica de certos fenómenos. Ele concebe uma e uma que correspondem àlatitudo longitudo

abcissa e à ordenada de uma representação em coordenadas rectangulares actual. Estaabordagem é inversa da dos antigos gregos, porque Oresme não parte de uma realidadegeométrica, mas antes exprime sob a forma geométrica uma relação analítica entre grandezas. Aconcepção de uma tal correspondência deve incluir-se no quadro das ideias que estão na base dageometria analítica.

O cálculo geométrico exposto por Descartes na sua obra (1637) não difere, naLa géométrie

essência, do cálculo de Apolónio. Ele incide sobre duas variáveis que podemos, sem dúvida,considerar como coordenadas; todavia, não é feita menção explícita a um sistema de eixos (duasrectas orientadas, distintas da figura geométrica em estudo). Nalgumas passagens da sua obra,

1 : filósofo francês (La Haye 1596 – Estocolmo 1650) cuja obra é, em geral,Descartes, René La géométrie

considerada o fundamento da geometria analítica cartesiana.

2 : matemático grego (Siracusa 287 ac – Siracusa 212 ac) que pode ser considerado umArquimedes de Siracusa

dos maiores de sempre. Fez importantes contribuições em geometria, estática e hidrostática. Determinou a

área e o volume da esfera e o comprimento de um arco de parábola. Pode ter ou não gritado “Eureka”, mas foi,

com razoável certeza, assassinado por um soldado romano aquando da conquista de Siracusa como parte da

segunda guerra púnica, facto que marcou o fim de uma era no desenvolvimento da Matemática.

3 : matemático grego (Perga 262? ac – Alexandria 190? ac), cujo trabalho mais famoso Apolónio de Perga As

cónicas foi, até aos nossos dias, o trabalho definitivo sobre as secções cónicas: hipérbole, elipse e parábola

(termos por ele introduzidos).

4 : matemático francês (Allemagne 1323 – Lisieux 1382) que criou a geometria ded'Oresme, Nicole

coordenadas muito antes de Descartes. Foi o primeiro a usar expoentes racionais e trabalhou também com

séries.

4 Espaços Afins [Cap. 7

Descartes precisa que escolhe como origem um ponto de uma recta distinta da figura em estudomas não faz intervir um segundo eixo de coordenadas, limitando-se a escolher uma direcçãosegundo a qual são medidos os valores da 2ª variável. O verdadeiro progresso realizado porDescartes foi o de, em vez de limitar o cálculo ao estudo de curvas particulares (como o faziamos gregos) conceber o sistema de variáveis como utilizável no estudo de uma infinidade de novascurvas. Infelizmente, ele limitou o campo da sua geometria ao recusar a inclusão de “curvasdescritas por dois movimentos que não tenham entre si uma relação que possamos medirexactamente”. Esta expressão significa, em linguagem actual, que Descartes apenas reconhece ascurvas algébricas curvas transcendentes, excluindo as , cujo estudo começava a desenvolver-se(logaritmo, seno e cosseno, etc.).

O novo método suscitou, na segunda metade do séc. XVII, um grande número de trabalhosdizendo respeito sobretudo às curvas planas algébricas (tangente, normal, centro de curvatura,ponto de inflexão, etc.).

A geometria analítica só adquiriu em pleno os traços que hoje a caracterizam no séc. XVIII.Em primeiro lugar, limitada inicialmente ao plano, a geometria analítica estendeu-se ao espaçotridimensional. Em 1700, foi escrita a equação da esfera. A contribuição de Leonhard Eulera b5

foi particularmente notável: na sua obra (1748), pela primeiraIntroductio in analysis infinitorum

vez, é enunciado o princípio da igualdade da importância dos dois eixos, sendo que até então oeixo das abcissas mantinha um papel privilegiado; além disso, Euler formulou muito claramente aideia da mudança de coordenadas e determinou a equação das superfícies algébricas de 2ª ordem(quádricas). Igualmente importantes foram também os trabalhos de que estabeleceu,Lagrangea b6

na década de 1770, as equações do plano e da recta e inaugurou a utilização sistemática de trêseixos de coordenadas.

O séc. XIX trouxe poucos avanços na geometria analítica propriamente dita. O carácterarbitrário da escolha dos eixos de coordenadas conduziria, contudo, ao estabelecimento deinvariantes nas mudanças de coordenadas (por exemplo, o grupo das afinidades de quetrataremos mais adiante) que, por si só, podem exprimir propriedades intrínsecas das figuras.Este estudo foi um dos principais factores que conduziram, no decurso do séc. XIX, às noçõesde vector e de tensor, cuja utilização iria revelar-se tão fecunda não só em Matemática, mastambém em várias aplicações (mecânica dos fluidos, teoria da relatividade, etc.).

7.2 Espaço afim. Subespaço afim

Em geometria, lidamos com vectores e também com (na recta, no plano ou nopontos

espaço). Os últimos são elementos de uma estrutura que, até aqui, ainda não considerámos: aestrutura de ; segue-se a definição formal:espaço afim

Definição 7.1 – Espaço afim – Seja um espaço vectorial sobre um corpo e umI Š E

conjunto cujos elementos designaremos por . Diz-se que é um pontos espaço afim E sobre o

corpo Š associado ao espaço vectorial se e só se existir uma função que associaI À Ä I: E#

a cada par ordenado de pontos de um vector de ( de ema bEßF I FE vector de posição

5 : matemático suíço (Bâle 1707 – São Petersburgo 1783).Euler, Leonhard

6 : matemático italiano (Turin 1736 – Paris 1813).Lagrange, Joseph-Louis

Sec. 7.2] Espaço afim. Subespaço afim 5

relação a , vector de e ou ainda entre e )E E F F Eorigem extremidade diferença

designado por ou por e satisfazendo as seguintes condições:EF F EÒ

[EA1] 7.1a EG œ EF FGEßFßG−E

Ò Ò Ò (relação de Chasles)a b7 8a b a b

[EA2] Para cada ponto , a “aplicação parcial” é umaS − À Ä Ià T È STE E:Ò

S

bijecção de sobre .E I

A dimensão de diz-se também a dimensão de ( ), isto é, pomosI E Edim

dim dimE œ I a b7.2

e dizemos que o espaço afim é ou , em conformidade com o espaço vectorial ;E real complexo I

diremos ainda que é (respectivamente, ) sse o for; se for um espaçoE euclidiano unitário I I

vectorial real de dimensão finita orientado, dizemos também que o espaço afim é .E orientado

Da definição anterior resultam algumas consequências imediatas que enumeramos naproposição seguinte:

Proposição 7.1 Consideremos um espaço afim associado a um espaço vectorial sobreE I

um corpo . São, então, verdadeiras as seguintes proposições:Š

i) a EE œ 9tE−E

Ò

ii Ñ a EF œ FEEßF−E

Ò Ò

iii Ñ a b ST œ ?tS−?t−I

E

"

T−E

Ò

iv Ñ a EF œ EG Ê F œ GEßFßG−E

Ò Ò

v Ñ a b TS œ ?tS−?t−I

E

"

T−E

Ò

vi Ñ a EG œ FG Ê E œ FEßFßG−E

Ò Ò

Demonstração:

i) Basta fazer na relação de Chasles e somar a ambos os membros.E œ F œ G EEÒ

iiÑ Basta considerar na relação de Chasles e atender ao resultado da alínea anterior,E œ G

para obter , o que equivale ao resultado anunciado.EF FE œ 9Ò Ò

t

7 : matemático francês (Epernon 1793 – Paris 1880).Chasles, Michel

8 Se usarmos notação subtractiva, a relação de Chasles toma a forma “natural” .G E œ F E G Fa b a b


iiiÑ Equivale à condição [EA2]: se o ponto referido não existisse, a aplicação não seriaT :S

sobre e, se não fosse único, não seria injectiva.I T :S

ivÑ Exprime simplesmente a injectividade de assegurada por [EA2], isto é,:E

: :E Ea b a bF œ G Ê F œ G

v iii)Ñ Por e isto equivale a , existe um e um só ponto tal que T − E ST œ ?t TS œ ?tÒ Ò

e, finalmente, a .TS œ ?tÒ

vi ii) iv)Ñ É consequência das alíneas e :

EG œ FG Ê EG œ FG Ê GE œ GF Ê E œ FÒ Ò ÒÒ Ò Ò

As propriedades e mostram, afinal, que também a “aplicação parcial” v) vi) <SÀ Ä IàE

T È TS IÒ

é uma bijecção de sobre .E �

A alínea da proposição anterior permite-nos definir a :iii) soma de ponto com vector

Definição 7.2 – Adição de ponto com vector – Seja um espaço afim associado a umE

certo espaço vectorial sobre um corpo . Como vimos na proposição 7.1.iii, para cada parI Ša bUß?t − ‚ I T − UT œ ?t TE E, existe sempre um e um só ponto tal que . Esse ponto únicoÒ

é chamado a do ponto com o vector e designado por ; portanto,soma U ?t U ?t

T œ U ?t Í UT œ ?t T œ U ?t Í T U œ ?tÒ

, ou ainda, a b7.3

Deste modo, a adição anteriormente definida é uma aplicação dea bUß?t È T œ U ?t

E E‚I em .

Facilmente se mostra (demonstre, a título de exercício!) que a adição quea bUß?t È U ?tacabámos de definir satisfaz as seguintes propriedades:

i) Para qualquer ponto , temosU − E

U 9t œ U a b7.4

ii) Para qualquer ponto e quaisquer vectores , tem-seU − ?tß @t − IE

a b a b a bU ?t @t œ U ?t @t 7.5

iii) Para cada ponto , a aplicação é uma bijecção de sobre ,U − ?t È U ?t IE E

inversa da bijecção referida em .:U [EA2]

iv) Para cada vector , a aplicação (chamada de?t − I À Ä àT È T ?t7?t E E translação

E E E determinada por ) é uma bijecção de sobre .?t


Se for um espaço afim euclidiano ou unitário, definimos a entre dois pontos eE distância T

U de porE

. T ßU œ TU œ U T œ TU † TUa b ½ ½ l l a bÉÒ Ò Ò7.6

Facilmente se reconhece que a função definida por 7.6 é uma sobre , no sentido. métrica E

da definição 6.12, o que faz de qualquer espaço afim euclidiano ou unitário um E espaço

métrico. Temos, portanto, para quaisquer pontos e qualquer vector :SßT ßU − ?t − IE

i) (sendo sse ). T ßU ! . T ßU œ ! T œ Ua b a bii (simetria)Ñ . T ßU œ . UßTa b a biii (desigualdade triangular)Ñ . SßU Ÿ . SßT . T ßUa b a b a biv (invariância por translação)Ñ . T ?tßU ?t œ . T ßUa b a bv Ñ . T ß T ?t œ ?ta b l l

Exemplo 7.1 Se é um espaço vectorial sobre um corpo , é também um espaço afimI IŠ

associado a , bastando para tal considerar a subtracção vectorial ; .I ÀI Ä I ?tß @t È @t ?t: # a bPara quaisquer vectores , a relação de Chasles é óbvia:?tß @tßAt − I

: : :a b a b a b a b a b?tßAt œ At ?t œ @t ?t At @t œ ?tß @t @tßAt

e é também evidente que, para cada , a aplicação é uma bijecção de ?t − I À @t È @t ?t I:?t

sobre si mesmo (não linear, se ). Em particular, para , será .?t Á 9t ?t œ 9t œ:9 It I

Exemplo 7.2 Consideremos o conjunto dos pontos do espaço tridimensional ordinário, que

designaremos por , e o espaço vectorial real (euclidiano e orientado) dos vectores livresR$ $Ws

(ver exemplo 1.10). A função , que a um par de pontos de associa o vector livre: a bEßF R$

representado pelo segmento orientado com origem no ponto e extremidade no ponto ,EF E FÒ

está nas condições da definição 7.1, como se verifica observando a figura seguinte

= +→

=→_

Fig. 7.1 – À esquerda: subtração de pontos e soma de ponto com vector.

À direita: relação de Chasles.

Deste modo, é um associado aoR$ espaço afim real euclidiano e orientado de dimensão $

espaço dos vectores livres.Ws$


Da mesma forma, o conjunto dos pontos de um plano e o conjunto dos pontos de umaR R# "

recta são espaços afins euclidianos e orientados, de dimensões e respectivamente,# "

associados ao espaço linear dos vectores livres do plano e ao espaço dos vectores livresW Ws s# "

da recta mencionados no exemplo 1.10. Mais geralmente, designaremos por os espaços afinsR8

reais euclidianos e orientados de dimensão .8

Vamos agora definir a noção de subespaço afim ou variedade linear:

Definição 7.3 – Subespaço afim – Seja um espaço afim associado a um espaço linear E I

sobre um corpo e um subconjunto não vazio de . Diremos que é um Š F E E F§ subespaço

afim variedade linear ou uma de sse existe um subespaço vectorial tal que:E J § I

[SA1] a E − F − EF −EßF

ˆ F F• ÊÒ

J ‰[SA2] a E − ?t − J ?t −

Eß?ta bF F• Ê E

As condições anteriores equivalem a dizer que , munido da restrição a da função F F# :

referida por [EA1], é um espaço afim associado ao espaço vectorial . A dimensão doJ

subespaço diz-se também a dimensão de ( ), isto é, pomosJ F Fdim

dim dimF œ J a b7.7

As variedades lineares de dimensão são chamadas de e as de dimensão são os" #rectas E

planos de . Se tem dimensão finita , os subespaços afins de dimensão são osE E 8 ! 8 "

hiperplanos de ; quando , os hiperplanos têm dimensão e coincidem com os .E 8 œ $ # planos

Exemplo 7.3 Se é um espaço afim associado a um espaço vectorial , qualquerE I

subconjunto singular de é um subespaço afim associado ao subespaço vectorialF Eœ Ee fJ œ 9t 9t − J E 9t œ E œ !e f, visto que e que . Temos, claro está, .EE œ

ÒdimF

Exemplo 7.4 O presente exemplo está enunciado com respeito ao espaço afim , mas éR$

válido para : seja um ponto fixo de e um vector do espaçomutatis mutandis R R# $U ?t Á 9t

vectorial associado. O conjunto Ws$

R definido por

R Rœ TÀT œ U >?tà > − §e f‘ $

é uma variedade linear de dimensão (uma de ), sendo o subespaço de " J œ P ?t Wsrecta R$ $a breferido na definição 7.3: de facto, se e são dois pontos arbitráriosT œ U >?t T œ U > ?tw w

em , entãoR

T T œ U >?t U > ?t œ > > ?t − J œ P ?tw w wÒ a b a b a b a b.

Por outro lado, se e , então é e vem para E − @t − P ?t E œ U >?t E @tR a bT œ E @t œ U >?t @t œ U >?t > ?t œ U > > ?ta b a b a bw w


Como , será > > − T œ E @t −w ‘ R.

→

Fig. 7.2 – Variedade linear unidimensional ou de .recta R$

Exemplo 7.5 Seja um ponto fixo em e e vectores linearmente independentes noU ?t @tR$

espaço vectorial associado dos segmentos orientados livres. O conjunto dos pontos daW Ts$P

forma

P œ TÀT œ U >?t =@tà >ß = −e f‘é uma variedade linear de dimensão (um de ). Neste caso, é .# J œ P ?tß @tplano R$ a b

→

→

Fig. 7.3 – Variedade linear bidimensional ou de plano R$Þ

Exemplo 7.6 Mais geralmente, se é um espaço afim associado ao espaço vectorial e éE I J

um subespaço vectorial de com dimensão , para todo o ponto , o conjuntoI 7 U − E

F œ TÀT œ U ?t • ?t − Je fé um subespaço afim de com dimensão , chamado o E 7 subespaço afim gerado definido , ou

determinado por e e que se designa por . Trata-se do único subespaço afim deU J ØUàJÙF œ

E que contém e que é associado a . U J Nos exemplos anteriores, é e J œ P ?t J œ P ?tß @ta b a brespectivamente.

ñ T ß T − T œ U ?t T œ U @t Quanto à condição [SA1], se , então será e , em quew wF

?tß @t − J . Em consequência,

TT œ TU UT œ UT UT œ @t ?t − J ?tß @t − Jw w wÒ Ò ÒÒ Ò

(porque )

ñ E − @t − J E œ U ?t ?t − J Quanto a [SA2], se e , então é , onde . Portanto, temosF

T œ E @t œ U ?t @t œ U ?t @t ?t @t − J ?tß @t − Ja b a b, onde (porque )

A definição de mostra que o ponto está em , como se pretendia.F FT


Exemplo 7.7 Seja uma matriz de tipo sobre um corpo , com característica .E − 78 <Š Š7ß8

Consideremos o espaço afim associado ao espaço vectorial e o subespaçoE œ I œŠ Š8 8

vectorial , de dimensão , formado pelas soluções do sistema de equações linearesJ § I 8 <homogéneas (espaço nulo ou núcleo de ). Vamos agora ver que, para qualquerE\ œ S E

F − § E\ œ FŠ Š7ß" 8, o conjunto das soluções do sistema , quando não vazio, é umF

subespaço afim de .E œ Š8

ñ \ß\ − E\ œ F E\ œ F Quanto à condição [SA1], se , então será e ; subtraindow wF

estas igualdades membro a membro obtemos , pelo que .E \ \ œ S \ \ œ \ \ − Ja bw w wÒ

ñ \ − Quanto a [SA2], tomemos um ponto qualquer e seja! F, para o qual será E\ œ F!

] J E] œ S um vector de , para o qual teremos . Somando membro a membro estas igualdades,obtemos

E\ E] œ F S Ê E \ ] œ F! !a bA última igualdade mostra que é um ponto de , como se procurava mostrar.\ œ \ ]! F

Neste caso, temos F F .œ \ − À\ œ \ ] • ] − J œe fŠ8! Ø\ àJ Ù! e dim œ 8 <

É ainda fácil mostrar que um subespaço afim associado a um subespaço vectorial éF J

gerado por qualquer dos seus pontos e por , isto é,U J

a œU−F

F ØUàJ Ù

A proposição seguinte diz-nos que qualquer intersecção de subespaços afins é ainda umsubespaço afim, quando não vazia:

Proposição 7.2 Seja um espaço afim associado a um espaço vectorial e umaE FI a b3 3−M

família de subespaços afins associados respectivamente aos subespaços vectoriais .J § I3

Então, a intersecção é vazia ou é ainda um subespaço afim de associado aoF F Eœ +3−M

3

subespaço vectorial .J œ J+3−M

3

Demonstração:

Suponhamos que é : se , então é F F FÁ g T ßU − T ßU − − M3, para todo o , pelo que3

TU − J 3 TU − JÒ Ò

3 (porque é um subespaço afim) e, dada a arbitrariedade de , .F3

Por outro lado, se e , então e para todo o e, como os T − ?t − J T − ?t − J 3 − MF F F3 33

são subespaços afins, é ; dado que é arbitrário, ficamos com .T ?t − 3 T ?t −F F3 �

A inclusão entre subespaços afins satisfaz as propriedades constantes da próxima proposição:

Proposição 7.3 Seja um espaço afim associado a um espaço vectorial e e E F GI

subespaços afins associados respectivamente aos subespaços vectoriais e . Então:J K

i) Se , então .F G§ J § K


ii) Se e , então .J § K Á g §F G F G

Demonstração:

i) Suponhamos que e que . Escolhendo um ponto , será também .F G§ ?t − J U − U −F G

Como é um subespaço afim associado a , teremos .F F GJ T œ U ?t − −, pelo que T

Temos, portanto, e isto implica , visto que é um subespaço afimUßT − UT œ ?t − KG GÒ

associado a .K

ii) Seja e . Então e, portanto, ; porém, como é umU − T − UT − J UT − KF G FÒ Ò

G

subespaço afim associado a e , teremos .K U − UUT œ T −G GÒ

�

A proposição geral que se segue tem vários casos particulares importantes e que seapresentam depois como corolários desta:

Proposição 7.4 Se e são dois hiperplanos de um espaço afim de dimensãoH H Ew distintos

8 I associado a um espaço vectorial , então é vazio ou é um subespaço afim deH H w

dimensão .8 #

Demonstração:

Sejam dois hiperplanos num espaço afim de dimensão . Se ,H H H HÁ 8 w E w Á g

seleccionemos um ponto . Então e , onde e sãoT − œ ØT àLÙ œ ØT àL Ù L LH H H Hw w w w

subespaços vectoriais de com dimensão . Vimos na proposição 7.2 que a intersecçãoI 8 "

H H L Lw é um subespaço afim associado ao subespaço vectorial .w

Como (e também ) será .L L § L L L § L L L Ÿ L œ 8 "w w w wdim dima bVamos, por fim, mostrar que só pode ser :dima bL L œ 8 #w

ñ L L œ 8 " L L œ L L L œ L Se fosse , então seria e , dondedima bw w w w

L œ L œw e, portanto, e os hiperplanos não seriam distintos, contrariamente à hipótese.H Hw

ñ L L 8 # L L # 8 Se fosse , então era , pelo que, somandodim dima b a bw w

a parcela a ambos os membros e atendendo ao corolário 1.20.1. , vinhadim dimL L w vii

dim dim dim dim dim dima b a b î ïL L œ L L L L L L # 8 œ 8w w w w

8" 8"

Obtivemos, assim, a desigualdade , a qual é impossível, visto que o espaçodima bL L 8w

I 8 L L L L œ 8 # tem dimensão e é um subespaço deste. Portanto, é , comow wdima bse afirma no enunciado. �

A proposição anterior tem os seguintes corolários de demonstração imediata, em espaçosafins de dimensão e :# $

Corolário 7.4.1 Num espaço afim com dimensão , a intersecção de duas rectas é# distintas

vazia ou reduz-se a um ponto.

Corolário 7.4.2 Num espaço afim com dimensão , a intersecção de dois planos é$ distintos

vazia ou é uma recta.


A proposição que vamos apresentar agora tem a particularidade de ser válida em espaçosafins de qualquer dimensão:

Proposição 7.5 Num espaço afim , sE R associado a um espaço vectorial I e é uma recta

de e é um subespaço afim de , então é vazio ou reduz-se a umE F E R R Fque não contém

ponto.

Demonstração:

Sejam uma recta e um subespaço afim de e suponhamos que não está contida emR F E R

F R F R F F. Se , consideremos um ponto . Então, é e , Á g T − œ ØT àVÙ œ ØT à J ÙR

onde e são subespaços vectoriais de , com . Pela proposição 7.2, é umV J I V œ " dim R F

subespaço afim associado ao subespaço vectorial e, como , deverá serV J V J § Vdim dima b a bV J Ÿ " V J œ " V J œ V V § J. Mas se fosse , era e tal equivale a . Pelaproposição 7.3.ii, teríamos então , contrariamente à hipótese! Portanto, deverá serR F§

dima b e fV J œ ! V J œ 9t T, pelo que e fica reduzido ao ponto , como seR F œ Te fdiz no enunciado. �

Da proposição anterior resultam imediatamente os seguintes corolários, para os casos em queF é uma ou um :recta plano

Corolário 7.5.1 Em qualquer espaço afim , a intersecção de uma recta com outra rectaE

distinta é vazia ou reduz-se a um ponto (este corolário mostra que, afinal, o corolário 7.4.1vale mesmo que não seja ).dimE œ #

Corolário 7.5.2 Em qualquer espaço afim , a intersecção de uma recta com um plano queE

não a contenha é vazia ou reduz-se a um ponto.

7.3 Referencial afim. Mudança de referencial

Seja um espaço afim de dimensão associado a um espaço linear sobre um corpo eE 8 I Š

fixemos um ponto em e uma base em S / œ /t ß /t ßá ß /t IE a b" # 8 : a condição [EA2] garante-nos

que a aplicação ( ) é bijectiva.:Ò

SÀ Ä Ià T È STE vector de posição de em relação a T S

E E

Kn

O

O

OPO

O

P

1 2 n( ), ,...,

→

Fig. 7.4 – Coordenadas de um ponto de um espaço afim num referencial.

Sec. 7.3] Referencial afim. Mudança de referencial 13

Por outro lado, sabemos do capítulo 1, proposição 1.15, que ao vector ST − IÒ

corresponderão coordenadas únicas em relação à base e que aa bB ß B ßá ßB − /" # 88Š

correspondência é um isomorfismo de sobre , sendo0 Š ŠÒ

À I Ä à ST È B ßB ßá ßB I8 8" # 8a bST œ BÒ " a b

3œ"

8

3/t3 7.8

A composta é, portanto, uma bijecção de sobre0 : Š‰ À à T È B ß B ßá ßBS " # 88E EÄ a b

Š8 o que mostra que cada ponto pode ser univocamente identificado porT − E

a bB ß B ßá ßB" # 88 e este facto permite “identificar” com ; estas observações levam-nos aE Š

introduzir a noção de ou num espaço afim referencial afim sistema de referência E de dimensão

finita:

Definição 7.4 – Referencial – Seja um espaço afim de dimensão associado a um espaçoE 8

linear sobre um corpo . Chama-se ou em ao parI Š referencial afim sistema de referência E

5 œ Sà / S −a b formado por um ponto (a do referencial) e por uma E origem base

/ œ /t ß /t ßá ß /t I T −a b" # 8 do espaço vectorial associado. Nestas condições, a cada ponto E

corresponde um e um só vector , cujos elementos se dizem a bB ß B ßá ßB −" # 88Š coordenadas

de no referencial : assim, as coordenadas de no referencial são asT T œ Sà /5 5 a bcoordenadas em relação à base do vector de posição de em relação à origem do/ ST T S

Ò

referencial. Para significar que o ponto tem coordenadas no referencial ,T B ß B ßá ßBa b" # 8 5

escrevemos, por vezes, ou simplesmente ou ainda,T B ß B ßá ßB T B ß B ßá ßBa b a b" # 8 " # 85

T ´ B ß B ßá ßBa b" # 8 .

Tem-se, portanto, e usando as notações da secção 2.15,

ST œ B /t œ T/t /t â /tÒ " c d

3œ"

8

3 3 " # 8

onde é uma matriz-coluna contendo as coordenadas do ponto noT œ T −B B â Bc d" # 8T

E

referencial (observe que designamos por o ponto de e também a matriz-coluna das suas5 T E

coordenadas no referencial considerado, o que corresponde à “identificação” atrás referida de E

com ); em particular e por ser , as coordenadas da origem são .ŠÒ8 SS œ 9t S !ß !ßá ß !a b

Se for euclidiano ou unitário de dimensão , a matriz da métrica de emE 8 K œ /t † /t I/ 3 4c drelação à base diz-se também ;/ matriz da métrica de em relação ao referencial E a bSà /

diremos ainda que o referencial é5 œ Sà /a bñ Monométrico, sse os vectores de tiverem todos a mesma norma:/

a b l l l l l l a bSà /t ß /t ßá ß /t Í /t œ /t œ â œ /t" # 8 " # 8 é referencial 7.9monométrico

ñ Ortogonal, sse a base for ortogonal:/

a b ˆ ‰l l l l l l a bSà /t ß /t ßá ß /t Í /t † /t œ !à 3 Á 4

Í K œ /t ß /t ßá ß /t

" # 8 3 4

/ " # 8# # #

é referencial para

diag7.10

ortogonal


ñ Ortonormado o.n.(abreviadamente, ), sse a base for ortonormada:/

a b a bSà /t ß /t ßá ß /t Í /t † /t œ Í K œ M" # 8 3 4 34 / 8 é referencial 7.11ortonormado $

Se for real orientado de dimensão , diremos que o referencial é ouE 8 œ Sà /5 a b directo a b9

inverso a b10 conforme for directa ou inversa a base que nele intervém:/

a b a b a bSà /t ß /t ßá ß /t Í /t ß /t ßá ß /t" # 8 " # 8 é é uma base directa 7.12directo

Se considerarmos um ponto de coordenadas num referencialT − B ß B ßá ßBE a b" # 8a b k kSà /t ß /t ßá ß /t B" # 8 3, convém notar que não representa, em geral, a distância do pontoS B /t . SßS B /t œ B /t œ B /t3 3 3 3 3 3 3 3 à origem, visto que .a b l l k kl l

É óbvio que as coordenadas de um mesmo ponto num referencial dependemT − E a bSà /

tanto da origem como da base :S /

ñ S ST S Dependem de porque o vector de posição depende de .Ò

ñ / ST / Dependem de , porque as coordenadas de na base dependem desta.Ò

Mais adiante (proposição 7.6), estudaremos a forma como mudam as coordenadas de umponto , quando se muda de referencial.T − E

Dado um referencial , os conjuntosa bSà /t ß /t ßá ß /t" # 8

\ œ S >/t À > − §3 3e fŠ E

constituem ( de ) chamadas variedades lineares de dimensão rectas eixos coordenados" E , os

quais são também designados por S\3a b11 ; por vezes, referimo-nos ao referenciala bSà /t ß /t ßá ß /t S\ \ á\" # 8 " # 8

# usando a notação ; em particular, em e , é comum o usoR R$

das notações e para os referenciais e e para as coordenadas de umS\] S\]^ Bß C Bß Cß Da b a bponto, em vez de e ; além disso, , e são conhecidos por ,a b a bB ß B B ß B ß B B C D" # " # $ abcissa

ordenada cota e do ponto.

Exemplo 7.8 Vimos que é um espaço afim associado a . Um referencial de seráŠ Š Š8 8 8

formado por uma origem e por uma base qualquer de ; em particular, tomando ?t − / 9tŠ Š8 8

como origem e a base canónica

- œ -t ß -t ßá ß -t œ "ß !ßá ß ! ß !ß "ßá ß ! ßá ß !ß !ßá ß "a b a ba b a b a b" # 8

como base, obtemos o de . Em relação a este referencial, asreferencial canónico Š8

coordenadas de um ponto são exactamente , pois são estasBt œ B ß B ßá ßB B ß B ßá ßBa b a b" # 8 " # 8

as coordenadas do vector de posição na base canónica.Bt 9t œ Bt œ B -t!3œ"

8

3 3

Exemplo 7.9 No espaço afim euclidiano orientado , tomemos o referencial ‘ 5$ œ Sà /a bonde e e determinemos as coordenadas de umS œ "ß"ß # / œ "ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß "a b a ba b a b a b9 Também se usam os termos e .positivo dextrorsum

10 Também se usam os termos e negativo, retrógrado sinistrorsum.

11 Nos casos de , e , os eixos são vulgarmente designados por , e .R R R" # $S\ S] S^


ponto neste referencial. O vector de posição de em relação à origem éT œ Bß Cß D T Sa bST œ Bß Cß D "ß"ß # œ B "ß C "ß D #Ò a b a b a b.

Determinemos, agora, as coordenadas do vector na base :a b+ß ,ß - ST /Ò

a b a b a b a b a bB "ß C "ß D # œ + "ß "ß " , !ß "ß " - !ß !ß " œ +ß + ,ß + , -

A igualdade vectorial anterior equivale ao seguinte sistema determinado de equações linearesnas incógnitas :a b+ß ,ß -

ÚÛÜ

+ œ B "+ , œ C "+ , - œ D #

Resolvendo o sistema, obtemos as coordenadas de um ponto noa b a b+ß ,ß - Bß Cß D − ‘$

referencial dado:

a b a b+ß ,ß - œ B "ßB C #ßC D $ .

Observe que as coordenadas de no referencial canónico seriam , diferentesa b a bBß Cß D Bß Cß Ddas que obtivemos aqui.

Como a base canónica de é directa (ver exemplo 6.23) e a matriz de mudança desta para- ‘$

a base é/

X œ" ! !" " !" " "

-/

Ô ×Õ Ø

cujo determinante é , segue-se que é também uma base directa e podemos,detX œ " ! /-/

portanto, dizer que o referencial deste exemplo é .5 œ Sà /a b directo

Exemplo 7.10 No espaço afim , um referencial será formado por uma origem eR R# #S −

por quaisquer 2 vectores não colineares (isto é, linearmente independentes); o referenciala b/t ß /t" #

será sse um saca-rolhas rodando no sentido de para subir e será se descerdirecto inverso /t /t" #

(ver figura seguinte). O referencial será o.n. sse os vectores forem unitários e ortogonais/t3(figura 7.5); num referencial não o.n., um dos não é unitário ou o ângulo entre eles é distinto/t3de (ver figura 7.6); abreviaremos a designação por1Î# referencial ortonormado directo

referencial o.n.d.


→1

→2

→1

→2

Fig. 7.5 – Referenciais ortonormados em : directo (à esquerda) e inverso (à direita)R# .

→1

→2

→2

→1

Fig. 7.6 – Referenciais não ortonormados em : directo (à esquerda) e inverso (à direita)R# .

Exemplo 7.11 No espaço afim , um referencial será formado por uma origem eR R$ $S −

por quaisquer 3 vectores não complanares (ou seja, linearmente independentes) e oa b/t ß /t ß /t" # $

referencial será se um observador colocado segundo , com a cabeça para o lado dadirecto /t$extremidade deste vector e olhando no sentido de , tiver à sua esquerda (ver exemplo 6.25/t /t" #

e as figuras da página seguinte) e será no caso contrário. O referencial será o.n. se osinverso

vectores forem unitários e ortogonais dois a dois (figura 7.7); num referencial não o.n., algum/t3dos não é unitário ou um dos ângulos entre eles é distinto de (ver figura 7.8)/t Î#3 1 .

→1

→2

→3

→2

→3

→1

Fig. 7.7 – Referenciais ortonormados em : directo (à esquerda) e inverso (à direita).R$


→1

→2

→3

→1

→2

→3

Fig. 7.8 – Referenciais não ortonormados em : directo (à esquerda) e inverso (à direita).R$

O conjunto de pontos da forma , com , constitui uma variedade linearS =/t >/t =ß > −" # ‘

de dimensão (um plano de ) a que chamamos ; de modo# S\]R$ plano coordenado

semelhante, os pontos da forma e , com , são tambémS =/t >/t S =/t >/t =ß > −# $ " $ ‘

planos designados por e respectivamente.planos coordenados S]^ S\^

Vamos, em seguida, analisar a questão da mudança de coordenadas de um ponto de umespaço afim, quando se muda de referencial; o problema pode ser resumido na seguinte

Proposição 7.6 – Mudança de referencial – Seja um espaço afim de dimensão E 8

associado a um espaço linear sobre um corpo e eI œ Sà /t ß /t ßá ß /tŠ 5 a b" # 8

5w w w w w" # 8œ S à /t ß /t ßá ß /t Ga b dois referenciais afins em . Se for a matriz-coluna contendo asE

coordenadas de no referencial e for a matriz de mudança da base S X /t ß /t ßá ß /tw// " # 85 w a b

para a base , as matrizes-coluna e contendo as coordenadas de um pontoa b/t ß /t ßá ß /t T Tw w w" # 8

w

de nos referenciais e respectivamente estão relacionadas porE 5 5w

T œ G X T//w

w a b7.13.1

Esta relação matricial equivale às relações escalares seguintes entre as coordenadas8a b a bB ß B ßá ßB B ß B ßá ßB T −" # 8w w w w" # 8 e de um ponto nos referenciais e e em queE 5 5a b c d- ß - ßá ß - S X œ >" # 8 //

w34 são as coordenadas de no referencial e :5 w

ÚÝÝÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÝÝÜ

!!!

B œ - > B

B œ - > B

â œ â

B œ - > B

" " "43œ"

8w4

# # #43œ"

8w4

8 8 843œ"

8w4

a b7.13.2

Em particular, se as bases forem iguais (mudança de origem), fica

T œ G T w a b7.14


Se for (mudança de base), obtém-seS œ Sw

T œ X T//w

w a b7.15

Demonstração:

Seja um ponto arbitrário de : sendo e os vectores de posição de em relaçãoT ST S T TEÒ Ò

w

às origens dos dois referenciais e o vector de posição da origem em relação à origem ,SS S Sw wÒ

a relação de Chasles [EA1] dá-nos (ver figura 7.9):

ST œ SS S TÒ Ò Ò

w w

Sendo , e matrizes-T œ T œ G œB B â B B B â B - - â -s s s sc d c d c d" # 8 " # 8 " # 8T T T

coluna contendo respectivamente as coordenadas de , e na base ,ST S T SS /t ß /t ßá ß /tÒ Ò Ò

w w" # 8a b

a relação vectorial anterior equivale a

T œ G Ts

→1

→2

→3

→1

→2

→3´

´

´

´

´

Fig. 7.9 – Mudança de referencial em .R$ (nesta figura, os referenciais têm orientações opostas)

Observe que a matriz não é constituída pelas coordenadas do ponto no referencial ,T Ts 5w

visto que ela contém as coordenadas de na base e não na baseS T /t ß /t ßá ß /tw" # 8

Ò a ba b c d/t ß /t ßá ß /t T œ B B â Bw w w" # 8

w w w w" # 8. Seja agora a matriz-coluna formada pelas coordenadasT

de no referencial , ou seja, as coordenadas de na base . As coordenadasT S T /t ß /t ßá ß /t5Ò

w w w w w" # 8a b

de nas duas bases estão relacionadas por (ver igualdade 2.81 da secção 2.15)S TwÒ

T œ X Ts//

ww

Basta agora substituir esta relação em para obter 7.13.1 . Se as bases foremT œ G Ts a biguais, será e obtém-se 7.14 ; se for , fica e obtém-se 7.15 .X œ M S œ S G œ S// 8

ww a b a b �

Observações:

ç Como a matriz de mudança de base é regular, podemos obter de 7.13.1 a relação entrea bas coordenadas no sentido inverso:

T œ G X T Í T G œ X T Í T œ X T G Í T œ G X T// // / /w w w " w w

//w w ww a bem que é a matriz de mudança da base para a base e X œ X / / G œ X G œ X G/ / / /// //

" w w "w ww w a b


contém as coordenadas de no referencial (coordenadas do vector na baseS S S œ SS5Ò Ò

w w w

/w). Portanto, é

T œ X T Gw "//w a b a b7.16

ç À Ä à T È G XT X As transformações , com matriz regular, são chamadas' Š Š8 8

transformações afins afinidades ou de . Facilmente se verifica que a composta de duasŠ8

afinidades é ainda uma afinidade e que a composição é associativa, tem elemento neutro (afunção identidade, com e ) e existe sempre inversa (que será, como vimos naG œ S X œ M8observação anterior, a afinidade ). Isto mostra que o conjunto dasT È X G X T" "

afinidades de , dotado da composição de funções, constitui um grupo (não comutativo),Š8

chamado . As propriedades geométricas invariantes pelas transformações afins sãogrupo afim

chamadas , das quais veremos exemplos mais adiante.propriedades afins

ç 8 Se for um espaço afim real e orientado de dimensão , os referenciais e daE 5 5w

proposição anterior têm a mesma orientação ou orientações opostas, conforme tivermos

det detX ! X !// //w w ou

Exemplo 7.12 No espaço afim , consideremos dois referenciais eR$" # $5 œ Sà /t ß /t ß /ta b

5w w w w ww w w" # $œ S à /t ß /t ß /t Bß Cß D B ß C ß Da b a b a b e determinemos a relação entre as coordenadas e de um

mesmo ponto de em ambos os referenciais, supondo que a origem tem coordenadasR$ wSa b"ß#ß " no referencial e que5

ÚÛÜ

/t œ /t /t #/t

/t œ /t /t /t

/t œ #/t /t /t

w" " # $w# " # $w$ " # $

Das relações anteriores, conclui-se que e, como ,X œ X œ " !" " #" " "# " "

// //w w

Ô ×Õ Ø det

podemos concluir que os dois referenciais têm a mesma orientação; por fim, da expressãoa b c d c d7.13.1 resulta imediatamente, com e ,T œ T œB C D B C DT Tw w w w

Ô × Ô × Ô ×Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ ØÕ Ø Õ ØB " " " # B " B C #DC # " " " C # B C DD " # " " D " #B C D

œ œ

w w w w

w w w w

w w w w

A relação matricial anterior equivale às três igualdades escalares seguintes, que relacionam ascoordenadas de um ponto de no referencial com as suas coordenadas a b a bBß Cß D B ß C ß DR$ w w w5

no referencial :5w

ÚÛÜ

B œ " B C #DC œ # B C DD œ " #B C D

w w w

w w w

w w w


Para obter a partir de , bastará usar 7.16 :a b a b a bB ß C ß D Bß Cß Dw w w

X œ! " "" & $" $ #

B ! " " B " " C DC " & $ C # ' B &C $DD " $ # D " $ B $C #D

œ œ

//"

w

w

w

w

Ô ×Õ Ø

Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

Î ÑÏ Ò

A igualdade anterior dá, finalmente,

ÚÛÜ

B œ " C DC œ ' B &C $DD œ $ B $C #D

w

w

w

Exemplo 7.13 No espaço afim , consideremos os referenciais eR#" #5 œ Sà /t ß /ta b

5w w w w" #œ S à /t ß /ta b ilustrados na figura

→1

→2

→1´

→2´

30º

30º

´

´

´

Fig. 7.10 – Mudança de referencial no plano.

Determinemos a fórmula de transformação das coordenadas e de um ponto dea b a bBß C B ß Cw w

R# w" # nos dois referenciais: por observação da figura resulta que , pelo que asSS œ /t /t

Ò

coordenadas de no referencial são ; resulta ainda que a relação entre os vectores dasS "ß "w 5 a bduas bases é

ÚÛÜ

ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰

/t œ /t /t œ /t /t

/t œ /t /t œ /t /t

w" ' ' # #" # " #

" $

w# ' ' # #" # " #

$ "

sin cos

cos sin

1 1

1 1

È

È

Deste modo, fica , pelo queX œ œ " $

$ "//

"# #

$

$# #

"

"#

w

Ô ×Õ Ø – —ÈÈ

È

È

” • ” • ” •– — – —È ÈÈ ÈB " " $ B # B $CC " C

œ œ" "

# #$ " # $B C

w w w

w w w

Sec. 7.4] Paralelismo 21

A relação matricial anterior equivale às duas igualdades escalares seguintes, que relacionamas coordenadas de um ponto de no referencial com as suas coordenadas noa b a bBß C B ß CR# w w5

referencial :5w

ˆ ‰Èˆ ‰ÈB œ # B $C

C œ # $B C

"#

w w

"#

w w

Podemos ainda concluir pela figura que o referencial é directo e, como ,5 detX œ " !//w

segue-se que o referencial é inverso, o que pode ser confirmado na figura. As fórmulas de5w

transformação inversas são obtidas de 7.16 :a bX œ

"

#

" $

$ "

B " $ B " " $ B $CC C "

œ œ" "

# #$ " " $ $B C

//"

w

w

w – —ÈÈ” • Œ – — – —È È ÈÈ È È” • ” •

ou ainda,

ˆ ‰È Èˆ ‰È ÈB œ " $ B $C

C œ " $ $B C

w "#

w "#

7.4 Paralelismo

A noção de pode ser definida a partir da relação de inclusãoparalelismo de subespaços afins entre subespaços:

Definição 7.5 – Paralelismo de subespaços afins – Seja um espaço afim associado a umE

espaço vectorial e e dois subespaços afins de associados respectivamente aosI F G E

subespaços vectoriais e . Diremos que é a e escreveremos sse J K ² J § KF G F Gparalelo

ou .K § J

Desta definição resulta imediatamente que a relação de paralelismo entre subespaços afins éreflexiva simétrica viiie (ver apêndice A.3). Da proposição 1.16. resulta que, se edim dimF Gœ

F G² , então é ; daqui se segue que a relação de paralelismo no conjunto dos subespaçosJ œ K

afins é também (propriedade de que não goza em geral) ede uma mesma dimensão transitiva

constitui uma relação de no referido conjunto.equivalência

Observemos que a definição anterior está de acordo com aquilo que intuitivamenteconhecemos por “paralelismo”: o paralelismo entre duas rectas (ou dois planos) resulta do factode ambas estarem associadas ao mesmo subespaço vectorial de dimensão (respectivamente,"dimensão ); uma recta é paralela a um plano sse o seu subespaço vectorial associado (de#dimensão ) está contido no subespaço de dimensão associado ao plano." #

A seguinte proposição dá conta de algumas propriedades relacionadas com a relação deparalelismo:


Proposição 7.7 Seja um espaço afim associado a um espaço vectorial e e doisE F GI

subespaços afins de associados respectivamente aos subespaços vectoriais e de .E J K I

i) Se .F G F G F G G F² , então ou ou œ g § §

ii) Se e , então ou .F G F G F G F G² œ œ g œdim dim

iii) Se os subespaços vectoriais e são tais que (em particular, seJ K J K œ I

I œ J ŠK œ ØT àJ Ù œ ØUàKÙ) e e são subespaços afins de F G E associados

àqueles , quaisquer que sejam os pontos e ., então F G gÁ T U

iv) Num espaço com dimensão , um hiperplano e outro subespaço afim disjuntos sãoE 8

paralelos.

v) Num espaço , duas rectas disjuntas são paralelas.E com dimensão #

vi) Num espaço , uma recta e um plano disjuntos são paralelos.E com dimensão $

vii) Num espaço , dois planos disjuntos são paralelos.E com dimensão $

Demonstração:

i) Sunhamos que F G F G F G F² , que e que é um ponto de . Como é paralelo a E Á g

G F, tem-se ou ; suponhamos que é e seja um ponto qualquer de : seráJ § K K § J J § K T

ET − J ET − K T œ E ET E − ET − KÒ Ò Ò Ò

§ K, logo e, por ser (com e ), teremosG

T − G F G G, logo . Do mesmo modo, se for § K § J T e um ponto qualquer de , teremos

ET − K ET − J T œ E ET E − ET − JÒ Ò Ò Ò

§ J e, portanto, . Como (com e ), teremosF

T − F G F, pelo que .§

ii) Se F G F G J § K K § J não é vazio e e são paralelos, será ou ; como as dimensões

de e de são iguais, a proposição 1.16. mostra que será em ambos os casos , peloJ K J œ Kviii

que é simultaneamente e ; recorrendo a um ponto e por um raciocínioJ § K K § J E − F G

semelhante ao da alínea anterior, resulta e , ou seja, .F G G F F G§ § œ

iii) Consideremos o vector ; por hipótese, existem vectores eUT − I œ J K ?t − JÒ

@t − K UT œ ?t @t T œ U @t œ ØUàKÙ tais que . Vejamos que o ponto , que pertence a Ò

! G

por construção, também pertence a : de facto, temosF

T œ U @t œ U UT ?t œ UUT ?t œ T ?t!

− −

ï ˆ ‰ ˆ ‰ ïG F

Ò Ò

Deste modo, temos T − T − T −! ! !F G F G e , pelo que . gÁ

Sec. 7.4] Paralelismo 23

iv) Façamos e suponhamos que 8 œ œ ?dimE P ØEàP Ùa b é um hiperplano de eE

Pw œ ØFàP @ Ù ? œa b a b é um qualquer subespaço afim, onde as listas e?t ß ?t ßá ß?t" # 8"

@ œ @ @a bt ß @t ßá ß @t t" # 7 3 são linearmente independentes. Se algum dos vectores não fossecombinação linear dos vectores da lista ?, teríamos

dim dim

dim

ˆ̂P P @ P œ 8 " Ê

P P @ œ 8 Ê

I œ P P @

a b a b a b‰a b a b‰a b a b? ?

?

?

e da alínea anterior resultaria P gPw Á , contrariamente à hipótese. Nestas condições tem-se,

para todo o , , donde e por definição." Ÿ 3 Ÿ 7 @ P P @ § P ²t − ? ?3 a b a b a b P Pw

v) É consequência da alínea anterior, visto que sendo , um hiperplano de é uma recta8 œ # E .

vi) iv É também consequência da proposição 7.7. , atendendo a que, para , os8 œ $

hiperplanos de são os planosE .

vii) À semelhança das duas últimas alíneas, trata-se de mais uma consequência imediata daproposição 7.7.iv. �

8Geometria analítica

do 1º grau

Sec. 8.1] Generalidades: representação de linhas e superfícies 27

8.1 Generalidades: representação de linhas e superfícies

Sabemos do capítulo anterior que, fixando no espaço ordinário um referencialR$

a b a bSà /t ß /t ß /t Bß Cß D −" # $$, cada ponto do espaço fica determinado pelas suas coordenadas ‘

nesse referencial. Se for agora um intervalo e e funções reais definidas em (queM § 0ß 1 2 M‘

podemos supor contínuas, para assegurar uma regularidade mínima), o conjunto dos pontosT Bß Cß Da b de tais queR$

ÚÛ a b a bÜ

a ba ba bB œ 0 >C œ 1 >D œ 2 >

à > − M • 0ß 1ß 2 − Mß ÞC ‘ 8.1 1

constitui o que se chama uma de . Este sistema de equações constitui alinha curva ou L R$

representação paramétrica parâmetro (na qual é o ) da linha e pode ainda ser escrita na forma>

a b a b a b a ba b a b a bBß Cß D œ 0 > ß 1 > ß 2 > à > − M • 0ß 1ß 2 − Mß ÞC ‘ , 8.1 2

a qual equivale à chamada da linha (uma igualdade entre pontos de )equação vectorial R$

T œ S 0 > /t 1 > /t 2 > /t à > − M • 0ß 1ß 2 − Mß Þa b a b a b a b a b" # $ C ‘ 8.1 3

Podemos considerar que cada corresponde a um ponto de um subconjunto > §I R"

(eventualmente, toda a recta ) o qual se transforma por 8.1 3 numa linha , isto é, asR L" a bÞ

referidas equações definem uma transformação contínua (ver figura 8.1).-À ¨ ÄR I R" $

→1

→2

→3

Fig. 8.1 – Representação paramétrica de uma linha no espaço afim .R$

Tudo o que acabámos de dizer para linhas em pode ser transportado para linhas em ,R R$ #

as quais, num referencial correspondem a do tipoa bSà /t ß /t" # equações paramétricas

œ a ba b a bB œ 0 >C œ 1 >

à > − M • 0ß 1 − MßC ‘

ou equivalentemente,

a b a b a b a bˆ ‰Bß C œ 0 > ß 1 > à > − M • 0ß 1 − MßC ‘

28 Geometria analítica do 1º grau [Cap. 8

ou ainda à seguinte equação vectorial

T œ S 0 > /t 1 > /t à > − M • 0ß 1 − Mßa b a b a b" # C ‘

Exemplo 8.1 A linha cujas equações paramétricas num referencial o.n.d. sãoa bSà /t ß /t" #

œ c dB œ + >C œ , >

à > − !ß # • +ß , !cossin

1

é uma de centro na origem e com semi-eixos e . A respectiva equação vectorial seráelipse S + ,

T œ S + > /t , > /t à > − !ß # • +ß , !cos sin" # c d1Se , a linha é uma de raio e centro , visto que, para todo o+ œ , + Scircunferência

> − !ß # T S œ + > + > œ +c d l l È1 , temos .# # # #cos sin

Exemplo 8.2 A linha cujas equações paramétricas num referencial o.n.d. sãoa bSà /t ß /t" #

œB œ + >C œ , >

à > − • +ß , !coshsinh

‘

é um de centro na origem . A respectiva equação vectorial seráramo de hipérbole S

T œ S + > /t , > /t à > − • +ß , !cosh sinh" # ‘

Se , trata-se de um .+ œ , ramo de hipérbole equilátera

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

2 4 6 8

-2

-1

0

1

2

3

0

-3

Fig. 8.2 – Elipse (com e ) e ramo de hipérbole (com e ) em referencial o.n.d.+ œ $ , œ # + œ $ , œ "

Exemplo 8.3 A linha de , cujas coordenadas num referencial o.n.d.R$" # $a b a bBß Cß D Sà /t ß /t ß /t

satisfazem as equações

ÚÛÜ

B œ + >C œ , >D œ ->

à > − • +ß , ! • - −cossin ‘ ‘

é uma ( , se ); se , trata-se de uma hélice elíptica circular elipse, se - Á ! + œ , - œ !( , se for ainda ) dacircunferência passo+ œ , existente no plano e com centro em . O \S] Shélice (distância percorrida por volta, segundo a direcção de ) é igual a .S^ # -1k k

Exemplo 8.4 Uma é a linha plana traçada por um ponto de uma circunferênciaepiciclóide Tquando esta rola sem escorregar sobre outra circunferência e no exterior desta.


Para obter a equação vectorial da epiciclóide, suponhamos fixado em um referencialR#

o.n.d. , que a circunferência fixa tem centro em e raio e a circunferênciaa bSà /t ß /t S V !" #

móvel tem um raio e que, no início, o ponto da circunferência móvel que irá descrever a< ! Tepiciclóide está na posição (ver figura 8.3). Seja o ângulo correspondente àT œ SV/t > −" ‘

posição do ponto de contacto; como não há escorregamento, o comprimento do arco # V> T#w

da circunferência fixa é igual ao comprimento do arco da circunferência móvel, de modo< #T)w

que da igualdade resulta .V> œ < œ >) ) V<

-4 -2 0 3 4

-4

-2

0

2

4

2

2

2 51-1-3-5

-5

-3

-1

1

3

5

→1

→2

Fig. 8.3 – A epiciclóide para .7 œ $ < œ " e

Da figura 8.3 concluímos que

ÚÝÝÛÝÝÜa ba bˆ ‰ ˆ ‰a b a b a b a ba b a b

ST œ SG GT

SG œ V < >/t >/t

GT œ < > /t > /t œ < > /t > /t

Ò Ò Ò

Ò

Ò1 ) 1 ) ) )

cos sin

cos sin cos sin

" #

" # " #

Das igualdades anteriores e atendendo a que , obtém-se em que)Ò

œ > ST œ B/t C/tV< " #

a b ˆ ‰a b ˆ ‰B œ V < > < >

C œ V < > < >à > − • Vß < !

cos cos

sin sin

V<<

V<<

‘


Fazendo agora e atendendo às igualdades anteriores, obtemos a seguinte7 œ VÎ< !equação vectorial para a epiciclóide:

T œ S < 7 " > 7 " > /t < 7 " > 7 " > /t à > − ˆ ‰‘ ˆ ‰‘a b a b a b a bcos cos sin sin" # ‘

ñ 7 − 7 T Para , a epiciclóide é constituída por ramos que não se cruzam e o ponto volta

à posição inicial , ao fim desses ramos: a figura 8.4 mostra as epiciclóides paraT œ SV/t 7"

< œ " 7 œ "ß #ßá ß ' e , realizadas com o auxílio do ;MATHEMATICA© e fazendo ! Ÿ > Ÿ #1para , a linha é também conhecida por .7 œ " cardióide

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1

-2

-1

0

1

2

-2 0 2

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

321

4 5 6

8

-8

Fig. 8.4 – As epiciclóides para inteiro entre e .7 " ' < œ " e

ñ 7 œ :Î; − Ï :Î; ; " : Para ( irredutível, ), a epiciclóide é constituída por ramos

que se cruzam vezes e o ponto volta à posição inicial ao fim desses ramos:: T T œ SV/t :"

a figura 8.5 mostra os casos e , e , com .< œ " 7 œ $Î# 7 œ &Î# 7 œ (Î# ! Ÿ > Ÿ %1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-4 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-2

5/2 7/23/2

Fig. 8.5 – As epiciclóides para , e .7 œ $Î# 7 œ &Î# 7 œ (Î# < œ "e

ñ 7 − Ï T Se , a epiciclóide tem uma infinidade de ramos e o ponto não volta mais à‘

posição inicial : a figura 8.6 ilustra esta situação para e , comT œ SV/t < œ " 7 œ #"È

! Ÿ > Ÿ $&! > − (pergunta-se: se se fizer , será que a linha “preenche” toda a coroa circular‘

entre as circunferências de centro e raios e )S V œ #< V œ # È È# # ? .


-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

2

Fig. 8.6 – A epiciclóide para .7 œ # < œ " ! Ÿ > Ÿ $&!È , e

Exemplo 8.5 Uma é a linha plana traçada por um ponto de uma circunferênciahipociclóide

quando esta rola sem escorregar sobre outra circunferência e no interior desta. Fixado em R#

um referencial o.n.d. e de modo semelhante ao usado no exemplo anterior, obtemosa bSà /t ß /t" #

as equações paramétricas

a b ˆ ‰a b ˆ ‰B œ V < > < >

C œ V < > < >à > − • V < !

cos cos

sin sin

V<<

V<<

‘

Fazendo , podemos escrever a equação vectorial da hipociclóide na forma7 œ VÎ< "

T œ S < 7 " > 7 " > /t < 7 " > 7 " > /t à > − ˆ ‰‘ ˆ ‰‘a b a b a b a bcos cos sin sin" # ‘

ñ 7 " 7 Para inteiro, a hipociclóide é constituída por ramos que não se cruzam e o pontoT T œ SV/t 7 volta à posição inicial , ao fim desses ramos: a figura 8.7 mostra as"

hipociclóides para inteiro entre e e e , traçadas com recurso ao7 $ ) < œ " ! Ÿ > Ÿ #1MATHEMATICA©.

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-8

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

4 53

7 86

Fig. 8.7 – As hipociclóides para inteiro entre e .7 $ ) < œ " e com


ñ 7 œ :Î; − Ï :Î; ; " : Para ( irredutível, ), a hipociclóide é constituída por ramos

que se cruzam vezes e o ponto volta à posição inicial ao fim desses ramos:: T T œ SV/t :"

a figura 8.8 mostra os casos e , e , com .< œ " 7 œ &Î# 7 œ (Î# 7 œ *Î# ! Ÿ > Ÿ %1

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

7/2 9/25/2

Fig. 8.8 – As hipociclóides para , e .< œ " 7 œ &Î# 7 œ (Î# 7 œ *Î# e

ñ 7 − Ï T Se , a hipociclóide tem uma infinidade de ramos e o ponto não volta mais à‘

posição inicial : a figura 8.9 ilustra esta situação para e , paraT œ SV/t < œ " 7 œ """È

valores de entre .> ! %!! e

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

11

Fig. 8.9 – A hipociclóide para .7 œ "" < œ " ! Ÿ > Ÿ %!!È , e

Continuando a supor fixado em um referencial e sendo agora umR$ #" # $a bSà /t ß /t ß /t H § ‘

subconjunto de (o qual, muitas vezes, é um produto cartesiano de intervalos de ) e‘ ‘# M ‚ N

0 1 2 H T Bß Cß D, e funções reais definidas e contínuas em , o conjunto dos pontos de taisa b R$

que

ÚÛ a b a b a bÜ

a ba ba bB œ 0 =ß >C œ 1 =ß >D œ 2 =ß >

à =ß > − H • 0ß 1ß 2 − HßC ‘ 8.2.1

ou

a b a b a b a b a b a b a bˆ ‰Bß Cß D œ 0 =ß > ß 1 =ß > ß 2 =ß > à =ß > − H • 0ß 1ß 2 − HßC ‘ 8.2.2

forma uma de . O sistema anterior constitui a dasuperfície representação paramétrica S R$

superfície, com parâmetros e e equivale à seguinte da superfície= > equação vectorial

T œ S 0 =ß > /t 1 =ß > /t 2 =ß > /t à =ß > − H • 0ß 1ß 2 − Hßa b a b a b a b a b a b" # $ C ‘ 8.2.3


Podemos considerar que cada par corresponde a um ponto de uma região de a b=ß > D R#

(eventualmente, todo o plano ) e que esta região se transforma por 8.2.3 na superfície ,R S# a bisto é, as referidas equações definem uma transformação contínua (ver figura0À ¨ ÄR D R# $

8.10).

→1

→2

→3

→1

→2

Fig. 8.10 – Representação paramétrica de uma superfície.

Fixando um valor de e considerando variável, as equações 8.2.3 representam linhas= > a bparametrizadas por , como vimos antes; mas pode também variar, o que resulta numa família> =

L S= de linhas indexada por : a superfície pode, portanto, ser concebida como a reunião de=

todas as linhas da família e o mesmo se passa se fixarmos valores de , caso em que obtemosL= >

linhas parametrizadas por , podendo a superfície ser considerada como a reunião dessas linhas=(ver as linhas das quadrículas da figura 8.10, à direita, que são as imagens por das linhas0

horizontais e verticais da esquerda).

Considere-se, agora, uma função e uma equação da forma0À ¨ Ä‘ ‘$ H

0 Bß Cß D œ !a b a b8.3

envolvendo as coordenadas de um ponto de no referencial e suponha-a b a bBß Cß D Sà /t ß /t ß /tR$" # $

se que define uma das variáveis em função das outras duas ; neste caso, podemos encarar0 a b12

estas duas variáveis como parâmetros (por exemplo, “resolvendo 8.3 em ordem a ”,a b Dficaríamos, com , e ), de modo que 8.3 define também uma superfície,B œ B C œ C D œ 2 Bß Ca b a ba qual dizemos estar definida por aquela relação ou que 8.3 é a implicitamente equaçãoa bcartesiana não paramétrica da superfície .a b13

Uma superfície pode ter muitas representações analíticas. Quando for um polinómio emS 0

B C D 8, , de grau e não existir um polinómio de grau inferior que represente , dizemos que éS S

uma e diz-se se o polinómio for factorizávelsuperfície algébrica de ordem decomponível 8 S

em polinómios de grau inferior a : é, então, reunião de superfícies algébricas de grau menor.8 S

Por exemplo, a superfície de 2ª ordem representada por éB C BD CD œ !# #

12 As condições para que isto aconteça são objecto do estudado em AnáliseTeorema da função implícita

Matemática.

13 Observe que o conjunto das soluções da equação 8.3 em é, afinal, a pré-imagem de por , à0 ! ! 0" $a b a b e f‘

qual é costume chamar em Análise a correspondente a .superfície de nível !


decomponível, visto que

B C BD CD œ ! Í B C B C B C D œ ! Í B C B C D œ !# # a ba b a b a ba b .

O facto de as fórmulas de transformação de coordenadas 7.13.1 serem lineares mostra quea bo grau dos polinómios envolvidos na representação implícita de uma superfície algébrica éinvariante pelo grupo das afinidades: é, portanto, coerente falarmos de de uma superfícieordem

algébrica (a ordem de uma superfície é o grau comum a todas as representações polinomiais

dessa superfície nos vários referenciais de ), a qual constitui um exemplo de propriedadeR$

afim – invariante pelo grupo das afinidades (ver observações na página 19 deste volume). Dadauma superfície algébrica de ordem representada por e uma recta não contidaS 8 0 Bß Cß D œ !a bnela, podemos escolher um referencial que tenha essa recta por eixo , por exemplo; nesseS\caso, a intersecção da superfície com a recta referida é constituída por pontos cujas abcissas sãoas soluções reais da equação , de grau necessariamente , e assim, o número0 Bß !ß ! œ ! Ÿ 8a bde soluções é, quando muito, igual a : concluímos que 8 a ordem de uma superfície algébrica S

é o número máximo de pontos em que ela pode ser intersectada por uma recta que não esteja

contida em .S

Um sistema de duas equações simultâneas do tipo 8.3 representa, em geral, a intersecçãoa bdas superfícies representadas implicitamente por cada equação do sistema (portanto, uma );linha

por isso se diz que um tal sistema é formado pelas deequações cartesianas não paramétricas

uma linha:

œ a ba b a b0 Bß Cß D œ !1 Bß Cß D œ !

8.4

Uma linha diz-se , quando for representável na forma 8.4 por doisalgébrica de ordem 78 a bpolinómios e de graus e respectivamente e não houver uma representação da mesma0 1 7 8linha por polinómios de grau inferior e, mais uma vez, esta definição é coerente porque nãodepende do referencial usado (a ordem de uma linha algébrica é mais uma propriedade afim). Nasecção seguinte, abordamos o estudo das superfícies de 1ª ordem (planos), seguido das linhas de1ª ordem (rectas) em ; no capítulo 9, estudaremos as superfícies de 2ª ordem (quádricas),R$

eventualmente decomponíveis.

Exemplo 8.6 Uma superfície de diz-se se puder ser considerada como aS R$ regrada

reunião de uma família de rectas ( ): .a b -< œ <> >>−M geratrizes S>−M

A título de exemplo, consideremos um referencial em e duas rectas enviezadas S\]^ R$"3

e passando pelos pontos e respectivamente e com a direcção dos3# a b a b"ß "ß ! "ß"ß !vectores e . A família de rectas que intersectam e e são paralelas aoa b a b"ß !ß " "ß !ß " 3 3" #

plano ( ) constituem uma superfície que é regrada no sentido da definiçãoS\] plano director

acima enunciada. As equações das rectas e , parametrizadas pela cota dos seus pontos,3 3" # >são respectivamente

a b a b a b a ba b a b a b a bBß Cß D œ "ß "ß ! > "ß !ß " œ " >ß "ß >

Bß Cß D œ "ß"ß ! > "ß !ß " œ " >ß"ß >à > − ‘.


A recta que passa pelos pontos de e com igual cota – e que será, portanto, paralela a<> " #3 3

S\] – tem a equação

a b a ba b a bˆ ‰a ba b a bBß Cß D œ " = " >ß "ß > = " >ß"ß >

œ " #= " > ß " #=ß > à =ß > − ‘#

A equação anterior é a representação paramétrica da superfície regrada que procurávamos;eliminando os parâmetros e nas equações anteriores, obtém-se a equação cartesiana não= >paramétrica

CD B C œ !

Concluímos, assim, que se trata de uma superfície algébrica de 2ª ordem (parabolóide

hiperbólico) que estudaremos no capítulo 9 (ver figura 8.11); neste caso, existe outro sistema degeratrizes para a superfície: a família de rectas paralelas a correspondentes a valoresS\^constantes de e que inclui (para ) e (para ).= = œ ! = œ "3 3" #

-1-0.5

0.51

-10

0

0.5

1

1.5

2

0

1

1

2

Fig. 8.11 – Parabolóide hiperbólico, como superfície regrada.

Exemplo 8.7 Neste exemplo, analisamos mais um tipo de superfície regrada: as superfícies

cilíndricas geratrizesque são formadas pelas rectas ( ) que passam pelos pontos de uma linha D

( ) e com a direcção de um vector . Fixemos um referencial em edirectriz ?t Á 9t S\]^ R$

suponhamos que a directriz é a linha representada parametricamente, nesse referencial, porD

a b a ba b a b a bBß Cß D œ 0 > ß 1 > ß 2 > à > − M

e que as geratrizes têm a direcção do vector de coordenadas . Então, a equação da?t ?ß @ßAa bsuperfície cilíndrica, com parâmetros , éa b=ß >

a b a b a b a b a b a bˆ ‰Bß Cß D œ 0 > ß 1 > ß 2 > = ?ß @ßA à =ß > − ‚ M‘

ou ainda,

a b a b a b a b a bˆ ‰Bß Cß D œ 0 > ?=ß 1 > @=ß 2 > A= à =ß > − ‚ M‘

Por exemplo, se a directriz for sinusoidal e definida parametricamente por

a b a bBß Cß D œ >ß # >ß ! à > −sin ‘

e se a direcção das geratrizes for a do vector de coordenadas , então, a superfície?t "ß "ß $a b


cilíndrica vem definida por

a b a b a b a b a bBß Cß D œ >ß # >ß ! = "ß "ß $ œ > =ß = # >ß $= à =ß > −sin sin ‘#

Na figura seguinte, mostra-se uma porção desta superfície, obtida no MATHEMATICA©

restringindo os parâmetros ao conjunto .a b c d c d=ß > !ß % ‚ # ß #1 1

10

-2

6

10

-5

0

5

02

4

0

5

→

Fig. 8.12 – Superfície cilíndrica.

Exemplo 8.8 Vamos agora abordar outro tipo de superfície regrada: as ,superfícies cónicas

as quais são formadas pelas rectas (chamadas ) que passam pelos pontos de uma linhageratrizes

D D ( ) e por um ponto fixo (chamado ) não pertencente a . Fixando umdirectriz vérticeZ

referencial em , suponha-se que a directriz é a linha representadaS\]^ R D$

parametricamente, nesse referencial, por

a b a b a b a bˆ ‰Bß Cß D œ 0 > ß 1 > ß 2 > à > − M

e que o vértice é o ponto de coordenadas : então, a equação da superfície cónica, comZ +ß ,ß -a bparâmetros , éa b=ß >

a b a ba b a b a b a b a bˆ ‰Bß Cß D œ " = +ß ,ß - = 0 > ß 1 > ß 2 > à =ß > − ‚ M‘

ou ainda,

a b a b a b a b a b a b a b a bˆ ‰Bß Cß D œ + " = 0 > =ß , " = 1 > =ß - " = 2 > = à =ß > − ‚ M‘

Exemplifiquemos, usando a mesma directriz do exemplo anterior

a b a bBß Cß D œ >ß # >ß ! à > −sin ‘

e supondo que o vértice é o ponto de coordenadas . Então, a superfície cónica tem aZ !ß %ß %a bseguinte equação paramétrica

a b a ba b a b a b a bBß Cß D œ " = !ß %ß % = >ß # >ß ! œ =>ß % %= #= >ß % %= à =ß > −sin sin ‘#

A figura abaixo, obtida com auxílio do , mostra uma porção desta superfície,MATHEMATICA©

para .a b c d c d=ß > − "ß " ‚ # ß #1 1


5

10

0

2

4

6

8

-5

0

0

5

Fig. 8.13 – Superfície cónica.

Exemplo 8.9 Uma superfície de diz-se se for gerada pelo movimento deS R$ de revolução

rotação de uma linha ( ) em torno de uma recta ( ). Consideremos, paraL geratriz eixo de rotação

simplificar, que fixamos um referencial o.n.d. em , que o eixo de rotação é e queS\]^ S^R$

a representação paramétrica da geratriz nesse referencial é

a b a b a b a bˆ ‰Bß Cß D œ 0 > ß 1 > ß 2 > à > − M

No exemplo 5.19, vimos que a matriz da rotação de um ângulo em torno do eixo= − !ß #c d1S^ é

V = œ= = != = !

! ! "a b Ô ×

Õ Øa b a ba b a bcos sin

sin cos

pelo que a rotação de um ponto genérico de coordenadas da geratriz resultaˆ ‰a b a b a b0 > ß 1 > ß 2 >

no ponto cujas coordenadas são (ver capítulo 3)

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø

a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a ba b a bcos sin cos sinsin cos sin cos

= = ! 0 > 0 > = 1 > == = ! 1 > 0 > = 1 > =

! ! " 2 > 2 >œ

Então, a equação da superfície de revolução é

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b c dˆ ‰Bß Cß D œ 0 > = 1 > = ß 0 > = 1 > = ß 2 > à =ß > − !ß # ‚ Mcos sin sin cos 1

A título de exemplo, se considerarmos como geratriz a circunferência do plano deS\^centro e raio , cuja equação paramétrica éG $ß !ß ! < œ "a b

a b a b a b a b c dˆ ‰Bß Cß D œ $ß !ß ! > ß !ß > à > − !ß #cos sin 1 ,

a superfície de revolução em torno de (chamada – ) terá a representaçãoS^ toro ver figura 8.14paramétrica

a b a b a b a b a b a b a b c dˆ ‰a b a bBß Cß D œ $ = > ß $ = = ß > à =ß > − !ß #cos cos cos sin sin 1#


-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

-1

0

1

Fig. 8.14 – O toro como superfície de revolução em torno de .S^

8.2 Estudo do plano

8.2.1. Plano definido por um ponto e duas direcções

Tomemos em um referencial (não necessariamente o.n.d.), com eR$" # $a b a bSà / / œ /t ß /t ß /t

consideremos dados um ponto e dois vectores e U B ß C ß D − ?t + ß , ß - @t + ß , ß -a b a b a b! ! ! " " " # # #$R

a b1

de linearmente independentes (ver figura 8.15 e exemplo 7.5) .Ws$ a b2

→

→

→ →

Fig. 8.15 – Plano definido por um ponto e dois vectores .1 U ?t @t e

Como é linearmente independente, o subespaço de tem dimensão e oa b a b?tß @t J œ P ?tß @t W #s$

subespaço afim (usando a notação introduzida no exemplo 7.6) determinado1 œ ØUàP ?tß @t Ùa bpor e por tem dimensão e é chamado o (ouU P ?tß @t # P ?tß @ta b a bplano definido por e por Upelos vectores e ?t @t); portanto, os pontos de são caracterizados pela condiçãoT Bß Cß Da b 1

T − Í T U − P ?tß @t Í b T U œ =?t >@t1 a b=ß>−‘

1 Estas notações são uma forma de abreviar as expressões mais complexas (mas também mais correctas)

U œ S B /t C /t D /t ?t œ + /t , /t - /t @t œ + /t , /t - /t! " ! # ! $ " " " # " $ # " # # # $, e e que usaremos ao longo da

exposição da restante matéria.

2 A condição de independência linear de equivale, pela proposição 6.16. , a .a b?tß @t ?t • @t Á 9tiv

Sec. 8.2] Estudo do plano 39

Portanto,

1 œ ØUàP ?tß @t Ù œ T − À b T œ U =?t >@ta b œ R$

=ß>−‘

Observemos que sse a sequência é linearmente dependente e,T U − P ?tß @t ?tß @tß T Ua b a bcomo vimos na proposição 6.14. , esta condição é equivalente ao anulamento do produto mistoiii

dos vectores , e , o que, atendendo à expressão 6.105.1, nos dá, com matriz da?t @t T U K/

métrica de na base ,R$ /

T − Í ?t ‚ @t † T U œ / K œ !+ + B B, , C C- - D D

1 a b a bâ ââ ââ ââ ââ ââ âÈsgn

" # !

" # !

" # !

/det

Assim, a do plano é (independentemente doequação cartesiana não paramétrica 1

referencial ser directo ou inverso e o.n. ou não), recordando que e ,sgna b/ œ „ " K !det /â ââ ââ ââ ââ ââ â a b+ + B B, , C C- - D D

œ !" # !

" # !

" # !

8.5.1

A expansão de Laplace do determinante pela 3ª coluna conduz a uma equação da forma

EB FC GD H œ ! a b8.5.2

na qual , e são os cofactores dos elementos da 3ª coluna (dependentes só de e ) eE F G ?t @t

H œ œ EB FC GD+ + B, , C- - D

â ââ ââ ââ ââ ââ â a b" # !

" # !

" # !

! ! !

Observações:

ç E F G Os coeficientes , e não podem ser simultâneamente nulos; se o fossem, teríamos?t ‚ @t œ 9t ?tß @t, em virtude de 6.113.1 e seria linearmente dependente. No casoa b a bE œ F œ G œ ! H Á ! H œ !, a equação 8.5.2 representa o conjunto vazio (se ) ou (se ):a b R$

em qualquer dos casos, não representa um plano.

ç A equação 8.5.2 mostra que os planos são superfícies algébricas de 1ª ordem.a bç S H œ ! O plano passa pela origem do referencial sse .

ç E œ ! T +ß ,ß - B Se e um ponto satisfaz a igualdade 8.5.2 , então, para todo o , osa b a bpontos também a satisfazem; mas estes pontos constituem uma recta paralela a ea bBß ,ß - S\que passa por , o que significa que o plano contém esta recta e, consequentemente, é paraleloTa .S\


ç F œ ! G œ ! A conclusão anterior vale para os casos e ; podemosmutatis mutandis

concluir que:

O plano é paralelo a sse O plano é paralelo a sse O plano é paralelo a sse O plano passa pela origem sse

S\ E œ !

S] F œ !

S^ G œ !

S H œ !

Fazendo e , a equação 8.5.2 pode escrever-se na L œ T œE F G B C Dc d c d a bT Tforma

matricial

LTT H œ ! a b8.5.3

Da relação , obtemos a do plano T U œ =?t >@t equação vectorial 1

T œ U =?t >@tà =ß > − Þa b a b‘# 8.6 1

a qual corresponde às equações paramétricas

ÚÛ a b a bÜ

B œ B + = + >C œ C , = , >D œ D - = - >

à =ß > − Þ! " #

! " #

! " #

#‘ 8.6 2

ou ainda à seguinte ( , , eequação matricial T œ U œ Y œB C D B C D + , -c d c d c dT T T

! ! ! " " "

Z œ + , -c d# # #T)

T œ U =Y >Z à =ß > − Þa b a b‘# 8.6 3

Exemplo 8.10 Num dado referencial de , a equação do plano que passa peloa bSà /t ß /t ß /t" # $$R

ponto e é paralelo aos vectores e é, segundo 8.5.1 ,U "ß"ß # ?t "ß "ß " @t "ß "ß !a b a b a b a bâ ââ ââ ââ ââ ââ â" " B "" " C "" ! D #

œ !,

o que é equivalente à equação cartesiana não paramétrica

B C #D % œ !

A seráequação vectorial a b8.6.1

T œ S " = > /t " = > /t # = /t à =ß > −a b a b a b a b" # $#‘

Por outro lado, 8.6.3 dá-nos a seguintea b equação matricial paramétrica

Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø a bB " " " " = >C " " " " = >D # " ! # =

œ = > œ à =ß > − ‘#


e, por fim, as equações paramétricas

ÚÛ a bÜ

B œ " = >C œ " = >D œ # =

à =ß > − ‘#

8.2.2. Plano definido por três pontos

Em , consideremos um referencial , com , onde é a matriz daR$" # $ /a b a bSà / / œ /t ß /t ß /t K

métrica. A determinação da equação do plano definido por três pontos ,1 T B ß C ß D! ! ! !a bT B ß C ß D T B ß C ß D" " " " # # # #a b a b e não colineares faz-se reduzindo o problema ao anterior, tomandoaí e e (ou qualquer dos outros dois pontos); a condição de?t œ T T @t œ T T U œ T" ! # ! !

não-colinearidade dos três pontos equivale à independência linear dos vectores e , ou seja,?t @t

a b a bT T ‚ T T Á 9t" ! # !

→

→

0

2

1

→ →

Fig. 8.16 – Plano definido por três pontos , e não colineares.T T T! " #

Assim e atendendo outra vez a 6.105.1, temos

T − Í T T ‚ T T † T T œ / K œ !

B B B B B B

C C C C C C

D D D D D D

1 a b a b a b a b

â ââ ââ ââ ââ ââ â

È" ! # ! ! /

" ! # ! !

" ! # ! !

" ! # ! !

sgn det

Pelo que a do plano éequação cartesiana não paramétrica 1â ââ ââ ââ ââ ââ â a bB B B B B BC C C C C CD D D D D D

œ !" ! # ! !

" ! # ! !

" ! # ! !

8.7.1

A equação anterior pode ainda escrever-se na formaâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ âa b

B B B BC C C CD D D D" " " "

œ !

! " #

! " #

! " #8.7.2

O resultado anterior pode obter-se mediante as três operações elementares do tipo 3G Ä G G 3 œ #ß $ß %3 3 "; , seguidas do uso do teorema de Laplace na 4ª linha do determinante


assim obtido, como segue:â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â âB B B B B B B B B B BC C C C C C C C C C CD D D D D D D D D D D" " " " " ! ! !

œ œ B B! " # ! " ! # ! !

! " # ! " ! # ! !

! " # ! " ! # ! !

" ! # ! !

" ! # ! !

" ! # ! !

B B B BC C C C C CD D D D D D

O problema que acabámos de resolver fornece-nos também a condição para que quatropontos de sejam complanares e que éˆ ‰a bT B ß C ß D3 3 3 3 !Ÿ3Ÿ$

$R

ˆ ‰a b a bâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

T B ß C ß D Í œ !

B B B BC C C CD D D D" " " "

3 3 3 3 !Ÿ3Ÿ$

! " # $

! " # $

! " # $ são complanares 8.7.3

A do plano éequação vectorial

T œ T = T T > T T à =ß > −! " ! # !#a b a b a b a b‘ 8.8.1

Esta equação, na , escreve-se da mesma maneiraforma paramétrica matricial

T œ T = T T > T T à =ß > −! " ! # !#a b a b a b a b‘ , 8.8.2

onde , , e .T œ T œ T œ T œB C D B C D B C D B C Dc d c d c d c dT T T T

! " #! ! ! " " " # # #

E as correspondentes serão:equações paramétricas

ÚÛ a b a bÜ

a b a ba b a ba b a bB œ B B B = B B >C œ C C C = C C >D œ D D D = D D >

à =ß > −! " ! # !

! " ! # !

! " ! # !

#‘ 8.8.3

Exemplo 8.11 Num dado referencial de , a equação do plano que passa pelosS\]^ R$

pontos , e é, segundo 8.7.1 ,T "ß"ß # T "ß !ß " T !ß"ß !! " #a b a b a b a bâ ââ ââ ââ ââ ââ â# " B "" ! C "" # D #

œ !,

o que dá a equação cartesiana não paramétrica seguinte

#B $C D $ œ !

Por outro lado, 8.8.2 dá-nos a equação matricial paramétrica seguintea bÔ × Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø a bB " " " #= >C " " ! " =D # " # = #>

œ = > œ à =ß > −2

2‘#


e, por fim, as equações paramétricas

ÚÛ a bÜ

B œ " #= >C œ " =D œ # = #>

à =ß > − ‘#

8.2.3. Plano passando por um ponto e perpendicular a uma direcção

Consideremos um subespaço vectorial de com dimensão (é claro que seráK œ P 8t W "sa b $

8t Á 9t K $ " œ #). O complemento ortogonal de tem dimensão (ver equação 6.67) e osubespaço afim gerado por um ponto e por terá igualmente essa1 œ ØUàK Ù U − K¼ $ ¼R

dimensão e é, portanto, um . Fixado um referencial em , complano de R R$ $a bSà /

/ œ /t ß /t ß /ta b" # $ , procuremos a representação analítica de um tal plano definido por1

U B ß C ß D P 8t 8t +ß ,ß - Á 9ta b a b a ba b! ! !¼ e , com dado (ver figura 8.17) .a b3

→

90º

Fig. 8.17 – Plano passando por um ponto e ortogonal a um vector.

A caracterização dos pontos de é a seguinte:1

T − Í UT − K Í 8t ¼ UT Í 8t † UT œ !1Ò Ò Ò¼

o que, atendendo a 6.23.2 , nos dáa bR K T U œ !T

/a b a b8.9.1

em que , , e é a matriz da métrica de emR œ T œ U œ K+ , - B C D B C DT T Tc d c d c d! ! ! /$R

relação à base . A matriz é do tipo e designá-la-emos por , isto é,/ R K " ‚ $ œ E F GT T/ L c d

pomos (recorde que é simétrica)K/

L Lœ œ R K œ K R œ E F Gˆ ‰ ˆ ‰ c d a bT TT T T

/ / 8.9.2

Obtemos, assim, a equação cartesiana não paramétrica do plano

LTa b a bT U œ !, 8.9.3

3 O plano diz-se a qualquer gerada por um ponto de e por ou ainda1 ortogonal recta A T œ >8t E KR$

ortogonal a e ainda ortogonal a .K − K8t


que equivale a

E B B F C C G D D œ !a b a b a b! ! !

Obtivemos, de novo, uma equação da forma na qualEB FC GD H œ !

H œ U œ EB FC GDLT a b! ! !

De 8.9.2 , resulta aindaa bR œ K/

"L a b8.9.4

Esta igualdade dá-nos as a partir doscoordenadas de um vector ortogonal ao plano 8tcoeficientes , e da equação cartesiana não paramétrica ouE F G EB FC GD H œ !LTT H œ !.

Acresce ainda que, se o referencial for o.n., então é , ou seja, , e são asR œ E F GL

coordenadas de um vector normal ao plano.

Exemplo 8.12 Consideremos em um referencial tal queR$" # $a bSà /t ß /t ß /t

Ú ÚÛ ÛÜ Ü

l ll ll l Èa ba ba b

/t œ "/t œ #

/t œ #

/t ß /t œ '!/t ß /t œ *!/t ß /t œ %&

"

#

$

" #

" $

# $

e ang °ang °ang °

Determinemos, em relação a este referencial, a equação cartesiana não paramétrica do plano1 que passa pelo ponto e que é perpendicular à direcção definida pelo vectorU #ß "ß"a b8t #ß"ß $ R œ T œ U œ# " $ B C D # " "a b a b c d c d c d, a qual é dada por 8.9.1 , com , , eT T

K/ determinada por

ÚÝÝÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÝÝÜ

l ll l a bˆ ‰l ll l a bˆ ‰ Èl ll l

1 œ 1 œ /t /t /t ß /t œ # '! œ "

1 œ 1 œ /t /t /t ß /t œ # *! œ !

1 œ 1 œ /t /t

"# #" " # " #

"$ $" " $ " $

#$ $# # $

cos cos

cos cos

ang °

ang °

cos cosˆ ‰a b È Èl ll ll l

ang °/t ß /t œ # # %& œ # # œ #

1 œ /t œ "

1 œ /t œ %

1 œ /t œ #

# $#

#

"" "#

## ##

$$ $#

È

Assim, a matriz da métrica é

K œ" " !" % #! # #

/

Ô ×Õ Ø.

Portanto, o plano tem a equação

R K T U œ ! Í œ !# " $ " % # C "" " ! B #

! # # D "

T/a b c dÔ ×Ô ×

Õ ØÕ Ø ,

o que conduz a .B %C %D # œ !


Exemplo 8.13 No referencial do exemplo anterior, consideremos o plano cuja equação é

$B #C #D $ œ !

e determinemos um vector ortogonal ao plano; como vimos, as coordenadas de um tal8t Rvector são dadas por 8.9.4 ; seguem-se os cálculosa b

K œ"

#

% # ## # ## # $

R œ K œ œ"

#

% # # $ "!# # # # (# # $ # )

/"

/"

Ô ×Õ Ø

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØL

Concluímos que o vector é normal ao plano; o subespaço é o8t œ "!/t ( /t )/t P 8t" # $ a bcomplemento ortogonal do subespaço de formado pelos vectores cujas coordenadas W Bß Cß Ds$ a bna base satisfazem a condição , o qual é gerado por/ $B #C #D œ !

a b#/t $/t ß#/t $/t" # " $ .

8.2.4. Equação normal e equação axial do plano

Vamos, agora, ver mais duas formas que a equação cartesiana de um plano pode tomar.

ñ Sà /t ß /t ß /t Num referencial não necessariamente o.n. , a equação do plano tem a formaa b" # $

deduzida atrás, , na qual . Esta pode ser escrita doL LT T TT H œ ! œ R K œ E F G/ c dseguinte modo (para o que basta multiplicar ambos os membros por , se necessário)"

R K T œ H H !T/ , com 8.10a b

em que o vector é ortogonal ao plano.8t œ R/t /t /tc d" # $

Sejam agora , e os ângulos entre e os vectores , e respectivamente:! " # 8t /t /t /t" # $ÚÛÜ

a ba ba b!

"

#

œ 8tß /tœ 8tß /tœ 8tß /t

angangang

"

#

$

→1

→2

→3

→

Fig. 8.18 – Relação entre o vector e os ângulos que faz com os .8t Á 9t /t3


Atendendo a 6.49.1 , tem-sea bR œ 8t K /t /t /tl l ’ “ˆ ‰ l l l l l l/

"" # $

TT

cos cos cos! " #

o que equivale, por transposição, a

R œ 8t K/t /t /tT l l’ “l l l l l l" # $ /"cos cos cos! " #

e ainda, multiplicando ambos os membros à direita por , aK/

R K œ 8t /t /t /tT/ " # $l l’ “ a bl l l l l lcos cos cos! " # 8.11

Vamos, agora, ver que o termo em 8.10 é proporcional à distância do plano àH ! .a borigem do referencial: para tal, basta notar que é o módulo da projecção do vector deS .

posição de um ponto qualquer do plano sobre a normal a este (observe que, por ser SU U 8t UÒ

um ponto do plano, será ), o qual nos é dado por 6.19 :R K U œ HT/ a b

. œ SU œ 8t † SU œ R K U" "

8t 8t

œ œ Ê H œ 8t .H H

8t 8t

¹ ¹ ¹ ¹l l l l¸ ¸k kl l l l l l a b

proj

8.12

8 /t

Ò ÒT

→

90º

Fig. 8.19 – Distância da origem a um plano.

Substituindo 8.11 e 8.12 em 8.10 , obtemosa b a b a b a b4

l l’ “ l l a bl l l l l l Ô ×Õ Ø8t œ 8t ./t /t /t CB

D" # $cos cos cos! " # 8.13

e, dividindo ambos os membros por , somos conduzidos à seguinte equação dital l8t !equação normal hessiana ou do planoa b5

B /t C /t D /t œ . Þl l l l l l a b" # $cos cos cos! " # 8.14 1

4 Note que equivale a ; identicamente para e .E œ 8t /t E œ 8t † /t F œ 8t † /t G œ 8t † /tl ll l" " # $cos!

5 Observe que, na prática, a equação hessiana do plano se obtém de (tendo garantidoEBFC GD H œ !

previamente que ), dividindo ambos os membros por .H ! 8t !l l


Se os vectores da base forem normados (mas não obrigatoriamente ortogonais), aa b/t ß /t ß /t" # $

equação normal fica, simplesmente,

B C D œ .cos cos cos! " # a b8.14.2

Comparando 8.10 e 8.13 , concluímos quea b a bÚÝÝÝÝÝÝÝÝÛ a b a bÝÝÝÝÝÝÝÝÜ

l l l ll l l ll l l l

l ll l l l l l l lŒ

E

/tœ 8t

F

/tœ 8t

G

/tœ 8t

H œ 8t .

Ê ß ß œ ß ß" E F G

8t /t /t /t

"

#

$

" # $

cos

cos

cos

cos cos cos

!

"

#

! " # 8.15

Quadrando ambos os membros das três primeiras equações anteriores da esquerda e somandomembro a membro, vem

E F G

/t /t /t œ 8t

# # #

" # $# # #

# # # #l l l l l l l l ˆ ‰cos cos cos! " #

de onde resulta

"

8tœ !

E F G

/t /t /t

l lÈËl l l l l l

a bcos cos cos# # #

# # #

" # $# # #

! " #8.16

Substituindo esta igualdade na equação 8.15 da direita, obtemos a seguinte relaçãoa benvolvendo os cossenos dos ângulos entre a normal e os eixos coordenados e os coeficientes ,EF G e da equação cartesiana do plano

a b ÈËl l l l l l

Œ l l l l l lcos cos coscos cos cos

! " #! " #

ß ß œ ß ß

E F G

/t /t /t

E F G

/t /t /t

# # #

# # #

" # $# # #

" # $

Se o referencial for então a equação 6.51.3 assegura-nos que sea b a bSà /t ß /t ß /t" # $ ortogonal

tem , ficandoÈcos cos cos# # #! " # œ "

a b a bËl l l l l l

Œ l l l l l lcos cos cos! " #ß ß œ ß ß" E F G

E F G

/t /t /t

/t /t /t# # #

" # $# # #

" # $8.17

Mais particularmente, num referencial ortonormado, obtemos o resultado simplificado

a b a b a bÈcos cos cos! " #ß ß œ EßFßG"

E F G# # #8.18


Quanto à , vem atendendodistância do plano de equação à origemEB FC GD H œ !a 8.16 e 8.12 ,a b a b

. œ H œ H"

8t

E F G

/t /t /t

l l k k k kÈËl l l l l l

cos cos cos# # #

# # #

" # $# # #

! " #

Num referencial , a expressão anterior simplifica-se paraortogonal

. œH

E F G

/t /t /t

k kËl l l l l l

a b# # #

" # $# # #

8.19

E, em referencial , vemortonormado

. œH

E F G

k kÈ a b# # #

8.20

ñ Suponhamos, agora, um plano cuja equação cartesiana não paramétrica, num dadoreferencial arbitrário, é e que os coeficientes , , e S\]^ EB FC GD H œ ! E F G Hsão todos diferentes de , isto é, o plano ! não passa pela origem nem é paralelo a algum dos

eixos coordenados.

→2

→3

→1

= 1

Fig. 8.20 – A equação axial de um plano.

Tem-se então,

EB FC GD H œ ! Í EB FC GD œ H Í œ "EB FC GD

H H H

Í œ "B C D

H H HE F G

Pondo , e , obtemos+ œ , œ - œ H H HE F G

B C D

+ , - œ " a b8.21

em que , e são respectivamente a abcissa, a ordenada e a cota dos pontos ,+ , - +ß !ß !a ba b a b a b!ß ,ß ! !ß !ß - S\ S] S^ e de intersecção do plano com os eixos coordenados , e . 8.21 é,

Sec. 8.3] Estudo da recta 49

por isso, chamada do plano e deve notar-se que ela só existe para os planos queequação axial

não passem pela origem nem sejam paralelos a algum dos eixos, visto terem sido esses ospressupostos para a obtermos.

Exemplo 8.14 Determinemos a equação hessiana do plano do exemplo 8.12 cuja equação eraB %C %D # œ ! B %C %D œ # !, ou seja, .

Da equação cartesiana concluímos que , pelo queLT œ " % %c dl l c d l lÔ ×Ô ×

Õ ØÕ Ø È8t œ R K R œ R œ K œ œ "! Ê 8t œ "!" % % # # # %"

#

% # # "

# # $ %

#/ /

"T T TL L L

A obtém-se dividindo ambos os membros de por :equação hessiana B %C %D œ # 8tl l" % % #

"! "! "! "!B C D œÈ È È È

A distância do plano à origem é e, de passagem, obtemos os cossenos dos ângulos entre#"!È

a normal ao plano e os eixos

ÚÝÝÛÝÝÜl ll ll l È/t œ œ Ê œ

/t œ # œ Ê œ

/t œ # œ Ê œ

"" ""! "!

#% #"! "!

$% #"! &

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

! ! !

" " "

# # #

È È

È È

È È

Quanto à , temosequação axial

B %C %D œ # Ê œ " Ê œ "B %C %D B C D

# # # # "Î# "Î#

Portanto, a equação axial do plano é , pelo que as coordenadas dos pontosB D# "Î# "Î#

C œ "

de intersecção do plano com os eixos são , e .a b ˆ ‰ ˆ ‰#ß !ß ! !ß ß ! !ß !ß" "# #

8.3 Estudo da recta

8.3.1. Recta definida por um ponto e uma direcção

Tomemos em um vector : o subespaço vectorial terá dimensão . O subespaçoWs$

?t Á 9t P ?t "a bafim gerado por um ponto e por tem dimensão e< œ ØUàP ?t Ù § U − P ?t "a b a bR R$ $ é

chamado recta de que passa pelo ponto e com a direcção de R$ U ?t; tomando um referenciala b a b a b a bSà /t ß /t ß /t U B ß C ß D ?t +ß ,ß - <" # $ ! ! ! e pondo e nesse referencial, vimos no exemplo 7.4 que é o conjunto dos pontos da forma , com U >?t > − ‘

T − < Í T U − P ?t Í b T U œ >?t Í b T œ U >?ta b>− >−‘ ‘


ou seja,

< œ ØUàP ?t Ù œ T − À b T œ U >?ta b œ R$

>−‘

A da recta é, portanto,equação vectorial <

T œ U >?tà > − Þ‘ a b8.22 1

Matricialmente, teremos

T œ U >Y à > − Þ‘ a b8.22 2

A igualdade matricial anterior equivale às três seguintes:equações paramétricas

ÚÛ a bÜ

B œ B +>C œ C ,>D œ D ->

à > − Þ!

!

!

‘ 8.22 3

Supondo , podemos eliminar o parâmetro nas equações anteriores e obter as+ß ,ß - Á ! >equações não paramétricas seguintes, conhecidas por da recta equações normais <

B B C C D D

+ , -œ œ

! ! ! a b8.23

nas quais os escalares são denominados da recta (visto serem eles+ß ,ß - parâmetros directores

que determinam a direcção da recta, isto é, o vector ); se , ou forem nulos, então a?t + , -equação 8.22.3 dá-nos , ou respectivamente (a recta será paralela aa b B œ B C œ C D œ D! ! !

S]^ S\^ S\], a ou a ), pelo que podemos considerar a equação normal 8.23 válidaa bmesmo em tais casos, desde que convencionemos que os numeradores são nulos sempre que o

mesmo acontecer aos denominadores.

Como é , um pelo menos dos números não é nulo e uma ou mais das equações?t Á 9t +ß ,ß -a b8.22.3 pode ser resolvida em ordem a ; substituindo depois nas outras duas equações, somos> >conduzidos a um sistema de duas equações não paramétricas, conhecidas por equações

reduzidas da recta, de uma das formas seguintes, onde ,7ß8ß :ß ; − ‘

+ Á ! ÊC œ 7B :D œ 8B ;

, Á ! ÊB œ 7C :D œ 8C ;

- Á ! ÊB œ 7D :C œ 8D ;

œœœ

a b8.24

Relativamente às representações anteriores da recta , podemos dizer que (ver figura 8.21):<

ñ + Á ! "ß7ß 8 +ß ,ß - No caso , são proporcionais a e constituem a b a b parâmetros directores

da recta cujo no plano é . A recta está definida mediante a intersecção detraço S]^ !ß :ß ;a bdois planos, sendo o primeiro paralelo a e o segundo paralelo a ; estes planos são osS^ S]planos projectantes da recta sobre e sobre respectivamente.< S\] S\^


ñ , Á ! 7ß "ß 8 +ß ,ß - No caso , são proporcionais a e constituem a b a b parâmetros directores

da recta cujo no plano é . A recta está definida mediante a intersecção detraço S\^ :ß !ß ;a bdois planos, sendo o primeiro paralelo a e o segundo paralelo a ; estes planos são osS^ S\planos projectantes da recta sobre e sobre respectivamente.< S\] S]^

ñ - Á ! 7ß8ß " +ß ,ß - No caso , são proporcionais a e constituem a b a b parâmetros directores

da recta cujo no plano é . A recta está definida mediante a intersecção detraço S\] :ß ;ß !a bdois planos, sendo o primeiro paralelo a e o segundo paralelo a ; estes planos são osS] S\planos projectantes da recta sobre e sobre respectivamente.< S\^ S]^

/ / /

Fig. 8.21 – Representação da recta pelas .equações reduzidas

Exemplo 8.15 Consideremos dotado do referencial do exemplo 8.12 e determinemos asR$

várias representações analíticas da recta que passa pelo ponto e é perpendicular aoU #ß$ß "a bplano de equação

$B #C $D œ %

As coordenadas de um vector perpendicular ao plano são , pelo queR œ K/"L

R œ K œ œ" "

# #

% # # $ ## # # # %# # $ $ (

/"L

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø

O vector é, portanto, perpendicular ao plano e a recta pedida é a que?t œ #/t %/t ( /t" # $

passa por e tem a direcção de . Daqui se segue:U ?t

A equação vectorial da recta é

T œ S # #> /t $ %> /t " (> /ta b a b a b" # $

A da recta éequação matricial

T œ U >Y œ > œ à > −# # # #>$ % $ %>" ( " (>

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø ‘.


A érepresentação paramétrica

ÚÛÜ

B œ # #>C œ $ %>D œ " (>

à > − ‘.

As da recta sãoequações normais

B # C $ D "

# % (œ œ

Resolvendo a 1ª das equações paramétricas em ordem a e substituindo nas outras duas,>obtemos as seguintes equações reduzidas

> œ ÊB #

#

C œ $ %> œ $ % œ #B (

D œ " (> œ " ( œ B ) B##

B# (# #

A recta intersecta o plano no ponto de coordenadas e os parâmetrosS]^ !ß(ß )a bdirectores são . Neste caso, era possível obter mais duas formasˆ ‰ a b"ß #ß œ #ß %ß(( "

# #

diferentes para as equações reduzidas (porque as coordenadas , e do vector são todas+ , - ?tdiferentes de zero), começando por resolver em ordem a a 2ª ou a 3ª das equações>paramétricas e substituindo nas restantes equações. Obteríamos os seguintes resultados>

> œ Ê > œ ÊC $ D "

% (

B œ C B œ D

D œ C C œ D " ( # "'# # ( (

( "( % "(% % ( (

Das equações reduzidas da esquerda, concluímos que a recta intersecta o plano noS\^ponto de coordenadas e que os parâmetros directores são .ˆ ‰ ˆ ‰ a b( "( " ( "

# % # % %ß !ß ß "ß œ #ß %ß(

Das equações reduzidas da direita, concluímos que a recta intersecta o plano no pontoS\]de coordenadas e que os parâmetros directores são .ˆ ‰ ˆ ‰ a b"' "( # % "

( ( ( ( (ß ß ! ß ß " œ #ß %ß(

8.3.2. Recta definida por dois pontos

Seja , com , um referencial de e determinemos a equação da recta a b a bSà / / œ /t ß /t ß /t <" # $$R

que passa pelos pontos e ; este caso pode reduzir-se aodistintos U B ß C ß D U B ß C ß Da b a b! ! ! " " "w

anterior tomando .?t œ U U Á 9tw

T − < Í T U œ > U U Í T œ U > U Ua b a b a bw w 8.25

A da recta é, portanto,equação vectorial <

T œ U > U U à > −a b a bw ‘ 8.26.1

Matricialmente, teremos

T œ U > U U à > −a b a bw ‘ 8.26.2


Desta igualdade matricial derivam as três seguintes:equações paramétricas

ÚÛ a bÜ

a ba ba bB œ B B B >C œ C C C >D œ D D D >

à > −! " !

! " !

! " !

‘ 8.26.3

As da recta serãoequações normais

B B C C D D

B B C C D Dœ œ

! ! !

" ! " ! " !a b8.27

na qual os são .parâmetros directores a bB B ß C C ß D D" ! " ! " !

A condição 8.25 equivale ao anulamento do produto externoa ba b a bT U ‚ U U œ 9tw

o que exige o anulamento das suas três coordenadas, sendo estas calculadas, segundo 6.108.1a be 6.108.2 , pora b

sgna bÈ – —º º º º º º/ K KC C C C D D D D B B B BD D D D B B B B C C C C

det / /" ! " ! ! " ! ! " !

! " ! ! " ! ! " !

T

Concluímos, então, que

ÚÝÝÝÝÝÝÛ a bÝÝÝÝÝÝÜ

º ºº ºº º

C C C CD D D D

œ !

D D D DB B B B

œ !

B B B BC C C C

œ !

! " !

! " !

! " !

! " !

! " !

! " !

8.28.1

As equações anteriores são ainda equivalentes às seguintes (nos determinantes seguintes,subtraia a 1ª coluna às duas últimas e use a expansão de Laplace segundo a 3ª linha)

Úâ âÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÛ a bÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÜ

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

C C CD D D" " "

œ !

D D DB B B" " "

œ !

B B BC C C" " "

œ !

! "

! "

! "

! "

! "

! "

8.28.2

As três equações em 8.28.1 ou 8.28.2 são as equações cartesianas dos planos projectantesa b a bda recta paralelamente a , e (se não forem identidades triviais , caso em que< S\ S] S^ ! œ !a recta é paralela a um dos eixos).


Escolhendo, por entre as três equações anteriores, quaisquer duas não triviais, podemos obteras de .equações reduzidas <

Seja, agora, a matriz seguinte obtida das coordenadas de , eE U B ß C ß D U B ß C ß Da b a b! ! ! " " "w

T Bß Cß Da bE œ −

B B BC C CD D D" " "

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø! "

! "

! "

%‚$‘

Supondo , vamos provar que sse a característica de for igual a :U Á U T Bß Cß D − < E #w a bpara tal, façamos a sequência de operações indicadas, as quais não alteram a característica de E

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØÔ ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

a b

B B B B B B B BC C C C C C C CD D D D D D D D" " " " ! !

B B B > B

! " ! " ! !

! " ! " ! !

! " ! " ! !

! " ! "

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→G ÄG G# # "G ÄG G$ $ "

a b8.26.3

B B B B !C C C > C C C C C !D D D > D D D D D !" ! ! " ! !

B B BC C CD D

! ! " !

! " ! " ! ! " !

! " ! " ! ! " !

! " !

! " !

! "

a ba bÔ ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→G ÄG >G G$ $ # $Eliminar

D" !

!

A hipótese mostra que pelo menos um dos elementos da 2ª coluna não é nulo e,U Á Uw

portanto, nenhuma das colunas é combinação linear das seguintes o que acarreta a respectivaindependência linear, pelo que a característica de é igual a .E #

Por tudo o que acabámos de ver, qualquer das condições seguintes são necessárias e

suficientes para que três pontos e e de sejamU B ß C ß D U B ß C ß D U B ß C ß Da b a b a b! ! ! " " " # # #w ww $R

colineares:

ñ #

B B BC C CD D D" " "

A característica de é igual a .

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø! " #

! " #

! " #

ñ œ œ œ !C C C D D D B B BD D D B B B C C C" " " " " " " " "

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â! " # ! " # ! " #

! " # ! " # ! " #

ñ œ œB B C C D D

B B C C D D (entendendo-se que, se um dos termos destas fracções é# ! # ! # !

" ! " ! " !

nulo, o mesmo deve acontecer ao outro).

De uma maneira geral, uma recta pode sempre ser definida como a intersecção de dois<planos concorrentes (isto é, cujos vectores normais são linearmente independentes); ascoordenadas dos pontos de devem, então, ser solução de um sistema de duasa bBß Cß D <


equações lineares e três incógnitas do tipo

œ a bEB FC GD H œ !E B F C G D H œ !w w w w 8.29

e no qual a matriz simples tem característica igual a . Um tal sistemaQ œ #E F GE F G” •w w w

será simplesmente indeterminado e isto significa que podemos obter duas das variáveis em

função da terceira. Observe que pelo menos um dos determinantes , ouº º º ºF G G EF G G Ew w w w

º ºE FE F

Q #w w é diferente de zero (caso contrário, a matriz não teria característica ) e vamos ver

que estes determinantes são exactamente os da recta definida por 8.29 :parâmetros directores a bcomecemos por transformar 8.29 num sistema homogéneo, tomando uma sua soluçãoa bparticular ; seráa bB ß C ß D! ! !

œ œEB FC GD H œ ! H œ EB FC GDE B F C G D H œ ! H œ E B F C G D

Ê! ! ! ! ! !w w w w w w w w

! ! ! ! ! !

Substituindo e em 8.29 , obtemosH Hw a bœ a b a b a ba b a b a b a bE B B F C C G D D œ !E B B F C C G D D œ !

! ! !w w w

! ! !8.30

O sistema 8.30 é homogéneo nas incógnitas , e ea b B œ B B C œ C C D œ D Dw w w! ! !

simplesmente indeterminado; para o resolver, suponhamos que era

º ºE FE F

Á !w w

A regra de Cramer para sistemas indeterminados (proposição 4.18 do volume 1) dá-nos entãoB C Dw w w e em função de :

ÚÝÝÛÝÝÜº º º º º ºº º º º º ºE F GD F F GE F G D F F G

B œ œ D

E F E GD G EE F E G D G E

C œ œ D

à D −w w w w w w w

w ww

w w w w w w ww w

ww ‘

Finalmente, das equações anteriores resulta, substituindo , e pelos seus valores,B C Dw w w

B B C C D D

F G G E E FF G G E E F

œ œ! ! !

w w w w w wº º º º º º a b8.31

que são as da recta representada por 8.29 , a qual passa pelo pontoequações normais a bU B ß C ß D ß ß

F G G E E FF G G E E F

a b Œ º º º º º º! ! ! w w w w w w e tem os parâmetros directores . A recta tem,


pois, a direcção do vector

?t œ /t /t /tF G G E E FF G G E E Fº º º º º º a bw w w w w w" # $ 8.32

Convém notar que todos os resultados aqui obtidos são independentes do facto de oreferencial usado ser o.n. ou não.

Exemplo 8.16 Vamos determinar as da recta que é representada num dadoequações normais

referencial pelas equações cartesianas não paramétricasa bSà /t ß /t ß /t" # $

œB $C #D % œ !$B C #D ' œ !

ñ Método 1: Condensemos verticalmente a matriz completa do sistema

” • ” • ” •” • ” •

" $ # % " $ # % " $ # %$ " # ' ! ) ) ' ! % % $

% ! % ( " ! " (Î%! % % $ ! "

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→

P ÄP $P# # " P Ä P# #"#

P Ä%P $P" " #

P Ä P" ""%

P Ä P# #"% " $Î%

A solução do sistema é, com ,D − ‘

ÚÝÛÝÜB œ D

C œ D

D œ D

(%$%

Daqui resultam as da rectaequações normais

B C

" " "œ œ

D !( $% %

que mostram que a recta passa pelo ponto e tem como ˆ ‰ a b ß ß ! "ß "ß "( $% % parâmetros

directores: a recta tem a direcção do vector ./t /t /t" # $

ñ Método 2: Os dados em 8.32 são:parâmetros directores a bÚÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÜ

º º º ºº º º ºº º º º

F G $ #F G " #

œ œ )

G E # "G E # $

œ œ )

E F " $E F $ "

œ œ )

w w

w w

w w

Obtivemos, como era de esperar, parâmetros directores múltiplos dos obtidos pelo métodoanterior . Para determinar uma solução particular do sistema dado,a b a b)ß)ß) œ ) "ß "ß "podemos aí fazer, por exemplo, para obter e e concluímos que aB œ # C œ *Î# D œ "&Î%recta passa pelo ponto de coordenadas . Somos conduzidos às a b#ß*Î#ß"&Î% equações

normais seguintes que, embora distintas das obtidas pelo método anterior, representam a mesma


recta

B #

) ) )œ œ

C D * "&# %

8.3.3. Recta passando por um ponto e perpendicular a um plano

Fixado um referencial em , vamos agora determinar a equação da recta que passaa bSà / <R$

por um ponto e é perpendicular a um plano dado pela sua representação paramétrica ou pela1

representação cartesiana não paramétrica:

ñ Se forem conhecidas as do plano na formaequações paramétricas 1

ÚÛ a bÜ

B œ B ? = @ >C œ C ? = @ >D œ D ? = @ >

à =ß > −! " "

! # #

! $ $

#‘ ,

poderemos concluir que o plano passa por e é paralelo ao subespaço comT B ß C ß D P ?tß @t! ! ! !a b a b?t ? ß ? ß ? @t @ ß @ ß @ 8t œ ?t ‚ @ta b a b" # $ " # $ e ; deste modo, a normal ao plano tem a direcção do vector e a da recta que passa por um ponto e é perpendicular ao planoequação vectorial < U +ß ,ß -a bserá

< ´ T œ U > ?t ‚ @t à > −a b ‘

→

→

→

→ →=

Fig. 8.22 – Recta passando por um ponto e perpendicular a um plano.

Atendendo a 6.118.1 e ao facto de que é um escalar (não nulo), teremos aa b a b a bÈsgn / K /seguinte para a recta equação matricial <

< ´ œ >K ß ß à > −B +C ,D -

? @ ? @ ? @? @ ? @ ? @

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø ” •º º º º º º"

/# # $ $ " "

$ $ " " # #

T

‘

Se o referencial for o.n., então fica simplesmente

< ´ œ > ß ß à > −B +C ,D -

? @ ? @ ? @? @ ? @ ? @

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø ” •º º º º º º# # $ $ " "

$ $ " " # #

T

‘


a que correspodem as equações paramétricas

< ´ C œ , > à > −

B œ + >? @? @

? @? @

D œ - >? @? @

ÚÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÜ

º ºº ºº º

# #

$ $

$ $

" "

" "

# #

‘

ñ Se o plano estiver definido pela sua representação 1 cartesiana não paramétrica

1 L L´ T H œ ! à œ Á SE F GT T c d ,

então, as coordenadas na base de um vector normal ao plano são e teremos as/ 8t R œ K/"L

seguintes e para a recta que passa por e éequações vectorial matricial < U +ß ,ß -a bperpendicular ao plano 1

< ´ T œ U >8t

< ´ T œ U >Kà > −

/"L

‘

Se o referencial for o.n., fica

< ´ T œ U > à > −L ‘

e, nesse caso, as equações paramétricas de serão<

< ´ à > −B œ + E >C œ , F >D œ - G >

ÚÛÜ ‘

Exemplo 8.17 Tomando em o R$ referencial do exemplo 8.12, vamos determinar a equação

da recta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano que passa por< U #ß "ß"a bT #ß#ß " ?t #ß"ß # @t #ß !ß"!a b a b a b e é paralelo às direcções definidas pelos vectores e . Umvector ortogonal ao plano é , o qual, segundo 6.118.1 , é proporcional ao vector 8t œ ?t ‚ @t =ta bde coordenadas dadas porW

W œ K ß ß? @ ? @ ? @? @ ? @ ? @

œ ß ß"

#

% # ## # ## # $

" ! # " # ## " # # " !

œ#$#

"/

# # $ $ " "

$ $ " " # #” •º º º º º º

Ô ×Õ Ø” •º º º º º º

Ô ×Õ Ø

T

T


Então, a da recta seráequação matricial <

< ´ œ > œ à > −B # # # #>C " $ " $>D " # " #>

Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø ‘

As respectivas sãoequações paramétricas

< ´ à > −B œ # #>C œ " $>D œ " #>

ÚÛÜ ‘

Exemplo 8.18 No referencial do exemplo 8.12, consideremos o plano de equação1

1 ´ #B $C #D $ œ !

e determinemos a equação da recta que passa por e é perpendicular a . O vector < U "ß "ß # 8ta b 1

de coordenadas é perpendicular ao plano e, portanto, é a recta que passa por eR œ K < U/"L

tem a direcção do referido vector: temos sucessivamente,

K œ"

#

% # ## # ## # $

R œ K œ œ"

#

% # # # *# # # $ (# # $ # )

/"

/"

Ô ×Õ Ø

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØL

A de é e a respectiva será:equação vectorial equação matricial < T œ U >8t

< ´ œ > œ à > −B " * " *>C " ( " (>D # ) # )>

Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø ‘

As sãoequações paramétricas

< ´ à > −B œ " *>C œ " (>D œ # )>

ÚÛÜ ‘

As de sãoequações normais <

B " C " D #

* ( )œ œ

A partir destas, podemos obter as por exemplo na formaequações reduzidas

B œ D

C œ D

* &) %

( "") %


8.4 Problemas não métricos

Abordamos nesta secção alguns problemas geométricos que não dependem das noçõesmétricas definidas em enquanto espaço euclidiano e que, consequentemente, não fazemR$

intervir o produto interno nem a matriz da métrica.

8.4.1. Posição relativa de três planos

O estudo da posição relativa de três planos , e representados, num certo referencial,1 1 1" # $

pelas suas equações cartesianas não paramétricas reduz-se ao estudo das soluções de um sistemade três equações lineares e três incógnitas da forma

ÚÛÜ

L

L

L

" "

# #

$ $

T

T

T

T H œ !

T H œ !

T H œ !

com .T œ B C Dc dT

2

3

1

1

2

2

2

2

3

3

3

1

1

1

2

22

3

3

3

Fig. 8.23 – Posição relativa de três planos.

Sejam a matriz simples e a matriz ampliada do sistema e façamosE œ Ec dL L L" # $wT

< œ E = œ E < "c e c . Como os não são nulos, será necessariamente e sabemosa b a bw 3L

também que é ou . A discussão das cinco situações possíveis consta da tabela= œ < = œ < "8.1 seguinte e os casos 2 a 5 estão ilustrados na figura 8.22:

Sec. 8.4] Problemas não métricos 61

Caso r 3 – r s Sistema Posição relativa de três planos

1 Possível Os três planos são coincidentes

2 ImpossívelOs três planos são paralelos, sendo que dois,

pelo menos, não coincidem: intersecção vazia

2 PossívelOs três planos intersectam-se segundo uma recta

(podendo dois deles ser coincidentes)

3 ImpossívelDois planos intersectam-se segundo uma recta e o

terceiro é paralelo a essa recta: intersecção vazia

3 0 3 Possível Os planos intersectam-se num ponto

1

2

2

1

1

2

3

4

5

Tab. 8.1 – Posição relativa de três planos.

Exemplo 8.19 Analisemos a posição relativa dos planos representados, em certo referencial,pelas equações

ÚÛÜ

B #C D " œ !#B C D $ œ !%B $C $D " œ !

Para tal, basta resolver o sistema anterior, o que faremos por condensação vertical darespectiva matriz completa

Ô × Ô ×Õ Ø Õ ØÔ ×Õ Ø ” •

" # " " " # " "# " " $ ! & " &% $ $ " ! & " &

" # " "! & " &! ! ! !

" " # "! " & &

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

P ÄP #P# # "P ÄP %P$ $ "

P ÄP P$ $ #

G ÇG# $P ÄP" " #P

P ÄP# # ” •" ! $ %! " & &

Temos e o sistema é simplesmente indeterminado (caso 3 da tabela 8.1), portanto,< œ = œ #os três planos , cujas equações reduzidas sãointersectam-se segundo uma recta <

œB œ $C %D œ &C &

e cujas equações normais são

B % C ! D &

$ " &œ œ

Podemos, pois, dizer que a recta passa pelo ponto e tem a direcção do vector< U %ß !ß&a b?t $ß "ß & $ " &a b ou ainda que , e são parâmetros directores da recta. Resta acrescentar que ostrês planos dados são distintos, dado que as linhas da matriz simples do sistema são linearmenteindependentes duas a duas (configuração semelhante ao caso 3 da figura 8.22).


8.4.2. Posição relativa de uma recta e um plano

Se, num certo referencial , representarmos uma recta pelo sistema de duas equaçõesa bSà / <cartesianas não paramétricas independentes

< ´ à œ #T H œ !

T H œ !œ ˆ ‰c dL

LL L" "

# #" #

T

T

Tc

e o plano pela equação cartesiana não paramétrica1

1 L L´ T H œ !à Á ST ,

o estudo da posição relativa de e consiste na discussão do sistema composto pelas três< 1

equações cartesianas anteriores e é, portanto, semelhante ao caso já discutido antes (posiçãorelativa de três planos), excepto que agora não pode ser . A tabela seguinte e a figura 8.23< œ "resumem a discussão:

Caso r 3 – r s Sistema Posição relativa da recta e do plano

2 Possível A recta está contida no plano

3 Impossível A recta é paralela ao plano: intersecção vazia

3 0 3 Possível A recta e o plano intersectam-se num ponto

2 1

1

2

3

Tab. 8.2 – Posição relativa de uma recta e um plano.

O problema pode ainda ser abordado de outra perspectiva, considerando a recta <representada, no mesmo referencial, parametricamente por

< ´ T œ U >Y à Y Á S • > − ‘ a b8.33

e o plano pela equação cartesiana não paramétrica1

1 L L´ T H œ !à Á ST a b8.34

Ora, a recta é paralela ou está contida no plano sse a normal ao plano for ortogonal ao8tvector de coordenadas , isto é, ; como as coordenadas de são ,?t Y 8t † ?t œ ! 8t R œ K/

"L

teremos ; podemos pois escreverL LT TK K Y œ Y œ !/"

/

< ² Í Y œ !1 LT

→ →→→

→

2

2

2

3

3

3

→

Fig. 8.24 – Posição relativa de uma recta e um plano.


Por outro lado, sendo , teremos sse os pontos pertencem também ao< ² < § T − <1 1

plano, ou seja, se satisfazem , em particular, isso deverá suceder com ;LTT H œ ! U − <concluímos que

< § Í Y œ ! • UH œ !1 L LT T

Se for , então a recta intersecta o plano num ponto, o qual pode ser determinadoLTY Á !substituindo 8.33 em 8.34 e resolvendo a equação do 1º grau no parâmetro obtida:a b a b >

LL

LT

T

Ta bU >Y H œ ! Ê > œ

UH

Y

Basta agora substituir em para obter o ponto de intersecção> T œ U >Y T

T œ U YUH

YŒ a bL

L

T

T 8.35

A tabela seguinte, semelhante à anterior, mostra a discussão sobre a posição relativa de umarecta e de um plano, representados respectivamente por 8.33 e 8.34 :a b a b

Tab. 8.3 – Posição relativa de uma recta e um plano.

Exemplo 8.20 Vejamos a posição relativa da recta definida por<

< ´B D œ !B #C " œ !œ

e do plano de equação . Trata-se de resolver o seguinte sistema de1 B $C #D ' œ !equações lineares

ÚÛÜ

B D œ !B #C " œ !B $C #D ' œ !

Condensando verticalmente a matriz completa, vem (caso 3 da tabela 8.2), pelo< œ = œ $que no ponto de coordenadas , que é a solução doa recta encontra o plano T $ß "ß$a b


sistema determinado, como se mostra a seguir

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø" ! " ! " ! ! $" # ! " ! " ! "" $ # ' ! ! " $

Ä

Outra forma de resolver o problema seria começar por obter uma representação paramétricada recta : da representação cartesiana não paramétrica de obtemos as equações reduzidas< <

< ´D œ B

C œ B œ " "# #

e destas, as equações normais

< ´ œ œB ! D !

" "

C

"#

"#

Assim, a recta passa pelo ponto de coordenadas e tem os parâmetros directoresU !ß ß !ˆ ‰"#a b ˆ ‰#ß"ß # œ # "ß ß ""

# ; temos então:

U œ ß Y œ ß œ ß H œ '

!

" $

!

# "

# #

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø"

# L

Ora , o que mostra que a recta intersecta o plano (caso 3 da tabela 8.3) noLTY œ & Á !ponto de coordenadasT

T œ U Y œ œ œUH $Î# ' $

Y & #

! !

" " "

! !

# # $

# # $Œ Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×

Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ ØL

L

T

T " "

# #

8.4.3. Posição relativa de quatro planos

O estudo da posição relativa de quatro planos , , e representados, num certo1 1 1 1" # $ %

referencial, pelas suas equações cartesianas não paramétricas equivale ao estudo das soluções deum sistema de quatro equações lineares e três incógnitas reais da forma

ÚÝÝÛÝÝÜL

L

L

L

" "

# #

$ $

% %

T

T

T

T

T H œ !

T H œ !

T H œ !

T H œ !

com e os matrizes-coluna não nulas.T œ B C Dc dT L3

Sejam a matriz dos coeficientes e a matriz completa do sistema,E œ Ec dL L L L" # $ %wT

com características e respectivamente. Como os não são nulos, será necessariamente< = L3

< " = œ < = œ < "; por outro lado, vimos no capítulo 2 que é ou . A discussão das seissituações possíveis consta da tabela 8.4 seguinte.


Caso r 3 – r s Sistema Posição relativa de quatro planos

1 Possível Os quatro planos são coincidentes

2 ImpossívelOs quatro planos são paralelos, sendo que dois,

pelo menos, não coincidem: intersecção vazia

2 PossívelOs quatro planos intersectam-se segundo uma recta

(podendo dois ou mesmo três deles ser coincidentes)

3 ImpossívelDois planos intersectam-se segundo uma recta e os

outros são paralelos a essa recta: intersecção vazia

3 Possível Os quatro planos intersectam-se num ponto

4 ImpossívelTrês dos planos intersectam-se num ponto e o quarto

plano não passa por esse ponto: intersecção vazia

1

2

2

1

3 0

1

2

3

4

5

6

Tab. 8.4 – Posição relativa de quatro planos.

Exemplo 8.21 Vamos averiguar a situação dos quatro planos cujas equações cartesianas sãoas seguintes

ÚÝÝÛÝÝÜB C #D " œ !B $C &D & œ !$B C D $ œ !#B #C %D $ œ !

- 0.4

- 0.6

- 0.8

Y

1.25

1.5

1.75

2.0

Z

X

- 1.0

- 1.2

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Fig. 8.25 – Posição relativa dos quatro planos do exemplo 8.21.

Para determinar as características e da matriz simples e da matriz completa do sistema< =anterior, condensamos a matriz completa deste

Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

" " # " " " # " " " # " " " # "

" $ & & ! % ( ' ! % ( ' ! % ( '

$ " " $ ! % ( ' ! ! ! ! ! ! ! "

# # % $ ! ! ! " ! ! ! " ! ! ! !

Ä Ä Ä


Temos e , pelo que o sistema é impossível; dois dos planos intersectam-se< œ # = œ $segundo a recta definida por3

3 ´B C #D " œ !%C (D ' œ !œ

e os outros dois planos são paralelos a esta recta, sendo que um deles passa também por e o3

outro não. A figura 8.24 foi obtida com recurso ao e ilustra os planos doMATHEMATICA©

presente exemplo.

8.4.4. Posição relativa de duas rectas

Se, num certo referencial , representarmos duas rectas e por dois sistemas de duasa bSà / < <" #

equações cartesianas não paramétricas independentes

< ´ à œ #T H œ !

T H œ !

< ´ à œ #T H œ !

T H œ !

"" "

# #" #

## #

## ### ##

œ ˆ ‰c dœ ˆ ‰c dL

LL L

L

LL L

1

T1 T

1

T1

1 1

1

T1

T 1

T

c

c

O estudo da posição relativa das duas rectas traduz-se na discussão do sistema compostopelas quatro equações cartesianas anteriores e é, portanto, semelhante ao caso discutido noponto anterior (posição relativa de quatro planos), excepto que agora não pode ser ,< œ "porque as equações são duas a duas independentes. A tabela seguinte condensa o estudo desteproblema:

Caso r 3 – r s Sistema Posição relativa de duas rectas

2 Possível As duas rectas são coincidentes

3 Impossível As duas rectas são paralelas: intersecção vazia

3 Possível As duas rectas são concorrentes num ponto

4 Impossível As duas rectas são enviesadas: intersecção vazia

2 1

3 0

1

2

3

4

Tab. 8.5 – Posição relativa de duas rectas.

Esta questão pode ainda ser encarada por outra via, considerando as rectas e < <" #

representadas, no mesmo referencial, parametricamente pelas equações matriciais

< ´ T œ U >Y à Y Á S • > −

< ´ T œ U =Z à Z Á S • = −" "

# #

‘

‘

nas quais e são colunas contendo as coordenadas na base dos vectores e que definemY Z / ?t @ta direcção das rectas e e os parâmetros usados. Sabemos que o produto externo de e se> = ?t @tanula sse é linearmente dependente, isto é, sse as rectas têm a mesma direcção e são,a b?tß @tportanto, ou : conforme for ou ,paralelas coincidentes a b a bU U ‚ ?t œ 9t U U ‚ ?t Á 9t# " # "

teremos coincidência ou paralelismo.

No caso de ser , as rectas não têm a mesma direcção e serão ou?t ‚ @t Á 9t concorrentes

enviesadas, consoante estiverem contidas ou não num mesmo plano. A distinção entre estasduas situações pode ser feita observando que é ortogonal a sse as duas rectas?t ‚ @t U U# "


estão contidas num mesmo plano, ou seja, através do anulamento ou não do produto misto?t ‚ @t † U Ua b# " . Finalizamos com a tabela 8.6 semelhante à anterior:

Tab. 8.6 – Posição relativa de duas rectas.

O estudo da posição relativa de duas rectas podia também fazer-se determinando aintersecção das duas rectas, isto é, determinando tais que , o que=ß > − U >Y œ U =Z‘ " #

equivale a

>Y =Z œ U U# "

A igualdade matricial anterior é um sistema de três equações nas duas incógnitas , cujaa b>ß =matriz simples é e com como matrizE œ Y Z − E œ E U U − ‘ ‘‘ ‘$ß# w $ß$

# "

completa; se for c e c , teremos e, claro, ou . A< œ E = œ E " Ÿ < Ÿ # = œ < = œ < "a b a bwposição relativa das rectas decorre dos valores de e , como se mostra na tabela 8.7.< =

Caso r 2 – r s Sistema Posição relativa de duas rectas

1 Possível As duas rectas são coincidentes

2 Impossível As duas rectas são paralelas: intersecção vazia

2 Possível As duas rectas são concorrentes num ponto

3 Impossível As duas rectas são enviesadas: intersecção vazia

1

2

1

0

1

2

3

4

Tab. 8.7 – Posição relativa de duas rectas: outra abordagem.

Exemplo 8.22 Analisemos a posição relativa das rectas e definidas, em certo referencial,< =respectivamente pelas suas representações cartesiana e paramétrica

< ´ = ´ à > −B %C D $ œ !B #C #D ' œ !

B œ $ >C œ # $>D œ $ #>

œÚÛÜ ‘

Da equação paramétrica de , obtemos as seguintes equações normais=

= ´ œ œB $ C # D $

" $ #,


das quais resulta depois a representação cartesiana de =

= ´$B C ( œ !#C $D & œ !œ

Estudar a posição relativa das rectas e consiste em resolver o sistema formado pelas< =quatro equações lineares de e de conjuntamente e cuja matriz completa é< =

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ ØÔ × ÔÖ Ù ÖÖ ÙÕ Ø

" % " $ " % " $ " % " $" # # ' ! ' $ * ! # " $$ " ! ( ! "$ $ "' ! "$ $ "'! # $ & ! # $ & ! # $ &

Ä Ä Ä

" " % $! " # $! $ "$ "'! $ # &

Ä Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø× Ô ×Ù Ö Ù" " % $ " " % $

! " # $ ! " # $! ! ( ( ! ! " "! ! % % ! ! ! !

Ä

Temos (caso 3 da tabela 8.5) e o sistema é determinado sendo as duas rectas< œ = œ $concorrentes num ponto cujas coordenadas são a solução do sistema anterior que vamosfinalmente obter

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø" " % $ " " ! " " ! ! #! " # $ ! " ! " ! " ! "! ! " " ! ! " " ! ! " "

Ä Ä

Concluímos que , em que as coordenadas de são . A figura< = œ U U #ß"ß"e f a bseguinte mostra as rectas e o ponto de intersecção.

01

23

4

-4

02

-3

-2

-1

0

1

-2 -1-3

1

Fig. 8.26 – As rectas e obtidas no .< = MATHEMATICA©

8.4.5. Família de planos passando por um ponto

Procuremos a equação geral dos planos que passam por um ponto dado (U − R$ estrela de

planos de vértice U): vimos que a equação cartesiana de um plano é

LTT H œ !,

onde , com , , e reais e coordenadas dos pontosLT Tœ Á S E F G H T œE F G B C Dc d c ddo plano num dado referencial. Se é um ponto dado e o plano passa por esteU B ß C ß Da b! ! !

ponto, então é


LTUH œ !

e, subtraindo membro a membro as igualdades anteriores, obtemos a equação geral dos planosque passam por U

L L ‘ ‘Ta b e f a bT U œ !à − Ï S U −com e fixo. 8.36.1$ß" $ß"

Pelo menos um dos números , e não é nulo, pelo que podemos sempre dividir ambosE F Gos membros por um destes três coeficientes, para obter uma equação, com apenas doisparâmetros reais: por exemplo, se for , obtemosG Á !

! " ! " ‘a b a b a bB B C C D D œ !à ß −! ! ! 8.36.2

em que e . Convém observar que esta equação não é equivalente a 8.36.1 ,! "œ EÎG œ FÎG a bpois ela não nos fornece os planos paralelos ao eixo (para os quais é ) e que passamS^ G œ !por .U

Exemplo 8.23 A família de planos que passa pelo ponto , relativamente a umU "ß#ß "a bdado referencial é definida porS\]^

E B " F C # G D " œ !à EßFßG − Ï !ß !ß !a b a b a b a b e fa b‘$

Supondo e fazendo e , vemE Á ! œ FÎE œ GÎE! "

B " C # D " œ !à ß −! " ! " ‘a b a b a b #

A última forma exclui os planos paralelos a e que passam por .S\ U

8.4.6. Família de planos passando por uma recta

Consideremos, num certo referencial , uma recta representada pelo sistema de duasa bSà / <equações cartesianas não paramétricas independentes

< ´ à œ #T H œ !

T H œ !œ ˆ ‰c dL

LL L" "

# #" #

T

T

Tc

e procuremos a equação geral dos planos que contêm ( ): trata-< feixe de planos passando por <se, como facilmente se conclui, da seguinte equação, na qual e são reais arbitrários não! "

simultaneamente nulos

! L " L ! "ˆ ‰ ˆ ‰ a b a b a b" #" #T TT H T H œ !à ß Á !ß ! 8.37.1

a qual se pode ainda escrever na forma

a b a b a b a b a b!L "L ! " ! "" # " # T H H œ !à ß Á !ß !T 8.37.2

Observe que se tem necessariamente , pois o anulamento deL !L "Lœ Á S" #

!L "L ! " L L" # " # œ œ ! implicaria , dada a independência linear de e ; isto mostra que aequação anterior representa sempre um plano, para quaisquer , e esse planoa b a b! "ß Á !ß !contém , porque os pontos de anulam simultaneamente e . Além disso,< < T H T HL L" #" #

T T

qualquer plano que contenha a recta pertence à família de planos 8.37.1 , porque o sistema1 < a b


formado pelas equações dos três planos (a equação de mais as duas equações que determinam1

< <) terá de ser equivalente ao sistema que define a recta , pelo que a equação de terá que ser1

combinação linear das equações definidoras de , ou seja, da forma 8.37.1 .< a bPor último, observemos apenas que a família de planos que passam por pode ser indexada<

por um parâmetro apenas, bastando para tal dividir ambos os membros de 8.37.1 por ou ,a b ! "

supostamente não nulo: por exemplo, se for e pondo , podemos obter a família" # ! "Á ! œ Îseguinte indexada por :# ‘−

# L L # ‘ˆ ‰ ˆ ‰ a b" #" #T TT H T H œ !à − 8.37.3

Neste caso, há que juntar a estes planos o plano que é representado por , oL" "TT H œ !

qual não se obtém pela expressão anterior.

Exemplo 8.24 A família de planos que passa pela recta representada por<

< ´#B C D # œ !B C D " œ !œ

tem a forma geral

! " ! " ‘a b a b a b e fa b#B C D # B C D " œ !à ß − Ï !ß !#

Se for e pondo , podemos escrever! # " !Á ! œ Î

a b a b#B C D # B C D " œ !à −# # ‘

Esta última expressão, todavia, não inclui o plano de equação .B C D " œ !

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