INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

LAURO CHAGAS E SÁ

CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO DE MAQUETE ELETRÔNICA PARA ENSINO DE

GRAFOS: APRENDIZAGENS DISCENTES A PARTIR DE UMA ABORDAGEM

HISTÓRICO-INVESTIGATIVA

Vitória

2016

LAURO CHAGAS E SÁ

CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO DE MAQUETE ELETRÔNICA PARA ENSINO DE

GRAFOS: APRENDIZAGENS DISCENTES A PARTIR DE UMA ABORDAGEM

HISTÓRICO-INVESTIGATIVA

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Educação em Ciências e Matemática do

Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória, como

requisito parcial para obtenção do título de Mestre em

Educação em Ciências e Matemática.

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Sandra Aparecida Fraga da Silva

Vitória

2016

(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo)

S111c Sá, Lauro Chagas e. Construção e utilização de maquete eletrônica para ensino de

grafos : aprendizagens discentes a partir de uma abordagem histórico-investigativa / Lauro Chagas e Sá. – 2016.

149 f. : il. ; 30 cm Orientadora: Sandra Aparecida Fraga da Silva.

Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo,

Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, Vitória, 2016.

1. Teoria dos grafos. 2. Matemática (Ensino médio). 3. Matemática

– Historiografia. 4. Apredizagem. I. Silva, Sandra Aparecida Fraga da Silva. II. Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título.

CDD: 511.5

AGRADECIMENTOS

À Deus, pela minha vida.

Aos meus pais, Ronaldo e Gilséia, e à minha tia/madrinha, Marise, pela forma como

me criaram e pelo apoio que sempre me deram.

À Sandra Fraga, minha orientadora, professora, mãe-acadêmica e, acima de tudo,

amiga, que esteve comigo nos últimos seis anos, acreditando em mim e me

incentivando a alçar voos mais altos. Comecei como aluno da graduação e hoje

somos colegas de trabalho. Tenho muito orgulho disso!

Aos amigos do Grupo de Estudos em Educação Matemática do Espírito Santo

(Geem/ES). Em especial, à Cátia Palmeira e Elcio Milli, que sempre estão comigo, e

à Vânia Santos-Wagner, que também é como uma mãe para mim.

Aos professores, coordenadores, servidores da equipe pedagógica, diretores e,

especialmente, alunos do Ifes Linhares e da escola-campo, por acreditarem nesta

pesquisa e por viabilizarem seu desenvolvimento.

Aos professores e colegas do Mestrado Profissional em Educação em Ciências e

Matemática, do programa Educimat/Ifes, que contribuíram para minha formação. Em

especial, à Sabrine e Wanessa, com quem formo uma troika muito boa.

À Prof. Dra. Julia Wrobel e ao Prof. Dr. Alex Jordane, por aceitarem compor a

comissão examinadora deste trabalho. À Profa. Drª. Lígia Sad, por participar, mais

uma vez, da banca examinadora de uma pesquisa minha.

Muito obrigado!

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática

RESUMO

Esta pesquisa de mestrado, de natureza qualitativa, investiga aprendizagens

discentes durante construção e utilização de uma maquete eletrônica para ensino da

Teoria de Grafos. Adotamos como formato metodológico a pesquisa-ação,

considerando a participação de alunos e professores do curso técnico em

Automação Industrial do Instituto Federal do Espírito Santo, campus Linhares, na

construção da maquete eletrônica que proporcionou a abordagem de grafos com

estudantes de ensino médio da rede estadual de educação. As etapas da pesquisa

compreenderam: fase exploratória, definição da abordagem, realização de

seminários, registros em atas, apresentação do projeto em Feiras de Matemática e

validação da proposta educativa em dois momentos. Em sala de aula, adotamos

uma perspectiva histórico-investigativa, que concatena o marco teórico da

Investigação Matemática e da História da Matemática, numa abordagem

sociocultural. Ao final do processo investigativo utilizando a maquete eletrônica,

observamos que os alunos da educação básica enunciaram o Teorema dos

Caminhos Eulerianos e formalizaram conceitos relativos à Teoria de Grafos.

Também corroboramos, junto aos alunos-pesquisadores da educação profissional, a

tese de que conteúdos são conceitos e teorias que constituem sínteses da

apropriação histórica da realidade material e social pelo homem. Ademais,

verificamos que esses estudantes reconheceram a Teoria de Grafos como

conhecimento construído historicamente, a partir do qual se podem construir novos

conhecimentos, inclusive técnicos. Finalmente, verificamos que o projeto de

investigação para construção da maquete eletrônica e as tarefas de investigação

propostas em sala de aula proporcionaram aos alunos uma atividade semelhante à

dos matemáticos, permitindo-lhes o prazer da descoberta e apresentando-lhes a

matemática como produção humana.

Palavras-chave: Teoria de Grafos. História da Matemática. Investigação

Matemática. Ensino Médio.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática

ABSTRACT

This master's research, qualitative, investigates students learning during construction

and use of an eletronic model for teaching Graph Theory. We adopted as a

methodological format action research, considering the participation of students and

teachers of technical course in Industrial Automation at the Federal Institute of the

Espírito Santo in building the eletronic model that provided the approach of graphs

with high school students in the state education network. The stages of the research

included: exploratory, definition of the approach, seminars, records in minutes,

project presentation in Fairs of Mathematics and validation of educational proposal in

two stages. In the classroom, we take a historical and investigative perspective,

concatenate the theoretical framework of the Mathematics Research and History of

Mathematics, through a sociocultural approach. At the end of the investigative

process using the eletronic model, we observed that students of basic education

enunciated the theorem Eulerian Paths and formalized concepts related to Graph

Theory. We also corroborate, with the students-researchers of vocational education,

the thesis that content are concepts and theories that are summaries of historical

appropriation of material and social reality by man. In addition, we found that

students recognized the Graph Theory as knowledge historically constructed, from

which one can build new knowledge, including technical. Finally, we found that the

research project to build the eletronic model and the proposed research tasks in the

classroom provided students with an activity similar to that of mathematicians,

allowing them the pleasure of discovery and presenting them mathematics as human

production.

Keywords: Graph Theory. History of Mathematics. Mathematical Investigation. High

School.

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Dissertações do ProfMat sobre Teoria de Grafos, apresentadas em

2014. ...................................................................................................... 32

Quadro 2 – Ambientes de aprendizagem. ................................................................. 43

Quadro 3 – Momentos da pesquisa-ação. ................................................................ 47

Quadro 4 – Primeira lei de Kirchhoff. ........................................................................ 54

Quadro 5 – Segunda lei de Kirchhoff ........................................................................ 54

Quadro 6 – Síntese dos conteúdos do núcleo profissional utilizados durante o projeto

da maquete eletrônica. ........................................................................... 79

Quadro 7 – Questões objetiva sobre grafos na prova trimestral de matemática. ...... 93

Quadro 8 – Questões discursivas sobre grafos na prova trimestral de matemática. . 94

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Esboço da cidade de Königsberg ............................................................. 16

Figura 2 – Esboço do mapa da cidade ...................................................................... 17

Figura 3 – Grafo que representa a cidade de Königsberg. ........................................ 18

Figura 4 – Exemplo de um grafo ............................................................................... 20

Figura 5 – Grafo que modela o metrô do Rio de Janeiro. ......................................... 22

Figura 6 – Localização geográfica dos campi do Ifes. ............................................... 49

Figura 7 – Possíveis jogadas no Sprouts com 2 pontos iniciais. ............................... 55

Figura 8 – Parte do grupo apresentando o jogo Sprouts. .......................................... 57

Figura 9 – Parte do grupo apresentando a História da Teoria de Grafos. ................. 57

Figura 10 – Sabrina construindo uma máquina de estado. ....................................... 62

Figura 11 – Máquina de estado referente ao vértice D da maquete eletrônica (ilha

central com 3 pontes de acesso). ........................................................... 63

Figura 12 – Maquete com componentes eletrônicos para o ensino de Teoria de

Grafos. ................................................................................................... 64

Figura 13 – Arte produzida pelos alunos para servir como fundo na maquete

eletrônica. ............................................................................................... 64

Figura 14 – Alunos reparando os problemas na maquete eletrônica. ....................... 66

Figura 15 – Grupo da pesquisa-ação apresentando o projeto na IV Feira de Ciência

e Engenharia do Espírito Santo .............................................................. 67

Figura 16 – Resolução empírica de um aluno com erro do tipo 1. ............................ 68

Figura 17 – Aluno iniciando seu percurso pela ilha central, conforme indicado pela

LED verde. ............................................................................................. 68

Figura 18 – Resolução empírica de um aluno com erro do tipo 2. ............................ 69

Figura 19 – Interação com a maquete, com destaque para a LED amarela acesa

indicando ponte já utilizada. ................................................................... 70

Figura 20 – Resolução empírica de um aluno com erro tipo 3. ................................. 70

Figura 21 – Interação com a maquete, com destaque para a LED vermelha acesa

indicando fim das possibilidades. ........................................................... 71

Figura 22 – Aluna apresentando suas conjecturas aos colegas. .............................. 86

Figura 23 – Alunas comparando suas hipóteses frente à turma. .............................. 86

Figura 24 – Aluna tentando criar caminhos em seu caderno. ................................... 86

Figura 25 – Modelos dos contra-exemplos apresentados pelo pesquisador durante a

investigação ........................................................................................... 89

Figura 26 – Alternativas apontadas pelos alunos para o Problema das Sete Pontes.

............................................................................................................... 90

Figura 27 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova I. ............... 95

Figura 28 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova II. .............. 96

Figura 29 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova I. ............... 96

Figura 30 – Exemplo de eco mecânico na questão discursiva da prova I. ................ 97

Figura 31 – Exemplo de eco de assimilação na questão discursiva da prova II........ 97

Figura 32 – Alunos realizando investigações prévias a partir da foto da maquete

eletrônica. ............................................................................................... 99

Figura 33 – Alunos realizando investigações prévias a partir da foto da maquete

eletrônica. ............................................................................................... 99

Figura 34 – Estratégias dos alunos para resolver o Problema das Sete Pontes de

Königsberg. .......................................................................................... 100

Figura 35 – Associação que um dos grupos fez entre o Problema das Sete Pontes e

o Problema da Ponta do Lápis ............................................................. 100

Figura 36 – Alunos rodeando a maquete eletrônica no primeiro de atividades. ...... 100

Figura 37 – Relatório de investigação do grupo que propôs a “troca de pontes”. ... 102

Figura 38 – Relatório de investigação ..................................................................... 104

Figura 39 – Relatório de investigação. .................................................................... 104

Figura 40 – Relatório de investigação. .................................................................... 104

Figura 41 – Relatório de investigação. .................................................................... 105

Figura 42 – Relatório de investigação do grupo que associou o problema a um

quebra-cabeça. .................................................................................... 105

Figura 43 – Relatório de investigação do grupo que associou o problema a uma

pegadinha............................................................................................. 106

Figura 44 – Resolução empírica de um aluno na Atividade 3. ................................ 107

Figura 45 – Eco superficial na atividade 2. .............................................................. 107

Figura 46 – Ecos superficiais na atividade 2. .......................................................... 108

Figura 47 – Eco superficial na atividade 1. .............................................................. 108

Figura 48 – Eco superficial na atividade 3. .............................................................. 109

Figura 49 – Eco superficial na atividade 2. .............................................................. 109

Figura 50 – Eco superficial na atividade 2. .............................................................. 110

Figura 51 – Eco mecânico na atividade 1. .............................................................. 111

Figura 52 – Mapa da Grande Vitória com indicação das seis principais pontes. .... 112

Figura 53 – Ecos mecânicos na atividade 2. ........................................................... 112

Figura 54 – Exemplos de grafos, com caminhos eulerianos fechados, construídos

pelos alunos. ........................................................................................ 113

Figura 55 – Exemplos de grafos, com caminhos eulerianos abertos, construídos

pelos alunos ......................................................................................... 113

Figura 56 – Exemplo de grafo sem caminho euleriano, construído por um aluno. .. 114

Figura 57 – Eco de assimilação na atividade 1. ...................................................... 114

Figura 58 – Ecos de assimilação na atividade 1. .................................................... 115

Figura 59 – Eco de assimilação com história da matemática. ................................. 115

Figura 60 – Eco de assimilação do mesmo aluno que utilizou a história de Teoria de

Grafos. ................................................................................................. 116

Figura 61 – Aluno que confundiu caminho euleriano aberto e caminho euleriano

fechado. ............................................................................................... 117

Figura 62 – Aluno que confundiu caminho euleriano aberto e caminho euleriano

fechado. ............................................................................................... 118

Figura 63 – Aluno que confundiu caminho euleriano aberto e caminho euleriano

fechado. ............................................................................................... 118

Figura 64 – Modelo de cartaz para impressão em tamanho A3 .............................. 120

LISTA DE SIGLAS

Ifes – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo

EJA – Educação de Jovens e Adultos

Fecieng-ES – Feira de Ciência e Engenharia do Espírito Santo

Semat – Semana da Matemática

SUMÁRIO

1 PRIMEIRA PONTE: INTRODUÇÃO............................................................... 16

1.1 UMA BREVE INCURSÃO NA HISTÓRIA DA TEORIA DE GRAFOS .............. 16

1.2 AMPLIANDO OLHARES SOBRE OS GRAFOS .............................................. 20

1.3 O CAMINHO PERCORRIDO ATÉ A ESCRITA DA DISSERTAÇÃO ............... 24

1.4 A TEORIA DE GRAFOS COMO CAMPO DE PESQUISA DA EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA ................................................................................................ 29

2 SEGUNDA PONTE: O USO DE HISTÓRIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA

........................................................................................................................ 34

3 TERCEIRA PONTE: INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA .................................. 41

4 QUARTA PONTE: PRESSUPOSTOS METODOLÓGICOS .......................... 46

4.1 A PESQUISA-AÇÃO COMO PRINCÍPIO NORTEADOR ................................ 46

4.2 PERFIL DO GRUPO DE PESQUISADORES .................................................. 48

4.3 FASE EXPLORATÓRIA .................................................................................. 51

4.4 REALIZAÇÃO DE SEMINÁRIOS .................................................................... 56

4.5 CONSTRUÇÃO DA MAQUETE ...................................................................... 58

4.6 APRESENTAÇÃO DO PROJETO EM FEIRAS ............................................... 65

4.7 INTERVENÇÕES EM SALA DE AULA E INSTRUMENTOS PARA OBTENÇÃO

DE DADOS ..................................................................................................... 71

5 QUINTA PONTE: AS EXPERIÊNCIAS DE ENSINO ..................................... 74

5.1 FORMAÇÃO DOS ALUNOS-PESQUISADORES NO MOVIMENTO DA

PESQUISA-AÇÃO .......................................................................................... 75

5.1.1 Aprendizagens conceituais ......................................................................... 75

5.1.2 Interação entre as áreas de ciência e tecnologia ....................................... 77

5.1.3 Desenvolvimento dos alunos em suas dimensões sociais e afetivas ..... 80

5.2 UMA PRIMEIRA INTERVENÇÃO SEM USO DA MAQUETE .......................... 84

5.2.1 Realização da Investigação Matemática ..................................................... 85

5.2.2 Avaliação da aprendizagem e produção de ecos pelos alunos ............... 92

5.3 UTILIZAÇÃO DA MAQUETE ELETRÔNICA EM SALA DE AULA ................... 98

5.3.1 Abordagem histórico-investigativa ............................................................. 98

5.3.2 Análise dos ecos produzidos .................................................................... 106

6 SEXTA PONTE: PRODUTO EDUCACIONAL ............................................. 119

7 SÉTIMA PONTE: ALGUMAS CONCLUSÕES ............................................ 125

REFERÊNCIAS ............................................................................................ 131

ANEXO A – Modelo de autorização dos responsáveis dos alunos ............... 140

ANEXO B – Atividade sobre teoria dos grafos (SÁ, 2014a, p. 91) ................ 141

APENDICE A – Formulário eletrônico........................................................... 142

APENDICE B – Questionário sobre aprendizagens em projetos de matemática

................................................................................................... 146

APENDICE C – Atividades sobre teoria dos grafos ...................................... 148

16

1 PRIMEIRA PONTE: INTRODUÇÃO

1.1 UMA BREVE INCURSÃO NA HISTÓRIA DA TEORIA DE GRAFOS

No início do século XVIII, especula-se que os cidadãos da cidade russa de

Königsberg costumavam passar suas tardes de domingo a caminhar em torno da

sua localidade. Königsberg é constituída por quatro áreas de terra separadas pelo

Rio Pregel, sobre o qual há sete pontes, tal como ilustrado na figura 1. O problema

que os cidadãos fixaram era caminhar ao redor da cidade, cruzando cada uma das

sete pontes apenas uma vez e, se possível, retornar ao seu ponto de partida.

Figura 1 – Esboço da cidade de Königsberg

Fonte: Hopkins; Wilson, 2004, p. 198.

Em 1730, Leonhard Euler (1707-1783) chega à Rússia para ocupar a cadeira de

Filosofia Natural na Academia de Ciências de São Petersburgo. Três anos mais

tarde, com a saída de Daniel Bernoulli (1700-1782), ele tornou-se o principal

matemático da Academia, que, nessa época, tinha lançado uma revista de

matemática, chamada de Commentarii Academia e Scientiarum Imperialis

Petropolitanae. Esta revista foi, durante muito tempo, abastecida com contribuições

de Euler. Segundo Boyer (1974, p. 324), “os editores não tinham que se preocupar

com a falta de material enquanto a pena de Euler trabalhasse”.

Após tomar conhecimento sobre a notoriedade de Euler, o prefeito de uma cidade

próxima a Königsberg enviou uma carta ao matemático suíço em nome de Heinrich

Kiihn, um professor de matemática local. As mensagens trocadas inicialmente não

foram recuperadas, mas uma carta datada de 09 de março de 1736 indica que eles

haviam discutido o problema. Parte dessa carta enviada a Euler está apresentada a

seguir:

17

Você prestaria a mim e a nosso amigo Kiihn o mais valioso serviço, colocando-nos muito em dívida com você, culto Senhor, se você nos enviasse a solução, que você conhece bem, para o problema das sete pontes Könisberg, juntamente com uma prova. [...] Eu adicionei um esboço das referidas pontes... (SACHS; STIEBITZ; WILSON, 1988, p. 134)1.

Figura 2 – Esboço do mapa da cidade

Fonte: Sachs; Stiebitz; Wilson, 1988, p. 135.

Quatro dias após receber essa última mensagem do prefeito, Euler escreveu a

Giovanni Jacopo Marinoni (1676-1755), um matemático e engenheiro italiano que

morava em Viena. Na carta, parcialmente apresentada a seguir, o matemático suíço

apresenta o problema das Sete Pontes de Königsberg e tece alguns comentários

sobre o problema que ele recebera.

Um problema me foi apresentado sobre uma ilha na cidade de Konigsberg, cercada por um rio, atravessado por sete pontes, e foi me perguntado se alguém poderia atravessar as pontes separadas em uma caminhada contínua de tal forma que cada ponte fosse atravessada apenas uma vez. Fui informado que até então ninguém havia demonstrado a possibilidade de fazer isso, ou mostrado que é impossível. Esta questão é tão banal, mas pareceu-me digno de atenção em que nem a geometria, álgebra, ou mesmo

1 Tradução livre de “You would render to me and our friend Kiihn a most valuable service, putting us greatly in your debt, most learned Sir, if you would send us the solution, which you know well, to the problem of the seven Kinigsberg bridges, together with a proof. […] I have added a sketch of the said bridges…”.

18

a arte de contar foram suficientes para resolvê-lo (HOPKINS; WILSON, 2004, p. 202)2.

Verificamos, então, que a partir do Problema das Pontes de Königsberg, Euler

sistematizou um novo campo da Matemática – era o surgimento da Teoria dos

Grafos. O matemático não precisou de mais de uma quinzena de dias para resolver

o enigma. Para isso, ele criou um modelo matemático que simulasse a cidade russa,

que é o que hoje chamados de grafo. Durante a elaboração do grafo, ele

representou as porções de terra (ilhas e margens) por pontos e as pontes por linhas

ligando esses pontos (figura 3).

Figura 3 – Grafo que representa a cidade de Königsberg.

Fonte: Malta; 2008, p. 12.

Apesar de não utilizar as denominações atuais da Teoria dos Grafos, Euler analisou

a quantidade de arestas que incidem em cada vértice, ou seja, analisou o grau dos

vértices. Então, o matemático percebeu que só se pode realizar um caminho

passando em todas as pontes uma única vez se, e somente, cada porção de terra

possuir uma quantidade par de pontes. Em homenagem ao matemático suíço, esse

caminho, ou passeio, é chamado de euleriano. Mais formalmente, enunciamos essa

observação do matemático suíço da seguinte forma:

2 Tradução livre de “A problem was posed to me about an island in the city of Konigsberg, surrounded by a river spanned by seven bridges, and I was asked whether someone could traverse the separate bridges in a connected walk in such a way that each bridge is crossed only once. I was informed that hitherto no-one had demonstrated the possibility of doing this, or shown that it is impossible. This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in that geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficient to solve it”.

19

Teorema (dos Caminhos Eulerianos)

(a) Se um grafo conexo3 tem mais de dois vértices com grau ímpar, então ele não tem passeio euleriano.

(b) Se um grafo conexo tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então ele possui um caminho euleriano aberto, que começa em um vértice, percorre todas as arestas e termina em um vértice diferente do inicial.

(c) Se um grafo conexo não tem vértices de grau ímpar, então ele tem um caminho euleriano fechado, que começa e termina no mesmo vértice, percorrendo todas as arestas.

(LÓVASZ, PELIKÁN, VESZTERGOMBI, 2005, p. 133).

No dia 03 de abril de 1736, o matemático enviou a resposta ao prefeito da cidade

próxima a Königsberg, apresentando sua solução para o problema e questionando o

prefeito russo sobre a vinculação da Teoria dos Grafos à Matemática:

Assim você vê, mais nobre senhor, como este tipo de solução tem pouca relação com a matemática, e eu não entendo por que você espera que um matemático possa produzi-la, ao invés de qualquer outra pessoa, já que a solução baseia-se na razão e sua descoberta não depende de qualquer princípio matemático. Devido a isso, eu não sei por que questões comuns que têm tão pouca relação com a matemática são resolvidas mais rapidamente pelos matemáticos do que por outros (HOPKINS; WILSON, 2004, p. 201)4.

Apesar de não vincular sua resolução do problema à matemática, Euler se

interessou em divulgar sua análise para a comunidade científica da época. O

matemático apresentou sua solução no artigo "Solutio problematis ad geometriam

situs pertinentis", enviado ao Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis

Petropolitana. O artigo, que foi escrito em latim e traduzido para o francês (EULER,

1851), é dividido em vinte e um parágrafos numerados, dos quais o primeiro atribui o

problema à geometria da posição, os próximos oito são dedicados à solução do

Problema das Sete Pontes de Königsberg e os demais generalizam o problema.

Embora datado de 1736, o jornal de Euler só foi publicado em 1741, com

reimpressão em 1752.

3 Um grafo é conexo, se existir um caminho entre qualquer par de vértices.

4 Tradução livre de “Thus you see, most noble Sir, how this type of solution bears little relationship to mathematics, and I do not understand why you expect a mathematician to produce it, rather than anyone else, for the solution is based on reason alone, and its discovery does not depend on any mathematical principle. Because of this, I do not know why even questions which bear so little relationship to mathematics are solved more quickly by mathematicians than by others”.

20

Após a resolução do Problema das Sete Pontes de Königsberg, começaram a surgir

novos problemas, como o do Caixeiro Viajante, o das Quatro Cores e o do Carteiro

Chinês, que permitiram o desenvolvimento da Teoria dos Grafos. Ainda assim, o

problema de Euler e o de Hamilton, que foi discutido anos depois, formam os

principais problemas históricos com Grafos.

Depois de passar por um século de pouco desenvolvimento, a Teoria dos Grafos

apresenta-se na segunda metade do século XIX, impulsionada pelos problemas de

aplicação em diversas áreas. Boaventura Netto (2006) cita a utilização de modelos

de grafos no estudo de circuitos elétricos, em 1847, por Gustav Robert Kirchhoff

(1824-1887) e, dez anos mais tarde, na enumeração dos isômeros dos

hidrocarbonetos alifáticos saturados, por Arthur Cayley (1821-1895).

1.2 AMPLIANDO OLHARES SOBRE OS GRAFOS

Nesta pesquisa, consideramos o grafo G como um modelo matemático formado por

um conjunto finito não vazio V e um conjunto A de subconjuntos de dois elementos

de V. Os elementos de V são denominados vértices (ou nós) de G e os elementos

de A são arestas de G. Por exemplo, no grafo apresentado a seguir, temos V = {A,

B, C, D, E} e A = {(A,B); (A,D); (A,E); (B,C); (B,D); (B,E); (C,D); (C,E)}.

Figura 4 – Exemplo de um grafo

Fonte: SÁ, 2014a, p. 23.

É importante destacar que um grafo pode ser não orientado, como na figura 4, ou

21

orientado (também chamado de grafo direcionado ou digrafo). Em um grafo

orientado, as arestas são pares ordenados, ou seja, um vértice é considerado a

“origem” e o outro o “destino”. Graficamente, os segmentos são substituídos por

setas.

No caso de grafos não-orientados, ou simplesmente grafos, dizemos que dois

vértices são adjacentes se há uma aresta conectando-os, ao passo que uma aresta

é incidente aos vértices que ela conecta. Por exemplo, no caso do grafo da figura 4,

os vértices A e B são adjacentes e a aresta (C,D) é incidente em C e em D. No caso

dos grafos orientados, dizemos que um vértice X é adjacente a um Y se, e somente

se, (X,Y) pertence ao conjunto de arestas do grafo. No caso de incidência em grafos

orientados, há de se considerar que a aresta (X,Y) é incidente somente em Y,

enquanto a aresta (Y,X) incide em X.

Estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e muitos

problemas de interesse prático podem ser formulados como questões sobre esse

conhecimento. Dependendo da aplicação, as arestas do grafo podem ter direção,

ligar um vértice a ele próprio e ainda ter um peso (numérico) associado. A seguir,

listamos a aplicação de grafos em problemas de transporte metroviário e no sistema

de buscas do Google. Também exploramos uma interseção entre a história recente

da Teoria de Grafos e do desenvolvimento de softwares de geometria dinâmica.

O uso de modais de vias segregadas – como metrô, veículo leve sobre trilhos (VLT)

e transporte rápido por ônibus (BRT, em inglês) – tem sido alternativa para sanar o

problema de mobilidade urbana em diversas cidades do mundo. O trabalho de

Carmo, Boaventura Netto e Portugal (2002), por exemplo, discute o projeto de uma

rede metroviária através de um modelo de grafos, no qual os vértices são estações

unidas por trechos de linhas, representados por arestas. Nessa experiência, os

autores incluíram no modelo dados de curso de construção e de demanda de

passageiros, fazendo com que o grafo passasse a ser valorado. Carmo, Boaventura

Netto e Portugal (2002) apresentam, em seu texto, um exemplo baseado no metrô

do Rio de Janeiro:

22

Figura 5 – Grafo que modela o metrô do Rio de Janeiro.

Fonte: Carmo; Boaventura Netto; Portugal, 2002, p. 22.

Ao final do estudo, Carmo, Boaventura Netto e Portugal (2002) destacam o uso

deste modelo no processo de tomada de decisão em outros contextos de

planejamento ou expansão, não só de um sistema viário, como também de outras

modalidades de transportes, como o BRT (Bus Rapid Transit), ou Transporte Rápido

por Ônibus, que utiliza veículos em vias segregadas.

Sabemos que hoje a rede mundial de computadores é um mecanismo poderoso

para a obtenção de informações. Com isso, além de questões de transporte,

encontramos Teoria de Grafos em um dos buscadores mais populares: o Google.

Isto despertou interesse das pesquisadoras Almeida e Celeman (2016) em discutir a

contribuição da Matemática, por meio de grafos, para tamanho sucesso do

buscador.

Quando digitamos um termo do qual desejamos obter informações no Google,

encontramos uma lista de sites que possuem alguma ligação com o que

procuramos. Segundo o algoritmo utilizado pelo Google, apresentado em Almeida e

23

Celeman (2016), a importância de um site depende da importância dos sites que

possuem link para ele. Assim, forma-se uma rede de informações que pode ser

representada por um grafo, em que cada aresta direcionada indica que existe link da

página A (vértice A) para página B (vértice B). Trata-se, nesse caso, de uma Web

admissível, isto é, em que cada página possui pelo menos um link para uma outra.

O PageRank, desenvolvido pelos fundadores do Google, Larry Page e Sergey Brin

em 1998, é um algoritmo usado pelo buscador para determinar a relevância ou

importância de uma página, a partir da existência de arestas entre os vértices que as

representam. Segundo o Google (s.d.),

[...] a classificação das páginas (PageRank) confia na natureza excepcionalmente democrática da Web, usando sua vasta estrutura de links como um indicador do valor de uma página individual. Essencialmente, o Google interpreta um link da página A para a página B como um voto da página A para a página B. Mas o Google olha além do volume de votos, ou links, que uma página recebe; analisa também a página que dá o voto. Os votos dados por páginas ‘importantes’ pesam mais e ajudam a tornar outras páginas ‘importantes’".

Também na área de tecnologia, encontramos uma interseção entre a história mais

recente dos grafos e a dos softwares de geometria dinâmica. No final da década de

setenta, a ideia de manipular objetos diretamente na tela do computador com o uso

do mouse revolucionou a maneira do ser humano trabalhar com a máquina e

possibilitou uma abertura para novas técnicas de trabalho em diferentes áreas

(SILVA, 2010). A partir desse conceito de trabalho com o computador, um grupo de

pesquisadores franceses desenvolveu um projeto que tinha por objetivo utilizar o

computador como uma ferramenta para explorar o trabalho com a Teoria dos

Grafos. Essa ferramenta, chamada de Cahier de Brouillon Informatique para grafos

(Cabri-graph), tinha como objetivo ajudar cientistas em seus trabalhos, colocando a

tecnologia como uma ferramenta para explorar e conjecturar. Para isso, o Cabri-

graph permitia que um mesmo grafo pudesse ser visto de diferentes disposições,

apenas deslocando seus vértices com o uso do mouse pela tela (CARBONNEAUX;

LABORDE; MADANI, 1996).

Algum tempo depois da criação do cabri-graph, Jean-Marie Laborde, um dos

desenvolvedores do software, percebeu aproximações entre Geometria e Teoria de

Grafos. Nesse sentido, o pesquisador sugeriu que a possibilidade de “arrastar”

objetos pela tela também fosse utilizada para a geometria (CARBONNEAUX;

24

LABORDE; MADANI, 1996). Com essa nova ideia, os objetos geométricos passaram

a ganhar movimentos, podendo ser deslocados pela tela do computador sem perder

as propriedades que os definiam. Surgiam, então, os ambientes de geometria

dinâmica e o projeto do software CabriGéomètre, que se tornou um dos mais

importantes e mais conhecidos softwares de geometria dinâmica existentes (SILVA,

2010).

Considerando a aplicação dos grafos em problemas de transporte metroviário e no

sistema de buscas do Google, percebemos que as estruturas que podem ser

representadas por grafos estão em toda parte. Por esse motivo, torna-se oportuna a

discussão desta teoria junto aos alunos do ensino médio, o que defenderemos e

detalharemos na seção seguinte.

1.3 O CAMINHO PERCORRIDO ATÉ A ESCRITA DA DISSERTAÇÃO

O primeiro contato que tive com a Teoria de Grafos aconteceu em 2009, quando

participei com aluno de Ensino Médio do lançamento do Currículo Básico da Escola

Pública do Estado do Espírito Santo. Algumas semanas após o evento, durante uma

das aulas de matemática, meu professor – que também estava na solenidade – me

sugeriu leitura acerca do tema. Busquei materiais sobre esse tema na internet e, ao

apresentar o que havia estudado ao professor, ele me motivou a compartilhar esse

aprendizado com os demais alunos do terceiro ano de Ensino Médio, no auditório da

escola.

Já como aluno do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do

Espírito Santo (Ifes) – Campus Vitória, ingressei no início de 2012 no Programa

Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid) – Subprojeto

Matemática/Ensino Médio. Retomando minhas experiências anteriores com grafos,

propus à professora supervisora do programa uma oficina com esse tema. A

sugestão de atividade foi prontamente aceita e logo realizada com muita

empolgação. Verificamos, nessa ocasião, a viabilidade de investigação sobre o tema

Grafos (SÁ; PALMEIRA, 2013).

Com essas experiências e outras leituras do período da graduação, entrei em

contato com a Professora Dr.ª Sandra Aparecida Fraga da Silva, que submeteu uma

25

proposta de Iniciação Científica para o desenvolvimento de atividades que

abordaram a Teoria dos Grafos no Ensino Médio. O projeto de iniciação científica,

intitulado “Teoria dos grafos em atividades didáticas desenvolvidas no laboratório de

matemática para o Ensino Médio”, iniciou em agosto de 2012 e, desde então,

realizamos estudos ampliados sobre o tema. Tais aprofundamentos teóricos

culminaram no Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado em março de 2014;

naquela ocasião, fizemos uso dos pressupostos da História da Matemática como

metodologia de Ensino (SÁ, 2014a).

Paralelamente ao ingresso no mestrado, em 2014, tive a oportunidade de realizar o

concurso para docente do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes), sendo aprovado

para lecionar disciplinas de Matemática no Campus Linhares. Durante os primeiros

meses, percebi os alunos numa posição muito passiva em relação à aprendizagem

matemática, o que não parecia ser em decorrência do meu recente ingresso na

instituição. Em diversos momentos, me peguei explicando os conteúdos sem que

houvesse nenhuma interação com os discentes. Percebia, explicitamente, o que

discutíamos na época da graduação, principalmente no que se refere à educação

bancária de Paulo Freire:

Nela, o educador aparece como seu indiscutível agente, como o seu real sujeito, cuja tarefa indeclinável é “encher” os educandos dos conteúdos de sua narração. Conteúdos que são retalhos da realidade desconectados da totalidade em que se engendram e em cuja visão ganhariam significação. A palavra, nestas dissertações, se esvazia da dimensão concreta que devia ter ou se transforma em palavra oca, com verbosidade alienada e alienante (FREIRE, 1996b, p. 33).

Realizando uma breve digressão, percebemos que esse modelo de ensino é

repercussão de práticas desenvolvidas numa época em que não havia preocupação

em formar cidadãos críticos, e sim pessoas capazes de desenvolver atividades

práticas a partir de sua habilitação técnica. Percebemos, no relato da professora

Maria Auxiliadora Vilela Paiva, apresentado em Pinto (2006), que a relação entre

professor e aluno, na área de matemática, poderia ser uma perpetuação de outras

práticas anteriores:

Havia também o fato de que os alunos estavam ali para estudar, eles estudavam muito e não questionavam. [...] A gente entrava na sala, dava aula e ia embora. Não havia muito diálogo. Eu nem sei bem o que os alunos pensavam da gente porque a gente pouco conversava com os alunos. Era uma distância muito grande entre professor e aluno. Eu não sei nas matérias técnicas, mas, nas matérias básicas, existia uma distância muito

26

grande. A gente entrava, dava aula e ia embora, e qualquer questão de disciplina ou qualquer outra questão a gente passava para os coordenadores de disciplina e eles resolviam (PINTO, 2006, p. 29).

Na tentativa de alterar esse cenário, optei por realizar, já no primeiro ano de

instituição, alguns projetos de Matemática com alunos de ensino médio integrado ao

técnico, de modo a oportunizar uma vivência diferente a qual os alunos estavam

acostumados – uma experiência em que os alunos fossem protagonistas do

processo de aprendizagem, onde buscassem o conhecimento que lhes fossem

necessários. Sobre essa proposta de realizar projetos de pesquisa em Matemática

com os alunos, é interessante retornar à lei nº 11.892/08, que instituiu a Rede

Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica do Brasil, criou os

Institutos Federais de Educação, Ciência e Tecnologia e que também gerou uma

modificação em atividades realizadas nas instituições de ensino:

O modelo diferenciado e único dos Institutos Federais com relação às outras instituições educacionais do país, em virtude da atuação nos diversos níveis da educação nacional e da articulação do ensino com a pesquisa e extensão [...] conduz a uma nova institucionalidade (FERNANDES, 2009, p. 7).

Nesse sentido, Pacheco (2011) destaca que o fazer pedagógico desses institutos

revela sua decisão de romper com um formato que lida com o conhecimento de

forma fragmentada, uma vez que os institutos percebem a pesquisa como princípio

educativo e científico e ações de extensão como forma de diálogo com a sociedade.

Assim, percebemos que a iniciativa de formar grupos para projetos de pesquisa

torna-se enriquecedora não só para o aluno, que passa a ser protagonista do

processo de aprendizagem, e para o professor, que tem a oportunidade de abordar

conteúdos extracurriculares, como para a instituição, que tem fomentadas suas

ações de ensino, pesquisa e extensão.

A partir da constatação de Pacheco (2011), iniciados em novembro de 2014 e

desenvolvidos por alunos do terceiro ano dos cursos técnicos em Automação

Industrial e Administração – ambos integrados ao Ensino Médio –, os projetos de

Feira de Matemática tiveram como título “A razão áurea em logomarcas de

organizações atuantes no Brasil”, “Matemática e Arte: um estudo sobre as isometrias

utilizadas nas obras de Escher” e “Teoria de Grafos para o Ensino Médio:

possibilidades a partir do uso de maquetes eletrônicas”. Durante o desenvolvimento

dos projetos de feira, com reuniões de planejamento e discussão, passei a perceber

27

este movimento das feiras de ciências como “espaço de interação com as áreas de

ciência e tecnologia; oportunidade de ensino e de aprendizagem para professores e

alunos; e de desenvolvimento do aluno em suas dimensões sociais, afetivas,

cognitivas e psicológicas” (MOURA, 1995, p. 7). Isto despertou em mim um interesse

em investigar aprendizagens dos alunos no contexto das Feiras de Ciências e

Matemática.

Considerando a necessidade de delimitação do tema para realização das análises e

a relação do pesquisador com a Teoria de Grafos, convidamos o grupo de alunos

que desenvolveu projeto sobre este tema para participar da pesquisa de mestrado.

Desde então, estamos trabalhando, em parceria, para desenvolvermos um recurso

didático para o ensino da Teoria de Grafos, por meio da História da Matemática.

Sobre este tipo de abordagem, o Documento da Área de Ensino (CAPES, 2013)

destaca que

[...] os mestrados profissionais da área de ensino não são variações ou adaptações dos Mestrados Acadêmicos já existentes na Área [...]. Seu foco está na aplicação do conhecimento, ou seja, na pesquisa aplicada e no desenvolvimento de produtos e processos educacionais que sejam implementados em condições reais de ensino (CAPES, 2013, p. 23).

Nesse cenário, procuramos responder à seguinte pergunta: que contribuições de

uma abordagem histórico-investigativa ao processo educativo são identificadas

durante a construção e utilização de uma maquete eletrônica para ensino de Teoria

de Grafos? Para tanto, estabelecemos como principal objetivo investigar

aprendizagens de alunos do ensino médio e da educação profissional durante

a construção e/ou utilização de maquete eletrônica para ensino de grafos. Mais

concretamente, procuramos:

1. identificar aprendizagens de alunos-pesquisadores da educação profissional no

movimento da pesquisa-ação que oportunizou a criação da maquete eletrônica;

2. analisar momentos de utilização da maquete eletrônica em sala de aula,

relacionando-os aos pressupostos da Investigação Matemática;

3. apresentar algumas contribuições da História da Matemática na abordagem da

Teoria dos Grafos no ensino médio, na perspectiva do Jogo de Vozes e Ecos;

28

4. sistematizar atividades histórico-investigativas que oportunizem o ensino e a

aprendizagem de grafos na Educação Básica.

Em alusão às Sete Pontes de Königsberg, esta pesquisa se organiza em sete

capítulos, chamados de pontes, que apresentam todo o caminho não-euleriano

realizado durante a pesquisa. Não-euleriano porque, apesar de percorrer todas as

pontes, precisamos repeti-las algumas vezes para tornar o passeio mais proveitoso.

Ao atravessar a primeira ponte, a que estamos no momento, realizamos uma breve

incursão na história da Teoria dos Grafos, ampliamos nossos olhares sobre as

aplicações dessa área da Matemática, conhecemos a trajetória do pesquisador e de

outros pesquisadores que também optaram por estudar grafos na perspectiva

educacional.

Uma reflexão sobre a utilização da História na Educação Matemática nos conduz a

uma escolha teórica. Assim, na segunda ponte, apresentaremos algumas

categorizações referentes ao uso de História da Matemática em sala de aula,

aprofundados no Jogo de Vozes e Ecos, sugerido por vários pesquisadores.

A pouca atenção dada na sala de aula à resolução e formulação de problemas, à

interpretação e validação de resultados, à conjectura e prova e à discussão é a

nossa motivação para atravessar a terceira ponte. Na tentativa de modificar este

cenário e ampliar experiências anteriores, apresentaremos o marco teórico da

Investigação Matemática ao defendermos a abordagem que denominamos histórico-

investigativa.

Cientes que os Programas de Mestrado Profissional da Área de Ensino da Capes

focam pesquisas e produções em ensino de determinado conteúdo e buscam a

integração com as áreas geradoras dos conteúdos a serem ensinados,

consideramos, na quarta ponte, reflexões suscitadas a partir da relação entre teoria

e prática, na práxis de Marx. Nessa travessia, percebemos que a pesquisa-ação, de

natureza qualitativa, emerge como uma possibilidade de abordagem investigativa na

área de ensino de Matemática, com a qual nossa pesquisa possui muitas

aproximações.

As experiências de ensino e aprendizagem são o tema da discussão enquanto

atravessamos a quinta ponte. Considerando múltiplas contribuições das Feiras de

29

Ciência e Matemática para alunos, comunidade escolar e sociedade, realizamos,

nesta unidade, um recorte a fim de organizar os dados obtidos e analisá-los com a

profundidade adequada. Para analisar momentos de utilização da maquete

eletrônica em sala de aula e apresentar contribuições da História da Matemática

para o ensino e a aprendizagem de Teoria dos Grafos no ensino médio, também

categorizamos os enunciados produzidos por alunos, tomando como referência a

classificação de ecos individuais internalizados: ecos superficiais, ecos mecânicos e

ecos de assimilação (BOERO; PEDEMONTE; ROBOTTI, 1997).

A sexta ponte traz o produto educacional desta pesquisa, situando-o nos critérios

de qualificação apresentados no Documento de Área (CAPES, 2013) e

relacionando-o aos referenciais teóricos adotados. A sétima, e última, ponte

apresenta algumas considerações advindas do passeio realizado.

Dessa forma, esta dissertação reflete minha trajetória e anseios em relação à

Educação Matemática. Do ponto de vista da pesquisa da área de ensino, amplia e

aprofunda reflexões iniciadas no Trabalho de Conclusão de Curso (SÁ, 2014a) e

apresenta mais uma possibilidade para abordagem da Teoria de Grafos em sala de

aula. A partir de minha atuação como professor da Educação Profissional, traz uma

experiência com aproximações da pesquisa-ação, na qual alunos de curso técnico

abandonam a passividade geralmente estabelecida e assumem um perfil mais ativo,

transformando-se em alunos-pesquisadores.

1.4 A TEORIA DE GRAFOS COMO CAMPO DE PESQUISA DA EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

A interseção entre grafos e Educação Matemática não está somente na história do

software Cabri. Percebemos que alguns documentos nacionais reforçam

potencialidades de abordar Teoria dos Grafos na sala de aula. As Orientações

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, por exemplo, sugerem explicitamente a

discussão desse conteúdo, vinculando-o à análise combinatória:

No Ensino Médio, o termo “combinatória” está usualmente restrito ao estudo dos problemas de contagem, mas esse é apenas um de seus aspectos. Outros tipos de problemas poderiam ser trabalhados na escola – são aqueles relativos a conjuntos finitos e com enunciados de simples entendimento relativo, mas não necessariamente fáceis de resolver. Um

30

exemplo clássico é o problema das pontes de Königsberg, tratado por Euler (BRASIL, 2006, p. 94).

Além do documento nacional citado, o Currículo Básico da Escola Estadual do

Espírito Santo sugere a “introdução à Teoria dos Grafos” (ESPÍRITO SANTO, 2009,

p. 120) para o segundo ano do Ensino Médio e “resolução de problemas utilizando

grafos” (ESPÍRITO SANTO, 2009, p. 122) para o terceiro ano.

Como campo pesquisa da área de ensino, a Teoria de Grafos começou a ser

discutida no Brasil em 2001, em trabalhos científicos, como a pesquisa de doutorado

de Jorge Bria no Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Em seu trabalho, Bria (2001) discute ideias

matemáticas que podem ser modeladas por meio de grafos, apontando

possibilidades para sala de aula. Após essa pesquisa, percebemos uma tímida

ampliação da Teoria de Grafos enquanto campo de pesquisa para a Educação

Matemática.

Na pesquisa de Muniz Junior (2007), foram discutidos tópicos como Ciclos

Eulerianos, Problemas do Caminho Mínimo e Problema do Caixeiro Viajante. Seu

desenvolvimento se deu em oficinas com alunos de terceiro ano do Ensino Médio

que regressavam à escola no contraturno para participar de oficinas que duravam

aproximadamente 90 minutos. Assim, as conclusões do trabalho apontam para uma

validação da introdução da Teoria dos Grafos no Ensino Médio. Em Malta (2008), foi

explorada a metodologia da Resolução de Problemas. A dinâmica proposta pela

pesquisadora foi desenvolvida com uma turma de segundo ano de Ensino Médio,

durante suas aulas de matemática. Por também se tratar de um Mestrado

Profissional, juntamente com a dissertação, foi concebido um produto final com uma

sequência de oito aulas onde são discutidos temas como: a história da Teoria dos

Grafos, as formas de representação de um grafo e aspectos relacionados a

Caminhos Eulerianos e Hamiltonianos. Deggeroni (2010) objetivou apresentar a

Teoria dos Grafos a alunos do Ensino Médio, mas por meio de problemas de

percurso. O pesquisador optou por introduzir este tema a partir de problemas sobre

serviços de coleta de resíduos sólidos, de entrega de gás, de manutenção de rede e

de distribuição de energia elétrica. As atividades também foram desenvolvidas no

contraturno dos alunos integrantes, que dessa vez participaram da oficina no

ambiente do Laboratório de Matemática da escola-campo.

31

O Projeto Fundão, do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de

Janeiro (IM/UFRJ), também tem grande contribuição no que diz respeito ao ensino

da Teoria dos Grafos. Um dos quatro grupos do projeto, coordenado pela professora

emérita Maria Laura Mouzinho Leite Lopes, dedicou-se ao estudo até 2010. O

material produzido por esse grupo (LOPES, 2010) é composto por quinze atividades

que foram pensadas no Instituto de Matemática, testadas com a participação dos

multiplicadores e estagiários e analisadas por toda a equipe.

No Espírito Santo, durante a fase inicial da pesquisa de iniciação científica (2012),

tivemos a oportunidade de consultar, por meio de questionário, noventa e quatro

docentes do Ensino Médio para identificar conhecimentos e experiências em relação

à Teoria de Grafos. Os resultados mostraram que setenta e dois professores

(76,59%) nunca estudaram Teoria de Grafos, oitenta e dois (87,23%) nunca

trabalharam esse conteúdo em suas aulas e quarenta e nove (52,13%) sequer

sabiam que este conteúdo figura no currículo estadual. É importante destacar que

alguns dos professores que responderam positivamente às perguntas do

questionário estavam confusos entre o termo “grafos” e “gráficos”. Dessa forma, a

quantidade de professores que não estudaram Teoria dos Grafos em sua formação

inicial, por exemplo, pode ultrapassar três quartos da quantidade de entrevistados

para a pesquisa. Considerando esse cenário, realizamos nos anos de 2012 e 2013

oficinas que atenderam a alunos de Licenciatura em Matemática e a professores da

Educação Básica, totalizando 183 participantes. Assim, continuamos defendendo a

Teoria de Grafos como um campo propício para pesquisas da área de ensino, no

contexto da Educação Matemática.

Desde o início da iniciação científica, registramos o desenvolvimento de três

pesquisas sobre ensino de grafos por professores do Espírito Santo: a de Gualandi

(2012), que se propôs a introduzir o conteúdo de grafos de modo integrado aos

conteúdos de matrizes e análise combinatória no terceiro ano do Ensino Médio; a de

Souza (2014), que apresenta aspectos históricos relacionados aos grafos

Hamiltonianos, a modelagem do Icosian Game e do Passeio do Cavalo no tabuleiro

de xadrez e um estudo de condições suficientes para um grafo ser Hamiltoniano; e a

de Teixeira (2015), que analisou significados produzidos acerca de uma proposta

para ensino de Teoria de Grafos.

32

A primeira pesquisa realizada no Espírito Santo (GUALANDI, 2012) foi desenvolvida

em uma escola particular da cidade de Cachoeiro de Itapemirim, na forma de

oficinas oferecidas em horário extraclasse. Por também se tratar de um Mestrado

Profissional, elaborou-se um roteiro de oficina para servir como orientação

metodológica na introdução da Teoria dos Grafos na Educação Básica. Já a

segunda (SOUZA, 2014) foi realizada a partir de oficina de 90 minutos, ofertada

durante um evento da Universidade Federal do Rio de Janeiro, em que participou

um grupo de vinte alunos do primeiro ao terceiro ano de ensino médio,

acompanhados de três monitores do curso de Matemática da instituição. A pesquisa

de Souza (2014) integra um conjunto de vinte pesquisas sobre ensino de Teoria de

Grafos, defendidas em todo país somente no ano de 2014, no contexto do Mestrado

Profissional em Matemática em Rede Nacional (ProfMat).

Quadro 1 – Dissertações do ProfMat sobre Teoria de Grafos, apresentadas em 2014.

Título Autor Instituição

Grafos, a Fórmula de Euler e os Poliedros Regulares

Adriana Priscila de Brito UFRPE

Introdução à Teoria de Grafos Gildson Soares de Melo UFPB

Grafos Eulerianos e aplicações em sala de aula Célio da Silva Cardoso UFSJ

Teorema de Euler para Grafos Planares Luis Anselmo dos Santos

Vasconcelo UFS

Modelagem e resolução de problemas por meio de Grafos: aplicações no Ensino Básico

Jose Fabio de Araujo Lima UEFS

Grafos como ferramenta para o ensino de Matemática: problemas, definições, matrizes, divisores, voos e afins - abordagem para os

ensinos fundamental e médio.

Tiago Miranda de Magalhães

UFBA

Uma abordagem para o ensino de teoria dos grafos no Ensino Médio

Victor Emanuel Pinto Guedes

UFJF

Um estudo introdutório da Teoria de Grafos através de Matrizes

Diego Rodrigues Gonçalves UNESP

Possibilidades em grafos hamiltonianos Michel Guerra de Souza UFRJ

De grafos a emparelhamentos: uma possibilidade viável de encantar-se com a

matemática

Verônica Craveiro De Santana Ferreira

UFS

Algoritmo guloso Camila Mendonça Morais UFRPE

Combinatória revisitada: uma introdução à teoria de Ramsey

Paulo Cesar Sampaio Junior

UFRJ

33

Atividades de modelagem matemática envolvendo a Teoria dos Grafos no Ensino Médio

Andréia Araújo de Farias Aquino

UEM

Teoria dos Grafos e aplicações Audemir Lima de Souza UFAM

Fórmula de Euler no plano e para poliedros Henrique Alves de Melo UFC

Métodos de contagem Luis Rodrigo D’Andrada

Bezerra UFPB

O Teorema das Cinco Cores Divalde Luiz Frois Junior UFSJ

Uma abordagem da Teoria de Grafos no Ensino Médio

Rone Mauri UFES

Matrizes: propostas de aplicação no ensino médio Marta Aparecida Ferreira de

Oliveira Britto UFJF

O Teorema de Ramsey e outros resultados de combinatória que não são de

contagem

Gustavo Adolfo Martins Jotta Soares

IMPA

Fonte: Banco de dissertações do ProfMat, 2014.

A terceira pesquisa realizada no Espírito Santo que incorporamos a nossa revisão

de literatura é a de Teixeira (2015). Desenvolvida no programa Educimat, a pesquisa

tomou a resolução de problemas como procedimento metodológico de ação e como

método de análise o Modelo dos Campos Semânticos, com propósito de analisar a

produção de significado de alunos da Licenciatura em Matemática durante uma

oficina no Laboratório de Práticas de Ensino Integradas (LPEI).

Durante o levantamento bibliográfico realizado, percebemos que, por se tratar de um

tema com conexão com poucos tópicos da matemática do Ensino Médio, é quase

unânime a estratégia de se realizar pesquisa no turno oposto ao dos alunos.

Reconhecemos as contribuições dessas pesquisas no sentido de legitimar e

apresentar discussões sobre a introdução da Teoria dos Grafos no Ensino Médio.

Contudo, acreditamos que para se pensar metodologicamente no ensino de um

determinado conteúdo matemático, urge que a pesquisa faça parte do planejamento

das aulas de matemática, em horário regular, e é também nesse sentido que nossa

pesquisa se difere das demais apresentadas.

34

2 SEGUNDA PONTE: O USO DE HISTÓRIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA

Uma reflexão sobre a utilização da História na Educação Matemática nos conduz a

uma escolha teórica. Os pontos de vista são variados e dependem da visão que

cada professor e pesquisador tem da História e dos valores que estão presentes

nesta metodologia de ensino. A primeira categorização referente ao uso de História

da Matemática em sala de aula apresentada neste trabalho é proposta por Miguel e

Miorim (2011). Estes autores organizam as investigações em: perspectiva

evolucionista linear, perspectiva estrutural-construtivista operatória, perspectiva

evolucionista descontínua, perspectiva sociocultural e perspectiva do Jogo de Vozes

e Ecos.

A perspectiva evolucionista linear recorre à História para identificar a ordem

cronológica que os tópicos matemáticos surgiram e que, consequentemente,

deverão ser ensinados. A perspectiva estrutural-construtivista operatória busca, na

História, conflitos cognitivos que permitam a passagem de uma etapa de construção

do pensamento para outra. Essa linha de pesquisa defende que os mecanismos de

passagem de um período histórico são análogos aos da passagem de um estágio

genético aos seus sucessores (PIAGET; GARCIA, 1987).

Segundo a perspectiva evolucionista descontínua, a História permite reconhecer

obstáculos epistemológicos e construir situações problemas para superá-los.

Baseada nas ideias de Vygostky, a perspectiva sociocultural enxerga a História da

Matemática como uma fonte de experiências humanas que podem ser trabalhadas

em atividades didáticas de Matemática. Também comungando de ideias

vygostkyanas e utilizando as perspectivas sócio-culturais, o constructo dos Jogos de

Vozes e Ecos busca na História da Matemática relações “entre as vozes históricas

produzidas na sistematização do discurso teórico da Matemática e as vozes dos

estudantes” (MOTTA, 2006, p. 17), cujas finalidades serão expostas adiante.

A segunda classificação em relação ao uso da História na Educação Matemática,

proposta por Motta (2006), é influenciada pelas perspectivas levantadas por Miguel e

Miorim (2011). Nesse sentido, a autora defende que as perspectivas evolucionista

linear, estrutural-construtivista operatória e evolucionista descontínua constituem a

imagem da História da Matemática como “espelho” enquanto as perspectivas

35

sociocultural e do Jogo de Vozes e Ecos constituem a imagem como “pinturas”.

Essa divisão entre as perspectivas decorre da diferenciação entre

[...] as que adotam um ponto de vista internalista e indutivista e que apresentam a Matemática como uma ciência pronta e acabada e aquelas que adotam uma visão externalista e sociocultural e buscam compreender o conhecimento matemático como uma manifestação significativa das diversas culturas (MOTTA, 2006, p. 18).

Em uma terceira categorização referente ao uso de História da Matemática,

Dynnikov e Sad (2007) apresentam três opções para o emprego de fontes históricas

em sala de aula: de modo factual, de modo processual e como fonte de significado.

No primeiro caso, a História da Matemática é utilizada para dar mais veracidade, por

meio de nomes, imagens e registros. Assim, essa metodologia se apresenta de

modo ilustrativo e estático, na qual a única incumbência do professor é escolher o

material e preparar a exposição. A segunda forma, mais dinâmica, percebe as fontes

históricas como instrumentos que auxiliam no ensino de Matemática, pois permitem

que o aluno conheça o processo realizado por um Matemático para a resolução de

um problema. Nesse caso, ainda não há uma transposição da história para o

contexto escolar e o papel do professor é mediar e auxiliar nos registros. No terceiro

modo de se utilizar de História em sala de aula, o papel das fontes históricas

(primárias e secundárias) é produzir significados em meio às próprias experiências

dos alunos, proporcionando, principalmente, uma ampliação da maneira com que

eles entendem e lidam com a Matemática. Nesse caso, o professor precisa

intensificar o dinamismo e os ecos produzidos pela voz de autores nos alunos.

Acreditamos que a História da Matemática é uma rica fonte de experiências e

produções humanas, que oportuniza um diálogo entre práticas atuais e fontes

históricas, conforme previsto nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio:

A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista como um elemento importante no processo de atribuição de significados aos conceitos matemáticos. É importante, porém, que esse recurso não fique limitado à descrição de fatos ocorridos no passado ou à apresentação de biografias de matemáticos famosos. A recuperação do processo histórico de construção do conhecimento pode se tornar um importante elemento de contextualização dos objetos e de conhecimento que vão entrar na relação didática (BRASIL, 2006, p. 86).

Para atender às diretrizes apresentadas acima, nossa prática será orientada pela

Teoria do Jogo de Vozes e Ecos, elemento comum entre as perspectivas

36

sociocultural e do jogo de Vozes de Miguel e Miorim (2011), a concepção de pintura

de Motta (2006) e o terceiro modo de utilizar a história, de Dynnikov e Sad (2007).

A Teoria do Jogo de Vozes e Ecos foi introduzida, em 1996, por Paolo Boero e

outros investigadores da Universidade de Gênova, na Itália. Ela busca uma

participação da cultura extra-matemática para proporcionar ao estudante uma

ampliação crítica de seu conhecimento. Segundo Boero et al (2001), a teoria iniciou-

se com a tese de Bettina Pedemonte e Elisabetta Robotti e foi, mais tarde, ampliada

com investigações e experiências em sala de aula, que originaram quatro trabalhos

apresentados nas reuniões anuais do International Group for the Psychology of

Mathematics Education, nos anos de 1997 a 1999 (BOERO; PEDEMONTE;

ROBOTTI, 1997; GARUTI, 1997; BOERO et al, 1998; GARUTI et al, 1999).

Segundo Boero et al (1998), algumas expressões verbais e não-verbais representam

importantes avanços na evolução da matemática e da ciência. Cada uma dessas

expressões transmite um conteúdo, uma organização do discurso e do horizonte

cultural desses saltos históricos. Referindo-se a Bakhtin (2008), Boero e seu grupo

chamam essas expressões 'vozes'. No mesmo trabalho, os autores afirmam que o

constructo teórico dos "jogos de linguagem" de Wittgenstein (1975) pode ser

explorado para descrever como as potencialidades da linguagem permitem que

teorias sejam construídas, descritas e discutidas.

Para ambas as correntes que compõem essa teoria, o conhecimento é concebido a

partir de atividades mediadas e é resultante de ações nas quais as pessoas

envolvidas se engajam. Dessa forma,

a perspectiva do Jogo de Vozes e Ecos também segue o referencial teórico de Vigotski e procura trabalhar a linguagem como sistema simbólico fundamental na mediação entre o sujeito e o conhecimento matemático por meio da interação social, com o uso das Vozes e dos Ecos por ela produzidos (MOTTA, 2006, p. 79).

Com as interações entre sujeitos, cada indivíduo é capaz de produzir um enunciado5

que se concretiza por meio de um texto, que pode ser oral, escrito ou imagético.

5 Cavalcanti Filho e Torga (2011), a partir de Bakhtin (2003), entendem o enunciado como a unidade da comunicação discursiva. “O enunciado nasce na inter-relação discursiva, por isso que não pode ser nem o primeiro nem o último, pois já é resposta a outros enunciados, ou seja, surge como sua réplica” (CAVALCANTI FILHO; TORGA, 2011, p.1).

37

Influenciados pelo conceito de polifonia de Bakhtin (2008), afirmamos que todos os

enunciados se constituem a partir de outro. Dessa forma, ainda que não consigamos

distingui-las com clareza, há pelos menos duas vozes que compõem o discurso de

um indivíduo. Segundo Fiorin (2008), esses discursos alheios podem estar inseridos

no enunciado de duas formas:

Discurso objetivado, no qual o discurso alheio é abertamente citado e

nitidamente separado do discurso citante;

Discurso bivocal, no qual não há separação muito nítida do enunciado do

citante e do citado.

Além dos enunciados alheios ao discurso, é importante destacar o papel dos

recursos extralinguísticos na atribuição de sentido ao discurso. Nesse viés,

Wittgenstein (1975) defende uma “gramática profunda”, na qual toda proposição

repousa. Essas regras gramaticais são parte da significação de um enunciado e

determinam o que tem sentido e o que não tem sentido dizer (GOTTSCHALK, 2004).

Portanto, durante a elaboração de enunciado, precisamos estar atentos tanto à

elaboração estrutural do discurso quanto à sua aplicação em um contexto.

Boero et al (2001, p.1) afirmam que "o Jogo de Vozes e Ecos consiste na

apropriação das ‘vozes’ da história por alunos (sob a orientação do professor) e da

sucessiva produção individual de ‘ecos’"6, que se materializam em novos

enunciados, submetidos a um contexto. Em Boero et al (1998), a hipótese e os

objetivos da Teoria do Jogo de Vozes e Ecos são apresentados de forma mais clara:

Nossa hipótese geral, inicial sobre esta questão foi que a Teoria do Jogo de Vozes e Ecos pode permitir que o horizonte cultural dos alunos abarque alguns elementos que são difíceis de construir em uma abordagem construtivista de conhecimentos teóricos e difíceis de mediar através de uma abordagem tradicional. A necessidade de explorar as potencialidades que surgiram na primeira série de experimentos de ensino nos obrigou a tentar caracterizar melhor os elementos de conhecimento teórico a serem mediados, a fim de organizá-los melhor (por meio de tarefas apropriadas) e analisar a sua interiorização pelos alunos7 (BOERO et al, 1998, p. 2).

6 Tradução livre de “Il Gioco voci-echi consiste nell'appropriazione delle ‘voci’ storiche da parte degli allievi (sotto la guida dell'insegnante) e nella successiva produzione individuale di ‘echi’".

7 Tradução livre de "Our general, initial hypothesis on this issue was that the VEG [Voices and Echoes Game] might allow the students' cultural horizon to embrace some elements are difficult to construct in a constructivist approach to theoretical knowledge and difficult to mediate through a traditional

38

De acordo com Boero, Pedemonte e Robotti (1997), durante a execução de tarefas

adequadas propostas pelo professor, o aluno pode fazer conexões entre a voz e

suas próprias interpretações, concepções, experiências, e, dessa forma, produzir um

'eco', ou seja, uma ligação com a voz explicitada por meio de um discurso. Sendo a

ação uma característica individual do sujeito, cada estudante pode produzir ecos de

diferentes tipos e, por isso, torna-se necessária uma distinção entre esses ecos.

Inicialmente, é preciso distinguir os ecos individuais (produzidos exclusivamente

pelos alunos) e os ecos coletivos (produzidos durante uma discussão em sala de

aula). Os ecos individuais, por sua vez, podem ser classificados como ecos

superficiais, ecos mecânicos, ecos de assimilação, ressonâncias e dissonâncias.

Os ecos superficiais acontecem quando o aluno não consegue entender a voz.

Como não há apropriação do enunciado anterior, os ecos desse tipo recebem

influências de outras vozes, que pouco têm a ver com o objeto descrito no discurso

citado. Podemos reconhecê-los no uso inadequado de termos e expressões

decorrentes da voz, nas contradições, na confusão entre conceitos, etc.

Os ecos mecânicos acontecem quando os alunos precisam repetir ou parafrasear

uma voz ou a solução correta de um exercício padrão. Nesse sentido, dizemos que

há um discurso objetivado que demonstra identificar as informações e o contexto no

qual o enunciado está inserido, mas não há apropriação dessas informações e nem

inserção no contexto do citado. O estudante não ultrapassa este nível se não for

capaz de explorar o conteúdo e/ou o método transmitido pela voz, a fim de resolver

um problema que difere, em certa medida, da situação inerente à voz.

Os ecos de assimilação podem ser detectados quando o aluno é capaz de transferir

o conteúdo e/ou método transmitido pela voz para outras situações-problemas

propostas, que são parcialmente semelhantes ao que é transmitido pela voz. Com

efeito, afirmamos que o aluno produz um discurso bivocal que evidencia a

compreensão e apropriação dos enunciados anteriores.

approach. The need to exploit the potentialities that emerged in the first series of teaching experiments forced us to try to characterize better the elements of theoretical knowledge to be mediated, in order to better organize (through appropriate tasks) and analyse their interiorization by students”.

39

As ressonâncias e dissonâncias são processos mais complexos que se relacionam

com a emissão de uma ideia. Nas ressonâncias, para além do nível de assimilação,

o aluno se apropria da voz como uma forma de repensar e representar seu/sua

experiência, o sinal distintivo desta situação é a capacidade de alterar registro

linguístico, procurando selecionar e investigar elementos pertinentes

('aprofundamento'), e encontrar exemplos, situações etc., que atualizam e

multiplicam a voz de forma adequada ('multiplicação'). Já as dissonâncias são

definidas de forma semelhante às ressonâncias, mas com a oposição ao conteúdo

e/ou método transmitido pela voz.

De maneira mais prática, o que Boero e seu grupo tem chamado de Jogo de Vozes

e Ecos é uma situação particular de ensino que visa ativar os alunos a produzir ecos

por meio de tarefas específicas. Boero e Douek (2008) exemplificam essas

atividades com a utilização de perguntas semelhantes a: "Como pode (nome de um

matemático) interpretar o fato de que...?" ou "Através de que experiências pode ter

(nome de um matemático) apoiado sua hipótese...?". Uma descrição da atividade

proposta em Garuti, Boero e Chiampinni (1999) pode ser encontrada, no idioma

português, em Miguel e Miorim (2011).

No contexto da educação profissional, em especial, Ramos (2005) defende que é a

partir do conhecimento na sua forma mais contemporânea que se pode

compreender a realidade e a própria ciência na sua historicidade. Assim, segundo a

autora, os processos de trabalho e as tecnologias correspondem a momentos do

desenvolvimento das forças materiais de produção e podem ser tomados, em sala

de aula, como ponto de partida histórico e dialético para o processo pedagógico:

Histórico porque o trabalho pedagógico fecundo ocupa-se em evidenciar, juntamente com os conceitos, as razões, os problemas, as necessidades e as dúvidas que constituem o contexto de produção de um conhecimento. A apreensão de conhecimento na sua forma mais elaborada permite compreender os fundamentos prévios que levaram ao estágio atual de compreensão do fenômeno estudado. Dialético porque a razão de estudar um processo de produção não está na sua estrutura normal e procedimental aparente, mas na tentativa de captar os conceitos que os fundamentam e as relações que os constituem (RAMOS, 2005, p. 120).

Consoante aos objetivos de nossa pesquisa e diante das categorias apresentadas

pelo grupo de investigadores italianos, apresentamos um viés para o Jogo de Vozes

e Ecos, no qual as atividades propostas não necessitam ser exatamente as mesmas

40

da História e no qual as vozes não precisam ser as dos matemáticos antigos. Esta

estratégia é sugerida por Brito e Carvalho (2009, p. 17):

Nossa preocupação é essencialmente pedagógica, por isso recorremos à história com finalidades diretamente relacionadas com nossa prática de sala de aula. Uma delas é criar problemas que possibilitem emergir discussões sobre dúvidas que frequentemente nossos alunos apresentam. Tais problemas não são obrigatoriamente os mesmos que encontrados na história da Matemática, mas recriações destes.

Essa adequação também é defendida por Mendes (2009) quando afirma que as

informações históricas podem passar por “adaptações pedagógicas que, conforme

objetivos almejados, devem se configurar em atividades a serem desenvolvidas em

sala de aula ou fora dela” (idem, p. 109). Ainda assim, o autor destaca que essas

adaptações “devem possuir uma carga muito forte de aspectos provocadores da

criatividade imaginativa dos estudantes, bem como fortes indícios de aspectos

socioculturais que geraram a construção dos tópicos matemáticos abordados na

atividade” (ibidem).

41

3 TERCEIRA PONTE: INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

A pouca atenção dada na sala de aula à resolução e formulação de problemas, à

interpretação e validação de resultados, à conjectura e prova, à discussão e

argumentação contribui, segundo Segurado (2002), para criar nos alunos uma visão

empobrecida do modo de trabalhar em Matemática. Com o objetivo de superar essa

situação, propomos a metodologia da Investigação, que é, para os matemáticos,

“descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos,

procurando identificar respectivas propriedades” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA,

2009, p. 13).

Em sala de aula, investigações matemáticas também podem se constituir como

atividades para os alunos, conforme a vertente apresentada a seguir:

Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não significa necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do conhecimento. Significa, tão só, que reformulamos questões que nos interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso. Desse modo, investigar não representa obrigatoriamente trabalhar em problemas muito difíceis. Significa, pelo contrário, trabalhar com questões que nos interpelam e que se apresentam no início de modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo organizado (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 9).

O conceito de investigação para o ensino, enunciado acima, ajuda a trazer para sala

de aula o espírito genuíno da atividade matemática. Neste caso, o aluno é chamado

a agir como um matemático, formulando conjecturas, apresentando resultados,

discutindo e argumentando com seus colegas (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA,

2009). Mais especificamente, ao se propor uma tarefa de investigação, espera-se

que os alunos possam, de maneira mais ou menos consistente, utilizar vários

processos que caracterizam a atividade investigativa em matemática: a exploração e

formulação de questões, a construção de conjecturas, o teste e a reformulação

dessas hipóteses e a justificação de conjecturas, com avaliação do trabalho.

Ao analisarmos a investigação matemática para o ensino numa perspectiva

freireana, notamos uma profícua interseção no que diz respeito à curiosidade. No

processo investigativo, ela é o combustível para o desenvolvimento; já em Paulo

Freire, a curiosidade contrapõe a pedagogia da resposta, fundamentada na

Educação Bancária. De acordo com Freire (1996b), os pressupostos dessa

42

educação se assentam na narração alienante.

[...] A Educação Bancária, nesse sentido, repercute como um anestésico, que inibe o poder de criar próprio dos educandos, camuflando qualquer possibilidade de refletir acerca das contradições e dos conflitos emergentes do cotidiano em que se insere a escola e o aluno (SARTORI, 2010, p. 135).

Contrapondo-se à Educação Bancária, a concepção de uma educação

problematizadora, segundo Freire (1996b), está fundada na crença da humanização

dos educadores e dos educandos. A pergunta ou situação que dispara a

investigação é, nesse sentido, fundamental no processo educativo...

[...] não como objeto de respostas do professor, mas na qualidade de codificação da realidade que constitui novo elemento mediador entre sujeitos que se propõe a conhecer. Perguntas que se colocam como desafio dentro da situação gnosiológica surgem em um ambiente de liberdade e criatividade. Na educação bancária, prática educativa que coíbe a curiosidade e teme a manifestação das perguntas, o educador age como narrador de conteúdos, doador de respostas previamente elaboradas e prontas para ser [sic] memorizadas, dificultando o pensar certo, autêntico e crítico do educando (ALMEIDA; STRECK, 2010, p. 314).

Ainda sobre o processo de investigação no ensino de Matemática, Skovsmose

(2000) destaca que o paradigma do exercício, marcante na cultura escolar, pode ser

contraposto a uma abordagem de investigação. Segundo o pesquisador, neste modo

de se trabalhar, cria-se um cenário que convida os alunos a formularem questões e

procurarem explicações. Assim, nas palavras de Skovsmose (2000, p. 81), “quando

os alunos assumem o processo de exploração e explicação, o cenário para

investigação passa a constituir um novo ambiente de aprendizagem”.

Retomando a comparação entre os exercícios e as investigações, Skovsmose

(2000) aponta que práticas de sala de aula planejadas num cenário para

investigação diferem fortemente daquelas baseadas em exercícios. A distinção entre

essas práticas deriva das "referências" que levam os estudantes a produzirem

significados para os conceitos e atividades matemáticas. Diferentes tipos de

referência são possíveis, uma vez que exercícios e atividades investigativas podem

se referir à matemática e somente a ela, a uma semi realidade ou a situações da

vida real.

Assim como Skovsmose (2000), Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) defendem que o

sucesso de uma investigação depende do ambiente de aprendizagem que se cria

em sala de aula. Combinando a distinção entre os três tipos de referência e os dois

43

paradigmas de práticas de sala de aula apresentados em Skovsmose (2000), obtém-

se uma matriz com seis tipos diferentes de ambientes de aprendizagem:

Quadro 2 – Ambientes de aprendizagem.

Paradigma do exercício Cenário de investigação

Referências à

matemática pura

Ambiente (1), dominado por exercícios da "matemática pura",

como cálculos literais e operações aritméticas sem contexto.

Ambiente (2), caracterizado como um ambiente que envolve números e

figuras geométricas.

Referências à

semi realidade

Ambiente (3), constituído por exercícios com referências a semi

realidade8.

Ambiente (4), onde a semi realidade é um convite para que os alunos façam

explorações e explicações.

Referências à

realidade

Ambiente (5), que contém exercícios baseados na vida real, como

questões construídas a partir de matérias de jornal. Ainda assim, as

atividades ainda estão estabelecidas no paradigma do exercício.

Ambiente (6), que se difere do (5) pelo convite à investigação. Pode ser

construído em sala de aula com a realização de projetos.

Fonte: Adaptado de Skovsmose (2000).

Apesar de ser uma simplificação, a matriz do quadro 2 nos permite refletir sobre

como os ambientes influenciam na construção do conhecimento matemático. Ainda

sobre o quadro, Skovsmose (2000, p. 79) destaca que “a linha vertical que separa o

paradigma do exercício dos cenários para investigação é, por certo, uma linha muito

‘espessa’, simbolizando um terreno imenso de possibilidades”. Apesar da distância

entre esses ambientes, Skovsmose (2000) defende uma passagem por mais de um

cenário:

Sustento que a educação matemática deve se mover entre os diferentes ambientes tal como apresentado na matriz. Particularmente, não considero a ideia de abandonar por completo os exercícios da educação matemática [...]. É importante que os alunos e professores, juntos, achem seus percursos entre os diferentes ambientes de aprendizagem. A rota "ótima" não pode ser determinada apressadamente, mas tem que ser decidida pelos alunos e pelo professor (SKOVSMOSE, 2000, p. 80).

Após refletirmos sobre os ambientes de aprendizagem e seus desdobramentos no

ensino de matemática, passemos a discutir o momento de planejamento da aula ou

de uma sequência de aulas. Para estabelecer um cenário que convida os alunos a

8 Uma semi realidade é um mundo sem impressões dos sentidos, de modo que somente as quantidades mensuradas são relevantes. Além disso, toda informação quantitativa é exata. A combinação dessas características torna possível sustentar o pressuposto de que há somente uma resposta correta (SKOVSMOSE, 2000).

44

formularem questões e procurarem explicações, é importante que o professor tenha

sensibilidade para criar ou selecionar situações investigativas que serão utilizadas

em sala. Nesse processo de análise das tarefas, Goldenberg (1999) apresenta três

tipos de investigações, que se diferenciam pelo momento em que surgem na aula de

matemática e pelo papel que cada uma desempenha enquanto atividades:

As atividades investigativas com a função de explorar são utilizadas para criar um

“contexto mentalmente estimulante” (GOLDENBERG, 1999, p. 5), pois apresentam

aos alunos uma primeira ideia do que é a investigação matemática. Esta categoria

de atividades também pode servir como aperitivo para um tema especificamente

matemático, conforme indicado por Goldenberg (ibidem):

A expectativa não é de que a investigação faça emergir algum facto ou técnica específicos – e talvez nem sequer alguma conjectura. O objectivo é criar um cenário para o trabalho posterior, ajudar os alunos a estabelecer intuições e a desenvolver um “sentido” do território.

Já as atividades investigativas para descobrir têm a função de conduzir os alunos à

descoberta de uma ideia ou fato matemático específico. Neste caso, a elaboração

de uma “regra” ou um conceito constitui a parte crítica, que distingue este tipo de

investigação da categoria apresentada anteriormente. Sobre essa abordagem,

Goldenberg (1999, p. 6) ressalta que “pode ainda ser utilizada como uma primeira

experiência, mas poderá igualmente servir como parte do corpo ou mesmo final de

uma sequência de aprendizagem”.

Além das finalidades já apresentadas neste trabalho, as investigações podem

também levar os estudantes a questionar conceitos trabalhados anteriormente para

revê-los, aprofundá-los ou relacioná-los a outros conteúdos. As atividades

investigativas para questionar, que compõem a última categoria de tarefas, são

especialmente defendidas por Goldenberg (1999, p. 7), que argumenta que

Uma educação matemática sem tal componente de Pôr em questão seria incompleta e, embora esta constitua um passo mais “avançado” – ninguém pode pôr em questão, rever ou relacionar ideias antes de as ter – uma investigação deste tipo adequada ao desenvolvimento dos alunos é sempre possível em todos os níveis.

As questões sobre a gestão de sala de aula como tempo para a execução da

atividade, se os alunos vão trabalhar em grupo ou individualmente e os recursos

utilizados, exige que o professor tenha bem definidos os objetivos a serem atingidos.

45

O desenvolvimento de atividades investigativas requer um conhecimento

aprofundado do conteúdo abordado, pois o professor precisa acompanhar os

questionamentos dos alunos e conduzir discussões coletivas. Segundo Oliveira,

Segurado e Ponte (1998), geralmente a estrutura escolhida pelo professor para uma

aula de investigação consiste em três fases:

Introdução da tarefa pelo professor (quer seja apenas um ponto de partida ou uma questão bem definida) e arranque da sua realização pelos alunos (interpretação da situação e definição do caminho a seguir),

realização da tarefa (durante a qual o professor interage com os alunos individualmente ou em pequeno grupo), e

apresentação de resultados pelos alunos e sua discussão (comparação das interpretações da tarefa, estratégias seguidas e resultados obtidos; é frequente surgirem novas questões para futura investigação).

(OLIVEIRA; SEGURADO; PONTE, 1998, p. 4).

Completando as ideias apresentadas acima, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009)

argumentam que a primeira fase, embora curta, é importante por ser o momento em

que o professor garante que todos os alunos entendem o sentido da tarefa. Tendo

sido assegurada a compreensão dos alunos acerca da atividade que irá se realizar,

o professor passa a assumir um papel mais de mediador, uma vez que as atividades

matemáticas investigativas por si só não influenciam na aprendizagem do aluno.

Nessa perspectiva, Oliveira, Segurado e Ponte (1998), afirmam que o papel do

professor na mediação da aula é importante, principalmente para valorização e

debate das diferentes estratégias utilizadas:

O professor terá como papel fundamental iniciar e dirigir o discurso, envolver cada um dos alunos, manter o interesse pelo assunto, colocar questões esclarecedoras ou estimulantes e não aceitar apenas a contribuição dos alunos que tem habitualmente respostas correctas ou ideias válidas (OLIVEIRA; SEGURADO; PONTE, 1998, p. 3).

Nesta pesquisa, ampliamos a experiência com a utilização de carta histórica e

material didático (SÁ, 2014a), defendendo uma abordagem histórico-investigativa,

de modo que a realização de tarefas de investigação poderá proporcionar aos

alunos uma atividade semelhante à dos matemáticos, permitindo-lhes o prazer da

descoberta (ROCHA, 2002) e apresentando-lhes a matemática como produção

humana (MIGUEL, 1997; 2009).

46

4 QUARTA PONTE: PRESSUPOSTOS METODOLÓGICOS

O que nos parece indiscutível é que, se pretendemos a libertação dos homens não podemos começar por aliená-los ou mantê-los alienados (FREIRE, 1996b, p. 38).

4.1 A PESQUISA-AÇÃO COMO PRINCÍPIO NORTEADOR

Os Programas de Mestrado Profissional da Área de Ensino da Capes, segundo

Chisté (2015, p. 3), “focam as pesquisas e produções em ‘Ensino de determinado

conteúdo’ e buscam a integração com as áreas geradoras dos conteúdos a serem

ensinados”. Contudo, a autora discorre que a dicotomia teoria e prática toma nova

forma a partir da concepção de práxis, que “é para Marx teórica e prática; prática, na

medida em que a teoria, como guia da ação, molda a atividade do homem,

particularmente a atividade revolucionária; teórica, na medida em que essa relação é

consciente” (VÁZQUEZ, 19689, p.117 apud CHISTÉ, 2015). Com efeito, Chisté

(2015) aponta que, no campo da educação, além da imersão em algumas questões

relacionadas ao cotidiano escolar, é necessário se fundamentar em bases teóricas

para se analisar tal situação e, para isso, a autora recorre a Saviani (2008):

Se a teoria desvinculada da prática se configura como contemplação, a prática desvinculada da teoria é puro espontaneísmo. É o fazer pelo fazer. Se o idealismo é aquela concepção que estabelece o primado da teoria sobre a prática, de tal modo que ela se dissolve na teoria, o pragmatismo fará o contrário, estabelecendo o primado da prática. Já a filosofia da práxis, tal como Gramsci chamava o marxismo, é justamente a teoria que está empenhada em articular a teoria e a prática, unificando-as na práxis. É um movimento prioritariamente prático, mas que se fundamenta teoricamente, alimenta-se da teoria para esclarecer o sentido, para dar direção à prática (SAVIANI, 2008, p.142).

Considerando as reflexões suscitadas a partir da relação entre teoria e prática,

percebemos que a Pesquisa-Ação, de natureza qualitativa, emerge como uma

possibilidade de abordagem investigativa na área de ensino de Matemática com

muitas aproximações nesta pesquisa.

A pesquisa-ação, segundo Fiorentini e Lorenzato (2009), é um processo

investigativo de intervenção em que caminham juntas a prática investigativa, a

prática reflexiva e a prática educativa. Barbier (2002) atribui a criação da pesquisa-

ação a Kurt Lewin (1890-1947), que desenvolveu uma pesquisa, encomendada pelo

9 VÁZQUEZ, Adolfo Sánchez. Filosofia da Praxis. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1968.

47

governo dos Estados Unidos da América, para mudar hábitos de donas-de-casa

americanas para que essas consumissem as vísceras dos animais, como coração

de boi, tripas e testículos, considerando a necessidade de exportação da carne

nobre. Ao final do estudo, Lewin não conseguiu constatar porque ocorria a inibição

do consumo desse tipo de alimento, mas ainda assim incentivou as pessoas a

participarem na mudança de atitude ou de comportamento num sistema interativo.

Na área educacional, de acordo com Thiollent (2011), existe uma tradição de

pesquisa participativa e de pesquisa-ação no âmbito da formação de adultos

(professores, por exemplo). Entretanto, na Educação Básica a aplicação deste

método é mais rara, principalmente em razão de resistências institucionais e de

hábitos professorais. Assim, tendo esta pesquisa o objetivo paralelo emancipar os

educandos da educação profissional, não podemos mantê-los alienados, como bem

diz o trecho de Paulo Freire apresentado na epígrafe deste capitulo.

Para Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 112), na pesquisa-ação “o observador se

introduz no ambiente a ser estudado não só para observá-lo e compreendê-lo, mas

sobretudo para mudá-lo em direção que permitam a melhoria das práticas e maior

liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes”. Nesta mesma perspectiva,

Thiollent (2011, p. 85) destaca que a pesquisa-ação “promove a participação dos

usuários do sistema escolar na busca de soluções aos seus problemas”.

Em relação às etapas para realizar uma pesquisa-ação, cabe apontar que o método

é o da espiral auto-reflexiva (FIORENTINI; LORENZATO, 2009), com suas fases de

planejamento, de ação, de observação e de reflexão, depois de um novo

planejamento da experiência em curso. “Significa que todo avanço em pesquisa-

ação implica o efeito recursivo em função de uma reflexão permanente sobre a

ação” (BARBIER, 2002, p. 117). Esses momentos da pesquisa-ação podem ser

esquematizados da seguinte forma:

Quadro 3 – Momentos da pesquisa-ação.

Planejamento Ação Observação Registros Sistematização/Reflexão/Análise

Avaliação Planejamento de novas ações Novas ações Novas observações Novos

Registros Novas análises e avaliações e assim por diante...

Fonte: Fiorentini; Lorenzato, 2009, p. 113.

48

Assim como em Thiollent (2011), a lista das etapas segue parcialmente uma ordem

sequencial no tempo, mas os momentos da pesquisa não foram ordenados, pois “há

um constante vaivém entre as preocupações de organizar um seminário, escolher

um tema, colocar um problema, coletar dados [...]” (THIOLLENT, 2011, p. 55). A

seguir, apresentamos os momentos da investigação, determinados pelos

pressupostos da pesquisa-ação, em diálogo com os referenciais da Feira de

Matemática, que foi o contexto de criação da maquete eletrônica. É importante

destacar, contudo, que nem todos os componentes do grupo desenvolveram todas

as etapas da pesquisa-ação. A designação de tarefas procurou sempre respeitar o

interesse, o conhecimento e a disponibilidade de cada um dos seis participantes.

4.2 PERFIL DO GRUPO DE PESQUISADORES

Conforme anunciamos, a parte inicial da pesquisa, relativa à construção da

maquete, foi desenvolvida com alunos do Instituto Federal de Educação, Ciência e

Tecnologia do Espírito Santo (Ifes) – Campus Linhares. Com isso, torna-se

necessário apresentar os participantes e a instituição de origem dos alunos. O Ifes é

uma instituição de educação superior, básica e profissional, pluricurricular,

multicampi e descentralizada, especializada na oferta de educação profissional e

tecnológica nas diferentes modalidades de ensino. Atualmente, o Ifes possui 21

campi em funcionamento, estando presente em todas as 10 microrregiões do Estado

do Espírito Santo. Também compõem a rede Ifes os 36 polos de apoio presencial

para a educação a distância, o Centro de Referência em Formação e em Educação

a Distância (Cefor) e a Reitoria do instituto.

49

Figura 6 – Localização geográfica dos campi do Ifes.

Fonte: Ifes, 2015.

Dentre os objetivos do Ifes, destacam-se o oferecimento de educação profissional

técnica de nível médio e educação superior; a realização de pesquisas aplicadas,

estimulando o desenvolvimento de soluções científicas, técnicas e tecnológicas; e o

desenvolvimento de atividades de extensão de acordo com os princípios e

finalidades da educação profissional e tecnológica, em articulação com o mundo do

trabalho e os segmentos sociais, e com ênfase na produção, no desenvolvimento e

na difusão de conhecimentos científicos e tecnológicos (IFES, 2014).

O campus Linhares, onde os alunos estudavam no período da pesquisa, teve sua

autorização de funcionamento pela portaria nº 691, de 9 de junho de 2008. O perfil

do campus está direcionado ao eixo Controle e Processos Industriais e Gestão e

Negócios e iniciou suas atividades com os cursos técnicos subsequentes de

Automação Industrial e Administração (IFES, 2014). Em 2016, o campus ofertava

curso técnico em Administração Integrado e Concomitante ao Ensino Médio, Curso

Técnico em Automação Industrial Integrado e Concomitante ao Ensino Médio, Curso

Superior em Engenharia de Controle e Automação e de Pós-Graduação Lato Senso

em Gestão Empresarial.

50

O curso técnico em Automação Industrial Integrado ao Ensino Médio do Ifes –

Linhares teve início em 2012 e surgiu a partir da necessidade de formação

profissional advinda do desenvolvimento econômico que se verificou na região norte

do Estado do Espírito Santo (IFES, 2012). Durante o período de constituição do

grupo, muitos alunos deste curso foram convidados, mas apenas quatro alunos do

quarto ano do turno matutino se dispuseram a se reunir para estudar, junto ao

professor-orientador, um conteúdo específico. Nesta pesquisa, esses alunos-

pesquisadores receberão os pseudônimos de Sabrina, Elis, Thiago e João. As

meninas eram moradoras de Linhares e cursaram o ensino fundamental em esferas

diferentes: Sabrina frequentou escola particular e Elis escola pública municipal.

Thiago residiu, nos primeiros anos de curso, na cidade de Jaguaré-ES e só se

mudou para Linhares em 2015, para conseguir frequentar o pré-vestibular no turno

noturno. João é de Linhares, sempre estudou em escola pública municipal e teve a

oportunidade de participar do Programa de Iniciação Científica da Sociedade

Brasileira de Matemática, mas desconhecia o conteúdo de Teoria de Grafos.

Durante o período exploratório, um dos alunos teve a iniciativa de formar um grupo

no Whatsapp10, em 09/12/2014, para se comunicarem em relação aos encontros

presenciais. Uma semana depois, em 16/12/2014, os alunos incluíram o professor

de matemática e autor desta pesquisa, de modo que o grupo de Whatsapp também

passou a discutir questões mais pontuais do projeto. Quando os alunos identificaram

a necessidade de se aprofundarem em questões técnicas para construção da

maquete, em abril de 2015, sugeriram a inclusão de outro professor do Ifes/Linhares,

que chamaremos de Fernando:

14/04/2015, 17h27 - João adicionou Fernando.

14/04/2015, 18h54 - Lauro: Bem vindo, Fernando!

14/04/2015, 19h56 - Fernando (Prof): valeu Lauro!

14/04/2015, 20h08 - Fernando (Prof): Pessoal do grupo, vamos conversar

amanhã a tarde sobre o projeto?

14/04/2015, 21h12 - Sabrina: Sim. Amanhã estaremos na escola

14/04/2015, 21h13 - Thiago: Isso

10 WhatsApp Messenger é um aplicativo de mensagens multiplataforma que permite trocar mensagens pelo celular sem pagar por SMS. Além das mensagens básicas, os usuários do WhatsApp podem criar grupos, enviar mensagens ilimitadas com imagens, vídeos e áudio.

51

O professor Fernando possui curso-técnico em Automação Industrial pelo Instituto

Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo (2005), graduação em

Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Espírito Santo (2009),

especialização em Eletricista geral pelo Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial

(2001) e mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Espírito

Santo (2014). O docente ingressou no Ifes em 2014, junto com o autor deste

trabalho, e também tem um perfil motivador, chegando a orientar alunos no

Programa de Formação de Recursos Humanos da Petrobras. Em sua pesquisa de

mestrado, Fernando abordou um problema de cooperação entre um robô aéreo e

um terrestre em ambientes externos utilizando técnicas de controle não linear e de

processamento de imagens, com apoio de mapas modelados em grafos (SÁ,

2014b).

Dessa forma, a composição final do grupo era de quatro alunos do ensino médio

integrado ao técnico em Automação Industrial do Ifes/Linhares, um professor com

formação em engenharia e um professor com formação em matemática, sendo este

último o pesquisador de mestrado. Esta composição se manteve até dezembro de

2015, quando os alunos ensino médio integrado concluíram o curso e se desligaram

do Ifes.

4.3 FASE EXPLORATÓRIA

A fase exploratória, na perspectiva da pesquisa-ação, consiste em “descobrir o

campo de pesquisa, os interessados e suas expectativas em estabelecer o primeiro

levantamento (ou diagnóstico) do problema” (THIOLLENT, 2011, p. 56). Nesse

momento, os participantes estabeleceram o principal objetivo da pesquisa, que seria

viabilizar a abordagem da Teoria de Grafos no Ensino Médio.

Na perspectiva da pesquisa-ação, o tema da pesquisa é a designação do problema

prático da área de conhecimento a serem abordados. Do ponto de vista da Feira de

Matemática, Silva e Tomelin (2008, p. 49) destacam que a escolha do tema “deverá

ocorrer por meio de um consenso entre orientador e orientando, pois, fica difícil

imaginar alguém pesquisando algo que não goste” (SILVA; TOMELIN, 2008, p. 49).

52

Esta reflexão também dialoga com os pressupostos da pesquisa-ação apresentados

em Thiollent (2011), principalmente quando o autor afirma que:

Muitos autores consideram que são apenas as populações que determinam o tema. Outros dizem que há sempre uma adequação a ser estabelecida entre as expectativas da população e as da equipe de pesquisadores. A nosso ver, deve haver entendimento. [...] Um tema que não interessar aos pesquisadores não será levado a sério e eles não desempenharão um papel eficiente (THIOLLENT, 2011, p. 60).

Percebemos que a problemática desta pesquisa não afetava diretamente os alunos

participantes, uma vez que o conteúdo de Teoria de Grafos não está presente

explicitamente no currículo dos alunos participantes. Nesse sentido, percebemos um

distanciamento da pesquisa-ação. Contudo, ao longo do período de

acompanhamento, observamos que esta situação toca esses estudantes,

principalmente em função das relações que estes possuem com estudantes do

sistema escolar estadual.

Embora a experiência de um dos orientadores, autor desta dissertação, fosse na

pesquisa com história da matemática, o grupo passou a negociar uma abordagem

metodológica, que poderia ser com aplicações da teoria, sua história ou jogos

associados ao conteúdo, conforme trecho de conversa Whatsapp apresentado

abaixo:

12/01/2015, 15h36 - Lauro: Boa tarde, pessoal! Como tem passado de férias? Estou escrevendo os projetos dos demais grupos. Se quiserem participar da Semana da Matemática, vocês precisam definir um tema até o fim do mês, ok? Abraços

12/01/2015, 15h53 - Elis: Ok 😉 Abraços! 12/01/2015, 15h59 - Thiago: Pode deixar, abraço! 12/01/2015, 16h00 - João: Você tem algum tema enxerga como prioritário

ou mais interessante pra gente, professor? 12/01/2015, 16h00 - João: Tipo aquele de LKC e matrizes ou algum outro? 12/01/2015, 16h47 - Lauro: O interessante é que tenha algo para visualizar

e manipular... 12/01/2015, 16h47 - Lauro: LKC e LKT são mais teóricos 12/01/2015, 16h47 - Lauro: Vcs poderiam fazer um stand com teorias e

aplicações de Grafos 12/01/2015, 16h48 - Lauro: Aí poderiam falar da aplicação na Física 12/01/2015, 16h48 - Lauro: Na robótica (prof. Fernando estudou isso e pode

ajudar vcs) 12/01/2015, 16h48 - Lauro: E o jogo sprouts que falei da outra vez

12/01/2015, 16h52 - Elis: Show de bola. Vai ficar bem criativo 👌

12/01/2015, 16h53 - Lauro: Se quiserem falar de outra coisa também... essas foram algumas idéias que tive

12/01/2015, 17h37 - Sabrina: Blz. Vamos olhar de forma mais detalhada e decidir

[...]

53

28/01/2015, 17h13 - Sabrina: Ei galera. Lembrei agora q precisamos decidir logo um tema pro nosso projeto. A uns dias, li sobre aquele, e por mim, tudo bem

28/01/2015, 17h26 - Elis: Eh vdd

28/01/2015, 17h59 - Thiago: Eh vdd 28/01/2015, 19h28 - Lauro: Podemos conversar na semana que vem?

A primeira proposta de trabalho, destacada na conversa, refere-se as Leis de

Kirchoff das Correntes (LKC) e das Tensões (LKT), abordadas na disciplina de

Análise de Circuito de Corrente Contínua (ACCC), do primeiro ano do curso técnico

em automação industrial. Outra ideia surgida foi o Sprouts, que é um jogo de lápis e

papel com propriedades matemáticas, que foi inventado por John Horton Conway e

Michael S. Paterson, na Universidade de Cambridge, no início dos anos de 1960. A

seguir, detalhamos cada um dos assuntos cogitados.

As Leis de Kirchhoff foram criadas e desenvolvidas pelo físico Gustav Robert

Kirchhoff (1824-1887), em 1847, sendo uma das primeiras aplicações da Teoria dos

Grafos (BOAVENTURA NETTO, 2006). Curiosamente, segundo o portal MacTutor

History of Mathematics archive, Kirchhoff nasceu em 12 de março de 1824 em

Königsberg, Prússia, cidade de surgiu o problema que deu origem a Teoria de

Grafos.

A Lei de Kirchhoff para Circuitos Elétricos, que mais nos interessa neste estudo, foi

criada para resolver problemas de circuitos elétricos com mais de uma fonte de

resistores estando tanto em série quanto em paralelo. Para criar a Lei, Kirchhoff

introduziu o conceito de nó (também utilizado na Teoria de Grafos) e malha (que são

os próprios Grafos). Tais conceitos dividem a lei em outras duas, enunciadas como:

Lei de Kirchhoff para Nós e Lei de Kirchhoff para Malhas11.

Segundo a 1ª Lei de Kirchhoff para circuitos elétricos (Leis dos Nós ou Lei das

Correntes – LKC), a soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é

sempre nula, ou seja, um nó não acumula carga (NILSSON; RIEDEL, 2003). A

demonstração desta lei parte do Princípio da Conservação da Carga Elétrica, o qual

estabelece que, num ponto qualquer, a quantidade de carga elétrica que chega

(δQ1) deve ser exatamente igual à quantidade que sai (δQ2 e δQ3), ou seja, δQ1 =

11 As leis de Kirchhoff são baseadas no eletromagnetismo e só são válidas quando o tamanho da oscilação eletromagnética é muito maior que as dimensões do circuito.

54

δQ2 + δQ3. Daí temos que, se dividirmos ambos os membros da equação por δt, I1 =

I2 + I3, onde I é a corrente elétrica, conforme quadro 4.

Quadro 4 – Primeira lei de Kirchhoff.

∑𝑖𝑘

𝑁

𝑘=1

= 0

A partir do exemplo ao lado, temos que:

I1 + I2 = I3+ I4

Sendo a corrente elétrica

𝐼 =𝛿𝑄

𝛿𝑡

Fonte: Adaptado de Nilsson e Riedel (2003).

A 2ª lei de Kirchhoff para circuitos elétricos (Lei das Malhas ou Lei das Tensões –

LKT) determina que a soma algébrica da diferença de potencial elétrico (d.d.p.) ou

tensão elétrica (V) em qualquer malha de um circuito é sempre nula (NILSSON;

RIEDEL, 2003).

Quadro 5 – Segunda lei de Kirchhoff

∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

= 0

A partir do exemplo ao lado, temos que:

V1 + V2 + V3 = V4

Sabendo que a tensão elétrica (V) é quase sempre

proporcional a corrente (I), sendo a constante de

proporcionalidade a resistência (R):

𝑉

𝐼= 𝑅

Fonte: Adaptado de Nilsson e Riedel (2003).

55

Além da aplicação da Teoria de Grafos por meio das leis de Kirchhoff, o grupo de

alunos cogitou a abordagem do Jogo Sprouts, que pode ser utilizado por várias

pessoas, mas que normalmente é jogado por duas. No início do jogo, há uma

quantidade de pontos (definida pelos jogadores) numa folha de papel. A partir de

cada ponto, no máximo três linhas podem ser tiradas, unindo um ponto a outro ou a

si mesmo. Depois de desenhar a curva desejada, um novo ponto é colocado ao

longo da linha. Quando se desenha uma curva, não é permitido atravessar outra

curva já desenhada. Assim, vence o jogador que faz a última ligação possível.

Figura 7 – Possíveis jogadas no Sprouts com 2 pontos iniciais.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Não é evidente, a partir das regras, que o jogo Sprouts sempre termina, uma vez

que o número de pontos aumenta em cada jogada. Entretanto, a partir das

estratégias dos jogadores, alguns pontos (vértices do grafo) podem ser inutilizados,

como os dois pontos com apenas 2 ligações, no último quadro da figura 7. Ao

considerar o número de oportunidades para conectar uma linha, mostramos que, se

o jogo começa com n pontos, terminará com mais de 2n movimentos e menos de

3n-1 movimentos.

Sem determinar a abordagem que seria dada, o grupo de alunos optou por

apresentar, no primeiro seminário, a Teoria de Grafos por meio das Leis de Kirchoff,

do Sprouts e da História da Matemática.

56

4.4 REALIZAÇÃO DE SEMINÁRIOS

Segundo os pressupostos da pesquisa-ação, a partir do momento em que os

pesquisadores estão de acordo sobre o objetivo e problema a serem examinados,

começa a constituição do grupo que irá conduzir a investigação. Para Thiollent

(2011), a principal técnica é a do “seminário”, que centraliza todas as informações

obtidas e discute suas interpretações. Assim, durante a realização dos projetos para

Feira de Matemática, todos os três grupos participavam dos seminários de forma

integrada, de modo que cada grupo poderia contribuir com o desenvolvimento da

pesquisa do outro. Os encontros não tinham periodicidade definida e, por

congregarem todos os grupos envolvidos na Feira de Matemática, foram agendados

a partir das demandas não somente do grupo da maquete eletrônica. As datas dos

seminários eram definidas ao final de cada reunião, considerando cronograma de

atividades dos alunos, demandas para as Feiras de Matemática e disponibilidade de

horário do grupo. Os quatro seminários aconteceram em turnos alternados, de modo

que não prejudicassem nem os alunos da automação, que eram do matutino, nem

da administração, do vespertino. Além disso, foram intercalados com reuniões por

grupo, para potencializar o planejamento e execução dos projetos.

Sobre a dinâmica adotada nos seminários, Thiollent (2011) destaca que estes

momentos devem ser organizados, sob pena de não funcionarem. “Não basta deixar

falar aquelas que falam muito. É preciso, em cada instante, procurar informações

pertinentes relacionadas ao assunto focalizado” (THIOLLENT, 2011, p. 69). No

primeiro seminário, por exemplo, os estudantes apresentaram aos colegas as

propostas de se abordar a Teoria de Grafos, por meio das Leis de Kirchoff, do

Sprouts (figura 8) e da História da Matemática (figura 9). Nesta ocasião, o grupo de

alunos adotou a última opção como proposta de trabalho.

57

Figura 8 – Parte do grupo apresentando o jogo Sprouts.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Figura 9 – Parte do grupo apresentando a História da Teoria de Grafos.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Em relação ao registro das discussões realizadas, Silva e Tomelin (2008) destacam,

a partir do movimento da Feira de Matemática, que num primeiro momento da

pesquisa, é normal que as ideias sejam discutidas verbalmente entre orientador e

orientandos. Contudo, os autores enfatizam que, “com o passar do tempo, é

importante que estas ideias [...] sejam também anotados de preferência pelos

alunos, independente da categoria onde estejam inseridos” (SILVA; TOMELIN, 2008,

p. 22). Com isso, durante a pesquisa-ação, as discussões das reuniões se

materializam em atas com as informações reunidas e, dentro da perspectiva teórica

58

adotada, elaboraram diretrizes de ação. A seguir, temos uma das atas produzidas

pela aluna do projeto sobre Grafos.

10/03/2015 - II Seminário de Matemática

Participaram desse seminário os três grupos inscritos para a 4° Semana da

Matemática. Os temas abordados retrataram a Teoria de Grafos, a

presença da Lei Áurea12 em logomarcas de instituições e a matemática nas

obras de Escher.

Estiveram presentes os alunos responsáveis pelas apresentações, o

coordenador responsável, Lauro Chagas e Sá, e alguns alunos do CTADI

3V.

A respeito de cada grupo, foram abordados tópicos sobre:

1. O que os motivou na escolha do assunto a ser explorado.

2. As teorias e fundamentos matemáticos que os envolvem seus

respectivos temas.

3. O modo como cada um construiu suas ideias até o momento.

4. O que é previsto para a apresentação na 4° Semana da Matemática.

5. A metodologia utilizada, a qual incluiu etapas e materiais.

6. A conclusão em relação ao que foi pesquisado.

Também foi possível identificar se a apresentação dos alunos foi clara o

suficiente de modo que englobasse os principais aspectos do resumo geral,

encaminhado anteriormente a Comissão Organizadora da 4° Semana da

Matemática.

4.5 CONSTRUÇÃO DA MAQUETE

Para a pesquisa de conclusão de curso de graduação em Matemática (SÁ, 2014a),

adaptamos a carta recebida por Euler, em 1736, substituindo o nome do prefeito

pelo do pesquisador e o nome do professor Kihn pelo da professora regente da

classe onde realizamos o estudo. Esperávamos, com a utilização das cartas, que

pelo menos um aluno apresentasse rudimentos do Teorema da Existência do

Caminho Euleriano para que esta carta fosse utilizada como disparador da primeira

aula, quando se fosse discutir a solução de Euler.

Ao analisar as cartas recebidas pelos alunos, notamos que apenas um aluno

enunciou, à sua maneira, o teorema dos caminhos eulerianos. Os principais erros

12 A aluna pretendia se referir a Razão Áurea.

59

cometidos pelos alunos foram em decorrência da má interpretação do enunciado do

problema ou da figura apresentada (SÁ; SILVA, 2015). A partir desses erros,

construímos a maquete com componentes eletrônicos para o ensino de Teoria de

Grafos, de modo a potencializar o estudo deste conteúdo à luz da história da

matemática. Cabe destacar, entretanto, que na pesquisa de conclusão de curto da

graduação utilizamos a carta com a disposição geográfica da Grande Vitória e nessa

pesquisa de mestrado mantivemos o problema inicial da cidade de Königsberg.

No primeiro projeto da maquete, os alunos-pesquisadores planejaram utilizar

dispositivos eletrônicos como LEDs (Light Emitting Diode, diodos emissores de luz),

botoeiras pulsantes e uma placa de prototipagem eletrônica (Arduíno13), para que os

participantes pudessem interagir ao tentar solucionar o problema. Nesta primeira

concepção de maquete, em cada uma das regiões haveria um botão e em cada

ponte, um LED. Assim, quando o participante escolhesse atravessar uma

determinada ponte, este deveria pressionar o botão da região inicial e em seguida

pressionar o segundo botão, da região de destino. Isso acenderia o LED da ponte

que ligasse essas duas regiões, indicando que a ponte foi atravessada. Em seguida,

o participante continuaria percorrendo o caminho na tentativa de resolver o enigma

proposto.

Ao socializar esta proposta em um dos seminários, os alunos-pesquisadores

notaram que, da forma como estava posta, um estudante poderia interagir com a

maquete indo de uma região A para uma B e, imediatamente depois, de C para D.

Na prática, isto seria impossível, uma vez que a região final de uma travessia deve

ser o ponto de partida da passagem seguinte. Para que isso não fosse possível,

seriam necessários acréscimos à programação, que inviabilizariam a construção da

maquete eletrônica até a 4ª Semana da Matemática do Ifes. Com isso, o projeto

precisou ser alterado.

13 Arduíno é uma plataforma de prototipagem eletrônica de hardware livre e de placa única, com linguagem de programação padrão, essencialmente C/C++. O objetivo do projeto Arduíno é criar ferramentas acessíveis, com baixo custo, flexíveis e fáceis de se usar tanto por profissionais quanto para amadores. Pode ser usado para o desenvolvimento de objetos interativos independentes, ou ainda para ser conectado a um computador hospedeiro. Uma típica placa Arduíno é composta por um microcontrolador, alguns conectores de entrada e saída digital e analógica, além de uma interface serial e/ou USB, para interligar-se ao hospedeiro, que é usado para programá-la em tempo real.

60

No segundo projeto, foram implementados novos botões e LED’s em cada

localidade, ilha, margem ou ponte, e os botões principais passaram a ficar nas

pontes. Veja o esquema a seguir sobre utilização da maquete eletrônica, com um

trajeto aleatório:

O usuário inicia a interação selecionando a ilha de

partida, o que acende um LED verde. Nesse exemplo,

o usuário optou por começar da margem sul.

Em seguida, o usuário pressiona o botão de uma das

pontes que dão acesso à região onde ele está14,

acendendo seu LED amarelo e indicando o novo local

onde o usuário está com um LED verde.

Nesse exemplo, ao sair da margem sul e ir para a ilha

com a árvore, apagou-se o LED da margem sul e

acenderam-se o da ponte percorrida e o da ilha da

árvore.

Suponha que o trajeto continuou, indo da ilha da

árvore para a ilha com a torre. Assim, apagou-se o

LED da ilha da árvore, acenderam-se os da ponte

recém-atravessada e da ilha da torre e manteve-se

acesso o LED da ponte percorrida inicialmente.

14 Se o usuário pressionar o botão de uma ponte que não dá acesso a região onde ele se encontra, nada acontece. Exemplo: se estiver na margem sul e pressionar o botão da ponte que liga as duas ilhas.

61

Da ilha da árvore, considere que o usuário optou por

ir para a margem norte, pela ponte maior. Dessa

forma, apaga-se o LED da ilha da torre, acendem-se

os da margem norte e o da ponte recém-atravessada

e mantêm-se acessos os LEDs das pontes percorrida

nas etapas 2 e 3.

Se o usuário optar por voltar para a ilha da árvore,

apaga-se o LED da margem norte; acendem-se o

verde da ilha da árvore e o amarelo da ponte recém-

atravessada; e mantêm-se acessos os três amarelos

das pontes utilizadas. Como não há mais

possibilidade de deixar a ilha da árvore sem repetir

nenhuma ponte, acende-se um LED vermelho no

canto superior-esquerdo, indicando fim das

possibilidades de percurso. O usuário deve, então,

pressionar o botão de reiniciar, que fica ao lado do

LED vermelho.

A modificação do projeto diminuiu a complexidade do código de programação da

maquete, permitindo que os alunos utilizassem a árvore de possibilidades, ou

máquina de estados. Esta foi, para os alunos, uma forma confiável de construir a

lógica do programa, ainda que precisassem listar todos os caminhos possíveis para

implementá-lo, como apresentado na figura 10.

62

Figura 10 – Sabrina construindo uma máquina de estado.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

As máquinas de estados finitos são modelos matemáticos usados para representar

programas de computadores ou circuitos lógicos. Essas máquinas de estado podem

modelar um grande número de problemas, entre os quais a automação de design

eletrônico, o projeto de protocolo de comunicação, a análise e outras aplicações de

engenharia (OLIVEIRA, 2005). Por exemplo, a seguir temos a máquina de estado

referente à ilha central com três pontes de acesso.

63

Figura 11 – Máquina de estado referente ao vértice D da maquete eletrônica (ilha central com 3 pontes de acesso).

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Na parte da programação, o método foi escolhido por seguir corretamente a

máquina de estados. A linguagem de programação utilizada foi a C, única que os

alunos conheciam até então; enquanto a interface de programação escolhida foi a

MPLAB® X Integrated Development Environment (IDE), disponível no laboratório da

escola. O microcontrolador utilizado inicialmente pertence à família PIC1615 e possui

um médio custo de mercado quando comparado a outros microcontroladores de

15 Os microcontroladores PIC – Programmable Interface Controller (Controlador de Interface Programável, em português) são uma família de microcontroladores que processam dados de 8, 16 e 32 bits. Possuem alta velocidade de processamento e são populares, tanto industrialmente como para hobbystas, graças ao seu baixo custo, ampla disponibilidade, grande base de usuários, extensa coleção de notas de aplicação, disponibilidade de ferramentas de desenvolvimento de baixo custo, ou grátis, e capacidade de programação serial e reprogramação com memória flash.

64

capacidade similar. Desenvolvemos uma placa de circuito impresso utilizando o

microncontrolador PIC16F877A e uma fonte de 5Vcc (volts em corrente contínua),

conectadas a essa placa todas boterias e todos os LEDs da maquete. O principal

motivo da troca foi o barateamento do custo de produção da maquete, visando a

produção em larga escala e uma futura ampla distribuição para escolas públicas.

Figura 12 – Maquete com componentes eletrônicos para o ensino de Teoria de Grafos.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

A imagem do fundo da maquete, apresentada na figura 13, foi construída por outro

aluno, do curso de administração, participante do grupo que pesquisou “a razão

áurea em logomarcas de empresas atuantes no Brasil”. Segundo ele, a inspiração

pela aparência medieval foi afinada com um dos alunos do grupo da Maquete

Eletrônica. Então, os alunos retomaram o estilo do jogo Super Mário World, fazendo

uso das imagens de castelos e de personagens e do esquema de cores.

Figura 13 – Arte produzida pelos alunos para servir como fundo na maquete eletrônica.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

65

Antes de produzir as pontes e procurar os outros elementos gráficos na internet, o

estudante esboçou um projeto em papel, para testar a posição dos recursos visuais.

Segundo ele, o layout da maquete foi determinado observando-se a aparência da

imagem e o favorecimento da manipulação. Por fim, o aluno destacou que “essa

ideia surgiu não apenas para não deixar o circuito chato, mas também para chamar

atenção das pessoas”.

4.6 APRESENTAÇÃO DO PROJETO EM FEIRAS

A primeira apresentação da maquete em uma feira aconteceu na 4ª Semana da

Matemática do Ifes (Semat), realizada de 26 a 29 de maio de 2015, com o tema “O

fazer matemática na Educação Básica”. O primeiro dia do evento contou com uma

cerimônia de abertura e com uma apresentação teatral matemática, feita pelo Grupo

Matetras. Também na noite inicial foi realizada a palestra “Matemáticas em tempos

de Malba Tahan”, ministrada pelo do professor Moysés Gonçalves Siqueira Filho, da

Universidade Federal do Espírito Santo (Ufes). Já na quarta-feira (27) foram

realizadas mesa-redonda, minicursos, além de apresentações de pôsteres. No

último dia do evento, aconteceu o Seminário Integrado do Pibid/Ifes/Matemática,

apresentações de pôsteres, além de uma exposição didático-pedagógica. A palestra

de encerramento foi ministrada pelo professor da Universidade Federal do Rio de

Janeiro (UFRJ), Victor Giraldo, com o tema “Formação de Professores que Ensinam

Matemática: Integrando Recursos, Saberes e Práticas”.

A novidade desta edição, e um dos pontos altos da 4ª Semat do Ifes, foi a Feira da

Matemática, realizada na quarta-feira (27/05/2015). Os projetos apresentados nesta

modalidade abordaram curiosidades sobre Matemática dos anos iniciais do Ensino

Fundamental ao Ensino Médio. Dentre esses trabalhos, três foram do Ifes Campus

Vitória, três do Campus Linhares, três do Campus Venda Nova do Imigrante e um do

Campus Nova Venécia.

Até a 4ª Semana da Matemática do Ifes, o grupo da Maquete Eletrônica não havia

conseguido unir todos os programas respectivos de cada ilha/margem. Isso ocorreu

porque o microcontrolador utilizado não possuía memória suficiente para armazenar

todas as linhas de programação. Devido a isso, no dia da apresentação, os alunos

66

compilaram um programa por vez, ou seja, o participante escolhia uma ilha/margem

para iniciar seu percurso e aguardava um momento para que o programa fosse

compilado no computador. A partir daí ele poderia utilizar a maquete eletrônica.

Além desse contratempo, ao chegar ao evento, os alunos-pesquisadores

identificaram problemas de funcionamento da maquete, decorrentes do transporte

no trecho de Linhares à capital capixaba. Com apoio de professores do curso de

Eletrotécnica do campus Vitória, os estudantes conseguiram reparar a maquete a

tempo para apresentação.

Figura 14 – Alunos reparando os problemas na maquete eletrônica.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

A segunda exibição do protótipo para ensino de grafos aconteceu na IV Feira de

Ciência e Engenharia do Espírito Santo (Fecieng – ES). Segundo a organização do

evento, esta feira incentiva a criatividade e a inovação em estudantes de educação

básica, por meio do desenvolvimento de projetos com fundamento científico, nas

diferentes áreas das ciências e engenharia. Na quarta edição da Fecieng – ES,

cerca de 200 trabalhos foram inscritos e desenvolvidos por alunos/as e professores

de escolas dos ensinos fundamental, médio e EJA, das redes Municipal, Estadual e

Federal. Desses, 60 foram selecionados para apresentação no evento, que

aconteceu entre os dias 27 e 29 de outubro de 2015, no CEET Vasco Coutinho,

município de Vila Velha – ES.

67

Para a IV Fecieng – ES, os alunos substituíram o microcontrolador PIC16F877A pelo

PIC18F4550, que dentre outras vantagens, possui uma maior memória de programa

que o anterior. Assim, os alunos conseguiram compilar toda a programação em um

único microcontrolador, não sendo mais necessário o acompanhamento de um

computador.

Figura 15 – Grupo da pesquisa-ação apresentando o projeto na IV Feira de Ciência e Engenharia do

Espírito Santo

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Com a finalidade de identificar potencialidades da maquete eletrônica para o ensino

de grafos, retomamos a análise da produção de alunos de ensino médio para o

trabalho de conclusão de curso (SÁ, 2014a) e a relacionamos às observações

durante o uso da maquete eletrônica na Feira de Matemática do Ifes e na IV Fecieng

– ES, por pessoas de formação diversificada (níveis fundamental, médio e superior).

Em 2013, verificamos que das trinta e seis cartas produzidas pelos alunos, vinte e

duas (61%) apresentavam a resposta correta, mas sem justificativa, e treze (36%)

não alcançaram o objetivo esperado. O primeiro grupo de respostas incorretas

observadas em Sá (2014a) compreende os casos nos quais o aluno não voltou ao

ponto de partida (figura 16), o que indica que o aluno não se atentou para o

questionamento sobre a possibilidade de se fazer o percurso e retornar ao ponto

inicial. Nesses erros do tipo 1, o que ficou mais evidente para o aluno na carta é o

68

fato de “atravessar todas de tal forma que cada ponte seja atravessada apenas uma

vez”.

Figura 16 – Resolução empírica de um aluno com erro do tipo 1.

Transcrição do texto:

Tem como, mas

depende de onde a

pessoa irá sair; se

for de goiabeiras ou

Vila Velha, tem

como.

Fonte: SÁ, 2014a, p. 63.

Ao interagir com a maquete, a escolha de partida não poderia passar despercebida

pelos alunos, uma vez que o recurso continha uma LED indicativa para o ponto

inicial do percurso escolhido pelo aluno, conforme ilustrado na imagem a seguir.

Nesse sentido, por meio da interação, os alunos desenvolvem novas formas de

aprendizado, já que nesse caso as respostas são dadas diretamente pelo recurso e

confrontadas com os conhecimentos já construídos (BORBA, 1999).

Figura 17 – Aluno iniciando seu percurso pela ilha central, conforme indicado pela LED verde.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

69

Quando utilizada a carta impressa, alguns alunos do ensino médio passaram pela

mesma ponte duas vezes, conforme apresentado na figura 18. Este segundo tipo de

erro indica que o aluno não se atentou para a orientação de cada ponte só deveria

ser atravessada uma única vez. Em oposição ao erro relatado no tipo anterior,

verificamos que o aluno se atentou mais para o questionamento “É possível fazer

isso e voltar ao ponto de partida?”.

Figura 18 – Resolução empírica de um aluno com erro do tipo 2.

Transcrição do texto:

Passando por Jardim

da Penha na ponte

(1), depois indo para a

ponte (2), logo depois

indo para Goiabeiras

na ponte (3), assim

indo para Cariacica e

a ponte (4), assim

indo para a (5) e logo

depois a (6). Saindo

de frente para Jardim

da Penha.

Fonte: SÁ, 2014a, p. 63.

Ao utilizar a maquete com componentes eletrônicos, a repetição de uma ponte não

era permitida, uma vez que o LED referente a essa passagem já estava aceso.

Nesse sentido, o uso da ferramenta tecnológica inibe a ocorrência de erros que

passam de despercebidos quando se está manipulando papel e lápis.

70

Figura 19 – Interação com a maquete, com destaque para a LED amarela acesa indicando ponte já utilizada.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

O erro do tipo 3 foi caracterizado pelas resoluções que não respeitaram a

delimitação das pontes (figura 20), o que aponta para uma não atribuição de

significado ao modelo matemático, de modo que o aluno não percebeu que, na

prática, estaria indo de Vila Velha à Vitória sem nenhum meio físico especificado.

Figura 20 – Resolução empírica de um aluno com erro tipo 3.

Fonte: SÁ, 2014a, p. 64.

As delimitações geográficas, que não foram explicitadas na carta, são apresentadas

de forma mais clara na maquete. Com ajuda de cores e efeitos, o rio e as pontes são

bem definidos e isso impossibilita erros do tipo 3. Além disso, a presença de um LED

vermelho indicativo evidencia que não há mais possibilidades de percurso ao longo

da região observada (figura 21).

71

Figura 21 – Interação com a maquete, com destaque para a LED vermelha acesa indicando fim das possibilidades.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Nestas experiências com a maquete eletrônica na Feira de Matemática do Ifes e na

IV Fecieng – ES, concluímos que a maquete eletrônica se apresentou como recurso

para a abordagem da Teoria dos Grafos do ensino médio. Verificamos, em ambas

as ocasiões, que a maquete aproximou a matemática dos participantes das feiras,

despertando o interesse, e promoveu a formulação de questões, conjecturas, testes

e argumentações, etapas de uma investigação matemática (PONTE; BROCARDO;

OLIVEIRA, 2009).

4.7 INTERVENÇÕES EM SALA DE AULA E INSTRUMENTOS PARA OBTENÇÃO

DE DADOS

A escola onde validamos a proposta investigativa pertence à rede estadual do

Espírito Santo e está situada em Vitória. Esta instituição, fundada em 1976, possui

uma área construída de, aproximadamente, 7.500 m2 e atende anualmente 950

alunos, nos turnos matutino, vespertino e noturno. A professora das turmas

acompanhadas possui graduação em Matemática e Mestrado em Educação e é

efetiva na escola desde o ano de 2008. A docente desenvolve continuamente

práticas orientadas por planejamentos bem definidos e com propostas que

utilizavam diversas metodologias discutidas na Educação Matemática, como

resolução de problemas e uso de materiais manipulativos. Além disso, atua como

supervisora do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência do Ifes e

sempre recebe pesquisadores em suas turmas. Todas essas características

contribuíram para que a escola fosse escolhida para a validação da maquete.

72

Para esta pesquisa de mestrado, realizamos duas experiências de ensino na escola

campo. A primeira, que chamamos de validação da proposta investigativa, não

utilizou a maquete eletrônica, por problemas técnicos, mas procurou validar a

proposta histórico-investigativa planejada para o estudo. A intervenção aconteceu

nos dias 26, 27 e 30 de novembro de 2015, nas três turmas de segundo ano de

ensino médio do turno matutino. A segunda experiência de ensino, com utilização da

maquete eletrônica, aconteceu entre os dias 11 e 13 de abril de 2016, nas duas

turmas de segundo ano do turno vespertino. As dinâmicas só foram realizadas após

assinatura das autorizações pelo diretor da escola e pela professora de matemática

da turma. Ambos os casos só aconteceram após autorização do diretor e ciência da

equipe pedagógica e começaram com a apresentação do pesquisador e seguiram

com uma breve explicação do contexto da pesquisa e com a entrega do Termo de

Consentimento Livre e Esclarecido – TCLE (Anexo I).

Na primeira experiência, a quantidade de alunos nas turmas variou de vinte a vinte e

cinco. É importante destacar que todos esses alunos conheciam a dinâmica do

Pibid/Ifes e, dessa forma, já estavam habituados a atividades orientadas por

pessoas que não seriam os professores da escola, como bolsistas de iniciação à

docência. No segundo caso, apesar de não receber bolsistas do Pibid, não

encontramos problemas para o desenvolvimento da pesquisa, pois os alunos

também estavam familiarizados com atividades orientadas por alunos de

licenciatura, que participavam do Programa Bolsa Estágio Formação Docente da

Secretaria de Estado da Educação do Espírito Santo (Sedu).

Considerando a pesquisa em educação como uma prática social, o trabalho de

campo torna-se importante, pois permite compreender a realidade e transformá-la.

Durante a realização da dinâmica, utilizamos dois instrumentos para obtenção de

dados: observação participante – apoiada em captura de imagens em fotos,

gravação de áudio e registro em diário de campo – e análise documental sobre as

produções dos alunos. Na primeira intervenção em sala de aula, aproveitamos as

respostas dos estudantes na avaliação trimestral de matemática para compreender

quais tipos de ecos (BOERO; PEDEMONTE; ROBOTTI, 1997) foram produzidos

pelos estudantes após a atividade em sala de aula.

73

Na segunda experiência de ensino, além da observação participante, captura de

imagens, produções escritas dos alunos e registro em diário de campo, fizemos uso

de filmagens para acompanhar a utilização da maquete eletrônica. A produção

escrita dos alunos foi ampliada com a solicitação de um relatório de investigação e

na formalização escrita de conceitos de grafos, vértices, arestas, grau de vértice e

caminho euleriano, por meio de atividade de sistematização proposta em Sá

(2014a). Com a produção desses novos enunciados, identificamos impressões sobre

o processo histórico de constituição da Teoria de Grafos e avaliamos, novamente,

quais foram os ecos (BOERO; PEDEMONTE; ROBOTTI, 1997) produzidos por

alunos não somente após a aula, mas também durante sua realização.

Nas duas validações de proposta, o diário de campo foi utilizado para registrar

observações de fenômenos e descrição de pessoas e cenários. Segundo Fiorentini e

Lorenzato (2009), os diários podem conter uma dupla perspectiva: uma descritiva e

outra interpretativa.

A perspectiva descritiva atém-se a descrição de tarefas e atividades, de

eventos, de diálogos, de gestos e atitudes, de procedimentos didáticos, do

ambiente e da dinâmica da prática, do comportamento do observador etc. A

perspectiva interpretativa, por sua vez, tenta olhar para a escola e a sala de

aula como espaços socioculturais produzidos por seres humanos concretos,

isto é, por sujeitos que participam da trama social com seus sentimentos,

ideias, sonhos, decepções, intuições experiências reflexões e relações inter-

pessoais (FIORENTINI; LORENZATO, 2009, p. 119).

A partir dessas e de outras orientações de Fiorentini e Lorenzato (2009), procuramos

contemplar no diário de campo essas duas perspectivas. Como foi o pesquisador

que conduziu as experiências de ensino, o preenchimento do diário aconteceu logo

após as aulas, de modo que as memórias não se perdessem.

74

5 QUINTA PONTE: AS EXPERIÊNCIAS DE ENSINO

Apesar do foco inicial da pesquisa estar na utilização da maquete eletrônica por

alunos de ensino médio da rede estadual de educação, julgamos importante também

identificar aprendizagens dos alunos-pesquisadores da educação profissional no

movimento da pesquisa-ação que oportunizou a criação do recurso. O projeto da

Feira de Matemática, que circunscreve a pesquisa-ação realizada, pode ser

analisado não só de acordo com os cenários de investigação, mas também na

perspectiva da História da Matemática, da emancipação dos alunos e da integração

curricular. Retomando os cenários de investigação de Skovsmose (2000),

percebemos que esta atividade apresenta aspectos semelhantes aos do ambiente

de aprendizagem (6), constituído por uma abordagem investigativa com referência à

realidade.

Considerando as múltiplas contribuições das Feiras de Ciência e Matemática para

alunos, comunidade escolar e sociedade, realizamos um recorte a fim de organizar

os dados obtidos e analisá-los com a profundidade adequada. Diante disso, nossas

categorias partem da definição de Moura (1995, p. 7) em que as Feiras de Ciências

são vistas como “espaço de interação com as áreas de ciência e tecnologia;

oportunidade de ensino e de aprendizagem para professores e alunos; e de

desenvolvimento do aluno em suas dimensões sociais, afetivas, cognitivas e

psicológicas”. Nesse sentido, consideramos três categorias para análise de dados:

aprendizagens conceituais;

interação com as áreas de ciência e tecnologia; e

desenvolvimento do aluno em suas dimensões sociais e afetivas.

Para analisar momentos de utilização da maquete eletrônica em sala de aula e

apresentar contribuições da História da Matemática na abordagem da Teoria dos

Grafos no ensino médio, categorizamos os enunciados produzidos pelos alunos,

tomando como referência a classificação dos ecos individuais internalizados: ecos

superficiais, ecos mecânicos e ecos de assimilação (BOERO; PEDEMONTE;

ROBOTTI, 1997).

75

5.1 FORMAÇÃO DOS ALUNOS-PESQUISADORES NO MOVIMENTO DA

PESQUISA-AÇÃO

Ninguém educa ninguém, ninguém educa a si mesmo, os homens se educam entre si, mediatizados pelo mundo (FREIRE, 1996a, p. 39).

5.1.1 Aprendizagens conceituais

Ao pensar as questões da educação, da cultura e dos sentidos dos processos

humanos, Paulo Freire parte da questão que a espécie humana é “aberta”, no

sentido de que cada indivíduo necessita se decidir sobre o que irá fazer,

considerando sua condição de inacabamento (BOUFLEUER, 2010). Nessa

perspectiva, apresentamos, nesta seção, algumas aprendizagens conceituais dos

alunos, identificadas a partir das conversas de Whatsapp, do Formulário Eletrônico

(Apêndice A) e do questionário (Apêndice B).

A primeira aprendizagem evidenciada pelos alunos-pesquisadores refere-se a

questões técnicas, relacionadas à memória dos microcontroladores. No primeiro

resumo escrito por estudantes para a Feira de Matemática do Ifes, o planejamento

inicial era utilizar uma placa de prototipagem eletrônica (Arduino) para que os

participantes pudessem interagir ao tentar solucionar o problema. Quando

questionamos os alunos se esse planejamento foi executado, Elis apresentou a

seguinte resposta:

Planejamos o proposto, entretanto, ocorreram algumas modificações. Utilizamos um microcontrolador da família PIC no lugar da placa de prototipagem Arduino. Foi utilizado apenas um LED por ponte e por ilha/margem. Não conseguimos unir os programas respectivos de cada ilha/margem. Isso ocorreu porque o microcontrolador utilizado não possuía memória suficiente para armazenar todas as linhas de programação. Devido a isso, no dia da apresentação, compilávamos um programa por vez, ou seja, o participante poderia partir de apenas uma ilha/margem a cada vez que o programa fosse compilado no computador. Esta dificuldade foi importante para aprendermos as diferentes memórias existentes em diferentes microcontroladores, e para sabermos que cada um tem sua forma de programar. Aprendemos que a solução seria trocar de microcontrolador, porém não tivemos tempo hábil para isso (Elis, em

resposta ao questionário, 2015).

Em relação à matemática, perguntamos aos alunos-pesquisadores, por meio de

questionário (Apêndice B), quais dos conteúdos utilizados no projeto eles já

76

conheciam e quais aprenderam durante a construção da maquete eletrônica. João e

Elis, em suas respostas, mostraram que, durante a realização do projeto, retomaram

conteúdos de combinatória, à medida que aprendiam novos conteúdos de Teoria de

Grafos.

Resposta João: Já tinha conhecimento a respeito dos conceitos de análise combinatória e na criação de árvores de possibilidades. Os conhecimentos a respeito da Teoria de Grafos como um todo foi aprendido durante a execução do projeto. Foi possível aprender também sobre a sua aplicabilidade em buscadores pesquisas online, em áreas da física elétrica, dentre outras (2015).

Resposta Elis: Já havia estudado probabilidade e combinação, conteúdos que nos auxiliaram para a construção lógica do problema. O conteúdo que eu não conhecia foi a Teoria de Grafos, esta, aprendemos durante a realização do projeto (2015).

Conforme enunciamos na seção 1.4 deste trabalho, percebemos que as Orientações

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) sugerem explicitamente

a discussão da análise Teoria de Grafos à análise combinatória, o que percebemos

nas respostas dos alunos. Em relação ao Currículo Básico da Escola Estadual do

Espírito Santo, Gualandi (2012) apresenta uma importante reflexão sobre a

apresentação dos conteúdos no documento estadual: “no tema ‘Números e

Operações’, [...] sugere que, após o ensino de Análise Combinatória – princípio

fundamental da contagem, chances e possibilidades – seja feita uma introdução à

teoria dos grafos”. Daí concluímos que, as aprendizagens matemáticas dos alunos-

pesquisadores aconteceram de modo alinhado a documentos curriculares nacionais

e estaduais.

Além do conteúdo matemático, destacamos também as aprendizagens dos alunos

em uma dimensão maior, relacionada ao contexto histórico. Nesse sentido, Ramos

(2005) destaca que aprender conteúdos implica reconhecê-los como conhecimentos

construídos historicamente, que, por sua vez, se constituem em pressupostos a

partir dos quais se podem construir novos conhecimentos no processo de

investigação e compreensão do real. Para a autora, “os conteúdos de ensino são

conceitos e teorias que constituem sínteses da apropriação histórica da realidade

material e social pelo homem” (RAMOS, 2005, p. 114). E isto pode ser observado

nas falas de Sabrina e Elis:

A Teoria de Grafos surgiu com um problema cotidiano, na cidade de russa

de Konisberg, onde existia duas ilhas e sete pontes. Pretendia-se caminhar

77

em torno da cidade e atravessar todas as pontes apenas uma vez e, se

possível, retornar ao ponto inicial. O problema foi esclarecido por Euler,

matemático do século XVIII, ao constar que o objetivo era impossível de ser

cumprido. A partir dai, surgiu o que conhecemos por Teoria de Grafos.

Séculos mais tarde, outros ramos/leis se originaram a partir da sua

aplicação, como por exemplo, a Lei de Kirchhoff para correntes elétricas

(Sabrina, em resposta ao questionário, 2015).

Conhecemos como foi desenvolvido este novo campo matemático, a Teoria

de Grafos, criado pelo filósofo e matemático Euler, por meio do enigma das

pontes de Konisberg. Aprendemos as teorias que o mesmo implantou aos

Grafos ao solucionar este problema. E, por fim, estudamos diversas outras

aplicações dessa teoria (Elis, em resposta ao formulário eletrônico, 2015).

Ao analisar a fala de Sabrina e Elis, percebemos que as alunas reconheceram a

Teoria de Grafos como um conhecimento construído historicamente, uma vez que a

primeira estudante, por exemplo, afirmou que seu “surgimento” se deu a parir do

esclarecimento de Euler, no século XVIII. Além disso, sua resposta indica que este

conteúdo se constitui em pressupostos a partir dos quais se podem construir novos

conhecimentos, como a Lei de Kirchhoff para correntes elétricas. Dessa forma,

concluímos que a participação neste tipo de projeto fez com que a aluna

reconhecesse a matemática como produção humana em constante construção

(MIGUEL, 1997).

5.1.2 Interação entre as áreas de ciência e tecnologia

A relação entre ciência e tecnologia, apesar de ser marcante no ensino de ciências

naturais, pode ser potencializada na área de matemática, a partir da realização de

feiras. Silva e Tomelin (2008) reforçam esta ideia quando afirmam que “as feiras

ajudam a ampliar os conhecimentos em Matemática e em outras áreas” (SILVA;

TOMELIN, 2008, p. 17). Em nossa pesquisa, observamos as primeiras

aproximações entre matemática e tecnologia em abril de 2015, com a inclusão de

Fernando, professor do núcleo profissional do Ifes Linhares, com formação em

engenharia elétrica. A inclusão desse novo participante do projeto foi importante,

pois motivou os alunos a refletirem sobre os conteúdos já estudados em anos

anteriores de modo a empreendê-los neste projeto. Um trecho a seguir exemplifica

essa retomada:

78

16/04/2015, 17h52 - Elis: Eu e Sabrina conversamos com Fernando e decidimos que a forma mais eficiente de fazer o projeto eh usando máquinas de estado. Isso permite que determinemos condições pra que certa ação possa ser

realizada. E eh disso que a gente precisa.

16/04/2015, 17h53 - Elis: O problema é que vai dar muuito trabalho. Pra vc ter uma ideia, só a lógica no papel deve ocupar umas

14 folhas A3 kk. Mas eu acredito que a gente dá conta

16/04/2015, 21h52 - Lauro: Eu também acredito que vcs conseguirão

16/04/2015, 21h53 - Lauro: 😃

16/04/2015, 21h53 - Lauro: Mas vcs ja viram essa matéria ou precisarão estudar novamente?

16/04/2015, 21h53 - Thiago: A gente já viu. A única diferença é que a proporção vai ser muito maior.

16/04/2015, 21h54 - Sabrina: Éh... Serão 14 máquinas.. 16/04/2015, 21h55 - Lauro: Ah sim. Mas pelo visto vcs vão usar bastante

conhecimento técnico pra produzir a maquete, né? 16/04/2015, 21h57 - Sabrina: Sim

Relembramos que as máquinas de estado finito, as quais Elis se referiu, são

modelos matemáticos usados para representar programas de computadores ou

circuitos lógicos. Ao analisar uma máquina de estado16, percebemos que esta é

representada por meio de um grafo direcionado (digrafo). Sobre esse aspecto,

Oliveira (2005, p. 29) destaca que nesta estrutura “os vértices são os artigos e existe

uma aresta do artigo A para o artigo B se e somente se A contém um link para B”. O

autor ainda enfatiza que o desenvolvimento de algoritmos para manipular grafos é

um importante tema da ciência da computação, área de origem das máquinas de

estado finito. Neste caso, observamos mais um caso de interação entre um

elemento matemático – o grafo – e sua aplicação direta na área de tecnologia.

Além dos conteúdos matemáticos e de máquinas de estados, durante a realização

do projeto de matemática, os alunos retomaram diversos conteúdos do núcleo

profissional. A partir das respostas ao questionário e ao formulário eletrônico,

sistematizamos o quadro seguinte.

16 Ver figura 12, na página 65.

79

Quadro 6 – Síntese dos conteúdos do núcleo profissional utilizados durante o projeto da maquete eletrônica.

Conteúdo Disciplina Ano do curso

Circuito de pull-up e pull-down Análise de Circuitos de Corrente

Contínua / Instrumentação Básica 1º ano

Conhecimentos de programação Lógica de Programação 1º ano

Circuitos Elétricos Análise de Circuitos de Corrente

Alternada 2º ano

Máquinas de estados finitos Sistemas Digitais I 3º ano

Utilização de microcontroladores da família PIC

Sistemas Digitais I e II 3º e 4º anos

Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.

Observamos, no quadro 6, que os conteúdos técnicos envolvidos na construção da

maquete eletrônica foram apresentados aos alunos em todos os quatro anos de

curso. Assim, ao retomarmos os conteúdos matemáticos e profissionais explorados,

acreditamos ter desenvolvido um trabalho interdisciplinar. A partir da definição de

Ramos (2005, p.116), percebemos como esta abordagem pode favorecer a

compreensão dos conceitos pelos alunos:

A interdisciplinaridade, como método, é a reconstituição da totalidade pela relação entre os conceitos originados a partir de distintos recortes da realizada; isto é, dos diversos campos da ciência representados em disciplinas. Isto tem como objetivo possibilitar a compreensão dos significados dos conceitos, das razões e dos métodos pelos quais se pode conhecer o real e apropriá-lo em potencial para o ser humano.

Em nosso caso, os conceitos de Teoria de Grafos, como “pontos de partida”,

reverteram-se em conteúdos de ensino, sistematizados em diferentes áreas de

conhecimento e em diversas disciplinas. A partir do exposto por Ramos (2005),

percebemos, então, que “conhecimentos gerais e conhecimentos profissionais se

distinguem metodologicamente e em suas finalidades situadas historicamente;

porém, epistemologicamente, esses conteúdos formam uma unidade” (RAMOS,

2005, p. 120).

Com base no que Paulo Freire escreve sobre a educação, é possível afirmar que,

para ele, a educação profissional deve ser entendida como um processo de

formação humana: “a formação técnico-científica de que precisamos é muito mais do

que puro treinamento ou adestramento para uso de procedimentos tecnológicos”

80

(FREIRE, 2000, p. 10117 apud MANFREDI, 2010, p. 140). Para Manfredi (2010), é

possível afirmar que as ideias de Freire se aproximam mais da concepção que faz

da formação para o trabalho dentro de um processo mais amplo e complexo da

formação humana. Nesse sentido, a formação profissional deve compreender

conhecimentos técnicos, científicos, em sua historicidade e com a função social e

política.

5.1.3 Desenvolvimento dos alunos em suas dimensões sociais e afetivas

As discussões sobre a contribuição da afetividade em processos de ensino e

aprendizagem vêm ganhando espaço no cenário educacional, buscando

compreender o indivíduo em sua complexidade (GÓMEZ CHACÓN, 2003). Em

Tassoni e Leite (2011), por exemplo, encontramos pressupostos vigotskianos que

possibilitam discutir sobre influências de fenômenos afetivos em formas de pensar e

agir.

Para compreender questões sociais e afetivas manifestadas durante a participação

no projeto de feira e na pesquisa-ação, precisamos apontar nossa compreensão de

afeto ou domínio afetivo. Em diálogo com Gómez Chacón (2003), adotamos a ideia

de dimensão afetiva, que compreende “uma extensa categoria de sentimentos e de

humor (estados de ânimo) que geralmente são considerados como diferente da pura

cognição” (GÓMEZ CHACÓN, 2003, p. 20). Nessa definição, o domínio afetivo inclui

atitudes, crenças, considerações, emoções, sentimentos e valores. A partir de dados

obtidos nas conversas de Whatsapp, no Formulário Eletrônico (Apêndice A) e no

questionário (Apêndice B), apresentamos as manifestações de afeto, analisando-as

a partir de Gómez Chacón (2003) e Freire (1996a; 1996b). E, pari passu,

suscitaremos algumas reflexões sobre o ensino.

A primeira emoção que apresentamos é a curiosidade. Segundo Gómez Chacón

(2003), esta afetividade é identificada quando o aluno manifesta o desejo de saber e

averiguar alguma coisa, analisar o que está proposto no problema e buscar uma

possível solução. Em nosso caso, percebemos este tipo de comportamento durante

17 FREIRE, Paulo. Pedagogia da indignação – cartas pedagógicas e outros escritos. São Paulo: Editora Unesp, 2000.

81

a fase exploratória da pesquisa-ação, quando os alunos pesquisaram possíveis

abordagens que poderiam ser realizadas para superar o problema sobre o ensino de

Grafos no sistema educacional estadual. Ainda na perspectiva de Gómez Chacón

(2003), a curiosidade aparece em contraste com outros motivadores práticos ou

baseados no autoritarismo. Nesse sentido, recorremos a Freire e Faundez (198518,

p. 46 apud GHIGGI, 2010, p. 56) para compreender que “o autoritarismo que corta

nossas experiências educativas inibe, quando não reprime, a capacidade de

perguntar. A natureza desafiadora da pergunta tende a ser considerada, na

atmosfera autoritária, como provocação à autoridade”. Ou seja, superação da

curiosidade sobre o autoritarismo citada em Gómez Chacón (2003) implica na

contradição educador-educando de Freire (1970), de tal maneira que se tornem

ambos, simultaneamente, educador e educando.

Conforme apresentado no percurso metodológico, até a primeira apresentação do

projeto em feira, na 4ª Semana da Matemática do Ifes, o grupo de alunos-

pesquisadores não havia conseguido unir todas as máquinas de estado em um

único microcontrolador. Apesar da tensão gerada por essa situação, os alunos

conseguiram apresentar seu projeto, adotando apenas uma ilha/margem para iniciar

seu percurso. Logo após o fim da apresentação, às 16h, os estudantes

compartilharam suas emoções com o professor Fernando, que se manteve em

Linhares e não presenciou a apresentação na capital:

27/05/2015, 14h24 - Fernando (Prof): Funcionou gente? 27/05/2015, 16h09 - Elis: Sim, mas usamos apenas a máquina B por causa

da memória

27/05/2015, 16h09 - Elis: Mas foi um sucesso

27/05/2015, 16h09 - Elis: Pessoal gostou mt kk

27/05/2015, 16h35 - Fernando (Prof): Sério mesmo? O.o

27/05/2015, 18h38 - Elis: Aham

27/05/2015, 18h38 - Elis: E foi massa q tinham alunos de eletrotécnica

27/05/2015, 19h28 - Sabrina: Fernandooooooo 27/05/2015, 19h29 - Fernando (Prof): Oi Sabrina!!!!!!!!!!!! 27/05/2015, 19h29 - Sabrina: Nosso sucesso tbm é seu. Agradecemos por

tudo, e mais alguma coisa 😄 😄 😄 😄 [...] 27/05/2015, 19h29 - Fernando (Prof): Que isso Sabrina. Trabalhando juntos

podemos fazer muito mais!

18 FREIRE, Paulo; FAUNDEZ, Antônio. Por uma pedagogia da pergunta. Rio de Janeiro: Paz e terra, 1985.

82

No trecho da conversa, podemos identificar que as alunas Elis e Sabrina expressam

prazer com a atividade. Neste caso, caracterizamos a emoção de ânimo (GÓMEZ

CHACÓN, 2003) e podemos associá-la ao domínio dos procedimentos ou posse dos

conhecimentos necessários para utilização exclusiva da máquina de estado B, em

função da pouca memória do microcontrolador. À medida que a maquete eletrônica

funcionava, a atividade tornava-se ainda mais prazerosa e as alunas ficavam ainda

mais animadas. Gómez Chacón (2003) ainda aponta que o sentimento de ânimo é

marcado por diversas reações, como assoviar, alvoroçar-se, mostrar-se brincalhão.

No recorte acima, destacamos algumas dessas características, por exemplo, quando

Elis expressa sua felicidade, às 16h09, usando o “kkk” (risos) e Sabrina mostra

euforia, prolongando a última letra do nome do professor “Fernandooooooo”, às

19h28, e inserindo repetidos emoticons sorridentes, às 19h29.

Foi uma experiência que nunca tinha passado. Me proporcionou trabalho em equipe, elaboração e divisão de tarefas, confiança no colega de equipe e o satisfatório sentimento de dever cumprido. Esse projeto surgiu de maneira inesperada e fomos, juntos, capazes de elaborar um trabalho muito interessante acerca do tema proposto. Ver olhos curiosos, dúvidas e até elogios de pessoas que entendem o certo nível de complexidade para elaboração de algo deste tipo, foi gratificante (Thiago, em resposta ao questionário, 2015 – grifos nossos).

Conforme o Dicionário Aurélio, confiança é um substantivo feminino que se expressa

como ação de confiar, na qual também pode exigir uma segurança para fazê-la.

Fernandes (2010) destaca que esta afetividade é construída por atitudes de respeito

e disponibilidade para o diálogo. Situando-a no contexto de Freire (199519, apud

FERNANDES, 2010, p. 82), a esperança fornece “um suporte à relação dialógica

enquanto prática fundamental”. Daí, temos que a centralidade da educação como

prática da liberdade exige amor, amorosidade20 e confiança.

Outro termo recorrente nas conversas com os alunos e respostas a

formulário/questionário é o marcador “juntos”, que aparece, por exemplo, na

mensagem de Fernando no Whatsapp (27/05/2015, 19h29: “Que isso Sabrina.

Trabalhando juntos podemos fazer muito mais!”) e na resposta de Thiago ao

questionário (“e fomos, juntos, capazes de elaborar um trabalho muito

19 FREIRE, Paulo. À sombra desta mangueira. São Paulo: Olho d’água, 1995.

20 “A amorosidade freireana que percorre sua obra e sua vida se materializa no afeto como compromisso com o outro [...]. Usando o prefixo com-, ganha força a ideia de compromisso que pode significar prometer-se consigo e com o outro” (FERNANDES, 2010, p. 37).

83

interessante...”). A partir da ótica freireana, constatamos a ideia de trabalho coletivo

como contribuição para a construção da autonomia com responsabilidade. Isto fica

evidente quando Freire (1996b, p. 79) afirma que “ninguém educa ninguém, ninguém

se educa sozinho; as pessoas se educam entre si, mediatizadas pelo mundo”.

Ainda no dia da apresentação na feira da 4ª Semana da Matemática do Ifes,

compartilhei no grupo do Whatsapp uma foto da apresentação dos alunos. No dia

seguinte, as afetividades foram novamente expostas por Elis e João:

27/05/2015, 23h30 - Lauro envia foto da apresentação dos alunos da Feira de Matemática do Ifes.

28/05/2015, 06h12 - Fernando (Prof): Muito legal! 28/05/2015, 06h12 - Fernando (Prof): Ninguém gravou vídeo?!

28/05/2015, 06h13 - Elis: Acho q nao kkk

28/05/2015, 06h13 - Elis: Caraca Fernando, a gnt falou direitinho hahah

[...]

28/05/2015, 17h26 - João: Orgulho 💙

Ao dizer “a gnt [gente] falou direitinho”, Elis mostra o grupo soube administrar o

problema de memória do microcontrolador, superando o nervosismo que a situação

poderia provocar, o que Gómez Chacón (2003) chama de tranquilidade. Esse

sentimento, associado ao orgulho manifestado por João, sugere confiança que os

alunos possuíam em seu histórico particular, o que caracteriza a autonomia

(FREIRE, 1996a). Mais que isso, arriscamos a dizer que, a partir de interações

sociais apresentadas até este ponto e da construção dos sujeitos nessas interações,

os alunos-pesquisadores empoderaram-se.

Quando questionadas sobre aprender (a) metodologia de pesquisa e (b) conteúdo

matemático por meio de projetos de feira de matemática, Elis e Sabrina destacam

diversão e prazer no desenvolvimento do projeto:

(a) Está sendo extremamente gratificante adquirir esses conhecimentos, tendo em vista nosso objetivo final: a Feira da Matemática. Dessa forma, desenvolvemos aptidões mais facilmente e aprendemos com mais consistência e mais prazerosamente temas que até então nos eram desconhecidos (Elis, em resposta ao Formulário Online, 2015 – grifos nossos).

(b) É uma oportunidade de aprendermos um assunto importante da matemática que não seria adotado no currículo do Ensino Médio. Além disso, adquirimos conhecimentos de uma maneira mais didática e prazerosa, tendo o foco em suprir a carência de métodos eficientes que

84

abordem esse tema nas nossas escolas de Ensino Médio (Elis, em resposta ao Formulário Online, 2015 – grifos nossos).

(b) É uma ótima estratégia. Apresentar o conteúdo de forma diferenciada faz com que ele seja assimilado com mais eficiência e diversão por parte dos estudantes (Sabrina, em resposta ao Formulário Online, 2015 – grifos nossos).

Gómez Chacón (2003) destaca que a diversão se manifesta como prazer, alegria,

gosto pela atividade que está sendo realizada, etc. Segundo a autora, em alguns

casos, vincula-se a um estado de ânimo ou disposição com que realiza a tarefa.

Essa estratégia ou forma diferenciada, nas palavras de Sabrina, é a que busca

emancipar e empoderar os alunos, na tentativa de superar da educação bancária

citada em Freire (1996b). Em caso contrário, alerta o autor, “a palavra se esvazia da

dimensão concreta que devia ter ou se transforma em palavra oca, com verbosidade

alienada e alienante” (FREIRE, 1996b, p. 33).

Para encerrar a apresentação de dimensões sociais e afetivas, é importante

ressaltar que Paulo Freire não se detém a explicitar as categorias de afetividade e

amorosidade (DALLA VECCHIA, 2010). Contudo, em algumas de suas obras, como

Pedagogia da Autonomia (FREIRE, 1996a), o educador destaca a diversidade do

afeto e o desdobramento ético e estético decorrente da experiência com o

educando:

O que importa, na formação docente, não é a repetição mecânica do gesto, este ou aquele, mas a compreensão do valor dos sentimentos, das emoções, do desejo, da insegurança a ser superada pela segurança do medo que, ao ser educado, vai gerando a coragem (FREIRE, 1996a, p.45).

Com isso, concluímos que no projeto pedagógico freireano, “o homem se torna

liberto à medida que for capaz de ser autônomo, [...] através da educação permeada

pela afetividade, pelo diálogo, pelo questionamento” (DALLA VECCHIA, 2010, p.

27).

5.2 UMA PRIMEIRA INTERVENÇÃO SEM USO DA MAQUETE

A escola onde realizamos as duas intervenções pertence à rede estadual do Espírito

Santo e está situada em Vitória. Esta instituição atende anualmente 950 alunos, nos

85

turnos matutino, vespertino e noturno. Esta primeira intervenção aconteceu nos dias

26, 27 e 30 de novembro de 2015, nas três turmas de segundo ano de ensino médio

do turno matutino. Durante os dias em que acompanhamos as turmas, a quantidade

de alunos variou de vinte a vinte e cinco.

Nesta primeira oportunidade, a maquete eletrônica, por problemas técnicos, foi

substituída pela projeção da imagem de fundo, de modo que a proposta se

mantivesse próxima ao planejado pelo pesquisador. Neste caso, as aproximações

aconteceram em relação à abordagem metodológica de sala de aula e os

distanciamentos em função do recurso utilizado para o ensino de grafos.

5.2.1 Realização da Investigação Matemática

Dando início à atividade de validação, o pesquisador apresentou a imagem de fundo

da maquete, dizendo que esta representava uma cidade do interior da Rússia. Em

seguida, ao ver a aparente surpresa nos alunos em função do layout da imagem, o

pesquisador apresentou uma adaptação do Problema das Pontes de Königsberg,

dizendo que uma princesa do castelo mais ao norte gostaria de passear pelo seu

reino, atravessando cada uma das pontes uma única vez e retornando a sua

residência. Dessa forma, o pesquisador convidou os alunos a investigarem o

problema, para posteriormente formularem uma carta coletiva de resposta à

princesa. Assim, mantemos o gênero textual original da História da Matemática.

Após a enunciação do problema, o pesquisador e a professora deixaram que os

alunos fizessem tentativas, criassem hipóteses e discutissem entre si. Assim, em

consonância a Skovsmose (2000, p. 71), os professores consideraram que “no

cenário para investigação, os alunos são responsáveis pelo processo”. Estes, então,

encarando o desafio que lhes foi apresentado, iniciaram as buscas de um caminho

que passasse apenas uma vez pelas sete pontes.

Em duas turmas, alguns alunos chegaram a se levantar da cadeira para discutir com

seus colegas possíveis trajetórias e procurar por explicações (figuras 22 e 23).

Reconhecemos que este tipo de comportamento aconteceu por parte de poucos

alunos, mas precisamos ressaltar que os demais não atuaram somente como

expectadores da aula, pois também aceitaram o convite de investigar, testando em

seu caderno os caminhos que poderiam conter as sete pontes.

86

Figura 22 – Aluna apresentando suas conjecturas aos colegas.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Figura 23 – Alunas comparando suas hipóteses frente à turma.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Na terceira turma, embora os alunos não tenham se levantado para apresentar suas

hipóteses, desenvolveram suas discussões em pequenos grupos, enquanto também

tentavam criar, em seus cadernos, um caminho que passasse pelas sete pontes

(figura 24).

Figura 24 – Aluna tentando criar caminhos em seu caderno.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

87

Sobre o comportamento dos alunos que não foram ao quadro, Ponte, Brocardo e

Oliveira (2009, p. 30) destacam que “pode parecer que nada está acontecendo ou

que os alunos estão com dificuldades quanto a essa atividade, no entanto, essa

etapa é decisiva para que depois os alunos comecem a formular questões e

conjecturas”. Nesse sentido, analisando tanto o caso dos alunos que foram a frente

quanto os que ficaram em suas cadeiras conjecturando, confiamos que o cenário de

investigação foi estabelecido em sala de aula.

É importante destacar que no cenário construído com esta primeira tarefa, os

próprios alunos realizaram a mediação do processo; mesmo quando houve interesse

de mais de um aluno em falar, o próprio grupo se organizou, com poucas

interferências do pesquisador, de modo que todos apresentassem suas opiniões de

forma organizada. Mais uma vez, retomamos Skovsmose (2000), ao afirmar que no

cenário de investigação, são os alunos que assumem a responsabilidade pelo

processo investigativo.

Ainda sobre as ações dos alunos descritas acima, percebemos a criação de um

“contexto mentalmente estimulante” (GOLDENBERG, 1999, p. 5), nos permitindo

inferir, segundo a tipologia de Goldenberg (1999), que esta primeira tarefa pode ser

caracterizada como uma atividade investigativa para explorar. Este tipo de tarefa,

segundo o autor, é importante por criar um cenário para o trabalho posterior, ajudar

os alunos a estabelecer intuições e a desenvolver um “sentido” do território.

88

A construção de uma carta de resposta à princesa, atribuída como atividade

posterior, apresentou o problema de investigação; tarefa com o objetivo de conduzir

os alunos à descoberta de uma conjectura, o que caracteriza as atividades

investigativas para descobrir (GOLDENBERG, 1999). Neste caso, a formalização de

um conceito constitui a parte crítica, que diferencia este tipo de investigação da

categoria apresentada anteriormente. Como esta dinâmica foi planejada para uma

aula de 50 minutos, conduzimos este momento como uma oportunidade para

sistematização do que foi construído. Este direcionamento também é apontado por

Goldenberg (1999, p. 6) quando afirma que uma atividade investigativa para

descobrir “poderá igualmente servir como parte do corpo ou mesmo final de uma

sequência de aprendizagem”.

Ao final do processo investigativo, os alunos das três turmas perceberam que o

problema não tinha solução. As cartas coletivas foram estruturadas pelos alunos e

escritas na lousa pelo pesquisador. Com isso, evidenciamos que o papel do

professor em mediar a discussão, manter o interesse pelo assunto, apresentar

contra-argumentações e não aceitar apenas a contribuição dos alunos que tem

habitualmente respostas corretas (OLIVEIRA; SEGURADO; PONTE, 1998, p. 3).

Durante a concepção da carta, os alunos justificaram a impossibilidade do passeio

pela quantidade total ímpar de pontes da região (sete). Antes de escrever isso na

carta, o pesquisador questionou os alunos se a retirada da ponte que liga a ilha da

torre com a margem norte (figura 25a) solucionaria o problema. Os alunos

perceberam que não e, em uma das turmas, a aluna argumentou que esta ponte não

poderia ser retirada para não perder a simetria da figura. Para a turma desta aluna, o

pesquisador apresentou o contraexemplo da figura 25b, que contém uma quantidade

par de pontes, dispostas simetricamente, e que também não possui caminho.

Finalizando este teste de hipóteses, o pesquisador sugeriu a eliminação de duas

pontes, conforme ilustra a figura 25c, deixando a região com cinco pontes, sem

simetria e com o caminho solicitado pela princesa.

89

Figura 25 – Modelos dos contra-exemplos apresentados pelo pesquisador durante a investigação

(a) (b) (c)

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

A contra-argumentação reitera a postura de Oliveira, Segurado e Ponte (1998),

sobre a importância da mediação em certos momentos da investigação; por meio da

interação entre o pesquisador e as turmas que os alunos passaram a notar que o

impedimento para o passeio pelas pontes não estava no número total de pontes,

mas na quantidade de pontes que cada região possuía. Assim, atestaram que para a

princesa percorrer todas as pontes e retornar ao seu castelo, seria necessário que

todas as regiões tivessem uma quantidade par de pontes.

A partir da análise da questão de paridade, o pesquisador fez um breve

questionamento aos alunos: seria possível sair de algum local da Grande Vitória,

percorrer as seis pontes da região metropolitana e voltar ao ponto de partida? Este

tipo de questionamento se aproxima das atividades investigativas para questionar

(GOLDENBERG, 1999), no sentido que também leva os estudantes a retomar

conceitos trabalhados anteriormente para revê-los e aprofundá-los. Ao refletirem e

discutirem, os alunos concluíram que: por possuir duas regiões com quantidade

ímpar de pontes, seria possível percorrer todas as pontes da Grande Vitória, mas

sem retornar ao ponto de partida.

Em síntese, após essas investigações, os estudantes conjecturaram que se uma

região tem mais de dois pontos com quantidade ímpar de pontes, então não é

possível realizar um passeio que passe por todas as pontes. Contudo, se essa

região possuir exatamente dois pontos com quantidade ímpar de pontes, então é

possível percorrer todas as pontes, desde que o passeio comece em um dos locais

com quantidade ímpar de acessos. E, ainda, que se na região não houver pontos

90

com quantidade ímpar de pontes, então é possível realizar um passeio que passe

por todas as pontes e voltar ao ponto de partida. Assim, sem saber, os alunos

tinham acabado de enunciar o Teorema dos Caminhos Eulerianos, de 1736.

Retomando a produção da carta coletiva, após os alunos verificarem que não havia

solução para a situação proposta e enunciarem as condições necessárias para

existência dos caminhos eulerianos, passamos a investigar uma alternativa para que

a princesa conseguisse transpor todas as pontes e retornar ao ponto inicial. Em

duas turmas, os alunos sugeriram eliminar uma das pontes que liga a ilha da torre à

margem norte e construir uma nova passagem entre a ilha da árvore e a margem sul

(figura 26a). Já os alunos da outra turma propuseram a construção de duas novas

pontes: uma ligando a ilha da torre à margem norte e, outra, a ilha da árvore à

margem sul (figura 26b).

Figura 26 – Alternativas apontadas pelos alunos para o Problema das Sete Pontes.

(a) (b)

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Parafraseando Skovsmose (2000), percebemos que, depois de todas essas

investigações, estamos na sala de aula. A princesa da história e os castelos

representados não existem e isso nos coloca em uma semi realidade, mas não no

paradigma do exercício. Como a lógica que governa a semi realidade do ambiente

de aprendizagem (3) não está em operação, podemos concluir que construímos o

ambiente do tipo (4) de Skovsmose (2000).

No final deste primeiro dia, após informar os alunos sobre a veracidade do problema

apresentado, passamos a sistematizar conceitos abordados ao longo das

91

investigações. Considerando o percurso traçado pelos alunos durante a aula,

definimos um grafo a partir do exposto em Malta (2008, p. 15): “Um grafo é um

conjunto de pontos do plano ligados por segmentos cujas extremidades devem

conter tais pontos”. Em seguida, retomamos a conjectura apresentada na carta

coletiva para formalizar o Teorema do Caminho Euleriano:

(a) Se um grafo conexo tem mais de dois vértices com grau ímpar, então ele não tem passeio euleriano.

(b) Se um grafo conexo tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então ele possui um caminho euleriano aberto, que começa em um vértice, percorre todas as arestas e termina em um vértice diferente do inicial.

(c) Se um grafo conexo não tem vértices de grau ímpar, então ele tem um caminho euleriano fechado, que começa e termina no mesmo vértice, percorrendo todas as arestas.

(LÓVASZ, PELIKÁN, VESZTERGOMBI, 2005, p. 133).

Ao analisar o teorema apresentado, notamos que só há menção a “nenhum”,

“exatamente dois” e “mais de dois” vértices de grau ímpar. Mas não poderíamos ter

somente um vértice com grau ímpar? Este questionamento foi feito por uma das

alunas em uma das turmas acompanhadas. O pesquisador, então, explicou que ao

somarmos os graus de todos os vértices, cada aresta é contada duas vezes. Assim,

o número obtido precisa ser par. Por outro lado, se tivéssemos somente um vértice

de grau ímpar, a soma de todos os graus também seria ímpar, contrariando nossa

afirmativa inicial de que a soma é sempre par. Por isso, não podemos ter

exatamente um vértice de grau ímpar em um grafo. Extrapolando o questionamento

da aluna, percebemos, pelo mesmo raciocínio, que a quantidade de vértices de grau

ímpar em grafo sempre tem que ser par. A demonstração para esta afirmativa está

apresentada a seguir:

ⱶ: Em qualquer grafo, a quantidade de vértices com grau ímpar é par.

Demonstração:

Ao somarmos os graus dos vértices, cada aresta é contada duas vezes. Logo, a

soma dos graus de todos os vértices é igual ao dobro da cardinalidade do conjunto

de arestas, ou seja, ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝑉 = 2. |𝐴|. Portanto, a soma dos graus de todos os

vértices é par. Agora, considere um grafo com v vértices e sejam P e I os conjuntos

92

de vértices de grau par e ímpar, respectivamente. Segue que V = P ∪ I e que P ∩ I =

Ø. Assim,

∑𝑔(𝑣)

𝑣∈𝑉

=∑𝑔(𝑣)

𝑣∈𝑃

+∑𝑔(𝑣)

𝑣∈𝐼

= 2. |𝐴|

Ou ainda,

∑𝑔(𝑣)

𝑣∈𝐼

= 2. |𝐴| −∑𝑔(𝑣)

𝑣∈𝑃

Note que ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝑃 representa um somatório de números pares, daí ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝑃 é par.

Sendo o conjunto dos números pares fechado em relação a operações do campo

aditivo, temos que 2. |𝐴| − ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝑃 é par, o que implica em ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝐼 par. Como

∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝐼 é um somatório de números ímpares, cujo resultado é par, temos que a

quantidade de parcelas deve ser par, ou seja, o conjunto I tem uma quantidade par

de elementos. Assim, fica provado que em qualquer grafo, a quantidade de vértices

com grau ímpar é par.

■

Na segunda aula da sequência, utilizamos uma lista de problemas (Anexo II) para

que os alunos pudessem empreender os conceitos formulados em outras atividades,

que não eram apenas questões de aplicação. Apesar do paradigma do exercício ser

criticado por vários pesquisadores, é importante destacar que os discursos em voga

se dirigem ao mau uso dos exercícios, conforme esclarecido por Skovsmose (2000,

p. 80): “particularmente, não considero a ideia de abandonar por completo os

exercícios da educação matemática. Poderia fazer sentido [...] usar um período para

‘consolidar’ o que os alunos trabalharam por meio de exercícios relacionados”. As

estratégias e soluções dos alunos foram socializadas na terceira e última aula da

sequência, em 30 de novembro. Nesta seção, não analisamos estas resoluções em

função do objetivo da pesquisa.

5.2.2 Avaliação da aprendizagem e produção de ecos pelos alunos

Em momento posterior, no dia 04 de dezembro de 2015, a professora de matemática

da turma optou por incluir em sua avaliação trimestral duas questões sobre Teoria

93

de Grafos. Isto mostra um reconhecimento das discussões pela professora da turma

e faz com que os estudantes também valorizem o conhecimento construído na

perspectiva da investigação, uma vez que “os instrumentos de avaliação podem

romper ou reforçar certos mitos relativos ao ensino de matemática” (SANTOS, 1997,

p. 7).

Embora as questões não fossem, inicialmente, parte da pesquisa, optamos por

analisa-las de modo a verificar o aproveitamento das turmas no instrumento

avaliativo e compreender, por meio da questão discursiva, os ecos produzidos pelos

alunos após a intervenção em sala de aula. Cada uma das questões possui duas

versões, que foram colocadas em duas provas (I e II). A primeira questão sobre

grafos, quarta do instrumento avaliativo, avalia por meio de cinco alternativas se os

alunos conseguem retomar a definição de grau de um vértice em um grafo dado.

Apesar de não serem graficamente parecidos, ambos os grafos apresentados na

avaliação foram discutidos em sala, durante a resolução da lista de problemas.

Quadro 7 – Questões objetiva sobre grafos na prova trimestral de matemática.

Prova I Prova II

QUESTÃO 04 (1,5 pontos) Analisando o grau dos vértices do grafo abaixo é correto afirmar que:

a) Apenas dois dos vértices possuem grau par. b) Todos os vértices possuem grau ímpar. c) Todos os vértices possuem grau par. d) Apenas três vértices possuem grau ímpar. e) Dois vértices possuem grau par e três possuem grau ímpar.

QUESTÃO 04 (1,5 pontos) Analisando o grau dos vértices do grafo abaixo é correto afirmar que:

a)

a) Apenas dois dos vértices possuem grau par. b) Todos os vértices possuem grau par. c) Todos os vértices possuem grau ímpar. d) Apenas três vértices possuem grau ímpar. e) Dois vértices possuem grau par e três possuem grau ímpar.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Ao analisar o desempenho dos alunos nas questões sobre Teoria de Grafos da

avaliação trimestral, percebemos que, de forma geral, 80% dos alunos acertaram a

questão objetiva sobre o assunto. Essa razão chegou a 92% em umas das turmas,

conforme apresentado na tabela 1.

94

Tabela 1 – Desempenho das turmas na questão objetiva sobre grafos.

Acertaram Erraram Total de alunos

Turma A 14 6 20

Turma B 21 2 23

Turma C 19 5 24

Total de respostas 54 13 67

Fonte: Elaborado pelos pesquisadores, 2015.

A segunda questão sobre grafos, sétima do instrumento avaliativo, retomou o

Teorema dos Caminhos Eulerianos. Em uma das versões, solicitou a condição de

existência do caminho euleriano aberto e, na outra versão, do caminho fechado.

Quadro 8 – Questões discursivas sobre grafos na prova trimestral de matemática.

Prova I Prova II

QUESTÃO 07(1,0 ponto)

Considerando as ideias discutidas sobre a teoria

de Grafos, explique qual seria a condição para

que se tenha um caminho euleriano aberto.

QUESTÃO 07 (1,0 ponto)

Considerando as ideias discutidas sobre a teoria

de Grafos, explique qual seria a condição para

que se tenha um caminho euleriano fechado.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Nesta questão, 65% dos alunos enunciaram corretamente a condição, 7,7%

cometeram pequenos equívocos, 19,6% não acertaram e 7,7% não responderam.

Analisando somente os alunos que apresentaram alguma solução para a questão,

verificamos que 79% dos estudantes conseguiram se apropriar das discussões

realizadas em sala de aula. Os valores absolutos são apresentados na tabela a

seguir:

Tabela 2 - Desempenho das turmas na questão discursiva sobre grafos.

Acertaram totalmente

Acertaram parcialmente

Erraram Não

responderam Total

Turma A 11 1 7 1 20

Turma B 18 1 1 3 23

Turma C 15 3 5 1 24

Total 44 5 13 5 67

Fonte: Elaborado pelos pesquisadores, 2015.

Ao analisarmos qualitativamente as respostas dos alunos, percebemos que os

estudantes foram capazes de produzir ecos de diferentes tipos. A seguir,

95

apresentamos enunciados dos alunos e os classificamos como ecos superficiais,

ecos mecânicos e ecos de assimilação, de acordo com o Jogo de Vozes e Ecos

(BOERO; PEDEMONTE; ROBOTTI, 1997).

A primeira categoria apresentada é a dos ecos superficiais, que são produzidos

quando o aluno não consegue compreender a voz. Os ecos desse tipo podem ser

reconhecidos pelo uso inadequado de termos e expressões decorrentes da voz, nas

contradições e na confusão entre os conceitos. Nesta pesquisa, a exemplo do que

foi observado em Sá (2014a), os ecos superficiais aconteceram principalmente no

emprego da notação da Teoria dos Grafos ou na confusão entre os termos dessa

teoria e os da Geometria, conforme ilustrado a seguir. À luz da teoria de Bakhtin

(2008) e de Wittgenstein (1975), dizemos que este discurso se apropria,

indevidamente, de outras vozes.

Figura 27 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova I.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

A confusão entre os conceitos também foi observada neste grupo de alunos. No

exemplo da figura 28, o aluno não especifica o que precisa ter grau par. Além disso,

o estudo afirma, equivocadamente, que “com grau ímpar, o caminho é aberto”. Na

verdade, de acordo com o Teorema dos Caminhos Eulerianos, se a quantidade de

vértices com grau ímpar for superior a dois, o grafo não contém caminho euleriano.

96

Figura 28 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova II.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Outra característica observada no conjunto de enunciados com ecos superficiais é a

imprecisão dos conceitos apresentados. No caso da figura 29, por exemplo, a

quantidade de vértices com grau ímpar deve ser exatamente dois, uma vez que com

nenhum vértice de grau ímpar o caminho é fechado.

Figura 29 – Exemplo de eco superficial na questão discursiva da prova I.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

O segundo grupo de ecos, denominados de mecânicos por Boero, Pedemonte e

Robotti (1997), acontecem quando os alunos precisam repetir ou parafrasear uma

voz ou a solução correta de um exercício padrão. Em relação a Bakhtin (2008),

podemos dizer que há um discurso objetivado que demonstra identificar as

informações e o contexto no qual o enunciado está inserido, mas não há apropriação

dessas informações e nem inserção no contexto do citado. Percebemos isso quando

notamos que alguns alunos não se apropriaram do Teorema dos Caminhos

Eulerianos, enunciando-o completamente quando apenas foi solicitado um de seus

casos, conforme exposto a seguir (figura 30).

97

Figura 30 – Exemplo de eco mecânico na questão discursiva da prova I.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

Os ecos de assimilação podem ser detectados quando o aluno é capaz de transferir

o conteúdo e/ou método transmitido pela voz para outras situações-problemas

propostas, que são parcialmente semelhantes ao que é transmitido pela voz. Com

efeito, notamos que o aluno produz um discurso bivocal que evidencia a

compreensão e apropriação dos enunciados anteriores. Na próxima ilustração, por

mais que o aluno tenha cometido equívocos de notação, percebemos que houve um

eco de assimilação em relação ao Teorema dos Caminhos Eulerianos, uma vez que

ele consegue selecionar o caso solicitado, enuncia-lo parcialmente bem e ainda

apresentar um exemplo simples e que difere dos apresentados em sala.

Figura 31 – Exemplo de eco de assimilação na questão discursiva da prova II.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2015.

98

5.3 UTILIZAÇÃO DA MAQUETE ELETRÔNICA EM SALA DE AULA

A segunda experiência de ensino, com utilização da maquete eletrônica, aconteceu

entre os dias 11 e 13 de abril de 2016, nas duas turmas de segundo ano do turno

vespertino. Nesta segunda intervenção, além da observação participante, captura de

imagens, produções escritas dos alunos e registro em diário de campo, fizemos uso

de filmagens para acompanhar a utilização da maquete eletrônica. A produção

escrita dos alunos foi ampliada com a solicitação de um relatório de investigação e

na formalização escrita de conceitos de grafos, vértices, arestas, grau de vértice e

caminho euleriano, por meio de atividade de sistematização proposta em Sá

(2014a). Com a produção desses novos enunciados, identificamos impressões sobre

o processo histórico de constituição da Teoria de Grafos e avaliamos, novamente,

quais foram os ecos (BOERO; PEDEMONTE; ROBOTTI, 1997) produzidos por

alunos não somente após a aula, mas também durante sua realização.

5.3.1 Abordagem histórico-investigativa

A partir do que já foi apresentado, sabemos que práticas de sala de aula planejadas

num cenário para investigação diferem fortemente daquelas baseadas em exercícios

(SKOVSMOSE, 2000). Dando início à intervenção, o pesquisador e a professora

apresentaram a maquete eletrônica, contextualizando sua criação por alunos do Ifes

Linhares. Em seguida, o pesquisador apresentou o Problema das Sete Pontes, sem

explicitar que se tratava de um problema real, da cidade de Königsberg. Dessa

forma, o pesquisador convidou os alunos a solucionarem o problema, realizando

investigações com a maquete eletrônica.

Após a enunciação do problema, o pesquisador e a professora organizaram os

alunos em grupos de até três estudantes, para que pudessem interagir com a

maquete de modo mais organizado. Em uma das turmas, os alunos se revezaram

em frente à maquete e, enquanto um grupo fazia uso do recurso, os demais

estudantes começavam a conjecturar possibilidades de respostas, a partir do

registro da maquete em foto. Neste caso, percebemos sua contribuição como

catalisador da curiosidade, elemento importante do processo investigativo.

99

Figura 32 – Alunos realizando investigações prévias a partir da foto da maquete eletrônica.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Figura 33 – Alunos realizando investigações prévias a partir da foto da maquete eletrônica.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Ao deixar que os alunos fizessem tentativas, criassem hipóteses e discutissem entre

si, procuramos, novamente, seguir as orientações de Skovsmose (2000, p. 71), que

“no cenário para investigação, os alunos são responsáveis pelo processo”. Os

alunos, então, começaram a tentar criar um caminho que passasse pelas sete

pontes, encarando o desafio que lhes foram apresentados.

Com a utilização da maquete eletrônica, confirmamos nossa hipótese em relação a

representação imagética dos grafos pelos alunos. Como não foi possível operar no

modelo apresentado, o que ocorreu durante a atividade de validação, quando os

alunos usaram pincel para simular caminhos na lousa onde a o fundo da maquete foi

projetado. Percebemos que este impedimento incentivou os alunos a construírem

seus modelos no caderno e que, nessa transposição, rudimentos da representação

gráfica dos grafos surgiram, potencializando assim o processo de construção dos

conceitos relacionado a este conteúdo.

100

Figura 34 – Estratégias dos alunos para resolver

o Problema das Sete Pontes de Königsberg.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Figura 35 – Associação que um dos grupos fez entre o Problema das Sete Pontes e o Problema

da Ponta do Lápis

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Foi interessante perceber que um grupo associou, ainda que intuitivamente, o

problema das sete pontes ao problema da ponta do lápis (figura 35), desafio

apresentado em Jurkiewicz (2007) e adaptado outras vezes em aulas sobre Teoria

de Grafos (atividade 1 do Anexo II), coincidentemente já planejado para esta

pesquisa (atividade 3 do Apêndice C).

Na outra turma de segundo ano, inicialmente os alunos também adotaram a

estratégia da foto da maquete como subsidio para a investigação. Entretanto, com o

desenvolvimento da aula, levantaram e se aproximaram à maquete, para realizarem

melhor suas análises observando diretamente o recurso.

Figura 36 – Alunos rodeando a maquete eletrônica no primeiro de atividades.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

101

A partir da observação participante, creditamos o sucesso da maquete

principalmente ao layout com o estilo do jogo Super Mário World, fazendo uso das

imagens de castelos e de personagens e do esquema de cores. Outro fator

importante foi a interação oportunizada pela existência de botões de das lâmpadas

de LED, conforme trecho apresentado a seguir:

Aluna: Daqui a pouco tacar essa maquete... fazer igual ao meu colega fez com a guitarra... tacar no chão assim até... to muito nervosa...

[a estudante vai guardar o material e, depois, volta em direção a porta] Aluna: Deixa eu levar isso aqui pra casa? Pra eu tentar em casa... Lauro: Pra você tentar em casa? Ah, você pode tirar foto, ficar tentando e

amanhã a gente comenta... Aluna: Não... com botãozinho é melhor... Lauro: Por que com botãozinho é melhor? Aluna: Porque ele acende... aí você vai descobrindo... Aluna B [que passava pela maquete]: Verdade!

Independente do motivo, ao se levantarem das cadeiras e rodearem a maquete para

tentar solucionar o Problema das Sete Pontes, os alunos fugiram da crença de uma

realidade estática e compartimentada, em que há uma visão de sujeito acabado ou

concluso (SARTORI, 2010), condenada, na perspectiva freireana. Dessa forma, os

estudantes assumiram o processo de exploração e explicação, fazendo com que o

cenário de investigação se constituísse como um ambiente de aprendizagem

(SKOVSMOSE, 2000).

Durante a interação entre a maquete, atuamos na perspectiva da educação

problematizadora, em que a pergunta não é o mais importante no processo

educativo. Nesta concepção de educação, o professor passa a ser responsável por

iniciar e dirigir o discurso, envolver cada um dos alunos e colocar questões

esclarecedoras ou estimulantes:

Aluno: Tem que começar por aqui [A], né? Lauro: Sim... Na maquete tem que começar por aqui, mas no

caderno pode começar por qualquer uma das quatro regiões...

Aluno: Tá... Eu consegui... Olha aqui... Ia ter que trocar uma ponte...

Lauro: Mas no caso da maquete não tem como, né... Aluno: É... Mas se eu começar por aqui [A] não tem como eu

voltar... Lauro: Por que? Aluno: Porque se eu começar por aqui [A] e vir por aqui [A-

B]... Lauro: Mas qual é o problema, então?

A B

102

Aluno: Uma ponte vai ficar faltando... Lauro: Mas, do jeito que está, tem alguma forma de fazer? Aluno: Ah, não tem não...

Na primeira experiência de ensino, em 2015, os alunos de uma das turmas

sugeriram eliminar uma das pontes que liga a ilha da torre [B] à margem norte e

construir uma nova passagem entre a ilha da árvore [A] e a margem sul (figura 26a,

página 90). Contudo, no caso transcrito, reforçado pela figura 37, o aluno propõe a

transferência (“troca”, segundo o aluno) de uma ponte. Isto aponta, em nossa

opinião, para uma abstração da situação proposta, de modo que a nova

organização, apesar de permitir um caminho euleriano, é impossível de ser

praticada.

Figura 37 – Relatório de investigação do grupo que propôs a “troca de pontes”.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Nesse sentido, percebemos uma aproximação entre o que Paulo Freire chama de

aula, numa proposta antibancária: “sua aula não é uma aula, no sentido tradicional,

mas um encontro em que se busca o conhecimento, e não em que este é

103

transmitido” (FREIRE, 198321, p. 54, apud ROMÃO, 2010, p. 52).

Aluna A: Agora você está aqui [A]... Aí você pode vir pra cá [B]...

Aluno B: Aí depois pra cá [C]... Aluna A: Não tem como, filho de Deus... você quer pular da

ponte? [risos] Aluna A: Passa pra cá [D], olha... Aí você já passou por duas

pontes até agora... Aluna C: Essa você tem que deixar aberta... Aluna A: Aí você vai nadando, né... Aluna C: Não... você tem que deixar aberta pra você passar

por cima dela... Aluna A: Ah, tá... Agora você está aqui [D] e faltou uma,

duas, três, quatro pontes... Aí você vai voltar pra cá [C] e ir pra cá [A]...

Aluna C: Só que aí vão ficar faltando três pontes... Aluno B: Aí você pode passar por aqui [A-D] e faltar duas

pontes... Aluna A: Ah, saquei... Aluna C: Só que não vai dar pra voltar pr’aqui [A] porque já

usamos as três pontes... Aluna A: Sempre vai faltar uma... Aluna C: Eu também acho que sempre vai faltar uma...

No exemplo anterior, percebemos o conceito de investigação matemática para o

ensino apresentado em Ponte, Brocardo e Oliveira (2009). Neste caso, os alunos

formularam conjecturas, quando a aluna C solicitou que uma ponte não fosse usada,

dizendo para “deixar aberta”; apresentaram resultados, quando sistematicamente

contavam a quantidade de pontes não utilizadas; discutindo e argumentando com

seus colegas, propondo possibilidades para travessia das pontes.

Finalizando a primeira aula, propusemos a escrita de um relatório de investigação

que, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 109), permitiria “ao professor

saber se os alunos estão progredindo de acordo com suas expectativas [...] e ao

aluno saber como seu desempenho é visto pelo professor”. Esse instrumento

substituiu a carta coletiva proposta na primeira experiência de ensino, ou seja, os

alunos precisariam apresentar neste relatório não as conclusões que tiraram da

investigação, mas também as questões levantadas acerca da situação proposta, os

21 Freire, Paulo. Extensão ou comunicação. 8. ed. Rio de Janeiro: Paz e terra, 1983.

A

B

C

D

104

modos como organizaram os dados e as conjecturas provadas e refutadas (PONTE;

BROCARDO; OLIVEIRA, 2008).

Apesar das orientações dadas pelo pesquisador e pela professora de matemática da

turma, observamos nas respostas dos relatórios – talvez por não estarem

acostumados, inicialmente, com esse tipo proposta de análise – a ausência das

questões levantadas acerca da situação, dos modos de organização dos dados e

das conjecturas provadas e refutadas; mesmo os alunos tendo apresentado, de

forma prática, tais questões durante a aula. O que recebemos como respostas nos

relatórios foram, de modo simplificado, conclusões da investigação com narrativas

sem argumentação.

Figura 38 – Relatório de investigação

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Figura 39 – Relatório de investigação.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Figura 40 – Relatório de investigação.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

105

Figura 41 – Relatório de investigação.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

A conclusão da maioria dos grupos relacionou o problema à quantidade total de

pontes, equívoco elucidado na aula seguinte, quando o professor apresentou novas

questões que permitiram aos alunos conjecturar se uma região tem mais de duas

porções de terra com quantidade ímpar de pontes, então não é possível realizar um

passeio que passe por todas as pontes. Contudo, se esta região possuir exatamente

duas porções de terra com quantidade ímpar de pontes, então é possível percorrer

todas as pontes, desde que o passeio comece em um dos locais com quantidade

ímpar de acessos. E, ainda, que se na região não houver porções de terra com

quantidade ímpar de pontes, então é possível realizar um passeio por todas as

pontes e voltar ao ponto de partida, sem repetir nenhuma travessia.

Foi curioso perceber que em dois relatórios, a simplicidade na redação da tarefa

investigativa fez com que alguns grupos associassem o problema a um quebra-

cabeça ou ainda “uma pegadinha” para testar o raciocínio dos alunos:

Figura 42 – Relatório de investigação do grupo que associou o problema a um quebra-cabeça.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

106

Figura 43 – Relatório de investigação do grupo que associou o problema a uma pegadinha.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), propor tarefas investigativas em sala de

aula não significa necessariamente propor problemas muito sofisticados. A partir dos

enunciados produzidos pelos grupos, corroboramos a ideia que investigar significa

propor questões para as quais não temos resposta pronta e que se apresentam no

início de modo confuso, mas que procuramos interpretar, estudar e responder de

modo organizado.

5.3.2 Análise dos ecos produzidos

A partir da Teoria do Jogo de Vozes e Ecos, analisamos qualitativamente as

enunciações (respostas escritas e diálogos) dos alunos nos outros dois dias da

experiência de ensino e percebemos que os estudantes produziram ecos

superficiais, mecânicos e de assimilação, os quais detalhamos a seguir.

Ecos Superficiais

Como vimos ao atravessar a segunda ponte dessa pesquisa, os ecos superficiais

acontecem quando o aluno não consegue entender a voz. A primeira característica

que apresentaremos é a não apropriação do enunciado anterior. Percebemos isso

quando nos casos em que o estudante, apesar de ter acabado de estudar a teoria,

procurou empiricamente verificar a existência do caminho, como na figura seguinte.

107

Figura 44 – Resolução empírica de um aluno na Atividade 3.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Como não há apropriação dos enunciados apresentados, os ecos superficiais

produzidos pelo citante recebem influências de outras vozes, que pouco tem a ver

com o objeto descrito no discurso citado. Nas expressões não-verbais apresentadas

a seguir, observamos que o aluno da figura 45 associou o conceito de caminho

euleriano ao trajeto percorrido em ruas e, por isso, representou o grafo como

fragmento de um mapa.

Figura 45 – Eco superficial na atividade 2.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Outros alunos, ao tentarem construir grafos sem caminhos eulerianos, acabaram

elaborando modelos que pouco têm a ver com o objeto descrito nos discursos

produzidos em sala. Percebemos que os alunos tentaram construir grafos

desconexos, ou seja, em que um dos vértices não estivesse ligado a nenhum dos

outros. Contudo, ao colocar em prática sua estratégia, inseriram linhas soltas, que

108

deveriam ser percebidas como arestas. Ora, se as arestas são os pares de vértices,

representadas como linhas ligando os vértices, não podemos admitir a existência de

segmentos sem vértices em suas extremidades. Portanto, não temos o necessário

para caracterizar os modelos dos alunos abaixo como grafos.

Figura 46 – Ecos superficiais na atividade 2.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Também reconhecemos ecos superficiais no uso inadequado de termos e

expressões decorrentes da voz e na confusão entre conceitos. Nesta experiência de

ensino, observamos imprecisões dos conceitos apresentados, como no caso da

figura 47, em que o aluno afirma que o grau do vértice “é o total de vértice”, quando

o correto é o total de arestas incidentes no vértice.

Figura 47 – Eco superficial na atividade 1.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Outro caso de imprecisão nos conceitos está na figura 48. Este aluno reconhece que

a existência de caminhos eulerianos está associada à paridade do grau do vértice,

mas não se apropria do conceito ao ponto de entender que o correto é identificar se

há nenhum, exatamente dois ou mais de dois vértices com grau ímpar no grafo

analisado. Com efeito, o estudante usa como argumentos “mais pares do que

ímpares” no primeiro modelo e “6 pares e 4 ímpares” no último.

109

Figura 48 – Eco superficial na atividade 3.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Outro caso de confusão entre conceitos foi observado na própria forma de

representar os grafos. Apesar de durante a aula fazermos uso de setas para indicar

os caminhos que foram percorridos no Problema das Sete Pontes, alguns alunos

usaram esse recurso em sua representação gráfica de um grafo. Nesse caso, se

todas as setas estivessem partindo de um vértice e apontando para outro, teríamos

um digrafo, ou seja, um grafo orientado – o que não caberia, pois admitimos que as

pontes são sempre de mão-dupla. Ainda assim, observamos que nem todas as

setas apontam para outro vértice, como nos itens a e b da imagem. Por isso

categorizamos este eco como superficial.

Figura 49 – Eco superficial na atividade 2.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

110

As contradições são a última característica dos ecos superficiais que

apresentaremos nesta seção. No início da segunda aula, quando retomamos o

Problema das Pontes de Königsberg, construímos um grafo que representa a

disposição da cidade russa. Este modelo foi usado para conjecturar os casos de

existência do caminho euleriano com os alunos e permitiu que os estudantes

descobrissem que o Problema das Sete Pontes não possuía solução. Um dos

alunos, contudo, usou o mesmo modelo como exemplo de grafo com caminho

euleriano. Então, identificamos a contradição: como um modelo do Problema das

Sete Pontes, que não possui caminho euleriano nenhum, poderia ser usado para

ilustrar um caminho euleriano fechado?

Figura 50 – Eco superficial na atividade 2.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

A partir dos recortes apresentados, verificamos que muitos alunos não se

apropriaram adequadamente do conteúdo apresentado. Observamos situações em

que não houve apropriação do enunciado por parte dos estudantes. Com isso, os

ecos superficiais receberam influências de outras vozes, que pouco tinham a ver

com o objeto descrito no discurso citado e foram reconhecidos pelo uso inadequado

de termos e expressões decorrentes da voz, pela confusão entre conceitos e pelas

contradições. Atribuímos essa questão ao curto espaço de tempo em que a proposta

foi desenvolvida no ambiente escolar, pois reconhecemos que os alunos possuem

tempos diferentes de aprendizagem e, dessa forma, produzem ecos superficiais que,

a partir da mediação do professor, poderiam ser convertidos em ecos de

assimilação.

111

Ecos mecânicos

O segundo grupo de ecos, chamados mecânicos, acontece quando os alunos

repetem ou parafraseiam uma voz ou a solução correta de um exercício padrão.

Nesse caso, nos deparamos com um discurso objetivado, que sugere que os alunos

souberam identificar os dados e o contexto no qual o enunciado está inserido, mas

não conseguiram apropriar-se dessas informações.

Ao contrário da nossa experiência do ano de 2013, quando utilizamos um material

impresso com o processo histórico da Teoria de Grafos (SÁ, 2014a), nesta

experiência as únicas enunciações escritas foram feitas na sistematização das

discussões após o uso da maquete eletrônica. Dessa forma, os alunos não tinham

todos os conceitos disponíveis para repeti-los ou parafraseá-los. A única definição

que foi escrita no quadro e que serviu como fonte de informações para os alunos foi

a de grau do vértice. Esta foi utilizada por boa parte da turma em sua atividade, de

forma igual ou semelhante ao que foi exposto no quadro, caracterizando o eco

mecânico.

Figura 51 – Eco mecânico na atividade 1.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Também na segunda aula, enquanto desenvolvíamos o processo investigativo para

conjecturar os casos de existência do caminho euleriano, analisamos o Problema

das Pontes de Vitória. Neste problema, os alunos são questionados sobre a

possibilidade de atravessar as seis pontes22 da capital capixaba, que, assim como

Königsberg, também possui parte de seu território composto por ilhas fluviais.

22 Para fins didáticos, consideramos as seis pontes que possuem significativo fluxo de carros: (1) Segunda Ponte ou Ponte do Príncipe; (2) Ponte Florentino Avidos, apelidada de Cinco Pontes; (3) Terceira Ponte ou Ponte Deputado Darcy Castello de Mendonça; (4) Ponte Camburi; (5) Ponte Ayrton Senna da Silva; e (6) Ponte da Passagem ou Ponte Governador Carlos Lindenberg.

112

Figura 52 – Mapa da Grande Vitória com indicação das seis principais pontes.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Se quisermos modelar esse problema com um grafo, precisaremos de três vértices:

dois, simbolizando as margens, com grau igual a três e um, representando a ilha

central, com grau igual a seis. Portanto, verificamos que é possível estabelecer um

percurso caminho euleriano aberto, iniciado em uma das margens.

Os ecos superficiais, nesse caso, foram observados quando alunos repetiram o

mesmo modelo como exemplo de grafo com caminho euleriano, na segunda

alterativa da segunda atividade, conforme apresentado na figura 53.

Figura 53 – Ecos mecânicos na atividade 2.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

113

Ecos de assimilação

Quando um estudante ultrapassa o nível mecânico, tornando-se capaz de explorar o

conteúdo e/ou o método transmitido pela voz e utilizando-os em problemas que

diferem da situação apresentada, dizemos que ele produziu um eco de assimilação.

Segundo Boero, Pedemonte e Robotti (1997), este pode ser detectado quando o

aluno é capaz de transferir o conteúdo para outras situações-problemas, que são

parcialmente semelhantes ao que é transmitido pela voz. O primeiro grupo de ecos

de assimilação provém das resoluções corretas para na segunda atividade, de

elaboração de grafos a partir de características.

Figura 54 – Exemplos de grafos, com caminhos eulerianos fechados, construídos pelos alunos.

(a)

(b)

(c)

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Figura 55 – Exemplos de grafos, com caminhos eulerianos abertos, construídos pelos alunos

(a)

(b)

(c)

(d)

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

114

Figura 56 – Exemplo de grafo sem caminho euleriano, construído por um aluno.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

A partir da identificação dos ecos de assimilação, inferimos que parte dos alunos

produziram discursos bivocais, que evidenciam a compreensão e apropriação dos

enunciados anteriores. Na primeira atividade, por exemplo, uma aluna definiu grafos

como sendo o conjunto de vértices e arestas (figura 57). Essa definição se aproxima

da de Santos, Mello e Murari (2007, p. 297): “um grafo G = (N, A) é constituído por

um conjunto (finito e não vazio) N de nós e um conjunto A de arcos. Cada arco é um

par não-ordenado de nós distintos (conjunto de cardinalidade 2)”.

Figura 57 – Eco de assimilação na atividade 1.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Outras enunciações de alunos também se aproximaram de definições de livros da

área, como nos casos da figura 58. Essas procuram conceituar os grafos a partir da

representação gráfica e, nesse sentido, percebem que o grafo é um conjunto de

pontos do plano ligados por segmentos cujas extremidades devem conter tais

pontos (MALTA, 2008, p. 15).

115

Figura 58 – Ecos de assimilação na atividade 1.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Uma enunciação, em especial, nos chamou a atenção, pois além de evidenciar a

compreensão e apropriação dos enunciados, trouxe em seu discurso elementos da

história que foram explorados durante a atividade (figura 59).

Figura 59 – Eco de assimilação com história da matemática.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Ao dizer que o caminho euleriano é o “nome dado quando o suíço Euler tentou fazer

um caminho (trajeto) sem repetir as 7 pontes existente [sic] na cidade de Königsberg

em 1736”, o aluno mostra que percebeu o conceito de grafo euleriano como uma

produção humana, pois foi estabelecida por Euler, e cultural, pois se deu em

determinado local e momento da história. Esta compreensão de trajeto apresentada

pelo aluno não foi pontual. Ela pode ser identificada em outras resoluções do

estudante, como na primeira alternativa da segunda questão:

116

Figura 60 – Eco de assimilação do mesmo aluno que utilizou a história de Teoria de Grafos.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Considerando a expressiva diminuição da quantidade de ecos mecânicos

produzidos pelos alunos em relação a experiências anteriores (SÁ, 2014a) e a

diversidade de ecos de assimilação apresentada acima, passamos a refletir sobre o

aproveitamento dos alunos durante a atividade. Para fazer um recorte, analisamos

somente as respostas da segunda atividade, que solicitou a representação de um

grafo a partir da existência de caminho euleriano. As análises deram lugar ao

seguinte gráfico:

Gráfico 1 – Construção dos grafos pelos alunos, a partir de características dadas.

Fonte: Elaborado pelo pesquisador, 2016.

1

3

10

6

11

3

1

0

0

6

2

3

2

0

0

c) Sem Caminho Euleriano

b) Caminho Euleriano Aberto

a) Caminho Euleriano Fechado

Construção dos grafos pelos alunos, a partir de características dadas (n =16)

Caminho Euleriano Fechado Caminho Euleriano Aberto Sem Caminho Euleriano

Não desenhou grafo Não respondeu

117

Ao analisar o gráfico, verificamos que, quando solicitado um grafo com caminho

euleriano fechado, 10 dos 16 alunos (62,5%) responderam corretamente. O

aproveitamento foi semelhante na segunda questão, quando 11 estudantes

(68,75%) construíram corretamente um grafo com caminho euleriano aberto. Neste

último caso, identificamos, nas 11 respostas, 9 ecos de assimilação e 2 ecos

mecânicos, apresentados anteriormente nesta dissertação.

Destacamos que, em alguns casos, houve uma pequena confusão entre os alunos

em relação à terminologia. Alguns alunos apresentaram representações com

caminhos com início e fim do trajeto diferente, pensando que este seria o caso do

caminho fechado e vice-versa. Nesses casos, após questionamentos em diálogo do

professor com alguns alunos, eles perceberam que as respostas estavam trocadas e

utilizaram setas (figuras 61 e 62) para mostrar que a correção deveria ser feita da

representação ao lado. Outros alunos, porém, apresentaram suas resoluções

apenas no final da aula e não puderam chegar a mesma conclusão dos colegas

(figura 63).

Figura 61 – Aluno que confundiu caminho euleriano aberto e caminho euleriano fechado.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

118

Figura 62 – Aluno que confundiu caminho euleriano aberto e caminho euleriano fechado.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Figura 63 – Aluno que confundiu caminho euleriano aberto e caminho euleriano fechado.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Sobre a situação relatada nesta seção, reafirmamos o papel do professor na

mediação da aula, considerando sua contribuição na validação de resultados e na

prova de conjecturas (OLIVEIRA; SEGURADO; PONTE, 1998). Nessa mesma

perspectiva, acreditamos que o tempo para discussão dos resultados e validação

dos modelos precisa ser ampliado nas próximas oportunidades, para que os alunos

consigam elaborar representações mais complexas, como a situação sem caminho

euleriano, que obteve, neste estudo, apenas 6,25% de sucesso.

119

6 SEXTA PONTE: PRODUTO EDUCACIONAL

O Documento da Área de Ensino (CAPES, 2013), que circunscreve o Programa de

Pós-Graduação onde se insere esta pesquisa, estabelece que

[...] como se destinam aos profissionais da educação básica, os mestrados profissionais da área de ensino geram produtos educacionais [...] para uso em escolas públicas do país, além das dissertações e artigos derivados do relato descritivo e analítico dessas experiências (CAPES, 2013, p. 3).

O documento norteador ainda explica que o produto pode ser, por exemplo, uma

sequência didática, um aplicativo computacional, um jogo, um conjunto de vídeo-

aulas, etc. De uma forma mais ampla, o Documento de Área (CAPES, 2013)

apresenta 12 principais categorias de produtos em relação ao seu formato:

1. Mídias Educacionais (vídeos, simulações, animações, vídeo-aulas, experimentos virtuais, áudios, objetos de aprendizagem, aplicativos de modelagem, aplicativos de aquisição e análise de dados, ambientes de aprendizagem, páginas da internet e blogs, jogos educacionais etc);

2. Protótipos educacionais e materiais para atividades experimentais;

3. Propostas de ensino (sugestões de experimentos e outras atividades práticas, sequências didáticas, propostas de intervenção etc);

4. Material textual (manuais, guias, textos de apoio, artigos em revistas técnicas ou de divulgação, livros didáticos e paradidáticos, histórias em quadrinhos e similares);

5. Materiais interativos (jogos, kits e similares);

6. Atividades de extensão (exposições científicas, cursos, oficinas, ciclo de palestras, exposições, atividades de divulgação científica e outras);

7. Desenvolvimento de aplicativos;

8. Organização de evento;

9. Programa de rádio e TV;

10. Relatórios de pesquisa;

11. Patentes (depósito, concessão, cessão e comercialização);

12. Serviços técnicos.

(CAPES, 2013, p. 53).

Independente da categoria escolhida e do produto pensado, o documento de área

destaca que “o trabalho final deve incluir necessariamente o relato fundamentado

desta experiência, no qual o produto educacional desenvolvido é parte integrante”

(CAPES, 2013, p. 25). Por isso, nosso produto educacional será um guia didático

que contempla os marcos teóricos da Investigação Matemática e da História da

Matemática para o ensino e apresenta propostas para abordagem de grafos no

120

ensino médio com e sem a maquete eletrônica, uma vez que o recurso não estará

disponível para todos os professores que acessarão o produto educacional. Neste

último caso, apresentamos, como alternativa, um modelo de arquivo para impressão

em tamanho A3:

Figura 64 – Modelo de cartaz para impressão em tamanho A3

Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.

121

Em relação à concepção do produto educativo, Osterman e Rezende (2009)

sugerem que se invista em produtos que não apenas contemplem a eficiência de um

método de ensinar dado conteúdo, mas que

Envolvam uma reflexão sobre um problema educacional vivido pelo professor em dada realidade escolar e que levaria ao desenvolvimento de atividades curriculares alternativas (projetos, interdisciplinaridade, envolvendo toda a escola, problematização de problemas ambientais, problemas sociais, tais como questão de gênero, etc.), que exigissem a reflexão sobre as finalidades e o significado da educação em ciências na contemporaneidade (OSTERMAN; REZENDE, 2009, p. 71).

Ainda em diálogo com Osterman e Rezende (2009), Kaplún (2003) destaca que o

material educativo não deve ser apenas um objeto que proporciona informação, mas

sim

[...] algo que facilita ou apóia o desenvolvimento de uma experiência de aprendizado, isto é, uma experiência de mudança e enriquecimento em algum sentido: conceitual ou perceptivo, axiológico ou afetivo, de habilidades ou atitudes etc (KAPLÚN, 2003, p. 46).

O guia didático “Ensinando grafos a partir de abordagem histórico-

investigativa” estrutura-se a partir dos três eixos para a análise e construção de

materiais educativos de Kaplún (2003): o eixo conceitual, o pedagógico e o

comunicacional. Sobre o primeiro eixo, o autor esclarece que

A criação de um material educativo requer dois tipos de pesquisa: uma do tipo temático e outra do tipo diagnóstico. Ou seja, de um lado temos que conhecer a fundo a matéria em questão, os conceitos que a articulam [...]. Depois disso, será preciso escolher as ideias centrais que serão abordadas pelo material, bem como o tema ou temas principais através dos quais se procurará gerar uma experiência de aprendizado (KAPLÚN, 2003, p. 48, grifos do autor).

A partir desta reflexão, torna-se relevante a leitura de autores importantes e o

acesso aos debates suscitados pela matéria em questão (KAPLÚN, 2003), aspecto

que indica uma potencialidade de materiais didáticos advindos de mestrados

profissionais, considerando a aproximação dos referenciais teóricos à prática

proposta, necessária para um programa de pós-graduação. Em nosso produto final,

são abordadas a utilização da história segundo Miguel e Miorim (2011) e da

Investigação Matemática a partir de Skovsmose (2000) e Oliveira, Segurado e Ponte

(1998), principalmente no tocante à sala de aula.

Apesar de todas reflexões suscitadas a partir das leituras inicialmente apresentadas,

Kaplún (2003, p. 48) alerta que “no entanto, a opinião de peritos ou a leitura de

122

textos não bastará”. Com isso, o segundo eixo, pedagógico, é o articulador principal

de um material educativo e é por meio dele que, segundo Kaplún (2003),

estabelecemos um ponto de partida (o conteúdo matemático proposto) e um ponto

de chegada (construção do conhecimento pelos alunos). Por isso, a segunda parte

de nosso produto apresenta o planejamento de uma sequência didática mesclando

experiências de ensino de grafos com e sem a maquete eletrônica. Para que nosso

produto não carregue consigo uma visão tecnicista do ensino, também anexamos

um relato reflexivo do processo de validação, apresentado e analisado na

dissertação de mestrado.

Ainda no eixo pedagógico, Kaplún (2003) destaca que é preciso conversar sobre o

tema com os sujeitos que serão, potencialmente, usuários do material. Nesse caso,

entendemos que a presença da professora da turma nos momentos de validação da

proposta investigativa e do uso da maquete em sala de aula contribui para que seja

possível a utilização do produto em condições reais de sala de aula.

Pode parecer que os eixos conceitual e pedagógico sejam suficientes para definir

completamente o produto educacional desta pesquisa, mas ainda falta o modo

concreto de percorrê-lo. Por exemplo, uma comissão de avaliação de produtos

educacionais do Programa Educimat, ao analisar produtos de outros programas de

pós-graduação, constatou que muitos deles ficam no final da dissertação, na forma

de apêndice. Em seu relatório (PROGRAMA EDUCIMAT, 2015), a comissão

percebeu ainda que muitos produtos são resumos dos trabalhos finais, poucos

elaboram os produtos de modo atrativo e condizente com a forma de um material

didático. Em relação a isso, Kaplún (2013, p. 54) nos incentiva a “romper moldes

para que a mensagem educativa não seja, uma vez mais, equivalente a um sermão

impresso”. Nessa perspectiva, “o eixo comunicacional não é meramente

instrumental, puro braço executor do eixo conceitual. As palavras nos constroem, a

linguagem é a base material do pensamento e entre ambos existe uma unidade

inseparável” (KAPLÚN, 2013, p. 58). Neste aspecto, com colaboração de

professores de ensino básico e superior, em especial da professora das turmas

acompanhadas e da banca de avaliação da dissertação e produto, esperamos

apresentar um produto que converse com o professor e o incentive a utilizar a

História da Matemática e as atividades investigativas não somente em aulas sobre

grafos, mas também em experiências com outros conteúdos matemáticos.

123

Feita a descrição do produto educacional vinculado a esta pesquisa, passamos a

avaliá-lo segundo critérios de qualificação apresentados no Documento de Área

(CAPES, 2013):

1. Validação obrigatória: o processo de validação constitui-se importante momento

no contexto da pesquisa da área de ensino, uma vez que atesta a possibilidade de

utilização do produto em condições reais de sala de aula ou de espaços não formais

de ensino. Nesse sentido, destacamos que as diversas apresentações da maquete

eletrônica em Feiras de Matemática e de Ciência e Tecnologia (espaços não formais

de ensino) juntamente às experiências de ensino em sala de aula (apresentadas nas

seções 5.2 e 5.3 desta dissertação) caracterizam-se como momentos de validação

do que constituirá o guia didático “Ensinando grafos a partir de abordagem histórico-

investigativa”.

O documento de área também indica que a validação pode acontecer nas seguintes

instâncias: “banca examinadora de dissertação, comitê científico de evento, comitê

editorial de periódico, órgão de fomento (CNPq, Capes FAPs, Pró-Reitorias,

Secretarias de Estado, etc) e prêmios reconhecidos na área” (CAPES, 2013, p. 54).

Dessa forma, os momentos de qualificação de projeto e defesa de dissertação

apresentam-se também como outros dois momentos importantes para validação do

produto educacional vinculado a esta pesquisa.

2. Acesso livre: uma análise dos sites de Programas de Pós-Graduação em

Educação em Ciências e Matemática por professores do Programa Educimat

revelou a inexistência de seções destinadas ao Produto Educacional. Segundo

relatório da comissão (PROGRAMA EDUCIMAT, 2015), em alguns programas de

pós-graduação, os trabalhos de conclusão final do curso não estão acessíveis. Em

relação a esse critério e em contraposição aos apêndices supracitados – onde

material didático está presente apenas no fim dos textos, sem o devido destaque –

elucidamos que o produto vinculado a esta dissertação estará disponível na página

de Produtos Educativos do Programa Educimat, no link

http://educimat.vi.ifes.edu.br/?page_id=1409.

3. Incorporação ao sistema educacional: este critério refere-se à efetiva inserção

do produto educacional em salas de aula. Para além da concessão do acesso, é

importante que os produtos educacionais sejam apresentados a escolas e

124

profissionais de ensino (CAPES, 2013). Nesse sentido, destacamos que as

publicações de artigos em periódicos como a Revista Eletrônica Debates em

Educação Científica e Tecnológica (SÁ; SILVA, 2015) e Revista de História da

Matemática para o professor (SÁ; SILVA, 2014), assim como a realização de

oficinas (SÁ, SILVA, 2013) e a apresentação de trabalhos em eventos da área de

Educação Matemática cumprem tal propósito e já favorecem a incorporação de

nossa produção no sistema educacional.

A partir das reflexões provocadas por Kaplún (2003), concluímos que a criação de

um produto educacional desse tipo requer a união de saberes conceituais,

educativos e comunicacionais. Nesse sentido, acreditamos que o guia didático

“Ensino de Grafos por meio de uma abordagem histórico-investigativa” segue aos

pressupostos teóricos de materiais educativos, alinha-se ao escopo da pesquisa de

mestrado e atende a critérios de qualificação apresentados no Documento de Área

(CAPES, 2013).

125

7 SÉTIMA PONTE: ALGUMAS CONCLUSÕES

o educador já não é o que apenas educa, mas o que, enquanto educa, é educado, em diálogo com o educando que, ao ser educado, também educa (FREIRE, 1996a, p. 39).

Nesta pesquisa, investigamos aprendizagens de alunos do ensino médio e da

educação profissional durante a construção ou utilização de maquete eletrônica para

ensino de grafos. Desdobramos nosso objetivo principal em objetivos específicos,

que permitiram uma análise mais sistemática do processo educativo. Ao identificar

aprendizagens de alunos-pesquisadores da educação profissional no

movimento da pesquisa-ação, percebemos que estas ocorreram em três

instâncias: (1) aprendizagens conceituais; (2) interação com as áreas de ciência e

tecnologia; e (3) desenvolvimento do aluno em suas dimensões sociais e afetivas.

Em relação aos conceitos, notamos que as aprendizagens referem-se a

conhecimentos técnicos, como memória de micro controladores; de matemática,

como combinatória, probabilidade e a própria Teoria de Grafos; e de História da

Matemática. Sobre a interação entre ciência e tecnologia, concluímos que um grafo

direcionado (digrafo) pode ser usado para representar as máquinas de estado finito,

usadas para representar programas de computadores ou circuitos lógicos.

Quanto ao desenvolvimento dos alunos em suas dimensões sociais e afetivas

observamos que durante o desenvolvimento do projeto houve diversas

manifestações de afeto (curiosidade, prazer, alegria) que proporcionaram mudanças

nas atitudes dos alunos (trabalho em grupo, confiança), que, por sua vez,

repercutiram na forma como eles lidam com o conhecimento, de modo emancipado

e autônomo. Nesse sentido, retomamos o projeto pedagógico freireano, que entende

que “o homem se torna liberto à medida que for capaz de ser autônomo, [...] através

da educação permeada pela afetividade, pelo diálogo, pelo questionamento” (DALLA

VECCHIA, 2010, p. 27).

Com as experiências de ensino, procuramos analisar momentos de utilização da

maquete eletrônica em sala de aula, relacionando-os aos pressupostos da

Investigação Matemática. Na primeira experiência de ensino, validamos apenas

proposta investigativa, uma vez que a maquete eletrônica apresentou problemas

técnicos. A partir de atitudes dos alunos, confiamos ter estabelecido um cenário de

126

investigação do tipo (4), com referência à semi realidade (SKOVSMOSE, 2000).

Neste cenário, foram utilizadas tarefas com a função explorar, de descobrir e de por

em questão, segundo a tipologia de Goldenberg (1999). Ao final do processo

investigativo, os alunos enunciaram o Teorema dos Caminhos Eulerianos, de 1736,

sem saber previamente que se tratava de um teorema conhecido.

Com a utilização da maquete eletrônica, confirmamos nossa hipótese em relação a

representação imagética dos grafos pelos alunos. Como não foi possível operar no

modelo apresentado, o que ocorreu durante a atividade de validação, quando os

alunos usaram pincel para simular caminhos na lousa onde a imagem da maquete

foi projetada. Percebemos que este impedimento incentivou os alunos a construírem

seus modelos no caderno e que, nessa transposição, rudimentos da representação

gráfica dos grafos surgiram, potencializando assim o processo de construção dos

conceitos relacionado a este conteúdo.

Durante a aula em uma das turmas, os alunos passaram a se levantar e a ficar

próximos à maquete, para realizarem suas análises observando diretamente o

recurso. Ao se levantarem das cadeiras e rodearem a maquete para tentar

solucionar o Problema das Sete Pontes, os alunos fugiram da crença de uma

“realidade estática” (SARTORI, 2010, p. 135), condenada na perspectiva freireana.

Dessa forma, os estudantes assumiram o processo de exploração e explicação,

fazendo com que o cenário de investigação se constituísse como um ambiente de

aprendizagem (SKOVSMOSE, 2000).

A partir da observação participante, creditamos o sucesso da maquete

principalmente ao layout com o estilo do jogo Super Mário World, com uso das

imagens de castelos e de personagens e do esquema de cores. Outro fator

importante foi a interação oportunizada pela existência de botões de lâmpadas de

LED.

Ainda durante experiências na sala de aula do ensino médio, objetivamos

apresentar algumas contribuições da História da Matemática na abordagem da

Teoria dos Grafos, na perspectiva do Jogo de Vozes e Ecos. Ao analisarmos

qualitativamente as respostas dos alunos, percebemos que os estudantes foram

capazes de produzir ecos de diferentes tipos. Nas experiências com e sem a

maquete eletrônica, os ecos superficiais, assim como observado em Sá (2014a),

127

aconteceram principalmente no emprego da notação da Teoria dos Grafos ou na

confusão entre os termos dessa teoria e os da Geometria. O segundo grupo de

ecos, denominados de mecânicos por Boero, Pedemonte e Robotti (1997),

aconteceram quando alunos não se apropriaram do Teorema dos Caminhos

Eulerianos, enunciando-o completamente quando apenas foi solicitado um de seus

casos. O eco de assimilação foi detectado no caso do aluno que, além de selecionar

o caso solicitado, conseguiu enuncia-lo parcialmente bem e ainda apresentar um

exemplo simples e diferente dos apresentados em sala.

Uma enunciação, em especial, nos chamou a atenção. Na segunda experiência de

ensino, um aluno além de evidenciar a compreensão e apropriação dos enunciados,

trouxe em seu discurso elementos da história que foram explorados durante a

atividade. Ao dizer que o caminho euleriano é o “nome dado quando o suíço Euler

tentou fazer um caminho (trajeto) sem repetir as 7 pontes existente [sic] na cidade

de Konigsberg em 1736”, o aluno produz um eco de assimilação e mostra que

compreendeu o conceito de grafo euleriano como uma produção humana, pois foi

estabelecida por Euler, e cultural, pois se deu em determinado local e momento da

história.

Nosso último objetivo específico consistiu em sistematizar atividades histórico-

investigativas que oportunizem o ensino de grafos na Educação Básica. Nesse

caso, os referenciais teóricos adotados e a proposta validada nesta dissertação

constituíram o guia didático “Ensino de Grafos por meio de uma abordagem

histórico-investigativa”, produto educacional desta pesquisa. O guia atende aos

principais critérios de qualificação apresentados no Documento de Área (CAPES,

2013): validação obrigatória, acesso livre e incorporação ao sistema educacional.

Após a defesa da dissertação e do produto, o material estará disponível na página

de Produtos Educativos do Programa Educimat, no link

http://educimat.vi.ifes.edu.br/?page_id=1409.

Sobre a maquete eletrônica, sugerimos que, em ações futuras, seja inserido um

recurso para registro de atividades, de modo que ações realizadas pelos alunos

durante a utilização da maquete sejam registradas em arquivo de texto. Acreditamos

que isso ajudará o professor a compreender os raciocínios dos alunos, para retomá-

los e ampliá-los em outras atividades em sala de aula. Também apresentamos,

128

como possibilidade, uma adaptação da maquete para ambiente computacional,

oportunizando a instalação do simulador em dispositivos touchscreen, como tablets

e smartphones. Dessa forma, ampliaremos a disponibilidade do recurso em sala e

as características desse recurso de ensino, valorizando ainda mais a autonomia de

professores e estudantes e oferecendo elementos característicos do uso de

computadores em rede.

Após a primeira experiência de ensino e validação da proposta investigativa,

percebemos que o instrumento avaliativo utilizado pela professora, o teste escrito,

não contemplou a História da Teoria de Grafos na perspectiva que apresentamos

neste trabalho. Certamente, acreditamos que a avaliação deve ser feita em vários

momentos do processo educativo. Assim, considerando que “o professor precisa

estar atento para que haja coerência entre seu trabalho pedagógico e a forma de

avaliação” (SANTOS, 1997, p. 7), é importante que comecemos a refletir sobre como

podemos avaliar utilizando História da Matemática.

Por fim, defendemos que a dinâmica realizada se apresenta como possível

abordagem de sala de aula e, dessa forma, aponta novos caminhos para

investigações em Educação Matemática. Sobre Teoria dos Grafos, torna-se

oportuno pesquisar contribuições de outras metodologias na abordagem desse tema

no Ensino Médio e até mesmo no Ensino Fundamental. Além disso, acreditamos que

o referencial teórico do Jogo de Vozes e Ecos constitui-se como norteador para

discussões de outros temas da matemática, por meio de sua história.

Sobre nossa pergunta de pesquisa “que contribuições de uma abordagem

histórico-investigativa ao processo educativo são identificadas durante a

construção e utilização de uma maquete eletrônica para ensino de Teoria de

Grafos?”, observamos que, ao final do processo educativo, os alunos da rede

estadual enunciaram o Teorema dos Caminhos Eulerianos, de 1736, e formalizaram

conceitos relativos à Teoria de Grafos, a partir da História da Matemática e da

Investigação Matemática. Já com os alunos-pesquisadores da educação

profissional, corroboramos a tese de que os conteúdos são conceitos e teorias que

constituem sínteses da apropriação histórica da realidade material e social pelo

homem. Além disso, verificamos que esses estudantes, em especial, reconheceram

a Teoria de Grafos como conhecimento construído historicamente, a partir do qual

129

pode-se construir novos conhecimentos, inclusive técnicos, no processo de

investigação e compreensão do real. Com isso, concluímos que a abordagem

histórico-investigativa proporcionou aos alunos, tanto na construção quanto na

utilização da uma maquete eletrônica, uma atividade de aprendizagem semelhante à

dos matemáticos, permitindo-lhes o prazer da descoberta e apresentando-lhes a

matemática como produção humana.

Retomando a epígrafe deste capítulo, durante esta pesquisa de mestrado, notei

muitas vezes que não era mais o único que educava. Apesar de ter uma formação

inicial preocupada com questões vinculadas à educação, a proposta da pesquisa-

ação, adotada como marco metodológico deste estudo, exigiu uma negociação de

papéis e uma cumplicidade em tal nível que se tornou impossível que eu me

percebesse como único detentor de qualquer tipo de conhecimento – matemático,

técnico ou de pesquisa. Assim, concluí que, enquanto educava, por meio dos

projetos de Feira de Matemática, também era educado, em diálogo com os alunos

que, ao serem educados, também me educavam.

Para finalizar, trago relatos de dois alunos do Curso Técnico em Administração que

participaram das Feiras de Matemática no mesmo período que os alunos-

pesquisadores do curso de Automação Industrial. Os textos foram escritos após

divulgação do resultado do Sistema de Seleção Unificada (Sisu) do Ministério da

Educação, quando seis dos oito alunos dos projetos foram aprovados em

instituições públicas do sudeste. Apesar dos autores dos relatos abaixo não serem

participantes da pesquisa de mestrado em tela, em suas falas, trazem à tona

questões comuns entre os expositores de Feira de Matemática:

Lauro, muito obrigada! Não sou nada exatas, mas isso tudo me ajudou para caramba em várias áreas da minha vida. Provavelmente você nem sabe, mas só de você confiar em nós, me escolher para fazer parte desse trabalho, foi uma das coisas mais emocionantes da minha vida. Há muito tempo não sabia o que era ser reconhecida, me sentia uma fracasso por nunca conseguir nada e ninguém nunca confiar em mim. Pode ter certeza, que você me fez crescer muito e eu vou ser sempre grata. Que Deus te abençoe e tu possa ser diferença na vida de muitos alunos23.

23 Hoje, a aluna está cursando Graduação em Comunicação Social – Publicidade e Propaganda, na Universidade Federal do Espírito Santo, e participa do projeto de extensão “Educação para mídia”, cujo principal objetivo é promover a educação midiática de jovens através de oficinas de leitura crítica realizadas em escolas.

130

Enquanto a ti mestre, tu serás meu eterno orientador e digo isso com muito orgulho. As palavras de [aluna do relato acima] expressam muito o que nós sentimos com toda essa experiência. Você nos proporcionou uma expansão de conhecimento, de convivência e responsabilidade e, vida. Você alavancou nosso potencial e mostrou o quanto eu e cada um dos integrantes de cada equipe éramos capazes. Me fez mais confiante, tanto pessoalmente quanto nos estudos. Digo com propriedade que você despertou em mim a paixão pela educação, pela licenciatura. Desmistificou obstáculos e incentivou sempre. Sim, sou muito feliz por ter tido você como orientador e por ter ganhado um amigo esplêndido. Portanto, continue fornecendo oportunidades para outros alunos, assim eles conhecerão o fantástico caminho que conheci. Deus te abençoe e um grande abraço24.

Às vezes, nós, professores, não temos noção de como podemos influenciar na vida

de nossos alunos e acabamos acreditando que estamos em sala de aula apenas

para ensinar determinado conteúdo, numa perspectiva bancária. Conforme

apresentei na introdução dessa dissertação, quando tinha a idade dos alunos que

participaram dos projetos de Feira de Matemática, também tive um professor que

acreditou em mim e que me proporcionou atividades que nunca havia cogitado –

como apresentar a Teoria dos Grafos no auditório da escola. Quando ingressei no

Ifes como docente, entrei com o propósito de fazer com que meus alunos tivessem

muitas outras oportunidades, além da sala de aula e independente do gosto pela

matemática. A partir dos depoimentos apresentados acima, percebo que estou no

caminho certo.

24 O aluno atualmente cursa Licenciatura em Química, no Instituto Federal do Espírito Santo, e participa do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência – Pibid, visitando escolas do município de Aracruz – ES e desenvolvendo atividades de alfabetização científica.

131

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ANEXO A – Modelo de autorização dos responsáveis dos alunos

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Eu, (nome do responsável) ___________________________________________________ com

RG_______________, responsável pelo aluno (a) _________________________________,

autorizo a participação deste estudante, de forma voluntária, no estudo de pesquisa

intitulado “História da Matemática em atividades de Teoria dos Grafos para o Ensino Médio”,

cujo objetivo principal é verificar a contribuição da história da Teoria dos Grafos na

abordagem inicial deste tema em turmas de segundo ano de Ensino Médio.

A participação no referido estudo será no sentido de autorizar o uso dos diferentes

instrumentos/materiais escritos/produzidos pelo estudante pelo qual sou responsável

durante a permanência do pesquisador na sala de aula de matemática, desenvolvimento de

atividades e outros, de algumas falas observadas em aula e entrevista que se fizerem

necessárias para o desenvolvimento da pesquisa. Também autorizo o uso de imagens que

não identifiquem o estudante pelo qual sou responsável estritamente para fins acadêmicos

da pesquisa.

Estou ciente de que minha privacidade e a do estudante pelo qual sou responsável serão

respeitadas, ou seja, meu nome ou qualquer outro dado ou elemento que possa nos

identificar será mantido em sigilo. Também fui informado que posso me recusar a participar

do estudo, ou retirar meu consentimento a qualquer momento, sem precisar justificar, e que,

por desejar sair da pesquisa, não sofrerei qualquer prejuízo à assistência que venho

recebendo.

Os pesquisadores envolvidos com o referido projeto são Lauro Chagas e Sá e Prof.ª Dr.ª

Sandra Aparecida Fraga Silva, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do

Espírito Santo - Ifes e com eles poderei manter contato pelos e-mails respectivamente:

lauro.sa@ifes.edu.br e sfraga@ifes.edu.br.

Fui assegurado sobre a assistência durante toda pesquisa, bem como me é garantido o livre

acesso a todas as informações e esclarecimentos adicionais sobre o estudo e suas

consequências, enfim, tudo o que eu queira saber antes, durante e depois da minha

participação.

Enfim, tendo sido orientado quanto ao teor de todo o aqui mencionado e compreendido a

natureza e o objetivo do já referido estudo, manifesto meu livre consentimento em permitir a

participação do estudante pelo qual sou responsável, estando totalmente ciente de que não

há nenhum valor econômico, a receber ou a pagar, pela participação do mesmo.

Vitória-ES, ____ de _______ de 201__.

___________________________________

Assinatura do Responsável pelo aluno (a)

____________________________________

Assinatura do aluno (a)

__________________________________

Pesquisador: Lauro Chagas e Sá

____________________________________

Prof.ª Dr.ª Sandra A. Fraga da Silva

141

ANEXO B – Atividade sobre Teoria dos Grafos (SÁ, 2014a, p. 91)

(Atividade 1) Para cada uma das figuras abaixo, diga se é possível desenhá-la sem

tirar o lápis do papel, isto é, indo de ponto a ponto e não passando pela mesma linha

duas vezes. Justifique sua resposta.

(Atividade 2) A origem do dominó é incerta, mas acredita-se que ele tenha sido

inventado pelos chineses há, aproximadamente, 3000 anos. Sobre seu nome,

alguns estudiosos afirmam que teve origem na expressão “Domino gratias” (Graças

ao Senhor) dito pelos padres, quando faziam uma boa jogada.

Apenas com as peças de dominó apresentadas abaixo, é possível dispô-las

sequencialmente da forma usual em tal jogo? Caso sua resposta seja “SIM”, registre

ainda que números estariam ocupando as extremidades (isto é, qual o primeiro

número da primeira pedra e o último da última pedra) de uma possível sequência-

resposta.

(Atividade 3 – OBMEP/2009/Nível 3) A figura mostra a planta de uma escola que

tem seis salas, indicadas pelas letras de A até F. Joãozinho entrou na escola,

percorreu todas as salas e foi embora, tendo passado exatamente duas vezes por

uma das portas e uma única vez por cada uma das outras. A porta pela qual

Joãozinho passou duas vezes liga:

a) as salas A e B.

b) as salas C e E.

c) as salas E e F.

d) a sala D e o lado de fora da escola.

e) a sala F e o lado de fora da escola.

142

APENDICE A – Formulário eletrônico

Este formulário é para consultar os participantes dos projetos de matemática quanto a suas

preferências em relação à participação na 4ª Semana Matemática do Ifes e na Feira Nacional de

Matemática. Também faremos, ao final do preenchimento, uma avaliação do trabalho que

estamos realizando.

*Obrigatório

PARTIE I: CADASTRO

Nome completo do aluno *

Data de nascimento *

Curso *

o Administração

o Automação

Matrícula *

Endereço *

Indique apenas o bairro / distrito / município / estado

Onde cursou o ensino fundamental? *

Indique apenas o bairro / distrito / município

o Escola particular

o Escola pública municipal

o Escola pública estadual

o Escola pública federal

143

Você participa ou já participou de alguma atividade de pesquisa como a dos projetos de

matemática? *

Se sim, explique como aconteceu (ou acontece) sua participação e o que isso ajudou na

realização desse projeto.

Se você respondeu sim à pergunta anterior, você percebe diferença entre os projetos?

Quais?

PARTE II: SOBRE A PARTICIPAÇÃO NA 4ª SEMANA DA MATEMÁTICA DO IFES

Supondo que seu trabalho foi aceito para apresentação no evento...

Qual dia você prefere sair de Linhares? * o Na terça, dia 26/05, às 15h, para assistir à palestra de abertura.

o Na quarta, dia 27/05, às 8h, para chegar no evento apenas no momento da Feira de

Matemática.

Qual dia você prefere retornar a Linhares? * o Na quarta, dia 27/05, às 15h, logo após a Feira de Matemática.

o Na quinta, dia 28/05, às 9h, para participar das atividades noturnas (oficinas) do dia 27.

Se NÃO receber ajuda de custo do Ifes, você prefere * o Dormir no Ifes de Vitória, lembrando que, neste caso, é preciso levar roupa de cama e

colchão para ficarmos em alguma das salas.

o Em algum hotel, dividindo quarto triplo.

o Outro:

Se receber ajuda de custo do Ifes, você prefere * o Dormir no Ifes de Vitória, lembrando que, neste caso, é preciso levar roupa de cama e

colchão para ficarmos em alguma das salas.

o Em algum hotel, dividindo quarto triplo.

o Outro:

144

PARTE III: Sobre a participação na Feira Nacional de Matemática Você pretende participar do evento? * o Sim

o Não

Supondo que seu trabalho foi aceito para apresentação no evento... Se NÃO receber ajuda de custo do Ifes, você prefere * o Dormir no Instituto Federal de Santa Catarina, lembrando que, neste caso, é preciso levar

roupa de cama e colchão para ficarmos em alguma das salas sujeitos ao frio local.

o Em algum hotel, dividindo quarto triplo.

o Outro:

Supondo que seu trabalho foi aceito para apresentação no evento... Se receber ajuda de custo do Ifes, você prefere * o Dormir no Instituto Federal de Santa Catarina, lembrando que, neste caso, é preciso levar.

roupa de cama e colchão para ficarmos em alguma das salas sujeitos ao frio local.

o Em algum hotel, dividindo quarto triplo.

o Outro:

PARTE IV: Avaliação da execução dos projetos Quanto ao conteúdo específico do seu projeto, o que você tem aprendido durante a execução do projeto? * Conteúdo específico: Teoria de Grafos, Razão Áurea, Isometrias.

O que você acha de aprender esses conteúdos, por meio de projetos como o que estamos desenvolvendo? *

Em relação à metodologia de pesquisa (planejamento do trabalho), o que você tem aprendido durante a execução do projeto? *

O que você acha de aprender esses conhecimentos, por meio de projetos como o que estamos desenvolvendo? *

145

Avaliação do professor orientador *

Ruim Bom Muito bom Excelente

Duração dos atendimentos

para orientações O O O O

Frequência dos atendimentos

para orientações O O O O

Realização do seminário para

apresentação dos projetos O O O O

Apoio na escrita dos resumos

para a Semana da Matemática O O O O

Sugestão de leituras para

aprofundar os conhecimentos

sobre o tema pesquisado

O O O O

Organização geral do projeto O O O O

Deseja fazer alguma observação ou sugestão?

146

APENDICE B – Questionário sobre aprendizagens em projetos de matemática

1. Sobre os conteúdos matemáticos utilizados no projeto, quais vocês já conheciam?

Quais vocês aprenderam durante a realização do projeto?

Resposta

2. Em relação a história da matemática, o que vocês aprenderam sobre Teoria de

Grafos?

Resposta

3. Apresente os conteúdos abordados durante a realização do projeto e os

relacionem com as disciplinas do curso Técnico em Automação Industrial.

Conteúdo Disciplina

4. No primeiro resumo escrito por vocês, o planejamento era:

Utilizaremos alguns dispositivos eletrônicos, tais como, LEDs, botoeiras pulsantes e uma placa de prototipagem eletrônica (Arduino), para que os participantes possam interagir ao tentar solucionar o problema. Funcionará da seguinte forma: quando o participante escolher atravessar uma determinada ponte, este deverá pressionar o botão que acenderá o primeiro LED e em seguida pressionar o segundo botão que acenderá o segundo LED. Isto indicará que a ponte foi completamente atravessada. Em seguida, o participante continuará percorrendo o caminho na tentativa de resolver o enigma proposto.

Esse planejamento foi executado? Se sim, acrescente mais detalhes em relação ao

resumo apresentado acima; se não, o que aconteceu durante a execução do

planejamento que o modificou? O que vocês aprenderam com isso?

Resposta

147

5. O que influenciou a escolha do método de programação de microcontrolador para implementar a árvore de possibilidades? Existiam outras opções? Por que não foram adotadas?

Resposta

6. A estratégia de programação utilizada por vocês para implementar a árvore de possibilidades é viável para qualquer tamanho de problema? Existem outras estratégias de programação mais eficientes para este caso?

Resposta

7. Qual a limitação do dispositivo para implementar o programa desenvolvido?

Resposta

8. Seria possível utilizar baterias para alimentar eletricamente a maquete? Quantas e de quais modelos?

Resposta

9. Vocês acreditam ser possível, viável e/ou necessário a produção da maquete em larga escala para fins educacionais? Faça alguns comentários como desenvolvedor da maquete e como suposto aluno que aprenderia o conteúdo com a utilização da maquete.

Resposta

10. Faça algum comentário em relação a participação nos projetos de matemática. O

que as participações nos projetos e na feira têm te proporcionado?

Resposta

148

APENDICE C – Atividades sobre Teoria dos Grafos

(Atividade 1) A partir das discussões realizadas, escreva o que você entendeu por...

a) Grafos: __________________________________________________________

___________________________________________________________________

b) Vértices: __________________________________________________________

___________________________________________________________________

c) Arestas: __________________________________________________________

___________________________________________________________________

d) Grau de vértice: ____________________________________________________

___________________________________________________________________

e) Caminho Euleriano: _________________________________________________

___________________________________________________________________

(Atividade 2) Construa um grafo com as seguintes características:

a) Caminho Euleriano Fechado b) Caminho Euleriano Aberto c) Sem Caminho Euleriano

149

(Atividade 3) Para cada uma das figuras abaixo, diga se é possível desenhá-la sem

tirar o lápis do papel, isto é, indo de ponto a ponto e não passando pela mesma linha

duas vezes. Justifique sua resposta.

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

(Atividade 4 – OBMEP/2009/Nível 3) A figura mostra a planta de uma escola que

tem seis salas, indicadas pelas letras de A até F. Joãozinho entrou na escola,

percorreu todas as salas e foi embora, tendo passado exatamente duas vezes por

uma das portas e uma única vez por cada uma das outras. A porta pela qual

Joãozinho passou duas vezes liga:

a) as salas A e B.

b) as salas C e E.

c) as salas E e F.

d) a sala D e o lado de fora da escola.

e) a sala F e o lado de fora da escola.