informe de capa limite

CAPA LIMITE, PARADOJA D’ ALEMBERT, DEMOSTRACION DE FORMULAS DE CANALES

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Civil Ambiental

TEMA:CAPA LIMITE, PARADOJA D’ ALEMBERT, DEMOSTRACION DE

FORMULAS DE CANALESCURSO:

MECANICA DE FLUIDOS II

INGENIERO:

PINELLA ODAR LEONIDAS FERMIN

INTEGRANTES:CORONEL SILVA MONICA

FERNANDEZ RODRIGO IVANJACINTO AQUINO JORGE

HIDRUGO BARRAGA MANUEL

MECANICA DE FLUIDOS Página 1


CHICLAYO - PERU

Tabla de contenidoI. INTRODUCCION............................................................................................................4

II. OBJETIVOS......................................................................................................................5

III. METODOLOGÍA.............................................................................................................6

IV. PARADOJA D ‘ALEMBERT.........................................................................................7V. CAPA LÍMITE................................................................................................................11

5.1. Tipos de la capa límite............................................................................................13

5.1.1. Capa límite laminar..............................................................145.1.2. Transición a la turbulencia.....................................................165.1.3. Capa límite turbulenta...........................................................18

5.2. Espesor de capa límite............................................................................................25

5.3. Cantidad de movimiento lineal / Ec. de von Karman.............................27

5.3.1. Para el caso de la placa plana delgada resulta............................29VI. DEMOSTRACION DE FORMULAS DE CANALES...............................30

6.1. Ecuación de fricción......................................................................................................30

6.2. Ecuación de la cantidad de movimiento o momentum....................................38

6.3. Ecuación de Manning....................................................................................................39



RESUMEN CAPA LÍMITE

La capa limite aparece en la superficie de los organismos viscosos donde el líquido parece pegarse a la superficie en la zona más cercana a la superficie, donde la velocidad tiende a cero. A esto se le conoce como condición de no deslizamiento además en la capa limite la velocidad varía desde cero en la superficie hasta un 99% de flujo exterior a la reunión de puntos donde se cumple esta última condición se le llama borde de la capa limite.

El carácter de la capa limite varia en medida que el flujo se desarrolla en la superficie. En un inicio la capa limite es laminar, donde el fluido se mueve en capas o laminas lisas con velocidades pequeñas y gradientes de cizalla también pequeños, luego pasa por un periodo de inestabilidad donde aparecen las culebritas u ondas cuneiformes, para dar paso a manchas turbulentas que viajan en dirección de la corriente, después de forma una estructura homogénea llamada flujo turbulento conformado por vórtice de diversos tamaños

PALABRAS CLAVES

Capa laminar, capa turbulenta, efectos viscosos, Paradoja D’ Alembert, subcapa laminar

ABSTRAC

The boundary layer appears on the surface of the viscous liquid bodies which seems to stick to the surface closest to the surface, where the speed tends to zero. This is known as a condition of further slippage in the boundary layer velocity varies from zero at the surface up to 99% foreign flow to the meeting point where it meets this condition is called edge of the boundary layer.



The nature of the boundary layer varies as the flow develops on the surface. Initially the laminar boundary layer is where the fluid moves in layers or smooth boards with small velocities and shear gradients too small, then goes through a period of instability where culebritas or cuneiform waves appear to give way to troubled spots traveling in direction of flow, after forming a homogeneous structure called turbulent vortex flow formed by different sizes

KEYWORDS

Layer laminar, turbulent layer viscous effects, Paradox D'Alembert, laminar sublayer

DEDICATORIA



I. INTRODUCCION

La viscosidad es el parámetro del fluido que controla el transporte de la cantidad de movimiento, es decir, determina la relación entre el esfuerzo o tensión local de un fluido en movimiento con la velocidad que se produce la deformación del fluido, a lo que se denomina proceso de fluir.

Durante el siglo XVIII se propusieron soluciones a flujos en los que se despreciaba la viscosidad: Daniel Bernoulli (“Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii”,1738), Jean D’ Alembert(“ Traité de léquilibre et du movement des fluides”,1744), Leonhard Euler(“ Principia motus fluidorum”, 1756). Esta teoría era útiles para describir el movimiento de los fluidos en regiones del flujo para las cuales los gradientes de velocidad eran pequeños, pero estaban en completa contradicción con la experimentación en cuanto a las fuerzas que se oponían al movimiento, es decir, fuerzas de arrastre sobre los cuerpos. Las consideraciones de flujo no viscoso llevaba a la conclusión de que el arrastre sobre un cuerpo inmerso en un fluido era nulo (Paradoja de D’ Alembert), y además eran incapaces de determinar las fuerzas perpendiculares al flujo (sustentación)

En 1904 Ludwig Prandtl publico uno de los más importante artículos de la Mecánica de Fluidos, consiguiendo enlazar la teoría clásica con los resultados sobre fricción de cuerpos sumergidos. Prandtl introdujo el concepto de capa límite, una delgada zona de fluido cercana a la superficie de los cuerpos, en la



cual se presenta grandes variaciones de la velocidad y donde se concentran los efectos viscosos.

En términos generales se puede decir que, puesto que la viscosidad es bastante pequeña en casi todos los fluidos, los esfuerzos cortantes deber ser apreciables únicamente en las regiones en donde existan grandes gradientes de velocidad. Las características más sobresalientes de la capa limite puedes describirse a través del caso del flujo sobre una superficie plana y fija, sobre la que se hace incidir una corriente uniforme de velocidad U0.

II. O BJETIVOS

Conocer la teoría de la capa límite, asimismo los aspectos que se consideraban anteriormente en la Paradoja D’ Alembert.

Demostración de las fórmulas de canales.



III. METODOLOGÍA



IV. PARADOJA D ‘ALEMBERT

Si se analiza el movimiento de un cilindro circular en el interior de un fluido con una velocidad V de derecha a izquierda, esto es, dinámicamente hablando, equivalente al caso en que el cilindro está parado y existe una corriente que incide sobre él de izquierda a derecha con una velocidad V.

Si se supone un flujo ideal ( µ=0 y energía constante en todos los puntos), se obtendrá una circulación del flujo como la que se muestra en la imagen



Según la teoría de las líneas de corriente, se podría calcular la velocidad en el punto S de la superficie del cilindro como:

Aplicando la ecuación de Bernoulli en un punto entre la entrada y el punto S:

Po+ ρ.Vo2

2=Ps+ ρ .Vs2

2

Ps=Po+ ρ2

(Vo¿¿2−Vs2)=Po+ ρ2

Vo2(1−4 sen2θ)¿

Y por tanto:

Po−Psρ∗Vo2/2

= ΔPρ∗Vo2/2

=(1−4 sen2 θ)

Las fuerzas debidas a la presión son normales a la superficie exterior del cilindro. Si se representa la resultante de dichas presiones sobre el cilindro se obtiene la siguiente distribución:


Vs = 2* V0 *senθDonde

- Vs: velocidad del fluido en un punto de la superficie

- V0 = velocidad de la corriente no perturbada

- Θ: ángulo que fija la posición del punto en el cilindro


La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro en la dirección normal

al movimiento (sustentación) es nula. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro en la

dirección del movimiento (arrastre) es nula. El cilindro se movería en el interior de un fluido ideal sin

experimentar resistencia alguna.

Sin embargo, se presenta el hecho paradójico de que el agua y el aire, a pesar de ser muy poco viscosos, ofrecen a un cilindro en movimiento una gran resistencia al avance Este hecho se conoce como Paradoja de D’ALEMBERT.

La explicación de esta paradoja llevó a la definición de dos conceptos primordiales en la mecánica de fluidos:

La existencia de la Capa Límite El Desprendimiento de Capa Límite

La explicación de la Paradoja de D’Alembert se resume en los siguientes puntos. En cualquier fluido, por muy poco viscoso que sea:

a. Aunque microscópicamente las líneas de flujo se puedan parecer a las de un flujo ideal, microscópicamente en las inmediaciones del cilindro, el fluido se adhiere al mismo por efecto de su viscosidad,



debido a lo cual, la velocidad del flujo en la superficie del cilindro se reduce a un valor nulo. Esta velocidad aumenta muy rápidamente en una zona muy estrecha, conocida como Capa Límite, hasta pasar de V=0 m/s a V=VS.

Por tanto, según la ecuación de Newton, se produce sobre la superficie del fluido un esfuerzo cortante:

τ = υ∗dvdy

Aunque la viscosidad es pequeña, la variación de velocidad es muy elevada en un espacio muy reducido, y por lo tanto el esfuerzo cortante es muy elevado. Esta resistencia se conoce como Resistencia de Superficie.

Por otra parte, la configuración de velocidades nunca va a ser como en un flujo ideal, a no ser que V0 sea muy pequeña, debido a que:MECANICA DE FLUIDOS Página 11


b. El cilindro, aerodinámicamente hablando, tiene una forma muy roma, y las líneas de corriente tienden a separarse de la superficie (Desprendimiento de Capa Límite), creando en la parte posterior remolinos que dan lugar a depresiones. Esto genera una resistencia al avance, conocida como Resistencia de Forma.

V. CAPA LÍMITE

En 1904 ocurrió un notable descubrimiento en la mecánica de fluidos, cuando Ludwig Prandtl introdujo la aproximación de capa límite.

La idea de Prandtl era dividir el flujo en dos regiones: una región de flujo exterior que es invíscido y/o irrotacional, y una región de flujo interior llamada



capa límite: una región de flujo muy delgada cerca de una pared sólida donde las fuerzas viscosas y la racionalidad no pueden ignorarse.

La clave para la aplicación exitosa de la aproximación de capa límite es la suposición de que ésta es muy delgada. El ejemplo clásico es un flujo uniforme que fluye paralelo a una larga placa plana que está alineada con el eje x. Por costumbre, δ usualmente se define como la distancia de la pared a la cual la componente de velocidad paralela a la pared es 99 % de la velocidad del fluido afuera de la capa límite. Se evidencia que, para un fluido y placa dados, cuanto mayor sea la velocidad V del flujo libre, más delgada será la capa límite. En términos adimensionales, el número de Reynolds se define con base en la distancia x a lo largo de la placa:

Número de Reynolds a lo largo de una placa plana:

Se confía en que la capa límite es delgada cuando δ<<x (o, expresado en forma adimensional, δ/x<<1).



La magnitud de estas fuerzas dependerá de la forma que tome el flujo alrededor del cuerpo y por lo tanto de la forma del cuerpo, de las condiciones del flujo y de la posición relativa del cuerpo con respecto al flujo.

La influencia sobre el flujo para el caso de la placa plana delgada paralela al flujo es mínima y las líneas de corriente tenderán a ser paralelas a la placa. Alrededor de un cuerpo aerodinámico el flujo que se establece es tal que las líneas de corriente se cierran detrás del cuerpo. Alrededor de un cuerpo obstructor por el contrario, las líneas de corriente no son capaces de cerrarse detrás del cuerpo generando detrás de este lo que se conoce como estela.

5.1. Tipos de la capa límite

En una primera parte se desarrolla la capa límite laminar (x pequeño → Re pequeño). En esta región el flujo es laminar por lo que las partículas se encontrarán sometidas a esfuerzos de corte laminar y no existirá mezcla entre las capas. El espesor de la capa límite aumenta con x debido al flujo que entra en esta región desde la corriente libre. Como Re es una función de la posición x sobre la placa, ´este aumenta con x. Lo anterior indica que para una placa dada y una velocidad de la corriente libre U dada siempre se alcanzará el régimen turbulento siempre y cuando la placa sea lo suficientemente larga. Por lo tanto, si la placa es lo suficientemente larga, existirá un punto de transición (en realidad existe una zona de transición) donde el régimen se torna turbulento. La aparición de un régimen turbulento está asociado a un aumento notable en el espesor de la capa límite. En esta región las partículas estarán sometidas a deformaciones en todas direcciones y existirá mezcla o difusión entre las distintas capas del fluido.



5.1.1.Capa límite laminar

Las ecuaciones que gobiernan el flujo viscoso en la capa límite son las ecuaciones de Navier Stokes. Consideraremos en el siguiente desarrollo un flujo bidimensional, permanente y laminar. Las ecuaciones de Navier Stokes para este caso son:

Además se cuenta con la ecuación de continuidad:

Hasta la fecha no se ha encontrado una solución analítica al sistema de ecuaciones anterior. Debido a esto se realizan una serie de aproximaciones para obtener un sistema de ecuaciones más simple. Estas aproximaciones se basan en la magnitud relativa de los valores de las variables involucradas dentro de la capa límite y son:



Alguna de estas aproximaciones es solo válidas para números de Reynolds altos (Re > 1000).Introduciendo las hipótesis anteriores el sistema de ecuaciones se reduce a:

Para la variación de la presión con x se puede suponer que el flujo de la corriente principal impone su distribución de presiones dentro de la capa límite, es decir, dp/dx dentro de la capa límite es igual al dp/dx existente fuera de la capa límite, el cual se puede determinar mediante un análisis de flujo potencial. Lo anterior indica que para una placa delgada, donde las líneas de corriente son paralelas a la placa y por lo tanto no existe una variación de la velocidad y por lo tanto tampoco de la presión el término dp/dx = 0.

Las condiciones de borde, necesarias para resolver el sistema de ecuaciones, son u = v = 0 para y = 0 y u → U cuando y → ∞.

De un análisis dimensional se puede determinar que el número de Reynolds (Rex) es del orden de magnitud de (1/δ2), es decir:

Blasius resolvió las ecuaciones simplificadas de Navier Stokes para el caso de la placa delgada (donde dp/dx = 0) encontrando que la constante de proporcionalidad de la ecuación anterior es 4.96:



Análogamente, para el espesor de desplazamiento y el espesor de cantidad de movimiento se obtiene:

Determinado el perfil de velocidades es posible determinar el esfuerzo de

corte que se produce en la pared (τw), es decir, para y = 0.

Donde el gradiente del perfil de velocidades se obtiene de la solución de Blasius resultando

Se puede apreciar que el esfuerzo de corte decrece con x debido al aumento del espesor de la capa límite δ.

5.1.2.Transición a la turbulencia

Dado que el número de Reynolds, parámetro principal que gobierna la transición a la turbulencia, es una función de la posición relativa sobre el cuerpo, siempre es posible alcanzar el régimen turbulento en la capa límite, independiente de la velocidad del flujo libre U y del fluido. Para el caso particular de la placa plana basta con que ´esta sea lo suficientemente larga.

La transición a la turbulencia depende de varios factores como:



1. Número de Reynolds Re.2. Rugosidad de la superficie.3. Curvatura de la superficie.4. Grado de turbulencia de la corriente libre.5. Vibración de la placa.

Para una placa plana y delgada la transición ocurre para un rango de la coordenada x tal que 2·105≤ Rex ≤3·106. La figura muestra el efecto del número de Reynolds en el espesor de la capa límite sobre una placa lisa. Se ve que para Re = 3.2·105 el espesor aumenta rápidamente y se puede considerar este valor de Reynolds como crítico para la transición a la turbulencia.

Como Re es función de x se puede determinar la posición x a lo largo de la placa en que más probablemente aparecerá la transición a la turbulencia.


Variación del espesor de la capa límite con el número de Reynolds local para elFlujo sobre una placa plana.

































La rugosidad de la superficie de la placa producirá un adelantamiento del punto de transición si se le compara con una superficie lisa (pelotas de golf). La transición a la turbulencia conlleva también una variación notable del perfil de velocidades dentro de la capa límite como se puede observar en la figura:

5.1.3.Capa límite turbulenta


Las líneas de este grafico representan los límites entre los distintos tipos de flujo y por lo tanto la curva inferior representa la variación del número de Reynolds

Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.Variación típica del perfil de velocidades para distintos tipos de regímenes.


La estructura de la capa límite turbulenta es muy compleja, irregular y aleatoria. No existe, por lo tanto, una solución exacta para el flujo en ´esta zona por lo que se recurre a aproximaciones y validación experimental.

Utilizaremos la ecuación de von Karman deducida anteriormente, donde u representara la media temporal de la velocidad, es decir, u =ü.

Blasius encontró que para Re ≤ 107 y una superficies lisa se cumple:

Para el perfil de velocidades se ha determinado que el resultado utilizado en tuberías es una buena aproximación, es decir:

Reemplazando las ecuaciones anteriores en la ec. De von Karman y desarrollando para una placa plana delgada se obtiene:

Para el espesor de desplazamiento y el esfuerzo de corte en la pared se obtienen análogamente los siguientes resultados:



Integrando sobre toda la placa es posible determinar la fuerza de arrastre debida a la fricción Df:

Donde L y b representan el largo y ancho de la placa respectivamente. Desarrollando se obtiene:

El arrastre se expresa generalmente en términos de un coeficiente de arrastre por fricción CDf de la siguiente forma:

Donde A = bL es el ´área de la placa y el término 1/2ÞU2 representa la presión de estancamiento para la corriente libre. Despejando se obtiene:

El coeficiente de arrastre por fricción en la placa plana es una función de la rugosidad de la placa y del número de Reynolds como se puede apreciar en el gráfico:



Las ecuaciones que aproximan las distintas zonas del gráfico son:

5.1.3.1. Sub capa laminar

En la capa turbulenta, hay pegando a la pared una subcapa laminar, ya que el intercambio de cantidad de movimiento entre láminas no es posible con la lámina que moja la pared. Esto va a tener una gran importancia cuando la pared es rugosa en lugar de lisa.


Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).Coeficiente de arrastre CD para una placa plana paralela al flujo (Recrit = 5·105).


En la zona turbulenta, existe una capa de muy pequeño espesor ´ donde el elevado gradiente de velocidad impide la formación de remolinos al incrementarse V y no permitir el intercambio de partículas, por influencia de la viscosidad.

a) La separación. Expansión en un conducto

La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. Queda una porción en la que hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede haber movimiento en dirección a la de escurrimiento principal (contra corriente).



Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa limite se caracteriza por tener energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del escurrimiento, lo que implica:

Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la dirección del escurrimiento. La capa limite aumenta de espesor lentamente.

Se trata entonces de una expansión y la capa limite aumenta de espesor rápidamente. El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite:

La condición ∂ P∂ X

>0 corresponde a líneas de corrientes divergentes. Si

esta condición se presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa limite puesto que allí se tiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy lentamente, y al haber


Variación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presionesVariación del gradiente de presiones


presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luego por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa limite una contracorriente.

En un incremento de presión, las partículas de la capa limite perderán velocidad hasta detenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en dirección contraria a la del escurrimiento.

5.1.3.2. Clases de capa límite turbulenta

A) Flujo hidráulicamente liso (tubería hidráulicamente lisa)

La rugosidad (K) queda cubierta por la subcapa laminar ( ). La rugosidad, por tanto, no influye en el valor de f puesto que ningún punto de la pared queda afectado por las turbulencias que producirían las rugosidades internas, comportándose la tubería como un material liso

B)

B) Flujo hidráulicamente semirrugoso o zona de transición:

El espesor de la subcapa laminar (*) se aproxima al valor medio de rugosidad absoluta (K), de manera que la rugosidad emerge de la subcapa laminar en unos puntos y en otros no, quedando sólo las rugosidades que emergen afectadas por la turbulencia. Es el caso más frecuente, y aquí el



coeficiente de fricción depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.

C) Flujo hidráulicamente rugoso (tubería hidráulicamente rugosa):

Si el espesor de la subcapa laminar (*) es menor que la rugosidad absoluta (K), las irregularidades internas de la conducción rebasan la subcapa laminar, produciendo turbulencia completa. Cuanto mayor sea el número de Reynolds, más delgada será la subcapa laminar y más puntos de la pared sobresaldrán de ella. En este caso, las fuerzas de inercia son muy importantes y apenas influyen las fuerzas viscosas, por lo que el factor de fricción sólo depende de la rugosidad relativa y el número de Reynolds no tiene importancia en su determinación.

Cuantitativamente:

…………. ……. Flujo hidráulicamente liso.



…………….. Flujo hidráulicamente semirrugoso o zona de transición.

:

………………Flujo hidráulicamente rugoso.

En la práctica, se utilizan unas condiciones basadas en la proporcionalidad del número de Reynolds de la rugosidad y la relación , ya que son más fáciles de establecer que las anteriores y se refieren a rugosidades absolutas irregulares, que es el caso real de las tuberías comerciales.

……………………………………… Si: Flujo hidráulicamente liso.

………… Si: Flujo hidráulicamente rugoso.

Si el flujo está comprendido entre los dos valores anteriores, el flujo sería hidráulicamente semirrugoso (zona de transición).

5.2. Espesor de capa límite

El espesor es la distancia a la pared donde la velocidad es igual a un 99% la velocidad de la corriente libre.

MECANICA DE FLUIDOS Página 27Espesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δEspesor de la capa límite δ


Otra forma de definir la capa límite es considerar el hecho de que la existencia de un gradiente de velocidades en la región cercana al cuerpo tiene como consecuencia una disminución tanto del caudal másico como de la cantidad de movimiento del flujo que pasa por esta región si se le compara con un flujo no viscoso. Este tipo de definición elimina la arbitrariedad de la definición anterior. Se define el espesor de desplazamiento δ* como la distancia a la que habría que desplazar el contorno del cuerpo si se supone que no existe roce pero se mantiene el caudal másico real.

Se define el espesor de cantidad de movimiento ϴ como la distancia a la que habría que desplazar el contorno del cuerpo suponiendo que no hay roce pero se mantiene el flujo de cantidad de movimiento del flujo viscoso es decir:


Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*Espesor de desplazamiento δ*


Tanto el espesor de la capa límite como el espesor de desplazamiento y el espesor de cantidad de movimiento son funciones de la coordenada x

5.3. Cantidad de movimiento lineal / Ec. de von KarmanResolver las ecuaciones de Navier Stokes analíticamente es prácticamente

imposible, salvo en casos muy simplificados, se debe tener una forma alternativa de resolver el problema en forma aproximada. Una forma de resolver este tipo de problemas es aplicando la ecuación de cantidad de movimiento sobre un elemento diferencial de capa límite y realizando aproximaciones sobre el perfil de velocidades tanto dentro como fuera de la capa límite.


Espesor de cantidad de movimiento ϴ

Elemento diferencial dentro de la capa límite.

Espesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴEspesor de cantidad de movimiento ϴ

Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.Elemento diferencial dentro de la capa límite.


Las fuerzas externas según x que actúan sobre el elemento diferencial de la figura son:

Esta fuerza neta debe ser igual al flujo neto de cantidad de movimiento que sale del volumen de control, es decir:


Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.

Flujo cantidad de movimiento a través

Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.Fuerzas externas sobre un elemento de la capa límite.

Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través Flujo cantidad de movimiento a través


La ecuación de continuidad para el volumen de control es:

De donde simplificando y reordenando resulta:

Esta ecuación se denomina ec. Integral de la cantidad de movimiento de von Karman. Para el caso de la placa delgada, donde (dp/dx) = 0, se cumple que U = cte., es decir, U ≠ U(x).

En términos de δ* y ϴ, y suponiendo que la variación de presión dentro de la capa límite es igual a la variación fuera de la capa límite:

5.3.1.Para el caso de la placa plana delgada resulta



Integrando τw sobre toda la superficie se obtiene el arrastre que el fluido ejerce sobre el cuerpo.

En forma general, para calcular el espesor de la capa límite sobre una placa plana que se encuentra inmersa en un flujo laminar, incompresible y permanente se debe:

Utilizar el gradiente de presiones (dp/dx) determinado para el flujo exterior a la capa límite.

Definir o aceptar una forma razonable del perfil de velocidades dentro de la capa límite.

Determinar τw como (du/dy)y=0.

VI. DEMOSTRACION DE FORMULAS DE CANALES

6.1. Ecuación de fricción.



Supóngase un canal de sección cualquiera como se ilustra en la (Fig. 1.22), donde el flujo es uniforme, la velocidad y el tirante permanecen constantes respecto al espacio.

Diagrama para obtener la fórmula de Chezy, flujo uniforme y permanente. Dónde:

W = Peso del volumen elemental de agua

E = Empuje hidrostático

d = Tirante ó profundidad del agua en el canal

L = Longitud del volumen elemental de agua

= Angulo de inclinación del fondo del canal respecto a la horizontal

= Peso específico del líquido

= Esfuerzo cortante debido a la fricción del agua con el fondo

P = Perímetro mojado

AH = Área hidráulica



Con referencia en el volumen elemental de líquido, mostrado en la figura (en color azul), de sección transversal constante AH (flujo uniforme) y de longitud L. El volumen se considera en equilibrio, puesto que el flujo es Uniforme Y Permanente

(Aceleración igual a cero) Y, estableciendo la ecuación de equilibrio en la dirección del flujo (Dirección x, paralela al fondo del canal), tenemos:

E1 Wsen E2 Ff 0

1

Agrupando: E1 E2 Wsen Ff

0 2

Como: E1 E2 , se eliminan

mutuamenteY

W

Como el volumen elemental de fluido

es igual a

L AH , entonces:

W L AH

Sustituyendo estas igualdades en la ecuación 2, tenemos:

L AH

sen - p L = 0 - - - - (3)

Despejando, de esta última ecuación, el esfuerzo cortante :

L AH senp L

---- (4)

AH senp

--- (5)



AH Rp

(Radio hidráulico)

Entonces la ecuación 5 queda:

r

sen --- (6)

Ahora, observemos en la siguiente figura:

L

h

L

Dónde:

sen h

L

y Tan h

S (gradiente hidráulico)

L

Entonces, vemos que cuando es muy pequeño ( 10o). Por consiguiente Sustituyendo en la ecuación 6 tenemos:

RS………………. (7)



Con esta ecuación, podemos obtener el esfuerzo cortante medio que el flujo produce en la pared del canal en función; del gradiente hidráulico, del radio hidráulico y del peso específico del fluido de que se trate.

Ahora, mediante el análisis dimensional obtendremos una expresión

para determinar el esfuerzo cortante , en función de:

La profundidad del agua en el canal d la rugosidad relativa D, la densidad rugosidad relativa D, La densidad , viscosidad del líquido y, la velocidad del flujo V .

t=K d aV b ρ c μ d ( εd

)θ

Estableciendo su ecuación dimensional:

Agrupando magnitudes iguales:

FL2T 0 (LaLbL4cL2d )()(F cF d )(T bT 2cT d


F−2 T 0=(L a)(L b T−b)(F c T 2c L−4 c )¿


Entonces las ecuaciones dimensiónales son las siguientes:

Para L: a + b - 4c – 2d = -2Para F: c + d =

1Para T: -b + 2c +d =

0

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior:

Observemos que, tenemos 4 incógnitas y solo 3 ecuaciones, por lo que para resolver el sistema, se requiere que una de las incógnitas sea considerada como variable independiente y, las tres restantes, sean dependientes de esta.

Considerando al tirante

d

como variable independiente, tenemos:c = 1- d b= 2 – da = - d

Sustituyendo estos valores o resultados en la ecuación



Agrupando, respecto a su exponente

Igualando la ecuación 7 con la ecuación 9, tenemos:

Despejamos a la velocidad V.

Como:

Y si hacemos:



Constante que queda en función del número de Reynolds, de la aceleración de la gravedad y de la rugosidad relativa de la superficie del canal.

Finalmente la ecuación 10 queda:

V =√CRS ……….. Siendo esta la ecuación de Chezy


Esta ecuación fue obtenida por Chezy en 1775, la cual no pudo ser utilizada por la dificultad de obtener un valor confiable del coeficiente C, fue obtenida originalmente para su aplicación en canales y su validez se restringe al flujo uniforme.


6.2. Ecuación de la cantidad de movimiento o momentum

En una sección de un canal, en la cual pasa un caudal Q con una velocidad V, la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo, se expresa por:

Cantidad de movimiento = βδQV

Dónde:

β = coeficiente de Bussinesq (ver sección 3.7).

V = velocidad media

A = área total

δ = densidad del fluido

Q = caudal

Consideremos un tramo de un canal de sección transversal cualquiera, por ejemplo, donde se produce el resalto hidráulico y el volumen de control limitado por las secciones 1 y 2 (antes y después del resalto), por el piso del canal y por la superficie libre, como se muestra en Figura

La variación de la cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2 será:MECANICA DE FLUIDOS Página 40

Volumen de Control Para Definir la Ecuación de la Cantidad de


Dónde: FP1 , FP2 = fuerza de presión actuando en las dos secciones.W = peso del fluido (Wsenα, peso del fluido en el sentido del movimiento, ver Fig. 5-8)Ff = fuerza externa total de resistencia que se opone al movimiento. Esta ecuación es conocida como la ecuación de la cantidad de movimiento o momentum.6.3. Ecuación de Manning.

En 1889 el ingeniero irlandés Robert Manning presenta una ecuación para determinar el valor de “C”, en función del radio hidráulico y la rugosidad del material de que se construya el canal.

La expresión para el sistema inglés es:

(1.23)C

1.486Rn

1 / 6

Para el sistema métrico la expresión de “C” es:

C R1 / 6

n(1.24)

Sustituyendo el valor de “C” de Manning en la ecuación (1.16) de Chezy para calcular la velocidad se tiene:

Para el sistema métrico:

V C

C

SR

R1 / 6

n

Ecuación de Chezy

y sustituyendo:

V R1/ 6

R1/ 2 S 1/ 2 R

1/ 61/ 2

S 1/ 2 R

2 / 3

S 1/ 2



n n

V 1

R 2 / 3 S 1/ 2

n

Ecuación de Manning para calcular la velocidad en canales abiertos y cerrados sistema métrico.Dónde:

V velocidad media del agua en canales con régimen uniforme, en m/seg.n coeficiente de rugosidad de Manning.R radio hidráulico, en m.S pendiente de la línea de energía, que corresponde a la del

fondo por estar en régimen uniforme.

Para el sistema inglés: .sustituyendo en la ecuación de



V C RS

1.486R1/ 6

n R1/ 2 S 1/ 2

1.486R1/ 61/ 2

nS 1/ 2

1.486R 2 / 3

n S 1/ 2

V 1.486

R 2 / 3 S 1/ 2

nEcuación de Manning para determinar la velocidad en el sistema inglés.



Tabla 6. Valores del coeficiente “n” de Manning.

Material

ValoresMínimo Normal Máximo

Arroyo de montaña con muchas piedras. 0

.0350

.0400.050

Tepetate (liso y uniforme). 0.025 0.035 0.040Tierra en buenas condiciones.

0.017 0.020 0.025Tierra libre de vegetación. 0.020 0.025 0.033Mampostería seca. 0.025 0.030 0.033Mampostería con cemento. 0.017 0.020 0.025Concreto. 0.013 0.017 0.020Asbesto cemento. 0.09 0.010 0.011Polietileno y PVC. 0.007 0.008 0.009Fierro fundido (Fo. Fo). 0.011 0.014 0.016Acero. 0.013 0.015 0.017Vidrio, cobre. 0.009 0.010 0.010

El cálculo del gasto en el diseño de canales, para este tipo de régimen, puede plantearse la ecuación de continuidad (1.25) y la ecuación de Manning (1.23) sistema métrico y la (1.24) para el sistema inglés.

V 1

R 2 / 3 S

n

Q AV

Sustituyendo el valor de la V en la ecuación anterior, tenemos:

Q A 1

R 2 / 3 S 1/ 2

n

Sistema métrico.

Q 1.486

AR 2 / 3 S 1 /

2

n



Sistema inglés.

Ordenando los términos conocidos en la ecuación queda:



(1.30)

Qn

S 1/ 2 AR 2 / 3

Ecuación general para el diseño hidráulico de canales en el sistema métrico.Donde:

Q Gasto en m3/seg, es dato.n Coeficiente de rugosidad de Manning, es dato.S pendiente hidráulica ( S

h ) del canal, es dato.L

A área hidráulica del canal en m2.R radio hidráulico, en m.

En el sistema inglés la formula general es la misma lo único que cambia es el valor del coeficiente C que vale 1.486 pies 1/3/seg, en lugar de 1 m1/3/seg.

(1.31)

Qn AR 2 / 3

1.486S 1/ 2

Estas ecuaciones (1.30 y 1.31) son importantes para el análisis y cálculo de los canales que funcionan con movimiento uniforme. En estas ecuaciones los datos conocidos son el gasto (Q), la pendiente hidráulica (S) y el coeficiente de rugosidad (n) de Manning.Por lo tanto el primer miembro de la ecuación muestra una relación entre el Q, S, n y el segundo miembro de la ecuación depende solamente de la geometría de la seccióntransversal del canal. Si

AR 2 /

3tuviera valores siempre crecientes con la profundidad,

como sucede en la mayoría de los casos, para cada valor del primer miembro existiría solamente una profundidad capaz de mantener el escurrimiento uniforme, este es eltirante normal ( d n ).Es conveniente señalar que a partir de la ecuación de Manning podemos calcular la pendiente hidráulica del canal:En unidades métricas y a partir de la ecuación 1.24, se procede a despejar la pendiente:

V 1

R 2 / 3 S 1/ 2

S Vn

n(1.32)

En unidades inglesas:

R 2 / 3


2


V 1.486

R 2 / 3 S 1/ 2

S Vn

(1.33) Donde:

n 1.486R 2 / 3


2


S = pendiente hidráulica del canal, adimensional.V velocidad media del agua en m/seg.R radio hidráulico, en m.n =coeficiente de rugosidad de Manning.

También a partir de la ecuación de Chezy podemos calcular la pendiente hidráulica siempre y cuando contemos con el valor de C, V y R.

V C RSecuación.

elevando al cuadrado ambos miembros de la

V 2 C RS 2

V 2 C 2 RS Despejando la pendiente S.

S V

Dónde:

(1.34)C 2 R


2


V velocidad media del agua en m/seg.R radio hidráulico, en m.C coeficiente de resistencia a la fricción de Kutter, Bazin o de Manning.

http://es.slideshare.net/EnriqueDilmanKent/capa-limite?related=1


http://es.slideshare.net/EnriqueDilmanKent/capa-limite?related=1

informe de capa limite

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