INFLUENCIA DE ERROS DE CLASSIFICAÇJO NUM MODELO

ESTOCÁSTICO PARA A EVOLUÇJO DA PREVALENCIA DA

ESQUISTOSSOMOSE

) I

·f --f-

! '' ( J' '"~,_.,

Vera Lucia Richter

Dissertação apresentada à FacuLdade

de Saúde PÚblica da Universidade de

São Paulo para a obtenção do t{tulo

de mestre.

Orientador: Dr. Josi Maria Pacheco de Souza

São Paulo - 19 79

tl1 B LI U L_, C/\ FACULD:.::Jf: u :. .... <. PUBLICA UNJVEaSIJAúC: lic ;,),.,J PAULO

s p- 8

Para

Luainha

Mu:ri L Lo

e meus pais.

RESUMO

O p~esente t~abatho é uma foPmutação teó~ica que pe~mi te

estudaP num modelo estocástico, a influência dos e~~os de clas­

sificação na mensu~ação da pPevalência da esquistossomose mansô

nica.

Os e~ros de classificação são desag~egados e identificados

como: falhas de leituPa poP paPte do examinadoP ou p~epa~o ina­

dequado da lâmina; contingências biológicas que possibilit~m

o apaPecimento de ovos não viáveis e a eliminação de ovos

cont{nua po~ pa~te dos indiv{duos.

-na o

t apPesentada uma solução ge~al paPa o p~oblema, bem como

soluções pa~a os casos em que se conhece a dist~ibuição de p~o­

babilidades do númePo de ovos de S.mansoni.

Uma solução ap~oximada e independente da fo~ma e dependen­

te dos dois p~imeiPos momentos da dist~ibuição do númepo de o­

vos é sugerida.

A influência dos e~~os de classificação pode quantitativa­

mente se~ ap~eciada, at~avés de um conjunto de tabelas elabo~a­

das com dive~sos valores dos parâmet~os inte~venientes no pPobl~

ma.

ABSTRACT

The pl'esent papel' is a theol'etiaaL appil'oaah IJ)hiah IJ)iLl,

aLLo!J) studying the infLuenae -in a stoahastia modeL - of Bl'l"'l'B

in aLassifying the measul'ement of the pl'evaLenae of Sahistoso­

miasis mansoni.

The misaLassifiaation el'l'Ol'B aonsidel'ed al'e due to: (A)

FaiLul'e of the e:raminel' in eithel' (1) l'eading Ol' (2) poor teah­

n.ique. (B) bioLogiaaL aon.tingenaes IJ)hiah IJ)iLL aLLo!J) fol' the

appeal'en.ae of (1) stel'iLe eggs, ol' (2) disaontin.uity in. t~e eti­

min.ation. of eggs by the aal'l'iel's.

An. e:ract genel'aL soLution of the pl'obLem is pl'esen.ted, as

IJ)eLL as soLutions fol' the pal'tiauLal' aases in IJ)hiah the pl'oba­

biLity distl'ibution of S.manson.i eggs aounts in kno!J)n.

An appl'o:rimate soLution is suggested, IJ)hiah ia independent

fl'om the IJ)ay in IJ)hiah the numbel' of eggs is ditl'ibuted,· but de­

penda upon the fil'st t!J)O moments of the pl'obabiLity distl'ibu­

tion of the eggs aounts.

The infLuenae of misaLassifiaation erTOl'S aan be judged iK

a quantitative IJ)ay, by means of a set of tqbLes made up fo~ the

diffel'en.t pazaametl'ia vaZ.ues of the pl'obLem.

1NDICE

Página

o. INTRODUÇÃO

1. ALGUNS ASPECTOS EPIDEMIOL~GICOS. 4

2. MODELOS MATEMÁTICOS. 7

3. O MODELO ESTOCÁSTICO DO PECE - Ve~são Inicial. 12

4. A INCORPORAÇÃO DE ERROS DE MEDIDA AO MODELO DO PECE 20

5. EXTENSÃO DO MODELO DO PECE - Influência de fato~es biolÓgicos . . . . . . 29

5.1. Notação e conceitos iniciais 30

5. 2. Tabela das p~obabilidades associadas as deci--soes . 30

5. 3. Os pa~ãmet~os biolÓgicos e a fidedignidade do examinado r . . . . . . 3 7

5. 3. 1. Falso positivo devido a e~~o de leitu-~a da lâmina . 37

5.3.2. Eliminação de ovos não viáveis

5. 3. 3. Não eliminação de ovos po~ infectados . . . . ..

indiv{duos

5. 3.4. Falso negativo devido a erro de leitu-

38

~a da lâmina 39

5.4. Tabela das decisões. 4D

5.5. A prevalência observada em função dos fatores biolÓgicos e dos e~~os de medida 45

5. 6. Casos pa~ti cu lares . . 4 7

5. 7. Uma solução geral em função dos momentos da ~s t~ibuição do núme~o de ovos. . . . . . 49

Página

5.8. A escolha da função <P

5.9. As caracter{sticas globais da distribuição do número de ovos . 64

5. 9. 1. Considerações sobre L(t) . 54

5. 9. 2. Considerações sobre R(t) 56

5.10. O modelo final . 58

5.10.1. Solução geral. 59

5.10.2. Soíução geral para uma função <P especi ficada . . 60

5.10.2.1. Solução para uma distribui ção especificada do número de ovos. 6ú

5.10.2. 2. Solução aproximada indepen­dente da distribuição do nú-ro de ovos 6 ·~

6. EXEMPLO DA INFLUENCIA DOS ERROS DE CLASSIFICAÇÃO NUM MODELO ESTOCÁSTICO . 63

6. 1. Valores utilizados para os parâmetros. 63

6. 2. Interpretação da influência dos erros. 68

6. 2. 1. Em reLação à aproximação sugerida. 70

6.2.2. Em relação aos erros do examinador 71

6.2. 3. Em relação aos fatores biol~gicos 71

6. 3. Tabelas: solução exata e aproximada. 73

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 111

O. INTRODUÇÃO

Quando o PECE (Programa Especial de Controle da Esquisto!

somose) começou a ser desenvolvido pelo Ministério da SaÚde, du

rante a gestão do Ministro Paulo de Almeida Machado, tivemos a

oportunidade de participar da elaboração de um modelo, visando

permitir não só um acompanhamento da evolução da prevalência da

esquistossomose, mas também explicitando as variáveis que permf

tissem uma avaliação das ações básicas que seriam implantadas.

Assim foi que surgiu, numa primeira versão, um modelo estocás­

tico que permitiu obter resultados de cunho teórico, para um pr~

blema extremamente complexo, dada a multiplicidade de fatores i~

tervenientes. Este modelo está descrito, ainda que de forma sus

cinta, no capitulo 3 do nosso trabalho, por ter sido o ponto de

partida da linha de pesquisa que vem sendo desenvolvida.

Como uma primeira abordagem, o modelo não incorporava ain­

da a inevitável fonte de variabilidade devida à existência de

erros de mensuração, principalmente nas condiçÕes de trabalho de

campo. Assim, o modelo foi refinado agregando-se as probabili­

dades de erros de leitura por parte dos examinadores. Os pon­

tos principais desse trabalho estão no capitulo 4.

Esta incorporação de erros de medida por parte dos examina

dores ainda não completava as possiveis fontes de erros. A es­

tes deveriam ser ligadas as fontes "biolÓgicas" de erros, a sa

ber, a não eliminação continua de ovos, bem como a eliminação de

ovos não viáveis e não detectados como tal pela técnica copros-

cópica utilizada. Assim o trabalho atual extende a formulação

para o caso mais geral, contendo o até então desenvolvido, como

casos particulares.

Como poderá ser notado, os resultados obtidos situam-se mui

to mais no plano teórico, haja vista a não disponibilidade de

informações que possibilitem estimar os parâmetros introduzidos

nessa nova formulação. A fim de poder dar ao trabalho um cunho

prático, uma série de pesquisas deverá ser desenvolvida.

No capttulo 6, a tttulo de ilustração, obtivemos um conju~

to de resultados especificando para os parâmetros valores que

julgamos adequados às situações reais.

Este trabalho provém de uma atividade de pesquisa conttnua

e como tal, acreditamos que com o decurso do tempo e à medida

em que o conhecimento sobre os fatores intervenientes no desen­

volvimento da infecção sejam melhor conhecidos, poderemos vir a

incorporá-los ao nosso modelo.

A generalidade com que o mesmo foi desenvolvido possibili­

ta, inclusive, a adoção de novas estruturas para a descrição da

evolução da prevalência ao longo do tempo com a formulação de

novos modelos estocásticos, sem que haja a necessidade de alte­

rar os resultados obtidos no que diz respeito aos erros de elas

sificação introduzidos.

Ao situar, no âmbito geral, o objetivo do nosso trabalho,

gostartamos de externar os nossos agradecimentos ao Dr. José

Maria Pacheco de Souza, Dr. Paulo de Almeida Machado e Dr.

Edmundo Juarez por todo o apoio recebido, ao Prof. Rubens Murillo

2

MaPques peto est{muto e constante dedicação duPante toda nossa

vida univePsitáPia e pPofissionat e ao anaLista João Antonio

TPonkos que muito nos ajudou nos tPabathos de computação.

1 - ALGUNS ASPECTOS EPIDEMIOL6GICOS

A Esquistossomose é uma doença parasitária que afeta mais

de 200 milhÕes de pessoas das áreas tropicais do mundo. A sua

prevalência parece estar crescendo e esta doença é vista como

um dos mais sérios problemas de Saúde PÚblica nos tempos atuais.

t causada basicamente por três espécies do gênero Schistoso

ma. As formas adultas vivem nos vasos sangu{neos do sistema

porta e os efeitos patológicos principais são no intestino e no

f{ gado.

O ciclo biolÓgico das três espécies nrincipais é bem conhe­

cido e se processa havendo uma alternancia de gerações sexuadas

e assexuadas. A geração sexuada ocorre no homem (algumas vezes

em outros mam{ feros) e a assexuada em p lanorb{deos espec{fi aos

de acordo com a espécie do parasita.

Os ovos produzidos no estágio sexual deixam o organismo do

indiv{duo por via urinária, no caso do S.haematobium, ou pelas ~

fezes (S.mansoni e S.japonicum). Os ovos que alcançam a agua

se rompem e liberam um organismo ciliado chamado mirac{dio, que

deve encontrar um planorb{deo espec{fico onde se multiplica as­

sexuadamente produzindo milhares de cercárias. Cada cercária

vive aproximadamente dois dias (4), nada até encontrar o hospe­

deiro definitivo penetrando através da pele e no caso do S.man­

soni migram até o pulmão, depois para o f{gado, onde atingem a

maturidade se~ual, sendo que os pares vao para os vasos sangu{-

4

neos do intestino delgado e grosso.

A fêmea, medindo de 7 a 17 mm., fica no canal ginecÓ-F'oro do

macho que mede de 6 a 13 mm., e a fecundaoão ocorre. Cada :ênea

libera estimadamente de 100 a 300 ovos vor dia {4).

, Alguns desses ovos rompem a naPede dos vasos s an gu-z- ne o:~ e

recomeçando o ciclo. O intervalo desde a venetração da cerca­

ria até a detecção da passagem de ovos nas fezes pode variar de

quatro semanas para o S.japonicum até cinco ou seis semanas va­

ra o S.mansoni e treze semanas para o S.haematobium (4).

Conquanto a moptalidade por essa doença seja baixa, são v~­

rias as sequelas patolóricas causadas peloSJ ovos que ficam no or

ganismo, vrincipalmente no f{rado e baço.

Não h~ d~vida de que o creRcimento da nopulação humana in

tentdf'ica o nroblema da esquistossomose, pois h~ a necessidade

de uma maior produoão de alimentos e com isso um aumento da ~­

Pea utilizada vara a agricultura, que frequentemente denende de

sistemas de irrigação natural constituindo assim, um ambiente

fa7Jor~vel à colonização do planoPb'Ídeo que é o hospedeiro inter

medi~rio. O outro aspecto é o da crescente poluição das ~

aguas

vor excretas, visto que o desenvolvimento de sistemas de sanea­

mento b~sico e acesso a ~gua not~vel não acomnanham o crescimen

to povulacional natural.

Em termos de controle, com o conhecimento enidemiolÓgico e­

xistente sobre a doenca, podemos facilmente identificar os non­

tos vulneráveis da cadeia evidemiolÓgica e atuarmos no sentido

de interrompê-la. 5

Um aspecto se~ia a ~edução da poZuição das águas natu~ais

po~ exc~etas que, sob o ponto de vista teó~ico, se~ia consequi­

da at~avés da Educação Sanitá~ia e saneamento básico adequado,

mas estas são medidas que podem te~ ~esuZtados satisfató~ios em

médio e Zongo p~azos,, dependendo da extensão da á~ea endêmica e

do estágio de desenvoZvimento do ZocaZ.

Out~o ponto é o t~atamento em massa da popuZação infectada,

que 'f1isa a mata~ o ve~me aduZto, ~eduzindo a e Ziminação de ovos.

Out~o é o cont~oZe do pZano~b{deo, que é o hospedei~o inte~

mediá~io, at~avés de pZano~bicidas,ob~as de engenha~ia ou comp~

tido~es natu~ais. Em ~eZação aos moZuscocidas o uso é ~est~ito

devido a sua aZta toxidade, afetando os componentes da fauna e

da fZo~a do ZocaZ, causando po~ vezes danos i~~eve~slveis. O

cont~oze bioZÓgico po~ meio de competido~es natu~ais não tem si

do uma medida eficaz, sendo objeto de pesquisas em vá~ias insti

tuições.

Como a eficiência ~eZativa dessas medidas, quando tomadas

conjuntamente, não é conhecida, a fo~muZação de um modeZo mate­

mático que as inco~po~asse pode~ia eZucida~ c€~tas ince~tezas

tanto do ponto de vista epidemioZógico quanto do de cont~oze.

6

2 - MODELOS MATEMATICOS

Com o objetivo de desc~eve~ a t~ansmissão da esquistossomo­

se, em te~mos epidemiológicos, fo~am const~u{dos vá~ios modelo~

sendo os de Macdonald (8, 9) e de Hai~ston (5, 6) os p~imei~os.

O t~abalho de Macdonald (8) consiste basicamente na const~u

ção de um modelo p~obabil{stico que envolve a infecção do pla­

no~b{deo pelo mi~ac{dio, levando em conside~ação o núme~o de mi

~ac{dios na água, núme~o de ca~amujos infectados, Mo~talidade

dos ca~amujos, etc .... Obtém finalmente uma ex~~essão ~a~a a

taxa de infecção numa comunidade de ca~amujos.

Em um out~o t~abalho (9) ele enfoca o p~oblema da p~obabili

dade de pa~eamento dos ve~mes e numa segunda na~te esta é incoP

no~ada a um modelo ge~al de infecção pelo Schistosoma, estudan­

do a influência de dife~entes fato~es que atuam no sentido de

aumenta~ a taxa de infecção, juntamente com a eficácia Pelativa

dos dife~entes meios de p~evenção.

Hai~ston (5) const~uiu modelos ecolÓgicos pa~a a t~ansmis­

sao da esquistossomose usando dados de campo pa~a estimaP a ta­

xa de ~ep~odução e de sob~evivência pa~a as t~ês espécies de

Schistosoma que mais comumente infectam o homem (S.haematobium,

S.mansoni e S.japonicum). A metodologia utilizada foi a da tá­

bua. de sob~evivência. Nesse modelo, a taxa l{quida de ~ep~odu--çao do ve~me foi esc~ita matematicamente como o p~oduto dos qu~

t~o fato~es que ~efletem os quat~o estágios do ciclo de vida do

?

ve~me: taxa L{quida de ~ep~odu~ão no ~a~amujo vezes a p~obabi­

Lidade da ce~cá~ia infecta~ o homem (ou mam{fe~o), vezes a taxa

L{quida de ~ep~odução do ve~me aduLto no homem, vezes a p~obabf

Lidade do mi~ac{dio infecta~ o ca~amujo. Cada um desses fato­

~es é decomposto, como po~ exempLo, a p~obabiZidade do mi~ac{­

dio infecta~ o ca~amujo, Leva em conside~ação: a p~obabilidade

de que o ovo ecZoda vezes a p~obabiZidade de que o mi~ac{dio P! net~e no capamujo, vezes a p~obabiLidade de que se estabeleça

uma infecção depois da penet~ação.

Em out~o tPabaLho, Hai~ston (6) usou um modelo ca~aL{tico

em dois estágios de Muench (16) pa~a desc~eve~ a dist~ibuição

po~ idade da p~evalência da esquistossomose sendo a infecção po~

S.mansoni, S.japonicum ou S.haematobium. Os ajustes obtidos

são satisfató~ios somente quando a p~opo~ção de pessoas mais V! lhas, que pe~manecem positivas, é dete~minada, e essa p~opo~ção

va~ia com a intensidade de t~ansmissão. A concLusão p~ovisó~ia

do auto~ é que a positividade constatada pela int~ade~mo-~eaçãq

é devida ao fato da pessoa te~ tido ve~mes de ambos os sexos em

aLgum momento de sua vida e que são po~tado~as de pa~asitas fê­

meas ou que tenha sido exposta à infecção po~ ce~cá~ia fêmea.

N8sell & Hi~sch (17) supõem um núme~o fixo de pessoas N1

e um núme~o fixo de ca~amujos N2 • O modeLo é especificado peLo

núme~o Mk(t) de ve~mes machos e pelo ~Úme~o Fk(t) de ve~mes fê­

meas no instante t em cada pessoa, k = 1, 2, ... , N1 e pelo

núme~o S(t) de ca~amujos infectados. Cada indiv{duo pode dife­

~i~ quanto ao núme~o de ve~mes inicialmente, mas estão todos su

jeitos a idênticas Zeis Ma~kovianas. Cada ve~me numa pessoa

tem uma p~obabiLidade fixada ~1 po~ unidade de tempo de mo~­

~e~, idêntica e independente pa~a todos os ve~mes. Novos pa~a-

8

sitas entram no indiv{duo à uma raaao de v 1E[S(t)] que é prono~

aional ao número esperado de caramujos infectados naquele insta!!_

te t. Esse modelo tem uma mistura de elementos determin{sti­

aos e probabi l{s ti aos. Considera também que todo aaramu:1 o 1:n­

featado tem uma mortalidade u2 ·idêntica e constante, e que todo aa­

~amujo que morre é revosto instataneamente vor um n~o infecta­

do. Cada aaramu,fo não infectado tem um Y'isco de se infectar aue

é proporcional ao número esperado de pares de vermes e~ todos

hosvedeiY'os humanos, aom uma constante de rronorcionalidade v 2 .

Numa comunidade fechada sunõe W{t) o nÚmeY'o esnerado de ~eY'

mes que invadem um indiv{duo desde o instante O até t, X(t)

o número esperado de vares mono9âmicos de vermes em todas as

nessoas juntas e Y{t) = E[S(tJ] como sendo o nÚmero médio de

caramu,jos infectados no instante t. Chega a um sistema de e-

quaç6es diferenciais em W e Y. E nara estucar o comnortamen-

to assintótico da soluç~o dessas eouaaões, introduz os "fatores

de transmissão":

e

T1 mede a capacidade m&xima da povulaç~o de caramujos de

transmitir Schistosomas vivos nara uma nessoa.

cidade da população humana de liberar miY'ac{dios vivos, através

dos ovos, para um caramu;i o 1: n ,f' e atado.

Ntlsell (18) extende esse modelo ·" m:,_..z,· ~,, r.r> ''ÓY'ias estr:1t:i

~:of' utilizadas como medidas de controle da transmissão.

Tallis e Levton (19) desenvolveram um modelo estocástico

descrevendo o mecanismo vrobabil{stico com que os parasitas en­

tram no hospedeir~ levando em consideraaão a vrobabilidade con-

diaiona~ de aue u~a fêmea entPe e~ matuPa~ão num aerto intePva­

~o de tempo, e a !unção pePatPiz de probabi~idades vara a ppodu

ção de ovos. t um mode~o estritamente teóriao que necessita de

uma es ~o ~h a a ui dados a dar~ .~o rrr;as nara~é tr·Z: aat~ de a ~(.1U11'as

ções para que possa ser arliaado a dados ao~etados.

. .run-

Ho ~for>d e HaPd?! (7 J en.foaaram o nroh lema ria ~a.ni.~es tação dr; es­

ouistos.c~omose no hosnedeiro humano considerando: i) a entraria do

narasita no hosnedeiro humano, ii) o par>eamento do.s maahos e .~ê­

meas, iii) os ovos exne~idos velo hosnedeiro hunano, ivJ a norte

dos narasitas dentro do hosnedeiro.

O mode~o desenvolvido para o número de vermes de aada sexo

nresentes em um indiv{duo de idade t foi Ul1' nr>oaesso de imi-

(.1Pação e moPte e ilustPar>am aomo o mode~o vode ser> usado naPa.

descrever de uma .forma Matemática as auPvas de nPeva~ênaia, por

idade esnea{fiaa, da esquistossome. As nr>essunosiçÕes básiaas

do mode~o são: i) para qua~ouer idade t>O a pPobabilidade de

que um ver~e de um dado se~o nenetre no indiv{duo no interva~o

(t, t+6t) é A.(t)6t + 0(6t) e ii) a vrobabilidade de aue um 1-

vePme de um dado sexo moPra durante o intePvalo (t, t+6t) dado

que existem n

nô.(t)6t+0(6t). 1-

vePmes daauele sexo nresentes no instante t J

e

Essas nPessuposiçÕes pePmitem que a propor~ão de parasitas

oue entPam no indiv{duo e aue moPr>am dentro de~e vaPiem aom a

idade do hospedeiro. PPessunondo ainda, que existam N.(t ) veP 1- o

mes do sexo i pPesentes ouando t=t , isto é, no instante ini . o aia~, ahegam que a distribuição do número de vermes do sexo i

nPesentes em (t +t) é a aonvo~ução de uma distribuição hinomi­o

a~ e uma distribuiaão de Poisson. 0 aálau~o da nreva~ênaia da

esouistossomose é baseado na distribuição do número de vermes,

aue com as pPessuposiç6es feitas~ concluem como sendo do tivo

Poisson. ExvloPando o v~oblema da penet~ação dos vePmes~ atpa­

vis do tempo de exvosiç~o com a ~pua in!ectada~ utiliza~am~ nu­

ma v~imeiPa tentativa, a função de Gomve~tz e o ajuste não se

most~ou adequado paPa as idades mais avançadas~ então eles in­

tPoduzi~am a função de Makeham que i uma 'fYiodi.f'icação da _+'unção

de Gompeptz e o a.iw~te foi melho~. Os Pe::~ultados _+'o~am avlica­

dos aos dados do p~ojeto Egypt-49 pa~a S.mansoni e S.haemato­

bium e concluem que o dec~éscimo da p~evalência em idades avan

aadas pode se~ explicado pelo decPiscimo do contacto co.,., a ~pu~

~efutando a hip6tese !o~mulada VOP alpuns autoPes de que alnum

tipo de imunidade sePia desenvolvido ao lonpo do temvo.

Como se pode nota~, i v~aticamente imvoss{vel tPaduzi~ mate

maticamente o v~ocesso de t~ansmissão da esauistossomose a n{­

vel de sua mic~oestPutuPa~ dada a multivlicidade de vari~veis

intervenientes no problema.

r~r.t 11 t, ·,

3. O MODELO ESTOCASTICO DO PECE - Versão Inicial

Marques & Richter (10) desenvolveram, especificamente, um

modelo estocástico para o acompanhamento do Programa Especial

de Controle da Esquistossomose, no sentido de inferir em rel~

ção à evolução da prevalência da infecção do decurso do tem

po.

Primeiramente foi constitu{da uma estrutura determin{stica

para a descrição do problema, supondo que se tivesse N indiv{­

duos potencialmente suscet{veis à infecção num certo instante

t, M(t) indiv{duos infectados e que as variações em M(t), num

intervalo de tempo 6t fossem: i) proporcionais ao prÓprio 6t;

ii) proporcionais ao valor M(t); iii) proporcionais ao núme­

ro de indiv{duos ainda não infectados, N-M(t); iv) proporcio­

nais à densidade de caramujos C1 (t); v) proporcionais à pro­

porção de caramujos infectados no total de caramujos, no decur­

so do tempo, C2(t).

Com isso pode-se concluir que:

6M(t) = K(t)•M(tJ•UN-M(t~·Cl(t)•C2(t)6t

onde K(t) seria uma constante de proporcionalidade, caracter{s­

tica de cada população variando de acordo com as caracter{sti­

cas espaciais, demográficas, sanitárias, etc ... dessa população.

Podemos identificar nessa estrutura basica as diversas áreas

12

de atuação num Pro~rama de Controle, pois as variações de:

M(t)

C2(t)

correspondem à ação do tratamento;

correspondem à ação do moluscocida,· reduzindo a densi­

dade de planorb{deos;

correspondem ~ - do Saneamento Básico, pois a açao com uma

melhoria neste setor, ..

de haja e se esperar que uma re-

dução da proporçao de caramu,jos infectados;

[N-M(tJ]~t correspondem à ação da Educação Sanitária, no sen­

tido de que o contingente dos ainda não infectados não

venham a se infectar no decurso do tempo, incrementan­

do M(t J;

K(t) correspondem à incorporação de caracter{sticas não ex­

plicitadas no modelo (demográficas, espaciais, etc ... )

e essa se constitui numa função reguladora do modelo.

Se quisermos saber num certo instante t, deterministicamen­

te, o número de indiv{duos infectados, temos que resolver a e­

quação anterior.

A equação referida nos conduz à equação diferencial:

d M(t)

M(t) [N-M(tJ]

que integrada nos leva a:

13

M(t) = N. So Nft K(t)Ct (t) C2 (t) dt

1+ 60

e 0

onde M(o) 6o = N-M(o)

ou seja, 60

é a ~elação ent~e os infectados e os não infectados

no instante inicial.

No caso de pode~mos supo~, num inte~valo de tempo, a inva~i

ância das funções temvo~ais, temos a ap~oximação:

M(t) = N

1 + B o

-Ou exp~essando o ~esultado em te~mos da v~opo~çao da povula

ção infectada M(t) = P(t) vem: N

P(t) = 1 1 a = o 6

0 1 +

e te~emos então um modeLo do tipo log{stico.

Devido à p~Óv~ia est~utu~a e va~iabilidade das va~iáveis ~e

inte~vém no p~oblema, esse modelo dete~min{stico não sati~faz.

Há que se conside~a~ modelos que tenham a necessá~ia flexibili­

dade pa~a inco~po~a~, mesmo a n{vel de sua fo~mulação teó~ica,

todo o mecanismo p~obabil{stico que é ine~ente ao fenômeno.

14

Na p~6v~ia cadeia epidemiol6giaa da esquistossomose enaon­

t~amos vá~ios aspectos p~obabil{sticos em ~elação ao enaont~odo

mi~aa{dio com o nlano~b{deo, enaont~o da ae~cá~ia com o homem

na~a v~oduzi~ a infecção~ sem menciona~ a mensu~ação da n~e~o­

linaia que conta com a Probabilidade de ocoP~incia de !alsns no

sitivos e falsos negativos~ vois o exame na~a a detecção de no­

sitivos não é isento de e~~os.

Numa abo~dapem inicial foi desenvolvido um modelo estocásti

ao do tipo "Pu~e Birth P~oaess ", não linea~ e não homopineo, c~

.ia est~utu~a infinitesimal co~~esvondente ao modelo detePmin{s­

tico desa~ito é:

t t + !:J.t Probabilidade

X + 1 K(t) .x. (N-x)Cdt)Cdt)D.t

1- K(t).x.(N-x)C 1 (t}C 2 (t}!:J.t

com a condição inicial 1 ~ X(OJ ~ J-1

Sendo M(8~t) a funaão gePadoPa de momentos do nPocesso, no­

de-se demonst~a~ aue: ( 1)

onde:

L ;i/0

f' . . . 1

f.(X)!:J.t = P{D.X(t) = jJX(t)} ;)

7 c - v

Então~ como o p~ocesso é de nascimento vu~o temos

J = 1 e v o~ t an to :

.f 1 (X)t::,t = P{!::,X(t)=1j X(t)} = K(t)x(N-x)Cl (t)C2 (t)!::,t

Logo:

f 1 (X) = K(t)x(N-:r:JC 1 (t) C2 (t)

Com isso:

aMre, tJ =

at

aMre,tJ = (ee-1J cl (tJ c2(tJ K(tJ [N aMre~tJ - a2Mre,tJ J at ae ae2

Pa~a a solução da equação, foi int~oduzida a ~uncão

t~iz de cumulantes, definida implicitamente no~:

M(e,t) = eK(e,t)

anenas

pe~a-

Supondo aue as va~iaç5es tempo~ais sejam suficientemente len

tas, isto é, K(t)=K, C1(t)=C 1, C2 (t)=C 2 e t~ansfo~mando a esca

la de tempos pa~a T =KC1C2t, chegamos à seguinte equação:

aK(8, T)

aT = (ee-1J[N aK(e,T)

a e o2 K ( e , T ) _ ( o K ( 8 , T ) ) 2 J

a e2 a e

pa~a a qual não se tem solução exata.

Desenvolvendo em série de notênaias de e ambos os membros

da equa(!ão e i rua lando os coe f'i aien tes de e e e2 chegamos ao .c: e

ruinte sistema de eauac~es di!erenciais:

dl<t(T) = :7Kl('T)- K2hJ- kl2(T) d'T

que envolve cumulantes de ordem superior aos de segunda ordem.

-Para resolver o sistema de equacoes Baile~ (1) sugere des~re

zar o aumulante de terceira ordem e trabalhar ao~ as -eauacoe.q

s6 com os dois nrimeiros aumulantes, mas isso leva a comvlexida

des algébricas ainda não suneradas, esneciaZmente para valores

(Jrandes de N (2).

Adotemos, nortanto, o nrocedimento de desnrezar a contribui

cao do aumulante de seaunda ordem na vrimeira eauacão e o de ter

ceira ordem na serunda equação. Ass.,:m temos:

dK1(T) 2 = !/ K 1 ( T ) - K1 ( T )

d'T

d K 2 ( 'T) = ( 2 N- 1) K 2 ( T) -4 K 1 ( T ) K 2 ( 't) + N K 1 ( 't) - K1

2 ( T)

dT

A solução da nrimeira equação nos leva à expressão nara o

cálculo do número médio de indiv{duos infectados previsto nelo

modelo~ dado nor:

1 7

Ou em te~mos da p~opo~ç~o espe~ada de indivlduos infecia~s:

E[P(tJl = 1

1+ a o

que aoinaide aom o modelo dete~min{stico.

a = o 1

Bo

Pa~a te~mos uma exp~essão ~a~a a va~iânaia de X(t) ~esolve­

mos a segunda equaç~o e pa~a tanto, fazendo algumas substitui­

ç5es, chegamos a uma equaç~o di!e~enaial aom~Zeta da fo~ma:

du p

+ Py Q onde Tx = Q

cuja soluç~o ge~al i dada ro~:

-!Pdx y = e { f Q e1 Pdx dx + C }

que de~ois de integ~ada nos conduz a:

= 4 f -·x

= .r (N ·x

N T -4 2 2 e ' - 7

[

(1 -['l)T

e ) N S o B o ( 1 -N) ~ +

2N + 1

- f' ) 11, :r

S (e (li+ 1 ) T _1)]

2(eT-1)+·--0 ---------­

N+1

Com o intuito de ve~ifica~ a qualidade da an~oximaaão adota

da, selecionou-se

.v = 100 ' K = 0,00028914 , G = n. 8 t = 1

1 p

Obteve-se com 1:sso a I_X(tJi = 1.869~ enouanto que simulan­

do o p!'oaesso lQO 000 vezes vo:r> ~ante Cn!'lo, (11}, obteve-se

a [x(t)J = 1. 890 o que Justifica nlenomente a ?V:r>o:dmaaão adata­

da.

Com o objetivo de ve!'ifiaa!' a adequaaidade desse modelo, !~

!'am utilizados or dados dispon{veis va!'a o munia{vio de Tou:r>os

(RN) onde t{nhamos 1 025 indiv{duos oue estavam sendo sepu~dos

desde um exame inicial e sendo avaliados ne!'iodiaamente a inter'

valos de tempo tão Pegula!'es auanto noss{,Jei (12). O mod.rdo mo.~

tPou-se bastante adequado paPa ab!'i?aT' a va:r>iabilidade dos :r>e­

sultados obse!'vados, pois obteve-se um aoeficiente de dete:r>~inn

aão de 90,10%.

1 9

4. A INCORPOFAClO DE ERROS DE MEDIDA AO MODELO DO PECF

Sabe-se oue do nonto de vista nrático, a mensura~ão da nre­

vatência da esquistossomose através do exame conroscónico auan­

titativo de Kato-Katz não é isenta de erros, havendo dif'eren~as

ouatitativas entre os microscopistas e quantitativas entre o nú

mero de ovos etiminados por um mes~o naciente {3). Em Vl:s ta di s

so, o modeto foi ref'inado no :~entido de noder incornorar a ocor

rência de fatsos negativos e de f'atsos nositivos e nermitir com

iss~ que se f'aaa a correção da prevatência observada (13).

Para tanto, foi sunosto um exame conroscónico de narâmetros

a e B onde a revresenta a nrobabitidade de ocorrência de um f'at

so negativo e B a nrobabilidade de ocorrência de um falso ~osi­

tivo.

Foram consideradas as se~uintes variáveis ateatórias:

~!*(t) n~mero de indiv{duos Jul~ados nositivos, no instante ~

através de um exame conroscónico de narâmetros ·':te S •

n~mero de indiv{duos detectados come nositivos nela e-

xame no instante t, dado que existe~ ~~~~r :nP~ant~ ~t

in?~u~!uos infectados.

n~mero de indiv{duos detectados como vositivos nelo e-

xame no instante t, dado que existem (N - Xt)

duas não infectados.

indiv{-

2]

Então:

= + ~

N e voPtanto coPPesvonde a soma de duas t xt

binomiais:

N - B (N-Xt;eJ t xt -

se.ja ainda llt a vari.áveZ aZeatória: discrepância entPe o verda­

deiro número de infectados e o número desses detectado pelo exa

me.

N, y (a, a, t) = X -N*

t t N-M(o) = ao M(o)

Momentos de llt

E [ N t I x t] = E [ N; I x t] + E [ N; h] = x t r 1-a J + r N-x t J a

E[Nt] = E[E(Ntlxt)l = Nt(l-a) + (N-Nt)6

21

Supondo que

temos

ou gene~iaamente

N

-yt l+a e o

N

1 + a e -yt o

(a+BJ - NB

Pa~a a dete~minação da va~iânaia de ôt aonside~•mos a fÓ~m~

La que exp~essa a va~iânaia não aondiaional em te~mos da va~iân

aia aondiaionaL

então

Pa~a o aáLaulo da aova~iânaia ent~e Xt e N~~ notemos que:

então

22

temos que

= V(X -N*) = t t

V(Xt)

2

Portanto:

Coe fiaien te de ao!'r>e lacão en tl"e X t e Nt

aov(Xt~N:tJ

IV (X t J • IV O! t J

então

vemos que nao existe ao!'r>elaaão ent!'e Xt e N:, isto i~

p(Xt,N~) = O quando 7-a-P=n B = 1-a

p(Xt 3 N;) = 1, isto i, existe uma aorrelacão perfeita positiva

ent!'e o núme!'o de indiv{duos infeatados e o nÚmero desses detea

tado pelo exame, quando

l1e falso

cx=B=O ou tJeJa 1 falso

negativo

nos1:tivo

23

Os ~esuLtados podem se~ inte~p~etados~ anaLisando sob quais

condições a E[ât]=O ou seja, em que casos não existi~á disc~e ~ância ent~e o núme~o médio de indivlduos infectados num ce~to

instante t e o núme~o de indivlduos detectados como positivos

no mesmo instante t.

caso a) é o caso t~iviaL quando não há e~~os de medida~ isto é,

a = B = o

caso b) se a e B são dife~entes de O então temos um instante

que denomina~emos de t*, no quaL E(Xt)=E(Nt)~ isto é,

E(ât)=O

Logo:

Nt(a + BJ = N B

a - B = B

A condição pa~a que exista t*>O é:

a -B- < a o

t* pode se~ dete~minado da seguinte fo~ma

a + B = B + B

24

de onde

t * = 1 ln [

1 y --;ç- --=---a l

8 J ~

Observemos que e quando t=O

E(t:. ) = N (a-a a; o o o

E(t:. ) = o a se -a- = a o o

E(t:. ) < o a < a se -a-o o

E(t:. o) > o se a > -a- ao

ou seja

No instante inicial, E[xo] = E[N~] quando a relação entre

os falsos negativos e os falsos positivos for igual à

entre os não infectados e os infect~dos.

relação

O número médio de infectados é mmor do que o numero médio de i!:!_

fectados detectados pelo exame,quando a relação entre os falsos

negativos e os falsos positivos for menor do que a relação en

tre os não infectados e os infectados no instante inicial.

O numero médio de indiv{duos infectados é maior do que o nú

mero médio de infectados detectados pelo exame, quando a rela­

ção entre os falsos negativos e os falsos positivos for maior

do que a relação entre os não infectados e os infectados no ins

tante inicial.

25

Observemos ainda

N 1+a o

= N o

chamando 1-a+ a 8 = f o

temos que

N 1+a o

Quando t + ao

lim E[xt] = lim t-+oo t+oo

N

-yt 1+a e o

= N

lim E[N~] = lim (1-a)Nt + (N-Nt)S = N(l-a) t+oo t-+oo

Graficamente temos:

Caso

o t*

Caso

~>a e o

t 26

A f5rmuZa proposta para a obtenç~o da verdadeira prevaZin­

aia em funç~o da observada é dada por:

= E [N1J- NB

1 -a-B

O modeZo que indorpora as probabiZidades de oaorrinaia de

faZsos negativos e de faZsos positivos por erro de Zeitura, su­

nondo que E[xt] seja adequadamente desarita neZo modeZo antigo

é aaraaterizado por:

NB + N

-yt 1+a e o

(1 -a-BJ

V [ N; J = 1

+a N e -y t [a ( 1 -a) - 8 (1 - 8 ) J + N [ 8 ( 1 - 8 ) J + ( 1 -a-B ) 2 V [X t J

o

Para a verifia,aç~o da adequaaidade desse mode Zo foram uti li_

zados os mesmos dados disponlveis para o munialnio de Touros

( RN) usados para o teste do mo de lo in i ai a L Pa'l'a o a,:ius te ob t~

ve-se a estimativa y de y po'l' mlnimos quadrados at'l'avés de um

p'l'oaesso numé'l'iao e ite'l'ativo.

Foi desenvolvido um prog'l'ama de aomvutador, que pe'l'mi tiu

aaZaular, pelo método de Newton-Raphson, aom vreais~o p'l'é-fixa­

do o vaZor de y.

Assim, s~o dados os valores de a e B e o programa fo'l'neae ~ y

uma estimativa preliminar' de K, K = NC1C

2 e a soma de ouadra-

27

dos do ~eslduo. O p~og~ama ~efina a estimativa pa~a a p~eaisão

desejada.

Em te~mos de ajuste, o ganho pe~aentuaZ no aoef?:aiente de . dete~minação foi de 1,3%.

28

5 - EXTENSÃO DO MODELO DO PF.CF - INFLUPNCIA DOS FATORES BIOL~­

GICOS.

O dia~nósti~o da esquistossomose mansôni~a, quando se DPe­

tende avaliaP a DPevalin~ia em ~reas endimi~as i feito atravis

de exames ~opros~Ópi~os. Geralmente o mitodo utilizado é o de

Kato-Katz e uma só lâmina do indiv{duo i examinada no ~aso de

diagnósti~o em massa. Desse f"ato surgem várias di:Fi~uldades na-

Pa a avaliação pre~isa da pPeValên~ia em viPtude das variacões

na vresença e na quantidade de ovos nas .fezes dos indiv{duos in

.fectados devidas a diversas ~ir~unstân~ias (3), tais ~omo: o~oE_

rên~ia de fibrose na submu~osa intestinal, di.fi~ultando a elimi

nação de ovos do paPasita pelas .fezes; alteração na postura de

ovos pelas fêmeas do paPasita; indiv{duos portadores de in~e~­

cão unissexual; indiv{duos infe~tados poP peaueno número de VeP

mes; distribuição não uniforme de ovos do parasita nas

embora esta hipótese seja ~ontPovertida, pois alguns autoPes d~

fendem a hipótese de que os ovos estão distribu{dos ~asualmente

e outros dizem que há maior ~on~entpação de ovos na suverf{~ie

da massa fe~al; viabilidade dos ovos en~ontrados na lâmina, et~.

Estas ~iraunstân~ias, alim da avtidão do examinador, indu­

zem à o~orrên~ia de falsos nega ti vos e .~a lsos positivos que a l­

teram a men·suração da prevalên~ia da doença.

Levando esses fatos em ~onsideração, é que foi realizado o

presente trabalho teÓPi~o, ~om o objetivo de estudaP a influên-

29

aia dos fato~es biológicos e dos e~~os de medida na p~evalênaia

da esquistossomose em te~mos de sua evoluoão ao lonro do temno

5.1. Notação e ~onaeitos Iniciais

Sunonhamos uma nonulacão aonstitu{da no~ N indiv{duosJ na~a

os quais se~ão feitas l~minas que serão lidas no~ um examinadon

Seja Y(t) a va~i~vel aleatÓria: resultado da leitura de uma

lâmina no instante t.

Seja S(t) a VaPi~vel aleató~ia: numepo de ovos de S.mansoni

n~esentes na lâmina no instante t.

Seja Y.(t) a va~i~vel aleatÓPia: resultado da leituPa de J

uma lâmina dado que existem j ovos nessa l~minn (j=OJ1J2J ... )no

instante t, isto ~J dado que S(t)=j.

Indiaa~emos po~ Y.(t)=1: julaamento nositivo de uma l;minn 1 • v

com j ovos no instante te Y.(tJ=O em caso aontP~~io. J

Utiliaa~emos o slmbolo I(t) napa identifica~ um indivtduo

ve~dadei~amente positivo no instante t e ~(t) em aaso aontr~~i~

5.2. Tabela das P~obabilidades Associadas à DecisÕes

Em te~mos pPobabil{stiaos, as situações noss{veis de oco~­

~e~ no julpamento de uma lâmina, num ce~to instante t, em fun-

30

ção da ve~dadei~a condição do indiv{duo e do núme~o de ovos n~e

sentes na Lâmina são desa~itas petas tabeLas 1, 2 e 3.

31

TABELA 1

\ Vel'dad.Jira Ut! Condição do I'ldi!J'lduo (INFECTADO)

N9 ovos M S(tJ=O S(t)>O TOTAL Lcim:na

S11m ovos Com ovos

Jul.g~7~Y'flto CDpJ'OsCÓpicc

P{Yo (t. -1 }•P{S(tJ=o I Ut:!}•P{I (t)} Í P{Y.(t)=l}•P{S(t;)=jii(tJ}•P{I(t)} ! P{Y .(tJ=l}•P{S(t;):j IUtJ }•P{Ut)} + j=l J i=O J

(Pos·· -i.vo!

P{Io(tJ=O}•P{SftJ=OII!t)}•P{I(tJ} ! P{I.{t!=O}•P{S(tJ=jii!tJ}•P{I(t)} f P{I.(tJ=O}•P{S(tJ=iii!t)}•P{I(t)} - j=l J j=O J

(Nt~gati vo!

P{S(tJ=OIIft)}•P{I(tJ} f P{S(tJ=jii!tJ}•P{I(tJi f P{S(tJ=iiift)}•P{I(t)} j=l j=O

TOTAL

32

TABELA Z

\ VBJ'dadnzta Í(t) C<mdiçàiJ do Iruiivlduo

(NlO INFECTADO)

Nl} OIIOB

na S(tJ=O S(t)>O TO'!AL Lâmina Sfllfl OIIOB Com OIIOB

tltú.gt1JIIBI'Ito Caprosoópi.oo.

P{r,rtJ=l}•P{S(tJ=oJJrtJ}•P{Í(tJ} ! P{YJ(t)=l}•P{S(t)=JII(t)}•P{I(t)} .f P{YJ(t)=l}•P{S(t):JjÍ(t)}•P{Í(t)} + J=l J:O

(PoBitiuoJ

P{1o(tJ=O}•P{S(tJ=oJ1rtJ}•P{I(t)} ! P{1.(t):O}•P{S(tJ=JjÍ(t)}•P{I(t)} f P{Y.(tJ=O}•P{S(tJ=JJÍ(t)}•P{Í(t)}

- J=l J J=O J

(Nsgativo)

P{S(tJ=Oji(tJ}•P{I(tJ} f P{S(tJ=JJÍ(t)}•P{Í(t)} f P{S(tJ=JJÍ(t)}•P{Í(t)} J=l J=O

TOTAL

JJ

TABELA 3

Condição do ~ Ve~dadeira

Indiv{duo TOTAL (t)

N9 ovos na

Lâmina S(tJ=O S(t)>O TOTAL (t)

Sem ovos Com OVOS

JuZg(1]11ento Cop~oscópico

PtY 0 (t)=l}•P{S(tJ=O} ! P{Y.(tJ=l}•P{S(tJ=j} f P{Y.(tJ=l}•P{S(tJ=j}

+ j=l J j=O J

(Po~itivo!

P{Y~(iJ=O}•P{S(tJ=O} f P{Y.(tJ=O}•P{S(tJ=j} ! P{Y.(tJ=O}•P{S(tJ=j}

- j=l J j=O J

(Negativo)

P{S(tJ=O} ! P{S(tJ=j} 1 j=l

TOTAL

34

Indicando por C uma decisão correta e C uma decisão errônea,

em reZação à verdadeira condição do indiv{duo, as decisões tom~

das quando do juZgamento das Zâminas podem agora ser identifica

das na tabeZa 4.

TABELA 4

I (t) JrtJ ~ Verdade<ra Condição do

(infectado) (não infectado) Indiv{duo

N9 ovos

I S(t} = o S(t) > o S(t) = o S(t)

I JuZgamento Coproscópico

+ c c c (Positivo)

- c c c (Negativo)

A origem dos erros correspondentes a cada situação

descrita encontra-se na tabeZa 5.

c

c

> o

acima

35

+ o

+ I(t) >O

I(t) o

I(t) >O

TABELA 5

DESCRIÇÃO E ORIGEM DO ERRO

falso positivo devido a um erro de leitura na lâmina 3 portanto falha do microscopista.

falso positivo "biolagico" devido a eliminação de ovos não viáveis e o indiv{duo ter sido julgado positivo.

falso negativo "biolagico" devido ~ não eliminação de ovos pelo indiv{­duo que é infectado na ocasião do e­xame ou falso negativo devido a não homogeneização do material 3 implican do no não aparecimento de ovos na a= mostra para o preparo da lâmina.

falso negativo devido a um erro de leitura da lâmina 3 portanto falha do microscopista.

36

5.3. Os Parâmet~s BiolÓgicos e a Fidedignidade do Examinador

Com a finalidade de podermos estudar o comportamento da

probabilidade de julgar erroneamente uma lamina Qm relaç5o~ ver

dadeira condição do indiv{duo, discriminaremos a seguir as pro­

babilidades intervenientes na sua composição, relacionando-as com

os parâmetros biológicos dos indiv{duos, bem como com o grau de

fidedignidade do examinador.

5.3.1. Falsos positivos devido a erro de leitura da lamina

Indiquemos por Bt=P{Yo(t)=l}, isto i; a probabilidade de

que uma lamina, que não contim ovos, seja julgada positiva de­

pende das caracter{sticas do examinador, ou seja, cada examina­

dor tem, em cada instante t, um· parâmetro que i expresso por

Bt, e que representa a probabilidade desse examinador julgar p~

sitiva uma lâmina que não contem ovos. Assim, Bt representa a

probabilidade de se obter um falso positivo numa leitura reali­

zada pelo examinador no instante t.

Podemos inclusive aceitar variações temporais do parâmetro

Bt, caso seja razoável admitir-se alterações na fidedignidade de~

se examinador no decurso do tempo.1-Bt pode, no sentido dado por

Yerushalmy (20), ser denominado de especificidade do examinador

em relação ~ verdadeira condiç5o da lamina.

5.3.2. Eliminação de ovos nao viáveis.

Pode ocorrer, em certas situações, que um indiv{duo elimi-

37

ne ovos de S.mansoni e estes não sejam viáveis. Neste caso o

individuo será aqui considerado como verdadeiramente não infec­

tado.

Indiquemos por wt = ! P{S(t)=j\I(t)}~isto é~ wt estará re j=l

presentando a probabilidade da existência de ovos na ~âmina da­

do que esse individuo é não infectado. wt e um parâmetro indi­

vidual e que poderá apresentar variações temporais para um dado

individuo.

Estamos admitindo aqui que a eliminação de ovos -na o vi á-veis~ se existir~ está homogeneamente distribuida pelos indivi­

duas.

5. 3. 3. Não eliminação de ovos por individuas intectados.

Pelas considerações feitas anteriormente os individuas in­

fectados podem não eliminar ovos no momento da coleta do mate-

rial~ para o preparo da lâmina a ser examinada~ e também v ode

ocorrer que a despeito do material conter ovos~ este não seja

homogeneizado adequadamente implicando no não aparecimento de o

vos na lâmina.

Indiquemos por ~t = P{S(t)=O\I(t)}

Analogamente à situação anterior~ admitimos que

ção de ovos por parte de individuas infectados~

indiferenciada nos individuas.

a não elimina-

caso exista~

38

5.3.4. Falso negativo devido a erro de leitura

Embora existam ovos numa lâmina, estes podem passar desa­

percebidos ao examinador. Evidentemente isto depender~ da qua­

lidade do examinador (medida pela sua aptiddo para a identifi~~

ção de ovos de S.mansoni) e também da quantidade de ovos prese~

tes na lâmina.

Assim, indiquemos por:

ou seja, a função 1 - ~ (j) estar~ representando a probabili­O.t

de de uma identificação

ovos, pelo examinador.

~

erronea, de uma lâmina que contém j

Estamos admitindo, como no caso de Bt, que at sendo um pa­

râmetro caracter{stico do examinador, possa ter variações temp~

rais.

Devemos impor que a função ~at(j) satisfaça as

condiçÕes:

seguintes

a)

b)

~ (oo)=1, isto a.t

e, qualquer examinador classificar~ como po

sitiva uma lâmina com "infinitos" ovos.

1-~ (1)=at, at

J

isto e, com isso podemos interpretar at como

sendo a probabilidade de julgar negativa uma

lâmina que contenha 1 ovo. Valem aqui as mes

mas considerações feitas quando da introdução

de Bt. .39

a)

d) ~ ( ') ~a J t

pois, se at=O e po~tanto

gativos, a Zeitura se~á

dentemente do núme~o de

na.

-nao existem falsos ne-

semp~e ao~~eta indepen­

ovos p~esentes na lâmi-

deve se~ uma função dea~esaente com at ou seja~

quanto maio~ fo~ a p~obabilidade de um falso neg~

tivo, meno~ se~á a p~obabilidade de julga~ ao~~eta

mente a lâmina.

e) ~a (j) deve ser uma função c~escente com j, ou seja~ a p~~

t habilidade de julga~ qualitativamente de fo~ma co~ ~eta uma lâmina, deve aumenta~ com o núme~o de o­

vos que ela possui.

No sentido at~ibu{do po~ Ye~ushalmy (20) a quantidade

! <Pa (j)•p{S(t)=j} pode~ia se~ denominada sensibilidade do exa

j=1 t

minado~ em ~elação a ve~dadei~a condição da lâmina.

5.4. Tabela das Decisões

Com os elementos apresentados, temos as seguintes quantid~

des de inte~esse pa~a o p~oblema:

a) Bt = P{Yo(t)=1} = P{Y(t)=1!S(t)=O}

b) 1 - 8t = P{Y 0 (t)=O} = P{Y(t)=O!S(t)=O}

a) 1 - wt = P{S(t)=O!I(t)}

40

d)

e)

f)

g)

h)

Wt = r P{S(t)=jji(t)} j=l

1 - ~t = f P,{S(t)=jji(t)} j=l

~t = P{S(t)=Oji(t)}

1- ~ (j) = P{Y.(t)=O} = P{Y(t)=OjS(t)=j} at J

e chamando

P{S(t)=jji(t)} + = P. rtJ J

P{S(t)=jji(t)} = pj(t)

onde

onde

r p~(t)=l j=O J

! p-:(t)=l j=O J

podemos reescrever a tabeLa das decisões (tabeLas 6, ? e 8).

41

+

Verdadeira Condição do

Indivlduo

(Posi•ivo)

(Negativo)

TOTAL

S(t)=O

Sem ovos

TABELA 6

I (t) INFECTADOS

S(t)>O

Com ovos

P(rftJ] 'f p~{t) j=l J

TOTAL

42

TABELA 7

Verdadeira Condição do :f.(t) NÃO INFECTADOS

Individuo ~---.------,------

,.,._~:E:. Coprosc~;~o~~

+

!Pon.il)OJ

!Regatil)O)

TOTAL

S(t)=O

Sflll! ovos

S(t)>O Com ovos

TOTAL

d 3

TABELA P

Verdadeil"a Condição do TOTAL

Individ1.10 ~+--------r--~---

'''-"'~?:~ S(t)=O

Coprosaó:~ao. ~ Sem ovos

+

(Positivo)

(Negativo)

TOTAL

S(t)>O

Com ovos

! ~ {j)p~(tJP(I(t)] + .i=l at J

! Í1-.p (j)lp~(tJP[Ut!] + j=l L at J J

+ r Íz-~ (j)lp-:(tJP[I(t)] j=l L at ..J J

TOTAL

l~(t)+! p~(t) IPii(t) I + j=l J

+ r(l--wtJ+! p-:rt;lPI](t) I = L j=l J 'j I

= P[I(t)] r p~(t!+Prl(t)] E p -:(t) j=O J _ j=O J

= P[Ut!] + P[I(t!] = 1

5.5. A P~eva~ência Observada em Função dos Fato~es Bio~Ógicos e

dos E~~os de Medida

Seja Z(t) a p~obabi~idade de ju~gar uma lâmina positiva. A

pa~ti~ da tabe~a 8 temos:

=

A va~iáve~ a~eatória Y(t): resu~tado da ~eitu~a de uma íârr:i

na, assume os va~ores O (quando o ~esu~tado é negativo) e 1

(quando o resu~tado é positivo) com p~obabilidades 1-Z(t) e Z(t)

respectivamente. Então pa~a cada instante t, Y(t) tem uma dis­

tribuição de Bernou~~i com pa~âmetro Z(t). Logo,

E [Y ( t J] = Z ( t )

Como temos N ~âminas p~ovenient~3 de N individuas,

núme~o esperado de resu~tados posit s 1;um instante t,

E[Y(tJ] = NZ(t)

E [Y (t)]

Notemos que:

então o ~

se~a:

45

'f cl> (j)p .(t) j=1 Clt J

[ J p.(t)

= 1-po(t) .'f cl>a. (j)1_J (t) J=1 t Po

=

= [1-p (t)J 'f 4> {j)•P{S(t) = j\S(t)>O} = o j=l at

= [1-p ( t )] E cl> [ s ( t) I s ( t) >o J o at

Substituindo esses va~ores obtemos:

+ St(1-wt)} =

= N{wt E cl>at~(t) ls(tJ>o] + Bt(1-wtJ +

+ (F,t+oJt-1) ~t-E ~"t~ltJ lsltJ>OJ] P[r(t)j)

A variância de Y(t) é dada por:

V[Y(tJ] = N Z(t) [1 - Z(tJj

46

5. 6. Casos Par>tiau lar>es

-5. 6.1. Suponhamos o aaso par>tiaular> no qual nao tenhamos a ~n-

fluinaia dos fator>es biol5giaos~ isto. ~~ o n5o apar>eci­

mento de ovos não viáveis e tamb~m a n5o desaontinuidade

na eliminação de ovos por> par>te do indiv{duo infectado ~

ou seja~ ~t=O e wt=O e~ al~m disso~ que os falsos negatf

vos independam do númer>o de ovos pr>esentes na lâmina~ is

to é~ <P"' (j) = 1-a "'t t

Neste caso:

Supondo ainda que at e Bt sejam independentes do tempo:

E[Y(tJ] = N{6+(1-a-6JP[I(tJ]}= N6+(1-a-6)E{I(t)}

que é a fÓr>mula pr>oposta no modelo (13) par>a o cálculo

do númer>o esper>ado de indiv{duos positivos~ incor>por>ando

as pr>obabilidades de ocor>r>incia de falsos negativose fal

sos positivos por> er>r>o de leitur>a.

Vejamos agor>a a var>iância:

V[Y(tJ] = NZ(t} [1-z(tJ] = NZ(t) - NZ 2 (t)

v[Y(tJ] = N~[JrtJ] U-a-6)+6] - N~[I(tJ] (1-a-6)+ 6] 2

=

= NP[r(tJ] (1-a-6) (1-2·6)+lv13 (1-6) - NP 2 [I(tJ] (1-a.-6) 2

4 7

como

-NP2 [I(tJ] = V[I(tJ]- E[I(tJ]

e

NP[I(t)] = E[I(tJ]

então

v[Y(tJ] = NB(l-SJ+ E[I(t)] [a(l-a)-S(l-S)] + (1-a-8) 2 V[I(tJ]

que é exatamente a expPessão ante~ioPmente obtida em (13)

paPa a vaPiância do númePo de lâminas positivas.

5.6.2. Outpo caso paPticulaP é aquele onde nao temos influência

de fatoPes biológicos~ nem ePPOS de mensuPação, isto é,

a=O, S=O, ~=O, w=O e ~ (j)=l. a

A simples substituição nos leva a

E[Y(t)] = NP[I{t)j = E[I(t)]

V[Y(tj} = NP[I{t)] {1-P[I(t)]} = V[I(t)]

que é a situação inicialmente pPoposta do modelo (10) on

de não existem eP~os.

48

5. ?. Uma SoZução GeraZ em Função dos Momentos da Distribuição

do NÚmero de Ovos.

Para a obtenção de E[Y(t)j dependemos do c~ZcuZo da

E<Pa.t [s (t) I 8 (t) >o] e portanto do conhecimento da distribuição

vari~ve Z aZeatória S (t) I 8 (t) >O'

da

Em recente trabaZho Marques e Richter(14) mostraram que e­

xiste uma exceZente aderência da distribuição observada do núm~

ro de ovos de S.mansoni a uma distribuição binomial negativa. O~

servemos que, se a forma da distribuição for conhecida e conse­

quentemente a sua função geratriz de probabiZidades, então

E<Pa.[s(t) ls(t)>o] poder~ vir a ser caZculada.

Uma abordagem alternativa, sem exigir o conhecimento da dis

tribuição do número de ovos., seria a de expressar a esperança aci

ma mencionada como dependente dos momentos da distribuição da

vari~vel aleatória S(t) ls(t)>O'

Quer nos parecer que esta alternativa possa conduzir a me

Zhores resuZtados, uma vez que se torna mais intuitivo buscar re

Zações entre os momentos da vari~veZ aleatória e o comportamen­

to da infecção na popuZação do que diretamente entre os parâme­

tros da distribuição e este comportamento.

Para tanto, observemos que se X e uma vari~vel aleatória

E[G(XJ] = G(lJ) + 'f g(r) (lJ) • ~~ r=2

49

onde ).J = E[x] e

média, de X.

).Jr é o l'-ésimo momento, centrado em relação

Temos então no nosso caso:

cp a t {E [s ( t ) I s ( t J > o J } +

+ ).J LÍS(t)~~ -:

'f cp(r){EÍS(t)l :-1}· r u(t)>O;, -2 at L S(t)>~ ' r- r.

onde ).Jr [s (t) I S (t) >O] e o r-ésimo momento em relação à média

da variável aleatória S(t) ls(t)>O

.. a

Frequentemente, apenas as duas primeiras parcelas da ex­

pressão acima são necessárias para uma boa aproximação. Assim,

usando as duas primeiras parcelas e chamando:

).J2[s(tJis(tJ>o] =R(t)

temos a aproximação:

Com isso e supondo que os erros de classificação sejam constantes no

decurso do tempo, sugerimo~ finalmente, a seguinte aproximação

50

para o número esperado de Lâminas julgadas positivas:

5.8. A Escolha da Função ~

A função ~ (j) deve satisfazer a um conjunto de condições a.

já anteriormente mencionado. Evidentemente existem infinitas

funções satisfazendo àquelas propriedades. Alguns exemplos se­

riam:

a) ~ (j) = 1-a.J a.

b)

c)

d)

~ ( . ) 1- a. = a. J J

~ ( . ) 1- a. a. J = ....,.

J .

-j+1 ~a.(j) = 1-a.a

É claro que deveriamos pesquisar o modelo a ser adotado pa

ra ~a.(j). Convém observar que a forma proposta em (a) represe~

taria suvor a existência de uma probabilidade constante a. da não iden

tificação de um ovo de S.mansoni na lâmina e que haveria inde-

pendência no julgamento de j

das duas seguintes situações:

ovos. Isto corresponde a uma

ou o examinador "não vê" indepen-

51

dentemente cada um dos ovos ou ele vendo nao os identifica como

de S.mansoni. QualqueP uma das duas situações não paPece seP

Pealista~ em especial a segunda~ dada a foPma t{pica do ovo.

AdotaPemos~ a fim de apPesentaP uma sotução completa paPa

o pPoblema~ a foPma definida em d. AcPeditamos que esta foPma

podePá descPeVeP adequadamente as VaPiações das pPobabilidades

de uma leituPa positiva~ em função do númepo de ovos~ haja vis­

ta a flexibilidade intPoduzida pelo paPâmetPo a.

Como já salientamos antePioPmente~ podePemos supondo~ poP

exemplo~ que S(t)-1\S(t)>O tenha uma distPibuição binomial neg~

tiva com paPâmetPos pt e Pt e com função gePatPiz de pPoba­

bilidades Gt(s~ escPeVeP:

E q, a li_s ( t) I s ( t) >o] = ~ {1-aa- j + 1 } 1 ~ Jp. -I~ j=1 o

- 1-a oo -J'+1 _PJ· E a = 1-p

j=1 o

= 1 -a G t ( 1 I a)

e obteP o Pesultado de foPma exata.

No entanto~ não iPemos supoP nenhuma foPma conhecida paPa

a distPibuição da vaPiáveZ aleat6Pia S(tAS(t)>O e com isso te­

mos:

52.

1

- l - I s ( t ) I s ( t ) > o J + 1

<I> a. .! r t J I s r t J >o _I = 1 - a. a 1..

1 -L(t)+1

-a. a

r. -1 - r·s ( t ) i s ( t ) >o J + 1 <P~r(tJis(tJ>o_l =a. a- • ln a

1

- J -E r s r t ) 1 s ( t ) > o J + 1 <P~{E !(t) ls(t)>O } =-a. a !.. (ln a) 2 =

Então

-L(t)+1 a

E ,!, lcs (t} I J 1- rv a-L (t) +1 - _21 R(t) rv (ln a;' 2 a-L(t)+1 -'~'a. L S ( t) >O ~ "" ""

- 1- a. a-L(t)+1 (1+ R(t) (ln a) 2)

2

PoPtanto~ no caso da função <1> seP desta foPma pPoposta~

E [ y ( t) J = N { w [1 -a. a-L ( t ) + 1 ( 1 + R ( t) ~ l n a) 2 ) J + 8 ( 1-w) +

+ (E,+w-1)1!-l+a. a-L(t)+1•(1+R(t)~ln a)2)] •P[I(tJ]}

53

5.9. As Caraateristiaas Globais da Distribuição do NÚmero de O­

vos

Observemos que L(t) representa o número midio de o··os nas

zaminas provenientes de individuas infectados e R(t) a variabi­

lidade a que est~ sujeita esse número de ovos. As funç3es L(t:

e R(t) são aaracteristicas das distribuições do ~

num e r de

presentes nas lâminas e como tais não são quantidades diretar~en

te mensur~veis, pois os erros de leitura passarão a intervir. no entant~, as considerações feitas a seguir, nos conduzirão a ob­

ter formas de estim~-Zas e de vincul~-Zas ao desenvolvimenrc da

infecção.

5.9.1. Considerações sobre L(t).

Conforme foi dito L(t) não pode ser diretamente mensur~vel,

então vamos supor que L*(t) seja o número médio de ovos observa

dos nas zaminas, dado que estas contêm ovos, no instante t. Es­

ta função nos dá a evolução da carga parasitária média ao Zango

do tempo. Conquanto não saibamos como se dá essa evolução, pr~

poremos uma função para aproximar L*(th que não objetiva ser um

modelo para descrever a evolução referida, mas pretende apenas

desagregar duas componentes que permitem, de alguma forma, ~n­

terpretar a evolução da carga parasitária média nos individuas

julgados infectados. Há que se notar que esta carga parasitá­

ria é muito vari~vel em função da idade do individuo e do momen

to em que a infecção está sendo observada.

Assim, uma vez que estcmos considerando a população dos ju~

54

gados infectados independentemente dessas variáveis~ é de se es

perar que possa ser utilizada uma aproximaçdo do seguinte tipo:

Pode-se interpretar L* como sendo a gravidade iniciaZ o infectados e L~ como fator de agravamento da infecção~ pois de-

pendendo do sinal de Lf há um aumento ou decréscimo da carga p~

rasitária média em relaçdo à inicial.

Uma descriçdo mais detalhada da funçdo poderia ser propos­

ta~ na medida em que outras variáveis como idade~ tipo de ocu­

pação~ numero de contatos com a água~ fossem incorporadas~ uma

vez que o comportamento da prevalência é espec{fico para estes

grupos~ como salientado em (15). Inclusive~ pode-se hieraPqui­

zar as variáveis para um refinamento da funçdo descritora da

L*(t) com o possivel desmembramento da mesma~ de forma que a

variável "contato com a água" ou algum indice da importância epi­

demiológica do local possa ser integrado.

Podemos também~ adicionalmente~ introduzir a funçdo:

F (t) M(t)·L*(t)

= N - M(t)

que representa o número total de ovos dispon{veis no instante t~

para infectar os indiv{duos ainda ndo infectados. Como sabemos

que a infecçdo não depende somente dos ovos dispon{veis~ mas ta~

bém da densidade de caramujos e a proporçdo desses já infecta­

dos~ podemos incorporar essas informações à funçdo da seguinte

forma:

55

M(t){L*[1+L~(1-e -~]} F(t)=

0

N - M{t)

Como F (O) = L (O)

temos

L~[1+L~(1 - e-tJ] = ~----N~K~C~l~C~z~t----­

a e o

Chamaremos esta função de função in tens idade de transrrzi s são

potencial onde F(O) é o potencial inicial de transmissão.

O valor da função F(t) indica como varia a disponibilidade

do número de ovos por indiv{duo não infectado em função da sua

situação inicial~ do fator de agravamento da infecção e do núme

ro de caramujos presentes e da proporção desses que são infect~

dos.

Precisamos adicionalmente saber como L*(t) que é o J

numero

médio de ovos observados nas lâminas~ dado que estas contêm o­

vos~ se comporta em relação a L (t). Parece razoável admitir que

estas duas quantidades guardem uma relação constante que seria

então caracter{stica do examinador~ isto é, L*(t) = l L(t) onde f

deve ser maior do que um~ pois a tendência nos erros de conta­

gem parece ser a de subestimação.

5.9.2. Considerações sobre R{t)

A função R(t) ao representar a variabilidade existente no

número de ovos presentes nas lâminas~ conforme já foi menciona-

56

do não pode ser diretamente mensurável. Vamos então supor que

R*(t) seja a variabilidade do número de ovos lidos nas lâminas~

no instante t. Esta função estará indicando ao longo do tempo~

a existência de reinfecções (caso se mantenha razoavelmente cons

tante ou decresça) ou novas infecções (caso aumente no decurso

do tempo). Estas hipóteses foram feitas porque acreditamos que

novas infecções deverão introduzir maior variabilidade no nú~e­

ro de ovos~ ao passo que no caso de reinfecção o organismo d~ve

estar de algum modo adaptado de forma que elimine~ com uma cer­

ta constancia, um número de ovos e a introdução de novos vermes

não deve alterar substancialmente esse padrão.

Por esse motivo~ proporemos denominar a função R* (t J de f.!:!-!!_

ção discriminadora da transmissão. Conquanto não saibamos tam­

bém como se dá a evolução da variabilidade do nÚmero de ovos ob

servados ao longo do tempo~ admitiremos que esta evolução se dá

da seguinte forma:

onde R~ é o padrão inicial de transmissão e R; é o fator de dis

criminação do tipo de transmissão.

Quer nos parecer que no caso da variabilidade~ os erros de

contagem introduzidos pelo examinador~ não devam afetar substa!!:_

cialmente o seu verdadeiro valor~ ou seja~ admitiremos que

R(t) = R*(t).

57

5.10. O ModeZo FinaZ

Com as considerações feitas temos finalmente o ~odeloa ser

adotado, utilizando-se a estrutura descritora da evoluçã'J da pr'!!_

val~ncia, conforme o modeZo estoc5stico introduzido (10J.

Assim:

5.10.1. SoZução geral

+ N { w E ct> a J!' ( t J I 8 ( t) >o] + 8 ( 1-w J }

e

V[Y(tJ] = N B(l-B) + A(1-2B-A) E[I(tJ] + A2 V[I(tJ]

onde A = (~+w-1)

B = w E ct> a I! ( t J I 8 ( t J >o] + 8 ( 1 -w J

Esta soZução geraZ para o vaZar esperado e a variância do

número de indiv{duos juZgados positivos depende:

i) da especificação de uma forma para a função ct>a~(t) ls(t)>o]

ii) do conhecimento da distribuição da variáveZ aZeatória

[srtJ lsrtJ>o]

58

iii) do modeLo estocástico descritor da evoLução da prevaLência

no que diz respeito à sua média E[I(t)] e variância v[I(tJJ

em função do tempo.

No caso de adotarmos o modelo estocástico introduzido e~

(10) temos:

N =

V [I ( t)] = N2B2 2N-1 L(1 S NL)- e -1 ( ) 4 ~ (1-N) L

oe + oe S (1-N) o

8o (e (N+l)L -1) l + 2 (e L -1 J + -'---:-:--:::----­

N+1

5.10.2. SoLução geral para uma <Pa~(t) [S(tJ>o] especificada.

Adotando-se <P (j) = 1 - aa-j+1 temos a solução substituindo a

expressão da soLução geral:

- -rs (t) I s (t) >Ol+ll aEaL J J

que como vemos depende do cálculo da E -p ( t ) I s ( t ) > Q + 1 -r;, I ll

a L- -l

_I

_j

na

Neste caso temos duas alternativas~ ou especificamos uma

distribuição para a variável aLeatória S(t) [S(t)>O ~ ou busca-

mos uma soLução aproximada dependente dos momentos dessa distri

buição.

59

5.10.2.1. Solução para uma distribuição especificada do numero

de ovos.

Se a variável aleatória S(t)-1 ls(t)>O tem uma distribuição

especificada com função geratriz de probabiÍidades Gt(s)~ então

na solução geral devemos substituir:

Supondo que a variável aleatória S(t)-1 ls(t)>O seja bino-

mial negativa com parâmetros pt e rt e consequentemente com fu?!:_

ção geratriz de probabilidades 1- pt Jrt

G t ( s) = 1 e notando I_ -q ts :<in

da que - f L*(t)-1 Pt- R*(t) e

_ ([ L*(t)-1) 2 rt- R*(t)-f L*(t)+1 d e-J:;; .~ ·~ ,; sub s ti

tuir na expressão da solução geral

([ L*(t)-1} 2

f ~:~~~-1 l R*(t) - f L*(t)+1

5.10.2.2.

_ l (1 _f L*(t)-1) a R* (t)

Solução aproximada independente da distribuição do

mero de ovos.

Neste caso devemos substituir na solução geral

~

nu

60

= 1 - a.a-f R* (t) (ln ai + - 2

O ajuste do modelo poderd ser enfocado ·sob duas hip~t~ses:

a) conhecem-se (ou fixam-se) os parâmetros a, B, w, ~, aJ

c2 ; I ' v '

b) Os parâmetros acima mencionados precisam, além de f e de K,

ser estimados.

Os dados requeridos para o ajuste do modelo -sao:

1) As proporções observadas (prevalência) de infectados em n+1

t , i s to é, p (o) .J p ( t 1) .J p ( 7:; 2 ) .J ••• J ? ( t ) n n

2) As médias e variâncias observadas das distribuições condicio

nais, para os individuas julgados positivos, do número de o­

vos lidos nas lâminas, isto é, L*(O), L*(t1J, L*(t2J, ... , L*(t);

R*(O), R*(tl), R*(t2J, ... , R*(t ). n

3) O valor de a , isto é, da relação entre os nao infectados e o infectados no instante inicial.

Quando se dispuzer desses dados, o modelo poderd ser ajus­

tado tanto para a hipótese a quanto para a ~, via uma regre~ -sao.

A estimação dos parâmetros pelo método dos minimos quadra-

61

dos só poderá ser feita por um processo iterativo e consequent~

mente requererá, para uma convergência rápida, o estabelecimen­

to de boas condições iniciais que poderão, por exemplo~ ser ex­

tra{das dos modelos mais simplificados apresentados anteriormen

te.

Uma vez ajustado o modelo~ caso haja uma boa aderência~ ele

poderá ser utilizado no sentido preditivo. Para tanto será ne­

cessário explicitar as funções para L*(t) e R*(t) via um modelo

à parte de regressão. Se quisermos adotar as formas sugeridas

anteriormente para estas~ temos que incorporá-las novamente ao

modelo e estimar os dois novos parâmetros L~ e R~.

62

6. EXEMPLO DA INFLUENCIA DOS ERROS DE CLASSIFICAÇÃO NUM MODELO

ESTOCÀSTICO

6. 1. Valores Utilizados para os Parâmetros

Com o objetivo de ilustrar os resultados obtidos teorica­

mente, apresentamos a seguir um conjunto de tabelas que permite

evidenciar as perturbações introduzidas, pelo vários tipos de

erros, no valor da verdadeira prevalência na população. Para tan

to foi suposto que o fenômeno na natureza se comporte segundo o

modelo estocástico (10).

te forma:

Então a prevalência evolui da seguin-

P(t) = 1 +

Selecionamos os valores:

N = 1 000 K = o. o 1 c1 = 10

L* = 2. 5 L* = -0.4(0.4)0.4 o 1

a = 2(2)4 a = 0(0.05)).10 8

w = 0(0.05)0.05 f = 1

a o

=

1

c2 = o. o 1

R* - 3.5 R* -o 1

0(0.01)0.01 ç:

M (O) = 20

= -o. 1 (o. 1 J o. 1

= 0(0.15) o. 30

Os resultados apresentados nas tabelas corre spondem à

de que a variável aleatória S(t)-1 is(t)>O tenha uma

suposição

distribui

ção binomial negativa, bem como para o caso em que se utiliza a

63

aproximação sugerida independentemente da forma dessa distribui -çao.

A esaolha dos valores dos parâmetros da distribuição do nú

mero de ovos, isto é, de L~, L~, ~ e ~ foi induzida pelos da­

dos apresentados em (14).

A forma da distribuição aomo binomial negativa também ad-

vém de (14), uma vez que os resultados que obtivemos, pareaem

justificar tal esaolha.

De fato, aomo pode ser visto na tabela 9, aaeita-se a

aderênaia a um nlvel de signifiaânaia de 5%.

64

TABELA 9

Distribuição observada e teórica (sob a hipótese de ser bino­

mial negativa) da vari~vel "n~mero de ovos menos 1" condiciona­

da à existência de ovos nas lâminas. Munic{pio de Touros (RN).

9~ avaliação do PECE.

Observada

N9 de ovos-1 Freq. Freq. Absoluta Relativa

o 119 52, 65

1 48 21,24

2 20 8, 8 5

3 13 5,? 5

4 ? 3, 1 o

5 9 3,98

6 3 1,33

? 4 1, ? ?

8 1 o, 44

9 2 o, 8 8

FONTE: (14)

Média de S(t)-1\s(t)>O = 1,20

Variância de S(t)-1 \s(t)>O = 3,46

x2 (obs) = 5,49 ,.

%

Teórica

Freq. Freq. Absoluta Relativa %

114,89 50,84

4?, 94 21,21

2 5, 6? 11, 3 5

14,? 4 6,52

8,?6 3,88

5, 31 2,35

3, 2 6 1, 4 4

2, o 2 o, 8 9

1,26 o, 56

o,? 9 o, 3 5

65

Com a escolha feita, estamos permitindo a análise de três

situações distintas que chamaremos de minima, média e máxima as

sim caracterizadas:

Carga parasitária

média inicial (ovos/lâmina)

Minima 2, 5

Média 2, 5

Máxima 2, 5

Carga parasitária média final

(ovos/lâmina)

1, 5

2, 5

3, 5

Variâncio ~'" carga

parasitária inicial

3, 5

3, 5

3, 5

Variância carga

parasitária final

3,15

3, 5

3,85

Conquanto estas situações pareçam abrigar grande parte das

situações reais, em especial após um tratamento, o programa de

computador escrito, possibilita a fixação de quaisquer valores

desejados para os parâmetros. O estabelecimento do fator de a--juste f do examinador como sendo 1, nao traz perda de genera-

lidade no tratamento do problema, uma vez que se quiséssemos fi

xá-lo em outro valor, isto apenas implicaria em mudar os valo

res estabelecidos para L* e L! . o

A escolha dos valores de a pretende incluir três situa--çoes notadamente distintas; a do examinador perfeito (a=O), a

do examinador razoável (a=0,05) e a do muito falho (a=0,10).

A velocidade de decréscimo nos erros de leitura para falsos

negativos, regulada pelo parâmetro a, situou-se em dois niveis:

baixa (a=2) e média (a=4) conforme podemos verificar na tabela

1 o.

66

TABELA 1 O

Probabilidade de ocorrência de leitura falsa negai:iva N(J de ovos presentes a=2 a=4 na Lâmina

a=O a=0,05 a=0 3 10 a= O a=0 3 05 a=0,10

1 o 0,05000 0310000 o o, 05000 0310000

2 o 0302500 0305000 o 03012500 0302500

3 o 0301250 03 02500 o 03003125 0300625

4 o o, 00625 0301250 o 0,00078 0300156

5 o 03003125 o, 00625 o 0,00019 o, 00039

6 o 03 00156 0,00313 o 0,00005 0,00010

Os falsos positivos foram considerados em dois niveis: exa

minador perfeito (8=0) e examinador falho (8=0,01).

A não eliminação continua de ovos ou a falta de homogenei­

zação adequada, foi estabelecida em três niveis: não existente

(~=0), moderada (~=0,15), alta (~=0,30) e a eliminação de ovos

não viáveis em dois niveis: não existente (w=O) e moderada

(w=0,05).

67

O vaLor do produto NKC 1 C2 foi fixado de taL forma que ti­

vessemos em oito unidades de tempo, a infecção de aproximadame~

te 98% da popuLação.

6.2. Interpretação da InfLuência dos Erros

A fim de podermos visuaLizar meLhor a infLuência dos erros

de classificação, selecionamos algumas situações que possibili­

tam uma análise suscinta dos resultados. Para tanto, seleciona

mos três n~veis de prevalência na população (3,25% -baixa;

19,91%- média; 64,75% -alta). A nomenclatura adotada para es

sas prevalências leva em consideração situações que possam exis

tir na população total e não apenas na dos suscet~veis.

As tabelas 11, 12, 13 cruzam os valores desses três niveis

de prevalência com os casos nelas especificados, abrangendo a

carga parasitária (m~nima, média e máxima), o valor de "a", o

resultado exato e o aproximado. Na tabela 11 temos a presença

dos quatro tipos de erro. Na tabela 12 existe apenas falsos ne

gativos por erro de leitura e na tabela 13 os dois tipos de er­

ro de leitura.

68

Vel'dadeira PNnx:Zin- a--o

aia

3,25 8,04 (bai:ca)

1~91 (midia) u. 78

84.75 47,62 (aZta)

Verdadeira PrBUaZin a= O

aia

3,25 3,25 (bai:J:a)

19,91 19,91 (média)

84,75 64,75 (aLta)

V erdadsira PNnx:Z~ Q.:O

aia

3,25 4,22 (bai:J:a)

19,91 (média) 20,71

84,.75 65,11 (aZta)

TABELA 11

a = 0,10 8 = o. 01 I'; = 0,30 w = o. 05

L*=1,5 (MÚ~ima)

a=2 a=4

Emto Apro:z:. E:::ato Aproz.

7,58 7, 45 7, 81 7,40

17,22 16,85 17,28 15,52

43,47 41,81 43,59 38,27

a= 0,10 s = o

L*=l, 5 (M{nima)

a=2 a=4

Exato J Apro3'. Exato j Aprox.

3, 03 2,98 3, 06 2, 96

18,20 17,57 18,27 16,31

59,05 56,77 59,22 51,90

L*=2,5

a=2

Exato Apro:z:.

7,84' 7, 58

17.75 17,60

44,97 44,55

TABELA 12

t =·o

L*=2,5

a=2

Exato Aprox.

3,0? 3, 04

18,79 18,62

61' 11 60,54

TABELA 13

a= 0,1:0 s = o. 01 I'; = o

L*=1,5 (Minima) L*=2,5

.-=2 a:;=4 a=2

E:t:ato Aprox. Exato Aprox. Exato Aprox.

1, 00 3,95 4, 03 3,93 4,04 ~. :z

19,00 18,37 19,07 17,11 19,59 19,42

59,40 57' 12 59,57 52,25 61,46 60,89

(Médi/l) L*:::3,5 (Má.rilrr:zJ

a=4 a=2 I a=4

Exato Aproz. Exato .Aprox. E:z:ato Aproz.

7, ?2 7, 68 ? • 72 ? • 69 7,80 7, 81

17.94 17. 78 18.14 18.12 18.37 18.49

45,46 45,05 46,05 46,00 46,631 46,92 í

w =o

(Média) L*=3, 5 (Máxima)

à=4 a=2 a=4

Exato Aprox. Exato I Aprox. Exato I AP1'or.

3,11 3,08 3,11 3,09 3,141 3,15

19,00 18,83 19,22 19,20 19,47119,59

61,78 61,22 62,60 62,53 63,40163,79

w =o

(Média) L*=3,5 (Má.rima)

a=4 a:::2 a=4

Exato Aprox. Exato Aprox. Exato Aprox.

4,J7 .;,04 4,07 4,06 {,12 ~,:2

19,80 19,63 20,02 20,00 20,27 20,39

62,14 61,57 62,95 62,89 63,75 64,14

69

6. 2. 1. Em relação à aproximação sugerida

O desempenho da aproximação sugerida envolvendo os dois pri_

meiros momentos da distribuição do número de ovos~ em relação à solução exata por uma binomial negativa~ pode ser qualificado de

acordo com os valores de "a" e da carga parasit~ria m~dia.

Assim a tabela 11 mostra que à exceção do caso a=4 e carga

parasit~ria final baixa (1~5 ovos/lâmina)~ a aproximação pode

ser considerada boa.

Conclui-se que a aproximação será tanto melhor quanto me­

nor o valor de "a" e maior a carga parasit~ria m~dia.

O fato da aproximação não ser boa em todos os n{veis~ pode

ser explicado pela necessidade de que sejam introduzidos momen­

tos de ordem superior à variância~ na medida em que "a" cresce.

Podemos ver~ por exemplo~ isto nitidamente aparecendo no

caso das tabelas 11~ 12~ 13 para L*=1~5 e a=4 e a=2. Neste caso

o valor aproximado para a=4 ~ menor do que para a=2 quando deve

ria ser maior por ter havido uma melhoria na qualidade do exami_

nadar. Quando examinamos os valores exatos correspondentes re­

almente tal fato ocorre. Isso mostra que para essa carga para­

sitária média precisar{amos incorporar momentos de ordem supe­

rior. No entanto~ podemos concluir que o conhecimento da evolu

ção da média e da variância da distribuição condicional do núm~

ro de ovos nas lâminas com ovos~ ~ suficiente para que possamos

prescindir da especificação da forma da distribuição~ pelo me­

nos se esta for uma binomial negativa.

70

6. 2. 2. Em relação aos erros do examinador

A influência de a e 8 pode ser evidenciada nas tabelas 11~

12 e 13. Na tabela 11 verifica-se que contrastando o caso do

examinador perfeito com o muito falho~ a influência da existên­

cia de erros biológicos é tão acentuada~que para uma carga par~

sitária não m{nima~ o ganho pela melhoria da qualidade do examf

nadar é muito pequeno. Suprimidos os erros biolÓgicos~ tabela

13~ a melhoria da qualidade do examinador só se justificaria no

caso de baixas cargas parasitárias~ pois caso contrário~ o erro

do examinador conduz a valores mais próximos da verdadeira pre-

valência~ na medida em que a carga parasitária média aumenta. Esses

fatos mostram que não se justifica~ na presença de erros bioló­

gicos~ um esforço no sentido de melhorar a qualidade do examin~

dor a fim de baixar as probabilidades dos erros de leitura.

6. 2. 3. Em relação aos fatores biolÓgicos

A influencia isolada dos erros biolÓgicos é marcante~ como

pode ser constatado pela tabela 14. Como não existem erros de

leitura~ o n{vel da carga parasitária passa a não influenciar e

as atuações dos erros dependem do n{vel da prevalência.

71

TABELA 14

Influência dos erros biológicos

a=O a=O a=O a= O a=O

Verdadeira 8=0 8=0 8=0 8=0 8=0

Prevalência t;=-0 l;=O, 1 5 !;=0,30 l;=O, 15 !;=0,30

w=0,05 w=0,05 w=0,05 w=O w=O

3, 25 8,09 ? , 60 ? , 12 2,?? 2,28 (baixa)

19, 91 23,92 20,23 1?, 94 16,92 13 .J 94 (média)

64 .J? 5 66 .J 51 56,80 4? .J 09 55,04 45,33 (alta)

Como já foi salientado,

trar os resultados obtidos.

este é um exemplo que procura ilu~

Infelizmente não se dispÕem ainda

de pesquisas aplicadas, que permitam a fixação de valores reais

para os parâmetros envolvidos. Cremos, no entanto, que conqua~

1o esse trabalho tenha um cunho eminentemente teórico, os seus

~esultados poderão vir a ser aplicados, trazendo um melhor co-

nhecimento sobre o problema da avaliação da prevalência da es­

quistossomose.

?2

PARA14ETROSl

:U:4ERO TOTAL o c INDIVIOUOS N .. tooo.ooo

.u,..ERO ltHCIAL DE lrli'"ECTADOS MO: 20.00000

CO•JS'l'A.~TE: !::PlnE'4IOLOGICA K = 0.1000000E:•01

!lE;JSIOAOE DE CARA>4UJOS C1= 10.00000

rR,JP·Jk:AO OE C f. RA '4UJ:::JS PlfECTAOOS C2: 0.1000000E•Ot

:;RAVlDAOC INICIAl.. ( JVOSI!,A:H:;A) LO: 2.500000

\'AHIANClA DA GRAVIDADE raciAL RO: 3.500000

fATOH DE AJUSTE DO r:XAMHIADOR F = 1.000000

73

1ALOR EXATO HINO~lAL NEGATIVA

fATOR DE AGRAVAMENTO DA lNFECCAO FATOR DE ALTe~ACAO DA VARIANCIA VELOCI'iJAcH: DC:SC~.::;c.FAJ.,S<I 'lt:(;AT!VO f'RuBA8 0 0E: FALSO Nt:GATIVO P/ 1 OVO

L•1• •0.4000000 k•l= •U.1D~0000E+00

ABAIXO r

nErAa o.ooooooOE+OO

TeMPO

a.oo • Jo50 • t.oo • t.so • 2.00 • 2.50 • 3.00 • 3.50 • 4.00 • 4.50 • s.oo -~.50 -,;.oo • e,.SO • 7.00 • ?.50 • ~S.VO •

TeMPO

o.oo • u.so • ,.oo • t.50 • 2.00 • 2.50 • 3.00 • 3.50 • 4.00 • 4.50 • s.oo -5.50 -6.00 -,;.5o • 7.00 -7.50 -~.oo •

PREVAL

o.o2oooooo o. 0325-;208 o.OS.l55'HO o.uB3799S7 o.t31ol70i> 0.19911732 0.2107! 13:< o.~OJ279t7 o.5:l7Jt85S v.óH52545 o.7Sl7>l"S9 o •. ~331~95! o.~':llb95ob o.n1Botó o.95722ti89 0.973,1396 o. 133ôJ·Jló

PREVAL

o.o2oooooo o.OJ255208 0.05255940 0.08379357 o.t31 H7o& 0.19911732 o.2J07 Hl2 o.4a32H17 0.52701858 O.bH52S45 o.75tHJ59 o.H31SB51 o.a9t&956& o.9313dbl6 0.95722689 o. "73o 1 39ó 0.9838.!61&

A " 2.oooouo ALF~• o.OOOOOOOE+OO

OltE':;AI 0.0000000E+00

KSI: .oo

o. ()20000.)0 Q. j 3 2 55 2 ') 8 0.)5255940 1). )837'1~57

·;.131 037 )ó

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O.óH525 <S ·). 7517f•'l59 ·1. " 3 3 I ~'i S I 9.891t>95oo Jo 1J!3iH>1~

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H[TA PRJRAblLIDAUE DE F~LSO POSltlVO UMEGA PROb•b• tLl~lNACAO OVOS ~Au UlAVEIS KSl I PRw~Ab. NAÜ ELIMlN"CAO DE UVOS

KSI• 0 00

O.Ob900000 0.0ijO'l244~

o.o999Jt4J u.t29óOHn4 v.l744!l521 0.2J91b!45 o.3261'l7~>1

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0.10112705 o.125oo847 u.1o3l~135

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u.elobo227 o.ailsb':ll9t

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O.b75~7btl0 o.6wbu20óO o.&<l2'>':1343

74

'llLOf< EUTO BINO~IAL NtGUlVA

fArOR DE AGRAVAMENTJ DA INFECCAO fATOR UE ALTERACAO DA VARlANCIA VELOCIDADE OESC~~SC.fALSO NEGATIVO P~~BAb.DE fALSO NEGATIVO Pl 1 OVO

L*1• •0.4000000 R•l= -o.t000000E+00

A a 2.000000 ALFA= o.soooooot-ot

ABAIXO I flf:TA •J> EG4 KSI

PPOb~fllLIDADE DE ftLSO PJSITlVO PI'Ot;Ail. ELlMINACAO lHOS •·A'' V lAVEIS PRO!IA13. ~AU ;;LIMIN•CAO DE JYOS

~ErAs o.ooooooot+OO

'l'ENPO

o.oo • o.so • t.OO • t.so • 2.00 • 2.50 • lo fiO • 1.so • 4.00 • ,.so • 5. •)O • s.so • 6.00 • o.so • 7.00 • 7.50 • ci.Jú •

PREVAL

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PREVAL

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81

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