ine5403 - fundamentos de matemática discreta para a computação

5) Relações5) Relações

5.1) Relações e Dígrafos5.1) Relações e Dígrafos

5.2) Propriedades de Relações5.2) Propriedades de Relações

5.3) Relações de Equivalência5.3) Relações de Equivalência

5.4) Manipulação de Relações 5.4) Manipulação de Relações

5.5) Fecho de Relações5.5) Fecho de Relações

INE5403 - Fundamentos de Matemática INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a ComputaçãoDiscreta para a Computação

Propriedades de relaçõesPropriedades de relações

• Em muitas aplicações da computação aparecem relações Em muitas aplicações da computação aparecem relações sobre um conjunto A em vez de relações de A em B.sobre um conjunto A em vez de relações de A em B.

DefiniçãoDefinição: (Reflexividade): (Reflexividade)

– Uma relação R sobre um conjunto A é dita Uma relação R sobre um conjunto A é dita reflexivareflexiva se se (a,a)(a,a)R para todo aR para todo aA, ou seja, se aRa para todo aA, ou seja, se aRa para todo aA.A.

– Uma relação R sobre A é dita Uma relação R sobre A é dita irreflexivairreflexiva se (a,a) se (a,a)R R para todo apara todo aA.A.

• Ou seja: R é Ou seja: R é reflexiva reflexiva se todo elemento ase todo elemento aA está A está relacionado consigo mesmo e é relacionado consigo mesmo e é irreflexiva irreflexiva se nenhum se nenhum elemento está relacionado consigo mesmo.elemento está relacionado consigo mesmo.

Propriedades de relações Propriedades de relações (reflexividade)(reflexividade)

ExemplosExemplos: :

a) a) = { (a,a) | a = { (a,a) | a A}: a relação de igualdade no conjunto A. A}: a relação de igualdade no conjunto A.Por definição, (a,a)Por definição, (a,a), , aaA.A.

b) R = { (a,b) b) R = { (a,b) A AA | aA | ab} b} Irreflexiva pois (a,a)Irreflexiva pois (a,a)R, R, aaA.A.

c) Seja A = {1,2,3} e R={(1,1),(1,2)}. Então:c) Seja A = {1,2,3} e R={(1,1),(1,2)}. Então:R não é reflexiva pois (2,2)R não é reflexiva pois (2,2)RRR não é irreflexiva pois (1,1)R não é irreflexiva pois (1,1)RR

Propriedades de relações Propriedades de relações (reflexividade)(reflexividade)

ExemploExemplo: Quais das relações a seguir são reflexivas?: Quais das relações a seguir são reflexivas?

RR11 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b } b }RR22 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b } b }RR33 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b ou a b ou a -b } -b }RR44 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b } b }RR55 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b+1 } b+1 }RR66 = { (a,b) | a+b = { (a,b) | a+b 3 } 3 }

RespostaResposta: :

• RR11: pois a : pois a a para todo inteiro a a para todo inteiro a

• RR33 e R e R44

• Para cada um dos outros casos, pode-se encontrar um Para cada um dos outros casos, pode-se encontrar um par da forma (a,a) que não está na relação.par da forma (a,a) que não está na relação.

Propriedades de relações Propriedades de relações (reflexividade)(reflexividade)Caracterização de reflexividade e irreflexividade em Caracterização de reflexividade e irreflexividade em

termos de matrizes e dígrafos:termos de matrizes e dígrafos:

1. Matrizes:1. Matrizes:

– relação R reflexiva relação R reflexiva a matriz M a matriz MRR possui todos os possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1elementos da diagonal principal iguais a 1

– relação R irreflexiva relação R irreflexiva a matriz M a matriz MRR possui todos os possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 0elementos da diagonal principal iguais a 0

2. Dígrafos:2. Dígrafos:

– relação R reflexiva relação R reflexiva para todos os vértices do dígrafo para todos os vértices do dígrafo existem arestas que ligam o vértice a ele mesmo.existem arestas que ligam o vértice a ele mesmo.

– relação R irreflexiva relação R irreflexiva para todos os vértices do dígrafo não para todos os vértices do dígrafo não existem arestas que ligam o vértice a ele mesmo.existem arestas que ligam o vértice a ele mesmo.

• Observe também que se R sobre A é reflexiva, então:Observe também que se R sobre A é reflexiva, então:Dom(R) = Ran(R) = ADom(R) = Ran(R) = A

Propriedades de relações - simetriaPropriedades de relações - simetria

DefiniçãoDefinição (Simetria) (Simetria): Uma relação R sobre um conjunto A é dita : Uma relação R sobre um conjunto A é dita simétricasimétrica se se sempresempre que (a,b) que (a,b)R, então também (b,a)R, então também (b,a)R.R.

- segue que R sobre A é uma relação - segue que R sobre A é uma relação não-simétricanão-simétrica se para algum se para algum a,b a,bA for verificado que (a,b)A for verificado que (a,b)R e (b,a)R e (b,a)R.R.

DefiniçãoDefinição (Assimetria) (Assimetria): Uma relação R sobre um conjunto A é : Uma relação R sobre um conjunto A é dita dita assimétricaassimétrica se se sempresempre que (a,b) que (a,b)R, então (b,a)R, então (b,a)R.R.

- uma relação R sobre A é - uma relação R sobre A é não-assimétricanão-assimétrica se para se para algumalgum a,b a,bA for verificado que (a,b)A for verificado que (a,b)R e (b,a)R e (b,a)R.R.

DefiniçãoDefinição (Antissimetria) (Antissimetria): Uma relação R sobre um conjunto A é : Uma relação R sobre um conjunto A é dita dita antissimétricaantissimétrica se se sempresempre que (a,b) que (a,b)R e (b,a)R e (b,a)R, então a=b.R, então a=b.

- equivalentemente, se a - equivalentemente, se a b, então (a,b) b, então (a,b)R ou (b,a)R ou (b,a)RR

- uma relação R sobre A é - uma relação R sobre A é não-antissimétricanão-antissimétrica se existir a,b se existir a,bA comA com a ab e tanto (a,b)b e tanto (a,b)R como (b,a)R como (b,a)R.R.

Propriedades de relaçõesPropriedades de relações

• LembreteLembrete: escrever (a,b) : escrever (a,b) R é equivalente a escrever aRb, que R é equivalente a escrever aRb, que significa dizer que a está relacionado com b por R.significa dizer que a está relacionado com b por R.

• ObservaçãoObservação: para verificar se estas propriedades são : para verificar se estas propriedades são válidas válidas ou nãoou não para uma certa relação R, deve-se notar que: para uma certa relação R, deve-se notar que:

1. Uma propriedade 1. Uma propriedade não é válidanão é válida em geral se puder ser em geral se puder ser encontrada uma situação onde ela não pode ser verificada. encontrada uma situação onde ela não pode ser verificada.

2. Se não houver situação em que a propriedade 2. Se não houver situação em que a propriedade falhafalha, deve-, deve- se concluir que á propriedade é sempre válida. se concluir que á propriedade é sempre válida.

Propriedades de relações - exemplosPropriedades de relações - exemplos

Exemplo 1Exemplo 1: Seja A=Z (o conjunto dos inteiros) e seja R a : Seja A=Z (o conjunto dos inteiros) e seja R a relação R={(a,b)relação R={(a,b)AAA | a A | a b}. Determine se R é b}. Determine se R é simétrica, assimétrica ou antissimétrica.simétrica, assimétrica ou antissimétrica.

SoluçãoSolução::

• simetriasimetria: se a: se ab, então não é sempre verdade que bb, então não é sempre verdade que ba a (exemplo: 2 (exemplo: 2 1 mas 1 < 2) 1 mas 1 < 2) R é não-simétrica. R é não-simétrica.

• assimetriaassimetria: R é não-assimétrica pois se a=2 e b=2 : R é não-assimétrica pois se a=2 e b=2 temos aRb e bRa.temos aRb e bRa.

• antissimetriaantissimetria: R é antissimétrica pois a: R é antissimétrica pois ab e bb e ba a a=b. a=b.


Exemplo 2Exemplo 2: Seja A={1,2,3,4} e seja a relação:: Seja A={1,2,3,4} e seja a relação: R={(1,2),(2,2),(3,4),(4,1)} R={(1,2),(2,2),(3,4),(4,1)}Determine se R é simétrica, assimétrica ou antissimétrica.Determine se R é simétrica, assimétrica ou antissimétrica.

/

• assimetriaassimetria: R é não-assimétrica pois (2,2) : R é não-assimétrica pois (2,2) RR

• antissimetriaantissimetria: R é antissimétrica pois se a: R é antissimétrica pois se ab, então ou b, então ou (a,b)(a,b)R ou (b,a)R ou (b,a)R.R.


• simetriasimetria: R é não-simétrica, pois, por exemplo, 1R2 e 2R1: R é não-simétrica, pois, por exemplo, 1R2 e 2R1


Exemplo 3Exemplo 3: Seja A= Z: Seja A= Z++ (inteiros positivos) e seja (inteiros positivos) e seja R = { (a,b) R = { (a,b)AAA | a|b} (a divide b).A | a|b} (a divide b).

Determine se R é simétrica, assimétrica ou antissimétrica.Determine se R é simétrica, assimétrica ou antissimétrica.


• simetriasimetria: a|b não implica que b|a, então R é não-simétrica.: a|b não implica que b|a, então R é não-simétrica.

• assimetriaassimetria: se a=b=5, por exemplo, então aRb e bRa. : se a=b=5, por exemplo, então aRb e bRa. Assim, R é não-assimétrica.Assim, R é não-assimétrica.

• antissimetriaantissimetria: se a|b e b|a, então a=b, de modo que R : se a|b e b|a, então a=b, de modo que R é antissimétrica.é antissimétrica.


Exemplo 4Exemplo 4: Quais das relações a seguir são simétricas e : Quais das relações a seguir são simétricas e quais são antissimétricas?quais são antissimétricas?

RR11 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b } b }RR22 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b } b }RR33 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b ou a b ou a -b } -b }RR44 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b } b }RR55 = { (a,b) | a = { (a,b) | a b+1 } b+1 }RR66 = { (a,b) | a+b = { (a,b) | a+b 3 } 3 }

• RR33 é simétrica: se a=b ou a=-b, então b=a ou b=-a. é simétrica: se a=b ou a=-b, então b=a ou b=-a. • RR44 é simétrica: a=b é simétrica: a=b b=a. b=a.• RR66 é simétrica: a+b é simétrica: a+b3 3 b+a b+a3.3.• RR11 é antissimétrica: a é antissimétrica: a b e b b e b a a b=a. b=a.• RR22 é antissimétrica: é impossível a>b e b>a. é antissimétrica: é impossível a>b e b>a.• RR44 é antissimétrica pela definição. é antissimétrica pela definição.• RR55 é antissimétrica: é impossível acontecer a=b+1 e b=a+1. é antissimétrica: é impossível acontecer a=b+1 e b=a+1.

Caracterização de simetria, assimetria e Caracterização de simetria, assimetria e antissimetria através da matriz de relaçãoantissimetria através da matriz de relação

• SimetriaSimetria: A matriz M: A matriz MRR=[m=[mijij] de uma relação simétrica satisfaz à ] de uma relação simétrica satisfaz à propriedade:propriedade:

mmijij=1 =1 m mjiji=1 =1 mmijij=0 =0 m mjiji=0=0

Portanto, neste caso tem-se que mPortanto, neste caso tem-se que m ijij=m=mjiji, o que significa que R é , o que significa que R é simétrica se e somente se Msimétrica se e somente se MRR=(M=(MRR))tt..

• AssimetriaAssimetria: A matriz M: A matriz MRR=[m=[mijij] de uma relação assimétrica satisfaz:] de uma relação assimétrica satisfaz:

mmijij=1 =1 m mjiji=0=0

Logo, se R é assimétrica, segue que mLogo, se R é assimétrica, segue que miiii=0 para todo i.=0 para todo i.

• AntissimetriaAntissimetria: A matriz M: A matriz MRR=[m=[mijij] de uma relação ] de uma relação antissimétrica satisfaz:antissimétrica satisfaz:

se ise ij então mj então mijij=0 ou m=0 ou mjiji=0=0

Propriedades de relações com matrizesPropriedades de relações com matrizes

• Exemplo1Exemplo1: :

111

100

101

M 1R

1100

1101

0011

0110

M 2R

000

010

111

M 3R

0001

1000

0100

1100

M 4R

1000

0100

1110

1001

M 5R

1000

0100

1100

1010

M 6R

Propriedades de relações com matrizesPropriedades de relações com matrizes

• Exemplo1 (cont.)Exemplo1 (cont.): :

• R1 e R2 são simétricas, pois MR1 e R2 são simétricas, pois MR1R1 e M e MR2R2 são matrizes simétricas. são matrizes simétricas.

• R3 é antissimétrica, pois não existe nenhuma simetria R3 é antissimétrica, pois não existe nenhuma simetria fora da diagonal.fora da diagonal.

• R3 não é assimétrica, pois contém 1’s na diagonal principal.R3 não é assimétrica, pois contém 1’s na diagonal principal.

• R4 não é simétrica, nem assimétrica e nem antissimétrica pois:R4 não é simétrica, nem assimétrica e nem antissimétrica pois:1. M1. MR4R4 não é simétrica; não é simétrica;2. A presença do nro. 1 no elemento m2. A presença do nro. 1 no elemento m4141 viola tanto a viola tanto a propriedade de assimetria quanto a de antissimetria. propriedade de assimetria quanto a de antissimetria.

• R5 é antissimétrica mas não assimétrica.R5 é antissimétrica mas não assimétrica.

• R6 é antissimétrica e não assimétrica.R6 é antissimétrica e não assimétrica.

Propriedades de relações - Propriedades de relações - transitividadetransitividade

• DefiniçãoDefinição: Uma relação R sobre um conjunto A é dita : Uma relação R sobre um conjunto A é dita transitiva transitiva se, sempre que a R b e b R c, então a R c.se, sempre que a R b e b R c, então a R c.

/• Por outro lado, R sobre A é uma relação Por outro lado, R sobre A é uma relação não-transitivanão-transitiva

se existir a, b e c em A tais que a R b e b R c, mas a R c.se existir a, b e c em A tais que a R b e b R c, mas a R c. se tais a, b e c não existirem, então R é se tais a, b e c não existirem, então R é transitivatransitiva..

Propriedades de relações - Propriedades de relações - transitividadetransitividade

• Exemplo2Exemplo2: A relação R={(1,2),(1,3),(4,2)} sobre : A relação R={(1,2),(1,3),(4,2)} sobre A={1,2,3,4} é transitiva?A={1,2,3,4} é transitiva?

• SoluçãoSolução: como não é possível encontrar elementos a, b e : como não é possível encontrar elementos a, b e c tais que (a,b)c tais que (a,b)R, (b,c)R, (b,c)R, mas (a,c)R, mas (a,c)R, R, R é transitivaR é transitiva..

• Exemplo1Exemplo1: Seja A=Z: Seja A=Z++ e R={ (a,b) e R={ (a,b) A AA | a|b } (“a A | a|b } (“a divide b”). A relação R é transitiva?divide b”). A relação R é transitiva?

SoluçãoSolução: suponha que a R b e que b R c, de modo que a|b e b|c. : suponha que a R b e que b R c, de modo que a|b e b|c. Então a|c, o que significa que a R c. Logo, R é transitiva. Então a|c, o que significa que a R c. Logo, R é transitiva.

Caracterização de relações transitivas por Caracterização de relações transitivas por matrizesmatrizes

• Se MSe MRR=[m=[mijij] é a matriz de uma relação transitiva R, então ] é a matriz de uma relação transitiva R, então MMRR satisfaz à propriedade: satisfaz à propriedade:

se mse mijij=1 e m=1 e mjkjk=1, então m=1, então mikik=1=1

ou seja, a transitividade de R significa que se (Mou seja, a transitividade de R significa que se (MRRMMRR) tem ) tem um 1 em qualquer posição, então Mum 1 em qualquer posição, então MRR deve ter um 1 na deve ter um 1 na mesma posição (o converso pode ser falso), ou seja:mesma posição (o converso pode ser falso), ou seja:

MMRRMMRR M MR R

Caracterização de relações transitivas por Caracterização de relações transitivas por matrizesmatrizes

• ExemploExemplo: Mostre que a relação R sobre A={1,2,3} : Mostre que a relação R sobre A={1,2,3} dada abaixo é transitiva:dada abaixo é transitiva:

• SoluçãoSolução: Por cálculo direto, M: Por cálculo direto, MRRMMRR=M=MRR, de modo que R é transitiva., de modo que R é transitiva.

100

100

111

MR

Propriedades de relações - ExercíciosPropriedades de relações - Exercícios

• Exercício1Exercício1: Determine se as relações abaixo são reflexivas, : Determine se as relações abaixo são reflexivas, irreflexivas, simétricas, assimétricas, antissimétricas ou transitivas:irreflexivas, simétricas, assimétricas, antissimétricas ou transitivas:

a) R={(1,3),(1,1),(3,1),(1,2),(3,3),(4,4)}a) R={(1,3),(1,1),(3,1),(1,2),(3,3),(4,4)}

b) R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}b) R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}

• RespostasRespostas: :

a) N, N, N, N, N, Na) N, N, N, N, N, N

b) S, N, S, N, N, Sb) S, N, S, N, N, S

Propriedades de relações - ExercíciosPropriedades de relações - Exercícios

• Exercício2Exercício2: Seja A={1,2,3,4,5}. Determine se as relações : Seja A={1,2,3,4,5}. Determine se as relações definidas pelos dígrafos abaixo são reflexivas, irreflexivas, definidas pelos dígrafos abaixo são reflexivas, irreflexivas, simétricas, assimétricas, antissimétricas ou transitivas.simétricas, assimétricas, antissimétricas ou transitivas.

3

21

4

55

21

3

4

Resp. (a): N, N, N, N, S, S

Resp. (b): ?

ine5403 - fundamentos de matemática discreta para a computação

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