indeterminacoes matemáticas - renji - uff

Indeterminacoes

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

Sumario

1 Indeterminacoes 3

1.10

0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Indeterminacoes importantes do tipo0

0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 O limite fundamental limx→0

sen(x)

x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4∞∞

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Indeterminacoes importantes do tipo 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7.1 limx→0

(1 + x)1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Formas determinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8.1 0∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2

Capıtulo 1

Indeterminacoes

Esse texto ainda nao se encontra na sua versao final, sendo, por enquanto, con-

stituıdo apenas de anotacoes informais. Sugestoes para melhoria do texto, correcoes

da parte matematica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email

[email protected].

Definicao 1 (Indeterminacao). Uma expressao f e indeterminada quando, em geral, nao

podemos dizer qual sera o seu valor ( se assume valor), quando os termos de tal expressao

sao tomadas como limites de uma funcoes ou sequencias. Indeterminacoes nao estao

relacionadas diretamente com definicao aritmetica de operacoes entre numeros e sim com

limites de funcoes ou sequencias.

A definicao pode parecer meio confusa, mas esperamos que por meio de exemplos

possamos dar a ideia do que sejam indeterminacoes. Entao vejamos alguns exemplos

1.10

0.

Duas funcoes f e g podem tender a zero, porem seu limitef

gpode tender a um numero

qualquer, por isso dizemos que0

0e uma indeterminacao.

Exemplo 1 (Limites existindo). Sejam f, g dadas por f(x) = cx e g(x) = x, entao vale

limx→0

cx = limx→0

x = 0

3

CAPITULO 1. INDETERMINACOES 4

porem

limx→0

cx

x= c

sendo c arbitrario, os limites dessa forma nao sao sempre determinados, por isso0

0e uma

indeterminacao.

Exemplo 2 (Limite nao existindo). Tomamos f(x) = xsen(1

x) e g(x) = x vale

limx→0

xsen(1

x) = lim

x→0x = 0

o primeiro limite existe pois sen(1

x) e limitada e x → 0, logo por teorema do sanduıche o

resultado e nulo.

Porem o limite do quociente nao existe

limx→0

xsen( 1x)

x= lim

x→0sen(

1

x)

limx→0

sen(1

x) nao existe.

Usamos o criterio de sequencias para mostrar que esse limite nao existe . Tomamos as

sequencias xn =1

2nπe yn =

1

2nπ + π2

vale lim xn = 0 = lim yn e sen(1

xn

) = sen(2nπ) = 0

e sen(2nπ +π

2) = 1 logo os limites sao distintos entao lim

x→0sen(

1

x) nao existe.

Exemplo 3 (Limite infinitos). Tomando f(x) = cx2, c = 0 e g(x) = x tem-se

limx→0

cx = limx→0

x3 = 0

porem

limx→0

cx

x3= ±∞

sendo ∞ se c > 0 e −∞ se c < 0.

Observamos que indeterminacoes do tipo0

0podem resultar num limite igual a um

numero real qualquer, pode resultar num limite + infinito , −infinito ou num limite

inexistente (o resultado oscilar ) . Por isso daremos a seguinte definicao

Definicao 2 (Totalmente indeterminado). Uma indeterminacao e totalmente indetermi-

nada quando o resultado do limite pode ser


• Qualquer numero real c

• Um limite − infinito ou + infinito .

• Ou o limite nao existir .

Nesse caso diremos tambem que a indeterminacao e total ou completa.

1.2 Indeterminacoes importantes do tipo0

0

1.2.1 Derivada

Exemplo 4 (Derivada). Se0

0nao fosse uma indeterminacao (lembre que estamos falando

em limite e nao em operacao aritmetica, que nao e definida), fosse um limite fixo c, entao a

teoria de derivacao seria resumida, pois todo resultado de derivada e uma indeterminacao

do tipo0

0. Quando f e derivavel em a, entao f e contınua em a valendo

limx→a

f(x) = f(a), limx→a

f(x)− f(a) = 0

da mesma maneira

limx→a

x = a, limx→a

x− a = 0

daı

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a= c

seria sempre c.

1.2.2 O limite fundamental limx→0

sen(x)

x.

O limite fundamental limx→0

sen(x)

xe uma indeterminacao do tipo

0

0, vale

limx→0

sen(x)

x= 1.


1.3 ∞−∞

Exemplo 5 (Limites existindo). ∞−∞ tambem e uma indeterminacao, pois podemos

tomar f(x) = c+1

x2e g(x) =

1

x2vale que

limx→0

c+1

x2= lim

x→0

1

x2= ∞

porem no limite da diferenca

limx→0

c+1

x2− 1

x2= c

novamente o resultado pode ser um numero real arbitrario, entao ∞−∞ e uma expressao

indeterminada.

Exemplo 6 (Limites nao existindo). Tomamos f(x) = sen(1

x) +

1

x2e g(x) =

1

x2vale

limx→0

sen(1

x) +

1

x2=

1

x2= ∞

porem no limite da diferenca temos novamente

limx→0

sen(1

x)

nao existe .

Exemplo 7 (Limites infinitos). Vale que

limx→0

c

x2= lim

x→0

1

x2= ∞

porem no limite da diferenca

limx→0

c1

x2− 1

x2= lim

x→0c1

x2= ±∞

se c > 0 entao o limite e +∞ se c < 0 o limite e −∞.

1.4∞∞

Exemplo 8 (Limite existindo). Seja c > 0, entao

limx→0

1

x2= ∞ = lim

x→0

c

x2


porem o limite do quociente

limx→0

cx2

x2= c.

Propriedade 1. Se limx→a

f(x) = ∞ = limx→a

g(x), entao nao pode acontecer de

limx→a

f(x)

g(x)= c < 0

o limite nao pode ser negativo.

Demonstracao.

Pois existe ε tal que x ∈ (a− ε, a+ ε), vale f(x), g(x) > 0, nesse intervalo vale

f(x)

g(x)> 0

logo o limite nao pode ser negativo .

Corolario 1. A indeterminacao∞∞

nao e total.

Exemplo 9 (Limite infinito).

limx→0

1

x2= ∞ = lim

x→0

1

x4


limx→0

x4

x2= ∞.

O limite nao pode dar −∞ pela propriedade anterior.

Exemplo 10 (Limite nulo).

limx→0

1

x2= ∞ = lim

x→0

1

x4


limx→0

x4

x2= lim

x→0x2 = 0.

Exemplo 11 (Limite nao existindo).

limx→0

1

x2(2 + sen(

1

x)) = ∞ = lim

x→0

1

x2

porem

limx→0

x2

x2(2 + sen(

1

x)) = lim

x→0(2 + sen(

1

x))

nao existe.


Definicao 3 (Indeterminacao positiva). Percebemos com esses exemplos que os limites

do tipo∞∞

podem apenas ter tres possibilidades:

• O limite nao existe.

• O limite e + infinito.

• O limite e um numero real nao-negativo .

Uma indeterminacao que pode ser apenas desses tres tipo chamaremos de uma inde-

terminacao positiva .

1.5 0.∞

Exemplo 12 (Limite existindo).

limx→0

1

x2= ∞, lim

x→0c.x2 = 0

porem

limx→0

cx2

x2= c

o resultado podendo ser qualquer numero real c.

Exemplo 13 (Limite infinito).

limx→0

1

x4= ∞, lim

x→0c.x2 = 0

porem

limx→0

cx2

x4= ±∞

sendo infinito se c > 0 e sendo menos infinito se c < 0.

Exemplo 14 (Limite nao existindo).

limx→0

1

x2= ∞, lim

x→0x2sen(

1

x) = 0

porem o produto

limx→0

x2sen( 1x)

x2= lim

x→0sen(

1

x)

nao existe.


Corolario 2. 0.∞ e uma indeterminacao total .

1.6 1∞

Outra indeterminacao importante.

1.7 Indeterminacoes importantes do tipo 1∞

1.7.1 limx→0

(1 + x)1x

O limite limx→0

(1 + x)1x e uma indeterminacao do tipo 1∞, seu valor e

limx→0

(1 + x)1x = e.

1.8 Formas determinadas

Vejamos alguns exemplos de formas que poderiam a princıpio parecer formas indeter-

minadas, porem nao as sao.

1.8.1 0∞.

Propriedade 2. Se limx→a

f(x) = 0 e limx→a

g(x) = ∞ com f(x) ≥ 0 entao

limx→a

f(x)g(x) = 0.

Demonstracao. Existe δ > 0 tal que para x ∈ (a− δ, a+ δ) vale 0 < f(x) < ε < 1 e

g(x) > A > 1 daı

0 < f(x)g(x) < εg(x)

por sanduıche segue que limx→a

f(x)g(x) = 0.

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