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Impressão 3D de conectores baseados em modelos matemáticos para aplicação em mobiliário.

Raphael Afonso Guerra

Dissertação de Mestrado

Orientador: Fernando Jorge Lino Alves Coorientador: Leonardo Santana

Mestrado em Design Industrial e de Produto

Setembro de 2019

MESTRADO EM DESIGN INDUSTRIAL E DE PRODUTO

UNIVERSIDADE DO PORTO

O JÚRI

PRESIDENTE

Doutor Rui Mendonça PROFESSOR AUXILIAR DA FACULDADE DE BELAS ARTES DA UNIVERSIDADE DO PORTO

ORIENTADOR

Doutor Fernando Jorge Lino Alves

PROFESSOR ASSOCIADO DA FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

ARGUENTE

Doutor Filipe José Palhares Chaves

PROFESSOR ADJUNTO DO INSTITUTO POLITÉCNICO DO CÁVADO E DO AVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

18 14 OUTUBRO 2019

MESTRE Raphael Guerra

MDIP/69

Dedicado aos meus pais e minha irmã.

Resumo

A atual expansão e desenvolvimento da Manufatura Aditiva (MA) de baixo custo e código aberto, em especial dos sistemas de Impressão 3D baseados em extrusão, pertimiu que a tecnologia atingisse diferentes públicos, de ambientes domésticos aos mais diversos ramos industriais. Outra importante contribuição deste cenário foi para o âmbito do ensino. A Matemática, por exemplo, é uma área do conhecimento que está se beneficiando da Impressão 3D, principalmente pela capacidade destes sistemas em construírem formas complexas, que auxiliam no processo de motivação e redução da abstração da ciência para os estudantes. A liberdade geométrica oferecida pela fabricação aditiva atraiu fortemente a atenção da indústria, que dotada de equipamentos com alta capacidade de produção — e por consequência de elevado custo —, passou a construir objetos de grande porte, como mobiliários completos, inspirados em formas orgânicas e modelos matemáticos. Diferentemente das maquínas industriais, as impressoras 3D de baixo custo, tipo desktop, apresentam um volume de trabalho reduzido que limita as dimensões das peças produzidas. Diante do cenário exposto, observou-se a oportunidade de se desenvolver um estudo dedicado a unir o universo abstrato das formas matemáticas ao projeto de sistemas de conexão, capazes de serem impressos em equipamentos de baixo custo, para a construção de produtos mistos para o setor de mobiliários. Para tal, buscou-se elaborar uma metodologia de projeto simples e acessível a um grande público, cujos os pilares seriam a observação e imaginação. Tal metodologia auxilia os usuários na seleção de um modelo matemático e atribuição de uma função aos mesmos. Foram realizados três estudos de casos com geometrias diferentes. O primeiro estudo focou-se no desenvolvimento de uma estante, compostas por peças impressas e partes em madeira, no qual realizou-se testes de usabilidade. O modelo matemático utilizado neste projeto foi obtido e editado no software K3DSurf. O segundo estudo buscou corrigir os problemas encontrados anteriormente, permitindo o desenvolvimento de três mobiliários distintos, que eram formados tanto por elementos impressos e partes já existentes em madeira. Os modelos matemáticos utilizados foram obtidos na biblioteca do software K3DSurf, porém foram editados em um programa CAD devido à natureza das alterações, que não foram possíveis de serem realizadas no K3DSurf. O terceiro e último estudo de caso focou-se no desenvolvimento de mobiliários compostos apenas por peças impressas. Verificou-se através da impressão de modelos em escala reduzida que o conceito de encaixe era viável. Contudo ao dimensionar o projeto, para o tamanho real observou-se que a grande quantidade de peças tornaria o custo do projeto muito elevado. Portanto a a combinação de peças impressas com materiais e elementos já existente apresentou-se como a melhor opção para o desenvolvimento de estruturas de grande porte.

Palavras chave: Impressão 3D, extrusão de baixo custo, Matemática, conetores, mobiliário

3D printing of connectors based on mathematical models for

furniture application

Abstract

The current expansion and development of low cost, open source Additive Manufacturing (AM), especially extrusion-based 3D Printing systems, has enabled the technology to reach different audiences, from home environments to the most diverse industries. Another important contribution of this scenario was to the scope of education. Mathematics, for example, is an area of knowledge that is benefiting from 3D printing, mainly because of the ability of these systems to construct complex shapes that help motivate and reduce the abstraction of science for students. The geometric freedom offered by additive manufacturing strongly attracted the attention of the industry, which with its high production capacity - and consequently high cost - started to build large objects, such as complete furniture, inspired by organic shapes and mathematical models. Unlike industrial machines, low-cost desktop-type 3D printers have a reduced workload that limits the dimensions of the parts produced. Given the above scenario, it was observed the opportunity to develop a study dedicated to unite the abstract universe of mathematical forms with the design of connection systems, which can be printed on low cost equipment, for the construction of mixed products for the furniture industry. To this end, we sought to develop a simple design methodology and accessible to a large audience, whose pillars would be observation and imagination. Such methodology assists users in selecting a mathematical model and assigning a function to them. Three case studies with different geometries were performed. The first study focused on the development of a bookcase, composed of printed parts and wood parts, in which usability tests were performed. The mathematical model used in this project was obtained and edited in K3DSurf software. The second study sought to correct the problems previously encountered, allowing the development of three distinct furniture, which were made up of both printed elements and existing wood parts. The mathematical models used were obtained from the K3DSurf software library, but were edited in a CAD program due to the nature of the changes, which were not possible to be made in K3DSurf. The third and last case study focused on the development of furniture composed only of printed pieces. It was found by printing small-scale models that the concept of nesting was viable. However, when sizing the project, for the actual size it was observed that the large amount of parts would make the project cost very high. Therefore, the combination of printed parts with existing materials and elements was presented as the best option for the development of large structures.

Key words: 3D printing, low cost extrusion, math, connectors, furniture

Agradecimentos

Agradeço a todos que direta ou indiretamente contribuiram para o desenvolvimento do

presente trabalho.

Agradeço ao coorientador Leonardo Santana pela instrução nos meus primeiros passos

no campo da pesquisa científica, competência, disponibilidade, apoio em momentos difíceis e,

sobretudo, a sua paciência.

Ao companheiro de laboratório André Brandão agradeço a toda a ajuda com as

impressoras 3D, a disponibilização da Alpha 8 Printer, além do seu tempo, sem os quais não

seria possível imprimir tantos modelos complexos.

Aos demais companheiros de laboratório, agradeço ao Edwin por toda ajuda e apoio,

ao Marco pelos esclarecimentos com os softwares de referência, e ao Bruno agradeço as dicas

pontuais na utilização de programas 3D.

Ao orientador Jorge Lino agradeço a confiança e oportunidade de me permitir

frequentar e utilizar o LDPS, o que foi essencial a concretização do trabalho.

Agradeço ao meu contemporâneo Lucas Mattos por toda a ajuda, disponibilidade,

parceiria e por compartilhar o mesmo mau gosto por clipes bregas dos anos 80; ou seria bom

gosto?

Agradeço a Beatriz Vasques por sua disponibilidade em ajudar.

Por último, mas não menos importante, agradeço as minhas amigas Adriana Fernandes

e Rita Leite por todos os conselhos, assistência, ajuda e companheirismo.

Artigos gerados e participações em eventos

(1) GUERRA, R.; SANTANA, L.; LINO, J. Aplicação de modelos matemáticos no fabrico aditivo de componentes para mobiliário. TecnoMetal, Porto, v. 240, p. 14–22, 2019. Disponível em: http://www.metalportugal.pt/p452-revista-tecnometal-pt acesso em: 31 de agosto de 2019.

(2) Palestra “Aplicação de modelos matemáticos no fabrico aditivo de componentes para mobiliário”, proferida no Seminário de Fabrico Aditivo – Investigação em curso no INEGI e FEUP. Porto, 14 de maio, 2019.

(3) Artigo submetido ao 14º Congresso Ibero Americano de Engenharia Mecânica com o título de “Impressão 3D de conectores baseados em modelos matemáticos para aplicação em mobiliário”. O evento será realizado em Cartagena, Colômbia, de12 a 15 de Novembro de 2019.

Índice de Conteúdos

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 1

1.1 OBJETIVOS ................................................................................................................... 3

1.1.1 Objetivo geral ........................................................................................ 3 1.1.2 Objetivos específicos ............................................................................. 3

2 REVISÃO DA LITERATURA ....................................................................................... 5

2.1 A MATEMÁTICA COMO FERRAMENTA DE PROJETO ........................................... 5

2.2 O FABRICO ADITIVO E OS MODELOS MATEMÁTICOS ........................................ 8

2.2.1 Fabrico aditivo ...................................................................................... 8 2.2.2 Etapas do processo de Fabrico Aditivo (planejamento) .................... 11

2.3 MODELOS MATEMÁTICOS ...................................................................................... 14

2.4 A TECNOLOGIA DE MODELAGEM POR FUSÃO E DEPOSIÇÃO (FDM) ............. 23

2.4.1 Parâmetros .......................................................................................... 24 2.5 O FABRICO ADITIVO E PRODUÇÃO DE PEÇAS GRANDES................................. 28

3 ESTUDOS DE CASO .................................................................................................... 33

3.1 METODOLOGIA DE OBSERVAÇÃO E IMAGINAÇÃO .......................................... 33

3.2 MATERIAIS E EQUIPAMENTOS UTILIZADOS....................................................... 35

3.3 ESTUDO DE CASO 1 .................................................................................................. 36

3.3.1 Considerações finais: estudo de caso 1 ............................................... 45 3.4 ESTUDO DE CASO 2 .................................................................................................. 46

3.4.1 Considerações finais: estudo de caso 2 ............................................... 55 3.5 ESTUDO DE CASO 3 .................................................................................................. 56

4 CONSIDERAÇÕES SOBRE OS ESTUDOS DE CASO ............................................. 71

4.1 COMPARAÇÕES ENTRE OS ESTUDOS DE CASO .................................................. 71

4.2 ANÁLISE DE ULLMAN.............................................................................................. 74

4.3 ANÁLISE ANTROPOMÉTRICA ................................................................................. 81

5 Conclusão e sugestões para trabalhos futuros .............................................................. 87

5.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .......................................................... 89

Referências ......................................................................................................................... 90

Anexo A: Análise de Ullman (mesa) ................................................................................ 100

Anexo B: Análise de Ullman (cadeira) ............................................................................ 103

Anexo C: Análise da tarefa. ............................................................................................. 106

Anexo D: Tabelas antropométricas Diffrient. ................................................................. 108

Siglas

ABS Acrilonitrila Butadieno Estireno

CAD Desenho assistido por Computador

FA Fabrico aditivo

FDM Modelagem por fusão e deposição

MA Manufatura Aditiva

Na Número de componentes reais de montegem

Nt Número de componentes teóricos de montagem

PC Policarbonato

PLA Ácido Polilático

PM Potencial de melhoria

PR Prototipagem

STL Standard Tesselation Language

TPE Termoplástico Elastomero

Índice de Figuras

Figura 1 – Representação da triangulação de cubo para alunos do do ensino

fundamental (a), (b) visualização de cubo através do programa de manipulação de

modelos complexos MathMod e (c) componente cubico produzido por impressora 3D

de baixo custo (adaptado de MCCALLUM; MENGHINI; NEUBRAND, 2019). ................... 6

Figura 2 – Visualização das equações responsáveis pela geração de um cubo pelo

software MathMod (fonte: elaboracão própria). ...................................................................... 7

Figura 3 - Com uma alteração em um parametro de valor 100 para 200 é possível

visualizar a modificação na forma do cubo (fonte: elaboracão própria). .................................. 7

Figura 4 – Organização das tecnologias de FA quanto ao estado da materia prima

(adaptado de GONÇALVES, 2017). .................................................................................... 10

Figura 5 – Sequência das tapas dos processos de MA (adaptado de SANTANA,

2015b). ................................................................................................................................ 12

Figura 6 - Representação do modelo em CAD (a), representação do modelo no formato

STL (b). (fonte: elaboracão própria. ..................................................................................... 13

Figura 7 – Posicionamento das peças na base de impressão. (fonte: elaboracão

própria). ............................................................................................................................... 13

Figura 8 - Fatiamentos uniforme (a) e adaptativo (b). (adaptado de SANTANA,

2015b). ................................................................................................................................ 14

Figura 9 – Esquema de representação da modelagem matemática (adaptado de

BARBOSA, 2009). .............................................................................................................. 15

Figura 10 - Secções cónicas (esquerda) – círculo (a), elipse (b), parábola (c), hipérbole

(d); réplica de madeira do cone de Apolónio (direita) (adaptado de GONÇALVES,

2017). .................................................................................................................................. 15

Figura 11 - a) superfície diagonal de Clebesch, b) superfíce de boy feita em arame, c)

parabolóide hiperbólico e cilindros, d) quartic com simetria cúbica, e) cubo 4 -

dimensional , f) quartic com 12 pontos duplos A1, três no infinito (adaptado de

FISCHER, 2017). ................................................................................................................. 16

Figura 12 - “Cube-Volution-5” (junho de 2009) feito em bronze inpirado em

superfícies mínimas da natureza (a) e (b) “hilber cubo 3D” (julho de 2005), inspirado

pelas curvas de preenchimento de espaços, produzido em bronze e aço inoxidável

(adaptado de SÉQUIN, [s.d.]). ............................................................................................. 18

Figura 13 – a) Estrutura de diamante de 1,6 polegadas feita através do processo SLS

(adaptado de HART, [s.d.]). ................................................................................................. 18

Figura 14 – (a) Osso Trabecular e vista microscópica da estrutura celular do osso

Trabecular. (b) Célula unitária de um Giróide, que ao ser agrupada em conjunto forma

uma estrutura de rede similar a estrutura celular do osso Trabecular (adaptado de

PANESAR et al., 2018; YANG et al., 2018) e

http://www.moodle.mouro.com/EVA/picture.php?/2894 ...................................................... 20

Figura 15- a) superfície matemática descoberta por Alan Schoen com furos aplicados

na superfície do modelo, b) Pingente de aço em bronze polido, c) The Klein Bottle

Opener, abridor de garrafa fabricado em bronze e aço inoxidável através do processo

3DP (adaptado de GROSSMAN, [s.d.]). .............................................................................. 21

Figura 16 – Exemplos de alguns modelos matemáticos disponíveis no site (adaptado de

SEGERMAN, [s.d.]). ........................................................................................................... 21

Figura 17 – Modelos matemáticos impressos através do processo FDM em

equipamentos de baixo custo (adaptado de GÜR, 2015). ...................................................... 22

Figura 18 – Modelos matemáticos impressos através do processo FDM em

equipamento de baixo custo (adaptado de GONÇALVES, 2017). ........................................ 22

Figura 19 – Sistema FDM com dois bicos extrusores. Fonte elaboração própria

(adaptado SANTANA, 2015b). ............................................................................................ 24

Figura 20 – Conjunto dos principais parâmetros do processo FDM (adaptado de

SANTANA, 2015b). ............................................................................................................ 25

Figura 21 – Orientação de construção da peça (adaptado de SANTANA, 2015b). ................ 25

Figura 22 – Composição do interior de uma peça obtida através do processo FDM

(adaptado de SANTANA, 2015b). ....................................................................................... 27

Figura 23 – Representação da união entre camadas, e união na mesma camada

(adaptado de SANTANA, 2015b). ....................................................................................... 28

Figura 24 – a) braço robótico adaptado para a impressão 3D. Fonte: Adaptado de

(FRENCH STARTUP 3D PRINTS YOUR FURNITURE USING LARGE-SCALE 3D

PRINTER, 2014) b) impressora BigRep capaz de imprimir grandes peças (BIBREP

ONE THE MOST ADVANCED LARGE-SCALE INDUSTRIAL 3D PRINTING

EXPERIENCE, 2019) c) Impressão de concreto (adaptado de GAGET, 2018). .................... 29

Figura 25 - a) estrutura de uma Impressora D-Shape. Fonte: Adaptado de

(BENVENUTI; CECCANTI; DE KESTELIER, 2013). b) Protótipo de uma estrutura

voltada para construção através da tecnologia D-Shape (adaptado de QUIRK, 2012). ......... 30

Figura 26 - a) Peças de lego feitas através do processo FDM por uma impressora tipo

desktop. b) Empilhadeira de lego em tamanho aumentado, que demonstra a

possibilidade de desenvolvimento de estruturas de grande porte em Impressoras do

tipo FDM de baixo custo (adaptado de TESS, 2018). ........................................................... 31

Figura 27 – a) estrutura de grande porte (mobiliário) construido à partir do sistema

TrussFab, b) detalhe da união do conector com as garrafas pet (Fonte: (KOVACS et

al., 2017) .............................................................................................................................. 31

Figura 28 - Etapas do exercício de visualização e imaginação (fonte: elaboracão

própria). ............................................................................................................................... 34

Figura 29 – Sketches demonstrando a possibilidade da utilização de modelos

matemáticos como componentes para unir partes (fonte: elaboracão própria). ...................... 34

Figura 30 – Representação da forma Holes (fonte: elaboracão própria). ............................... 37

Figura 31 – Modelo matemático original, e alterações introduzidas na sua geometria,

para obter uma malha triangularizada tornando as reentrãncias retilíneas, que favorece

o encaixe de outos elementos (fonte: elaboracão própria). .................................................... 38

Figura 32 – (a) seleção do modelo na aba “exemples”. (b) visualização do modelo

Holes (fonte: elaboracão própria). ........................................................................................ 38

Figura 33 – Movendo-se os cursores a geometria atribui-se diferentes resoluções da

malha e forma do modelo (fonte: elaboracão própria). .......................................................... 39

Figura 34 – seleção do modelo na aba “options” e seleção da opção “all

triangles”(fonte: elaboracão própria). ................................................................................... 39

Figura 35 – Esquema de tratamento do modelo (fonte: elaboracão própria). ......................... 40

Figura 36 – (a) Modelo 3D com a indicação das áres de suspensão e pontes presentes

na geometria da peça, (b) orientação e construção de suportes (fonte: elaboracão

própria). ............................................................................................................................... 40

Figura 37 – (a) Configuração da estante com três módulos, (b) configuração da estante

com dois módulos (fonte: elaboracão própria). ..................................................................... 41

Figura 38 – (a) Detalhe do corte feito na madeira para fixação do modelo impresso, (b)

madeira fixada por interferência no modelo impresso (b) (todas as unidades em

milímetros) (fonte: elaboracão própria). ............................................................................... 42

Figura 39 – Componentes em madeira da estante. A peça com 360mm refere-se a peça

posicionada horizontalmente e a peça com 150mm refere-se a que foi posicionada

verticalmente (fonte: elaboracão própria). ............................................................................ 42

Figura 40 –(a) Modelo em escala 1:1 com um módulo, (b) e dois módulos (fonte:

elaboracão própria). ............................................................................................................. 43

Figura 41 – (a) Detalhe do pino de fixação da madeira rachado, (b) delaminação do

modelo impresso devido às diferenças dimensionais dos componentes (fonte:


Figura 42 – Modelo em escala sustentando peças leves (Fonte: elaboracão própria). ........... 44

Figura 43 – Teste da estante até o momento de colapso (fonte: elaboracão própria). ............. 45

Figura 44 – Ilustração demonstrando possibilidades de encaixe do modelo Scherk em

roxo (fonte: elaboracão própria). .......................................................................................... 47

Figura 45 - Secção do modelo de “Scherk” (a), forma baseada no modelo matemático

(b), recorte central da conjugação de superfícies (c), geometria final da rótula (d)

(fonte: elaboracão própria). .................................................................................................. 48

Figura 46 - Modelo em CAD da rótula (peça preta) e fixação na madeira (cilindro

vermelho) (a), Modelo em CAD com prolongamento nas hastes para melhorar a

fixação da madeira (b) (fonte: elaboração própria). .............................................................. 49

Figura 47 - Rótula principal (a), (b) variação 1, e (c) variação 2 (fonte: elaboracão

própria). ............................................................................................................................... 49

Figura 48 - Estruturas de suporte nos três tipos de peças em PLA (fonte: elaboração

própria.) ............................................................................................................................... 51

Figura 49 - Modelo do banco montado (a), processo de montagem (b) (fonte:

elaboração própria). ............................................................................................................. 51

Figura 50 - Fratura na zona de adesão das camadas (a), fratura na área de adesão entre

as camadas com a estrutura montada (b) (fonte: elaboração própria). ................................... 52

Figura 51 – Esquema de forças que atuam entre a peça em madeira e o modelo

impresso (fonte: elaboração própia)...................................................................................... 53

Figura 52 - Estrutura da mesa (a), simulação da estrutura da mesa com um tampo na

parte superior (b) (fonte: elaboração própria). ...................................................................... 54

Figura 53 - Cadeira montada (a), área de fratura na região de adesão de camadas das

peças que unem o encosto ao assento (b) (fonte: elaboração própria). ................................... 54

Figura 54 - (a) Direção do movimento de encaixe da peça em PLA, (b) conetor e parte

em madeira encaixados, (c) direção do movimento de encaixe do conector impresso

em “PLA soft”, (d) peças encaixadas (fonte: elaboração própria).......................................... 55

Figura 55 – Sketch demonstrando possibilidades de encaixe entre modelos

matemáticos distintos (fonte: elaboracão própria). ................................................................ 57

Figura 56 – a) modelo Chmutov, b) modelo BlobySchwarz ambos presentes na

biblioteca do software K3Dsurf. (fonte: elaboração própria). ................................................ 58

Figura 57 – Scketch representativo da união entre os modelos para a construção de

estruturas de grande porte. (fonte: elaboração própria). ........................................................ 58

Figura 58 – Comparação do encaixe dos modelos matemáticos Chmutov,

BlobySchwarz com o conceito de encaixe do LEGO (fonte: elaboração própia) .................... 59

Figura 59 - Modelos matemáticos Chmutov, BlobySchwarz impressos em PLA (fonte:


Figura 60 – Esquemas de encaixe dos modelos matemáticos Chmutov, BlobySchwarz.

E aumento da área central do modelo BlobySchwarz (fonte: elaboracão própria). ................. 60

Figura 61 – a) representação da esfera no pug-in grasshopper, b) representação da

esfera no software rhinoceros (fonte: elaboracão própria). ................................................... 61

Figura 62 – a) barras que alteram valores da geometria a ser construida. b)

Representação da esfera, no qual “B” representa o plano de posicionamento, “R” Raio

e “U” a quantidade de faces ao redor da esfera (fonte: elaboracão própria). .......................... 61

Figura 63 – Em a) representação da primeira esfera menor ao redor da efera central no

Grasshopper, b) posicionamento e dimensões das esferas no rhinoceros (fonte:


Figura 64 – a) Representação das 6 esferas menores no Grasshopper, b) representação

do resultado no rhinoceros (fonte: elaboracão própria). ........................................................ 62

Figura 65 – a) representação do cilindro no grasshopper, b) representação do cilindro

unindo a esfera de maior com a de menor raio (fonte: elaboracão própria). ........................... 63

Figura 66 – a) representação dos seis cilindros no grasshopper b) representação do

modelo dos cilindros conectando as esferas pequenas com a maior (fonte: elaboracão

própria). ............................................................................................................................... 63

Figura 67 – a) principais parâmetros de alteração da pré forma finalno grasshopper, b)

representação da préforma final no rhinoceros (fonte: elaboracão própria). .......................... 64

Figura 68 – a) cursores responsáveis pelas alterações de parâmetros, b) geometria com

o tamanho dos cilindros bem reduzido, c) geometria com o tamanho do cilindo de

forma aumentada porém com o diâmetro reduzido. (fonte: elaboracão própria). ................... 64

Figura 69 – a) representação no grasshopper da união das malhas, b) representação do

sólido no rhinoceros. (fonte: elaboracão própria). ................................................................. 65

Figura 70 – a) representação da suavização laplaciana no grasshopper, b) geometria

final já bastante proxima do modelo BlobySchwarz original (fonte: elaboracão

própria). ............................................................................................................................... 65

Figura 71 - Representação do modelo BlobySchwarz na interface do plug-in

grasshopper (fonte: elaboracão própria). .............................................................................. 66

Figura 72 – a) modelo BlobySchwarz impresso em TPE branco (peça flexível) e

modelo Chmutov impresso em PLA preto (peça rígida), b) teste de encaixe dos

modelos com a geometria alterada (fonte: elaboracão própria). ............................................ 67

Figura 73 – a) vista superior de uma estrutura contendo nove Chmutov e nove

BlobySchwarz, b) vista isometrica (fonte: elaboracão própria). ............................................. 67

Figura 74 – Conceito do mobiliário desenvolvido com os modelos matemátiocs

Chmutov e nove BlobySchwarz (fonte: elaboracão própria). ................................................. 68

Figura 75 – a) modelos em escala reduzida, b) modelos em escala real (fonte:


Figura 76 – Possibilidades de outras estruturas que podem vir a ser desenvolvidas

(fonte: elaboracão própria). .................................................................................................. 70

Figura 77 - Quadro comparativo de etapas de modelagem (fonte: elaboracão própria). ......... 72

Figura 78 - Montagem em camadas. Fonte: Adaptado de Ullman (2013). ............................. 75

Figura 79 – Modificação de uma peça para obtenção de simetria. Fonte: Adaptado de

Ullman (2013). ..................................................................................................................... 77

Figura 80 – União das 5 peças que integram a estrutura do tampo (fonte: elaboracão

própria). ............................................................................................................................... 79

Figura 81 – Análise da tarefa (fonte: elaboracão própria) ..................................................... 84

Figura 82 - Dimensões antropométricas fundamentais para o projeto de cadeiras.

Fonte: Adaptado de Panero (2012). ...................................................................................... 85

Figura 83 - Dimensões antropométricas fundamentais para o projeto de cadeiras

(adaptado de Panero, 2012) .................................................................................................. 85

Figura 84 – Análise da tarefa Fonte: elaboracão própria ..................................................... 107

Figura 85 - Mulher vista lateral. Adaptado de (PEQUINI, 2005). ....................................... 108

Figura 86 - Homen vista lateral. Adaptado de (PEQUINI, 2005). ....................................... 109

Figura 87 – Mulher vista superior. Adaptado de (PEQUINI, 2005). .................................... 110

Figura 88 – Homem vista superior. Adaptado de (PEQUINI, 2005).................................... 110

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Classificação dos processos FA em relação a tecnologia, princípio de

funcionamento e materiais. Fonte: adaptado de (SANTANA, 2015b) ................................... 10

Tabela 2- Parâmetros de impressão utilizados na MakerBot Replicator 2x. .......................... 41

Tabela 3 – principais parâmetros de impressão. .................................................................... 50

Tabela 4 - Informações de construção. ................................................................................. 50

Tabela 5 – Informações de custo de material, tempo de impressão e quantidade de

material. ............................................................................................................................... 69

Tabela 6 - comparação geral de métodos de modelagem. ..................................................... 73

Tabela 7 - Número de componenetes teórico ........................................................................ 78

Tabela 8 – Tabela de avaliação da montabilidade ................................................................. 80

Tabela 9 – Tabela com os valores dos dados antropométricos das dimensões corporais

relevantes ao projeto, referentes a largura do quadril, altura poplítea e profundidade

popliteal da nadega em relação ao maior homem e a menor mulher. adaptado de

(PEQUINI, 2005). ................................................................................................................ 86

Tabela 10 - Número de componenetes teórico .................................................................... 100

Tabela 11 - Tabela de avaliação da montabilidade .............................................................. 100

Tabela 12 - Número de componenetes teórico .................................................................... 103

Tabela 13 - Tabela de avaliação da montabilidade .............................................................. 104

Impressão 3D de conectores baseados em modelos matemáticos para aplicação em mobiliário

1

1. INTRODUÇÃO

A Manufatura Aditiva (MA), popularmente conhecida como Impressão 3D, consite em

um conjunto de tecnologias presentes no processo de desenvolvimento de produtos,

proporcionado diversas melhorias nos meios de produção de inúmeros setores industriais. Tal

transformação pode ser observada nos campos da produção aeroespacial, indústria

automotiva, setor médico, entre outros. A possibilidade de se produzir peças customizadas e

com um gasto mínimo de recursos aponta cada vez mais para um futuro no qual a produção

será sustentável e personalizada (HAUSMAN; HORNE, 2014; LIM et al., 2016).

Basicamente, a MA se caracteriza pela construção de um produto através da adição de

material camada sobre camada. A partir de um Desenho Assistido por Computador (CAD)

3D, tem-se um arquivo digital que é transformado em uma série de camadas empilháveis, que

são impressas subsequentemente até materializar totalmente o objeto (GIBSON; ROSEN;

STUCKER, 2010a; HAUSMAN; HORNE, 2014).

O princípio aditivo das técnicas favorece a construção de peças com geometrias

complexas, que anterioremte eram práticamente impossíveis de serem construídas com as

tecnologias convencionais de produção, conhecidas como manufatura subtrativa1

(SEGERMAN, 2012). Segundo Gür (2015), modelos matemáticos complexos — antes

considerados formas intangíveis — podem ser traduzidos de símbolos e números para objetos

reais através de uma Impressora 3D. O fato de tais modelos poderem se tornar componentes

reais favoreceu o ensino da Matemática, uma vez que objetos e imagens têm uma influência

direta na forma em que se visualiza e percebe-se tal ciência (KNILL; SLAVKOVSKY, 2013).

As tecnologias de Impressão 3D podem variar no que se refere ao volume de trabalho, a

resolução de construção, a velocidade e ao material utilizado. As conhecidas impressoras 3D

1 A manufatura subtrativa é um processo que consiste em remover material de um bloco com o objetivo de se chegar a uma forma pretendida. Alguns exemplos deste processo são, fresagem, torneamento, furação, entre outros (SEGERMAN, 2012).


2

de pequeno porte, geralmente basedas em extrusão e com baixa capacidade de produção,

atingiram uma alta popularidade nos mais diversos setores sociais e industriais, crescimento

este motivado pela expiração das patentes da tecnologia de Modelagem por Fusão e

Deposição (FDM) e pelo desenvolvimento de movimentos open source. Algumas destas

máquinas, presentes no setor industrial, permitem a construção de peças de grande porte,

como é o caso da Galatea robotic arm 3D printer2, projetada especialmente para a produção

de móveis (AYDIN, 2015).

Atualmente, o uso de tecnologias MA na produção de móveis está cada vez mais

difundido, já que vários benefícios podem ser aplicados ao longo da cadeia de produção. Tais

vantagens inserem-se, por exemplo, na eliminação da fase de montagem. A construção de

móveis tradicionalmente envolve a utilização de inúmeros materiais, tais como espumas,

plásticos, couro, tecido, madeira, entre outros. Além de possuírem propriedades diferentes,

cada uma dessas partes é produzida em uma fábrica diferente, para posteriormente serem

montadas. Com a tecnologia da Impressão 3D o produto pode ser feito em um mesmo lugar.

Somado à facilidade de produção, o fato de os componentes serem fabricados, na maior parte

dos casos, com um único tipo de material, favorece ao processo de reciclagem dos mesmos ao

fim de sua vida útil (AYDIN, 2015).

O último avanço nesta área permitiu que diferentes tipos de materiais pudessem ser

utilizados na fabricação de peças. Os termoplásticos são amplamente utilizados utilizados por

impressoras 3D baseadas em extrusão (BARNATT, 2014). Inúmeras empresas desenvolveram

materiais, com as mais variadas características mecânicas, baseados em termoplásticos.

Filamentos flexíveis, compósitos com fibras de vidro ou carbono, além de materiais que

buscam replicar aspecto e comportamento de materiais como madeira e metais (FREITAS,

2017).

Apesar da popularidade das impressoras 3D do tipo Desktop, a produção de peças

através de tais equipamentos é limitada, devido ao baixo volume de produção. Portanto, o

presente trabalho buscou analisar a utilização de impressoras 3D de baixo custo no

desenvolvimento de mobiliário, a partir da utilização de modelos matemáticos, para o

desenvolvimento de conectores.

2 Antigo braço robótico que atuava em linhas de montagem automotivas, modificado para funcionar como uma impressora 3D projetada para produzir móveis (AYDIN, 2015).


3

1.1 OBJETIVOS

1.1.1 Objetivo geral

Este trabalho teve como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia de projeto

baseada em um princípio simples de “observação e imaginação”, para ser utilizada por uma

vasta gama de usuários na elaboração e Impressão 3D de sistemas de conexão inspirados em

modelos matemáticos complexos, para aplicação no desenvolvimento de mobiliários.

1.1.2 Objetivos específicos

Para atender ao objetivo geral, foram propostos os seguintes específicos:

x Desenvolver uma metodologia de projeto;

x Analisar características geométricas dos modelos matemáticos e a possibilidade de

serem utilizadas como conectores;

x Avaliar diferentes métodos e softwares para gerar e alterar os modelos matemáticos;

x Projetar mobiliários a partir das rótulas desenvolvidas;

x Construir o mobiliário;

x Analisar questões referentes a montabilidade, usabilidade e ergonomia.


4


5

2 REVISÃO DA LITERATURA

2.1 A MATEMÁTICA COMO FERRAMENTA DE PROJETO

Aprender matemática é uma tarefa constituída por diversos fatores que envolvem não só

quem aprende, mas também quem ensina. Dividir o processo de ensino em etapas é essencial

para o entendimento do aluno e para a transmissão do conhecimento por parte do professor.

Pautar o ensino da matemática em padrões clássicos prejudica o aprendizado, uma vez que o

aluno assume o papel apenas de ouvinte (ELIZA, 2019).

De acordo com Félix Klein, um dos principais enfoques do ensino da matematica

centra-se no termo “Anschauung”. Tal vocábulo refere-se à importancia em que um professor

tem em fazer com que as tarefas sejam compreensíveis aos alunos. O entendimento da

matemática deve ser amparado por desenhos, modelos, representações e experiências,

tornando-o mais simples. Klein defendia que este objetivo poderia ser alcançado através de

uma melhor instrução dos profissionais de ensino, o que consequentemente conduziria a um

processo de aprendizagem mais eficiênte. Felix Klein comprendia a importância da percepção

espacial, dedicando-se ao desenvolvimento de métodos de visualização baseados no uso de

tecnologias avançadas para a percepção da matemática moderna (MCCALLUM;

MENGHINI; NEUBRAND, 2019)

Estudos recentes destacam melhorias no aprendizado e no desempenho acadêmico de

estudantes devido ao avanço das tecnologias e sua crescente implementação nas salas de aula.

O uso de novas ferramentas no ambiente escolar proporcionam uma melhor visualização de

conceitos e estimulam o pensamento crítico de quem aprende (KWON, 2017).

O pensamento básico de Klein ressalta que o ensino da matemática deveria ser

apoiado em quatro pilares: (i) interação entre abstração e visualização; (ii) descoberta da

natureza dos objetos com o auxílio de pequenas mudanças; (iii) pensamento funcional e (iv) a

caracterização de geometrias (MCCALLUM; MENGHINI; NEUBRAND, 2019). A interação


6

entre abstração e visualização torna-se mais fácil, uma vez que se possuí um objeto de estudo,

que pode ser observado ou vividamente imaginado. Programas de visualização em terceira

dimensão eliminam a necessidade de abstração e facilitam a visualização de um objetio. A

tecnologia de Impressão 3D permite transformar os arquivos em objetos reais, palpáveis,

facilitando assim a compreensão de conceitos complexos e formas abstratas (KWON, 2017;

MCCALLUM; MENGHINI; NEUBRAND, 2019). A

Figura 1 – Representação da triangulação de cubo para alunos do do ensino fundamental3 (a), (b) visualização de

cubo através do programa de manipulação de modelos complexos MathMod e (c) componente cubico produzido

por impressora 3D de baixo custo(fonte: elaboracão própria) (adaptado de MCCALLUM; MENGHINI;

NEUBRAND, 2019).

O segundo conceito de Klein afirma que, com o auxílio de pequenas mudanças, é

possível descobrir a natureza dos objetos. Simples alterações realizadas em fórmulas ou

equações permitem a alteração das geometrias (MCCALLUM; MENGHINI; NEUBRAND,

2019). A Figura 2 ilustra a visualização da forma de um cubo gerada a partir de uma equação

matemática no MathMod, que é um software de manipulação 3D. Já na Figura 3, é possível

observar a modificação da forma anterior Figura 2, através da alteração realizada em um dos

valores da equação que representa a geometria.

3 Equivalente ao 3º ciclo do ensino básico em Portugal.


7

Figura 2 – Visualização das equações responsáveis pela geração de um cubo pelo software MathMod (fonte:

elaboracão própria).

Figura 3 - Com uma alteração em um parametro de valor 100 para 200 é possível visualizar a modificação

na forma do cubo (fonte: elaboracão própria).

O pensamento funcional surgiu na Alemanha em 1905, sendo caracterizado como uma

forma de reflexão totalmente ligada à utilização do conceito de funções. A ideia de função e

pensamento funcional possui inumeros enfoques, podendo ser descrita e observada através de

sistemas de representação como: gráficos, palavras, situações reais, fórmulas ou tabelas. O


8

conceito permite a visualização de funções através de objetos ou como um todo. Klein

defendia a inserção do ensino de funções no ensino secundário, implementando o cálculo nas

escolas. Com a educação voltada para o pensamento funcional, o ensino de funções torna-se

uma das cinco áreas do conhecimento pertencentes à base da educação matemática presente

no curriculo alemão.

Neste cenário, Klein fez uma ponte entre o pensamento funcional e a geometria. O

matemático utilizava-se muito de desenhos e esquemas buscando elucidar questões analíticas

e visualmente importantes, proporcionando um melhor entendimento dos conteudos em

questão. Atualmente a tecnologia tem um papel importante e serve como uma frramenta, que

complementa ainda mais o aprendizado. Os programas de visualização 3D permitem uma

melhor percepção dos fenômenos matemáticos (HOFFKAMP, 2010; KWON, 2017;

MCCALLUM; MENGHINI; NEUBRAND, 2019).

Através da construção e desenho de modelos que representavam fenômenos

matemáticos, Klein pautou seu método de ensino na visualização. Ter um modelo físico era

fundamental para uma boa percepção das geometrias geradas a partir das funções

matemáticas. Os quatro conceitos defendidos por Klein essenciais ao ensino da matemática

algébrica são debatidos até os dias de hoje.

2.2 O FABRICO ADITIVO E OS MODELOS MATEMÁTICOS

2.3 Fabrico aditivo

Desenvolvida no final dos anos 1980, o Fabrico Aditivo (FA) é um conjunto de

tecnologias, que consiste na construção de uma peça através da adição de material em

camadas, na qual cada camada é uma fina secção de uma parte proveniente de um Desenho

Assistido por Computador (CAD) (GIBSON; ROSEN; STUCKER, 2010b). Em outras

palavras, a técnica de FA transforma um modelo tridimensional em uma série de camadas

empilháveis, e o processo tem início com a impressão de uma camada base e

subsequentemente as demais camadas, até o objeto estar completo (HAUSMAN; HORNE,

2014).

Inicialmente, tais tecnologias foram desenvolvidas com o intuito de possibilitar a

materialização de ideias, isto é, a contrução de uma peça através de uma rápida fabricação

sem a necessidade de rigor dimensional. Sendo assim, eram sistemas voltados para a


9

construção de protótipos, sendo denominadas como ferramentas de Prototipagem Rápida (PR)

(SANTANA, 2015a). Com o passar do tempo, a PR passou a ser adotada na produção de

peças finais, possibilitando o desenvolvimento de bens de consumo de forma personalizável

(BERNARD; DAVILLERD; SIDOT, 1999; ISADDORA BARATTO FONTENELLE, 2016;

ROSEN, 2007). A partir do momento em que as tecnologias de PR não estavam mais restritas

apenas à fabricação de protótipos, mas também ao desenvolvimenro de produtos finas, houve

a necessidade de adequar o termo para FA (ALBERTI; SILVA; D’OLIVEIRA, 2014;

GIBSON; ROSEN; STUCKER, 2010b; SANTANA, 2015b).

Os processos FA tem proporcionado uma reformulação em técnicas projetuais

baseadas em formas tradicionais de produção, uma vez que simplificam a produção de peças

geometricamente complexas sem aumento de custo (ISADDORA BARATTO

FONTENELLE et al., 2017). O primeiro expoente de tal tecnologia, comercializado em 1988,

foi o “Stereolithograpphy Aparattus”(Estereolitografia). Posteriormente, diversos sistemas

FA passaram a surgir através de empresas comerciais e universidades. Destacam-se a

Sinterização Seletiva a Laser (SLS), Modelagem por Fusão e Deposição (FDM) desenvolvida

pela Stratasys®, Laminação de Folhas (LOM) desenvolvida pela Helisys®, entre outras

(SANTANA, 2015b). Os processos FA dividem-se em sistemas de produção à base de

líquido, sólido e pó referente à classificação em relação ao estado inicial da matéria. Também

são classificados através do princípiuo de construção de camadas. Portanto os agentes que

atuam na formação das camadas provenientes da materia prima em questão podem apresentar-

se como feixe de energia (lase, eletrins, íons), cabeçote de impressão (jato de tinta, ou

extrusão polimérica), lâmina, aparadores de camadas e etc (GONÇALVES, 2017;

SANTANA, 2015a; VAEZI; KAI CHUA; MENG CHOU, 2012), Figura 4.


10

Figura 4 – Organização das tecnologias de FA quanto ao estado da materia prima (adaptado de GONÇALVES,

2017).

Além da classificação quanto ao estado da matéria, aspectos como a fonte de energia,

métodos de formação de camadas e condições relativas à construção das peças também são

fatores que diferenciam e caracterizam os diversos processos de FA. A Tabela 1 apresenta de

forma resumida os processos FA classificados quanto ao tipo de tecnologia, princípio de

funcionamento e materiais utilizados.

Tabela 1 – Classificação dos processos FA em relação a tecnologia, princípio de funcionamento e materiais.

(adaptado de SANTANA, 2015b)

Tecnologia Princípio de funcionamento Material

Processo por fotopolimerização

Radiação UV (Ultra Violeta) é utilizada para curar um polímero fotocurável.

Resinas e polímeros fotocuráveis.

Processo por fusão de pós Um feixe laser é conduzido sobre um leito contendo pó, fundindo termicamente os materiais, formando assim a seção transversal da camada.

Polímeros, metais, e cerâmicas.

Continua


11

Tabela 1 – Classificação dos processos FA em relação a tecnologia, princípio de funcionamento e materiais (adaptado de (SANTANA, 2015b) (Continuação).

Sistemas baseados em extrusão

Deposição de material por um cabeçote extrusor. O material fundido logo após depositado se resfria e solidifica.

Polímeros, cerâmicas.

Processo por laminação de chapas

O processo utiliza um laser de CO2, que corta as laminas. As folhas podem ser cortadas e empilhadas, ou empilhadas e cortadas. A união entre as folhas pode ser por colagem com adesivos, processo de união térmica, entre outros.

Papel, polímeros.

2.3.1 Etapas do processo de Fabrico Aditivo (planejamento) As diferentes tecnologias FA assemelham-se e compartilham das mesmas

características em relação a aspectos computacionais e de planejamento das etapas do

processo (MARTINS; COSTA; AUGUSTO, 2010; SANTANA, 2015b; VOLPATO, 2017). O

primeiro passo consiste no desenvolvimento e criação de um modelo tridimensional (3D),

geralmente em um software CAD. Em posse do modelo 3D, é necessária a conversão do

arquivo em um formato STL (Standard Tesselation Language). Na terceira etapa, o arquivo

obtido é enviado a um software onde será realizdo o planejameto de construção e o fatiamento

do modelo. Após o tratamento do modelo digital, o processo de FA tem início a partir das

informações geradas e enviadas a um equipamento, que através do princípio de deposição de

camadas materializa o objeto previamente projetado. Ao fim do processo pode ser necessário

aplicar um acabamento na superfície do modelo. De acordo com a tecnologia FA utilizada,

diferentes tipos de pós-processamento são indicados tais como: limpeza, colagem, remoção de

suportes, pós-cura, entre outros (ISADDORA BARATTO FONTENELLE et al., 2017;

SANTANA, 2015b) . A Figura 5 ilustra de forma resumida as etapas dos processos FA.


12

Figura 5 – Sequência das etapas dos processos de MA (adaptado de SANTANA, 2015b).

Conforme mencionado anteriormente, a criação do modelo CAD é a etapa inicial dos

processos de FA, momento no qual é estabelecida a geometria da peça que será fabricada.

Para tal tarefa, softwares de modelagem 3D, e até mesmo equipamentos voltados à engenharia

reversa, como scanners a laser, podem ser utilizados para a obtenção da superfície

geométrica da peça em questão (GONÇALVES, 2017; SANTANA, 2015b).

Desenvolvido em 1988 por Allbert Consulting Group, atavés da demanda da 3D

Systems Inc., dos Estados Unidos, o formato STL funciona como uma malha triangular que

cobre todas as superfícies de um objeto. Portanto, toda a superfície do objeto é dividida em

diversos triângulos pequenos e independentes, apresentando três vértices. A Figura 6

apresenta um cilindro representado em CAD e o mesmo sólido em formato STL. Por ser um

padrão na indústria de equipamentos FA e estar presente em todos os sistemas CAD, o

formato STL pode ser interpretado em qualquer sistema FA, não dependendo de recursos

computacionais ou sistemas operacionais em utilização (VOLPATO, 2017).

Ao se obter o modelo 3D, é possível então iniciar o processo de planeamento da peça.

Como primeiro passo busca-se definir a orientação do modelo em relação ao eixo principal de

fabricação, neste caso o Z. Definir a orientação é essencial para minimizar as áreas da peça

afetadas pelos efeitos de “degrau de escada” e de anisotropia mecânica, além de determinar

quais as regiões terão maior ou menor precisão dimensional ou qualidade no que se refere a

detalhes. Número de camadas, quantidade necessária de material suporte para construção da

peça e tempo de fabricação também são fatores afetados pela orientação do modelo.


13

Figura 6 - Representação do modelo em CAD (a), representação do modelo no formato STL (b). (fonte:

elaboracão própria.

O posicionamento das peças na base de impressão, também é uma etapa importante,

pois dependendo quantidade de peças necessárias é possível imprimir várias peças ao

organiza-las na base levando em conta o volume de construção do equipamento Figura 7.

Figura 7 – Posicionamento das peças na base de impressão. (fonte: elaboracão própria).

O processo de fatiamento pode ser realizado de duas formas: uniforme e adaptativo. O

primeiro método consiste na divisão do arquivo em camadas de igual espessura ao longo do

eixo Z. A escolha do valor de espessura de camada influencia diretamente na qualidade das

superfícies e no tempo de fabrico. Uma pequena espessura de camada resulta em uma peça

com superfícies de melhor qualidade, porém, devido à grande quantidade de camadas

inseridas, o tempo de construção aumenta. Ao definir uma maior espessura de camada, a

resolução da superfície perde em termos de qualidade, contudo, diminui-se o tempo de

impressão. Já no fatiamento adaptativo, a espessura da camada varia ao longo do eixo Z

consoante as modificações geométricas do modelo. Entre os dois tipos de fatiamento, o

adaptativo apresenta vantagens se comparado ao uniforme, uma vez que proporciona redução

no tempo de construção, superfícies com bom acabamento e boa precisão geométrica e

dimensional das peças. A Figura 8, ilustra as diferenças nas camadas presentes nos dois tipos

de fatiamento (SANTANA, 2015a).


14

Figura 8 - Fatiamentos uniforme (a) e adaptativo (b). (adaptado de SANTANA, 2015b).

A definição da base de construção, estruturas de suporte, cálculo de trajetória,

geometria de contorno e preenchimento das camadas tambem são pontos essenciais no

planeamento de construção da peça. Portanto, todas as etapas de planeamento de processo de

todas as tecnologias de FA são necessárias, exceto as que são específicas de sua própria

tecnologia (GONÇALVES, 2017; VOLPATO, 2017).

Conforme mostrado na Figura 5, a última etapa consiste em submeter a peça à

operações de pós-processamento. Tal procedimento consiste na remoção de estruturas de

suporte, cura de resina, ou ações com objetivo de conferir uma maior resistência ao

componente fabricado. Posteriormente, mais uma etapa de acabamento pode ser realizada

com o intuito de adequar estetica ou funcionalmente uma peça para um uso final, podendo

ser: pintura, revestimento, texturização colagem, entre outras (SANTANA, 2015b).

2.4 MODELOS MATEMÁTICOS

A palavra “modelo” possuí inúmeros significados o sentido que mais satisfaz o

contexto do presente trabalho é quando a palavra é utilizada no sentido de “representação de

algo” (BARBOSA, 2009). Para os matemáticos, a representação do processo de modelagem

transita entre o mundo real e o da matemática, tal como no diagrama proposto por Hamson

(1990) apud Barbosa (2009) apresentado na Figura 9. Este modelo defende a existência de

dois reinos, o real e o mundo da matemática, sendo o primeiro o caminho para desvendar as

leis do segundo.


15

Figura 9 – Esquema de representação da modelagem matemática (adaptado de BARBOSA, 2009).

Esta visão traz pensamentos platonistas, que defendem a existência de um mundo real

e um mundo ideal, no qual os modelos matemáticos são representados. Portanto, tem-se a

ideia de que um modelo matemático é um retrato aproximado da realidade (ARAUJO, 2007),

BARBOSA, 2009).

A visualização sempre foi uma ferramenta imprescindível para a representação e

ilustrração da matemática. Matemáticos gregos como Apolónio de Perga, Aristarco de Samos,

Euclides e Arquimedes dominavam a arte de representar matemática através de figuras e

diagramas. Estudiosos como Apolónio também faziam uso de modelos construídos em

madeira, com o objetivo de facilitar a visualização na aprendizagem de secções cônicas,

Figura 10, dentre inúmeros outros indícios de ensaios primitivos de representações

matemáticas através de símbolos visuais (GONÇALVES, 2017; SLAVKOVSKY, 2012).

Figura 10 - Secções cónicas (esquerda) – círculo (a), elipse (b), parábola (c), hipérbole (d); réplica de madeira do

cone de Apolónio (direita) (adaptado de GONÇALVES, 2017).


16

Por volta de 1870, o matemático alemão Felix Klein, juntamente com Alexander Brill,

foi responsável pela supervisão e orientação de diversos trabalhos de estudantes, os quais

exploraram a construção de diferentes modelos matemáticos na Universidade Técnica de

Munique. Os estudos realizados geraram uma grande coleção de peças. Tais componentes

eram confeccionados na sua grande maioria em gesso. Outros materiais como a já

mencionada madeira, além de papel e arame, também foram utilizados. A Figura 11,

apresenta exemplos dos elementos fabricados (FISCHER, 2017).

Figura 11 - a) superfície diagonal de Clebesch, b) superfíce de boy feita em arame, c) parabolóide hiperbólico e

cilindros, d) quartic com simetria cúbica, e) cubo 4 - dimensional , f) quartic com 12 pontos duplos A1, três no

infinito (adaptado de FISCHER, 2017).

A construção dos modelos tinha como objetivo a elaboração de pesquisas no campo da

matemática algébrica. O propósito atribuído às geometrias complexas era o de ilustrar e

facilitar a visualização de objetos matemáticos provenientes de fórmulas abstratas, tais como

equações. A apreciação das formas complexas foi um impulso para o desenvolvimento e

construção dos modelos matemáticos, que posteriormente foram exibidos no Instituto de

Matemática da Universidade de Göttingen. Para Klein, a matemática deveria se aproximar

cada vez mais do mundo físico a fim de facilitar a visualização da mesma (FISCHER, 2017;

GONÇALVES, 2017; KNILL; SLAVKOVSKY, 2013; ROWE, 2013).


17

Com o passar dos anos e o desenvolvimento de novas tecnologias, os modelos

matemáticos começaram a ser representados através de programas de manipulação 3D. Nestas

plataformas, uma equação era convertida em um modelo matemático, que muitas vezes

poderia ter diversas características alteradas, conforme mencionado na seção 2.1. A

representação tridimensional das geometrias complexas, promovida por tais softwares, foi

responsável por despertar o interesse de muitas pessoas não ligadas à área da matemática a

esta importante ciência (FISCHER, 2017).

De acordo com Knill (2013), figuras são essenciais para o desenvolvimento de novas

ideias, que podem favorecer ao surgimento de novos teoremas e assim contribuir para a

resolução de cálculos. A matemática visual oriunda dos modelos matemáticos é uma fonte de

inspiração para diferentes áreas como artes, arquitetura, engenharia e design. Sendo assim,

nas últimas duas décadas tem-se observado um renascimento no interesse da visualização nas

áreas lógicas da matemática, decorrente do desenvolvimento da informática, educação

matemática, pscicologia cognitiva e filosofia (GONÇALVES, 2017).

As técnicas de Fabrico Aditivo elevaram a construção de modelos matemáticos a um

novo patamar. Os modelos complexos provenientes das equações matemáticas, muitas vezes

considerados intangíveis e incapazes de serem produzidos por processos de manufatura

convencionas, através da tecnologia FA podem ser transformados de números e símbolos para

objetos reais (GONÇALVES, 2017; GÜR, 2015). Em seu artigo, Segerman (2012) lista

diversas vantagens que tornam as tecnologias de FA uma ótima ferramenta para a fabricação

de tais peças: (i) a possibilidade de produção de praticamente qualquer geometria; (ii)

fidelidade dos modelos fabricados e (iii) o baixo custo associado à produção e aos

equipamentos disponíveis, quando comparados a outros métodos de fabricação que

demandam o uso de moldes.

Tendo em vista os benefícios citados anteriormente, estudiosos começaram a explorar

o campo da Impressão 3D de modelos matemáticos. Com um interesse voltado para o

desenvolvimento de formas de visualização 3D, o professor de ciências da computação Carlo

Séquin, juntamente com o engenheiro mecânico Paul Wright, voltou seus interesses para a

produção dos objetos reais desenvolvidos através dos modelos matemáticos criados no

computador. A

Figura 12 apresenta alguns exemplos do extenso trabalho de de Séquin nesta área

(GONÇALVES, 2017).


18

Figura 12 - “Cube-Volution-5” (junho de 2009) feito em bronze inpirado em superfícies mínimas da natureza (a)

e (b) “hilber cubo 3D” (julho de 2005), inspirado pelas curvas de preenchimento de espaços, produzido em

bronze e aço inoxidável (adaptado de SÉQUIN, [s.d.]).

A publicação de Hart (2005), no Mathematical Inteligencer, abordava a visualização e

Impressão 3D de modelos matemáticos. Hart descreveu a manipulação de objetos reais e a

possibilidade de impressão de modelos de geometria complexa em casa, através de um

equipamento de FA. Segundo Hart (2005), a possibilidade de imprimir as geometrias em casa

permite que qualquer pessoa que disponha de uma impressora 3D possa obter a sua própria

coleção de modelos matemáticos. A Figura 13 (a) e (b) apresenta modelos impressos através

do processo SLS. Em (a) tem-se uma estrutura em diamante e em (b) duas estruturas iguais de

diamante que estão unidas e apresentam um pouco de movimento.

Figura 13 – a) Estrutura de diamante de 1,6 polegadas feita através do processo SLS (adaptado de HART, [s.d.]).


19

A indústria médica também utiliza as características inerentes dos modelos

matemáticos para o desenvolvimento de biomateriais porosos, baseados em superfícies

mínimas periódicas triplas. Tais materiais são utilizados em diversas aplicações e replicam

estruturas presentes na natureza como,por exemplo, a casca de besouros, asas de borboleta e

cascas de crustáceos. É observado também na composição de madeira, ossos, esponjas e

corais. Conhecidas como estruturas treliçadas, as estruturas celulares possuem diversas

nomeclaturas na literatura, como estruturas leves e espumas, porém, o termo estruturas de

rede é o mais preciso na descrição da forma (BOBBERT et al., 2017; CAO et al., 2016;

PANESAR et al., 2018; YANG et al., 2018).

As estruturas celulares funcionam como redes e conectam suportes sólidos, ou placas,

formando as bordas e faces da célula. O grande interesse da indústria médica nestas formas

reside na capacidade de tais elementos em serem capazes de reproduzir características,

propriedades morfológicas, topológicas, mecânicas e físicas de ossos — Figura 14 (a). Este

conjunto de atributos permite a utilização desses modelos em implantes ortopédicos ou como

biomateriais para a substituição óssea. Dentre as superfícies mínimas periódicas triplas

utilizadas na medicina, a estrutura conhecida como “Giroide”, Figura 14 (b), foi a que mais

obteve destaque para o uso de correções em defeitos ósseos, devido a sua boa rigidez,

resistência e versatilidade (BOBBERT et al., 2017; CAO et al., 2016; PANESAR et al., 2018;

YANG et al., 2018).


20

Figura 14 – (a) Osso Trabecular e vista microscópica da estrutura celular do osso Trabecular. (b) Célula unitária

de um Giróide, que ao ser agrupada em conjunto forma uma estrutura de rede similar a estrutura celular do osso

Trabecular (adaptado de PANESAR et al., 2018; YANG et al., 2018) e

http://www.moodle.mouro.com/EVA/picture.php?/2894

A utilização de modelos matemáticos na Impressão 3D não se limitou apenas ao

campo da visualização matemática e da utilização médica. Artistas como a americana

Bathsheba Grossman buscaram aliar funcionalidade às formas complexas, desenvolvendo,

além dos modelos matemáticos puros, produtos como joias, abridores de garrafa, dentre

outros componente, impressos em metal. A designer também foi responsável por elaborar

uma técnica na qual as superfícies dos modelos possuem perfurações que variam conforme a

curvatura da superfície (BRYDEN, 2014; GONÇALVES, 2017), Figura 15.


21

Figura 15- a) superfície matemática descoberta por Alan Schoen com furos aplicados na superfície do modelo, b)

Pingente de aço em bronze polido, c) The Klein Bottle Opener, abridor de garrafa fabricado em bronze e aço

inoxidável através do processo 3DP (adaptado de GROSSMAN, [s.d.]).

Henry Segerman é um professor no Departamento de Matemática da Universidade de

Oklahoma, que imprime formas complexas para análise acadêmica e representação artística.

Em sua página web, Segerman disponibiliza itens para venda online, no qual qualquer pessoa

que possua uma impressora 3D possa fazer o download o modelo e imprimi-lo ou até mesmo

encomendar um já pronto (SEGERMAN, 2012), Figura 16.

Figura 16 – Exemplos de alguns modelos matemáticos disponíveis no site (adaptado de SEGERMAN, [s.d.]).

Gür (2015) buscou demonstrar as possibilidades e o potencial da Impressão 3D de

modelos matemáticos através da tecnologia FDM de baixo custo. Exemplos destas peças são

apresentados na Figura 17 (a) e (b).


22

Figura 17 – Modelos matemáticos impressos através do processo FDM em equipamentos de baixo custo

(adaptado de GÜR, 2015).

Gonçalves (2017), tambem imprimiu modelos matemáticos, afim de estudar o

desempenho de equipamentos de impressão na fabricação de geometrias obtidas através dos

modelos matemáticos Figura 18.

Figura 18 – Modelos matemáticos impressos através do processo FDM em equipamento de baixo custo

(adaptado de GONÇALVES, 2017).

Segundo Alsoufi e El-sayed (2017), os elementos produzidos através do processo

FDM podem apresentar deformações e, portanto, a escolha e determinação dos parâmentros

de impressão é um fator determinante na boa qualidade das peças. Apesar de apresentar

benefícios, a baixa precisão dimensional e geométrica deste processo tem uma forte influência

nos componentes impressos, o que pode ser crucial para o tipo de aplicação que se pretende

para a mesma (SANTANA; LINO ALVES; DA COSTA SABINO NETTO, 2017).


23

2.5 A TECNOLOGIA DE MODELAGEM POR FUSÃO E DEPOSIÇÃO (FDM)

Desenvolvido em 1988 pela empresa Stratasys®, e tendo sua patente atribuida a Scott

Crump no ano de 1992, o processo de Modelagem por Fusão e Deposição (FDM) é

considerado uma das tecnologias pioneiras de FA, sendo ainda uma das mais difundidas entre

os usuários. A simplicidade de funcionamento do sistema é um grande diferencial em relção

às demais tecnologias de FA. No processo FDM são utilizadas, comumente, bobinas com um

polímero termoplástico em forma de filamento. O material é tracionado por um sistema

contendo duas polias, que conduzem o mesmo ao longo de um canal aquecido responsável por

modificar o estado sólido incial do filamento para pastoso ou semi-líquido, até que este possa

ser expulso através de um bico extrusor de diâmetro calibrado. O cabeçote extrusor,

controlado por um comando computadorizado, movimenta-se ao longo dos eixos X e Y,

realizando a deposição do material em uma base aquecida. A plataforma movimenta-se

gradativamente no eixo Z, no sentido vertical para baixo, consoante o incremento das

camadas configuradas para a construção do objeto. Este processo de movimentação dos eixos

se repete até que a peça tenha sido totalmente fabricada (ISADDORA BARATTO

FONTENELLE et al., 2017; NGO et al., 2018; SANTANA, 2015a; VOLPATO, 2017).

A Figura 19 apresenta um esquema no qual o sistema FDM dispõe de um segundo

bico extrusor, que na maioria dos casos possui a função de depositar o material utilizado na

construção das estruturas de suporte. Algumas peças apresentam geometrias em que, durante

o processo de construção, partes da peça não estão conectadas ao corpo do modelo. Tal

fenômeno pode ocorrer durante o início da fabricação, envolvendo as primeiras camadas ou

qualquer outro ponto do processo. Portanto, as estruturas de suporte têm a função de

preencher espaços que teoricamente estariam vazios e que conduziram à deposição

inadequada e ao colapso das estruturas fabricadas (MAGALHÃES, 2010; VOLPATO et al,

2007) apud (SANTANA, 2015a).


24

Figura 19 – Sistema FDM com dois bicos extrusores. Fonte elaboração própria (adaptado SANTANA, 2015b).

O processo FDM apresenta uma boa disponibilidade para trabalhar com materiais com

baixa temperatura de extrusão (entre 68 ºC e 270 ºC) e condução térmica (GIBSON; ROSEN;

STUCKER, 2010b; GONÇALVES, 2017). Entre polímeros mais utilizados nesta tecnologia,

encontram-se o Ácido Polilático (PLA) e o Acrilonitrila Butadieno Estireno (ABS),

Politereftalato de Etileno (PETG), Policarbonato (PC) e Nylon (CICALA et al., 2017;

SANTANA et al., 2018).

2.5.1 Parâmetros Os parâmetros de processo, Figura 21 e Figura 21, possuem uma grande importância

na produção de peças através do processo FDM, uma vez que afetam diretamente o resultado

final das mesmas em índices técnicos como: rigor dimensional e de forma, resistência à

tração, impacto e flexão. Além das características dos componentes, a configuração dos

parâmetros afeta também os chamados índices econômicos, que abrangem o tempo de

fabricação e a quantidade de material de construção e suporte utilizada. Os aspectos

mencionados anteriormente podem ser regulados direta ou indiretamentes por quem realiza o

processo de impressão. Orientação de construção, ângulo de varredura, espessura de camada,

largura de varredura e de contorno, número de contornos, espaçamento entre varreduras e

entre contornos e varredura são os parâmetros mais relevantes no FDM (SANTANA, 2015a).

Segundo Volpato (2017), independentemente da forma de alimentação do material, nas


25

tecnologias baseadas em extrusão os parâmetros de processo são quase que iguais em sua

totalidade.

Figura 20 – Conjunto dos principais parâmetros do processo FDM (adaptado de SANTANA, 2015b).

Figura 21 – Orientação de construção da peça (adaptado de SANTANA, 2015b)4.

A seguir são descritos os parâmetros exibidos na Figura 20 (SANTANA 2015):

a) Orientação de construção: representa o posicionamento da peça ao longo da

plataforma de construção em relação aos eixos X, Y e Z (SOOD; OHDAR;

MAHAPATRA, 2012);

b) Espessura de camada (layer thickness): a espessura da camada é medida ao longo

do eixo Z, representa a altura da camada e se relaciona com o tipo de bico

utilizado (SOOD; OHDAR; MAHAPATRA, 2009);

4 Inspirado no trabalho de Hossain et all (2013).


26

c) Largura do filamento (largura de varredura — part raster width ou road width):

representa a largura definida para o preenchimento da parte interna da camada,

sendo delimitada pelo contorno (FOGGIATTO, 2005);

d) Número de contornos (number of contours): é o número de perímetros construídos

ao redor da peça, tanto externa quanto internamente (DOMINGO-ESPIN et al.,

2014);

e) Ângulo de varredura (raster angle): representa a direção na qual as varreduras

encontram-se em relação ao eixo X da plataforma de construção (SOOD;

OHDAR; MAHAPATRA, 2012);

f) Espaçamento entre filamentos depositados (raster to raster air gap ou air gap):

distância entre dois filamentos adjacentes na mesma camada. O valor zero é

utilizado como padrão e proporciona o encontro dos filamentos. Já um

espaçamento positivo deixa as varreduras distantes uma da outra. Por outro lado,

uma folga negativa faz com que os filamentos se sobreponham, o que resulta em

uma estrutura mais densa e que demanda maior tempo de construção (AHN et al.,

2002);

g) Espaçamento entre filamento do contorno e do preenchimento (raster to contour

air gap ou air gap between contours and rasters): controla a distância entre os

filamentos do contorno externo e os de preenchimento interno da peça. Seu valor

padrão é zero, sendo assim, eles se tangenciam. Sendo negativo, significa

interferência (sobreposição); já valor positivo reflete em um espaçamento entre

eles (FOGGIATTO, 2005).

Segundo Magalhães (2010), as temperaturas de extrusão e envelope também são

parâmetros essenciais para a impressão de peças através da tecnologia FDM. Estas

correspondem, respectivamente, às temperaturas ajustadas para o bico extrusor e para o

interior da câmara do equipamento no qual a peça é construida. A velocidade de deposição ou

de impressão é outro parâmetro importante e representa a movimentação linear do bico

extrusor. O processo de construção de uma peça por FDM é lento, uma vez que a velocidade

de construção é limitada pelo fluxo de material no cabeçote extrusor. (CHUA; LEONG; LIM,

2003; LIMA, 2009; STEPHEN; DALGARNO; MUNGUIA, 2013)

Peças fabricadas através do processo FDM, segundo (LI et al., 2002), são consideradas

compósitos formados por filamentos poliméricos conectados e vazios. O interior de um objeto

desenvolvido através da tecnologia, Figura 22, assemelha-se a uma estrutura compósita de


27

fibras reforçadas. As peças apresentam fragilidades nas regiões de adesão entre camadas

(BELLINI e GÜÇERI, 2003 apud, SANTANA, 2015b).

A associação realizada entre um objeto obtido por FDM com compósito permite a

análise dos elementos em dois níveis. Em um nível macro, faz com que se estudem as

propriedades das peças como laminados no qual há uma conexão entre estas lâminas,Figura

22. Já em um nível micro, as propriedades de cada lâmina estão em função das características

dos filamentos, da qualidade da adesão entre os filamentos e da densidade de vazios

(BELLEHUMEUR et al., 2004).

Figura 22 – Composição do interior de uma peça obtida através do processo FDM (adaptado de SANTANA,

2015b).

A união entre os filamentos ocorre em dois estágios Figura 23 (i) dentro das camadas

(intra layer), isto é, na união entre filamentos adjacentes que se encontram em uma mesma

camada e (ii) adesão entre camadas (inter layer), ou seja, na união entre duas camadas

sucessivas (GURRALA; REGALLA, 2014). Para Bellehumeur et al. (2004), um fator

diretamente responsável pela integridade e propriedades mecânicas das peças fabricadas é a

qualidade de união entre os filamentos depositados.


28

Figura 23 – Representação da união entre camadas, e união na mesma camada (adaptado de SANTANA,

2015b)5.

2.6 O FABRICO ADITIVO E PRODUÇÃO DE PEÇAS GRANDES

O desenvolvimento do FA ocorre em diversos aspectos. Tal evolução proporciona

inúmeros benefícios, como impressões com tempo reduzido, alta resolução das peças,

surgimento de novos materiais com diferentes propriedades, acessibilidade da tecnologia e a

possibilidade de imprimir objetos com dimensões cada vez maiores (LJUBAS, 2019).

Segundo Aydin (2015), o FA será o futuro da indústria moderna. A tecnologia

inicialmente era voltada para a produção de produtos com alto valor agregado, desenvolvendo

peças para a indústria aeroespacial, automotiva e médica. Ultimamente a indústria moveleira

também passou a fazer uso de tal tecnologia. A utilização do FA na produção de mobiliário

apresenta características que favorecem a sua utilização neste ramo. Primeiramente, a

possibilidade de criação de produtos costumizados, uma vez que as alterações nos produtos

podem ser facilmente realizadas. Outro fator benéfico são os baixos custos de produção, já

que os valores são inferiores se comparados a custos relacionados à mão-de-obra e outros

fatores ligados à fabricação do produto através de formas convencionais.

A redução de custos significativos pode ser observada com o fim de estoques de altas

produções e também na redução de desperdício de material. Toda a diminuição de gastos e a

5 Inspirado no trabalho de Bellehumeur (2004).


29

economia de material proporcionadas pela tecnologia FA representam um uma grande

redução de danos ao meio ambiente (SAAD, 2016)

Diferentemente dos equipamentos de Impressão 3D tipo desktop, que possuem volume de

construção limitado, a indústria dispõe de acesso a equipamentos com elevados volumes de

impressão. Alguns exemplos são as máquinas que utilizam concreto, capazes de fabricar

casas, e os robôs adaptados para realizar impressões de mobiliários de grande porte, como o

caso da Galatea. Braços robóticos utilizados na impressão de móveis são aproximadamente 40

vezes mais rápidos do que as impressoras convencionais. Impressoras 3D de larga capacidade,

como a BigRep, também são capazes de fabricar diversos tipos de mobiliário (AYDIN, 2013;

KOVACS et al., 2017). A Figura 24 apresenta os equipamentos citados anteriormente.

Figura 24 – a) braço robótico adaptado para a impressão 3D. Fonte: Adaptado de (FRENCH STARTUP 3D

PRINTS YOUR FURNITURE USING LARGE-SCALE 3D PRINTER, 2014) b) impressora BigRep capaz de

imprimir grandes peças (BIBREP ONE THE MOST ADVANCED LARGE-SCALE INDUSTRIAL 3D

PRINTING EXPERIENCE, 2019) c) Impressão de concreto (adaptado de GAGET, 2018).

A Impressão 3D em larga escala apresenta-se como uma boa ferramenta na área da

construção, arquitetura e design, podendo ser útil também no desenvolvimento de peças com

geometrias complexas. O uso da tecnologia nestes cenários elimina o alto custo do trabalho

manual, diminuindo o tempo de construção e permitindo uma elevada liberdade de forma do

produto final. As novas tecnologias têm despertado cada vez mais o interesse na área da

arquitetura, devido à capacidade de algumas máquinas em produzir, praticamente, edifícios

com qualquer forma. A tecnologia D-Shape, Figura 25,é um exemplo da posssibilidade de se

produzir peças em escalas de construção (BENVENUTI; CECCANTI; DE KESTELIER,

2013; NABONI; PAOLETTI, 2015).


30

Figura 25 - a) estrutura de uma Impressora D-Shape. Fonte: Adaptado de (BENVENUTI; CECCANTI; DE

KESTELIER, 2013). b) Protótipo de uma estrutura voltada para construção através da tecnologia D-Shape

(adaptado de QUIRK, 2012).

Alguns dos pontos positivos das tecnologias capazes de imprimir grandes estruturas

arquitetônicas residem no fato de tais máquinas possibilitarem a fabricação de abrigos para

refugiados ou moradia para pessoas de baixa classe social (NABONI; PAOLETTI, 2015).

Portanto, o FA é uma alternativa real que viabiliza projetos não convencionais no que tange a

geometria utilizada, permitindo um alto grau de liberdade de formas aplicadas na sua

construção.

Estruturas de grande porte também podem ser desenvolvidas através de impressoras

do tipo desktop, utilizando o conceito de peças para montagem. O inglês Matt Denton é um

entusiasta da tecnologia de Impressão 3D bastante conhecido na cultura maker. Através da

impressão de blocos inspirados no projeto Lego, Denton conseguiu construir estruturas com

um tamanho considerável que quase permitiam a utilização das mesmas pelo seu sobrinho de

sete anos (DAVID, 2018), Figura 26.


31

Figura 26 - a) Peças de lego feitas através do processo FDM por uma impressora tipo desktop. b) Empilhadeira

de lego em tamanho aumentado, que demonstra a possibilidade de desenvolvimento de estruturas de grande

porte em Impressoras do tipo FDM de baixo custo (adaptado de TESS, 2018).

Outra abordagem utilizada por entusiastas da Impressão 3D na confecção de peças de

grandes dimensões consiste na combinação de elementos já existentes com peças impressas.

O TrussFab é um expoente deste tipo de projeto, que une garrafas PET através de conectores

impressos em 3D. A grande questão da construção de objetos de grande porte, como

mobiliários, pontes, entre outros, está relacionada à capacidade das estruturas em resistirem à

aplicações de força. O TrussFab permite a criação de estruturas através de um sistema de

treliças que torna possível a sustentação do peso humano, Figura 27 (KOVACS et al., 2017).

Figura 27 – a) estrutura de grande porte (mobiliário) construido à partir do sistema TrussFab, b) detalhe da união

do conector com as garrafas pet (Fonte: (KOVACS et al., 2017)


32


33

3 ESTUDOS DE CASO

3.1 METODOLOGIA DE OBSERVAÇÃO E IMAGINAÇÃO

Ao buscar estudar as potencialidades da Impressão 3D de baixo custo, baseada em

extrusão, na confecção de produtos multifuncionais obtidos a partir de modelos matemáticos,

a presente dissertação propôs uma metodologia de projeto baseada na visualização de

modelos matemáticos tridimensionais, na imaginação de aplicação das geometrias geradas e

na adaptação destes modelos para o uso final. A abordagem traduziu-se em um método

simples e fácil, que possibilita que pessoas sem conhecimento matemático avançado possam

utilizar a metodologia como uma ferramenta de criação de peças. Esse conceito foi publicado

na Revista Tecnometal em artigo intitulado “Aplicação de modelos matemáticos no fabrico

aditivo de componentes para mobiliário” (GUERRA; SANTANA; LINO, 2019). A Figura 28

apresenta as etapas do exercício de observação e imaginação, descritas a seguir;

A visualização (observação) do modelo é a primeira etapa da metodologia e consiste na

seleção de uma forma matemática 3D. Durante a segunda etapa, inicia-se o processo de

desenvolvimento criativo, no qual procura-se atribuir uma futura função à forma selecionada.

O processo de criação pode ser feito por meio de sketches esboços feitos à mão, ou

representações virtuais. A configuração do modelo é a terceira etapa da metodologia e pode

ser realizada, por exemplo, através do software livre K3Dsurf, que dispõe de uma biblioteca e

apresenta diversos modelos complexos que podem ser interativamente modificados, sem a

necessidade de conhecimento em formulação matemática. Tais alterações na geometria

selecionada tem como objetivo adaptar a peça para aplicações práticas. Com o modelo

completamente editado a quarta etapa consiste na impressão do modelo. Por fim com o

modelo pronto é possível dar início a montagem da estrutura idealizada.


34

Figura 28 - Etapas do exercício de visualização e imaginação (fonte: elaboracão própria).

A Figura 29, apresenta alguns esboços iniciais. E representam o processo de idealização

de concepções, que demonstram a possibilidade do desenvolvimento de conectores.

Figura 29 – Sketches demonstrando a possibilidade da utilização de modelos matemáticos como componentes

para unir partes (fonte: elaboracão própria).


35

O método proposto teve como base o o pensamento do matemático Felix Klein, já citado

na seção 2.1. O mesmo defendia que o ensino da Matemática deveria ser baseado em quatro

pilares: (i) a interação entre abstração e visualização; (ii) a descoberta da natureza dos objetos

a partir de pequenas mudanças; (iii) pensamento funcional; e (iv) caracterização das

geometrias (MCCALLUM; MENGHINI; NEUBRAND, 2019). Os dois pontos contemplados

na metodologia proposta foram: abstração e visualização e pensamento funcional.

O desenvolvimento do presente estudo fundamentou-se na criação de rótulas para a

construção de mobiliário. As geometrias apresentadadas pelos modelos matemáticos, muitas

vezes, favorecem ao desenvolvimento de sistemas de conexão entre partes, conforme

visualizado anteriormente na Figura 29.

Segundo Saad (2016), diversas peças de mobiliários funcionais são desenvolvidas por

impressoras 3D de pequeno porte, através da montagem e união de elementos pequenos, para

constituir um produto final. O TrussFab utiliza-se de tal conceito, porém, não utiliza apenas

de peças impressas e faz uso de outros elementos com peças impressas para montar estruturas

de grande porte. Tal conceito foi uma inspiração para o desenvolvimento das rótulas baseadas

nos modelos matemáticos. Contudo fatores como reduzida precisão dimenssional, baixo

acabamento superficial, , distorções e empenamentos do material apresenta-se como uma

limitação da tecnologia MA se comparada as tecnicas tradicionais de produção (VOLPATO,

2017).

3.2 MATERIAIS E EQUIPAMENTOS UTILIZADOS

No presente trabalho foram utilizados três materiais para a construção dos conectores

(rótulas) baseados em modelos matemáticos: (i) o Ácido Polilático (PLA) comum da marca

“BQ”, (ii) uma versão modificada do mesmo, chamada de PLAsoft, da marca Orbi-Tech e

(iii) o Termoplástico Elastomero (TPE) da marca smart materials 3D.

O PLA é obtido de fontes renováveis como milho, trigo, arroz, entre outras.

Caracteriza-se também por ser um termoplástico semicristalino ou amorfo, biocompatível e

biodegradável, não tóxico e com boa processabilidade térmica (SANTANA, 2015a). É um

material propício para aplicações médicas, pois é altamente hidrolisável no corpo humano e

possui boas propriedades mecânicas. Sua aplicação na medicina contempla produtos para

aréas ortopédicas, cardiovasculares, intestinais, odontológicas e suturas. Outro setor que

utiliza o PLA é a indústria alimentícia, na composição de emblalagens (MUTHUI et al., 2014;

SANTANA, 2015a).


36

O PLA apresenta baixo coeficiente de expansão térmica, característica que facilita o

processo de Impressão 3D, pois reduz os efeitos de empenamento. Além disso, o material é

mais resistente mencanicamente que o Acrilonitrila Butadiento Estireno (CASAVOLA et al.,

2017; SANTANA et al., 2018; TANIKELLA; WITTBRODT; PEARCE, 2017). Estas

vantagens fazem com que os filamentos de PLA sejam bastante populares entre entusiastas da

tecnologia, sendo comercializados em uma vasta quantidade de cores (BARNATT, 2014).

A resistência à tração do PLA encontra-se entre (50 e 70) MPa, e o módulo de

elasticidade entre (3,0 e 4,0) GPa. Sua temperatura de transição vítrea é próxima a (55 a 65)

ºC (MENG et al., 2012; SANTANA et al., 2018). Vale resaltar que o PLA pode ser moldado

através dos principais processos industriais, como a moldagem por injeção, extrusão, sopro,

termoformagem entre outros (SANTANA, 2015). Contudo, o material apresenta pontos

negativos, como fragilidade inerente e baixa resistência ao impacto, que representam

obstáculos à aplicação de tal polímero (BAI et al., 2012; KUMAR et al., 2010; SANTANA et

al., 2018; WANG et al., 2017).

O PLA soft foi utilizado em testes pontuais de sistemas de encaixe no segundo estudo de

caso desta dissertação. O material foi selecionado pois permite a impressão de peças flexíveis,

o que poderia ser interessante para o modo de operação dos conectores projetados. O polímero

em questão apresenta temperatura de extrusão que varia de 210 a 230 ºC, boa resistência e

durabilidade. A sua resistência a tração é de 17 MPa, a temperatura de transição vítrea varia

entre 68 e 90ºC e de fusão é de 160 ºC (3D-PRINTERSTORE.CH, [s.d.];

FILAMENT2PRINT, [s.d.]).

O TPE é um copolímero que apresenta características termoplásticas e elastomeras.

Dentre suas principais características destacam-se a boa resistência química, resistência a

baixas e elevadas temperaturas, comportamento mecânico constante, flexibilidade e

capacidade de absorver energia (MITSUBISHI CHEMICAL, 2018). O polímero apresenta

temperatura de extrusão entre 225-245 ºC (3D, 2019).

3.3 ESTUDO DE CASO 1

O primeiro estudo de caso teve como objetivo validar a metodologia proposta na seção

3.2. Para uma primeira aplicação a geometria 3D selecionada foi a forma Holes (Figura 30),

utilizada na confecção de elementos para a conexão de chapas de madeira, visando a

montagem de uma estante. O modelo matemático foi obtido na biblioteca do software


37

K3DSurf e alterado ao longo dos eixos X, Y e Z com o intuito de facilitar a fixação de outros

componentes.

O modelo Holes é considerado como uma superfície mínima. Tais superfícies

minimizam localmente a sua área. (MEEKS; PÉREZ, 2012)

A presença de furos e a simetria presentes ao longo dos três eixos principais (X, Y e

Z) foram fatores determinantes para a seleção da forma e do desenvolvimento do conceito

para a aplicação estudada, Figura 30.

Figura 30 – Representação da forma Holes (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO,

2019).

As formas curvas dos furos presentes no modelo original poderiam dificultar o encaixe

com outros elementos. As peças que iriam interagir com a forma matemática, muito

provavelmente teriam que ser maquinadas para apresentar o mesmo formato das cavidades

apresentadas pelo modelo Neste sentido, o modelo foi editado para que as formas curvas dos

furos tornassem retilíneas, Figura 31.


38

Figura 31 – Modelo matemático original, e alterações introduzidas na sua geometria, para obter uma malha

triangularizada tornando as reentrãncias retilíneas, que favorece o encaixe de outos elementos (fonte:GUERRA;

SANTANA; LINO, 2019).

O modelo matemático Holes foi obtido a partir da biblioteca do já mencionado

software K3Dsurf, conforme demonstrado na Figura 32.

(a) (b)

Figura 32 – (a) seleção do modelo na aba “exemples”. (b) visualização do modelo Holes (fonte:GUERRA;



39

Na barra “drawing options”, Figura 33, é possível alterar, de forma simples e

interativa, a geometria do modelo ao mover lateralmente os cursores referentes aos eixos X, Y

e Z no menu “Grid Resolution”.

Figura 33 – Movendo-se os cursores a geometria atribui-se diferentes resoluções da malha e forma do modelo

(fonte:GUERRA; SANTANA; LINO, 2019).

Uma vez gerada a malha da superfície, seleciona-se a barra “options” e configura-se o

modelo para ser formado apenas por triângulos, Figura 34.

Figura 34 – seleção do modelo na aba “options” e seleção da opção “all triangles” (fonte:GUERRA;


Por fim, configura-se a opção “Edit OBJ” para salvar o arquivo em formato OBJ

(Object File Wavefront 3D). Após exportar o modelo no K3Dsurf, o mesmo foi tratado no


40

software Rhinoceros, no qual atribui-se espessura à malha obtida anteriormente e convertido

em formato STL. A Figura 35, esquematiza as etapas do processo.

Figura 35 – Esquema de tratamento do modelo (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO, 2019).

Devido à geometria do modelo, que apresenta pontes (regiões de transição entre

corpos), percebeu-se a necessidade de se criar estruturas de suporte para a impressão, Figura

36, que foram geradas no programa Meshmixer.

(a) (b) Figura 36 – (a) Modelo 3D com a indicação das áres de suspensão e pontes presentes na geometria da peça, (b)

orientação e construção de suportes (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO, 2019).

Para a fabricação das peças foi utilizado um filamento de 1,75 mm de diâmetro de

PLA e impressora 3D MakerBot Replicator 2x. Os principais parâmetros de impressão

configurados encontram-se especificados na Tabela 2. Foram impressas 13 peças e o tempo


41

de impressão de cada uma foi de , em média, 2 horas e 4 minutos, sendo utilizado

aproximadamente 13g de PLA por elemento.

Tabela 2- Parâmetros de impressão utilizados na MakerBot Replicator 2x (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO,

2019).

Parâmetro Configuração

Espessura de camada (mm) 0,2

Temperatura de extrusão (ºC) 200

Temperatura da base (ºC) 65

Percentagem de preenchimento (%) 30

Concluída a etapa de construção das peças impressas, procurou-se analisar

possibilidades e configurações de construção para uma estante. O produto deveria permitir a

montagem de formas diferentes, de acordo com o espaço disponível Figura 37.

(a) (b)

Figura 37 – (a) Configuração da estante com três módulos, (b) configuração da estante com dois módulos

(fonte:GUERRA; SANTANA; LINO, 2019).

Após o desenvolvimento dos modelos de estante, foram estudados os pormenores de

fixação das placas de madeira nos componentes impressos. Para isso foram feitos pequenos

protótipos em contraplacado para se testar o encaixe com o modelo Holes e com base nas

limitações da forma do modelo impresso, chegou-se ao formato apresentado na Figura 38. As

placas de madeira que compõem a estante foram cortadas de modo a disporem de dois pinos

de encaixe por interferência na peça impressa.


42

(a) (b) Figura 38 – (a) Detalhe do corte feito na madeira para fixação do modelo impresso, (b) madeira fixada por

interferência no modelo impresso (b) (todas as unidades em milímetros) (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO,

2019).

Foram cortadas sete peças de contraplacado com o auxílio de uma serra de fita, com o

intuito de permitir a montagem de uma estante de dois módulos. As peças posicionadas

verticalmente possuem medidas de 300mm x 150mm; já as peças horizontais têm 300mm x

360mm, Figura 39. Após o corte, as peças foram lixadas para conferir um melhor acabamento

Figura 39 – Componentes em madeira da estante. A peça com 360mm refere-se a peça posicionada

horizontalmente e a peça com 150mm refere-se a que foi posicionada verticalmente (fonte:GUERRA;



43

A fase de testes do protótipo foi dividida em duas etapas: testes de montagem e testes

de uso. Durante os testes de montagem procurou-se analisar o processo de montagem do

mobiliário e as implicações decorrente de tal ação. Já nos testes de uso estudaram-se questões

relativas à usabilidade e resistência da estante. A Figura 40, demonstra a capacidade de

modularização e customização do projeto.

Um dos principais problemas identificados no processo de montagem foi a fratura de

alguns pinos de encaixes das partes em madeira Figura 41. As causas possíveis para tais

defeitos podem estar relacionadas à magnitude aleatória da força manual para fixar as partes

por interferência, à fragilidade apresentada pela madeira utilizada, por desalinhamentos

decorrentes da geometria natural do modelo Holes, ou por desvios de forma na peça impressas

originados no processo de fabricação.

A imprecisão das operações manuais de corte da madeira fez com que os pinos

apresentassem medidas ligeiramente maiores do que os orifícios da peça impressa, causando

incompatibilidades na montagem Figura 41(a). A separação entre camadas das peças

impressas foi também um problema relacionado à imprecisão dimensional dos elementos em

madeira. Ao se fixar uma peça na outra, os pinos com espessuras superiores aos orifícios dos

modelos impressos geraram cargas diretamente sobre a linha de adesão entre camadas,

conduzindo, portanto, à delaminação das estruturas depositadas Figura 41(b).

(a) (b) Figura 40 –(a) Modelo em escala 1:1 com um módulo, (b) e dois módulos (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO,

2019).


44

(a) (b) Figura 41 – (a) Detalhe do pino de fixação da madeira rachado, (b) delaminação do modelo impresso devido às

diferenças dimensionais dos componentes (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO, 2019).

Após a construção, iniciaram-se os testes relativos à usabilidade. No primeiro

momento foram apoiadas nove peças impressas em PLA e ABS, que totalizavam 248g, sobre

as plataformas da estante, Figura 42, que manteve sua integridade dimensional intacta.

Figura 42 – Modelo em escala sustentando peças leves (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO, 2019).

A rigidez estrutural da estante foi então avaliada colocando objetos com massas

superiores às das peças impressas. À medida que a carga aumentou, registou-se a deformação

das placas de madeira. O mobiliário resistiu até uma carga de aproximadamente 5kg,

colapsando com 8 kg, conforme mostrado na sequência de imagens apresentada na Figura 43.


45

O ensaio foi realizado com a utilização de um recurso de câmera lenta de um Iphone 6s, que

possibilitou analisar os pontos de deformação sofridos pela estante durante a aplicação de

massa até o momento de colápso da mesma.

Figura 43 – Teste da estante até o momento de colapso (fonte:GUERRA; SANTANA; LINO, 2019).

3.3.1 Considerações finais: estudo de caso 1

Através do primeiro estudo de caso, pretendeu-se explorar a possibilidade de imprimir

componentes complexos baseados em equações matemáticas e softwares de acesso livre.

Utilizando o processo FDM, com fio polimérico em PLA, imprimiram-se rótulas de suporte

para placas de madeira para a produção de estantes modulares. Variando os parâmetros das

equações matemáticas, através do software K3DSurf, foi possível alterar geometrias dos

modelos para o design de diferentes rótulas para unir partes.


46

Os resultados obtidos indicaram que o trabalho realizado é promissor, uma vez que

ficou evidenciado que o exercício de imaginação e a utilização de fórmulas matemáticas

permitem desenvolver sistemas funcionais para aplicações cotidianas, colaborando com os

conceitos de Klein (MCCALLUM; MENGHINI; NEUBRAND, 2019).

A junção da madeira aos componentes impressos apresentou-se como o ponto crítico

do projeto. A espessura da madeira, a área de interferência das peças, o desenho e a fabricação

dos pinos de encaixe não foram suficientes para manter a integridade estrutural da estante

com uma carga de 8 kg. É possível obter estruturas com maior rigidez alterando material, os

parâmetros das equações matemáticas e de impressão, bem como melhorando o design das

interfaces entre os componentes. Neste trabalho utilizou-se apenas o PLA, mas é possível

utilizar outro tipo de filamentos, como por exemplo filamentos com carga de pó de madeira,

que conferem aos objetos produzidos uma cor e textura semelhante à madeira.

Com os modelos impressos e a realização de testes de montagem e usabilidade pode-

se notar que o modelo matemático selecionado não beneficiava o usuário no momento de

montagem, pois as outras partes de interação, no caso específico, a madeira, precisavam de

um processo extra de maquinação. Observou-se a necessidade de produzir pinos na madeira,

para que a mesma se encaixasse nos orifícios do modelo. O alto grau de alteração e

maquinação necessário para as madeiras apresentou-se como um ponto a ser melhorar, pois

dificultava a eficiência da montagem. O sistema de encaixe proposto não obteve um bom

desempenho, o que acabou limitando a usabilidade e resistencia à carga do móvel produzido,

pois conduziu a falhas tanto nas chapas de madeira, como nas peças impressas.


Os resultados obtidos no primeiro estudo de caso motivaram a elaboração do segundo,

que procurou atuar nas limitações observadas, a fim de se desenvolver uma nova conceção de

rótula para aplicação no projeto de mobiliário. Com base nas informações dos testes

realizados no estudo 1, verificou-se que o projeto de sistemas de conexão a partir de modelos

matemáticos seria facilitado se fossem evitadas muitas alterações nas peças a serem unidas.

Através do segundo estudo de caso foi desenvolvido o artigo Aplicação de modelos

matemáticos no fabrico aditivo de componentes para mobiliário, para o XIV Congresso Ibero

Americano de Engenharia Mecânica.

No primeiro projeto foi necessário o corte das placas de madeira para criar pinos para a

união por interferência com a peça impressa e, conforme mencionado anteriormente, foi um


47

ponto de concentração de falhas. Portanto, para este trabalho procurou-se um modelo

matemático que apresentasse uma geometria capaz de fixar o segundo elemento, não

impresso, sem a obrigação de grandes modificações estruturais. Além do critério de

montagem, a forma selecionada deveria conter elementos que garantissem maior rigidez ao

produto.

Este trabalho teve como elemento de inspiração para o processo criativo o modelo

matemático “Scherk”. Nomeado em homenagem a Heinrich Scherk em 1834, a representação

é considerada uma superfície mínima. Uma das superfícies propostas por Scherk possui forma

similar a uma cela de cavalo, representada na Figura 44 (LAURANICA, 2015; MEEKS;

PÉREZ, 2012).

Figura 44 – Ilustração demonstrando possibilidades de encaixe do modelo Scherk em roxo (fonte: elaboracão

própria).

Após a observação do modelo de “Scherk” e a constatação da possibilidade de aplicar

a forma no desenvolvimento de uma rótula, procurou-se, portanto, modelar a geometria.

Devido à inexistência da pré-forma do elemento na biblioteca do software K3Dsurf, foi

necessário estabelecer uma nova estratégia de projeto, que consistiu em desenhar a geometria

a partir de imagens disponibilizadas na literatura. Diferente do estudo de caso 1, o presente

trabalho exigiu maior capacidade de modelação Figura 45.


48

Figura 45 - Secção do modelo de “Scherk” (a), forma baseada no modelo matemático (b), recorte central da

conjugação de superfícies (c), geometria final da rótula (d) (fonte: elaboracão própria).

Para a obtenção da geometria foi gerada uma secção do modelo de “Scherk”, apresentada

na Figura 45 (a), que representa um quarto da forma original. Integrando quatro dessas

secções foi possível obter a superfície baseada no modelo matemático original, Figura 45(b).

Ao conjugar várias formas baseadas na geometria padrão, chegou-se à conformação da Figura

45 (c). Fez-se um recorte central da conjugação e se obteve a forma em vermelho observada

na Figura 45 (d).

A geometria matemática apresentada na Figura 45 (d) e a experiência adquirida no

primeiro estudo de caso (seção 3.3) permitiram o desenvolvimento de produtos baseados na

combinação de estruturas impressas com elementos em madeira. De forma a tornar o trabalho

o mais abrangente possível para diferentes utilizadores da Impressão 3D, a presente etapa

procurou utilizar estruturas em madeira disponíveis em utensílios domésticos, de baixo custo

e de maior acessibilidade, sendo neste caso cabos de vassoura.

A utilização de tais estruturas também tinha como objetivo minimizar as operações de

maquinagem nas partes a serem encaixadas nas rótulas impressas (peças em preto naFigura

46), uma vez que a geometria cilíndrica dos cabos de vassoura (elementos em vermelho

naFigura 46) tende a se acomodar nas concavidades presentes na geometria do modelo

matemático. Em outras palavras, não são necessários processos auxiliares para garantir


49

compatibilidade entre as partes. A única operação necessária foi o corte da madeira para o

tamanho da peça a ser produzida.

Figura 46 - Modelo em CAD da rótula (peça preta) e fixação na madeira (cilindro vermelho) (a), Modelo em

CAD com prolongamento nas hastes para melhorar a fixação da madeira (b) (fonte: elaboração própria).

As dimensões internas e externas das rótulas foram determinadas em função do

diâmetro dos cabos de madeira, que em média apresentavam 21 mm. Porém, houve a

necessidade de prolongamento das hastes das concavidades do modelo para impressão, Figura

47 (b), para que as partes em madeira apresentassem melhor fixação, realizada por

interferência. A essência da rótula projetada permitiu estudar diferentes possibilidades de

estruturas e mobiliário. Apesar dos esforços para reduzir o número de partes distintas, um

único modelo de conector limitava a construção das estruturas, tornando necessário a

alteração da rótula inicial para a produção de um conjunto funcional de elementos de união.

Essas alterações procuraram modificar minimamente as formas inspiradas no modelo

matemático — Figura 47 (b) e (c).

Figura 47 - Rótula principal (a), (b) variação 1, e (c) variação 2 (fonte: elaboracão própria).


50

Para observar como seriam as estruturas e ter uma ideia da montagem dos móveis e as

possibilidades que as rótulas poderiam oferecer, foram desenhadas algumas alternativas em

CAD 3D. Por fim, foi definida a montagem de três configurações de móveis: um banco, uma

cadeira e uma estrutura de mesa.

As rótulas foram produzidas numa impressora 3D modelo Alpha 8 Printer (equipamento

não comercial, desenvolvido por André Brandão), utilizando como material de construção um

filamento de Ácido Polilático (PLA) de 1,75 mm de diâmetro do fornecedor BQ. Os

principais parâmetros de impressão configurados são apresentados de forma sintetizada na

Tabela 3.

Tabela 3 – principais parâmetros de impressão.

Parâmetro Configuração

Espessura de camada (mm) 0,24

Temperatura de extrusão (ºC) 200

Temperatura da base (ºC) 45

Percentagem de preenchimento (%)

Velocidade de impressão (mm/s)

23

80

Por apresentarem geometrias distintas, o tempo de impressão e a quantidade de

material utilizada não são iguais para todas as peças (ver Tabela 4). Devido à presença de

áreas de transições entre componentes, caracterizadas por pontes internas aos modelos, foi

necessário o uso de suportes na impressão das três concepções projetadas Figura 48 - (a), (b) e

(c). A geração de suportes foi realizada de forma automática no software de fatiamento

Simplify3D®, no qual alterou-se a densidade destas estruturas com o objetivo de reduzir o

tempo de construção e quantidade de material. É importante mencionar que o próprio material

de construção, PLA, foi utilizado como suporte (Figura 48).

Tabela 4 - Informações de construção.


51

Figura 48 - Estruturas de suporte nos três tipos de peças em PLA (fonte: elaboração própria.)

O primeiro modelo de teste construído foi um banco em formato cúbico, Figura 49 (a). A

principal dificuldade identificada nesta etapa foi relacionada ao processo de montagem do

tampo do banco. Nesta etapa foi necessária a utilização de um martelo de borracha, Figura 49

(b), para encaixar os cabos de madeira nos elementos impressos, já que a fixação por

interferência, num movimento de deslizamento entre as partes, apresentou elevada resistência.

Este problema pode estar relacionado com um processo de variação dimensional das

cavidades internas da peça impressa, decorrente do ajuste paramétrico, ou por efeitos de

inchamento do polímero. Além do aspeto reológico, é importante mencionar que o PLA é um

material com elevada rigidez e baixa capacidade de deformação (SANTANA et al., 2018), o

que também interfere na eficiência da montagem. No final da montagem do tampo, foram

fixados os pés, que apresentavam uma estrutura em “x” com o objetivo de proporcionar maior

rigidez ao mobiliário. O banco suportou uma carga de aproximadamente 80 kg (obtida num

teste funcional, no qual um humano com tal massa sentou-se no produto) aplicada na vertical.

Figura 49 - Modelo do banco montado (a), processo de montagem (b) (fonte: elaboração própria).


52

A estrutura, porém, apresentou-se instável à medida que as forças eram aplicadas na

diagonal. As peças que uniam os pés ao tampo do banco apresentaram fissuras na linha de

adesão entre camadas, Figura 50 (a) e (b), além do fato de que as cargas foram aplicadas na

zona menos resistente das peças impressas.

Figura 50 - Fratura na zona de adesão das camadas (a), fratura na área de adesão entre as camadas com a

estrutura montada (b) (fonte: elaboração própria).

A Figura 51 ilustra a orientação de construção do conector, além de uma demostração

simplificada das provavéveis forças de interação entre a peça de madeira e o modelo

impresso.


53

Figura 51 – Esquema de forças que atuam entre a peça em madeira e o modelo impresso (fonte: elaboração

própia)

Ressalta-se ainda que foram realizados diversos processos de montagem e

desmontagem, aos quais as peças resistiram, mas que podem ter conduzido a um efeito de

relaxamento do material. Somado ao efeito mencionado, os esforços gerados pela

martelagem, associados à fragilidade inerente do PLA, podem ter contribuído para as falhas

observadas.

O segundo modelo de testes concebido foi uma estrutura para o desenvolvimento de

uma mesa, Figura 52 (a) e (b). Por ser maior do que o banco construído anteriormente, esta

apresentou-se mais frágil e menos estável. Para sua composição procurou-se posicionar os

cilindros de madeira na diagonal, com o intuito de formar treliças para conferir maior rigidez

ao produto. Porém, à medida que a estrutura se tornava mais rígida, com a adição de partes

em madeira e conectores, mais ela perdia em estética.

A terceira, e última, conceção foi uma cadeira, Figura 53(a). Comparada ao banco

cúbico, esta peça apresentou menor resistência mecânica, suportando cargas de

aproximadamente 50 kg, decorrente de um teste de uso com pessoas com tais massas. Devido

à sua geometria, a aplicação de forças concentra-se em duas rótulas laterais que unem o

assento ao apoio das costas do utilizador, formando um “x”. Este ponto apresentou-se como

crítico, resultando na fratura total das rótulas na região de adesão entre camadas, Figura 53(b).


54

Figura 52 - Estrutura da mesa (a), simulação da estrutura da mesa com um tampo na parte superior (b) (fonte:

elaboração própria).

Figura 53 - Cadeira montada (a), área de fratura na região de adesão de camadas das peças que unem o encosto

ao assento (b) (fonte: elaboração própria).

Ao fim da construção e dos testes com os móveis, constatou-se que um dos elementos

críticos no funcionamento dos produtos foram as próprias rótulas impressas. Além das

características inerentes à anisotropia mecânica das peças fabricadas pelo processo de

Impressão 3D por extrusão, as falhas nos elementos de conexão foram agravadas pelas

propriedades naturais do PLA. De forma a propor uma solução para os problemas observados,

foram construídas rótulas num material mais flexível, neste caso o “PLA soft”. Tal estratégia

teve como intuito obter uma peça maleável e, assim, estabelecer uma nova forma de fixação

das partes em madeira. Diferentemente dos modelos em PLA rígido, em que a montagem foi

realizada por interferência num movimento de deslizamento horizontal — Figura 54(a) e (b)

—, nas peças flexíveis o encaixe foi feito por pressão (movimento vertical), semelhante aos

principais tipos de sistemas de conexão rápida. Apesar de melhorar o processo de montagem e


55

desmontagem, observou-se uma diminuição na força de fixação do modelo impresso na parte

em madeira.

Figura 54 - (a) Direção do movimento de encaixe da peça em PLA, (b) conetor e parte em madeira encaixados,

(c) direção do movimento de encaixe do conector impresso em “PLA soft”, (d) peças encaixadas (fonte:

elaboração própria).

3.4.1 Considerações finais: estudo de caso 2 As impressoras FDM de baixo custo permitem a fabricação de formas complexas,

possibilitando a produção a partir de modelos matemáticos. Através da metodologia de

observação e imaginação proposta (seção 3.1) foi possível atribuir funções aos modelos.

Várias formas matemáticas apresentam características que podem ser adaptadas para o

desenvolvimento de rótulas. A transformação destas geometrias em rótulas e sua fabricação

apresentaram-se promissoras, porém o PLA utilizado na composição das peças apresenta-se

como um ponto negativo devido à sua fragilidade e pelas dificuldades que impõe ao processo

de montagem.

Foram desenvolvidos três modelos de mobiliário para testar a capacidade e resistência

das estruturas e dos conectores. Verificou-se que o padrão geométrico total das estruturas, isto


56

é, dos móveis, é fundamental para a eficiência do produto final, uma vez que, em conjunto

com os elementos impressos, altera sua rigidez, estabilidade e estética. Modelos cúbicos e de

pequenas dimensões são mais resistentes às cargas em uso. O tampo da estrutura apresentou-

se bastante rígido devido ao posicionamento e à quantidade de rótulas utilizadas,

proporcionando boa distribuição de cargas.

A segunda experiência consistiu na construção de uma mesa, que devido às maiores

dimensões, apresentou maior instabilidade e problemas estéticos. A terceira alternativa de

mobiliário foi uma cadeira. Este produto, comparado ao banco, apresentou maior fragilidade,

derivada de sua geometria, a qual direcionou de forma mais intensa a aplicação de cargas na

linha de adesão entre camadas, conduzindo à falha total das peças impressas. Apesar das

dificuldades observadas, este estudo demostra que a Matemática não é apenas uma ciência da

formulação, mas também uma arte de imaginação e conceção de produtos, abrindo, assim,

uma nova fonte de inspiração para designers e resposta a muitas perguntas feitas por

estudantes sobre a Matemática, em fases inicias no ambiente escolar, tais como: “para que isto

serve?”.


O terceiro estudo de caso foi desenvolvido para criar um conceito de um produto, para o

sertor mobiliário, composto apenas por peças impressas. O presente estudo buscou utilizar a

combinação de dois modelos matemáticos que, através de suas características naturais,

pudessem ser encaixados e permitir a construção de estruturas de grandes dimensões. Na

Figura 55 são apresentados esboços preliminares de diferentes alternativas de conjunção entre

formas matemáticas complexas.


57

Figura 55 – Sketch demonstrando possibilidades de encaixe entre modelos matemáticos distintos (fonte:


A proposta foi baseada no funcionamento do briquedo Lego®. No sistema, diversas peças

são agrupadas através de encaixes por pressão para formar um único componente (Figura 58).

Outra fonte de inspiração para o projeto foi o entusiasta Mat Denton, que imprimiu peças de

Lego® em Impressoras do tipo FDM de baixo custo, conseguindo obter produtos maiores que

o volume de trabalho das máquinas. Para o desenvolvimento de tal conceito, foram

selecionados os modelos matemáticos Chmutov e BlobySchwarz, apresentados

respectivamente na Figura 56(a) e (b), que foram obtidos através da biblioteca do software

K3DSurf.


58

Figura 56 – a) modelo Chmutov, b) modelo BlobySchwarz ambos presentes na biblioteca do software K3Dsurf.

(fonte: elaboração própria).

Através de esboços, buscou-se analisar e pensar os encaixes dos dois modelos e a

possibilidade de se construir estruturas com os mesmo Figura 57.

Figura 57 – Scketch representativo da união entre os modelos para a construção de estruturas de grande porte.

(fonte: elaboração própria).


59

Figura 58 – Comparação do encaixe dos modelos matemáticos Chmutov, BlobySchwarz com o conceito de

encaixe do LEGO (fonte: elaboração própia)

Inicialmente foi impresso um modelo de cada peça em PLA, para visualização e estudo

dos encaixes Figura 59. Neste primeiro contato, percebeu-se a necessidade de alteração de um

dos modelos, neste caso o BlobySchwarz, para permitir uma melhor montagem e possibilitar a

construção das estruturas.

Figura 59 - Modelos matemáticos Chmutov, BlobySchwarz impressos em PLA (fonte:


Conforme ilustrado na Figura 60, ao unir as peças, a interação entre as geometrias de

dos dois modelos permitia que 2 Chmutov pudessem ser encaixados no modelo

BlobySchwarz. Visando encaixar 4 modelos Chmutov, observou-se a necessidade de aumentar

o diametro da região central do modelo BlobySchwarz.


60

Figura 60 – Esquemas de encaixe dos modelos matemáticos Chmutov, BlobySchwarz. E aumento da área central

do modelo BlobySchwarz (fonte: elaboracão própria).

Foi necessária a utilização de um outro software de modelação para a realização das

mudanças sugeridas na peça BlobySchwarz. Tais alterações necessitavam de um

conhecimento matemático, para serem realizadas no software K3DSurf. Portanto, utilizou-se o

plug-in GrassHopper, um editor gráfico de algorítimos integrado às ferramentas de

modelação do Rhinoceros, que não exige conhecimento de programação ou script por parte

do utilizador. Tal pug-in permite a geração de modelos paramétricos baseados em algorítimos,

que possibilitam a sua utilização em áreas da arquitetura e do design. O passo a passo a seguir

apresenta as etapas que foram necessárias para realizar a construção do modelo

BlobySchwarz.

Inicialmente construiu-se uma esfera de malha poligonal, que representa a parte central

do modelo matemático Figura 61. Esta região da forma foi a que sofreu alterações para

possibilitar que um BlobySchwarz permitisse o encaixe de seis Chmutov.


61

Figura 61 – a) representação da esfera no pug-in grasshopper, b) representação da esfera no software rhinoceros

(fonte: elaboracão própria).

Através do Grasshopper é possível, conforme mencionado anteriormente, alterar de

forma paramétrica ao mover a barra apresentada na Figura 62 a), a geometria da forma a ser

construída. Alguns parâmentros como raio da esfera, plano de posicionamento da geometria e

quantidade de faces a redor da esfera podem ser alterados de forma paramétrica Figura 62 b).

Figura 62 – a) barras que alteram valores da geometria a ser construida. b) Representação da esfera, no qual “B”

representa o plano de posicionamento, “R” Raio e “U” a quantidade de faces ao redor da esfera (fonte:


Em um segundo momento, criou-se uma esfera ao redor da esfera central. Com um

raio menor e diferente posicionamento no plano Figura 63.


62

Figura 63 – Em a) representação da primeira esfera menor ao redor da efera central no Grasshopper, b)

posicionamento e dimensões das esferas no rhinoceros (fonte: elaboracão própria).

O mesmo processo da etapa anterior foi repetido mais 6 vezes para o desenvolvimento

das demais esferas ao redor da esfera central em diferentes posicionamentos no plano (Figura

64).

Figura 64 – a) Representação das 6 esferas menores no Grasshopper, b) representação do resultado no rhinoceros


A terceira etapa é representada pela criação dos cilindros responsáveis por unir as

esferas de menor tamanho com a esfera central do modelo Figura 65. O mesmo processo de

replicação das esferas foi realizado para construir os seis cilindros, unindo assim todas as

esferas menores com a central Figura 66.


63

Figura 65 – a) representação do cilindro no grasshopper, b) representação do cilindro unindo a esfera de maior

com a de menor raio (fonte: elaboracão própria).

Ao construir a esfera central, as seis esferas menores e os seis cilindros, chegou-se a

uma forma básica do modelo matemático BlobySchwarz Figura 67 b).

Figura 66 – a) representação dos seis cilindros no grasshopper b) representação do modelo dos cilindros

conectando as esferas pequenas com a maior (fonte: elaboracão própria).


64

Figura 67 – a) principais parâmetros de alteração da pré forma finalno grasshopper, b) representação da préforma

final no rhinoceros (fonte: elaboracão própria).

Todas as formas criadas nos procedimentos anteriores podem ter suas dimensões

alteradas paramétricamente, possibilitando assim a alteração da geometria Figura 68.

Determinando alguns parâmetros, é possivel alterar o raio da esfera central e das menores. O

comprimento e o raio dos cilindros também podem ser editados, apenas movendo os cursores

dos respectivos parâmetros.

Figura 68 – a) cursores responsáveis pelas alterações de parâmetros, b) geometria com o tamanho dos cilindros

bem reduzido, c) geometria com o tamanho do cilindo de forma aumentada porém com o diâmetro reduzido.


A seguinte etapa consiste na união das malhas, o que possibilita a transformação de todos

os elementos criados em um único sólido Figura 69.


65

Figura 69 – a) representação no grasshopper da união das malhas, b) representação do sólido no rhinoceros.


Por fim, com o objetivo de suavizar a união entre as esferas menores com a esfera

central utilizou-se o comando de “suavização laplaciana”, que é uma ferramenta do

Grasshopper. O efeito atribui uma geometria mais orgânica, o que aproxima o sólido mais

ainda do modelo BlobySchwarz original Figura 70.

Figura 70 – a) representação da suavização laplaciana no grasshopper, b) geometria final já bastante proxima do

modelo BlobySchwarz original (fonte: elaboracão própria).

Ao fim de todo o processo de construção, a Figura 71 ilustra como ficou a

representação do modelo BlobySchwarz na interface do plug-in grasshopper. A figura

demonstra, no entanto, que apesar de proporcionar grandes possibilidades de alterações na

geometria do sólido, todo o processo de criação não constituí uma tarefa simples e intuitiva.


66

Portanto, o uso do plug-in grasshopper torna-se limitado a usuários que possuem um certo

conhecimento do software.

Figura 71 - Representação do modelo BlobySchwarz na interface do plug-in grasshopper (fonte: elaboracão

própria).

Com a geometria final obtida através do Grasshopper, gerou-se um arquivo STL para

a Impressão 3D de um modelo BlobySchwarz. A impressão visava uma análise das alterações

na peça, além de testar se de fato as mesmas possibilitariam que um modelo BlobySchwarz

que permitisse o encaixe de outros Chmutov. Outro ponto analisado foi a resistência dos

encaixes. Tais características foram identificadas nas impressões inicias dos modelos que não

sofreram alterações. Observou-se que as duas peças em PLA desgastavam-se com o atrito e

apresentavam uma maior resistência no ato de encaixe devido a rigidez do material, o que não

permitia uma deformação considerável para uma fácil realização do encaixe. Para contornar o

problema de desgaste e facilitar o processo de encaixe, o modelo Chmutov foi impresso em

TPE (Térmoplástico Elástomérico), que é um material mais flexível e menos rígido que o

PLA Figura 72.


67

Figura 72 – a) modelo BlobySchwarz impresso em TPE branco (peça flexível) e modelo Chmutov impresso em

PLA preto (peça rígida), b) teste de encaixe dos modelos com a geometria alterada (fonte: elaboracão própria).

Para criar um conjunto montado, representado na Figura 73, e testar a resposta táctil e

o conceito de encaixe proposto, foram impressos X modelos BlobySchwarz em TPE e X peças

Chmutov em PLA.

Figura 73 – a) vista superior de uma estrutura contendo nove Chmutov e nove BlobySchwarz, b) vista isometrica


O encaixe entre as peças, com os modelos impressos em materiais distintos, funcionou

bem à resposta manual do operador. As alterações realizadas no modelo BlobySchwarz

permitiram o encaixe utilizar todos os pontos de encaixe (esferas menores).


68

Ao direcionar o trabalho para o desenvolvimento de estruturas de grande porte através

de impressoras FDM de baixo custo, buscou-se idealizar que tipos de mobiliários poderiam

ser feitos com os modelos matemáticos em questão, uma vez que foram definidas as formas e

comprovadas as possibilidades de encaixe entre as peças. A primeira estrutura pensada foi um

banco.

Para tornar possível a criação de tal mobiliário os modelos foram escalonados de

forma a diminuir o número de peças necessárias na montagem. Através do software

rhinoceros desenvolveu-se o conceito apresentado na Figura 74.

Figura 74 – Conceito do mobiliário desenvolvido com os modelos matemátiocs Chmutov e nove BlobySchwarz


Como testes para validar a impressão das peças em uma escala maior e analisar as

possibilidades de desenvolvimento do banco imprimiu-se dois modelos de cada. A Figura 75

demonstra a diferença de escala dos modelos impressos anteriormente em relação àqueles

com o tamanho necessário para a construção de um banco.


69

Figura 75 – a) modelos em escala reduzida, b) modelos em escala real (fonte: elaboracão própria).

O projeto acabou tornando-se inviável para a construção de mobiliários em grande

escala devido aos seguintes fatores: (i) elevada quantidade de peças separadas; (ii) alto custo

de mercado do TPE 6e grande quantidade de material necessário para a montagem total da

estrutura e (iii) longos tempos de impressão das peças. Tais valores podem ser observados na

Tabela 5

Tabela 5 – Informações de custo de material, tempo de impressão e quantidade de material.

6 Sites com os valores dos filamentos de PLA e TPE

https://mediamarkt.pt/products/bq-filamento-pla-preto-1-75mm-impressora-3d?variant=15907760242731

https://www.smartmaterials3d.com/es/tienda-smart/20-flex.html#/tamano-m_750g/color-true_black/diametro-1_75_mm_0_03


70

O custo para imprimir as peças seria de aproximadamente 280 € apenas de TPE e 218

€ para o PLA totalizando um valor 498 €.

Por outro lado, a seleção dos dois modelos e a transformação de ambos em um sistema

de encaixe possibilita a construção de diversas estruturas (Figura 76). Sobre este aspecto, este

projeto apresenta-se bastante versátil, já que uma vez criado o sistema de encaixe, o usuário

pode construir a estrutura que melhor atende as suas necessidades de espaço ou tipo de

mobiliário.

Figura 76 – Possibilidades de outras estruturas que podem vir a ser desenvolvidas (fonte: elaboracão própria).


71

4 CONSIDERAÇÕES SOBRE OS ESTUDOS DE CASO

4.1 COMPARAÇÕES ENTRE OS ESTUDOS DE CASO

O primeiro estudo de caso provou-se mais eficiente do ponto de vista do usuário sem

conhecimentos na área da matemática e da modelação 3D. Tal fato é explicado uma vez que

através do software K3Dsurf foi possível selecionar um modelo matemático e, na mesma

plataforma de visualização, realizar modificações de forma parametrica ao longo dos eixos X,

Y e Z na geometria do modelo. As alterações são realizadas de forma intuitiva em uma

interface user friendly, não exigindo grandes conhecimentos. No entanto, não há um controle

fino para alteração das formas, dimensões e para a aplicação de características específicas a

um projeto mecânico, arquitetónico ou de design. Essa consideração é feita, pensando em um

usuário que não tenha conhecimentos avançados na matemática, já que se sabe que através da

manipulação de parâmetros e estruturas de equações é possível modelar sistemas de alta

complexidade. Portanto, dependendo da alteração desejada, não é possível realizá-la no

mesmo software, fazendo com que outro seja necessário. De qualquer forma, um software de

modelação CAD apresenta-se necessário no momento de exportar o arquivo gerado no

K3Dsurf para conferir a espessura do modelo em questão, que até este momento é uma

superfície de espessura zero. Através desta análise conclui-se que apesar do usuário possuir

uma autonomia em relação às habilidades no campo da matemática e de modelação CAD, o

mesmo fica limitado aos modelos matemáticos apresentados na biblioteca do software e às

limitações impostas pelo K3Dsurf na ferramenta de alteração da geometria do modelo ao

longo dos eixos X, Y e Z.

O segundo estudo de caso apresentou os caminhos que um usuário teria que realizar

caso não utilizasse um modelo matemático presente na biblioteca do K3Dsurf. A experiência

abordou também um cenário em que o projetista tivesse a necessidade de realizar alterações

mais específicas na geometria do modelo matemático selecioando para a função desejada.


72

Uma vez que o modelo matemático não constava na biblioteca do software K3Dsurf,

fez-se necessária a modelação através de um sistema CAD 3D tradicional. Com este fato, o

segundo estudo de caso se apresentou como um processo em que o usuário necessitava de

conhecimento de modelação 3D considerável, já que dependendo da geometria escolhida, a

construção da forma poderia não ser uma tarefa simples. Contudo, caso o usuário tenha

habilidades em plataformas de modelação CAD e desenho de geometrias complaxas, ele pode

construir os modelos sem necessariamente ter o conhecimento da matemática. Tal fato

possibilita obter uma geometria próxima ou inspirada no modelo matemático. A Figura 77,

apresenta as etapas de modelação em cada estudo de caso.

Semelhante ao segundo estudo de caso, o terceiro também necessita da utilização de um

terceiro software para a realização de alterações no modelo. O modelo que precisou passar

pelas alterações, para atender às necessidades do projeto, encontrava-se na biblioteca do

K3Dsurf. Porém, devido as limitações apresentadas na ferramenta de alteração da geometria

do modelo matemático, a peça precisou ser modelada através do plug-in GrassHopper do

software Rhinoceros. Tal fato demanda uma grande habilidade do usuário para a modelagem

através do plug-in, mais difícil do que utilizar as ferramentas convencionais do Rhinoceros

devido a sua interface não intuitiva.

Figura 77 - Quadro comparativo de etapas de modelagem (fonte: elaboracão própria).

Ao confrontar os três estudos de caso, percebe-se que o software de visualização e

manipulação K3Dsurf oferece os modelos matemáticos, porém não favorece uma boa

manipulação no que se refere à alteração de forma dos modelos. O K3Dsurf possibilita a

utilização por usuários leigos, permitindo-os alterar os modelos em relação aos eixos X, Y e Z


73

de forma paramétrica, entretanto, não oferece um alto grau de liberdade para que se alcance a

geometria desejada para um projeto funcional.

Ao utilizar um software CAD tradicional, o usuário necessita de conhecimento de

modelação 3D, o que lhe confere autonomia para realizar as mudanças que julgar necessárias.

Contudo, o modelo torna-se uma representação aproximada do modelo matemático, isto é,

não uma geometria fiel a sua equação de origem. A Tabela 6 apresenta um quadro

comparativo geral referente aos métodos de modelagem.

Tabela 6 - comparação geral de métodos de modelagem.

Características Estudo de caso 1 Estudo de caso 2 Estudo de caso 3

Tipo de interface Intuitiva Pouco intuitiva Pouco intuitiva

Nível de conhecimento matemático Nenhum Nenhum Nenhum

Destreza com software CAD Baixa Alta Alta

Necessidade de outros softwares Média Baixa Alta

Grau de liberdade Baixo Alto Alto

Nível de proximidade do ideal matemático

Alto Baixo Médio

Dentre os softwares utilizados nos três estudos de caso, o que apresenta uma interface

mais intuitiva é o K3DSurf. Tal programa, permite uma alteração das peças apenas com a

utilização de cursores, que alteram a forma do modelo ao longo dos eixos X, Y e Z. Já os

outros dois casos não são tão intuitivos, pois tanto o Rhinoceros quanto o GrassHopper

exigem um conhecimento CAD por parte do usuário. Estes apresentam mais ícones e funções,

o que para um usuário comum pode dificultar a utilização dos softwares.

Nenhum dos softwares exige conhecimentos matemáticos, caso o desejo seja a

utilização específica da forma (na sua essência), o que é um bom fator para a manipulação de

equações e suas formas em projetos por utilizadores comuns. Relativamente à necessidade de

se utilizar outros softwares, os três casos compartilham de tal necessidade. Mesmo utilizando

o K3Dsurf e não sendo necessárias alterações físicas nas formas, é preciso realizar um

processo em um software para tratamento de arquivos 3D para conferir espessura às peças,

uma vez que os modelos do K3Dsurf são apenas superfícies. O nível de proximidade do ideal

matemático apresenta-se alto apenas no primeiro estudo de caso, pois o software trata


74

diretamente com as equações matemáticas, enquanto nos outros estudos utilizou-se softwares

e noções tradicionais para modelar as peças.

Em um cenário ideal seria interessante um software baseado em equações matemáticas

que permitisse uma melhor alteração dos modelos e que tais modificações pudessem ser

realizadas de forma mais precisa. O mesmo software também deveria permitir uma fácil

utilização não só por usuários que apresentam conhecimentos de matemática, mas também

por leigos, que não disponham de conhecimentos de modelação CAD. Tal situação permitiria

uma aproximação dos modelos matemáticos por pessoas de diversas áreas de conhecimentos,

ou até mesmo entusiastas.

4.2 ANÁLISE DE ULLMAN

Utilizou-se a planilha de Ullman (2013), baseando-se nas suas 13 diretrizes para

análise de montabilidade dos móveis produzidos nos estudos de caso. A planilha tem como

objetivo conferir eficiência na montabilidade de determinado produto e avaliar o processo

como um todo, a manipulação de componentes de forma individual e a combinação de partes.

As diretrizes são apresentadas a seguir:

1) Número total de componentes deve ser minimizado: a primeira medida de

eficiência da montagem é baseada no número de componentes e submontagens

presentes no produto. O número de componentes real da montagem (Na) é

relacionado a uma quantidade teórica de componentes (Nt) através da seguinte

equação:

Onde PM é o Pontecial de Melhoria da montabilidade. O valor encontrado pela

equação é classificado da seguinte maneira:

• Se PM for inferior a 10%, o projeto é excelente;

• Se PM estiver entre 11 e 20%, o projeto é muito bom;

• Se PM é de 20 a 40%, o projeto é bom;


75

• Se PM encontra-se no intervalo de 40 a 60%, o projeto é razoável;

• Se PM for maior que 60%, o projeto é mau.

2) Usar o mínimo de componentes de fixação independentes: uma forma de

reduzir o número de componentes é minimizar a utilização de elementos de

fixação separados, o que é aconselhável por várias razões: um fixador é um

componente a mais para se manusear; cada elemento de fixação consome um

tempo de aproximadamente 10 segundos para manuseio; há custos de aquisição,

armazenamento, controle e qualidade desses elementos; fixadores são

concentradores de tensão, ou seja, pontos potenciais de falhas. Outro fator

importante é que se o número total de elementos de fixação for maior do que um

terço do total de componentes do produto, a montagem deve ser questionada;

3) Projetar um produto com um componente base para a localização dos

outros componentes: essa diretriz visa a utilização de uma base única sobre a

qual os demais componentes são encaixados conforme mostrado na Figura 78. O

projeto ideal se caracteriza por uma sucessão de camadas, onde cada componente

ou submontagem é disposta sobre a parte superior do elemento anterior;

Figura 78 - Montagem em camadas. Fonte: Adaptado de Ullman (2013).

4) Evitar reposicionamentos durante a montagem: principalmente em situações

onde é utilizado algum tipo de sistema de montagem automática. Em produtos


76

maiores isso pode ser demorado e custoso. Um produto que exige mais de dois

reposicionamentos é considerado ruim;

5) Fazer uma sequência de montagem eficiente: uma sequência é dita eficiente

quando proporciona uma montagem em poucos passos, evita o risco de danificar

os componentes, não apresenta posições incômodas, instáveis, ou

condicionalmente instáveis para o produto ou pessoas e equipamentos

relacionados à montagem, e que evita o uso de subconjuntos desconectados, que

serão unidos posteriormente;

6) Evitar componentes com características que compliquem a captação:

existem três características que dificultam a captação de um componente:

enroscamento, travamento e flexibilidade. Alterações na forma dos elementos

devem ser realizadas para que essas características sejam eliminadas;

7) Projetar componentes para um tipo específico de captação, manipulação e

inserção: é importante considerar o método de montagem de cada componente

durante o projeto. Dependo do volume de produção, diferentes métodos de

montagem podem ser aplicados: manual, robotizado ou por máquinas especiais

para montagem. Cada um tem suas particularidades com relação à forma com

que os componentes serão alimentados no processo de montagem;

8) Projetar todos os componentes com simetria de ponta a ponta: o que está

relacionado à possibilidade de o componente ser inserido na montagem por

qualquer uma de suas extremidades, facilitando a manipulação tanto em um

processo manual como robotizado;

9) Projetar todos os componentes simétricos aos seus eixos de inserção: um

projetista deve desenvolver componentes com simetria rotacional, o que é

possível realizando modificações geométricas que permitam ao componente

obter duas diferentes direções de inserção ao longo do seu eixo de inserção

Figura 79;


77

Figura 79 – Modificação de uma peça para obtenção de simetria. Fonte: Adaptado de Ullman (2013).

10) Projetar os componentes que não são simétricos ao seu eixo de inserção,

claramente assimétricos: o objetivo dessa diretriz é assegurar que os

componentes não simétricos apresentem características que indiquem que são

inseridos na montagem de uma única maneira;

11) Projetar componentes que proporcionem uma união em linha reta e na

mesma direção: minimizar movimentos durante a montagem com base na

utilização de componentes que permitam ser acoplados realizando uma ação em

linha reta, e que ocorra sempre em uma mesma direção. Esse processo garante

que dificilmente será necessária a reorientação da base, ou qualquer movimento

além do que vai para baixo (movimento preferido por contar com o auxílio da

gravidade);

12) Fazer o uso de chanfros, reentrâncias e da flexibilidade para facilitar a

inserção e alinhamento: essas características servem para tornar a inserção e a

união de componentes o mais fácil possível, de forma que cada elemento

presente na montagem possa guiar-se ao local onde o mesmo deve ser encaixado;

13) Maximizar a acessibilidade aos componentes: a eficiência de montagem é

reduzida quando os componentes precisam ser colocados em locais de difícil

acesso, o que pode ser ruim quando houver a necessidade de manutenção do

equipamento.

O nível de qualidade da montagem é determinado com um intervalo de valores entre 0

e 104. Este valor é encontrado ao ao término de uma sequência de questionamentos

correspondentes as 13 regras de avaliação, na qual atribui-se, através de respostas, níves

qualitativos. Os níveis têm como base informações obtidas pelo método de análise,


78

comparados as características reais do projeto em questão. Conta-se o número de opções

assinaladas em cada coluna na Tabela 8 e posteriormente atribui-se um multiplicador. Ao

término, realiza-se um somatório dos valores apresentados em cada coluna e obtem-se o

resultado final da análise de montabilidade do produto.

A Tabela 7 discrimina o número total de peças, submontagens, número de conectores,

partes em madeira e número de elementos unidos no banco cúbico. Também apresenta-se o

atual número de peças e o número de peças teóricas (Nt), número este que será utilizado na

equação da primeira diretriz.

Tabela 7 - Número de componenetes teórico

Dispondo do número total de componentes atual e teórico, torna-se possível aplicação

da equação 1 para determinar o potencial de melhoria de montabilidade (PM). O valor do

número de componentes teórico foi obtido através da união das rótulas que constituem a

estrutura do tampo. Em vez de imprimir 14 peças, pensou-se na possibilidade de transformar

as duas sequências de sete peças em duas partes (Figura 80).


79

Figura 80 – União das 5 peças que integram a estrutura do tampo (fonte: elaboracão própria).

Tal hipotese traz benefícios para a montabilidade, porém, seria viável com um

equipamento com maior capacidade de impressão. O banco teria a mesma forma, no entanto,

com menos peças. Aplicando a equação 1 obtem-se o seguinte valor:

Através do resultado encontrado conclui-se, segundo Ullman (2010), que o projeto

avaliado do banco cúbico é bom. Com a conclusão do levantamento de informações iniciais

voltados para a primeira regra de avaliação, as respostas para os outras 12 diretrizes foram

obtidas a partir da análise do modelo construído e estão apresentadas na Tabela 8 de avaliação

da montabilidade.


80

Tabela 8 – Tabela de avaliação da montabilidade


81

Tendo como base as informações coletadas através da análise de Ullman (2010), foi

proposta uma solução para diminuir o número de conectores no tampo do banco.

Com a análise e aplicação da planilha proposta por Ullman (2013) o Projeto de mobiliário

apresenta uma pontuação igual a 64, o que significa que o projeto está em um posicionamento

intermediário na classificação que recomenda um reprojeto ou um bom projeto

Ao utilizar a planilha com as 13 diretrizes de Ullman, constatou-se a necessidade de

diminuir o alto número de componentes. A aplicação da metodologia demonstra a necessidade

de projetar os produtos levando em conta o processo de montagem. Tendo em vista a

necessidade de redução do número de peças a forma do produto também seria alterada, uma

vez que a adição de peças ou subtração acabam por afetar o design do mobiliário. As análises

de Ullman para os outros dois mobiliários encontram-se no anexo.

4.3 ANÁLISE ANTROPOMÉTRICA

Segundo Quaresma e Moraes (2014), ao projetar um produto ergonomicamente

correto, o designer deve levar em conta os dados antropométricos de determinada população

usuária. A escolha do levantamento antropométrico mais adequado depende da definição de

quem usa e de quem usará o produto a ser projetado. Definir se apenas homens, ou só

mulheres, ou homens e mulheres, crianças ou idosos usarão o produto, é imprescindível para a

utilizaçao dos dados antropométricos.

A antropometria funciona como uma ferramenta básica de projeto. Alcances,

proporções, mobilidades, forças e tamanhos são fatores contemplados para contribuir no

desenvolvimento de um projeto. Análises antropométricas, no âmbito do projeto, são úteis

para avaliar e determinar distâncias de posturas e alcances, além de axiliar no

estabelecermento de espaços entre corpos e equipamentos. As características mencionadas são

fundamentais, pois facilitam a movimentação do usuário durante a tarefa executada,

prevenindo assim possíveis acidentes (ROEBUCK ,1993, apud, QUARESMA; DE

MORAES, 2014).

No design existem inúmeros dados antropométricos que podem ser utilizados, sendo

um exemplo a determinação da largura de um assento. Neste caso específico utiliza-se como

padrão a largura do quadril feminino, uma vez estas estruturas são maiores do que os


82

masculinos. Portanto, é necessária a identificação do dado antropométrico a ser utilizado para

solucionar o problema de projeto em questão (QUARESMA; DE MORAES, 2014).

Em uma análise feita por Quaresma e Moraes (2014), com o objetivo de verificar uma

forma de se aplicar os dados antropométricos, foram descritos e analisados seis procedimentos

de autores diferentes da literatura, sendo encontrados dez pontos em comum entre eles:

- Antes de se utilizar os dados antropométricos é necessário se estabelecer os requisitos da tarefa e do projeto. Esses requisitos podem ser retirados de observações feitas anteriormente, como a análise da tarefa. Determina-se a missão/objetivo do sistema, o ambiente do sistema, como o sistema é usado e o conceito de sistema.

- Um outro passo importante é a determinação das dimensões corporais relevantes. Para a determinação dessas dimensões é necessário que se conheça como o produto é utilizado, e quais são as partes do corpo que interagem com o produto. Com esse conhecimento pode-se identificar, facilmente, quais são as dimensões importantes que serão utilizadas como parâmetros para cada detalhe do projeto;

- O passo fundamental apontado por todos os autores é a definição da poulação usuária. Para a definição da população que utilizae utilizará o produto é necessário saber o sexo, a nacnalidade, a idade e o tipo de atividade dos usuários;

- No passo de seleção da porcentagem da população a ser acomodada, são considerados a usabilidade do produto e os custos envolvidos no projeto Quanto maior a porcentagem selecionada, maior será o custo do projeto e maior será a dificuldade de compatibilizar os extremos. Normalmente, a pratica usual é selecionar 90% da população, utilizando como extremos os percentis 5 e 95, esta seleção determina os limites de projeto, ou seja, os percentis que serão utilizdos como parâmetros de dimenssões máximas e mínimas;

- Com a definição da população e os extremos determinados, o próximo passo é obter atabela de dados antropométricos apropriados e selecionar valores. Para a escolha da tabela deve ser considerada a similaridade entre a amostra utilizada no levantamento e a população usuária. Além disso, como as dimensões corporais podem variar de geração em geração e preferível que se obtenha dados coletados recentemente;

- No passo dos esquemas e/ou manequins antropométricos, são desenhados as dimensões básicas dos percentis extremos determinados como parâmetros de projeto. Estes desenhos são utilizados cmo referência para o desenvolimento do projeto e para o dimensionamento do projeto;

- Para alguns dos autores, o próximo passo importante é determinar os tipos de roupas usadas e adicionar aos vlores dos dados antropométricos, já que os dados são coletados com os sujeitos seminus. Dependendo da situação/tarefa, é necessário adicionar os valores das roupas e incrementos aos dados antropométricos. Para essa detrminação devem ser avaliados o clima( no frio as roupas são maiores), a moda, e os equipamentos vestidos para o desenvolvimento da tarefa;

- Com todos os parâmetros estabelicidos, o passo seguinte é propor solução de projeto. É neste passo em que se faz e se dimensiona o projeto utilizando os dados antropométricos como referência e parâmetros, determinando os arranjos, as formas, os tamanhos, os espaços e os ajustes dos subsistemas;

- Com o projeto dimensionado o próximo passo é a construção do modelo de teste. Neste passo são construidos modelos e gabaritos em tamanho real para se fazerem as avaliações do projeto.

- Por fim, o passo final básico do procedimento é o teste do modelo. Fazem-se experimentos, testes e avaliações de modelo com uma amostra da população usuária desempenhando a tarefa. Os resultados desses testes têm como objetivo validar os requisitos e os critérios estabelecidos no início do procedimento e/ou propor revisões de projeto. (QUARESMA; DE MORAES, 2014,p.134)


83

O presente trabalho buscou aplicar alguns dos dez pontos levantados pelos autores no

primeiro modelo construído no segundo estudo de caso, visando aplicar os dados

antropométricos no desenvolvimento do banco cúbico.

Inicialmente fez uma análise da tarefa Figura 81, com o objetivo de se obter requisitos

da mesma e de projeto. Segundo Kirwan e Ainsworth (1992) apud De Moraes e Mon’Alvão

(2010), o conjunto de técnicas utilizadas para avaliar interações entre o sistema homem-

máquina consiste na análise da tarefa. Em outras palavras, a análise da tarefa é desenvolvida a

partir de um conjunto de técnicas voltado para a coleta de dados e informações, que ao ser

organizado, fornecem dados para a realização de julgamentos, diagnósticos de problemas ou

tomadas de decisões referentes ao projeto. Portanto, a análise da tarefa visa analisar e resolver

um problema no sistema homem- tarefa-máquina. Basicamente a interação do usuário com o

produto em questão.


84

Figura 81 – Análise da tarefa (fonte: elaboracão própria)

7

O levantamento das dimensões corporais relevantes foi feito com base nos dados

antropométricos fundamentais para o projeto de cadeiras apresentados por Panero (2012),

Figura 82. Através da análise da tarefa conclui-se que a medida da altura poplitea “A” Figura

82, está diretamente ligada com a determinação da altura do assento e a profundidade

popliteal da nádega corresponde definição da profundidade necessária ao asento representado

por “B” Figura 82.

7 A análise da tarefa com o usuário do sexo feminino encontra-se em anexo.


85

Figura 82 - Dimensões antropométricas fundamentais para o projeto de cadeiras (Adaptado de PANERO 2012).

Já dimensão da largura do quadril representada por “G” Figura 83, é essencial para a

delimitação da largura do assento.

Figura 83 - Dimensões antropométricas fundamentais para o projeto de cadeiras (adaptado de PANERO, 2012)

Delimitou-se como população usuária para este projeto elementos adultos do sexo

masculino e feminino. Contudo, a delimitação das dimensões do projeto pode ser alterada

para atender outros tipos de usuários, ao definir diferentes medidas para oprojeto. Já a

porcentagem da população a ser contemplada baseou-se no percentil de 2,5 e 97,5


86

apresentadas nas tabelas antropométricas de Diffient (1989) apud Pequini (2005). Ao levar

em conta os percentis extremos, no caso o maior homem e a menor mulher, busca-se

compatibilizar o projeto para atender um maior número de usuários. Portanto, os valores

corporais coletados para delimitação das dimensões do projeto são apresentados na Tabela 9.

Tabela 9 – Tabela com os valores dos dados antropométricos das dimensões corporais relevantes ao projeto,

referentes a largura do quadril, altura poplítea e profundidade popliteal da nadega em relação ao maior homem e

a menor mulher (adaptado de PEQUINI, 2005).

Conforme mencionado anteriormente, a largura do quadril feminino deve ser levada

em conta no momento de projetar o assento, portanto, a medida do maior quadril feminino é

de 45cm (QUARESMA; DE MORAES, 2014) valor este que deve ser aplicado ao desenho do

banco cúbico. Já a altura do banco deve contemplar a menor mulher, com uma altura de

36,3cm. Ao permitir que a menor mulher sente no banco, o maior homem também poderá

fazê-lo. Já a profundidade do asento deve basear-se na profundidade popliteal do maior

homemde 50,3 cm (PEQUINI, 2005). Com estes dados foi possível dimensionar os cabos de

vassoura e cortá-los com as medidas necessárias ao projeto, no qual as peças que compõem

os pés medem 40cm e as que integram o assento medem 45cm.


87

5 Conclusão e sugestões para trabalhos futuros

O presente trabalho propôs o desenvolvimento de uma metodologia de observação e

imaginação para ser aplicada no desenvolvimento de conectores baseados em modelos

matemáticos. Os elementos deveriam possibilitar a montagem de mobiliários de grande porte

através da utilização de impressoras tipo FDM de baixo custo. Dentro deste contexto buscou-

se a utilização de modelos matemáticos pré-existentes como ponto de partida para o

desenvolvimento de rótulas e sistemas de encaixe.

Através da análise de casos presentes na literatura observou-se que outros autores

estudaram e confirmaram a viabilidade da impressão de modelos matemáticos em impressoras

tipo desktop baseadas no sistema FDM. Também se constatou que muitos entusiastas e

utilizadores da impressão 3D de baixo custo estão limitados em relação ao volume de

impressão, reduzido na maior parte deste equipamento. A combinação de peças impressas

com outros materiais existentes tem sido uma alternativa ecológica e de baixo custo que

permite o desenvolvimento de estruturas de grande porte. Portanto, o estudo apresentado

colabora com o desenvolvimento de estruturas de grande porte, no caso mobiliários ao

combinar peças impressas com outros elementos. Tal fato permite o desenvolvimento de

mobiliários de baixo custo.

Diante do exposto, a metodologia de observação e imaginação apresentou-se como uma

grande contribuição deste tabalho. Através dela foi possível desenvolver um passo a passo,

que permite guiar o usuário na seleção e idealização de uma estrutura para o desenvolvimento

de mobiliário ou outros elementos. Tal fato permitiu o desenvolvimento de algumas

alternativas de projeto. Através dos estudos apresentados por Gonçalves (2017), foi possível

imprimir os modelos matemáticos e ao dar continuidade ao seu trabalho foi possível conferir

uma função prática para os modelos contribuindo para as pesquisas no cenário da matemática

aplicada ao cotidiano.


88

A possibilidade de se obter modelos matemáticos através do software livre K3Dsurf

facilitou o desenvolvimento dos estudos de caso, porém apesar deste software ser de fácil

utilização não permite um alto controle na alteração dos modelos matemáticos. Tais mudanças

nas formas das geometrias apresentam-se necessárias para atender necessidades inerentes ao

processo de projeto. Portanto, em alguns casos observou-se a necessidade da utilização de

outros softwares CAD para a realização de mudanças ou até mesmo modelar a geometria por

completo. Ou seja, o software K3DSurf não é uma ferramenta própria para projeto, pois o

usuário que não tem grande conhecimento de matemática necessita de outro software, para

auxiliar no processo de modelagem.

Três estudos de caso foram realizados com o objetivo de validar a metodologia proposta e

analisar os produtos oriundos da mesma através de testes de carga e montabilidade. O

primeiro estudo foi suficiente para validar a metodologia proposta, uma vez que ao aplicá-la

foi possível desenvolver sistemas de encaixes funcionais voltados para um uso cotidiano a

partir dos modelos matemáticos.

O segundo estudo de caso focou-se em tentar melhorar alguns pontos referentes ao

projeto, através da escolha de um novo modelo matemático. Devido a ausência do modelo

selecionado na biblioteca do software K3DSurf, o mesmo precisou ser modelado em CAD,

permitindo uma maior liberdade de edição. Tal fato demonstrou, que outros materiais podem

ser usados. Adaptações no modelo permitem a utilização de outros materias como diferentes

tipos de madeiras, garrafas e até mesmo rejeitos.

O terceiro e último estudo de caso seguiu uma linha diferente dos dois primeiros, por

utilizar apenas peças impressas. Os modelos impressos eram montados de forma a alternar as

peças em PLA e TPE evitando o desgaste das peças, uma vez que o encaixe era feito por

interferência e sofria muito atrito. A medida que o TPE apresenta características mais

elásticas e o PLA apresenta mais rigidez permite um melhor encaixe entre as peças. Porém,

devido ao elevado preço do TPE e a grande quantidade de peças necessárias para o

desenvolvimento de um banco, não foi possível desenvolver um modelo final. Apesar da

grande versatilidade observada no terceiro estudo de caso, o custo de impressão de um

mobiliário totalmente impresso, torna-se um fator limitante aos usuários comuns da impressão

3D de baixo custo. Portanto conforme mencionado no paragrafo anterior o desenvolvimento

de estruturas de grande porte, através de maquinas tipo desktop deve ser ser realizado através

da combinação de materiais, corroborando o estudo de Kovacs (2017).


89

5.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

a) Buscar novos softwares de visualização e manipulação 3D de modelos matemáticos

que permitam realizar alterações e que tenham maior diversidade de modelos em sua

biblioteca;

b) Explorar outras possibilidades de desenvolvimento de estruturas, tais como abrigos

para refugiados, brinquedos infantis, novas peças de mobiliário, entre outras;

c) Estudos sobre orientação de construção das rótulas, buscando minimizar esforços nas

linhas de adesão entre camadas dos conectores impressos, para que os mesmos

apresentem maior resistência e vida útil;

d) Desenvolvimento de um software baseado em modelos matemáticos que permita a

realização de alterações das geometrias de forma intuitiva, sem a necessidade de

conhecimentos matemáticos e com um grau de controle de transformação da peça

elevado. Um software com tais características poderia eliminar a necessidade de

utilização de um software CAD, possibilitando a utilização destas ferramentas por um

usuário leigo sem conhecimentos de matemática e modelação 3D.

e) Através de mais estudos e melhoramentos nas rótulas criadas, permitir a

disponibilização das rótulas na internet, para que qualquer usuário que detenha uma

impressora 3D possa baixar os arquivos, desenvolver e construir sua própria peça de

mobiliário.


90

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99


100

7 Anexo A: Análise de Ullman (mesa)



avaliado da mesa é bom. Com a conclusão do levantamento de informações iniciais voltados

para a primeira regra de avaliação, as respostas para os outras 12 diterizes foram obtidas a

partir da análise do modelo construido, e estão apresentadas na 7 de avaliação da

montabilidade aresentada a seguir.

Tabela 11 - Tabela de avaliação da montabilidade


101


102

Ao utilizar a planilha com as 13 diretrizes de Ullman constatou-se a necessidade de

diminuir o número de componentes. A aplicação da metodologia demonstra a necessidade de

ao se projetar levar em conta o processo de montagem. A planilha apresentou uma pontuação

de 64 deixando o projeto em um posicionamento intermediário. A necessidade de redução do

número de peças afeta diretamente a forma do produto, uma vez que a adição de peças ou

subtração acabam por afetar o design do mobiliário.


103

8 Anexo B: Análise de Ullman (cadeira)



avaliado da mesa é razoável. Com a conclusão do levantamento de informações iniciais

voltados para a primeira regra de avaliação, as respostas para os outras 12 diterizes foram

obtidas a partir da análise do modelo construido, e estão apresentadas na tabela 9 de avaliação

da montabilidade aresentada a seguir.


104

Tabela 13 - Tabela de avaliação da montabilidade


105

Com a análise e aplicação da da planilha proposta por Ullman (2013), o Projeto de

mobiliário apresenta uma pontuação igual a 66.

Ao utilizar a planilha com as 13 diretrizes de Ullman constatou-se a necessidade de diminuir o

alto número de componentes. A aplicação da metodologia demonstra a necessidade de

projetar de levar em conta o processo de montagem já no processo de montagem da peça. A

planilha apresentou uma pontuação de 66 deixando o projeto em um posicionamento

intermediário na classificação que recomenda um reprojeto e o de um bom projeto. Tendo em

vista a necessidade de redução do número de peças a forma do produto tambem seria alterada,

uma vez que a adição de peças ou subtração acabam por afetar o design do mobiliário.


106

9 Anexo C: Análise da tarefa.


107

Figura 84 – Análise da tarefa Fonte: elaboracão própria


108

10 Anexo D: Tabelas antropométricas Diffrient.

Figura 85 - Mulher vista lateral. Adaptado de (PEQUINI, 2005).


109

Figura 86 - Homen vista lateral. Adaptado de (PEQUINI, 2005).


110

Figura 87 – Mulher vista superior. Adaptado de (PEQUINI, 2005).

Figura 88 – Homem vista superior. Adaptado de (PEQUINI, 2005).

impressão 3d de conectores baseados em modelos matemáticos ... · ao orientador jorge lino...

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