implementação de filtros

Geber Ramalho & Osman Gioia - UFPE 1

Implementação de filtros

Filtros FIR

Filtros IIR


Implementação de filtros

Abordagem• equações de diferença linear: filtragem construída a

partir de atrasos e operações aritméticas simples• em engenharia: teoria matemática dos polos e zeros

no espaço dos números complexos...

Notação• x[n] = amostra número n do sinal de entrada• y[n+1] = amostra número n + 1 do sinal de saída • D = atraso (delay) = atraso de uma amostra• + = soma de sinais• × = multiplicação do sinal por um fator


Filtros IIR e FIR

Dois tipos principais de filtros• Finite Impulse Response (FIR)• Infinite Impulse Response (IIR)

+entrada saída

DFIR

+entrada saída

DIIR


Passa-Baixas FIR

f

a

Fa/2

1

×

×

+entrada saída

0,5

0,5

Equação• y[n] = (0,5 × x[n]) + (0,5 × x [n - 1])

Comentário• equivalente a encontrar a média aritmética de pares

de amostras subseqüentes• efeito: “amaciar” a forma de onda (passa-baixas)

Circuito/algoritmo

Freqüência de amostragem


Passa-Altas FIR

Equação• y[n] = (0,5 × x[n]) - (0,5 × x [n - 1])

Comentário• equivalente a enfatizar as diferenças entre pares de

amostras subseqüentes• efeito: enfatizar altas freqüências (passa-altas)

Circuito/algoritmo

×

×

-entrada saída

0,5

0,5

f

a

Fa/2

1


Filtro FIR geral

Equação:• y[n] = (a0 × x[n]) ± (a1 × x[n - 1]) ± ... (aj × x[n - j])

Circuito/algoritmo de filtro com j estágios

×

+/-

x[n]

× ×. . .

a0 a2 aj

. . .

y[n]


Filtro FIR geral

A resposta do filtro dependerá de• quantidade de estágios do filtro (valor de j)• operações de adição ou subtração• coeficientes a1,..., aj

Observações• quanto mais longo (mais estágios) for o filtro, mais

estreita pode ser sua banda de transição (inclinação)• mas isto vai requerer mais computação• depois de certos estágios o ganho em precisão de

corte do filtro é mínimo, não valendo a pena o custo benefício


Aumento de estágios nos filtros FIR

Passa baixas FIR de 15 estagios Passa baixas FIR de 31 estagios


Filtro IIR simples

Equação:• y[n] = (0,5 × x[n]) + (0,5 × y [n - 1])

Comentário• equivale a recursivamente adicionar vários estágios de um

filtro FIR• soma com a saída anterior e divide por dois. Com

coeficientes iguais a 0,5 => passa-baixas

Circuito/algoritmo

×

×

+x[n]

0,5

0,5

y[n] f

a

Fa/2

1


Filtro IIR geral

Equação• y[n] = (a0 × x[n]) + ... (am × x[n - M])

+/- b1 × y[n] +/- ... (bN × y[n - N])

ou simplesmente

Comentário• construído a partir das amostras anteriores de entrada (multiplicadas

por um fator diferente de zero) e o feedback das amostras de saída

M

i

N

jji jnybinxany

0 1

][][][


FIR x IIR

FIR IIR

Custo computacional

ruim bom

Linearidade da resposta de fase

bom ruim

Estabilidade bom ruim


Filtro de pente (comb filter)

+entrada saída

D

Equação• y[n] = x[n] + x [n - D] (FIR)

Comentários• D é um atraso bem mais longo do que • Também é possível implementar com IIR

y[n] = (a × x[n]) + (b × y[n - D])

Circuito/algoritmo

FIR


Filtro de pente (comb filter)

Interpretação intuitiva• Quando um sinal é superposto a ele mesmo com

pequeno atraso, haverá momentos de reforço e cancelamentos de algumas freqüências com se fosse um pente (comb filter)


Filtro Passa Tudo Equação

• y[n] = (-g × x[n]) + x[n - D] + (g × y[n - D])

Comentários• g é chamado de ganho• o deslocamento de fase depende logaritmicamente do

atraso D (0 < D < freq. de amostragem)

Circuito/algoritmo

×

+x[n] D

g

y[n]+×

- g


Filtro Passa Tudo

Idéia• não altera o espectro mas impõe mudança de fase

que depende da freqüência de x


Efeitos de atraso de tempo

Efeitos com atraso (delay) fixo e variável

reverberadores


DDL

Digital delay line ou digital delay unit• Colocar amostras de entrada na memória antes de

mandá-las para saída misturando com amostras não atrasadas

• base para um série de efeitos de processamento• parecido com o filtro passa baixas FIR e com o pente,

a diferença sendo o tempo de atraso– no PB FIR, D = uma amostra– no pente, D = 0,1-10 ms– no DDL, D > 15 a 20 ms

×

×

+entrada saída

D

amplitude dosinal original

Amplitude dosinal atrasado

Tempo deatraso

tempo

ampl

itude

DDL

ampl

it ude

tempo


Implementando a DDL: fila circular

N

O

1

2

3

45

6

7

8

A cada ciclo (período de amostragem) • lê-se a amostra mais antiga O• escreve-se em seu lugar a nova amostra N• incremementa-se a posição do ponteiro (tap)

Com esta técnica (único ponteiro - single tap)• implementa-se um atraso fixo, proporcional ao

tamanho da fila

Ciclo k + 1

O

1

2

3

45

6

7

8Ciclo k

tap

tap


Multitap Delay Line

Pode-se implementar atrasos mais curtos, mais longos e variáveis na mesma fila circular

• Permitindo que o ponteiro “bata” (tap) em qualquer ponto da fila e que haja mais de uma “batida”

Para 2 taps: A cada ciclo• simultaneamente, duas amostras são lidas nas posições

tap1 e tap2• a nova amostra é escrita na posição O• todas as posições são incrementadas de 1

variando-se o incremento• dinamicamente, pode-se

implementar um valor de atraso variável N

O

1

2

3

45

6

7

8tap1

tap2


Efeitos de atraso fixo

2 Tipos de atraso: fixo ou variável• Atraso fixo pode ser pequeno, médio e longo e gera

efeitos como ecos e duplicação• Atraso variável gera efeitos como flanging, phasing,

chorus

Atraso fixo pequeno: D < 10ms• introduz anomalias na resposta em freqüência • D = algumas amostras, funciona como filtro passa

baixas FIR • 0,1ms < D < 10ms, funciona como um filtro pente


Efeitos de atraso fixo

Atraso fixo médio: 20 ms < D < 50ms• cria ambiência e dá ilusão de aumento da intensidade• cria efeito de duplicação “doubling”, pois sinal atrasado

e original se fundem

Atraso fixo longo: D > 50ms• cria ecos• Observação: ecos múltiplos podem ser criados

realimentando-se o circuito

tempo

ampl

itude

DDL ampl

it ude

tempo

tempo

ampl

itude

DDL ampl

it ude

tempo


Efeitos de atraso variável

Efeito “avião”: filtro pente sanfona

Circuito



Parâmetros• velocidade das variações (freqüência do LFO)• profundidade das variações (amplitude do LFP)• forma de onda do LFO (senoidal, triangular, ...)• atraso central D

D



Flanging (0ms < D < 20ms)• muito cancelamento devido ao filtro pente, que vira uma

“sanfona”• nome: polegar na borda (flange) do carretel da fita do

gravador de rolo

Chorus (D > 20 ms)• ouve-se a cópia do som, como se fosse um “coro”• é um tipo de efeito de duplicação mais realista

http://www.youtube.com/watch?v=zmN7fK3fKUE&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=NAqQvs_WXs8&feature=related


Flanging x Phasing

Mesma classe de efeito mas obtida de forma diferente

Flanging: • atraso variável independente da freqüência da entrada• Cria muitos vales que seguem o padrão filtro-pente



Phasing: • atraso variável dependente da freqüência da entrada

(não lineridade do passa tudo). • Cria poucos vales. Por isso, soa mais suave que o

flanginghttp://www.youtube.com/watch?v=rpdFZ5VDGDs


Reverberação História

• Anos 60: Manfred Shoeder, da Bell Labs, implementou os primeiros algoritmos de reverberação

Um reverberador• filtro com resposta ao impulso que se assemelha à

resposta de uma sala

predelay


Reverberação

O efeito de Reverberação divide-se em 3 partes• som direto• primeiras reflexões

– pode ser simulado com uma DDL “batida” em diferentes pontos

• reverberação fusionada (fused reverberation)– precisa de mais densidade do que uma DDL pode

prover– a sua implementação pode ser feita a partir de dois

filtros básicos: filtros pente e/ou filtros passa tudo

É desejável...• manipular cada uma das 3 partes da reverberação de

forma relativamente independente, além do pre-delay


+entrada saída

D×

g

tempo

ampl

itude

D 3D 5D ...

Reverberação c/ filtros pente

Comentário• quando atraso < 10ms o efeito restringi-se

basicamente à resposta em freqüência• quando atraso > 10ms, cria-se uma séries de ecos

igualmente espaçados que decaem exponencialmente• Tempo que leva para saída cair 60dB

– decayTime = (60 - g) loopDelay

onde g (dB) e loopDelay = D/taxa de amostragem (s)

Filtro Pente IIRResposta ao impulso


Reverberação c/ filtros passa-tudo

Comentários• quando o tempo de atraso é longo (5-100 ms), cria-se

uma séries de ecos igualmente espaçados que decaem exponencialmente

×

+x[n] D

g

y[n]+×

- g

×

1-g2

tempo

ampl

itude

D 3D 5D ...

gg2

g3

g4

g5

g6

Filtro PassaTudo IIR Resposta ao impulso


E aí?

Resumo• tanto o passa tudo quanto o pente são filtros que

podem gerar múltiplos ecos, mas como gerar a reverberação fusionada?

Solução• conectar vários filtros• conexão em paralelo: soma dos ecos• conexão em série: multiplicação dos ecos

– mais eficiente, porém menor controle• Shoeder propôs dois esquemas de conexão


entrada

Pente1

Pente2

Pente3

Pente4

+

Passa tudo 1

Passa tudo 2

Saída reverberada

Esquema: pente + passa tudo

Pentes em paralelo para evitar anomalias no espectro. Um compensa o efeito do outro

Passatudo em série para evitar anomalias na resposta de fase. Um compensa o efeito do outro


Esquema: só passa tudo

Cada passa tudo gera 4 ecos audíveis, o que implica que este esquema gera 1024 ecos

Dica geral• A característica do som dependerá

da escolha do tempo de atraso e ganho de cada unidade de reverberação

• melhor escolher tempos de atraso primos entre si para que os ecos coincidam o mínimo possível

entrada

Passa tudo 3

Passa tudo 4

Saída reverberada

Passa tudo 1

Passa tudo 2

Passa tudo 5


Alguns Parâmetros da reverberação

Tipo de sala: pode ser hall, chamber, plate ou gate

Tamanho: tempo de atraso entre as unidades de reverberação

Predelay: tempo até a reverberação começar

Atraso de entrada: inverte a relação causa-efeito (reverberação aparece antes do sinal

Tempo de reverberação: tempo de decaimento

Difusão: densidade do eco

Mix: razão entre entrada e saída

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Pitch shifting & Time stretching

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Alterações em altura e tempo

Seria útil alterar a altura (pitch) da voz e intrumentos...

• para corrigir “desafinações”• criar efeitos

Seria útil ajustar durações de sinais de áudio para casarem em intervalos de tempo determinados

Fluxo de mídia em tv

36


Reamostragem (resampling)

Um sinal amostrado em uma freqüência pode ser reamostrado

37http://www.youtube.com/watch?v=67UlfiEd6mk


Reamostragem (resampling)

Sub-amostragem (Downsampling)• Para reduzir a amostragem de um fator M, pega-se

apenas as m-ésimas amostras do sinal.

Sobre-amostragem (Upsampling)• Para aumentar a amostragem de um fator L, adiciona-

se L-1 zeros entre duas amostras e depois filtra-se o sinal com uma passa baixa (equivalente a interpolar)

Mix• Para reduzir de um fator M/L (racional), faz uma sobre-

amostragem de L seguida de uma sub-amostragem de M

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Alterações em altura e tempo

Problema da Reamostragem • a mudança na altura está associada à mudança na

duração

Time stretch • processo que mudar a duração de um sinal de áudio

sem alterar a sua altura

Pitch Shift • processo que muda a altura do sinal de áudio sem

afetar a duração• Pitch correction: Ao invés de aplicar o mesmo “desvio”

em todo o sinal, altera nota por nota para se adequar ao tom escolhido

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Time stretch

Como muda a duração sem mudar o pitch?

No domínio do tempo (pouco usado)• Overlap Add Method e Synchronized Overlap Add

Method: Divide o sinal em quadros pequenos que são eliminados e depois o sinal é interpolado

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Time stretch

No domínio da frequencia: Phase vocoder• Converte sinal do tempo para o domínio da freqüência,

modifica amplitudes e fases, e reconverte para o domínio do tempo

• Basicamente altera o número de ciclos de freqüências componentes de um sinal, sem mudar quais são as freqüências.

• Introduz algumas anomalias (reverberação)

41

http://www.youtube.com/watch?v=O3_ihwhjHUw


Pitch shift

Como muda a altura sem mudar a duração?• Muda a duração do sinal e depois reamostra

Nem todos os métodos funcionam bem em todo tipo de sinal e há limitações nos desvios (de pitch e de tempo) que eles podem fazer

• Orquestra: 5 semitons (limite de pitch shift) e 30% (limite de tempo)

• Instrumento monofônico: uma oitava e 200% do tempo

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Referências

Pohlman, Ken. (1995) Principles of Digital Audio. McGraw Hill, 3rd Edition

http://www.dspdimension.com/admin/time-pitch-overview/

http://www.soundonsound.com/sos/mar06/articles/qa0306_1.htm

http://www.geofex.com/Article_Folders/phasers/phase.html

Maranhão, Suzana (2006). Ajuste Elástico em Tempo de Exibição para Fluxos de Áudio Comprimido. Diss. de mestrado. PUC-RJ

http://en.wikipedia.org/wiki/Audio_timescale-pitch_modification

implementação de filtros

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