aplicações de filtros

AplicaAplicaçõesções de de FiltrosFiltros

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Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Departamento de Engenharia Elétrica

Aplicações de Filtros

Para extrair o conteúdo de informação fundamental deum sinal é necessário um dispositivo que selecione asfrequências de interesse que compõe o sinal. Estedispositivo é denominando de filtro, cuja resposta emfrequência é caracterizada por uma faixa de passagem,por uma faixa de rejeição, as quais estão separadas poruma faixa de transição ou faixa de guarda.


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Sinais com frequência dentro da faixa de passagem sãorecuperados com pouca ou nenhuma distorção, ao passoque aqueles sinais que têm frequências dentro da faixa derejeição são efetivamente atenuados.Desta forma, os filtros podem ser do tipo passa baixas,passa altas, passa faixa ou rejeita faixa.


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Como exemplo considera-se o filtro passa baixas ideal, oqual preserva todas as frequências dentro da faixa depassagem e atenua por completo todas as frequênciasdentro da faixa de rejeição, sendo nula a faixa detransição. Tal filtro será obtido tomando por base oseguinte sistema linear e invariante no tempo:


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Aplicando a transformada de Fourier para os sinais deentrada e de saída deste sistema pode-se obter sua funçãoresposta em frequência, ou seja:


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Com base na função resposta em frequência de H(jω)determina-se sua resposta de magnitude e de fase, ouseja:


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O que o caracterizará como um filtro passa baixas ideal ése no projeto deste filtro for definida uma frequência decorte ωc tal que sua função resposta em frequência sejaredefinida na forma

.


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Resultando na seguinte resposta de magnitude e fase.


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A resposta ao impulso deste filtro passa baixas ideal pode ser obtida através da transformada de Fourier inversa de H(jω), resultando em

que se caracteriza por ser uma resposta não causal,conforme apresentado na figura a seguir.


Aplicações de Filtros 9

RespostaResposta aoao impulsoimpulso dodo filtrofiltro ideal,ideal,admitindoadmitindo tt00 == 88 segundossegundos..

ProjetoProjeto de de FiltrosFiltros

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Diferentemente dos filtros ideais, não realizáveisfisicamente, no projeto de filtros tolera-se algunsdesvios, que são utilizados como parâmetros de projeto,relacionados a seguir:

• Dentro da faixa de passagem a resposta do filtrodeve situar-se entre 1 e 1-ε.


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Em que define a faixa de passagem do filtro e εé um parâmetro de tolerância.

• Dentro da faixa de rejeição, a resposta em módulodo filtro não deve ultrapassar a δ:

com ω pertencente a faixa de rejeição e δ outro parâme-tro de tolerância.

• A faixa de transição é composta pelas frequênciascontidas entre a faixa de passagem e a faixa derejeição.

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A figura apresentada a seguir ilustra o conjunto deespecificações definidas para a resposta em frequência deum filtro passa baixas.

FP:=Faixa de PassagemFT:=Faixa de TransiçãoFR:= Faixa de Rejeição


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Filtros de Butterworth

Uma classe de sistemas LTI que é utilizada para obtençãoda curva de resposta em frequência com módulo | H(jω) |caracterizada na figura anterior são os filtros deButterworth. A síntese dos filtros de Butterworth érealizada com base nas frequências nas faixas defrequências de passagem, de rejeição, nos parâmetros ε eδ, e na função que representa o quadrado da magnitudeda função resposta em frequência para este tipo de filtro.


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Onde ωc é a frequência de corte do filtro Butterworthpassa baixas de ordem N. Uma vez que


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Tem-se, admitindo ,

cujas raízes do denominador corresponde aos pólos deH(s)H(-s), e são obtidos através da solução da equação


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Resultando em

ou ainda

.

ProjetoProjeto de de FiltrosFiltros -- Caso em que N=1Caso em que N=1

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ProjetoProjeto de de FiltrosFiltros –– Caso em que N=2Caso em que N=2

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ProjetoProjeto de de FiltrosFiltros –– CasoCaso emem queque N=3N=3

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Filtros de Butterworth 20

ProjetoProjeto de de FiltrosFiltros –– DeterminaçãoDeterminação dada OrdemOrdem

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A ordem do filtro de Butterworth pode serdeterminada com basenas especificações de| H(jω) | , através dosseguintes procedimentos.


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Outra forma possívelpara determinação daordem do filtro de Butterworth é diretamentedas especificações de| H(jω) |2 , de forma análoga a anterior.


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Exercício: Mostrar que para cada um dos filtros deButterworth apresentados anteriormente, N=1, N=2 eN=3, a frequência ωc corresponde a frequência de meiapotência do sinal aplicado ao filtro.

Exemplo 8.3: Determinar a função de transferência deum filtro passa baixas de Butterworth de ordem 3, comωc = 1.0 rad/s.


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Projete um filtro passa baixas de Butterworth quesatisfaça as seguintes especificações:

Resposta: N=3, Resposta: N=3, ωωcc = 40000= 40000ππ radrad/s/s

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