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IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MÉTODO DAS

CARACTERÍSTICAS PARA PROJETO DE MOTOR FOGUETE

Caio Silveira Volpato, [email protected]

Manoel Antônio Delatre Bonfim Júnior, [email protected]

Marcos Vinícius Fernandes Ribeiro, [email protected]

Paulo Celso Greco Júnior, [email protected]

Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Av. Trabalhador São-carlense, 400, Pq Arnold Schimidt

São Carlos - SP/Brasil, CEP 13566-590

Resumo: Este trabalho consiste no desenvolvimento de um código numérico para o projeto de bocais do tipo

convergente-divergente. Um problema deste tipo de projeto é a determinação do perfil da região divergente do bocal,

de modo a evitar a geração de ondas de choque e maximizar a sua eficiência. Para isso, usa-se o Método das

Características, um método numérico que determina as coordenadas das Linhas Características, nas quais as

equações de Euler podem ser simplificadas a equações diferenciais ordinárias ou algébricas, mais simples de serem

resolvidas computacionalmente. O método numérico foi desenvolvido e implementado para o caso cartesiano

bidimensional, obtendo as coordenadas do bocal, representadas em gráficos para diferentes números de Mach,

obtendo resultados razoáveis para aplicação no projeto de bocais convergente-divergente, ainda que não tão preciso

quanto o caso de coordenadas cilíndricas axissimétrico.

Palavras-chave: Método das Características, foguete, bocal, método numérico

Código do resumo: CONEM2012-1324

1. INTRODUÇÃO

Um aspecto importante do projeto de um foguete é o projeto do seu bocal. Suas dimensões, como a área da

garganta, precisam ser determinadas, de forma a se obter um bocal com o melhor desempenho possível.

A teoria do escoamento quase-unidimensional isoentrópico, explicada em Anderson (1990), permite a determinação

dessas dimensões para um bocal do tipo convergente-divergente, porém, ela não é capaz de determinar o contorno

correto do perfil do bocal, uma vez que essa análise exige uma visão tridimensional, ou pelo menos bidimensional, do

problema. Para isso, é necessário resolver as equações de Euler, que são uma simplificação das equações de Navier-

Stokes, considerando escoamento invíscido. Desta forma, determina-se um contorno ótimo para o bocal, de modo a

reduzir a ocorrência de ondas de choque, e a perda de energia dentro dele. O bocal encontrado possui o comprimento

mínimo necessário para que essa eficiência ocorra.

Este trabalho tem o intuito de desenvolver e aplicar uma solução numérica para o Método das Características, que é

um método matemático descrito em Anderson (1990), visando à solução das equações de Euler. O método se baseia no

princípio das Linhas Características, que são linhas de escoamento ao longo das quais uma ou mais variáveis das

Equações Diferenciais Parciais tornam-se constantes. Desta forma, essas equações se transformam em Equações

Diferenciais Ordinárias, no caso cilíndrico axissimétrico, ou em Equações Algébricas, no caso cartesiano 2D, cuja

solução de ambas é consideravelmente mais simples.

O caso cartesiano 2D é uma forma de aplicar o método, que utiliza coordenadas cartesianas (x,y,z), mas calcula

apenas as coordenadas (x,y) do escoamento, e supõe-se constante a coordenada z, fazendo a consideração de que o

bocal é simétrico e infinito em relação a essa coordenada. Essa abordagem tem algumas aplicações práticas, como o

bocal Aerospyke. O caso cilíndrico axissimétrico é outra abordagem, que utiliza coordenadas cilíndricas (r,x,𝜑) mas,

dessa vez, considera que o bocal é simétrico em relação a coordenada 𝜑. Ambos os casos fazem uma análise

bidimensional do problema, mas cada um a faz com aproximações diferentes.

Para encontrar as linhas características, é necessário determinar o lugar geométrico do espaço em que as variáveis

do escoamento são contínuas, mas as derivadas das mesmas, indeterminadas. Com isso, obtém-se as equações das

linhas características, e as equações de compatibilidade, necessárias para a implementação do método.

V I I C o n gr e s s o Na c i o na l d e E n g e n har i a M e c â ni c a , 31 d e j u lh o a 0 3 d e Ag o s t o 2 01 2 , S ã o L u i s - M ar a n h ã o

2. METODOLOGIA

2.1 O Método das Características

Reproduz-se aqui o método explicado em Anderson (1990), aplicado para o caso cartesiano 2D. Para começar,

parte-se da equação potencial de velocidade para escoamento irrotacional e bidimensional:

1 −𝑥²

𝑎² Φxx + 1 −

𝑦²

𝑎² Φyy −

2∙Φx∙Φy

𝑎2Φxy = 0 (1)

Em que Φ são os potenciais de velocidade, a é a velocidade do som, x e y são as coordenadas cartesianas. Além

disso, pelas equações de cálculo:

𝑑𝑥 = Φxx ∙ dx + Φxy ∙ dy (2)

𝑑𝑦 = Φxy ∙ dx + Φyy ∙ dy (3)

Resolvendo o sistema (1), (2), (3) para encontrar Φxy , obtemos a matriz:

Φxy =

1−𝑢 ²

𝑎 ²0 1−

𝑣²

𝑎 ²

𝑑𝑥 𝑑𝑢 00 𝑑𝑣 𝑑𝑦

1−𝑢 ²

𝑎 ²−

2𝑢𝑣

𝑎 ²1−

𝑣²

𝑎 ²

𝑑𝑥 𝑑𝑦 00 𝑑𝑥 𝑑𝑦

=𝑁

𝐷 (4)

Em que N e D são o numerador e o denominador e, para a determinação das equações características e de

compatibilidade, deve-se igualar os dois a 0, obtendo assim uma divisão 0/0, que é indeterminada.

Fazendo D = 0, e após algumas manipulações algébricas, chega-se à seguinte equação:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑐ℎ𝑎𝑟

= tan 𝜃 ∓ 𝜐 (5)

Que é a equação das linhas características. Essa equação pode ser interpretada da forma mostrada na Fig. (1):


Figura 1. Interpretação da Eq. (5), retirada de Anderson (1990).

Em que C+ e C- são as 2 linhas características. θ é o ângulo do escoamento, e μ é o ângulo de Mach, dado por:

μ = sin−1 1

𝑀 (6)

Em que M é o número de Mach. Essa interpretação nos permite calcular o ângulo das linhas características, aqui

denominado λ, através de duas equações:

𝜆 = 𝜃 + 𝜇 , para C+ (7)

𝜆 = 𝜃 − 𝜇 , para C- (8)

Agora, fazendo N = 0, e após mais manipulações algébricas, obtém-se:

𝜃 + 𝜈 𝑀 = 𝐾 − (9)

𝜃 − 𝜈 𝑀 = 𝐾 + (10)

Essas equações são chamas de equações de compatibilidade. Em que K+ e K- são constantes ao longo das linhas

C+ e C-, respectivamente. Enquanto ν M é a função de

Prantdl-Meyer, dada por:

𝜈 𝑀 = 𝛾+1

𝛾−1∙ tan−1

𝛾−1

𝛾+1∙ 𝑀2 − 1 − tan−1 𝑀2 − 1 (11)

Na qual γ é o coeficiente de expansão adiabática.

Para o caso axissimétrico, um processo semelhante é feito, mas nesse caso consideram-se as coordenadas como

cilíndricas (x, r, 𝜑), e considera-se que os parâmetros do bocal são constantes ao longo da coordenada 𝜑. Com isso, a

equação das linhas características será:

𝑑𝑟

𝑑𝑥 𝑐ℎ𝑎𝑟

= tan 𝜃 ∓ 𝜐 (12)


E as equações de compatibilidade, por sua vez, serão:

𝑑 𝜃 + 𝜐 = 1

𝑀²−1−cot 𝜃∙𝑑𝑟

𝑟 , para linha C- (13)

𝑑 𝜃 − 𝜐 = −1

𝑀²−1+cot 𝜃∙𝑑𝑟

𝑟 , para linha C+ (14)

Utilizando essas fórmulas, é possível traçar uma malha de pontos, em que os parâmetros de dois pontos são usados

para calcular os parâmetros do terceiro ponto, incluindo os ângulos e as coordenadas. Essa malha vai sendo traçada até

o fim do programa, no qual se obtém os pontos da linha do perfil do bocal.

Com isso, é possível escrever um código de programação que determine os ângulos das linhas características, e

trace as coordenadas de seus pontos, determinando assim as coordenadas do perfil do bocal. O programa recebe o

número de Mach desejado na saída do mesmo, e com isso determina perfil de mínimo comprimento do bocal,

necessário para que ele tenha esse Mach com o mínimo de perda de energia.

2.2. Metodologia do programa.

O programa foi escrito através do software MATLAB, devido à facilidade de desenvolver algoritmos para o

mesmo, e, apesar de sua velocidade de execução não ser a mais rápida existente, mostrou-se suficiente para este

método.

O código é dividido em três partes. A primeira parte corresponde aos pontos iniciais das linhas características C-,

antes de elas começarem a cruzar com as linhas C+. A segunda parte corresponde à região da malha em que as linhas

C+, vindas do outro lado do bocal, cruzam-se com as linhas C-. A terceira parte corresponde ao final da malha, em que

as linhas C+ formam o perfil da parede do bocal.

Na primeira parte, o programa recebe como entrada o número de Mach na saída do bocal, o número de linhas

características, e o coeficiente de expansão adiabática (𝛾), usado para a resolução da Eq. (11). Em seguida, ele inicializa

as matrizes que correspondem às variáveis em cada ponto da malha: θ, ν, M, μ, x e y (esses dois últimos, as

coordenadas cartesianas das linhas características, em que x = 0 é a garganta do bocal, e y = 0 é o eixo do mesmo).

Os ângulos θ iniciais de cada linha característica são dados arbitrariamente, por meio de uma progressão aritmética,

no qual o último ângulo é determinado pela fórmula:

𝜃𝑚𝑎𝑥 =𝜈𝑚𝑎𝑥

2 (15)

Em que νmax é a função Prandtl-Meyer (Eq. (11)) do Mach de saída, e 𝜃𝑚𝑎𝑥 é o ângulo máximo da parede do bocal,

em relação ao eixo.

O primeiro ângulo 𝜃, por sua vez, é dado como:

𝜃1 =𝜃𝑚𝑎𝑥

1000 (16)

Garantindo uma boa diferença entre cada ângulo. Esses ângulos correspondem ao ângulo inicial de escoamento de

cada linha característica, sendo que todas elas começam no ponto (0,1).

Os ν iniciais também são escolhidos também arbitrariamente, e dados como iguais aos θ iniciais. Os números de

Mach iniciais são dados pela raiz Eq. (11), determinada através do método de Newton, que é um método iterativo para

se encontrar raízes de funções algébricas, explicado em Burden (2003). Os μ iniciais são dados pela Eq. (6).

Em seguida, o programa determina o par inicial (x,y), que é o ponto em que a primeira linha característica se

encontra com o eixo. A coordenada y é 0, e a coordenada x é dada pela fórmula:

𝑥 = 𝑀 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜆 |(17)

Em que λ é dado pela Eq. (8).

Por fim, o programa precisa determinar as coordenadas (x,y) de cada ponto da malha. Para isso, ele seleciona dois

pontos já determinados da mesma, calcula o ângulo λ de cada linha característica que sai deles, e os cruza utilizando

princípios de Geometria Analítica. Da intersecção de duas linhas, se encontra o terceiro ponto. Os ângulos são

determinados pelas equações características do Método das Características, da seguinte maneira:

O primeiro λ, que é o ângulo da linha que sai do ponto (0,1), é dado pela equação (8). O segundo λ, que é o ângulo que

liga dois pontos, de linhas diferentes, é dado por:


𝜆 =1

2∙ 𝜃1+𝜃3 −

1

2∙ 𝜇1+𝜇3 , para C- (18)

𝜆 =1

2∙ 𝜃2+𝜃3 +

1

2∙ 𝜇2+𝜇3 , para C+ (19)

Figura 2. Esquematização da Eq. (15) e da Eq. (16), retirada de Anderson (1990).

Tais equações podem ser deduzidas das equações características. Nessa primeira parte do programa, usa-se apenas a

Eq. (16).

Determinados os dois ângulos, determina-se o terceiro ponto. Este procedimento é repetido até que se tenha

determinado um ponto para cada linha característica C -.

Figura 3. Exemplo de resultado do primeiro passo.

Na segunda parte, deve-se observar que cada ponto é o cruzamento de uma linha característica C+ com uma C-. Os

θ e os ν de cada ponto são determinados pelas equações de compatibilidade, (9) e (10).

Determinadas essas variáveis, repete-se o procedimento da primeira parte: resolve-se a Eq. (11) para determinar o

M, usa-se o M para determinar o μ, usa-se as equações características para determinar os λ, e por fim cruza-se as linhas

características para determinar cada ponto.


Figura

4. Exemplo de resultado do segundo passo.

A terceira parte consiste no final do programa, em que o último ponto de cada linha C+ é usado para traçar o perfil

do bocal. Dessa vez, os ângulos λ são determinados de uma maneira diferentes. Os ângulos λ1, que vêm das linhas C+,

são dados pela equação (7), sendo que seu θ é igual ao do último ponto de cada linha.

Os ângulos λ2, que fazem o perfil do bocal, são determinados pela fórmula:

𝜆2 =𝜃𝑚𝑎𝑥 +𝜃1

2 (20)

Em que 𝜃1, é o ângulo θ do ponto anterior do perfil do bocal. Determina-se ângulo a ângulo usando o mesmo

método anterior de cruzar as linhas, e com isso as coordenadas do perfil vão sendo determinadas até a última linha

característica, obtendo-se assim um bocal de comprimento mínimo.

O programa retorna como saída as coordenadas (x,y) do perfil, e um gráfico de Raio x Comprimento, no qual o raio

da garganta é normalizado como 1, e o comprimento do bocal, bem como o raio do perfil, são mostrados em função do

mesmo.

3. RESULTADOS

O programa foi testado, com diferentes números de Mach e mudando o número de linhas características. Para Mach

3 e 20 linhas:

Figura 5. Resultado do programa, para Mach 3.


As cores no gráfico representam o número de Mach nos pontos do escoamento. Observa-se que o programa

funcionou corretamente, e desenhou a curva do bocal conforme o último ponto de cada linha característica.

Diminuindo o Mach para 2:

Figura 6. Resultado do programa, para Mach 2.

Observa-se que tanto o comprimento do bocal quanto seu raio na saída diminuíram.

Mudando agora o Mach para 2.4 (Fig. 7), e comparando com o exemplo do Anderson (1990), também para Mach

2.4 (Fig. 8):

Figura 7. Resultado do programa, para Mach 2.4.

Figura 8. Exemplo de aplicação do método, retirado de Anderson (1990).


As cores na Fig. 7 foram omitidas para efeito de comparação. Observa-se que o perfil da Fig. 7 e da Fig. 8 é muito

parecido, o que mostra que o programa foi bem-sucedido em reproduzir o método descrito no livro.

Fazendo agora para Mach 4 (Fig. 9), e comparando com o resultado do programa feito por Rice (2003), também

para Mach 4 (Fig. 10):

Figura 9. Resultado do programa, para Mach 4, mostrando apenas o começo da malha.

Figura 10. Resultado experimental retirado de Rice (2003).

Observa-se que foi obtido um perfil relativamente parecido. Entretanto, analisando nas duas figuras o ponto

(x=9.6), onde ocorre a mesma razão entre comprimento axial e raio da garganta, nota-se que há uma diferença no raio

da saída, da ordem de 25%. Isto se deve ao fato de que o trabalho feito no artigo da NASA usa o método axissimétrico,

enquanto o deste artigo usa o método cartesiano 2D, que não é tão preciso quanto o primeiro.

O tempo de processamento do programa depende do número de linhas características computadas, e do Mach

desejado na saída. Para o exemplo da Fig. 9, executado em um computador com processador AMD Athlon II X2 M300

(2.0 GHz, 1MB L2 Cache), memória RAM de 4GB e 667 Mhz, e sistema operacional Windows 7 Ultimate 64-bit, o

tempo total é de menos de 2s, considerado um resultado baixo, mostrando que a escolha do MATLAB como software

utilizado não foi um problema quanto à velocidade do código.


4. CONCLUSÃO

O método se mostra como um excelente complemento para a teoria do escoamento quase-unidimensional.

Infelizmente, a versão do método para escoamento cartesiano 2D não é tão precisa quanto aquela feita para escoamento

axissimétrico, uma vez que um bocal convencional é um sólido de revolução, e o caso cartesiano 2D, por sua vez, gera

um bocal simétrico em relação a coordenada z, tornando-o retangular e infinito. Por outro lado, ela é de aplicação mais

simples e intuitiva do que o caso axissimétrico, uma vez que neste as equações de compatibilidade (Eq. (13) e Eq. (14)),

são de difícil aplicação prática, e seu uso requer a aplicação de outros métodos, como descrito em Anderson (1990),

enquanto que no caso 2D, as equações de compatibilidade (Eq. (9) e Eq. (10)) são algébricas, e sua aplicação é mais

fácil. Apesar de tudo, o método se mostrou uma maneira eficaz de se projetar bocais de foguete para velocidades

supersônicas, sendo capaz de determinar, com boa precisão e em um tempo aceitável, vários pontos no plano cartesiano

necessários para a manufatura dos bocais.

5. BIBLIOGRAFIA

ANDERSON, Jr., J. D. (1990). Modern Compressible Flow - With Historical Perspective, 2ª edição.

ANDERSON, Jr., J. D. (2007) Fundamentals of Aerodynamics, 4ª edição.

TANEHILL, J. C., ANDERSON, D. A., PLETCHER, R. H. (1997), Computational Fluid Mechanics and Heat

Transfer, 2ª edição.

BURDEN, R.L.; FAIRES, J.D. (2003). Numerical Analysis., 7ª edição.

RICE, T. (2003). 2D and 3D Method of Characteristic Tools for Complex Nozzle Development - Final Report, Jonhs

Hopkins University.

DAVIDIAN, K. Aerospyke Engine Homepage, NASA <http://www.hq.nasa.gov/office/pao/History/x-33/aero_faq.htm>

NAKKA, R., Richard Nakka’s Experimental Rocketry Website <http://www.nakka-rocketry.net>

SARRA, S. A. The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws

< http://www.scottsarra.org/shock/shock.html>

KIRK, D. R. Rocket Nozzles, Florida Institute of Technology <my.fit.edu/~dkirk/4262/Lectures/Nozzles.ppt>

6. DIREITOS AUTORAIS

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COMPUTATIONAL IMPLEMENTATION OF THE METHOD OF

CHARACTERISTICS FOR A ROCKET ENGINE DESIGN

Caio Silveira Volpato, [email protected]

Manoel Antônio Delatre Bonfim Júnior, [email protected]

Marcos Vinícius Fernandes Ribeiro, [email protected]

Paulo Celso Greco Júnior, [email protected]

Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Av. Trabalhador São-carlense, 400, Pq Arnold Schimidt

São Carlos - SP/Brasil, CEP 13566-590

Abstract: This paper consists on the development of a numerical code for design of a convergent-divergent nozzle. One

problem of this kind of project is the determination of the contour of the divergent region of the nozzle, to avoid the

generation of shock waves, and to maximize its efficiency. To do this, The Method of Characteristics is employed,

which is a numerical method that determines the coordinates of the Characteristic Lines, in which the Euler equations

can be simplified to ordinary differential equations or algebraic equations, both of which are simpler to solve

computationally. The numerical method was developed and implemented for the Cartesian, Two-dimensional case,

obtaining the coordinates of the nozzle, which were represented in graphics for different Mach numbers, and it was

concluded that the method is applicable on the design of convergent-divergent nozzle, although it isn’t as precise as the

Cylindrical, Axisymmetric case.

Keywords: Method of Characteristics, rocket, nozzle, numerical method

The authors are the only responsible for the printed material included in this paper.

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