Física Geral e Experimental II

Ondas

Material Teórico

Responsável pelo Conteúdo:Prof. Dr. José Agostinho Gonçalves de Medeiros

Revisão Textual:Profa. Esp. Natalia Conti

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Nesta aula, voltaremos nossa atenção para os conceitos de Ondas e a transferência de energia sem a transferência de matéria. A variação de uma grandeza física se propaga com ou sem a necessidade de um meio e transporta energia, são vários os tipos de ondas que podem ser estudadas pelo mesmo conjunto de equações: ondas sonoras, eletromagnéticas, sísmicas, etc.

Estes estudos permitem utilizar os vários tipos de ondas em tecnologias que estão presentes na sociedade moderna, por exemplo: micro-ondas, radares, rádios, dentre outros.

Apresentaremos também exercícios resolvidos para fixar os conceitos apresentados. Os alunos devem ter especial atenção aos pontos destacados e aos exercícios resolvidos.

Pedido do professor:

Fique atento às atividades propostas e aos prazos de realização e de entrega das mesmas. Não deixe de participar de todas as atividades propostas e visite os links fornecidos ao longo do texto, eles trazem informações importantes que complementam o texto e facilitam o aprendizado.

Entender os conceitos físicos envolvidos em fenômenos observados na natureza e traduzi-los em uma linguagem matemática é um desafio. Convidamos a todos para esta aventura e desafio que é entender os conceitos básicos do universo em que vivemos.

· A proposta desta Unidade é apresentar os conceitos e a essência do movimento ondulatório e a transferência de energia sem a transferência de matéria.

Ondas

· Introdução

· Ondas Senoidais em Cordas

· Velocidade de Ondas em Cordas

· Reflexão e Transmissão de Ondas

· Ondas Senoidais e Energia

· A Equação de Onda

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Unidade: Ondas

Contextualização

Podemos definir uma onda como uma perturbação que se propaga em um meio material ou no vácuo. Muitos são os exemplos de fenômenos ondulatórios encontrados no nosso cotidiano. Os instrumentos musicais produzem ondas mecânicas, uma simples pedrinha jogada numa poça de água. Ondas eletromagnéticas não precisam de um meio para se propagar; a luz visível, ondas de rádio, sinais de TV, raios-X são exemplos de ondas eletromagnéticas.

Independentemente de a onda necessitar ou não de um meio para se propagar, esta transporta energia, e essa energia pode ser utilizada para diversos fins.

Com o passar dos anos a física tem ganhado um espaço cada vez maior no cenário das inovações tecnológicas, de modo que os conceitos, leis e princípios físicos têm possibilitado a inovação e criação de produtos mais sofisticados, personalizados, seguros e eficazes; por exemplo, na indústria a automatização dos processos já é uma realidade há muito tempo, o desenvolvimento de sensores e equipamentos de análise dependem basicamente de fenômenos ondulatórios.

O link abaixo apresenta um artigo que exemplifica o uso de um sensor sônico, o título do artigo é: “Medição da variação da temperatura em painéis elétricos por ultrassom”.

• http://www.controleinstrumentacao.com.br/arquivo/ed_190/art.html

Outro exemplo pode ser encontrado no link a seguir, com o artigo “Desenvolvimento de uma bengala eletrônica para locomoção de pessoas com deficiência visual”.

• http://www.abcm.org.br/anais/conem/2010/PDF/CON10-0608.pdf

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Introdução

Ondas estão em todos os lugares. Há dois tipos principais de ondas: ondas mecânicas e ondas eletromagnéticas. Ondas mecânicas são aquelas que necessitam de um meio para se propagar, e ao passarem por este meio, provocam uma perturbação no mesmo. O caso mais simples é de uma pedrinha jogada numa poça d’água. Ondas eletromagnéticas não precisam de um meio para se propagar; a luz visível, ondas de rádio, sinais de TV, raios-X são exemplos de ondas eletromagnéticas. Nesta unidade vamos nos concentrar nas ondas mecânicas. Quando observamos uma onda no mar, vemos uma perturbação no oceano, sem o qual não haveria a onda, ou seja, a água do mar é a propagação. Um surfista ou uma simples boia na água são capazes de se deslocar na passagem da onda ao ganharem energia cinética, pois a onda transferiu energia para os objetos no caminho da onda. Isto é um conceito importante, ou seja, ondas carregam energia e a quantidade de energia transmitida através do meio dependem das características do mesmo e variam de caso a caso.

Resumindo:

• Toda onda mecânica necessita de uma fonte de perturbação

• Toda onda mecânica necessita de um meio a ser perturbado

• A transmissão de energia através do meio depende das propriedades físicas do mesmo

Uma onda que se propague e cause que os elementos do meio perturbado se movam perpendicular à direção de propagação é uma onda transversal.

Uma onda que se propague e cause que os elementos do meio perturbado se movam paralelamente à direção de propagação é uma onda longitudinal.

Figura 1 – Ondas transversais (a) e ondas longitudinais (b).

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Unidade: Ondas

Ondas SenoidaisQuando um pulso se propaga por uma corda, por exemplo, consideramos o instante t=0, que

independentemente da forma do pulso é representado por uma função matemática qualquer que irá ser escrita na forma:

y(x,0)=f(x)

Esta função descreve a posição y de um elemento da corda localizado em cada valor de x para o instante t = 0.

Figura 2 – Pulso viajando para a direita com velocidade v em (a) t = 0 (b) e um instante qualquer t.

y y

vt v

P

x x

v

A

0 0

P

Se o pulso viajar para a direita, isto é, no sentido de x > 0, o mesmo após um intervalo de tempo t terá se deslocado de v.t. Como o formato do pulso não se altera, o ponto P na figura será dado por:

y(x,t)=y(x-vt,0)

E em geral pode-se representar a posição transversal y para todas as posições e instantes, em relação ao sistema de referência estacionário na origem O, assim:

y(x,t)=f(x-vt)

Se o pulso estivesse se deslocando para a esquerda, os elementos da corda seriam dados por:

y(x,t)=f(x+vt)

9

A função y, chamada às vezes de função de onda, depende das duas variáveis x e t, e é por isso escrita como y(x,t). A função de onda representa a coordenada y de qualquer elemento localizado em x em qualquer instante t.

Exemplo: Um pulso se deslocando para a direita ao longo do eixo x é representado pela função de onda:

( ) 2

2,( 3,0 ) 1

y x tx t

=− +

Onde x e y estão em cm e t em segundos. No instante t = 0 e na posição x = 0,5 cm, a posição y terá valor:

a) 1,2 cm

b) 1,3 cm

c) 1,4 cm

d) 1,5 cm

e) 1,6 cm

Solução:

Para t = 0 e x = 0,5 a função será de

( )( )2

20,5,0 1,6

0,50 1= =

+y  cm

Figura 3 – Onda y(x,t)= ( ) 2

2,( 3,0 ) 1

=− +

y x tx t

viajando para a direita em t = 0 (verde), t =

1,5 s( amarelo) e t =2,5 s (azul)

10

Unidade: Ondas

Figura 4 – Onda ( ) 2

2,( 3,0 ) 1

=+ +

y x tx t

viajando para a esquerda em t = 0 (verde), t =

1,5 s( amarelo) e t =2,5 s (azul). Observe o sinal positivo na frente de “3,0 t”.

Uma das funções mais comuns para se representar uma onda é a função de onda senoidal, que é a mesma curva que aquela de senθ×θ . A onda senoidal é o exemplo mais simples e pode ser utilizada para construir ondas mais complexas. Como na figura abaixo há dois “instantâneos” de uma onda, azul e amarelo, em que um deles é a onda no instante t = 0, e o outro instante a onda indo para a direita. Se nos concentrarmos em um elemento específico da onda, x = 0, por exemplo, veremos que este elemento se move verticalmente em movimento harmônico simples.

Figura 5 – Instantâneos de uma em t = 0 (azul) e t = 1,5 s (amarelo). As duas funções podem ser representadas por uma função seno.

Quando averiguamos com cuidado cada instantâneo e nos concentramos em um elemento do meio, vemos algumas características que servirão para caracterizar a função de onda:

• Amplitude da onda (A) – que é a diferença entre os pontos mais alto e mais baixo da onda.

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• Comprimento de Onda (λ) - que é a distância entre dois pontos com ordenadas iguais e que apresentem comportamento semelhantes nas vizinhanças destes pontos, isto é, a diferença entre dois picos, por exemplo.

• Período da onda (T) – que é a diferença de tempo entre a passagem de dois picos consecutivos por uma coordenada pré-determinada.

• Frequência da Onda (f) – que é o número de picos que passam por um ponto por unidade de tempo.

Figura 6 – Características de uma onda, em (a) comprimento de onda e amplitude e em (b) período e amplitude.

A frequência pode ser dada pela expressão, que relaciona-se com o período de uma onda:

1fT

=

dada em hertz (Hz), que corresponde a s-1, considerando que a unidade de T é em segundos.

A função de onda pode então ser representada como:

2( , ) ( v )y x t Asen x t

π = − λ

12

Unidade: Ondas

Por definição uma onda viaja o seu comprimento em um período T, isto é:

vTλ

=

Ainda podemos definir o número de onda angular k, ou simplesmente número de onda e a frequência angular ω :

k = 2πλ

ωπ

=2T

E a função de onda senoidal fica mais simplificada como:

( )y Asen kx t= − ω

Finalmente, vemos que a velocidade da onda pode ser dada por:

w=v

k

e

v fλ=

Se verificarmos a função de onda acima, podemos ver que quando x = 0 e t = 0, a posição y será nula. Se houver casos em que isso não ocorra, adicionamos à expressão uma constante de fase ϕ:

y=A sen(kx- ωt+ϕ)

Exemplo: Uma onda senoidal viaja na direção positiva de x e tem uma amplitude de 18 cm, um comprimento de onda de 36 cm e frequência de 12 Hz. A posição vertical para x = 0 e t = 0 é também de 18 cm. O número de onda, o período T e a frequência angular vão ser, respectivamente:

a) 0,175 rad/cm;0,933 s;85,40 rad/s

b) 0,275 rad/cm;0,833 s;85,40 rad/s

c) 0,175 rad/cm; 0,833 s; 75,40 rad/s

13

d) 0,275 rad/cm;0,933 s;75,40 rad/s

e) 0,175 rad/cm;0,833 s;95,40 rad/s

Resolução:

2 20,174533 0,175 /

361

0,08333 0,83312

p p= = = »

l

= = »

k  rad cm

T  s

ω=2πf=2π×12=75,3982≈75,40 rad/s

Exemplo: Uma onda senoidal propaga-se na direção positiva de x com amplitude de 15,0 cm, comprimento de onda de 40,0 cm e frequência de 8 Hz. Quando t=0 e x=0, o valor vertical y é 15,0 cm. A constante de fase ϕ para esta onda será de:

a) 2

radπ

b) π rad

c) 3

radπ

d) 4

radπ

e) 2π rad

Resolução: A função senoidal padrão é:

y=A sen(kx- ωt+ϕ)

Quando t = 0 e x = 0, temos y = 15,0, então:

15=15 sen(ϕ)

sen(ϕ)=1→ϕ=90o ou π/2

2

radπ

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Unidade: Ondas

Ondas Senoidais em Cordas

Quando prendemos uma corda, podemos “balançá-la” para produzir ondas, e ainda podemos prendê-la em uma lâmina que oscile por um mecanismo automático, por exemplo. A onda formada pode ser formada por pulsos periódicos que apresentem um período T e uma frequência f bem definidos, a ponto de termos a relação v=λ.f verdadeira e concluirmos que a corda está em movimento harmônico simples.

Figura 7 – Onda senoidal em uma corda, acoplada a uma lamina oscilante. Cada elemento da corda, como o ponto P, por exemplo, oscila em movimento harmônico simples (verticalmente).

P

P

P

P

A

y

y

(a)

(c)

(b)

(d)

LaminaOscilante

A função de onda para a corda vai ser, obviamente:

y=A sen(kx- ωt+ϕ)

E, por simplificação, vamos considerar que a fase ϕ=0 e portanto:

y=A sen(kx- ωt)

Se agora derivarmos a expressão acima em relação ao tempo e mantivermos a posição:

15

( )=

ù ¶ú= = =-w -wú ¶û

yx constante

dy yv Acos kx t

dt t

Esta é a velocidade transversal, isto é, a velocidade que o ponto P vai para cima e para baixo. Ao derivarmos mais uma vez a expressão acima, vamos obter a aceleração transversal:

( )2

=

ù ¶ú= = =-w -wú ¶û

y yy

x constante

dv va Asen kx t

dt t

Os valores máximos da velocidade transversal e da aceleração transversal vão ser, respectivamente:

, Áy maxv ω=2

,y maxa Aω=

Exemplo: Uma corda oscila com frequência de 15,00 Hz e a sua amplitude de movimento é de 22,0 cm e a velocidade de onda é de 10 m/s. A frequência angular ω e o número de onda k são, respectivamente:

a) 94,25 rad/s e 9,425 rad/m

b) 104,25 rad/s e 9,425 rad/m

c) 84,25 rad/s e 94,25 rad/m

d) 9,425 rad/s e 94,25 rad/m

e) 94,25 rad/s e 10,425 rad/m

Resolução:

2 2 2 15,00 94,2478 94,25 /f rad sTπω π π= = = × = ≈

94,2478 9,42478 9,425 /10,0

k rad mvω

= = = ≈

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Unidade: Ondas

Velocidade de Ondas em Cordas

Se observarmos uma onda se propagando por uma corda, a velocidade com que um pulso se propaga na corda estará definida por quanto de tensão está aplicada à corda. De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração de um elemento da corda aumenta com a tensão a ela aplicada. E a rapidez com que o elemento da corda retorna à posição de equilíbrio é definida pela velocidade do pulso que viajou pela corda.

Um outro aspecto importante é a densidade linear da corda, isto é, a quantidade de massa por unidade de medida, que quanto maior for mais lentamente ocorre a propagação do pulso. Desta maneira podemos ver através da análise dimensional que a velocidade de propagação vai depender da tensão T e da densidade linear da corda µ:

Tvµ

=

Veja que a tensão na corda T tem dimensão (unidades) de uma força,ou seja, ML/T2 e que a densidade tem dimensão M/L, desta maneira:

22

2

MLT LT

M TL

µ

= =

E, portanto:

2

2

L LT T

= que tem dimensão de velocidade.

Uma análise mais detalhada pode ser realizada aplicando as leis de Newton. Um pequeno elemento ∆s forma um arco de círculo em referencial que se move com a mesma velocidade que a da propagação da onda. Este elemento tem uma aceleração centrípeta igual a v2/R, que é a soma das componentes da força de tensão T aplicada nos dois extremos do elemento da corda, e são tangentes ao arco formado pela passagem de um pulso; cada componente, conforme a figura, tem componente Tsenθ, mas como os angulos em questão são pequenos, podemos utilizar a aproximação Senθ≈θ e a força radial total será:

F=2Tsenθ≈2Tθ

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O elemento da corda tem massa m=µ∆s e como o elemento é parte de um círculo que subentende um ângulo 2θ ao centro de assim ∆s=R(2θ), e encontramos que:

m=µ∆s=2µRθ

Aplicando a segunda lei de Newton, teremos que o elemento na direção radial tem aplicado uma força:

2

= =mv

F maR

e22

2m q

q = ® =m

R v TT v

R

Veja que aqui consideramos que o pulso é bem menor que o comprimento da corda.

Figura 8 – Pulso se propagando por uma corda esticada e formando um arco de círculo, e as forças aplicadas ao elemento de corda com as tensões na suas extremidades.

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Unidade: Ondas

Exemplo: Uma corda de massa 0,500 kg e comprimento de 5,00 m passa por uma polia que suporta uma massa de 2,50 kg. A velocidade de um pulso que propague por essa corda vai ser de:

a) 17,65 m/s

b) 15,65 m/s

c) 14,65 m/s

d) 13,65 m/s

e) 12,65 m/s

Solução:

T = m.g = 2,50x9,8= 24,5 N

0,5000,1 /

5,00

24,515,6525 15,65 /

0,1

m = = =

= = = »m

mkg m

l

T mv  m s

s

Refl exão e Transmissão de Ondas

Quando uma onda viaja por um meio homogêneo e em um ponto há uma mudança nas propriedades do mesmo, isto é, a densidade sofre uma mudança, parte da onda é refletida e parte dela é transmitida. No caso de uma mudança brusca, por exemplo, uma onda em uma corda indo para a direita e a corda estiver presa a um suporte em uma parede, a onda será totalmente refletida para a esquerda.

Figura 9 – Onda viajando em um meio em que há mudança das propriedades do mesmo. Parte da onda é transmitida, parte é refletida.

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Figura 10 – Onda refletida ao atingir uma parede. Observe que a onda inverte verticalmente.

Figura 11 – Onda refletida ao atingir um extremo em que há liberdade de movimentação. Observe que a onda não inverte verticalmente.

Na equação de velocidade de propagação de uma onda em uma corda, vimos que:

=mT

v

Vemos que conforme µ aumentar, isto é, quanto maior for a densidade, menor a velocidade na corda para uma dada tensão aplicada à mesma.

20

Unidade: Ondas

Figura 12 – Velocidade de um pulso em uma onda em função da sua densidade.

Em geral, quando uma onda ou pulso propaga-se em um meio A e passa para um meio B, então vA > vB, isto é, quando o meio B for mais denso que o meio A, e é invertida quando há reflexão. Quando vA < vB, ou seja, o meio B for menos denso que A, não há inversão do pulso quando houver a reflexão.

Ondas Senoidais e Energia

Como mencionado, uma onda transporta energia através de um meio. A onda, ao se propagar por uma corda, ao passar por um elemento da corda com comprimento ∆x e massa ∆m, irá realizar trabalho, e o movimento vertical deste elemento em movimento harmônico simples com velocidade angular ω e amplitude Α. A energia cinética associada ao movimento da partícula é

212

K mv= e, aplicando ao elemento da corda, teremos:

( ) 212

D = D yK m v

onde vy é a velocidade transversal em y. Se conhecermos a densidade linear desta corda, podemos reescrever a equação acima como:

( ) 212

D = mD yK x v

No limite em que ∆x→0, teremos:

( ) 21dx

2= m ydK v

21

Substituindo na expressão da velocidade transversal em um oscilador harmônico simples, temos:

( )

( )

2

2 2 2

1[ ]

212

= m w -w

= mw -w

dK Acos kx t dx

A cos kx t dx

Quando t=0, a energia cinética fica como:

( )2 2 212

= mwdK A cos kx dx

e se quisermos saber a energia cinética total para todos os elementos da corda com comprimento de onda λ, a energia cinética total Kλ será:

2 2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2 2

0

1 1 cos ( ) cos ( )

2 2

1 1 1 1 1 1 12

2 2 4 4 2 2 4

K dK A kx dx A kx dx

A x x sen kx A Ak

λ

λ λ

λ

= = µω = µω

= µω + + = µω λ = µω λ

∫ ∫ ∫

Analogamente, cada elemento da corda terá também uma energia potencial, e uma análise similar à realizada acima nos levará ao resultado:

2 21A

4l = mw lU

Somando-se as duas energias, cinética e potencial, nos fornecerá a energia total de uma onda com comprimento de onda λ:

2 212l l l= + = mw lE K U A

Se quisermos saber a potência transferida no processo, isto é, a taxa com que a energia é transferida por unidade tempo:

2 2

2 2 2 2 2 2

11 1 122 2 2

lmw l æ öD l÷çà = = = = mw = mw l = mw÷ç ÷çè øD

AEEA A f A v

t T T T

22

Unidade: Ondas

A taxa de energia transferida em uma onda senoidal é proporcional ao quadrado da frequência angular, ao quadrado da amplitude e à velocidade de propagação da onda.

Exemplo: Uma corda de coeficiente linear µ=8,00×10-2 kg/m está sob uma tensão de 120,0 N. A potência que deve ser fornecida a ela para que seja gerada uma onda senoidal de 80,0 Hz e 6,00 cm de amplitude é de:

a) 1409 W

b) 1410 W

c) 1411 W

d) 1412 W

e) 1413 W

Resolução:

A expressão da potência é:

2 212

à = mw A v

2 2 80 160 /f rad sω π π π= = =

2

12038,7298 /

8,00 10-= = =m ´T

v  m s

Assim:

2 2 218,00 10 (160 ) 0,06 38,7298 1409,12 1409

2-Ã = ´ ´ p ´ ´ = »  W

A Equação de Onda

Não iremos fazer aqui a dedução em detalhes, e convidamos os estudantes a consultarem as referências no texto para o desenvolvimento completo da equação linear de uma onda. Todas a funções de onda são soluções de uma equação denominada equação de onda. Esta equação, que é uma equação diferencial, ou seja, a solução de uma equação diferencial não é um ponto ou um número, mas sim uma função ou funções que satisfaçam a equação diferencial; no caso de uma corda que tem uma onda se propagando por ela, a equação de onda será dada por:

2 2

2 2 2

1¶ ¶=

¶ ¶ y y

x v t

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Esta expressão se aplica a vários tipos de onda que se propaguem por uma corda. E veja que a função y(x,t) ao ser derivada duas vezes em relação à posição x será igual ao inverso da velocidade ao quadrado vezes a derivada segunda de y em relação ao tempo. A função y=A sen(kx –ωt) satisfaz esta condição. Lembrando que a expressão v=ω/k deverá ser utilizada para que a identidade seja comprovada.

Ondas SonorasOndas sonoras são um exemplo de ondas mecânicas que são longitudinais, isto é, a velocidade

de propagação é paralela à perturbação causada pela onda. A sua propagação se dá por um meio compressível, cuja velocidade depende das propriedades inercial e elástica do meio. A velocidade do som em um líquido ou gás depende do módulo “bulk” B e da densidade ρ :

=rB

v

Para ondas acústicas senoidais, a variação da posição de um elemento do meio é dada por:

( ) ( ), cosmaxs x t S kx tω= −

e a variação de pressão em relação à posição de equilíbrio é:

∆ ∆P P P P sen kx tequilibrio= − = −max ( )ω

Onde ∆P_max é a amplitude de pressão. A onda de pressão tem uma diferença de fase de 90o com a onda de deslocamento s(x,t). A relação entre a variação de pressão e o deslocamento máximos é dada por:

∆P v Smax max= ρ ω

Figura 13 – Variações da pressão do ar e a função de onda correspondente.

24

Unidade: Ondas

Exemplo: A velocidade do som na água é de modulo “bulk”= 2,1 x 109 N/m2 a 0 oC e densidade de 1,00 x 103 kg/m3:

a) 0,4 km/s

b) 1,4 km/s

c) 2,4 km/s

d) 3,4 km/s

e) 4,4 km/s

Solução:

v B

v ms

km s

=

= ≈ ≈

ρ

2 11 00

1449 1 4,,

, /x10x10

9

3

Intensidade de Ondas SonorasNormalmente, ao medirmos as propriedades de uma onda sonora, ao invés de se medir as

variações de pressão ponto a ponto, prefere-se medir a transferência de energia pela unidade de tempo por unidade de área, isto é, a intensidade da onda acústica que é dada pela razão da Potência pela área:

2P2

Dú =

rmaxI

A v

E o nível sonoro de uma onda acústica, em decibéis, é dado por:

0

10æ ö÷ç ÷b º ç ÷ç ÷çè ø

Ilog

I

A constante I0 é uma intensidade de referência, usualmente tomada do limiar de audição, 1,00×10-12 W/m2, e I é a intensidade da onda acústica em watts por metro quadrado.

Exemplo: Uma fonte sonora pontual emite uma potência acústica média de 1000 W, a intensidade a 5,0 m vai ser de:

a) 3,4 W/m2

b) 3,2 W/m2

c) 3,0 W/m2

d) 2,8 W/m2

e) 2,6 W/m2

25

Solução:

2 2

10003,1831 3,2

4 4 (5,0)Ã

= = = »p pmediaI  Wr

Obs: 4πr2 é a área de uma esfera

Exemplo: Duas britadeiras idênticas emitem uma intensidade sonora que atingem um trabalhador com 2,0 x 10-7 W/m2 cada. O nível sonoro ouvido pelo trabalhador devido às duas máquinas é de:

a) 50 dB

b) 51 dB

c) 53 dB

d) 55 dB

e) 56 dB

Solução:

( )7 7

51 212

0

2,0 10 2,0 1010 10 10 4,0 10 56

1,00 10

- -

-

æ ö æ ö+ ´ + ´÷ ÷ç ç÷ ÷b = = = ´ =ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ çç ´è øè ø

I I log  log log  dB

I

Efeito DopplerQuando houver um movimento relativo entre o emissor da onda acústica e o observador,

haverá uma mudança de frequência. A estes fenômenos chamamos efeito Doppler. A frequência que o observado detecta é dada por:

æ ö± ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷ç ±è øSOM o

dSOM f

v vf f

v v

Nesta expressão, os sinais de vo e vf dependem do sentido da velocidade. Um valor positivo para o observador, vo, ou para a fonte, vf, é substituído quando eles se aproximam um do outro, enquanto que um valor negativo quando eles se afastam.

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Unidade: Ondas

Exemplo: Um relógio de despertar tem um alarme que emite 600 Hz de frequência de som. O mesmo cai de uma altura de 15 m. A frequência do despertador ao atingir o chão vai ser de:

( )2343 / 9,8 /somv m s e g m s= =

a) 571 hz

b) 570 Hz

c) 569 Hz

d) 568 Hz

e) 567 Hz

Solução:

A expressão do efeito Doppler é:

SOM od

SOM f

v vf fv v

±= ±

O observador está parado, portanto vo=0, e o relógio está se afastando:æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷ç -è ø

SOMd

SOM f

vf f

v v

VS será a velocidade da queda:

. 0 9,8ˆ ˆSv t gtj tj= + = − = −ov a

O tempo para atingir o solo será de:

212

=-y gt

Como a altura é de 15 m, e a altura inicial é zero:

2115 9,8

2- =- ´ ´ t

1,75 9,8 1,75 17,15 /t s v m s= → = − × = −

Portanto a frequência final será:

( )343

600 571,429 571343 17,15

æ ö÷ç ÷ç= = »÷ç ÷÷ç - -è ødf  Hz  Hz

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Material Complementar

Para complementar os conhecimentos adquiridos nesta Unidade, veja os vídeos indicados e consulte a bibliografia indicada.

Vídeos

• http://www.fundacoes.org.br/khanportugues/ciencias/fisica/ondas_e_optica

Vídeos: Cursos Unicamp

• http://univesptv.cmais.com.br/fisica-ii/ondas-i

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Textos;

Cursos Unicamp - Física Geral II - Oscilações

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Unidade: Ondas

Referências

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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica – 9ª. Edição - Rio de Janeiro: LTC editora, 2012.

LANDULFO, E. Meio Ambiente & Física. São Paulo: Editora Senac, 2005.

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. 4a ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 2002. V.

SEARS; ZEMANSKY. Física II, Termodinâmica e Ondas. – 12a. Edição – São Paulo: Addison Wesley, 2003.

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Anotações