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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CAP LEONARDO OLIVEIRA DE ARAÚJO

IDENTIFICAÇÃO E CONTROLE DE ALGUMAS CLASSESDE SISTEMAS NÃO-ESTACIONÁRIOS

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso deMestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militarde Engenharia, como requisito parcial para obtenção dotítulo de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAECo-orientador: Roberto Ades, Dr PUC-Rio

Rio de Janeiro2006

c2006

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIAPraça General Tibúrcio, 80-Praia VermelhaRio de Janeiro-RJ CEP 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-loem base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma dearquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliote-cas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venhaa ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidadecomercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)orientador(es).

A663 Araújo, Leonardo Oliveira deIdentificação e Controle de Algumas Classes de Sistemas

Não-estacionários / Leonardo Oliveira de Araújo. - Riode Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2006.

146 p.: il, graf., tab.

Dissertação (mestrado) - Instituto Militar deEngenharia- Rio de Janeiro, 2006.

1. Sistemas, identificação e controle. 2. Sistemas não-estacionários. I. Título. II. Instituto Militar de Engen-haria.

CDD 621.319

2

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CAP LEONARDO OLIVEIRA DE ARAÚJO

IDENTIFICAÇÃO E CONTROLE DE ALGUMAS CLASSES DESISTEMAS NÃO-ESTACIONÁRIOS

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétricado Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título deMestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAECo-orientador: Roberto Ades, Dr PUC-Rio

Aprovada em 31 de Janeiro de 2006 pela seguinte Banca Examinadora:

Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE do IME - Presidente

Roberto Ades, Dr PUC-Rio do IME

Geraldo Magela Pinheiro Gomes, Dr. ENSAE do IME

Mario Cesar Mello Massa de Campos, Dr. ECP do CENPES

Rio de Janeiro2006

3

Àquele que é causa unívoca de todas as coisas, cha-mado por muitos nomes em tempos, locais e cul-turas diferentes: O Grande Arquiteto do Universo.

4

AGRADECIMENTOS

Aos amigos e orientadores, Maj Paulo César Pellanda e Maj Roberto Ades, exemplos

de dedicação, compromisso e notório saber, que sacrificaram inúmeras horas de lazer

familiar para possibilitar a existência deste trabalho.

Ao amigo Maj Juraci Ferreira Galdino pelas efetivas e claras orientações prestadas,

ultrapassando os limites de sua área de atuação científica específica, que possibilitou uma

abordagem de maior magnitude nesta dissertação.

Ao professor Marcelo Vieira Corrêa que contribuiu significativamente com elucidações

e arquivos de simulação para comparação de resultados sempre que solicitado, além de

permitir a exploração da tese de doutorado de sua autoria.

Ao Cel Ney Bruno por sua colaboração na modelagem do sistema do levitador mag-

nético, do qual é o idealizador.

À minha esposa, Rosane da Penha Andrade Araújo, pela compreensão e apoio du-

rante este período de extrema dedicação e aplicação ao estudos no qual fiquei envolvido.

Ao meu pai, José Alfredo de Araújo, e ao meu tio, Marlanfe Tavares Oliveira, pelos

sábios conselhos que me conduziram a este momento.

Ao Exército Brasileiro, em especial ao Instituto Militar de Engenharia, por esse

investimento tão significativo.

"Filho meu, não desprezes a instrução de tua mãe nem o ensinamento de teu pai,

ouça os teus maiores porque isto será uma coroa grandiosa para tua cabeça."

Provérbio, 1, 8

5

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1 Contexto e Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Objetivos da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Organização da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Projeção Estável e Instável de uma Realização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Redução de Ordem por Truncamento Balanceado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Sistemas LPV e Quasi -LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.2 Análise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Interpolação de Controladores Robustos de Estrutura Estimação-Controle . . 36

2.5.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2 Estrutura Estimação-Controle Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.3 Restrições Para a Seleção de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.4 Parâmetro de Youla Dinâmico × Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5.5 Continuação dos Subespaços Invariantes Selecionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 CONTRIBUIÇÕES PARA A IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS 62

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Identificação de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1 Identificação usando Amostras Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.2 Identificação usando a Resposta em Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Identificação de Sistemas quasi -LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6

4 ESCALONAMENTO DE GANHOS EM ESTRUTURAS DO TIPO

ESTIMAÇÃO-CONTROLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Escolha Sistemática dos Modelos de Síntese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1 Definição das Faixas de Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.2 Transição entre Faixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Escalonamento de Ganhos por Imposição da Dinâmica de Malha Fechada . . . 81

4.3.1 Considerações sobre a Modelagem Não-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.2 Controlador e Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.3 Controlabilidade e Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.4 Ajuste do Rastreamento e do Ponto de Operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4 Escalonamento de Ganhos por Cancelamento de Não-Linearidades . . . . . . . . . 86

4.4.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4.2 Cancelamento das Não-Linearidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1 Identificação de Modelos Lineares usando a Resposta Discreta no Tempo . . . 89

5.2 Identificação de Modelos Lineares usando a Resposta em Freqüência . . . . . . . 99

5.3 Identificação Quasi -LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.4 Controle de um Míssil Ar-Ar via Continuação de Subespaços Invariantes . . . . 112

5.5 Controle de um Sistema de Levitação Magnética por Técnicas de

Escalonamento de Ganhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.1 Contribuições para a Identificação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.2 Contribuições para o Controle por Escalonamento de Ganhos . . . . . . . . . . . . . 127

6.3 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.1 Apêndice 1: Modelo do Míssil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.2 Apêndice 2: Modelos Lineares Identificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.3 Apêndice 3: Linearização do Modelo de um Levitador Magnético . . . . . . . . . . 145

7

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG.2.1 Sistemas em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

FIG.2.2 Parametrização de Youla e a estrutura estimação-controle . . . . . . . . . . . . 40

FIG.4.1 Curva f(x) e sua linearização em x = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

FIG.4.2 Curva f(x) e suas linearizações em x = 6: intervalo 4 ≤ x ≤ 8. . . . . . . . . 78

FIG.4.3 Erros nos processos de linearização. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

FIG.4.4 Transição entre faixas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

FIG.5.1 Sinal v aplicado as plantas físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

FIG.5.2 Resposta em freqüência (módulo e fase) da dinâmica da planta . . . . . . . . 90

FIG.5.3 Curvas de respostas ao degrau para: planta e modelo. Curva de

erro entre as respostas do modelo e da planta: (A) Gm11(z), (B)

Gm12(z), (C) Gm

13(z) e (D) Gm14(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


erro entre as respostas do modelo e da planta: (A) Gr15(z), (B)

Gr16(z), (C) Gm

17(z) e (D) Gm18(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

FIG.5.5 Resposta em freqüência (módulo e fase) da dinâmica da planta . . . . . . . . 95


erro entre as respostas do modelo e da planta: (A) Gr21(z), (B)

Gr22(z) e (C) Gr

23(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

FIG.5.7 Curvas de respostas ao sinal v para: planta e modelo. Curva de

erro entre as respostas medida e estimada: Gr24(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

FIG.5.8 Resposta em freqüência (módulo e fase): comparação entre a

planta e o modelo Gr32(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


planta e o modelo Gm42(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


planta e o modelo Gr52(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


planta e o modelo Gm62(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

FIG.5.12 Resposta em freqüência: comparação das amostras com os valores

fornecidos pelo modelo Gm72(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8

FIG.5.13 Resposta em freqüência. Comparação das amostras com os valores

fornecidos pelos modelos (A) Gm81(s), (B) Gr

82(s) e (C) Gr83(s). . . . . . . . . 107

FIG.5.14 Entrada para validação do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

FIG.5.15 Resposta da planta não-linear e do modelo identificado quasi -LPV

de um míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

FIG.5.16 Resposta da planta não-linear e do modelo identificado quasi -LPV

de um míssil entre 35s e 45s de vôo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

FIG.5.17 Estrutura de controle para o exemplo do míssil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

FIG.5.18 Resposta ao degrau do sistema linearizado em malha fechada em

três pontos de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

FIG.5.19 Resposta do sistema não-linear em malha fechada para três tipos

de interpolação de controladores - aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


de interpolação de controladores - aceleração: ampliação de parte

da FIG. 5.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


de interpolação de controladores - ângulo de ataque . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


de interpolação de controladores - ângulo de ataque: ampliação

de parte da FIG. 5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


de interpolação de controladores - sinal de controle δc . . . . . . . . . . . . . . . 121


de interpolação de controladores - sinal de controle δc: ampliação

de parte da FIG. 5.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

FIG.5.25 Comparação das saídas controladas com o sinal de referência. . . . . . . . . . 123

FIG.5.26 Comparação entre os sinais de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

FIG.8.1 Diagrama físico do míssil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

FIG.8.2 Sistema de levitação magnética de uma esfera de aço . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

FIG.8.3 Valores medidos experimentalmente em laboratório: f(N) ×x(mm)× i(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9

LISTA DE TABELAS

TAB.5.1 Dados referentes aos modelos identificados de GM1(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 91

TAB.5.2 Valores dos coeficientes da FT contínua da planta utilizada . . . . . . . . . . . 94

TAB.5.3 Valores dos coeficientes da FT discreta da planta utilizada . . . . . . . . . . . . 94

TAB.5.4 Dados referentes aos modelos identificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

TAB.5.5 Custos referentes aos modelos identificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

TAB.5.6 Valores da função custo da FT GM3(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100





TAB.5.11 Valores dos coeficientes da FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

TAB.5.12 Comparativo de custos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

TAB.5.13 Parâmetros do filtro W(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

TAB.5.14 Ganhos do controlador e do estimador aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

TAB.5.15 Pólos em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

TAB.5.16 Distribuição dos pólos em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

TAB.8.1 Valores dos coeficientes da FT Gm21(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

TAB.8.2 Valores dos coeficientes da FT Gr21(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140





TAB.8.7 Valores dos coeficientes da FT Gm24(z) = Gr

24(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

TAB.8.8 Valores dos coeficientes da FT Gm81(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


TAB.8.10 Valores dos coeficientes da FT Gr82(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


TAB.8.12 Valores dos coeficientes da FT Gr83(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

TAB.8.13 Diferenças entre as curvas do gráfico força × deslocamento (não-

linear) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

R - conjunto dos números reais

C - conjunto dos números complexos

Rn - conjunto dos vetores reais de dimensão n

Rm×n - conjunto das matrizes reais m× n

j - índice ou j=√−1

∈ e ∈ - pertence e não pertence

, - por definição

≈ e ∼= - aproximadamente igual a

× - produto cartesiano

∃ - existe

∀ - para todo

| - tal que

→ - tendendo a

=⇒ - implica em

co - envelope convexo: para Si ∈ Rm×n, i = 1, 2, ..., N,

co{S1, S2, ...SN} , {∑Ni=1 αiSi : αi ≥ 0,

∑Ni=1 αi = 1}

|α| - valor absoluto de α ∈ R ou de α ∈ C

spec(M) - espectro da matriz M ∈ Rn×n : {λi(M) : i = 1, ..., n}Re(α) - parte real de α ∈ C

In - matriz indentidade n× n

MT - transposta da matriz M

M−1 - inversa da matriz M

M † - pseudo-inversa, ou inversa de Penrose-Moore, da matriz M

σ(M) - valor singular máximo

σ(M) - valor singular mínimo de M

‖α‖2 - Norma 2 de α ∈ Cn

x(t) - vetor de sinais contínuos, onde para ∀t, x ∈ Rn

x(k) - sinal x ∈ Rn no instante (discreto) k

s - variável de Laplace

z - variável da transformada Z para os sistemas discretos

w - freqüência em rad/s

θ(t) - variável de interpolação

11

G(z) =

A B

C D

realização em espaço de estados da função de transferência discreta

G(z) = C(zI − A)−1B + D

G(s) =

A B

C D

realização em espaço de estados da função de transferência con-

tínua G(s) = C(sI − A)−1B + D

12

SIGLASLTI Linear Invariante no Tempo

LTV Linear Variante no Tempo

LPV Linear a Parâmetros Variáveis

LFT Transformação Linear Fracionária (do inglês Linear Fractional

Transformation)

LMI Desigualdade Matricial Linear

LQG Gaussiano Quadrático Linear

LQ Quadrático Linear

FT Função de Transferência

PRCBI Parameter Robust Control by Bayesian Identification

TF Transformada de Fourier

DFT Transformada discreta de Fourier (do inglês Discrete Fourier

Transform)

FFT Transformada rápida de Fourier (do inglês fast Fourier transform)

NARMAX Modelo não-linear auto-regressivo, de média móvel com entradas

exógenas (do inglês nonlinear autoregressive moving average model

with exogenous input)

13

RESUMO

Esta dissertação apresenta a identificação e o controle de uma classe de sistemasdinâmicos não-estacionários com representação quasi-LPV. Técnicas de identificação sãodefinidas e simuladas. Três metodologias do tipo escalonamento de ganhos clássico sãodesenvolvidas.

As duas primeiras técnicas de identificação exploradas são lineares. Uma fornececomo resultado uma função de transferência discreta e a outra resulta em uma função detransferência contínua. A terceira técnica permite a identificação de sistemas dinâmicosquasi -LPV e depende de uma identificação preliminar de pontos de operação do sistema.Esta última metodologia é aplicada com sucesso na identificação de um modelo não-linearrealista de um míssil ar-ar.

Em relação às técnicas de controle, a primeira contribuição do trabalho é possibi-litar uma escolha sistemática da família de modelos de síntese de controladores LTI aser interpolada, para uma planta não-linear. A segunda técnica apresentada utiliza umaabordagem quasi -LPV para modelar o sistema. Através de uma realimentação de esta-dos estimados, o objetivo é fixar os autovalores de matriz dinâmica de malha fechada. Aterceira metodologia busca o cancelamento do comportamento não-linear de uma mode-lagem restrita de sistemas não-estacionários.

Os resultados das simulações não-lineares indicam a eficiência das técnicas apresenta-das para a identificação e o controle de sistemas dinâmicos não-estacionários que possuamrepresentação quasi-LPV.

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ABSTRACT

This dissertation deals with the identification and the control of nonlinear dynamicalsystems having a quasi-LPV representation. Techniques for identification are given andsimulated. Three methodologies of classic gain scheduling are developed.

The two first identification techniques are linear. One of them obtains a discretetransfer function as a solution and the other one results in a continuous transfer func-tion. The third method allows the identification of quasi-LPV dynamical systems andis dependent of a set of LTI plant known a priori. This technique is applied to theidentification of a realistic nonlinear model of an air-to-air missile.

As a with regard to control technique, the first contribution is a method systematicchoice of a set of LTI controller synthesis models to be scheduled for a nonlinear plant.The second technique use a quasi-LPV description of a system. The objetive is to fixthe eigenvalues of the closed-loop dynamic matrix by using a parameter dependent statefeedback law. The third control method aims to cancel nonlinearities for a restrictednonlinear plants state feedback.

The nonlinear simulation results indicate that the techniques presented in this workare efficient for the identification and the control of nonlinear dynamical systems havinga quasi-LPV representation.

15

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO

O desenvolvimento da engenharia de controle está intrinsecamente ligada à constru-

ção e análise de modelos que visam reproduzir, o mais fielmente possível, comportamentos

observados na natureza. Tais modelos possibilitam validar teorias e mostrar o funciona-

mento da dinâmica observada. Nos estudos de átomos, do sistema nervoso humano ou

de uma galáxia, por exemplo, modelos são fundamentais e indispensáveis.

Dentre os diversos modelos usados no decorrer da história da humanidade, o mo-

delo matemático destaca-se no atual contexto científico. Este modelo é definido por um

conjunto de equações diferenciais (tempo contínuo) ou equações de diferenças (tempo

discreto) que descrevem a dinâmica de uma planta física a ele relacionado. A complexi-

dade da modelagem, de forma geral, aumenta a medida que o nível de precisão requerida

na representação das dinâmicas envolvidas é maior.

Os modelos matemáticos permitem correlacionar causas e efeitos (AGUIRRE, 2000a),

possibilitando a análise dos dados observados. Porém, a modelagem exata e precisa de

toda a física de uma planta é de altíssima complexidade, senão impossível. No entanto,

dentro de tolerâncias pré-estabelecidas para cada caso, um modelo que tenha sucesso na

reprodução do comportamento de uma planta estudada é fundamental na engenharia,

em particular para as técnicas de controle.

Um sistema dinâmico tem sua análise feita geralmente nos domínios do tempo e da

freqüência. Por esse motivo, os métodos de identificação de plantas podem ser divididos

em (LJUNG, 1987):

• Métodos Paramétricos;

• Métodos Não-Paramétricos;

• Métodos no Domínio da Freqüência.

A técnica paramétrica assume que a estrutura do modelo do sistema é conhecida com

base nas leis físicas que regem a sua dinâmica, embora os parâmetros sejam considerados

desconhecidos. Por outro lado, a técnica não-paramétrica é necessária quando a estrutura

do modelo matemático não está disponível. O resultado dessa técnica não é um modelo

16

matemático, mas uma representação gráfica que caracteriza a dinâmica do sistema em

estudo (AGUIRRE, 2004). Por último, as técnicas no domínio da freqüência geram

modelos que mostram a evolução da dinâmica identificada nesse domínio, utilizando a

transformada de Fourier (HOUGEN, 1972).

Há ainda a possibilidade de se aplicar outras transformadas que possibilitem a iden-

tificação do sistema dinâmico analisado. Como exemplo, pode ser citada a identificação

utilizando a transformada Wavelets que é descrita em (COCA, 1995a,b, 1996a; BAKSHI,

1993), que são trabalhos precursores no desenvolvimento dessa técnica. Portanto, a mo-

delagem no domínio da freqüência é uma particularidade de uma modelagem no domínio

de uma determinada transformada.

Por serem mais simples, os modelos lineares foram fundamentais no desenvolvimento

de técnicas de identificação. Em contraste com a complexidade apresentada pelos mo-

delos não-lineares, o uso de modelos lineares é justificável (BILLINGS, 1980) pela sua

simplicidade, facilidade de obtenção e por possuírem um amplo ferramental matemático

na engenharia de controle. Esses modelos podem ser empregados em faixas operativas

restritas, ou seja, próximos dos pontos de operação onde o modelo foi validado.

A necessidade de obtenção de modelos mais precisos do comportamento de sis-

temas dinâmicos levou a uma modelagem que considera faixas mais amplas de operação

(BILLINGS, 1980). Em conseqüência, as equações obtidas nessa nova modelagem con-

sideram as não-linearidades dos modelos. Aponta-se ainda a dificuldade de identificar os

sistemas não-lineares e a impossibilidade da indicação de uma técnica que seja capaz de

apresentar soluções gerais aceitáveis. O desenvolvimento dos modernos computadores e

a disponibilização de um amplo ferramental matemático são aliados poderosos na mani-

pulação e análise dos dados medidos em plantas dessa natureza.

Em (CORRÊA, 2001), são ressaltados os estudos feitos na década de oitenta sobre a

identificação de sistemas dinâmicos não-lineares, dando particular atenção às técnicas de

representação NARMAX (do inglês Nonlinear Autoregressive Moving Average Model with

Exogenous Input) polinomial (LEONTARITIS, 1985), NARMAX racional (BILLINGS,

1989) e redes neurais (NARENDA, 1990). Na década seguinte, aquele mesmo autor

cita diversos trabalhos de identificação de plantas com modelos não-lineares1, bem como

apresenta as motivações e técnicas empregadas nos trabalhos desenvolvidos.

Neste contexto, o uso de informações a priori é enfatizada, pois provoca o surgimento

1Ver (BILLINGS, 1989; VALLVERDU, 1992; NOSHIRO, 1993; PRÖLL, 1994; JANG, 1994; ?; CU-

BILLOS, 1997; GENÇAY, 1997; TSOI, 1999) .

17

de uma nova classificação de modelagem. Segundo (CORRÊA, 2001), dependendo do

nível e/ou tipo de informação utilizada a priori, as técnicas de obtenção de modelos

passam a ser classificadas como (HERBERT, 1993; SJÖBERG, 1995; BOHLIN, 1995):

• modelagem caixa-branca;

• modelagem caixa-cinza;

• modelagem caixa-preta.

A modelagem caixa-branca, segundo (GARCIA, 1997), engloba os casos onde os

dados de entrada e saída do sistema são dispensáveis, pois o comportamento da dinâmica

do sistema é equacionado a partir do conhecimento da estrutura da planta. Nesse caso, os

parâmetros envolvidos possuem um significado físico. A modelagem caixa-preta, por sua

vez, é atribuída quando os modelos são gerados baseando-se exclusivamente na análise das

relações entre entradas e saídas do sistema dinâmico. Nesse contexto, não há informações

a priori, uma vez que a estrutura da planta é ignorada. Vantagens e desvantagens são

apontadas em ambos os tipos de modelagens, como pode ser visto em (POTTMANN,

1998) e (TIKHONOV, 1977) para caixas-brancas e caixas-pretas, respectivamente.

Entre esses dois casos extremos, a modelagem caixa-cinza agrega parte de ambos os

tipos: usa a relação entre entrada(s) e saída(s) medidas e informações a priori. Segundo

(JORGENSEN, 1995) essa modelagem é definida como: “a ciência de construção de

modelos que incorpora conhecimento a priori do sistema com um certo grau de incerteza

na seleção da estrutura da representação”.

Em (SJÖBERG, 1995), a modelagem em caixa-cinza é dividida em:

• Modelagem física: quando o modelo é determinado pelo conhecimento da estrutura

do sistema e sua dinâmica física/química, sendo estimados apenas os parâmetros,

ou parte destes, com o uso de medições;

• Modelagem semi-física: quando as informações medidas são usadas para sugerir

combinações não-lineares entre os sinais medidos, sendo que a escolha da estrutura

do modelo é fruto da análise destas informações.

Nota-se que na modelagem física, o modelo parametrizado e a modelagem caixa-

branca têm definições semelhantes. Sendo assim, as demais definições da classificação

podem ser entendidas como modelagem caixa-cinza.

As vantagens da modelagem caixa-cinza são relacionadas em (CORRÊA, 2001), com

base em trabalhos de outros autores, enfatizando:18

• os prováveis benefícios no projeto de controladores avançados que necessitam da

descrição adequada dos processos;

• o uso de informações a priori, que diminui efetivamente o número de parâmetros

a serem estimados, tornando o problema melhor condicionado com modelos menos

incertos, mesmo com relativa escassez de dados;

• a possibilidade do uso da informação a priori, pode vir a se tornar um meio para

escolha diante das diversas possibilidades de representações matemáticas na mode-

lagem de sistemas dinâmicos não-lineares.

Em (GOLDFREY, 1986; AGUIRRE, 2000b,a; CORRÊA, 2001), é evidenciado que

trabalhos em caixa-preta se mostram bem caracterizados localmente, mesmo que a planta

física identificada seja não-linear. A incorporação de informações a priori possibilita que

o modelo tenha uma faixa de correspondência, em relação à planta, mais abrangente,

com pouca perda de precisão e melhora a medida que toda a faixa de trabalho é excitada

pela entrada. Por fim, é dado ênfase ao papel das informações a priori na seleção de

representações matemáticas para o processo de modelagem.

Um outro desafio deste estudo é usar técnicas de controle já consagradas ou aqui

desenvolvidas para controlar as plantas cujo modelos apresentem não-linearidades ou

sejam lineares a parâmetros variáveis.

Um sistema linear pode ser considerado variante no tempo ou não-estacionário −Linear a Parâmetros Variantes (LPV) ou Linear Variante no Tempo (LTV, do inglês

Linear Time Variant) − quando um ou mais parâmetros do seu modelo variam ampla-

mente com o tempo e não podem ser considerados como parâmetros incertos. Muitas

vezes, os sistemas não-lineares comumente encontrados na prática podem ser tratados

como sistemas lineares não-estacionários.

Tradicionalmente, o controle de sistemas não-estacionários é realizado, na prática,

pelo uso de técnicas de escalonamento de ganhos (ou interpolação de controladores2). O

principal objetivo desses métodos é controlar um sistema que evolui num amplo domínio

de funcionamento, para o qual as técnicas de controle robusto Linear Invariante no Tempo

(LTI, do inglês Linear Time Invariant) se mostram ineficazes. Além de permitirem a

incorporação de propriedades de robustez em estabilidade face às incertezas do sistema,

2O termo em inglês gain-scheduling costuma ser traduzido para a língua portuguesa como “tabela-

mento de ganho” ou “escalonamento de ganho”. Neste trabalho é adotada a expressão “escalonamento de

ganho”. Para a tradução da palavra scheduling, é adotada a palavra “interpolação” ou “escalonamento”.

19

os controladores interpolados possuem outra característica favorável importante que é

a adaptação em tempo real do seu comportamento dinâmico, segundo a evolução dos

parâmetros (endógenos ou exógenos) que caracterizam as condições de funcionamento

do sistema. Essas técnicas ampliam o alcance dos métodos clássicos de controle robusto

LTI, que consideram somente as características lineares locais e condições particulares de

funcionamento do sistema. Este benefício da estratégia de controle por escalonamento de

ganhos é uma conseqüência da explícita utilização de informações adicionais importantes

oriundas da medida dos parâmetros variantes.

O escalonamento de ganhos é uma técnica bastante eficaz no controle de sistemas

não-estacionários. Desde as primeiras publicações sobre o assunto, há cerca de trinta

anos atrás, essa técnica tem sido aplicada em várias áreas. Apesar dessa prática ter se

difundido em larga escala, só recentemente o interesse teórico sobre ganhos escalonados

para sistemas LPV e sistemas não-lineares têm aumentado significativamente (SHAMMA,

1990; SHAHRUZ, 1992; KAMLER, 1995).

O desenvolvimento de novos métodos de interpolação de controladores tem desper-

tado grande interesse na comunidade científica pela ampla diversidade de suas aplicações

e pelo surgimento de técnicas modernas de controle robusto. Contudo, os métodos mais

utilizados no meio industrial são aqueles chamamos de “clássicos”, “convencionais” ou

“tradicionais”. Eles se baseiam em um conjunto de modelos LTI obtidos a partir da fi-

xação do parâmetro variante de um modelo originalmente LPV ou LTV por linearização

de um modelo não-linear em torno de uma família de pontos de operação3. Um con-

junto de técnicas de controle linear (LQG, PRLQG, PRCBI, H2, H∞, síntese µ , etc.,

e suas variantes) está, então, disponível para o projeto de uma família de controladores

LTI que ofereçam um compromisso razoável entre o desempenho e a robustez em esta-

bilidade em torno das condições de funcionamento dadas. Quanto as estratégias para a

interpolação, elas variam bastante segundo o método de síntese linear e a estrutura dos

controladores LTI escolhidos e são, na maioria das vezes, intuitivas e baseadas em uma

diretiva heurística principal: os controladores lineares são supostos suficientemente próxi-

mos para permitir transições suaves e para assimilar os comportamentos não-estacionários

provenientes das não-linearidades do sistema.

A interpolação é baseada na medida de um parâmetro que define os pontos de ope-

ração do sistema acarretando o ajuste da FT (Função de Transferência) que modela o

3Ver (SHAMMA, 1990; RUGH, 1991; KELLET, 1991; REICHERT, 1992; HYDER, 1993; NICHOLS,

1993; KAMLER, 1995; LAWRENCE, 1995; STILWELL, 1997) .

20

sistema ou dos elementos das matrizes A,B,C e D do modelo em espaço de estado. Entre

as estratégias de interpolação mais utilizadas, encontram-se aquelas que atuam sobre os

coeficientes de funções de transferência (NICHOLS, 1993), ou sobre os coeficientes de

realizações de estado (KELLET, 1991; HYDER, 1993), ou ainda, quando se tratar de

um conjunto de controladores lineares robustos H2 ou H∞, soluções de equações de Ric-

cati (REICHERT, 1992). O controlador interpolado convencional é, então, um sistema

não-estacionário (LPV ou não-linear), obtido por interpolação (linear, fuzzy, ou outra

qualquer) de controladores LTI em relação às variáveis de interpolação.

A interpolação clássica de controladores apresenta dificuldades teóricas no que se

refere à estabilidade e ao desempenho durante as transições entre os controladores locais,

em parte devido à forte dependência do comportamento do sistema global em relação à

estratégia de interpolação utilizada. Além disso, as etapas de síntese dos controladores

e a formulação da lei de interpolação são conduzidas separadamente, o que não garante

que o sistema não-estacionário em malha fechada seja estável e que o desempenho apre-

sentado em torno dos pontos de projeto prevaleçam de uma forma global. Simulações

exaustivas, inclusive simulações hardware-in-the-loop, são em geral efetuadas para avaliar

o comportamento do sistema controlado em regime não-estacionário.

Devido a estas dificuldades, poucos resultados teóricos em escalonamento de ganhos

convencionais têm sido publicados. Em (SHAHRUZ, 1992), um algoritmo para interpo-

lação linear de ganhos por realimentação de estados é proposto. Em (STILWELL, 2000),

os autores apresentam dois métodos para interpolação de controladores por escalona-

mento de ganhos: o primeiro apresenta fatores coprimos de funções de transferências e o

segundo é baseado na descrição em espaço de estado. Em (STILWELL, 1999), os ganhos

de realimentação e de observação de estados são interpolados no contexto do escalona-

mento de ganhos. Essas técnicas garantem, com certo grau de conservadorismo e sob

restrição de variação lenta do parâmetro, a estabilidade exponencial local do sistema em

malha fechada.

Atualmente, a interpolação de controladores é também tratada no contexto do con-

trole LPV (LU, 1992; BECKER, 1993; PACKARD, 1994; LU, 1995; BECKER, 1995;

APKARIAN, 1995a,b; WU, 1996; SCHERER, 1996; APKARIAN, 1998a,b; KAJIWARA,

1999; TUAN, 1999), onde funções de Lyapunov são utilizadas para definir a estabilidade

e o desempenho para uma larga faixa de variação do parâmetro. Na verdade os ter-

mos “controle LPV” ou “interpolação LPV” são utilizados para designar as técnicas de

interpolação de controladores onde as necessidades práticas da interpolação, ou seja, a

21

estabilidade e o desempenho, são satisfeitos de uma forma sistemática dentro de um con-

texto de otimização convexa sob restrições do tipo Desigualdade Matricial Linear (LMI

- do inglês Linear Matrix Inequality).

Os métodos de interpolação LPV distinguem-se das técnicas de interpolação, mais

pela sua maneira sistemática de tratar o problema, do que pelo seu objetivo. Do ponto

de vista conceitual, a interpolação do tipo LPV é, no entanto, muito diferente, já que as

questões relacionadas à estabilidade e ao desempenho em tempo variante são considera-

das diretamente na síntese dos controladores LPV. A tarefa mais exigente consiste em

resolver problemas de otimização do tipo LMI. Isso é relativamente fácil utilizando-se os

códigos de programação semi-definida disponíveis atualmente. Trata-se, na realidade, de

uma extensão dos métodos de controle robusto LTI, do tipo H2 e H∞, aos sistemas não-

estacionários LPV ou quasi -LPV. Em suma, as técnicas LPV são igualmente aplicáveis

a modelos por natureza LTV ou LPV, a modelos linearizados (parametrizados por va-

riáveis de interpolação) ou a modelos quasi -LPV. Estas vantagens explicam o repentino

interesse nos últimos anos por esse tipo de técnica (BECKER, 1993; PACKARD, 1994;

APKARIAN, 1995a; SCHERER, 1996; KAJIWARA, 1999).

Apesar dos esforços e desenvolvimentos teóricos recentes, alguns problemas delicados

persistem, não apenas na interpolação convencional, mas também na interpolação LPV.

Percebe-se que, entre as raras técnicas clássicas que garantem teoricamente a estabilidade

não-estacionária, uma boa parte é essencialmente baseada na interpolação de matrizes

de estado ou de ganhos de estruturas estimação-controle (observer-based structures) de

controladores LTI ótimos robustos ou de controladores ótimos LQ (Quadrático Linear)

ou LQG (Gaussiano Quadrático Linear). Uma dificuldade importante reside no fato

que o comportamento dinâmico dos controladores interpolados depende de uma forma

crítica das representações de estado adotadas para a família de controladores lineares

projetados sobre um conjunto de pontos de operação. Assim, as primeiras questões que

se apresentam são:

• Como escolher um conjunto de bases no espaço de estado que conduza a realizações

de controladores locais apropriados para a interpolação?

• Qual o melhor conjunto de pontos de operação sob a ótica da interpolação?

Em relação às técnicas LPV, algumas são potencialmente muito conservadoras, pois

utilizam funções de Lyapunov independentes dos parâmetros do sistema, toleram taxas

22

arbitrárias de variação desses parâmetros e exigem classes específicas e restritivas de repre-

sentações LPV (LU, 1992; BECKER, 1993; APKARIAN, 1995a,b; LU, 1995; SCHERER,

1996; APKARIAN, 2000; PELLANDA, 2002a). Outras, ao contrário, utilizam funções de

Lyapunov dependentes dos parâmetros, consideram limites realistas da taxa de variação

dos parâmetros e toleram uma dependência paramétrica geral do sistema (BECKER,

1995; WU, 1996; APKARIAN, 1998a,b; TUAN, 1999). Estas são muito pouco conser-

vadoras, mas introduzem uma grande complexidade na implementação do controlador

interpolado.

Esta dissertação aborda o estudo, o aprimoramento e o desenvolvimento de técnicas

de escalonamento de ganhos clássicas, com uma orientação particular para o caso da

realimentação de estados e da estrutura estimação-controle, aplicáveis em diversas áreas

no campo da engenharia de controle. Um enfoque especial é também dado ao desen-

volvimento de novos algoritmos de identificação do tipo caixa-preta aplicáveis a sistemas

lineares e do tipo caixa-cinza aplicáveis a sistemas não-lineares.

1.2 OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO

Os objetivos deste trabalho são:

a) Desenvolver novos algoritmos de identificação dos tipos caixa-preta e caixa-cinza,

para sistemas lineares e não-lineares (quasi -LPV), baseados no emprego de amostras

discretas dos sinais de entrada e saída da planta física nos domínios do tempo e da

freqüência;

b) Aprimorar a metodologia de escalonamento de ganhos clássico desenvolvido em

(PELLANDA, 2001) de modo a equipá-lo com um método de escolha sistemática

de um conjunto de pontos de síntese, a fim de aproximar o modelo não-linear da

planta em toda uma faixa de operação;

c) Desenvolver novas metodologias clássicas de escalonamento de ganhos baseadas na

realimentação de estados e na estrutura estimação-controle para algumas classes de

sistemas não-estacionários.

1.3 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

Além desta introdução, a dissertação está organizada em mais 6 capítulos, além de

um apêndice:

23

• O Capítulo 2 recorda os principais fundamentos que permitem entender o desen-

volvimento das contribuições desta dissertação.

• O Capítulo 3 apresenta as contribuições deste trabalho para a identificação de

sistemas. São apresentadas três novas metodologias baseadas na buscas de um

modelo que minimize um custo quadrático representativo do erro de estimação.

Duas delas são apropriadas para a identificação de modelos LTI e a outra é aplicável

a uma classe de sistemas não-lineares, fornecendo modelos não-estacionários do

tipo quasi -LPV. Todas as técnicas desenvolvidas apresentam solução analítica ao

problema de minimização do erro de estimação.

• O Capítulo 4 apresenta o processo de escalonamento de ganhos desenvolvido em

(PELLANDA, 2001) e propõe um método de escolha sistemática de um conjunto

de pontos de síntese que melhor aproxime o modelo não-linear da planta em toda

uma faixa de operação sendo, portanto, mais apropriado para o escalonamento de

ganhos. Apresenta também duas novas metodologias clássicas de escalonamento de

ganhos baseadas na realimentação de estados e na estrutura estimação-controle.

• No Capítulo 5 são ilustradas as técnicas apresentadas nos Capítulos 3 e 4 através

de diversas aplicações numéricas.

• O Capítulo 6 traz as conclusões tiradas a partir dos resultados obtidos ao longo

deste trabalho e aponta algumas perspectivas futuras.

• No Capítulo 7 são apresentadas as referências bibliográficas.

• No Apêndice encontram-se os modelos utilizados e identificados no Capítulo 5.

24

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo são revistos alguns fundamentos teóricos e propriedades necessárias

para o entendimento dos trabalhos apresentados nos capítulos posteriores.

A aplicação das técnicas de identificação linear proposta nesta dissertação em plan-

tas físicas estáveis podem gerar modelos que apresentem pólos instáveis. Nestes casos,

também são gerados zeros localizados no plano s sobre esses pólos ou muito próximos

deles, acarretando um modelo de ordem não-mínima. Porém, como é sabido que as

funções identificadas são estáveis, torna-se interessante decompor o modelo identificado

na soma de suas partes estável e antiestável (ou instável), ignorando esta última e apli-

cando à primeira uma redução de ordem por truncamento balanceado. Assim, elimina-se

o problema da ordem não-mínima causado pela parte instável e se obtém um modelo

final estável de ordem reduzida. As Seções 2.2 e 2.3 apresentam o suporte teórico dessas

operações.

Na Seção 2.4 discute-se os conceitos sobre sistemas LPV e quasi -LPV, úteis para

o entendimento das técnicas propostas na Seção 3.4 e no Capítulo 4, que tratam, res-

pectivamente, da identificação e do controle por escalonamento de ganhos de sistemas

não-estacionários.

Por fim, a Seção 2.5 apresenta uma metodologia de interpolação clássica de contro-

ladores dinâmicos predeterminados sob a forma estimação-controle (PELLANDA, 2000,

2001, 2002b), onde os ganhos de realimentação e de estimação de estado são os parâme-

tros interpolados. Contudo, sabe-se que uma dificuldade da interpolação clássica é o fato

do comportamento dinâmico dos controladores interpolados depender fortemente das re-

presentações de estado adotadas para a família de controladores LTI projetados sobre o

conjunto de pontos de operação escolhido. A técnica apresentada uma seqüência de trans-

formações de similaridade a serem aplicadas à família original de controladores robustos

determinados a priori, de forma que o conjunto de controladores obtidos, equivalentes aos

primeiros do ponto de vista entrada-saída, tenha uma estrutura coerente, fisicamente in-

terpretável e de fácil interpolação. Depois da transformação, os controladores apresentam

uma estrutura do tipo estimação-controle, o que facilita a interpolação e a implementação

em tempo variante. O método pode ser aplicado em controladores discretos ou contínuos,

25

de ordem completa ou aumentada e, em particular, aos projetados através de técnicas de

controle robusto H2, H∞ e síntese µ, cuja interpolação é, em geral, de difícil obtenção

sem perdas consideráveis de desempenho.

2.2 PROJEÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL DE UMA REALIZAÇÃO

Seja G(s) o modelo obtido, descrito pela seguinte realização de estado

G(s) =

A B

C D

(2.1)

onde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×p, C ∈ Rq×n e D ∈ Rq×p. Este modelo pode ser reescrito como

G(s) = G(s)+ + G(s)− (2.2)

onde G(s)+ e G(s)− correspondem, respectivamente, às projeções de G(s) nos semi-planos

da direita e esquerda do plano s.

Definindo as matrizes destas realizações, G(s)+ e G(s)−, como

G(s)− =

A11 B1

C1 D

(2.3)

e

G(s)+ =

A22 B2

C2 0

(2.4)

pode-se afirmar que:

G(s) = G(s)+ + G(s)− =

A11 0

0 A22

B1

B2

C1 C2 D

=

A B

C D

(2.5)

onde A11 ∈ Rk×k e as demais matrizes são de dimensões compatíveis sendo k o número

de autovalores estáveis.

Definindo P ∈ Rn×n como a matriz de transformação de similaridade tal que

P−1AP = A, P−1B = B, CP = C (2.6)

o problema de encontrar a decomposição desejada é resolvido ao se calcular P .

26

Aplicando uma decomposição de Schur na matriz A

[A11 A12

0 A22

]= UT AU = T (2.7)

onde UT U = I e T é a matriz triangular superior que possui os autovalores da matriz

A em sua diagonal com estes dispostos em ordem crescente, e sendo X uma matriz de

dimensões compatíveis tal que

A =

[I1 −X

0 I2

][A11 A12

0 A22

][I1 X

0 I2

]=

[A11 A12 −XA22

0 A22

][I1 X

0 I2

]

A =

[A11 A11X −XA22 + A12

0 A22

] (2.8)

chega-se a:

A11X −XA22 + A12 = 0 (2.9)

O problema se reduz, ao cálculo de uma solução X para a equação de Lyapunov em (2.9).

Adotando-se a seguinte partição: U =[

U1 U2

], de forma que U1 ∈ Rk×k, pode-se

reescrever o produto matricial P−1AP na forma[

I1 −X

0 I2

][UT

1

UT2

]A

[U1 U2

] [I1 X

0 I2

]=

[UT

1 −XUT2

UT2

]A

[U1 U1X + U2

]= P−1AP

(2.10)

Assim, tem-se também:[

B1

B2

]=

[UT

1 −XUT2

UT2

]B =

[(UT

1 −XUT2 )B

UT2 B

](2.11)

e [C1 C2

]= C

[U1 U1X + U2

]=

[CU1 C(U1X + U2)

](2.12)

o que define completamente a projeção estável G(s)− do modelo inicialmente identificado

G(s).

2.3 REDUÇÃO DE ORDEM POR TRUNCAMENTO BALANCEADO

Seja Gke(s), a parte estável, de ordem k, do modelo identificado G(s). O ajuste do

modelo Gke(s) aos dados fornecidos pelo sistema real pode acarretar uma ordem maior

27

que a necessária (k∗ = k−r). Uma função estimada não deve possuir uma ordem tão ele-

vada a ponto de acrescentar redundâncias, nem tão baixa a ponto de perder informações

relevantes. A resposta em freqüência pode ser utilizada para comparar o grau de proxi-

midade entre o sistema real e o modelo obtido, permitindo avaliar se a ordem do modelo

é compatível. Caso um modelo tenha sido encontrado com um valor de k elevado, existe

a possibilidade de se aplicar uma técnica para redução de sua ordem. Ou seja, pode se

encontrar um novo modelo de ordem reduzida, Gk−re (s), que preserve o ajuste anterior

de acordo com algum critério. O modelo final Gk−re (s) deve ser parcimonioso.

De acordo com (SKOGESTAD, 1997), uma realização balanceada é uma realização

assintoticamente estável, na qual os Gramianos de controlabilidade e observabilidade são

iguais e também são diagonais. Considerando a seguinte realização estável de G(s):

G(s) =

A B

C D

(2.13)

A realização em (2.13) é denominada balanceada se as soluções para as seguintes equações

de Lyapunov:

AP + PAT + BBT = 0

AT Q + QA + CT C = 0(2.14)

são tais que: P = Q = diag(σ1, σ2, . . . , σk) , Σ, onde σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ . . . ≥ σk ≥ 0. Os

Gramianos de controlabilidade e observabilidade, respectivamente P e Q são definidos

por:

P ,∫∞0

eAtBBT eAT tdt

Q ,∫∞0

eAT tCT CeAtdt(2.15)

Neste caso∑

é dito Gramiano de G(s). Os σi são denominados de valores singulares de

Hankel de G(s), sendo definidos por (2.16):

σi , λ12i (PQ) (2.16)

onde {λi ; i = 1, . . . , k} são os autovalores de A. Cada valor σi está associado a um

estado xi da realização balanceada do sistema. O valor σi se constitui numa medida

da contribuição que o estado xi tem no comportamento de entrada e saída do sistema.

Em resumo, se σi >> σi+1, então o estado xi afeta o comportamento de entrada e saída

para o sistema muito mais do que xi+1, permitindo calcular uma estimativa de erro

em um modelo reduzido onde os r estados {xi+1, . . . , xk} tenham sido descartados. A

implementação para obtenção de modelos de ordem reduzida foi feita a partir da função

balmr do Matlab.28

2.4 SISTEMAS LPV E QUASI -LPV

2.4.1 MODELAGEM

Uma classe importante de sistemas dinâmicos não-estacionários pode ser represen-

tada por um conjunto de equações diferenciais não-lineares de ordem qualquer. Para uma

escolha apropriada dos vetores das variáveis de estado x(t) ∈ Rn, de entrada u(t) ∈ Rm

e de saída y(t) ∈ Rp, pode-se freqüentemente obter um modelo não-linear em relação

aos estados, mas linear em relação à entrada, que implique em uma equação matricial

diferencial de primeira ordem e uma equação matricial algébrica:

x(t) = A(θx, θp)x + B(θx, θp)u

y(t) = C(θx, θp)x + D(θx, θp)u(2.17)

As funções matriciais reais A(.), B(.), C(.) e D(.) são supostas contínuas e limi-

tadas, de dimensões compatíveis com as dimensões dos sinais e definem completamente a

dinâmica do sistema. Este tem uma característica não-linear e não-estacionária originada

pelas variáveis θx e θp:

• θx(x(t)) ∈ Rr1 é uma variável endógena, ou seja, que depende da dinâmica interna

do sistema e que o torna não-linear;

• θp(x(t)) ∈ Rr2 é um parâmetro exógeno, ou seja, que evolui no tempo de forma

independente da dinâmica interna do sistema.

Na síntese de controladores dentro da técnica de escalonamento clássico de ganhos,

a primeira etapa corresponde a obtenção de uma descrição linear aproximada do sistema

não-linear (2.17) que envolve um conjunto conveniente das variáveis de interpolação θ(t).

A maneira mais utilizada na prática consiste em:

• obter, via uma linearização Jacobiana clássica do modelo (2.17) em torno de um

conjunto de pontos de equilíbrio x(i)0 (u

(i)0 ), i = 1, 2, ..., um modelo linearizado:

x = A(θi)x + B(θi)u

y = C(θi)x + D(θi)u

parametrizado por

θi(t) =

[θ(x

(i)0 )

θp(t)

]∈ Rr, r = r1 + r2;

29

• definir uma trajetória nominal de x0(t) para o sistema e, supondo que θx(t) e

dθx(t)/dt são limitadas e independentes de x0(t) e dx0(t)/dt, derivar um modelo do

tipo LPVx = A(θ)x + B(θ)u

y = C(θ)x + D(θ)u(2.18)

onde o parâmetro e sua taxa de variação evoluem em domínios compactos, θ(t) ∈DΘ ⊂ Rr, θ(t) ∈ DΘd

⊂ Rr,∀t;

• eventualmente, escolher uma trajetória θ(t) ←− θ0(t) ou “congelar” o parâmetro

em um ponto dado θ(t) ←− θ0(t), para obter, respectivamente, um modelo LTV ou

LTI.

Nota-se que apesar das funções matriciais A(.), B(.), ... terem representações análo-

gas, em geral são diferentes daquelas que constam em (2.17).

Uma outra forma mais recente e mais direta de se chegar a um modelo similar àquele

de (2.18), a partir (2.17), consiste simplesmente em ignorar a etapa de linearização.

Escolhendo convenientemente a função θx(x(t)), reescreve-se o modelo numa forma onde

os termos não-lineares possam ser redefinido por um parâmetro variante unicamente em

função do tempo θx(t). De forma similar ao caso anterior, considera-se que as trajetórias

desse parâmetro são limitadas e independentes das trajetórias de x(t), o que desconecta

as funções matriciais A(.), B(.), ... do espaço de estados. Ele é então incluído na variável

de interpolação, juntamente com o parâmetro θp(t):

θ =

[θx(t)

θp(t)

](2.19)

Isso quer dizer que certos estados, ou funções dos estados, são classificados como

variáveis exógenas em certas partes do modelo, enquanto que em outras permanecem

como variáveis endógenas. Esta hipótese leva a um certo conservadorismo, mais ou menos

importante, na etapa de síntese dos controladores. Nesse caso particular, o modelo (2.18)

é denominado quasi -LPV.

Se uma lei de interpolação é satisfatória para todas as trajetórias no domínio DΘ ×DΘd

, ela é igualmente satisfatória para as trajetórias realistas dos estados que interferem

em θ. Contudo, o conservadorismo introduzido pela modelagem quasi -LPV é tão menos

desprezível quanto maior o número de estados implicados no parâmetro. Considerando,

por exemplo, o sistema não-linear

x1 = sen(x1) + x2, x2 = x1x2 + u

30

Uma representação quasi -LPV é

x = A(x)x + Bu =

[sen(x1)/x1 1

x2 0

]x +

[0

1

]u

com x1 6= 0 e θx(x) = x , [x1 x2]T . Esta representação é certamente mais conservadora

do que a seguinte:

x = A(x)x + Bu =

[sen(x1)/x1 1

0 x1

]x +

[0

1

]u

onde o parâmetro θx(x) é inteiramente definido por somente uma variável de estado

(θx(x) = x1) e, em conseqüência, a dimensão do espaço que pode incluir as trajetórias

não-realistas é menor. Enfim, um sistema pode ainda ser, pela sua própria natureza, LPV

ou LTV e nenhuma aproximação ou linearização suplementar é necessária para construir

o modelo (2.18).

O modelo LPV ou quasi -LPV (2.18) tolera uma dependência paramétrica bastante

geral, que engloba a maior parte das situações práticas. Esta propriedade requer a uti-

lização e o desenvolvimento de metodologias sofisticadas e complexas de análise e síntese

de leis de controle por escalonamento de ganho. No entanto, duas outras classes mais

restritivas de modelos LPV, obtidas da forma mais geral (2.18), são as vezes admissíveis

e mais adaptadas a certos métodos específicos de controle LPV. Embora estes modelos

não sejam diretamente utilizados neste trabalho, eles são apresentados a seguir.

Uma dessas classes refere-se aos modelos do tipo Transformação Linear Fracionária

(LFT, do inglês Linear Fractional Transformation). Uma dependência LFT do sistema

(2.18) em relação ao parâmetro θ(t) é definido como[

A(θ) B(θ)

C(θ) D(θ)

],

[A B2

C2 D22

]+

[Bθ

D2θ

]∆(θ)(I −Dθθ∆(θ))−1

[Cθ Dθ2

](2.20)

onde ∆(θ) é uma função matricial linear em θ. Este é suposto pertencente a um domínio

politópico

PΘ , co{Θ1, Θ2, ..., ΘL} (2.21)

onde Θi com i = 1, 2, ..., L designam os vértices do politopo PΘ. Tais modelos exigem,

em geral, hipóteses que simplifiquem sua obtenção, o que pode levar a um certo conser-

vadorismo.

A outra classe de representação LPV é a dos modelos politópicos. Se a função

matricial

31

S(θ) ,[

A(θ) B(θ)

C(θ) D(θ)

]

é afim em θ = [θ1, θ2, ..., θr]T , isto é,

S(θ) = S0 +∑r

l=1 θlSl

e as componentes escalares θl, l = 1, 2, ..., r, evoluem (por hipótese) independentemente

num domínio limitado DΘ que é um subconjunto do domínio politópico (2.21), DΘ ⊆ PΘ,

então o modelo admite um representação politópica

S(θ) = co{S1, ..., SL} = co{S(Θ1), ..., S(ΘL)} (2.22)

Este modelo não carrega nenhum conservadorismo se a condiçãoDΘ = PΘ é satisfeita.

Ao contrário, se PΘ representa um recobrimento politópico de DΘ o modelo é fortemente

conservador. Nenhuma atenção especial é dedicada à este tipo de representação neste

estudo.

2.4.2 ANÁLISE DE ESTABILIDADE

O critério de estabilidade por meio da localização dos autovalores da matriz de

dinâmica A para sistemas LTI não é suficiente para sistemas LPV. De fato, pode-se

mostrar, por exemplos simples, que mesmo quando todos os componentes da família de

sistemas LTI obtidos pelo congelamento do parâmetro são estáveis, ainda assim o sistema

LPV pode ser instável. Ou seja, para o sistema LPV

x(t) = A(θ(t))x(t) + B(θ(t))u(t)

y(t) = C(θ(t))x(t) + D(θ(t))u(t), ∀θ ∈ PΘ

(2.23)

onde A ∈ Rn×n, D ∈ Rp×m e PΘ é o domínio de variação paramétrica, a condição

Re(λi(A(θ))) < 0, i = 1, ...n, ∀θ ∈ PΘ (2.24)

não é suficiente para que se infira a estabilidade. Apesar disso, existe uma noção intuitiva

de que se a variação do parâmetro for suficientemente lenta, a estabilidade do conjunto de

sistemas LTI implica a estabilidade do sistema LPV. Nesse contexto se insere o teorema

a seguir.

Teorema 2.1. (DESOER, 1975) O sistema LPV 2.23 é globalmente estável se as

condições seguintes forem válidas:32

• Re(λi(A(θ))) < 0, i = 1, ...n, ∀θ ∈ PΘ,

• ∃α > 0 suficientemente pequeno tal que ‖ ddt

θ(t)‖ < α, ∀t ≥ 0, ∀θ ∈ PΘ.

Ainda que o Teorema 2.1 mostre que, sob condição de variação lenta do parâmetro,

a estabilidade do sistema LPV pode ser determinada a partir da estabilidade LTI, ele

não indica qual é o valor α que caracteriza a velocidade dessa variação. Assim, do ponto

de vista prático, não se costuma inferir sobre a estabilidade de um sistema LPV pela

estabilidade LTI. Faz-se, então, necessária a utilização de uma teoria mais abrangente,

como a teoria de estabilidade de Lyapunov (VIDYASAGAR, 1978; KHALIL, 1996). A

teoria de Lyapunov é bastante geral, de maneira que são abordados nesta seção apenas

alguns pontos básicos mais interessantes para o contexto deste estudo.

Seja o sistema autônomo geral

x = f(x, t), x ∈ Rn, t ≥ t0

x(t0) = x0

(2.25)

Supõe-se que sejam válidas as hipóteses de existência e unicidade para a solução do

sistema de equações diferenciais que regem o sistema (2.25). Além disso, supõe-se que

x0 = 0 seja um ponto de equilíbrio para o sistema4, ou seja, ∀t ≥ t0, f(0, t) = 0

Definição 2.1 (Estabilidade Assintótica Uniforme (Global)). A trajetória de equi-

líbrio x ≡ 0 é dita uniformemente assintoticamente estável se:

• ∀ε > 0, ∃δ(ε) tal que t ≥ t0 ≥ 0, ‖x(t0)‖ < δ ⇒ ‖x(t)‖ < ε,

• ∃c > 0 | ∀‖x(t0)‖ < c, x(t) → 0 quando t →∞, sendo que

∀ε > 0,∃T (c) | ∀t > t0 + T , ‖x(t)‖ < ε.

Se essas condições forem verificadas para c → ∞, então a trajetória de equilíbrio x ≡ 0

é dita globalmente uniformemente assintoticamente estável.

Definição 2.2 (Estabilidade Exponencial (Global)). A trajetória de equilíbrio x ≡ 0

é dita (globalmente) exponencialmente estável se:

• as condições de estabilidade assintótica uniforme (global) forem verificadas,

• ∃λ > 0 tal que ∀‖x(t0)‖ < c, ∃M(x(t0)) tal que t ≥ t0 ⇒ ‖x(t)‖ ≤ Me−λt

O teorema a seguir é central na teoria de Lyapunov.

4Essa hipótese não é restritiva, sendo satisfeita por simples translação (VIDYASAGAR, 1978, p.132).

33

Teorema 2.2. (VIDYASAGAR, 1978) O sistema (2.25) é globalmente uniformemente

assintoticamente estável se existe uma função continuamente diferenciável, V (t, x),

definida sobre R+ × Rn com valores em R, tal que, para todo x ∈ Rn e todo t positivo:

α1(‖x‖) ≤ V (t, x) ≤ α2(‖x‖) (2.26)

∂V

∂t+

∂V

∂xf(t, x) ≤ −α3(‖x‖) (2.27)

onde α1, α2 e α3 são funções definidas sobre R+ com valores em R+, contínuas, estrita-

mente crescentes, não limitadas e nulas na origem.

O primeiro membro de (2.27), que representa a derivada temporal de V , é chamado

de derivada de V ao longo das trajetórias do sistema (2.25) e é definido como

V (t, x) :=dV

dt=

∂V

∂t+

∂V

∂x

dx

dt=

∂V

∂t+

∂V

∂xf (2.28)

Pode-se notar que, pelo Teorema 2.2, V (t, 0) = 0 para todo t > 0.

O teorema a seguir é uma variação do Teorema 2.2. Ele faz uma extensão para funções

V que sejam continuamente diferenciáveis por partes. Por outro lado, ele particulariza

as funções αi para

αi(‖x‖) = λi‖x‖c, λi > 0, c > 0 (2.29)

Além disso, V passa a ser função apenas de x.

Teorema 2.3. (PETTERSSON, 1997) O sistema (2.25) é globalmente exponencialmente

estável se existe uma função continuamente diferenciável por partes, V (x), definida sobre

Rn com valores em R, tal que, para todo x ∈ Rn e todo t positivo:

λ1‖x‖c ≤ V (x) ≤ λ2‖x‖c (2.30)

V (x) ≤ −λ3‖x‖c (2.31)

com λ1, λ2, λ3 estritamente positivas e reais.

A função V que atende as condições dos Teoremas 2.2 e 2.3 é chamada de função

de Lyapunov. Essa função pode ser vista como uma medida generalizada da energia do

sistema. Existe uma idéia intuitiva por trás dos Teoremas 2.2 e 2.3 de que o sistema

será estável se a energia do sistema (ou a função V ) for decrescente ao longo de todas as

trajetórias desse sistema. Embora não esteja explicito, a estabilidade exponencial global

garante a estabilidade de um ponto de vista entrada/saída (KHALIL, 1996).

34

Vale destacar que, embora o Teorema 2.3 aponte para a estabilidade do sistema (2.25)

caso seja possível encontrar uma função de Lyapunov para esse sistema, ele não indica

como fazê-lo.

Seja, agora, a particularização do sistema autônomo (2.25) para o caso LPV

x = A(θ)x, x ∈ Rn, t ≥ t0

x(t0) = x0

(2.32)

Para analisar a estabilidade desse sistema, será utilizada uma função de Lyapunov V (θ, x)

quadrática

V (θ, x) = xT P (θ)x (2.33)

com P (θ) simétrica. Isso porque, para sistemas lineares, a estabilidade assintótica uni-

forme pode ser inferida, por meio do Teorema 2.3, utilizando-se uma função de Lya-

punov quadrática (VIDYASAGAR, 1978, p.183). Uma outra característica importante

dos sistemas lineares é que a estabilidade assintótica uniforme é equivalente à estabilidade

exponencial (VIDYASAGAR, 1978, p.170).

Para a função de Lyapunov dependente do parâmetro, V (θ, x), a derivada ao longo

das trajetórias é obtida por

V (θ, x) =∂V

∂θ

dθ

dt+

∂V

∂x

dx

dt(2.34)

Segundo o Teorema 2.3, para que V seja uma função de Lyapunov e, conseqüente-

mente, o sistema seja estável, ela deve satisfazer

V (θ, x) > 0, V (θ, x) < 0, x 6= 0

V (θ, 0) = 0 e V (θ, 0) = 0(2.35)

A primeira restrição é satisfeita quando a matriz P (θ) é positiva definida

P (θ) = P (θ)T > 0,∀θ ∈ PΘ (2.36)

A segunda implica, de acordo com (2.34), em

xT ∂P (θ)∂θ

dθdt

x + xT P (θ)(A(θ)x) + (xT AT (θ))P (θ)x =

xT [∂P (θ)∂θ

dθdt

+ P (θ)A(θ) + AT (θ)P (θ)]x < 0(2.37)

que é satisfeito quando

∂P (θ)

∂θ

dθ

dt+ P (θ)A(θ) + AT (θ)P (θ) < 0, ∀θ ∈ PΘ (2.38)

35

Assim, se for possível determinar uma matriz P dependente de θ e positiva definida

tal que a inequação matricial parametrizada (2.38) seja satisfeita, então V (θ, x) será uma

função de Lyapunov e o sistema (2.32) será estável.

A inequação matricial (2.38) é uma Desigualdade Linear Matricial Parametrizada,

ou PLMI (do inglês Parametrized Linear Matrix Inequality). Como o parâmetro θ é uma

função contínua do tempo, a PLMI tem que ser satisfeita para todos os infinitos valores

de θ.

Para sistemas LTI basta considerar a matriz P constante, de forma que o problema

de análise de estabilidade se reduz a determinar uma matriz P = P T > 0 tal que

PA + AT P < 0 (2.39)

A LMI (2.39) é condição necessária e suficiente para que a parte real dos pólos do

sistema LTI seja negativa (VIDYASAGAR, 1978; KAILATH, 1980).

2.5 INTERPOLAÇÃO DE CONTROLADORES ROBUSTOS DE ESTRUTURA

ESTIMAÇÃO-CONTROLE

No contexto do escalonamento de ganhos clássico, se os controladores lineares a serem

interpolados forem muito diferentes em pontos de operação vizinhos, uma variação rápida

é introduzida artificialmente na dinâmica de malha fechada, o que pode produzir um efeito

desestabilizante ou uma perda de desempenho. Então, para se obter um comportamento

desejável na interpolação de controladores lineares, estes devem obrigatoriamente ter

estruturas compatíveis.

Isto se torna crítico quando os dados são interpolados numa abordagem em espaço de

estado, pois o comportamento dinâmico do controlador escalonado pode depender forte-

mente das realizações adotadas para a família de controladores lineares projetada para

o conjunto escolhido de pontos de operação. Este fato é ilustrado em (LEITH, 1998a;

STILWELL, 1999, 2000). Em (STILWELL, 1999, 2000) os autores apresentam justifica-

tivas teóricas e condições suficientes para a alocação de controladores LTI de modo que

a estabilidade a tempo variante sempre exista5. Também apresentam condições (conser-

vadoras) para o cálculo de um limitante superior para a taxa de variação do parâmetro

de escalonamento, de forma que a estabilidade a tempo variante esteja assegurada. In-

felizmente, no contexto de interpolação em espaço de estado, esses métodos são restritos

a controladores de ordem completa, ou seja, de mesma ordem da planta. Além disso, as

5Ver também (?STILWELL, 1997) e os exemplos numéricos apresentados.

36

condições de estabilidade e desempenho são verificadas a posteriori, o que não elimina o

algo grau de empirismo na escolha dos pontos de operação.

Esses resultados mostram claramente que uma transição satisfatória depende não

somente da “distância” entre os pontos de operação, mas também da “proximidade” en-

tre os coeficientes dos respectivos controladores LTI. Deve-se notar que a interpolação

desses coeficientes representa também uma variação paramétrica para o sistema em malha

fechada e quanto maior a diferença entre eles para pontos vizinhos, maior será a sua taxa

de variação, o que prejudica a estabilidade a tempo variante.

Mesmo supondo que o conjunto de pontos de operação seja apropriadamente esco-

lhido, projetar um conjunto correspondente de controladores de modo a favorecer uma

interpolação suave, não é uma questão de fácil solução no contexto das técnicas clássi-

cas de escalonamento de ganhos, especialmente quando se trata de técnicas de controle

robusto dos tipos H2, H∞ e síntese µ. No caso particular da estrutura controlador-

observador, a interpolação dos ganhos de controle e de estimação é mais intuitiva, apesar

desses ganhos não serem as únicas variáveis a serem interpoladas. Os coeficientes do

controlador também dependem dos dados da realização do modelo do sistema a controlar

e devem evoluir de forma consistente com a sua dinâmica. Isto é, variações significativas

ou não-linearidades da planta devem ser adequadamente compensadas pelo ajuste do

controlador.

Nesta seção, são apresentadas as técnicas propostas em (PELLANDA, 2000, 2001,

2002b) para o cálculo de realizações equivalentes do tipo estimação-controle de um con-

junto de controladores estabilizantes arbitrários associados a um dado conjunto de pontos

de operação de um sistema. A família resultante de controladores de estrutura estimação-

controle pode ser interpolada mais facilmente. Apesar dessas técnicas serem gerais, de

modo a simplificar a apresentação, os casos dos controladores não estritamente próprios

e a tempo discreto são aqui omitidos, mas também a estes são aplicáveis tal metodologia.

Na literatura de controle pode-se encontrar várias expressões freqüentemente uti-

lizadas como termos equivalentes para “controlador de estrutura estimação-controle”:

observer-based structure, observer state (feedback) controller, LQG (form) controller,

estimator-controller structure (or form), observer-controller structure, state estimator-

state feedback structure, entre outras.

37

2.5.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

A definição a seguir é necessária para a compreensão do problema a ser proposto

nesta seção.

Definição 2.3 (Controlador de estrutura estimação-controle). (ZHOU, 1996)

Dada uma realização (A,B,C) de um sistema qualquer, com (A,B) estabilizável e (C,A)

detectável, então existem matrizes Kc e Kf tais que os autovalores de A−BKc e A−KfC

são estáveis. O controlador definido por u = K(s)y, onde

K(s) =

A−BKc −KfC Kf

−Kc 0

(2.40)

é chamado de “controlador de estrutura estimação-controle”.

Considere os sistemas em malha fechada descritos na FIG. 2.1, onde

G(s) =

[G11(s) G12(s)

G21(s) G22(s)

](2.41)

e

P (s) =

[P11(s) P12(s)

P21(s) P22(s)

](2.42)

são, respectivamente, o modelo de síntese nominal e aumentado. O sinal r é o sinal dereferência e os sinais w, e, z e y são, respectivamente, a entrada exógena, o controle, asaída controlada e a saída medida de P (s).

+ ( ) s P

( ) s G ( ) s W o

( ) s W i

( ) s K

w

r e y

z

u

+ ( ) s P

( ) s J

w r e y

z

u

( ) s Q

1 y 1 u

( ) s K e

(a) Controlador original (b) Controlador equivalent (a) - Controlador original (b) - Controlador equivalente

FIG. 2.1: Sistemas em malha fechada

O modelo nominal G22(s), suposto estritamente próprio sem perda de generalidade,

é definido pela representação estabilizável e detectável:

G22(s) =

A B

C 0

(2.43)

38

com A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m e C ∈ Rp×n. Supõem-se também que o sistema aumentado

P22(s) =

Ap Bp

Cp 0

(2.44)

com spec(Ap) ⊇ spec(A), é estabilizável e detectável e incorpora algumas dinâmicas

fictícias suplementares, notadamente as ponderações frequenciais e/ou os multiplicadores

dinâmicos estáveis Wi(s) e Wo(s). O sistema G22(s) corresponde à dinâmica física6 que se

deseja estabilizar através de um controlador de estrutura estimação-controle. O modelo

P22(s) se distingue de G22(s) pela possível presença de modos não-observáveis por y e/ou

não-controláveis por e. Mesmo que esses dois sistemas sejam equivalentes do ponto de

vista entrada-saída, neste capítulo, as notações (2.43) e (2.44) serão mantidas a fim de

possibilitar a distinção entre as dinâmicas física e aumentada.

Como já foi salientado anteriormente, não existe perda de generalidade ao se supor

que D = 0. De fato, se D 6= 0, é fácil formular um problema equivalente com D = 0

aplicando-se uma transformação linear fracionária apropriada ao controlador. Supondo

que K(s) seja um controlador para G22(s) com D = 0. Para um sistema em que D 6= 0,

o respectivo controlador pode ser reescrito como:

K(s) (I + DK(s))−1 (2.45)

O problema tratado nesta seção pode ser definido como:

Dados os sistemas G22(s) e P22(s) e um controlador estabilizante original (Figure 2.1-(a))

K(s) =

[AK BK

CK DK

](2.46)

onde AK ∈ RnK×nK , nK ≥ n, DK ∈ Rm×p e BK , CK são matrizes reais de dimensõescompatíveis, calcular uma transformação de similaridade, T , tal que o controlador

Ke(s) =

[T−1AKT T−1BK

CKT DK

](2.47)

equivalente a (2.46) do ponto de vista entrada-saída, apresente uma es-trutura explicitamente separada (FIG. 2.1-(b)) e que J11(s) tenha uma es-trutura estimação-controle em relação ao sistema físico G22(s) (FIG. 2.2).

O esquema mostrado na FIG. 2.2 explicita a estrutura procurada. Trata-se, portanto,

de buscar, através do cálculo de T , um controlador equivalente Ke(s) que apresente uma

6Eventualmente incluindo a dinâmica dos atuadores e dos sensores.

39

+ ( ) s P

( ) s G ( ) s W o

( ) s W i w

r e y

z

u

1 y 1 u

-K c

+ C + + B +

A

( ) s Q

_

K f

x ( ) s J ^ x ^

.

FIG. 2.2: Parametrização de Youla e a estrutura estimação-controle

estrutura do tipo LFT inferior em relação ao parâmetro de Youla Q(s) ∈ RH∞:

Ke(s) = J11(s) + J12(s)Q(s) [I + J22(s)Q(s)]−1 J21(s)

onde os coeficientes J11(s), J12(s), J21(s), J22(s) são os elementos da matriz transferência

entre [yT yT1 ]T e [uT uT

1 ]T

J(s) :=

[J11(s) J12(s)

J21(s) J22(s)

]=

A−BKc −KfC Kf B

−Kc 0 Im×m

−C Ip×p 0

(2.48)

Os ganhos Kc, Kf são escolhidos tais que A − BKc e A − KfC sejam estáveis7. A

representação de estado de J11(s) é a mesma vista em (2.40), com x sendo uma estimativa

assintótica dos reais estados x de G22(s). O erro x− x tende a 0 quando o tempo t tende

a infinito, para entradas exógenas nulas (w = 0).

Adotando a notação

Q(s) =

Aq Bq

Cq Dq

(2.49)

para uma realização mínima de Q, onde Aq ∈ Rnq , nq = nK − n e Bq, Cq, Dq têm

7É importante notar que essas restrições de estabilidade são sempre satisfeitas se existe uma tal matriz

T , isto é, se a equivalência entre (2.46) e (2.47) for assegurada.

40

dimensões compatíveis, obtém-se

Ke(s) =

A−BKc −KfC −BDqC BCq Kf + BDq

−BqC Aq Bq

−(Kc + DqC) Cq Dq

(2.50)

Assim, a função de transferência entre r e y pode ser escrita como

Try(s) = (I −G22Ke)−1G22 =

A + BDqC −B(Kc + DqC) BCq B

(Kf + BDq)C A−BKc −KfC −BDqC BCq 0

BqC −BqC Aq 0

C 0 0 0

(2.51)

O vetor de estados de (2.51) contém os estados do sistema (ou estados físicos), os estados

do observador e os estados do parâmetro de Youla: [xT xT xTq ]T .

Por abuso de linguagem, neste trabalho as representações de estado de J(s) e de

Ke(s), expressas por (2.48) e (2.50), são igualmente chamadas de controladores de estru-

tura estimação-controle.

Para facilitar a interpretação da dinâmica de malha fechada, aplica-se à (2.51) a

seguinte transformação de similaridade:

x

xq

x− x

=

I 0 0

0 0 I

−I I 0

x

x

xq

(2.52)

A nova representação de estado em malha fechada (2.53) inclui o erro de estimação do

estado físico, x− x, no vetor de estados:

Try(s) =

A−BKc BCq −B(Kc + DqC) B

0 Aq −BqC 0

0 0 A−KfC −B

C 0 0 0

(2.53)

Nesta representação, o principio da separação aparece claramente. Os autovalores

em malha fechada podem ser separados segundo os n autovalores do controlador, os n

autovalores do estimador e os nq autovalores do parâmetro de Youla: spec(A − BKc),

spec(A−KfC) e spec(Aq), respectivamente.

A função de transferência em malha fechada pode também ser representada a partir

41

do controlador original (2.46) :

Try(s) = (I −G22K)−1G22 =

A + BDKC BCK B

BKC AK 0

C 0 0

=

Acl Bcl

Ccl 0

(2.54)

cujo vetor de estado é[xT (T1x)T (T2xq)

T]T , com

[T1 T2

]= T (2.55)

Com a ajuda dessas definições e notações, pode-se deduzir as condições que garantem

a equivalência entrada-saída entre das representações (2.46) e (2.47).

2.5.2 ESTRUTURA ESTIMAÇÃO-CONTROLE EQUIVALENTE

A partir de (2.47) e (2.50), pode-se deduzir:

AKT − T

[A + BDKC 0

0 Aq

]− T

[BCK

0

]T +

[BKC 0

]= 0 (2.56)

T−1BK =

[Kf + BDq

Bq

](2.57)

CKT =[−(Kc + DqC) Cq

](2.58)

DK = Dq (2.59)

O problema se reduz, então, a resolver em T ∈ RnK×nK a EQ (2.56) e calcular Kc,

Kf , Bq, Cq e Dq usando (2.57), (2.58) e (2.59). Nota-se que Aq é desconhecido em (2.56)

e corresponde a uma variável adicional.

A solução teórica da EQ. (2.56) pode ser simplificada se ela for dissociada em dois

subproblemas. Adotando-se uma partição apropriada de T como em (2.55), obtém-se:

T1(A + BDKC)− AKT1 + T1BCKT1 −BKC = 0 (2.60)

e

(AK − T1BCK)T2 = T2Aq (2.61)

A equação de Riccati generalizada, não simétrica e retangular (2.60) pode ser ainda

reformulada como:

[−T1 I

]H︷︸︸︷[

A + BDKC BCK

BKC AK

] [I

T1

]= 0 (2.62)

42

Conseqüentemente, a matriz Hamiltoniana H associada a equação de Riccati (2.60)

é a própria matriz da dinâmica do sistema em malha fechada Acl, expressa em (2.54).

A equação de Riccati (2.60) pode ser resolvida em T1 ∈ RnK×n pela técnica clássica de

cálculo de subespaços invariantes que consiste em:

• Calcular um subespaço invariante associado a um conjunto de n autovalores,

spec(Λn), escolhidos entre 2n + nq autovalores de spec(Acl), isto é,[

A + BDKC BCK

BKC AK

] [U1

U2

]=

[U1

U2

]Λn (2.63)

onde U1 ∈ Rn×n e U2 ∈ RnK×n. Tal subespaço é facilmente calculado usando a

decomposição de Schur da matriz Acl.

• Calcular a solução

T1 = U2U−11 (2.64)

cuja existência é garantida quando todos os autovalores de malha fechada forem

distintos.

Usando o resultado anterior e de forma similar, o cálculo da solução T2 ∈ RnK×nq

da equação de Sylvester (2.61) se reduz a encontrar um subespaço invariante associado

com um conjunto de nq autovalores, spec(Aq), escolhidos entre os n + nq autovalores de

spec(AK − T1BCK).

Partindo de (2.47), (2.50) e (2.58), pode-se verificar que

AK − T1BCK = T

[A−KfC 0

−BqC Aq

]T−1 (2.65)

Pode-se, então, estabelecer a seguinte proposição:

Proposição 2.1. Os n autovalores escolhidos para o cálculo da solução T1 da EQ (2.60),

utilizando o método Hamiltoniano, são os n autovalores de realimentação de estados

associados à estrutura estimação-controle equivalente, isto é, spec(A−BKc). Além disso,

a dinâmica de malha fechada restante8 contém a dinâmica do estimador (A − KfC)

aumentada da dinâmica do parâmetro de Youla (Aq).

8Não incluída na seleção da solução de (2.60), isto é, a dinâmica de AK − T1BCK .

43

Esta proposição é uma conseqüência direta de (2.53) e (2.65), consistindo na base da

técnica aqui apresentada. A conclusão nela apresentada permitiu a definição de um algo-

ritmo para a seleção de autovalores necessária para o cálculo de controladores equivalentes

de estrutura estimação-controle (PELLANDA, 2001, 2002b).

Existe uma combinação de soluções segundo a escolha da partição dos autovalores

de malha fechada, primeiramente para o cálculo de T1 e depois para o cálculo de T2. Na

Seção 2.5.3 Algumas considerações adicionais a propósito das possíveis soluções de (2.60)

e (2.61)são apresentadas e discutidas.

Assim, dados um sistema de ordem n e um controlador de ordem nK , pode-se cal-

cular uma transformação linear T−1xK para os estados do controlador tal que eles sejam

separados em duas partes: uma partição correspondente à estimação dos estados físicos

e outra que corresponde aos estados do parâmetro de Youla.

2.5.3 RESTRIÇÕES PARA A SELEÇÃO DE AUTOVALORES

Controlabilidade e observabilidade

Existem várias soluções admissíveis para (2.60) e (2.61). Cada solução corresponde,

respectivamente, a um escolha particular dos n e dos nq autovalores do conjunto de

autovalores de malha fechada. No entanto, algumas combinações de seleção destes não

são admissíveis, pois podem não obedecer as seguintes propriedades:

Proposição 2.2. Considere-se a EQ (2.63). As duas propriedades duais seguintes são

verdadeiras:

(i) Se ∃ λ 6∈ spec(Λn) tal que λ é não-controlável pelo par (A,B), então U1 é singular.

(ii) Se ∃ λ ∈ spec(Λn) tal que λ é não-observável pelo par (A,C), então U2 apresenta

uma deficiência de posto de coluna.

Proposição 2.3. Considere as equações (2.60) e (2.61). Se ∃ λ ∈ spec(Aq) tal que λ é

não-observável por (A,C) ou não-controlável por (A,B), então[

T1 T2

]é singular.

As provas destas proposições são diretas utilizando as relações precedentes e as pro-

priedades de controlabilidade ou de observabilidade.

Pólos complexos conjugados

Outra possível restrição que pode reduzir o número de soluções admissíveis para

(2.60) e (2.61) está relacionado com a não separação dos pares de pólos complexos con-

jugados, ou seja, tais pares devem pertencer à mesma partição de autovalores de malha44

fechada, caso se pretenda obter somente coeficientes reais no cálculo do controlador equi-

valente. Note-se que esta escolha nem sempre é possível. Considerando, por exemplo,

o caso onde os pólos de malha fechada são todos complexos e n é ímpar, então os ga-

nhos terão coeficientes complexos. Para resolver este problema, é imperativo aumen-

tar judiciosamente a dinâmica do modelo do sistema com alguns modos reais (estáveis)

não-controláveis ou não-observáveis. Pode-se mostrar que uma condição necessária para

existência de uma parametrização real é que o número de autovalores de malha fechada

seja maior ou igual à 2(paridade(n)+paridade(nK − n).

Modos duplos

Segundo as Proposições 2.2 e 2.3, a seleção dos autovalores de spec(Acl), para designar

Λn em (2.63) e, em seguida, Aq em (2.61), é baseada numa análise de controlabilidade

e observabilidade modal. Como será discutido mais adiante, esta análise necessita do

cálculo dos autovetores associados aos modos da matriz dinâmica Acl e, por conseguinte,

da forma diagonal Λcl dessa matriz. Outro interesse de se utilizar a forma diagonal é a

diminuição do número de coeficientes de Aq a interpolar.

Entretanto, um problema difícil aparece caso existam modos duplos, ou "quase"

duplos, no espectro de malha fechada. Neste caso, Acl pode ser (quase) não-diagonalizável

e ter uma matriz de autovetores não-inversível ou mal condicionada. Conseqüentemente,

U = [UT1 UT

2 ]T em (2.63) e/ou T2 em (2.61) podem ter uma deficiência de posto de coluna,

dependendo das partições de spec(Acl) escolhidas para compor Λn e Aq.

A estrutura de bloco de Jordan oferece uma base de vetores bem condicionada e

seu cálculo para Acl seria uma solução para este problema. Contudo, tal estrutura é

numericamente difícil de ser determinada. Ao contrário, o cálculo de subespaços in-

variantes associados a formas bloco-diagonais é muito estável numericamente através da

manipulação de decomposições de Schur (GOLUB, 1996). O método consiste em trocar

sistematicamente as posições dos autovetores adjacentes através de rotações de Givens.

Assim, é possível deslocar para as primeiras linhas de Λcl9 cada autovalor isoladamente ou

cada par de modos duplos de uma forma de Schur triangular superior. Este procedimento

permite determinar, um por um, os seus autovetores associados e os elementos não nulos

fora da diagonal principal dos blocos não-diagonalizáveis. Executando-se, então, uma

seqüência de decomposições de Schur, cada uma delas tendo os autovalores ordenados

de uma forma apropriada, pode-se bloco-diagonalizar Acl e obter uma transformação de

9Para maiores detalhes, ver o Algoritmo 7.6.1 de (GOLUB, 1996).

45

similaridade bem condicionada:

AclUsc = UscΛcl (2.66)

com

Λcl = diag(λ1, · · · , λi, · · · , Λr, · · · , Λc, · · · , λnK+n−6) (2.67)

onde λi (i = 1, · · · , nK + n) correspondem aos autovalores distintos e/ou repetidos asso-

ciados a autovetores independentes, e

Λr =

[λr r

0 λ′r

](2.68)

e

Λc =

λc 0 c 0

0 λc 0 c

0 0 λ′c 0

0 0 0 λ′c

(2.69)

são blocos não-diagonalizáveis que correspondem, respectivamente, a dois autovalores

reais repetidos, λr ≈ λ′r, e a dois complexos, λc ≈ λ′c, com seus conjugados, λc ≈ λ′c.

Note-se que é possível ter autovalores repetidos, reais ou complexos, de multiplicidade

maior que 2.

As colunas de Usc em (2.66) que correspondem aos autovalores λi e aos autovalores

repetidos, λr, λc e λc, são seus autovetores associados. As demais colunas, isto é, aquelas

que correspondem aos autovalores repetidos, λ′r, λ′c e λ′c, são chamados de autovetores

generalizados. Um subconjunto qualquer de autovetores forma, sempre, uma base para

um subespaço invariante associado à Acl. Ao contrário, esta propriedade só é conservada

para um conjunto de colunas que contenha autovetores generalizados se os autovetores

respectivos estejam contidos neste conjunto. Ou seja, um conjunto que contenha autove-

tores generalizados associados a λ′r, λ′c e/ou λ′c, deveria conter também os autovetores

respectivos, associados a λr, λc e/ou λc. Entretanto, um bom condicionamento numérico

de T é geralmente obtido se nenhum autovetor generalizado for selecionado para compor

U em (2.63) e se nenhum modo duplo de malha fechada for selecionado para compor

spec(Aq) em (2.61). Então, é conveniente deixar os autovalores relativos aos autovetores

generalizados no conjunto de pólos do observador. Esta análise pode ser generalizada

para autovalores múltiplos.

Uma vez que a maioria das colunas de Usc são autovetores, o uso da forma bloco-

diagonal (2.67) facilita muito a análise de controlabilidade e observabilidade modal. Ao

46

contrário, uma outra tal análise seria muito mais complicada utilizando, por exemplo,

uma forma de Schur clássica do tipo triangular ou quase triangular superior.

Cálculo da forma real

O cálculo de subespaços invariantes exige a manipulação de números complexos

quando o espectro da matrix Hamiltoniana contém modos complexos. Neste caso, a

propagação de erros de arredondamento pode resultar em matrizes de transformação T

que não são rigorosamente reais. Entretanto, o controlador deverá ter exclusivamente

coeficientes reais. Por esta razão, é preferível partir de uma forma real de (2.66). Uma

alternativa à forma de Schur reordenada real é aplicar à (2.66) a seguinte transformação:

AclUscJ = UscJJ−1ΛclJ (2.70)

onde J é uma matriz bloco-diagonal cuja diagonal é composta por 1’s para os modos

reais e por blocos [1/√

2 −j1/√

2

1/√

2 j1/√

2

]

para modos complexos (repetidos ou distintos). Supondo-se que

Λcl = diag

λ1, λ2, λ2,

[λ3 r3

0 λ3

],

λ4 0 c4 0

0 λ4 0 c4

0 0 λ4 0

0 0 0 λ4

, · · ·

(2.71)

onde os autovalores λ1, λ2, λ3 e λ4 são, respectivamente, real distinto, complexo distinto,

real repetido e complexo repetido, obtém-se:

Wsc = UscJ = [u1 uR2 uI

2 u3 u3′ uR

4 uI4 uR

4

′uI

4

′ · · · ] (2.72)

onde o expoente R indica a parte real e o expoente I indica a parte imaginária, e

Λcl = J−1ΛclJ = diag

λ1,

[λR

2 λI2

−λI2 λR

2

],

[λ3 r3

0 λ3

],

λR4 λI

4 cR4 cI

4

−λI4 λR

4 −cI4 cR

4

0 0 λR4 λI

4

0 0 −λI4 λR

4

, · · ·

(2.73)

Assim as matrizes transformadas têm somente elementos reais.

47

Um problema de identificação de modo

Para resolver (2.56), é necessário particionar spec(Acl) em três subconjuntos, a saber:

o conjunto dos modos do controlador (ou de realimentação), o conjunto dos modos do

parâmetro de Youla e o conjunto dos modos do estimador. A etapa seguinte é o cálculo

de dois subespaços invariantes: um subespaço invariante de dimensão n da matriz Acl e

um subespaço invariante de dimensão nq da matriz AK − T1BCK . Estes subespaços são

associados, respectivamente, ao conjunto dos n pólos de realimentação de estados (2.63)

e ao conjunto dos nq pólos do parâmetro de Youla em (2.61).

Se esta abordagem facilita a compreensão conceitual do problema, por outro lado

uma dificuldade numérica pode ocorrer por causa da diferença entre as dimensões de

Acl e de AK . Esta dificuldade aparece notadamente por ocasião da identificação de

certos modos duplos de Acl, associados ou não a autovetores generalizados contidos no

spec(AK − T1BCK). A identificação desses modos demanda um estudo do paralelismo

dos respectivos autovetores. Entretanto, a diferença entre a dimensão dos autovetores em

(2.61) e a dimensão de autovetores em (2.63) torna este estudo complexo e se constitui em

um problema para distinção dos modos duplos. De fato, o cálculo de T em duas etapas,

T1 e T2, é um fator de ambigüidade quando dois modos são próximos um do outro, mesmo

que estes sejam diagonalizáveis. A propagação de erros de arredondamento no cálculo de

T1 pode também comprometer a boa escolha do spec(Aq).

Uma outra maneira de decompor (2.56) em dois problemas dissociados, superando

esta dificuldade, é reescrevê-la como:

[−T I

]

A + BDKC 0 BCK

0 Aq 0

BKC 0 AK

I

T

= 0 (2.74)

Nota-se que um subespaço invariante de dimensão nK é caracterizado por

A + BDKC 0 BCK

0 Aq 0

BKC 0 AK

V11

V12

V2

=

V11

V12

V2

ΛK (2.75)

onde ΛK é uma submatriz de Λcl em (2.71) ou de Λcl em (2.73). A matriz ΛK é associada

à um conjunto de n + nq modos, escolhidos entre aqueles da matriz Hamiltoniana, que

correspondem ao conjunto dos pólos de realimentação de estado e do parâmetro de Youla.

48

O conjunto dos autovalores de spec(ΛK) não deve conter autovalores de Λcl associados a

autovetores generalizados.

A solução de (2.75) implica na resolução de dois problemas:[

A + BDKC BCK

BKC AK

][V11

V2

]=

[V11

V2

]ΛK (2.76)

e

AqV12 = V12ΛK (2.77)

O primeiro problema, (2.76), é similar a (2.63) e consiste em encontrar um subespaço

invariante de Acl, de dimensão nK , associado ao spec(ΛK). O outro problema, (2.77),

consiste em encontrar um subespaço invariante de Aq de dimensão nK . O espaço invari-

ante de Aq de máxima dimensão é, naturalmente, o espaço inteiro que tem dimensão

nq < nK . Respeitando a partição escolhida dos espectros da Hamiltoniana, faz-se então

a escolha de uma base de dimensão nq para formar um tal espaço que é complementado

por vetores nulos a fim de satisfazer a restrição de dimensão imposta por ΛK . Isto é,

V12 = [0 · · · 0 e1 0 · · · 0 e2 0 · · · 0 enq 0 · · · 0] (2.78)

onde a submatriz [e1, · · · , enq ] pode ser escolhida como base canônica de Rnq de forma a

reduzir o número de coeficientes de Q(s) a interpolar. Este arranjo consiste em separar

nq pólos do parâmetro de Youla dentre os nK pólos escolhidos em (2.76). Uma vez que as

posições dos autovalores são completamente definidas por ΛK em (2.76) e (2.77), torna-se

fácil a sua identificação e, conseqüentemente, a alocação das colunas ei de V12 em (2.78).

Finalmente, a mudança de base T é obtida, sem ambigüidade, por

T = V2

[V11

V12

]−1

(2.79)

Considerando a nova formulação (2.76) à (2.79), as condições estabelecidas nas

Proposições 2.2 e 2.3 se tornam:

Proposição 2.4.

(i) Se ∃ λ 6∈ spec(ΛK) tal que λ é não-controlável por (A,B), então

[V11

V12

]é singular.

(ii) Se ∃ λ ∈ spec(ΛK) tal que λ é não-observável por (A,C), então V2 é singular.

49

(iii) Se ∃ λ ∈ spec(Aq) tal que λ é não-observável por (A,C) ou não-controlável por

(A,B), então

[V11

V12

]é singular.

As propriedades enunciadas nestas proposições mostram as restrições que devem ser

satisfeitas para a construção de uma solução inversível T .

Regras Adicionais de Seleção

Testes numéricos mostraram que melhores resultados podem ser obtidos no processo

de interpolação e estimação física, se as seguintes regras suplementares para a seleção da

partição dos autovalores de malha fechada forem respeitadas:

• Alocar em spec(A−BKc) os pólos que são menos controláveis, a fim de reduzir os

ganhos de realimentação de estado.

• Alocar em spec(A−KfC) os pólos mais rápidos e menos observáveis para ter um

estimador de estados eficiente e com ganhos reduzidos.

• Alocar em spec(Aq) pólos rápidos de tal maneira que o parâmetro de Youla se

comporte como uma transmissão direta no controlador.

Dois pontos particulares requerem atenção. O primeiro concerne a maneira de clas-

sificar os modos de acordo com as suas controlabilidade e observabilidade. Um método

útil para medir a controlabilidade de um modo λi em relação a uma entrada j de um

sistema (A,B,C) consiste em calcular

cij =| vT

i bj |‖vi‖ ‖bj‖

onde vi é o autovetor a esquerda associado a λi, bj é a j-ésima coluna de B e vTi bj

é chamado de fator de controlabilidade de λi. Este método foi aplicado em sistemas

físicos, tanto de ordens altas como de baixas (HAMDAN, 1989; MARTINS, 1990). A

controlabilidade global de λi pode ser medida por

ci =‖vT

i B‖‖vi‖

Se A tem todos os autovalores distintos e se supõe que Acl = A em (2.66), então cada

coluna ui de Usc e cada coluna vi de U−Tsc é, respectivamente, um autovetor normalizado

a direita e a esquerda associado ao autovalor λi. Então, ci é definido como:

ci = ‖B(i, :)‖ (2.80)50

onde B = U−1sc B.

Analogamente, têm-se os coeficientes de medida de observabilidade:

oi = ‖C(:, i)‖ (2.81)

onde C = CUsc.

A matriz B (C) é chamada de matriz controlabilidade (observabilidade) modal. Se

a i-ésima linha (coluna) de B (C) é nula, então λi é não-controlável (não-observável).

Examinando-se essas matrizes, pode-se classificar os modos em controláveis e observáveis,

controláveis e não-observáveis, não-controláveis e observáveis, e não-controláveis e não-

observáveis. Assim, a controlabilidade e a observabilidade absolutas dos modos são com-

pletamente definidas por B e C. Essas matrizes permitem classificar os modos segundo

a sua controlabilidade (observabilidade) relativa, uma vez que quanto menor for o coefi-

ciente ci (oi) associado a λi, menos controlável (observável) será o modo.

Supondo que A tenha um modo duplo real (ou complexo) λi = λ′i como em (2.68)

(ou (2.69)), pode-se dizer que:

• c′i (o′i) “grande” ⇐⇒ λi e λ′i são controláveis (observáveis);

• c′i (o′i) “pequeno” ⇐⇒ λ′i é não-controlável (não-observável);

• c′i (o′i) “pequeno” e ci (oi) “grande” =⇒ λi é controlável (observável);

• c′i (o′i) “pequeno” e ci (oi) “pequeno” ⇐⇒ λi é não-controlável (não-observável).

Este resultado é deduzido facilmente pela análise das relações de dependência linear

dos autovetores associados a λi e λ′i. Uma análise similar para os pólos múltiplos seria

uma tarefa mais difícil, porém tais extensões são possíveis. Entretanto, a existência de

pólos múltiplos em malha fechada é um fenômeno mais raro.

O segundo ponto consiste em fazer uma análise de controlabilidade e observabilidade

dos pólos de malha fechada respeitando as restrições impostas sobre o sistema em malha

aberta. Isto é, como definir B e C para calcular ci e oi utilizando (2.80) e (2.81). De fato,

de acordo com a Proposição 2.4, não há restrições impostas para a controlabilidade e a

observabilidade em malha fechada. E ainda, um problema numérico pode ocorrer para

identificar qual autovalor em malha fechada corresponde a um certo pólo não-controlável

ou não-observável, notadamente quando os espectros em malha fechada contêm modos

duplos.

Considerando as realizações em malha aberta e fechada, (2.43) e (2.54), pode-se

estabelecer a seguinte proposição cuja prova é trivial:51

Proposição 2.5. Supondo que CK e BK têm posto completo e considerando que

A = Acl, B =

[B 0

0 InK×nK

]e C =

[C 0

0 InK×nK

]

então, as seguintes propriedade duais são verdadeiras:

(i) λi é não-controlável por (A,B) ⇐⇒ λi é não-controlável por (A, B).

(ii) λi é não-observável por (A,C) ⇐⇒ λi é não-observável por (A, C).

Uma análise da observabilidade e da controlabilidade dos modos de malha fechada

do ponto de vista das entradas e saídas fictícias estabelecidas pelas matrizes B e C é

então justificada neste contexto.

Além dos conceitos de controlabilidade e observabilidade relativas, pode-se utilizar

também uma medida da contribuição de cada modo de malha fechada aos estados do

sistema para escolher aqueles que contribuem mais intensamente no comportamento

dinâmico da planta para compor o espectro do observador. O i-ésimo elemento do autove-

tor a esquerda vj mede o impacto do modo λj sobre a i-ésima variável de estado, enquanto

que o j-ésimo elemento do autovetor a direita ui pondera esta contribuição. O produto

destes dois elementos é adimensional, isto é, independente da escolha de unidades, e mede

a participação líquida. Assim, a matriz (2.82), chamada de matriz de participação, com-

bina os autovetores normalizados a direita e a esquerda e fornece uma maneira eficiente e

prática para medir a associação entre os modos e as variáveis de estado de malha fechada:

P = Usc · ∗U−Tsc = [pij] (2.82)

onde ·∗ designa a multiplicação elemento por elemento e pij é uma medida da participação

relativa do j-ésimo modo na i-ésima variável de estado. O coeficiente pij é chamado de

fator de participação (KUNDUR, 1994; ABED, 2000). A soma dos fatores de participação

que associados a uma variável de estado, ou a um modo qualquer, é igual a 1:∑n+nK

j=1 pij =

1, ∀i; e ∑n+nK

i=1 pij = 1, ∀j. É fácil mostrar que pij é igual à sensibilidade do autovalor

λj ao elemento aii da diagonal da matriz de estados em malha fechada, ∂λj

∂aii.

Se os estados de malha fechada são ordenados como em (2.54), a soma das amplitudes

dos n primeiros elementos da j-ésima coluna de P fornece a participação total de λj nos

n estados de G(s):

pj =n∑

i=1

|pij|, j = 1, · · · , n + nK (2.83)

52

Assim, o conceito de participação modal pode ser utilizado, no lugar dos conceitos de

controlabilidade e observabilidade modais relativas, através de uma escolha apropriada

da participação dos autovalores em malha fechada que respeita a dinâmica natural do

sistema físico.

A referência (PELLANDA, 2001) apresenta um algoritmo sistemático para a escolha

das partições de autovalores de malha fechada, necessária ao cálculo de controladores

equivalentes de estrutura estimação-controle, que leva em consideração as restrições ap-

resentadas nesta seção.

2.5.4 PARÂMETRO DE YOULA DINÂMICO × ESTÁTICO

É importante notar que quando nK é estritamente maior que n, o controlador equi-

valente engloba um parâmetro de Youla dinâmico e um estimador físico. Mas, quando

nK = n, Aq e T2 em (2.61) são vazios e o problema se reduz a solucionar (2.60) em T1 = T

e ao cálculo Kf , Kc e Dq utilizando as relações (2.57)-(2.59), ou seja,

Kf = T−1BK −BDK (2.84)

Kc = −CKT −DKC (2.85)

Q(s) = Dq = DK (2.86)

Em conseqüência, tem-se um parâmetro de Youla estático e uma estrutura de estimação-

controle que pode ser interpretada de duas formas:

• Estimação aumentada: o sistema aumentado P22 (não-mínimo) substitui o sistema

nominal G22; a dinâmica do sistema físico está incluída em P22; e os estados de G22

são estimados se o sentido físico é conservado na dinâmica aumentada.

• Estimação física: P22 substitui G22 com Wi(s) e Wo(s) estáticos (ou nulos) e Ap ∈Rn (ou P22=G22).

Enfim, é igualmente interessante notar, que o parâmetro de Youla dinâmico pode

ser entendido como um parâmetro de Youla estático com uma estimação aumentada.

Com efeito, calculando-se um controlador equivalente compreendendo um parâmetro Q

dinâmico, (Aq, Bq, Cq, Dq), e uma estrutura de estimação-controle, J(s) = f(A, B, C,

Kc, Kf ), pode-se interpretá-lo como um controlador que tem um parâmetro Q estático,

Dq, e uma estrutura de estimação-controle aumentada (ZHOU, 1996)

J(s) = f(A, B, C, Kc, Kf ) (2.87)53

onde A =

[A 0

0 Aq

], B =

[B

0

], C =

[C 0

], Kc =

[Kc −Cq

]e Kf =

[Kf

Bq

].

Em (2.87), J(s) é um controlador equivalente com uma estrutura de estimação-

controle para o sistema fictício aumentado

P (s) =

A 0 B

0 Aq 0

C 0 0

(2.88)

Considerando que um controlador equivalente para P22(s) é também um controlador

equivalente para P (s), que ambos os sistemas incluem as dinâmicas fictícias (Wi(s) e

Wo(s) no primeiro e Aq no segundo) e que geralmente Ap tem nK como dimensão (em

particular em problemas de síntese H∞ e µ), é interessante utilizar G22(s) em lugar de

P22(s) para o cálculo de controladores equivalentes. Obviamente, alguns inconvenientes,

como o cálculo de Aq, Bq e Cq, são evitados quando se utiliza P22(s). Além disso, o

cálculo de um controlador equivalente para P (s) seria impossível utilizando o método

Hamiltoniano10. No entanto, os controladores equivalentes que têm Q(s) dinâmico tam-

bém apresentam algumas vantagens que justificam a utilização do método mais geral

adotado:

• Enquanto que o parâmetro Aq é construído para se ter uma estimação física efi-

ciente, os filtros Wi(s) e Wo(s) são determinados independentemente dessas consi-

derações. Em outros termos, um controlador equivalente para P22(s) consideraria a

identificação da dinâmica fictícia tão importante quanto a identificação da dinâmica

física.

• Enquanto que G22(s) é, em geral, completamente controlável e observável, P22(s)

tem nK − n pólos não-observáveis ou não-controláveis, restringindo as possíveis

escolhas de modos.

• Devido ao modelo do sistema ser utilizado para construir o controlador equiva-

lente, tem-se a necessidade de interpolação da dinâmica fictícia. Pode-se mostra

que a matriz Aq, calculada por este método, tem propriedades que asseguram sua

estabilidade sobre intervalos de interpolação linear.

10Ver as Proposições 2.2, 2.3 e 2.4.

54

2.5.5 CONTINUAÇÃO DOS SUBESPAÇOS INVARIANTES SELECIONADOS

Os métodos clássicos de escalonamento de ganhos decompõem o projeto de um con-

trolador escalonado em vários projetos de controladores lineares (LEITH, 1998a,b). Esses

métodos oferecem estruturas de projeto abertas no sentido em que não existe nenhuma

restrição inerente a uma metodologia particular de síntese de controladores lineares e,

geralmente, o projetista é livre para utilizar os métodos de análise de estabilidade e

desempenho mais convenientes a uma aplicação particular.

Mesmo que a variável de interpolação seja uma função do tempo na implementação

dos controladores interpolados, ela é considerada como um parâmetro estacionário na

etapa de projeto. Considere-se aqui um conjunto de pontos de operação parametrizado

por uma variável de interpolação, θ ∈ R, que evolui num domínio compacto DΘ ⊂ R.Supõe-se que A(θ), B(θ) e C(θ) em (2.43) e Ap(θ), Bp(θ) e Cp(θ) em (2.44) sejam funções

contínuas em DΘ. Admite-se também que K(s, θi) em (2.46) são controladores LTI

estabilizantes projetados para θ = θi, i = 1, 2, · · · , r. O principal objetivo de um processo

de interpolação é definir uma lei de transição contínua e regular entre pontos de operação

adjacentes, θi e θi+1, ∀ i = 1, · · · , r− 1, de forma a preservar o desempenho obtido pelos

controladores LTI nas suas vizinhanças.

As leis de transição sempre introduzem distorções degradando a estabilidade ou o

desempenho nas zonas intermediárias. Entretanto, quando os coeficientes do controlador

evoluem de forma contínua e as amplitudes de variações são pequenas , as distorções

permanecem dentro de limites aceitáveis se o parâmetro do sistema varia lentamente.

Esta seção apresenta um método eficiente, baseado em representações do tipo estimação

e controle, para fazer frente a esse problema.Mais precisamente, o problema estudado nesta seção é:

Dados os sistemas G22(s, θ) (2.43) e P22(s, θ) (2.44), agora considerados dependentesdo parâmetro, e um conjunto inicial de controladores estabilizantes K(s, θi) (2.46),

calcular um conjunto de controladores equivalentes do tipo estimação-controle Ke(s, θi)(2.47),

tal que exista um caminho contínuo ligando a auto-estrutura (eigenstructure) do sistemade malha fechada entre os pontos de operação.

A lei de interpolação que atende os requisitos do problema é obtida por uma técnica

de continuação do tipo Euler-Newton. Esse processo permite o cálculo de um conjunto55

de controladores LTI equivalentes e compatíveis dinamicamente e assegura que existe uma

trajetória contínua que conecte as realizações do tipo estimação-controle.

Considere-se θ o parâmetro normalizado, θ , (θ − θi)/|θi+1 − θi|. Para θ ∈ [θi, θi+1]

tem-se θ ∈ [0, 1].

Em (LUI, 1997), os autores apresentam um método para o cálculo de autovalores de

uma matriz dada H(θ = 1) = H(1) e seus autovetores associados. A partir dos autova-

lores e autovetores conhecidos de uma matriz H(0) real, os autovalores e autovetores da

matriz parametrizada

H(θ) , (1− θ)H(0) + θH(1) (2.89)

são calculados separadamente de θ = 0 até θ = 1 e suas trajetórias são seguidas pelo uso

de técnicas de continuação. Em θ = 1 obtém-se então os dados para H(1). O cálculo

contínuo dos caminhos dos autovalores e autovetores (eigenpath) ao longo da trajetória

de H(θ) permite estabelecer uma correspondência entre as auto-estruturas de H(0) e

H(1), de onde vem o interesse desta técnica neste estudo.

Os autovalores de H(θ) são funções analíticas de θ, salvo para um número finito de

pontos onde alguns autovalores podem apresentar uma singularidade algébrica. Longe

destas singularidades, os autovetores podem ser escolhidos como funções analíticas de θ.

Estas singularidades ocorrem quando autovalores se cruzam ou são submetidos a bifur-

cações no caminho θ ∈ [0, 1]. Tais bifurcações são tipicamente encontradas quando um

modo faz uma transição entre real e complexo ou torna-se duplo, o que introduz dificul-

dades no cálculo, se eles não forem convenientemente manipulados. Algumas técnicas

para resolver esses problemas numéricos, dependendo da natureza da singularidade, são

também apresentados em (LUI, 1997). Mas, o mau condicionamento devido a autovetores

quase colineares aparece de uma forma freqüente durante o processo de continuação. Isto

vem do fato dos autovalores e autovetores serem calculados e seguidos independentemente

e constitui um inconveniente desse método de continuação.

Propõe-se a utilização de métodos similares para a obtenção dos conjuntos correspon-

dentes dos autovalores de matrizes Hamiltonianas adjacentes. Ao invés de seguir cada

modo de maneira independente, a idéia é seguir separadamente cada subespaço invariante

selecionado correspondentes a cada partição escolhida do espectro da Hamiltoniana. Essa

é uma maneira indireta de seguir um conjunto de modos simultaneamente. No contexto

aplicativo de controle deste estudo, esse método é mais confiável de um ponto de vista

computacional uma vez que os problemas de bifurcação e de mau condicionamento de-

vidos a autovetores quase colineares é consideravelmente reduzido. Um único problema

56

aparece quando os cruzamentos envolvem modos pertencentes a partições distintas, o que

é raro na prática.

Considere-se a matriz Hamiltoniana

H ,[

F R

S M

](2.90)

onde F ∈ Rn×n, M ∈ RnK×nK e R, S são reais de dimensões compatíveis. Considere-se

também os conjuntos de equações:[

F R

S M

] [U1

U2

]=

[U1

U2

]Λn (2.91)

[F R

S M

][V1

V2

]=

[V1

V2

]ΛK (2.92)

onde Λn ∈ Rn×n e ΛK ∈ RnK×nK são reais e bloco-diagonais como em (2.73), U1 ∈Rn×n e V2 ∈ RnK×nK são inversíveis, U2 ∈ RnK×n e V1 ∈ Rn×nK . Supõe-se que as

colunas de[

UT1 UT

2

]T

e de[

V T1 V T

2

]T

formam uma base para um subespaço de

H, respectivamente, de dimensão n e nK . Então, T1 = U2U−11 (∈ RnK×n) e T3 = V1V

−12

(∈ Rn×nK ) são, respectivamente, as soluções das equações de Riccati generalizadas, não-

simétricas e retangulares

T1F −MT1 + T1RT1 − S = 0 (2.93)

T3M − FT3 + T3ST3 −R = 0 (2.94)

É importante notar que as colunas de[

I T T1

]T

e de[

T T3 I

]T

geram também

subespaços invariantes de H, de dimensão n e nK , respectivamente. Então, dados H, T1

e T3 pode-se determinar Λn e ΛK . Conseqüentemente, tendo

H(θi) = Acl(θi)

Λn(θi)) = spec(A(θi)−B(θi)Kc(θi))

ΛK(θi)) = spec(A(θi)−B(θi)Kc(θi)) ∪ spec(Aq(θi))

H(θi+1) = Acl(θi+1)

(2.95)

basta executar uma continuação de T1(θi) e de T3(θi), calculadas no ponto de operação θi,

para determinar as dinâmicas correspondentes, Λn(θi+1) e ΛK(θi+1), no ponto de operação

adjacente θi+1.

Admita-se que (2.89) seja a matriz parametrizada associada a dois pontos de operação

adjacentes, H(θ = 0) = H(0) e H(θ = 1) = H(1). A equação de Riccati

F(T, θ) = T (θ)X(θ)− Y (θ)T (θ) + T (θ)Z(θ)T (θ)−W (θ) = 0 (2.96)57

onde θ ∈ [0, 1], corresponde a (2.93) se

T (θ) := T1(θ)

X(θ) := (1− θ)X(0) + θX(1) = F (θ) := A(θ) + B(θ)DK(θ)C(θ)

Y (θ) := (1− θ)Y (0) + θY (1) = M(θ) := AK(θ)

Z(θ) := (1− θ)Z(0) + θZ(1) = R(θ) := B(θ)CK(θ)

W (θ) := (1− θ)W (0) + θW (1) = S(θ) := BK(θ)C(θ)

(2.97)

e a (2.94) se

T (θ) := T3(θ)

X(θ) := (1− θ)X(0) + θX(1) = M(θ) := AK(θ)

Y (θ) := (1− θ)Y (0) + θY (1) = F (θ) := A(θ) + B(θ)DK(θ)C(θ)

Z(θ) := (1− θ)Z(0) + θZ(1) = S(θ) := BK(θ)C(θ)

W (θ) := (1− θ)W (0) + θW (1) = R(θ) := B(θ)CK(θ)

(2.98)

Executando a continuação de T em (2.96), efetua-se a continuação de T1 ou de T3,

de acordo com a escolha (2.97) ou (2.98). Para efetuar a continuação de T no intervalo

[θi, θi+1], é primeiramente necessário subdividi-lo em dois subintervalos da forma

0 = θ0 < θ1 < θ2 < · · · < θL = 1

Utiliza-se, em seguida, um método de continuação de Euler-Newton para calcular a

solução T (θl+1), (l = 0, · · · , L − 1), de F(T, θl+1) = 0, considerando que T (θl) é uma

solução conhecida de F(T, θl) = 0 em (2.96).

Aproximação de Euler

Para obter a solução de Riccati em θl+1, aplica-se o método de Newton na equação

F(T, θl+1) = 0 com a aproximação inicial T (θl+1)(0) = T (θl) + (θl+1 − θl)T (θl), onde

o ponto designa a derivada em relação ao parâmetro. Assim, diferenciando (2.96) em

θ = θl, obtém-se a equação de Sylvester:[T (θl)Z(θl)− Y (θl)

]T (θl) + T (θl)

[X(θl) + Z(θl)T (θl)

]+[

T (θl)X − Y T (θl) + T (θl)ZT (θl)− W]

= 0(2.99)

onde

X = X(1)−X(0)

Y = Y (1)− Y (0)

Z = Z(1)− Z(0)

W = W (1)−W (0)

(2.100)

58

A primeira iteração de Newton T (θl+1)(0) é então obtida resolvendo em T (θl) a

equação de Sylvester (2.99) e, em seguida, calculando o passo de Euler (θl+1 − θl)T (θl).

Algoritmo de Newton

O objetivo é solucionar de uma forma iterativa a equação algébrica

F(T, θl+1) = TX(θl+1)− Y (θl+1)T + TZ(θl+1)T −W (θl+1) = 0 (2.101)

a partir de uma condição inicial T = T (θl+1)(0). A expressão (2.101) pode ser desenvolvida

utilizando o teorema de Taylor. Desprezando os termos de ordem mais elevada, a forma

estendida de (2.101) para a k-ésima interação tem por aproximação de primeira ordem:

F(T (θl+1)

(k) + ∆T, θl+1

)≈

[T (θl+1)

(k)Z(θl+1)− Y (θl+1)]∆T +

∆T[X(θl+1) + Z(θl+1)T (θl+1)

(k)]

+ F(T (θl+1)(k), θl+1) = 0

(2.102)

Se T (θl+1)(k) fosse exata, então F e ∆T seriam nulas. Entretanto, como T (θl+1)

(k)

é somente uma aproximação de T (θl+1), o erro F é finito. Os valores atualizados são

calculados por

T (θl+1)(k+1) = T (θl+1)

(k) + ∆T

onde ∆T é a solução da equação de Sylvester (2.102). O processo é repetido até que o

erro ‖F‖ seja inferior a uma tolerância especificada.

A interação de Newton converge quadraticamente para T (θl+1) sob duas condições:

θl+1−θl suficientemente pequeno; e os caminhos dos autovalores e autovetores pertencente

a diferentes partições sejam suficientemente separados para todos os pontos da trajetória

de continuação.

Se a amostragem é grande pode acontecer que o algoritmo convirja para uma outra

solução. Essa situação é possível mesmo quando os caminhos das auto-estruturas são

aparentemente bem separados. Isso caracterizaria um salto de caminho e comprometeria

a compatibilidade entre as dinâmicas dos controladores LTI vizinhos.

Considere-se finalmente que o número de subintervalos tenha sido escolhido conve-

nientemente, mais que certos modos, correspondentes a partições distintas, se cruzam ou

se aproximam consideravelmente em um ponto dado da trajetória de continuação. En-

tão, o sistema linear implicado na solução da interação de Newton (2.102) pode ser mal

condicionado neste ponto e, conseqüentemente, a convergência do algoritmo de Newton

não é assegurada. A probabilidade que uma tal situação ocorra na prática é pequena.

Entretanto, se ela acontecer, será transparente ao método de continuação no sentido em

59

que o ponto de cruzamento é facilmente percebido. Uma vez que a partição dos modos

relativa à escolha inicial é recuperável em se calculando as matrizes Λn e ΛK no decorrer

de um processo de continuação, esse ponto será tratado da mesma forma que um modo

duplo no ponto de partida.

Algoritmo global

Um procedimento global para o cálculo de um controlador tendo uma estrutura de

estimação-controle no ponto de operação θi+1, a partir de um ponto vizinho θi, é obtido

pelo seguinte algoritmo:

Algoritmo 2.1. Continuação de subespaços invariantes

Etapa 1 : Escolher uma partição do spec(H(θi)), Λn(θi), Aq(θi) e ΛK(θi), e calcular

um controlador equivalente de uma estrutura de estimação-controle (Seções 2.5.2 a

2.5.4) para um ponto de operação θi.

Etapa 2 : Calcular as soluções T1(θi) e T3(θi) para as equações de Riccati (2.93) e

(2.94), de acordo com a partição escolhida de spec(H(θi)).

Etapa 3 : Executar uma continuação de Euler-Newton de T1(θi) e T3(θi) para obter os

correspondentes T1(θi+1) e T3(θi+1).

Etapa 4 : Calcular

Λn(θi+1) =

[I

T1(θi+1)

]H(θi+1)

[I

T1(θi+1)

]−1

(2.103)

e

ΛK(θi+1) =

[T3(θi+1)

I

]H(θi+1)

[T3(θi+1)

I

]−1

(2.104)

e bloco-diagonalizá-los como Λcl em (2.73).

Etapa 5 : Separar Aq(θi+1) de ΛK(θi+1) comparando os autovetores up e vj associados

a Λn(θi+1) e ΛK(θi+1), respectivamente. Isto é, calcular

cos(θpj) =| uT

p vj |‖up‖ ‖vj‖

para todo p, j (p = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · , nK) para separar os vj que não

tenham um up paralelo correspondente.60

Etapa 6 : Utilizando Aq(θi+1) e ΛK(θi+1), calcular o controlador equivalente no ponto

de operação θi+1, ou seja, calcular T (2.79) em seguida calcular Kc, Kf , Bq, Cq e

Dq utilizando (2.57), (2.58) e (2.59).

Nota-se que aqui T1(θi+1) corresponde exatamente à primeira partição de T (θi+1)

em (2.55), enquanto que a segunda partição T2(θi+1) é determinada por Aq(θi+1). Por

outro lado, como a solução de uma equação de Riccati é independente da ordem dos

autovetores e autovalores, os ganhos Kc(θi+1) e Kf (θi+1) são independentes do arranjo

de Λn(θi+1) e ΛK(θi+1). Uma possível troca de ordem dos autovalores durante o processo

de diagonalização (Etapa 4) afetaria somente as posições das colunas de T2(θi+1). No

entanto, a ordem correta é facilmente recuperada analisando-se d proximidade entre os

autovalores de Aq(θi) e de Aq(θi+1).

Nota-se também que se nK = n, então T3(θ) = T−11 (θ). Em conseqüência, necessita-

se somente executar um prolongamento contínuo de T1(θ). Além disso, quando se tratar

de um conjunto de mais de dois controladores LTI, uma vez que a Etapa 1 é executada

no início do processo (por exemplo, i = 1), somente as Etapas 2 e 3 são necessárias para

determinar toda a familia de transformações lineares de estados (i = 2, · · · , r). Esse

procedimento permite calcular todo um conjunto de controladores equivalentes a partir

de uma escolha única da partição de autovalores de malha fechada e assegura que existe

uma trajetória contínua de transformações que conecta as suas realizações de estado do

tipo estimação-controle.

61

3 CONTRIBUIÇÕES PARA A IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS

3.1 INTRODUÇÃO

Como foi tratado no Capítulo 1, a modelagem é classificada como: caixa-preta, caixa-

branca e caixa-cinza. Aborda-se neste capítulo a identificação dos três tipos de modela-

gens. Este enfoque visa utilizar as vantagens de combinar as modelagens de caixas-pretas

e caixas-brancas no que se refere ao uso de informações a priori. Segundo (CORRÊA,

2001), por ser um assunto relativamente novo, muitos dos problemas desta modelagem

estão em aberto. De acordo com (SOHLBERG, 1998) e (KARPLUS, 1976), classifica-se

a “tonalidade de cinza” em três níveis de intensidade, conforme o uso de informações

a priori no processo de modelagem. Esses tons se aplicam em sistemas econômicos,

hidráulicos e de poluição do ar, do cinza mais escuro para o mais claro, respectivamente.

Isso reflete a abrangência desta modelagem.

Nas modelagens onde as grandezas físicas/químicas que caracterizam a variação

paramétrica da dinâmica da planta podem ser medidas, como as saídas naturais ou a

partir de um sensoriamento aumentado do sistema, uma técnica é proposta neste capí-

tulo. Ela é paramétrica e permite a identificação de modelos quasi -LPV e uma classe de

modelos não-lineares. Um recurso desta técnica é a utilização de um parâmetro moni-

torado como argumento de uma função. Essa metodologia foi desenvolvida com o auxílio

da série de Taylor, determinando os coeficientes levantados mediante a aplicação da téc-

nica dos mínimos quadrados.

Vários aspectos importantes são discutidos no decorrer da descrição destas técnicas

de identificação. Porém, as linhas gerais citadas em (AGUIRRE, 2004) e (LJUNG, 1987)

são adotadas como as principais etapas a serem seguidas na identificação. São elas:

• Testes dinâmicos e coleta de dados: essa é a fase que envolve a geração de dados. Os

principais fatores estão ligados à escolha do sinal de excitação (quando possível), à

execução do teste e à escolha do período de amostragem. Em determinados casos,

a planta deve ser identificada quando em operação. Neste caso, se a entrada não

for capaz de excitar todos os modos, a identificação será restrita a uma faixa de

operação.

• Escolha da representação matemática: esta etapa está focada na representação da62

dinâmica, seja em funções de transferência ou em matrizes de espaço de estados.

Um abuso de linguagem é empregado na afirmativa anterior, pois uma das técnicas

de identificação deste estudo são aplicáveis a sistemas não-lineares, em geral.

• Determinação da estrutura do modelo: no caso de identificações lineares, é feita a

escolha do número de pólos e zeros. Como a técnica de modelos não-lineares ou

quasi -LPV dependem da identificação linear em pontos de operação da planta, a

estrutura dos modelos variantes no tempo fica condicionada, basicamente, à deter-

minação da estrutura dos modelos lineares.

• Estimação de parâmetros: trata-se da seleção do algoritmo e/ou dos métodos

numéricos para o cálculo dos parâmetros a serem utilizados.

• Validação do modelo: uma vez estabelecido um modelo ou uma família de modelos,

testes são usados para verificar se esses reproduzem as características da planta.

Além disso, no caso de uma família de modelos, uma comparação entre estes in-

dicará o que apresenta menor erro. Tal fato pode depender significativamente do

tipo de modelo empregado.

3.2 REPRESENTAÇÕES

Um sistema linear pode ser considerado variante no tempo ou não-estacionário - Li-

near a Parâmetros Variáveis (LPV) ou Linear Variante no Tempo (ou LTV, do inglês

Linear Time Variant) - quando um ou mais parâmetros do seu modelo variam signi-

ficativamente com o tempo e não podem ser considerados como parâmetros incertos. A

evolução destes sistemas pode ser matematicamente representada pela solução ϕ(t, u, x0)

de um sistema de equações diferenciais (COCA, 1996b):

x = f(x, u) (3.1)

onde x(t) é um vetor de dimensão n (n ∈ N) das variáveis de estado, u(t) é o vetor

de dimensão q (q ∈ N) das variáveis de entrada, x0 representa as condições iniciais e

f : Rn+q → Rn é um mapeamento não-linear e contínuo que representa a dinâmica do

sistema.

A saída do sistema é descrita por:

y = h(x, u) (3.2)

63

onde y é um vetor de dimensão p ∈ N. Quando f(.) e h(.) são funções lineares, (3.1) e

(3.2) formam um sistema de equações denominadas de espaço de estado. Se essas funções

são não-lineares, pode-se adotar a representação quasi -LPV, em um grande número de

casos.

3.3 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

As muitas técnicas de controle linear desenvolvidas, aliadas à simplicidade em se

trabalhar com modelos lineares, incentivam os métodos de identificação apresentados

nesta seção. São mostradas duas possibilidades de identificação de sistemas lineares

estáveis no presente trabalho. Em ambos os casos, não foi considerada a presença de

ruído nas medições amostradas.

A Seção 3.3.1 se baseia na transformada z e na função de transferência discreta.

Utilizam-se amostras discretas dos dados temporais de entrada e de saída da planta. O

resultado é a identificação dos coeficientes da função de transferência discreta e, conse-

qüentemente, os seus pólos e zeros.

A Seção 3.3.2 emprega a resposta em freqüência da planta para a determinação dos

coeficientes da função de transferência em regime contínuo. É possível se obter uma

seqüência discreta com valores em freqüência X(jw), a partir de valores amostrados de

um sinal vetorial x(t). Para melhor compreensão da obtenção da resposta em freqüência,

ver (VALLE, 2005) e (ADES, 2005).

O problema consiste em obter a função de transferência, discreta ou contínua, de

um sistema do tipo caixa-preta para entradas e saídas contínuas no tempo. As técnicas

empregadas foram desenvolvidas para sistemas SISO (uma entrada e uma saída). A

extensão à um sistema MIMO (múltiplas entradas e múltiplas saídas) pode ser feita

aplicando-se a metodologia a cada um dos elementos da matriz de transferência.

3.3.1 IDENTIFICAÇÃO USANDO AMOSTRAS DISCRETAS

Para um período de amostragem τ suficientemente pequeno, pode-se obter a

amostragem dos sinais de entrada e de saída da planta. Admite-se que o sinal apli-

cado à entrada do sistema excite todos os modos desta. Com este conjunto de dados é

possível equacionar sua dinâmica na forma de uma FT discreta:

G(z) =b0z

n + b1zn−1 + ... + bn−1z + bn

zn + a1zn−1 + ... + an−1z + an

=Y (z)

U(z)(3.3)

64

Sendo y(k) , y(kτ), manipulando (3.3) e aplicando a inversa da transformada z:

b0znU(z) + b1z

n−1U(z) + ... + bn−1zU(z) + bnU(z) =

= znY (z) + a1zn−1Y (z) + ... + an−1zY (z) + anY (z) ⇐⇒

b0u(k + n) + b1u(k + n− 1) + ... + bn−1u(k − 1) + bnu(k) =

= y(k + n) + a1y(k + n− 1) + ... + an−1y(k − 1) + any(k)

(3.4)

Fazendo k = k − n e isolando y(k) em (3.4), tem-se a seguinte equação diferença:

y(k) = −a1y(k − 1)− a2y(k − 2)− ...− any(k − n) + b0u(k) + ... + bnu(k − n) (3.5)

Escolhe-se então uma função custo, a ser minimizada, para uma identificação efi-

ciente. Pretende-se que as amostras discretas fornecidas pela saída da planta sejam

reproduzidas pelo modelo identificado. A função custo é calculada através da norma

dois da diferença entre os vetores de saída medido e aquele fornecido pelo modelo para a

mesma entrada aplicada na planta. Tem-se, então:

J = ‖yp(k)− y(k)‖2 (3.6)

onde y(k) é a saída do modelo linear estimada e yp(k) é a saída medida da planta.

Arbitrando-se "n" como a ordem da função de transferência discreta a ser identi-

ficada, sabendo que m À n e conhecendo-se as m amostras da entrada e da saída, é

possível equacionar a dinâmica desse sistema a partir de (3.5) como:

y(m) = −a1y(m− 1)− ... + b0u(m) + ... + bnu(m− n)

y(m− 1) = −a1y(m− 2)− ... + b0u(m− 1) + ... + bnu(m− n− 1)...

y(n + 1) = −a1y(n)− ...− any(1) + b0u(n + 1) + ... + bnu(1)

(3.7)

Definindo:

• Y =

y(m)

y(m− 1)...

y(n + 1)

• M =

y(m− 1) . . . y(m− n) u(m) . . . u(m− n)

y(m− 2) . . . y(m− n− 1) u(m− 1) . . . u(m− n− 1)... . . . ...

... . . . ...

y(n) . . . y(1) u(n + 1) . . . u(1)

65

• Θ =[−a1 . . . −an b0 . . . bn

]T

∈ R2n+1

O sistema (3.7) pode ser escrito de forma matricial como:

Y = MΘ (3.8)

O problema de identificação consiste em estimar os coeficientes Θ na equação ma-

tricial (3.8). Com m suficientemente grande, a técnica dos mínimos quadrados (pseudo-

inversa) pode ser aplicada. Assim, os coeficientes Θ podem ser determinados por:

MT MΘ = MT Y

Θ = (MT M)−1MT Y

Θ = M †Y

(3.9)

A matriz M e o vetor Y devem ser definidos com os valores medidos da planta (u(k)

e yp(k)). Com a obtenção de Θ, tem-se o modelo discreto linear identificado G(z).

Período de Amostragem e Sinal de Entrada

A escolha do período de amostragem τ de uma planta contínua no tempo requer uma

análise detalhada para uma representação fidedigna da dinâmica em tempo discreto, na

técnica de identificação proposta.

Quando a planta for contínua no tempo e o período de amostragem puder ser esco-

lhido, deve-se considerar o problema de condicionamento numérico da solução proposta.

Este fator está diretamente relacionado com o mapeamento entre a variável z, da FT

discreta, e a variável s, da FT contínua, dado por:

z = esτ (3.10)

De (3.10) é fácil ver que períodos de amostragem muito pequenos alocarão os pólos e

zeros em regiões muito próximas no plano z e com módulos tendendo a 1. Isso resulta em

alocação de pólos e zeros com valores decimais de significância relativa bastante reduzida,

ou seja, muito próximos. Como os coeficientes da FT são oriundos de operações aditivas

e multiplicativas com os pólos e zeros, para dois períodos diferentes, ambos próximos de

zero, os coeficientes das respectivas FT só se diferenciarão após várias em casas decimais.

Sabendo-se que os computadores tem um espaço limitado para guardar os dígitos de uma

variável, no caso os coeficientes da FT discreta, para τ → 0 pode haver arredondamentos

que comprometam uma identificação precisa. Para contornar este problema, períodos de

amostragem maiores devem ser privilegiados quando possíveis de serem escolhidos.66

Para um τ convenientemente escolhido, o sinal de entrada para identificação pode

ser um degrau unitário, sinal este que apresenta uma riqueza espectral suficiente para

excitar todos os modos da planta.

Quando τ for imposto e isso estiver causando os problemas aludidos, é possível tentar

minimizar estes efeitos com, pelo menos, dois recursos:

• multiplicar a entrada por uma constante;

• aplicar um somatório de pulsos retangulares finitos e defasados (trem de pulsos);

Uma combinação de ambas as técnicas pode ser implementa.

Aplicando a propriedade da homogeneidade de funções lineares, multiplicar o sinal

de entrada por uma constante tem igual efeito na resposta sem que haja alteração no

modelo. Entretanto, em termos operacionais, este recurso se mostra eficiente em alguns

casos. Quando o cálculo dos coeficientes for feito usando a forma recursiva da pseudo-

inversa, devido ao elevado número de amostras, o ajuste dos coeficientes dar-se-á por

uma diferença entre o valor medido e a estimação. Se a entrada for multiplicada por

uma constante que seja suficiente para ampliar esta diferença, o ajuste do coeficiente

convergirá com um menor número de amostras.

Um trem de pulsos irá gerar maior riqueza de amostras que permitirá um ajuste mais

preciso nas casas decimais de menor significância. Este ajuste fino apresenta melhores

resultados quando se usa a forma recursiva da pseudo-inversa.

Cabem duas últimas análises em relação ao modelo construído. A primeira é em re-

lação a estabilidade do modelo obtido. Por premissa a planta é estável e em conseqüência

não se admite modelos instáveis. Quando a identificação apresentar pólos que tornem o

modelo instável, deverá ser feita a projeção dentro do círculo unitário do plano z e de-

sprezar a parte instável, uma vez que uma planta estável não tem qualquer projeção fora

do círculo unitário do plano z (ver Seção 2.2). A segunda análise é relativa à alocação

dos pólos e zeros, pois ao se arbitrar a ordem da identificação, a função de transferência

discreta G(z) poderá ser não-mínima (ver Seção 2.3).

3.3.2 IDENTIFICAÇÃO USANDO A RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Como abordado em (VALLE, 2005) e (ADES, 2005), uma vez obtida a resposta em

freqüência G(jω) de uma planta linear ou de um modelo linearizado em um ponto de

operação numa planta não-linear, é possível determinar a função de transferência (FT)

67

referente à dinâmica do sistema estudado. A abordagem da técnica aqui apresentada é

similar ao caso discreto anterior.

Considere a dinâmica de uma planta representada pela FT, G(s), na forma:

G(s) =b0s

n + b1sn−1 + ... + bn−1s + bn

sn + a1sn−1 + ... + an−1s + an

(3.11)

Deseja-se identificar um modelo que minimize a função custo:

J(Θ) = ‖G(jω)− G(Θ, jω)‖2 (3.12)

onde ω =[

ω1 ω2 . . . ωh

]T

∈ Rh.

O vetor ω contém as freqüências amostradas e selecionadas para a identificação do

sistema. Sugere-se que seja adotado um espaçamento logarítmico entre as freqüências

em ω. O vetor Θ representa os coeficientes a serem ajustados da função de transferência

identificada e G(s) o modelo identificado.

Dado que a resposta em freqüência G(jω) é conhecida, (3.11) pode ser particularizada

como:

G(jωi) = G(s)|s=jωi=

b0(jωi)n + b1(jωi)

n−1 + ... + bn−1(jωi) + bn

(jωi)n + a1(jωi)n−1 + ... + an−1(jωi) + an

(3.13)

Para evitar erros de interpretação nas equações desenvolvidas subseqüentes, usar-se-á

a notação Gjω , G(jω). De 3.13:

Gjωi

{(jωi)

n +∑n−1

p=0 [an−p(jωi)p]

}=

∑nq=0[bn−q(jωi)

q]

Gjωi(jωi)

n = −Gjωi

∑n−1p=0 [an−p(jωi)

p] +∑n

q=0[bn−q(jωi)q]

(3.14)

A EQ (3.14) pode ser escrita de forma matricial, para i ∈ {1, 2, ..., h}, como:

H ,

Gjω1 .(jω1)n

Gjω2 .(jω2)n

...

Gjωh.(jωh)

n

=

=

Gjωi(jω1)

n−1 . . . Gjωi(jω1)

0 (jω1)n . . . (jω1)

0

Gjωi(jω2)

n−1 . . . Gjωi(jω2)

0 (jω2)n . . . (jω2)

0

... . . . ...... . . . ...

Gjωi(jωh)

n−1 . . . Gjωi(jωh)

0 (jωh)n . . . (jωh)

0

−a1

...

−an

b0

...

bn

(3.15)

68

Reescrevendo (3.15) de forma a evitar coeficientes complexos na função de transfe-

rência:

H =

Re{Gjω1 .(jω1)n}

Im{Gjω1 .(jω1)n}

...

Re{Gjωh.(jωh)

n}Im{Gjωh

.(jωh)n}

= NΘ (3.16)

onde H ∈ R2h, Θ é o vetor dos coeficientes a ser encontrado e

N =

Re{(jω1)n−1} . . . Re{(jω1)

0} Re{(jω1)n} . . . Re{(jω1)

0}Im{(jω1)

n−1} . . . Im{(jω1)0} Im{(jω1)

n} . . . Im{(jω1)0}

Re{(jω2)n−1} . . . Re{(jω2)

0} Re{(jω2)n} . . . Re{(jω2)

0}Im{(jω2)

n−1} . . . Im{(jω2)0} Im{(jω2)

n} . . . Im{(jω2)0}

... . . . ...... . . . ...

Re{(jωh)n−1} . . . Re{(jωh)

0} Re{(jωh)n} . . . Re{(jωh)

0}Im{(jωh)

n−1} . . . Im{(jωh)0} Im{(jωh)

n} . . . Im{(jωh)0}

Novamente, a pseudo-inversa pode ser empregada em (3.16) para determinar o vetor

Θ:NT NΘ = NT H

Θ = (NT N)−1NT H

Θ = N †H

(3.17)

Desta forma, tem-se Θ =[−a1 . . . −an b0 . . . bn

]T

que corresponde à

seguinte FT

G(s) =b0s

n + b1sn−1 + ... + bn−1s + bn

sn + a1sn−1 + ... + an−1s + an

(3.18)

As observações feitas para o caso discreto, relativas a estabilidade e alocação de pólos

e zeros, são também válidas para este caso.

3.4 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS QUASI -LPV

Conforme explicado na Seção 2.4, um sistema linear pode ser considerado variante

no tempo ou não-estacionário − quasi -LPV ou Lineares Variantes no Tempo (LTV, do

inglês Linear Time Variant) − quando um ou mais parâmetros do seu modelo variam am-

plamente com o tempo e não podem ser considerados como parâmetros incertos. Muitas

69

vezes, os sistemas não-lineares, comumente encontrados na prática, podem ser tratados

como sistemas lineares não-estacionários.

Um sistema quasi -LPV é regido por equações diferenciais da forma:

Modelo M

{x(t) = A(θ(t))x(t) + B(θ(t))u(t)

y(t) = C(θ(t))x(t) + D(θ(t))u(t)

O parâmetro θ(t) varia continuamente no tempo dentro de um domínio paramétrico

PΘ. No caso escalar o parâmetro estará limitado por um valor máximo e mínimo, isto é,

θ ∈ [θm, θM ].

A técnica de identificação proposta pode ser estendida a todas as classe de plantas

cujas dinâmicas não-lineares possam ser reformuladas como sistemas quasi -LPV.

Para uma planta com as características descritas nos parágrafos anteriores e sendo

estável, pode-se construir um modelo quasi -LPV desse sistema. Para isso é necessário

identificar preliminarmente um conjunto de modelos lineares em tantos pontos de ope-

ração quanto necessários. Estes pontos corresponderão a valores pré-determinados do

parâmetro endógeno e/ou exógeno θ que determina aqueles pontos.

A técnica aqui descrita objetiva identificar um modelo quasi -LPV, que recebendo a

medição em tempo real do parâmetro θ e a entrada da planta, faz com que a saída do

modelo identificado convirja para a resposta da planta física.

A metodologia consiste em reescrever os diversos coeficientes do conjunto de mode-

los, obtidos na etapa de identificação dos pontos de operação da planta, como funções

polinomiais do parâmetro θ, considerado disponível para medição.

A identificação quasi -LPV tratada aqui pode ser classificada como caixa-cinza, de-

vido à necessidade do conhecimento prévio do parâmetro que torna a dinâmica do sis-

tema variante no tempo. Esta é a única informação prévia necessária para se levantar a

dinâmica física da planta.

3.4.1 METODOLOGIA

Considera-se que a dinâmica a pequenas pertubações de uma planta não-estacionária

possa ser representada por um conjunto de modelos lineares. Esses modelos podem

ser parametrizados por um sinal contínuo θ a ser medido. O problema consiste, numa

primeira etapa, em identificar os modelos lineares Gi(s), i ∈ {0, 1, ..., v}, v ∈ N, dos

pontos de operação de interesse da planta.

Numa segunda etapa, procura-se determinar, a partir dos modelos Gi(s), um novo

modelo quasi -LPV M, cujos coeficientes são funções polinomiais do parâmetro (sinal θ).70

Esse modelo M se torna linear com a determinação do valor de θ.

Adota-se para cada modelo Gi(s), uma FT de forma:

Gi(s) =bi0s

n + bi1sn−1 + ... + bi(n−1)s + bin

sn + ai1sn−1 + ... + ai(n−1)s + ain

(3.19)

para aij, bij ∈ R, j ∈ {0, 1, ..., n}.

Como o conjunto de modelos LIT Gi(s) foi obtido pela identificação do sistema, para

se comparar as entradas e as saídas do modelo com as da planta no ponto de operação i,

deve-se adicionar valores constantes a essas variáveis.

yi(t) = yi(t)− yNi

ui(t) = ui(t) + uNi

(3.20)

Os valores yNi e uNi ∈ R são as constantes que se referem ao ponto de operação i

da planta em relação ao modelo Gi(s). Os sinais y(t) e u(t) são a entrada e a saída da

planta, respectivamente. Os sinais y(t) e u(t) são a entrada e a saída, respectivamente,

correspondentes a aplicação no modelo linear.

No ponto de operação em regime estacionário, os estados do modelo são nulos. Isso

é incongruente com a pretensão da metodologia aqui aplicada, uma vez que os estados

não deverão ter nova referência (valores iniciais) a cada novo ponto de operação, mas

deverão ser contínuos, como são numa modelagem da planta, e guardar uma relação com

o modelo, ou seja, representar grandezas fixas definidas com o mesmo critério para todo o

conjunto de modelos lineares Gi(s), mesmo que estas não tenham significado físico. Isso

não ocorre com o conjunto Gi(s).

Assim sendo, deve-se compatibilizar os modelos lineares disponíveis, Gi(s), com as

necessidades de equacionamento proposto, Gi(s). Em outras palavras, deseja-se um con-

junto de modelos lineares cujos estados representem as mesmas grandezas em toda a faixa

de operação do parâmetro, sem deslocamento da entrada e da saída.

Para uma representação compatível com a metodologia proposta, uma manipulação

se faz necessária no conjunto de modelos LIT Gi(s). De (3.20):

Yi(s) = L[yi(t)]

Yi(s) = L[yi(t) + yNi]

Yi(s) = Y i(s) + yNi

s.

(3.21)

Analogamente, U(s) = U i(s) + uNi

s. Portanto:

G(s)i =Yi(s)

Ui(s)=

Y i(s) + yNi

s

U i(s)− uNi

s

=s.Y i(s) + yNi

s.U i(s)− uNi

(3.22)

71

obtém-se as FT relacionadas com a planta.

Para manter a coerência de notação, faz-se yNi = bi(n+1) e uNi = −ai(n+1). A nova

FT é dada por:

Gi(s) =bi0s

n+1 + bi1sn + ... + bins + bi(n+1)

sn+1 + ai1sn + ... + ains + ai(n+1)

(3.23)

Com j ∈ {0, 1, . . . , (n + 1)}, define-se:

aj =[

a1j a2j ... avj

]T

bj =[

b0j b1j ... bvj

]T

θj =[

θ1j θ2j ... θvj

]T

(3.24)

para θi ∈ R e i ∈ {1, 2, ..., v}.Com as definições acima, é possível estabelecer funções bases para se determinar a

dinâmica dependente do parâmetro para ai(θ) e bi(θ) que definem o modelo quasi -LPV:

G(s, θ) =b0(θ)s

n+1 + b1(θ)sn + ... + bn(θ)s + bn+1(θ)

sn+1 + a1(θ)sn + ... + an(θ)s + an+1(θ)(3.25)

O conceito de função de transferência dependente no parâmetro não tem sentido

quando este varia no tempo. A notação G(s, θ), onde o parâmetro θ pode assumir vários

valores em um dado domínio, é utilizada para indicar que um sistema G do tipo quasi -

LPV tendo como modelo freqüencial

G(s, θ) = C(θ)[sI − A(θ)]−1B(θ) + D(θ)

para valores estacionários de θ, ou seja, aqueles para os quais dθ/dt = 0, e possui como

modelo de estados

G(s, θ) =

A(θ) B(θ)

C(θ) D(θ)

e

[x(t)

y(t)

]=

[A(θ) B(θ)

C(θ) D(θ)

][x(t)

u(t)

]

para as trajetórias não-estacionárias de θ(t).

Particularmente, para definir as funções ai(θ) e bi(θ) em (3.25), será utilizado uma

base polinomial em θ do tipo f(θ) = α0.θp + α1.θ

p−1 + ... + αp, p ∈ N. Para chegar a

estas funções, é necessário arbitrar uma ordem de grandeza p para as funções a serem

aproximadas na variação dos coeficientes. Assim, pode-se equacionar:

aj =

θp1 θp−1

1 ... 1

θp2 θp−1

2 ... 1...

... . . . ...

θpk θp−1

k ... 1

α0

α1

...

αp

= Xαj (3.26)

72

Analogamente para bi. Mais uma vez, os coeficientes podem ser obtidos pela pseudo-

inversa.

αj = X†aj (3.27)

73

4 ESCALONAMENTO DE GANHOS EM ESTRUTURAS DO TIPO

ESTIMAÇÃO-CONTROLE

4.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo são apresentadas três metodologias para o controle de sistemas não-

estacionários que evoluem em grandes faixas de operação, utilizando interpolação clássica

de controladores dinâmicos predeterminados.

Na Seção 2.5 é apresentada uma metodologia (PELLANDA, 2000, 2001, 2002b) para

o cálculo de uma seqüência de transformações de similaridade a ser aplicada à família

original de controladores robustos determinados a priori, de forma que o conjunto de

controladores obtidos, equivalentes aos primeiros do ponto de vista entrada-saída, tenha

uma estrutura coerente, fisicamente interpretável e de fácil interpolação. Depois da trans-

formação, os controladores apresentam uma estrutura do tipo estimação-controle, o que

facilita a interpolação e a implementação em tempo variante. Contudo, a questão da

escolha dos pontos de projeto não é abordada nesta técnica, sendo assumido que eles são

convenientemente escolhidos. Uma abordagem para uma escolha sistemática do conjunto

de pontos de síntese, no contexto dessa técnica, é proposta na Seção 4.2.

A segunda técnica apresentada neste capítulo (Seção 4.3) constitui uma contribuição

deste trabalho e trata o problema do escalonamento de ganhos clássico de uma forma

distinta da primeira. O que se propõe é utilizar uma abordagem quasi -LPV para a

modelagem do sistema. A idéia principal é estabelecer uma realimentação de estados

estimados onde os ganhos são dependentes do parâmetro definido no modelo quasi -LPV.

Além disso, os ganhos são calculados como funções do parâmetro, de forma que o espectro

de autovalores da matriz dinâmica de malha fechada seja alocado em uma posição fixa

predefinida para todo o conjunto possível de trajetórias contínuas do parâmetro.

Por fim, é proposto um método que objetiva o cancelamento das não-linearidades

através da realimentação de estados (Seção 4.4). Assim como no caso anterior, é utilizada

uma técnica de alocação de autovalores em malha fechada. A técnica se aplica a uma

classe restrita de sistemas não-estacionários. Basicamente, a lei de controle proposta

busca anular os efeitos das dinâmicas indesejadas e impõe o controle sobre a parte linear

do modelo. Esse método também objetiva impedir que variações bruscas sejam inseridas

artificialmente na dinâmica de malha fechada.

74

4.2 ESCOLHA SISTEMÁTICA DOS MODELOS DE SÍNTESE

Na linearização clássica de um sistema não-linear x = f(x), onde f(x) : Rn → Rn é

um mapeamento não-linear e contínuo, é comumente utilizado o método de Taylor para

obtenção de um modelo linearizado em torno de um ponto de funcionamento escolhido

x = x. A resposta desse modelo linear é muito próxima da resposta do modelo não-

linear para pequenas perturbações em torno do ponto de operação considerado. Em

outras palavras, o método clássico de linearização atribui um coeficiente linear baseado

na derivada de primeira ordem e no valor da variável no ponto de operação previamente

escolhido (x = x): xδ = Axδ, onde xδ = x− x e

A =

∂f1(x,u)∂x1

∂f1(x,u)∂x2

... ∂f1(x,u)∂xn

∂f2(x,u)∂x1

∂f2(x,u)∂x2

... ∂f2(x,u)∂xn

...... . . . ...

∂fn(x,u)∂x1

∂fn(x,u)∂x2

... ∂fn(x,u)∂xn

x=x

(4.1)

Porém, no contexto clássico do escalonamento de controladores, utiliza-se um con-

junto de pontos de operação, uma vez que a técnica é aplicada em sistemas não-lineares

com ampla faixa de operação para os quais geralmente não existe controlador estabilizante

LTI. Ocorre que o comportamento dinâmico do sistema em malha fechada é fortemente

influenciado pela escolha desse conjunto.

Para exemplificar, supõe-se que o modelo tenha sido linearizado em um ponto onde

sua faixa de validade seja muito estreita para um dado critério de erro. Neste caso,

para grandes perturbações, onde o sistema evolua desse ponto de operação para um

ponto vizinho do conjunto escolhido, torna-se muito difícil manter a estabilidade ou

o desempenho do sistema em malha fechada através da interpolação dos respectivos

controladores LTI, a menos que o ponto vizinho esteja muito próximo. Ou seja, a não-

estacionariedade do sistema pode não ser devidamente compensada pela variação do

controlador.

Uma situação ainda mais desfavorável pode ocorrer se o sistema for conduzido, por

uma entrada exógena, a operar em um ponto intermediário entre dois pontos mal es-

colhidos, isto é, para aqueles onde os modelos linearizados são válidos para vizinhanças

muito restritas. Neste caso, o controlador poderá apresentar uma dinâmica completa-

mente incompatível com as especificações de projeto, podendo conduzir a uma perda de

estabilidade ou de desempenho.

A técnica de escolha do conjunto de modelos lineares de projeto aqui apresentada

75

se baseia na idéia de estabelecer faixas de operação onde se possa garantir um erro

máximo entre a dinâmica do modelo linearizado e a dinâmica do modelo não-linear na

faixa considerada. Ou seja, busca-se particionar o domínio global de operação em tantos

subintervalos de interpolação quantos sejam necessários para assegurar um erro máximo

estipulado. Com isto, contorna-se o problema da validade da linearização para vizin-

hanças estreitas de um ponto de operação, uma vez que toda a faixa para o qual o

modelo linear é calculado está dentro do erro previamente adotado.

Para ilustrar a técnica sugerida nesta seção e facilitar a compreensão da mesma,

considera-se um exemplo de uma função escalar, definida por f(x) = −x3− 5x2− 3x− 5,

para x ∈ R. A linearização de f(x) no ponto de operação x = 6 é dada por:

∂f(x)∂x

|x=6= [−3x2 − 10x− 3] |x=6=

= −3.62 − 10.6− 3 = −171 (4.2)

A tangente à curva f(x) para x = 6 tem o coeficiente angular igual a −171. A FIG.

4.1 mostra a curva f(x) e sua tangente, conforme a linearização (4.2).

0 2 4 6 8 10−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

x

f(x)

Função não−linearLinearização Ponto

FIG. 4.1: Curva f(x) e sua linearização em x = 6.

Porém, existe a possibilidade de obtenção de uma função linear que aproxime não só

um ponto da curva não-linear f(x), mas toda uma faixa do domínio de x previamente

selecionada. Para tanto, é necessário calcular uma função f(x) = ax + b, f(x) : R→ R,para um dado intervalo no domíno, que minimize

∫(|f(x)− f(x)|2dx)

76

Uma solução simples é discretizar f(x) na faixa de interesse em m pontos, obtendo um

vetor de amostradas fm ∈ Rm.

Assim, deseja-se obter o coeficiente angular de f(x) que atenda:

fm = MΘ (4.3)

onde M ∈ Rm×2 e Θ = [a b]T ∈ R2. Assumindo que m > 2, o problema é convexo e tem

a solução dada pela teoria dos mínimos quadrados. Neste caso, o vetor fm contém os

pontos da equação não-linear f(x) para os valores discretos de x ∈ [x1, xm], onde x1 e xm

são, respectivamente, os valores inicial e final de x para o intervalo considerado. A matriz

M tem os seus elementos da primeira coluna M(1c) composto pelos valores discretos de

x no intervalo x ∈ [x1, xm], ou seja, M(1c) = [x1 x2 x3 ... xm]T . A ordenação seqüencial

de j ∈ {1, 2, ..., m} deve ser a mesma para a primeira coluna da matriz M e para o vetor

fm, isto é, o elemento xj ∈ M(1c) deverá estar na mesma linha que f(xj) ∈ fm em (4.3).

A segunda coluna de M é um vetor cujos elementos são iguais a 1.

Então, a solução Θ = Θ∗ que minimiza o erro médio quadrático para m > 2 é:

Θ∗ = M †fm (4.4)

Para o emprego da técnica apresentada na Seção (2.5), sugere-se aqui utilizar um

conjunto de modelos linearizados sobre uma família pré-definida de intervalos de opera-

ção, onde os coeficientes angulares são calculados conforme (4.4) em substituição àqueles

calculados pela forma Jacobiana tradicional.

No exemplo escalar apresentado, f(x) = −x3 − 5x2 − 3x − 5, a fim de comparar

as aproximações, arbitra-se x0 = 4 e xm = 8. Discretizando o valor de x no intervalo

de interesse, com taxa de amostragem de 0, 01, e considerando os valores de f(x) cor-

respondentes para esta discretização, obtém-se: a = −173, 4120 e b = 590, 6519. Na

linearização, o que interessa é o coeficiente angular, ou seja, a = −173, 4120, pois o valor

b é o deslocamento representativo da faixa de operação.

Novamente é apresentada a curva f(x) e sua tangente calculada para x = 6 em (4.2)

na FIG. 4.2 (linha contínua e tracejada, respectivamente). A linearização considerando o

coeficiente ponderado por todos os valores da faixa pré-selecionada, calculado conforme

(4.4), é representada pela linha com ponto e traço. Observa-se na FIG. 4.3 que o maior

erro em relação à curva não-linear, no intervalo representado, é menor para a linearização

proposta.

Esta técnica de linearização por faixa pode ser facilmente generalizada para o caso

onde o estado é multivariável. Contudo, resta ainda definir um processo sistemático de77

escolha dos intervalos de linearização.

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8−900

−800

−700

−600

−500

−400

−300

−200

−100

x

f(x)

Função não−linearLinearização PontoLinearização Faixa

FIG. 4.2: Curva f(x) e suas linearizações em x = 6: intervalo 4 ≤ x ≤ 8.

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

x

Qua

drad

o do

Err

o

Linearização FaixaLinearização Ponto

FIG. 4.3: Erros nos processos de linearização.

4.2.1 DEFINIÇÃO DAS FAIXAS DE LINEARIZAÇÃO

Nesta seção é apresentado um algoritmo para a escolha sistemática dos intervalos de

linearização. O processo busca particionar o domínio de operação do sistema não-linear

em vários intervalos, de maneira que o maior erro em cada intervalo não ultrapasse um

valor máximo especificado. Como sugestão, pode-se adotar um valor máximo de uma

norma (por exemplo, H2 ou H∞) da diferença entre o modelo linearizado na faixa e os

modelos linearizados ponto a ponto. A linearização Jacobiana (ponto a ponto) do sistema

78

é executada sobre uma grade fina de pontos que abranja todo o domínio de operação.

A suposição inicial de que um único intervalo, igual a este domínio atende o critério

estabelecido (norma da diferença), é tomada como ponto de partida do algoritmo.

Caso o sistema linear calculado nesse intervalo não atenda ao critério, reduz-se a

faixa de linearização até obter-se a satisfação do valor máximo adotado para a norma

das diferenças. A não convergência do algoritmo implica em relaxamento da norma, isto

é, deve-se aumentar o valor arbitrado como tolerância.

Algoritmo 4.1. Faixas de Linearização de um Sistema Não-Linear

Etapa 1: Inicialização

• Escolher a norma que vai ser adotada como critério para verificação da pro-

ximidade da dinâmica entre os sistemas comparados.

• Arbitrar o valor máximo de referência Vref que será admitido para a norma

adotada.

• Fornecer os vetores M(1c) com pontos de linearização para cada estado, bem

como o conjunto de modelos lineares ou a equação geral que possa extrair estes.

• Assumir todo o domínio de operação como sendo um intervalo único inicial.

Etapa 2: Linearização na faixa

• Calcular Θ para cada estado que define a operação, de acordo com (4.4), onde

fm contém os valores calculados a partir de f(x), considerando a dada faixa

de linearização sob análise.

Etapa 3: Verificação dos erros

• Calcular a norma da diferença entre o modelo linearizado na faixa e os modelos

linearizados ponto a ponto definidos pelo vetor M(1c) e guardar a maior destas

diferenças Vmax.

• Caso Vref > Vmax, a largura da faixa sob análise é adequada e deve-se definir

os limites da faixa seguinte, retomando-se a Etapa 2. Caso contrário, a largura

deverá ser diminuída a partir da redução do seu limite superior e a Etapa 2 re-

tomada. Sugere-se aqui adotar um algoritmo do tipo bisseção até se encontrar

um intervalo que atenda o critério de erro. A nova faixa deve ser escolhida

79

como o complemento da união dos intervalos já escolhidos e que atendem esse

critério.

Etapa 4: Solução

• A solução é obtida quando todos os intervalos estiverem definidos e atenderem

o critério de erro.

Deve-se ressaltar que as faixas são escolhidas para cada estado que define a operação

do sistema não-linear.

4.2.2 TRANSIÇÃO ENTRE FAIXAS

Com a propriedade de maior aproximação na técnica de linearização proposta na

seção anterior, pode-se assumir que a norma do erro entre a dinâmica dos modelos não-

linear e linearizados por faixas é inferior à tolerância estabelecida. Esta garantia não

existe no processo de linearização clássica ou Jacobiana, a menos que um número muito

elevado de pontos seja utilizado, o que poderia inviabilizar a implementação prática do

controlador escalonado.

A proximidade das dinâmicas dos modelos linearizados por faixas e do modelo não-

linear não é, no entanto, suficiente para a assegurar um bom comportamento em malha

fechada. É necessário que haja também uma transição suave entre os controladores

projetados para cada faixa. A fim de minimizar a introdução de dinâmicas rápidas

indesejáveis ao sistema em malha fechada, propõe-se aqui uma interpolação particular à

metodologia apresentada na Seção 4.2.1.

Para cada modelo linear particular f(x) calculado especificamente para aproximar a

função não-linear f(x) em determinado intervalo do domínio de x, x0 ≤ x ≤ xm, devem

ser levantados os valores x = x desta variável que tornam verdadeira a expressão:

f(x)|[x0 , xm] = f(x) = a.x + b (4.5)

Como f(x) representa uma curva, o universo de soluções em x de (4.5) apresenta

pelo menos dois valores distintos (ver o exemplo FIG. 4.2). Caso seja obtido mais de dois

valores na solução dessa equação, devem ser considerados somente os valores extremos,

aqui denominados por xi0 e xim, ou seja, os valores que mais se aproximam de x0 e xm

para uma determinada faixa i. Considerando três intervalos adjacentes de linearização,

i ∈ {j − 1, j, j + 1}, j ∈ N, calcula-se, então, os respectivos controladores. Nos intervalos80

em que a planta operar dentro dos limites de [xi0, xim] se propõe adotar um controlador

fixo, ou seja, a interpolação não se faz necessária.

A interpolação deverá ocorrer quando a planta estiver operando dentro dos seguintes

intervalos de domínio de x: [x(j−1)m, xj0] e [xjm, x(j+1)0], conforme ilustra a FIG. 4.4. Um

método numérico pode ser incorporado ao Algoritmo 4.1 para que este forneça também

os valores de xi0 e xim de cada faixa calculada.

FIG. 4.4: Transição entre faixas.

4.3 ESCALONAMENTO DE GANHOS POR IMPOSIÇÃO DA DINÂMICA DE

MALHA FECHADA

Nesta seção, é desenvolvido um estudo voltado ao controle de sistemas não-

estacionários utilizando controladores de estrutura estimação-controle. As matrizes que

definem a dinâmica do sistema não-linear, assim como os ganhos de realimentação e de

estimação de estados, apresentam uma dependência quasi -LPV em relação aos parâme-

tros de interpolação. Estes são endógenos e podem também incluir uma parte exógena,

como mostra a Seção 2.4.1. O método proposto não é geral, sendo aplicável somente a

uma classe de sistemas não-estacionários. Contudo, uma grande quantidade de plantas

de natureza prática se enquadra nessa classe.

81

Teoricamente, não se pode definir pólos e zeros para sistemas não-estacionários. Por

esta razão, propõe-se impor a dinâmica de malha fechada através da alocação dos au-

tovalores de realimentação e de estimação dos estados para toda trajetória possível dos

parâmetros. Busca-se, assim, restringir as possíveis perdas de desempenho quando a

planta evolui em um largo domínio de operação. O objetivo desta metodologia é, então,

proporcionar uma resposta desejada em malha fechada independentemente do ponto ou

faixa de operação.

Uma característica relevante da metodologia de projeto de controladores escalonados

aqui apresentada é o fato de que a lei de interpolação (ou de evolução, neste caso) dos

ganhos é determinada pela própria dinâmica do modelo quasi -LPV da planta, através da

alocação do espectro de autovalores de malha fechada para o conjunto contínuo de mode-

los LTI gerados pela fixação do parâmetro. Desta forma, para variações suficientemente

lentas do parâmetro, a dinâmica não-estacionária do sistema em malha fechada é muito

próxima da desejada.

4.3.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM NÃO-LINEAR

Este estudo trata das dinâmicas que podem ser modeladas, ainda que pelo uso de

uma aproximação por série de Taylor de ordem superior, como:

x = A(x, u)x + W (x, u) + B(x, u)u (4.6)

e a saída dada por

y = C(x, u)x (4.7)

onde x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm é o vetor de de entradas, y(t) ∈ Rp é o vetor de saídas, e

A(x, u), B(x, u) e C(x, u) são matrizes reais de dimensões compatíveis e ainda:

W (x, u) = Wx(x, u)x = Wu(x, u)u (4.8)

onde as matrizes W (x, u), Wx(x, u) e Wu(x, u) também são de dimensões compatíveis.

É importante notar que a matriz W (x, u) representa uma parte das equações da

dinâmica do sistema que pode ser reescrita como Wx(x, u)x ou Wu(x, u)u, de forma

que possa vir a ser somada à A(x, u), à B(x, u), ou ainda parcialmente a ambas as

matrizes sem que haja alteração da dinâmica do modelo. Para facilitar a exposição do

método, considera-se os casos extremos onde a matriz W (x, u) é incorporada a A(x, u)

ou a B(x, u), sem perda de generalidade, usando a notação:

F (x, u) = A(x, u) + Wx(x, u) e E(x, u) = B(x, u) + Wu(x, u)

82

Assim sendo, os modelos:

x = F (x, u)x + B(x, u)u (4.9)

e

x = A(x, u)x + E(x, u)u (4.10)

são equivalentes e representam a mesma dinâmica representada em (4.6).

4.3.2 CONTROLADOR E OBSERVADOR

Uma vez fixado o modelo no qual se pretende trabalhar, (4.9) ou (4.10), agora se

verifica a possibilidade de controlar estes modelos sem a necessidade de os linearizar. Em

outras palavras, buscam-se ganhos não-lineares de realimentação e estimação de estados,

cuja dinâmica varie de forma a manter os autovalores de malha fechada alocados segundo

um determinado critério de desempenho. Embora a dedução dos ganhos possa apresentar

uma maior complexidade matemática incluindo termos cruzados que não aparecem em

malha aberta, tanto nos estados quanto nas entradas, os procedimentos para o seu cálculo

seguem rigorosamente os passos do cálculo de alocação de pólos, bem conhecidos das

técnicas lineares.

Considerando uma realimentação de estados com um ganho dinâmico, a matriz

dinâmica de malha fechada é:

Ac(x, u) = A(x, u)− E(x, u)Kc1(x, u) (4.11)

ou

Fc(x, u) = F (x, u)−B(x, u)Kc2(x, u) (4.12)

onde Kc1 e Kc2 tem dimensões compatíveis com as do modelo quasi -LPV do sistema.

Neste contexto, é possível se empregar todos os cálculos demonstrados em

(KAILATH, 1980) para alocação dos pólos em malha fechada nos valores desejados,

embora a complexidade matemática seja maior. Com isto, a dependência da dinâmica

em malha fechada das variáveis de entrada e dos estados é tão mais atenuada quanto

mais lenta for a variação desses parâmetros. O comportamento do modelo passa a ser

similar ao de um sistema LTI cujos pólos estejam localizados nos valores desejados.

Um raciocínio análogo pode ser empregado para o caso do observador de estados:

Af (x, u) = A(x, u)−Kf1(x, u)C(x, u) (4.13)

83

ou

Ff (x, u) = F (x, u)−Kf2(x, u)C(x, u) (4.14)

onde Kf1 e Kf2 tem as dimensões compatíveis com sistema. Isso implica em um obser-

vador de estados para plantas não-estacionárias.

Combinando (4.11) com (4.13), ou (4.12) com (4.14), e considerando o modelo não-

linear como quasi -LPV, dispõe-se de todos os dados para o cálculo de um controlador do

tipo estimação-controle para a planta não-estacionária.

4.3.3 CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE

Embora os conceitos de controlabilidade e observabilidade de sistemas variantes no

tempo estejam relacionados com as propriedades dos seus respectivos Gramianos, a

hipótese de variação lenta dos parâmetros é considerada válida para aplicação da téc-

nica proposta. Então, pode-se avaliar a inversibilidade das matrizes de controlabilidade

e de observabilidade para cada ponto de uma dada trajetória dos parâmetros, para se

inferir sobre a controlabilidade e a observabilidade do sistema quasi -LPV. Observa-se

que, neste caso, o parâmetro é fortemente dependente dos estados e/ou das entradas, o

que em princípio não invalida a hipótese de variação lenta no contexto quasi -LPV.

Uma vez definido o domínio de operação da planta, pode-se definir as matrizes de

controlabilidade e observabilidade, C(x, u) e O(x, u), respectivamente. Logo, para que o

sistema seja instantaneamente controlável e observável em todo o domínio de variação

dos seus estados e possíveis entradas é necessário que existam as inversas dessas matrizes

para todo esse domínio contínuo. As matrizes C(x, u) e O(x, u) são calculadas segundo

as técnicas aplicáveis a sistemas LTI (KAILATH, 1980).

É mister citar que a escolha de como distribuir as equações que compõem a matriz

W (x, u) (4.8), segundo (4.9) ou (4.10), pode influir fortemente na condição de controla-

bilidade e/ou observabilidade instantâneas dos modelos adotados. Portanto, essa escolha

deve ser criteriosa no sentido de se evitar uma modelagem particular da planta que resulte

na inexistência das inversas de C(x, u), O(x, u) ou no seu mau condicionamento.

Além disso, esta escolha também repercute sobre a amplitude do sinal de controle

incidente na planta. De forma geral, uma vez fixados os autovalores desejados em malha

fechada, quanto maior for a distância dos autovalores do spec[A(x, u)] ou do spec[F (x, u)],

maior será a amplitude do sinal de controle para um dado sinal de entrada de referên-

cia. Em virtude desta observação, é interessante distribuir as equações que compõem

W (x, u) de forma que a matriz dinâmica em malha aberta tenha as trajetórias dos au-

84

tovalores o mais próxima possível dos autovalores desejados de malha fechada, caso isso

não comprometa a existência de C(x, u)−1 e O(x, u)−1.

4.3.4 AJUSTE DO RASTREAMENTO E DO PONTO DE OPERAÇÃO

Ajuste do Rastreamento

Para se obter o ajuste do rastreamento, deve-se proceder de forma similar à usada

para modelos LTI contínuos. Um cuidado especial deverá ser considerado quando existir

dependência das matrizes que compõem o cálculo do ganho de rastreamento (do bloco

em cascata da entrada), aqui dependentes do parâmetro, em relação à resposta: o valor

da saída deverá ser substituído pelo sinal de referência r a ser seguido, o que implica em

se calcular este ajuste como:

{C(x, r) [−A(x, r) + B(x, r)K(x, r)]−1 B(x, r)

}−1(4.15)

Esse procedimento é fundamental, pois a flutuação provocada pela mudança de opera-

ção da planta imposta por uma entrada impõe um ajuste na saída que introduz dinâmicas

indesejáveis ao sistema em malha fechada caso não se tome a referência r no cálculo desse

ganho variante.

Ajuste do Ponto de Operação

Em alguns casos, para o emprego desta metodologia, o modelo quasi -LPV definido

em (4.6) e (4.7) é uma aproximação polinomial. Esta aproximação poderá provocar um

desajuste em relação a um ponto de operação de referência, no caso do problema da

regulação. Como exemplo, para uma entrada nula, um dado modelo apresenta sua saída

em malha fechada diferente de zero, embora próxima deste valor. Neste caso, quando for

julgado necessário, um pequeno ajuste poderá ser feito.

a) Em regime estacionário no ponto de operação que se deseja o ajuste, verificar a

diferença dos valores de saída (ds) e comparar com o valor da referência (dr);

b) Somar à entrada a constante ds − dr. Não se espera que este ajuste resolva o

problema, pois está se trabalhando exatamente com valores nos quais a aproximação

feita é deficiente.

c) Simular e repetir o passo "b" até obter ds∼= dr.

85

4.4 ESCALONAMENTO DE GANHOS POR CANCELAMENTO DE NÃO-

LINEARIDADES

Nesta seção, é proposto um método que objetiva o cancelamento das não-linearidades

através da realimentação de estados. Assim como no caso anterior, é utilizada uma técnica

de alocação de autovalores em malha fechada. Basicamente, a lei de controle proposta

busca anular os efeitos das dinâmicas indesejadas através da reprodução da variação

paramétrica no controlador e impõe o controle sobre a parte linear do modelo. Esse

método também objetiva impedir que variações bruscas sejam inseridas artificialmente na

dinâmica de malha fechada, pois além de anular as não-linearidades através de variações

no controlador, o ganho permanece fixo.

Trabalhos como (ISIDORI, 1981, 1986, 1989; SCHOENWALD, 1992; BANASZUK,

1994; REILLY, 1996; BATTILOTTI, 2004) abordam a linearização por realimentação em

plantas do tipo:x = f(x) +

∑gi(x).ui

y1 = h1(x)...

ym = hm(x)

(4.16)

onde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn são estados, ui ∈ R entradas e as saídas medidas são

yi ∈ R.Aplicando em (4.16) uma mudança de coordenadas do tipo:

z = Φ(x) (4.17)

para

Φ(x) =

φ1(x)

φ2(x)...

φn(x)

(4.18)

os trabalhos mencionados estudam e demonstram como tais sistemas podem ser linea-

rizados em torno de um ponto de operação. A técnica aqui apresentada difere desses

trabalhos mencionados. A abordagem enfatizada neste estudo é particular a uma classe

de plantas que possua um modelo no qual existe uma parte da dinâmica linear e outra

parte não-linear. Sob certas condições, é possível obter um sinal de controle que anule a

dinâmica não-linear, fazendo com que o sistema em malha fechada tenha um comporta-

mento linear.86

4.4.1 MODELAGEM

Este estudo foca modelos descritos que possam ser definidos na forma:

x = Ax + Ww(x, u) + Bu (4.19)

cuja saída é dada por

y = Cx + Du (4.20)

onde x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm é o vetor de de entradas, y(t) ∈ Rp é o vetor de saídas, w(.)

possui n linhas e 1 coluna, e A, W , B, C, D são matrizes reais de dimensões compatíveis.

Não são todos os modelos que possibilitam essa forma de equacionamento e que

podem ser controlados pela técnica proposta nesta seção, como é visto a seguir.

4.4.2 CANCELAMENTO DAS NÃO-LINEARIDADES

Neste estudo, há necessidade de que a tripla (A,B, C) seja controlável e observável.

Pode-se dizer que, para W = 0, o modelo LTI (A,B, C) é um caso particular do modelo

não-linear (4.19). Busca-se verificar se é possível anular as não-estacionariedades (w(.)),

somando ao sinal de controle da parte linear um sinal adicional, de forma que a equação

dinâmica de malha fechada seja da seguinte forma:

x = Ax + Ww(x, u) + B[r −K1x−K2w(x, u)] (4.21)

onde r é a entrada de referência, K1x + K2w(x, u) é o sinal de controle, com Ki ∈ Rm×n,

para i = 1, 2. Reagrupando os termos:

x = (A−BK1)x + (W −BK2)w(x, u) + Br (4.22)

Quando:

W = BK2 (4.23)

os efeitos das não-linearidades são anulados pelo sinal suplementar K2w(x, u). A solução

óbvia aponta para uma matriz B inversível.

Ainda que B não seja inversível, para solucionar (4.23), existe K2 que permite can-

celar as não-linearidades, quando as entradas forem desconectadas para cada efeito não-

linear ou parâmetro variável existente na dinâmica de um determinado estado xi. Em

outra palavras, se a dinâmica de xi é de natureza não-linear, quando existir uma entrada

ui associada ao estado xi exclusivamente, pode-se fazer com que a planta se comporte

como um sistema linear A, B, C e D via realimentação. Essa análise é conduzida caso87

a caso e é de fácil constatação, como ilustra o exemplo da Seção 5.5. Com isto a não-

linearidade é anulada, sendo possível aplicar todo o amplo ferramental disponibilizado

para as plantas lineares neste modelo.

88

5 APLICAÇÕES

5.1 IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS LINEARES USANDO A RESPOSTA DIS-

CRETA NO TEMPO

Nos exemplos desta seção foi utilizado o sinal de entrada discreto v =

{8, 4, 1, 10, 12, 30,−1, 0, 10, 10,−20, 1, 5,−10,−10, 0, 0, 8,−3, 1, 2, 0} apresentado na FIG.

5.1. A largura dos pulsos de entrada para o conjunto v é de 1 segundo. O período de

amostragem usado para a identificação e o tempo total que a planta foi submetida ao

sinal de excitação são particulares a cada exemplo, estando nesses especificados.

Para a validação da identificação é aplicada à planta e ao modelo discreto obtido

uma entrada do tipo degrau unitário. Num tempo total de medição de 10 segundos, com

período de amostragem de 5 milisegundos, é avaliada a diferença entre os dois sinais de

saída com base na norma 2.

A taxa de amostragem de 0, 005 segundos, arbitrada, também é usada em todos os

exemplos desta seção para a medição dos dados de entrada e saída da planta identificada.

Os modelos equivalentes discretos deste capítulo foram obtidos utilizando a técnica

ZOH.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Tempo (s)

FIG. 5.1: Sinal v aplicado as plantas físicas

89

Exemplo 1

Este exemplo é de uma função transferência de segunda ordem, estritamente própria.

A planta pode ser modelada como:

GM1(s) =10s + 10

s2 + 5s + 6(5.1)

A FT discreta equivalente à 5.1, para um período de amostragem de 0, 005s, é:

GM1d(z) =0, 0495z − 0, 0493

z2 − 1, 9752z + 0, 9753(5.2)

O correspondente diagrama de Bode da FT apresentada é:

10−2

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

2

2.5

|GM

1(jw

)|

Freqüência (rad/s)

10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fas

e (g

raus

)


FIG. 5.2: Resposta em freqüência (módulo e fase) da dinâmica da planta

Na TAB. 5.1, a primeira coluna traz a denominação do modelo calculado para um

período de amostragem de 0, 005 segundos: Gm(z) é o modelo identificado diretamente

pela metodologia proposta e Gr(z) é o equivalente modelo reduzido e/ou a projeção

estável (quando foi necessária o uso dessas técnicas). O tempo que o sinal de entrada é

aplicado está na segunda coluna. A terceira coluna mostra o ganho Kv ao qual a entrada

é multiplicada (Kv × v). A quarta coluna traz o custo respectivo. Os custos obtidos

são relativos ao sinal de validação, degrau unitário, imposto por 10 segundos ao modelo

tomado como planta e ao modelo identificado. Esta fato defini a quantidade de amostras

dos vetores utilizado no cálculo da função custo: 2001 amostras.

90

TAB. 5.1: Dados referentes aos modelos identificados de GM1(s)

Modelo Tempo (s) Kv Custo

Gm11(z) 10 0, 1 188, 2248

Gm12(z) 50 0, 1 128, 9441

Gm13(z) 50 1, 5 0, 9179

Gm14(z) 50 5 0, 0828

Gr15(z) 10 0, 1 83, 6623

Gr16(z) 50 0, 1 37, 0100

Gm17(z) 50 1, 5 0,1843

Gm18(z) 50 5 0, 01660

As FT discretas, relacionados na primeira coluna, são:

• Gm11(z) = 0,0495z−0,0486

z2−1,9610z+0,9615

• Gm12(z) = 0,0495z−0,0491

z2−1,9713z+0,9715

• Gm13(z) = 0,04950291940403z−0,04925515277825

z2−1,97514455776172z+0,97529312533261

• Gm14(z) = 0,04950290604650z−0,04925593005728

z2−1,97516022393298z+0,97530840121001

• Gr15(z) = 0,04950150028922z−0,04911644336826

z2−1,97229907240304z+0,97251800107981

• Gr16(z) = 0,04950354453251z−0,04921746938149

z2−1,97438668370996z+0,97455416477862

• Gm17(z) = 0,04950290757149z2−0,01626168765238z−0,03282947211210

z3−1,30864904330177z2−0,34115480929911z+0,65005087042431

• Gm18(z) = 0,04950290498158z2−0,01626181986433z−0,03282960139235

z3−1,30865165700456z2−0,34115487432492z+0,65005341878700

Os modelos identificados ou sua respectiva redução que não constam na TAB. 5.1

são apresentado no Apêndice 8.2 deste trabalho.

A saída medida da planta, a resposta do modelo e o erro entre estas, para um mesmo

sinal de entrada, dos modelos Gm1 1(z), Gm

12(z), Gm13(z) e Gm

14(z) estão na FIG. 5.3. A

entrada aplicada é o degrau unitário no primeiro segundo. Para os modelos Gr15(z),

Gr16(z), Gm

17(z) e Gm18(z), as curvas citadas estão na FIG. 5.4.

91

0 2 4 6 8 100

20

40

60

Tempo (s)

Saí

da

PlantaModelo

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

Tempo (s)

Err

o

0 2 4 6 8 100

20

40

60

Tempo (s)

Saí

da

PlantaModelo

0 2 4 6 8 10−4

−2

0

2

Tempo (s)

Err

o

(A) (B)

0 2 4 6 8 100

20

40

60

Tempo (s)

Saí

da

PlantaModelo

0 2 4 6 8 10−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

Tempo (s)

Err

o

0 2 4 6 8 100

20

40

60

Tempo (s)

Saí

daPlantaModelo

0 2 4 6 8 10−3

−2

−1

0

1x 10

−3

Tempo (s)

Err

o

(C) (D)

FIG. 5.3: Curvas de respostas ao degrau para: planta e modelo. Curva de erro entre asrespostas do modelo e da planta: (A) Gm

11(z), (B) Gm12(z), (C) Gm

13(z) e (D) Gm14(z).

92

0 2 4 6 8 100

20

40

60

Tempo (s)

Saí

da

PlantaModelo

0 2 4 6 8 10−3

−2

−1

0

1

2

Tempo (s)

Err

o

0 2 4 6 8 100

20

40

60

Tempo (s)

Saí

da

PlantaModelo

0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Tempo (s)

Err

o

(A) (B)

0 2 4 6 8 100

20

40

60

Tempo (s)

Saí

da

PlantaModelo

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2x 10

−3

Tempo (s)

Err

o

0 2 4 6 8 100

20

40

60

Tempo (s)

Saí

daPlantaModelo

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2x 10

−4

Tempo (s)

Err

o

(C) (D)

FIG. 5.4: Curvas de respostas ao degrau para: planta e modelo. Curva de erro entre asrespostas do modelo e da planta: (A) Gr

15(z), (B) Gr16(z), (C) Gm

17(z) e (D) Gm18(z).

93

Exemplo 2

Este exemplo é de uma função transferência de sétima ordem estritamente própria.

A planta contínua é descrita na TAB. 5.2 e seu equivalente discreto na TAB. 5.3.

TAB. 5.2: Valores dos coeficientes da FT contínua da planta utilizada

Graus em s Coeficientes do numerador Coeficientes do denominador

s7 0,1 1s6 4,753 16,82s5 90,01275 252,6691s4 863,2453825 2476,872788s3 4417,86362625 13659,19997939s2 11761,8216175 59044,409874979s1 14942,80380125 131354,017942688s0 6958,3200225 87580,350142506

TAB. 5.3: Valores dos coeficientes da FT discreta da planta utilizada

Graus em z Coeficientes do numerador Coeficientes do denominador

z7 0,1 1z6 -0,67580254321921 -6,91313222834198z5 1,95709308517528 20,48530559630960z4 -3,14831939251784 -33,72923096678250z3 3,03840030958530 33,32652110431409z2 -1,75917724122000 -19,76024986739179z1 0,56578095741999 6,51012567946567z0 -0,07797517522301 -0,91933931756652

94

O correspondente diagrama de Bode da FT apresentada é:

10−2

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

|G(jw

)|


10−2

10−1

100

101

102

−100

−50

0

50

100

Fas

e (g

raus

)


FIG. 5.5: Resposta em freqüência (módulo e fase) da dinâmica da planta

Na TAB. 5.4, a primeira coluna traz a enumeração das identificações realizadas para

a planta descrita. O tempo que o sinal de entrada é aplicado está na segunda coluna. A

terceira coluna mostra o sinal de identificação aplicado (Si): v para o conjunto de mesmo

nome já definido e d para o degrau unitário aplicado no primeiro segundo de medição.

A quarta coluna apresenta o sinal de validação do modelo identificado (Svd): v ou d.

Na quinta coluna encontra-se o ganho Kv ao qual o sinal v é multiplicado (Kv × v). A

sexta coluna traz a função de transferência discreta identificada, para um período de

amostragem τ . A função de transferência discreta de ordem reduzida, quando é possível,

está na sétima coluna. O número de amostras (Na) usados para o cálculo do valor da

função custo está apresentado na oitava coluna. Na nona coluna encontra-se o período

de amostragem τ em segundos.

TAB. 5.4: Dados referentes aos modelos identificados

Modelo Tempo (s) Si Svd Kv Gm(z) Gr(z) Na τ(s)

1.1 10 v d 0, 1 Gm21(z) Gr

21(z) 2001 0, 005

1.2 50 v d 5.109 Gm22(z) Gr

22(z) 10001 0, 005

1.3 50 v d 5 Gm23(z) Gr

23(z) 10001 0, 005

1.4 10 d v 0, 1 Gm24(z) Gr

24(z) 101 0, 1

95

Na TAB. 5.5, a primeira coluna traz o modelo identificado ou a redução do mesmo.

A ordem do modelo está na segunda coluna. A terceira coluna mostra o custo obtido

para o sinal de validação.

TAB. 5.5: Custos referentes aos modelos identificados

Gm(z) Ordem Custo

Gm21(z) 7 48, 5521

Gr21(z) 3 48, 4820

Gm22(z) 7 39, 9053

Gr22(z) 4 39.9048

Gm23(z) 15 1, 7758

Gr23(z) 4 1, 7740

Gm24(z) 4 0, 0082

Gr24(z) 4 0, 0082

Os únicos vetores para o cálculo da função custo que apresentam uma mesma quan-

tidade de amostras são relativos aos modelos 1.2 e 1.3 (10001 amostras). Logo, os valores

da terceira coluna não deve ser tomados como termo de comparação para avaliação do

melhor ajuste entre os modelos identificados. Contudo, nos gráficos apresentados, as

diferenças nos ajustes ficam evidentes e podem ser comparados.

As FT discretas identificadas, indicadas na TAB. 5.4, estão relacionadas no Apêndice

8.2 deste trabalho.

A saída medida da planta, as respostas dos modelos 1.1, 1.2, 1.3 e o erro entre a

medida e a estimação, para o degrau unitário aplicado no primeiro segundo às entradas,

estão na FIG. 5.6.

96

0 2 4 6 8 10−5

0

5

10

15

Tempo (s)

Saí

da

Planta

Modelo

0 2 4 6 8 10−5

0

5

10

Tempo (s)

Err

o

(A)

0 2 4 6 8 10−5

0

5

10

15

Tempo (s)

Saí

da

Planta

Modelo

0 2 4 6 8 10−4

−2

0

2

4

Tempo (s)

Err

o

(B)

0 2 4 6 8 10−5

0

5

10

15

Tempo (s)

Saí

da

Planta

Modelo

0 2 4 6 8 10−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Tempo (s)

Err

o

(C)

FIG. 5.6: Curvas de respostas ao degrau para: planta e modelo. Curva de erro entre asrespostas do modelo e da planta: (A) Gr

21(z), (B) Gr22(z) e (C) Gr

23(z).

97

0 5 10 15 20−2

−1

0

1

Tempo (s)S

aída

PlantaModelo

0 5 10 15 20−4

−2

0

2x 10

−3

Tempo (s)

Err

o

FIG. 5.7: Curvas de respostas ao sinal v para: planta e modelo. Curva de erro entre asrespostas medida e estimada: Gr

24(z)

Os exemplos aqui expostos evidenciam três fatores que contribuem para uma iden-

tificação com melhor ajuste. Dois destes já foram abordados na Seção 3.3: multiplicar

a entrada por uma constante e aplicar um somatório de degraus (trem de pulsos). O

terceiro fator fica claro no modelo 1.3. Neste caso, o maior número de pólos e zeros

contribuiu decisivamente para a queda do valor do custo11.

Na análise da Seção 3.3 foi mostrado como o período de amostragem τ influi no

condicionamento numérico da solução da técnica de identificação aqui proposta. Em

poucas palavras, um τ muito pequeno implica em poucos algarismos armazenados com-

putacionalmente que diferencie as posições de pólos e zeros, o que repercute diretamente

no cálculo dos coeficientes da FT. Outro fator, além do aumento do grau de liberdade

da solução, pode ser apontado na contribuição de um ajuste de custo mais adequado.

Para ajudar a clarificar o que aconteceu no modelo 1.3, pode-se considerar uma pequena

operação literal com 3 pólos (ou zeros).

Para |ni| ¿ 1, i ∈ N e ni ∈ C:

[z − (1− n1)].[z − (1− n2)].[z − (1− n3)] =

= [z2 − (2− n1 − n2)z + (1− n1 − n2 + n1n2)].[z − (1− n3)] =

= z3 − (3− n4)z2 + (3− n5)z − (1− n6)

(5.3)

11Comparar com o modelo 1.2, onde a constante que multiplica o sinal de entrada é significativamente

maior, τ e a quantidade de amostras consideradas permanecem inalterados.

98

onde n4 = n1 + n2 + n3, n5 = 2n1 + 2n2 + 2n3− n1n2, n6 = n1 + n2 + n3− n1n2− n1n3−n2n3 + n1n2n3.

Neste exemplo simples, para três valores de pólos (ou zeros) de módulo aproximada-

mente igual a 1, é explicito que os coeficientes irão gradualmente tendo uma variação

de ni devido as somas e multiplicações. No modelo 1.3, estas alterações provocaram um

gradual aumento das posições relativas das casas decimais dos coeficientes da FT dis-

creta levantada (ordem 15). Em conseqüência, obteve-se uma melhor estimativa da FT

identificada.

5.2 IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS LINEARES USANDO A RESPOSTA EM

FREQÜÊNCIA

Em todos os exemplos acadêmicos desta seção, os dados amostrados foram obtidos

usando as funções de transferência que representam as plantas a serem identificadas. Para

a geração desses dados foi utilizado um vetor de freqüência, com 200 pontos, com o li-

mite superior de 6, 28308943338034.102 rad/seg e limite inferior de 0, 00009587379924.102

rad/seg, espaçados logaritmamente (base 10).

As tabelas com os valores dos custos das funções identificadas apresentam também

os resultados obtidos pela metodologia desenvolvida em (VALLE, 2005), cujos modelos

são indicados pela referência GRV .

Como nos exemplo precedentes, Gmi (s) é o modelo identificado e Gr

i (s) é o modelo

reduzido, quando possível, fazendo a projeção de Gmi (s) em uma soma de funções de

transferência estável e instável, porém desprezando-se em seguida a parte instável nesta

soma.

Exemplo 3

Este exemplo é de uma FT de segunda ordem estritamente própria. A planta tem a

seguinte modelagem:

GM3(s) =10s + 10

s2 + 5s + 6(5.4)

A TAB. 5.6 indica os valores dos custos calculados relativos a cada modelo identifi-

cado.

99

TAB. 5.6: Valores da função custo da FT GM3(s)

Modelo Ordem Custo

GRV (s) 2 8, 02914859270.10−3

GRV (s) 3 3, 11240181717.10−3

Gm31(s) 2 8, 6158694479621.10−4

Gm32(s) 3 6, 0310179151198.10−4

Gr32(s) 2 5, 9070667856717.10−4

Os modelos identificados nesta metodologia, indicados na TAB. 5.6, estão caracteri-

zados pelas FT apresentadas a seguir:

• Gm31(s) = 10,00000011166216s+9,99622103937097

s2+4,99963355793166s+5,99799440945547

• Gm32(s) = 10,00000000036061s2+4,84639011640609s−5,15181126472957

s3+4,48463901743252s2+3,42336739684553s−3,09121075307096

• Gr32(s) = 9,99999892482393s+9,99881332710704

s2+4,99988193165595s+5,99952113408498

A FIG. 5.8 corresponde à resposta em freqüência do modelo identificado Gr32(s), bem

como a resposta em freqüência da dinâmica de (5.4).

10−2

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

2

2.5

|GM

3(jw

)|


10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fas

e (g

raus

)


ModeloAmostras

FIG. 5.8: Resposta em freqüência (módulo e fase): comparação entre a planta e omodelo Gr

32(s).

100

Exemplo 4


seguinte modelagem:

GM4(s) =5

s2 + 2s + 2(5.5)


cado.


Modelo Ordem Custo

GRV (s) 2 1, 665092433651023.10−4

GRV (s) 3 1, 542191623292908.10−4

Gm41(s) 2 8, 222305128202556.10−5

Gm42(s) 3 7, 0287026427989.10−5

Gr42(s) 2 8, 6557550461710.10−5



• Gm41(s) = 0,00000000495838s+4,99994016380416

s2+1,99996475536416s+1,99997627463195

• Gm42(s) = 0,00000000001826s2+4,99999999963070s−0,88235020688053

s3+1,82352919843854s2+1,64705061487628s−0,35293969689422

• Gm42(s) = −0,00000112543695s+4,99999755011403

s2+1,99999977646143s+1,99999173147407

A figura 5.9 corresponde à resposta em freqüência do modelo Gm42(s), bem como a

resposta em freqüência da dinâmica de (5.5).

101

10−2

10−1

100

101

102

0

1

2

3

|GM

4(jw

)|Freqüência (rad/s)

10−2

10−1

100

101

102

−200

−150

−100

−50

0

Fas

e (g

raus

)


ModeloAmostras

FIG. 5.9: Resposta em freqüência (módulo e fase): comparação entre a planta e omodelo Gm

42(s).

Exemplo 5

Este exemplo é de uma função de transferência de primeira ordem biprópria. A

planta tem a seguinte modelagem:

GM5(s) =3s + 3

s + 4(5.6)

A TAB. 5.8 indica os valores do custos calculados relativos a cada modelo identificado.


Modelo Ordem Custo

GRV (s) 1 6, 39286642765.10−3

GRV (s) 2 4, 29458769714844.10−4

Gm51(s) 1 1, 343410171025567.10−4

Gm52(s) 2 1, 0734589783276.10−4

Gr52(s) 1 2, 902658582329.10−5



• Gm51(s) = 2,99999999108632s+2,99991937462496

s+3,99996301493381

• Gm52(s) = 2,99999999993276s2+1,88570122262619s−1,11426791862194

s2+3,62856707328157s−1,48571674632358

102

• Gr52(s) = 2,99999999993276s+2,99998589668518

s+3,99999657765266

A FIG. 5.10 corresponde à resposta em freqüência do modelo Gr52(s), bem como à


10−2

10−1

100

101

102

1

2

3|G

M5(

jw)|


10−2

10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

Fas

e (g

raus

)


ModeloAmostras

FIG. 5.10: Resposta em freqüência (módulo e fase): comparação entre a planta e omodelo Gr

52(s).

Exemplo 6

Este exemplo é de uma função de transferência de primeira ordem biprópria e com

fase não mínima. A planta tem a seguinte modelagem:

GM6(s) =3s− 3

s + 4(5.7)


cado.


Modelo Ordem Custo

GRV (s) 1 1, 065477737936.10−2

GRV (s) 2 7, 160967685960582.10−4

Gm61(s) 1 3, 343933313214873.10−5

Gm62(s) 2 2, 144420689634599.10−5


zados pelas FT apresentadas a seguir:103

• Gm61(s) = 2,99999999861816s−2,99998660896572

s+3,99999840291869

• Gm62(s) = 3,00000000001550s2−2,57142791023567s−0,42857004759117

s2+4,14285736307514s+0,57142905621459

A figura 5.11 corresponde a resposta em freqüência do modelo Gm62(s), bem como a


10−2

10−1

100

101

102

0

1

2

3

|GM

6(jw

)|


10−2

10−1

100

101

102

0

50

100

150

200

Fas

e (g

raus

)


ModeloAmostras

FIG. 5.11: Resposta em freqüência (módulo e fase): comparação entre a planta e omodelo Gm

62(s).

Exemplo 7


seguinte modelagem:

GM7(s) =10s− 20

s2 + 5s + 6(5.8)

A TAB. 5.10 indica os valores do custos calculados relativos a cada modelo.


Modelo Ordem Custo

GRV (s) 2 1, 369916888852.10−2

GRV (s) 3 7, 101343929997529.10−4

Gm71(s) 2 1, 872075101508796.10−4

Gm72(s) 3 8, 513035968792272.10−5

Os modelos identificados nesta metodologia, indicados na TAB. 5.10, estão caracte-

rizados pelas FT apresentadas a seguir:104

• Gm71(s) = 10,00000002291290s−19,99982589474207

s2+5,00001165296947s+5,99996457647605

• Gm72(s) = 10,00000000013230s2−17,06403865886867s−5,87187378726888

s3+5,29359613312761s2+7,46798279990970s+1,76156678510554

A FIG. 5.12 corresponde à resposta em freqüência do modelo Gm72(s), bem como à


10−2

10−1

100

101

102

0

1

2

3

|GM

7(jw

)|


10−2

10−1

100

101

102

−100

0

100

200

Fas

e (g

raus

)


ModeloAmostras

FIG. 5.12: Resposta em freqüência: comparação das amostras com os valores fornecidospelo modelo Gm

72(s).

Exemplo 8

Este exemplo é de uma função de transferência de sétima ordem biprópria. A mode-

lagem da planta apresenta os seguintes coeficientes em sua função transferência:

TAB. 5.11: Valores dos coeficientes da FT


s7 0,1 1s6 4,753 16,82s5 90,01275 252,6691s4 863,2453825 2476,872788s3 4417,86362625 13659,19997939s2 11761,8216175 59044,409874979s1 14942,80380125 131354,017942688s0 6958,3200225 87580,350142506

105

Para uma melhor compreensão das identificações realizadas e dos custos obtidos, é

interessante verificar os Valores Singulares de Hankel associados à dinâmica da FT a ser

identificada. Estes valores foram obtidos usando o programa hksv do MATLAB 7.

Vh =

0, 79721577798123

0, 72170563888440

0, 26836386727286

0, 18257863242876

0, 00003739624354

0, 00003103517113

0, 00000680622801

Dentro da técnica sugerida, são identificados três modelos com ordens 4, 5 e 7. Os

coeficientes das FT dos modelos aqui levantados estão no Apêndice 8.2 deste trabalho.

TAB. 5.12: Comparativo de custos

Modelo Ordem Custo

GRV (s) 5 0,05609556083041GRV (s) 7 0,01753429577575Gm

81(s) 4 0, 00114170230673

Gm82(s) 5 0,03273684616308

Gr82(s) 4 0,00401288963516

Gm83(s) 7 0,42484749560738

Gr83(s) 6 0,37731525807160

Neste exemplo se pode verificar que o melhor ajuste ocorre quando a quantidade

de pólos do modelo identificado foi arbitrado em 4, ordem que o modelo usado como

planta pode obter boa aproximação. Para um maior número de pólos arbitrados, mesmo

quando este número ficou limitado à quantidade de pólos da FT original (TAB. 5.12), o

algoritmo se mostrou sensível ao aumento do grau de liberdade, deteriorando o ajuste da

FT identificada.

106

10−2

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

|G(jw

)|


10−2

10−1

100

101

102

−100

−50

0

50

100

Fas

e (g

raus

)


ModeloAmostras

(A)

10−2

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

|G(jw

)|


10−2

10−1

100

101

102

−100

−50

0

50

100

Fas

e (g

raus

)


ModeloAmostras

(B)

10−2

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

|G(jw

)|


10−2

10−1

100

101

102

−100

−50

0

50

100

Fas

e (g

raus

)


ModeloAmostras

(C)

FIG. 5.13: Resposta em freqüência. Comparação das amostras com os valoresfornecidos pelos modelos (A) Gm

81(s), (B) Gr82(s) e (C) Gr

83(s).

107

5.3 IDENTIFICAÇÃO QUASI -LPV

O presente exemplo baseia-se no modelo não-linear de um míssil ar-ar, onde a veloci-

dade foi considerada constante (M=3). O modelo está no Apêndice 8.1 deste trabalho.

Considerando que já foi levantado o conjunto de modelos LTI contínuos de 29 pontos

de operação, adotou-se a técnica descrita na Seção 3.4.

O conjunto de modelos lineares foi obtido variando o ângulo de ataque de 1o até

29o, de grau em grau. Uma vez estabelecidos os coeficientes que caracterizam o nume-

rador e o denominador de cada ponto de operação, foi levantada uma curva polinomial

parametrizada em α para cada um dos coeficientes das potências em s que caracterizam

a função transferência dos modelos lineares.

Assumindo como modelo genérico linear, no ponto de operação i, para i ∈{1, 2, ..., 29}, a FT assume a forma:

Gi(s) =bi0s

n + bi1sn−1 + ... + bi(n−1)s + bin

sn + ai1sn−1 + ... + ai(n−1)s + ain

(5.9)

Essa modelagem pode ser generalizada e reescrita em forma de equações matriciais,

partindo-se das formas canônicas. Neste exemplo, foi adotada a forma canônica obser-

vador.

xi(t) =

−ai1 1 . . . 0 0

−ai2 0 . . . 0 0...

... . . . ......

−ai(n−1) 0 . . . 0 1

−ain 0 . . . 0 0

x(t) +

bi1

bi2

...

bi(n−1)

bin

u(t)

y(t) =[

1 0 . . . 0 0]x(t)

(5.10)

onde x(t) ∈ Rn, aij e bij ∈ R, u(t) é a entrada e y(t) a saída do sistema SISO. As matrizes

têm dimensões compatíveis.

Generalizando o problema dentro da técnica proposta, a equação geral da planta

quasi -LPV, parametrizada pelo ângulo de ataque α, apresenta a seguinte dinâmica:

108

x(t) =

−a1(α) 1 . . . 0 0

−a2(α) 0 . . . 0 0...

... . . . ......

−a(n−1)(α) 0 . . . 0 1

−an(α) 0 . . . 0 0

x(t) +

b1(α)

b2(α)...

b(n−1)(α)

bn(α)

u(t)

y(t) =[

1 0 . . . 0 0]x(t)

(5.11)

ou ainda:

x(t) = A(α)x(t) + B(α)u(t)

y(t) = Cx(t)(5.12)

Neste exemplo, n = 4 e os polinômios identificados que definem os termos aj(α) e

bj(α) das matrizes A(α) e B(α) são:

a1(α) = 3, 3664.10−2α + 210, 5696

a2(α) = 1, 3113.10−5α4 − 0, 001889α3 − 0, 232776α2 + 19, 4452α + 2, 2594.104

a3(α) = 0, 001405α4 − 0, 1167696α3 − 38, 9809α2 + 3, 3576.103α + 6, 7673.103

a4(α) = −3, 0731.103α2 + 2, 7873.105α− 7, 2898.105

b1(α) = 0

b2(α) = −4, 5850.103

b3(α) = 0

b4(α) = −1, 1915.103α2 + 1, 0997.105α + 3, 1416.106

(5.13)

Para validar o modelo proposto, foi usada uma entrada, conforme a FIG. 5.14, e

comparada a primeira saída da planta, com a correspondente do modelo identificado.

109

0 10 20 30 40 50 60 70−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Tempo(s)

Âng

ulo

Com

anda

do (

º)

FIG. 5.14: Entrada para validação do modelo.

Como resultado, as figuras 5.15 e 5.16 apresentam as saídas medida e estimada.

0 10 20 30 40 50 60 70−150

−100

−50

0

50

100

150

Tempo(s)

Planta

Modelo

FIG. 5.15: Resposta da planta não-linear e do modelo identificado quasi -LPV de ummíssil.

110

35 35.5 36 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Tempo(s)

Planta

Modelo

FIG. 5.16: Resposta da planta não-linear e do modelo identificado quasi -LPV de ummíssil entre 35s e 45s de vôo.

As pequenas diferenças de amplitude entre as respostas do modelo e da planta na FIG.

5.16 são notórias, bem como algumas diferenças de fase. A natureza desta metodologia é

calcada diretamente nos modelos lineares identificados nos pontos de operação da planta.

O que se constata nas curvas das figuras citadas está compatível com as aproximações

feitas de modelos variantes no tempo para LTI.

As diferenças apontadas também aparecem, mesmo em pequenos intervalos de afas-

tamento do ponto de operação, quando se utiliza modelos lineares, em um determinado

ponto de operação, e se compara a saída deste modelo com a resposta da planta. Con-

tudo, tais diferenças não influem significativamente no controle da planta, conforme será

demonstrado em exemplo deste mesmo capítulo na Seção 5.4.

Para reproduzir os resultados aqui apresentados, deverão ser tomados os cuidados de

evitar que a planta do míssil opere com ângulo de ataque com valores modulares inferior

a 2o. Com ângulo nesta faixa os modelos linearizados são instáveis, o que prejudica a

eficiência do método proposto.

111

É possível tentar obter uma função de ajuste para minimizar os erros apontados.

Porém não se pode garantir que essa dinâmica de ajuste seja facilmente incorporada

dentro de alguma técnica de controle já estabelecida.

5.4 CONTROLE DE UM MÍSSIL AR-AR VIA CONTINUAÇÃO DE SUBESPAÇOS

INVARIANTES

Nesta seção, é exemplificada a aplicação da técnica de escalonamento de ganhos

apresentada na Seção 2.5, bem como comparados os resultados da interpolação de con-

troladores quando é feita uma escolha sistemática dos modelos de síntese, como descrito

na Seção 4.2. Um problema realista de pilotage automática de um míssil ar-ar é uti-

lizado para esse fim. O seu modelo não-linear, assim como os dados numéricos, são

disponibilizados em (NICHOLS, 1993) e no Apêndice 8.1.

Mais especificamente, os resultados apresentados em (PELLANDA, 2001) através da

interpolação de realizações balanceadas dos controladores e dos ganhos da sua estrutura

estimação-controle, projetada sobre modelos linearizados em um conjunto de pontos de

operação, são comparados com os resultados desse projeto sobre um conjunto de modelos

linearizados em faixas de operação, conforme proposto na Seção 4.2.

O problema consiste em controlar a aceleração vertical ηc(t) usando um sinal de

controle δc(t) aplicado no profundor. A estrutura de controle em malha fechada é repre-

sentada na FIG. 5.17. A representação dos estados do sistema não-estacionário G(s, θ)

é mostrada em (8.1). Os estados do míssil são o ângulo de ataque α(t), a velocidade

angular em arfagem q(t), o ângulo do profundor δ(t) e sua derivada δ(t). A aceleração

vertical η(t) e a velocidade angular em arfagem são as saídas medidas. As condições

de equilíbrio do sistema são parametrizadas pelo ângulo de ataque (θ = |α|) caso seja

suposto que a velocidade do míssil é constante e igual à Mach 3. Como o modelo do

míssil é simétrico para α = 0, os controladores lineares K(s) são calculados para α ≥ 0

e interpolados em |α|.Em (STILWELL, 1997, 1999), os autores consideraram o método de modelagem

de valores singulares H∞ (H∞ loop shaping), introduzido em (MACFARLANE, 1990),

que incorpora um compromisso entre desempenho e estabilidade robusta para concepção

de controladores LTI. Tal exemplo permite ilustrar outros aspectos desse método, pois

a estrutura do piloto automático não é explicitamente mostrada no diagrama da FIG.

2.1-(a).

Os controladores globais C(s, α) , K(s, α)W (s, α) (FIG. 5.17) são construídos

112

FIG. 5.17: Estrutura de controle para o exemplo do míssil

combinando as funções de ponderação W (s, α) e os controladores H∞ iniciais K(s, α).

Considera-se a síntese LTI para α = [ 0o; 2, 64o ], α = [ 2, 64o; 10, 26o ] e α =

[ 10, 26o; 30o ], faixas selecionadas de operação do parâmetro utilizando o Algoritmo 4.1.

Os controladores K(s, α), calculados pela técnica de síntese H∞ em (MACFARLANE,

1990), dependem do ponto de funcionamento parametrizado por α e são da forma

K(s, α) =

Ap(α) + Bp(α)Kc1(α) + Kf1(α)Cp(α) −Kf1(α)

Kc1(α) 0

(5.14)

onde (Ap, Bp, Cp) são as matrizes de espaço de estado do sistema ponderado (shaped plant)

P (s, α) = W (s, α)G(s, α) e (Kc0, Kf0) são os ganhos de realimentação e do observador de

estado. A função de transferência do filtro é análoga àquela considerada em (STILWELL,

1997, 1999),

W (s, α) =

[g1

s−z1

s0

0 g2s−z2

s−p2

](5.15)

onde os parâmetros dependem de α e estão listados na TAB. 5.13.

TAB. 5.13: Parâmetros do filtro W(s)

α (degrees) g1 z1 g2 z2 p2

1a Faixa 0,15717 -174,23 0,16651 -7,6875 -0,689662a Faixa 0,14188 -183,80 0,20032 -5,6996 -0,876203a Faixa 0,23208 -125,83 0,34126 -3,276 -1,0574

Na aplicação desse método, considera-se primeiro o sistema ponderado P (s, α),

verifica-se quais são as faixas sobre as quais os controladores são projetados (α =

[ 0o; 2, 64o ]; α = [ 2, 64o; 10, 26o ]; α = [ 10, 26o; 30o ]) e calcula-se as transfor-

mações de similaridade T (α). Obtém-se os controladores aumentados Ke(s) que são

113

equivalentes aos controladores H∞ iniciais K(s) (n = nK = 6 e Q(s) = 0). Os con-

troladores globais C(s) = K(s)W (s) e Ce(s) = Ke(s)W (s) são de ordem 8. Os ganhos

dos controladores Kc e Kf , para esse caso, são apresentados na TAB. 5.14. Eles foram

calculados para as faixas de operação tendo sido obtidos através da seleção de partições

dos modos em malha fechada para a primeira faixa α = [ 0o; 2, 64o ] (Seção 2.5.3) e exe-

cutando um procedimento de continuação (Algoritmo 2.1 da Seção 2.5.5) para as faixas

restantes. Pode-se notar que, com algumas exceções para os ganhos do estimador, os

coeficientes são bastante próximos para diferentes faixas de operação.

Note que o filtro W (s) é conectado em cascata com o sistema fazendo parte da trans-

missão direta. Então, é conveniente conservar a estrutura para preservar as propriedades

de síntese LTI quando da interpolação. Este é o caso para Ce(s) uma vez que o filtro é

incorporado à posteriori ao controlador equivalente aumentado.

Ao contrário, nesse exemplo, os controladores LTI equivalentes que comportam pa-

râmetros de Youla dinâmicos e estimadores físicos só podem ser calculados para os con-

troladores globais C(s, α), com nK = 8, n = 4 e nq = 4. A estrutura do filtro seria, neste

caso particular, perdida no processo de interpolação de ganhos e de Q(s). Um contro-

lador interpolado baseado em um tal conjunto de controladores não seria apropriado para

inserção na malha. Entretanto, uma tal estrutura poderia ser explorada indiretamente

para melhorar a estimação física (PELLANDA, 2001).

Os valores dos pólos em malha fechada e sua distribuição para todos os controladores

e os três intervalos de operação são mostrados nas TAB. 5.15 et 5.16, com as seguintes

definiçõesCtr1 , spec(Ap −BpKc1), Obs1 , spec(Ap −Kf1Cp)

Ctr2 , spec(Ap −BpKc2), Obs2 , spec(Ap −Kf2Cp)

Ctr3 , spec(Ap −BpKc3), Obs3 , spec(Ap −Kf3Cp)

Alguns modos quase duplos interferiram na escolha da partição inicial dos pólos. Sua

distribuição é, no entanto, coerente para todos os pontos de operação.

Adota-se as estruturas de controle não-estacionária para Ce(s, α) = Ke(s, α)W (s, α).

Uma interpolação linear dos pólos, zeros, e ganhos de W (s, α) é utilizada de forma a

conservar as propriedades de modelagem dos valores singulares H∞ dentro das zonas de

transições. Três estratégias foram usadas para a interpolação de Ke(s, α) :

a) Os ganhos (Kc(α), Kf (α)) foram linearmente interpolados, enquanto que os out-

ros coeficientes matriciais de Ke(s, α), (Ap(α), Bp(α), Cp(α)), foram calculados via

conexão em série P (s, α) = W (s, α)G(s, α). O modelo linearizado em espaço de

114

estado parametrizado em α (A(α), B(α), C(α)) de G(s, α) foi suposto disponível

em tempo real e utilizado para atualizar o controlador.

b) Uma vez que os controladores LTI são estáveis para todos os pontos de opera-

ção, pôde-se utilizar uma interpolação linear das matrizes da realização balanceada

baseadas nos Gramianos de controlabilidade e observabilidade.

c) A interpolação da faixa 1 para a 2 e da faixa 2 para a 3 ocorre nos intervalos onde o

parâmetro α está entre [ 1, 8o; 4, 5o ] e [ 8, 82o; 14, 82o ], respectivamente. Estes

intervalos foram calculados de acordo com a técnica de linearização proposta. Fora

destes intervalos não há interpolação e os ganhos são mantidos constantes. As

matrizes A(α), B(α) e C(α), que fazem parte do controlador, são atualizadas em

todo o domínio, de forma análoga ao primeiro caso.

Note que o filtro W influencia duplamente Ce.

A FIG. 5.18 mostra a resposta LTI ao degrau para os três pontos de operação esco-

lhidos de forma arbitrária e considerados no controlador escalonado a ser comparado. O

objetivo do escalonamento de ganhos é manter o desempenho a tempo variante o mais

próximo possível do desempenho a tempo invariante apresentado nessa figura.

As FIG. 5.19 e 5.20 mostram as respostas do sistema não-linear em malha fechada,

com os três controladores interpolados, a uma seqüencia de entradas em degrau. A perda

de desempenho em relação ao comportamento estacionário da FIG. 5.18 é nítido, mas

ela é mais destoante para o piloto automático que usa a interpolação das matrizes. Para

este, as respostas no tempo apresentaram uma maior ultrapassagem e um menor fator

de amortecimento. Conforme já apresentado em (PELLANDA, 2001), a interpolação dos

ganhos tem um desempenho mais aproximado da resposta desejada, se comparado com a

interpolação das matrizes. Uma melhor aproximação é obtida com o terceiro controlador

que, além de interpolar os ganhos, usou o sistema de linearização de faixas e a inter-

polação ao fim de cada faixa com o início da faixa seguinte. Constata-se uma melhora

considerável na manutenção de desempenho em malha fechada, para este controlador

interpolado, em especial quando há grandes perturbações para valores maiores de acele-

ração, não sendo constatada piora no desempenho, em relação aos outros controladores,

em nenhum momento. De uma forma geral, a técnica proposta mostra uma menor ultra-

passagem e/ou um menor tempo de acomodação. A FIG. 5.20, que é uma ampliação da

anterior em um dado intervalo, mostra mais claramente esse resultado. Deve-se ressaltar

que a interpolação de matrizes ou de ganhos de controladores LTI projetados para mode-

115

los linearizados em pontos, via continuação de subespaços invariantes, são consideradas

técnicas satisfatórias.

Esse resultado é confirmado pelas FIG. 5.21 e 5.22, que mostram a evolução da ângulo

de ataque, que é também o parâmetro de interpolação. Verifica-se uma larga excursão

desse parâmetro.

Neste exemplo também é possível constatar que, mesmo com a melhoria de desem-

penho para o controlador linearizado em faixas com interpolação dos ganhos, o sinal de

controle não sofreu alteração significativa de amplitude. O fenômeno pode ser visto nas

FIG. 5.23 e 5.24. Observa-se uma discreta atenuação no sinal de controle com a técnica

proposta.

116

TAB. 5.14: Ganhos do controlador e do estimador aumentado

α [Kc]T Kf

0o

a2, 64o

27, 4335−0, 0315−5, 0115−0, 40460, 41230, 0016

1, 0072 −0, 9219−11, 0789 21, 8872−11, 1741 22, 2400−110, 4033 396, 7900−5, 1252 −7, 5098504, 5535 359, 0838

2, 64o

a10, 26o

34, 9753−0, 0337−5, 8022−0, 46900, 46790, 0018

0, 8618 −0, 3907−0, 4491 −0, 0152−0, 6287 0, 3866−191, 4988 433, 5060−5, 7902 −8, 4635677, 6276 385, 1673

10, 26o

a30o

54, 0926−0, 0313−8, 7852−0, 68480, 67510, 0024

0, 3372 0, 45670, 1308 −1, 4901

3, 436.10−3 −1, 1931−129, 5917 340, 2019−9, 1513 −10, 5533

1, 2129.103 −1, 142.102

TAB. 5.15: Pólos em malha fechada

Pólos α = [ 0o 2, 64o ] α = [ 2, 64o 10, 26o ] α = [ 10, 26o 30o ]

1, 2 −102, 23± j110, 07 −101, 59± j110, 40 −98, 588± j116, 213, 4 −104, 46± j107, 77 −104, 22± j108, 02 −102, 88± j109, 745 −97, 273 −88, 516 −107, 326 −20, 675 −20, 746 −36, 313

7, 8 −12, 931± j9, 7525 −14, 126± j11, 423 −16, 142± j11, 2989, 10 −10, 993± j8, 9727 −11, 818± j10, 304 −11, 710± j8, 832411 −0, 6897 −0, 8762 −1, 057212 −0, 6897 −0, 8762 −1, 0574

117

TAB. 5.16: Distribuição dos pólos em malha fechada

Pólos Ctr1 Obs1 Ctr2 Obs2 Ctr3 Obs3

1, 2 * * *3, 4 * * *5 * * *6 * * *

7, 8 * * *9, 10 * * *11 * * *12 * * *

Ctr1 , spec(Ap −BpKc1) Obs1 , spec(Ap −Kf1Cp)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Ace

lera

ção

(g)

Tempo (s)

alfa=0 alfa=15alfa=30

FIG. 5.18: Resposta ao degrau do sistema linearizado em malha fechada em três pontosde operação

118

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Tempo(s)

Interp Ganhos Fx

Interp Ganhos Pt

Interp Matrizes

Referência

FIG. 5.19: Resposta do sistema não-linear em malha fechada para três tipos deinterpolação de controladores - aceleração

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Tempo(s)

Ace

lera

ção(

g)

Interp Ganhos FxInterp Ganhos PtInterp MatrizesReferência

FIG. 5.20: Resposta do sistema não-linear em malha fechada para três tipos deinterpolação de controladores - aceleração: ampliação de parte da FIG. 5.19.

119

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Tempo(s)

Interp Ganhos (L Faixa)

Interp Ganhos (L Ponto)

Interp Matrizes

FIG. 5.21: Resposta do sistema não-linear em malha fechada para três tipos deinterpolação de controladores - ângulo de ataque

3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4

−20

−15

−10

−5

0

Tempo(s)

Interp Ganhos (L Faixa)

Interp Ganhos (L Ponto)

Interp Matrizes

FIG. 5.22: Resposta do sistema não-linear em malha fechada para três tipos deinterpolação de controladores - ângulo de ataque: ampliação de parte da FIG. 5.22

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−30

−20

−10

0

10

20

30

Tempo(s)

Interp Ganhos (L Faixa)Interp Ganhos (L Ponto)Interp Matrizes

FIG. 5.23: Resposta do sistema não-linear em malha fechada para três tipos deinterpolação de controladores - sinal de controle δc

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2

0

5

10

15

20

25

Tempo(s)

Sin

al d

e C

ontr

ole

Interp Ganhos (L Faixa)Interp Ganhos (L Ponto)Interp Matrizes

FIG. 5.24: Resposta do sistema não-linear em malha fechada para três tipos deinterpolação de controladores - sinal de controle δc: ampliação de parte da FIG. 5.23

121

5.5 CONTROLE DE UM SISTEMA DE LEVITAÇÃO MAGNÉTICA POR TÉCNI-

CAS DE ESCALONAMENTO DE GANHOS

Nesta seção, explora-se o comportamento de um sistema do tipo levitador magnético,

em malha fechada, para três tipos de controladores:

• Controlador C1: controlador LTI Proporcional Derivativo (PD) projetado por alo-

cação de pólos de malha fechada.

• Controlador C2: controlador de ganho escalonado por imposição da dinâmica de

malha fechada, projetado conforme a técnica apresentada na Seção 4.3.

• Controlador C3: controlador de ganho escalonado por cancelamento de não-

linearidades, projetado conforme a técnica descrita na Seção 4.4.

O modelo em malha aberta do levitador magnético encontra-se descrito no Apêndice 8.3

desta dissertação.

O objetivo a ser atingido pelo sistema não-linear em malha fechada é reproduzir o

comportamento de malha fechada da planta linear com o controlador linear, que possui

um par de pólos alocados em −30, 51 ± j39, 97. O sinal de entrada, único para todas

simulações, assim como a resposta do sistema linear de referência (rref ) e do sistema

não-linear em malha fechada para os três controladores sob análise, são mostrados na

FIG. 5.25.

De acordo com o padrão de desempenho requerido, o controlador PD (C1) foi proje-

tado para operar com a planta linearizada no ponto x = 0 mm, com seus pólos de malha

fechada alocado em −30, 51±j39, 97. O vetor resposta deste sistema é denominado como

r1.

Os valores complexos −30, 51± j39, 97 adotados para a alocação de pólos no projeto

de C1 são também considerados para a alocação de autovalores nos projetos de C2 e

C3. Os vetores resposta destes sistemas em malha fechada são denominados por r2 e r3,

respectivamente.

A fim ter um padrão numérico de comparação de desempenho baseado na norma 2

da diferença ri−rref (i = 1, 2, 3) entre as respostas, utilizou-se um período de τ = 0, 02s.

Os dados numéricos para essa comparação são os seguintes:

‖r1 − rref‖2 = 0, 0110

‖r2 − rref‖2 = 0, 0035

‖r3 − rref‖2 = 0, 0057

122

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

Tempo em s

Des

loca

men

to (

mm

)

Sist LinearC1C2C3Referência

FIG. 5.25: Comparação das saídas controladas com o sinal de referência.

Observa-se na FIG. 5.25 que quanto maior a perturbação em degrau na entrada, isto

é, quanto mais se afasta do ponto nominal x = 0, pior é o desempenho do controlador

LTI C1 em relação aos controladores escalonados C2 e C3. A variação no tempo destes

controladores tenta compensar os efeitos das não-linearidades. O resultado da figura vem

corroborar os dados numéricos das diferenças de normas das respostas.

Fazendo-se uma análise similar baseada na norma 2 dos sinais de controle (correntes

na entrada da planta - FIG. 5.26), verifica-se:

‖sC1‖2 = 18, 0265

‖sC2‖2 = 10, 9453

‖sC3‖2 = 11, 3550

onde sC1 , sC2 e sC3 são os vetores dos sinais de controle discretizados proporcionados

pelos respectivos controladores. Além disso, observa-se na FIG. 5.26, que os valores de

pico de cada um dos vetores são: sC1 = 8, 2367, sC2 = 3, 5973 e sC3 = 3, 1809. Isso

mostra que os controladores escalonados compensam de maneira satisfatória os efeitos

123

das não-linearidades sem, contudo, aumentar o esforço de controle e provocar riscos de

saturação.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−10

−5

0

5

Tempo em s

C1C2C3

FIG. 5.26: Comparação entre os sinais de controle

Para o projeto dos controladores de ganho escalonado C2 e C3, foi considerada a

seguinte modelagem quasi -LPV:

f(x) = (3, 29553162.104x1 + 483, 237944595)/m

g(x) = (255, 11488730x1 + 2, 03988183)/m

A(x) =

[0 f(x)

g(x) 0

]

B(x) =

[0

g(x)

]

Aa(x) = A(x)2 + 61, 2A(x) + 2528, 5

[1 0

0 1

]

Be(x) = A(x)2 + 300A(x) + 22600I

124

C(x) =[

B(x) A(x)B(x)]

O(x) = I

Kc(x) =[

0 1]C(x)−1Aa(x)

Kf (x) = Be

[0 1

]T

KC31 = [665, 7681 10, 3501]

KC32 = [95246, 578 737, 326]

onde:

• A(x): matriz dinâmica de malha aberta;

• B(x): matriz de entrada;

• Aa(x): matriz do polinômio característico de realimentação de estados (utilizado

em C2);

• Be(x): matriz do polinômio característico do estimador (utilizado em C2);

• C(x): matriz controlabilidade dependente do parâmetro (utilizado em C2);

• O(x): matriz observabilidade dependente do parâmetro (utilizado em C2);

• Kc(x): ganho dinâmico de realimentação de estados (utilizado em C2);

• Kf (x): ganho dinâmico de estimação (utilizado em C2);

• KC31: ganho de realimentação de estados (utilizado em C3);

• KC32: ganho do sinal suplementar (utilizado em C3);

• m: massa da esfera.

Também, nos projetos de C2 e C3, verificou-se que os autovalores de malha fechada

do sistema quasi -LPV são constantes e iguais a −30, 60 ± j39, 90, para toda a faixa

de variação de x das simulações apresentadas nas figuras desta seção. Estes valores

diferem pouco dos valores desejados: −30, 51 ± j39, 97. Contudo, esta variação já era

esperada, devido à aproximação polinomial da função exponencial presente na dinâmica

do sistema.

125

6 CONCLUSÃO

Neste capítulo é apresentado um resumo, do ponto de vista metodológico, das con-

tribuições desta dissertação. É feita uma crítica dos resultados obtidos, bem como ap-

resentadas as perspectivas para futuras investigações, baseadas na experiência adquirida

durante o desenvolvimento deste trabalho.

6.1 CONTRIBUIÇÕES PARA A IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS

O Capítulo 3 apresenta contribuições deste trabalho para a identificação de sistemas.

Inicialmente foi apresentada uma técnica que possibilita a identificação de sistemas

lineares do tipo caixa-preta usando vetores de amostras discretos da entrada e saída da

planta identificada. A manipulação dos dados permitiu a obtenção de uma FT discreta

que replica a saída medida. A técnica ajusta os coeficientes da FT pela minimização do

erro médio quadrático entre a saída estimada do modelo identificado e o sinal medido.

Problemas práticos relativos ao condicionamento numérico dos dados foram apontados e

sugestões para contorná-los foram apresentadas.

Uma segunda técnica de identificação, também aplicável a sistemas lineares do tipo

caixa-preta, foi proposta. Neste caso, além do vetor de amostras discretas da entrada e

da saída, foi necessário extrair destes dados a resposta em freqüência do sistema, como

apresentado em (ADES, 2005). O método identifica uma FT no domínio contínuo, cujos

coeficientes são ajustados pelo uso da técnica dos mínimos quadrados.

Em ambas metodologias sugeridas para identificação de modelos lineares constatou-

se a possibilidade de obtenção de FT não-mínimas e instáveis. Para solucionar esses

problemas, algumas considerações matemáticas na manipulação dos dados resultantes se

mostraram úteis e necessária, resultando na identificação de FT estáveis e mínimas.

A terceira técnica de identificação proposta se aplica a sistemas não-estacionários.

Parte-se da premissa que um conjunto suficientemente grande de modelos LTI é conhecido

para vários pontos de operação da planta. A metodologia é aplicada a plantas do tipo

caixa-cinza, onde é necessário conhecer o parâmetro que torna o sistema variante no

tempo e que seja possível a sua medição. Funções não-lineares dependentes do parâmetro

foram adotadas para os coeficientes da FT, que são também ajustados pela minimização

de um critério quadrático do erro. Ao fim do processo de identificação, obtém-se um

126

modelo quasi -LPV que se iguala aos modelos LTI para valores fixos do parâmetro nos

pontos de operação adotados.

Os métodos de identificação propostos possuem solução analítica e são de simples

aplicação, o que constitui uma grande vantagem. Além disso, os exemplos numéricos

indicaram a sua eficácia, tendo sido obtidos resultados análogos ou superiores aos apre-

sentados por outra técnica teoricamente mais sofisticada.

Finalmente, foi observado um aspecto numérico relevante, que merece destaque: o

ajuste do modelo identificado pelo primeiro método se mostrou conjuntamente sensível

ao tempo de amostragem e ao tipo de sinal de excitação.

6.2 CONTRIBUIÇÕES PARA O CONTROLE POR ESCALONAMENTO DE GA-

NHOS

No Capítulo 4 foi tratada a síntese de controladores para modelos não-lineares ou

LPV que evoluem em grandes faixas de operação. Três metodologias são apresentadas

nesse capítulo.

O primeiro método se baseia no trabalho desenvolvido em (PELLANDA, 2000, 2001,

2002b) e buscou dotá-lo de um procedimento sistemático de escolha da família de modelos

de síntese LTI. Foi apresentado um critério de escolha de subintervalos de interpolação e

de linearização para o modelo não-estacionário considerando toda o domínio de operação.

A técnica se baseia na garantia de um erro máximo entre a dinâmica dos modelos line-

arizados por faixa e a dinâmica do modelo não-linear. Para o conjunto de modelos LTI

calculados, é sintetizada uma família correspondente de controladores robustos. Uma se-

qüência de transformações de similaridade, calculada por um método de continuação de

subespaços invariantes, é aplicada aos controladores robustos originais de modo a obter

um conjunto equivalente com estrutura estimação-controle, que se prestam à interpo-

lação. A metodologia fornece uma transição suave de controladores, de forma que haja

pouca perda de desempenho.

A segunda técnica apresentada trata o problema do escalonamento de ganhos clássico

de uma forma distinta da primeira. O que se propõe é utilizar uma abordagem quasi -

LPV para a modelagem do sistema. A idéia principal é estabelecer uma realimentação

de estados estimados onde os ganhos são dependentes do parâmetro definido no modelo

quasi -LPV. Além disso, os ganhos são calculados como funções do parâmetro, de forma

que o espectro de autovalores da matriz dinâmica de malha fechada seja alocado em

uma posição fixa predefinida para todo o conjunto possível de trajetórias contínuas do

127

parâmetro.

Por fim, é proposto um método que objetiva o cancelamento das não-linearidades

através da realimentação de estados. Assim como no caso anterior, é utilizada uma

técnica de alocação de autovalores em malha fechada. A técnica se aplica a uma classe

restrita de sistemas não-estacionários. Basicamente, a lei de controle proposta busca

anular os efeitos das dinâmicas indesejadas e impõe o controle sobre a parte linear do

modelo. Esse método também objetiva impedir que variações bruscas sejam inseridas

artificialmente na dinâmica de malha fechada.

Todos os métodos de escalonamento de ganhos apresentados foram testados em sis-

temas não-lineares realistas, tendo sido constatadas as suas aplicabilidades e as vantagens

do seu uso. Contudo, as técnicas não são facilmente aplicáveis a sistemas mais complexos,

com um número maior de parâmetros ou de equações não-lineares nos seus modelos. Além

disso, duas delas tem aplicabilidade restrita a algumas classes de modelos não-lineares e

requerem adaptações judiciosas destes. Estas desvantagens são, no entanto, amenizadas

quando se leva em consideração que a maior parte das técnicas clássicas de escalonamento

de ganhos existentes não são facilmente aplicáveis a sistemas complexos.

6.3 PERSPECTIVAS

Com relação às técnicas apresentadas neste trabalho, existem alguns pontos que

merecem atenção e que representam possibilidades de trabalhos futuros.

• Os métodos de identificação desenvolvidos podem ainda ser testados em casos onde

o sinal medido esteja contaminado por ruído.

• Uma contribuição significativa à técnica desenvolvida na Seção 3.4 seria o estudo

da possibilidade de ser suprimida a monitoração do parâmetro que caracteriza o

modelo identificado, se este for endógeno. Devido a esta característica, em princípio,

a metodologia pode gerar o sinal internamente. Isso representaria uma identificação

caixa-preta para o modelo quasi -LPV.

• A identificação de modelos quasi -LPV é uma contribuição interessante deste tra-

balho. É possível desenvolver técnicas que identifiquem diretamente modelos LPV

com dependência LFT ou politópica em relação ao parâmetro. Esses modelos são

muito úteis para a síntese de controladores escalonados por técnicas LPV.

• No contexto da interpolação clássica de controladores preconcebidos, utiliza-se nor-

malmente uma transição linear. A busca de caminhos alternativos para a interpo-128

lação de ganhos da estrutura estimação-controle que conduzam a uma certa insen-

sibilidade às suas variações do ponto de vista entrada-saída é uma via de pesquisa

pouco explorada na literatura de controle.

• Uma comparação entre os três métodos de escalonamento de ganhos e com outras

técnicas não discutidas neste trabalho, é uma tarefa a ser executada.

• Estender as técnicas de escalonamento de ganhos para sistemas multivariáveis e

discretos pode ser uma complementação interessante.

129

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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135

8 APÊNDICES

136

8.1 APÊNDICE 1: MODELO DO MÍSSIL

O problema de guiagem do canal vertical de um míssil ar-ar, abordado no Capítulo

5, baseia-se no sistema não-linear apresentado em (REICHERT, 1992; NICHOLS, 1993)

e descrito na seqüência.

Os valores e as unidades das constantes presentes no modelo do míssil estão rela-

cionados abaixo (REICHERT, 1992; NICHOLS, 1993):

Kα = 0.7P0180Sπmvs

Kq = 0.7P0180SdπIy

Kz = 0.7P0S

mg

Ax = 0.7P0SCa

m

P0 = 973.3 lbs/ft2 - pressão estática a 20 000 ft

S = 0.44 ft2 - superfície de referência

m = 13.98 slugs - massa

vs = 1036.4 ft/s - velocidade do som a 20 000 ft

d = 0.75 ft - diâmetro

Iy = 182.5 slug.ft2 - momento de inércia em arfagem

Ca = −0.3 - coeficiente de arrasto

ζ = 0.7 - fator de amortecimento do atuador

ωa = 150 rad/s - freqüência natural não-amortecidada do atuador

g = 32.2 ft/s2 - constante de gravidade

an = 0.000103 graus−3 am = 0.000215 graus−3

bn = −0.00945 graus−2 bm = −0.0195 graus−2

cn = −0.1696 graus−1 cm = 0.051 graus−1

dn = −0.034 graus−1 dm = −0.206 graus−1

137

X cpδ X > 0 sistema instávelcp

vetor de velocidade

vetor de elevaçãoelevação da cauda

X < 0 sistema estávelcp

αângulode ataque

ângulo do profundor

centro de gravidade centro de pressão

FIG. 8.1: Diagrama físico do míssil

O modelo do eixo de elevação do míssil, ilustrado na FIG. 8.1, envolve o ângulo de

ataque α(t) (em ◦), a velocidade angular em arfagem q(t) (em ◦/s), o ângulo do profundor

δ(t) (em ◦) e sua derivada δ(t) (em ◦/s). A aceleração normal vertical η(t) (em g) e a

velocidade angular em arfagem são as saídas medidas. Uma descrição quasi-LPV do

modelo do míssil e do atuador é dada por:

α

q

δ

δ

=

Zα 1 Zδ 0

Mα 0 Mδ 0

0 0 0 1

0 0 −ω2a −2ζωa

α

q

δ

δ

+

0

0

0

ω2a

δc

[η

q

]=

[Nα 0 Nδ 0

0 1 0 0

]

α

q

δ

δ

(8.1)

onde

Zα = KαM cos α (anα2 + bn|α|+ cn(2−M/3))

Zδ = KαM cos α dn

Mα = KqM2 (amα2 + bm|α|+ cm(−7 + 8M/3))

Mδ = KqM2dm

Nα = KzM2 (anα2 + bn|α|+ cn(2−M/3))

Nδ = KzM2dn

(8.2)

A descrição não-linear acima representa um míssil voando a uma altitude de 20000

ft. É suposto verdadeiro o desacoplamento dos eixos de rumo e de rolagem.138

A dinâmica da planta pode ser parametrizada por α(t) e M(t), onde o número de

Mach M(t) é uma variável exógena. Devido à simetria do míssil em torno de α = 0,

controladores são projetados para α ≥ 0 e interpolados em |α(t)| e M(t), ou θ(t) =

[|α(t)|, M(t)]T .

Para simulações não-lineares e não-estacionárias, a trajetória temporal do número de

Mach é gerada por

M =1

vs

[−|η| sin(|α|) + AxM2 cos(α)

](8.3)

com M(0) = 4 como um perfil realista, como em (NICHOLS, 1993).

139

8.2 APÊNDICE 2: MODELOS LINEARES IDENTIFICADOS

• Gr11(z) = Gm

11(z)

• Gr12(z) = Gm

12(z)

• Gr13(z) = Gm

13(z)

• Gr14(z) = Gm

14(z)

• Gm15(z) = 0,04950150028922z2−0,01614040694779z−0,03271952599199

z3−1,30626734129036z2−0,34109576438472z+0,64772784779743

• Gm16(z) = 0,04950354453251z2−0,01622916422366z−0,03279766962922

z3−1,30800608617206z2−0,34113881328291z+0,64942398665823

• Gr17(z) = 0,04950290757149z−0.04925583555764

z2−1,97515832655574z+0,97530655124666

• Gr18(z) = 0,04950290498158z−0,04925599150817

z2−1,97516146313926z+0,97530960955677

TAB. 8.1: Valores dos coeficientes da FT Gm21(z)


z7 0,09994056772890 1z6 -0,08606556006252 -1,01583596455477z5 -0,04297535274090 -0,43006525404615z4 -0,00832012437565 -0,01622042321447z3 0,01493943961896 0,22056999286446z2 0,02370524493145 0,27562612447542z1 0,01484957953608 0,14494925398394z0 -0,01575333496272 -0,17486682191075

TAB. 8.2: Valores dos coeficientes da FT Gr21(z)


z3 0,09994056772890 1z2 -0,24285234034599 -2,57279809923296z1 0,19381783379975 2,15291103836761z0 -0,05084455783893 -0,57930627117792

140



z7 0,10000324302328 1z6 -0,21566066548438 -2,31166057975892z5 0,06083387070139 0,80896361264880z4 0,07706066967685 0,84999690396296z3 0,03450422028984 0,29375174201215z2 -0,02674762056180 -0,36566199002611z1 -0,06799132679234 -0,72341046003767z0 0,03799874353338 0,44804385533653



z4 0.10000324302328 1z3 -0.37294026756444 -3.88443512033357z2 0.52151902596859 5.65976920269300z1 -0.32411604060207 -3.66592768344410z0 0.07553430089659 0.89059892689331

141



z15 0,10000209457894 1z14 -0,10113143078328 -1,16639595695617z13 -0,04108313745854 -0,38781509208806z12 -0,00947105803537 -0,01059232042565z11 0,00847431750173 0,17247813392812z10 0,01623852890181 0,22506658278363z9 0,01900274846828 0,21876916117049z8 0,01691603774180 0,16413162943337z7 0,01301309603378 0,09908415635267z6 0,00654462155674 0,01800155941323z5 -0,00137797085309 -0,06518916979802z4 -0,00890146258836 -0,13137563427265z3 -0,01556653854061 -0,17838765081544z2 -0,01592297128421 -0,15452814065485z1 -0,00633343759552 -0,03429602746180z0 0,01960505691829 0,23115707077226



z4 0,10000209457894 1z3 -0,38158983368371 -3,97094580549617z2 0,54589140897210 5,91688491371750z1 -0,34699414016830 -3,92087879117162z0 0,08269064420559 0,97494190007441

TAB. 8.7: Valores dos coeficientes da FT Gm24(z) = Gr

24(z)


z4 0,09999996091961 1z3 0,07557471500680 -2,31788726012157z2 -0,34209668578165 2,76405692271227z 0,24004472255384 -1,81456386497634z0 -0,05412366295438 0,61261946201281

142

TAB. 8.8: Valores dos coeficientes da FT Gm81(s)


s4 0,100000000019 1s3 3,559261194897 4,88261197345s2 44,065817853652 159,79688533644s1 211,641443239558 375,74404367114s0 279,859916308965 3525,23239538712



s5 0,099999999997 1s4 3,545152400109 4,74152446811s3 43,565275974116 159,12434852911s2 205,483217599831 353,43948662078s1 250,871276216287 3475,00449293541s0 -40,040168369402 -476,00239481585

TAB. 8.10: Valores dos coeficientes da FT Gr82(s)


s4 0,099999999997 1s3 3,559300542403 4,87653626641s2 44,048978476956 159,78273845992s1 211,533722831513 375,01204147754s0 279,673443251354 3525,63554303942

143



s7 0,100000000075 1s6 3,660859658761 5,89859588099s5 47,663507019104 164,57268696623s4 255,748921460203 537,24106475674s3 486,827825951954 3879,50285078770s2 261,090865013284 3528,41880950224s1 -74,542118554929 -533,56060769679s0 -2,999610751776 -169,44791044336

TAB. 8.12: Valores dos coeficientes da FT Gr83(s)


s6 0,100000000075 1s5 3,684469738535 6,15803792308s4 48,605037385856 166,17034090025s3 267,971243650193 580,35263733440s2 554,996077026532 4030,07072414902s1 395,674141374724 4573,98858793540s0 17,437157086037 653,12433204538

144

8.3 APÊNDICE 3: LINEARIZAÇÃO DO MODELO DE UM LEVITADOR MAG-

NÉTICO

A FIG. 8.2 mostra fotos do sistema de levitação magnética de uma esfera de aço

implementado no Laboratório de Controle do Instituto Militar de Engenharia. A força

eletromagnética é usada para levitar uma esfera de metal. As variáveis utilizadas no

modelo matemático são mostradas na FIG. 8.2.

FIG. 8.2: Sistema de levitação magnética de uma esfera de aço

A equação de movimento da esfera, derivada da Segunda Lei de Newton, é encontrada

da seguinte maneira:∑

F = ma = mx =⇒ f(x, i)−mg = mx (8.4)

145

−4

−2

0

2

4

−1−0.5

00.5

10

2

4

6

8

10

x(mm)i(A)

For

ça(N

)

FIG. 8.3: Valores medidos experimentalmente em laboratório: f(N)× x(mm)× i(A)

onde f(x, i) é a força de sentido contrário à da gravidade ocasionada pelo campo eletro-

magnético do levitador, m é a massa e x é a posição da esfera, g é a aceleração da

gravidade e i é a corrente na bobina do levitador.

A não-linearidade do problema se encontra no fato de que, teoricamente, a força

eletromagnética decai numa relação inversamente proporcional ao quadrado da distância.

A relação exata é difícil de ser encontrada através de princípios físicos, tendo em vista a

grande complexidade da teoria eletromagnética.

Experimentalmente, foram levantados os dados constantes na FIG. 8.3 e na TAB.

8.13, referentes à força, deslocamento e corrente para o levitador magnético. Observa-se

a função f(x, i) é não-linear.

Dados do sistema:

a) distância nominal: x0 = 19 mm;

b) corrente nominal: i0 = 0, 750 A;

c) massa da esfera: m = 0, 346 kg;

d) f(x, i) não-linear: força em função do deslocamento x e da corrente i em relação

aos valores nominais (x0 e i0)

f(x, i) = k1eaxi + k2e

bx (8.5)

146

TAB. 8.13: Diferenças entre as curvas do gráfico força × deslocamento (não-linear)

x(mm) 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4Intervalos (A) ∆f4 ∆f3 ∆f2 ∆f1 ∆f0 ∆f(−1) ∆f(−2) ∆f(−3) ∆f(−4)

-0,75 / -0,60 0,35 0,3 0,26 0,23 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12-0,60 / -0,45 0,55 0,49 0,43 0,38 0,34 0,3 0,26 0,23 0,21-0,45 / -0,30 0,46 0,40 0,35 0,31 0,27 0,25 0,23 0,21 0,18-0,30 / -0,15 0,41 0,35 0,32 0,27 0,24 0,2 0,17 0,15 0,13-0,15 / 0,00 0,43 0,38 0,32 0,29 0,26 0,23 0,2 0,17 0,160,00 / 0,15 0,51 0,45 0,39 0,35 0,3 0,27 0,24 0,22 0,20,15 / 0,30 0,52 0,46 0,41 0,36 0,33 0,29 0,26 0,23 0,20,30 / 0,45 0,55 0,45 0,37 0,31 0,25 0,2 0,17 0,13 0,10,45 / 0,60 0,62 0,55 0,50 0,44 0,38 0,36 0,32 0,3 0,270,60 / 0,75 0,51 0,46 0,40 0,36 0,34 0,29 0,27 0,25 0,23

e) análise para o intervalo: −4 mm ≤ x ≤ 4 mm e −0, 750 A ≤ i ≤ 0, 750 A.

f) ponto de equilíbrio (peso = mg igual à força = f(x, i)) : f(x, i) = 3, 46 N , em

x = 0 mm e i = 0 A.

Tendo em vista este comportamento não-linear da força (em relação ao deslocamento

e à corrente), torna-se recomendável a linearização do sistema de levitação magnética em

torno de um ponto de operação.

Analiticamente, o comportamento de f(x, i) pode ser descrito por uma combinação

de exponenciais (uma vez que a força parece variar exponencialmente com o deslocamento

e quase linearmente com a corrente (ver gráficos de f(0, i) e f(x, 0, 75)).

Primeiramente, deve-se calcular os coeficientes k1, k2, a e b de (8.5):

a = 0, 1275 b = 0, 1332 k1 = 1, 9437 k2 = 3, 4843

Portanto, a força pode ser descrita pela expressão:

f(x, i) = 1, 9437e0,1275xi + 3, 4843e0,1332x (8.6)

Tendo em vista a teoria sobre linearização, pode-se aplicá-la, agora, à expressão de

f(x, i), de maneira a se obter o modelo linearizado para o levitador magnético.

- Primeiramente, determina-se o ponto de operação (x0, i0) como sendo (0, 0);

- Aplica-se a expansão em série de Taylor para f(x, i), mantendo-se apenas os termos

147

de primeira ordem:

f(x, i)− f(x0, i0) = Ka(x− x0) + Kb(i− i0)

f(x0, i0) = 1, 9437e0,1275x0 + 3, 4843e0,1332x = 3, 4843

Ka = ∂f∂x|x0,i0= k1aeax0i0 + k2be

bx0 = k1ai0 + k2b = 0, 4641N/mm = 464, 1N/m

Kb = ∂f∂i|x0,i0= k1e

ax0 = k1 = 1, 9437N/A

f(x, i) = 3, 4843 + 0, 4641(x− x0) + 1, 9437(i− i0)

f(x, i) = 3, 4843 + 464, 1x + 1, 9437i

(8.7)

onde i e x representam as variações de corrente e deslocamento, respectivamente, em

torno do ponto de operação (x0, i0).

148

identificaÇÃoecontroledealgumasclasses … · 2008. 8. 1. · ao exército brasileiro, em...

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