identificaÇÃo de um operador de resposta de traÇÃo
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IDENTIFICAÇÃO DE UM OPERADOR DE RESPOSTA DE TRAÇÃO EM
LANÇAMENTO DE DUTOS
Bruno Ricardo Vieira Delfino
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Naval e Oceânica, Escola
Politécnica, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro Naval e Oceânico.
Orientador: Carl Horst Albrecht
Rio de Janeiro
Agosto de 2015
ii
IDENTIFICAÇÃO DE UM OPERADOR DE RESPOSTA DE TRAÇÃO EM
LANÇAMENTO DE DUTOS
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO
NAVAL E OCEÂNICO.
Examinado por:
_______________________________________________
Prof. Carl Horst Albrecht, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D.Sc.
________________________________________________
Eng. Mauro Henrique Alves de Lima Junior, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ- BRASIL.
AGOSTO DE 2015
iii
Delfino, Bruno Ricardo Vieira
Identificação de um Operador de Resposta de Tração
em Lançamento de Dutos / Bruno Ricardo Vieira Delfino.
- Rio de Janeiro: UFRJ / ESCOLA POLITÉCNICA, 2015.
IX, 62 p.: il.; 29,7 cm
Orientador: Carl Horst Albrecht
Projeto de Graduação – UFRJ / POLI / Engenharia
Naval e Oceânica, 2015.
Referencias Bibliográficas: p.61-62.
1. Operador de Tração. 2. S-Lay. 3. Teoria de
Extremos. 4. Onda Regular Equivalente. I. Horst
Albrecht, Carl. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e
Oceânica. III. Identificação de um Operador de Resposta
de Tração em Lançamento de Dutos.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado forças para perseverar diante das
dificuldades encontradas durante toda essa árdua trajetória até me tornar engenheiro.
Agradeço também à minha família, em especial os meus pais, Valéria Vieira Delfino e
Francisco Carlos Delfino, meus maiores exemplos de integridade e superação; e à minha
avó materna, dona Maria de Lourdes, que embora nunca tenha tido oportunidade de
estudar sempre me incentivou. Essa conquista é de vocês também
Aqueles que partiram dessa vida e deixaram enormes saudades: Meu avô Manoel Alves
Vieira e meu padrinho Darcy Mariano Bitencourt. O tempo foi mais rápido e não
permitiu que compartilhássemos desse momento, mas em algum lugar eu sei que estarão
felizes e orgulhosos.
Aos verdadeiros amigos que não desistiram da minha amizade mesmo com minha
frequente ausência fruto do tempo livre que a faculdade de Engenharia me tomou.
Ao Professor Carl Horst Albrecht pela dedicação e orientação, e por dividir comigo sua
experiência como engenheiro nos últimos meses. Sem isso eu não seria capaz de
finalizar esse trabalho.
A todos da instituição de ensino superior UFRJ, professores, amigos e pessoas que
cruzaram meu caminho e conviveram de alguma forma comigo nesses últimos anos.
Elas contribuíram para a pessoa que sou hoje e, por isso, agradeço.
Ao incentivo financeiro recebido da ANP, através do Programa Recursos Humanos,
PRH-03.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.
IDENTIFICAÇÃO DE UM OPERADOR DE RESPOSTA DE TRAÇÃO EM
LANÇAMENTO DE DUTOS
Bruno Ricardo Vieira Delfino
Agosto/2015
Orientador: Carl Horst Albrecht
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
O presente trabalho visa auxiliar o projetista na etapa de projeto conceitual de
lançamentos de dutos onde os requisitos e expectativas são inúmeras vezes alterados
sendo necessária a implementação de ferramentas que possibilitem a diminuição do
tempo de processamento das análises. A pesquisa é dedicada a obter uma correlação
entre o valor extremo da resposta de tração em um lançamento de duto sujeito às
solicitações dinâmicas de um mar espectral e a resposta de tração do mesmo lançamento
sujeito a análises em ondas regulares.
Palavras-chave: Lançamento de dutos, Valor Extremo, Resposta de tração, Mar
espectral, Onda Regular.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Naval Engineer.
IDENTIFICATION OF A RESPONSE TENSION OPERATOR TO PIPELINE LAYING
Bruno Ricardo Vieira Delfino
August/2015
Advisor: Carl Horst Albrecht
Graduation: Naval Engineering
This dissertation aims to help the designer in pipeline laying conceptual design stage
where the requirements and expectations are often subjected to alteration so it is necessary
to implement tools that enable decrease the time consuming to compute analysis. All
research is devoted to reach a correlation between the extreme value of tension response
in a pipeline laying regarding dynamic loads of a spectral sea and the tension response
regarding regular waves.
Key words: Pipeline Laying, Extreme Value, Tension Response, Spectral Sea, Regular
Waves.
vii
Sumário
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 2
1.1. Contexto e Motivação ............................................................................................. 2
1.2. Objetivo................................................................................................................... 3
1.3. Estrutura do Texto................................................................................................... 3
2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE DUTOS E PROCEDIMENTOS DE
INSTALAÇÃO ...................................................................................................................... 4
2.1. Dutos Rígidos Submarinos ..................................................................................... 4
2.2. Procedimentos de Instalação ................................................................................... 5
Método de Instalação S-Lay ............................................................................ 5 2.2.1
Método de Instalação J-Lay ............................................................................. 7 2.2.2
Método de Instalação Reel-Lay ....................................................................... 8 2.2.3
3. DESCRIÇÃO DE ONDAS DO MAR ......................................................................... 10
3.1. Ondas Periódicas ou Regulares ............................................................................. 10
Condição de Contorno Cinemática ................................................................ 13 3.1.1
Condição de Contorno Cinemática no Fundo (CCC-F) ................................ 14 3.1.2
Condição de Contorno Cinemática na Superfície Livre (CCC-SL) .............. 15 3.1.3
Condição de contorno Dinâmica na Superfície Livre (CCD-SL) .................. 16 3.1.4
Condição de Contorno Lateral (CCL) ........................................................... 17 3.1.5
Solução para ondas de Pequenas Amplitudes ................................................ 17 3.1.6
Propriedades das Ondas de Pequenas Amplitudes ........................................ 20 3.1.7
3.2. Parâmetros do Registro de Onda........................................................................... 21
Onda............................................................................................................... 21 3.2.1
Altura de Onda............................................................................................... 22 3.2.2
Período de Onda ............................................................................................ 23 3.2.3
viii
3.3. Ondas Irregulares ou Randômicas ........................................................................ 23
Representação por Séries de Fourier ............................................................. 23 3.3.1
Função Densidade Espectral .......................................................................... 25 3.3.2
Interpretação Física da Função Densidade Espectral .................................... 26 3.3.3
Propriedades do Espectro .............................................................................. 27 3.3.4
Formulações Espectrais Semi-empíricas ....................................................... 28 3.3.5
4. ANÁLISE DO MOVIMENTO DE UNIDADES FLUTUANTES .............................. 30
4.1. Comportamento Dinâmico .................................................................................... 30
Equações do Movimento ............................................................................... 30 4.1.1
Resposta em Mar Regular .............................................................................. 33 4.1.2
Resposta em Mar Irregular ............................................................................ 35 4.1.3
5. TEORIA DE EXTREMOS .......................................................................................... 36
5.1. Distribuição de Picos ............................................................................................ 37
6. ONDA EQUIVALENTE DE PROJETO ..................................................................... 39
6.1. Amplitude Equivalente ......................................................................................... 39
6.2. Frequência e Comprimento de Onda .................................................................... 39
7. SITUA/PROSIM .......................................................................................................... 40
7.1. Máquina de Tração ............................................................................................... 40
7.2. Modelo de Contato ................................................................................................ 42
7.3. Rampa ................................................................................................................... 43
7.4. Stinger ................................................................................................................... 44
7.5. Berços de Roletes .................................................................................................. 44
7.6. Método da Relaxação Dinâmica ........................................................................... 45
8. ESTUDO DE CASO .................................................................................................... 49
8.1. Características do Modelo..................................................................................... 50
8.2. Condições Ambientais e parâmetros de análise .................................................... 51
ix
8.3. Mar irregular ......................................................................................................... 51
8.4. Mar Regular .......................................................................................................... 52
9. ANÁLISE DE RESULTADOS ................................................................................... 55
9.1. Resultados para mar irregular ............................................................................... 56
9.2. Resultados para mar Regular ................................................................................ 57
9.3. Operador de Tração............................................................................................... 57
9.4. Comparação do Tempo de Processamento ........................................................... 58
10. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ........................................................ 59
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 61
2
1. INTRODUÇÃO
1.1. Contexto e Motivação
As reservas de petróleo brasileiras apresentam oportunidades únicas de desenvolvimento
econômico e social para o país no momento em que permite expandir a exportação da
principal commodity da matriz energética mundial.
A maior parte desse volume está situada em campos offshore, onde o sucesso da
exploração começa pelo desenvolvimento minucioso do projeto conceitual. O projeto
conceitual abrange uma série de fases que conduzem a solução que melhor se adequa aos
parâmetros do campo. Diversas questões fundamentais para as tomadas de decisão
precisam ser respondidas antes do projeto ser considerado viável, sendo que nem sempre
informações concretas estão disponíveis nessa etapa do projeto.
Além disso, o projeto offshore requer a complexa coordenação de simultâneas disciplinas,
de natureza técnica ou comercial, e de especialistas em determinadas áreas para alcançar
soluções confiáveis. É fácil perceber que haverá requisitos conflitantes resultantes das
restrições do projeto e dos critérios de otimização e, evidentemente, o melhor projeto
resulta da otimização holística de todo o sistema levando em consideração toda vida útil do
objeto.
Um dos desafios na exploração offshore de petróleo é a instalação dos dutos que
transportam o óleo das regiões produtoras até as instalações em terra firme. Este processo
é complexo e envolve um grande número de variáveis que não podem ser totalmente
controladas, e, dependendo das características do duto e da locação da instalação os limites
de segurança são bastante restritivos.
Assim, diversas metodologias de instalações foram desenvolvidas, e a escolha da mais
adequada, e, consequentemente mais segura, para um projeto em questão envolve um
grande número de análises e tomadas de decisão. Estas análises podem ser muito custosas
computacionalmente, e o tempo disponível para a execução de um projeto é escasso. Além
disso, com já foi dito, em um projeto conceitual as premissas podem mudar a toda hora,
fazendo com que todo o trabalho tenha que ser refeito.
Portanto, mesmo na primeira volta do projeto, como é conhecida a etapa conceitual, é de
extrema importância a definição de métodos e ferramentas de resposta rápida para que se
possa tomar decisões acerca da instalação dos dutos, sempre garantindo a segurança da
operação.
3
1.2. Objetivo
O objetivo deste trabalho é comparar dois métodos de análise e correlacionar os resultados
a fim de simplificar o tipo de análise utilizada na determinação da tração máxima a que é
submetido um duto durante o processo de lançamento em “S-Lay”.
A comparação será feita através da definição de um operador de resposta de tração para
um dado conjunto de condições ambientais no lançamento de um duto rígido de 12
polegadas em lamina d´agua de 50 m, sendo utilizada como exemplo a embarcação BGL-1
da Petrobras.
Este operador será definido através da comparação dos valores extremos de tração
esperados para cada condição de mar.
1.3. Estrutura do Texto
O texto do trabalho se divide em 10 capítulos, sendo o capítulo 2 uma apresentação dos
conceitos de instalação de dutos rígidos. É primeiro apresentado o método S-Lay, que é
mais detalhadamente discutido que os outros dois métodos expostos, J-Lay e Reel-Lay.
O capítulo 3 destaca as considerações necessárias para descrever um estado de mar real.
Nesse capítulo os conceitos sobre teoria de ondas e espectro encontrados na literatura são
relembrados e discutidos.
O capitulo 4 apresenta as análises de movimento da embarcação necessárias para a
determinação das trações. A partir de ponderações a respeito de um corpo flutuante de
geometria simples os conceitos de RAO e espectro de resposta são introduzidos.
O capítulo 5 faz uma revisão dos princípios a cerca da estatística de extremos de uma
variável. No final do capítulo é apontada uma formulação para cálculo do valor extremo
mais provável adequada para casos onde a função densidade de probabilidade é aderente
ao modelo de Rayleigh.
O capítulo 6 traz a ideia e a formulação da onda determinística equivalente utilizada pela
American Bureau of Shipping no projeto de estruturas flutuantes do tipo FPSO. Esse
conceito será ampliado nesse trabalho para o projeto de lançamento de dutos rígidos.
O capítulo 7 é dedicado para a apresentação do SITUA/Prosim, ferramenta numérica
empregada nas análises do estudo de caso, que é englobado pelo capítulo 8.
O capítulo 9 expõe os resultados encontrados no estudo de caso. Através de uma proposta
simples, o operador de tração é estimado para os cenários analisados.
No capítulo seguinte, capítulo 10, as conclusões tiradas com o trabalho são argumentadas e
novos trabalhos são sugeridos para a melhora dos resultados.
4
2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE DUTOS E PROCEDIMENTOS
DE INSTALAÇÃO
2.1. Dutos Rígidos Submarinos
São equipamentos que fazem parte da estrutura do sistema submarino implementado na
atividade offshore. Sua principal função é estabelecer via para escoamento dos fluidos de
produção (água, gás e/ou óleo).
Quando o transporte ocorre entre poço e unidade de processamento, os dutos rígidos são
denominados de “flowlines” permanecendo apoiados sobre o leito marinho. Quando
aplicados na exportação do fluido esses dutos são chamados de “pipelines”.
Dutos rígidos são mais adequados para uso como “pipelines” e “flowlines” por possuir um
custo muito menor que os dutos flexíveis. Porém, a instalação de dutos rígidos requer uma
série maior de cuidados, pois os dutos rígidos possuem limites menores de resistância à
tração e menores curvaturas limtes.
Figura 2.1 – Equipamento submarinos: Dutos Rígidos/ Dutos Flexíveis/ Árvore de
Natal Molhada [22]
5
2.2. Procedimentos de Instalação
Os métodos para instalação apresentados a seguir destacam-se pela eficiência no
lançamento de dutos rígidos. O sistema S-lay receberá destaque por ser escopo do estudo
de caso abordado no capítulo 8.
Método de Instalação S-Lay 2.2.1
O método consiste de uma embarcação ancorada ou em posicionamento dinâmico
(Dynamic Positioning – DP) aonde o duto é construído sobre uma rampa quase horizontal.
Segmentos de tubos são alinhados sobre essa rampa, passando por uma série de estações
de solda à medida que a embarcação avança.
O duto é tensionado pela máquina de tração próxima a extremidade da rampa e deixa a
embarcação pela popa. No trecho sobre a embarcação o duto assume uma configuração
convexa para cima, esta região é chamada de overbend, que é suportada sobre roletes
presentes na rampa sobre o convés da embarcação e sobre uma estrutrutura treliçada
conhecida por stinger. O principal objetivo dessa estrutura é justamente suportar o peso do
duto e minimizar as tensões de overbend provocada pela proeminente curvatura.
Fonte: http://engdutos.usuarios.rdc.puc-rio.br/PMD/PMD-Assunto8-Metodo_S-Lay.pdf
Figura 2.2 – Representação esquemática de lançamento em S-Lay
Logo após perder contato com o stinger o duto inicia sua transição para o solo marinho,
permanecendo suspenso e dando origem a uma curva cuja configuração côncava é
chamada de sagbend. A acentuação dessa curva depende majoritariamente da interação
entre a tensão aplicada pela máquina de tração e o peso do segmento de duto suspenso e,
em menor proporção, da rigidez flexional do material do qual o duto foi fabricado. Se a
tensão aplicada pela máquina de tração aumenta, a curvatura de sagbend diminui e então o
duto em suspensão se torna mais plano. Ao mesmo tempo, o ponto de contato com o leito
6
marinho (TDP) se afasta da embarcação e o de descolamento com o stinger se dá mais
próximo da máquina de tração. Na situação inversa, quando a tensão aplicada é
drasticamente reduzida, então a flexão pode fazer com que o duto colapse por flambagem
(ver Figura 2.3).
Figura 2.3 – Representação da flambagem de um duto rígido durante lançamento
pelo método S-Lay [2]
Por outro lado, o contorno que o duto assume em overbend é controlado basicamente pela
geometria do stinger, que deve ser suficientemente longo, pois, caso contrário, sua
curvatura não acompanhará a curvatura suspensa e a consequência será uma flexão
excessiva no final do stinger.
Entre as principais vantagens que podem ser apontados para o método são:
As características da linha de montagem possibilita que um ou mais passes de solda
sejam efetuados simultaneamente, dando alta produtividade ao método;
Flexibilidade no lançamento de dutos de diversos diâmetros;
As deficiências do método que podem ser destacadas como mais relevantes são:
Máquina de tração se faz extremamente necessária;
Em águas profundas, a flexão do duto torna-se um fator crítico devido ao grande
peso em suspensão. Algumas das maneiras de contornar isso é utilizando um
stinger maior ou aumentar a tensão na máquina de tração. Contudo, nenhuma das
saídas é aconselhada pois a primeira expõe ainda mais o stinger aos carregamentos
de onda e corrente e na segunda há risco da remoção do revestimento do duto.
7
Método de Instalação J-Lay 2.2.2
O arranjo J-lay foi desenvolvido com o intuito evitar as restrições encontradas pelo
método S-lay no lançamento de dutos em lâminas d’água profundas. Esse conceito
abandona a ideia do duto ser lançado horizontalmente. Ao invés disso, o duto é construído
sobre uma rampa íngreme, tipicamente á 75° [1], e deixa a embarcação de lançamento
verticalmente. Não há overbend e, por isso, o duto assume o desenho da letra “J”, que dá
nome ao método.
Figura 2.4 - Representação esquemática de lançamento pelo método J-lay [1].
As vantagens relativas ao método são:
As tensões admissíveis são preescritas exclusivamente pela de flexão na região de
sagbend. Para o mesmo cenário, essas tensões são relativamente muito menores
que em outros métodos;
O stinger torna-se uma estrutura sem utilidade;
Devido a redução da tração, o TDP não acontece longitudinalmente longe da
embarcação como ocorre no método S-Lay. Isso facilita o posicionamento da
embarcação e o lançamento do duto em áreas congestionadas;
Igualmente existem desvantagens claras, em particular:
É impraticável sequenciar as operações, por exemplo a soldagem e a inspeção das
juntas, em várias estações de trabalho ao longo da rampa. Dessa maneira o método
perde no quesito produtividade. Para ser competitivo, os trechos de tubos soldados
na rampa são obrigados a serem juntas múltiplas;
A rampa vertical piora a estabilidade da embarcação;
Em águas rasas a rampa dever ter seu ângulo com a horizontal diminuído, caso
contrário o duto será forçado a fletir de modo que seja possível atingir o leito
marinho horizontalmente.
8
Método de Instalação Reel-Lay 2.2.3
O método de instalação de dutos submarinos Reel-Lay constitui o terceiro, do grupo de
principais métodos de instalação por superfície e é considerado extremamente eficiente. A
primeira diferença marcante em relação aos métodos descritos nas 2.2.1 e 2.2.2 consiste no
seguinte fato: a embarcação de lançamento não transporta segmentos de dutos. O duto
submarino é previamente construído em terra. A Figura 2.5 apresenta uma embarcação que
realiza um lançamento do tipo Reel-Lay.
Fonte: Projeto de Graduação UFRJ- Juliana Oliveira Queiroz
Figura 2.5 - Embarcação de Lançamento Reel-Lay
Após a construção da linha, ela é armazenada em um carretel. O carretel é uma espécie de
tambor da embarcação, de onde a linha será posteriormente lançada. O diâmetro do tambor
limita o diâmetro máximo da linha. O processo de enrolamento e desenrolamento do duto
também limita o seu diâmetro. Torna-se extremamente complicado realizar esse tipo de
operação em dutos de grandes diâmetros. Dependendo do diâmetro, pode ocorrer a sua
plastificação durante o enrolamento. Por este motivo, são instaladas linhas de menores
diâmetros como flowlines (até 16 polegadas).
O fato de a linha estar enrolada implica ainda em outras questões. A espessura da parede
deve ser maior, em relação aos métodos S-Lay e J-Lay, não é possível utilizar um
revestimento de concreto de alta rigidez e também não é possível adotar isolantes térmicos
de alta rigidez, devido à velocidade de lançamento. A embarcação de lançamento
contempla os seguintes equipamentos:
Rampa de Lançamento;
Tambor de Armazenamento;
Máquina de Tração;
Equipamento para Retificação;
Estações operacionais: corte alinhamento, soldagem, inspeção, revestimento e etc.;
9
O método Reel-Lay pode adotar as configurações dos outros dois métodos de superfície
descritos nas seções 2.2.1 e 2.2.2. Em uma lâmina d’água rasa, o carretel horizontal lança
dutos com o auxílio do stinger e uma configuração S-Lay. Já em uma lâmina d’água
intermediária ou profunda, o carretel vertical adota uma configuração J-Lay. Os
tracionadores são responsáveis pelo controle das tensões na região do Sagbend.
Figura 2.6- Lançamento Reel-Lay[2]
O método Reel-Lay apresenta como vantagem, a sua velocidade de lançamento, que é
consideravelmente maior que a dos outros lançamentos de superfície. Em contrapartida, a
operação de instalação não pode ser interrompida em virtude de condições ambientais
adversas.
10
3. DESCRIÇÃO DE ONDAS DO MAR
A característica marcante do mar real é sua irregularidade, tanto no tempo quanto no
espaço. Um olhar atento sobre o registro de ondas de uma dada região durante um período
de tempo representativo pode comprovar que o mar mantém parâmetros estatísticos
permanentes. Por isso, na maioria das situações envolvendo o comportamento dinâmico de
navios ou estruturas flutuantes, as ondas são matematicamente descritas como um processo
aleatório estacionário baseado na hipótese da superposição linear de infinitas ondas
regulares de diferentes comprimentos, direções e amplitudes.
Nesse capítulo serão apresentados conceitos sobre teoria de ondas cuja importância é
fundamental para a análise do comportamento dinâmico de embarcações. Essencial para o
tema, a noção de espectro também será abordada.
3.1. Ondas Periódicas ou Regulares
As leis básicas da física aplicadas aqui são dadas pelos princípios da conservação da
massa, traduzido pela equação da continuidade, e o princípio da conservação da
quantidade de movimento, expresso através da equação do movimento. Ou seja, devem ser
aplicadas as equações de Navier-Stokes (Equação3.1), modelando-as adequadamente para
o problema em particular.
{
(3.1)
O problema refere-se a um escoamento oscilatório, portanto, a cada período o processo
se repete. Ou seja, a tradução desse tipo de processo para a linguagem matemática se dá
através de uma função que represente essa periodicidade: uma função trigonométrica tipo
seno ou cosseno.
Considere que a onda que se queira modelar seja bidimensional (2D) e monocromática
(depende de um único período – espectro descontínuo), definida espacialmente por uma
dimensão horizontal, , coincidente com sua direção de propagação e por uma dimensão
vertical ( ) coincidente com a direção adotada para o campo gravitacional. As partículas
em movimento estão sujeitas a um campo de velocidades, também bidimensional,
, onde .
11
Figura 3. 1 - Representação esquemática de uma onda bidimensional
O escoamento que se deseja modelar é com água e sujeito à pressão atmosférica (com
superfície livre). Por isso, pode ser considerado como incompressível, ou seja, a massa
específica é constante.
Outra característica do escoamento que se pretende modelar é o fato de ser oscilatório.
Entretanto, as partículas em movimento não descrevem movimentos de rotação em torno
de si mesmas, ou seja, o escoamento é irrotacional.
Se o escoamento é irrotacional então o campo de velocidades pode ser definido através de
um potencial de velocidades , que é uma função escalar através da qual o vetor
velocidade pode ser determinado. Ao lidar com um escoamento potencial, o número de
variáveis fica reduzido. No caso 2D por exemplo, e são incógnitas, mas com o
potencial de velocidade apenas é desconhecido.
Admitindo ainda que os efeitos da viscosidade sejam desprezíveis, então o termo difusivo
da equação do movimento desaparece, e a equação do movimento pode ser escrita na
forma da equação de Euler:
(3.2)
Quando aplicada a um escoamento potencial, a equação de Euler se traduz na equação de
Bernouilli:
(3.3)
Em síntese, as hipóteses acima podem ser traduzidas matematicamente da seguinte forma:
Escoamento transiente, oscilatório com período constante: o tempo é representado
por uma variável independente , e a periodicidade é constante e dada por .
Escoamento bidimensional (2D) onde o espaço é definido por duas variáveis
independentes e . Com isso todas as variáveis dependentes são descritas por
funções do tipo: . O campo de velocidade é dado por onde
12
, sendo e ; o potencial de velocidades é
e o campo de pressão .
O domínio do problema é:
Escoamento incompressível:
Escoamento irrotacional: tal que
Escoamento invíscito:
As equações básicas são:
Equação da continuidade:
{
(3.4)
Equação do Movimento:
{
*(
)
(
)
+
(3.5)
Figura 3.2 - Representação esquemática do problema a ser resolvido
A equação da continuidade apresentada na forma da equação de Laplace é a equação
governante. Trata-se de uma equação diferencial parcial em duas dimensões e de segunda
ordem. Para ser resolvida deve ser integrada duas vezes no espaço, que nesse caso
corresponde às dimensões e , portanto são quatro integrações e quatro constantes
surgirão dessa operação. Para que tais constantes possam ser determinadas são necessárias
quatro equações auxiliares, que são chamadas de equações de condição de contorno. São
essas equações que descrevem as fronteiras do domínio espacial do problema e traduzem
as condições particulares do contorno do problema em questão.
13
A equação do movimento apresentada na forma da equação de Bernouilli é uma equação
diferencial parcial de primeira ordem e depende do tempo. Solucionando-a haverá uma
integração no tempo, portanto, haverá uma constante a determinar, e uma equação auxiliar
no tempo é necessário.
Em suma, são cinco equações: duas em , duas em e uma em . A seguir serão
apresentadas as condições de contorno.
Condição de Contorno Cinemática 3.1.1
No domínio mostrado na Figura 3.2, tanto no fundo como na superfície livre (SL), não há
escoamento no sentido transversal a essas fronteiras, isto é: qualquer que seja a forma
desses contornos, o escoamento será tangencial para garantir que a vazão nesses pontos
seja nula. Esse tipo de fronteira é habitualmente rotulado de impermeável.
Matematicamente é possível expressar uma superfície qualquer, fixa ou em movimento,
por uma função do tipo . Se o referencial se mover junto com essa
superfície, esta não se altera, ou seja:
(3.6)
E então:
| | (3.7)
onde o vetor normal é dado por
| | (3.8)
e o módulo da função é
| | √|(
)
(
)
(
)
| (3.9)
Assim uma condição de contorno cinemática (CCC) qualquer pode ser escrita na forma:
| | para (3.10)
Isso significa que a componente normal da velocidade no contorno se movimenta com a
mesma velocidade do próprio contorno.
14
Condição de Contorno Cinemática no Fundo (CCC-F) 3.1.2
No caso a ser analisado, a superfície do fundo é fixa, não se move, portanto é independente
do tempo. A posição do fundo é dada pela profundidade a partir do nível médio mais
uma variação que depende apenas de . Dessa forma, a função pode ser dada
por:
(3.11)
que se for aplicada à equação da CCC fornece . Resolvendo, ocorre que:
| |
[(
)
]
⁄ (3.12)
mas , então, para
(3.13)
ou
(
) ou
|
|
(
) (3.14)
onde é a componente vertical da velocidade, é a componente horizontal da velocidade
e ⁄ é o talude do fundo (para o caso de fundo horizontal, ⁄ e, portanto,
). Isto significa que o escorregamento no fundo é sempre tangente ao mesmo e, por
consequência natural, o fundo é uma linha de corrente.
Figura 3.3 - Representação da condição de contorno cinemática no fundo [3]
15
Condição de Contorno Cinemática na Superfície Livre (CCC-SL) 3.1.3
A superfície livre de uma onda pode ser descrita por uma função do tipo:
(3.15)
onde é o deslocamento da S.L. em torno do plano . A CCC-SL, ou seja, em
, é dada por:
| | (3.16)
onde:
(3.17)
| |
[(
)
]
⁄ (3.18)
( )
(3.19)
| | √(
)
(3.20)
Com isso a equação acima, para a posição , passa a ser:
| | (3.21)
donde se tira a componente da velocidade vertical :
(3.22)
16
ou em termos do potencial de velocidades , e para o caso bi-dimensional, isto é, em
, tem-se:
(3.23)
Condição de contorno Dinâmica na Superfície Livre (CCD-SL) 3.1.4
Quando uma condição de contorno que envolve propriedades dinâmicas, como força,
pressão, energia, etc., é dito que essa é uma condição de contorno do tipo dinâmica. A
superfície de interação entre o ar e a água é livre, portanto, trata-se de uma superfície
isobárica, isto é, de pressão constante e igual à pressão atmosférica, o que significa, em
termos relativos, que a pressão nela é igual a zero. Aplicando essa condição na Equação de
Bernoulli, o termo de pressão desaparece, ou seja, se:
para (3.24)
então
⏞
(3.25)
|
*(
)
(
)
+
⏞
(3.26)
Figura 3.4 – Representação da condição de contorno dinâmica na superfície livre.
17
Condição de Contorno Lateral (CCL) 3.1.5
O problema em questão não tem contornos laterais definidos. O que pode ser garantido
nessas fronteiras é que os processos se repetem, envolvendo assim a periodicidade do
fenômeno: a onda se repete no espaço a cada comprimento de onda , e no tempo a cada
período de onda . De tal modo o potencial de velocidades nessas fronteiras pode ser
escrito por:
Periodicidade espacial (3.27)
Periodicidade temporal (3.28)
Em resumo, o problema é encarado matematicamente pelas equações governantes que
formam o conjunto de equações coadjuvantes responsáveis pela particularização do
problema sendo modelado. A solução desse sistema de equações permitirá a determinação
da solução particular para o mesmo.
Solução para ondas de Pequenas Amplitudes 3.1.6
A solução que resolve matematicamente uma onda monocromática, bidimensional e linear
resume-se na determinação da função potencial de velocidade. Usando o método da
separação de variáveis, o potencial de velocidades pode ser escrito na forma de um
produto de funções cada uma delas dependente de apenas uma variável independente,
como segue:
(3.29)
A função dependente do tempo deve satisfazer à condição de periodicidade, ou seja:
(3.30)
As funções que atendem esse requisito são, por exemplo, as funções seno e cosseno.
Assume-se aqui que é do tipo senoidal, isto é, , sendo a frequência
angular. Com isso a condição de periodicidade no tempo é equacionada da seguinte forma:
(3.31)
A expressão acima só será verdadeira quando:
ou
Frequência Angular (3.32)
Então:
18
(3.33)
A substituição equação acima na equação de Laplace, que governa o problema, leva a:
(3.34)
Dividindo pelo potencial de velocidades (equação x):
(3.35)
Na expressão acima, o primeiro termo depende apenas de e o segundo depende apenas
de . A soma desses dois termos é nula. A única possibilidade disso ser verdadeiro
acontece quando ambos os termos são igual a uma mesma constante, com os sinais
trocados. Assumindo, por conveniência, uma constante arbitrária , tem-se que:
(3.36)
(3.37)
Existem dois conjuntos de resposta, não triviais, algebricamente possíveis:
Quando :
(3.38)
(3.39)
Quando :
| | | | | | (3.40)
| | | | | | (3.41)
19
Para satisfazer a condição de periodicidade no espaço, tem de ser maior que zero.
Então:
( ) (3.42)
A condição de periodicidade no espaço implica que:
(3.43)
o que é satisfeito quando e . Com isso que resulta na
seguinte expressão para , que é chamado de número de onda:
(3.44)
Aplicando as condições de contorno apresentadas, o valor das constantes , , e é
determinado e encontra-se o a solução particular do problema. As equações abaixo
representam, respectivamente, o potencial de velocidades, a equação que descreve o
movimento da superfície livre e relação de dispersão das ondas.
(3.45)
(3.46)
Relação de Dispersão (3.47)
O argumento é chamado de fase da onda. A relação de dispersão relaciona a
periodicidade temporal, expressa através da frequência angular ⁄ , com a
periodicidade espacial dada pelo número de onda ⁄ .
20
Propriedades das Ondas de Pequenas Amplitudes 3.1.7
a) Pressão
A equação de Bernoulli linearizada (i.e., considerando que e , e escrita por:
(3.48)
e para , . A manutenção da hipótese de pequenas amplitudes garante que
, e:
(
)
(
)
(3.49)
que é o mesmo que a condição de contorno dinâmica na superfície livre (CCD-SL). Então:
⏟
⏟
(3.50)
Usando o potencial de velocidades para ondas progressivas:
(3.51)
Depara-se com a seguinte expressão para a pressão total:
⏟
⏟
(3.52)
b) Energia Total
A energia total é dada pela soma das parcelas de energia potencial e cinética ,
cujas deduções são demonstradas em [3].
(3.53)
21
3.2. Parâmetros do Registro de Onda
Considere o movimento vertical da superfície do mar observado em um local fixo. Ondas
se manifestam como a oscilação periódica da superfície nessa posição. É factível concluir
a partir de simples observação a natureza caótica do fenômeno. Contudo, a condição da
onda em um registro estacionário pode ser caracterizada por parâmetros médios que serão
apresentados a seguir.
Onda 3.2.1
É necessário primeiramente definir onda, que muitas vezes é confundida com a elevação
da superfície livre. Em um registro de mar, a elevação da superfície livre é a posição
instantânea (i.e., em qualquer instante de tempo) da superfície livre em relação ao nível
médio adotado como referência. Enquanto que a onda é o perfil da superfície livre no
intervalo entre sucessivos pontos onde a superfície cruza esse nível. Esses pontos são
chamados de zero-ascendentes ou zero-descendentes. Logo, a elevação da superfície pode
ser negativa, ao passo que a onda não.
Se a elevação da superfície livre, denotada como , for tratada como um processo
Gaussiano pouco importa quais pontos são utilizados para delimitar a onda, ou seja, zero-
scendente ou zero-descendentes, pois as características estatísticas serão simétricas.
Figura 3.5 – Definição de onda em um registro temporal da elevação da superfície do
mar [4]
22
Altura de Onda 3.2.2
É natural definir a altura de onda H como a distância vertical entre o maior e menor ponto
atingido pela onda (ver Figura 3.6). Assim, uma onda será caracterizada por apenas uma
altura.
Figura 3.6 – Definição de alturas e período de ondas do registro.
Em um histórico contendo N ondas, a altura média de onda é definida por:
∑
(3.54)
onde fornece a posição da onda no registro (i.e., =1 é a primeira onda do registro, =2 é
a segunda onda, etc.).
Contudo, essa caracterização para a altura de onda é pouco utilizada devido a sua pouca
analogia com as alturas de onda estimadas visualmente. No seu lugar, outra altura de onda,
denominada de altura signigicativa de onda é usada. Esse conceito é definido com
sendo a média de um terço das maiores ondas do registro:
⁄
⁄∑
⁄
(3.55)
onde é um contador que define a posição da onda no ranking das maiores ondas do
registro (i.e., =1 é a onda de maior altura, =2 é a segunda onda de maior altura,etc). O
valor dessa altura de onda é próximo ao valor de altura de onda estimado visualmente [4].
23
Período de Onda 3.2.3
É igualmente natural definir o período de uma onda como o tempo entre seu início e seu
término (ver Figura 3.6). Desde que esse período de onda seja definido por zeros-
ascendentes, ele também é tratado por período de zero-ascendente, . O período médio de
zero-ascendente de uma onda, denotado como , é definido analogamente a :
∑
(3.56)
onde é o contador que indica o número da onda no registro. Em analogia com a altura
significativa de onda, o período significativo de onda é definido como a média dos
períodos de um terço das maiores ondas, ⁄ :
⁄
⁄∑
⁄
(3.57)
onde é o mesmo da definição de altura significativa.
3.3. Ondas Irregulares ou Randômicas
No item 3.2 foram utilizados dois parâmetros para caracterizar o registro de onda: Altura e
período. Contudo, apenas esses parâmetros dão uma representação limitada das ondas
observadas. Uma descrição mais completa (no sentido estatístico) é obtida através da
análise espectral onde o histórico é retratado pelo somatório de um extenso número de
ondas harmônicas estatisticamente independentes (série de Fourier). A visão geral sobre
essa técnica será discutida a seguir nesse capítulo.
Representação por Séries de Fourier 3.3.1
Considere que o registro da variação da superfície do mar , de duração segundos,
seja descrito pelo somatório de N ondas harmônicas como a seguir:
∑
(3.58)
= Amplitude de cada onda componente;
= Frequência angular de cada onda componente;
= Ângulo de fase de cada onda componente;
24
Usando identidades trigonométricas, a equação acima também pode ser escrita por:
∑[ ]
(3.59)
com:
√
(3.60)
(3.61)
Os coeficientes e podem ser determinados pelas integrais de Fourier:
∫
(3.62)
∫
(3.63)
Essa operação, conhecida como Transformada de Fourier, pode ser interpretada como um
filtro selecionando uma componente de frequência para =1,2,3,... Dessa maneira os
valores para e são obtidos e consequentemente os espectros de amplitude e fase do
registro de onda, como ilustra da Figura 3.7.
Figura 3.7 - Transformada de Fourier é aplicada ao registro de onda para obtenção
do espectro de amplitude e fase
25
Dois fatos podem ser observados na Figura 3.7 e são aceitos para o registro de mar
irregular:
As fases são uniformente distribuídas entre 0 e 2π. Ou seja, há igual probabilidade
de ocorrência de qualquer valor de ângulo de fase nesse intervalo, e essa
probabilidade é dada por:
para (3.64)
As amplitudes de onda seguem aproximadamente a distribuição de Rayleigh, que é
definida como:
(
) para (3.65)
onde é a variância do processo.
Logo, fases e amplitudes, sendo variáveis aleatórias, podem ser completamente
caracterizadas por suas respectivas funções densidade de probabilidade.
Função Densidade Espectral 3.3.2
O espectro de amplitude fornece informações suficientes para descrever a elevação da
superfície do mar considerando-a como um processo gaussiano estacionário. Contudo, a
teoria potencial aplicada às ondas regulares mostra que a energia de onda é proporcional à
variância da amplitude,
. Dessa maneira, parâmetros físicos da onda, como pressão e
velocidade de partícula, podem ser deduzidos a partir do espectro de variância das
amplitudes. Em outras palavras, deve ser considerado o espectro de variância, {
} no
lugar do espectro de amplitudes, { }.
No entanto, ambos os espectros baseiam-se em frequências discretas, sendo que na
natureza todas as frequências podem ser encontradas e, por isso, o espectro precisa ser
modificado de maneira a tornar-se contínuo. Isso é feito através da distribuição da
variância em intervalos de frequência . A função densidade espectral é então:
∑
(3.66)
A versão contínua é obtida fazendo a largura da faixa de frequência tender à zero. Isso é o
mesmo que considerar infinitas ondas harmônicas no somatório. Logo:
(3.67)
26
A equação acima é a função densidade espectral contínua e todas as características da onda
podem ser derivadas desse espectro em particular.
Figura 3.8 - Gráfico da função densidade espectral contínua [5]
Interpretação Física da Função Densidade Espectral 3.3.3
A energia por área de superfície do mar para uma onda senoidal simples está
intimamente ligada à sua amplitude:
(3.68)
onde é o peso específico da água.
Nota-se que a integração da função espectro de densidade realizada ao longo de toda a
faixa de frequências corresponde à energia total média por área e esta, por sua vez, é
proporcional a variância do processo.
Então, a função espectro é uma função tal que qualquer elemento de área sobre seu
gráfico, quando multiplicado por , equivale à energia da onda contida no elemento
infinitesimal de frequência , ou seja:
[ ] (3.69)
A energia total, computadas todas as ondas componentes, é:
27
∫
(3.70)
Portanto, se a partir de um registro de mar for determinado seu espectro, este não
recuperará o registro coletado, mas sim uma família de registros, cada um com uma forma
diferente, mas todos eles possuindo as mesmas propriedades estatísticas e a mesma
energia, que são as informações que se necessita para o estudo do comportamento de
sistemas oceânicos em mar irregular.
Propriedades do Espectro 3.3.4
Alguns parâmetros estatísticos do registro podem ser diretamente relacionados com as
propriedades de área do espectro em relação ao eixo vertical que passa por .
O n-ésimo momento de é dado por:
∫ ∑
(3.71)
Isso significa que é a área sobre a curva do espectro, é o centróide dessa área e
é o momento de inércia.
Conforme comentado anteriormente, as amplitudes aparentes em um registro de mar
seguem a distribuição de Rayleigh. A média das alturas aparentes é obtida pela
determinação de , conforme a seguir:
√ (3.72)
⁄ √ (3.73)
⁄ √ (3.74)
Os períodos aparentes médios entre zeros ascendentes podem também ser obtidos a partir
da função espectro:
√
(3.75)
28
Formulações Espectrais Semi-empíricas 3.3.5
Existem na literatura propostas de funções matemáticas embasadas em estudos de diversos
registros de mar cuja finalidade é reproduzir espectros e estados de mar a partir de dados
mais acessíveis. Alguns dos principais modelos espectrais mais disseminados atualmente
serão apresentados abaixo:
a) Espectro de Pierson-Moskowitz:
Proposto por Pierson e Moskowitz (1964), que obtiveram sua formulação pela extensiva
análise de dados representativos do Atlântico Norte.
* (
)
+ (3.76)
onde é a velocidade do vento medida a uma altura de 19.5 m.
b) Espectro de Bretschneider (1969):
O espectro de Bretschneider ou espectro de Pierson-Moskowitz de dois parâmetros é o
espectro recomendado em condições de mar aberto (e.g., o Oceano Atlântico).
[
(
)
] (3.77)
ou
(
)
*
(
)
+ (3.78)
onde
= Frequência modal (pico) correspondente ao maior pico do espectro, em rad/s;
= Altura significativa, em m;
= Frequência circular da onda, em rad/s;
= Período médio de zero ascendente, em seg.
29
c) Espectro de JONSWAP (HASSELMAN, 1973 a 1976)
O termo JONSWAP é abreviação do projeto conduzido no Mar do Norte, do inglês JOint
North Sea WAve Projetct e propõe uma modificação no espectro de Pierson-Moskowitz
para considerar regiões de mar com fronteira geográfica que limitam o comprimento da
pista (do termo em inglês, fetch length), já que a área de formação é um fator impactante à
geração de ondas.
[ (
)
] [
( )
( )
]
(3.79)
Esse espectro é função da frequência de pico e os parâmetros de forma e (este
denominado fator de pico).
O parâmetro varia entre dois possíveis valores em função da relação entre a frequência
de onda e a frequência de pico .
{
Os demais parâmetros são dados por:
= 3.3;
= 8.1E-03;
Nesse modelo espectral, a altura significativa de onda ( ) e o período de pico ( ) são
dados por dois polinômios:
(3.80)
(3.81)
Segundo CHAKRABARTI (1987), o espectro de JONSWAP em termos de e pode
ser escrito da seguinte forma:
* (
)
+ [
( )
]
(3.82)
onde
(3.83)
30
4. ANÁLISE DO MOVIMENTO DE UNIDADES FLUTUANTES
De acordo com o trabalho pioneiro de St. Denis & Pierson (1953), a resposta de um corpo
flutuante qualquer a ondas irregulares pode ser aceito como o somatório das respostas à
ondas regulares. Portanto, assumindo essa hipótese de sobreposição, o complexo problema
de prever o movimento do corpo e as cargas em onda pode ser reduzido a duas questões:
(1) Predizer o movimento e as solicitações em ondas senoidais e (2) Calcular a resposta
estatística a ondas irregulares usando os resultados de ondas regulares.
4.1. Comportamento Dinâmico
Equações do Movimento 4.1.1
Considere um sistema de coordenadas fixo cuja origem situa-se sobre a linha d’água da
embarcação passando pelo seu centro de gravidade, como mostra a figura abaixo:
Figura 4.1 – Convenção de sinais para os deslocamentos e as rotações nos 6 gruas de
liberdade
As translações em x, y e z serão denotadas por , e , repectivamente. Por sua vez, as
rotações em torno x, y e z, serão apresentadas por , e , nessa ordem. Logo, cada um
desses símbolos representa um movimento nos 6 graus de liberdade do sistema:
= Surge (avanço);
= Sway (deriva);
= Heave (afundamento);
= Roll (jogo);
= Pitch (arfagem);
= Yaw (guinada);
Assumindo a hipótese de que as respostas são lineares e harmônicas, as equações
diferenciais do movimento para os 6 graus de liberdade pode ser abreviada da seguinte
forma:
31
∑[( ) ]
(4.1)
onde são os componentes da matriz de massa generalizada; e são os
coeficientes de massa adicional e de amortecimento; são os coeficientes de restauração
hidrostáticos; são as amplitudes complexas das forças e dos momentos de excitação; é
a frequência de encontro e a frequência da resposta; e são os termos para velocidade
e aceleração, respectivamente.
Se assumido que a embarcação é simétrica em relação ao plano e que seu centro de
gravidade está localizado em (0, 0, ), então a matriz de massa generalizada é dada por:
[
]
(4.2)
onde equivale a massa da embarcação, é o momento de inércia no -ésimo modo, e
é o produto de inércia. O único produto de inércia que aparece é , o produto roll-yaw,
que some se a embarcação possuir também simetria no plano . Os outros termos fora da
diagonal principal também seriam nulos se o sistema de coordenadas estivesse posicionado
exatamento no centro de gravidade da condição de flutuação.
Analogamente, de novo considerando geometrias simétricas ao plano , segue a matriz de
massa adicional (ou amortecimento):
[
]
(4.3)
Além disso, os únicos coeficientes hidrostáticos de restauração são: , , e =
.
Se a matriz de massa, os coeficientes de massa adicional e amortecimento, e os
coeficientes de restauração forem todos substituídos na equação geral do movimento, nota-
se que o problema se reduz a dois conjuntos de equações: um conjunto com três equações
acopladas de surge, heave e pitch e outro conjunto com três equações acopladas de sway,
roll e yaw.
Se além das hipóteses adotadas acima for aceito que a embarcação tem geometria esbelta,
então o movimento de surge é desprezível se comparado aos outros cinco movimentos,
32
logo, é consistente não incluí-lo [6]. Consequentemente, o conjunto de equações acopladas
de surge, heave e pitch transformam-se num arranjo com apenas duas equações.
A seguir são escritas as equações para os movimentos de heave e pitch, respectivamente:
(4.4)
(4.5)
As relações para os coeficientes de massa, e , e as amplitudes das forças e
momentos de excitação, e , são deduzidas a partir da teoria potencial. A determinação
desses valores pode ser feita através de um modelo numérico bidimensional (teoria das
faixas), onde o navio é discretizado por uma série de seções, onde as cargas são calculadas
e depois integradas ao longo do comprimento. O mesmo pode ser feito também através de
modelo numérico tridimensional (teoria dos painéis), onde as pressões estáticas e
dinâmicas são integradas sobre a superfície molhada do corpo.
Ainda considerando as hipóteses acima mencionadas, as equações diferenciais que
governam os movimentos acoplados de sway, roll e yaw podem ser escritas na forma de:
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Contudo, os coeficientes de massa adicional e amortecimento, e , obtidos valendo-
se da teoria potencial, não podem ser usados nesse caso sem que se adicione uma correção
para o amortecimento viscoso. Comparação entre experimentos e teoria mostra que o
coeficiente de amortecimento de roll, , é significativamente afetado pela viscosidade
(VUGTS, 1968).
33
Resposta em Mar Regular 4.1.2
As equações encontradas no item anterior são equações diferenciais ordinárias de segunda
ordem. Admitindo que a onda incidente é harmônica, e que a fase transiente já tenha sido
superada, o processo entra em regime permanente e, com isso, as ondas difratadas, as
forças e os momentos de excitação terão esse mesmo comportamento harmônico. Neste
regime permanente a solução da equação diferencial que rege o movimento é descrita pela
solução particular.
Confrontando o problema de maneira heurística, será desenvolvida a solução para o
movimento vertical de um cilindro horizontal oscilando devido à excitação de uma
onda regular descrita por , conforme mostra a Figura 4.2.
Figura 4.2 – Representação de um cilindro oscilando em uma onda regular [5]
Considere a resposta de heave seja dada por:
( ) (9)
( ) (10)
( ) (11)
34
A substituição do conjunto de equações acima, na equação geral do movimento leva a:
{ } ( ) { } ( )
{ }
{ } (4.12)
A equação anterior pode ser reescrita dividindo o ângulo ( ) através de identidades
trigonométricas e separando os termos com fase e sem fase. Comparando os dois lados da
equação é possível montar o sistema com 2 equações e duas incógnitas a seguir:
{ {{ } ( ) { } ( )}
{ }
{{ } ( ) { } ( )} { }
(4.13)
Somando o quadrado desse par de equações chega-se a formulação para calcular o módulo
da resposta de heave:
√{ } { }
{ } { } (4.14)
Eliminando o termo ⁄ é obtida a fase da reposta:
,
{ } { } - (4.15)
Nota-se que os requisitos de linearidade são satisfeitos: a amplitude é proporcional à
amplitude de onda , enquanto que a fase não é. Na literatura, o módulo ⁄ é
frequentemente chamado de RAO que são as iniciais da expressão inglesa Response
Amplitude Operator. A partir da elucidação acima, as soluções para o problema com
movimentos acoplados podem ser deduzidas analogamente.
35
Resposta em Mar Irregular 4.1.3
Sustentando o panorama do cilindro oscilando levantado no item 4.1.2, imagine agora o
cenário com estado de mar irregular.
O espectro de energia de onda fora definido anteriormente por:
(4.16)
Analogamente, o espectro de resposta para o movimento de heave é escrito por:
|
|
|
|
(4.17)
O histórico de mar irregular, é considerado como o somatório de inúmeras ondas
regulares, cada uma com frequência, amplitude e ângulo de fase próprio. O valor
⁄ associado a cada componente é o espectro de onda, . Aplicando a
equação acima, é possível plotar os valores para
⁄ de forma a obter o histórico
irregular de heave, . AFigura 4.3 ilustra esse princípio.
Assim, o espectro de resposta pode ser encontrado usando o RAO do movimento e o
espectro de onda:
| | (4.18)
Figura 4.3 – Representação esquemática do método para calcular a resposta em mar
irregular [5]
36
5. TEORIA DE EXTREMOS
A estatística de Extremos está relacionada à análise de valores máximos ou mínimos de
uma variável aleatória, ou seja, valores cuja probabilidade de ocorrência é muito baixa.
Para obtenção da distribuição de probabilidades dos valores extremos de uma variável
aleatória , com função densidade de probabilidades e cumulativa conhecidas,
considera-se inicialmente a existência de várias amostras de tamanho de , i.e.,
(
), onde os índices 1, 2, ..., N representam os valores observados na
i-ésima amostra. Desta forma uma amostra qualquer de , constitui uma das realizações da
variável e, portanto:
(5.1)
O valor máximo extremo das amostras é uma variável aleatória definida como:
(5.2)
Supondo que o valor pertença à população de extremos, então, a relação a seguir
deve ser satisfeita:
(5.3)
Sabendo-se que a função cumulativa do valor máximo extremo é definido como
(5.4)
E assumindo-se que as variáveis , , , , são estatisticamente independentes
tem-se que:
[ ] (5.5)
A correspondente função densidade de probabilidades do valor extremo para n ocorrência
de é então dad por:
[ ]
(5.6)
Por analogia, pode ser obtida a função cumulativa do valor mínimo extremo que é dada
por:
[ ]
(5.7)
37
e a função densidade de probabilidades por:
[ ]
(5.8)
A distribuição de probabilidades de , i.e., ou , é chamada de distribuição
parente. O termo se refere ao número de ocorrências da variável que são observadas
durante um determinado período de tempo de interesse (ANG and TANG, 1984).
5.1. Distribuição de Picos
Em projeto de estruturas marítimas, é muito importante conhecer a distribuição dos valores
máximos (ou picos) de um processo aleatório de interesse. No caso de um processo
aleatório gaussiano de banda estreita, média zero e variância , foi demonstrado
(BREBBIA and WALKER, 1979) que a distribuição dos picos segue uma distribuição de
probabilidade que adere ao modelo de Rayleigh, apresentado a seguir.
Função densidade de probabilidade de Rayleigh:
[
(
)
] (5.9)
Função cumulativa de probabilidade de Rayleigh:
[
(
)
] (5.10)
O valor de pico pode ser então estimado através do uso da teoria de cruzamentos (do termo
em inglês upcrossing theory). Imagine que descreva um processo gaussiano
estacionário. O número de cruzamentos ascendentes de no nível no
intervalo é definido por . A frequência de cruzamentos do processo no
nível é definida como o número de cruzamentos dividido pelo tempo total
considerado, , e é representada por
(5.11)
Da mesma forma, , que corresponde a frequência de cruzamento no nível médio, é
definida por
√
(5.12)
38
que pode ser determinado pela descrição espectral do processo.
Segundo Newland (1975) demonstrou, a frequência de cruzamentos satisfaz:
[
(
)
] (5.13)
O conceito de valor de pico no intervalo corresponde a um valor para de maneira que
seja igual a 1. Logo, esse pode ser estimado a partir de:
[
(
)
] (5.14)
Manipulando algebricamente:
√ (5.15)
Devida a uma variação estatística apresentada no valor encontrado para , foi sugerido
(Davenport, 1964) que a equação acima fosse corrigida por um fator de modo que:
*√
√ + (5.16)
Se ao invés de banda estreita o processo aleatório for de banda larga, a distribuição de
picos também segue a distribuição de Gauss:
√
[
(
)
] (5.17)
Mas quando o processo não for gaussiano, não existe uma solução analítica aplicável.
Nessa situação, os picos observados numa realização são ajustados a uma distribuição
conhecida. Outra abordagem é transformar a série original numa série gaussiana através do
modelo baseado nos polinômios de Hermite, como trata NASCIMENTO (2009).
39
6. ONDA EQUIVALENTE DE PROJETO
Pela definição da American Bureau of Shipping (ABS) [14], uma onda determinística
equivalente é uma onda regular senoidal que simula o valor extremo de um dado
parâmetro de carregamento dominante sobre consideração. A onda determinística
equivalente é caracterizada por sua: amplitude, frequência (ou comprimento), direção e
ângulo de fase.
6.1. Amplitude Equivalente
A amplitude da onda de projeto equivalente deve ser determinada dividindo o valor
extremo da variável sendo analisada pela máxima amplitude do RAO desse parâmetro,
ocorrendo na frequência e direção de onda correspondente à máxima amplitude do RAO.
Ou seja:
(6.1)
Onde
= Amplitude de onda equivalente para o parâmetro de carregamento dominante considerado;
= Valor extremo mais provável do parâmetro de carregamento dominante e
período de retorno de projeto;
= Máxima amplitude de RAO do parâmetro de carregamento dominante .
6.2. Frequência e Comprimento de Onda
A frequência da onda equivalente é a frequência de pico compatível com o RAO
máximo da variável de resposta considerada. O comprimento da onda equivalente pode ser
determinado aplicando a hipótese de águas profundas na equação da dispersão:
⁄ (6.2)
onde
= Comprimento de Onda;
= Aceleração da gravidade = 9.8 m/s² (32.2 ft/s²)
= Frequência de pico.
40
7. SITUA/PROSIM
A ferramenta empregada na modelagem numérica do problema proposto foi o software
SITUA/Prosim. O SITUA configura a interface gráfica para entrada de dados, geração de
modelos e visualização dos resultados. O Prosim realiza as análises dos modelos,
acoplando modelos hidrodinâmicos a modelos de elementos finitos. As referências [19],
[20] apresentam uma descrição detalhada dos conceitos físicos e matemáticos, das
funcionalidades e das fórmulas referentes ao Prosim.
O SITUA possui, dentre outros, o módulo específico PETROPIPE. Este módulo permite ao
usuário gerar modelos numéricos para a simulação de procedimentos de instalação de
dutos submarinos. Ele representa de forma fidedigna a balsa de lançamento, os
dispositivos de instalação (tracionador, stinger e berços de roletes) e o duto submarino
para diferentes tipos de lançamento. A referência [21] apresenta uma abordagem inicial a
respeito do módulo PETROPIPE, inclusive as suas funcionalidades principais (algumas
delas serão abordadas a seguir).
Como abordado no capítulo 2, o método de instalação S-Lay apresenta uma série de
detalhes e particularidades. Dentre os mais importantes estão os seus dispositivos de
lançamento. A descrição desses dispositivos da embarcação é uma etapa de extrema
importância da modelagem. O estabelecimento de modelos de representação numérica que
correspondam de forma real aos dispositivos de lançamento é imprescindível para a
simulação. O presente capítulo irá abordar esses modelos numéricos.
7.1. Máquina de Tração
A máquina de tração tem por objetivo manter a tração de lançamento no duto dentro de
uma faixa na qual a operação de instalação possa ocorrer. O tracionador é representado por
um elemento escalar generalizado, que equivale a uma mola não linear passível de sofrer
deslocamentos. A rigidez do elemento escalar é definida de acordo com uma função força
x deslocamento. Esta função pode ser definida para os seis graus de liberdade de forma
independente.
O elemento escalar tem por característica poder manter a tração de lançamento conforme o
seu comprimento varia. Para isso ocorre uma mudança de rigidez da mola em cada instante
de tempo. A Figura 7.1 esquematiza esse comportamento do elemento escalar.
41
Figura 7.1- Elemento Escalar Máquina de Tração [13].
A máquina de tração ainda apresenta outras características importantes, que podem ser
representadas numericamente. A força axial possui um limite de variação. Abaixo deste
limite a rigidez do elemento não sofre qualquer alteração (faixa de ativação). Ainda em
relação a faixa de ativação, se ela for ultrapassada ocorre uma defasagem no início da
atuação do escalar. Além disso, este mesmo escalar varia a sua rigidez a uma determinada
velocidade (velocidade de resposta). Por último, existe um limite de movimentação no
qual o tracionador pode mover o duto pra frente e para trás para compensar o nível de
tração (limite de deslocamento).
A interface do SITUA possui uma janela específica para configurar a máquina de tração.
Nela o usuário pode definir uma série de configurações como unidade flutuante, tração de
lançamento e sua faixa de variação, comprimento do elemento, rampa de aplicação, dentre
outras. A Figura 7.2 abaixo ilustra essa janela.
42
Figura 7.2- Tela de Configuração da Máquina de Tração, PETROPIPE.
7.2. Modelo de Contato
O modelo de contato tem como objetivo estabelecer forças de ação e reação entre os
corpos que estão interagindo. O contato é representado por volumes com rigidez a
penetração. São verificadas duas situações: se no primeiro momento o contato ocorreu e
em seguida a aplicação do modelo de contato em todos os corpos envolvidos.
O algoritmo trabalha verificando a posição dos nós da linha e comparando as suas posições
com as superfícies a cada iteração do procedimento numérico de solução. Ocorrendo um
contato, o termo de rigidez correspondente é incorporado na matriz de rigidez global na
posição correspondente a posição da superfície de contato.
43
7.3. Rampa
Os dados geométricos da rampa são utilizados para definir a superfície de contato com o
duto submarino. A superfície de contato é considerada um corpo rígido conectado ao casco
da embarcação. Ela estará sujeita a todos os movimentos que a embarcação sofre. Para
configurar a rampa de lançamento o usuário também possui uma tela específica. Nela, ele
pode fornecer o raio da rampa, o ponto de tangência, a inclinação da rampa, a quantidade
de berços, entre outros.
Figura 7.3- Tela de Configuração da Rampa, PETROPIPE.
44
7.4. Stinger
Da mesma maneira que a rampa, os dados geométricos do stinger são utilizados para
configurar a superfície de contato com o duto. Por meio da tela de definição do stinger
pode-se escolher o raio de curvatura do stinger, o ponto de tangência, a sua inclinação e o
tipo do stinger. A Figura 7.4 apresenta a janela de configuração do stinger.
Figura 7.4- Tela de Configuração do Stinger, PETROPIPE.
7.5. Berços de Roletes
Os berços de roletes configuram o contato direto com o duto submarino. Cada berço pode
ser formado por um rolete ou por um conjunto de roletes. Cada berço pode ser
representado de uma forma totalmente diferente do outro. O SITUA permite definir a
inclinação do rolete, o comprimento do rolete, a quantidade por berço, a distância entre os
roletes e o tipo de restrição a qual ele estará sujeito. É possível ainda configurar os roletes
da rampa e do stinger separadamente.
45
Figura 7.5- Tela de Configuração dos Berços de Roletes, PETROPIPE.
7.6. Método da Relaxação Dinâmica
O presente item trata do Método da Relaxação Dinâmica. Este configura uma importante
ferramenta do software SITUA/Prosim para o estabelecimento de modelos de instalação de
dutos submarinos. Foi tomada como fonte de pesquisa a referência [13].
O Método da Relaxação Dinâmica (MRD) tem por finalidade gerar a conformação de
dupla curvatura do duto submarino. Ele visa determinar uma resposta estacionária, a partir
de um sistema em repouso e carregado estaticamente. O sistema se movimenta de forma
dinâmica até que o equilíbrio seja atingido e a linha esteja em repouso novamente.
Inicialmente a linha se encontra numa configuração totalmente reta. A partir deste estágio
inicial, a linha decai de forma incremental por ação da gravidade até o solo marinho. Vale
ressaltar que a linha ainda está sob o efeito da força de empuxo. Como resultado o duto
submarino atinge uma posição de equilíbrio, com apoios na balsa de lançamento e no
fundo. Um aspecto importante do método é relativo a tração de lançamento, que é um dado
de entrada. A Relaxação Dinâmica busca a convergência a partir da tração de lançamento
que foi fornecida como dado de entrada. Portanto, a linha deve atingir uma conformação
46
em “S” com o valor final da tração fornecida. A Figura 7.6 ilustra o duto submarino após a
realização do método.
Figura 7.6- Método da Relaxação Dinâmica.
O MRD configura uma ótima opção para problemas de caráter não linear, onde a rigidez
do sistema varia muito ao longo do tempo. Especificamente com relação a este problema,
o MRD é uma boa alternativa, pois o sistema apresenta não linearidades geométricas e
físicas. Além disso, a matriz de rigidez do sistema varia acentuadamente ao longo do
procedimento de relaxação. O procedimento pode ser realizado de duas maneiras. Por
movimento prescrito ou impondo uma tração de lançamento. Da primeira forma deve-se
conhecer a posição de projeto da extremidade final do duto. Caso essa posição não seja
conhecida, uma força concentrada deve ser aplicada na extremidade do duto e equilibrada
com as forças internas a cada iteração.
47
Figura 7.7- MRD Por Movimento Prescrito. [13]
Figura 7.8- MRD Por Força Concentrada. [13]
O SITUA apresenta uma janela específica para a realização da relaxação dinâmica. Nesta
janela o usuário pode fazer uma série de configurações, como ativar dados de saída e
modificar parâmetros numéricos. A Figura 7.9 ilustra a janela de interface do Método
Relaxação Dinâmica.
48
Figura 7.9- Janela de Configuração do MRD.
49
8. ESTUDO DE CASO
Para este estudo foi utilizada a embarcação BGL-1 da Petrobras, que é uma balsa da
segunda geração de embarcações de instalação de dutos submarinos. Ela é capaz de
realizar o lançamento de dutos rígidos e o içamento de estruturas marítimas. A Tabela 8.1
apresenta as dimensões principais da BGL-1.
Tabela 8.1- Dimensões Principais BGL-1.
Dimensões Principais Valor Unidade
Calado T 5.182 (m)
Pontal D 9.000 (m)
Boca B 30.000 (m)
Comprimento L 120.000 (m)
A BGL-1 é capaz de lançar dutos de diversos diâmetros, variando a rampa de lançamento,
a tração da máquina, a geometria dos berços de roletes e o stinger. A Figura 8. ilustra está
balsa de lançamento de dutos submarinos.
Figura 8.1- Embarcação BGL-1 [22].
50
8.1. Características do Modelo
O estudo de caso refere-se à instalação de um duto de 12 polegadas em lâminas d´água de
50m. A Tabela 8.2 apresenta uma série de valores referentes às características do duto
submarino (diâmetro, revestimento, tensão de escoamento e etc.), aos dados da
embarcação de lançamento (raio do stinger, raio da rampa, etc.) e aos dados da locação
(profundidade). Os valores contidos na Tabela 8.2 são necessários para a elaboração do
modelo numérico.
Tabela 8.2 - Características Embarcação/Duto 12 pol/Locação.
CARACTERÍSTICA UNIDADE VALOR OBSERVAÇÃO
Diâmetro Externo [mm] 323.9
Revestimento Aço
Espessura do Revestimento [mm] 15.875
Modelo de Elasticidade
Longitudinal [GPa] 207
Tensão de Escoamento [Mpa] 414
Densidade Específica [Kg/m³] 7850
Espessura do Revestimento [mm] 0 Revestimento
Concreto Densidade do Revestimento [Mpa] 3040
Espessura do Revestimento [mm] 2.8 Revestimento
Anticorrosivo Densidade do Revestimento [Kg/m³] 1300
Calado da Embarcação [m] 5.182
Dados da
Embarcação
Raio de Curvatura (Rampa) [m] 150
Raio de Curvatura (Stinger) [m] 150
Comprimento do Stinger [m] 20
Profundidade Mínima [m] 50 Dados da Locação
Vale ressaltar que para este duto de 12 polegadas não foi necessário recobri-lo com um
revestimento de concreto, pois ele já apresentava estabilidade no leito marinho sem possuir
uma camada de concreto [12].
51
8.2. Condições Ambientais e parâmetros de análise
Foram arbitradas condições ambientais que representassem situações típicas de operação
da Petrobras. Essas condições serão citadas a seguir.
Mar irregular 8.2.1
Para melhor representar as condições usuais de instalação de dutos na região de maior
produção de petróleo offshore no Brasil, que é a Bacia de Campos no Rio de Janeiro,
foram escolhidos parâmetros de definição de carregamento de ondas mais comuns nesta
região e mais críticos para o processo de lançamento (ver Tabela 8.3).
Tabela 8.3 – Parâmetros das Análises para Mar Irregular
PARÂMETRO UNIDADE VALORES
Altura Significativa (Hs) [m] 1.0 1.5 2.0
Período (Tp) [s] 7.0 10.0 13.0
Direção (Dir) [°] 90 135 180
O tempo de análise escolhido foi de 1300 s com uma rampa de 100 s e foram solicitadas
saídas de tração a cada 1 s.
Estas combinações definem 27 casos de carregamento, ou seja, 27 análises dinâmicas no
domínio do tempo, conforme apresentado na Tabela 8.4:
Tabela 8.4 – Descrição dos Casos Analisados
CASO Hs Tp Dir
CASO
Hs Tp Dir
[m] [s] [°]
[m] [s] [°]
1 1.0 7.0 90
15 1.5 13.0 135
2 1.0 10.0 90
16 2.0 7.0 135
3 1.0 13.0 90
17 2.0 10.0 135
4 1.5 7.0 90
18 2.0 13.0 135
5 1.5 10.0 90
19 1.0 7.0 180
6 1.5 13.0 90
20 1.0 10.0 180
7 2.0 7.0 90
21 1.0 13.0 180
8 2.0 10.0 90
22 1.5 7.0 180
9 2.0 13.0 90
23 1.5 10.0 180
10 1.0 7.0 135
24 1.5 13.0 180
11 1.0 10.0 135
25 2.0 7.0 180
12 1.0 13.0 135
26 2.0 10.0 180
13 1.5 7.0 135
27 2.0 13.0 180
14 1.5 10.0 135
52
Mar Regular 8.2.2
Aplicando o exposto na seção 6, foram definidas as condições equivalentes às condições
acima utilizando uma onda regular.
O movimento de heave é considerado o parâmetro preponderante quando se analisa a
tração de topo. A Figura 8.2 apresenta os dados do RAO desse movimento para os
períodos e direções de interesse.
Figura 8.2 – RAO da Amplitude Heave BGL-1
Espectros baseados no modelo de Jonswap descrito no item 3.3.5 foram gerados para as
alturas significativas e períodos de pico adotados. Estes espectros foram adaptados para as
condições de onda da Bacia de Campos através da manipulação dos coeficientes de forma
e proposto em [23]. A Figura 8.3 ilustra os espectros com altura significativa de 1.0 m.
Figura 8.3 – Espectro de Jonswap adaptado para Bacia de Campos / Hs =1.0 m
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
Amplitude [m/m]
ω [rad/s]
90°135°180°
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.00 1.00 2.00 3.00
S(ω) [m²s]
ω [rad/s]
Hs =1.0; Tp =7.0
Hs =1.0; Tp =10.0
Hs =1.0; Tp =13.0
53
Os espectros de resposta em heave, , foram então determinados conforme teoria
discorrida no item 4.1.3, ou seja, realizando o cruzamento do RAO com os espectros de
mar (ver exemplo ilustrado na Figura 8.4). É importante ressaltar que todos os espectros
citados acima foram discretizados nas mesmas frequências angulares dispostas para o
RAO.
Figura 8.4 – Espectro de Resposta de Heave ( Hs=2.0m;Tp=13.0s;Dir=90°)
A partir da teoria de extremos comentada na seção 5 chega-se ao valor da resposta extrema
de heave. As informações abaixo serão aplicadas:
Os espectros de resposta são integrados utilizando o método dos trapézios a fim de
conhecer a variância do processo, .
O tempo de análise T considerado é 1200 segundos.
Por ser um processo de banda estreita, ou seja, a energia está concentrada na
frequência de pico, sabe-se que ( ⁄ ).
A altura de onda equivalente é alcançada dividindo o valor extremo de heave pelo RAO
máximo da direção considerada. Os resultados obtidos para os 27 casos definidos no item
8.2.1, bem como os parâmetros de cálculo, podem ser visualizados na Tabela 8.5.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50
Sz(ω)
[m²s]
ω [rad/s]
S(ω)x(RAO)²
54
Tabela 8.5 - Parâmetros de Cálculo e Altura de Onda Equivalente
CASO Dir Hs Tp m0 T Extremo Amplitude Altura
[°] [m] [s] [m²] [s] [m] Equivalente
[m] Equivalente
[m]
1 90 1.0 7.0 3.45E-02 1200 0.629 0.566 1.133
2 90 1.0 10.0 5.92E-02 1200 0.799 0.719 1.438
3 90 1.0 13.0 6.23E-02 1200 0.799 0.719 1.439
4 90 1.5 7.0 7.80E-02 1200 0.946 0.852 1.704
5 90 1.5 10.0 1.34E-01 1200 1.199 1.080 2.161
6 90 1.5 13.0 1.40E-01 1200 1.198 1.079 2.159
7 90 2.0 7.0 1.39E-01 1200 1.263 1.138 2.275
8 90 2.0 10.0 2.38E-01 1200 1.601 1.442 2.883
9 90 2.0 13.0 2.49E-01 1200 1.598 1.440 2.879
10 135 1.0 7.0 1.33E-03 1200 0.124 0.124 0.248
11 135 1.0 10.0 1.49E-02 1200 0.401 0.403 0.807
12 135 1.0 13.0 3.22E-02 1200 0.575 0.578 1.156
13 135 1.5 7.0 2.98E-03 1200 0.185 0.186 0.372
14 135 1.5 10.0 3.38E-02 1200 0.603 0.607 1.213
15 135 1.5 13.0 7.30E-02 1200 0.865 0.870 1.739
16 135 2.0 7.0 5.29E-03 1200 0.246 0.248 0.496
17 135 2.0 10.0 6.03E-02 1200 0.805 0.810 1.620
18 135 2.0 13.0 1.30E-01 1200 1.155 1.162 2.324
19 180 1.0 7.0 9.33E-04 1200 0.103 0.105 0.209
20 180 1.0 10.0 5.10E-03 1200 0.234 0.237 0.474
21 180 1.0 13.0 2.02E-02 1200 0.455 0.460 0.920
22 180 1.5 7.0 2.11E-03 1200 0.156 0.157 0.315
23 180 1.5 10.0 1.15E-02 1200 0.351 0.355 0.711
24 180 1.5 13.0 4.58E-02 1200 0.685 0.693 1.386
25 180 2.0 7.0 3.76E-03 1200 0.208 0.210 0.420
26 180 2.0 10.0 2.04E-02 1200 0.468 0.473 0.947
27 180 2.0 13.0 0.08 1200 0.915 0.926 1.852
55
9. ANÁLISE DE RESULTADOS
A Figura 9.1 demonstra o comportamento da tração de topo para dois casos equivalentes,
um com onda regular e outro com onda irregular. Pode-se notar que o comportamento da
tração em onda irregular é completamente aleatório enquanto que para a onda regular é
perfeitamente harmônico.
Por isso para determinar o máximo mais provável na análise com onda irregular é
necessário utilizar, mais uma vez, a teoria de valor extremo conforme apresentada
anteriormente, pois não se pode garantir que em uma análise com tempo finito, o máximo
da tração tenha sido encontrado.
Figura 9.1 – Comparação da série temporal da resposta da tração de topo em ondas
irregulares e em onda regular equivalente.
0.000
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
600.000
700.000
800.000
900.000
500 520 540 560 580 600
Tração de Topo [kN]
tempo [seg]
Irregular
REgular
56
9.1. Resultados para mar irregular
A Tabela 9.1 apresenta os resultados para as 27 análises para mar com onda irregular.
Nesta tabela são apresentados o máximo de tração no topo do duto observado na análise, a
média, o desvio padrão e o valor extremo de tração esperado segundo a formulação de
Rayleigh.
Tabela 9.1 – Valor Extremo da Tração de Topo
Caso Máximo Média Desv Pad Extremo
1 565.655 448.209 35.448 544.423
2 521.167 447.823 25.337 516.592
3 512.753 447.650 19.233 499.851
4 626.624 447.533 52.756 590.724
5 565.307 447.029 38.748 552.200
6 570.357 446.897 32.737 535.751
7 683.925 446.616 70.864 638.954
8 608.786 446.164 53.549 591.508
9 642.916 445.948 50.280 582.418
10 594.218 447.700 48.008 578.003
11 561.199 447.510 36.668 547.034
12 536.475 447.802 25.216 516.244
13 662.240 446.466 75.173 650.500
14 618.801 446.624 58.449 605.265
15 591.800 447.381 40.499 557.303
16 748.296 444.726 105.046 729.841
17 687.429 445.700 83.075 671.183
18 661.370 446.891 58.524 605.737
19 536.915 447.829 22.382 508.579
20 569.979 447.348 32.192 534.724
21 528.778 447.867 23.741 512.305
22 592.794 447.152 35.088 542.388
23 641.013 446.121 54.172 593.154
24 577.658 447.157 40.043 555.841
25 647.640 446.337 49.237 579.977
26 750.400 444.521 80.034 661.750
27 647.087 446.270 59.469 607.681
57
9.2. Resultados para mar Regular
A Tabela 9.2 apresenta as trações máximas no topo do duto para cada uma das análises
efetuadas. No caso das análises com ondas regulares, por não haver o caráter aleatório não
é necessário utilizar o calculo de extremo, sendo o máximo observado igual ao máximo
esperado.
Tabela 9.2 – Resultados da Tração de Topo em Onda Regular Equivalente
Caso Amplitude da
Resposta Caso
Amplitude da Resposta
Caso Amplitude da
Resposta
1 798.129
10 478.316
19 454.149
2 508.662
11 480.942
20 479.033
3 511.001
12 467.114
21 468.827
4 535.959
13 492.607
22 457.208
5 536.760
14 496.443
23 494.464
6 580.690
15 495.031
24 484.073
7 564.523
16 506.134
25 460.002
8 589.992
17 513.422
26 509.004
9 679.813
18 534.396
27 506.400
9.3. Operador de Tração
O operador de tração é finalmente calculado pela divisão do valor extremo de tração mais
provável, que é encontrado no cenário com ondas irregulares, pela tração estimada na
simulação com onda equivalente de projeto. Os valores encontrados para os 27 casos
analisados serão apresentadas Tabela 9.3.
Tabela 9.3 – Operador de Tração
Caso Operador de Tração
Caso Operador de Tração
Caso Operador de Tração
1 0.682
10 1.208
19 1.120
2 1.016
11 1.137
20 1.116
3 0.978
12 1.105
21 1.093
4 1.102
13 1.321
22 1.186
5 1.029
14 1.219
23 1.200
6 0.923
15 1.126
24 1.148
7 1.132
16 1.442
25 1.261
8 1.003
17 1.307
26 1.300
9 0.857
18 1.133
27 1.200
58
9.4. Comparação do Tempo de Processamento
O SITUA é capaz de fornecer em um dos arquivos de saída o tempo de processamento das
análises. Esses tempos de CPU serão comparados na Tabela 9.4, caso a caso:
Tabela 9.4 – Tempo de processamento para ondas regulares e irregulares, em seg
CASO IRREGULAR REGULAR GANHO CASO IRREGULAR REGULAR GANHO
1 3420.00 2678.0 21.70%
15 4587.00 2265.0 50.60%
2 3926.00 2667.0 32.10%
16 4808.00 544.0 88.70%
3 4115.00 2332.0 43.30%
17 5150.00 - -
4 3535.00 2531.0 28.40%
18 5094.00 2388.0 53.10%
5 4237.00 1755.0 58.60%
19 3911.00 1637.0 58.10%
6 4354.00 2389.0 45.10%
20 4351.00 2079.0 52.20%
7 3926.00 - -
21 4240.00 1689.0 60.20%
8 4649.00 - -
22 4349.00 1671.0 61.60%
9 4893.00 2416.0 50.60%
23 4937.00 2275.0 53.90%
10 3847.00 1351.0 64.90%
24 4699.00 2291.0 51.20%
11 4145.00 2312.0 44.20%
25 4614.00 2074.0 55.00%
12 3987.00 1829.0 54.10%
26 5280.00 2319.0 56.10%
13 4382.00 787.0 82.00%
27 5037.00 2287.0 54.60%
14 4700.00 2422.0 48.50%
59
10. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS
Observa-se aqui que, numa primeira tentativa, foram feitas análises com a máquina de
tração funcionando. E, como era de se esperar, não houve variação da tração entre as
análises regulares e irregulares, pois a ação da máquina é exatamente manter a tração no
patamar especificado. Por isso, novas análises foram efetuadas com a máquina de tração
travada.
Nesta condição de máquina travada verificou-se (Figura10.1, Figura 10.2 e Figura 10.3)
que, no intervalo estudado, os operados de tração para lançamento de duto pela BGL
podem ser aproximados por curvas de tendência linear em função da altura significativa.
Os coeficientes angulares dessas curvas parecem ser influenciados tanto pela direção de
incidência quanto pelo período de pico. Por sua vez o coeficiente linear varia entre valores
próximos e de média igual a 1 (um).
Ainda sobre a inclinação das curvas de tendência, nota-se que os casos de incidência de
onda de 135° e 180° possuem comportamento diferente dos casos com incidência de 90°.
Concluiu-se que isso corre devido a configuração do RAO dessas direções (ver Figura
8.2), demonstrando influência do RAO na determinação de coeficientes gerais.
O resultado do caso 1 (Hs=1.0m; Tp=7.0s; Dir=90°) é contestável, pois o operador de
tração nesse cenário apresentou-se fora dos padrões observados (ver Figura10.1).
Figura10.1 - Curvas de Tendência para Operador de Tração/ Dir = 90°
y = -0.013x + 1.0352
y = -0.1214x + 1.1013
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.100
1.200
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
OPERADOR DE TRAÇÃO
Hs [m]
Tp=7.0s;Dir=90°
Tp=10.0s;Dir=90°
Tp=13.0s;Dir=90°
Linear (Tp=10.0s;Dir=90°)
Linear (Tp=13.0s;Dir=90°)
60
Figura 10.2 – Curva de Tendência do Operador de Tração / Dir = 135°
Figura 10.3 – Curva de Tendência do Operador de Tração / Dir = 180°
Portanto recomenda-se que maiores estudos devem ser feitos de forma a correlacionar o
operador de tração ao ângulo de incidência da onda, ao período de pico e ao RAO. Outras
alturas significativas também devem ser consideradas com o propósito de investigar a
correspondência linear notada nesse trabalho.
A partir do operador de tração obtido no item anterior e em função dos períodos, das
alturas e das direções de onda considerados nas análises de mar irregular a conclusão que
se chega é que a tração de topo para lançamento de dutos rígidos com o diâmetro de 12 pol
e com a máquina de tração travada pode ser estimada diretamente de uma análise com
onda regular com o esforço computacional, em média, duas vezes menor.
y = 0.2336x + 0.9733
y = 0.1699x + 0.9665
y = 0.0283x + 1.079
1.000
1.050
1.100
1.150
1.200
1.250
1.300
1.350
1.400
1.450
1.500
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
OPERADOR DE TRAÇÃO
Hs [m]
Tp=7.0s;Dir=135°
Tp=10.0s;Dir=135°
Tp=13.0s;Dir=135°
Linear (Tp=7.0s;Dir=135°)
Linear (Tp=10.0s;Dir=135°)
Linear (Tp=13.0s;Dir=135°)
y = 0.141x + 0.9775
y = 0.1838x + 0.9296
y = 0.1073x + 0.9861
1.050
1.100
1.150
1.200
1.250
1.300
1.350
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
OPERADOR DE TRAÇÃO
Hs [m]
Tp=7.0s;Dir=180°
Tp=10.0s;Dir=180°
Tp=13.0s;Dir=180°
Linear (Tp=7.0s;Dir=180°)
Linear (Tp=10.0s;Dir=180°)
Linear (Tp=13.0s;Dir=180°)
61
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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PPC-001, Petrobras-Cenpes - PDP, 1999.