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Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Mestrado em Matemática

Ideais Primitivos e o Módulo Conormal

Reginaldo Amaral Cordeiro Junior

2013






por


sob orientação do

Prof. Dr. Cleto Brasileiro Miranda Neto

Maio de 2013

João Pessoa-PB

ii

C794s Cordeiro Junior, Reginaldo Amaral.

Ideais primitivos e o módulo conormal/ Reginaldo AmaralCordeiro Junior. � João Pessoa: [s.n.], 2013.

50f.Orientador : Cleto Brasileiro Miranda Neto.Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Matemática. 2. Ideal primitivo. 3. Módulo conormal

UFPB/BC CDU: 51(043)






por


Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade

Federal da Paraíba, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre

em Matemática.

Área de Concentração: Álgebra

Aprovado por:

Prof. Dr. Cleto Brasileiro Miranda Neto�UFPB (Orientador)

Prof. Dr. Aron Simis � UFPE

Prof. Dr. Napoleón Caro Tuesta � UFPB

iv

Aos meus pais

v

Sumário

Agradecimentos vii

Resumo viii

Abstract ix

Introdução x

1 Preliminares 1

1.1 O módulo de derivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Idealizadores diferenciais e tangenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Ideais Primitivos 5

2.1 Ideais primitivos de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 O cálculo do ideal primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Módulo Conormal via Ideais Primitivos 20

3.1 Torção via ideais primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Liberdade de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A Resultados Auxiliares 37

Referências Bibliográ�cas 38

vi

Agradecimentos

Agradeço acima de tudo a Deus, pelo dom da vida e por estar constantemente

me provando que é possível crescer diante das di�culdades e também pela felicidade

de poder compartilhar com todos a conquista de mais essa etapa importante em

minha vida.

Ao professor Cleto Brasileiro Miranda Neto, pela orientação e tempo dedicado a

este trabalho.

A toda minha família, sobretudo a meus pais Reginaldo e Marta Suely, que

con�aram em mim e estiveram sempre ao meu lado me incentivando.

A minha namorada e amiga Yane Lísley, pelo carinho, compreensão e incentivo

dedicados a mim nesses anos.

Aos amigos que encontrei em minha caminhada, os quais tanto me incentivaram e

me ajudaram a transpor todos os obstáculos até aqui. Em especial, agradeço Gilson

Mamede, Josenildo Brandão, Guilherme Luiz, Dayvid Gerverson, Gustavo Araújo,

Pammella Queiroz e aos amigos da pós-graduação, pela amizade, companherismo e

grande apoio nos momentos difíceis.

Aos professores do departamento de matemática da UEFS, pelo apoio e incentivo.

A Capes, pelo apoio �nanceiro.

En�m, a todos aqueles que colaboraram de alguma forma para a realização deste

trabalho.

Muito Obrigado!

vii

Resumo

Neste trabalho, nosso principal objetivo é introduzir e investigar certas

propriedades dos chamados ideais primitivos de Pellikaan-Siersma, incluindo uma

versão relativa a um par de ideais e uma generalização em ordem superior devida a

Jiang-Simis, bem como aplicar tal teoria ao estudo do módulo conormal M de um

ideal em um anel quociente, com foco em uma descrição adequada de sua torção

T (M) e na liberdade do módulo livre-de-torção M/T (M). A conexão entre M e a

segunda potência simbólica de um certo ideal (o ideal cujo módulo conormal é M)

também será destacada.

viii

Abstract

In this work, our main objective is to introduce and investigate certain properties

of the so-called primitive ideals of Pellikaan-Siersma, including a version relative to

a pair of ideals and a generalization to higher order due to Jiang-Simis, as well as to

apply such theory to the study of the conormal module M of an ideal in a quotient

ring, with focus on an adequate description of its torsion part T (M) and on the

freeness of the torsion-free module M/T (M). The connection between M and the

second symbolic power of a certain ideal (the ideal whose conormal module is M)

will also be highlighted.

ix

Introdução

Neste trabalho, nosso principal objetivo é introduzir e investigar certas

propriedades dos chamados ideais primitivos ([14], [15]), incluindo uma versão

relativa a um par de ideais ([6]) e uma generalização em ordem superior ([8]), bem

como aplicar tal teoria ao estudo do módulo conormal M de um ideal em um anel

quociente, com foco em uma descrição adequada de sua torção T (M) e na liberdade

do módulo livre-de-torção N := M/T (M) ([7]). A conexão entre M e a segunda

potência simbólica de um certo ideal (o ideal cujo módulo conormal é M) também

será destacada.

A titulo de informação, diversas aplicações (que não serão abordadas neste

trabalho) desta teoria podem ser executadas em Teoria de Singularidades (de onde

o conceito de ideal primitivo é oriundo), por exemplo, no estudo de retas em uma

interseção completa com singularidade isolada ([7, Section 5], [5]).

No Capítulo 1 introduzimos algumas noções iniciais que serão úteis ao longo de

todo o trabalho, a saber: o módulo clássico de derivações, e os módulos idealizadores

diferenciais e tangenciais tanto em versão absoluta como em versão relativa.

No Capítulo 2, a nossa principal meta é o estudo do ideal primitivo relativo

a um dado par de ideais. Introduziremos um análogo em ordem superior de tal

ideal. Faremos uso da noção de operadores diferenciais de ordem superior iterados, e

estabeleceremos uma conexão entre ideais primitivos de ordem superior e potências

simbólicas (relativas) de um ideal. Apresentaremos também um algoritmo para

calculá-los e forneceremos exemplos explícitos, ilustrando o método.

No Capítulo 3, estaremos concentrados no estudo do módulo conormal M :=

J/J2 de um ideal J em um anel residual A/I, onde A é um anel de polinômios

sobre um corpo de característica zero. Daremos uma abordagem por meio de ideais

x

primitivos. O A-submódulo de torção T (M) ⊂ M (cuja estrutura relacionaremos

com a segunda potência simbólica J (2) de J) e o correspondente módulo livre de

torção M/T (M) serão expressos em termos do ideal primitivo de J relativo a I.

Em geral, A/I é não-regular, de modo que o A/J-módulo M não é livre e pode

ter torção não-trivial, mesmo no caso em que I e J são interseções completas (isto

é, gerados por sequências regulares), e além disso, a dimensão projetiva de J não

é �nita (logo, J não é, em geral, uma interseção completa em A/I). Com base em

tais observações, os seguintes problemas são importantes:

a) Descrever o módulo T (M), e calcular o seu comprimento (quando �nito);

b) Descrever o módulo N := M/T (M) e encontrar uma caracterização para

liberdade de N .

Sob certas condições, solucionaremos os problemas a) e b). Mais precisamente,

após a obtenção de descrições para os módulos T (M) e N , provaremos o principal

resultado tratado nessa dissertação:

Teorema Principal. Sejam I ⊂ J ideais interseções completas em um anel de

polinômios A sobre um corpo k de característica zero. Suponha que o Spec(A/J) é

reduzido e conexo, e que o ideal jacobiano J (I) de I não está contido em nenhum

primo minimal de A/J . O A/J-módulo N é livre se, e somente se, existe uma

sequência regular g1, . . . , gn gerando J , tal que

∫I

J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2,

onde p := grade(I), n := grade(J).

Finalmente, um exemplo será dado ilustrando este resultado principal.

Um pequeno apêndice fornecido no �nal deste trabalho, contendo o enunciado

de quatro resultados bem conhecidos em Álgebra Comutativa e que foram algumas

das ferramentas usadas nesta dissertação.

xi

Capítulo 1

Preliminares

Ao longo deste capítulo, apresentaremos alguns conceitos fundamentais para este

trabalho.

Convenção: Em toda esta dissertação, o termo anel signi�cará anel comutativo

com 1.

1.1 O módulo de derivações

De�nição 1.1. Sejam A um anel e M um A-módulo. Uma derivação de A em M

(ou a valores em M) é uma aplicação D : A −→M satisfazendo as relações

(i) D(a+ b) = D(a) +D(b)

(ii) D(ab) = aD(b) + bD(a) (Regra de Leibniz)

para quaisquer a, b ∈ A.

O conjunto de todas as derivações de A em M , denotado por Der(A,M), torna-

se um A-módulo com as operações naturais (D1 + D2)(a) = D1(a) + D2(a) e

(aD)(b) = aD(b). No caso M = A, a notação se reduz a Der(A). Se A é uma

k-álgebra (k anel) via um homomor�smo ϕ : k −→ A, pomos

Derk(A,M) = {D ∈ Der(A,M) |D ◦ ϕ ≡ 0},

1

Capítulo 1. Preliminares 2

que, como se veri�ca imediatamente, é um A-submódulo de Der(A,M). Os

elementos de Derk(A,M) são chamados de k-derivações (ou derivações sobre k).

Observamos que, sendo 1 · 1 = 1, temos D(1) = D(1 · 1) = 1 · D(1) + 1 · D(1)

donde D(1) = 0 para qualquer D ∈ Der(A,M). Assim, considerando A como uma

Z-álgebra, obtemos Der(A,M) = DerZ(A,M).

A notação para A-módulo das k-derivações a valores em A (isto é, caso M = A)

reduz-se a Derk(A). O anel de coe�cientes de uma derivação D ∈ Derk(A) (como

aplicação k-linear) é o núcleo Ker(D). Notamos que Im(ϕ) ⊆ Ker(D), onde

ϕ : k −→ A é o homomor�smo estrutural.

Consideremos dois exemplos básicos:

Exemplo 1.2. Sejam A um anel, B = A[X1, . . . , Xn] (onde os X ′is são

indeterminadas sobre A) eM um B-módulo. Fixando arbitrariamente m1, . . . ,mn ∈

M , vemos que D =n∑i=1

∂

∂Xi

·mi é uma derivação, o que segue imediatamente da

aditividade das derivadas parciais e da regra de Leibniz habitual. Quando M = B

e mi = Xi, 1 ≤ i ≤ n, D é chamada a derivação de Euler.

Exemplo 1.3. Sejam A anel e A[X] = A[X1, . . . , Xn]. Então DerA(A[X]) é um

A[X]-módulo livre de posto n, gerado por∂

∂X1

, . . . ,∂

∂Xn

. Explicitamente:

DerA(A[X]) =n⊕i=1

A[X] · ∂

∂Xi

∼= A[X]n.

Encerramos esta seção citando uma propriedade natural das derivações: se A é

um anel e S ⊂ A um conjunto multiplicativo, então cada D ∈ Der(A) induz uma

(única) D ∈ Der(AS), onde AS denota S−1A. Essencialmente, põe-se D : AS −→ AS

como D(t−1a) = t−2(tD(a)−aD(t)). Se em particular A é um domínio de integridade

(donde o ideal (0) é primo) com corpo de fraçõesK (isto é, K = AS com S = A\{0})

e se L é um corpo qualquer contendo A, então cada D ∈ Der(A,L) se estende a uma

D ∈ Der(K,L).


1.2 Idealizadores diferenciais e tangenciais

Seja A um anel e seja k ⊂ A um subanel. O conjunto Endk(A) de endomor�smos

de k-módulos de A é um A-módulo da maneira usual, através da qual a multiplicação

por escalar aρ (a ∈ A, ρ ∈ Endk(A) ) é para ser tomada como a composição µa ◦ ρ,

onde µa denota o endomor�smo dado por multiplicação por a.

Dado um inteiro r ≥ 0, seja Diff(r)(A) = Diff(r)k (A) ⊂ Endk(A) o A-submódulo

consistindo dos operadores diferenciais de ordem ≤ r da k-álgebra A ([3], [13]).

Nosso principal interesse estará baseado na seguinte noção inicial.

De�nição 1.4. Seja I ⊂ A ideal. O r-ésimo idealizador diferencial de I é dado por

I(r)I := {δ ∈ Diff(r)(A) | δ(I) ⊂ I}.

Para r = 1, escrevemos I(1)I = II , o o idealizador diferencial de I. Note que, a

partir da estrutura de A-módulo de Endk(A) como acima, segue facilmente que o

idealizador de ordem r de I é um A-submódulo de Diff(r)(A).

No caso em que r = 0, tem-se Diff(0)(A) = A e assim I(0)I = A. É sabido que

Diff(r)(A) = A⊕Der(r)(A),

onde Der(r)(A) é o A-módulo das k-derivações de ordem r de A, e que portanto

I(r)I = A⊕Der

(r)I (A), onde

Der(r)I (A) = {δ ∈ Der(r)(A) | δ(I) ⊂ I},

o chamado o r-ésimo idealizador tangencial de I. No caso r = 1 escrevemos

simplesmente DerI(A), o idealizador tangencial de I, (denotado em [12] por TA(I)).

Dado um outro ideal J , podemos também considerar o idealizador tangencial relativo

ao par I, J ,

DerI,J(A) := {δ ∈ Derk(A) | δ(I) ⊂ J}.

Para um determinado r ≥ 0, consideramos ainda um outro A-módulo, o

A-submódulo (II)r ⊂ I(r)I , gerado pelos elementos de II . Em outras palavras,


os elementos desse submódulo são combinações A-lineares de composições de t

elementos de II , para t ≤ r.

Para um dado elemento f ∈ A, os conjuntos

(II)r(f) := {δ(f) | δ ∈ (II)r} ⊂ I(r)I (f) := {δ(f) | δ ∈ I(r)

I }

são ideais de A, o que segue da estrutura de A-módulo de I(r)I .

Capítulo 2

Ideais Primitivos

O chamado ideal primitivo relativo a um dado par de ideais foi primeiramente

estudado por Jiang-Pellikaan-Siersma ([6], [14],[15]). Neste capítulo, introduziremos

um análogo em ordem superior de tal ideal devido a Jiang-Simis ([8]). Faremos uso

da noção de operadores diferenciais de ordem superior iterados, e estabeleceremos

uma conexão entre ideais primitivos de ordem superior e potências simbólicas

(relativas) de um ideal. Apresentaremos também um algoritmo para calculá-los.

2.1 Ideais primitivos de ordem superior

Antes de de�nirmos o principal conceito deste capítulo, fornecemos a de�nição

de ideal primitivo (ordinário), mas já em um contexto puramente algébrico

(originalmente, tal conceito foi introduzido no contexto complexo-analítico).

De�nição 2.1. Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais. O ideal primitivo de J relativo I é de�nido

por ∫I

J := {f ∈ J | ξ(f) ∈ J para todo ξ ∈ DerI(A)}.

Agora, a noção correspondente em ordem superior:

De�nição 2.2. (i) Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais, e seja r ≥ 0 inteiro. O r-ésimo ideal

primitivo de J relativo a I é dado por

∮ (r)

I

J := {f ∈ J | I(r)I (f) ⊂ J}.

5

Capítulo 2. Ideais Primitivos 6

(ii) O r-ésimo ideal primitivo iterado de J relativo a I é dado por

∫ (r)

I

J := {f ∈ J | (II)r(f) ⊂ J}.

Claramente∮ (r)

I

J ⊂∫ (r)

I

J , pois (II)r ⊂ I(r)I e, trivialmente

∮ (0)

I

J =

∫ (0)

I

J = J.

Se r = 1, simpli�camos a notação e temos∮ (1)

I

J =

∫ (1)

I

J =

∫I

J , que é o ideal

primitivo ordinário.

A vantagem da segunda noção é que ela permite um método recursivo de cálculo,

de acordo com o resultado abaixo.

Proposição 2.3. Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais. Então

∫ (r)

I

J =

{f ∈ J | II(f) ⊂

∫ (r−1)

I

J

}.

Em particular,∫ (r)

I

J =

∫I

(∫ (r−1)

I

J

).

Demonstração: Para r ≥ 0, de�na de forma iterada,

∫ ((r−1→r))

I

J :=

{f ∈ J | II(f) ⊂

∫ ((r−2→r−1))

I

J

}

com a condição inicial ∫ (−1→0)

I

J := J.

Mostraremos que, para todo inteiro r ≥ 0,

∫ (r)

I

J =

∫ ((r−1→r))

I

J


O que facilmente implicará o nosso resultado. Argumentaremos por indução. Seja

r ≥ 0. Uma vez que ∫ (0)

I

J =

∫ ((−1→0))

I

J (= J),

assumiremos indutivamente que, para s ≤ r − 1,

∫ (s)

I

J =

∫ ((s−1→s))

I

J

Mostraremos inicialmente a inclusão

∫ (r)

I

J ⊂∫ ((r−1→r))

I

J. (2.1)

Seja f ∈∫ (r)

I

J e seja δ ∈ II arbitrário. Queremos mostrar que

δ(f) ∈∫ ((r−2→r−1))

I

J.

Por hipótese de indução temos que

∫ (r−1)

I

J =

∫ ((r−2→r−1))

I

J.

Sendo assim, basta mostrar que δ(f) ∈∫ (r−1)

I

J , isto é, que (δ1 · · · δt)(δ(f)) ∈ J

para todo δ1, . . . , δt ∈ II e para todo t ≤ r − 1.

Mas (δ1 · · · δt)(δ(f)) = (δ1 · · · δtδ)(f), e (δ1 · · · δtδ)(f) ∈ J pois trata-se de uma

composição de t + 1 ≤ r derivações de ordem 1, e além disso f foi tomado em∫ (r)

I

J . Assim, (δ1 · · · δt)(δ(f)) ∈ J e logo

δ(f) ∈∫ ((r−2→r−1))

I

J

Daí, segue que f ∈∫ ((r−1→r))

I

J . Mostrando assim a inclusão.


Mostraremos agora a inclusão oposta,

∫ ((r−1→r))

I

J ⊂∫ (r)

I

J (2.2)

Seja f ∈∫ ((r−1→r))

I

J e seja δ ∈ II arbitrário. Queremos mostrar que δ(f) ∈∫ (r−1)

I

J .

Por hipótese de indução temos

∫ (r−1)

I

J =

∫ ((r−2→r−1))

I

J.

Como δ(f) ∈∫ ((r−2→r−1))

I

J , pois f ∈∫ ((r−1→r))

I

J , temos que δ(f) ∈∫ (r−1)

I

J , ou

seja, (δ1 · · · δt)(δ(f)) ∈ J para todo δ1, · · · , δt ∈ II e para todo t ≤ r − 1. Logo

(δ1 · · · δtδ)(f) ∈ J . Segue-se que f ∈∫ (r)

I

J .

Portanto, por (2.1) e (2.2) temos

∫ (r)

I

J =

∫ ((r−1→r))

I

J.

Este resultado acima, apesar de simples, permite-nos derivar alguns resultados

importantes. Primeiro, recordemos a seguinte noção:

De�nição 2.4. Dados um anel Noetheriano A, um ideal I ⊂ A e um inteiro não

negativo s, a s-ésima potência simbólica de I, denotada por I(s), é de�nida como a

interseção das componentes primárias isoladas de I(s). Mais precisamente,

I(s) =

a ∈ A | ∃x ∈ A \ ⋃P∈Min(A/I)

P, com xa ∈ Is .

Proposição 2.5. Seja A uma k-álgebra Noetheriana e sejam I ⊂ J ⊂ A ideais.

Então:

(i) Para todo r ≥ 0,

0 :A

( ∫ (r)

IJ∫ (r+1)

IJ

)⊃ J.


(ii) Se J não possui primos associados imersos, então para todo r ≥ 0,

Ass

(A

J

)= Ass

(A∫ (r)

IJ

).

(iii) Se J não possui primos associados imersos, então, para todo r ≥ 0,

J (r+1) ⊂ J (r+1) ⊂∫ (r)

I

J,

onde J (r+1) denota a imagem inversa, em A, de

(J

I

)(r+1)

⊂ A

I. Além disso,

Ass

(A

J

)= Ass

(A

J (r+1)

).

Demonstração: (i) Vamos proceder por indução em r. Para r = 0, devemos

veri�car que J2 ⊂∫I

J . Como será visto em breve, esta parte já está incluída na

etapa geral da recursão.

Assim suponhamos que J∫ (r−1)

I

J ⊂∫ (r)

I

J , e mostremos que J∫ (r)

I

J ⊂∫ (r+1)

I

J .

De fato, sejam f ∈∫ (r)

I

J , g ∈ J e δ ∈ II . Então

δ(gf) = δ(g)f + gδ(f).

O primeiro somando do lado direito δ(g)f pertence a∫ (r)

I

J (pois f ∈∫ (r)

I

J). Como

δ(f) ∈∫ (r−1)

I

J por suposição, o segundo somando gδ(f) pertence a J∫ (r−1)

I

J . Por

sua vez, este último está contido em∫ (r)

I

J por hipótese de indução.

Daí, como ambos os somandos pertencem a∫ (r)

I

J , temos que δ(gf) ∈∫ (r)

I

J , logo

gf ∈∫ (r+1)

I

J . Portanto o anulador do A-módulo

∫ (r)

IJ∫ (r+1)

IJ

contém J .

(ii) Primeiramente a�rmamos que Jr+1 ⊂∫ (r)

I

J para cada r ≥ 0. Procedamos

por indução em r

Se r = 0 temos que J ⊂∫ (0)

I

J = J por de�nição. Suponhamos que o resultado


seja válido para r − 1, ou seja, Jr ⊂∫ (r−1)

I

J . Provemos agora para r, ou seja,

Jr+1 ⊂∫ (r)

I

J .

Como Jr+1 = JJr e temos por hipótese de indução que Jr ⊂∫ (r−1)

I

J , segue que

JJr ⊂ J

∫ (r−1)

I

J . Por (i) obtemos que J∫ (r−1)

I

J ⊂∫ (r)

I

J , logo Jr+1 ⊂∫ (r)

I

J ,

provando a a�rmação.

Assim das inclusões

Jr+1 ⊂∫ (r)

I

J ⊂ J

decorre que∫ (r)

I

J e J têm o mesmo radical para qualquer r ≥ 0. Por outro lado,

para quaisquer J1, J2 ⊃ I, vale que

∫ (r)

I

(J1 ∩ J2) =

∫ (r)

I

J1 ∩∫ (r)

I

J2.

De fato, se f ∈∫ (r)

I

(J1 ∩ J2) então por de�nição temos que (II)r(f) ⊂ J1 ∩ J2 e

daí (II)r(f) ⊂ J1 e (II)r(f) ⊂ J2. Logo, g ∈∫ (r)

I

J1 e f ∈∫ (r)

I

J2. Agora, seja

g ∈∫ (r)

I

J1 ∩∫ (r)

I

J2, então g ∈∫ (r)

I

J1 e g ∈∫ (r)

I

J2 e por de�nição de ideal

primitivo temos que (II)r(g) ⊂ J1 ∩ J2. Logo, g ∈∫ (r)

I

(J1 ∩ J2), provando outra

inclusão.

Como por hipótese J não tem primos imersos, pode-se, supor que J é um ideal

primário, digamos com Ass

(A

J

)= {P}. A partir da sequência exata curta

0 −→ J∫ (r)

IJ−→ A∫ (r)

IJ−→ A

J−→ 0,

temos

Ass

(A∫ (r)

IJ

)⊂ Ass

(J∫ (r)

IJ

)∪ {P}.

Portanto, é su�ciente mostrarmos que J/∫ (r)

I

J é P -primário. Seja Q ⊂ A um primo


associado do módulo J/∫ (r)

I

J . Logo Q ∈ Ass

(A∫ (r)

IJ

). Há duas possibilidades:

• Q ∈ Min

(A∫ (r)

IJ

). Nesta situação, já que J e

∫ (r)

I

J têm o mesmo radical,

tem-se Min

(A∫ (r)

IJ

)= Min

(A

J

)= {P} donde necessariamente teríamos

Q = P , como queremos.

• Q é um primo associado imerso deA∫ (r)

IJ. Como Min

(A∫ (r)

IJ

)= {P} segue

que P ⊂ Q. A�rmamos, agora, que Q ⊂ P . Uma vez que Q foi tomado em

Ass

(J∫ (r)

IJ

)podemos escrever

Q = 0 : x =

∫ (r)

I

J : (x)

para algum x ∈ J \∫ (r)

I

J .

Se a ∈ Q, então ax ∈∫ (r)

I

J . Por de�nição, para qualquer ξ ∈ (II)r,

ξ(ax) ≡ aξ(x) ≡ 0(mod J). Se a 6∈ P , devemos ter ξ(x) ∈ J . Mas então

x ∈∫ (r)

I

J , o que é uma contradição. Assim, Q ⊂ P e logo Q = P , como

queremos.

Portanto, Ass

(J∫ (r)

IJ

)= {P}, o que completa a prova do item (ii).

(iii) Primeiramente vamos mostrar a inclusão J (r+1) ⊂ J (r+1). Para um A-módulo

M vamos denotar conjunto dos divisores de zero de M por Z(M). Como J não têm

primos imersos, podemos escrever J (r+1) = {a ∈ A | ∃x ∈ A \ Z(A/J), comxa ∈

Jr+1} ⊂ J (r+1) = {a ∈ A | ∃x ∈ A \ Z(A/J), comxa ∈ Jr+1 + I}.

Provaremos agora a inclusão J (r+1) ⊂∫ (r)

I

J .

Procedendo por indução em r, temos que o resultado para r = 0 é válido pois

J = J + I = J =

∫ (0)

I

J . Seja agora f ∈ J (r+1). Pela Proposição 2.3 mostraremos

que δ(f) ∈∫ (r−1)

I

J para todo δ ∈ II . Por de�nição de potência simbólica, existe


x ∈ A \ Z(A/I/J/I) = A \ Z(A/J) tal que xf ∈ Jr+1 + I. Pela parte (i),

Jr+1 ⊂∫ (r)

I

J . Como I ⊂∫ (r)

I

J , então xf∈∫ (r)

I

J . Segue que

δ(x)f + xδ(f) = δ(xf) ∈∫ (r−1)

I

J.

Mas f ∈ J (r+1) ⊂ J (r) (devido à inclusão descendente natural de sucessivas

potências simbólicas). Por indução, J (r) ⊂∫ (r−1)

I

J . Portanto, xδ(f) ∈∫ (r−1)

I

J .

Como x ∈ A \ Z(A/J) e Z(A

J

)= Z

(A∫ (r−1)

IJ

)(pela parte (ii)), segue que

δ(f) ∈∫ (r−1)

I

J , logo f ∈∫ (r)

I

J . Portanto, J (r+1) ⊂∫ (r)

I

J .

Para a�rmação sobre primos associados, nota-se que os primos associados de J/I

provém dos primos associados de J , e assim J/I não têm primos imersos, pois J

por hipótese possui apenas primos minimais. Neste caso, da de�nição de potência

simbólica, tem-se

Ass

(J

I

)= Ass

((J

I

)(r+1))

para qualquer r ≥ 1 . Assim, como os primos associados de J (r+1) são as imagens

inversas dos associados de

(J

I

)(r+1)

, a a�rmação segue.

Lema 2.6. Seja A uma k-álgebra �nitamente gerada sobre um anel k. Sejam

I ⊂ J ⊂ A ideais sem primos imersos e seja S ⊂ A um conjunto multiplicativo.

Então para cada r ≥ 0

S−1

(∫ (r)

I

J

)'∫ (r)

S−1I

S−1J.

Demonstração: Primeiramente vamos mostrar que S−1II ' IS−1I .

Se S intercepta algum primo minimal de I, então S−1I ' S−1A. Daí claramente

IS−1I = Diff(1)(S−1A), enquanto S−1II = Diff(1)(S−1A) já que II ⊃ IDiff(1)(A).

Agora, suponha que S não intercepta primo minimal de I. Existe um isomor�smo

natural S−1Diff(1)(A)ϕ' Diff(1)(S−1A) (veja [3]). Precisamente, se t−1δ ∈

S−1Diff(1)(A) e se s−1f ∈ S−1A, então (ϕ(t−1δ))(s−1f) = (ts2)−1(δ(s)f − sδ(f)).

Observe que a restrição ϕ|S−1II injeta S−1II em IS−1I . Restamos mostrar que tal


injeção é sobrejeção.

De fato, seja ξ ∈ IS−1I e seja t−1δ = ϕ−1(ξ) ∈ S−1Diff(1)(A). Seja f ∈ I.

Então ξ(f/1) = (ϕ(t−1δ))(f/1) = (t)−1(δ(1)f − δ(f)) ∈ S−1I por suposição, logo

δ(f)/1 ∈ S−1I, assim sδ(f) ∈ I para algum s ∈ S. Como I não têm primo

imerso por hipótese e S não intercepta primo minimal de I, segue que s 6∈ Z(A

I

).

Portanto, δ(f) ∈ I, logo δ ∈ II , mostrando então que t−1δ ∈ S−1II , como pretendido.

Assim, S−1II ' IS−1I via ϕ.

Exatamente, o mesmo tipo de argumento mostra que a restrição S−1DerI(A) −→

DerS−1I(S−1A) induzida por ϕ, é um isomor�smo.

Agora vamos provar a a�rmação principal, por indução em r.

Começando com r = 0, não temos o que provar, pois

S−1

∫ (0)

I

J = S−1J =

∫ (0)

S−1I

S−1J.

Assuma que o resultado seja válido para r − 1. Dado g ∈ A podemos de�nir

(DerI(A))(g) := {δ(g) | δ ∈ DerI(A)}, que é um ideal de A. Pela Proposição

2.3, temos que ∫ (r)

I

J = {g ∈ J | (DerI(A))(g) ⊂∫ (r−1)

I

J},

e, similarmente,

∫ (r)

S−1I

S−1J = {g ∈ J | (DerS−1I(S−1A))(g) ⊂

∫ (r−1)

S−1I

S−1J},

Como já vimos, S−1DerI(A) ' DerS−1I(S−1A) via ϕ, e pela hipótese de indução,

S−1

∫ (r−1)

I

J =

∫ (r−1)

S−1I

S−1J.

Seja agora, g ∈∫ (r)

I

J e η ∈ DerS−1I(S−1A) = ϕ(S−1DerI(A)). Digamos,

η = ϕ(t−1δ) para algum δ ∈ DerI(A). Aplicando η em g/1, encontramos

t−1(δ(1)g−δ(g)) = −t−1δ(g) (aqui, use δ(1) = 0, pois δ é uma derivação ordinária de

A). O último elemento pertence S−1

∫ (r−1)

I

J =

∫ (r−1)

S−1I

S−1J , já que δ(g) ∈∫ (r−1)

I

J


por hipótese. Isso mostra que a imagem de∫ (r)

I

J pelo o homomor�smo canônico

σ : A −→ S−1A, σ(a) = a/1, é um subideal de

∫ (r)

S−1I

S−1J.

Daí, segue que S−1

∫ (r)

I

J ⊂∫ (r)

S−1I

S−1J .

Reciprocamente, seja s−1g ∈∫ (r)

S−1I

S−1J . A �m de provarmos a inclusão oposta,

podemos assumir que s = 1.

Seja δ ∈ DerI(A). Então ϕ(δ/1) ∈ ϕ(S−1DerI(A)) = DerS−1I(S−1A), daí,

(ϕ(δ/1))(g/1) ∈∫ (r−1)

S−1I

S−1J = S−1

∫ (r−1)

I

J . Novamente, (ϕ(δ/1))(g/1) =

−δ(g)/1. Portanto, tδ(g) ∈∫ (r−1)

I

J , para algum t ∈ S.

Uma vez que a noção de ideal primitivo claramente comuta com a operação de tomar

interseções ao nível de J (vide prova da Proposição 2.3 item (ii)), podemos assumir

que J é primário. Seja P o radical de J . Podemos assumir que P não intercepta S,

o que implica t 6∈ Z(A

J

). Pela Proposição 2.3, item (ii), segue que δ(g) ∈

∫ (r−1)

I

J ,

logo g ∈∫ (r)

I

J . Assim g/1 ∈ S−1

∫ (r)

I

J . Logo∫ (r)

S−1I

S−1J ⊂ S−1

∫ (r)

I

J . Portanto,

S−1

∫ (r)

I

J =

∫ (r)

S−1I

S−1J.

A seguir veremos que, sob certas condições, o ideal primitivo iterado coincide

com a imagem inversa de uma potência simbólica adequada. Assumiremos que k é

um corpo e que A é um anel de polinômios sobre k.

Lembremos que, para um anel a�m A/I, com I = (f1, . . . , fm), o seu ideal

jacobiano é o ideal (J (I) + I)/I, onde J (I) ⊂ A é o ideal gerado pelos c × c

menores da matriz Jacobiana de {f1, . . . , fm} onde c é a codimensão de I.(Trata-se

de um ideal de Fitting; logo não há dependência com relação à escolha de geradores

de I).


Proposição 2.7. Seja A = k[z1, . . . , zn] um anel de polinômios sobre um corpo k

de característica zero e sejam I ⊂ J ⊂ A ideais, com I puro (ou seja, todo primo

associado de I possui a mesma altura) e J radical. Se J (I) não está contido em

nenhum elemento de Ass(A/J), então para todo r ≥ 0

∫ (r)

I

J = J (r+1).

Demonstração: Pela Proposição 2.5, os ideais∫ (r)

I

J e J (r+1) não possuem primos

imersos e os seus radicais são iguais a J . Portanto, é su�ciente mostrar que os dois

ideais são iguais localmente em cada P ∈ Ass(A/J).

Como A é um anel de polinômios sobre um corpo, existe um isomor�smo bem

conhecido de A/I-módulos ([11]),

Diff1(A/I) ' IIIDiff1(A)

.

Daí, pelo caráter recursivo do ideal primitivo iterado, pode-se escrever(∫ (r)

I

J

)/I =

∫ (r)

0

(J/I)

onde 0 =I

I. Assim, pelo Lema 2.6, temos

(∫ (r)

IP

JP

)/IP =

∫ (r)

0

(J/I)P/I .

Uma vez que ambos os lados comutam com interseções e J foi assumido radical,

podemos supor que J é um ideal primo. Assim, a hipótese de que J (I) não está

contido em J (= P ) implica que J pertence ao lugar regular deA/I, ou seja, (A/I)P/I

é anel local regular. Neste caso, pela caracterização diferencial de regularidade dada

em [16, Theorem 3.2], obtemos

∫ (r)

0

(J/I)P/I = (J/I)(r+1)P/I .


Logo, (∫ (r)

I

J/I

)P/I

= (J/I)(r+1)P/I .

e portanto, (∫ (r)

I

J

)P

= J (r+1)P

como queremos.

2.2 O cálculo do ideal primitivo

Nesta seção, vamos mostrar como calcular efetivamente o r-ésimo ideal primitivo

iterado no caso em que A é um anel de polinômios sobre um corpo k de característica

zero. O resultado computacional básico refere-se ao primeiro ideal primitivo.

Adotamos a convenção de escrever os elementos do A-submódulo

DerI(A) ⊂ Der(A) =n⊕i=1

A∂

∂zi

como vetores-coluna com coordenadas em A.

Proposição 2.8. Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais. Considere geradores J = (g) =

(g1, . . . , gm). Seja Θ(g) a matriz Jacobiana de g, e seja ∆(I) a matriz cujas colunas

formam um conjunto de geradores do A-submódulo DerI(A) ⊂ Der(A). Então

∫I

J = I1(g ·Ψ),

onde Ψ é o levantamento (em A) da matriz de sizigias da transposta de Θ(g) ·∆(I)

módulo o ideal J .


Demonstração: Seja g =∑j

ujgj ∈ J e seja δ =∑i

hi∂/∂zi ∈ DerI(A). Então

δ(g) =

(∑i

hi∂/∂zi

)(∑j

ujgj

)

=∑j

uj

(∑i

hi∂gj/∂zi

)+∑j

gj

(∑i

hi∂uj/∂zi

).

Logo, δ(g) ∈ J se, e somente se,∑j

uj

(∑i

hi∂gj/∂zi

)∈ J . Fazendo δ percorrer

um conjunto de geradores

{∑i

hik∂/∂zi

}1≤k≤p

de DerI(A), esta condição signi�ca

que as entradas do produto

∑i

hi1∂g1/∂zi∑i

hi1∂g2/∂zi · · ·∑i

hi1∂gm/∂zi

......

......∑

i

hip∂g1/∂zi∑i

hip∂g2/∂zi · · ·∑i

hip∂gm/∂zi

·

u1

u2

...

um

pertencem a J . Note que transposta da matriz à esquerda é o produto Θ(g) ·∆(I).

Portanto, δ(g) ∈ J para todo δ ∈ DerI(A) se, e somente se, o vetor -coluna à direita

é uma sizigia desta matriz módulo J .

Observação 2.9. Este resultado, juntamente com a Proposição 2.3, produz um

método e�caz para o cálculo de ideais primitivos iterados. A seguir, veremos alguns

exemplos explícitos.

2.2.1 Exemplos

Exemplo 2.10 (Característica zero). Seja

I =

(xy +

(1

k + 1

)zk+1

), k ≥ 2,


a chamada singularidade Ak. Seja J = (y, z), que de�ne uma reta contida em Ak.

Comecemos calculando o primeiro ideal primitivo. Neste caso, g1 = y e g2 = z.

Logo

Θ(g) =

0 1 0

0 0 1

Além disso, usando por exemplo o método dado em [12, Section 2], obtemos

∆(I) =

zk x 0 kx

0 −y −zk y

−y 0 x z

Logo

Θ(g) ·∆(I) =

0 −y −zk y

−y 0 x z

transpondo, reduzindo módulo J , calculando geradores (u1, u2) do núcleo, e

�nalmente levantando para A obtemos a matriz

Ψ =

1 0 0

0 y z

.

Então

g ·Ψ =(y yz z2

)De modo que, I1(g ·Ψ) = (y, z2). Pela Proposição 2.8 temos

∫I

J = (y, z2).

Observe que, de maneira totalmente análoga, pode-se obter∫I

(y, z2) = (y, z3).

Logo, para o cálculo do segundo ideal primitivo, a Proposição 2.3 nos permite

escrever ∫ (2)

I

J =

∫I

(∫I

J

)=

∫I

(y, z2) = (y, z3).


Continuando dessa forma, veri�camos que

∫ (r)

I

J = (y, zr+1)

sempre que r ≤ k.

Exemplo 2.11. Seja

I = (x2y + y4 + z2),

a chamada superfície D5,2 e considere a reta de�nida pelo ideal J = (y, z). Neste

caso, J é o mesmo do exemplo anterior, mas um conjunto de geradores do A-módulo

DerI(A) corresponde aos vetores-colunas da matriz

∆(I) =

−z 0 x2 + 4y3 3x

0 −2z −2xy 2y

xy x2 + 4y3 0 4z

Aplicando o método ilustrado no exemplo acima, obtemos∫I

J = (y, z2), e usando a

Proposição 2.3, vemos que∫ (2)

I

J = yJ + I. Com mais alguns cálculos (totalmente

análogos aos anteriores) obtemos

∫ (r+1)

I

J = (yr) + I, r ≥ 2.

Capítulo 3

Módulo Conormal via Ideais

Primitivos

Neste capítulo, nosso principal objetivo é estudo do módulo conormalM := J/J2

de um ideal J em um anel residual A/I, onde A é um anel de polinômios sobre um

corpo de característica zero. Daremos uma abordagem por meio de ideais primitivos.

O A-submódulo de torção T (M) ⊂M (cuja estrutura relacionaremos com a segunda

potência simbólica J (2) de J) e o correspondente módulo livre de torção M/T (M)

serão expressos em termos do ideal primitivo de J relativo a I.

Em geral, A/I é não-regular, de modo que o A/J-módulo M não é livre e pode

ter torção não-trivial, mesmo no caso em que I e J são interseções completas (isto

é, gerados por sequências regulares), e além disso, a dimensão projetiva de J não

é �nita (logo, J não é, em geral, uma interseção completa em A/I). Com base em

tais observações, os seguintes problemas são importantes:

a) Descrever o módulo T (M), e calcular o seu comprimento (quando �nito);

b) Descrever o módulo N := M/T (M) e encontrar uma caracterização para

liberdade de N .

Sob certas condições, solucionaremos os problemas a) e b). Mais precisamente,

após a obtenção de descrições para os módulos T (M) e N , provaremos o principal

resultado tratado nessa dissertação:

20

Capítulo 3. Módulo Conormal via Ideais Primitivos 21






∫I

J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2,


3.1 Torção via ideais primitivos

Seja E um módulo sobre um anel A, e seja S o conjunto dos não-divisores-de-zero

de A. Denote por Q o anel total de frações de A, e por ES := E ⊗A Q. O núcleo

do mapa canônico E −→ ES, e 7−→ e/1, é denotado por T (E), o o submódulo de

torção de E, ou simplesmente, torção de E.

Sejam I ⊂ J ideais de um anel Noetheriano A. Denote por J := J/I, o ideal

quociente em A/I.

De�nição 3.1. O A/J-módulo M := J/J2 ' J/(J2 + I) é chamado módulo

conormal de J .

Proposição 3.2. Seja A um anel de polinômios sobre um corpo k de característica

zero. Sejam I ⊂ J ⊂ A ideais puros, com J radical, tal que o ideal Jacobiano J (I)

de I não está contido em nenhum primo minimal de A/J , então

T (M) = T :=

∫I

J

J2 + I' J (2)

J2.

Consequentemente, se N =M

T (M)então

N ' J∫I

J

.


Demonstração: Dado um ideal P ⊂ A denotemos por P a sua imagem em A/I.

Primeiramente, provaremos que T ⊂ T (M).

Note que, para qualquer P ∈ V(J) \ V(J (I)) ∪ V(J (J)), onde V(−) denota um

fechado de Zariski. Em particular, temos que P 6⊃ J (I) · J (J). Note que

TP =

(∫0

JP

)/J2

P

é um módulo sobre o anel local R := (A/I)P . Como R e R/JP são anéis regulares,

temos que JP é gerado por uma parte de um sistema regular de parâmetros

{g1, . . . , gd} (vide Teorema A.1) onde d é a dimensão de R. Além disso, podemos

assumir que J é primo. Assim, como JP é gerado por um R-sequência e J é primo,

temos por [4] que J2P

= J(2)

P, a segunda potência simbólica de JP . Agora, pelo

critério dado em [16, Theorem 3.2], obtemos

∫0

JP = J(2)

P,

e assim TP = 0, o que equivale a 0 : T 6⊂ P . Assim, provamos que

J (I) · J (J) ⊂⋂

Q⊃0:T

Q =√

0 : T .

Se s é tal que (√

0 : T )s ⊂ 0 : T , obtemos que a s-ésima potência de J (I)J (J) anula

T , segue que T ⊂ T (M).

Seja agora, a ∈ T (M),e seja β ∈ A/J um não-divisor-de-zero tal que βa = 0.

Tomando um representante, tem-se βa ∈ J2 + I. Para qualquer ξ ∈ DerI(A), temos

que ξ(βa) ≡ βξ(a) modJ . Além disso, ξ(βa) ∈ J . Daí, ξ(a) ∈ J e a ∈∫I

J , donde

a ∈ T , mostrando que T (M) ⊂ T . Portanto T (M) = T .

Resta-nos provar que N ' J/

∫I

J . Note que, pela Proposição 2.7, temos

(∫I

J

)/I = J (2),


logo T ' J (2)

J2. Assim T (M) ' J (2)

J2. Finalmente:

N =M

T (M)=

J/J2

J (2)/J2' J

J (2)' J/

∫I

J.

Antes de provarmos o próximo resultado, demonstraremos o seguinte lema:

Lema 3.3. Para dois ideais J ⊂ I ⊂ A com I radical e√J = I, tem-se

Ass(A/J) = Ass(I/J) ∪ Ass(A/I).

Demonstração: Considere a sequência exata estrutural

0 −→ I

J−→ A

J−→ A

I−→ 0

De onde obtemos Ass(A/J) ⊆ Ass(I/J) ∪ Ass(A/I).

Mostremos agora que Ass(A/J) ⊇ Ass(I/J) ∪ Ass(A/I). Como, claramente,

Ass(I/J) ⊂ Ass(A/J), basta mostrarmos que Ass(A/I) ⊂ Ass(A/J).

Para isto, seja P ∈ Ass(A/I). Por de�nição, existe x ∈ A \ I tal que P = I : x.

Segue que

Px ⊂ I =√J =

⋂Q∈Min(A/J)

Q.

Como x 6∈ I, existe Q ∈ Min(A/J) tal que x 6∈ Q. Por outro lado, Px ⊂ Q, o que

implica que P ⊂ Q. Mas

Q ∈ Min(A/J) = Min(A/I)

donde P = Q, e portanto P ∈ Ass(A/J), como queremos.

Agora, lembremos a de�nição de sequência regular.

De�nição 3.4. Uma sequência (ordenada) x1, . . . , xn de elementos de A é dita uma


A-sequência ou sequência regular (em A) se (x1, . . . , xn) 6= A, e para cada i

xi 6∈ Z(

A

(x1, . . . , xn−1)

)

Em seguida, provamos o seguinte resultado auxiliar:

Lema 3.5. Seja J um ideal radical de um anel Notheriano A. Suponha que J é

gerado por uma sequência regular g1, . . . , gn. Se J∗ := (g1, . . . , gt) + (gt+1, . . . , gn)2

para algum 1 ≤ t ≤ n, então

Ass(A/J∗) = Ass(A/J).

Demonstração: Primeiramente, como J é radical e√J∗ = J , o Lema 3.5 fornece

Ass(A/J∗) = Ass(J/J∗) ∪ Ass(A/J)

de maneira que apenas precisamos provar que Ass(J/J∗) ⊂ Ass(A/J).

Tomemos uma decomposição prima minimal J =r⋂i=1

Pi com Pi = J : xi, com

xi ∈ A \ J . Seja Q ∈ Ass(J/J∗), e escreva Q = J∗ : y, com y ∈ J \ J∗. Temos dois

casos a tratar:

• Q ⊆r⋃i=1

Pi. Neste caso pela Proposição A.2 item (i), tem-se Q ⊆ Pj para

algum j. Mas, Q ∈ Ass(A/J∗) e Pj ∈ Min(A/J∗), donde segue Q = Pj, e logo

Q ∈ Ass(A/J), como queremos.

• Q 6⊂r⋃i=1

Pi. Seja q ∈ Q \r⋃i=1

Pi. Então qy ∈ J∗, e qxi 6∈ J para i.

Agora escreva qy ≡ β1g1 + · · ·+ βtgt mod J2 e y =∑n

k=1 ykgk. Então

qy − (β1g1 + · · ·+ βtgt) =

q(y1g1 + . . .+ ytgt + yt+1gt+1 + . . .+ yngn)− (β1g1 + · · ·+ βtgt) =

(qy1 − β1)g1 + · · ·+ (qyt − βt)gt + qyt+1gt+1 + · · ·+ qyngn ≡ 0 mod J2

Por outro lado, como qy ∈ J e g1, . . . , gn formam uma A-sequência, vê-se que


qyi−βi ∈ J para i = 1, . . . , t. Logo qyt+1gt+1+· · ·+qyngn ∈ J2. Explicitamente

qyt+1gt+1 + · · ·+ qyngn =n∑1

higi

com hi ∈ J para todo i. Usando novamente o fato de que g1, . . . , gn constituem

uma A-sequência, obtemos que qyj − hj ∈ J , para j = t+ 1, . . . , n, e portanto

qyj ∈ J =r⋂i=1

Pi. Como q 6∈ Pi para todo i = 1, . . . , r temos que yj ∈ J ,

com j = t + 1, . . . , n. Portanto, sendon∑k=1

ykgk, temos que y ∈ J∗, que é uma

contradição.

Está mostrado portanto, que somente o primeira situação é possível. Então, digamos

Q ⊂ P1.

Por outro lado, como Ass(J/J∗) ⊂ Ass(A/J∗) e√J∗ = J , temos que Q ⊃ J =

r⋂i=1

Pi

e assim pela Proposição A.2, item (ii), obtemos Q ⊃ Pi para algum 1 ≤ i ≤ r, o que

implica em i = 1, poisr⋂i=1

Pi é decomposição prima minimal de J . Logo Q = P1, e

portanto Q ∈ Ass(A/J).

De�nição 3.6. Seja A um anel Noetheriano, um ideal I ⊂ A é dito uma interseção

completa se I pode ser gerado por uma A-sequência.

Proposição 3.7. Sejam I ⊂ J ideais de anel de polinômios A sobre um corpo k de

característica zero. Suponhamos que I é puro e que J é uma interseção completa

radical. Suponha que o ideal Jacobiano J (I) de I não está contido em nenhum

primo minimal de A/J . Se existe um conjunto minimal de geradores {g1, . . . , gn}

de J tal que

(1) As imagens de g1, . . . , gt estão contidas em T (M) para algum inteiro t, com

0 ≤ t ≤ n;

(2) Para qualquer primo P ∈ Ass(A/J), as imagens de gt+1, . . . , gn em (A/I)P

geram (J/I)P como um ideal interseção completa de (A/I)P .

Então ∫I

J = J∗ := (g1, . . . , gt) + (gt+1, . . . , gn)2.


Demonstração: Primeiro é claro que, J∗ ⊂∫I

J . Foi provado na Proposição 2.5

que A/J e A/∫I

J têm os mesmos primos associados. Assim, pelo Lema 3.5, os ideais

J∗ e∫I

J não possuem primos imersos e, além disso, possuem o mesmo radical J .

Basta provarmos que estes ideais coincidem localmente em todo P ∈ Ass(A/J).

Seja f = a1g1 + · · ·+ angn ∈∫I

J . Então para qualquer ξ ∈ DerI(A), temos que

ξ(f) ≡ ξ(f ′) ≡ 0 mod J,

onde f ′ := at+1gt+1 + · · · + angn. Por hipótese, temos P ∈ V(I) \ V(J (I)), logo

ξ(f ′) ∈ (J/I)P , onde e denota a imagem de um elemento e ∈ A (respectivamente

DerI(A)) após redução módulo I e localização em P =P

I. Em outras palavras,

f ′ = at+1gt+1 + · · ·+ angn ∈((∫

I

J

)/I

)P

=

∫0

(J/I)P = (gt+1, . . . , gn)2P ,

onde a última igualdade segue de [16, Theorem 3.2]. Pela hipótese (2), temos que

((at+1, . . . , an)/I)P ⊂ ((gt+1, . . . , gn)/I)P

o que implica (at+1, . . . , an)P ⊂ JP . Assim, provamos que (J∗)P =

(∫I

J

)P

, como

queremos.

Antes de demostrarmos o Corolário 3.9, lembremos um fato importante, que nos

auxiliará para o entendimento do mesmo.

Observação 3.8. É um fato bem-conhecido que se

0 −→ E1 −→ E2 −→ F −→ 0

é uma sequência exata curta de A-módulos, com F livre, então tal sequência cinde,

e portanto E2∼= E1 ⊕ F .

Corolário 3.9. Sob hipótese da Proposição 3.7, tem-se que N é um A/J-módulo

livre, com as imagens gt+1, . . . , gn de gt+1, . . . , gn formando uma base, e M '


T (M)⊕N .

Demonstração: É su�ciente provar que gt+1, . . . , gn são linearmente independentes

sobre A/J . Suponha que existam βt+j ∈ A/J tais que

a := βt+1gt+1 + · · ·+ βngn = 0 ∈ N.

Pela expressão do ideal primitivo fornecida na Proposição 3.7 e tomando

representantes, temos

a ∈ (gt+1, . . . , gn) ∩∫I

J = (g1, . . . , gt) ∩ (gt+1, . . . , gn) + (gt+1, . . . , gn)2.

Escreva a ≡ β1g1 + · · ·+ βtgt mod (gt+1, . . . , gn)2. Então

−β1g1 − · · · − βtgt + βt+1gt+1 + · · ·+ βngn ≡ 0 mod J2.

Disso e da hipótese de que J é uma interseção completa (e por argumentos já usados

anteriormente), segue que βj ∈ J . Logo βj = 0, e assim gt+1, . . . , gn são linearmente

independentes sobre A/J . Portanto, gt+1, . . . , gn é base de N . Finalmente, a

sequência exata estrutural

0 −→ T (M) −→M −→ N −→ 0

é cindida, donde M ' T (M)⊕N .

Finalizamos esta seção com a observação abaixo.

Suponha que um ideal J é gerado por uma sequência regular g1, . . . , gn. Assuma

que exista um inteiro 0 ≤ t ≤ n, bem como não-divisores-de-zero β1, . . . , βt ∈ A/J ,

tais que β1g1, . . . , βtgt são zero em M como um A/J-módulo. Logo β1g1, . . . , βtgt ∈

J2 + I, onde βigi é representante de βigi.

Seja {h1, . . . , hp} um conjunto minimal de geradores de I. Denote

h = T(h1, . . . , hp), g = T(g1, . . . , gn), G = T(G1, . . . , Gt), Λ = diag{β1, . . . , βt},


onde T signi�ca a transposta da matriz indicada.

Sejam A e (B1 |B2) matrizes tais que Λ T(g1, . . . , gt) = Ah + G, h = Bg, onde

A é uma matriz t × p, B uma matriz p × n, B1 uma matriz p × t, B2 uma matriz

p× (n− t) e Gi ∈ J2. Seja C1 = AB1, C2 = AB2. Então temos

(Λ− C1) T(g1, . . . , gt)− C2T(gt+1, . . . , gn) ≡ 0 mod J2.

Note que J/J2 é um A/J-módulo livre (pois J é gerado por uma sequência

regular). Logo Λ = C1, C2 = 0 em A/J . A partir disto obtemos o resultado a

seguir, que pode despertar interesse próprio, e além disso será um dos ingredientes

para prova da parte 1) da Proposição 3.13 que antecede o Teorema Principal.

Lema 3.10. Seja J ⊂ A um ideal interseção completa radical. Então

det(C1) = det(Λ) = β1 · · · βt

é um não-divisor-de-zero em A/J , e consequentemente posto(B1) ≥ t e t ≤ p.

Demonstração: De fato, como foi visto acima, temos Λ = C1, logo

det(C1) = det(diag{β1, . . . , βt}) = β1 · · · βt.

Além disso, como os elementos β1, . . . , βt ∈ A/J são não-divisores de-zero, o seu

produto tem a mesma propriedade. Para a a�rmação do posto, note que a igualdade

C1 = AB1 implica posto(B1) ≥ posto(C1) = t e posto(C1) ≤ p.

3.2 Liberdade de N

Sejam I ⊂ J interseções completas em A = k[x0, x1, . . . , xm], um anel de

polinômios sobre um corpo k de característica zero. Suponha que o ideal Jacobiano

J (I) não está contido em nenhum primo minimal de A/J . Seja p := grade I,

n := grade J . Se J é radical e gerado por uma sequência regular g1, . . . , gn, podemos

escolher um conjunto minimal de geradores {h1, . . . , hp} de I tal que (mudando


geradores de J se necessário):

hi ≡t∑

j=1

bijgj mod J2, 1 ≤ i ≤ p (3.1)

onde t é um inteiro 0 ≤ t ≤ n, e para cada j, a imagem da p-upla (b1j, . . . , bpj) em

(A/J)p é não nula, (do contrário pode-se diminuir t). Escreva B := (bij).

Lema 3.11. Nas condições acima, tem-se:

(1) t ≥ p;

(2) Existe pelo menos 1 menor maximal de B que é não-divisor-de-zero em A/J .

Demonstração: (1) Como I é uma interseção completa, o ideal Jacobiano J (I)

de I pode ser gerado por I e os menores p × p da matriz Jacobiana Θ(I) de I

(com respeito a um conjunto qualquer de geradores de I). Cada um destes menores,

digamos ∆j1,...,jp , é o determinante deBGj1,...,jp módulo J , ondeGj1,...,jp é a submatriz

t× p de Θ(J), consistindo das 0 ≤ j1 < . . . jp ≤ m colunas de Θ(J).

Suponha t < p. Então teríamos, det(BGj1,...,jp) ≡ 0 mod J , o que é impossível, uma

vez que J (I), por hipótese não está contido em nenhum primo minimal de A/J .

Portanto t ≥ p.

(2) Suponha que todos os menores p × p de B são divisores-de-zero em A/J .

Então existe 0 6= a ∈ A/J tal que ab1 ∧ b2 ∧ . . . ∧ bp = 0 em∧p(A/J)t, onde

bi ∈ (A/J)t é a imagem do i-ésimo vetor-linha de B. Logo ab1, b2, . . . , bp são

linearmente dependentes em (A/J)t. Daí, temos que existem a1, . . . , ap ∈ A/J

não todos nulos, tais que

a1b1 + · · ·+ apbp = 0 ∈(A

J

)t,

isto é, a1b1j + . . .+ apbpj ∈ J , j = 1, . . . , t. Assim, por (3.1) obtemos

a1h1 + · · ·+ aphp ≡ 0 modJ2.


Disto, e por diferenciação, J (I) ⊂ J , o que é uma contradição. Portanto, existe

pelo menos um menor maximal de B que é não-divisor-de-zero em A/J .

Proposição 3.12. Sejam I ⊂ J ideais interseções completas em um anel de

polinômios A sobre um corpo k de característica zero. Suponha que Spec(A/J) é

reduzido e conexo, e que ideal Jacobiano J (I) não está contido em nenhum primo

minimal de A/J . Se em (3.1) tivermos t = p = grade I, então b := det(bij) é um

não-divisor-de-zero em A/J , e

1) As imagens g1, . . . , gp de g1, . . . , gp geram T (M) sobre A/J ;

2) As imagens gp+1, . . . , gn de gp+1, . . . , gn geram N como módulo livre sobre A/J ,

e assim M ' T (M)⊕N e posto(M) = posto(N) = n− p;

3) Para cada P ∈ Ass(A/J), as imagens gp+1, . . . , gn de gp+1, . . . , gn formam uma

(A/I)P -sequência e geram JP ;

4)

∫I

J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2;

5) Tem-se uma fórmula de comprimento, se �nito,

λ(I, J) := lA/J(T (M)) = lA/J

(A

(b) + J

).

Chamamos λ(I, J) o número de torção do par (I, J). Quando I e J estão

subentendidos no contexto, escrevemos λ ao invés de λ(I, J).

Demonstração: Temos t = p, e b é um não-divisor-de-zero em A/J (pela parte

(2) do Lema 3.11). A�rmamos que g1, . . . , gp ∈ T (M). De fato, basta multiplicar

em ambos os lados de (3.1) pela matriz adjunta clássica B∗ de B e regra de Cramer

usual, o que fornece

B∗B = BB∗ = diag{b, . . . , b},

implicando a nossa a�rmação.

Uma vez que, g1, . . . , gn geram M sobre A/J e como a sequência

0 // T (M) ι //M π // N // 0


é exata, tem-se π(gp+1), . . . , π(gn) geram N . Se existir uma relação

βp+1π(gp+1) + · · ·+ βnπ(gn) = 0 ∈ N

então, βp+1gp+1 +· · ·+βngn ∈ T (M). Isto signi�ca que existe um não-divisor-de-zero

β ∈ A/J tal que

β(βp+1gp+1 + · · ·+ βngn) = 0 ∈M.

Tomando representantes, isto signi�ca simplesmente que

ββp+1gp+1 + · · ·+ ββngn ∈ J2 + I.

Portanto, existem µ1, . . . , µp ∈ A tais que

µ1h1 + · · ·+ µphp + ββp+1gp+1 + · · ·+ ββngn ∈ J2.

Por (3.1), isto se torna

µ′1g1 + · · ·+ µ′pgp + ββp+1gp+1 + · · ·+ ββngn ∈ J2.

onde (µ′1 · · ·µ′p) = (µ1 · · ·µp)B. Como g1, . . . , gn formam uma A-sequência, temos

que ββj = 0 em A/J . Note que β é um não- divisor-de-zero; logo βj = 0 em A/J .

Finalmente, aplicando o Corolário 3.9. Isto provado 1) e 2).

Agora, provemos 3). Para cada primo P ∈ Ass(A/J), NP é também livre, com as

imagens de gp+1, . . . , gn formando uma base. Então,

(∫0

J

)P

= g2P .

Já que JP é uma interseção completa reduzida em (A/I)P , e P pertence ao lugar

regular de A/I por hipótese. Assim, sendo (A/I)P um anel regular, o teorema de

Vasconcelos ([17]) fornece que gp+1, . . . , gn é uma (A/I)P -sequência, que gera JP

pelo Lema de Nakayama.

Note que, 4) Resulta da Proposição 3.7.


Para a formula de comprimento proposta em 5), note que

T (M) =

∫IJ

J2 + I=

(g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2

(g1, . . . , gn)2 + (h1, . . . , hp)

quocientando por (gp+1, . . . , gn)2, obtemos

T (M) ∼=(g1, . . . , gp)

(g1, . . . , gp)2 + (g1, . . . , gp)(gp+1, . . . , gn) + (h1, . . . , hp).

Agora, considere as interseções completas J1 = (g1, . . . , gp) e J2 = (gp+1, . . . , gn).

Em particular, note que J1 + J2 = J e J1/J21 é um A/J1-módulo livre de posto p.

De�na

F :=J1

J21 + J1J2

,

que é um A/J-módulo livre, pois

F ∼=J1

J21

⊗AA

J2

∼=(A

J1

)p⊗A

A

J2

∼=(A

J

)p.

Como b é um não-divisor-de-zero em A/J , a seguinte sequência é exata.

0 −→ FφB−→ F−→T (M) −→ 0,

onde

φB(gi) :=

p∑j=1

bij gj, i = 1, . . . , p.

Finalmente, pelo Teorema A.3, segue que

lA/J(T (M)) = lA/J(Coker(φB)) = lA/J

((A/J)

(b)(A/J)

)∼= l

(A

(b) + J

).

Na proposição a seguir, não assumimos (3.1).

Proposição 3.13. Sejam I ⊂ J ideais interseções completas em um anel A de

polinômios sobre um corpo k de característica zero. Sejam grade I = p e grade J = n.

Suponha que Spec(A/J) é reduzido e conexo, e que J (I) não está contido em


nenhum primo minimal de A/J . Se N é um A/J-módulo livre, então

1) Existe uma A-sequência g1, . . . , gn gerando J , tal que:

� As imagens g1, . . . , gp de g1, . . . , gp geram T (M);

� As imagens gp+1, . . . , gn de gp+1, . . . , gn formam uma base de N ;

� posto(M) = posto(N) = n− p;

2)

∫I

J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2;

3) Podemos escolher os geradores h1, . . . , hp de I tais que (3.1) é válido com t = p

e b um não-divisor-de-zero em A/J .

Demonstração: Considere as imagens gt+1, . . . , gn de gt+1, . . . , gn ∈ J gerando N

sobre A/J , onde t := n− posto(N).

Por hipótese cada P ∈ Ass(A/J), pertence ao lugar regular de A/I, e NP é

novamente um módulo livre, com as imagens de gt+1, . . . , gn formando uma base.

Pelo teorema de Vasconcelos([17]), as imagens gt+1, . . . , gn de gt+1, . . . , gn em (A/I)P

formam uma (A/I)P sequência, e

JP = (gt+1, . . . , gn) +

∫I

J

I

P

(3.2)

Daí, as imagens de h1, . . . , hp, gt+1, . . . , gn em AP formam uma AP sequência,

onde h1, . . . , hp formam um conjunto minimal de geradores de I. Contudo, como

I ⊂ J ⊂ P , temos

n− t+ p = grade(h1, . . . , hp, gt+1, . . . , gn)P ≤ grade(JP ) = n.

Portanto t ≥ p.

Estenda gt+1, . . . , gn para uma A-sequência g1, . . . , gn, de tal modo que estes

elementos geram J . Então g1, . . . , gn geram M sobre A/J . Agora vamos considerar

o conjunto de geradores de T (M). Escreva

π(gi) = cit+1π(gt+1) + . . .+ cinπ(gn), i = 1, . . . , t.


Daí, pela sequência exata

0 // T (M) ι //Mπ // N // 0

tem-se

g′i := −gi + cit+1gt+1 + · · ·+ cingn ∈ T (M), i = 1, . . . , t.

Tomando representantes, denote

g′i := −gi + cit+1gt+1 + · · ·+ cingn, i = 1, . . . , t,

e

g′t+j := gt+j, j = 1, . . . , n− t.

Então, J = (g′1, . . . , g′n), com g′1, . . . , g

′t ∈ T (M). Pelo Lema 3.10, segue que t ≤ p.

Por outro lado, pelo Lema 3.11, tem-se t ≥ p. Isto prova 1).

Note que JP é uma interseção completa no anel local regular (A/I)P , e além

disso temos p = t em (3.2). De [4], [16, Theorem 3.2] segue que,

(∫I

J/I

)P

= J2P .

Pelo Lema de Nakayama e por (3.2), tem-se JP = (gp+1, . . . , gn). Da Proposição 3.7

segue-se 2).

Como I ⊂ J , temos que

hi = bi1g′1 + · · ·+ bipg

′p + bip+1g

′p+1 + · · ·+ bing

′n, i = 1, . . . , p.

Para qualquer ξ ∈ DerI(A), temos

bip+1ξ(g′p+1) + · · ·+ binξ(g

′n) ≡ 0 modJ, i = 1, . . . , p.

Daí, segue que

bip+1g′p+1 + · · ·+ bng

′in ∈

∫I

J,


implicando que

bip+1, . . . , bn ∈ J, i = 1, . . . , p.

Claramente, b é um não-divisor-de-zero em A/J . Isto prova o resultado.

Finalmente, combinando as conclusões Corolário 3.9 da Proposição 3.12, da

Proposição 3.13 e a equivalência entre o item 2 e 3 da Proposição 3.13 obtemos

o principal resultado estudado neste trabalho.






∫I

J = (g1, . . . , gp) + (gp+1, . . . , gn)2,


Exemplo 3.14. Seja I de�nido por h := x3 +xy3 +2x2z+2z2 = 0, e seja J de�nido

por g1 := x2 + y3 = 0, g2 := z = 0. Como h não é quase-homogêneo, não é fácil

encontrar um conjunto de geradores de DerI(A). Temos, então, o mesmo problema

para∫I

J . Se denotarmos

g′1 = g1 + 2xg2 + g22 = x2 + y3 + 2xz + z2,

então

h = xg′1 + (2− x)g22

= x(x2 + y3 + 2xz + z2) + (2− x)z2

= x3 + xy3 + 2x2z + 2z2,

e note que x é um não-divisor-de-zero em A/J . Pela Proposição 3.12, temos:

• T (M) é gerado por g′1 sobre A/J .


•∫I

J = (g′1, g22) = (x2 + y3 + 2xz, z2)

• N =(g2)

(g′1g2, g22)

é um A/J-módulo livre.

Apêndice A

Resultados Auxiliares

Lema de Nakayama. Sejam A um anel e M um A-módulo �nitamente gerado.

Seja I ⊂ A ideal Se IM = M então existe a ∈ A tal que aM = 0 e a ≡ 1 mod I. Se

I ⊂ RA(radical de Jacobson) então M = 0.

Demonstração: [10, Teorema 2.2].

Teorema A.1. Seja A um anel local regular. Se P é um ideal primo de A tal

que A/P é regular e tem dimensão d − i, então existe um sistema de regular de

parâmetros {y1, . . . , yd} tal que P = (y1, . . . , yi)

Demonstração: [9, Teorema 36].

Proposição A.2. Sejam P1, . . . , Pn ⊂ A ideais primos e seja I um ideal contido

emn⋃i=1

Pi. Então I ⊆ Pi para algum i.

Demonstração: [1, Proposição 1.11].

Teorema A.3. Sejam A um anel Noetheriano, M um A-módulo livre (de posto

�nito), e ϕ um endomor�smo A-linear. Então ϕ é injetiva se, e somente se det(ϕ)

é um não-divisor-de-zero em A, e neste caso,

lA(M/ϕ(M)) = lA(A/ det(ϕ)).

Demonstração: [2, Exemplo A.2.3].

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