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IAHR AIIH
XXIV CONGRESO LATINOAMERICANO DE HIDRÁULICA
PUNTA DEL ESTE, URUGUAY, NOVIEMBRE 2010
SIMULAÇÃO NUMÉRICA E VERIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DA
POSIÇÃO DA SUPERFÍCIE LIVRE DE UM RESSALTO HIDRÁULICO EM
UM CANAL RETANGULAR
André Luiz Andrade Simões1, Harry Edmar Schulz
2, Rodrigo de Melo Porto
3
1,2,3Departamento de Engenharia Hidráulica e Saneamento,
2Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos – Departamento
de Engenharia Mecânica, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, Brasil, [email protected],
RESUMO:
Este artigo contém metodologias e resultados vinculados ao estudo experimental e numérico da
posição da superfície livre de um ressalto hidráulico. A posição da superfície da água foi simulada
com as equações de Saint-Venant atreladas à equação de resistência de Darcy-Weisbach e com as
equações de Navier-Stokes médias de Reynolds com diferentes modelos de turbulência. Aspectos
numéricos das equações hiperbólicas são explorados, a exemplo da aplicação do método de von
Neumann para análise da estabilidade. A metodologia experimental consistiu no uso de um sensor
ultra-sônico para aquisição das posições da superfície livre. A avaliação de grandezas estatísticas
mostrou que as amplitudes das amostras apontam valores discrepantes. Uma metodologia para
rejeição de tais valores é apresentada. Observou-se também que, para o ressalto hidráulico estudado,
há correlação entre as quantidades estatísticas e a agitação da superfície livre. Isto sugere o uso dos
dados de posição de superfície livre para estudos de suas características. No que tange ao método
numérico, o sistema hiperbólico permitiu a identificação da posição do ressalto. Os resultados
calculados com as equações de Navier-Stokes e o modelo k- sobrepuseram-se bem ao perfil
experimental.
ABSTRACT:
This paper contains methodologies and results of numerical and experimental studies of the position
of the free surface of a hydraulic jump. The position of the water surface was simulated with the
Saint-Venant equations, the Darcy-Weisbach equation and the Reynolds averaged Navier-Stokes
equations using different turbulence models. Numerical aspects of hyperbolic equations are
discussed, such as the method of von Neumann for the stability analysis. The experimental
methodology involved the use of an ultrasonic sensor to measure instantaneous free surface
positions. The assessment of statistical quantities showed that the amplitudes of the oscillations
obtained from the samples point to eventual discrepancies height values. A methodology to discard
theses values is shown. Correlations were also observed between statistical quantities and the
agitation of the free surface, showing that statistical results about the free surface position may help
in the understanding of the hydraulic jump characteristics. Considering the numerical method, the
hyperbolic system allowed to identify the hydraulic jump position. The numerical results calculated
from the Navier-Stokes and k- model overlapped well the experimental profile
PALABRAS CLAVES:
Equações de Navier-Stokes, equações de Saint-Venant, ressalto hidráulico, sensor ultra-sônico.
INTRODUÇÃO E OBJETIVOS
O ressalto hidráulico é uma onda estacionária que ocorre na transição de um escoamento
supercrítico para um escoamento subcrítico. Como ilustrado na Figura 1, o escoamento é altamente
turbulento, com recirculação na região do rolo do ressalto, apresentando intensa incorporação de ar.
Devido à elevada mistura e às tensões cisalhantes intensas geradas pelo ressalto hidráulico, ele é
utilizado eficientemente tanto como um dissipador de energia (em bacias de dissipação de energia)
como para misturar componentes utilizados na purificação da água (em estações de tratamento).
(a) (b)
Figura 1. - Desenho esquemático de um ressalto hidráulico (a): Simbologia: Fr = número de Froude, os
subscritos 1 e 2 correspondem às seções de escoamento supercrítico e subcrítico, respectivamente, hc =
profundidade crítica; ressalto estabelecido durante o experimento (b).
Nos projetos que utilizam ressaltos hidráulicos, a sua posição pode ser controlada com estruturas
adaptadas às calhas de escoamento. Entretanto, em projetos nos quais simulação computacional é
utilizada, eventualmente as calhas no domínio numérico são mantidas livres de obstáculos ao longo
de distâncias consideráveis, sendo que o ressalto se posiciona de acordo com os parâmetros
hidráulicos fornecidos. A grande sensibilidade do posicionamento para com os valores utilizados
faz com que o projetista tenha que saber as faixas aplicáveis ao seu estudo. O estabelecimento
prático dessas faixas remete à realização de estudos experimentais e suas comprovações numéricas.
Neste sentido, este trabalho teve como objetivos apresentar resultados experimentais para o perfil da
superfície livre de ressaltos estabelecidos em um canal retangular e horizontal e simular a posição
do mesmo com o uso das equações de Saint-Venant associadas à equação de resistência de Darcy-
Weisbach. O terceiro objetivo consistiu em empregar modelos de turbulência associados às
equações de Navier-Stokes médias de Reynolds para simulação bidimensional do ressalto.
MATERIAIS E MÉTODOS
Modelo matemático
Para simular a posição do ressalto hidráulico foram empregadas as equações de Saint-Venant em
uma dimensão. Tais equações formam um sistema hiperbólico obtido a partir da conservação de
massa e de quantidade de movimento para um escoamento unidimensional, monofásico e com
distribuição de pressões hidrostática. Para um canal retangular de fundo horizontal, as equações
escritas na forma conservativa compõem o seguinte sistema:
f
22 ghI
2
ghhV
xt
)hV(
0x
)hV(
t
h
[1]
em que: h = altura de escoamento (perpendicular ao fundo), V = velocidade média ao longo da
seção transversal, g = aceleração da gravidade, If = declividade da linha de energia. Assumiu-se
também que o coeficiente de Boussinesq é unitário. O sistema 1 pode ser reescrito como uma única
equação vetorial, com a seguinte forma:
sx
)q(f
t
q
[2]
Os vetores da equação 2 são definidos da seguinte maneira:
f
21
1
22
2
2
1
ghI
0s ;
2
gq
q
q
q
)q(f ;q
q
hV
hq
Com as hipóteses atreladas ao sistema 1, fica evidente que ele não é capaz de representar
adequadamente o ressalto hidráulico. Apesar disto, há uma solução h(x,t), no sentido fraco, que é
uma descontinuidade entre os níveis subcrítico e supercrítico. Sendo o ressalto uma onda que ocorre
entre os mesmos níveis, considera-se aqui que a descontinuidade possa representar
aproximadamente a posição média do ressalto. Sobre este tema, Gharangik e Chaudhry (1991)
apresentaram resultados obtidos com as equações de Boussinesq e Saint-Venant resolvidas
numericamente com os métodos de MacCormack e o esquema dissipativo two-four. Eles
compararam os seus resultados dados experimentais e utilizaram a equação de Manning.
Métodos numéricos
Embora a metodologia numérica para problemas semelhantes ao do ressalto hidráulico seja
conhecida, uma descrição detalhada é aqui apresentada já vinculada ao problema hidráulico
proposto. Entende-se que esta abordagem torna mais didática a apresentação da metodologia e
facilita o seu entendimento ao profissional específico da área. Entre os métodos numéricos
existentes, adotou-se o de Lax-Friedrichs para a solução do sistema 1. Embora seja um esquema
numérico de primeira ordem no tempo e no espaço, esse método fornece resultados aceitáveis para
malhas suficientemente finas, o que não é um problema em casos unidimensionais como o deste
trabalho. O método de Lax-Friedrichs é uma variação sutil e necessária do esquema centrado. No
esquema centrado, as derivadas espaciais são aproximadas por diferenças finitas centradas de
segunda ordem no instante “n” e as temporais por diferenças finitas avançadas de primeira ordem
na posição “i”, como apresentado a seguir:
x2
)q(f)q(f
x
)q(f n1i
n1i
[3]
t
t
qn
i
1n
i
[4]
Há um grave problema com a escolha das aproximações 3 e 4 para os sistemas hiperbólicos de um
modo geral, que é a instabilidade numérica. Para um sistema hiperbólico linear é possível provar
que o esquema centrado é incondicionalmente instável. Com o intuito de verificar a estabilidade de
um método numérico, normalmente é utilizada a análise de estabilidade de von Neumann. Como o
sistema deve ser linear para que essa análise seja empregada, considera-se um estado de referência
“0” que permite definir h = h0 + y e V = V0 + v, em que h0 e V0 são constantes e y e v são
perturbações em torno desses valores constantes. Inicialmente, empregando a regra do produto, a
equação 1 é reescrita na forma não-conservativa, como apresentado a seguir:
0x
hg
x
VV
t
V
0x
hV
x
Vh
t
h
[5]
Substituindo as definições anteriores para h e V na equação 5 e eliminando as derivadas de
constantes, obtém-se:
0x
yg)
x
vv
x
vV(
t
v
0)x
yv
x
yV()
x
Vy
x
vh(
t
y
0
00
[6]
Desprezando os termos que envolvem produtos de flutuações, o sistema 6 é linearizado, assumindo
a seguinte forma:
0x
yg
x
vV
t
v
0x
yV
x
vh
t
y
0
00
[7]
Aproximada com o esquema centrado, a equação 7 pode ser escrita da seguinte maneira:
0v
y
x2
tV
x2
tgx2
th
x2
tV
v
y
x2
tV
x2
tgx2
th
x2
tV
v
y
10
01
v
y
10
01
n
1i
1i
0
00
n
1i
1i
0
00n
i
i1n
i
i
[8]
A aplicação do método de von Neumann requer a identificação das matrizes A e B presentes na
seguinte relação:
n1n UTBUTA [9]
em que: TU é um operador de translação. Para a equação 8, as matrizes são:
10
01A0 ,
10
01B0 ,
x2
tV
x2
tgx2
th
x2
tV
BB0
00
11 .
Note-se que = -1 corresponde à posição i-1 da malha espacial, = 0 ao índice i e = 1 ao índice
i+1. Para n+1 identifica-se as matrizes A e para o instante n as matrizes B. O próximo passo
consiste em calcular o símbolo do esquema numérico, definido como:
)Ikexp(B)Ikexp(A)k(S
1
[10]
em que: S(k) = símbolo ou raio espectral, k Rm
e I = unidade imaginária. Substituindo as
matrizes, vem:
)ee(
x2
tV
x2
tgx2
th
x2
tV
10
01)k(S IkIk
0
00
[11]
Das relações trigonométricas elementares, sabe-se que eIk
-e-Ik
= 2Isenk. Substituindo na equação 11
e somando as matrizes, vem:
1Isenkx
tVIsenk
x
tg
Isenkx
th1Isenk
x
tV
)k(S0
00
[12]
Se o módulo de um dos autovalores do símbolo for maior do que a unidade o esquema é instável.
Sendo assim, é necessário calcular os autovalores de S(k), o que pode ser feito com a solução da
função característica.
1IsenkghVx
t
1IsenkghVx
t
)]k(S[autov
ksenIx
tgh)]k(S[autov1Isenk
x
tV
00
00
22
2
20
20
[13]
Nota-se na equação 13 a definição do número de Courant (Cn):
00n ghVx
tC
[14]
Teorema 1. O esquema numérico centrado é incondicionalmente instável.
Prova. |autov[S(k)]|>1 Cn.
A partir dessa conclusão de cunho geral, de que o esquema centrado não é adequado para as
equações linearizadas, verifica-se que o problema do ressalto hidráulico representado pelo sistema
original (equação 1) não pode se utilizar desse esquema. O método de Lax e Friedrichs, já
mencionado, altera o esquema centrado com o uso da seguinte aproximação para a derivada
temporal:
t
)qq(2
1q
t
qn
1i
n
1i
n
1i
[15]
Seguindo os mesmos procedimentos, é possível demonstrar a condição de estabilidade do método
de Lax-Friedrichs. O sistema 7 discretizado com este método assume a seguinte forma:
0v
y
5,0x2
tV
x2
tgx2
th5,0
x2
tV
v
y
5,0x2
tV
x2
tgx2
th5,0
x2
tV
v
y
10
01
n
1i
1i
0
00
n
1i
1i
0
001n
i
i
[16]
Portanto, o símbolo é:
kcosIsenkx
tVIsenk
x
tg
Isenkx
thkcosIsenk
x
tV
)k(S0
00
[17]
Calculando os seus autovalores, obtém-se:
kcosghVx
tIsenk
kcosghVx
tIsenk
)]k(S[autov
00
00
[18]
Teorema 2. O método de Lax-Friedrichs é estável se Cn < 1.
Prova. O módulo do segundo autovalor de S(k) é:
1C11)1C(ksenkcosksenC)]k(S[autov n2n
2222n
2
Esta conclusão aponta para a conveniência do uso do método de Lax-Friedrichs para o estudo do
ressalto hidráulico, aqui feito com a equação 1. Sob a forma de gráfico, a Figura 2 ilustra o
comportamento de |autov[S(k)]| para diferentes números de Courant. Uma descrição detalhada do
método de análise empregado pode ser encontrada em Dautray e Lions (2000) e, uma abordagem
um pouco diferente, em Chaudhry (2008, p.392).
0
0,4
0,8
1,2
0 1 2 3
|au
tov
[S(k
)]|
k
Cn = 0,25
Cn = 0,50
Cn = 0,75
Cn = 1,0
Cn = 1,2
Figura 2 – Comportamento de |autov[S(k)]| em função de Cn
Autovalores do Jacobiano de f(q)
Novamente traduzindo o problema matemático diretamente para a sua aplicação hidráulica,
apresenta-se o desenvolvimento que leva aos autovalores deste problema, uma vez que possuem um
sentido físico claro e são parâmetros relevantes na determinação das condições de contorno. Os
autovalores do Jacobiano de f(q), assim como os autovalores da matriz convectiva do sistema
hiperbólico 1, correspondem às velocidades absolutas das ondas. A matriz Jacobiana de f(q),
denotada por D[f(q)], é calculada da seguinte maneira:
1
212
1
22
2
2
1
2
2
1
1
1
q
q2gq
q
q
10
q
f
q
f
q
f
q
f
)]q(f[D [19]
Os autovalores 1 e
2 da matriz anterior são determinados como apresentado a seguir:
0gqq
q
q
q20
q
q2gq
q
q
10
det 121
22
1
22
1
212
1
22
ghV
ghV
2
1
[20]
Para escoamentos subcríticos e supercríticos os autovalores são reais e diferentes entre si, condição
que caracteriza o sistema 1 como hiperbólico. Além de auxiliar na classificação das equações,
existem duas utilidades fundamentais para os autovalores de sistemas hiperbólicos. A primeira delas
está associada à definição do número de Courant:
ghVx
tCn
[21]
Para que o método de Lax-Friedrichs seja estável, Cn deve ser menor ou igual à unidade. Os
autovalores também são empregados para a definição adequada das condições de contorno. Se o
escoamento é supercrítico os autovalores são positivos e, se o escoamento é subcrítico, um
autovalor é positivo e o outro é negativo. Observando o comportamento da solução de problemas
hiperbólicos no espaço-tempo, verifica-se que as informações são transportadas ao longo de curvas
características, com velocidades (dx/dt) iguais aos autovalores.
Figura 3. - Condições de contorno
Na extremidade esquerda do ressalto (i = 1) os autovalores são positivos (ver Figura 3), portanto,
devem ser fixados q1 e q2 nessa posição. No contorno direito (subcrítico) uma variável deve ser
imposta, já que 2<0. A segunda variável deve assumir valores que correspondam ao que ocorre
junto ao contorno. Para tanto, pode-se empregar uma extrapolação de primeira ordem do tipo
q(Nx,t+t) = q(Nx-1,t), embora seja preferível utilizar a característica positiva, obtida com o
método das características e apresentada a seguir (ver Porto, 2006, p.489):
dtgIdhgh
gdV f [22]
Integrando esta equação ao longo da característica positiva, o resultado é:
)hh(
gh
gItgVV n
1Nx1n
Nxn
1Nx
n1Nxf
n1Nx
1nNx
[23]
Como hipótese, assumiu-se que a celeridade e da declividade da linha de energia são constantes ao
longo da curva característica. Quanto às condições iniciais, pode-se conceber diferentes situações,
como V(x,0) = 0 e h(x,0) = h0 ou, como realizado neste trabalho, adotar h(x,0) calculado com a
solução da equação diferencial ordinária obtida a partir do sistema 1 quando não há variações
temporais. As velocidades em t = 0 são iguais a q/h(x,0) (q = vazão específica). A equação de
Darcy-Weisbach foi utilizada para calcular If e o termo fonte “s” da equação 2 foi calculado por
meio de uma média entre os seus valores em i+1 e em i-1 de forma explícita.
Obtenção experimental do perfil da superfície livre
Os experimentos foram realizados no Laboratório de Hidráulica da Escola de Engenharia de São
Carlos da Universidade de São Paulo. Parte do canal utilizado nos experimentos é ilustrada na
Figura 4. O canal é retangular, possui largura (B) igual 41 cm e paredes de concreto liso. O trecho
utilizado para o estabelecimento do ressalto fica entre um vertedor de parede espessa e uma
comporta, utilizada para controlar a posição do ressalto.
Figura 4. - Desenho esquemático do aparato experimental
Para obtenção do perfil da superfície livre, utilizou-se um sensor ultra-sônico com resolução de 1
mm ligado a um notebook por meio de uma porta USB. Para cada posição x ao longo do canal
foram obtidas 2000 profundidades com 50 amostras/s. De acordo com o fabricante, as ondas
sonoras emitidas pelo sensor viajam a uma velocidade próxima de 343 m/s e formam um cone com
ângulo () situado entre 15º e 20º e área da base menor correspondente ao emissor, que possui
diâmetro igual a 3,7 cm (ver Figura 4). Testes realizados para este trabalho mostram que pode
assumir valores menores, próximos de 7º. Um vertedor triangular de parede delgada situado na
extremidade esquerda do canal forneceu a carga H correspondente à equação de Thomson (Q =
1,4H5/2
) para o cálculo da vazão.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Amplitudes
A amplitude ao longo de x, definida como A(x)=max(h)-min(h), é uma das medidas importantes
para este tipo de experimento, pois fornece indicações sobre a existência de valores discrepantes. A
observação visual da superfície livre em conjunto com os valores de A(x) apresentados na Figura 5a
permite afirmar que há valores discrepantes nas medidas, uma vez que a oscilação da superfície
livre não pode assumir amplitudes altas, como 25 cm, por exemplo. Tal afirmação está
fundamentada na observação física desse ressalto. Sendo a sua altura média aproximadamente igual
a 14,7 cm, é pouco provável que A = 25 cm corresponda à amplitude de oscilação da superfície
livre deste ressalto hidráulico. Adicionalmente, durante a realização do experimento foram
observadas ejeções de porções de água ou de grupo de gotas, além das individuais, na direção
vertical e para os lados, com trajetórias aproximadamente parabólicas, como ilustrado na Figura 5b.
Foi considerada a possibilidade de que essas ejeções estariam sendo registradas pelo sensor. Testes
foram então realizados com fragmentos de papel com formas e tamanhos equivalentes às do fluido
lançado para fora do escoamento, que mostraram que o sensor é capaz de detectar a presença das
mesmas, utilizando a freqüência de 50 amostras/s. Nesses testes foram efetuados lançamentos
horizontais e aproximadamente parabólicos (isto é, com inclinação inicial e lançamento direcionado
para cima), sendo que no segundo caso houve mais ocorrências de detecção.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
x [m]
A [
m]
(a) (b)
Figura 5. - Amplitudes das medidas ao longo de x (a); esquema de ejeções de água e algumas trajetórias (b).
Entre as diferentes formas de representação dos dados de uma amostra, os diagramas de caixas são
interessantes porque fornecem informações sobre simetria e variabilidade. A construção dos
mesmos utiliza os quartis (qr) e a amplitude interquartil (AIQ). A Figura 6 contém a representação
gráfica deste tipo para algumas posições (em que: i=1,2,...,67) ao longo do canal.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
h [
m]
i (i=1,2,...,67)
Figura 6. - Diagrama de caixas para os primeiros trinta pontos de medição
Observa-se que em cada caixa há uma linha vermelha horizontal. Essa linha corresponde ao
segundo quartil do grupo de dados e, quanto mais próxima do centro da caixa ela estiver, mais
simétrica será a distribuição dos dados. A extremidade inferior da caixa corresponde ao primeiro
quartil e a superior ao terceiro quartil, portanto, os extremos da caixa encerram 50% dos dados. Os
símbolos “+” correspondem a valores de h e só são representados quando excedem os limites qr1-
AIQ e qr3+AIQ, sendo esses os valores discrepantes. Como convenção, utiliza-se = 1,5,
embora esse valor possa ser escolhido de forma conveniente para estudos específicos.
Resultados com amostras sem valores discrepantes
O uso de diagramas de caixa pode ser uma alternativa para identificar valores discrepantes de uma
amostra, assim como o critério de Chauvenet, por exemplo. Neste trabalho, os erros presentes nas
amostras originais foram extraídos com base na observação dos resultados expressos por meio dos
diagramas de caixas. Essa opção, assim como o critério de Chauvenet, é considerada como uma
primeira aproximação, não sendo um método exato para eliminar os valores discrepantes. A decisão
de excluir uma medida, sempre que possível, deve considerar a observação experimental e outras
possíveis informações acerca do fenômeno estudado. Ao excluir medidas, a média e o desvio
padrão são alterados e, como ilustrado na Figura 7, podem surgir novos valores discrepantes para a
amostra alterada. As novas amostras possuem 1819 valores, ou seja, 181 medidas a menos para
cada posição em x, formando uma matriz com 1819 linhas e 67 colunas. Assim, a metodologia aqui
seguida foi de utilizar os diagramas de caixa apenas uma vez, informando todos os detalhes das
exclusões feitas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0.05
0.1
0.15
0.2 h [
m]
i (i=1,2,...,67)
Figura 7. - Diagrama de caixas para as primeiras trinta posições, construídos com amostras alteradas.
As amplitudes calculadas com as amostras alteradas são menores do que as originais, com valor
máximo inferior a 10 cm na região do rolo do ressalto hidráulico, como indicado na Figura 8.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
x [m]
A [
m]
(a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
x [m]
A [
m]
(b)
Figura 8. - Amplitudes para as amostras alteradas (a) e originais (b)
Comportamento de outras quantidades estatísticas ao longo do ressalto
O perfil médio da superfície livre, o comportamento do desvio padrão amostral de w = dh/dt
(velocidade vertical extraída dos registros), o desvio padrão da altura de escoamento e os
coeficientes de assimetria e de curtose são apresentados na Figura 9. As observações experimentais
mostraram que o valor de w pode envolver ruídos que afetam a medida precisa da velocidade
vertical da superfície livre, sobretudo na posição do rolo do ressalto e a jusante dele. Isto porque, à
medida que a superfície livre oscila verticalmente, há também transporte de bolhas e a ocorrência de
ondas ao longo de x, que podem eventualmente gerar desvios. Como pode ser notado na Figura 9b,
o desvio padrão adimensionalizado de w assumiu um valor máximo na região de intensa
recirculação do ressalto hidráulico e aproximadamente coincidente com a posição em que ocorre a
profundidade crítica, o que são características que apontam esta medida como adequada para
localizar o rolo e obter informações de sua agitação. Entre o ponto de máximo e x/hc igual a 20, o
valor de DP(w)/Vc é proporcional a 1/(x/hc)6/5
. No intervalo 20<x/hc<30, DP(w)/Vc possui um valor
médio próximo de 0,07, seguindo uma assíntota para um valor constante. Com base em tais
observações, como já foi mencionado, verifica-se que o desvio padrão de w é uma estimativa
razoável para a agitação do meio. O desvio padrão da profundidade do escoamento DP(h)
apresentou uma distribuição ao longo de x semelhante à obtida para w, sendo este um conjunto de
dados que indica mais uma vez que as grandezas estatísticas aqui avaliadas prestam-se
adequadamente ao estudo das características macroscópicas do ressalto hidráulico.
0,00
0,12
0,24
0 2 4
h [
m]
x [m]
x = 3,5 m(comporta)
L = 3 m
(a)
0
0,15
0,3
0,0
0,9
1,8
2,7
0 10 20 30
DP
(w)/
Vc
h(x
)/h
c
x/hc
h(x)/hc
DP(w)/Vc
h(x)/hc = 1
(b)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
x [m]
DP
(h)
[m]
(c) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x [m]
a3 [
-]
(d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
2.5
3
3.5
4
x [m]
a4 [
-]
(e)
Figura 9. - Resultados experimentais. Simbologia: DP = desvio padrão amostral; Vc = (ghc)0,5
; hc =
profundidade crítica; a3 = coeficiente de assimetria e a4 = coeficiente de curtose. Fr1=3.
Os coeficientes de assimetria e de curtose, definidos com o terceiro momento e o quarto momento,
respectivamente, assumiram valores máximos na região do rolo do ressalto hidráulico. Os valores
dos coeficientes de assimetria indicam que a superfície livre do escoamento subcrítico oscila de tal
modo que as suas distribuições de probabilidades possuem simetrias mais acentuadas do que
aquelas da região de escoamento supercrítico e da região de recirculação. Os coeficientes de curtose
obtidos mostram que os pontos experimentais apresentam distribuição próxima à gaussiana, com
desvios maiores na região do rolo.
Comparação entre resultados numéricos e experimentais
Os resultados numéricos para a equação 1 foram obtidos para o trecho 0 x L = 3,0 m e podem
ser vistos na Figura 10. Observa-se que os pontos experimentais apresentam excelente concordância
com a solução numérica, como ilustrado pela Figura 10a. Entretanto, cabe mencionar que o
comportamento suave de h(x) ocorreu devido ao efeito difusivo do método de Lax-Friedrichs. É
esperada uma descontinuidade como solução da equação 1, e não uma curva suave. Para max(Cn)
próximo de um e para a malha adotada, a Figura 10b contém uma comparação entre os dados
experimentais e numéricos. Percebe-se com essa imagem que max(Cn) 1 reduz o efeito difusivo,
embora não o elimine plenamente.
0 1 2 30
0.05
0.1
0.15
0.2
x [m]
h [
m]
t = 300s
numérico
experimental
(a) 0 1 2 30
0.05
0.1
0.15
0.2
x [m]
h [
m]
t = 300s
numérico
experimental
(b)
Figura 10. - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais: (a) max(Cn) = 0,49 e x = 0,03 m;
(b) max(Cn) = 0,98 e x = 0,015 m. Dados: t = 0,0051 s; h(0,t) = 0,05 m; h(L,t) = 0,2 m; f = 0,003 (fator de
resistência da equação de Darcy-Weisbach).
Independentemente do valor de Cn e x, a variação total da profundidade da água e a posição do
ressalto hidráulico foram bem reproduzidas, considerando o valor f=0,003 para o fator de
resistência da equação de Darcy-Weisbach. Esta informação prática, concernente ao valor de f, é
relevante para o projetista, uma vez que é o parâmetro ajustável que posiciona o ressalto hidráulico.
A presente metodologia permite que baterias de experimentos e simulações sucessivas sejam
efetuadas, localizando as faixas de profundidades e de f que determinarão a posição mais provável
dos ressaltos em calhas similares.
SIMULAÇÃO EM DUAS DIMENSÕES
Considerações iniciais
O nível mais elevado para a simulação do ressalto hidráulico consistiria em resolver as equações
diferenciais que representam os princípios de conservação de massa, energia e quantidade de
movimento em três dimensões e em regime não permanente, para todas as escalas do movimento
turbulento. Atualmente essa alternativa ainda é inviável. Para ilustrar a dificuldade em utilizar
simulação numérica direta para um ressalto hidráulico, pode-se lançar mão da teoria de
Kolmogorov. Inicialmente, é interessante escrever o número de Reynolds associado ao número de
Froude com a seguinte forma:
Frgh
Re
3
[24]
Assumiu-se que a altura de escoamento h é o comprimento característico do escoamento
correspondente às grandes escalas. De acordo com a teoria de Kolmogorov, a relação entre as suas
micro-escalas e as grandes escalas de comprimento é dada por:
4/3ReL
[25]
Combinando as equações 24 e 25, com L = h, e reconhecendo que o número de graus de liberdade
para turbulência tridimensional é proporcional a h/ (Lesieur, 2008, p.205-206), pode-se escrever:
4/933
Frghh
[26]
A equação 26 fornece um valor aproximado para o número de graus de liberdade. Com h = h2 =
0,20 m e Fr = Fr2 = 0,4 (o subscrito 2 denota a seção com escoamento subcrítico), esse número é
próximo de 2,3x1011
, valor que revela a dificuldade existente quando se pretende efetuar simulações
numéricas diretas com elevados números de Reynolds. O número de graus de liberdade, nesse caso,
representa o número de pontos de uma malha numérica tri-dimensional que deveria ser construída
para simular o ressalto. A dificuldade prática está no armazenamento de todas as variáveis
calculadas (memória) e na velocidade dos cálculos a serem realizados para cada ponto, que,
atualmente, são insuficientes para viabilizar a obtenção de resultados. Como tentativa de superar a
impossibilidade de uso das leis de conservação escritas para grandezas instantâneas, aplicadas para
escoamentos com elevados números de Reynolds, as equações são reescritas em termos de
grandezas médias. Assumindo a hipótese de escoamento incompressível, que é aplicável a um
ressalto hidráulico, a equação de conservação de massa e a equação de conservação de quantidade
de movimento assumem as seguintes formas:
0V [27]
1gVV
t
V [28]
Nestas equações V é o campo vetorial de velocidades e é o tensor das tensões. Para um fluido
newtoniano, o uso das equações constitutivas para combinado com a equação 28 resulta nas
conhecidas equações de Navier-Stokes para escoamentos incompressíveis. Tais equações reescritas
em termos de grandezas médias são conhecidas como equações de Navier-Stokes médias de
Reynolds, que possuem um uma incógnita adicional denominada tensor de Reynolds. Como o
processo de obtenção das equações médias não produz equações adicionais, mas apenas novas
incógnitas, o resultado é um problema aberto, com um sistema que contém mais incógnitas do que
equações. Esse problema, conhecido como problema de fechamento da turbulência, teve como fruto
a proposição de uma série de modelos aproximados para o fechamento do sistema de equações,
dentre os quais, pode-se mencionar: o modelo de Boussinesq, o modelo de uma equação que
envolve o cálculo da energia cinética turbulenta (k), o conhecido modelo de duas equações k- que,
além de k, envolve o cálculo da taxa de dissipação de energia por unidade de massa (), o modelo
de duas equações k- ( = /k) e os modelos denominados modelos de tensões de Reynolds. No
caso de transferência unidimensional de massa, Schulz et al. (2010) apresentam um método
estatístico que “fecha” as equações de turbulência, uma vez que se mostra que todas as grandezas
estatísticas podem ser expressas como função de um número finito de parâmetros básicos. Trata-se
de uma proposta que se mostrou viável no transporte de massa e que deve ter desdobramentos
futuros. Carvalho (2002) empregou um modelo de turbulência do tipo RNG k-e para a simulação de
ressaltos estabelecidos em domínios retangulares bidimensionais. Com o uso do mesmo modelo de
turbulência, Carvalho e Martins (2009) estudaram o escoamento em vertedores em degraus com
soleiras terminais que proporcionavam a formação de ressaltos sobre os degraus. Arantes et al.
(2005) empregaram um dos modelos de tensões de Reynolds para simular um ressalto hidráulico em
um domínio retangular tridimensional e em regime variável.
Resultados numéricos e experimentais
Neste trabalho foram realizadas simulações bidimensionais em um domínio semelhante ao
experimental, apresentado anteriormente. O software adotado para a solução das equações é uma
versão comercial que possibilitou o uso do modelo k-, do modelo RNG k- e modelos de tensões
de Reynolds. Foram testadas algumas configurações para a malha que, em todos os casos, era do
tipo não-estruturada. Entre os refinamentos testados, utilizou-se uma condição de refinamento
uniforme, refinamento adaptativo na superfície livre e um refinamento não uniforme com maior
resolução na região prevista para o escoamento de água, como apresentado na Figura 11. O método
de discretização das equações utilizado pelo programa é o de volumes finitos e o tratamento da
superfície livre é feito com o método denominado volume de fluido. Os cálculos foram efetuados
com a hipótese de regime estacionário e os resultados mostraram que não há o estabelecimento
desse regime, mas sim de um regime permanente. As definições para tais regimes utilizadas neste
trabalho correspondem à minimização dos resíduos quando o regime é estacionário e à oscilação
dos resíduos em torno de um valor médio bem definido quando o regime é permanente. Considera-
se que a ocorrência de regiões com grandes recirculações, na posição do rolo do ressalto hidráulico,
foi responsável pelo estabelecimento das oscilações.
Os resultados que apresentaram melhor concordância com o perfil médio experimental foram os
obtidos com o modelo k-. A Figura 11a contém o campo escalar da grandeza fração de vazios (C).
Nota-se que a posição da superfície livre das regiões com escoamento supercrítico e subcrítico
apresenta excelente ajuste com os dados experimentais. Observa-se também que o rolo do ressalto
hidráulico obtido numericamente permaneceu em uma posição próxima à posição média
experimental.
Figura 11. – Comparação entre a posição média da superfície livre experimental (círculos cheios) e os
resultados numéricos obtidos com o modelo k- - (a); Detalhe da malha utilizada – (b).
CONCLUSÕES
Este trabalho apresenta um estudo experimental e numérico para a obtenção do perfil da superfície
livre de um ressalto hidráulico com número de Froude próximo de três. Alguns aspectos
fundamentais relacionados ao uso do modelo hiperbólico foram discutidos, tendo sido dada especial
atenção à estabilidade numérica. Cálculos bidimensionais também foram realizados com o uso de
modelos de turbulência. A metodologia experimental para a obtenção do perfil da superfície livre
envolveu o uso de um sensor ultra-sônico que possibilitou a aquisição de dados a uma taxa de
amostragem de 50 amostras/s. Com os dados obtidos de tal maneira, estudou-se a variação de
grandezas estatísticas ao longo do ressalto. As amplitudes das amostras permitiram concluir que a
ejeção de gotas contamina as amostras com valores espúrios, que não correspondem à posição da
superfície livre. O comportamento do desvio padrão e dos coeficientes de assimetria e de curtose
fornece informações acerca da agitação do meio, que é mais intensa na posição do rolo do ressalto.
A metodologia experimental aqui proposta mostra-se adequada para estudar características
macroscópicas de ressaltos hidráulicos. O perfil médio obtido experimentalmente apresentou
excelente sobreposição com a solução das equações de Saint-Venant para um número de Courant
máximo aproximadamente igual a 0,49 e com um fator de resistência igual a 0,003. Nesse caso, os
procedimentos seguidos mostram que o fator de resistência pode ser utilizado como parâmetro de
ajuste na localização do perfil ao longo da calha, uma metodologia que se mostra útil para
projetistas. As simulações em duas dimensões com o uso das equações de Navier-Stokes médias de
Reynolds associadas a diferentes modelos de turbulência mostraram que o movimento variável de
regiões do escoamento próximas ao rolo do ressalto não possibilitam a sua simulação (para o
número de Froude testado) em regime estacionário de tal maneira que os resíduos sejam
minimizados. A despeito desta conclusão, o perfil médio experimental se sobrepôs satisfatoriamente
ao obtido com o modelo k-e nas regiões de escoamento supercrítico e subcrítico. Além disso, o rolo
do ressalto obtido numericamente permaneceu posicionado próximo ao valor médio para a posição
do rolo experimental.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem às instituições brasileiras CNPq, FAPESP e CAPES (processo 2201/06-2).
REFERÊNCIAS
Arantes, E.J.; Botari, A.; Porto, R.M.; Bernardo, L. (2005) Simulação numérica do escoamento em um
ressalto hidráulico utilizando uma ferramenta de fluidodinâmica computacional. Anais do XVI Simpósio
Brasileiro de Recursos Hídricos, João Pessoa-PB.
Carvalho, R.F. (2002) “Acções hidrodinâmicas em estruturas hidráulicas: Modelação numérica do ressalto
hidráulico” Tese (Doutorado), Universidade de Coimbra, Portugal.
Carvalho, R.F.; Martins, R. (2009) “Stepped spillway with hydraulic jumps: application of a numerical
model to a scale model of a conceptual prototype”. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 135, No.
7, pp. 615-619.
Chaudhry, M. H. (2008) Open-channel flow. Springer.
Dautray, R.; Lions, Jacques-Louis. (2000) Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and
Technology. Springer, Berlin.
Gharangik, A.; Chaudhry, M.H. (1991) “Numerical simulation of hydraulic jump”. Journal of Hydraulic
Engineering, ASCE, Vol. 117, No. 9, pp. 1195-1211.
Lesieur, M. (2008) Turbulence in fluids. 4ª ed. Springer.
Porto, R. M. (2006) Hidráulica Básica. Projeto Reenge, EESC-USP.
Schulz, H. E., Simões, A.L.A., Janzen, J.G. (2010) Statistical Approximations in Gas-Liquid Mass
Transfer, Book Program & Abstracts, The 6th International Symposium on Gas Transfer at Water Surfaces,
Kyoto, Japan, May 17-21, Kyoto University, pp. 15-16.