HTPC – Adições e subtrações nos anos iniciais

O que torna difícil o ensino da matemática é o inalterável hábito latino

de começar sempre pelo abstrato, sem passar pelo concreto.

( LE BON, in VIANA, E., 9 )

Sob a perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais,

adicionar e subtrair são ações vinculadas ao campo aditivo.

Para saber qual operação usar em um problema, as crianças precisam

considerar o que o enunciado pede: Juntar, tirar, ganhar, perder e comparar

quantias são alguns dos verbos relacionados à adição e à subtração. Mas os

conceitos que envolvem essas duas operações básicas não significam o uso

de palavras-chave para realizar contas "de mais" ou "de menos". De acordo

com a Teoria dos Campos Conceituais, desenvolvida na década de 70 pelo

psicólogo francês Gérard Vergnaud, as operações são duas faces de uma

mesma moeda. O pesquisador estudou as aprendizagens matemáticas com

base na nas relações estabelecidas pelos problemas e não na operação em

jogo. "Ela (sua teoria) é fundamental para ensinar a disciplina, pois permite

prever formas mais eficientes de trabalhar os conteúdos," afirma. Ele

classifica as questões que envolvem a adição e a subtração dentro do campo

aditivo e as de multiplicação e divisão pertencentes ao campo multiplicativo.

Nas escolas, no entanto, a adição e a subtração são entendidas muitas

vezes apenas como operações opostas ou conflitantes: ganhar e colocar

corresponde à adição, já perder e tirar, à subtração. Vergnaud considera que

uma mesma situação do campo aditivo pode ser proposta de diferentes

formas que determinam qual operação usar, a adição ou a subtração. As

questões relacionadas ao campo aditivo são divididas em cinco classes que

variam conforme a relação e a alteração dos números. Essas categorias

podem ser percebidas com o enunciado do problema. São elas:

• Transformação - Alteração do estado inicial por meio de uma situação

positiva ou negativa que interfere no resultado final.

• Combinação de medidas - Junção de conjuntos de quantidades pré-

estabelecidas.

• Comparação - Confronto de duas quantidades para achar a diferença.

• Composição de transformações - Alterações sucessivas do estado

inicial.

• Estados relativos - Transformação de um estado relativo em outro estado relativo (essa

categoria não é abordada nos Parâmetros Curriculares Nacionais, PCNs, do Ensino

Fundamental por ser de maior complexidade e, por isso, não trataremos de problemas

referentes a ela).

EXEMPLO OBSERVAÇÃO VARIAÇÕES

Transformação positiva de um estado inicial

Marina tinha 20 figurinhas e

ganhou 15 num jogo. Quantas

figurinhas ela tem agora?

ACRESCENTAR

• Marina tinha algumas figurinhas, ganhou

15 num jogo e ficou com 35. Quantas

figurinhas ela tinha?

• Marina tinha 20 figurinhas. Ganhou

algumas e ficou com 35. Quantas figurinhas

ela ganhou?

Transformação negativa de um estado inicial

Pedro tinha 37 bolinhas, mas perdeu TIRAR • Pedro tinha várias bolinhas, perdeu 12 e agora

12. Quantas bolinhas ele tem agora?

tem 25.

Quantas bolinhas ele tinha antes?

• Na semana passada, Pedro tinha 37 bolinhas.

Hoje tem 25. O que aconteceu no decorrer da

semana?

Combinação de medidas

Numa classe, há 15 meninos e 13

meninas. Quantas crianças há ao

todo?

JUNTAR

• Em uma classe de 28 alunos, há alguns

meninos e 13 meninas. Quantos são os meninos?

• Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos.

Quantas são as meninas?

Comparação

Paulo tem 13 carrinhos e Carlos tem

7 a mais que ele. Quantos carrinhos

tem Carlos?

COMPARAR

• Paulo tem 13 carrinhos e Carlos, 20. Quantos

carrinhos a mais Paulo precisa para ter o mesmo

que Carlos?

• Carlos tem 20 carrinhos. Paulo tem 7 a menos

que ele. Quantos carrinhos tem Paulo?

Composição de transformações

No início do jogo, Flávia tinha 42

pontos. Ela ganhou 10 pontos e, em

seguida, mais 25. O que aconteceu

com seus pontos no fim?

ACRESCENTAR/

ACRESCENTAR

TIRAR/TIRAR

ACRESCENTAR/

TIRAR

• No início do jogo, Flávia tinha 42 pontos. Ela

perdeu 10 pontos e, em seguida, perdeu mais 25.

O que aconteceu com seus pontos no fim?

• No início do jogo, Flávia tinha 42 pontos. Ela

ganhou 10 pontos e, em seguida, perdeu 25. O

que aconteceu com seus pontos no fim?

Para cada um dos tipos de problemas, a escolha sobre a

operação a ser usada depende do que é pedido no enunciado. No item 3.2

Interpretação de enunciados, você encontra exemplos de problemas para usar

em sala de aula.

Dá para perceber que essas concepções mudam totalmente a maneira

de ensinar adição e subtração, certo? As diferenças entre a perspectiva

anterior sobre o ensino da adição e da subtração de Vergnaud podem ser

mais bem compreendidas com o quadro abaixo:

PERSPECTIVA

ANTERIOR PERSPECTIVA DO CAMPO ADITIVO

ENUNCIADO

A incógnita está

sempre no fim do

enunciado (5 + 5 = ?;

16 - 3 = ?)

A incógnita pode estar em qualquer

parte do enunciado (? + 5 = 10; 16 - ?

=13)

PALAVRAS-

CHAVE

Palavras como

"ganhar" e "perder"

dão certeza ao aluno

sobre a operação a

Não se estimula o uso. As crianças

precisam analisar os dados do problema

para decidir a melhor estratégia a ser

utilizada (João tinha algumas bolinhas

ser usada de gude, ganhou 5 num jogo e ficou

com 15. Quantas bolinhas ele tinha

antes?)

COMO O

ALUNO

PENSA

Para chegar ao

resultado, é preciso

saber qual operação

usar (adição ou

subtração)

Com várias possibilidades de chegar ao

valor final, o aluno tem mais autonomia

e o pensamento fica menos engessado

RESOLUÇÃO

Está diretamente

ligada à operação

proposta no

enunciado

Está atrelada à análise das informações

e à criação de procedimentos próprios

INTERAÇÃO

COM O

ALUNO

Cabe ao professor

validar ou não a

resposta encontrada

O professor propõe discussões em

grupo e o aluno tem recursos para

justificar seus procedimentos

REGISTRO Conta armada

O percurso do raciocínio é valorizado,

seja ele feito com contas parciais,

armado ou não, desenho de pauzinhos

ou outra estratégia

3.1. Procedimentos de cálculo

3.1.1 Contagem

A contagem é um dos primeiros recursos

que a criança usa para adicionar e

subtrair valores

Com o tempo, as crianças percebem que existem maneiras mais

econômicas para adicionar ou subtrair durante as séries iniciais, a contagem

é um método recorrente entre as crianças quando são desafiadas a resolver

questões de adição e subtração. Materializar quantidades com objetos

concretos, contar nos dedos e se apoiar na sequência numérica oral são

estratégias válidas nessa fase. E entre as contagens, existem evoluções.

Primeiro contam de um em um, depois, realizam sobrecontagens de

dois em dois, cinco em cinco, dez em dez - o que pode indicar

apropriações das regularidades do sistema de numeração decimal.

A contagem como recurso para estabelecer relações entre valores

sempre foi usada pela humanidade, com pedras, desenhos no chão etc.

Mas, com o tempo, foi substituída por outros procedimentos e ferramentas, já

que o contar é limitado a quantidades representáveis e dá muitas margens

ao erro. Da mesma forma acontece com as crianças. Quanto mais se

apropriam das regularidades do sistema de numeração e compreendem o

que significam as operações, mais são capazes de escolher maneiras

eficientes de resolver problemas. "Quando a criança constrói a estrutura

mental do número e assimila as palavras a essa estrutura, a contagem torna-

se um instrumento confiável. No entanto, a partir dos 7 anos de idade, a

correspondência um a um, a cópia da configuração espacial, ou mesmo

estimativas imperfeitas representam para a criança procedimentos mais

viáveis", explica Constance Kamii, em seu livro A Criança e o Número.

O seu trabalho é propor situações diversificadas (para os problemas de

adição e subtração o "tamanho" dos números é uma variável decisiva),

discussões em que possam argumentar sobre seus métodos, jogos, entre

outras atividades que favoreçam essa mudança de estratégias pessoais. É

necessário assegurar que elas consigam fazer essa passagem da

representação figurativa (desenhos, contagens dos dedos) para a

matemática (cálculo mental e, posteriormente, algorítmico).

Quando ensinar

Quando trabalhar procedimentos de cálculos

Cálculo mental

Estimule a turma a desenvolver as próprias estratégias de

cálculo, pensar sobre os procedimentos

mais adequados a cada situação e a

formar um repertório de cálculos

memorizados que dê base para a

realização de operações

Calcular mentalmente permite que a criança escolha o caminho para

chegar a um resultado

Cálculo mental é um conjunto de procedimentos que permite o aluno

antecipar, controlar e julgar a confiabilidade de um resultado. Essa é a

abordagem adotada pela pesquisadora argentina Cecilia Parra, organizadora

do livro Didática da Matemática - Reflexões Psicopedagógicas. Para a

especialista, é um método pensado ou refletido em que, "uma vez analisados

os dados a serem tratados, esses se articulam sem recorrer a um algoritmo

pré-estabelecido para obter resultados exatos ou aproximados".

Mas muitas vezes esse cálculo pensado é considerado pelo professor o

oposto de cálculo escrito - o que é um erro, pois calcular mentalmente não

significa abandonar o lápis e o papel para fazer contas rápidas e "de

cabeça". Pelo contrário, o registro de cálculos intermediários,

decomposições, esquemas, sequências numéricas faz parte dos recursos

para se resolver um problema sem o cálculo algorítmico, também conhecido

como conta armada, que será aprofundado no próximo tópico deste roteiro.

Não se trata de oferecer estratégias prontas para que os alunos as

encaixem de acordo com os problemas que tiverem de enfrentar, mas de

discuti-las e de estimular que desenvolvam os próprios mecanismos para

trilhar caminhos seguros, inteligentes e autônomos na resolução de questões

matemáticas.

Desafios propostos

A base do trabalho de cálculo mental está nas questões que você pode

colocar para os alunos. Ao sugerir questões que envolvem a adição e a

subtração, é preciso primeiro verificar se eles compreenderam os valores em

jogo e o que essa operação implicará.

Compreendida a proposta, cada aluno procura as próprias estratégias

para chegar ao resultado. É hora, então, de compartilhar os valores

encontrados e discutir os procedimentos usados. Você pode registrar na

lousa as operações parciais desenvolvidas pelos estudantes, escrevendo-as

em linguagem matemática, conforme as informações fornecidas por eles

mesmos. Nessa etapa, é realizada uma síntese do que foi construído durante

o processo e no que a turma progrediu com as discussões.

Repertório de cálculos memorizados

É preciso propor que a turma crie uma base firme de cálculos a qual

possa recorrer para adicionar e subtrair. Para os adultos, ter na ponta da

língua que 1+1=2 ou que 10+10=20 é simples. Enquanto para as crianças, a

compreensão do que está por trás dessas relações é um processo que o

professor deve considerar para evitar que as operações sejam desvinculadas

de seus significados. Ou seja, é preciso que os alunos consigam estabelecer

o raciocínio feito para somar ou subtrair números simples para que possam

apoiar-se nessas regularidades quando aparecerem números maiores.

Você pode iniciar com números mais familiares às crianças, como 1, 2

e 5, para chegar à memorização de contas que envolvem 7 ou 9. A ideia é

que todos da turma consigam progressivamente avançar nas respostas para

cálculos a+b=c, quando a<10 e b<10.O ideal, então, é que você organize

situações para que a turma construa, organize e compreenda o seu

repertório.

Abaixo, grupos de cálculos possíveis para trabalhar com as turmas das

séries iniciais:

- Adição e subtração de 1 a qualquer algarismo. Por exemplo, 3 + 1 e 8 - 1.

- Adição e subtração de números de um algarismo, como 4 + 2 e 6 + 3.

- Adições que tenham como resultado 10, como 7 + 3 e 2 + 8.

- Subtrações com base no 10. Por exemplo, 10 - 7 e 10 - 2.

- Adição e subtração de 10 a qualquer algarismo, como 5 + 10.

- Subtrações que tenham como resultado 1, como 8 - 7 e 3 - 2.

- Adições de números de um algarismo a 10, 20, 30, como 1 + 10.

- Adições de múltiplos de 10 que totalizem 100, como 40 + 60.

- Conhecimento da propriedade comutativa, como 2 + 3 = 3 + 2.

- Cálculo de dobro de números até 10. Por exemplo, 7 + 7 e 8 + 8.

Jogos podem ser recursos poderosos para incentivar a turma a

construir esse repertório. Um jogo com dois dados, como o Feche a Caixa,

pode ajudar no trabalho sobre a adição de números com resultado até 12.

Jogos com cartas contribuem com a realização de contagens e cálculos.

NOVA ESCOLA disponibiliza online três jogos da memória para exercitar a

adição e a subtração dos números mais conhecidos pela turma. No primeiro,

a criança é convidada a realizar subtrações com base no 10. O segundo jogo

trabalha com os dobros de números. Já o terceiro, ainda mais desafiador,

propõe que cada aluno consiga descobrir as expressões equivalentes, de acordo

com seu resultado.

Álbum: como trabalhar estratégias de cálculo com jogos

matemáticos

(Revista Nova Escola)

Com jogos de dados, boliche e de argolas, os alunos da

professora Luciane Ribeiro, da EMEF Professor

Raimundinho, em Marabá, no Pará, aprenderam mais sobre

as estratégias de cálculo, os números e as operações, como

adição, subtração e multiplicação.

Jogo de comparação de quantidade

Características

Ele tem como objetivo o acúmulo de peças ao longo de determinado

percurso ou contexto. Vence quem conseguir reunir a maior quantia.

Origem

O precursor é o africano Mancala, criado há aproximadamente 7 mil anos.

Por que propor

Para as crianças ref letirem sobre as diferentes estratégias de comparação

de quantidades.

Como enriquecer o brincar

■ Discuta com os pequenos quais as estratégias possíveis para determinar

quem é o vencedor da partida. Pergunte, por exemplo, "quando um jogador

tem muito mais peças que os outros, é preciso contar para saber quem

ganhou?".

■ Observe e discuta em outros momentos as estratégias utilizadas pelas

crianças em situações semelhantes às do jogo. Uma ideia é reunir

quantidades de dois ou três jogadores e pedir que a turma determine o

ganhador e explique por quê.

O erro mais comum

■ Ensinar a estratégia de contagem como a única possibilidade para definir o

vencedor. É papel do educador proporcionar situações que estimulem a

garotada a buscar diversas maneiras de saber quem ganhou a partida.

Jogo de percurso

Características

Também chamado de jogo de trilha, tem como objetivo chegar ao fim de um caminho,

dividido em casas, de acordo com o que for tirado no dado.

Origem

O precursor das diversas variações é um jogo italiano do século 16 chamado Jogo da

Glória, ou Real Jogo do Ganso - considerado um animal sagrado na época. O trajeto a ser

percorrido simbolizava as diversas etapas da vida.

Por que propor

Para os pequenos relacionarem as casas do percurso de acordo com a quantidade que

sai no dado.

Como enriquecer o brincar

■ Ajude a garotada a localizar o ponto de início e de término do tabuleiro.

■ Questione as crianças sobre a observação do jogo. Por exemplo: "Meu peão estava na

casa 10 e tirei 5 no dado. Em que casa fui parar?"

Os erros mais comuns

■ Oferecer a modalidade só aos menores. O fato de o jogo de percurso não depender

de estratégias, mas da sorte, não o torna menos enriquecedor.

■ Fazer as crianças atuarem como peões num tabuleiro desenhado no chão. É

equivocado o conceito de que os pequenos aprendem só quando passam por uma

experiência real.

Jogo de linhas e colunas.

Características

Tem como base um tabuleiro com linhas verticais, horizontais e diagonais, onde os

jogadores devem colocar, desenhar ou mover suas peças. Os movimentos consistem

basicamente na aproximação e no recuo estratégicos, com variações que incluem o ato

de pular determinadas casas do tabuleiro. Nesse jogo, o avanço é diferente do que ocorre

no de percurso, em que ele é determinado pela sorte, com o lançamento de dados. Aqui,

é preciso desenvolver estratégias desde a primeira jogada para estabelecer uma dinâmica

que leve à vitória.

Origem

Ao longo do tempo, foram surgindo, simultaneamente, jogos de linhas e colunas em

diversas sociedades. O da velha, por exemplo, tem origem no Egito, aproximadamente no

século 14 a.C.

Por que propor

Para as crianças formularem as estratégias e anteciparem as dos colegas considerando a

distribuição espacial.

Jogo cooperativo

Características

A ideia básica desse tipo de jogo é a união de todos os participantes contra um inimigo

comum - o próprio tabuleiro -, que pode ser representado por um personagem do jogo.

Geralmente, ele possui caráter simbólico - por exemplo, a missão de um grupo de

príncipes de evitar que uma princesa seja capturada por uma bruxa malvada.

Origem

Remontam às atividades tribais e aos rituais mágicos de diversas sociedades antigas para

combater um inimigo comum real (como a chuva) ou imaginário (como duendes).

Por que propor

Para os pequenos refletirem sobre a importância de coordenar ações em conjunto e

compreenderem regras estruturadas.

Como enriquecer o brincar

■ Ponha em debate, logo depois da partida, as decisões tomadas a respeito das jogadas

executadas pelo grupo.

O erro mais comum

■ Oferecer só jogos cooperativos. A ideia de que competir é ruim não se sustenta. A

importância de ofertar a modalidade está na diversidade de regras com que as crianças

entrarão em contato.

Jogo de alvos e obstáculos

Características

Envolve a habilidade dos jogadores em acertar um alvo predeterminado para transpor

obstáculos.

Origem

Recriação de um jogo celta e egípcio em que estacas de madeira fixadas no chão eram

derrubadas com um bastão. Em tabuleiro, a versão mais antiga é o Quilles, surgido na

França e na Inglaterra no século 14, que tem como meta derrubar pinos com uma bola

presa a uma haste.

Por que propor

Para a turma desenvolver a habilidade de controlar movimentos de acordo com o alvo ou

os obstáculos existentes.

Como enriquecer o brincar

■ Estimule a observação e os comentários sobre as jogadas para que as estratégias e

técnicas sejam socializadas e aperfeiçoadas por todos.

■ Amplie os desafios e complique os obstáculos à medida que a turma vai ficando craque

nas técnicas.

Os erros mais comuns

■ Ensinar as estratégias. Não faz sentido encarar as dificuldades dos pequenos como

um fracasso. Para que aprendam, exponha as regras e deixe que experimentem jogadas

diversas.

■ Estimular uma única tática. Faz parte do jogo observar os outros participantes para

conhecer várias manobras.

■ Apontar uma tática como errada. Algumas manobras podem não ser boas. Porém a

postura adequada é os próprios jogadores debaterem a questão.

Jogo de memória

Características

Como o próprio nome indica, ele requer boas estratégias de memorização dos

integrantes para acumular pontos.

Origem

Foi criado na China no século 15. Era formado por baralho de cartas ilustradas

e duplicadas.

Por que propor

Para que os pequenos estabeleçam relações entre imagens e a posição no

tabuleiro e, assim, desenvolvam estratégias de memorização.

Como enriquecer o brincar

■ Discuta com a turma as estratégias para localizar as figuras no espaço, como

a fixação de um ponto de referência e a observação do entorno de uma figura.

■ Converse com os pequenos ao término de cada partida para socializar as

táticas usadas por cada jogador.

O erro mais comum

■ Elaborar jogos da modalidade para fixar conteúdos. A modalidade impõe

desafios por si próprios e não faz sentido ensinar recorrendo à memorização.